Grundlegende Eigenschaften von Integralen. Grundlegende Eigenschaften des unbestimmten Integrals. Änderung der Variablen in einem bestimmten Integral

Die grundlegenden Integrationsformeln werden durch Umkehren der Formeln für Ableitungen erhalten. Bevor Sie mit dem Studium des betrachteten Themas beginnen, sollten Sie daher die Differenzierungsformeln für 1 Grundfunktionen wiederholen (dh sich an die Tabelle der Ableitungen erinnern).

Beim Kennenlernen des Konzepts einer Stammfunktion, der Definition eines unbestimmten Integrals und des Vergleichs der Differenzierungs- und Integrationsoperationen sollten die Schüler darauf achten, dass die Integrationsoperation mehrwertig ist, weil ergibt eine unendliche Menge von Stammfunktionen für das betrachtete Intervall. Tatsächlich ist jedoch das Problem, nur eine Stammfunktion zu finden, gelöst, da alle Stammfunktionen einer gegebenen Funktion unterscheiden sich voneinander durch einen konstanten Wert

wo C– beliebiger Wert 2 .

Fragen zur Selbstprüfung.

Definieren Sie eine Stammfunktion.

Was ist ein unbestimmtes Integral?

Was ist ein Integrand?

Was ist ein Integrand?

Geben Sie die geometrische Bedeutung der Familie der Stammfunktionen an.

6. Suchen Sie in der Familie die Kurve, die durch den Punkt verläuft

2. Eigenschaften des unbestimmten Integrals.

Tabelle der einfachen Integrale

Hier sollten die Schüler die folgenden Eigenschaften des unbestimmten Integrals lernen.

Eigentum 1. Die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden der 3. Funktion (per Definition)

Eigentum 2. Das Differential des Integrals ist gleich dem Integranden

diese. wenn das Vorzeichen des Differentials vor dem Vorzeichen des Integrals steht, heben sie sich gegenseitig auf.

Eigentum 3. Steht das Integralzeichen vor dem Differentialzeichen, dann heben sie sich gegenseitig auf und die Funktion wird um einen beliebigen konstanten Wert ergänzt

Eigentum 4. Die Differenz zweier Stammfunktionen derselben Funktion ist ein konstanter Wert.

Eigentum 5. Unter dem Integralzeichen kann ein konstanter Faktor entnommen werden

wo ABER ist eine konstante Zahl.

Diese Eigenschaft lässt sich übrigens leicht beweisen, indem man beide Teile der Gleichheit (2.4) unter Berücksichtigung der Eigenschaft 2 differenziert.

Eigentum 6. Das Integral der Summe (Differenz) einer Funktion ist gleich der Summe (Differenz) der Integrale dieser Funktionen (falls sie getrennt existieren)

Auch diese Eigenschaft lässt sich leicht durch Differentiation beweisen.

Natürliche Verallgemeinerung des Eigentums 6

. (2.6)

Betrachtet man die Integration als eine zur Differenzierung umgekehrte Aktion, kann man direkt aus der Tabelle der einfachsten Ableitungen die folgende Tabelle der einfachsten Integrale erhalten.

Tabelle der einfachen unbestimmten Integrale

1. , wobei (2.7)

2. , wobei (2.8)

4. , wobei (2.10)

9. , (2.15)

10. . (2.16)

Die Formeln (2.7) - (2.16) der einfachsten unbestimmten Integrale sollten auswendig gelernt werden. Sie zu kennen ist notwendig, aber bei weitem nicht ausreichend, um zu lernen, wie man sich integriert. Nachhaltige Integrationskompetenzen werden nur durch das Lösen einer ausreichend großen Anzahl von Problemen (in der Regel ca. 150 - 200 Beispiele unterschiedlicher Art) erreicht.

Unten sind Beispiele für die Vereinfachung von Integralen, indem sie in die Summe bekannter Integrale (2.7) - (2.16) aus der obigen Tabelle umgewandelt werden.

Beispiel 1.

.

Diese Eigenschaften werden verwendet, um Transformationen des Integrals durchzuführen, um es zu einem der elementaren Integrale und zur weiteren Berechnung zu bringen.

1. Die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

2. Das Differential des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

3. Das unbestimmte Integral des Differentials einer Funktion ist gleich der Summe dieser Funktion und einer beliebigen Konstante:

4. Aus dem Integralzeichen kann ein konstanter Faktor herausgenommen werden:

Außerdem ist a ≠ 0

5. Das Integral der Summe (Differenz) ist gleich der Summe (Differenz) der Integrale:

6. Die Eigenschaft ist eine Kombination der Eigenschaften 4 und 5:

Außerdem gilt a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Die Invarianzeigenschaft des unbestimmten Integrals:

Wenn, dann

8. Eigentum:

Wenn, dann

Tatsächlich ist diese Eigenschaft ein Spezialfall der Integration unter Verwendung der Variablenänderungsmethode, die im nächsten Abschnitt ausführlicher besprochen wird.

Betrachten Sie ein Beispiel:

Zuerst haben wir Eigenschaft 5 angewendet, dann Eigenschaft 4, dann haben wir die Stammfunktionstabelle verwendet und das Ergebnis erhalten.

Der Algorithmus unseres Online-Integralrechners unterstützt alle oben aufgeführten Eigenschaften und findet leicht eine detaillierte Lösung für Ihr Integral.

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Dieser Artikel befasst sich ausführlich mit den Haupteigenschaften eines bestimmten Integrals. Sie werden mit dem Konzept des Riemann- und Darboux-Integrals bewiesen. Die Berechnung eines bestimmten Integrals geht dank 5 Eigenschaften. Der Rest von ihnen wird verwendet, um verschiedene Ausdrücke auszuwerten.

Bevor wir zu den Haupteigenschaften des bestimmten Integrals übergehen, müssen wir uns vergewissern, dass a nicht größer als b ist.

Grundlegende Eigenschaften eines bestimmten Integrals

Bestimmung 1

Die Funktion y \u003d f (x) , definiert für x \u003d a, ähnelt der fairen Gleichheit ∫ a a f (x) d x \u003d 0.

Beweis 1

Hier sehen wir, dass der Wert des Integrals bei übereinstimmenden Grenzen gleich Null ist. Dies ist eine Folge des Riemann-Integrals, da jede Integralsumme σ für jede Partition auf dem Intervall [ a ; a ] und jede Auswahl von Punkten ζ i ist gleich Null, weil x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , also erhalten wir, dass der Grenzwert von Integralfunktionen Null ist.

Bestimmung 2

Für eine auf dem Segment integrierbare Funktion [ a ; b ] , die Bedingung ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x ist erfüllt.

Beweis 2

Mit anderen Worten, wenn Sie die obere und untere Integrationsgrenze stellenweise ändern, ändert der Wert des Integrals den Wert in das Gegenteil. Diese Eigenschaft wird dem Riemann-Integral entnommen. Die Nummerierung der Teilung des Segments beginnt jedoch ab dem Punkt x = b.

Bestimmung 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x wird für integrierbare Funktionen des Typs y = f (x) und y = g (x) verwendet, die auf dem Intervall [ a ; b] .

Beweis 3

Schreiben Sie die Integralsumme der Funktion y = f (x) ± g (x) für die Aufteilung in Segmente mit einer gegebenen Auswahl von Punkten ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = ∑ ich = 1 n f (ζ ich) x ich - x ich - 1 ± ∑ ich = 1 n G ζ ich x ich - x ich - 1 = σ f ± σ g

wobei σ f und σ g die integralen Summen der Funktionen y = f (x) und y = g (x) zum Aufteilen des Segments sind. Nach dem Grenzübergang bei λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 erhalten wir, dass lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Nach Riemanns Definition ist dieser Ausdruck äquivalent.

Bestimmung 4

Herausnehmen des konstanten Faktors aus dem Vorzeichen eines bestimmten Integrals. Eine integrierbare Funktion aus dem Intervall [ a ; b ] mit einem beliebigen Wert von k hat eine gültige Ungleichung der Form ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Beweis 4

Der Beweis der Eigenschaft eines bestimmten Integrals ist ähnlich wie der vorherige:

σ = ∑ ich = 1 n k f ζ ich (x ich - x ich - 1) = = k ∑ ich = 1 n f ζ ich (x ich - x ich - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ ein b k f (x) d x = k ∫ ein b f (x) d x

Bestimmung 5

Wenn eine Funktion der Form y = f (x) auf einem Intervall x mit a ∈ x , b ∈ x integrierbar ist, erhalten wir ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

Beweis 5

Die Eigenschaft gilt für c ∈ a ; b , für c ≤ a und c ≥ b . Der Beweis wird analog zu den vorherigen Eigenschaften geführt.

Bestimmung 6

Wenn eine Funktion aus dem Segment [ a ; b ] , dann ist dies für jedes interne Segment c machbar ; d ∈ ein; b.

Beweis 6

Der Beweis basiert auf der Darboux-Eigenschaft: Wenn Punkte zu einer bestehenden Partition eines Segments hinzugefügt werden, wird die untere Darboux-Summe nicht kleiner und die obere nicht größer.

Bestimmung 7

Wenn eine Funktion auf [ a ; b ] von f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 für jeden Wert von x ∈ a ; b , dann erhalten wir, dass ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Die Eigenschaft lässt sich anhand der Definition des Riemann-Integrals beweisen: Jede Integralsumme für beliebige Teilungspunkte der Strecke und Punkte ζ i unter der Bedingung, dass f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0, ist nichtnegativ.

Beweis 7

Sind die Funktionen y = f (x) und y = g (x) auf der Strecke [ a ; b ] , dann gelten die folgenden Ungleichungen als gültig:

∫ ein b f (x) d x ≤ ∫ ein b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ ein ; b ∫ ein b f (x) d x ≥ ∫ ein b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ ein ; b

Dank der Behauptung wissen wir, dass die Integration zulässig ist. Diese Folgerung wird beim Beweis anderer Eigenschaften verwendet.

Bestimmung 8

Für eine integrierbare Funktion y = f (x) aus dem Segment [ a ; b ] haben wir eine gültige Ungleichung der Form ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Beweis 8

Wir haben das - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Aus der vorherigen Eigenschaft haben wir erhalten, dass die Ungleichung Term für Term integriert werden kann und einer Ungleichung der Form - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x entspricht. Diese doppelte Ungleichung kann auch in anderer Form geschrieben werden: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Bestimmung 9

Wenn die Funktionen y = f (x) und y = g (x) aus dem Segment [ a ; b ] für g (x) ≥ 0 für jedes x ∈ a ; b erhalten wir eine Ungleichung der Form m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x , wobei m = m i n x ∈ a ; b f (x) und M = m ein x x ∈ ein ; b f (x) .

Beweis 9

Der Beweis erfolgt auf ähnliche Weise. M und m gelten als die größten und der kleinste Wert Funktion y = f (x) , definiert aus dem Segment [ a ; b ] , dann m ≤ f (x) ≤ M . Es ist notwendig, die doppelte Ungleichung mit der Funktion y = g (x) zu multiplizieren, was den Wert der doppelten Ungleichung der Form m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) ergibt. Es ist notwendig, es auf dem Segment [ a ; b ] , dann erhalten wir die zu beweisende Behauptung.

Folge: Für g (x) = 1 wird die Ungleichung m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) .

Erste Durchschnittsformel

Bestimmung 10

Für y = f (x) integrierbar auf dem Intervall [ a ; b ] mit m = m ich n x ∈ a ; b f (x) und M = m ein x x ∈ ein ; b f (x) es gibt eine Zahl μ ∈ m ; M , was zu ∫ a b f (x) d x = μ · b - a passt.

Folge: Wenn die Funktion y = f (x) vom Segment [ a ; b ] , dann gibt es eine solche Zahl c ∈ a ; b , die die Gleichheit ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a erfüllt.

Die erste Formel des Durchschnittswertes in verallgemeinerter Form

Bestimmung 11

Wenn die Funktionen y = f (x) und y = g (x) aus dem Segment [ a ; b ] mit m = m ich n x ∈ a ; b f (x) und M = m ein x x ∈ ein ; b f (x) , und g (x) > 0 für jeden Wert von x ∈ a ; b. Daraus folgt, dass es eine Zahl μ ∈ m gibt; M , die die Gleichheit ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x erfüllt.

Zweite Mittelwertformel

Bestimmung 12

Wenn die Funktion y = f (x) aus dem Segment [ a ; b ] , und y = g (x) monoton ist, dann gibt es eine Zahl, die c ∈ a ; b , wobei wir eine faire Gleichheit der Form ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x erhalten

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Stammfunktion und unbestimmtes Integral.

Eine Stammfunktion f(x) auf dem Intervall (a; b) ist eine solche Funktion F(x), dass Gleichheit für jedes x aus einem gegebenen Intervall gilt.

Wenn wir berücksichtigen, dass die Ableitung der Konstanten C gleich Null ist, dann ist die Gleichheit . Somit hat die Funktion f(x) einen Satz von Stammfunktionen F(x)+C für eine beliebige Konstante C, und diese Stammfunktionen unterscheiden sich voneinander durch einen beliebigen konstanten Wert.

Die ganze Menge der Stammfunktionen der Funktion f(x) heißt das unbestimmte Integral dieser Funktion und wird bezeichnet .

Der Ausdruck heißt Integrand und f(x) heißt Integrand. Der Integrand ist das Differential der Funktion f(x).

Das Auffinden einer unbekannten Funktion durch ihr gegebenes Differential wird als unbestimmte Integration bezeichnet, da das Ergebnis der Integration nicht eine Funktion F(x) ist, sondern die Menge ihrer Stammfunktionen F(x)+C.

Tabellenintegrale

Die einfachsten Eigenschaften von Integralen

1. Die Ableitung des Integrationsergebnisses ist gleich dem Integranden.

2. Das unbestimmte Integral des Differentials einer Funktion ist gleich der Summe der Funktion selbst und einer beliebigen Konstante.

3. Der Koeffizient kann aus dem Vorzeichen des unbestimmten Integrals genommen werden.

4. Das unbestimmte Integral der Summe/Differenz von Funktionen ist gleich der Summe/Differenz der unbestimmten Funktionsintegrale.

Zwischengleichungen der ersten und zweiten Eigenschaften des unbestimmten Integrals sind zur Verdeutlichung angegeben.

Um die dritte und vierte Eigenschaft zu beweisen, genügt es, die Ableitungen der rechten Seiten der Gleichungen zu finden:

Diese Ableitungen sind gleich den Integranden, was der Beweis aufgrund der ersten Eigenschaft ist. Es wird auch in den letzten Übergängen verwendet.

Das Integrationsproblem ist also das inverse Problem der Differentiation, und zwischen diesen Problemen besteht ein sehr enger Zusammenhang:

Die erste Eigenschaft ermöglicht die Überprüfung der Integration. Um die Richtigkeit der durchgeführten Integration zu überprüfen, genügt es, die Ableitung des erhaltenen Ergebnisses zu berechnen. Wenn sich herausstellt, dass die als Ergebnis der Differentiation erhaltene Funktion gleich dem Integranden ist, bedeutet dies, dass die Integration korrekt durchgeführt wurde;

Die zweite Eigenschaft des unbestimmten Integrals erlaubt es uns, seine Stammfunktion aus dem bekannten Differential einer Funktion zu finden. Auf dieser Eigenschaft basiert die direkte Berechnung unbestimmter Integrale.

1.4 Invarianz von Integrationsformen.

Invariante Integration ist eine Art der Integration für Funktionen, deren Argumente Elemente einer Gruppe oder Punkte eines homogenen Raums sind (jeder Punkt eines solchen Raums kann auf einen anderen übertragen werden angegebene Aktion Gruppen).

Die Funktion f(x) wird auf die Berechnung des Integrals der Differentialform f.w reduziert, wobei

Eine explizite Formel für r(x) ist unten angegeben. Die Vereinbarungsbedingung hat die Form .

hier bedeutet Tg den Verschiebungsoperator auf X mit gOG: Tgf(x)=f(g-1x). Sei X=G eine Topologie, eine Gruppe, die durch Linksverschiebungen auf sich selbst wirkt. Ich und. existiert genau dann, wenn G lokal kompakt ist (insbesondere existiert auf unendlich dimensionalen Gruppen kein Int.). Für eine Teilmenge von I. und. Die charakteristische Funktion cA (gleich 1 auf A und 0 außerhalb von A) definiert das linke Haar-Maß m(A). Die definierende Eigenschaft dieses Maßes ist seine Invarianz unter Linksverschiebungen: m(g-1A)=m(A) für alle gОG. Das linke Haar-Maß auf einer Gruppe ist bis zu einem festgelegten Skalarfaktor eindeutig definiert. Wenn das Haarmaß m bekannt ist, dann I. und. Funktion f ist durch die Formel gegeben . Das rechte Haarmaß hat ähnliche Eigenschaften. Es wird ein stetiger Homomorphismus (Abbildung, die die Gruppeneigenschaft bewahrt) DG der Gruppe G in die Gruppe (bezüglich Multiplikation) gesteckt. Zahlen für die

wobei dmr und dmi die rechten und linken Haarmaße sind. Die Funktion DG(g) wird aufgerufen. Modul der Gruppe G. Wenn , dann wird die Gruppe G aufgerufen. unimodular; in diesem Fall sind die rechten und linken Haarmaße gleich. Kompakte, halbeinfache und nilpotente (insbesondere kommutative) Gruppen sind unimodular. Wenn G eine n-dimensionale Lie-Gruppe ist und q1,...,qn eine Basis im Raum der linksinvarianten 1-Formen auf G ist, dann ist das linke Haar-Maß auf G durch die n-Form gegeben. In lokalen Koordinaten zur Berechnung

qi bildet, können Sie jede Matriximplementierung der Gruppe G verwenden: die Matrix 1-Form g-1dg ist linksinvariant, und ihr Koef. sind linksinvariante skalare 1-Formen, aus denen die gewünschte Basis gewählt wird. Beispielsweise ist die vollständige Matrixgruppe GL(n, R) unimodular und das Haar-Maß darauf ist durch eine Form gegeben. Lassen X=G/H ist ein homogener Raum, für den die lokal kompakte Gruppe G eine Transformationsgruppe und die abgeschlossene Untergruppe H ein gewisser Stabilisator ist. Damit auf X ein I.I. Dies gilt insbesondere, wenn H kompakt oder halbeinfach ist. Vollständige Theorie von I. und. existiert nicht auf unendlich dimensionalen Mannigfaltigkeiten.

Änderung von Variablen.