기하학적 모델의 유형 및 속성. 기하학적 모델의 유형, 속성, 모델의 매개변수화. 기하학적 모델의 주요 유형
기하학적 모델–
외부 표지판에 대한 아이디어
실제 객체.
기하학 컴퓨터
모델 - 보기
정보 모델
컴퓨터 사용
차트.
기하학적 모델링은 다음과 같이 세분화됩니다.
영형영형
영형
프레임 디자인 - 기하학
모델은 제한된 세트로 제작되었습니다.
그래픽 프리미티브(세그먼트, 호,
원추형 곡선).
표면 - 모델링
2차 다양체(구체,
실린더, 콘 등).
벌크 바디- 주요 개체
시뮬레이션은 3차원
볼륨있는 몸.
모델의 종류와 속성
영형선은 개체의 개별적인 기하학적 속성을 설명할 수 있습니다.
사물의 특징. 그것들은 공간적이고 2차원적일 수 있습니다. 곡선
선은 표면과 솔리드를 만들기 위한 건축 자재 역할을 합니다.
영형
선과 같은 표면은 다음을 제공하는 수학적 추상화입니다.
물체의 개별 속성에 대한 아이디어 및 건축 자재 역할
몸을 만드는 것.
영형
경계를 따라 결합하는 일련의 표면을 쉘이라고 합니다. 을 위한
모델링, 내부 체적을 분리하는 표면 세트를 설명하는 것이 필요합니다.
공간의 나머지 부분에서 객체.
영형
유한 체적을 차지하는 물체의 기하학적 모델링을 위해
수학은 강체 또는 단순히 몸체라고 하는 물체를 사용합니다. ~에
몸체의 모델링, 표면이 차지하는 부분을 분리하는 표면이 만들어집니다.
나머지 공간과의 공간.
2D 모델
래스터벡터
3차원
프랙탈
래스터 모델
장점결함
디지털화의 용이성(스캐닝 또는 엄격하게 고정된 수의
가능한 사진
래스터의 픽셀.
후속 스캔
인쇄(슬라이드)).
가능성은 매우 희박하다
이미지 조정
간섭
간편한 변환 절차
내부 구조 부족
픽셀 모델을 적절한 구조의 이미지로 변환
표시 또는 인쇄
묘사된 물건
대용량 메모리와 긴
처리 시간
벡터 패턴
장점결함
차지하는 공간이 상대적으로 적음
메모리
벡터 모델에 포함
여러 유형의 개체가 어렵게 만듭니다.
그 구조에 대한 연구
벡터 이미지는
임의로 구성
디테일의 정도
벡터 모델 구축
이미지가 나타내는
어려운 일
오토메이션
벡터 모델 개체
이미지를 쉽게
변형된다, 그들은
스케일링은 수반되지 않습니다
이미지 왜곡 없음, 손실 없음
시각 정보
벡터 이미지 모델이 아닙니다.
사용자에게 도구를 제공하고
전통에 해당하는
회화 기법
벡터 모델에서 텍스트,
별도의 카테고리인 것 같습니다.
사물 진화의 과정
벡터 프로그램
가장 빠른 차트
바로 이사
위쪽 방향
실재론
벡터 이미지,
그리고 새로운 객체
벡터 모델
(메시 채우기, 그림자,
구배
투명도)에서
대체로
확장하다
그림 가능성 벡터
3차원 객체에 대한 정보를 나타내는 모델
다각형(망사)
복셀
기능의
다각형(메시) 모델
다각형(메시) 모델
장점결함
이미지가 아니라 형식에 해당
물건을 들고 더 많은 것을 나른다
어떤 모델보다 그들에 대한 정보
2D 그래픽
시각화 및 실행 알고리즘
토폴로지 작업(예:
섹션 구성)은 상당히 복잡합니다.
복잡한 모델을 구축할 때 숫자를 자동으로 해결할 수 있습니다.
원근감의 환상을 구축하는 작업, 가장자리가 놀랍게 성장하고 있습니다.
다양한 조명 조건에서 그림자와 하이라이트를 신속하게
메쉬 모델이 너무 콤팩트하지 않고
뿐만 아니라 엄청난
컴퓨팅 파워
모델은 그것을 가능하게 한다
최소한의 노동력으로 구축
시뮬레이션된 장면의 이미지
모든 각도
평평한 면 근사
중대한 오류로 이어짐
특히 복잡한 모델링을 할 때
표면
자연에서 벡터가 되는 것,
의 많은 장점을 유지
벡터 모델 이미지
사용자에 대한 요구 사항 증가,
발달되어 있음을 암시
공간적 상상력
복셀 모델
복셀 모델
복셀 모델장점
결함
대표할 수 있는 기회
사물의 내부뿐만 아니라
외층
많은 정보,
프레젠테이션에 필요한
체적 데이터
간단한 매핑 절차
3차원 장면
상당한 메모리 비용
해상도 제한
능력, 모델링 정확도
간단한 토폴로지 실행
작업(예: 표시
공간 바디의 단면,
만들기에 충분한 복셀
투명한)
확대에 문제가 있거나
이미지 축소; 예를 들어
해상도가 나빠진다
이미지 능력
기능적 모델
기능적 모델의 장점
쉬운 계산 절차각 점의 좌표;
소량
정보
복잡한 형태에 대한 설명;
구축의 기회
표면 기반
없는 스칼라 데이터
예비의
삼각 측량.
Shukhov 타워 - 사용 예
혁명의 쌍곡면
기하학적 매개변수화가 호출됩니다.
파라메트릭 모델링
각 파라메트릭 개체의 형상
위치에 따라 다시 계산됨
상위 개체, 해당 매개변수 및
변수.
기하학적 매개변수화
영형영형
하나 이상 변경하는 것이 좋습니다.
매개변수를 확인하고 언제 어떻게 작동하는지 확인합니다.
이것은 전체 모델입니다.
파라메트릭의 경우 생성자
디자인, 수학적 모델 생성
매개변수가 있는 개체, 변경
부품 구성 변경,
어셈블리 등에서 부품의 상호 이동
모델에 대한 기하학적 작업
몸과 다른 기하학 위에작업을 수행할 수 있습니다.
하나 이상의 작업 집합
출생으로 이어지는 원래의 몸
새로운 몸. 에 대한 주요 작업 중 하나
두 본문은 부울 연산입니다.
o 부울 연산을 연산이라고 합니다.
신체의 합집합, 교집합 및 빼기, 그래서
동일한 작업을 수행하는 방법
바디의 내부 체적(세트 이상)
신체 내부에 위치한 공간 지점).
조합 운영
o 두 몸을 합치는 연산의 결과가 몸이고,내부에 속하는 포인트를 포함하는
첫 번째 바디와 두 번째 바디의 볼륨.
o 작업의 본질: 몸의 얼굴이 교차하는 선을 찾아야 합니다.
두 번째 내부에 들어간 첫 번째 본체의 해당 부분을 제거하십시오.
몸과 첫 번째 몸 안에 들어간 두 번째 몸의 부분
몸, 그리고 다른 모든 것에서 새로운 몸을 만듭니다.
두 개의 오리지널 바디
몸의 연합
교차로 작업
o 두 몸의 교집합 연산 결과는 몸,내부 체적에 속하는 포인트를 포함하는
첫 번째 몸과 두 번째 몸.
o 신체 교차 작업의 본질: 선을 찾아야 합니다.
바디의 교차, 첫 번째 바디의 교차하지 않는 부분 삭제
두 번째 몸 안으로 들어갔고, 두 번째 몸의 그 부분은
첫 번째 안에 들어가 다른 모든 것에서 새 것을 만들었습니다.
몸.
두 개의 오리지널 바디
신체의 교차점
빼기 연산
o 두 몸을 빼는 연산의 결과는 다음과 같은 몸이다.첫 번째 내부 볼륨에 속하는 포인트를 포함하지만
두 번째 본체의 내부 볼륨에 속합니다.
o 신체 빼기 작업의 본질: 신체의 교차선을 찾아야 합니다.
두 번째 내부에 들어간 첫 번째 본체의 해당 부분을 제거하고 해당 부분
첫 번째 몸에 들어 가지 않고 다른 모든 것에서 나온 두 번째 몸
새로운 몸을 만듭니다. 수술 결과는 어떤 신체에 따라 다릅니다.
뺀다.
두 개의 오리지널 바디
몸차이
기하학적 모델은 주제, 계산 및 인지로 분류됩니다. 기하학적 모델 중에서 평면 모델과 3차원 모델을 구분할 수 있습니다. 개체 모델은 시각적 관찰과 밀접한 관련이 있습니다. 개체 모델에서 얻은 정보에는 개체의 모양과 크기, 다른 항목과 관련된 위치에 대한 정보가 포함됩니다. 기계, 기술 장치 및 해당 부품의 도면은 여러 기호, 특수 규칙 및 특정 규모에 따라 수행됩니다. 도면은 조립일 수 있으며, 일반적인 견해, 조립, 표, 전체, 외부 보기, 운영 등 도면은 기계 제작, 도구 제작, 건설, 광업 및 지질, 지형 등의 산업 분야에서도 구별됩니다. 지구 표면의 그림을 지도라고 합니다. 그림은 직교 그림, 축측법, 원근법, 숫자 표시가 있는 투영법, 아핀 투영법, 입체 투영법, kineperspective 등의 이미지 방법으로 구별됩니다. 개체 모델에는 그림, 지도, 사진, 레이아웃, 텔레비전 이미지 등이 포함됩니다. 개체 모델은 시각적 관찰과 밀접한 관련이 있습니다. 대상 기하학 모델 중에서 평면 및 체적 모델을 구분할 수 있습니다. 개체 모델은 드로잉, 그림, 그림, 사진, 영화, 방사선 사진, 레이아웃, 모델, 조각 등 실행 방식이 크게 다릅니다. 도면은 설계단계에 따라 기술제안도, 초안 및 기술설계, 작업도면으로 구분된다. 도면도 원본, 원본 및 사본으로 구분됩니다.
그래픽 구조는 다음을 얻기 위해 사용할 수 있습니다. 수치 솔루션다양한 작업. 그래픽으로 대수 연산(더하기, 빼기, 곱하기, 나누기), 미분, 적분 및 방정식 풀기를 수행할 수 있습니다. 대수식을 계산할 때 숫자는 유향 세그먼트로 표시됩니다. 숫자의 차이 또는 합을 찾기 위해 그에 해당하는 세그먼트를 직선으로 그립니다. 곱셈과 나눗셈은 직선 평행선으로 각도의 측면에서 잘리는 비례 세그먼트를 구성하여 수행됩니다. 곱셈과 덧셈 연산을 조합하여 제품의 합과 가중 평균을 계산할 수 있습니다. 그래픽 지수는 곱셈의 연속적인 반복으로 구성됩니다. 방정식의 그래픽 솔루션은 곡선 교차점의 가로 좌표 값입니다. 그래픽으로 명확한 적분을 계산하고 미분 그래프를 작성할 수 있습니다. 미분과 적분, 방정식 풀기. 그래픽 계산을 위한 기하 모델은 노모그램 및 전산 기하 모델(RGM)과 구별되어야 합니다. 그래픽 계산에는 매번 일련의 구성이 필요합니다. 노모그램 및 RGM은 기능 종속성의 기하학적 이미지이며 수치 값을 찾기 위해 새로운 구성이 필요하지 않습니다. 노모그램 및 RGM은 기능 종속성의 계산 및 연구에 사용됩니다. RGM 및 노모그램에 대한 계산은 노모그램 키에 표시된 기본 작업을 사용하여 답을 읽는 것으로 대체됩니다. 노모그램의 주요 요소는 스케일과 이진 필드입니다. 노모그램은 기본 노모그램과 복합 노모그램으로 세분됩니다. 노모그램은 키 조작으로도 구분됩니다. RGM과 노모그램의 근본적인 차이점은 RGM을 구성하는 데 기하학적 방법이 사용되고 노모그램을 구성하는 데 분석적 방법이 사용된다는 것입니다. 노모그래피는 분석 엔진에서 기하학적 엔진으로의 전환입니다.
인지 모델에는 기능 그래프, 다이어그램 및 그래프가 포함됩니다. 일부 변수가 다른 변수에 의존하는 그래픽 모델을 함수 그래프라고 합니다. 함수 그래프는 주어진 부분 또는 기하학적 변환을 사용하는 다른 함수의 그래프에서 만들 수 있습니다. 어떤 수량의 비율을 명확하게 보여주는 그래픽 이미지는 다이어그램입니다. 동일한 직선 위에 세워진 인접한 사각형의 모음이며 정량적 속성에 따라 모든 값의 분포를 나타내는 막대 차트를 히스토그램이라고 합니다. 집합의 요소 간의 관계를 나타내는 기하학적 모델을 그래프라고 합니다. 그래프는 순서와 동작 방식의 모델입니다. 이 모델에는 거리, 각도가 없으며 직선 또는 곡선의 점 연결은 중요하지 않습니다. 그래프에서는 정점, 모서리 및 호만 구분됩니다. 처음으로 퍼즐을 푸는 과정에서 그래프가 사용되었습니다. 현재 그래프는 계획 및 제어 이론, 일정 이론, 사회학, 생물학, 확률 및 조합 문제 해결 등에 효과적으로 사용됩니다.
특별한 의미이론적 기하학적 모델을 가지고 있습니다. 해석 기하학에서 기하학적 이미지는 좌표의 방법을 기반으로 대수학을 통해 연구됩니다. 사영기하학에서는 사영변환과 독립적인 도형의 불변성을 연구한다. 안에 도형 기하학평면에 이미지를 구성하여 공간적 문제를 해결하는 공간적 도형과 방법을 연구한다. 속성 평평한 인물평면 측정에서 고려되고 공간 수치의 속성은 입체 측정에서 고려됩니다. 구형 삼각법에서는 구형 삼각형의 각도와 변 사이의 관계를 연구합니다. 사진 측량과 입체 및 사진 측량의 이론은 군사, 우주 연구, 측지학 및 지도 제작에서 사진 이미지로부터 물체의 모양, 크기 및 위치를 결정할 수 있게 합니다. 현대 토폴로지는 도형의 연속적인 속성과 상호 배열을 연구합니다. 프랙탈 기하학(B. Mandelbrot에 의해 1975년 과학에 소개됨)은 자연의 프로세스와 구조의 일반적인 패턴을 연구하며 현대 컴퓨터 기술 덕분에 수학에서 가장 유익하고 아름다운 발견 중 하나가 되었습니다. 프랙탈은 업적을 기반으로 한다면 훨씬 더 인기가 있을 것입니다. 현대 이론도형 기하학.
고전적인 기술 기하학의 문제는 조건부로 위치 문제, 미터법 문제 및 구성 문제로 나눌 수 있습니다.
기술 분야에서는 특정 개체, 디자인 기능, 구성 요소에 대한 아이디어를 형성하는 데 도움이 되는 정적 기하학적 모델과 운동학, 기능적 관계 또는 기술 및 기술 프로세스를 시연할 수 있는 동적 또는 기능적 기하학적 모델이 사용됩니다. 종종 기하학적 모델을 사용하면 일반적인 관찰이 불가능하고 기존 지식을 기반으로 표현할 수 있는 현상의 과정을 추적할 수 있습니다. 이미지는 특정 기계, 장치 및 장비의 장치를 표시할 수 있을 뿐만 아니라 동시에 기술적 특징 및 기능 매개변수를 특성화할 수 있습니다.
도면은 어셈블리의 세부 형상에 대한 기하학적 정보만 제공하는 것이 아닙니다. 그것에 따르면 장치의 작동 원리, 서로에 대한 부품의 움직임, 움직임의 변형, 힘의 발생, 응력, 에너지를 기계 작업으로 변환하는 등이 이해됩니다. 기술 대학에서 도면과 다이어그램은 연구된 모든 일반 기술 및 특수 분야( 이론 역학, 재료의 강도, 구조 재료, 전기 기계, 유압, 엔지니어링 기술, 공작 기계 및 도구, 기계 및 메커니즘 이론, 기계 부품, 기계 및 장비 등). 다양한 정보를 전달하기 위해 도면에는 다양한 기호와 기호가 추가되었으며 구두 설명에는 물리, 화학 및 수학의 기본 개념을 기반으로 한 새로운 개념이 사용되었습니다.
특히 흥미로운 것은 현상의 본질을 분석하고 수학적 추론의 이론적 및 실제적 중요성을 평가하고 수학적 형식주의의 본질을 분석하기 위해 기하학적 법칙과 실제 객체 사이의 유추를 도출하기 위해 기하학적 모델을 사용하는 것입니다. 획득한 경험, 지식 및 인식(말, 글, 그림 등)을 전달하는 일반적으로 허용되는 수단은 의도적으로 현실의 동형 투영 모델이라는 점에 유의해야 합니다. 투영 도식 및 설계 작업의 개념은 기술 기하학과 관련되며 기하학적 모델링 이론에서 일반화됩니다.투영 작업의 결과로 얻은 투영 기하학적 모델은 완벽하고 불완전하며 (불완전의 정도는 다양함) 분해될 수 있습니다. 기하학적 관점에서 모든 개체는 투영 중심과 그림의 위치와 크기가 다른 많은 투영을 가질 수 있습니다. 자연과 사회적 관계의 실제 현상은 신뢰성과 완성도가 서로 다른 다양한 설명을 허용합니다. 기초 과학적 연구그리고 모든 소스 과학 이론항상 어떤 규칙성을 드러내는 것을 목표로 하는 관찰과 실험입니다. 이러한 모든 상황은 유추 사용의 기초를 형성했습니다. 다양한 방식동형 모델링으로 얻은 투영 기하 모델 및 연구 결과 모델.
일부 개체의 기하학적 모델링 결과는 해당 기하학의 수학적 모델입니다. 수학적 모델을 사용하면 시뮬레이션된 개체를 그래픽으로 표시하고, 기하학적 특성을 얻고, 수치 실험을 설정하여 개체의 많은 물리적 속성을 연구하고, 생산을 준비하고, 마지막으로 개체를 제조할 수 있습니다.
물체가 어떻게 보이는지 확인하려면 표면에서 떨어지고 돌아오는 광선의 흐름을 시뮬레이션해야 합니다. 이 경우 모델의 면에 필요한 색상, 투명도, 질감 및 기타 물리적 특성을 부여할 수 있습니다. 다양한 색상과 강도의 조명으로 다양한 방향에서 모델을 비출 수 있습니다.
기하학적 모델을 사용하면 설계된 물체의 질량 중심 및 관성 특성을 결정하고 요소의 길이와 각도를 측정할 수 있습니다. 이를 통해 치수 사슬을 계산하고 디자인된 개체의 수집 가능성을 결정할 수 있습니다. 개체가 메커니즘인 경우 모델에서 성능을 확인하고 운동학적 특성을 계산할 수 있습니다.
기하학적 모델을 사용하여 응력-변형 상태, 자연 진동의 주파수 및 형태, 구조 요소의 안정성, 물체의 열적, 광학적 및 기타 속성을 결정하기 위한 수치 실험을 설정할 수 있습니다. 이렇게 하려면 기하학적 모델을 추가해야 합니다. 물리적 특성, 작동의 외부 조건을 시뮬레이션하고 물리적 법칙을 사용하여 적절한 계산을 수행합니다.
형상 모델에서 개체 가공을 위한 절삭 공구의 궤적을 계산할 수 있습니다. 개체의 선택된 제조 기술을 통해 기하학적 모델을 사용하면 툴링을 설계하고 생산을 준비할 수 있을 뿐만 아니라 이러한 방식으로 개체를 제조할 가능성과 이 제조 품질을 확인할 수 있습니다. 또한 제조 공정의 그래픽 시뮬레이션이 가능합니다. 그러나 그 이외의 물건을 생산하기 위해서는 기하학적 정보기술 프로세스, 생산 장비 및 생산과 관련된 훨씬 더 많은 정보가 필요합니다.
이러한 문제의 대부분은 응용 과학의 독립적인 분야를 형성하며 복잡성이 열등하지 않으며 대부분의 경우 기하학적 모델을 만드는 문제를 능가합니다. 기하학적 모델은 추가 작업을 위한 시작점입니다. 기하모형을 구성할 때 물리법칙을 사용하지 않았고, 모델링된 물체의 외부와 내부 부분의 경계면 각 점의 반지름 벡터를 알고 있으므로 기하모델을 구성할 때 대수적 방정식.
물리 법칙을 사용하는 문제는 미분 방정식과 적분 방정식으로 이어지며, 그 해법은 대수 방정식의 해법보다 더 어렵습니다.
이 장에서는 물리적 프로세스와 관련되지 않은 계산 수행에 중점을 둘 것입니다. 표면적, 체적, 질량 중심, 관성 모멘트 및 주 관성 축의 방향과 같은 몸체와 평평한 부분의 순수한 기하학적 특성 계산을 고려할 것입니다. 이러한 계산에는 추가 정보가 필요하지 않습니다. 또한 기하학적 특성을 결정할 때 해결해야 할 수치 적분 문제를 고려할 것입니다.
물체의 평면 단면의 면적, 질량 중심 및 관성 모멘트를 결정하면 단면적에 대한 적분 계산이 이루어집니다. 평면 섹션의 경우 경계에 대한 정보가 있습니다. 우리는 평면 단면의 면적에 대한 적분을 곡선 적분으로 줄이고, 차례로 명확한 적분으로 줄입니다. 표면적, 체적, 질량 중심, 몸체의 관성 모멘트를 결정하면 표면 및 체적 적분을 계산할 수 있습니다. 우리는 경계의 도움으로 신체의 표현, 즉 신체를 제한하는 일련의 표면에 의한 신체 설명과 이러한 표면의 상호 이웃에 대한 위상 정보에 의존할 것입니다. 우리는 신체의 체적에 대한 적분을 신체의 표면에 대한 표면 적분으로 줄이고, 다시 이중 적분으로 축소합니다. 일반적인 경우 통합 영역은 연결된 2차원 영역입니다. 수치적 방법에 의한 이중 적분의 계산은 사각형 또는 삼각형 모양의 단순한 유형의 영역에 대해 수행할 수 있습니다. 이와 관련하여 장의 끝에서 계산 방법에 대해 설명합니다. 명확한 적분사각형 및 삼각형 영역에 대한 이중 적분. 표면 매개변수의 정의 영역을 삼각형 하위 영역 세트로 분할하는 방법은 다음 장에서 고려됩니다.
이 장의 시작 부분에서 우리는 면적 적분을 곡선 적분으로 줄이고 체적 적분을 표면 적분으로 줄이는 것을 고려합니다. 이것은 모델의 기하학적 특성을 계산하는 기초가 됩니다.
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기하학적 모델링 시스템
기하학적 모델링 시스템을 사용하면 3차원 공간에서 모양 작업을 할 수 있습니다. 정확한 치수의 복잡한 형상을 얻기 어렵고 실제 모델에서 필요한 정보를 추출하여 정확하게 재현하는 어려움과 같은 설계 과정에서 물리적 모델 사용과 관련된 문제를 극복하기 위해 만들어졌습니다. .
이러한 시스템은 물리적 모델이 생성되는 것과 유사한 환경을 생성합니다. 즉, 기하학적 모델링 시스템에서 개발자는 모델의 모양을 변경하고 일부를 추가 및 제거하여 시각적 모델의 모양을 자세히 설명합니다. 시각적 모델은 물리적 모델과 동일하게 보일 수 있지만 무형입니다. 그러나 3차원 시각적 모델은 수학적 설명과 함께 컴퓨터에 저장되므로 물리적 모델의 주요 단점인 후속 프로토타이핑 또는 대량 생산을 위해 측정을 수행해야 하는 필요성이 제거됩니다. 기하학적 모델링 시스템은 와이어프레임, 표면, 솔리드 및 비형상으로 나뉩니다.
와이어프레임 시스템
와이어프레임 모델링 시스템에서 모양은 모양을 특징짓는 일련의 선과 끝점으로 표현됩니다. 선과 점은 화면에 3차원 물체를 표현하기 위해 사용되며, 리쉐이핑은 선과 점의 위치와 크기를 변경하여 이루어집니다. 즉, 시각적 모델은 모양의 와이어프레임 드로잉이고 해당 수학적 설명은 곡선 방정식, 점 좌표 및 곡선 간 연결 정보의 집합입니다. 연결 정보는 곡선이 서로 교차하는 지점뿐만 아니라 특정 곡선에 대한 점의 소속을 설명합니다. 와이어프레임 모델링 시스템은 GM이 막 등장하기 시작했을 때 널리 사용되었습니다. 그들의 인기는 와이어프레임 시스템에서 폼 생성이 일련의 간단한 단계를 통해 수행되어 사용자가 스스로 폼을 생성하기가 매우 쉽다는 사실 때문이었습니다. 그러나 선만으로 구성된 시각적 모델은 모호할 수 있습니다. 또한 해당 수학적 설명에는 모델링된 개체의 내부 및 외부 표면에 대한 정보가 포함되어 있지 않습니다. 이 정보가 없으면 물체가 3차원으로 나타나더라도 물체의 질량을 계산하거나 동작 경로를 결정하거나 유한 요소 분석을 위한 메쉬를 생성할 수 없습니다. 이러한 작업은 설계 프로세스의 필수적인 부분이므로 와이어프레임 모델링 시스템은 표면 및 솔리드 모델링 시스템으로 점차 대체되었습니다.
표면 모델링 시스템
표면 모델링 시스템에서 시각적 모델의 수학적 설명에는 특성선과 끝점에 대한 정보뿐만 아니라 표면에 대한 데이터도 포함됩니다. 화면에 표시된 모델로 작업을 하면 곡면방정식, 곡선방정식, 점좌표가 바뀝니다. 수학적 설명에는 표면의 연결성에 대한 정보(표면이 서로 어떻게 연결되고 어떤 곡선을 따라 연결되는지)에 대한 정보가 포함될 수 있습니다. 일부 응용 프로그램에서는 이 정보가 매우 유용할 수 있습니다.
표면 모델링 시스템에서 표면을 생성하는 세 가지 표준 방법이 있습니다.
1) 입력 포인트의 보간.
2) 곡선 점의 보간.
3) 주어진 곡선의 변환 또는 회전.
표면 모델링 시스템은 복잡한 표면이 있는 모델을 만드는 데 사용됩니다. 시각적 모델을 통해 프로젝트의 미학을 평가할 수 있고 수학적 설명을 통해 정확한 동작 경로 계산을 통해 프로그램을 구축할 수 있기 때문입니다.
솔리드 모델링 시스템
닫힌 볼륨 또는 모놀리스로 구성된 개체 작업을 위한 것입니다. 솔리드 모델링 시스템에서는 와이어프레임 및 표면 모델링 시스템과 달리 닫힌 볼륨을 형성하지 않는 경우 표면 또는 특성선 세트를 작성할 수 없습니다. 솔리드 모델링 시스템에서 생성된 개체의 수학적 설명에는 시스템이 선이나 점이 있는 위치(체적 내부, 외부 또는 경계)를 결정할 수 있는 정보가 포함되어 있습니다. 이 경우 신체의 체적에 대한 모든 정보를 얻을 수 있습니다. 즉, 표면이 아닌 체적 수준에서 개체와 함께 작동하는 응용 프로그램을 사용할 수 있습니다.
그러나 솔리드 모델링 시스템은 수학적 설명을 제공하는 데이터 양에 비해 더 많은 입력 데이터가 필요합니다. 시스템이 완전한 수학적 설명을 위해 사용자에게 모든 데이터를 입력하도록 요구한다면 사용자에게는 너무 복잡해져서 포기할 것입니다. 따라서 그러한 시스템의 개발자는 사용자가 수학적 설명의 세부 사항에 들어가지 않고 3차원 형태로 작업할 수 있도록 단순하고 자연스러운 함수를 제시하려고 합니다.
대부분의 견고한 모델링 시스템에서 지원하는 모델링 기능은 5가지 주요 그룹으로 나눌 수 있습니다.
1) 프리미티브 생성 기능 및 볼륨 추가, 빼기 기능 - 부울 연산자. 이러한 기능을 통해 설계자는 부품의 최종 모양에 가까운 모양을 빠르게 만들 수 있습니다.
2) 표면을 움직여서 입체를 만드는 기능. 스윕 기능을 사용하면 평면에 지정된 영역을 평행이동 또는 회전하여 3차원 바디를 만들 수 있습니다.
3) 주로 수정을 위한 기능 기존 양식. 일반적인 예로는 필렛 또는 블렌드 및 리프트 기능이 있습니다.
4) 정점, 가장자리 및 면을 따라 볼륨 바디의 구성 요소를 직접 조작할 수 있는 기능.
5) 디자이너가 모델링에 사용할 수 있는 기능 단단한자유 양식 사용.
몇 가지 시뮬레이션 시스템
솔리드 모델링 시스템을 사용하면 닫힌 체적, 즉 수학적 용어로 매니폴드인 바디를 생성할 수 있습니다. 즉, 그러한 시스템은 다양하지 않은 구조의 생성을 금지합니다. 다양성 조건의 위반은 예를 들어 한 지점에서 두 표면의 접선, 열린 곡선 또는 닫힌 곡선을 따라 두 표면의 접선, 공통 면, 모서리 또는 꼭지점이 있는 두 개의 닫힌 볼륨 및 구조를 형성하는 표면입니다. 벌집처럼.
작은 크기의 모델 생성 금지는 솔리드 모델링 시스템의 장점 중 하나로 간주되었습니다. 덕분에 이러한 시스템에서 생성된 모든 모델을 제작할 수 있기 때문입니다. 사용자가 개발 프로세스 전반에 걸쳐 기하학적 모델링 시스템으로 작업하기를 원하는 경우 이 장점은 또 다른 측면으로 바뀝니다.
차원이 혼합된 추상 모델은 디자이너의 창의적인 생각을 제약하지 않기 때문에 편리합니다. 혼합 치수가 있는 모델에는 자유 모서리, 계층화된 표면 및 볼륨이 포함될 수 있습니다. 추상 모델은 분석의 기초가 될 수 있다는 점에서도 유용합니다. 설계 프로세스의 각 단계에서 다양한 분석 도구를 적용할 수 있습니다. 예를 들어, 유한 요소법을 사용하여 모델의 원래 표현에 직접 적용하여 자동화할 수 있습니다. 피드백현재 디자이너가 독립적으로 구현하는 디자인 및 분석 단계 사이. 다양한 모델은 프로젝트 개발의 단계로 필수적입니다. 자세한 설명완성된 체적 본체에 낮은 수준에서. 다양한 모델링 시스템을 통해 동일한 모델링 환경에서 와이어프레임, 표면, 솔리드 및 벌집 모델을 동시에 사용할 수 있어 사용 가능한 모델의 범위가 확장됩니다.
표면 설명
중요한 중요한 부분기하학적 모델은 표면에 대한 설명입니다. 부품의 표면이 평평한 면이라면 부품의 면, 모서리, 꼭지점에 대한 특정 정보만으로 모델을 아주 간단하게 표현할 수 있습니다. 이 경우 일반적으로 구성 기하학 방법이 사용됩니다. 평평한 면을 사용한 표현은 보다 복잡한 표면의 경우에도 이러한 표면이 평평한 섹션 세트(다각형 메쉬)로 근사되는 경우 발생합니다. 그런 다음 표면 모델을 다음 형식 중 하나로 지정할 수 있습니다.
1) 모델은 면의 목록이며, 각 면은 정렬된 정점 목록(정점 주기)으로 표시됩니다. 이 형식은 각 정점이 여러 목록에서 반복되기 때문에 상당한 중복성을 특징으로 합니다.
2) 모델은 가장자리 목록이며 각 가장자리에는 입사 꼭지점과 면이 있습니다. 그러나 큰 메쉬 셀 크기에서 다각형 메쉬에 의한 근사는 눈에 띄는 모양 왜곡을 제공하고 작은 셀 크기에서는 계산 비용 측면에서 비효율적인 것으로 판명되었습니다. 따라서 베지어 또는 5-스플라인 형태의 3차 방정식으로 비평면 표면을 설명하는 것이 더 많이 사용됩니다.
첫 번째 수준의 기하학적 개체인 공간 곡선을 설명하는 응용 프로그램을 보여줌으로써 이러한 형식에 익숙해지는 것이 편리합니다.
메모. 0, 첫 번째 및 두 번째 수준의 기하학적 객체를 각각 점, 곡선, 표면이라고 합니다.
MGIGM 하위 시스템은 파라메트릭 방식으로 정의된 입방 곡선을 사용합니다.
기하학적 구조 모델링 표면
x(t) = axt3 + bxt2 + cxt + dx ;
y(t) = ay t3 + X by t2 + cy t + dy ;
z(t) = a.t3 + b_t2 + cj + d_,
여기서 1 > t > 0. 이러한 곡선은 근사되는 곡선의 세그먼트를 설명합니다. 즉, 근사되는 곡선은 세그먼트로 나뉘고 각 세그먼트는 방정식(3.48)에 의해 근사됩니다.
3차 곡선의 사용은 (3개의 방정식 각각에서 4개의 계수를 적절하게 선택함으로써) 세그먼트의 접합을 위한 4개의 조건을 충족시킵니다. Bezier 곡선의 경우 이러한 조건은 주어진 두 끝점을 통과하는 세그먼트 곡선의 통과와 인접 세그먼트의 접선 벡터의 이러한 점에서의 동일성입니다. 5-스플라인의 경우 두 끝점에서 접선 벡터와 곡률(즉, 1차 및 2차 도함수)의 연속성 조건을 만족하므로 주어진 점을 통한 근사 곡선은 여기에서 보장되지 않습니다. 3차 이상의 다항식을 사용하는 것은 물결 모양의 가능성이 높기 때문에 권장되지 않습니다.
Bezier 형식의 경우 (3.48)의 계수는 먼저 (3.48) 값 (=0k(=1)과 주어진 끝점 Р 및 Р4의 좌표를 각각 대입하여 결정됩니다. , 둘째, 미분을 식으로 대체함으로써
dx / dt \u003d t2 + 2b + c의 경우 X X x "
dy/dt = Za, G2 + 2byte + s,
dz/dt = 3a.t2 + 2b.t + c.
동일한 값 / \u003d 0 및 / \u003d 1 및 접선 벡터의 방향을 지정하는 점 P2 및 P3의 좌표 (그림 3.27). 결과적으로 Bezier 형식의 경우
베지어 곡선. (3.27)
행렬 M은 다른 형식을 가지며 표에 표시됩니다. 3.12, 벡터 Gx, Gy, G는 점 P, 1의 해당 좌표를 포함합니다. 피, 피, + 1, 피, + 2.
근사식의 1계 도함수와 2계 도함수의 공액점에서 B-스플라인 정의에서 요구하는 연속성 조건이 만족됨을 보여드리겠습니다. 원래 곡선의 세그먼트 [Р, Р +1]에 해당하는 근사 B-스플라인의 세그먼트를 로 표시해 보겠습니다. 그런 다음 이 섹션과 공액점 Q / +의 좌표 x에 대해 t = 1이고
같은 지점에 있는 세그먼트의 경우 Qi+| 우리는 t = 0이고
즉, 인접 섹션의 활용점에서 미분의 동등성은 접선 벡터와 곡률의 연속성을 확인합니다. 당연히 세그먼트에서 근사 곡선의 점 Qi+1의 x좌표 x값 .
는 단면의 동일 지점에 대해 계산된 x 값과 같지만 절점 x 및 x+]의 근사 곡선과 근사 곡선의 좌표 값이 일치하지 않습니다.
마찬가지로 표면에 적용되는 베지어 형식 및 5-스플라인에 대한 식을 얻을 수 있습니다. 대신 (3.48) 3차 종속이 두 변수에 사용된다는 점을 고려합니다.
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기하학적 모델링
벡터 및 래스터 그래픽.
그래픽에는 벡터와 래스터의 두 가지 유형이 있습니다. 주요 차이점은 이미지 저장 원칙에 있습니다. 벡터 그래픽수학 공식을 사용하여 이미지를 설명합니다. 벡터 그래픽의 가장 큰 장점은 이미지의 배율을 변경해도 품질이 떨어지지 않는다는 것입니다. 또 다른 이점은 이미지 크기를 조정할 때 파일 크기가 변경되지 않는다는 것입니다. 래스터 그래픽매우 작은 분할할 수 없는 도트(픽셀)로 구성된 직사각형 매트릭스입니다.
래스터 이미지는 그림이 컬러 사각형으로 구성된 어린이 모자이크와 비교할 수 있습니다. 컴퓨터는 특정 순서로 행에 있는 모든 사각형의 색상을 기억합니다. 따라서 비트맵 이미지를 저장하려면 더 많은 메모리가 필요합니다. 확장하기 어렵고 편집하기가 더 어렵습니다. 이미지를 확대하려면 사각형의 크기를 늘려야 합니다. 그러면 그림이 "계단형"으로 나타납니다. 래스터 이미지를 축소하려면 인접한 여러 점을 하나로 변환하거나 여분의 점을 버려야 합니다. 결과적으로 이미지가 왜곡되고 세부 사항을 읽을 수 없게 됩니다. 이러한 단점에는 벡터 그래픽이 없습니다. 벡터 편집기에서 도면은 세트로 저장됩니다. 기하학적 모양- 수학 공식의 형태로 표시되는 등고선. 개체를 비례적으로 확대하려면 배율 인수라는 하나의 숫자를 변경하기만 하면 됩니다. 그림을 늘리거나 줄일 때 왜곡이 없습니다. 따라서 도면을 만들 때 최종 치수에 대해 생각할 필요가 없습니다. 언제든지 치수를 변경할 수 있습니다.
기하 변환
벡터 그래픽은 점, 선, 스플라인 및 다각형과 같은 기하학적 프리미티브를 사용하여 이미지를 컴퓨터 그래픽. 예를 들어 반지름이 r인 원을 생각해보자. 원을 완전히 설명하는 데 필요한 정보 목록은 다음과 같습니다.
반지름 아르 자형;
원 중심 좌표;
외곽선의 색상 및 두께(투명 가능)
채우기 색상(투명 가능).
래스터 그래픽에 비해 그래픽을 설명하는 이 방법의 장점:
최소한의 정보는 훨씬 더 작은 파일 크기로 전송됩니다(크기는 객체의 크기에 의존하지 않음).
따라서 예를 들어 원의 호를 무한히 늘릴 수 있으며 부드럽게 유지됩니다. 반면에 곡선이 파선으로 표시되면 확대하여 보면 실제 곡선이 아님을 알 수 있습니다.
객체가 확대되거나 축소될 때 선의 두께는 일정할 수 있습니다.
객체 매개변수가 저장되고 변경될 수 있습니다. 즉, 이동, 크기 조정, 회전, 채우기 등을 수행해도 도면의 품질이 저하되지 않습니다. 또한 장치 독립적인 단위((영어))로 크기를 지정하는 것이 일반적이므로 래스터 장치에서 최상의 래스터화가 가능합니다.
벡터 그래픽에는 두 가지 근본적인 단점이 있습니다.
모든 객체를 벡터 형식으로 쉽게 그릴 수 있는 것은 아닙니다. 또한 표시할 메모리와 시간의 양은 객체의 수와 복잡성에 따라 다릅니다.
벡터 그래픽을 래스터로 변환하는 것은 매우 간단합니다. 그러나 원칙적으로 되돌릴 방법이 없습니다. 래스터 추적은 일반적으로 고품질 벡터 드로잉을 제공하지 않습니다.
벡터 그래픽 편집기를 사용하면 일반적으로 회전, 이동, 반사, 늘이기, 베벨, 객체에 대한 기본 아핀 변환 수행, z-순서 변경 및 프리미티브를 더 복잡한 객체로 결합할 수 있습니다.
더 정교한 변환에는 합집합, 더하기, 교집합 등 닫힌 그림에 대한 부울 연산이 포함됩니다.
벡터 그래픽은 장치 독립적이어야 하거나 포토리얼리즘이 필요하지 않은 단순 또는 복합 드로잉에 이상적입니다. 예를 들어 PostScript 및 PDF는 벡터 그래픽 모델을 사용합니다.
선과 파선.
다각형.
원과 타원.
베지어 곡선.
Bezigones.
텍스트(TrueType과 같은 컴퓨터 글꼴에서 각 문자는 베지어 곡선으로 구성됨).
이 목록은 불완전합니다. 먹다 다른 유형다양한 응용 분야에서 사용되는 곡선(Catmull-Rom 스플라인, NURBS 등).
비트맵을 사각형처럼 동작하는 기본 개체로 생각할 수도 있습니다.
기하학적 모델의 주요 유형
기하학적 모델은 원래 개체에 대한 외부 아이디어를 제공하며 동일한 비율의 기하학적 치수를 특징으로 합니다. 이 모델은 2차원과 3차원으로 나뉩니다. 스케치, 다이어그램, 그림, 그래픽, 그림은 2차원 기하학적 모델과 건물, 자동차, 항공기 등의 모델의 예입니다. 3차원 기하학적 모델입니다.
3D 그래픽 3차원 공간에서 물체와 함께 작동합니다. 일반적으로 결과는 평평한 그림, 프로젝션입니다. 3차원 컴퓨터 그래픽은 영화와 컴퓨터 게임에서 널리 사용됩니다.
3D 컴퓨터 그래픽에서 모든 개체는 일반적으로 표면 또는 입자 모음으로 표시됩니다. 가장 작은 표면을 다각형이라고 합니다. 삼각형은 일반적으로 다각형으로 선택됩니다.
3D 그래픽의 모든 시각적 변환은 행렬에 의해 제어됩니다(다음 참조: 아핀 변환선형 대수에서). 컴퓨터 그래픽에는 세 가지 유형의 행렬이 사용됩니다.
회전 행렬
시프트 매트릭스
스케일링 매트릭스
모든 다각형은 정점의 좌표 집합으로 나타낼 수 있습니다. 따라서 삼각형에는 3개의 정점이 있습니다. 각 정점의 좌표는 벡터(x, y, z)입니다. 벡터에 해당 행렬을 곱하면 새 벡터를 얻습니다. 다각형의 모든 꼭지점으로 이러한 변환을 수행하면 새 다각형을 얻고 모든 다각형을 변환한 후 원본을 기준으로 회전/이동/축소된 새 개체를 얻습니다.