Einführung

Bei der Lösung wissenschaftlicher und technischer Probleme ist es häufig erforderlich, jedes dynamische System mathematisch zu beschreiben. Dies geschieht am besten im Formular Differentialgleichung (DU) oder Systeme von Differentialgleichungen. Am häufigsten tritt ein solches Problem auf, wenn Probleme im Zusammenhang mit der Modellierung der Kinetik chemischer Reaktionen gelöst werden verschiedene PhänomeneÜbertragung (Wärme, Masse, Impuls) – Wärmeübertragung, Mischen, Trocknen, Adsorption, bei der Beschreibung der Bewegung von Makro- und Mikropartikeln.

In einigen Fällen kann die Differentialgleichung in eine Form umgewandelt werden, in der die höchste Ableitung explizit ausgedrückt wird. Diese Schreibweise nennt man eine nach der höchsten Ableitung aufgelöste Gleichung (in diesem Fall fehlt die höchste Ableitung auf der rechten Seite der Gleichung):

Eine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist eine Funktion y(x), die für jedes x diese Gleichung in einem bestimmten endlichen oder unendlichen Intervall erfüllt. Der Prozess der Lösung einer Differentialgleichung wird als Dbezeichnet.

Historisch gesehen ist die Euler-Methode der erste und einfachste Weg, das Cauchy-Problem für ODEs erster Ordnung numerisch zu lösen. Es basiert auf der Näherung der Ableitung durch das Verhältnis endlicher Inkremente der abhängigen (y) und unabhängigen (x) Variablen zwischen den Knoten eines einheitlichen Gitters:

wobei y i+1 der erforderliche Wert der Funktion am Punkt x i+1 ist.

Die Genauigkeit der Euler-Methode kann verbessert werden, wenn wir eine genauere Integrationsformel verwenden, um das Integral anzunähern: Trapezformel.

Diese Formel erweist sich in Bezug auf y i+1 als implizit (dieser Wert steht sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite des Ausdrucks), d. h. es handelt sich um eine Gleichung für y i+1 , die beispielsweise gelöst werden kann , numerisch, unter Verwendung einer iterativen Methode (in dieser Form kann sie als iterative Formel der einfachen Iterationsmethode betrachtet werden).

Die Zusammensetzung der Studienarbeit: Kursarbeit besteht aus drei Teilen. Im ersten Teil erfolgt eine kurze Beschreibung der Methoden. Im zweiten Teil erfolgt die Formulierung und Lösung des Problems. Im dritten Teil - Softwareimplementierung in der Computersprache

Der Zweck der Kursarbeit: das Studium zweier Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen – der Euler-Cauchy-Methode und der verbesserten Euler-Methode.

1. Theoretischer Teil

Numerische Differenzierung

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine oder mehrere Ableitungen enthält. Abhängig von der Anzahl der unabhängigen Variablen werden Differentialgleichungen in zwei Kategorien unterteilt.

Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs)

Partielle Differentialgleichungen.

Als gewöhnliche Differentialgleichungen werden solche Gleichungen bezeichnet, die eine oder mehrere Ableitungen der gewünschten Funktion enthalten. Sie können im Formular geschrieben werden

unabhängige Variable

Die höchste in Gleichung (1) enthaltene Ordnung wird Ordnung der Differentialgleichung genannt.

Die einfachste (lineare) ODE ist Gleichung (1) der Ordnung, aufgelöst in Bezug auf die Ableitung

Eine Lösung einer Differentialgleichung (1) ist jede Funktion, die sie, nachdem sie in die Gleichung eingesetzt wurde, in eine Identität umwandelt.

Das Hauptproblem im Zusammenhang mit der linearen ODE ist als Kashi-Problem bekannt:

Finden Sie eine Lösung für Gleichung (2) in Form einer Funktion, die die Anfangsbedingung (3) erfüllt.

Geometrisch bedeutet dies, dass es erforderlich ist, die Integralkurve zu finden, die durch den Punkt verläuft, wenn Gleichung (2) erfüllt ist.

Numerisch aus Sicht des Kashi-Problems bedeutet: Es ist erforderlich, eine Tabelle von Funktionswerten zu erstellen, die Gleichung (2) und die Anfangsbedingung (3) für ein Segment mit einem bestimmten Schritt erfüllt. Üblicherweise wird davon ausgegangen, dass die Anfangsbedingung am linken Ende des Segments gegeben ist.

Die einfachste numerische Methode zur Lösung einer Differentialgleichung ist die Euler-Methode. Es basiert auf der Idee, eine Lösung einer Differentialgleichung grafisch zu konstruieren, bietet aber auch die Möglichkeit, die gewünschte Funktion in numerischer Form oder in einer Tabelle zu finden.

Die Gleichung (2) sei mit der Anfangsbedingung gegeben, das heißt, das Kashi-Problem sei gestellt. Lassen Sie uns zunächst das folgende Problem lösen. Finden Sie auf einfachste Weise den Näherungswert der Lösung an einem Punkt, an dem es einen ausreichend kleinen Schritt gibt. Gleichung (2) definiert zusammen mit der Anfangsbedingung (3) die Richtung der Tangente der gewünschten Integralkurve am Punkt mit Koordinaten

Die Tangentengleichung hat die Form

Entlang dieser Tangente erhalten wir den Näherungswert der Lösung im Punkt:

Wenn wir an einem Punkt eine Näherungslösung haben, können wir das zuvor beschriebene Verfahren wiederholen: Konstruieren Sie eine gerade Linie mit Steigung durch diesen Punkt und ermitteln Sie damit den Näherungswert der Lösung an diesem Punkt

. Beachten Sie, dass diese Linie nicht tangential zur echten Integralkurve ist, da uns der Punkt nicht zur Verfügung steht. Wenn er jedoch klein genug ist, liegen die resultierenden Näherungswerte nahe bei genaue Werte Lösungen.

In Fortsetzung dieser Idee konstruieren wir ein System aus Punkten mit gleichem Abstand

Erhalten einer Wertetabelle der gewünschten Funktion

nach der Euler-Methode besteht in der zyklischen Anwendung der Formel

Abbildung 1. Grafische Interpretation der Euler-Methode

Methoden zur numerischen Integration von Differentialgleichungen, bei denen Lösungen von einem Knoten zum anderen erhalten werden, werden als schrittweise bezeichnet. Die Euler-Methode ist der einfachste Vertreter der Schritt-für-Schritt-Methoden. Ein Merkmal jeder Schritt-für-Schritt-Methode besteht darin, dass ab dem zweiten Schritt der Anfangswert in Formel (5) selbst näherungsweise ist, d. h. der Fehler bei jedem nächsten Schritt systematisch zunimmt. Die am häufigsten verwendete Methode zur Schätzung der Genauigkeit von Schritt-für-Schritt-Methoden zur numerischen Näherungslösung von ODEs ist die Methode des doppelten Durchlaufens eines bestimmten Segments mit einem Schritt und mit einem Schritt

1.1 Verbesserte Euler-Methode

Die Hauptidee dieser Methode: Der nächste nach Formel (5) berechnete Wert ist genauer, wenn der Wert der Ableitung, also die Steigung der Geraden, die die Integralkurve auf dem Segment ersetzt, nicht berechnet wird entlang der linken Kante (also am Punkt ), aber entlang der Mitte des Segments . Da jedoch der Wert der Ableitung zwischen den Punkten nicht berechnet wird, gehen wir zu den doppelten Abschnitten des Mittelpunkts über, in denen sich der Punkt befindet, während die Geradengleichung die Form annimmt:

Und Formel (5) nimmt die Form an

Formel (7) wird nur angewendet, daher kann der Wert daraus nicht ermittelt werden. Daher werden sie mit der Euler-Methode ermittelt. Um ein genaueres Ergebnis zu erhalten, gehen sie wie folgt vor: Verwenden Sie von Anfang an die Formel (5 ), finden Sie den Wert

(8)

An Punkt und dann wird durch Formel (7) mit einem Schritt ermittelt

(9)

Nach weiteren Berechnungen werden gefunden für hergestellt nach Formel (7)

Es ist bekannt, dass Gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung hat die Form: .Die Lösung dieser Gleichung ist eine differenzierbare Funktion, die, wenn sie in die Gleichung eingesetzt wird, diese in eine Identität umwandelt. Der Graph zur Lösung einer Differentialgleichung (Abb. 1.) heißt Integralkurve.

Die Ableitung an jedem Punkt kann geometrisch als Tangente der Steigung der Tangente an den durch diesen Punkt verlaufenden Graphen der Lösung interpretiert werden, d. h.:.

Die ursprüngliche Gleichung definiert eine ganze Familie von Lösungen. Um eine Lösung auszuwählen, legen Sie fest ausgangsbedingung: , wo ist ein gegebener Wert des Arguments, und der Anfangswert der Funktion.

Cauchy-Problem besteht darin, eine Funktion zu finden, die die ursprüngliche Gleichung und die Anfangsbedingung erfüllt. Normalerweise wird die Lösung des Cauchy-Problems auf dem Segment bestimmt, das sich rechts vom Anfangswert befindet, d.h. für.

Selbst für einfache Differentialgleichungen erster Ordnung ist es nicht immer möglich, eine analytische Lösung zu erhalten. Daher sind numerische Lösungsmethoden von großer Bedeutung. Numerische Methoden ermöglichen es, die Näherungswerte der gewünschten Lösung auf einem ausgewählten Raster von Argumentwerten zu bestimmen. Punkte werden aufgerufen Gitterknoten, und der Wert ist der Rasterschritt. oft in Betracht gezogen Uniform Gitter, für die der Schritt konstant ist. In diesem Fall erhält man die Lösung in Form einer Tabelle, in der jeder Gitterknoten den Näherungswerten der Funktion an den Gitterknoten entspricht.

Numerische Methoden erlauben keine Lösung in allgemeiner Form, sind aber auf eine breite Klasse von Differentialgleichungen anwendbar.

Konvergenz numerischer Methoden zur Lösung des Cauchy-Problems. Sei eine Lösung des Cauchy-Problems. Lass uns anrufen Fehler numerische Methode, die an den Gitterknoten angegebene Funktion. Als absoluten Fehler nehmen wir den Wert.

Die numerische Methode zur Lösung des Cauchy-Problems heißt konvergierend, wenn für ihn bei. Eine Methode hat die Genauigkeitsordnung th, wenn der Schätzwert für den Fehler ist – konstant, .

Euler-Methode

Die einfachste Methode zur Lösung des Cauchy-Problems ist die Euler-Methode. Lösen wir das Cauchy-Problem

auf dem Segment. Wählen wir Schritte aus und erstellen wir ein Raster mit einem Knotensystem. Die Euler-Methode berechnet die Näherungswerte der Funktion an den Gitterknoten:. Wenn wir die Ableitung durch endliche Differenzen auf den Segmenten ersetzen, erhalten wir eine ungefähre Gleichheit:, die wie folgt umgeschrieben werden kann:,.

Diese Formeln und die Anfangsbedingung lauten Berechnungsformeln der Euler-Methode.

Die geometrische Interpretation eines Schritts der Euler-Methode besteht darin, dass die Lösung auf dem Segment durch eine Tangente ersetzt wird, die an einem Punkt an die durch diesen Punkt verlaufende Integralkurve gezogen wird. Nach Abschluss der Schritte wird die unbekannte Summenkurve durch eine gestrichelte Linie ersetzt (Eulers gestrichelte Linie).

Fehlerschätzung. Um den Fehler der Euler-Methode abzuschätzen, verwenden wir den folgenden Satz.

Satz. Lassen Sie die Funktion die Bedingungen erfüllen:

.

Dann gilt für die Euler-Methode folgende Fehlerabschätzung: , wobei die Länge des Segments ist. Wir sehen, dass die Euler-Methode eine Genauigkeit erster Ordnung aufweist.

Die Schätzung des Fehlers der Euler-Methode ist oft schwierig, da sie die Berechnung der Ableitungen der Funktion erfordert. Eine grobe Schätzung des Fehlers ergibt sich aus Runge-Regel (Doppelzählregel), die für verschiedene einstufige Methoden mit der -ten Genauigkeitsordnung verwendet wird. Runges Regel lautet wie folgt. Es seien Annäherungen, die man mit einer Stufe erhält, und es seien Annäherungen, die man mit einer Stufe erhält. Dann gilt die ungefähre Gleichheit:

.

Um also den Fehler der einstufigen Methode mit Schritt abzuschätzen, müssen Sie die gleiche Lösung mit Schritten finden und den Wert rechts in der letzten Formel berechnen, d. h. Da die Euler-Methode die erste Genauigkeitsordnung hat, d.h. die ungefähre Gleichheit hat Ansicht:.

Mit der Runge-Regel kann man ein Verfahren zur Näherungsberechnung der Lösung des Cauchy-Problems mit einer bestimmten Genauigkeit erstellen . Dazu ist es notwendig, die Berechnungen mit einem bestimmten Schrittwert zu beginnen, diesen Wert konsequent um die Hälfte zu reduzieren und jedes Mal einen Näherungswert zu berechnen. . Berechnungen werden beendet, wenn die Bedingung erfüllt ist: . Für die Euler-Methode hat diese Bedingung die Form:. Eine Näherungslösung wären die Werte .

Beispiel 1 Lassen Sie uns eine Lösung für das Segment des folgenden Cauchy-Problems finden:,. Machen wir einen Schritt. Dann.

Die Berechnungsformel der Euler-Methode hat die Form:

, .

Wir stellen die Lösung in Form von Tabelle 1 vor:

Tabelle 1

Die ursprüngliche Gleichung ist die Bernoulli-Gleichung. Seine Lösung kann explizit gefunden werden: .

Um die genaue und die Näherungslösung zu vergleichen, stellen wir die genaue Lösung in Form von Tabelle 2 dar:

Tabelle 2

Aus der Tabelle ist ersichtlich, dass der Fehler vorliegt

Die Euler-Methode bezieht sich auf numerische Methoden, die eine Lösung in Form einer Tabelle mit Näherungswerten der gewünschten Funktion liefern y(x). Es ist relativ grob und wird hauptsächlich für Näherungsberechnungen verwendet. Die der Euler-Methode zugrunde liegenden Ideen sind jedoch Ausgangspunkt für eine Reihe anderer Methoden.

Betrachten Sie die Differentialgleichung erster Ordnung

mit Anfangszustand

X= X 0 , j(X 0 )= j 0 (3.2)

Es ist erforderlich, eine Lösung der Gleichung im Intervall [ A, B].

Teilen wir das Segment auf [ A, B] in n gleiche Teile zerlegen und die Folge erhalten X 0 , X 1 , X 2 ,…, X N, Wo X ich = X 0 + ich h (ich=0,1,…, N), A H=(B- A)/ N− Integrationsschritt.

Bei der Euler-Methode Näherungswerte y(x ich +1 )  j ich +1 werden nacheinander nach den Formeln berechnet:

j i+1 = bei ich +hf(x ich ,y ich ) (i=0,1,2…) (3.3)

In diesem Fall die gewünschte Integralkurve y=y(x) durch den Punkt gehen M 0 (X 0 , ja 0 ), wird durch eine gestrichelte Linie ersetzt M 0 M 1 M 2 … mit Spitzen M ich (X ich , j ich ) (ich=0,1,2,…); jeder Link M ich M ich +1 diese gestrichelte Leitung aufgerufen Euler-gestrichelte Linie, hat eine Richtung, die mit der Richtung der Integralkurve der Gleichung (1) zusammenfällt, die durch den Punkt verläuft M ich(siehe Abbildung 2):

Abbildung 2. Ansicht der gestrichelten Euler-Linie

Modifizierte Euler-Methode genauer. Zunächst werden die Hilfswerte der gewünschten Funktion berechnet bei k+1/2 an Punkten X k+1/2, dann wird der Wert der rechten Seite von Gleichung (3.1) im Mittelpunkt gefunden j k+1/2 =f( xk+1/2 ,y k+1/2 ) und bestimmen bei k+ :

Dann:
(3.4)

Formeln (3.4) sind wiederkehrende Formeln der Euler-Methode.

Um den Fehler an der Stelle abzuschätzen X Zu mach die Berechnungen bei Zu Schritt für Schritt H, dann mit einem Schritt 2 H und nimm 1/3 der Differenz dieser Werte:

,

Wo y(x) ist die exakte Lösung der Differentialgleichung.

Eulers Methode lässt sich leicht auf Differentialgleichungssysteme und Differentialgleichungen höherer Ordnung erweitern. Letzteres muss zunächst auf ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung reduziert werden.

3.2. Runge-Kutta-Methode

Runge-Kutta-Methoden haben die folgenden Eigenschaften:

Diese Methoden bestehen aus einem Schritt: Finden bei k+1 Informationen zum vorherigen Punkt benötigen (X Zu  j Zu ) 

Die Methoden stimmen bis auf Ordnungsterme mit der Taylor-Reihe überein H P wo der Grad R ist für verschiedene Methoden unterschiedlich und wird als Seriennummer oder bezeichnet Methodenreihenfolge

Sie erfordern keine Ableitungen von f(x y) erfordern aber die Berechnung der Funktion selbst

Runge-Kutta-Algorithmus dritte Befehl:

(3.5)

Runge-Kutta-Algorithmus vierte Befehl:

(3.6)

Algorithmen dritter und vierter Ordnung erfordern in jedem Schritt drei bzw. vier Funktionsberechnungen, sind aber sehr genau.

3.3. Adams-Methode

Die Adams-Methode bezieht sich auf mehrstufig DE-Lösungsschemata, die dadurch gekennzeichnet sind, dass die Lösung am aktuellen Knoten nicht von den Daten in einem vorherigen oder nachfolgenden Gitterknoten abhängt, wie es bei einstufigen Methoden der Fall ist, sondern von den Daten in mehrere benachbarte Knoten.

Die Idee der Adams-Methoden besteht darin, die bereits in den vorherigen Schritten berechneten Werte zu verwenden, um die Genauigkeit zu verbessern

Y k -1 , Y k -2 , Y k -3 …

Wenn Werte in verwendet werden k Nachdem wir die vorherigen Knoten durchlaufen haben, sprechen wir über die k-Schritt-Methode zur Integration der Gleichung. Eine Möglichkeit, mehrstufige Methoden zu erstellen, ist wie folgt. Basierend auf den Werten der Funktion, die an k vorherigen Knoten berechnet werden, wird ein Interpolationspolynom vom Grad berechnet (k-1) -L k -1 (X) , die bei der Integration der Differentialgleichung durch den Ausdruck verwendet wird:

In diesem Fall wird das Integral durch die Quadraturformel ausgedrückt:

Wo λ l sind Quadraturkoeffizienten.

Die so erhaltene Formelfamilie heißt explizitk -Adams-Schrittdiagramm. Wie man sehen kann, bei k=1 als Sonderfall erhält man die Euler-Formel.

Für eine Formel mit 4 Ordnungen gilt beispielsweise:

(3.7)

j ( P ) k +1 – „Prognose“, berechnet anhand der Werte der vorherigen Punkte, F ( P ) k +1 ist der ungefähre Wert der Funktion, der zum Zeitpunkt der Prognoseerstellung berechnet wurde, j ( C ) k +1 - „Korrektur“ des Prognosewertes, j k +1 ist der gewünschte Wert nach Adams.

Der Vorteil dieser Methode zur Lösung des DE besteht darin, dass an jedem Punkt nur ein Wert der Funktion berechnet wird F(x, y). Zu den Nachteilen gehört die Unmöglichkeit, eine mehrstufige Methode von einem einzigen Ausgangspunkt aus zu starten, da für Berechnungen von k-Step-Formel benötigt den Wert des Funktionswerts in k Knoten. Deshalb ist es notwendig (k-1) Lösung an den ersten Knoten X 1 , X 2 , …, X k-1 kann mithilfe einer einstufigen Methode erhalten werden, beispielsweise der Runge-Kutta-Methode 4. Ordnung.

Ein weiteres Problem ist die Unmöglichkeit, den Schritt während des Lösungsprozesses zu ändern, was bei einstufigen Methoden leicht umzusetzen ist.

4. Kurze Beschreibung des Programms in C++ und Darstellung der Ergebnisse seiner Ausführung

Viele Probleme der Wissenschaft und Technik reduzieren sich auf die Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODEs). ODEs sind solche Gleichungen, die eine oder mehrere Ableitungen der gewünschten Funktion enthalten. Allgemein

ODE kann geschrieben werden als:
F x , y , y , y ,..., y
wobei x eine unabhängige Variable ist,				y i - i -te Ableitung von

der gewünschten Funktion, n ist die Ordnung der Gleichung. Die allgemeine Lösung einer ODE n-ter Ordnung enthält n beliebige Konstanten

c 1 , c 2 ,..., c n , d.h. Die allgemeine Lösung hat die Form y x , c 1 , c 2 ,..., c n . Um eine eindeutige Lösung auszuwählen, müssen n zusätzliche Bedingungen festgelegt werden. Je nachdem wie man es einstellt

Zusätzliche Bedingungen gibt es zwei verschiedene Arten von Problemen: das Cauchy-Problem und das Randwertproblem. Werden an einer Stelle zusätzliche Bedingungen angegeben, so nennt man ein solches Problem Cauchy-Problem. Zusätzliche Bedingungen im Cauchy-Problem werden Anfangsbedingungen genannt. Werden an mehr als einer Stelle zusätzliche Bedingungen angegeben, d.h. bei verschiedene Werte Unabhängige Variable, dann wird ein solches Problem als Randwertproblem bezeichnet. Die Zusatzbedingungen selbst werden Rand- oder Randbedingungen genannt.

Es ist klar, dass man für n 1 nur vom Cauchy-Problem sprechen kann. Beispiele für die Lösung des Cauchy-Problems:

dy x 2 y 3					y 1 1;
d 2 y dy						Jahr 1 1,
dx 2 dx xy ,							y 1 0 .

Beispiele für Randwertprobleme:

	d2y			y sin x ,					y 0 1,	y 1 0
	dx 2
	T 3 J				d2y				y10,		y 3 2 .
		x x dx 2				dx,
										y10,
Lösen Sie solche									analytisch ist es nur möglich für

Da es sich um einige spezielle Arten von Gleichungen handelt, ist die Verwendung von Näherungsmethoden zur Lösung erforderlich.

Näherungsmethoden zur Lösung des Cauchy-Problems für ODEs erster Ordnung

Es ist erforderlich, eine Lösung y(x) der ODE erster Ordnung zu finden

f x, y

auf dem Segment x 0 , x n unter der Bedingung

y x0 y0 .

Wir werden nach einer Näherungslösung in den Knoten der berechneten suchen

xi x0 ih,

i 0,1,..., n mit

xn x0

Ich muss finden

ungefähr

Werte in

Gitterknoten

y i =y (x i ). Die Ergebnisse der Berechnungen werden in die Tabelle eingetragen

Integrieren

Gleichung für

Segment x i , x i

1, wir bekommen

x i 1

y i 1

yi f x, y dx .

Um alle Werte von y i zu finden, müssen Sie es irgendwie tun

Berechnen Sie das Integral auf der rechten Seite von (5.4). Durch die Anwendung verschiedener Quadraturformeln erhalten wir Methoden zur Lösung der Probleme (5.2), (5.3) unterschiedlicher Genauigkeitsordnungen.

Euler-Methode

Zur Berechnung des Integrals in (5.4) verwenden wir die einfachste Formel für linke Rechtecke erster Ordnung

Die explizite Euler-Methode hat die erste Näherungsordnung. Methodenimplementierung. Da x 0 , y 0 , f x 0 , y 0

sind bekannt, indem wir (5.5) sukzessive anwenden, bestimmen wir alle y i : y 1 y 0 hf x 0 , y 0 , y 2 y 1 hf x 1 , y 1 , ….

Geometrisch	Deutung
(Abb. 5.1.):
Unter Ausnutzung der Tatsache, dass die Lösung y x 0 y 0 am Punkt x 0 bekannt ist
und der Wert seiner Ableitung y x 0 dy				f x0 , y0 ,
			xx0

Schreiben Sie die Tangentengleichung an den Graphen der gewünschten Funktion
			f x0 , y0		y y0	f x0 , y0 x x0 .
genug			Schritt h	Ordinate		y1 y0 hf x0 , y0

Der Tangens, der durch Substitution des Wertes x 1 x 0 h auf der rechten Seite erhalten wird, sollte sich kaum von der Ordinate y x 1 der Lösung unterscheiden

y x des Cauchy-Problems. Daher kann der Punkt x 1 , y 1 des Schnittpunkts der Tangente mit der Geraden x x 1 näherungsweise genommen werden

für einen neuen Ausgangspunkt. Lassen Sie uns diesen Punkt noch einmal durchgehen.
Linie y y 1 f x 1 , y 1 x x 1 ,	was ungefähr widerspiegelt
Verhalten der Tangente an y x	verwenden x i 1 Rechtecke: f x, y dx hf xi 1 , yi 1 , dann implizite Euler-Methode y i 1 y i hf x i 1 , y i 1 , i 0,1,..., n 1. Diese Methode wird implizit genannt, weil sie berechnet werden soll Unbekannt Werte yi 1 y xi 1 von berühmt Bedeutung Im allgemeinen Fall ist es erforderlich, die Gleichung zu lösen nichtlinear. Auch die implizite Euler-Methode verfügt über eine Näherung erster Ordnung. Modifizierte Euler-Methode IN diese Methode Die Berechnung von y i 1 besteht aus zwei Schritten: ~ y i 1 y i hf x i , y i , y i 1 f xi , yi f xi 1 , yi 1 Dieses Schema wird auch Prädiktor-Korrektor-Methode genannt. Das Englischer Titel, was „richtig vorhersagen“ bedeutet. Tatsächlich wird in der ersten Stufe der Näherungswert mit der ersten Genauigkeitsordnung vorhergesagt, und zwar bei

Euler-Methode. Verbesserte Euler-Methode.
Klassische Runge-Kutta-Methode

Computermathematik und Differentialgleichungen kamen nicht vorbei! Heute lernen wir im Unterricht die Grundlagen. ungefähre Berechnungen In diesem Abschnitt der mathematischen Analyse werden dicke, sehr dicke Bücher zu diesem Thema vor Ihnen aufgeschlagen. Denn die Computermathematik hat die diffuse Seite noch nicht umgangen =)

Die in der Kopfzeile aufgeführten Methoden sind für ungefähr Lösungen finden Differentialgleichung, Fernbedienungssysteme, und eine kurze Beschreibung des häufigsten Problems lautet wie folgt:

In Betracht ziehen Differentialgleichung erster Ordnung für die Sie suchen möchten private Lösung entsprechend der Anfangsbedingung. Was bedeutet das? Das heißt, wir müssen finden Funktion (vermutlich vorhanden), was den gegebenen Unterschied erfüllt. Gleichung, deren Graph durch den Punkt verläuft.

Aber hier liegt das Problem: Die Variablen in der Gleichung können nicht getrennt werden. Der Wissenschaft ist kein Weg bekannt. Und wenn es möglich ist, dann klappt es unfassbar Integral. Es gibt jedoch eine besondere Lösung! Und hier helfen Methoden der Näherungsberechnung, die eine hohe Berechnung ermöglichen (und oft mit dem höchsten) um die Funktion in einem bestimmten Intervall genau zu „simulieren“.

Die Idee hinter den Euler- und Runge-Kutta-Methoden besteht darin, das Handlungsfragment zu ersetzen gestrichelten Linie, und jetzt werden wir herausfinden, wie diese Idee in die Praxis umgesetzt wird. Und wir werden nicht nur lernen, sondern auch direkt umsetzen =) Beginnen wir mit der historisch ersten und einfachsten Methode. …Möchten Sie sich mit einer komplexen Differentialgleichung befassen? Ich will auch nicht :)

Übung

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die der Anfangsbedingung entspricht, indem Sie die Euler-Methode für ein Segment mit einer Stufe verwenden. Erstellen Sie eine Tabelle und ein Diagramm der Näherungslösung.

Wir verstehen. Zuerst haben wir das Übliche Lineargleichung, die auf Standardmethoden gelöst werden kann, und daher ist es sehr schwierig, der Versuchung zu widerstehen, sofort die genaue Lösung zu finden:

- Wer möchte, kann überprüfen und sicherstellen, dass diese Funktion die Anfangsbedingung erfüllt und die Wurzel der Gleichung ist.

Was soll getan werden? Muss gefunden und gebaut werden gestrichelten Linie, was den Graphen der Funktion annähert zwischen. Da die Länge dieses Intervalls gleich eins ist und der Schritt , dann ist unser gestrichelten Linie wird aus 10 Segmenten bestehen:

außerdem Punkt ist bereits bekannt – es entspricht dem Anfangszustand. Darüber hinaus sind die „x“-Koordinaten anderer Punkte offensichtlich:

Links zu finden . Keiner Differenzierung Und Integration- nur Addition und Multiplikation! Jeder nächste „griechische“ Wert wird durch ein einfaches Verfahren aus dem vorherigen erhalten wiederkehrend Formel:

Wir stellen die Differentialgleichung in der Form dar:

Auf diese Weise:

Wir „entspannen“ uns vom Ausgangszustand:

Es begann:

Es ist praktisch, die Ergebnisse der Berechnungen in einer Tabelle einzutragen:

Und die Berechnungen selbst sollten in Excel automatisiert werden – denn in der Mathematik kommt es nicht nur auf ein siegreiches, sondern auch auf ein schnelles Ende an :)

Basierend auf den Ergebnissen der 2. und 3. Spalte zeichnen wir 11 Punkte und 10 Segmente, die benachbarte Punkte in der Zeichnung verbinden. Zum Vergleich werde ich die genaue Lösung darstellen :


Ein wesentlicher Nachteil der einfachen Euler-Methode besteht darin, dass der Fehler zu groß ist, und es ist leicht zu erkennen, dass sich der Fehler tendenziell anhäuft – je weiter wir uns vom Punkt entfernen, desto mehr überwiegend die Diskrepanz zwischen Annäherung und Wahrheit wird größer. Dies erklärt sich aus genau dem Prinzip, auf dem Euler seine Methode basierte: Segmente sind parallel relevant Tangente zum Graphen der Funktion an Punkten . Dieser Sachverhalt ist übrigens auch in der Zeichnung deutlich zu erkennen.

Wie kann die Näherung verbessert werden? Der erste Gedanke besteht darin, die Partition zu verfeinern. Teilen Sie das Segment beispielsweise in 20 Teile. Dann wird der Schritt sein: , und es ist ziemlich klar, dass eine gestrichelte Linie aus 20 Links die jeweilige Lösung viel genauer annähern wird. Mit demselben Excel wird es nicht schwer sein, 100-1000 und sogar eine Million (!) Zwischensegmente zu verarbeiten, aber fragen wir uns: Ist es möglich, die Methode QUALITATIV zu verbessern?

Aber bevor ich diese Frage offenlege, kann ich nicht umhin, auf den Namen einzugehen, der heute wiederholt erwähnt wurde. Lektüre Biographie von Leonhard Euler, man ist einfach erstaunt, wie unglaublich viel ein Mensch in seinem Leben leisten kann! Nur K.F. war vergleichbar. Gauß. ...Also werden wir versuchen, die Motivation zum Lernen und für neue Entdeckungen nicht zu verlieren :))

Verbesserte Euler-Methode

Betrachten Sie das gleiche Beispiel: eine Differentialgleichung, eine bestimmte Lösung, die die Bedingung erfüllt, ein Intervall und seine Aufteilung in 10 Teile
(ist die Länge jedes Teils).

Der Zweck der Verbesserung besteht darin, die „roten Quadrate“ der Polylinie näher an die entsprechenden „grünen Punkte“ der exakten Lösung zu bringen .

Und die Idee der Modifikation ist folgende: Die Segmente müssen parallel sein Tangente, die in den Graphen der Funktion gezeichnet werden nicht auf der linken Seite, aber „in der Mitte“ der Partitionierungsintervalle. Was natürlich die Qualität der Näherung verbessern wird.

Der Lösungsalgorithmus funktioniert auf die gleiche Weise, aber die Formel wird, wie Sie sich vorstellen können, komplizierter:
, Wo

Wir beginnen wieder von einer bestimmten Lösung aus zu tanzen und finden sofort das 1. Argument der „externen“ Funktion:

Jetzt finden wir unser „Monster“, das sich als nicht so gruselig herausstellte – beachten Sie, dass dies die GLEICHE Funktion ist , an anderer Stelle berechnet:

Wir multiplizieren das Ergebnis mit dem Partitionsschritt:

Auf diese Weise:

Der Algorithmus geht in die zweite Runde, ich bin nicht zu faul, ich schreibe es im Detail auf:

Betrachten Sie ein Paar und finden Sie das 1. Argument der „externen“ Funktion:

Wir berechnen und finden sein 2. Argument:

Berechnen wir den Wert:

und sein Produkt pro Schritt:

Es ist sinnvoll, Berechnungen in Excel durchzuführen (Nachdem ich die Formeln auf die gleiche Weise repliziert habe – siehe Video oben) und fassen Sie die Ergebnisse in einer Tabelle zusammen:


Zahlen sollten auf 4-5-6 Dezimalstellen gerundet werden. Oft liegt es an der Bedingung einer bestimmten Aufgabe direkte Angabe mit welcher Genauigkeit gerundet werden soll. Ich habe die stark „taillierten“ Werte auf 6 Zeichen gekürzt.

Nach den Ergebnissen der 2. und 3. Spalte (links) Lass uns bauen gestrichelten Linie, und zum Vergleich werde ich noch einmal eine Grafik der genauen Lösung geben :


Das Ergebnis hat sich deutlich verbessert! - Die roten Quadrate sind praktisch hinter den grünen Punkten der exakten Lösung „versteckt“.

Der Perfektion sind jedoch keine Grenzen gesetzt. Ein Kopf ist gut, aber zwei besser. Und noch einmal Deutsch:

Klassische Runge-Kutta-Methode 4. Ordnung

Sein Ziel ist es, eine noch stärkere Annäherung der „roten Quadrate“ an die „grünen Punkte“ zu erreichen. Wie nah, fragen Sie? In vielen, insbesondere physikalischen Studien, der 10. oder sogar der 50 präzise Komma. Nein, eine solche Genauigkeit kann erreicht werden und einfache Methode Euler, aber in WIE VIELE Teile muss die Lücke geteilt werden?! ...Obwohl dies mit moderner Rechenleistung kein Problem ist - Tausende chinesischer Heizer Raumschiff garantiert!

Und wie der Titel richtig vermuten lässt, bei der Anwendung der Runge-Kutta-Methode bei jedem Schritt Wir müssen den Wert der Funktion berechnen 4 Mal (im Gegensatz zur Doppelberechnung im vorherigen Absatz). Aber diese Aufgabe ist ziemlich anstrengend, wenn man die Chinesen anheuert. Jeder nächste „griechische“ Wert wird aus dem vorherigen abgeleitet – wir fangen die Formeln ein:
, Wo , Wo:

Bereit? Na dann fangen wir an :)


Auf diese Weise:

Die erste Zeile ist programmiert und ich kopiere die Formeln wie im Beispiel:


Ich hätte nicht gedacht, dass ich die Runge-Kutta-Methode so schnell beenden würde =)

Die Zeichnung ergibt keinen Sinn, da sie keinen Hinweis mehr hat. Machen wir einen analytischen Vergleich Genauigkeit Drei Methoden, denn wenn die genaue Lösung bekannt ist , dann ist es eine Sünde, nicht zu vergleichen. Die Funktionswerte an den Knotenpunkten werden einfach im selben Excel berechnet – sobald wir die Formel ausgefüllt und auf den Rest repliziert haben.

In der folgenden Tabelle fasse ich die Werte (für jede der drei Methoden) und die entsprechende zusammen absolute Fehler ungefähre Berechnungen:


Wie Sie sehen, liefert die Runge-Kutta-Methode bereits 4-5 korrekte Dezimalstellen im Vergleich zu 2 korrekten Dezimalstellen der verbesserten Euler-Methode! Und das ist kein Zufall:

– Der Fehler der „normalen“ Euler-Methode überschreitet nicht Schritt Partitionen. Und tatsächlich – schauen Sie sich die Fehlerspalte ganz links an – steht hinter den Kommas nur eine Null, was uns etwas über die Genauigkeit von 0,1 verrät.

– Fortschrittliche Euler-Methode garantiert Genauigkeit: (Sehen Sie sich die 2 Nullen nach dem Komma in der mittleren Fehlerspalte an.).

– Schließlich sorgt die klassische Runge-Kutta-Methode für Genauigkeit .

Die angegebenen Fehlerabschätzungen sind streng theoretisch fundiert.

Wie kann ich die Genauigkeit der Näherung NOCH verbessern? Die Antwort ist geradezu philosophisch: Qualität und/oder Quantität =) Insbesondere gibt es andere, genauere Modifikationen der Runge-Kutta-Methode. Der quantitative Weg besteht, wie bereits erwähnt, darin, den Schritt zu reduzieren, d.h. bei der Aufteilung eines Segments in eine größere Anzahl von Zwischensegmenten. Und mit zunehmender Zahl erscheint die gestrichelte Linie wird immer mehr wie ein exakter Lösungsgraph aussehen Und innerhalb der Grenze- passt dazu.

In der Mathematik heißt diese Eigenschaft Kurvenbegradigung. Übrigens (kleines Offtopic), bei weitem nicht alles lässt sich „begradigen“ – ich empfehle die Lektüre des interessantesten, bei dem eine Verkleinerung des „Studienbereichs“ keine Vereinfachung des Studiengegenstandes mit sich bringt.

Zufälligerweise habe ich nur eine Differentialgleichung analysiert und daher ein paar zusätzliche Bemerkungen gemacht. Was gibt es in der Praxis sonst noch zu beachten? Im Problemfall wird Ihnen möglicherweise ein anderes Segment und eine andere Partition angeboten, und manchmal kommt der folgende Wortlaut vor: „Suchen Sie nach der Methode ... ... im Intervall und teilen Sie es in 5 Teile auf.“ In diesem Fall müssen Sie den Partitionsschritt finden , und folgen Sie dann dem üblichen Lösungsschema. Die Anfangsbedingung sollte übrigens folgende Form haben: , also „x Null“ fällt in der Regel mit dem linken Ende des Segments zusammen. Im übertragenen Sinne „verlässt“ die gestrichelte Linie immer den Punkt.

Der unbestrittene Vorteil der betrachteten Methoden besteht darin, dass sie auf Gleichungen mit einer sehr komplexen rechten Seite anwendbar sind. Und ein absolutes Manko – nicht jedes Diffur lässt sich in dieser Form darstellen.

Aber fast alles in diesem Leben ist reparierbar! - Schließlich haben wir uns nur mit einem kleinen Teil des Themas befasst, und mein Satz über dicke, sehr dicke Bücher war überhaupt kein Scherz. Für die Lösungsfindung von DEs und ihren Systemen gibt es eine Vielzahl approximativer Methoden, bei denen unter anderem grundsätzlich unterschiedliche Ansätze zum Einsatz kommen. So kann beispielsweise eine bestimmte Lösung sein durch ein Potenzgesetz angenähert. Dies ist jedoch ein Artikel für einen anderen Abschnitt.

Ich hoffe, es ist mir gelungen, die langweilige Computermathematik abwechslungsreicher zu gestalten, und es hat Sie interessiert!

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!