축을 중심으로 회전하여 형성된 몸체의 부피를 계산하십시오. 회전체의 부피를 계산하는 방법은 무엇입니까? 축을 중심으로 평평한 도형이 회전하여 형성되는 몸체의 부피 계산

라인을 제한하자. 평면 그림은 극좌표계에서 제공됩니다.

예시: 둘레 계산: x 2 +y 2 =R 2

I 사분면에 있는 원의 네 번째 부분의 길이를 계산합니다(х≥0, y≥0).

곡선의 방정식이 매개변수 형식으로 주어지면:
, 함수 x(t), y(t)는 정의되고 구간 [α,β]에서 도함수와 함께 연속적입니다. 도함수, 다음 공식에서 대체:
그리고 주어진

우리는 얻는다
승수를 더하다
루트 기호 아래에서 우리는 마침내

참고: 평면 곡선이 제공되고 공간에서 매개변수로 제공되는 함수를 고려할 수도 있습니다. 그러면 함수 z=z(t)가 추가되고 공식

예: x=a*cos 3(t), y=a*sin 3(t), a>0 방정식으로 주어진 소행성의 길이를 계산합니다.

네 번째 부분의 길이를 계산합니다.

공식에 따라

극좌표계에서 주어진 평면 곡선의 호 길이:

극좌표계에서 곡선의 방정식이 주어집니다.
세그먼트 [α,β]에 대한 도함수와 함께 연속 함수입니다.

극좌표 전환 공식:

매개변수로 간주됩니다.

ϕ - f-le에 따른 매개변수

예: 곡선 길이 계산:
>0

Z-tion: 둘레의 절반 계산:

몸체의 단면적에서 계산된 몸체의 부피.

닫힌 표면으로 둘러싸인 몸체가 주어지고이 몸체의 모든 섹션의 면적이 Ox 축에 수직 인 평면으로 알려지게하십시오. 이 영역은 절단면의 위치에 따라 달라집니다.

전신이 x축에 수직인 두 평면 사이에 둘러싸이도록 하고 x=a, x=b(a

그러한 몸체의 부피를 결정하기 위해 우리는 Ox 축에 수직인 할선 평면을 사용하고 점에서 교차하는 물체를 층으로 나눕니다. 각 부분 간격에서
. 선택하자

각 값에 대해 i=1,… 밑변이 S=C i 이고 높이가 ∆х i 인 기본 실린더. V i =S(C i)∆x i . 그러한 모든 기본 실린더의 부피는
. 이 합이 존재하고 최대 ∆х  0에서 유한한 경우 이 합의 극한을 주어진 물체의 부피라고 합니다.

. V n 은 세그먼트에서 연속적인 함수 S(x)에 대한 적분 합계이므로 지정된 한계가 존재하고(존재의 t-ma) def로 표현됩니다. 완전한.

- 단면적에서 계산된 몸체의 부피.

혁명체의 부피:

함수 y=f(x), Ox 축 및 직선 x=a, x=b의 그래프로 경계를 이루는 곡선 사다리꼴의 Ox 축을 중심으로 회전하여 몸체를 형성합니다.

함수 y=f(x)를 정의하고 세그먼트에서 연속적이고 음이 아닌 경우 Ox에 수직인 평면에 의한 이 몸체의 단면은 반지름이 R=y(x)=f(x인 원입니다. ) . 원의 면적 S (x) \u003d Py 2 (x) \u003d P 2. 공식 대체
우리는 Ox 축을 중심으로 한 회전체의 부피를 계산하는 공식을 얻습니다.

그러나 곡선 사다리꼴이 함수에서 연속적인 그래프로 경계를 이루는 Oy 축을 중심으로 회전하는 경우 이러한 회전체의 부피는 다음과 같습니다.

다음 공식을 사용하여 동일한 부피를 계산할 수 있습니다.
. 선이 매개변수 방정식으로 주어진 경우:

변수를 변경하면 다음을 얻습니다.

선이 매개변수 방정식으로 주어진 경우:

y(α)= c , y(β)= d . y = y(t)를 변경하면 다음을 얻습니다.

포물선의 y축을 중심으로 회전체를 계산하고, .

2) 직선 y \u003d 0, 호로 둘러싸인 곡선 사다리꼴의 OX 축을 중심으로 한 회전체의 V를 계산합니다. (point(1;0)에 중심, 반경=1), .

회전체의 표면적

x축을 중심으로 곡선 y=f(x)의 회전에 의해 주어진 표면이 형성되도록 합니다. 에서 이 표면의 S를 결정할 필요가 있습니다.

함수 y \u003d f (x)가 명확하고 연속적이며 세그먼트 [a; c]의 모든 지점에서 음이 아니고 음이 아닙니다.

우리가 각각 나타내는 길이의 코드를 그리자(n-코드)

라그랑주 정리에 따르면

외접 파선 전체의 표면적은 다음과 같습니다.

정의: 이 합계의 한계가 유한한 경우 최대 폴리라인의 최대 링크를 회전 표면의 고려 영역이라고 합니다.

합의 백 극한이 p번째에 대한 적분 합의 극한과 같다는 것을 증명할 수 있습니다.

회전체의 S면 공식 =

에서 Oy 축을 중심으로 곡선 x=g(x)의 호의 회전에 의해 형성된 표면의 S

파생물과 연속

곡선이 ur-mi에 의해 매개변수적으로 주어지면엑스=x(t) ,와이= 티(티) 기능엑스’(티), 와이’(티), 엑스(티), 와이(티) 세그먼트 [ㅏ; 비], 엑스(ㅏ)= ㅏ, 엑스(비)= 비그런 다음 대체 변경엑스= 엑스(티)

곡선이 매개변수로 주어지면 공식을 변경하면 다음을 얻습니다.

극좌표계에서 곡선의 방정식이 주어지면

에스축 주위의 회전 표면은 다음과 같습니다.

제외하고 한정적분을 사용하여 평평한 그림의 면적 찾기 (7.2.3 참조)테마의 가장 중요한 적용은 회전체의 부피 계산. 자료는 간단하지만 독자는 준비해야 합니다. 무한 적분중간 복잡성 및 Newton-Leibniz 공식을 한정적분, n강력한 도면 기술도 필요합니다. 일반적으로 적분 미적분에는 많은 흥미로운 응용 프로그램이 있습니다; 한정 적분을 사용하여 도형의 면적, 회전체의 부피, 호의 길이, 의 표면적을 계산할 수 있습니다 몸, 그리고 훨씬 더. 좌표 평면에 평평한 그림을 상상해보십시오. 대표? ... 이제 이 그림도 회전할 수 있으며 두 가지 방법으로 회전할 수 있습니다.

- x축 주위 ;

- y축 주위 .

두 경우를 모두 살펴보겠습니다. 두 번째 회전 방법은 특히 흥미롭고 가장 큰 어려움을 야기하지만 실제로 솔루션은 x축을 중심으로 더 일반적인 회전에서와 거의 동일합니다. 가장 인기 있는 회전 유형부터 시작하겠습니다.

축을 중심으로 평평한 도형이 회전하여 형성되는 몸체의 부피 계산 황소

실시예 1

축을 중심으로 선으로 둘러싸인 그림을 회전하여 얻은 몸체의 부피를 계산하십시오.

해결책:지역을 찾는 문제와 마찬가지로, 솔루션은 평평한 그림의 그림으로 시작됩니다.. 즉, 비행기에서 조이방정식이 축을 정의한다는 것을 잊지 않으면서 선으로 둘러싸인 도형을 구성할 필요가 있습니다. 여기 그림은 매우 간단합니다.

원하는 평면 그림은 파란색으로 음영 처리되며 축을 중심으로 회전하는 것은 바로 그녀입니다. 회전의 결과, 축에 두 개의 날카로운 봉우리가 있는 약간 달걀 모양의 비행 접시가 얻어집니다. 황소, 축에 대해 대칭 황소. 사실, 몸에는 수학적인 이름이 있습니다. 참고서에서 보세요.

회전체의 부피를 계산하는 방법은 무엇입니까? 축을 중심으로 회전하여 몸체가 형성된 경우황소, 정신적으로 작은 두께의 평행한 층으로 나뉩니다. DX축에 수직인 것 황소. 전신의 부피는 분명히 그러한 기본 층의 부피의 합과 같습니다. 레몬의 둥근 조각과 같은 각 레이어는 낮은 실린더 높이입니다. DX그리고 기본 반경으로 에프(엑스). 그러면 한 층의 부피는 기본 면적 π의 곱입니다. 에프 2 원통 높이( DX), 또는 π∙ 에프 2 (엑스)∙DX. 그리고 전체 회전체의 면적은 기본 체적의 합 또는 해당하는 적분입니다. 회전체의 부피는 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.

적분 한계 "be"와 "be"를 설정하는 방법은 완성된 도면에서 쉽게 추측할 수 있습니다. 기능...이 기능은 무엇입니까? 도면을 봅시다. 평평한 그림은 위에서 포물선 그래프로 경계를 이룹니다. 이것은 공식에 내포된 기능입니다. 실제 작업에서 평면 그림은 때때로 축 아래에 위치할 수 있습니다. 황소. 이것은 아무 것도 변경하지 않습니다. 공식의 함수는 제곱됩니다. 에프 2 (엑스), 이와 같이, 회전체의 부피는 항상 음수가 아니다., 이것은 매우 논리적입니다. 이 공식을 사용하여 회전체의 부피를 계산하십시오.

우리가 이미 언급했듯이 적분은 거의 항상 단순한 것으로 밝혀졌으며 가장 중요한 것은 조심하는 것입니다.

대답:

대답에서 치수 - 입방 단위를 표시해야합니다. 즉, 우리 몸의 회전에는 약 3.35개의 "입방체"가 있습니다. 왜 정확히 입방체 단위? 가장 보편적인 공식이기 때문입니다. 입방 센티미터, 입방 미터, 입방 킬로미터 등이 있을 수 있습니다. 이것이 여러분의 상상이 비행 접시에 들어갈 수 있는 작은 녹색 남자의 수입니다.

실시예 2

축을 중심으로 회전하여 형성된 몸체의 부피 구하기 황소선으로 둘러싸인 그림 , , .

이것은 직접 만든 예입니다. 수업이 끝날 때 완전한 솔루션과 답변.

실시예 3

, , 로 둘러싸인 도형의 가로축을 중심으로 회전하여 얻은 몸체의 부피를 계산합니다.

해결책:방정식이 엑스= 0은 축을 지정합니다. 오이:

원하는 그림은 파란색으로 음영 처리됩니다. 축을 중심으로 회전할 때 황소평평한 각진 베이글 (두 개의 원추형 표면이있는 와셔)이 나옵니다.

회전체의 부피는 다음과 같이 계산됩니다. 체적 차이. 먼저 빨간색 원으로 표시된 그림을 살펴보겠습니다. 축을 중심으로 회전할 때 황소잘린 원뿔이 생깁니다. 이 잘린 원뿔의 부피를 다음과 같이 표시합시다. V 1 .

녹색 원으로 표시된 그림을 고려하십시오. 이 그림을 축을 중심으로 회전시키면 황소, 그럼 당신은 또한 약간 작은 잘린 원뿔을 얻습니다. 부피를 다음과 같이 표시합시다. V 2 .

확실히 볼륨차이는 V = V 1 - V 2는 "도넛"의 부피입니다.

회전체의 부피를 구하는 표준 공식을 사용합니다.

1) 빨간색 원으로 표시된 그림은 위에서부터 직선으로 경계가 지정되므로 다음과 같습니다.

2) 녹색 원으로 표시된 그림은 위에서부터 직선으로 경계가 지정되므로 다음과 같습니다.

3) 원하는 회전체의 부피:

대답:

이 경우 잘린 원뿔의 부피를 계산하는 학교 공식을 사용하여 솔루션을 확인할 수 있다는 것이 궁금합니다.

결정 자체는 종종 다음과 같이 더 짧아집니다.

정의 3. 회전체는 평면과 교차하지 않고 같은 평면에 있는 축을 중심으로 평평한 도형을 회전시켜 얻은 몸체입니다.

회전축은 그림의 대칭축인 경우 그림과 교차할 수도 있습니다.

정리 2.
, 축
및 직선 세그먼트
그리고

축을 중심으로 회전
. 그런 다음 결과 회전체의 부피는 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.

(2)

증거. 이러한 몸체의 경우 가로 좌표가 있는 섹션 반지름의 원입니다
, 수단
식 (1)은 원하는 결과를 제공합니다.

그림이 두 연속 함수의 그래프로 제한되는 경우
그리고
, 및 선분
그리고
, 게다가
그리고
, 그런 다음 가로 좌표축을 중심으로 회전하면 부피가 다음과 같은 몸체를 얻습니다.

실시예 3 원으로 둘러싸인 원을 회전시켜 얻은 토러스의 부피 계산

x축을 중심으로

아르 자형 해결책. 지정된 원은 함수의 그래프에 의해 아래에서 경계가 지정됩니다.
, 이상 -
. 이 함수의 제곱의 차이:

원하는 볼륨

(피적분의 그래프는 위쪽 반원이므로 위에 적분은 반원의 면적입니다).

실시예 4 베이스가 있는 포물선 세그먼트
, 높이 , 베이스를 중심으로 회전합니다. 결과 바디(Cavalieri의 "레몬")의 부피를 계산합니다.

아르 자형 해결책. 그림과 같이 포물선을 놓습니다. 그런 다음 그 방정식
, 그리고
. 매개변수의 값을 구해보자 :
. 따라서 원하는 볼륨:

정리 3. 음이 아닌 연속 함수의 그래프로 경계를 이루는 곡선 사다리꼴을 둡니다.
, 축
및 직선 세그먼트
그리고
, 게다가
, 축을 중심으로 회전
. 그런 다음 결과 회전체의 부피는 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

(3)

증거 아이디어. 세그먼트 분할
점

, 부분으로 만들고 직선을 그립니다.
. 전체 사다리꼴은 스트립으로 분해되며 밑면이 있는 대략 직사각형으로 간주될 수 있습니다.
그리고 높이
.

이러한 직사각형의 회전으로 인해 생성된 원통은 모선을 따라 절단되고 펼쳐집니다. 차원과 "거의" 평행 육면체를 얻습니다.
,
그리고
. 볼륨
. 따라서 회전체의 부피에 대해 우리는 대략적인 평등을 가질 것입니다.

정확한 평등을 얻으려면 다음 극한까지 전달해야 합니다.
. 위에 쓰여진 합은 함수에 대한 적분 합입니다
, 따라서 극한에서 우리는 공식 (3)에서 적분을 얻습니다. 정리가 증명되었습니다.

비고 1. 정리 2와 3에서 조건
생략 가능: 공식 (2)는 일반적으로 부호에 둔감합니다.
, 그리고 식 (3)에서 충분하다
~로 교체되다
.

실시예 5 포물선 세그먼트(베이스
, 키 )는 높이를 중심으로 회전합니다. 결과 몸체의 부피를 찾으십시오.

해결책. 그림과 같이 포물선을 정렬합니다. 그리고 회전축이 그림과 교차하지만 축은 대칭축입니다. 따라서 세그먼트의 오른쪽 절반만 고려해야 합니다. 포물선 방정식
, 그리고
, 수단
. 우리는 볼륨:

비고 2. 곡선 사다리꼴의 곡선 경계가 매개변수 방정식으로 주어지면
,
,
그리고
,
그런 다음 공식 (2) 및 (3)을 대체와 함께 사용할 수 있습니다. 에
그리고
에
바뀔 때 티~에서
~ 전에 .

실시예 6 그림은 사이클로이드의 첫 번째 호로 둘러싸여 있습니다.
,
,
, 그리고 가로축. 이 그림을 중심으로 회전하여 얻은 몸체의 부피를 찾으십시오. 1) 축
; 2) 차축
.

해결책. 1) 일반식
우리의 경우:

2) 일반식
우리 그림의 경우:

우리는 학생들이 모든 계산을 스스로 하도록 권장합니다.

비고 3. 연속선으로 경계를 이루는 곡선 섹터를 보자
그리고 광선
,

, 극축을 중심으로 회전합니다. 결과 몸체의 부피는 공식으로 계산할 수 있습니다.

실시예 7 카디오이드로 둘러싸인 그림의 일부
, 원 밖에 누워
, 극축을 중심으로 회전합니다. 결과 몸체의 부피를 찾으십시오.

해결책. 두 선 모두 극축에 대해 대칭입니다. 따라서 해당 부분만 고려할 필요가 있다.
. 곡선은 에서 교차합니다.
그리고

~에
. 또한 그림은 두 섹터의 차이로 간주할 수 있으므로 볼륨은 두 적분의 차이로 계산할 수 있습니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

작업 독립적인 솔루션을 위해.

1. 밑면이 있는 원형 세그먼트
, 키 , 베이스를 중심으로 회전합니다. 회전체의 부피를 구하십시오.

2. 밑변이 되는 회전 포물면의 부피 구하기 , 그리고 높이는 .

3. 소행성으로 둘러싸인 그림
,
x축을 중심으로 회전합니다. 이 경우에 얻은 몸체의 부피를 찾으십시오.

4. 선으로 둘러싸인 그림
그리고
x축을 중심으로 회전합니다. 회전체의 부피를 구하십시오.

적분을 사용하여 회전체의 부피 찾기

수학의 실용적인 유용성은

특정 수학적 지식은 장치의 원리와 현대 기술의 사용을 이해하기 어렵게 만듭니다. 인생의 각 사람은 다소 복잡한 계산을 수행하고 일반적으로 사용되는 장비를 사용하고 참고서에서 필요한 공식을 찾고 문제 해결을 위한 간단한 알고리즘을 구성해야 합니다. 현대 사회에서는 높은 수준의 교육을 요구하는 전문 분야가 점점 더 수학의 직접 적용과 관련됩니다. 따라서 학생에게 수학은 전문적으로 중요한 과목이 됩니다. 주도적 역할은 알고리즘 사고의 형성에서 수학에 속하며 주어진 알고리즘에 따라 행동하고 새로운 알고리즘을 설계하는 능력을 기른다.

적분을 사용하여 회전체의 부피를 계산하는 주제를 연구하면서 선택 수업의 학생들에게 "적분을 사용한 회전체의 부피"라는 주제를 고려하는 것이 좋습니다. 다음은 이 주제를 다루기 위한 몇 가지 지침입니다.

1. 평평한 그림의 면적.

대수학 과정에서 우리는 실제적인 성격의 문제가 한정적분의 개념을 이끌어 냈다는 것을 알고 있습니다. 그 중 하나는 연속선 y=f(x)(여기서 f(x)DIV_ADBLOCK243">

사다리꼴의 밑면이 x축에 있는 경우 공식을 사용하거나 공식 https://pandia.ru/text/77/502/images/image004_49.jpg" width=를 사용하여 곡선 사다리꼴의 면적을 계산합니다. "526" 높이="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" 너비="127" 높이="25 src=">.

파선 y=f(x), Ox 축, 직선 x=a 및 x=b로 경계를 이루는 Ox 축 주위의 곡선 사다리꼴의 회전에 의해 형성된 회전체의 부피를 찾기 위해 다음을 계산합니다. 공식에 의해

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. 실린더의 부피.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">원뿔은 회전하여 얻습니다. 정삼각형레그 AC가 있는 Ox 축 주위의 ABC(C=90).

세그먼트 AB는 y=kx+c 라인에 있으며, 여기서 https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">입니다.

a=0, b=H(H는 원뿔의 높이)로 설정한 다음 Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. 잘린 원뿔의 부피.

잘린 원뿔은 회전하여 얻을 수 있습니다. 직사각형 사다리꼴 Ox 축 주위의 ABCD(CDOx).

세그먼트 AB는 y=kx+c 라인에 있으며, 여기서 , c=r.