적분의 기본 속성. 부정 적분의 기본 특성. 정적분에서 변수의 변화

기본 적분 공식은 도함수에 대한 공식을 반전하여 얻으므로 고려 중인 주제를 연구하기 전에 기본 함수 1개에 대한 미분 공식을 반복해야 합니다(즉, 도함수 표를 기억하십시오).

반도함수의 개념, 부정 적분의 정의에 익숙해지고 미분과 적분의 연산을 비교하면서 학생들은 적분 연산이 다중값이라는 사실에 주목해야 합니다. 고려 중인 구간에서 무한한 반도함수 집합을 제공합니다. 그러나 사실 단 하나의 반도함수만 찾는 문제는 해결됩니다. 주어진 함수의 모든 역도함수는 일정한 값만큼 서로 다릅니다

어디 씨– 임의의 값 2 .

자기 점검을 위한 질문.

역도함수를 정의합니다.

부정 적분이란 무엇입니까?

피적분이란 무엇입니까?

피적분이란 무엇입니까?

역도함수 계열의 기하학적 의미를 나타냅니다.

6. 패밀리에서 점을 지나는 곡선 찾기

2. 부정 적분의 속성.

단순 적분 표

여기서 학생들은 다음과 같은 부정적분의 성질을 배워야 합니다.

재산 1. 부정 적분의 도함수는 3차 함수의 피적분과 같습니다(정의에 따라).

재산 2. 적분의 미분은 피적분과 같습니다.

저것들. 미분의 부호가 적분의 부호 앞에 오면 서로 상쇄됩니다.

재산 3. 적분 부호가 미분 부호 앞에 있으면 서로 상쇄되고 임의의 상수 값이 함수에 추가됩니다.

재산 4. 동일한 함수의 두 역도함수 차이는 상수 값입니다.

재산 5. 적분 부호 아래에서 상수 인수를 빼낼 수 있습니다.

어디 ㅏ상수입니다.

덧붙여서, 이 속성은 속성 2를 고려하여 동등성(2.4)의 두 부분을 미분함으로써 쉽게 증명될 수 있습니다.

재산 6. 함수의 합(차)의 적분은 이들 함수의 적분의 합(차)과 같습니다(별도로 존재하는 경우).

이 속성은 미분법으로도 쉽게 증명됩니다.

속성의 자연스러운 일반화 6

. (2.6)

적분을 미분의 반대 동작으로 고려하면 가장 간단한 도함수 표에서 직접 다음과 같은 가장 간단한 적분 표를 얻을 수 있습니다.

단순 부정 적분 표

1. , 여기서, (2.7)

2. , 여기서, (2.8)

4. , 여기서, (2.10)

9. , (2.15)

10. . (2.16)

가장 단순한 부정 적분의 공식 (2.7) - (2.16)은 마음으로 배워야 합니다. 그것들을 아는 것은 필요하지만 통합하는 방법을 배우기 위해서는 충분하지 않습니다. 지속 가능한 통합 기술은 충분히 많은 수의 문제(일반적으로 다양한 유형의 약 150-200개 예)를 해결해야만 달성됩니다.

다음은 위의 표에서 알려진 적분 (2.7) - (2.16)의 합으로 변환하여 적분을 단순화한 예입니다.

예 1.

.

이러한 속성은 기본 적분 및 추가 계산 중 하나로 가져오기 위해 적분의 변환을 수행하는 데 사용됩니다.

1. 부정 적분의 도함수는 피적분과 같습니다.

2. 부정 적분의 미분은 피적분과 같습니다.

3. 어떤 함수의 미분의 부정 적분은 이 함수와 임의 상수의 합과 같습니다.

4. 적분 부호에서 상수 인수를 빼낼 수 있습니다.

또한, a ≠ 0

5. 합(차이)의 적분은 적분의 합(차)과 같습니다.

6. 속성은 속성 4와 5의 조합입니다.

또한, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. 부정 적분의 불변성:

그렇다면

8. 재산:

그렇다면

사실 이 속성은 변수 변경 방법을 사용한 적분의 특수한 경우이며, 이에 대해서는 다음 절에서 자세히 설명합니다.

예를 고려하십시오.

먼저 속성 5를 적용한 다음 속성 4를 적용한 다음 역도함수 테이블을 사용하여 결과를 얻었습니다.

온라인 적분 계산기의 알고리즘은 위에 나열된 모든 속성을 지원하며 적분에 대한 자세한 솔루션을 쉽게 찾을 수 있습니다.

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이 문서에서는 정적분의 주요 속성에 대해 자세히 설명합니다. 그것들은 Riemann과 Darboux 적분의 개념을 사용하여 증명됩니다. 5가지 속성 덕분에 정적분 계산이 통과되었습니다. 나머지는 다양한 표현을 평가하는 데 사용됩니다.

정적분의 주요 속성으로 이동하기 전에 a가 b를 초과하지 않는지 확인해야 합니다.

정적분의 기본 속성

정의 1

x \u003d a에 대해 정의된 함수 y \u003d f (x) 는 공정한 평등 ∫ a a f (x) d x \u003d 0과 유사합니다.

증명 1

여기에서 우리는 일치하는 극한을 갖는 적분의 값이 0과 같다는 것을 알 수 있습니다. 간격 [ a ; a ] 그리고 x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , 이므로 임의의 점 ζ i 는 0과 같습니다. . . , n 이므로 적분 함수의 한계가 0임을 알 수 있습니다.

정의 2

구간 [ a ; b ] , 조건 ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x 를 만족합니다.

증명 2

즉, 적분의 상한과 하한을 군데군데 바꾸면 적분의 값은 반대로 값이 바뀌게 됩니다. 이 속성은 리만 적분에서 가져옵니다. 그러나 세그먼트 분할의 번호 매기기는 점 x = b에서 시작됩니다.

정의 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x는 세그먼트 [ a ; b] .

증명 3

주어진 점 ζ i의 선택으로 세그먼트로 분할하기 위한 함수 y = f (x) ± g (x)의 적분 합을 작성합니다. σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = ∑ i = 1nf (ζ i) x i - x i - 1 ± ∑ i = 1ng ζ i x i - x i - 1 = σ f ± σ g

여기서 σ f 및 σ g는 세그먼트 분할을 위한 함수 y = f(x) 및 y = g(x)의 적분 합입니다. λ = m a xi = 1 , 2 , . . . , n (xi - x i - 1) → 0 우리는 lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g를 얻습니다.

Riemann의 정의에서 이 표현은 동일합니다.

정의 4

정적분의 부호에서 상수 인수를 취합니다. 구간 [ a ; k의 임의의 값을 갖는 b ]는 ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x 형식의 유효한 부등식을 가집니다.

증명 4

명확한 적분의 속성 증명은 이전 것과 유사합니다:

σ = ∑ i = 1n k f ζ i (xi - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (xi - x i - 1) = k σ f ⇒ 한계 λ → 0 σ = 한계 λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

정의 5

y = f (x) 형식의 함수가 a ∈ x , b ∈ x 가 있는 구간 x 에서 적분 가능하면 ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x 를 얻습니다.

증명 5

속성은 c ∈ a에 대해 유효한 것으로 간주됩니다. b , c ≤ a 및 c ≥ b . 증명은 이전 속성과 유사하게 수행됩니다.

정의 6

함수가 세그먼트 [ a ; b ] 이면 모든 내부 세그먼트 c 에 대해 가능합니다. d∈a; 비.

증명 6

증명은 Darboux 속성을 기반으로 합니다. 세그먼트의 기존 파티션에 포인트가 추가되면 Darboux의 하위 합계는 감소하지 않고 상위 Darboux 합계는 증가하지 않습니다.

정의 7

함수가 [ a ; b ] f(x) ≥ 0 f(x) ≤ 0 x ∈ a 값에 대해; b 이면 ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 이 됩니다.

이 속성은 리만 적분의 정의를 사용하여 증명할 수 있습니다: f(x) ≥ 0 f(x) ≤ 0이 음이 아닌 조건으로 세그먼트 및 점 ζ i의 분할 점 선택에 대한 적분 합.

증명 7

함수 y = f(x) 및 y = g(x)가 세그먼트 [ a ; b ] 이면 다음 부등식이 유효한 것으로 간주됩니다.

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; 비

어설션 덕분에 통합이 허용됨을 알 수 있습니다. 이 추론은 다른 속성의 증명에 사용됩니다.

정의 8

적분 가능 함수 y = f(x)의 경우 세그먼트 [ a ; b ] 우리는 ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x 형식의 유효한 부등식이 있습니다.

증명 8

- f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) 입니다. 이전 속성에서 우리는 부등식을 항별로 적분할 수 있으며 - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x 형식의 부등식에 해당함을 얻었습니다. 이 이중 부등식은 다른 형식으로 쓸 수 있습니다: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

정의 9

함수 y = f(x) 및 y = g(x)가 세그먼트 [ a ; b ] 임의의 x ∈ a 에 대해 g(x) ≥ 0인 경우; b , 우리는 m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x 형식의 부등식을 얻습니다. 여기서 m = m i n x ∈ a ; b f (x) 및 M = m a x x ∈ a ; 비에프(엑스) .

증명 9

증명은 비슷한 방식으로 수행됩니다. M과 m은 가장 큰 것으로 간주되며 가장 작은 값함수 y = f (x) , 세그먼트 [ a ; b ] 이면 m ≤ f(x) ≤ M 입니다. 이중 부등식에 함수 y = g (x) 를 곱하면 m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) 형식의 이중 부등식 값이 제공됩니다. 세그먼트에 통합하는 것이 필요합니다 [ a ; b ] 그런 다음 증명할 주장을 얻습니다.

결과: g(x) = 1인 경우 부등식은 m b - a ≤ ∫ a b f(x) d x ≤ M(b - a)가 됩니다.

첫 번째 평균 공식

정의 10

y = f (x)에 대해 구간 [ a ; b ] m = m i n x ∈ a ; b f (x) 및 M = m a x x ∈ a ; b f (x) 숫자가 있습니다 μ ∈ m ; M , 이는 ∫ a b f (x) d x = μ · b - a 에 맞습니다.

결과: 함수 y = f(x)가 세그먼트 [ a ; b ] , 그런 숫자 c ∈ a 가 있습니다. b , 이는 평등 ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a 를 만족합니다.

일반화 된 형태의 평균값의 첫 번째 공식

정의 11

함수 y = f(x) 및 y = g(x)가 세그먼트 [ a ; b ] m = m i n x ∈ a ; b f (x) 및 M = m a x x ∈ a ; b f (x) , 및 g (x) > 0 x ∈ a ; 비. 따라서 우리는 숫자 μ ∈ m이 있다는 것을 알게 됩니다. M , 이는 등식 ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x 를 만족합니다.

두 번째 평균값 공식

정의 12

함수 y = f(x)가 세그먼트 [ a ; b ] 이고 y = g(x)는 단조적이며 c ∈ a인 숫자가 있습니다. b , 여기서 우리는 ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x 형식의 공정한 평등을 얻습니다.

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역도함수 및 부정 적분.

구간 (a; b)에서 역도함수 f(x)는 주어진 구간에서 임의의 x에 대해 동등성을 유지하는 함수 F(x)입니다.

상수 C의 도함수가 0이라는 사실을 고려하면 평등 . 따라서 함수 f(x)는 임의의 상수 C에 대해 역도함수 F(x)+C의 집합을 가지며 이러한 역도함수는 임의의 상수 값만큼 서로 다릅니다.

함수 f(x)의 역도함수의 전체 집합은 이 함수의 부정 적분이라고 하며 다음과 같이 표시됩니다. .

식을 피적분이라고 하고 f(x)를 피적분이라고 합니다. 피적분은 함수 f(x)의 미분입니다.

주어진 미분으로 미지의 함수를 찾는 작업을 무한 적분이라고 합니다. 적분의 결과는 하나의 함수 F(x)가 아니라 그의 역도함수 집합 F(x)+C이기 때문입니다.

테이블 적분

적분의 가장 간단한 속성

1. 적분 결과의 미분은 피적분과 같습니다.

2. 함수 미분의 부정 적분은 함수 자체와 임의의 상수의 합과 같습니다.

3. 계수는 부정 적분의 부호에서 빼낼 수 있습니다.

4. 함수의 합/차의 부정 적분은 함수의 부정 적분의 합/차와 같습니다.

부정 적분의 첫 번째 속성과 두 번째 속성의 중간 등식은 설명을 위해 제공됩니다.

세 번째와 네 번째 속성을 증명하려면 등식의 우변의 도함수를 찾는 것으로 충분합니다.

이러한 도함수는 첫 번째 속성 덕분에 증명되는 피적분과 같습니다. 마지막 전환에서도 사용됩니다.

따라서 통합 문제는 미분의 역 문제이며 이러한 문제 사이에는 매우 밀접한 관련이 있습니다.

첫 번째 속성은 통합 확인을 허용합니다. 수행된 통합의 정확성을 확인하려면 얻은 결과의 미분을 계산하는 것으로 충분합니다. 미분의 결과로 얻은 함수가 피적분과 같다면 적분이 올바르게 수행되었음을 의미합니다.

부정 적분의 두 번째 속성은 우리가 함수의 알려진 미분에서 역도함수를 찾을 수 있도록 합니다. 부정 적분의 직접 계산은 이 속성을 기반으로 합니다.

1.4 통합 형식의 불변성.

불변 적분은 인수가 그룹의 요소이거나 동차 공간의 점인 함수에 대한 적분 유형입니다(이러한 공간의 모든 점은 다른 점으로 전송될 수 있음). 지정된 작업여러 떼).

함수 f(x)는 미분 형식 f.w의 적분 계산으로 축소됩니다. 여기서

r(x)에 대한 명시적 공식은 다음과 같습니다. 계약 조건의 형식은 다음과 같습니다. .

여기서 Tg는 gOG를 사용하는 X의 시프트 연산자를 의미합니다: Tgf(x)=f(g-1x). X=G를 토폴로지, 즉 왼쪽 시프트에 의해 자체적으로 작용하는 그룹이라고 합니다. 나. 그리고. G가 국소적으로 컴팩트한 경우에만 존재합니다(특히 무한 차원 그룹에서 int.는 존재하지 않음). I. 및. 특성 함수 cA(A에서는 1이고 A 외부에서는 0임)는 왼쪽 Haar 측정값 m(A)을 정의합니다. 이 측정의 정의 속성은 왼쪽 이동 하에서의 불변성입니다: 모든 gОG에 대해 m(g-1A)=m(A). 그룹의 왼쪽 Haar 측정값은 설정된 스칼라 계수까지 고유하게 정의됩니다. Haar 측정 m이 알려진 경우 I. 및. 함수 f는 다음 공식으로 제공됩니다. . 올바른 Haar 측정값은 유사한 속성을 가집니다. 연속 동형(그룹 속성을 보존하는 매핑) 그룹 G의 DG를 그룹에(곱셈과 관련하여) 넣습니다. 숫자

여기서 dmr 및 dmi는 오른쪽 및 왼쪽 Haar 측정값입니다. 함수 DG(g)가 호출됩니다. 그룹 G의 모듈. 이면 그룹 G가 호출됩니다. 단일 모듈형; 이 경우 오른쪽 및 왼쪽 Haar 측정값은 동일합니다. 소형, 반단순 및 무능(특히, 가환) 그룹은 단일모듈입니다. G가 n차원 Lie 그룹이고 q1,...,qn이 G의 왼쪽 불변 1형 공간의 기저인 경우 G의 왼쪽 Haar 측정은 n-형으로 제공됩니다. 계산을 위한 로컬 좌표

qi를 형성하면 그룹 G의 행렬 구현을 사용할 수 있습니다. 행렬 1-form g-1dg는 왼쪽 불변이며 계수입니다. 원하는 기준이 선택되는 왼쪽 불변 스칼라 1형입니다. 예를 들어 전체 행렬 그룹 GL(n, R)은 단모듈식이며 이에 대한 Haar 측정은 형식으로 제공됩니다. 허락하다 X=G/H는 국부적으로 조밀한 그룹 G가 변환 그룹이고 닫힌 부분 그룹 H가 어떤 점의 안정화 장치인 동차 공간입니다. I.I.가 X에 존재하기 위해서는 DG(h)=DH(h)가 모든 h-H에 대해 유지되는 것이 필요하고 충분합니다. 특히 이것은 H가 compact 또는 semisimple인 경우에 해당됩니다. I. 및. 무한 차원 다양체에는 존재하지 않습니다.

변수의 변경.