Arten geometrischer Modelle und ihre Eigenschaften. Arten geometrischer Modelle, ihre Eigenschaften, Parametrisierung von Modellen. Haupttypen geometrischer Modelle

Geometrisches Modell–
Vorstellung von äußeren Zeichen
echtes Objekt.
Geometrischer Computer
Modell - Darstellung
Informationsmodell mit
Verwendung von Computerwerkzeugen
Grafik.

Die geometrische Modellierung ist unterteilt in:

Ö
Ö
Ö
Rahmendesign - geometrisch
Das Modell wurde aus einem limitierten Satz gebaut
grafische Grundelemente (Segmente, Bögen,
konische Kurven).
Oberflächen - Modellierung
Sorten zweiter Ordnung (Kugeln,
Zylinder, Kegel usw.).
volumetrische Körper- Hauptobjekt
Die Modellierung ist dreidimensional
volumetrischer Körper.

Arten und Eigenschaften von Modellen

Ö
Mit Linien lassen sich einzelne geometrische Eigenschaften von Objekten beschreiben, darstellen
charakteristische Merkmale von Objekten. Sie können räumlich oder zweidimensional sein. Kurven
Linien dienen als Baumaterial zur Erzeugung von Flächen und Körpern.
Ö
Flächen sind wie Linien mathematische Abstraktionen, die geben
eine Vorstellung von den individuellen Eigenschaften von Objekten und dienen als Baumaterial
Körper zu erschaffen.
Ö
Die Menge der Oberflächen, die sich entlang der Grenzen verbinden, wird Schale genannt. Für
Bei der Modellierung ist es notwendig, die Menge der Flächen zu beschreiben, die das Innenvolumen trennen
Objekt aus dem Rest des Raumes.
Ö
Zur geometrischen Modellierung von Objekten, die ein endliches Volumen einnehmen, in
In der Mathematik werden Objekte verwendet, die starre Körper oder einfach Körper genannt werden. Bei
Bei der Modellierung von Körpern werden Flächen konstruiert, die den Teil, den sie einnehmen, voneinander trennen
Raum vom Rest des Raumes.

2D-Grafikmodelle

Raster
Vektor
Dreidimensional
Fraktal

Rastermodell

Vorteile
Mängel
einfache Digitalisierung (Scannen oder streng festgelegte Menge).
Fotografieren mit möglich
Pixel in einem Raster.
anschließendes Scannen
Drucken (Folie)).
Möglichkeit sehr gut
Bildanpassungen
Interferenz
Einfache Konvertierungsprozedur
Mangel an innerer Struktur,
Pixelmodell in ein Bild mit der entsprechenden Struktur umwandeln
anzeigen oder ausdrucken
abgebildete Objekte
große Speicherkapazität und langlebig
Zeitpunkt der Bearbeitung

Vektormodell

Vorteile
Mängel
Ziemlich wenig Platz belegt
Erinnerung
Einbindung in ein Vektormodell
Mehrere Arten von Objekten machen es schwierig
Studium seiner Struktur
Das Vektorbild kann sein
strukturiert mit willkürlich
Detaillierungsgrad
Erstellen eines Vektormodells
Bild repräsentiert
schwierige Aufgabe
Automatisierung
Vektormodellobjekte
Bilder einfach
werden verwandelt, ihre
Eine Skalierung ist nicht erforderlich
Keine Bildverzerrung oder -verlust
visuelle Informationen
Das Vektorbildmodell ist nicht
gibt dem Benutzer Werkzeuge
entsprechend traditionell
Maltechnik
Im Vektormodell werden Text,
scheint eine eigene Kategorie zu sein
Objekte

Prozess der Evolution
Vektorprogramme
Grafik am schnellsten
fährt genau hinein
Richtung des Anstiegs
Realismus
Vektorbilder,
und neue Objekte
Vektormodell
(Netzfüllungen, Schatten,
Gradient
Transparenz) in
Größtenteils
expandieren
visuelle Möglichkeiten des Vektors

Modelle zur Darstellung von Informationen über dreidimensionale Objekte

Polygonal
(Gittergewebe)
Voxel
Funktional

Polygonale (Netz-)Modelle

Vorteile
Mängel
entspricht nicht dem Bild, sondern der Form
Gegenstände und trägt mehr
Informationen über sie als jedes andere Modell
2D-Grafiken
Visualisierungs- und Ausführungsalgorithmen
topologische Operationen (z. B.
Konstruktion von Abschnitten) sind recht komplex
ermöglicht die automatische Lösung zahlreicher Probleme beim Aufbau komplexer Modelle
Die Aufgabe besteht darin, die Illusion einer Perspektive zu konstruieren, deren Facetten immer erstaunlicher werden
Schatten und Lichter in unterschiedlicher Lichtgeschwindigkeit, was nicht nur macht
das Mesh-Modell ist nicht zu kompakt,
erfordert aber auch kolossal
Rechenleistung
Das Modell macht es möglich
Bauen mit minimalen Arbeitskosten
Bild einer simulierten Szene in
aus jedem Winkel
Annäherung durch flache Flächen
führt zu einem erheblichen Fehler,
insbesondere bei der Modellierung komplexer
Oberflächen
Vektorcharakter haben,
behält viele der inhärenten Vorteile bei
Vektorbildmodell
erhöhte Anforderungen an den Benutzer,
was bedeutet, dass er eine entwickelte hat
räumliches Vorstellungsvermögen

Voxel-Modell

VOXEL-MODELL
Vorteile
Mängel
Möglichkeit zur Vertretung
das Innere eines Objekts, und nicht nur
äußere Schicht
Viel Information,
für die Präsentation notwendig
volumetrische Daten
einfaches Mapping-Verfahren
volumetrische Szenen
erhebliche Speicherkosten,
das Freizügige einschränken
Fähigkeit, Modellierungsgenauigkeit
einfache Ausführung topologischer
Operationen (z. B. anzeigen
Ausschnitt eines räumlichen Körpers,
genug Voxel, um sie zu erzeugen
transparent)
Probleme mit der Vergrößerung bzw
das Bild verkleinern; zum Beispiel mit
Mit zunehmender Auflösung verschlechtert sich die Auflösung
Bildfähigkeit

Funktionsmodelle

Vorteile von Funktionsmodellen

einfaches Berechnungsverfahren
Koordinaten jedes Punktes;
kleines Volumen
Information für
Beschreibungen komplexer Formen;
Gelegenheit zum Bauen
oberflächenbasiert
Skalare Daten ohne
vorläufig
Triangulation.
Schuchow-Turm – Anwendungsbeispiel
Hyperboloid der Revolution

Geometrische Parametrisierung wird aufgerufen
parametrische Modellierung, in der
Geometrie jedes parametrischen Objekts
je nach Position neu berechnet
übergeordnete Objekte, ihre Parameter und
Variablen.

Geometrische Parametrisierung

Ö
Ö
Es ist eine gute Idee, einen oder mehrere zu ändern
Parameter und sehen Sie, wie es sich verhält, wenn
das ist das ganze Modell.
Konstruktor im Fall von Parametrierung
Design, erstellt ein mathematisches Modell
Objekte mit Parametern, die bei Änderung
es gibt Änderungen in der Konfiguration des Teils,
gegenseitige Bewegungen von Teilen in einer Baugruppe usw.

Geometrische Operationen an Modellen

Über Festkörpern sowie über anderen geometrischen Körpern
Objekte können Sie Operationen ausführen –
eine Reihe von Aktionen für eine oder mehrere
Quellkörper, der zur Geburt führt
neuer Körper. Eine der Hauptoperationen für
zwei Körper sind boolesche Operationen.
o Boolesche Operationen sind Operationen
Vereinigung, Schnittmenge und Subtraktion von Körpern, also
wie sie gleichnamige Operationen ausführen
Innenvolumen von Körpern (Übermengen).
Punkte im Raum, die sich innerhalb von Körpern befinden).

Gewerkschaftsoperation

o Das Ergebnis der Operation der Kombination zweier Körper ist ein Körper
die zum Inneren gehörende Punkte enthält
Volumen sowohl des ersten als auch des zweiten Körpers.
o das Wesentliche der Operation: Sie müssen die Schnittlinien der Flächen der Körper finden,
Entfernen Sie den Teil des ersten Körpers, der in den zweiten gelangt ist
Körper und der Teil des zweiten Körpers, der in den ersten gelangt ist
Körper und von allem anderen, um einen neuen Körper aufzubauen.
Zwei Quellenkörper
Körper verschmelzen

Kreuzungsbetrieb

o Das Ergebnis der Operation der Schnittmenge zweier Körper ist ein Körper
welches Punkte enthält, die zum internen Volumen gehören
sowohl der erste als auch der zweite Körper.
o Die Essenz der Operation sich schneidender Körper: Sie müssen Linien finden
Wenn sich die Körper kreuzen, entfernen Sie den Teil des ersten Körpers, der es nicht ist
gelangte in den zweiten Körper und in den Teil des zweiten Körpers, der es nicht war
stieg in das erste ein und baute aus allem anderen ein neues
Körper.
Zwei Quellenkörper
Sich kreuzende Körper

Subtraktionsoperation

o Das Ergebnis der Operation der Subtraktion zweier Körper ist ein Körper, der
enthält Punkte, die zum Innenvolumen des ersten gehören, aber nicht
zum Innenvolumen des zweiten Körpers gehörend.
o Die Essenz der Operation zum Subtrahieren von Körpern: Sie müssen die Schnittlinien der Körper finden,
Entfernen Sie den Teil des ersten Körpers, der in den zweiten gelangt ist, und diesen Teil
der zweite Körper, der nicht in den ersten gelangte, sondern von allem anderen
einen neuen Körper bauen. Das Ergebnis der Operation hängt vom Körpertyp ab
abgezogen.
Zwei Quellenkörper
Körperunterschied

Geometrische Modelle werden in objektive, rechnerische und kognitive Modelle eingeteilt. Unter den geometrischen Modellen kann man flache und dreidimensionale Modelle unterscheiden. Subjektmodelle stehen in engem Zusammenhang mit der visuellen Beobachtung. Zu den aus Subjektmodellen gewonnenen Informationen gehören Informationen über die Form und Größe eines Objekts sowie seine Position im Verhältnis zu anderen. Zeichnungen von Maschinen, technischen Geräten und deren Teilen werden unter Einhaltung einer Reihe von Symbolen, Sonderregeln und eines bestimmten Maßstabs erstellt. Zeichnungen können Installation sein, Gesamtansicht, Montage, tabellarisch, dimensional, Außenansichten, betriebsbereit usw. Zeichnungen werden auch nach Produktionszweigen unterschieden: Maschinenbau, Instrumentenbau, Bauwesen, Bergbau sowie Geologie, Topographie usw. Zeichnungen der Erdoberfläche nennt man Karten. Zeichnungen werden nach Bildmethode unterschieden: orthogonale Zeichnung, Axonometrie, Perspektive, Projektionen mit numerischen Markierungen, affine Projektionen, stereografische Projektionen, filmische Perspektive usw. Zu den Themenmodellen gehören Zeichnungen, Karten, Fotografien, Layouts, Fernsehbilder usw. Subjektmodelle stehen in engem Zusammenhang mit der visuellen Beobachtung. Unter den objektgeometrischen Modellen kann man flache und dreidimensionale Modelle unterscheiden. Objektmodelle unterscheiden sich erheblich in der Art der Ausführung: Zeichnungen, Zeichnungen, Gemälde, Fotografien, Filme, Röntgenaufnahmen, Layouts, Modelle, Skulpturen usw. Je nach Entwurfsphase werden Zeichnungen in Zeichnungen eines technischen Vorschlags, Vorentwürfe und technische Entwürfe sowie Ausführungszeichnungen unterteilt. Zeichnungen werden außerdem in Originale, Originale und Kopien unterschieden.

Zur Gewinnung können grafische Konstruktionen dienen numerische Lösungen mehrere Aufgaben. Grafisch können Sie algebraische Operationen durchführen (Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren), Differenzieren, Integrieren und Gleichungen lösen. Bei der Berechnung algebraischer Ausdrücke werden Zahlen durch gerichtete Segmente dargestellt. Um die Differenz oder Summe von Zahlen zu ermitteln, werden die entsprechenden Segmente auf einer Geraden aufgetragen. Multiplikation und Division werden durch die Konstruktion proportionaler Segmente durchgeführt, die an den Seiten des Winkels durch gerade parallele Linien abgeschnitten werden. Durch die Kombination aus Multiplikation und Addition können Sie Produktsummen und gewichtete Durchschnittswerte berechnen. Die grafische Potenzierung auf eine ganze Zahl besteht aus der sequentiellen Wiederholung der Multiplikation. Die grafische Lösung der Gleichungen ist der Abszissenwert des Schnittpunkts der Kurven. Grafisch können Sie ein bestimmtes Integral berechnen, einen Graphen der Ableitung erstellen, d.h. Differenzieren und Integrieren sowie das Lösen von Gleichungen. Geometrische Modelle für grafische Berechnungen müssen von Nomogrammen und rechnergestützten geometrischen Modellen (CGM) unterschieden werden. Grafische Berechnungen erfordern jeweils eine Abfolge von Konstruktionen. Nomogramme und RGMs sind geometrische Abbildungen funktionaler Abhängigkeiten und erfordern keine neuen Konstruktionen, um numerische Werte zu finden. Nomogramme und RGMs werden für Berechnungen und Untersuchungen funktionaler Abhängigkeiten verwendet. Berechnungen zum RGM und zu Nomogrammen werden durch das Lesen der Antworten unter Verwendung elementarer Operationen ersetzt, die im Nomogrammschlüssel angegeben sind. Die Hauptelemente von Nomogrammen sind Skalen und Binärfelder. Nomogramme werden in elementare und zusammengesetzte Nomogramme unterteilt. Nomogramme unterscheiden sich auch durch die Operation im Schlüssel. Der grundlegende Unterschied zwischen RGM und Nomogramm besteht darin, dass geometrische Methoden zur Erstellung von RGM und analytische Methoden zur Erstellung von Nomogrammen verwendet werden. Nomographie ist der Übergang von einer analytischen Maschine zu einer geometrischen Maschine.

Zu den kognitiven Modellen gehören Funktionsgraphen, Diagramme und Graphen. Ein grafisches Modell der Abhängigkeit einer Variablen von einer anderen wird als Funktionsgraph bezeichnet. Funktionsgraphen können aus einem bestimmten Teil davon oder aus dem Graphen einer anderen Funktion mithilfe geometrischer Transformationen erstellt werden. Ein grafisches Bild, das die Beziehung zwischen beliebigen Größen deutlich zeigt, ist ein Diagramm. Ein Balkendiagramm, das eine Ansammlung benachbarter Rechtecke ist, die auf einer geraden Linie aufgebaut sind und die Verteilung beliebiger Mengen gemäß einem quantitativen Merkmal darstellen, wird als Histogramm bezeichnet. Geometrische Modelle, die Beziehungen zwischen Elementen einer Menge darstellen, werden als Graphen bezeichnet. Graphen sind Modelle der Ordnung und Wirkungsweise. Bei diesen Modellen gibt es keine Abstände und Winkel, es macht keinen Unterschied, ob die Punkte durch eine Gerade oder eine Kurve verbunden sind. In Diagrammen werden nur Scheitelpunkte, Kanten und Bögen unterschieden. Diagramme wurden zunächst zum Lösen von Rätseln verwendet. Derzeit werden Graphen effektiv in der Planungs- und Kontrolltheorie, der Planungstheorie, der Soziologie, der Biologie, bei der Lösung probabilistischer und kombinatorischer Probleme usw. eingesetzt.

Spezielle Bedeutung haben theoretische geometrische Modelle. In der analytischen Geometrie werden geometrische Bilder mittels Algebra auf Basis der Koordinatenmethode untersucht. In der projektiven Geometrie werden projektive Transformationen und unveränderliche Eigenschaften unabhängiger Figuren untersucht. IN beschreibende Geometrie Raumfiguren und Methoden zur Lösung räumlicher Probleme werden untersucht, indem ihre Bilder auf einer Ebene konstruiert werden. Eigenschaften flache Figuren werden in der Planimetrie und die Eigenschaften räumlicher Figuren in der Stereometrie berücksichtigt. Die sphärische Trigonometrie untersucht die Beziehungen zwischen den Winkeln und Seiten sphärischer Dreiecke. Die Theorie der Photogrammetrie und Stereo- und Photogrammetrie ermöglicht es, in militärischen Angelegenheiten, Weltraumforschung, Geodäsie und Kartographie die Formen, Größen und Positionen von Objekten aus ihren fotografischen Bildern zu bestimmen. Die moderne Topologie untersucht die kontinuierlichen Eigenschaften von Figuren und ihre relativen Positionen. Die fraktale Geometrie (1975 von B. Mandelbrot in die Wissenschaft eingeführt), die dank moderner Computertechnologie die allgemeinen Muster von Prozessen und Strukturen in der Natur untersucht, ist zu einer der fruchtbarsten und schönsten Entdeckungen der Mathematik geworden. Fraktale wären noch beliebter, wenn sie auf den Erfolgen basieren würden moderne Theorie beschreibende Geometrie.

Probleme der klassischen beschreibenden Geometrie können in Positions-, metrische und konstruktive Probleme unterteilt werden.

In technischen Disziplinen werden statische geometrische Modelle verwendet, die dabei helfen, Vorstellungen über bestimmte Objekte, ihre Gestaltungsmerkmale und ihre Bestandteile zu bilden, und dynamische oder funktionale geometrische Modelle, die es ermöglichen, Kinematiken, funktionale Zusammenhänge oder technische und technologische Prozesse darzustellen . Sehr oft ermöglichen geometrische Modelle die Verfolgung des Verlaufs von Phänomenen, die der gewöhnlichen Beobachtung nicht zugänglich sind und auf der Grundlage des vorhandenen Wissens dargestellt werden können. Mit Bildern können Sie nicht nur den Aufbau bestimmter Maschinen, Instrumente und Geräte darstellen, sondern gleichzeitig auch deren technologische Merkmale und Funktionsparameter charakterisieren.

Zeichnungen liefern nicht nur geometrische Informationen über die Form der Teile der Baugruppe. Es versteht das Funktionsprinzip der Einheit, die Bewegung von Teilen relativ zueinander, die Umwandlung von Bewegungen, das Auftreten von Kräften, Spannungen, die Umwandlung von Energie in mechanische Arbeit usw. An einer Technischen Hochschule werden Zeichnungen und Diagramme in allen allgemeinen technischen und speziellen Fachdisziplinen studiert ( Theoretische Mechanik, Festigkeit von Werkstoffen, Baustoffe, Elektromechanik, Hydraulik, Maschinenbautechnik, Werkzeugmaschinen und Werkzeuge, Theorie von Maschinen und Mechanismen, Maschinenteile, Maschinen und Geräte usw.). Um verschiedene Informationen zu vermitteln, werden Zeichnungen mit verschiedenen Zeichen und Symbolen ergänzt und mit neuen Konzepten verbal beschrieben, deren Entstehung auf den Grundkonzepten der Physik, Chemie und Mathematik basiert.

Besonders interessant ist die Verwendung geometrischer Modelle, um Analogien zwischen geometrischen Gesetzen und realen Objekten zu ziehen, das Wesen des Phänomens zu analysieren und die theoretischen und theoretischen Grundlagen zu bewerten praktische Bedeutung mathematisches Denken und Analyse des Wesens des mathematischen Formalismus. Beachten wir, dass die allgemein anerkannten Mittel zur Vermittlung erworbener Erfahrungen, Kenntnisse und Wahrnehmungen (Sprache, Schrift, Malerei usw.) offensichtlich ein homomorphes Projektionsmodell der Realität sind. Die Konzepte des Projektionsschematismus und der Entwurfsoperation beziehen sich auf die beschreibende Geometrie und finden ihre Verallgemeinerung in der Theorie der geometrischen Modellierung. Als Ergebnis der Projektionsoperation erhaltene geometrische Projektionsmodelle können perfekt, unvollkommen (unterschiedliche Grade der Unvollkommenheit) und kollabiert sein. Aus geometrischer Sicht kann jedes Objekt viele Projektionen haben, die sich sowohl in der Position der Mitte des Designs und des Bildes als auch in ihrer Dimension unterscheiden, d. h. reale Naturphänomene und gesellschaftliche Zusammenhänge lassen unterschiedliche Beschreibungen zu, die sich im Grad ihrer Verlässlichkeit und Perfektion voneinander unterscheiden. Basis wissenschaftliche Forschung und die Quelle von allem wissenschaftliche Theorie ist Beobachtung und Experiment, die immer das Ziel haben, ein Muster zu erkennen. Alle diese Umstände dienten als Grundlage für die Verwendung von Analogien zwischen verschiedene Arten geometrische Projektionsmodelle, die durch homomorphe Modellierung erhalten wurden, und Modelle, die als Ergebnis von Forschungsarbeiten entstanden sind.

Das Ergebnis der geometrischen Modellierung eines bestimmten Objekts ist ein mathematisches Modell seiner Geometrie. Ein mathematisches Modell ermöglicht es Ihnen, das modellierte Objekt grafisch darzustellen, seine geometrischen Eigenschaften zu ermitteln, viele physikalische Eigenschaften des Objekts durch die Durchführung numerischer Experimente zu untersuchen, die Produktion vorzubereiten und schließlich das Objekt herzustellen.

Um zu sehen, wie ein Objekt aussieht, müssen Sie den Fluss der Lichtstrahlen simulieren, die von seinen Oberflächen fallen und zurückkehren. In diesem Fall können die Kanten des Modells mit der gewünschten Farbe, Transparenz, Textur und anderen physikalischen Eigenschaften versehen werden. Das Modell kann von verschiedenen Seiten mit Licht unterschiedlicher Farbe und Intensität beleuchtet werden.

Mit dem geometrischen Modell können Sie die Massenzentrierung und Trägheitseigenschaften des entworfenen Objekts bestimmen und die Längen und Winkel seiner Elemente messen. Es ermöglicht die Berechnung von Maßketten und die Bestimmung der Zusammenbaubarkeit des entworfenen Objekts. Wenn es sich bei dem Objekt um einen Mechanismus handelt, können Sie anhand des Modells seine Leistung überprüfen und die kinematischen Eigenschaften berechnen.

Mithilfe eines geometrischen Modells ist es möglich, ein numerisches Experiment durchzuführen, um den Spannungs-Dehnungs-Zustand, Frequenzen und Modi natürlicher Schwingungen, die Stabilität von Strukturelementen sowie thermische, optische und andere Eigenschaften des Objekts zu bestimmen. Dazu müssen Sie das geometrische Modell ergänzen physikalische Eigenschaften, simulieren Sie die äußeren Bedingungen seines Betriebs und führen Sie unter Verwendung physikalischer Gesetze die entsprechende Berechnung durch.

Mithilfe des geometrischen Modells ist es möglich, die Bewegungsbahn des Schneidwerkzeugs zur Bearbeitung eines Objekts zu berechnen. Unter Berücksichtigung der ausgewählten Technologie zur Herstellung eines Objekts können Sie mit einem geometrischen Modell die Ausrüstung entwerfen und die Produktionsvorbereitung durchführen sowie die Möglichkeit der Herstellung eines Objekts mit dieser Methode und die Qualität dieser Herstellung überprüfen. Darüber hinaus ist eine grafische Simulation des Herstellungsprozesses möglich. Doch um ein Objekt herzustellen, werden neben geometrischen Informationen auch Informationen über den technologischen Prozess, Produktionsanlagen und vieles mehr im Zusammenhang mit der Produktion benötigt.

Viele der aufgeführten Probleme bilden eigenständige Teilbereiche der angewandten Wissenschaft und stehen in ihrer Komplexität in nichts nach und übertreffen in den meisten Fällen sogar das Problem der Erstellung eines geometrischen Modells. Das geometrische Modell ist Ausgangspunkt für das weitere Vorgehen. Beim Konstruieren eines geometrischen Modells haben wir keine physikalischen Gesetze verwendet; der Radiusvektor jedes Punktes der Schnittstelle zwischen den äußeren und inneren Teilen des modellierten Objekts ist bekannt, daher müssen wir beim Konstruieren eines geometrischen Modells algebraische Zusammenhänge erstellen und lösen Gleichungen.

Probleme, die physikalische Gesetze nutzen, führen zu Differential- und Integralgleichungen, deren Lösung schwieriger ist als die Lösung algebraischer Gleichungen.

In diesem Kapitel konzentrieren wir uns auf die Durchführung von Berechnungen, die nichts mit physikalischen Prozessen zu tun haben. Wir betrachten die Berechnung rein geometrischer Eigenschaften von Körpern und ihren flachen Abschnitten: Oberfläche, Volumen, Massenschwerpunkt, Trägheitsmomente und Ausrichtung der Hauptträgheitsachsen. Für diese Berechnungen sind keine zusätzlichen Informationen erforderlich. Darüber hinaus werden wir die Probleme der numerischen Integration betrachten, die bei der Bestimmung geometrischer Eigenschaften gelöst werden müssen.

Die Bestimmung der Fläche, des Massenschwerpunkts und der Trägheitsmomente eines flachen Körperabschnitts führt zur Berechnung von Integralen über die Querschnittsfläche. Für ebene Abschnitte liegen uns Informationen über deren Grenzen vor. Wir reduzieren Integrale über die Fläche eines ebenen Abschnitts auf krummlinige Integrale, die sich wiederum auf bestimmte Integrale reduzieren. Die Bestimmung der Oberfläche, des Volumens, des Massenschwerpunkts und der Trägheitsmomente des Körpers führt zur Berechnung von Oberflächen- und Volumenintegralen. Wir werden uns auf die Darstellung eines Körpers durch Grenzen stützen, d. h. auf die Beschreibung eines Körpers durch eine Reihe von ihn begrenzenden Flächen und topologische Informationen über die gegenseitige Nähe dieser Flächen. Wir werden Integrale über das Volumen eines Körpers auf Oberflächenintegrale über die Oberflächen der Körperflächen reduzieren, die wiederum auf Doppelintegrale reduziert werden. Im Allgemeinen ist der Integrationsbereich ein zusammenhängender zweidimensionaler Bereich. Die Berechnung von Doppelintegralen mit numerischen Methoden kann für Flächen einfachen Typs – viereckiger oder dreieckiger Form – durchgeführt werden. Hierzu am Ende des Kapitels Methoden zur Berechnung bestimmte Integrale und Doppelintegrale über viereckige und dreieckige Flächen. Methoden zur Aufteilung der Flächen zur Bestimmung von Oberflächenparametern in eine Menge dreieckiger Teilflächen werden im nächsten Kapitel besprochen.

Zu Beginn des Kapitels betrachten wir die Reduktion von Flächenintegralen auf Kurvenintegrale und die Reduktion von Volumenintegralen auf Flächenintegrale. Darauf aufbauend werden Berechnungen der geometrischen Eigenschaften der Modelle durchgeführt.

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Geometrische Modellierungssysteme

Mit geometrischen Modellierungssystemen können Sie mit Formen im dreidimensionalen Raum arbeiten. Sie wurden entwickelt, um die Probleme zu überwinden, die mit der Verwendung physischer Modelle im Designprozess verbunden sind, wie z. B. die Schwierigkeit, komplexe Formen mit genauen Abmessungen zu erhalten, sowie die Schwierigkeit, die notwendigen Informationen aus realen Modellen zu extrahieren, um sie genau zu reproduzieren.

Diese Systeme schaffen eine Umgebung, die derjenigen ähnelt, in der physische Modelle erstellt werden. Mit anderen Worten: In einem geometrischen Modellierungssystem ändert der Designer die Form des Modells, indem er Teile davon hinzufügt und entfernt und so die Form des visuellen Modells detailliert beschreibt. Ein visuelles Modell sieht möglicherweise genauso aus wie ein physisches Modell, ist jedoch immateriell. Das dreidimensionale visuelle Modell wird jedoch zusammen mit seiner mathematischen Beschreibung im Computer gespeichert, wodurch der Hauptnachteil des physischen Modells – die Notwendigkeit, Messungen für die spätere Prototypenherstellung oder Massenproduktion durchzuführen – beseitigt wird. Geometrische Modellierungssysteme werden in Drahtgitter-, Oberflächen-, Volumen- und nichtstrukturierte Modelle unterteilt.

Wireframe-Systeme

In Drahtgittermodellierungssystemen wird eine Form als eine Reihe von Linien und Endpunkten dargestellt, die sie charakterisieren. Linien und Punkte werden verwendet, um dreidimensionale Objekte auf dem Bildschirm darzustellen, und Formänderungen werden durch Ändern der Position und Größe von Linien und Punkten erreicht. Mit anderen Worten: Das visuelle Modell ist eine Drahtmodellzeichnung einer Form, und die entsprechende mathematische Beschreibung ist ein Satz von Kurvengleichungen, Punktkoordinaten und Informationen über die Konnektivität von Kurven und Punkten. Konnektivitätsinformationen beschreiben die Zugehörigkeit von Punkten zu bestimmten Kurven sowie den Schnittpunkt von Kurven untereinander. Wireframe-Modellierungssysteme waren zu der Zeit beliebt, als GM gerade erst aufkam. Ihre Beliebtheit beruhte auf der Tatsache, dass in Wireframe-Modellierungssystemen die Erstellung von Formularen durch eine Abfolge einfacher Schritte erfolgte, sodass es für Benutzer recht einfach war, Formulare selbst zu erstellen. Ein visuelles Modell, das nur aus Linien besteht, kann jedoch mehrdeutig sein. Darüber hinaus enthält die entsprechende mathematische Beschreibung keine Informationen über die Innen- und Außenflächen des modellierten Objekts. Ohne diese Informationen ist es unmöglich, die Masse eines Objekts zu berechnen, Bewegungspfade zu bestimmen oder ein Netz für die Finite-Elemente-Analyse zu erstellen, selbst wenn das Objekt dreidimensional erscheint. Da diese Vorgänge ein integraler Bestandteil des Designprozesses sind, wurden Drahtmodellierungssysteme nach und nach durch Oberflächen- und Volumenmodellierungssysteme ersetzt.

Oberflächenmodellierungssysteme

In Oberflächenmodellierungssystemen umfasst die mathematische Beschreibung des visuellen Modells nicht nur Informationen über die charakteristischen Linien und deren Endpunkte, sondern auch Daten über die Oberflächen. Beim Arbeiten mit einem auf dem Bildschirm angezeigten Modell ändern sich die Oberflächengleichungen, Kurvengleichungen und Punktkoordinaten. Die mathematische Beschreibung kann Informationen über die Konnektivität von Oberflächen enthalten – wie Oberflächen miteinander verbunden sind und entlang welcher Kurven. In manchen Anwendungen können diese Informationen sehr nützlich sein.

Es gibt drei Standardmethoden zum Erstellen von Oberflächen in Oberflächenmodellierungssystemen:

1) Interpolation von Eingabepunkten.

2) Interpolation gekrümmter Punkte.

3) Verschiebung oder Drehung einer bestimmten Kurve.

Oberflächenmodellierungssysteme werden zum Erstellen von Modellen mit komplexen Oberflächen verwendet, da das visuelle Modell die Bewertung der Ästhetik des Projekts ermöglicht und die mathematische Beschreibung die Erstellung von Programmen mit genauen Berechnungen von Bewegungsbahnen ermöglicht.

Volumenmodellierungssysteme

Entwickelt für die Arbeit mit Objekten, die aus einem geschlossenen Volumen oder Monolithen bestehen. In Volumenmodellierungssystemen ist im Gegensatz zu Drahtmodell- und Oberflächenmodellierungssystemen die Erstellung einer Reihe von Oberflächen oder charakteristischen Linien nicht zulässig, wenn diese kein geschlossenes Volumen bilden. Eine mathematische Beschreibung eines in einem Volumenmodellierungssystem erstellten Objekts enthält Informationen, anhand derer das System bestimmen kann, wo sich eine Linie oder ein Punkt befindet: innerhalb des Volumens, außerhalb oder an seiner Grenze. In diesem Fall können Sie beliebige Informationen über das Volumen des Körpers erhalten, sodass Anwendungen verwendet werden können, die mit dem Objekt auf Volumenebene und nicht auf Oberflächen arbeiten.

Allerdings erfordern Volumenmodellierungssysteme mehr Eingabedaten als die Datenmenge, die eine mathematische Beschreibung liefert. Wenn das System vom Benutzer die Eingabe aller Daten für eine vollständige mathematische Beschreibung verlangen würde, würde es für Benutzer zu komplex werden und sie würden es aufgeben. Daher versuchen Entwickler solcher Systeme, einfache und natürliche Funktionen darzustellen, damit Benutzer mit dreidimensionalen Formen arbeiten können, ohne auf die Details einer mathematischen Beschreibung einzugehen.

Die von den meisten Volumenmodellierungssystemen unterstützten Modellierungsfunktionen können in fünf Hauptgruppen unterteilt werden:

1) Funktionen zum Erstellen von Grundelementen sowie Funktionen zum Addieren und Subtrahieren von Volumen – Boolesche Operatoren. Diese Funktionen ermöglichen es dem Konstrukteur, schnell eine Form zu erstellen, die der endgültigen Form des Teils nahe kommt.

2) Funktionen zum Erstellen volumetrischer Körper durch Bewegen der Oberfläche. Mit der Sweeping-Funktion können Sie einen dreidimensionalen Körper erstellen, indem Sie einen auf einer Ebene definierten Bereich verschieben oder drehen.

3) Funktionen, die in erster Linie der Veränderung dienen vorhandenes Formular. Typische Beispiele sind die Filet- oder Smooth-Filet- und Lift-Funktionen.

4) Funktionen, mit denen Sie die Komponenten volumetrischer Körper direkt manipulieren können, also entlang von Scheitelpunkten, Kanten und Flächen.

5) Funktionen, mit denen der Designer modellieren kann solide Verwendung freier Formulare.

Verschiedene Modellierungssysteme

Volumenmodellierungssysteme ermöglichen dem Benutzer die Erstellung von Volumenkörpern mit geschlossenem Volumen, also mathematisch gesehen Volumenkörper, die Mannigfaltigkeiten darstellen. Mit anderen Worten: Solche Systeme verbieten die Schaffung von Strukturen, die nicht vielfältig sind. Verstöße gegen die Diversitätsbedingung sind beispielsweise die Berührung zweier Flächen in einem Punkt, die Berührung zweier Flächen entlang einer offenen oder geschlossenen Kurve, zwei geschlossene Volumina mit einer gemeinsamen Fläche, Kante oder einem gemeinsamen Scheitelpunkt sowie Flächen, die Waben bilden -artige Strukturen.

Das Verbot, kleine Modelle zu erstellen, wurde als einer der Vorteile von Festkörpermodellierungssystemen angesehen, da dadurch jedes in einem solchen System erstellte Modell hergestellt werden konnte. Möchte der Anwender während des gesamten Entwicklungsprozesses mit dem geometrischen Modellierungssystem arbeiten, erweist sich dieser Vorteil als Kehrseite.

Ein abstraktes Modell mit einer Mischung aus Dimensionen ist praktisch, da es den kreativen Gedanken des Designers nicht einschränkt. Ein gemischtdimensionales Modell kann freie Kanten, geschichtete Oberflächen und Volumina enthalten. Ein abstraktes Modell ist auch deshalb nützlich, weil es als Grundlage für die Analyse dienen kann. Jede Phase des Designprozesses kann über eigene Analysetools verfügen. Verwenden Sie beispielsweise die Finite-Elemente-Methode direkt auf der ursprünglichen Modelldarstellung, was eine Automatisierung ermöglicht Rückmeldung zwischen den Phasen Entwurf und Analyse, die derzeit vom Designer selbstständig umgesetzt werden. Kleine Modelle sind als Etappe in der Entwicklung eines Projektes unverzichtbar Gesamte Beschreibung in geringen Mengen, bis der fertige volumetrische Körper entsteht. Multimodellierungssysteme ermöglichen die gleichzeitige Verwendung von Drahtgitter-, Oberflächen-, Volumenkörper- und Zellmodellen in derselben Modellierungsumgebung und erweitern so die Palette der verfügbaren Modelle.

Beschreibung von Oberflächen

Wichtig Bestandteil Geometrische Modelle sind die Beschreibung von Oberflächen. Wenn es sich bei den Oberflächen des Teils um flache Flächen handelt, kann das Modell ganz einfach durch bestimmte Informationen über die Flächen, Kanten und Scheitelpunkte des Teils ausgedrückt werden. In diesem Fall wird üblicherweise die Methode der konstruktiven Geometrie verwendet. Die Darstellung durch ebene Flächen erfolgt auch bei komplexeren Flächen, wenn diese Flächen durch Mengen von ebenen Flächen – Polygonnetze – angenähert werden. Dann kann das Oberflächenmodell in einer der folgenden Formen angegeben werden:

1) Das Modell ist eine Liste von Gesichtern. Jedes Gesicht wird durch eine geordnete Liste von Scheitelpunkten (einen Scheitelpunktzyklus) dargestellt. diese Form zeichnet sich durch erhebliche Redundanz aus, da jeder Scheitelpunkt in mehreren Listen wiederholt wird;

2) Das Modell ist eine Liste von Kanten. Für jede Kante werden einfallende Scheitelpunkte und Flächen angegeben. Allerdings führt die Approximation durch Polygonnetze bei großen Netzzellengrößen zu merklichen Formverzerrungen und erweist sich bei kleinen Zellgrößen im Hinblick auf den Rechenaufwand als ineffektiv. Beliebter sind daher Beschreibungen nichtplanarer Flächen durch kubische Gleichungen in Form von Bezier oder 5-Splines.

Es ist praktisch, sich mit diesen Formen vertraut zu machen, indem man ihre Verwendung zur Beschreibung geometrischer Objekte der ersten Ebene – räumliche Kurven – zeigt.

Notiz. Geometrische Objekte der Null-, ersten und zweiten Ebene werden Punkte, Kurven bzw. Flächen genannt.

MG&GM-Subsysteme verwenden parametrisch definierte kubische Kurven

geometrisch konstruktive Modellierungsoberfläche

x(t) = axt3 + bxt2 + cxt + dx ;

y(t) = ay t3 +X by t2 + cy t + dy ;

z(t) = a.t3 + b_t2 + cj + d_,

wobei 1 > t > 0. Solche Kurven beschreiben Segmente der angenäherten Kurve, d. h. die angenäherte Kurve wird in Segmente unterteilt und jedes Segment wird durch Gleichungen (3.48) angenähert.

Die Verwendung kubischer Kurven gewährleistet (durch geeignete Auswahl von vier Koeffizienten in jeder der drei Gleichungen) die Erfüllung von vier Bedingungen für die Konjugation von Segmenten. Bei Bezier-Kurven sind diese Bedingungen der Durchgang der Segmentkurve durch zwei gegebene Endpunkte und die Gleichheit der Tangentenvektoren benachbarter Segmente an diesen Punkten. Bei 5-Splines sind die Bedingungen der Kontinuität des Tangentenvektors und der Krümmung (d. h. der ersten und zweiten Ableitung) an den beiden Endpunkten erfüllt, was einen hohen Grad an Glätte der Kurve gewährleistet, obwohl der Durchgang von die Näherungskurve durch die angegebenen Punkte ist nicht gewährleistet. Die Verwendung von Polynomen höheren Grades als dem dritten Grad wird nicht empfohlen, da die Wahrscheinlichkeit einer Welligkeit hoch ist.

Im Fall der Bezier-Form werden die Koeffizienten in (3.48) zunächst bestimmt, indem in (3.48) die Werte (=0k(=1i) der Koordinaten der gegebenen Endpunkte P bzw. P4 eingesetzt werden und zweitens durch Einsetzen der Ableitungen in die Ausdrücke

dx/dt = Für t2 + 2b + s, X X x"

dy/dt = For, G2 + 2byt + s,

dz/dt = 3a.t2 + 2b.t + c.

die gleichen Werte / = 0 und / = 1 und die Koordinaten der Punkte P2 und P3, die die Richtungen der Tangentenvektoren angeben (Abb. 3.27). Als Ergebnis erhalten wir für die Bezier-Form

Bezier-Kurve. (3.27)

für die die Matrix M eine andere Form hat und in der Tabelle dargestellt ist. 3.12, und die Vektoren Gx, Gy, G enthalten die entsprechenden Koordinaten der Punkte P, 1; R, R, + 1, R, + 2.

Zeigen wir, dass an den Konjugationspunkten für die erste und zweite Ableitung des Näherungsausdrucks die Kontinuitätsbedingungen erfüllt sind, was für die Definition eines B-Splines erforderlich ist. Bezeichnen wir den Abschnitt des approximierenden B-Splines, der dem Abschnitt [P, P +1] der Originalkurve entspricht, mit . Dann gilt für diesen Abschnitt und die Koordinaten x am Konjugationspunkt Q/+ t = 1 und

Für einen Abschnitt am gleichen Punkt Qi+| wir haben t = 0 und

das heißt, die Gleichheit der Ableitungen am Konjugationspunkt in benachbarten Abschnitten bestätigt die Kontinuität des Tangentenvektors und der Krümmung. Natürlich ist der x-Wert die x-Koordinate des Punktes Qi+1 der Näherungskurve im Bereich.

gleich dem für denselben Punkt auf dem Abschnitt berechneten x-Wert, aber die Koordinatenwerte der Knotenpunkte x und x+] der Annäherungs- und Annäherungskurven stimmen nicht überein.

Ebenso kann man Ausdrücke für Bezier-Formen und 5-Splines für die Anwendung auf Flächen erhalten, wobei man berücksichtigt, dass anstelle von (3.48) kubische Abhängigkeiten von zwei Variablen verwendet werden.

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Arten geometrischer Modelle und ihre Eigenschaften. Arten geometrischer Modelle, ihre Eigenschaften, Parametrisierung von Modellen. Haupttypen geometrischer Modelle

Die geometrische Modellierung ist unterteilt in:

Arten und Eigenschaften von Modellen

2D-Grafikmodelle

Rastermodell

Vektormodell

Modelle zur Darstellung von Informationen über dreidimensionale Objekte

Polygonale (Netz-)Modelle

Voxel-Modell

Voxel-Modell

Funktionsmodelle

Vorteile von Funktionsmodellen

Geometrische Parametrisierung

Geometrische Operationen an Modellen

Gewerkschaftsoperation

Kreuzungsbetrieb

Subtraktionsoperation

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