11.1. مفاهیم اساسی

بیایید خطوط تعریف شده توسط معادلات درجه دوم را نسبت به مختصات فعلی در نظر بگیریم

ضرایب معادله اعداد واقعی است ، اما حداقل یکی از اعداد A ، B یا C Nonzero است. به این خطوط خط (منحنی) مرتبه دوم گفته می شود. در زیر مشخص خواهد شد که معادله (11.1) یک دایره ، بیضوی ، هایپرولا یا پارابولا را در هواپیما تعریف می کند. قبل از حرکت به این بیانیه ، اجازه دهید خواص منحنی های ذکر شده را مطالعه کنیم.

11.2. دایره

ساده ترین منحنی مرتبه دوم یک دایره است. به یاد بیاورید که یک دایره از شعاع R با مرکز در یک نقطه ، مجموعه ای از تمام نقاط M هواپیما است که شرایط را برآورده می کند. بگذارید یک نقطه در یک سیستم مختصات مستطیل شکل دارای مختصات x 0 ، y 0 و - یک نقطه دلخواه در دایره باشد (شکل 48 را ببینید).

سپس از شرط معادله را بدست می آوریم

(11.2)

معادله (11.2) با مختصات هر نقطه از یک دایره مشخص می شود و با مختصات هیچ نقطه ای که روی دایره قرار ندارد ارضا نمی شود.

معادله (11.2) نامیده می شود معادله متعارفدایره

به طور خاص ، تنظیم و ، ما معادله یک دایره را با مرکز در مبدا بدست می آوریم .

معادله دایره (11.2) پس از تحولات ساده شکل می گیرد. هنگام مقایسه این معادله با معادله کلی(11.1) از منحنی مرتبه دوم ، به راحتی می توان متوجه شد که برای معادله یک دایره دو شرط راضی است:

1) ضرایب برای x 2 و y 2 برابر با یکدیگر هستند.

2) هیچ عضو حاوی محصول XY از مختصات فعلی وجود ندارد.

بیایید مشکل معکوس را در نظر بگیریم. قرار دادن مقادیر و در معادله (11.1) ، ما بدست می آوریم

بیایید این معادله را تبدیل کنیم:

(11.4)

از این رو نتیجه می گیرد که معادله (11.3) یک دایره را تحت شرایط تعریف می کند . مرکز آن در نقطه است ، و شعاع

.

اگر ، سپس معادله (11.3) شکل می گیرد

.

با مختصات یک نقطه ارضا می شود . در این مورد می گویند: "دایره به یک نقطه منحط شده است" (شعاع صفر دارد).

اگر ، سپس معادله (11.4) و بنابراین معادله معادل (11.3) هیچ خطی را تعریف نخواهد کرد، زیرا سمت راست معادله (11.4) منفی است و سمت چپ منفی نیست (مثلاً: "دایره خیالی").

11.3. بیضی

معادله بیضی متعارف

بیضی مجموعه تمام نقاط یک صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها تا دو نقطه داده شده از این صفحه نامیده می شود. ترفندها ، یک مقدار ثابت بزرگتر از فاصله بین کانون ها است.

بگذارید فوکوس ها را با علامت گذاری کنیم F 1و F 2، فاصله بین آنها 2 است ج، و مجموع فواصل از یک نقطه دلخواه بیضی تا کانون - در 2 آ(شکل 49 را ببینید). طبق تعریف 2 آ > 2ج، یعنی آ > ج.

برای استخراج معادله بیضی، یک سیستم مختصات را انتخاب می کنیم تا کانون ها F 1و F 2روی محور قرار داشت و مبدأ با وسط بخش منطبق بود F 1 F 2. سپس کانون ها دارای مختصات زیر خواهند بود: و .

اجازه دهید یک نقطه دلخواه از بیضی باشد. سپس با توجه به تعریف بیضی، یعنی.

این، در اصل، معادله یک بیضی است.

اجازه دهید معادله (11.5) را به شکل ساده تر به صورت زیر تبدیل کنیم:

زیرا آ>با, آن . بگذاریم

(11.6)

سپس آخرین معادله فرم یا

(11.7)

می توان ثابت کرد که معادله (11.7) معادل معادله اصلی است. نامیده می شود معادله بیضی متعارف .

بیضی منحنی مرتبه دوم است.

بررسی شکل یک بیضی با استفاده از معادله آن

اجازه دهید شکل بیضی را با استفاده از معادله متعارف آن تعیین کنیم.

1. معادله (11.7) حاوی x و y فقط در توان زوج است، بنابراین اگر نقطه ای متعلق به یک بیضی باشد، نقاط ,, نیز به آن تعلق دارند. بدین ترتیب بیضی از نظر محور و و همچنین نسبت به نقطه ای که مرکز بیضی نامیده می شود متقارن است.

2. نقاط تقاطع بیضی را با محورهای مختصات بیابید. با قرار دادن، دو نقطه و را پیدا می کنیم که در آن محور بیضی را قطع می کند (شکل 50 را ببینید). با قرار دادن معادله (11.7) نقاط تقاطع بیضی را با محور: و می یابیم. نکته ها آ 1 , الف 2 , ب 1, ب 2نامیده می شوند رئوس بیضی. بخش ها آ 1 الف 2و B 1 B 2، و همچنین طول آنها 2 آو 2 ببر این اساس نامیده می شوند محورهای اصلی و فرعیبیضی شماره آو ببه ترتیب بزرگ و کوچک خوانده می شوند شفت های محوربیضی

3. از رابطه (11.7) چنین بر می آید که هر جمله در سمت چپ از یک تجاوز نمی کند، یعنی. نابرابری ها و یا اتفاق می افتد. در نتیجه، تمام نقاط بیضی در داخل مستطیلی قرار دارند که توسط خطوط مستقیم تشکیل شده است.

4. در رابطه (11.7)، مجموع عبارت های غیر منفی و برابر با یک است. در نتیجه، با افزایش یک عبارت، عبارت دیگر کاهش می یابد، یعنی اگر افزایش یابد، کاهش می یابد و بالعکس.

از موارد فوق چنین استنباط می شود که بیضی شکل نشان داده شده در شکل 1 را دارد. 50 (منحنی بسته بیضی).

اطلاعات اضافیدر مورد بیضی

شکل بیضی به نسبت بستگی دارد. هنگامی که بیضی به دایره تبدیل می شود، معادله بیضی (11.7) شکل می گیرد. این نسبت اغلب برای مشخص کردن شکل یک بیضی استفاده می شود. نسبت نصف فاصله بین کانون ها به محور نیمه اصلی بیضی را خروج از مرکز بیضی و o6o با حرف ε ("epsilon") نشان داده می شود.

با 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

این نشان می دهد که هر چه خروج از مرکز بیضی کوچکتر باشد، بیضی کمتر مسطح می شود. اگر ε = 0 را تنظیم کنیم، بیضی به دایره تبدیل می شود.

فرض کنید M(x;y) یک نقطه دلخواه از بیضی با کانون های F 1 و F 2 باشد (شکل 51 را ببینید). طول قطعات F 1 M = r 1 و F 2 M = r 2 را شعاع کانونی نقطه M می نامند. به طور مشخص،

فرمول ها نگه دارند

خطوط مستقیم خوانده می شود

قضیه 11.1.اگر فاصله یک نقطه دلخواه از بیضی تا مقداری کانونی باشد، d فاصله همان نقطه تا جهت متناظر با این کانون است، آنگاه این نسبت یک مقدار ثابت برابر با خروج از مرکز بیضی است:

از برابری (11.6) چنین بر می آید که . اگر، پس معادله (11.7) یک بیضی را تعریف می کند که محور اصلی آن روی محور Oy و محور کوچک روی محور Ox قرار دارد (شکل 52 را ببینید). کانون چنین بیضی در نقاط و، جایی است که .

11.4. هذلولی

معادله هذلولی متعارف

هایپربولی مجموعه تمام نقاط صفحه است، مدول اختلاف فاصله هر یک از آنها تا دو نقطه داده شده از این صفحه، به نام ترفندها ، یک مقدار ثابت کمتر از فاصله بین کانون ها است.

بگذارید فوکوس ها را با علامت گذاری کنیم F 1و F 2فاصله بین آنها است 2 ثانیه، و مدول تفاوت در فواصل از هر نقطه هذلولی تا کانون از طریق 2a. الف- مقدماتی 2a < 2 ثانیه، یعنی آ < ج.

برای استخراج معادله هذلولی، یک سیستم مختصات را انتخاب می کنیم تا کانون ها F 1و F 2روی محور قرار داشت و مبدأ با وسط بخش منطبق بود F 1 F 2(شکل 53 را ببینید). سپس کانون ها دارای مختصات و

اجازه دهید یک نقطه دلخواه از هذلولی باشد. سپس با توجه به تعریف هذلولی یا، یعنی پس از ساده سازی ها، همانطور که هنگام استخراج معادله بیضی انجام شد، به دست می آوریم معادله هذلولی متعارف

(11.9)

(11.10)

هذلولی خطی از مرتبه دوم است.

بررسی شکل هذلولی با استفاده از معادله آن

اجازه دهید با استفاده از معادله هذلولی شکل آن را تعیین کنیم.

1. معادله (11.9) حاوی x و y فقط در توان های زوج است. در نتیجه، هذلولی در مورد محورها و همچنین در مورد نقطه متقارن است که به نام مرکز هذلولی

2. نقاط تقاطع هذلولی را با محورهای مختصات بیابید. با قرار دادن معادله (11.9)، دو نقطه تقاطع هذلولی با محور پیدا می کنیم: و. با قرار دادن (11.9)، ما دریافت می کنیم که نمی تواند باشد. بنابراین، هذلولی محور Oy را قطع نمی کند.

نقاط نامیده می شود قله ها هذلولی ها و بخش

محور واقعی ، بخش خط - نیم محور واقعی هایپربولی

قطعه اتصال نقاط نامیده می شود محور خیالی ، شماره b - نیمه محور خیالی . مستطیل با طرفین 2aو 2bتماس گرفت مستطیل اصلی هذلولی .

3. از معادله (11.9) چنین بر می آید که مینیوند کمتر از یک نیست، یعنی آن یا . این بدان معنی است که نقاط Hyperbola در سمت راست خط (شاخه سمت راست Hyperbola) و در سمت چپ خط (شاخه سمت چپ Hyperbola) قرار دارد.

4. از معادله (11.9) هذلولی مشخص می شود که وقتی افزایش می یابد، افزایش می یابد. این از این واقعیت ناشی می شود که تفاوت یک مقدار ثابت برابر با یک را حفظ می کند.

از موارد فوق چنین استنباط می شود که هذلولی دارای شکل نشان داده شده در شکل 54 است (منحنی متشکل از دو شاخه نامحدود).

مجانب هذلولی

خط مستقیم L مجانبی نامیده می شود منحنی بی حد و حصر K ، اگر فاصله d از نقطه M از منحنی K به این خط مستقیم به صفر برسد وقتی فاصله نقطه M در امتداد منحنی K از مبدا نامحدود باشد. شکل 55 تصویری از مفهوم مجانب ارائه می دهد: خط مستقیم L مجانبی برای منحنی K است.

اجازه دهید نشان دهیم که هذلولی دو مجانب دارد:

(11.11)

از آنجا که خطوط مستقیم (11.11) و Hyperbola (11.9) با توجه به محورهای مختصات متقارن هستند ، کافی است که فقط آن نقاط خطوط مشخص شده را که در سه ماهه اول قرار دارند ، در نظر بگیرید.

اجازه دهید یک نقطه N روی یک خط مستقیم که همان آبسیسا x با نقطه هذلولی دارد، در نظر بگیریم. (شکل 56 را ببینید)، و تفاوت ΜΝ بین مختصات خط مستقیم و شاخه هذلولی را بیابید:

همانطور که می بینید، با افزایش x، مخرج کسر افزایش می یابد. شمارنده یک مقدار ثابت است. بنابراین، طول بخش μν تمایل به صفر دارد. از آنجایی که MΝ بزرگتر از فاصله d از نقطه M تا خط است، پس d به سمت صفر میل می کند. بنابراین، خطوط مجانبی از هذلول هستند (11.9).

هنگام ساخت یک هذلولی (11.9)، توصیه می شود ابتدا مستطیل اصلی هذلولی را بسازید (شکل 57 را ببینید)، خطوط مستقیمی را که از رئوس مخالف این مستطیل عبور می کنند ترسیم کنید - مجانب هذلولی و علامت گذاری رئوس و . از Hyperbola.

معادله هذلولی متساوی الاضلاع.

مجانبی که محورهای مختصات آن هستند

هذلول (11.9) متساوی الاضلاع نامیده می شود که نیم محورهای آن برابر با () باشد. معادله متعارف آن

(11.12)

مجانب هذلولی متساوی الاضلاع معادلاتی دارند و بنابراین نیمساز زوایای مختصات هستند.

بیایید معادله این هذلولی را در یک سیستم مختصات جدید در نظر بگیریم (نگاه کنید به شکل 58)، که با چرخش محورهای مختصات توسط یک زاویه از سیستم قدیمی به دست آمده است. ما از فرمول ها برای چرخش محورهای مختصات استفاده می کنیم:

مقادیر x و y را با معادله (11.12) جایگزین می کنیم:

معادله هذلولی متساوی الاضلاع، که محورهای Ox و Oy مجانب آن هستند، شکل خواهد داشت.

اطلاعات بیشتر در مورد Hyperbole

عجیب و غریب هذلولی (11.9) نسبت فاصله بین کانون ها به مقدار محور واقعی هذلولی است که با ε نشان داده می شود:

از آنجایی که برای یک هذلولی، خروج از مرکز هذلولی بزرگتر از یک است: . خروج از مرکز شکل هذلولی را مشخص می کند. در واقع، از برابری (11.10) چنین بر می آید که i.e. و .

از این جا می توان دریافت که هر چه گریز از مرکز هذلول کوچکتر باشد، نسبت نیم محورهای آن کمتر است و بنابراین مستطیل اصلی آن کشیده تر است.

خروج از مرکز هذلولی متساوی الاضلاع است. واقعا،

شعاع کانونی و برای نقاط شاخه سمت راست، هذلولی ها شکل و را دارند و برای شاخه چپ - و .

خطوط مستقیم را جهات هذلولی می نامند. از آنجا که برای یک hyperbola ε> 1 ، سپس. این بدان معنی است که جهت راست بین مرکز و راس راست هذلولی، سمت چپ - بین مرکز و راس چپ قرار دارد.

جهات یک هذلولی دارای همان خاصیت جهت یک بیضی است.

منحنی تعریف شده توسط معادله نیز یک هذلولی است که محور واقعی 2b آن بر روی محور Oy و محور فرضی 2 قرار دارد. آ- در محور Ox. در شکل 59 به عنوان یک خط نقطه نشان داده شده است.

واضح است که هذلولی ها مجانب مشترکی دارند. چنین هیپربول ها کونژوگه نامیده می شوند.

11.5. سهمی

معادله سهمی متعارف

سهمی مجموعه ای از تمام نقاط صفحه است که هر یک از آنها به یک اندازه از یک نقطه معین که کانون نامیده می شود و یک خط معین به نام جهت یابی فاصله دارند. فاصله کانون F تا جهات را پارامتر سهمی می نامند و با p نشان داده می شود (p > 0).

برای به دست آوردن معادله سهمی، سیستم مختصات Oxy را انتخاب می کنیم تا محور Ox از کانون F عمود بر جهات در جهت جهت مستقیم به F عبور کند و مبدأ مختصات O در وسط بین تمرکز و جهت (نگاه کنید به شکل 60). در سیستم انتخاب شده، فوکوس F دارای مختصاتی است و معادله مستقیم دارای شکل یا است.

1. در رابطه (11.13) متغیر y در یک درجه زوج ظاهر می شود، به این معنی که سهمی متقارن با محور Ox است. محور Ox، محور تقارن سهمی است.

2. از آنجا که ρ > 0، از (11.13) نتیجه می شود که . در نتیجه سهمی در سمت راست محور Oy قرار دارد.

3. وقتی y = 0 داریم. بنابراین سهمی از مبدا می گذرد.

4. با افزایش x به طور نامحدود، ماژول y نیز به طور نامحدود افزایش می یابد. سهمی شکل (شکل) را دارد که در شکل 61 نشان داده شده است. نقطه O(0; 0) راس سهمی نامیده می شود، قطعه FM = r شعاع کانونی نقطه M نامیده می شود.

معادلات ، ، ( p>0) همچنین سهمی ها را تعریف می کنند، آنها در شکل 62 نشان داده شده اند

به راحتی می توان نشان داد که نمودار یک مثلث درجه دوم، که در آن، B و C هر اعداد حقیقی هستند، یک سهمی به معنای تعریف آن در بالا است.

11.6. معادله عمومی خطوط مرتبه دوم

معادلات منحنی های مرتبه دوم با محورهای تقارن موازی با محورهای مختصات

اجازه دهید ابتدا معادله بیضی را با مرکز در نقطه ای پیدا کنیم که محورهای تقارن آن با محورهای مختصات Ox و Oy موازی هستند و نیم محورها به ترتیب برابر هستند. آو ب. اجازه دهید در مرکز بیضی O 1 ابتدای یک سیستم مختصات جدید قرار دهیم که محورها و نیمه محورهای آن آو ب(شکل 64 را ببینید):

در نهایت، سهمی های نشان داده شده در شکل 65 دارای معادلات متناظر هستند.

معادله

معادلات بیضی، هذلولی، سهمی و معادله یک دایره پس از تبدیل (پرانتزهای باز، انتقال همه عبارت های معادله به یک طرف، آوردن عبارت های مشابه، معرفی نمادهای جدید برای ضرایب) را می توان با استفاده از یک معادله منفرد نوشت. فرم

که در آن ضرایب A و C همزمان با صفر برابر نیستند.

این سوال مطرح می شود: آیا هر معادله شکل (11.14) یکی از منحنی های مرتبه دوم (دایره، بیضی، هذلولی، سهمی) را تعیین می کند؟ پاسخ با قضیه زیر داده می شود.

قضیه 11.2. معادله (11.14) همیشه تعریف می کند: یا یک دایره (برای A = C)، یا یک بیضی (برای A C > 0)، یا یک هذلولی (برای A C)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

معادله مرتبه دوم عمومی

اکنون یک معادله کلی درجه دوم با دو مجهول را در نظر می گیریم:

با معادله (11.14) با وجود یک جمله با حاصلضرب مختصات (B10) تفاوت دارد. می توان با چرخش محورهای مختصات با زاویه a، این معادله را طوری تبدیل کرد که عبارت حاصلضرب مختصات وجود نداشته باشد.

استفاده از فرمول های چرخش محور

بیایید مختصات قدیمی را بر حسب مختصات جدید بیان کنیم:

اجازه دهید زاویه a را طوری انتخاب کنیم که ضریب x" · y" صفر شود، یعنی تساوی

بنابراین، هنگامی که محورها با زاویه a که شرایط (11.17) را برآورده می کند، چرخش می کنند، معادله (11.15) به معادله (11.14) کاهش می یابد.

نتیجه: معادله مرتبه دوم عمومی (11.15) در صفحه (به استثنای موارد انحطاط و زوال) منحنی های زیر را تعریف می کند: دایره، بیضی، هذلولی، سهمی.

نکته: اگر A = C باشد، معادله (11.17) بی معنا می شود. در این مورد، cos2α = 0 (نگاه کنید به (11.16))، سپس 2α = 90 درجه، یعنی α = 45 درجه. بنابراین، هنگامی که A = C، سیستم مختصات باید 45 درجه بچرخد.

(MIF-2، شماره 3، 2005)

خطوط مرتبه دوم در هواپیما

ص 1. تعریف یک خط مرتبه دوم

صفحه ای را در نظر بگیرید که روی آن یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی (XOY) مشخص شده است. سپس هر نقطه M به طور یکتا با مختصات آن (x,y) تعیین می شود. علاوه بر این، هر جفت اعداد (x، y) نقطه خاصی را در صفحه تعریف می کنند. مختصات نقاط ممکن است شرایط خاصی را برآورده کند، به عنوان مثال، برخی از معادله f(x, y) = 0 با توجه به مجهولات (x, y). در این صورت می گویند که معادله f(x,y)=0 رقم خاصی را در صفحه تعریف می کند. بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال 1.تابع را در نظر بگیرید y= f( ایکس). مختصات نقاط روی نمودار این تابع معادله را برآورده می کند y– f( ایکس) = 0.

مثال 2.معادله (*)، که در آن آ, ب, ج- برخی از اعداد خط مستقیم مشخصی را در صفحه مشخص می کنند. (معادلات فرم (*) نامیده می شود خطی).

مثال 3.نمودار هذلولی از نقاطی تشکیل شده است که مختصات آنها معادله https://pandia.ru/text/80/134/images/image004_92.gif" width="161" height="25"> را برآورده می کند.

تعریف 1. معادله فرم (**) ، که در آن حداقل یکی از ضرایب DIV_ADBLOCK53"> است

ما به هندسی و مشخصات فیزیکیخطوط ذکر شده در بالا. بیایید با یک بیضی شروع کنیم.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image008_54.gif" width="79" height="44 src="> (1).

معادله (1) نامیده می شود ابتداییمعادله بیضی

شکل بیضی را می توان از شکل 1 قضاوت کرد.

بگذار آن را بگذاریم. نقاط نامیده می شود ترفندهابیضی تعدادی از خواص جالب در ارتباط با ترفندها وجود دارد که در ادامه به آنها خواهیم پرداخت.

تعریف 4. هایپربولی شکلی در صفحه ای است که مختصات تمام نقاط آن معادله را برآورده می کند

(2).

معادله (2) نامیده می شود ابتداییمعادله هذلولی نوع هذلولی را می توان از شکل 2 قضاوت کرد.

بگذار آن را بگذاریم. نقاط نامیده می شود ترفندهاهایپربولی پارامتر آتماس گرفت معتبر، و پارامتر ب- نیمه محور خیالیهذلولی ها، به ترتیب گاو نر- واقعی، و اوه- محور خیالی Hyperbola.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image016_34.gif" width="61" height="41">، نامیده می شوند مجانبی. در ارزش های بزرگپارامتر ایکسنقاط مجانب به شاخه های هذلولی بی نهایت نزدیک می شوند. در شکل 2 مجانب با خطوط نقطه چین نشان داده شده است.

تعریف 5. سهمی شکلی در صفحه ای است که مختصات تمام نقاط آن معادله را برآورده می کند

https://pandia.ru/text/80/134/images/image018_28.gif" width="47" height="45 src=">.

P. 3. ویژگی های LVP Focuss

برای هر LVP در A.2. نکات ویژه مشخص شد - ترفندها. این نکات در تبیین خواص مهم بیضی، هذلولی و سهمی نقش زیادی دارند. ما این خصوصیات را در قالب قضایا تنظیم می کنیم.

قضیه. 1. بیضی مجموعه ای از نقاط استمبه طوری که مجموع فواصل این نقاط تا کانون ها برابر با 2 باشدآ:

https://pandia.ru/text/80/134/images/image020_26.gif" width="115" height="23 src="> (5).

به منظور فرمول بندی یک خاصیت مشابه برای سهمی، تعریف می کنیم مدیر مدرسه. مستقیم است د، با معادله https://pandia.ru/text/80/134/images/image022_23.gif" width="103" height="21 src="> (6) ارائه شده است.

ص 4. کانون ها و مماس ها

https://pandia.ru/text/80/134/images/image024_24.gif" align="right" width="322" height="386 src=">.gif" width="52" height="24 src="> متعلق به HDL مربوطه است. در زیر معادلات مماس هایی که از این نقطه عبور می کنند آورده شده است:

- برای بیضی، (7)

- برای هذلولی، (8)

- برای سهمی (9)

اگر از هر دو کانون تا نقطه مماس با بیضی یا هذلولی قطعاتی رسم کنیم (به آنها می گویند شعاع های کانونیامتیاز)، سپس چیز قابل توجهی آشکار خواهد شد ویژگی(شکل 5 و 6 را ببینید): شعاع های کانونی با مماس رسم شده در این نقطه زوایای مساوی را تشکیل می دهند.

این خاصیت تفسیر فیزیکی جالبی دارد. برای مثال، اگر خط یک بیضی را آینه ای در نظر بگیریم، پس پرتوهای نور از یک منبع نقطه ای که در یک کانون قرار می گیرد، پس از بازتاب از دیواره های مدار، لزوماً از کانون دوم عبور می کند..

بزرگ استفاده عملیویژگی مشابهی برای سهمی بدست آورد. حقیقت این هست که شعاع کانونی هر نقطه از سهمی با مماس کشیده شده به این نقطه زاویه ای برابر با زاویه بین مماس و محور سهمی ایجاد می کند..

از نظر فیزیکی این چنین تفسیر می شود: پرتوهای نقطه ای که در کانون سهمی قرار می گیرند، پس از بازتاب از دیواره های آن، به موازات محور تقارن سهمی منتشر می شوند.. به همین دلیل است که آینه های فانوس ها و چراغهای روشنایی شکل پارابولیکی دارند. به هر حال، اگر جریانی از نور (امواج رادیویی) موازی با محور سهمی وارد آن شود، پس از انعکاس از دیوارها، تمام پرتوهای آن از کانون عبور می کند. ایستگاه های ارتباطات فضایی و همچنین رادارها بر اساس این اصل عمل می کنند.

ص 5. کمی بیشتر فیزیک

HDL ها کاربرد گسترده ای در فیزیک و نجوم پیدا کرده اند. بنابراین، مشخص شد که یک جسم نسبتاً سبک (مثلاً یک ماهواره) در میدان گرانشی یک جسم پرجرم تر (سیاره یا ستاره) در امتداد مسیری حرکت می کند که یکی از LVP ها را نشان می دهد. در این حالت، جسم پرجرم تر در کانون این مسیر قرار می گیرد.

برای اولین بار این خواص به طور دقیق مورد مطالعه قرار گرفت یوهانس کپلر و آنها را قوانین کپلر می نامیدند.

آزمون شماره 1 برای دانش آموزان پایه دهم

سوالات خودآزمایی (5 امتیاز در هر کار)

M.10.1.1. HDL را تعریف کنید. چند مثال از معادله هایی که LVP را تعریف می کنند، بیاورید.

M.10.1.2.مختصات کانون های الف) بیضی، ب) هذلولی را محاسبه کنید، اگر آ=13, ب=5.

M.10.1.3.معادله متعارف الف) بیضی، ب) هذلولی را بنویسید، اگر معلوم باشد که این خط از نقاطی با مختصات (5، 6) و (8، 7) می گذرد.

M.10.1.4.بررسی کنید که خط مستقیم داده شده توسط رابطه (9) در واقع سهمی را که در رابطه (3) داده شده است، فقط در نقطه ای با مختصات قطع می کند. ( توجه داشته باشید: ابتدا معادله مماس را با معادله سهمی جایگزین کنید و سپس مطمئن شوید که ممیز معادله درجه دوم صفر است..)

M.10.1.5.معادله ای برای مماس بر هذلولی با نیم محور واقعی 8 و نیم محور فرضی - 4 در نقطه با مختصات بنویسید. ایکساگر مختصات دوم نقطه منفی باشد = 11.

کار عملی (10 امتیاز)

M.10.1.6.بر اساس آن بیضی های متعدد بسازید به روش بعدی: یک ورق کاغذ را روی تخته سه لا محکم کنید و چند دکمه را روی کاغذ بچسبانید (اما نه تا آخر). یک تکه نخ بردارید و انتهای آن را گره بزنید. حلقه حاصل را روی هر دو دکمه (نقاط کانونی بیضی آینده) بیندازید، نخ را با نوک تیز مداد بکشید و با دقت یک خط بکشید و مطمئن شوید که نخ کشیده شده است. با تغییر ابعاد حلقه می توانید چندین بیضی کانفوکال بسازید. سعی کنید با استفاده از قضیه 1 توضیح دهید که خطوط حاصل واقعاً بیضی هستند و توضیح دهید که چگونه با دانستن فاصله بین دکمه ها و طول نخ می توانید نیم محورهای بیضی را محاسبه کنید.

رونوشت

1 فصل خطوط مرتبه دوم در هواپیما.1. تعریف بیضی، هذلولی، سهمی. بیضی مجموعه ای از تمام نقاط صفحه است که مجموع فواصل دو نقطه داده شده F 1 و F یک مقدار ثابت a است که از فاصله بین F 1 و بیشتر است. M(، x) F 1 О F x شکل. نقاط F 1 و F را کانون های بیضی می نامند و فاصله FF 1 بین آنها فاصله کانونی است که c نشان داده می شود. بگذارید نقطه M متعلق به بیضی باشد. پاره های F1 M و F M شعاع کانونی نقطه M نامیده می شوند. اجازه دهید F1F = c. طبق تعریف a > c. اجازه دهید یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی Ox را در نظر بگیریم، که در آن کانون های F 1 و F به طور متقارن نسبت به مبدا بر روی محور آبسیسا قرار دارند. در این سیستم مختصات، بیضی با معادله متعارف توصیف می شود: x + = 1، a b 1

2. که در آن b= a c پارامترهای a و b به ترتیب نیم محور اصلی و فرعی بیضی نامیده می شوند. خروج از مرکز یک بیضی عدد ε است، برابر با نسبت نیمی از فاصله کانونی آن به نیمه محور اصلی، یعنی. ε =. خروج از مرکز بیضی a نابرابری های 0 ε را برآورده می کند< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 معادله متعارف هذلولی به شکل x a = b 1، است. که در آن b= c a اعداد a و b به ترتیب نیم محورهای واقعی و فرضی هذلولی نامیده می شوند. هیچ هذلولی در داخل ناحیه ای که با نابرابری نقاط تعریف شده است وجود ندارد. x a b تعریف. مجانب هذلولی، خطوط مستقیم b b هستند که با معادلات = x، = x به دست می آیند. a a شعاع کانونی نقطه M(x,) هذلولی را می توان با استفاده از فرمول های r 1 = ε x a, r = ε x + a یافت. خروج از مرکز یک هذلولی، مانند یک بیضی، با فرمول ε = تعیین می شود. به راحتی می توان بررسی کرد که نابرابری ε a > 1 برای خروج از مرکز هذلولی درست است. تعریف. سهمی مجموعه ای از تمام نقاط صفحه ای است که فاصله آنها از نقطه معین F برابر است با فاصله تا یک خط مستقیم d که از نقطه F نمی گذرد. ​​نقطه F کانون سهمی نامیده می شود. و خط مستقیم d جهت است. فاصله کانون تا جهت را پارامتر سهمی می نامند و با p نشان داده می شود. d M (x,) F x شکل. 4 3

4 اجازه دهید مبدا O سیستم مختصات دکارتی را در وسط قطعه FD انتخاب کنیم که عمودی است از نقطه F به خط مستقیم d افتاده است. در این سیستم مختصات، کانون F دارای مختصات F p p ;0 است، و جهت d با معادله x + = 0 به دست می‌آید. معادله متعارف سهمی عبارت است از: = px. سهمی نسبت به محور OF متقارن است که به آن محور سهمی گفته می شود. نقطه O تقاطع این محور با سهمی را رأس سهمی می نامند. شعاع کانونی نقطه M(x,) i.e. فاصله p آن تا کانون با فرمول r = x+ پیدا می شود. 10B.. معادله عمومی یک خط مرتبه دوم یک خط مرتبه دوم مجموعه ای از نقاط در صفحه است که مختصات آنها x است و معادله a x + a x + a + a x + a + a = 0، 11 را برآورده می کند. 1 که در آن a11، a1، a، a10، a0، a00 برخی از اعداد واقعی، و a، a، a همزمان با صفر برابر نیستند. این معادله معادله منحنی مرتبه دوم عمومی نامیده می شود و همچنین می توان آن را به صورت برداری rr r r (Ax, x) + (b, x) + a = 0 نوشت که 00 a11 a1 r r A =, a1 a b = (a10) ؛ a0)، x = (x;). از آنجایی که A = A، پس A یک ماتریس به شکل درجه دوم است r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x+ a بیضی، هذلولی و سهمی نمونه هایی از منحنی های مرتبه دوم در صفحه هستند. علاوه بر منحنی های فوق، انواع دیگری از منحنی های مرتبه دوم نیز وجود دارند که با خطوط مستقیم x همراه هستند. بنابراین، برای مثال، معادله = 0، که در آن a 0، b 0، a b 4

5 یک جفت خط متقاطع را در صفحه تعریف می کند. سیستم های مختصاتی که در آنها معادله منحنی ساده ترین شکل را به خود می گیرد، متعارف نامیده می شوند. با استفاده از ترکیب تبدیل ها: چرخش محورها توسط یک زاویه α، ترجمه موازی مبدا مختصات به نقطه (x0; 0) و بازتاب نسبت به محور آبسیسا، معادله منحنی مرتبه دوم به یک کاهش می یابد. از معادلات متعارف، که اصلی ترین آنها در بالا ذکر شد. 11بمثال 1. معادله متعارف یک بیضی را با مرکز در مبدأ و کانونهای واقع در محور آبسیسا بنویسید، در صورتی که مشخص شود که خروج از مرکز آن ε = و نقطه N(3;) روی بیضی سوم قرار دارد. x a b معادله بیضی: + = 1. داریم که =. a b a 3 9 از اینجا محاسبه می کنیم که a = b. با جایگزینی مختصات نقطه N(3;) در معادله، + = 1 و سپس b = 9 و a b 81 a = = 16، به دست می آوریم. در نتیجه، معادله متعارف بیضی 5 x + = 1. 16، 9. معادله متعارف هذلولی را با مرکز در مبدأ و کانون های واقع در محور آبسیسا بنویسید، اگر نقطه M 1 داده شود (5؛ 3) هذلولی و خروج از مرکز ε =. x معادله متعارف هذلولی = 1. از برابری a b a + b = b = a 5 داریم 9. بنابراین = 1 و a = 16. بنابراین، معادله متعارف بیضی = a a a x 16 5

6 3. نقاطی را در سهمی = 10x که شعاع کانونی آن 1.5 است پیدا کنید. توجه داشته باشید که سهمی در نیم صفحه سمت راست قرار دارد. اگر M (x؛ روی سهمی قرار دارد، آنگاه x 0. پارامتر p = 5. فرض کنید (;)) M x نقطه مورد نظر، F کانون، () جهت سهمی باشد. سپس F,5; 0، d: x=.5. از آنجایی که FM = ρ(M, d)، سپس x +.5 = 1.5، 10 پاسخ: () 1 10;10 x =، = 100، =± 10. بنابراین، ما دو امتیاز گرفتیم. M 10; 10 M, () 4. در شاخه سمت راست هذلولی که با معادله x = 1 داده شده است، نقطه ای را پیدا کنید که فاصله آن از کانون سمت راست 16 9 دو برابر کمتر از فاصله آن از کانون چپ باشد. برای شاخه سمت راست هذلولی، شعاع کانونی با فرمول r 1 = ε x a و r = ε x + a تعیین می شود. در نتیجه، معادله ε x + a = (ε x a) را به دست می آوریم. برای یک هذلولی معین a = 4، 5 c = = 5 و ε =. بنابراین، x = 9.6. از این رو داریم =± x 16 =± d پاسخ: دو نقطه M 1 (9.6؛ 0.6 119)، (9.6؛ 0.6 119) M. 5. معادله خط را برای هر نقطه ای که نسبت فاصله آن به نقطه F (3;0) تا فاصله خط مستقیم 1 x 8 = 0 برابر ε = است. نام خط و پارامترهای آن را مشخص کنید. Mx; در خط مورد نظر، برابری درست است: برای یک نقطه دلخواه () FM (x 3) + 1 = =. ρ(Ml،) x 8 6

7 از اینجا [(x 3) + ] = (x 8) داریم. باز کردن براکت ها و تنظیم مجدد شرایط ، ما (x +) + = 50 ، یعنی دریافت می کنیم. (x+) + = پاسخ: خط مورد نیاز بیضی است با مرکز در یک نقطه و نیم محورهای a = 5 و b = معادله هذلولی را پیدا کنید مختصات قدیمی O () x ; 0 ; ;, ;. c (؛ 0) = 8 در سیستم جدید (x ؛) و جدید (zt ؛) با برابری ماتریس 1 1 x z 1 z+ t = 1 1 t = z t مرتبط هستند. به این معنی که معادله x = 8 z+ t z t = 8، zt = 4. پاسخ: zt = 4. γ:4x 4x+ 8x+ 4+ 3= 0 به متعارف 7. منحنی را به شکل متعارف برسانید. در مختصات جدید فرم فرم درجه دوم () q x ، = 4x 4x+را در نظر بگیرید. 4 ماتریس فرم q دارای مقادیر ویژه 5 و 0 و بردارهای متعامد مربوطه است و اجازه دهید به یک سیستم مختصات جدید برویم: 7

8 z 1 1 x. t = 5 1 مختصات قدیمی (x ؛) را از طریق موارد جدید (ZT) بیان کنید. : 1 1 z+ t x 1 z = 1 t =، 1 z t یعنی x = z+ t، = z+ t با جایگزینی عبارات نشان داده شده در معادله منحنی γ، 0= 4x 4x+ 8x = x= z+ 1 t را به دست می آوریم. = 1 z+ t () () () () = 5z 4 5z+ 3 = z 5 4 z 5+ 3 = z 5 1 z 5 3. این بدان معنی است که در مختصات جدید منحنی γ توسط معادله 1 3 داده شده است γ: z z =. با تنظیم = z، x = t، γ: =، 1 را بدست می آوریم که از آن معادله متعارف منحنی γ را می یابیم: = 0 در مختصات متعارف = 5 x 1 1 x توجه کنید که منحنی γ یک جفت خط موازی است. 1Bappendices به مشکلات اقتصادی و مالی 8. بگذارید آنیا ، بوریس و دیمیتری هر کدام 150 روبل برای خرید میوه داشته باشند. مشخص شده است که 1 کیلوگرم گلابی 15 واحد پولی و 1 کیلوگرم سیب 10 واحد پولی دارد. علاوه بر این، هر یک از سه 8

9 عملکرد ابزار خاص خود را دارد که می خواهد پس از خرید حداکثر ارائه دهد. اجازه دهید x1 کیلوگرم گلابی و x کیلوگرم سیب خریداری شود. این توابع ابزار به شرح زیر است: u = x + x برای آنیا ، 1 1 x u b = + x برای بوریس و ud = x1 x برای دیمیتری. لازم است برای آنیا ، بوریس و دیمیتری یک برنامه خرید (x1 ، x) پیدا کنید که تحت آن حداکثر عملکرد ابزار خود را ارائه می دهند. x شکل 5 مشکل مورد نظر را می توان از نظر هندسی حل کرد. برای حل این مشکل ، مفهوم یک خط سطح باید معرفی شود. x x 1 شکل. 6 خط سطح یک تابع z = f (x ،) مجموعه ای از تمام نقاط موجود در هواپیما است که در آن عملکرد یک مقدار ثابت برابر با H را حفظ می کند. x 9

10 در این حالت ، برای راه حل ، ایده های اولیه در مورد مناطق هندسی در هواپیما ، که توسط نابرابری های خطی مشخص شده است (به بخش 1.4 مراجعه کنید) نیز استفاده خواهد شد. x x 1 شکل. 7 خطوط سطح توابع ua، u B و u D به ترتیب برای آنیا، بوریس و دمیتری خطوط مستقیم، بیضی و هذلولی هستند. با توجه به معنی مسئله ، فرض می کنیم که x1 0 ، x 0. از طرف دیگر ، محدودیت بودجه به عنوان نابرابری 15x1+ 10x 150 نوشته شده است. تقسیم آخرین نابرابری به 10 ، ما 3x1+ x 30 یا+ 1 دریافت می کنیم به راحتی می توان فهمید که x1 x منطقه راه حل های این نابرابری همراه با شرایط عدم منفی است ، مثلثی است که توسط خطوط x1 = 0 ، x = 0 و 3x1+ x = محدود شده است.

11 X * X * شکل. 8 شکل 9 بر اساس نقشه های هندسی، اکنون به راحتی می توان تعیین کرد که uamax = ua(0.15) = 15، ubmax = ub(0.15) = 5 و udmax = ud(Q). مختصات نقطه مماس Q هذلولی در سطح ضلع مثلث بودجه باید به صورت تحلیلی محاسبه شود. برای انجام این کار، توجه داشته باشید که نقطه Q سه معادله را برآورده می کند: xx 1 = h، 3x1 + x = 30، h 3 x " = =. x1 X * شکل.

12 با حذف h از معادلات، مختصات نقطه Q= (x, x) = (5;7,5) را بدست می آوریم. 1 پاسخ: Q= (x1, x) = (5;7,5). 9. مدل غیر خطیهزینه ها و سود شرکت اجازه دهید یک شرکت تجهیزات چند منظوره از دو نوع A و B را به ترتیب در مقدار x و واحدهای خروجی تولید کند. در این حالت ، درآمد شرکت برای سال توسط عملکرد درآمد rx (،) = 4x+ بیان می شود و هزینه های تولید توسط عملکرد هزینه 1 1 cx (،) = 7.5+ x+ 4 بیان می شود که در آن شرکت حداکثر دریافت می کند سود.. برنامه تولید (x, ) را در 3 تعیین کنید

13 تابع سود به عنوان تفاوت بین تابع درآمد و تابع هزینه تشکیل شده است: 1 1 Π (x,) = R(x,) C(x,) = 4x+ 7.5 x. 4 پس از ایجاد تبدیل، آخرین عبارت را به شکل 1 1 Π (x,) = 9 (x 8) (1) کاهش می دهیم. 4 خطوط سطح عملکرد سود مانند (x 8) (1) = ساعت به نظر می رسد. 4 هر خط سطح 0 ساعت 9 بیضی است که با محوریت مبدا است. از عبارت به دست آمده به راحتی می توان دریافت که حداکثر تابع سود 9 است و در x = 8، = 1 به دست می آید. پاسخ: x = 8، = 1. 13BE تمرین ها و سوالات آزمون. معادله عادی یک دایره را بنویسید. مختصات مرکز و شعاع دایره را پیدا کنید: الف) x + + 8x 6 = 0 ؛ b) x x = 0 ... معادله ای را برای دایره ای بنویسید که از نقاط m 1 (1 ؛) ، m (0 ؛ 1) ، m 3 (3 ؛ 0) .. 3. یک بیضی را تعریف کنید و معادله متعارف خود را بنویسید. معادله متعارف یک بیضی را بنویسید اگر 1 گریز از مرکز آن برابر ε =، و محور نیمه اصلی برابر است با معادله بیضی بنویسید که کانون های آن بر روی محور مجلات به طور متقارن در مورد مبدا قرار دارند، علاوه بر این، بدانیم که فاصله بین کانونهای آن c = 4 و خارج از مرکز ε = تعیین خارج از مرکز بیضی است. اگر محور semimajor آن چهار برابر محور جزئی آن باشد ، عجیب بیضی را پیدا کنید. 33

14.6. هذلولی را تعریف کنید و معادله متعارف آن را بنویسید. یک خط مستقیم از طریق نقطه M رسم می شود (0؛ 0.5) و راس سمت راست هذلولی که با معادله = 1 داده می شود. مختصات نقطه دوم تلاقی خط و هذلولی را بیابید خروج از مرکز هذلولی را تعریف کنید. معادله متعارف آن را بنویسید اگر a = 1، b = 5. خروج از مرکز این هذلولی چقدر است؟.8. معادلات مجانبی هذلولی را که با معادله متعارف خود به دست می آورید بنویسید. معادله ای برای هذلولی 3 بنویسید اگر مجانب آن با معادلات = ± x داده شود و هذلولی 5 از نقطه M عبور کند (10؛ 3 3)..9. سهمی را تعریف کنید و معادله متعارف آن را بنویسید. معادله متعارف سهمی را بنویسید اگر محور x محور تقارن آن باشد، راس آن در مبدا و طول وتر سهمی عمود بر محور Ox 8 باشد و فاصله این وتر از راس باشد. است در سهمی = 1x، نقطه ای را پیدا کنید که شعاع کانونی آن گزاره است و تقاضا برای مقداری محصول با توابع p = 4q 1، p = + داده می شود. نقطه تعادل بازار را پیدا کنید. 1 q ساختن نمودارها..1. آندری، کاتیا و نیکولای قصد خرید پرتقال و موز را دارند. x1 کیلوگرم پرتقال و x کیلوگرم موز بخرید. هر یک از این سه تابع کاربردی خاص خود را دارند که نشان می دهد خرید خود را چقدر مفید می داند. این توابع کاربردی عبارتند از: u = x + x برای Andrey، 1 4 A 4 1 u K = x + x برای Katya و un = x1 x برای نیکولای. الف) خطوط سطح تابع ابزار را برای مقادیر سطح h = 1، 3 بسازید. ب) برای هر کدام، به ترتیب اولویت خریدها را ترتیب دهید r = (4،1)، s = (3،8)، t = (1،1). 34

ماژول هندسه تحلیلی هندسه تحلیلی در صفحه و در فضا سخنرانی 7 چکیده خطوط مرتبه دوم در صفحه: بیضی، هذلولی، سهمی. تعریف، مشخصات کلی.

سخنرانی N15. منحنی های مرتبه دوم 1. دایره... 1. بیضی... 1 3. هایپربولا... 4. پارابولا... 4 1. دایره منحنی مرتبه دوم خطی است که با معادله درجه دوم با توجه به

8 منحنی های مرتبه دوم 81 دایره مجموعه ای از نقاط در صفحه ای به فاصله مساوی از یک نقطه به نام مرکز، در فاصله ای به نام شعاع، دایره نامیده می شود اجازه دهید مرکز دایره باشد.

سخنرانی 13 موضوع: منحنی های مرتبه دوم منحنی های مرتبه دوم در صفحه: بیضی، هذلولی، سهمی. استخراج معادلات برای منحنی های مرتبه دوم بر اساس ویژگی های هندسی آنها. مطالعه شکل یک بیضی،

سخنرانی خطوط مرتبه دوم Hyperbola به عنوان نمونه ، ما معادلات را تعریف خواهیم کرد که یک دایره ، پارابولا ، بیضوی و دایره یک دایره مجموعه ای از نقاط در یک هواپیمای برابری از یک داده شده است.

منحنی های مرتبه دوم دایره بیضوی Hyperbola Parabola اجازه می دهد یک سیستم مختصات مستطیل شکل دکارتی در هواپیما مشخص شود. منحنی مرتبه دوم مجموعه ای از نقاط است که مختصات آنها را برآورده می کند

خط مستقیم و هواپیما در جبر خطی فضایی (سخنرانی 11) 11/24/2012 2/37 خط مستقیم و هواپیما در فاصله فضا بین دو نقطه M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) و m 2 (x 2 ، y 2، z 2)

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیهدانشگاه ایالتی یاروسلاول به نام. P. G. Demidova گروه جبر و منطق ریاضی منحنی مرتبه دوم قسمت اول رهنمودها

3. Hyperbola و ویژگی های آن تعریف 3 .. Hyperbola منحنی است که در برخی از سیستم مختصات مستطیل شکل دکارتی با معادله 0. (3.) تعریف شده است و برابری (3.) یک معادله متعارف نامیده می شود

درس عملی 1 موضوع: Hyperbola Plan 1 تعریف و معادله متعارف یک hyperbola خواص هندسی Hyperbolas موقعیت نسبی یک hyperbola و یک خط که از مجانب مرکز آن عبور می کند

یادداشت های سخنرانی 13 بیضی ، Hyperbola و Parabola 0. برنامه سخنرانی سخنرانی بیضی ، هایپرولا و پارابولا. 1. بیضی. 1.1. تعریف بیضی; 1.2. تعریف سیستم مختصات متعارف؛ 1.3. استخراج معادله

ماژول بیضی Hyperbola Parabola درس عملی: تعریف طرح بیضوی و معادله متعارف از خصوصیات هندسی بیضوی وابستگی بیضه بیضوی از شکل بیضی بر خارج از مرکز

وظیفه دوم 1. خط مستقیم در هواپیما. 1. دو خط توسط معادلات بردار (، rn) = d و r = r + a و (an ،) 0. داده می شود. 0 تن نقطه M 0 با بردار شعاع داده می شود

منحنی های مرتبه دوم تعریف: یک خط منحنی) از مرتبه دوم مجموعه ای از نقاط هواپیما است که مختصات دکارتی x ، y) که معادله جبر درجه دوم را برآورده می کند:

خطوط جبر در هواپیما .. خطوط مرتبه اول (خطوط در هواپیما ... انواع اساسی معادلات خطوط در هواپیما. یک بردار غیر صفر n عمود بر یک خط معین عادی نامیده می شود

بیضی و تعریف خصوصیات آن .. بیضی یک منحنی مرتبه دوم است که در برخی از سیستم مختصات مستطیل شکل مستطیل با معادله B ، B 0. () برابری () تعریف شده است.

0.5 SetGray0 0.5 SetGray1 1 سخنرانی 9 بیضی ، Hyperbola و Parabola 1. معادله متعارف تعریف بیضی 1. یک بیضوی محل هندسی نقاط M در هواپیما است ، مجموع مسافت از هر یک

عناصر طبقه بندی هندسه تحلیلی یک هواپیما در فضای سه بعدی یک معادله بردار از یک هواپیما را بنویسید و معنای مقادیر موجود در این معادله را توضیح دهید ، یک معادله کلی از یک هواپیما بنویسید

درس 12 بیضی، هذلولی و سهمی. معادلات متعارف بیضی مکان هندسی نقاط M در صفحه ای است که مجموع فاصله دو نقطه ثابت F 1 و F 2 به نام

معادلات سخنرانی جبر خطی از منحنی های مرتبه دوم تعریف دایره یک دایره ، مکان های برابر از یک نقطه از یک نقطه ، به نام مرکز دایره ، در فاصله r است

دانشگاه فدرال اورال ، انستیتوی ریاضیات و علوم کامپیوتر ، گروه جبر و ریاضیات گسسته اظهارات مقدماتی در این سخنرانی ، سومین منحنی پارابولا مرتبه دوم مورد مطالعه قرار می گیرد.

سخنرانی 9.30 فصل هندسه تحلیلی در سیستم مختصات هواپیما در سیستم مختصات مستطیل و قطبی هواپیما یک سیستم مختصات در هواپیما روشی است که به شما امکان می دهد تعیین کنید

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه دانشگاه دولتی یاروسلاول به نام. P. G. Demidova گروه جبر و منطق ریاضی S. I. Yablokova منحنی های مرتبه دوم کارگاه آموزشی قسمت

موضوع عناصر هندسه تحلیلی در صفحه و در فضا سخنرانی.. خطوط مستقیم روی صفحه پلان. روش مختصات روی صفحه.. خط مستقیم در مختصات دکارتی.. شرط موازی و عمود بودن

جبر خطی و هندسه تحلیلی موضوع: منحنی های مرتبه دوم مدرس Rozhkova S.V. 01 15. منحنی های مرتبه دوم منحنی های مرتبه دوم به 1) منحط و) غیر منحط تقسیم می شوند.

سخنرانی 11 1. بخش های مخروطی 1.1. تعریف. اجازه دهید بخش یک مخروط دایره ای راست را با صفحه ای عمود بر ژنراتیکس این مخروط در نظر بگیریم. در معانی مختلفزاویه α در راس در محوری

سخنرانی 9 1. بخش های مخروطی 1.1. تعریف. بگذارید بخش یک مخروط دایره ای راست را توسط یک هواپیمای عمود بر تولیدات این مخروط در نظر بگیریم. برای مقادیر مختلف زاویه α در راس در محوری

دانشگاه فدرال اورال ، انستیتوی ریاضیات و علوم کامپیوتر ، گروه جبر و ریاضیات گسسته اظهارات مقدماتی در این سخنرانی ، یکی دیگر از منحنی های Hyperbola مرتبه دوم مورد مطالعه قرار گرفته است.

درس عملی 14 موضوع: طرح سهمی 1. تعریف و معادله متعارف سهمی.ویژگی های هندسی سهمی. موقعیت نسبی سهمی و خطی که از مرکز آن می گذرد. پایه ای

ANALYTICAL G E O METRY منحنی های مرتبه دوم شیمانچوک دیمیتری ویکتورویچ [ایمیل محافظت شده]دانشکده ریاضیات کاربردی فرآیندهای دانشگاه ایالتی سنت پترزبورگ

ماتریس 1 ماتریس های داده شده و پیدا کنید: a) A + B; ب) 2B; ج) در T; د) AB T ; ه) در راه حل T A) با تعریف مجموع ماتریس ها ب) با تعریف حاصل ضرب یک ماتریس و یک عدد ج) با تعریف ماتریس جابجا شده

گزینه 1 1 شیب k خطی که از نقاط M 1 (18) و M (1) می گذرد را بیابید. معادله خط مستقیم را به صورت پارامتریک بنویسید معادلات اضلاع و وسط مثلث با راس A() را بنویسید.

تست. با توجه به ماتریس های A، B و D. AB 9D را پیدا کنید اگر: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7، B =، D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 ماتریس های A 3 و B 3 را ضرب کنید. C با اندازه 3 3 باشد که از عناصر تشکیل شده است

فصل 9 منحنی ها در یک هواپیما. منحنی های مرتبه دوم 9. مفاهیم اساسی آنها می گویند که منحنی Г در یک سیستم مختصات مستطیلی Oxy دارای معادله F (,) = 0 است اگر نقطه M(x, y) به منحنی در آن تعلق داشته باشد.

جبر خطی و هندسه تحلیلی موضوع: منحنی های مرتبه دوم مدرس E.G. Pakhomova 01 15. منحنی های مرتبه دوم منحنی های مرتبه دوم به 1) منحط و) غیر منحط تقسیم می شوند.

دانشگاه فدرال اورال، مؤسسه ریاضیات و علوم رایانه، گروه جبر و ریاضیات گسسته نکات مقدماتی در سه سخنرانی قبلی، خطوط و سطوح مورد مطالعه قرار گرفتند، i.e.

فصل 1 منحنی ها و سطوح مرتبه دوم در تمام بخش ها به جز 1.9، سیستم مختصات مستطیل شکل است. 1.1. رسم معادلات برای منحنی های مرتبه دوم و منحنی های دیگر 1. p) ثابت کنید که مجموعه

دانشگاه فنی دولتی مسکو به نام N.E. گروه "علوم بنیادی" دانشکده باومن " مدل سازی ریاضی» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

فصل 5. هندسه تحلیلی 5. معادله یک خط در یک صفحه معادله ای به شکل F(x, y) 0 معادله یک خط نامیده می شود اگر این معادله با مختصات هر نقطه ای که در یک صفحه معین قرار دارد برآورده شود.

موسسه مهندسی و فناوری بالاکوو - شعبه موسسه آموزشی خودمختار ایالتی فدرال آموزش عالی"دانشگاه ملی تحقیقات هسته ای "MEPhI"

خطوط مرتبه دوم یو. L. Kalinovsky گروه ریاضیات بالاتر "Dubna" برنامه 2 3 4 5 6 7 خط مرتبه دوم: محل نقاطی که مختصات دکارتی آنها معادله را برآورده می کند

44. تعریف هایپربولی. Hyperbola مجموعه ای از تمام نقاط موجود در هواپیما است که مختصات آن در یک سیستم مختصات مناسب معادله 2 2 y2 = 1 را برآورده می کند ، (1) B2 که در آن ، b> 0. این معادله

جبر خطی و هندسه تحلیلی موضوع: منحنی مرتبه دوم (ادامه) مدرس به عنوان مثال Pakhomova 01 4. تعریف کلیبیضی، هذلولی و سهمی تعریف. خطوط مستقیم a m مستقیم نامیده می شوند

1 سخنرانی 1.4. منحنی ها و سطوح مرتبه دوم چکیده: از تعاریف معادلات متعارف منحنی ها به دست می آیند: بیضی ، هایپرولا و پارابولا. معادلات پارامتری بیضی و هایپربولا آورده شده است.

وزارت آموزش و پرورش و علوم بودجه ایالتی فدرال فدراسیون روسیه موسسه تحصیلیبالاتر آموزش حرفه ای"دانشگاه دولتی صنعتی سیبری"

کار عملی ترسیم معادلات خطوط و منحنی های مرتبه دوم هدف کار: ادغام توانایی تهیه معادلات خطوط و منحنی مطالب مرتبه دوم کار. مفاهیم اساسی. بردار B C 0

وظایف برای تشکیل کلاس های از دست رفته مطالب موضوع: ماتریس ها، اقدامات روی آنها. محاسبه دترمینال ها .... 2 موضوع: ماتریس معکوس. حل سیستم معادلات با استفاده از ماتریس معکوس. فرمول ها

هندسه تحلیلی 5.. خط مستقیم در یک صفحه راه های مختلفتعیین خط مستقیم در یک صفحه معادله کلی یک خط مستقیم در یک صفحه. موقعیت خط نسبت به سیستم مختصات. معنای هندسی

گزینه 11 1 نقطه M() پایه عمودی است که از نقطه N(1-1) به خط l افتاده است معادله خط l را بنویسید. فاصله نقطه N تا خط را پیدا کنید l معادلات خطوط عبوری را بسازید

49. سطوح استوانه ای و مخروطی 1. سطوح استوانه ای تعریف. بگذارید یک خط l و یک بردار غیر صفر a در فضا داده شود. سطحی که توسط خطوط مستقیمی تشکیل شده است که از همه موارد ممکن عبور می کنند

هندسه تحلیلی هندسه تحلیلی در هواپیما. هندسه تحلیلی حل مسائل هندسی با استفاده از جبر است که برای آن از روش مختصات استفاده می شود. تحت سیستم مختصات در هواپیما

گزینه 1 وظیفه 1. یک تعریف هندسی از بیضی ارائه دهید. مسئله 2. با استفاده از توپ های قاصدک ثابت کنید که یک بیضی به صورت مقطع مخروطی ایجاد می شود. مسئله 3. ثابت کنید مجموعه نقاط P که از آن

Sekaeva L.R., Tyuleneva O.N. هندسه تحلیلی در هواپیما کازان 008 0 دانشگاه دولتی کازان گروه ریاضیات عمومی Sekaeva L.R., Tyuleneva O.N. هندسه تحلیلی در صفحه

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه دانشگاه ایالتی کازان معماری و مهندسی عمران گروه ریاضیات عالی عناصر جبر بردار و خطی. هندسه تحلیلی

هندسه تحلیلی در صفحه معادله یک خط مهمترین مفهوم هندسه تحلیلی است. y M(x، y) 0 x تعریف. معادله یک خط (منحنی) در صفحه Oxy معادله ای است که برای آن

نمونه هایی از مسائل اساسی در روش LA گاوسی سیستم های معینی از معادلات خطی حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوسی x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوسی 6

گزینه 16 1 یک خط مستقیم از طریق نقاط M 1 (3 4) و M (6) ترسیم شده است. نقاط تقاطع این خط را با محورهای مختصات بیابید معادلات اضلاع مثلثی را بسازید که نقاط A (1) ) B (3 1) C (0 4) هستند

تست 3 گزینه 1 معادله خط مستقیمی را بنویسید که عمود باشد و از نقطه تلاقی خطوط و .. معادله خط مستقیمی را که از نقاط عبور می کند بنویسید و فاصله آن را از نقطه پیدا کنید.

عناصر هندسه تحلیلی در صفحه. خط مستقیم 1. محیط مثلثی را محاسبه کنید که رئوس آن نقاط A(6; 7)، B(3; 3)، C(1; 5) است. 2. نقطه ای با فاصله مساوی از نقاط A(7;

هندسه تحلیلی ماژول 1 جبر ماتریسی جبر برداری متن 5 ( خودخوان) خلاصه سیستم مختصات مستطیلی دکارتی در صفحه و در فضا فرمول های فاصله

وزارت آموزش و پرورش فدراسیون روسیه روستوف دانشگاه دولتیدانشکده مکانیک و ریاضیات گروه هندسه Kazak V.V. کارگاه هندسه تحلیلی برای دانشجویان سال اول

هندسه تحلیلی معادله عمومی صفحه. OPR سطحی است که این ویژگی را دارد که اگر دو نقطه از یک خط متعلق به آن صفحه باشد، تمام نقاط روی خط متعلق به این صفحه است.

سخنرانی 5 عناصر هندسه تحلیلی. 1 1. معادله سطح و معادله خط در فضا. معنای هندسی معادلات در هندسه تحلیلی هر سطحی به عنوان یک مجموعه در نظر گرفته می شود

فصل 1 راست و صفحه n R. 1.1. فضاهای نقطه ای قبلاً فضای ریاضی رشته ها را بررسی کردیم.در ریاضیات، مجموعه ای از مختصات مرتب شده محدود را می توان نه تنها تفسیر کرد.

تکلیف تست در هندسه تحلیلی. ترم 2. گزینه 1 1. معادلات مماس بر دایره (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4، موازی با خط 5x 12y + 1 = 0. 2. معادله را بنویسید. مماس

وزارت آموزش و علوم فدراسیون روسیه موسسه آموزشی مستقل دولتی فدرال آموزش عالی حرفه ای "دانشگاه فدرال کازان (منطقه ولگا)"

تفاوت سفارشات بالا بلیط امتحان. ماتریس ها، مفاهیم اساسی و تعاریف.. معادله یک دایره را بنویسید اگر نقاط A(;) و B(-;6) انتهای یکی از قطرها باشند.. رئوس داده شده است.

دانشگاه فنی دولتی مسکو به نام N.E. باومن دانشکده علوم پایه گروه مدلسازی ریاضی A.N. کاسیکوف،

سطوح مرتبه دوم. یک سطح در فضای سه بعدی با معادله ای به شکل F(x; y; z) = 0 یا z = f(x; y) توصیف می شود. تقاطع دو سطح یک خط را در فضا مشخص می کند، یعنی. خط در فضا

بیایید خطوط تعریف شده توسط معادله درجه دوم را نسبت به مختصات فعلی در نظر بگیریم

ضرایب معادله اعداد واقعی هستند، اما حداقل یکی از آنها اعداد A,Bیا C با 0 متفاوت است. چنین خطوطی خطوط (منحنی) مرتبه دوم نامیده می شوند. در زیر نشان خواهیم داد که معادله (1) یک بیضی، یک هذلولی یا یک سهمی را در یک صفحه تعریف می کند.

دایره

ساده ترین منحنی مرتبه دوم یک دایره است. به یاد بیاورید که دایره ای با شعاع R با مرکز در نقطه M 0 مجموعه نقاط M صفحه ای نامیده می شود که شرط MM 0 =R را برآورده می کند. بگذارید نقطه M 0 در سیستم Oxy دارای مختصات x 0 ,y 0 باشد و M(x,y) یک نقطه دلخواه روی دایره باشد. سپس یا

-معادله متعارف یک دایره . با فرض x 0 =y 0 =0 x 2 +y 2 =R 2 به دست می آوریم

اجازه دهید نشان دهیم که معادله یک دایره را می توان به عنوان یک معادله کلی درجه دوم (1) نوشت. برای این کار، سمت راست معادله دایره را مربع می کنیم و به دست می آوریم:

برای اینکه این معادله با (1) مطابقت داشته باشد، لازم است:

1) ضریب B=0،

2) . سپس دریافت می کنیم: (2)

آخرین معادله نامیده می شود معادله کلی یک دایره . با تقسیم دو طرف معادله بر A ≠0 و اضافه کردن عبارت های حاوی x و y به مربع کامل، به دست می آید:

(2)

با مقایسه این معادله با معادله متعارف یک دایره، متوجه می‌شویم که معادله (2) واقعاً معادله یک دایره است اگر:

1)A=C، 2)B=0، 3)D 2 +E 2 -4AF>0.

اگر این شرایط وجود داشته باشد، مرکز دایره در نقطه O و شعاع آن قرار دارد .

بیضی

y

ایکس

F 2 (c,o)

F 1 (-c,o)

با تعریف 2 > 2c، یعنی > c. برای استخراج معادله بیضی، فرض می کنیم که کانون های F 1 و F 2 روی محور Ox قرار دارند و t.O با وسط قطعه F 1 F 2 منطبق است. ، سپس F 1 (-c، 0)، F 2 (c،0).

بگذارید m (x ، y) یک نقطه دلخواه از بیضی باشد ، سپس با توجه به تعریف بیضی MF 1 +MF 2 = 2

این معادله یک بیضی است. به صورت زیر می توانید آن را به فرم ساده تری تبدیل کنید:

مربع آن:

مربع آن

از آنجایی که 2 -c 2 > 0 2 -c 2 =b 2 قرار می دهیم

سپس آخرین معادله به شکل زیر در می آید:

معادله یک بیضی به شکل متعارف است.

شکل بیضی به نسبت بستگی دارد: وقتی b = بیضی به یک دایره تبدیل می شود. معادله شکل خواهد گرفت. این نسبت اغلب به عنوان ویژگی بیضی استفاده می شود. این کمیت را به صورت غیرقانونی بیضی و 0 نامیده می شود< <1 так как 0

بررسی شکل بیضی

1) معادله بیضی حاوی x و y فقط به میزان زوج است، بنابراین بیضی نسبت به محورهای Ox و Oy و همچنین نسبت به TO (0,0) متقارن است که مرکز نامیده می شود. از بیضی

2) نقاط تقاطع بیضی را با محورهای مختصات پیدا کنید. تنظیم y = 0 ما یک 1 (، 0) و 2 (- ، 0) را پیدا می کنیم که در آن بیضی از گاو عبور می کند. با قرار دادن x=0، B 1 (0,b) و B 2 (0,-b) را پیدا می کنیم. نقاط A 1 ، A 2 ، B 1 ، B 2 را به عنوان راس های بیضی نامیده می شود. بخش های A 1 A 2 و B 1 B 2 و همچنین طول آنها 2 و 2b به ترتیب محورهای اصلی و جزئی بیضی نامیده می شوند. اعداد و B به ترتیب نیمه اصلی و جزئی هستند.

A 1 (,0)

A2(-,0)

B 2 (0,b)

در نتیجه ، تمام نقاط بیضی در داخل مستطیل قرار می گیرند که توسط خطوط x = ± ، y = ± b تشکیل شده است. (شکل 2.)

4) در معادله بیضی ، مجموع اصطلاحات غیر منفی برابر با یک است. در نتیجه ، با افزایش یک اصطلاح ، دیگری کاهش می یابد ، یعنی اگر | x | افزایش می یابد، سپس |y| - کاهش می یابد و بالعکس. از آنچه گفته شد ، نتیجه می گیرد که بیضی شکل نشان داده شده در شکل 2 را دارد. (منحنی بسته بیضی شکل).

در مختصات دکارتی ، معادله درجه اول یک خط مستقیم خاص را تعریف می کند.

خطوطی که توسط یک معادله درجه یک در مختصات دکارتی تعیین می شوند ، خطوط مرتبه اول نامیده می شوند. در نتیجه ، هر خط مستقیم یک خط از مرتبه اول است.

معادله کلی یک خط(به عنوان یک معادله کلی درجه اول) با معادله فرم تعیین می شود:

اوه + وو + با = 0.

بیایید معادلات ناقص یک خط مستقیم را در نظر بگیریم.

1. با= 0. معادله خط مستقیم فرم دارد: آه + وو = 0; خط مستقیم از مبدا می گذرد.

2. که در = 0 (آشماره 0). معادله است اوه + با= 0 یا ایکس =آ، جایی که آ= خط مستقیم از نقطه عبور می کند آ(آ; 0)، موازی با محور است OU. عدد آ اوه(عکس. 1).

برنج. 1

اگر آ= 0 ، سپس خط مستقیم با محور همزمان می شود OU. معادله محور دستوری Oy شکل دارد: ایکس = 0.

3. آ = 0 (که درشماره 0). معادله به نظر می رسد: وو + با= 0 یا در = ب، جایی که ب= یک خط مستقیم از یک نقطه عبور می کند که در(0; ب) ، موازی با محور است اوه. عدد بمقدار قطعه ای است که خط مستقیم آن را بر روی محور قطع می کند OU(شکل 2).

برنج. 2

اگر b = 0 باشد، خط مستقیم با محور x منطبق است. معادله محور x Ox به شکل y = 0 است.

معادله یک خط در بخش ها در محورهاتوسط معادله تعیین می شود:

اعداد کجا هستند آو بمقادیر قطعاتی هستند که با یک خط مستقیم بر روی محورهای مختصات قطع شده اند (شکل 3).

(ایکس 0 ;در 0)عمود بر بردار طبیعی = {آ; ب) ، با فرمول تعیین می شود:

آ(ایکس – ایکس 0) + که در(در – در 0) = 0.

معادله خطی که از نقطه معین M می گذرد(ایکس 0 ; در 0) موازی با بردار جهت = {ل; متر) دارای شکل:

معادله خطی که از دو نقطه داده شده M می گذرد 1 (ایکس 1 ; در 1) و م 2 (ایکس 2 ; در 2) ، توسط معادله تعیین می شود:

شیب خط kمماس زاویه میل خط به محور نامیده می شود اوهکه از جهت مثبت محور به خط مستقیم در خلاف جهت عقربه های ساعت اندازه گیری می شود، ک= tgα.

معادله یک خط مستقیم با شیب kدارای فرم:

y = khx + ب,

جایی که ک= tgα، ب- اندازه قطعه ای که توسط یک خط مستقیم بر روی محور قطع شده است OU(شکل 4).

معادله خطی که از نقطه معین M می گذرد(ایکس 0 ;در 0)در این راستا(شیب کشناخته شده) ، با فرمول تعیین شده:

y - y 0 = ک(ایکس –ایکس 0).

معادله یک مداد از خطوطی که از نقطه معین M عبور می کنند(ایکس 0 ;در 0) (شیب کناشناخته) ، با فرمول تعیین شده:

y - y 0 = ک(ایکس –ایکس 0).

معادله مداد خطوطی که از نقطه تلاقی خطوط عبور می کنند

آ 1 ایکس + که در 1 در + با 1 = 0 و آ 2 ایکس + که در 2 در + با 2 = 0 ، توسط فرمول تعیین می شود:

α( آ 1 ایکس + که در 1 در + با 1) + β( آ 2 ایکس + که در 2 در + با 2) = 0.

گوشه j، در خلاف جهت عقربه های ساعت از خط مستقیم شمارش می شود y = k 1 ایکس + ب 1 به خط مستقیم y = k 2 ایکس + ب 2 ، با فرمول تعیین می شود (شکل 5):

برای خطوط ارائه شده توسط معادلات عمومی آ 1 ایکس + که در 1 در + با 1 = 0 و آ 2 ایکس + که در 2 در + با 2 = 0، زاویه بین دو خط مستقیم با فرمول تعیین می شود:

شرط موازی بودن دو خط دارای شکل است: ک 1 = ک 2 یا .

شرط عمود بودن دو خط مستقیم دارای شکل است: یا آ 1 آ 2 + که در 1 که در 2 = 0.

معادله عادی یک خط فرم دارد:

ایکس cosα + yسینا – پ = 0,

جایی که پ -طول عمود کاهش یافته از مبدأ به خط مستقیم، α زاویه میل عمود بر جهت مثبت محور است. اوه(شکل 6).

برای ارائه معادله کلی یک خط مستقیم اوه + وو + با= 0 به فرم معمولی، شما باید تمام عبارات آن را در ضرب کنید عامل نرمال کننده μ= ، با علامت مقابل علامت جمله آزاد گرفته شده است با.

فاصله از نقطه M(ایکس 0 ;در 0)به مستقیم آه + وو + با= 0 با فرمول تعیین می شود:

معادلات نیمسازهای زوایای بین خطوط A 1 ایکس + که در 1 در + با 1 = 0 و آ 2 ایکس + که در 2 در + با 2 = 0 شبیه:

مثال 4. با توجه به رئوس یک مثلث ABC: آ (–5; –7), که در (7; 2), با(-6 ؛ 8). پیدا کردن: 1) طول جانبی AB; 2) معادلات اضلاع ABو ACو ضرایب زاویه ای آنها. 3) گوشه داخلی که در; 4) معادله متوسط AE; 5) معادله و طول ارتفاع سی دی; 6) معادله بیسکتور AK; 7) معادله خطی که از یک نقطه می گذرد Eموازی با طرف AB; 8) مختصات نقطه م، به طور متقارن به نقطه قرار دارد آنسبتا مستقیم سی دی.

1. فاصله دبین دو نقطه آ(ایکس 1 ; در 1) و که در(ایکس 2 ; در 2) با فرمول تعیین می شود:

طول ضلع را پیدا کنید ABبه عنوان فاصله بین دو نقطه آ(-7 ؛ -8) و که در(8; –3):

2. معادله خطی که از نقاط عبور می کند آ(ایکس 1 ; در 1) و که در(ایکس 2 ;y 2) دارای شکل:

جایگزینی مختصات نقاط آو که در، معادله ضلع را بدست می آوریم AB:

3(ایکس+ 5) = 4(در+ 7); 3ایکس– 4در– 13 = 0 (AB).

برای پیدا کردن شیب k ABسر راست ( AB) معادله حاصل را با توجه به حل کنیم در:

4y= 3ایکس– 13;

- معادله خط ( AB) با شیب،

به همین ترتیب، جایگزینی مختصات نقاط که درو با، معادله خط مستقیم را بدست می آوریم ( آفتاب):

6ایکس– 42 = –13در+ 26; 6x+ 13y– 68 = 0 (قبل از میلاد مسیح.).

اجازه دهید معادله خط را حل کنیم ( آفتاب)به طور نسبی در: .

3. مماس زاویه j بین دو خط مستقیم که ضرایب زاویه ای آنها برابر است ک 1 و ک 2 با فرمول تعیین می شود:

گوشه داخلی که درتشکیل شده توسط خطوط مستقیم ( AB) و ( آفتاب) و این یک زاویه حاد است که خط مستقیم باید از طریق آن بچرخد آفتابدر جهت مثبت (در خلاف جهت عقربه های ساعت) تا زمانی که با خط مستقیم منطبق شود ( AB). بنابراین، بیایید به فرمول جایگزین کنیم ک 1 = , ک 2 = :

Ð که در= arctg = arctg 1.575 » 57.59°.

4. برای یافتن معادله میانه ( AE) ابتدا مختصات نقطه را مشخص می کنیم E،که نقطه وسط ضلع است آفتاب.برای انجام این کار، فرمول های تقسیم یک قطعه را به دو قسمت مساوی اعمال می کنیم:

بنابراین، نکته Eمختصات دارد: E(0,5; 5).

جایگزین کردن مختصات نقاط به معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد آو E، معادله میانه را پیدا می کنیم ( AE):

24ایکس – 11در + 43 = 0 (AE).

5. از آنجایی که ارتفاع سی دیعمود بر ضلع AB، سپس خط مستقیم ( ABعمود بر خط راست ( سی دی). برای یافتن شیب ارتفاع سی دی،از شرط عمود بودن دو خط مستقیم استفاده می کنیم:

معادله خطی که از یک نقطه معین می گذرد م(ایکس 0 ; در 0) در جهت معین (شیب کشناخته شده)، به شکل:

y – y 0 = ک (x – x 0).

جایگزینی مختصات نقطه در آخرین معادله با(-6؛ 8) و معادله ارتفاع را بدست می آوریم سی دی:

در – 8 = (ایکس -(–6)), 3در – 24 = – 4ایکس– 24, 4ایکس + 3در = 0 (سی دی).

فاصله از نقطه م(ایکس 0 ; در 0) به خط مستقیم Аx + By+C = 0 با فرمول تعیین می شود:

طول ارتفاع سی دیآن را به عنوان فاصله از نقطه پیدا کنید با(-6؛ 8) به خط مستقیم ( AB): 3ایکس – 4در– 13. با جایگزینی مقادیر لازم در فرمول، طول را پیدا می کنیم سی دی:

6. معادلات نیمسازهای زوایای بین خطوط مستقیم تبر + توسط + C= 0 و
آ 1 x+B 1 y + سی 1 = 0 با فرمول تعیین می شود:

معادله نیمساز AKیکی از معادلات نیمسازهای زوایای بین خطوط مستقیم را پیدا می کنیم ( AB) و ( AC).

بیایید یک معادله خط مستقیم ایجاد کنیم ( AC) معادله خطی است که از دو نقطه می گذرد آ(-5; -7) و با (–6; 8):

بیایید آخرین معادله را تبدیل کنیم:

15(ایکس+ 5) = – (در+ 7); 15x + y + 82 = 0 (AC).

جایگزینی ضرایب از معادلات عمومی خطوط ( AB) و ( ACمعادلات نیمسازهای زاویه را بدست می آوریم:

بیایید آخرین معادله را تبدیل کنیم:

; (3ایکس – 4در– 13) = 5 ± (15 x + y + 82);

3 ایکس - 4 در– 13 = ± (75 ایکس +5در + 410).

بیایید دو مورد را در نظر بگیریم:

1) 3 ایکس - 4 در – 13 = 75ایکس +5در+ 410.у l АВ .

مثلث ABC،ارتفاع سی دی، میانه AE، نیمساز AK، سر راست لو دوره مدر سیستم مختصات ساخته شده است اوهو(شکل 7).