Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch Rotation um die Achse entsteht. Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers? Berechnung des Volumens eines Körpers, der durch die Drehung einer flachen Figur um eine Achse entsteht
Lassen Sie die Linie begrenzt sein. Die ebene Figur wird im Polarkoordinatensystem angegeben.
Beispiel: Umfang berechnen: x 2 +y 2 =R 2
Berechnen Sie die Länge des 4. Teils des Kreises im I-Quadranten (х≥0, y≥0):
Wenn die Gleichung der Kurve in der Parameterform angegeben ist: 
, die Funktionen x(t), y(t) sind zusammen mit ihren Ableitungen auf der Strecke [α,β] definiert und stetig. Ableitung, dann eine Substitution in der Formel vornehmen: 
und angesichts dessen 
wir bekommen 
Fügen Sie einen Multiplikator hinzu 
unter dem Wurzelzeichen und wir bekommen es endlich 
Hinweis: Gegeben ist eine ebene Kurve. Sie können auch eine durch Parameter im Raum gegebene Funktion betrachten, dann wird die Funktion z=z(t) hinzugefügt und die Formel erstellt 
Beispiel: Berechnen Sie die Länge des Astroiden anhand der Gleichung: x=a*cos 3 (t), y=a*sin 3 (t), a>0
Berechnen Sie die Länge des 4. Teils:
nach der Formel 
Die Länge des Bogens einer ebenen Kurve, angegeben im Polarkoordinatensystem:
Die Gleichung der Kurve sei im Polarkoordinatensystem angegeben: 
ist eine stetige Funktion, zusammen mit ihrer Ableitung auf dem Segment [α,β].
Formeln für den Übergang von Polarkoordinaten:
als parametrisch betrachtet werden:
ϕ - Parameter gemäß f-le 
2
Beispiel: Kurvenlänge berechnen: 
>0
Z-Richtung: Halben Umfang berechnen:
Das Volumen eines Körpers, berechnet aus der Querschnittsfläche des Körpers.
Gegeben sei ein durch eine geschlossene Fläche begrenzter Körper und die Fläche eines beliebigen Abschnitts dieses Körpers sei durch eine Ebene senkrecht zur Ox-Achse bekannt. Dieser Bereich hängt von der Position der Schnittebene ab.
Um das Volumen eines solchen Körpers zu bestimmen, teilen wir ihn in Schichten auf, indem wir Sekantenebenen verwenden, die senkrecht zur Ox-Achse stehen und diese punktuell schneiden. In jedem Teilintervall Volumen des Revolutionskörpers: Der Körper soll durch Drehung um die Ox-Achse eines krummlinigen Trapezes gebildet werden, das durch den Graphen der Funktion y=f(x), die Ox-Achse und die Geraden x=a, x=b begrenzt wird. Sei die Funktion y=f(x) definiert und auf dem Segment stetig und darauf nicht negativ, dann ist der Schnitt dieses Körpers durch eine Ebene senkrecht zu Ox ein Kreis mit dem Radius R=y(x)=f(x ). Die Fläche des Kreises S (x) = Py 2 (x) = P 2. Ersetzen der Formel Wenn sich jedoch ein krummliniges Trapez um die Oy-Achse dreht, begrenzt durch einen auf der Funktion stetigen Graphen, dann ist das Volumen eines solchen Rotationskörpers: Das gleiche Volumen kann mit der Formel berechnet werden: Durch Ändern der Variablen erhalten wir: Wenn die Gerade durch parametrische Gleichungen gegeben ist: y (α)= c , y (β)= d . Wenn wir die Änderung y = y (t) vornehmen, erhalten wir: Berechnen Sie Rotationskörper um die y-Achse der Parabel. 2) Berechnen Sie V des Rotationskörpers um die OX-Achse eines krummlinigen Trapezes, das durch eine gerade Linie y = 0, einen Bogen, begrenzt wird Oberfläche eines Rotationskörpers Die gegebene Fläche sei durch die Drehung der Kurve y=f(x) um die x-Achse entstanden. Es ist notwendig, S dieser Oberfläche bei zu bestimmen. Die Funktion y \u003d f (x) sei eindeutig und stetig und an allen Punkten des Segments [a; c] nicht negativ und nicht negativ. Zeichnen wir Akkorde, deren Längen wir jeweils bezeichnen (n-Akkorde) nach dem Lagrange-Theorem: Die Oberfläche der gesamten umschriebenen gestrichelten Linie ist gleich Definition: Die Grenze dieser Summe, wenn sie endlich ist, wenn das größte Glied der Polylinie max ist, wird als Fläche der betrachteten Rotationsfläche bezeichnet. Es kann bewiesen werden, dass die hundertste Grenze der Summe gleich der Grenze der integrierten Summe für p-th ist Formel für die S-Oberfläche eines Rotationskörpers = S der Oberfläche, die durch die Drehung des Kurvenbogens x=g(x) um die Oy-Achse gebildet wird Kontinuierlich mit seiner Ableitung Wenn die Kurve parametrisch durch ur-mi gegeben istX=x(t) ,j=
T(T)
FunktionenX’(T),
j’(T),
X(T),
j(T) sind auf dem Intervall [ definiertA;
B],
X(A)=
A,
X(B)=
BDann nehmen Sie die Substitutionsänderung vorX=
X(T)
Wenn die Kurve parametrisch gegeben ist und wir die Formel ändern, erhalten wir: Wenn die Gleichung der Kurve im Polarkoordinatensystem angegeben ist SDie Rotationsfläche um die Achse wird gleich sein
Außer Ermitteln der Fläche einer flachen Figur mithilfe eines bestimmten Integrals (siehe 7.2.3.) Die wichtigste Anwendung des Themas ist Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers. Der Stoff ist einfach, aber der Leser muss vorbereitet sein: Man muss ihn lösen können unbestimmte Integrale mittlere Komplexität und wenden Sie die Newton-Leibniz-Formel an bestimmtes Integral, n Darüber hinaus sind ausgeprägte Fähigkeiten im Zeichnen erforderlich. Im Allgemeinen gibt es viele interessante Anwendungen in der Integralrechnung; mit einem bestimmten Integral können Sie die Fläche einer Figur, das Volumen eines Rotationskörpers, die Länge eines Bogens und die Oberfläche von berechnen Der Körper und vieles mehr. Stellen Sie sich eine flache Figur auf der Koordinatenebene vor. Repräsentiert? ... Jetzt kann diese Figur auch gedreht werden, und zwar auf zwei Arten: - um die x-Achse ;
- um die y-Achse .
Schauen wir uns beide Fälle an. Besonders interessant ist die zweite Rotationsmethode, die die größten Schwierigkeiten bereitet, aber tatsächlich ist die Lösung fast die gleiche wie bei der häufigeren Rotation um die x-Achse. Beginnen wir mit der beliebtesten Rotationsart. Berechnung des Volumens eines Körpers, der durch die Drehung einer flachen Figur um eine Achse entsteht OCHSE
Beispiel 1 Berechnen Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie die durch Linien begrenzte Figur um die Achse drehen. Lösung: Wie beim Problem, das Gebiet zu finden, Die Lösung beginnt mit der Zeichnung einer flachen Figur. Das heißt, im Flugzeug XOY Es ist notwendig, eine durch Linien begrenzte Figur zu konstruieren, wobei nicht zu vergessen ist, dass die Gleichung die Achse definiert. Die Zeichnung hier ist ziemlich einfach: Die gewünschte flache Figur ist blau schattiert, sie ist es, die sich um die Achse dreht. Durch die Rotation entsteht so eine leicht eiförmige fliegende Untertasse mit zwei scharfen Spitzen auf der Achse. OCHSE, symmetrisch um die Achse OCHSE. Tatsächlich hat der Körper einen mathematischen Namen, schauen Sie im Nachschlagewerk nach. Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers? Wenn der Körper durch Drehung um eine Achse entstehtOCHSE, es ist gedanklich in parallele Schichten geringer Dicke unterteilt dx die senkrecht zur Achse stehen OCHSE. Das Volumen des gesamten Körpers ist offensichtlich gleich der Summe der Volumina solcher Elementarschichten. Jede Schicht hat, wie eine runde Zitronenscheibe, eine niedrige Zylinderhöhe dx und mit Basisradius F(X). Dann ist das Volumen einer Schicht das Produkt der Grundfläche π F 2 auf die Höhe des Zylinders ( dx), oder π∙ F 2 (X)∙dx. Und die Fläche des gesamten Rotationskörpers ist die Summe der Elementarvolumina oder das entsprechende bestimmte Integral. Das Volumen eines Rotationskörpers lässt sich nach folgender Formel berechnen: Wie die Integrationsgrenzen „a“ und „be“ eingestellt werden, lässt sich anhand der fertigen Zeichnung leicht erraten. Funktion... was ist diese Funktion? Schauen wir uns die Zeichnung an. Die flache Figur wird von oben durch den Parabelgraphen begrenzt. Dies ist die Funktion, die in der Formel impliziert ist. Bei praktischen Aufgaben kann sich manchmal eine flache Figur unterhalb der Achse befinden OCHSE. Daran ändert sich nichts – die Funktion in der Formel wird quadriert: F 2 (X), auf diese Weise, Das Volumen eines Rotationskörpers ist immer nicht negativ, was durchaus logisch ist. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers mit dieser Formel: Wie bereits erwähnt, ist das Integral fast immer einfach, Hauptsache man muss vorsichtig sein. Antwort: In der Antwort muss die Dimension angegeben werden – Kubikeinheiten. Das heißt, in unserem Rotationskörper gibt es ungefähr 3,35 „Würfel“. Warum genau kubisch Einheiten? Weil es die universellste Formulierung ist. Es können Kubikzentimeter sein, es können Kubikmeter sein, es können Kubikkilometer sein usw., so viele kleine grüne Männchen passen Ihrer Fantasie nach in eine fliegende Untertasse. Beispiel 2 Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um eine Achse entsteht OCHSE durch Linien begrenzte Figur , , . Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Beispiel 3 Berechnen Sie das Volumen des Körpers, den Sie durch Drehung um die Abszissenachse der durch die Linien , und begrenzten Figur erhalten. Lösung: Stellen wir in der Zeichnung eine flache Figur dar, die durch die Linien , , , begrenzt ist, und vergessen wir dabei nicht die Gleichung X= 0 gibt die Achse an OY: Die gewünschte Figur ist blau schattiert. Wenn es sich um die Achse dreht OCHSE Es entsteht ein flacher, eckiger Bagel (eine Unterlegscheibe mit zwei konischen Flächen). Das Volumen des Rotationskörpers wird berechnet als Körpervolumenunterschied. Schauen wir uns zunächst die rot eingekreiste Figur an. Wenn es sich um die Achse dreht OCHSE Es entsteht ein Kegelstumpf. Bezeichnen wir das Volumen dieses Kegelstumpfes als V 1 . Betrachten Sie die grün eingekreiste Figur. Wenn wir diese Figur um die Achse drehen OCHSE, dann erhält man auch einen Kegelstumpf, nur etwas kleiner. Bezeichnen wir sein Volumen mit V 2 . Offensichtlich der Lautstärkeunterschied V = V 1 - V 2 ist das Volumen unseres „Donuts“. Wir verwenden die Standardformel, um das Volumen eines Rotationskörpers zu ermitteln: 1) Die rot eingekreiste Figur wird von oben durch eine gerade Linie begrenzt, daher: 2) Die grün eingekreiste Figur wird von oben durch eine gerade Linie begrenzt, daher: 3) Das Volumen des gewünschten Rotationskörpers: Antwort: Es ist merkwürdig, dass in diesem Fall die Lösung anhand der Schulformel zur Berechnung des Volumens eines Kegelstumpfes überprüft werden kann. Die Entscheidung selbst wird oft verkürzt, etwa so: Definition 3.
Ein Rotationskörper ist ein Körper, der durch Drehen einer flachen Figur um eine Achse entsteht, die die Figur nicht schneidet und mit ihr in derselben Ebene liegt. Die Rotationsachse kann die Figur auch schneiden, wenn sie die Symmetrieachse der Figur ist. Satz 2.
Nachweisen.
Für einen solchen Körper ist der Abschnitt mit der Abszisse Wenn die Zahl durch die Graphen zweier stetiger Funktionen begrenzt ist Beispiel 3
Berechnen Sie das Volumen eines Torus, der durch Drehen eines von einem Kreis begrenzten Kreises entsteht R Gewünschte Lautstärke (Der Graph des Integranden ist der obere Halbkreis, daher ist das oben geschriebene Integral die Fläche des Halbkreises). Beispiel 4
Parabelsegment mit Sockel R Satz 3.
Sei ein krummliniges Trapez, das durch den Graphen einer stetigen nicht negativen Funktion begrenzt wird Der durch die Drehung eines solchen Rechtecks entstehende Zylinder wird entlang der Erzeugenden geschnitten und entfaltet. Wir erhalten ein „fast“ Parallelepiped mit den Abmessungen: Um exakte Gleichheit zu erreichen, müssen wir bis zur Grenze gehen Bemerkung 1.
In den Sätzen 2 und 3 ist die Bedingung Beispiel 5
Parabelsegment (Basis Bemerkung 2.
Wenn die krummlinige Grenze eines krummlinigen Trapezes durch die parametrischen Gleichungen gegeben ist Beispiel 6
Die Figur wird durch den ersten Bogen der Zykloide begrenzt Lösung.
1) Allgemeine Formel 2) Allgemeine Formel Wir ermutigen die Schüler, alle Berechnungen selbst durchzuführen. Bemerkung 3.
Lassen Sie einen krummlinigen Sektor durch eine durchgehende Linie begrenzt werden Beispiel 7
Teil einer Figur, begrenzt durch eine Niere Aufgaben
für eine unabhängige Lösung. 1. Ein Kreissegment, dessen Basis 2. Finden Sie das Volumen eines Rotationsparaboloids, dessen Basis 3. Von einem Asteroiden begrenzte Figur 4. Durch Linien begrenzte Figur Verwenden von Integralen zur Bestimmung der Volumina von Revolutionskörpern Der praktische Nutzen der Mathematik liegt darin begründet, dass ohne Spezifische mathematische Kenntnisse erschweren das Verständnis der Prinzipien des Geräts und des Einsatzes moderner Technologie. Jeder Mensch muss in seinem Leben ziemlich komplexe Berechnungen durchführen, häufig verwendete Geräte verwenden, die erforderlichen Formeln in Nachschlagewerken finden und einfache Algorithmen zur Lösung von Problemen erstellen. In der modernen Gesellschaft sind immer mehr Fachgebiete, die ein hohes Bildungsniveau erfordern, mit der direkten Anwendung der Mathematik verbunden. So wird Mathematik für ein Schulkind zu einem beruflich bedeutsamen Fach. Die führende Rolle kommt der Mathematik bei der Bildung des algorithmischen Denkens zu, sie fördert die Fähigkeit, nach einem vorgegebenen Algorithmus zu handeln und neue Algorithmen zu entwerfen. Während ich mich mit dem Thema der Verwendung des Integrals zur Berechnung der Volumina von Rotationskörpern befasse, schlage ich vor, dass Schüler in Wahlfächern sich mit dem Thema „Volumina von Revolutionskörpern unter Verwendung von Integralen“ befassen. Hier einige Richtlinien für den Umgang mit diesem Thema: 1. Die Fläche einer flachen Figur. Aus dem Studium der Algebra wissen wir, dass Probleme praktischer Natur zum Konzept eines bestimmten Integrals führten. Eine davon ist die Berechnung der Fläche einer flachen Figur, die durch eine durchgehende Linie y=f(x) begrenzt wird (wobei f(x)DIV_ADBLOCK243">). Berechnen Sie die Fläche eines krummlinigen Trapezes mit der Formel, wenn die Basis des Trapezes auf der x-Achse liegt, oder mit der Formel https://pandia.ru/text/77/502/images/image004_49.jpg" width= „526“ height="262 src="> https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">. Um das Volumen eines Rotationskörpers zu ermitteln, der durch die Drehung eines krummlinigen Trapezes um die Ox-Achse, begrenzt durch eine gestrichelte Linie y=f(x), die Ox-Achse, die geraden Linien x=a und x=b, gebildet wird, berechnen wir nach der Formel https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y 3. Das Volumen des Zylinders. https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Der Kegel entsteht durch Drehen rechtwinkliges Dreieck ABC(C=90) um die Ox-Achse, auf der das Bein AC liegt. Das Segment AB liegt auf der Linie y=kx+c, wobei https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">. Sei a=0, b=H (H ist die Höhe des Kegels), dann Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">. 5. Das Volumen eines Kegelstumpfes. Durch Drehen kann ein Kegelstumpf erhalten werden rechteckiges Trapez ABCD (CDOx) um die Ox-Achse. Da die Gerade durch den Punkt A (0; r) geht. Somit sieht die gerade Linie wie folgt aus: https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src="> Sei a=0, b=H (H ist die Höhe des Kegelstumpfes), dann https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = 6. Das Volumen des Balls. Den Ball erhält man, indem man einen Kreis mit Mittelpunkt (0;0) um die x-Achse dreht. Der Halbkreis über der x-Achse ergibt sich aus der Gleichung I. Bände der Revolutionskörper. Studieren Sie zunächst Kapitel 508. Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch die Drehung der Ellipse um die x-Achse entsteht. Auf diese Weise, 530. Finden Sie die Fläche der Oberfläche, die durch die Drehung des Sinusbogens y \u003d sin x vom Punkt X \u003d 0 zum Punkt X \u003d It um die Achse Ox gebildet wird. 531. Berechnen Sie die Oberfläche eines Kegels mit der Höhe h und dem Radius r. 532. Berechnen Sie die Oberfläche, die gebildet wird durch Drehung des Asteroiden x3 -) - y* - a3 um die x-Achse. 533. Berechnen Sie die Fläche der Oberfläche, die durch die Umkehrung der Schleife der Kurve 18 y-x(6-x)r um die x-Achse gebildet wird. 534. Finden Sie die Oberfläche des Torus, der durch die Drehung des Kreises X2 - j - (y-3)2 = 4 um die x-Achse entsteht. 535. Berechnen Sie die Fläche der Oberfläche, die durch die Drehung des Kreises X = a cost, y = asint um die Ox-Achse gebildet wird. 536. Berechnen Sie die Fläche der Oberfläche, die durch die Drehung der Schleife der Kurve x = 9t2, y = St - 9t3 um die Achse Ox gebildet wird. 537. Finden Sie die Fläche der Oberfläche, die durch die Drehung des Kurvenbogens x = e * sint, y = el cost um die Achse Ox gebildet wird von t = 0 bis t = -. 538. Zeigen Sie, dass die durch die Drehung des Zykloidenbogens x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) um die Achse Oy erzeugte Fläche gleich 16 u2 o2 ist. 539. Finden Sie die Fläche, die Sie durch Drehen der Niere um die Polachse erhalten. 540. Finden Sie die Fläche der Oberfläche, die durch die Drehung der Lemniskate entsteht Zusätzliche Aufgaben für Kapitel IV Bereiche mit ebenen Figuren 541. Finden Sie die gesamte Fläche einer durch eine Kurve begrenzten Region 542. Finden Sie die Fläche der durch die Kurve begrenzten Region Und Achse Oh. 543. Finden Sie den Teil der Fläche der Region, der sich im ersten Quadranten befindet und durch die Kurve begrenzt wird l Koordinatenachsen. 544. Finden Sie die Fläche des darin enthaltenen Bereichs Schleifen: 545. Finden Sie die Fläche der Region, die von einer Schleife der Kurve begrenzt wird: 546. Finden Sie die Fläche des in der Schleife enthaltenen Bereichs: 547. Finden Sie die Fläche der durch die Kurve begrenzten Region 548. Finden Sie die Fläche der durch die Kurve begrenzten Region 549. Finden Sie die Fläche der Region, die durch die Oxr-Achse begrenzt wird gerade und kurve 
Der gesamte Körper sei zwischen zwei Ebenen eingeschlossen, die senkrecht zur x-Achse stehen und diese in den Punkten x=a, x=b (a) schneiden 
. Lass uns aussuchen
und für jeden Wert i=1,….,n konstruieren wir einen zylindrischen Körper, dessen Erzeugende parallel zu Ox verläuft, und der Leitfaden ist die Kontur des Körperabschnitts durch die Ebene x=С i , das Volumen von ein solcher Elementarzylinder mit einer Grundfläche S=C i und einer Höhe ∆х i . V i =S(C i)∆x i . Das Volumen aller dieser Elementarzylinder beträgt 
. Der Grenzwert dieser Summe, sofern er existiert und bei max. ∆х 0 endlich ist, wird als Volumen des gegebenen Körpers bezeichnet.
. Da V n die Integralsumme für eine auf einem Segment stetige Funktion S(x) ist, existiert die angegebene Grenze (t-ma der Existenz) und wird durch def ausgedrückt. Integral.
- das Volumen des Körpers, berechnet aus der Querschnittsfläche.
Wir erhalten eine Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers um die Ox-Achse:
. Wenn die Gerade durch parametrische Gleichungen gegeben ist:
.
(mit Mittelpunkt bei Punkt(1;0) und Radius=1), mit .
.
.
, Achse 
und gerade Liniensegmente 
Und 
dreht sich um eine Achse 
. Dann kann das Volumen des resultierenden Rotationskörpers mit der Formel berechnet werden
(2)
ist ein Kreis mit Radius 
, Bedeutet 
und Formel (1) liefert das gewünschte Ergebnis.
Und 
und Liniensegmente 
Und 
, darüber hinaus 
Und 
, dann erhalten wir beim Drehen um die Abszissenachse einen Körper, dessen Volumen
um die x-Achse.
Lösung.
Der angegebene Kreis wird nach unten durch den Graphen der Funktion begrenzt 
, und darüber - 
. Die Differenz der Quadrate dieser Funktionen:
, und Höhe 
, dreht sich um die Basis. Berechnen Sie das Volumen des resultierenden Körpers („Zitrone“ von Cavalieri).
Lösung.
Platzieren Sie die Parabel wie in der Abbildung gezeigt. Dann ist es die Gleichung 
, Und 
. Lassen Sie uns den Wert des Parameters ermitteln 
:
. Also die gewünschte Lautstärke:
, Achse 
und gerade Liniensegmente 
Und 
, darüber hinaus 
, dreht sich um eine Achse 
. Dann kann das Volumen des resultierenden Rotationskörpers durch die Formel ermittelt werden
(3)
Beweisidee.
Teilen des Segments 
Punkte 
, in Teile und zeichne gerade Linien 
. Das gesamte Trapez wird in Streifen zerlegt, die man ungefähr als Rechtecke mit einer Grundfläche betrachten kann 
und Höhe 
.
,
Und 
. Sein Volumen 
. Für das Volumen eines Rotationskörpers erhalten wir also eine ungefähre Gleichheit
. Die oben geschriebene Summe ist die Integralsumme für die Funktion 
, daher erhalten wir im Grenzfall das Integral aus Formel (3). Der Satz ist bewiesen.
kann weggelassen werden: Formel (2) ist im Allgemeinen unempfindlich gegenüber dem Vorzeichen 
, und in Formel (3) reicht es aus 
ersetzt durch 
.
, Höhe 
) dreht sich um die Höhe. Finden Sie das Volumen des resultierenden Körpers.
Lösung.
Ordnen Sie die Parabel wie in der Abbildung gezeigt an. Und obwohl die Rotationsachse die Figur kreuzt, ist sie – die Achse – die Symmetrieachse. Daher sollte nur die rechte Hälfte des Segments berücksichtigt werden. Parabelgleichung 
, Und 
, Bedeutet 
. Wir haben für das Volumen:
,
,
Und 
,
dann können die Formeln (2) und (3) mit der Ersetzung verwendet werden 
An 
Und 
An 
wenn es sich ändert T aus 
Vor 
.
,
,
und die Abszissenachse. Finden Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie diese Figur um Folgendes drehen: 1) die Achse 
; 2) Achsen 
.
In unserem Fall:
Zu unserer Figur:
und Strahlen 
,
, dreht sich um die Polachse. Das Volumen des resultierenden Körpers kann mit der Formel berechnet werden.
, außerhalb des Kreises liegend 
, dreht sich um die Polachse. Finden Sie das Volumen des resultierenden Körpers.
Lösung.
Beide Linien und damit die Figur, die sie begrenzen, sind symmetrisch zur Polarachse. Daher ist es notwendig, nur den Teil zu berücksichtigen, für den 
. Die Kurven schneiden sich bei 
Und
bei 
. Darüber hinaus kann die Zahl als Differenz zweier Sektoren betrachtet werden und somit das Volumen als Differenz zweier Integrale berechnet werden. Wir haben:
, Höhe 
, dreht sich um die Basis. Finden Sie das Volumen des Rotationskörpers.
, und die Höhe ist 
.
,
dreht sich um die x-Achse. Finden Sie das Volumen des Körpers, das in diesem Fall erhalten wird.
Und 
dreht sich um die x-Achse. Finden Sie das Volumen des Rotationskörpers.
Das Segment AB liegt auf der Linie y=kx+c, wobei 
, c=r.
.
https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.
um die Polarachse.
Und Achse Oh.
Und Achse Oh.
Und Achse Oh.