چه زمانی از مدل های تصادفی استفاده می شود؟ مبانی استوکاستیک. مدل های تصادفی یک نوع مهم از مدلسازی نشانه، مدلسازی ریاضی بر اساس این واقعیت است که اشیا و پدیده‌های مختلف مورد مطالعه می‌توانند دارای یکسان باشند.
مدل های ریاضی
2.1. فرمول بندی مسئله
مدل های قطعیفرآیندها را در قطعیسیستم های.
سیستم های قطعیبا یک تناظر (نسبت) یک به یک بین سیگنال های ورودی و خروجی (فرایندها) مشخص می شوند.
اگر سیگنال ورودی چنین سیستمی داده شود، مشخصه آن y \u003d F (x) و همچنین وضعیت آن در زمان اولیه مشخص است، پس مقدار سیگنال در خروجی سیستم در هر زمان است. منحصر به فرد تعیین می شود (شکل 2.1).
وجود دارد دو رویکردبرای مطالعه سیستم های فیزیکی: قطعی و تصادفی
رویکرد قطعیمبتنی بر کاربرد یک مدل ریاضی قطعی یک سیستم فیزیکی است.
رویکرد تصادفیبه معنای استفاده از یک مدل ریاضی تصادفی یک سیستم فیزیکی است.
مدل ریاضی تصادفیبه اندازه کافی (با اطمینان) فرآیندهای فیزیکی را در یک سیستم واقعی منعکس می کند که تحت تأثیر عوامل خارجی و داخلی عمل می کند. عوامل تصادفی (نویز).
2.2. عوامل تصادفی (نویز)
عوامل داخلی −
1) بی ثباتی دما و زمان قطعات الکترونیکی؛
2) بی ثباتی ولتاژ تغذیه؛
3) نویز کوانتیزاسیون در سیستم های دیجیتال.
4) نویز در دستگاه های نیمه هادی در نتیجه فرآیندهای ناهموار تولید و ترکیب مجدد حامل های شارژ اصلی.
5) نویز حرارتی در هادی ها به دلیل حرکت هرج و مرج حرارتی حامل های بار.
6) نویز شات در نیمه هادی ها، به دلیل ماهیت تصادفی فرآیند غلبه بر مانع بالقوه توسط حامل ها.
7) سوسو زدن - نویز ناشی از نوسانات تصادفی آهسته در وضعیت فیزیکی و شیمیایی مناطق جداگانه مواد دستگاه های الکترونیکی و غیره.
خارجی عوامل –
1) میدان های الکتریکی و مغناطیسی خارجی؛
2) طوفان های الکترومغناطیسی؛
3) تداخل مرتبط با کار صنعت و حمل و نقل.
4) ارتعاشات؛
5) تأثیر پرتوهای کیهانی، تابش حرارتی اجسام اطراف.
6) نوسانات دما، فشار، رطوبت هوا؛
7) هوای غبارآلود و غیره
تأثیر (حضور) عوامل تصادفی منجر به یکی از موقعیت های نشان داده شده در شکل 1 می شود. 2.2:
با 
بنابراین، فرض در مورد ماهیت قطعی یک سیستم فیزیکی و توصیف آن توسط یک مدل ریاضی قطعی است. ایده آل سازی سیستم واقعیدر واقع ما وضعیتی را داریم که در شکل 1 نشان داده شده است. 2.3.
مدل قطعی مجاز استدر موارد زیر:
1) تأثیر عوامل تصادفی به قدری ناچیز است که بی توجهی به آنها منجر به تحریف محسوس نتایج شبیه سازی نمی شود.
2
)
یک مدل ریاضی قطعی، فرآیندهای فیزیکی واقعی را به معنای متوسط منعکس می کند.
در آن دسته از وظایف که دقت بالایی در نتایج شبیه سازی مورد نیاز نیست، اولویت به یک مدل قطعی داده می شود. این با این واقعیت توضیح داده می شود که پیاده سازی و تجزیه و تحلیل یک مدل ریاضی قطعی بسیار ساده تر از یک مدل تصادفی است.
مدل قطعی غیر قابل قبولدر شرایط زیر: فرآیندهای تصادفی ω(t) با x(t) قطعی متناسب هستند. نتایج به دست آمده با استفاده از یک مدل ریاضی قطعی برای فرآیندهای واقعی ناکافی خواهد بود. این امر در مورد سیستم های رادار، سیستم های هدایت و کنترل صدق می کند. هواپیما، سیستم های ارتباطی، تلویزیون، سیستم های ناوبری، هر سیستمی که با سیگنال های ضعیف کار می کند، در دستگاه های کنترل الکترونیکی، در دستگاه های اندازه گیری دقیق و غیره.
در مدلسازی ریاضی فرآیند تصادفیاغلب به عنوان یک تابع تصادفی از زمان در نظر گرفته می شود که مقادیر آنی آن متغیرهای تصادفی هستند.
2.3. ماهیت مدل تصادفی
مجموعه مدل های ریاضی تصادفی روابط احتمالی بین ورودی و خروجی سیستم. این مدل این امکان را فراهم می کند که نتیجه گیری های آماری در مورد برخی از ویژگی های احتمالی فرآیند مورد مطالعه y(t):
1) ارزش مورد انتظار (مقدار متوسط):
2) پراکندگی(معیار پراکندگی مقادیر یک فرآیند تصادفی y(t) نسبت به مقدار متوسط آن):
3) انحراف معیار:
(2.3)
4) تابع همبستگی(میزان وابستگی - همبستگی - بین مقادیر فرآیند y (t) را مشخص می کند که با زمان τ از یکدیگر جدا شده اند):
5) چگالی طیفیفرآیند تصادفی y(t) خواص فرکانس آن را شرح می دهد:
(2.5)
تبدیل فوریه.
مدل تصادفی بر اساس دیفرانسیل تصادفییا معادله تفاوت تصادفی
تمیز دادن سه نوع معادلات دیفرانسیل تصادفی: با پارامترهای تصادفی، با شرایط اولیه تصادفی، با فرآیند ورودی تصادفی (سمت راست تصادفی). اجازه دهید مثالی از یک تصادفی بیاوریم معادله دیفرانسیلنوع سوم:
,
(2.6)
جایی که 
– افزودنیفرآیند تصادفی - نویز ورودی.
در سیستم های غیر خطی، وجود دارد صداهای ضربی.
تجزیه و تحلیل مدل های تصادفی نیاز به استفاده از یک دستگاه ریاضی نسبتاً پیچیده، به ویژه برای سیستم های غیر خطی دارد.
2.4. مفهوم یک مدل معمولی از یک فرآیند تصادفی.فرآیند تصادفی عادی (گاوسی).
هنگام توسعه یک مدل تصادفی، تعیین ماهیت یک فرآیند تصادفی مهم است 
. یک فرآیند تصادفی را می توان با مجموعه ای (توالی) از توابع توزیع توصیف کرد - یک بعدی، دو بعدی، ...، n بعدی یا چگالی های توزیع احتمال مربوطه. در اکثر مسائل عملی، آنها به تعریف قوانین توزیع یک بعدی و دو بعدی محدود می شوند.
در برخی مشکلات، ماهیت توزیع 
پیشینی شناخته شده است.
در بیشتر موارد، زمانی که یک فرآیند تصادفی 
نتیجه تأثیر ترکیبی از تعداد قابل توجهی از عوامل تصادفی مستقل بر سیستم فیزیکی است، اعتقاد بر این است که 
دارای خواص است قانون توزیع نرمال (گاوسی).. در این حالت می گوییم که فرآیند تصادفی است 
با آن جایگزین می شود مدل نوعیک فرآیند تصادفی گاوسی است. یک بعدیچگالی توزیعاحتمالاتفرآیند تصادفی عادی (گاوسی) در شکل نشان داده شده است. 2.4.
توزیع نرمال (گاوسی) یک فرآیند تصادفی است خواص زیر .
1. تعداد قابل توجهی از فرآیندهای تصادفی در طبیعت از قانون توزیع نرمال (گاوسی) تبعیت می کنند.
2. امکان تعیین (اثبات) ماهیت طبیعی یک فرآیند تصادفی کاملاً دقیق.
3. هنگامی که یک سیستم فیزیکی در معرض ترکیبی از عوامل تصادفی با قوانین مختلف توزیع آنها قرار می گیرد اثر خالصاز قانون توزیع نرمال پیروی می کند ( تئوری حد مرکزی).
4. هنگام عبور از یک سیستم خطی، یک فرآیند عادی برخلاف سایر فرآیندهای تصادفی، خواص خود را حفظ می کند.
5. یک فرآیند تصادفی گاوسی را می توان به طور کامل با دو ویژگی توصیف کرد - انتظارات ریاضیو پراکندگی
که در 
در طول فرآیند مدل سازی، مشکل اغلب ایجاد می شود - تعیین ماهیت توزیعبرخی از متغیرهای تصادفی x با توجه به نتایج اندازه گیری های چندگانه آن (مشاهدات) 
. برای این کار درست می کنند هیستوگرام- نمودار مرحله ای، که بر اساس نتایج اندازه گیری یک متغیر تصادفی، امکان تخمین چگالی توزیع احتمال آن را فراهم می کند.
هنگام ساخت یک هیستوگرام، محدوده مقادیر یک متغیر تصادفی است 
به تعداد معینی از بازه ها تقسیم می شوند و سپس فراوانی (درصد) داده هایی که در هر بازه قرار می گیرند محاسبه می شود. بنابراین، هیستوگرام فرکانس ضربه زدن به مقادیر یک متغیر تصادفی را در هر یک از بازه‌ها نمایش می‌دهد. اگر هیستوگرام ساخته شده با یک تابع تحلیلی پیوسته تقریب شود، آنگاه این تابع را می توان به عنوان یک تخمین آماری از چگالی توزیع احتمال ناشناخته نظری در نظر گرفت.
هنگام تشکیل مدل های تصادفی پیوستهمفهوم استفاده می شود "فرآیند تصادفی".توسعه دهندگان تفاوت مدل های تصادفیبا مفهوم عمل کنید "توالی تصادفی".
نقش ویژه ای در نظریه مدل سازی تصادفی ایفا می کند دنباله های تصادفی مارکوفبرای آنها، رابطه زیر برای چگالی احتمال شرطی معتبر است:
از آن نتیجه می شود که قانون احتمالی رفتار فرآیند را در لحظه زمان توصیف می کند 
، فقط به وضعیت قبلی فرآیند در آن زمان بستگی دارد 
و مطلقاً به رفتار آن در گذشته (یعنی در مقاطعی از زمان) بستگی ندارد 
).
عوامل تصادفی داخلی و خارجی (نویز) ذکر شده در بالا، فرآیندهای تصادفی از کلاس های مختلف هستند. نمونه های دیگر از فرآیندهای تصادفی عبارتند از: جریان متلاطم مایعات و گازها، تغییر در بار یک سیستم قدرت که تعداد زیادی از مصرف کنندگان را تغذیه می کند، انتشار امواج رادیویی در حضور محو شدن تصادفی سیگنال های رادیویی، تغییر در مختصات. یک ذره در حرکت براونی، فرآیندهای خرابی تجهیزات، دریافت برنامه های کاربردی برای تعمیر و نگهداری، توزیع تعداد ذرات در یک محلول کلوئیدی با حجم کم، که تأثیر را در سیستم های ردیابی رادار تنظیم می کند، فرآیند انتشار ترمیونی از سطح فلز و غیره .
معادله دیفرانسیل تصادفی(SDE) - یک معادله دیفرانسیل که در آن یک یا چند عبارت ماهیت تصادفی دارند، یعنی یک فرآیند تصادفی را نشان می دهند (نام دیگر یک فرآیند تصادفی است). بنابراین، جواب های معادله نیز فرآیندهای تصادفی هستند. معروف ترین و پرکاربردترین مثال یک SDE معادله ای با اصطلاحی است که نویز سفید را توصیف می کند (که می تواند به عنوان نمونه ای از مشتق از فرآیند وینر در نظر گرفته شود). با این حال، انواع دیگری از نوسانات تصادفی مانند فرآیند پرش وجود دارد.
داستان
در ادبیات، اولین استفاده از SDE به طور سنتی با کار بر روی توصیف حرکت براونی مرتبط است که به طور مستقل توسط ماریان اسمولوچوفسکی (g.) و آلبرت انیشتین (g.) انجام شده است. با این حال، SDE ها کمی زودتر (d.) توسط ریاضیدان فرانسوی لوئیس بوشلیه در پایان نامه دکترای خود "نظریه فرضیات" استفاده شد. بر اساس ایده های این کار، فیزیکدان فرانسوی پل لانژوین شروع به استفاده از SDE در کار خود در زمینه فیزیک کرد. بعدها، او و فیزیکدان روسی، روسلان استراتونوویچ، توجیه ریاضی دقیق تری برای SDE ارائه کردند.
واژه شناسی
در فیزیک، SDE ها به طور سنتی به شکل معادله لانگوین نوشته می شوند. و اغلب، نه کاملاً دقیق، خود معادله لانگوین نامیده می شود، اگرچه SDE را می توان به روش های بسیار دیگری نوشت. SDE به شکل معادله لانژوین شامل یک معادله دیفرانسیل غیر تصادفی معمولی و یک بخش اضافی است که نویز سفید را توصیف می کند. دومین شکل رایج معادله فوکر-پلانک است که یک معادله دیفرانسیل جزئی است و سیر تحول چگالی احتمال را در طول زمان توصیف می کند. شکل سوم SDE بیشتر در ریاضیات و ریاضیات مالی استفاده می شود، شبیه معادلات لانگوین است اما با استفاده از دیفرانسیل های تصادفی نوشته شده است (جزئیات را در زیر ببینید).
حساب تصادفی
اجازه دهید T > 0 (\displaystyle T>0)، رهایش کن
μ: R n × [ 0 , T ] → R n ; (\displaystyle \mu:\mathbb (R) ^(n)\times \to \mathbb (R) ^(n);) σ : R n × [ 0 , T ] → R n × m ; (\displaystyle \sigma:\mathbb (R) ^(n)\times \to \mathbb (R) ^(n\times m)؛) E[ | Z | 2]< + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}سپس معادله دیفرانسیل تصادفی برای شرایط اولیه داده شده
d X t = μ (X t , t) d t + σ (X t , t) d B t (\displaystyle \mathrm (d) X_(t)=\mu (X_(t),t)\,\mathrm (د) t+\سیگما (X_(t)،t)\،\mathrm (d) B_(t))برای t ∈ [ 0 , T ] ; (\displaystyle t\in ;) X t \u003d Z; (\displaystyle X_(t)=Z;)منحصر به فرد (به معنای «تقریباً احتمالاً») و t (\displaystyle t)-راه حل مستمر (t , ω) ∣ → X t (ω) (\displaystyle (t,\omega)\shortmid \!\to X_(t)(\omega))، به طوری که X (\displaystyle X)- فرآیند مناسب برای فیلتراسیون F t Z (\displaystyle F_(t)^(Z))، تولید شده است Z (\displaystyle Z)و B s (\displaystyle B_(s)), s ≤ t (\displaystyle s\leq t)، و
E [ ∫ 0 T | X t | 2dt]< + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} \left[\int \limits _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}کاربرد معادلات تصادفی
فیزیک
در فیزیک، SDE ها اغلب به شکل معادله لانژوین نوشته می شوند. به عنوان مثال، یک سیستم SDE مرتبه اول را می توان به صورت زیر نوشت:
x ˙ i = d x i d t = f i (x) + ∑ m = 1 n g i m (x) η m (t) , (\displaystyle (\dot (x))_(i)=(\frac (dx_(i))( dt))=f_(i)(\mathbf (x))+\sum _(m=1)^(n)g_(i)^(m)(\mathbf (x))\eta _(m)( ت))جایی که x = ( x i | 1 ≤ i ≤ k ) (\displaystyle \mathbf (x) =\(x_(i)|1\leq i\leq k\))- مجموعه ای از مجهولات، f i (\displaystyle f_(i))و توابع دلخواه هستند، و η m (\displaystyle \eta _(m))توابع تصادفی زمان هستند که اغلب اصطلاحات نویز نامیده می شوند. این نماد به این دلیل استفاده می شود که یک تکنیک استاندارد برای تبدیل یک معادله با مشتقات بالاتر به یک سیستم معادلات مرتبه اول با معرفی مجهولات جدید وجود دارد. اگر g i (\displaystyle g_(i))ثابت هستند، می گوییم که سیستم در معرض نویز افزایشی است. ما همچنین سیستم هایی با نویز ضربی را در نظر می گیریم g (x) ∝ x (\displaystyle g(x)\propto x). از دو مورد در نظر گرفته شده، نویز افزودنی ساده تر است. راه حل یک سیستم با نویز افزایشی را اغلب می توان تنها با استفاده از روش های حساب استاندارد پیدا کرد. به طور خاص، می توان از روش معمول ترکیب توابع ناشناخته استفاده کرد. با این حال، در مورد نویز ضربی، معادله لانژوین به معنای تحلیل ریاضی معمولی ضعیف است و باید بر اساس حساب Itô یا حساب استراتنوویچ تفسیر شود.
در فیزیک، روش اصلی برای حل SDE ها یافتن راه حلی به شکل چگالی احتمال و تبدیل معادله اصلی به معادله فوکر-پلانک است. معادله فوکر-پلانک یک معادله دیفرانسیل جزئی بدون عبارات تصادفی است. تکامل زمانی چگالی احتمال را تعیین می کند، همانطور که معادله شرودینگر وابستگی زمانی تابع موج یک سیستم را در مکانیک کوانتومی تعیین می کند، یا معادله انتشار، تکامل زمانی غلظت شیمیایی را تعیین می کند. راه حل ها را می توان به صورت عددی نیز جستجو کرد، برای مثال با استفاده از روش مونت کارلو. سایر تکنیک ها برای یافتن راه حل ها از انتگرال مسیر استفاده می کنند، این تکنیک مبتنی بر قیاس بین فیزیک آماری و مکانیک کوانتومی است (به عنوان مثال، معادله فوکر-پلانک را می توان با استفاده از تبدیل متغیرها به معادله شرودینگر تبدیل کرد)، یا حل معادلات دیفرانسیل معمولی برای گشتاورهای چگالی احتمال
پیوندها
- دنیای تصادفی - مقدمه ای ساده بر معادلات دیفرانسیل تصادفی
ادبیات
- آدومین، جورج.سیستم های تصادفی (نئوپر.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. - (ریاضیات در علوم و مهندسی (169)).
- آدومین، جورج.معادلات عملگر تصادفی غیرخطی (neopr.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
- آدومین، جورج.نظریه سیستم های تصادفی غیرخطی و کاربردها در فیزیک - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group، 1989. - (ریاضیات و کاربردهای آن (46)). (انگلیسی)
طرح های ریاضی برای توصیف سیستم های فنی
طبقه بندی کلی مدل های سیستم
به هر چیزی که هدف فعالیت انسان باشد گفته می شود هدف - شی . برای تعیین نقش تئوری مدلسازی در فرآیند مطالعه اشیاء و در نتیجه مدلهای آنها، لازم است از تنوع آنها انتزاع شود و ویژگیهای مشترکی که در ذات مدلهای اشیاء متفاوت است برجسته شود. این رویکرد منجر به ظهور یک طبقه بندی کلی از مدل های سیستم شده است.
مدل های سیستم ایجاد شده طبقه بندی می شوند:
· توسط زمان
* مدل های دینامیکی: پیوسته که با معادلات دیفرانسیل توصیف می شوند. گسسته-پیوسته (تفاوت)، با معادلات تفاوت توصیف می شود. احتمالاتی، ساخته شده بر روی رویدادها - مدل های تئوری صف.
* مدل های گسسته - خودکار.
· اتفاقی:
* قطعی - مدل هایی که منعکس کننده فرآیندهایی هستند که در آنها هیچ اثر تصادفی وجود ندارد.
* تصادفی - مدل هایی که فرآیندها و رویدادهای احتمالی را منعکس می کنند.
· با تعیین وقت قبلی:
· بر اساس نوع اطلاعات پردازش شده:
* اطلاعات: - مرجع و اطلاعات.
اطلاع رسانی و مشاوره؛
کارشناس؛
خودکار؛
* مدل های فیزیکی: - طبیعی (پلاسما)؛
نیمه طبیعی (تونل های باد)؛
* مدل های شبیه سازی؛
* مدل های هوشمند؛
* مدل های معنایی (منطقی)؛
بیایید به بررسی انواع اصلی طرح های ریاضی ادامه دهیم.
1.3.1. مدلهای قطعی پیوسته (طرحهای D)
طرح های ریاضی از این نوع منعکس می کنند پویایی شناسیفرآیندهایی که به موقع در سیستم رخ می دهند. بنابراین آنها نامیده می شوند طرح های D. یک مورد خاص از سیستم های دینامیکی هستند سیستم های کنترل اتوماتیک.
یک سیستم خودکار خطی با یک معادله دیفرانسیل خطی شکل توصیف می شود
جایی که x(t)- تنظیم عملکرد یا متغیر ورودی سیستم. y(t)- متغیر وضعیت یا خروجی سیستم؛ - ضرایب؛ تی- زمان.
شکل 1 یک نمودار عملکردی بزرگ شده از سیستم کنترل خودکار را نشان می دهد که در آن سیگنال خطا وجود دارد. - عمل کنترل؛ f(t)- نفوذ مزاحم این سیستم بر اساس اصل بازخورد منفی است، زیرا برای کاهش متغیر خروجی است y(t)به مقدار داده شده آن، اطلاعات مربوط به انحراف بین آنها استفاده می شود. بر اساس آن، می توان یک نمودار بلوکی و یک مدل ریاضی را در قالب یک تابع انتقال یا در قالب یک معادله دیفرانسیل (1.1) توسعه داد، که در آن، برای سادگی، فرض می شود که نقاط کاربرد تأثیرات مزاحم با ورودی سیستم همزمان است.
شکل 1.1. ساختار سیستم کنترل اتوماتیک
مدارهای قطعی پیوسته (مدارهای D) بر روی رایانه های آنالوگ (ACM) اجرا می شوند.
1.3.2. مدلهای گسسته - قطعی (طرحهای F)
نوع اصلی مدل های گسسته - قطعی است ماشین پایانی
ماشین حالتمبدل اطلاعات گسسته ای نامیده می شود که قادر به تغییر از حالتی به حالت دیگر تحت تأثیر سیگنال های ورودی و تولید سیگنال در خروجی است. این یک خودکار است با حافظه. برای سازماندهی حافظه، زمان خودکار و مفهوم وضعیت دستگاه.
مفهومی از " حالت"خودکار به این معنی است که سیگنال خروجی خودکار نه تنها به سیگنال های ورودی در یک زمان معین بستگی دارد، بلکه سیگنال های ورودی زودتر را نیز در نظر می گیرد. این اجازه می دهد تا زمان به عنوان یک متغیر صریح حذف شود و خروجی ها به عنوان تابعی از حالت ها و ورودی ها بیان شوند.
هر گونه انتقال خودکار از یک حالت به حالت دیگر ممکن است زودتر از یک بازه زمانی گسسته نباشد. علاوه بر این، خود انتقال در نظر گرفته می‌شود که فورا رخ می‌دهد، یعنی فرآیندهای گذرا در مدارهای واقعی در نظر گرفته نمی‌شوند.
دو روش برای معرفی زمان خودکار وجود دارد که بر اساس آن اتومات ها به دو دسته تقسیم می شوند همزمانو نامتقارن.
که در همزماندر اتوماتا، لحظات زمانی که در آن تغییرات در حالات خودکار ثبت می شود توسط یک دستگاه خاص - یک ژنراتور سیگنال ساعت تنظیم می شود. علاوه بر این، سیگنال ها در فواصل زمانی مساوی می رسند - . فرکانس ژنراتور ساعت به گونه ای انتخاب می شود که هر عنصر خودکار قبل از ظاهر شدن پالس بعدی زمان لازم را برای تکمیل کار خود داشته باشد.
که در نامتقارندر یک خودکار، لحظات انتقال خودکار از یک حالت به حالت دیگر از پیش تعیین نشده است و به رویدادهای خاصی بستگی دارد. در چنین خودکارهایی، فاصله گسستگی متغیر است.
نیز وجود دارد قطعیو احتمالیخودکار
که در قطعی automata، رفتار و ساختار خودکار در هر لحظه از زمان به طور منحصر به فردی توسط اطلاعات ورودی فعلی و وضعیت خودکار تعیین می شود.
که در احتمالیخودکار، آنها به یک انتخاب تصادفی بستگی دارند.
به طور انتزاعی، یک خودکار محدود را می توان به عنوان یک طرح ریاضی (طرح F -) نشان داد که با شش نوع متغیر و توابع مشخص می شود:
1) مجموعه محدود x(t)سیگنال های ورودی (الفبای ورودی)؛
2) مجموعه محدود y(t)سیگنال های خروجی (الفبای خروجی)؛
3) مجموعه محدود z(t)حالات داخلی (الفبای حالات)؛
4) وضعیت اولیه خودکار z0 , ;
5) عملکرد خودکار از یک حالت به حالت دیگر منتقل می شود.
6) عملکرد خروجی های دستگاه.
یک خودکار متناهی انتزاعی یک ورودی و یک خروجی دارد. در هر لحظه گسسته از زمان t=0،1،2،... F- دستگاه در وضعیت خاصی قرار دارد z(t)از بسیاری ز- حالات خودکار و در لحظه اولیه زمان t=0همیشه در حالت اولیه است z(0)=z0. در حال حاضر تی، توانا بودن z(t)، خودکار قادر است سیگنال را در کانال ورودی درک کند و سیگنال را در کانال خروجی صادر کند و به حالت عبور کند.
یک خودکار متناهی انتزاعی، نقشه‌برداری از مجموعه کلمات را در الفبای ورودی پیاده‌سازی می‌کند ایکسبه مجموعه ای از کلمات در الفبای خروجی Y، یعنی اگر ورودی ماشین حالت محدود به حالت اولیه تنظیم شود z0، حروف الفبای ورودی را که کلمه ورودی را تشکیل می دهند، به ترتیب بیان کنید، سپس خروجی خودکار به ترتیب حروف الفبای خروجی را که کلمه خروجی را تشکیل می دهند ظاهر می شود.
بنابراین، عملکرد خودکار محدود طبق طرح زیر رخ می دهد: در هر یک تی- چرخه به ورودی خودکار که در حالت است z(t)، مقداری سیگنال داده می شود x(t)، که خودکار با جابجایی به آن واکنش نشان می دهد (t+1)–اوم درایت به یک حالت جدید z(t+1)و دادن مقداری سیگنال خروجی
بسته به نحوه تعریف سیگنال خروجی، ماشین های حالت محدود انتزاعی همزمان به دو نوع تقسیم می شوند:
F یک خودکار از نوع اول است که همچنین نامیده می شود دستگاه میلی :
F - خودکار از نوع دوم:
یک خودکار از نوع دوم که برای آن
تماس گرفت دستگاه مور - عملکرد خروجی ها به متغیر ورودی بستگی ندارد x(t).
برای تعیین یک F-automaton محدود، لازم است که تمام عناصر مجموعه را توصیف کنیم.
روش های مختلفی برای تنظیم کار F-automata وجود دارد که از جمله پرکاربردترین آنها جدولی، گرافیکی و ماتریسی است.
1.3.3. مدل های گسسته پیوسته
فرآیندهای پالس خطی و سیستم های کنترل اتوماتیک دیجیتال با معادلات تفاضل گسسته به شکل زیر توصیف می شوند:
جایی که x(n)تابع شبکه سیگنال ورودی است. y(n)تابع شبکه سیگنال خروجی است که با حل معادله (1.2) تعیین می شود. b kضرایب ثابت هستند. - تفاوت بهمرتبه -ام؛ t=nT، جایی که nt – n-نقطه در زمان تیدوره گسسته است (در عبارت (1.2) به طور مشروط به عنوان وحدت در نظر گرفته شده است).
معادله (1.2) را می توان به شکل دیگری نشان داد:
معادله (1.3) یک رابطه بازگشتی است که به شما امکان می دهد هر یک را محاسبه کنید (i+1)-امین عضو دنباله با مقادیر اعضای قبلی آن من، آی-1،...و معنی x(i+1).
ابزار اصلی ریاضی برای مدلسازی سیستم‌های خودکار دیجیتال، تبدیل Z است که بر اساس تبدیل لاپلاس گسسته است. برای این کار باید تابع انتقال ضربه سیستم را پیدا کرد، متغیر ورودی را تنظیم کرد و با تغییر پارامترهای سیستم، بهترین نسخه سیستم در حال طراحی را پیدا کرد.
1.3.4. مدلهای تصادفی گسسته (طرحهای P)
مدل گسسته تصادفی شامل خودکار احتمالی. به طور کلی یک خودکار احتمالی یک مبدل اطلاعات گام به گام گسسته با حافظه است که عملکرد آن در هر مرحله تنها به وضعیت حافظه موجود در آن بستگی دارد و می توان آن را به صورت آماری توصیف کرد. رفتار خودکار بستگی به انتخاب تصادفی دارد.
استفاده از طرحهای اتوماتای احتمالی برای طراحی سیستم‌های گسسته که در آنها رفتار تصادفی منظم آماری آشکار می‌شود، مهم است.
برای P-automaton، مفهوم ریاضی مشابهی مانند F-automaton معرفی شده است. مجموعه G را در نظر بگیرید که همه عناصر آن جفت های ممکن هستند (x i,z s)، جایی که x iو z sعناصر زیر مجموعه ورودی ایکسو زیر مجموعه ایالت ها زبه ترتیب. اگر دو تابع از این قبیل و آن نقشه وجود داشته باشد و با کمک آنها انجام شود، گفته می شود که یک خودکار از نوع قطعی را تعریف می کند.
تابع انتقال یک خودکار احتمالی نه یک حالت خاص، بلکه توزیع احتمال را روی مجموعه ای از حالت ها تعیین می کند.
(اتوماتیک با انتقال تصادفی). تابع خروجی نیز یک توزیع احتمال بر روی مجموعه سیگنال های خروجی است (یک خودکار با خروجی های تصادفی).
برای توصیف یک خودکار احتمالی، یک طرح ریاضی کلی تر را معرفی می کنیم. اجازه دهید Φ مجموعه تمام جفت های ممکن فرم باشد (z k,y j)، جایی که y jعنصری از زیر مجموعه خروجی است Y. در مرحله بعد، ما به هر عنصری از مجموعه نیاز داریم جیبر روی مجموعه Φ برخی از قوانین توزیع به شکل زیر القا شده است:
عناصر از f...
احتمال انتقال خودکار به حالت کجاست z kو ظاهر یک سیگنال در خروجی y jاگر او می توانست z sو یک سیگنال در ورودی آن در این نقطه از زمان دریافت شد x i.
تعداد این توزیع‌ها که به شکل جداول ارائه می‌شوند برابر با تعداد عناصر مجموعه G است. اگر این مجموعه جداول را با B نشان دهیم، آن چهار عنصر نامیده می‌شوند. خودکار احتمالی (P - اتوماتیک). که در آن .
یک مورد خاص از P-automaton که به عنوان خودکار تعریف می شود، که در آن یا انتقال به حالت جدید یا سیگنال خروجی به طور قطعی تعیین می شود. Z یک خودکار احتمالی قطعی است، Y یک خودکار احتمالی قطعی استبه ترتیب).
بدیهی است که از دیدگاه دستگاه ریاضی، انتساب یک خودکار P قطعی Y معادل با انتساب یک زنجیره مارکوف با مجموعه ای محدود از حالات است. در این راستا، هنگام استفاده از طرحهای P برای محاسبات تحلیلی، دستگاه زنجیره‌های مارکوف اصلی‌ترین دستگاه است. P-اتوماتای مشابه هنگام ساخت فرآیندهای عملکرد سیستم ها یا تأثیرات محیطی از ژنراتورهای توالی های مارکوف استفاده می کنند.
سکانس های مارکوفبر اساس قضیه مارکوف، دنباله ای از متغیرهای تصادفی است که عبارت برای آن
که در آن N تعداد تست های مستقل است. د--پراکندگی
چنین P-automata (طرحهای P) را می توان برای ارزیابی ویژگی های مختلف سیستم های مورد مطالعه هم برای مدل های تحلیلی و هم برای مدل های شبیه سازی با استفاده از روش های مدل سازی آماری استفاده کرد.
Y - P-automaton قطعی را می توان با دو جدول مشخص کرد: انتقال (جدول 1.1) و خروجی (جدول 1.2).
جدول 1.1
جایی که P ij احتمال انتقال خودکار P از حالت z i به حالت z j است، در حالی که .
جدول 1.1 را می توان به عنوان یک ماتریس مربع ابعاد نشان داد. ما چنین جدولی را می نامیم ماتریس احتمال انتقالیا به سادگی ماتریس انتقال P-automaton، که می تواند به صورت فشرده نمایش داده شود:
برای توصیف خودکار P قطعی Y، لازم است توزیع احتمال اولیه فرم را تنظیم کنید:
| ز... | z1 | z2 | ... | z k-1 | z k |
| د... | d1 | d2 | ... | dk-1 | dk |
که در آن d k احتمال این است که در ابتدای کار، P-automaton در حالت z k باشد، در حالی که .
و بنابراین، قبل از شروع کار، P-automaton در حالت z 0 است و در مرحله زمانی اولیه (صفر) وضعیت را مطابق با توزیع D تغییر می دهد. پس از آن، تغییر در حالت های خودکار تغییر می کند. با ماتریس انتقال P تعیین می شود. با در نظر گرفتن z 0، بعد ماتریس Р р باید به افزایش یابد، در حالی که ردیف اول ماتریس خواهد بود. (d 0 ,d 1 ,d 2 ,...,dk)و ستون اول خالی خواهد بود.
مثال. P-automaton قطعی Y توسط جدول انتقال داده می شود:
جدول 1.3
و جدول خروجی
جدول 1.4
| ز | z0 | z1 | z2 | z3 | z4 |
| Y |
با در نظر گرفتن جدول 1.3، نمودار انتقال یک خودکار احتمالی در شکل 1.2 نشان داده شده است.
لازم است کل احتمالات نهایی این خودکار را در حالت z 2 و z 3 تخمین بزنیم، یعنی. هنگامی که واحدها در خروجی دستگاه ظاهر می شوند.
برنج. 1.2. نمودار انتقال
با رویکرد تحلیلی می توان از روابط شناخته شده از تئوری زنجیره های مارکوف استفاده کرد و سیستمی از معادلات را برای تعیین احتمالات نهایی به دست آورد. علاوه بر این، وضعیت اولیه را می توان نادیده گرفت زیرا توزیع اولیه بر مقادیر احتمالات نهایی تأثیر نمی گذارد. سپس جدول 1.3 به شکل زیر خواهد بود:
احتمال نهایی اینکه P-خودکار قطعی Y در وضعیت قرار دارد، کجاست z k.
در نتیجه یک سیستم معادلات بدست می آوریم:
شرایط عادی سازی باید به این سیستم اضافه شود:
حال با حل سیستم معادلات (1.4) به همراه (1.5) به دست می آید:
بنابراین، با عملکرد نامحدود یک خودکار معین، یک دنباله دوتایی در خروجی آن با احتمال وقوع یک، برابر با: تشکیل می شود.
علاوه بر مدلهای تحلیلی در قالب طرحهای P، می‌توان از مدلهای شبیه‌سازی نیز استفاده کرد که برای مثال با روش مدلسازی آماری پیاده‌سازی شدند.
1.3.5. مدلهای تصادفی پیوسته (طرحهای Q)
ما چنین مدل هایی را با استفاده از مثال استفاده از سیستم های صف به عنوان طرح های ریاضی معمولی در نظر خواهیم گرفت که به نام طرح های Q- . چنین طرحهای Q در رسمی‌سازی فرآیندهای عملکرد سیستم‌ها، که در اصل فرآیند هستند، استفاده می‌شوند. سرویس.
به فرآیندهای خدماتیرا می توان نسبت داد: جریان های تحویل محصول به یک شرکت خاص، جریان قطعات و اجزای سازنده در خط مونتاژ یک کارگاه، برنامه های کاربردی برای پردازش اطلاعات رایانه ای از پایانه های راه دور یک شبکه رایانه ای. یک ویژگی مشخص برای عملکرد چنین سیستم ها یا شبکه هایی، ظاهر تصادفی درخواست های سرویس است. علاوه بر این، در هر عمل اولیه خدمات، دو جزء اصلی قابل تشخیص است: انتظار از سرویس و در واقع، فرآیند سرویس دهی به خود برنامه. بیایید آن را به شکل یک دستگاه سرویس i-ام P i نشان دهیم (شکل 1.3)، که از یک انباشته درخواست Н i تشکیل شده است، که در آن می‌توان همزمان برنامه‌هایی وجود داشته باشد. K i – کانال خدمات اپلیکیشن.
هر عنصر دستگاه P i جریان رویدادها را دریافت می کند، یک جریان از درخواست ها وارد انباشتگر Hi می شود و یک جریان سرویس AND i وارد کانال K i می شود.
شکل 1.3. دستگاه تعمیر و نگهداری
جریان رویداد می تواند باشد همگن، اگر فقط با توالی ورود این رویدادها مشخص شود () یا ناهمگون، اگر با مجموعه ای از ویژگی های رویداد مشخص شود، به عنوان مثال، مجموعه ای از ویژگی ها: منبع درخواست ها، وجود اولویت، امکان ارائه یک یا نوع دیگری از کانال و غیره.
معمولاً هنگام مدلسازی سیستم‌های مختلف در رابطه با کانال Ki، می‌توان فرض کرد که جریان درخواست‌ها در ورودی Ki زیرمجموعه‌ای از متغیرهای کنترل‌نشده را تشکیل می‌دهد و جریان سرویس AND i زیرمجموعه‌ای از متغیرهای کنترل‌شده را تشکیل می‌دهد.
آن درخواست‌هایی که به دلایل مختلف توسط کانال K i ارائه نمی‌شوند، جریان خروجی Y i را تشکیل می‌دهند.
این مدل ها را می توان به عنوان مدل های تصادفی بهینه طبقه بندی کرد.
در بسیاری از موارد، هنگام ساخت یک مدل، همه شرایط از قبل مشخص نیست. کارایی یافتن یک مدل در اینجا به سه عامل بستگی دارد:
شرایط را تنظیم کنید x 1، x 2،...، x n;
شرایط نامعلوم y 1، y 2،...، yk;
عوامل تحت کنترل ما و 1، و 2،...، و m،یافت می شود.
شاخص کارایی برای حل چنین مشکلی به شکل زیر است:
وجود عوامل ناشناخته y منمسئله بهینه سازی را به مسئله انتخاب راه حل در شرایط عدم قطعیت تبدیل می کند. کار به شدت دشوار می شود.
این کار به ویژه برای مواردی که مقادیر آن پیچیده است y منثبات آماری یعنی عوامل ناشناخته ندارند y مننمی توان با استفاده از روش های آماری مطالعه کرد. قوانین توزیع آنها یا به دست نمی آید یا اصلا وجود ندارد.
در این موارد، ترکیبی از مقادیر ممکن Y به گونه ای در نظر گرفته می شود که هر دو ترکیب "بهترین" و "بدترین" مقادیر متغیر را به دست آورند. y من.
سپس به عنوان یک معیار بهینه سازی در نظر گرفته می شود.
مدلهای تصادفی فرآیندها یا موقعیت‌های تصادفی را توصیف می‌کنند، در حالی که درک می‌شود که تصادفی بودن پدیده‌های خاص بر حسب احتمال بیان می‌شود. درست مانند مدل های قطعی، مدل های تصادفی می توانند گسسته و پیوسته باشند.
مدل های تصادفی پیوسته
طرح اصلی یک توصیف رسمی از سیستم هایی است که توسط
1) ماهیت پیوسته تغییر در زمان و
2) وجود تصادفی در رفتار،
به عنوان دستگاه سیستم های صف عمل می کند. یعنی طرحی از طرحهای ریاضی طراحی شده برای رسمی کردن فرآیندهای عملکرد سیستم‌ها که فرآیندهای خدماتی هستند. برای چنین سیستم هایی است که ماهیت تصادفی عملیات (ظاهر تصادفی درخواست های خدمات)، تکمیل سرویس در زمان های تصادفی، وجود جریان ورودی و خروجی از درخواست ها، وجود دستگاه های خدماتی، جریان رویدادها، وجود از یک صف برای خدمات، تعریف یک ترتیب خاص از خدمات، و غیره.
همانطور که از توضیحات مدل هایی از این دست مشخص است، مدل های پیوسته تصادفی مناسب ما نیستند.
مدل های تصادفی گسسته
این نوع مدل برای آن دسته از اشیایی که دارای ویژگی های زیر هستند مناسب است:
زمان در آنها گسسته است
آنها رفتار تصادفی منظم ایستا از خود نشان می دهند.
با توجه به این تعریف، مدل ما کاملاً با توصیف مدلهای تصادفی گسسته مطابقت دارد: بر اساس شرط، زمان ما گسسته است و به این نتیجه رسیدیم که در مدل تصادفی وجود دارد. مدل‌هایی از این نوع سیستم‌ها را می‌توان بر اساس دو طرح توصیفی رسمی ساخت:
معادلات تفاضل محدود که در میان متغیرهای آنها توابعی هستند که فرآیندهای تصادفی را تعریف می کنند.
اتوماتای احتمالی
یک خودکار احتمالی یک مبدل اطلاعات گسسته است که بیش از یک حالت دارد که عملکرد آن در هر چرخه فقط به وضعیت حافظه موجود در آن بستگی دارد و می توان آن را به صورت ایستا توصیف کرد.
تخصیص خودکارهای احتمالی در جداول یا با استفاده از نمودارها انجام می شود، اما استفاده از آنها در عمل تنها با پیاده سازی یک مدل شبیه سازی بر روی رایانه امکان پذیر است (به استثنای مدل های کوچک و ساده که در آنها محاسبات تحلیلی نیز امکان پذیر است).
بیایید امکان اعمال خودکارهای احتمالی را در مدل خود بررسی کنیم:
در مدل ما تصادفی وجود دارد، اما آیا می توان قانون توزیع را محاسبه کرد؟
1.در صورت قیمت تصادفی؟
بله، این توزیع یکنواخت است و احتمالات همه حالت ها در هنگام تعیین قیمت برابر است.
در صورت توزیع تصادفی محصولات فروخته نشده؟
این دوباره یک توزیع یکنواخت است و احتمالات را می توان پیدا کرد.
بیایید ببینیم که سیستم چه حالت های ورودی می تواند بگیرد... معلوم می شود که چنین حالت هایی بی نهایت زیاد است، بنابراین، ساخت یک خودکار احتمالی غیرممکن است. اگر محدودیتی در حجم خروجی وجود داشته باشد چه؟ این مجموعه متناهی خواهد بود و می توان یک خودکار احتمالی ساخت، اما مدل حاصل، مانند فرضیات قطعی بودن سیستم، واقعیت را ضعیف منعکس می کند. بنابراین، ما ساخت یک خودکار احتمالی را رها خواهیم کرد.
در مورد یک طرح گسسته تصادفی از یک توصیف رسمی، راحت ترین راه حل حل مسئله با کمک معادلات تفاضل محدود است.
تاکنون مدل هایی با توپولوژی شبکه قطعی در نظر گرفته ایم. هنگام مدلسازی یک پروژه پیچیده، مدلهای شبکه با ساختار تصادفی اغلب انعطاف‌پذیرترین و مفیدترین هستند. یک شبکه تصادفی به عنوان شبکه ای حاوی گره های جایگزین (حالت) تعریف می شود، در حالی که قوس ها (کارها) نه تنها با توزیع احتمال مدت زمان مشخص می شوند، بلکه با احتمال اجرای آنها نیز مشخص می شوند.
مدل شبکه تصادفی با بسیاری از نتایج ممکن، به عنوان توسعه بیشتر شبکه های سنتی، امکان انعکاس کاملتر فرآیند توسعه و ایجاد یک پروژه پیچیده را فراهم می کند. دستگاه ریاضی مورد استفاده برای تجزیه و تحلیل مدل های شبکه تصادفی امکان محاسبه احتمالات پیامدهای جایگزین مختلف و تخمین زمان تحقق احتمالی آنها را فراهم می کند.
مدل شبکه تصادفی یک گراف محدود G=(W,A) است، که در آن W مجموعه ای از رئوس قطعی و جایگزین شناسایی شده با رویدادها است، و ماتریس تکنولوژیکی A=(p ij) مجموعه کمان های جهت دار شناسایی شده با کارها را تعریف می کند. یا اتصالات). برای شبکه های تصادفی 0 £ p ij £ 1، و p ij = 1 کار (i,j) را به طور مشابه با تعاریف پذیرفته شده در شبکه های سنتی تعریف می کند، و
0 < p ij < 1 соответствует альтернативному событию i, из которого с вероятностью p ij «выходит» работа (i,j). Другими словами p ij – вероятность того, что работа (i,j) будет выполнена при условии, что узел i выполнен.
فرض کنید j(t ij) چگالی توزیع زمان اجرای کار (i,j) باشد. M[x] انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی x است.
تابع مولد شرطی ممان های متغیر تصادفی t ij به صورت М ij (s)=М[е st ij ] معرفی می شود، یعنی.
M ij (s)= ò e st ij j(t ij)dt ij (برای یک متغیر تصادفی پیوسته)،
е st ij j(t ij) (برای یک متغیر تصادفی گسسته).
به طور خاص، М ij (s)=М[е sа ] = e sа در t ij =а=const، М ij (0)=1.
برای هر قوس (i,j)، تابع Y به صورت تعریف شده است
Y ij (s) = p ij M ij (s).
شبکه اصلی با استفاده از سه تبدیل اساسی به شبکه معادل تبدیل می شود:
کمان های متوالی،
کمان های موازی
برای کمان های متوالی (شکل 7)
Y ik (s) = Y ij (s) Y jk (s).
برای کمان های موازی (شکل 8)
Y ij (s) = Y a (s) + Y b (s).
برای مشاهده حلقه ها (شکل 9)
Y ij (s) = Y b (s)/.
با ترکیب تبدیلات اساسی، هر شبکه می تواند به یک شبکه معادل متشکل از یک قوس منفرد (E-arc) تبدیل شود.
هدف از تحلیل زمانی یک شبکه تصادفی محاسبه انتظارات ریاضی و واریانس زمان اجرای شبکه (یا هر یک از قطعات آن) و احتمال اجرای نهایی (یا هر رویداد دیگر) شبکه است.
در اینجا از تئوری نمودارهای جریان بسته استفاده می شود، که در آن تابع Y که در بالا معرفی شد به عنوان گذر قوس مربوطه تفسیر می شود. برای اعمال نتایج این نظریه در یک شبکه باز با پارامتر مورد نظر Y E (s)، یک قوس اضافی با پارامتر Y A (s) معرفی شده است که رویداد نهایی (سینک) را با اولیه (منبع) متصل می کند.
سپس از معادله توپولوژیک برای نمودارهای بسته که به قانون میسون معروف است به شکل زیر استفاده می شود:
1 – åT(L 1) + åT(L 2) – åT(L 3) +…+ (-1) m åT(L m) + … =0، (10)
که در آن åT(L m) مجموع انتقال‌های معادل برای همه حلقه‌های ممکن از مرتبه mth است.
انتقال معادل برای حلقه مرتبه mth برابر است با حاصلضرب انتقالات m غیر مرتبطحلقه های مرتبه اول، یعنی.
T(L m)=Õ m k=1 T k .
مستقیماً از قانون میسون نتیجه می گیرد که 1–Y A (s)Y E (s)=0 یا Y A (s)=1/Y E (s). با استفاده از این نتیجه، در معادله توپولوژیکی (10) Y A (s) با 1/Y E (s) جایگزین می شود و سپس با توجه به Y E (s) حل می شود، در نتیجه یک تابع Y معادل برای شبکه تصادفی اصلی به دست می آید.
از آنجایی که Y E (s) \u003d p E M E (s) و M E (0) \u003d 1، سپس p E \u003d Y E (0) که به این معنی است که
M E (s) = Y E (s)/p E = Y E (s) / Y E (0). (یازده)
پس از به دست آوردن یک عبارت تحلیلی برای M E (s)، مشتقات جزئی اول و دوم را با توجه به s تابع M E (s) در نقطه s=0 محاسبه کنید، یعنی.
m 1E =¶/¶s[M E (s)] s=0 (12)
m 2E =¶ 2 /¶s 2 [M E (s)] s=0 (13)
اولین لحظه m 1E نسبت به مبدأ، انتظار ریاضی زمان اجرای شبکه است (تبدیل به معادل E-arc) و واریانس زمان اجرای شبکه برابر است با تفاوت بین لحظه دوم m 2E و مربع. از اولی، یعنی
s 2 \u003d m 2E - (m 1E) 2. (14)
بنابراین، دستگاهی که در بالا توضیح داده شد، محاسبه پارامترهای زمانی هر رویداد یک شبکه تصادفی که مورد علاقه کاربر است و همچنین تعیین احتمال وقوع آنها را ممکن می سازد.
با استفاده از اطلاعات به دست آمده، با استفاده از نابرابری چبیشف، می توان احتمال هرگونه فاصله اطمینان برای تکمیل پروژه را برای قوانین توزیع دلخواه برای اجرای عملیات فردی تخمین زد. اگر زمان اجرای هر عملیات به طور عادی توزیع شود، زمان حاصل نیز به طور معمول توزیع می شود. در این حالت می توان تخمین های احتمالی زمان اجرای پروژه را با استفاده از قضیه انتگرال مویور-لاپلاس به دست آورد. علاوه بر این، با تعداد کافی مشاغل در شبکه و برآورده شدن شرایط خاص (به ویژه استقلال مشاغل)، می‌توانیم از قضیه حد لیاپانوف استفاده کنیم و زمان اجرای پروژه حاصل را به عنوان یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال در نظر بگیریم. ویژگی های محاسبه شده با روش توصیف شده در بالا.
بنابراین، مدل شبکه تصادفی شامل تمام انحرافات تصادفی و عدم قطعیت است که به طور مستقیم در طول اجرای هر کار منفرد ایجاد می شود.
3.4. رسمی سازی بیانیه کلی وظیفه برنامه ریزی کار در مدیریت پروژه و شرح مدل شبکه جهانی و وظایف تحلیل زمانی حل شده بر اساس آن
در نتیجه تجزیه و تحلیل و ترکیب مدل های فوق، یک مدل ریاضی جهانی پیشنهاد شده است، در حالی که مدل های شبکه کلاسیک، تعمیم یافته و تصادفی موارد خاص آن هستند.
این مدل (به نام مدل شبکه تصادفی چرخه ای - CSSM) ابزاری انعطاف پذیرتر و مناسب تر برای توصیف فرآیند مدیریت توسعه یک پروژه پیچیده است.
CSSM یک گراف چرخه‌ای محدود، جهت‌دار G(W,A)، متشکل از مجموعه‌ای از رویدادهای W و کمان‌ها (i,j) (رویدادهای i، jOW) است که توسط ماتریس مجاورت A=(p ij ) تعیین می‌شود. 0Ј p ij Ј1، و p ij =1 یک قوس قطعی (i,j) را تعریف می کند و 0< p ij <1 определяет альтернативное событие i, которое с вероятностью p ij связано дугой с событием j. Множество дуг подразделяется на дуги-работы и дуги-связи. Первые реализуют определенный объем производственной деятельности во времени, второй тип дуг отражает исключительно логические связи между последними. Событиями могут быть как начала и окончания выполняемых работ, так некоторые их промежуточные состояния.
زمان تکمیل رویداد i را با T i نشان دهید، سپس نسبت بین زمان اتمام رویدادهایی که با قوس (i, j) متصل می شوند با نابرابری داده می شود:
Т j – Т i і y ij , (15)
که در آن y ij به طور کلی یک متغیر تصادفی است که طبق برخی قوانین در محدوده -Ґ تا 0 یا از 0 تا +Ґ توزیع شده است.
علاوه بر این، محدودیت های مطلق در زمان اجرای رویداد i امکان پذیر است:
l i Ј Т i ЈL i . (16)
روابط (15)-(16) تعمیم نابرابری های مربوطه در توصیف مدل های شبکه تعمیم یافته است، که در آن پارامتر y ij و ماتریس مجاورت A قطعی هستند.
بار معنایی رابطه (15) را با ماهیت احتمالی پارامتر y ij در نظر بگیرید.
اگر (i,j) یک کار کمانی (یا بخشی از آن) باشد، یک متغیر تصادفی توزیع شده مثبت y ij توزیع حداقل مدت این کار را مشخص می کند (همراه با حداکثر اشباع آن با منبع تعیین کننده). این مقاله نشان می‌دهد که توزیع مقدار y ij یک‌وجهی و نامتقارن است و توزیع بتا این الزامات را برآورده می‌کند، بنابراین، حداقل زمان اجرایک متغیر تصادفی y ij =t min (i,j) است که بر اساس قانون توزیع بتا روی قطعه [a, b] با چگالی توزیع شده است.
j(t)=С(t – a) p-1 (b – t) q-1 , (17)
که در آن C از شرط تعیین می شود
اگر متغیر تصادفی y ij در (15)، مربوط به کار کمانی (i,j)، در بازه ی –Ґ تا 0 توزیع شود، آنگاه –y ij =t max (j,i) توزیع را تنظیم می کند. طول حداکثر فاصله زمانی، که در طی آن کار (i، j) باید شروع و به پایان برسد، حتی اگر حداقل با منبع تعیین کننده اشباع شده باشد. برای این کمیت، توزیع آن را به شکلی مشابه به دست آوردیم (17). با دانستن توزیع متغیر تصادفی y ij برای هر شغل (i, j)، انتظارات ریاضی و واریانس آن با استفاده از فرمول های مناسب محاسبه می شود.
معرفی مقادیر منفی توزیع شده y ij برای کارهای قوس الکتریکی (i,j) در (15) به طور قابل توجهی امکانات توصیف ویژگی های زمانی مشاغل را گسترش می دهد و مدل احتمالی پرکاربرد را تنها یکی از موارد خاص می کند.
برای پیوندهای قوس (i,j)، مقدار y ij توزیع وابستگی زمانی بین رویدادهای i و j را مشخص می‌کند، و مقدار توزیع شده مثبت y ij رابطه نوع «نه زودتر» را تعیین می‌کند (رویداد j نمی‌تواند زودتر رخ دهد. بیش از y ij روز پس از اتمام رویداد i)، و مقدار منفی توزیع شده y ij، رابطه نوع "حداکثر از" را تعیین می کند (رویداد i می تواند حداکثر تا -y ij روز بعد از رویداد j رخ دهد). در مورد دوم، چنین پیوندهایی "معکوس" نامیده می شوند.
بنابراین، در اینجا ما با در نظر گرفتن ماهیت احتمالی آنها، به تعمیم این ارتباطات دست یافته ایم.
از آنجایی که زمان اتمام رویدادها T i با مجموع مدت زمان کارهایی که از نظر فنی مقدم بر آنها هستند تعیین می شود، پس با تعداد کافی از چنین آثاری، مطابق با قضیه حد مرکزی، توزیع متغیر تصادفی Т i با پارامترهای - انتظار MT i و پراکندگی DT i به حالت عادی تمایل دارد. توزیع نرمال همچنین دارای پارامتر y ij مربوط به کمان های "معکوس" است که با تجزیه و تحلیل آماری نیز تایید می شود.
محدودیت‌های مطلق در زمان‌بندی رویدادها، ارائه شده توسط (16)، منعکس‌کننده دستورالعمل مربوطه، محدودیت‌های سازمانی و فناوری در زمان‌بندی اجرای کار یا بخش‌هایی از آن است که در مقیاس زمانی «مطلق» (واقعی یا مشروط) ارائه شده است. محدودیت‌های مطلق نیز با نوع «نه زودتر» یا «نه دیرتر» مشخص می‌شوند و به شکل زیر مشخص می‌شوند: T i - T 0 і l i , T 0 - T i і -L i. بنابراین، محدودیت های مطلق شکل (16) یک مورد خاص از محدودیت های فرم (15) برای قوس-اتصال معین است.
معرفی یک ماتریس مجاورت تصادفی A در ترکیب با اتصالات تعمیم یافته فرصت های بیشتری را برای توصیف فرآیند ایجاد یک پروژه پیچیده فراهم می کند.
بگذارید L(i,j) مسیری باشد که رویدادهای i و j را به هم متصل می کند:
L(i,j)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =j). (18)
این مسیر قطعی، اگر pi k-1 i k =1 برای همه kO معتبر باشد و تصادفی، در غیر این صورت. بنابراین، مسیر تصادفی شامل حداقل یک قوس است که احتمال "اجرا" آن به شدت کمتر از 1 است.
به طور مشابه تعریف شده است مدار قطعی و تصادفیК(i)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =i). (به چنین رویدادهایی "کانتور" می گویند).
اگر رویدادهای i و j با یک مسیر L(i,j) به هم متصل شوند، احتمال وقوع رویداد j، مشروط بر اینکه رویداد i رخ داده باشد P(j/i)، حاصل ضرب ضرایب ماتریس مجاورت A است. مربوط به قوس های مسیر اتصال:
P(j/i)=X v k=1 p i k-1 i k . (19)
اگر رویدادهای i و j به چند طریق به هم متصل شوند، تبدیل GERT معادل این قطعه شبکه مطابق با فرمول های داده شده در کار انجام می شود، تابع تولید کننده Y ij (s) قطعه تبدیل شده محاسبه می شود و احتمال آن محاسبه می شود. از رویداد j، به شرطی که رویداد i رخ دهد P (j/i)= Y ij (0).
اولین مشتق تابع Y ij (s)/ Y ij (0) با توجه به s در نقطه s=0 (اولین لحظه m 1 (j/i)) انتظار M(j/i) را تعیین می کند. زمان وقوع j با توجه به زمان رویداد i. دومین مشتق تابع Y ij (s)/ Y ij (0) با توجه به s در نقطه s=0 (لمان دوم m 2 (j/i)) به ما امکان می دهد واریانس زمان را محاسبه کنیم. رویداد j با توجه به زمان رویداد i با فرمول
s 2 (j / i) \u003d m 2 (j / i) - (m 1 (j / i)) 2. (20)
طول مسیر L(i,j) یک متغیر تصادفی است که انتظار ریاضی آن ML(i,j) مجموع انتظارات ریاضی طول تمام کمان هایی که این مسیر را تشکیل می دهند و واریانس DL است. (i,j) برابر است با مجموع واریانس ها.
در این شرایط، طول مسیر (کانتور) می تواند طول بکشد منفیمقادیر، که به صورت زیر تفسیر می شود:
اگر L(i,j)<0 и дуга (j,i) имеет отрицательно распределенный параметр y ji , то событие j должно свершиться نه بعداز -y ji روز پس از وقوع رویداد i. پارامتر y ji ماهیتی احتمالی دارد، که این امکان را فراهم می‌کند که به‌طور انعطاف‌پذیرتر (در رابطه با مدلهای شبکه چرخه‌ای) روابط منطقی-زمانی بین رویدادها را توصیف کنیم.
به عنوان یک پارامتر قوس y ij، می‌توان هر پارامتر مشخصه‌ای را که در امتداد قوس‌های هر مسیری دارای افزودنی است (مثلاً هزینه کار) در نظر گرفت، در حالی که با استفاده از تبدیل GERT معادل، انتظار ریاضی و واریانس هزینه را به دست می‌آوریم. از یک قطعه شبکه یا یک پروژه به عنوان یک کل.
وظایف تجزیه و تحلیل زمانی CSSM (و الگوریتم های حل آنها)همچنین تحلیل زمانی مدلهای شبکه کلاسیک، تعمیم‌یافته یا تصادفی، زیربنای حل تمام مشکلات برنامه‌ریزی و مدیریت پروژه است. آنها در حل مشکلات مدیریت پروژه بدون در نظر گرفتن محدودیت های منابع اهمیت مستقلی دارند.
وظایف تجزیه و تحلیل زمانی نیز برای ایجاد گزینه های مختلف طرح برای مقادیر معینی از بردار در دسترس بودن منابع به منظور مقایسه بعدی آنها، ارزیابی کیفیت گزینه های طرح و انتخاب جهت برای بهبود بیشتر آن ضروری است.
هنگام حل مسائل برنامه ریزی کار بهینه در مدیریت پروژه، الگوریتم های تحلیل زمان CSSM به عنوان ابزاری برای محاسبه پارامترهای لازم مورد استفاده در الگوریتم های بهینه سازی مربوطه به منظور اطمینان از تحقق محدودیت های تکنولوژیکی استفاده می شود.
وظیفه تجزیه و تحلیل زمانی CSSM به یافتن یک بردار تصادفی T=(T 0 ,T 1 ,…,Tn) کاهش می یابد، که در آن T i زمان رویداد i است که مختصات آن نابرابری ها را برآورده می کند ( 15)،(16) و به یک تابع هدف f(T) اکستروم تبدیل می شود.
برجسته شده است سه دسته از مسائل تحلیل زمانی:
· کلاسیک، که در آن برای محاسبه (T i) از انتظارات ریاضی مدت زمان همه کمان ها استفاده می شود.
· احتمالیکه در آن، بر اساس قضیه حد لیاپانوف یا سایر ابزارهای تحلیلی، انتظارات ریاضی از زمان اتمام رویدادهای i - (MT i) که آرگومان های تابع هدف f(T) هستند، محاسبه می شود. ;
· آماری، که در آن برای سطح معینی از قابلیت اطمینان p، طبق روشی که در مقاله توضیح داده شده است، تخمین‌های کمیت p توزیع‌های تجربی هم برای زمان‌بندی رویدادهای i - (W p (T i)) و هم برای آنها تعیین می‌شوند. مشتقات، از جمله مقادیر تابع هدف f(W p (T))، که در آن W p (T)=(W p (T 0)، W p (T 1)،…، W p (Tn)) .
مفهوم سازگاری CSSM معرفی شده است.
مدل شبکه تصادفی چرخه ای نامیده می شود استواراگر حداقل یک طرح قابل قبول برای کلاس مربوطه از مسائل تحلیل زمانی (کلاسیک، احتمالی یا آماری) محاسبه شده باشد که سیستم نابرابری ها را برآورده کند (15)، (16).
بیایید نگاهی به این سه مفهوم بیندازیم.
سازگاری مدل کلاسیک
انتظارات ریاضی مدت زمان همه کمان ها محاسبه می شود و پس از آن شبکه ای با طول قوس ثابت تشکیل می شود. با در نظر گرفتن ماهیت تصادفی مدل مورد بررسی و وجود اتصالات تعمیم یافته، پس از محاسبات فوق، خطوط تصادفی و قطعی می توانند در CSSM قرار گیرند. قضیه زیر ثابت می شود:
قضیه 1 . برای اینکه مدل تصادفی چرخه‌ای، که در آن طول کمان‌ها بر اساس طرح کلاسیک محاسبه می‌شود، با یک احتمال معین a سازگار باشد، لازم و کافی است که طول تمام خطوط قطعی مثبت نباشد.
سازگاری مدل احتمالی.
انتظارات ریاضی MT i و پراکندگی s 2 Ti از زمان‌بندی رویدادها به صورت تحلیلی محاسبه می‌شوند. پارامترهای محاسبه شده به این روش 15-20٪ از نظر بزرگی با پارامترهای محاسبه شده به روش کلاسیک (با توجه به انتظارات ریاضی مدت زمان قوس) متفاوت است.
اجازه دهید در موردش صحبت کنیم سازگاری احتمالی مدل به طور متوسط، اگر مجموعه ای که بدین ترتیب به دست می آید نابرابری های (15)-(16) را برآورده کند، که در آن انتظار ریاضی آن به عنوان مقدار y ij در نظر گرفته می شود. صحت قضیه زیر ثابت می شود:
قضیه 2 . برای اینکه یک مدل تصادفی چرخه ای به طور میانگین به صورت احتمالی سازگار باشد، لازم و کافی است که انتظارات ریاضی طول تمام خطوط قطعی مثبت نباشد.
با فرض اینکه T i دارای توزیع نرمال با پارامترهای: انتظار ریاضی - МТ i و واریانس - s 2 Т i است، مفهوم گسترده تری از e- را معرفی می کنیم. سازگاری مدل احتمالی.
اگر e > 0 وجود داشته باشد به گونه ای که برای همه T i نابرابری را ارضا کند، خواهیم گفت که CSSM از نظر احتمالات الکترونیکی سازگار است.
|T i –MT i |< e, справедливы соотношения (15)-(16). В работе доказано следующее:
قضیه 3 . برای اینکه مدل جایگزین چرخه ای از نظر احتمالات الکترونیکی سازگار باشد، لازم و کافی است که انتظارات ریاضی طول تمام خطوط قطعی رابطه МL(K(i)) Ј -4e را برآورده کند.
سازگاری احتمالی مدل، به طور متوسط، یک مورد خاص از ثبات احتمالی الکترونیکی در e=0 است.
سازگاری آماری مدل.
با روش آماری محاسبه پارامترهای مدل شبکه، با تخمین کمیت p آنها از مقادیر که آنالوگ های احتمالی شاخص های مربوطه هستند، سر و کار داریم. گفته می شود که مدل تصادفی چرخه ای از نظر آماری با احتمال p مطابقت دارد، اگر برای هر رویداد i تخمین‌های کمیت p از زمان اتمام رویدادها W p (T i) وجود داشته باشد که نابرابری‌ها را برآورده می‌کند:
W p (Т j) – W p (Т i)і W p (y ij), (21)
l i JW p (Т i)JL i . (22)
در اینجا روابط (21)-(22) آنالوگ های احتمالی (15)-(16) هستند، W p (y ij) تخمین کمیک p طول قوس (i,j) است. موارد زیر ثابت شده است:
قضیه 4 . برای اینکه مدل جایگزین چرخه ای از نظر آماری با احتمال p مطابقت داشته باشد، لازم و کافی است که تخمین چندک p طول تمام خطوط قطعی رابطه W p (L(K(i))) Ј 0 را برآورده کند.
الگوریتم هایی برای محاسبه پارامترهای زمانی CSSM.
طرح های اولیه و دیررس.
برای محاسبه تاریخ های اولیه و دیررس برای اتمام رویدادها، یک الگوریتم اصلاح شده "آونگ" پیشنهاد شده است. ایده این اصلاح، ترکیب روش آماری برای محاسبه پارامترهای مورد استفاده برای شبکه‌های احتمالی و الگوریتم "Pendulum" مورد استفاده در شبکه‌های تعمیم‌یافته و سپس اعمال آن در CSSM است.
 |
|||
 |
|||
 |
شکل 10. بلوک نمودار شماتیک الگوریتم برای محاسبه
تخمین چندک p تاریخ های اولیهانجام رویدادها
بلوک 1. ورودی داده های اولیه (ضرایب ماتریس A، پارامترهای توزیع y ij، سطح اطمینان p).
بلوک 2. محاسبه تعداد مورد نیاز "تساوی" N برای اطمینان از صحت مشخص شده نتایج. محاسبات انجام شده نشان داد که در p=0.95، e=0.05 N»270 بدست می آید.
بلوک 3. v:=v+1 (v تعداد "قرعه کشی" است).
بلوک 4. ترسیم گونه v-ام متغیرهای تصادفی y ij، هر کدام مطابق با قانون توزیع خود، به دست آوردن ثابت y ij (v) - طول قوس (i، j) در ترسیم v.
بلوک 5. رسم برای هر راس جایگزین i از انتقال به یک راس مجاور j (یک متغیر تصادفی گسسته p ij پخش می شود که با ردیف i از ماتریس مجاورت A، 0 نشان داده می شود.< р ij <1 и е j р ij =1). Выбранная дуга помечается, остальные из графа исключаются. Если в полученном графе образовался контур К(i), содержащий хотя бы одну помеченную дугу, это есть стохастический контур, вычисляем его длину L (v) K(i) и опять для вершины i разыгрываем дискретную случайную величину р ij . В соответствие с доказанной в работе لم 1 همان کانتور تصادفی در سطح اطمینان معین p را نمی توان بیش از k بار تشکیل داد، جایی که k با فرمول مربوطه تخمین زده می شود. طول k برابر کانتور را به طول کمانی که در مرحله (k + 1) "بازی کردیم" اضافه می کنیم و به تجزیه و تحلیل یک کانتور تصادفی دیگر (در صورت وجود) ادامه می دهیم. در این مورد، ممکن است تضادهایی در شبکه ظاهر شود (محاسبات قطعی مثبت)، سپس، مطابق با فرمول های داده شده در کار، طول d برابر کانتور را اضافه می کنیم، در نتیجه میانگین زمان تکمیل " را تخمین می زنیم. خروجی» رویداد از کانتور.
بلوک 6. شبکه تعمیم یافته قطعی G (v) به دو شبکه G 1 (v) و G 2 (v) تقسیم می شود به طوری که نه G 1 (v) و نه G 2 (v) دارای خطوط هستند. رئوس در شبکه G 1 (v) بر اساس رتبه ها مرتب شده اند و مطابق با آنها، شماره گذاری "صحیح" را تنظیم می کنیم. این شماره گذاری را به شبکه G 2 (v) و به G (v) اصلی منتقل می کنیم.
بلوک 7. برای تمام رئوس i شبکه G 1 (v)، ما تاریخ های تکمیل اولیه را محاسبه می کنیم
T i 0(v) :=max j (T i 0(v) , Tj 0(v) + y ij (v)).
بلوک 8. ما رویه هایی مشابه بلوک 7 را برای رئوس شبکه G 2 (v) انجام می دهیم.
بلوک 9. اگر نتایج بلوک‌های 7 و 8 حداقل در یک نشانگر مطابقت نداشته باشند، به بلوک 7 باز می‌گردیم (هیچ بازدهی بیشتر از تعداد کمان‌های معکوس در G 2 (v) وجود ندارد)، در غیر این صورت بلوک 10.
بلوک 10. اگر عدد قرعه کشی vJN است، به بلوک 4 و در غیر این صورت به بلوک 11 بروید.
بلوک 11. از مجموعه حاصل (T i 0(v) ) برای هر راس i یک سری متغیر می سازیم. ما چنین مقدار Т i 0(x) را ثابت می کنیم که N x /N=р، که در آن N x تعداد اعضای سری تغییرات کمتر از Т i 0(x) است. مقدار Т i 0(x) p-quantile مورد نیاز ترم اولیه رویداد i - W p (T i 0) است. به طور مشابه، با استفاده از سری تغییرات (y ij (v) ) ما تخمین های p-p-quantile طول قوس - W p (y ij) را می سازیم.
ورودی بلوک 6 نسخه v ام از مدل شبکه تعمیم یافته G (v) را دریافت می کند و در واقع بلوک های 6 - 9 یک بلوک دیاگرام بزرگ شده از الگوریتم "Pendulum" برای محاسبه زمان بندی اولیه رویدادها در OSM. استفاده از الگوریتم مناسب برای محاسبه تاریخ های دیرهنگامبا تکمیل رویدادها در بلوک های 7 و 8، ما T i 1(v) را دریافت می کنیم - تاریخ های دیرهنگام برای تکمیل رویدادها برای نسخه v-ام مدل شبکه تعمیم یافته، در حالی که بلوک 11 به ما W p (Ti 1) می دهد - تخمین چندک p تاریخ های دیرهنگامتکمیل رویدادها
برنامه های حداقل مدت.
مدت زمان L(T (v)) هر طرح عملی T (v) =(T i (v) ) نسخه v شبکه G (v) با فرمول تعیین می شود:
L(Т (v))=max ij |Т i (v) – Т j (v) |. (23)
جایگزینی در بلوک دیاگرام در شکل. 10 بلوک 6 - 9 در بلوک یافتن حداقل تابع (23)، طرح حداقل مدت زمان شبکه G (v) (یا طرح "فشرده") را دریافت می کنیم. ارزش
L(T* (v))=min max ij |T i (v) – T j (v) | (24)
زمان بحرانی شبکه G (v) است.
با استفاده از روش یافتن یک طرح فشرده برای OCM در بلوک‌های 6-9 و عبور طرحهای حاصل از بلوک 11، تخمین‌های احتمالی چندک p از طرحهای فشرده را به دست می‌آوریم.
ذخایر زمانی برای کار (i، j) مطابق با همتایان p-quantile آنها است که با فرمول محاسبه می شود:
R p p (i, j) \u003d W p (T j 1) - W p (T i 0) - W p (y ij) برای ذخیره کامل, (25)
R با p (i، j) \u003d W p (T j 0) - W p (T i 0) - W p (y ij) برای رزرو رایگان. (26)
با توجه به فرمول های مربوطه، کمیت های p محاسبه می شود ضرایب کشش W p (k n (i، j))، سپس p-quantile را کار می کند منطقه بحرانی، p-quantile منطقه ذخیرهو p-quantile منطقه میانی.
به عنوان پارامتر قوس، زمان اجرای عملیات (کار) را در نظر گرفتیم. همچنین می‌توان هر پارامتر مشخصه‌ای را در نظر گرفت که در امتداد کمان‌های هر مسیری دارای قابلیت افزودن باشد. این ممکن است هزینه کار، مقدار منبع انباشته مورد نیاز و غیره باشد.
لازم به ذکر است که تاکنون تنها روش‌های مدلسازی شبکه قطعی، برخی روش‌های اکتشافی تخصیص بهینه منابع و روش‌های پارامتریک برای تخمین هزینه‌ها (عمدتاً در زمینه پروازهای هوایی و فضایی) کاربرد عملی گسترده‌ای یافته‌اند. اگرچه راه‌حل دقیق برای مشکلات هزینه برنامه‌ریزی بر اساس مدلهای شبکه کلاسیک از نظر تئوری پیدا شده است (توضیح داده شده است)، استفاده عملی از آن با دشواری به دست آوردن داده‌های واقعی در مورد وابستگی‌های زمان-هزینه همراه است.
هر یک از مدل های مورد بحث در بالا دارای حوزه موضوعی خاص خود است، به روش خود (کم و بیش به طور کامل) عملکردهای اساسی مدیریت پروژه را اجرا می کند، و تنها ترکیب مدل ها و روش های تجزیه و تحلیل شده به شما امکان می دهد مدلی بسازید که به اندازه کافی منعکس کننده فرآیند اجرای یک پروژه پیچیده در شرایط عدم قطعیت و در عین حال به دست آوردن قابل قبول در حل مشکل فرموله شده.
مبحث 4. بهینه سازی مصرف منابع بر اساس مدل های شبکه
مفاهیم کلی
در بالا، مدلهای شبکه بدون در نظر گرفتن منابع محدود، به عنوان مثال، در نظر گرفته شدند. مشکل بهترین توزیع منابع وجود نداشت. در روش‌های استفاده از مدلهای شبکه در نظر گرفته شده توسط ما، توجه اصلی به زمان‌بندی اجرای تک تک کارها و شناسایی مهم‌ترین زنجیره‌های کار (بحرانی و زیربحرانی) بود که اتمام به موقع پروژه ( راه اندازی تاسیسات) بستگی دارد. بنابراین، یکی از ویژگی های این روش ها طبقه بندی اطلاعات با توجه به درجه اهمیت آن از نقطه نظر تکمیل کل محدوده کار در چارچوب زمانی تعیین شده است.
یک معیار کمی برای اهمیت اطلاعات، ذخیره زمان کار یا ضرایب کشش
K ij \u003d 1 - R p ij / (T n 0 - T cr (i، j))، (25)
که در آن R p ij ذخیره کل کار است (i, j)، T n 0 زمان بحرانی برای پروژه است، T kr (i, j) مدت زمان بخشی از حداکثر مسیر است که با مسیر بحرانی منطبق است. ، حاوی کار (i، j). 0 £ K ij £ 1، و هر چه K ij به 1 نزدیک تر باشد، ذخیره نسبتاً کمتری در انبار کار (i, j) است، بنابراین، خطر عدم تکمیل آن در زمان مشخص شده بیشتر می شود. به عنوان مثال، برای کار (2.5) (شکل 5) Tcr (2.5) = 5، R p 25 = 3، از آنجا K 25 = 1 -3 / (22 - 5) = 0.82، و برای کار (5.8) T cr (5.8) \u003d 0، R p 58 \u003d 12، از آنجا K 58 \u003d 1 -12 / (22 - 0) \u003d 0.45. آثار ممکن است ذخایر کامل یکسانی داشته باشند، اما میزان تنش در زمان اجرای آنها ممکن است متفاوت باشد. برعکس، کل ذخایر مختلف ممکن است با ضرایب تنش مشابهی مطابقت داشته باشد. با اطلاعات طبقه‌بندی‌شده به این روش، مدیر پروژه در هر زمان معین می‌تواند تعیین کند که توجه (و منابع) در کدام ناحیه باید متمرکز شود تا انحرافات در حال ظهور از تاریخ تکمیل داده‌شده برای همه کارها حذف شود.
قبل از تشریح راه‌های بیشتر برای بهبود روش‌های برنامه‌ریزی و مدیریت شبکه، اجازه دهید با جزئیات بیشتر در مورد برخی از کاستی‌های اصلی ذاتی روش‌های مورد بحث در بالا صحبت کنیم.
با ارائه یک تخمین زمانی از مدت زمان هر کار، استفاده از منابع خاصی را با شدت خاصی برای انجام این کار فرض کردیم (شدت مصرف منابع، میزان مصرف منابع در واحد زمان است).
در زمان تخصیص تخمین زمان، مشخص نیست که این کار چه زمانی باید انجام شود، چه فعالیت های پروژه دیگری که همان نوع منبع را مصرف می کنند، به طور همزمان انجام خواهند شد. علاوه بر این، به عنوان یک قاعده، منابع یکسان ممکن است به طور همزمان در پروژه های مختلف مورد نیاز باشد. بنابراین، ممکن است کل نیاز به یک منبع خاص در مقاطع زمانی معینی از سطح موجود آنها فراتر رود. در این موارد، یا کاهش شدت مصرف منابع در مشاغل فردی ضروری خواهد بود، یا اجرای تعدادی از مشاغل به تاریخ های بعدی، اغلب فراتر از ذخایر کامل این مشاغل، موکول می شود. این امر در طول پروژه منجر به تعدیل مکرر طرح اولیه و به عبارت دیگر به ناپایداری طرح می شود.
بدیهی است که اگر محدودیت های منابع از قبل در برنامه ریزی فرآیند اجرای پروژه در نظر گرفته شود، می توان طرح بسیار قابل اعتمادتری را به دست آورد.
سطح منابع موجود و زمان احتمالی تکمیل پروژه به هم مرتبط هستند. زمان تکمیل کل پروژه به زمان و میزان تخصیص منابع به هر فعالیت بستگی دارد و این تا حد زیادی با در دسترس بودن مورد انتظار آنها در هر زمان مشخص تعیین می شود.
بنابراین، مشکل تخصیص منابع در یک تنظیمات شبکه به وجود می آید.
به طور کلی، هر فرآیند برنامه ریزی تولید چیزی بیش از راه حلی برای مشکل استفاده بهینه از منابع نیست.
معیارهای بهره وری می تواند متفاوت باشد، ما در هنگام در نظر گرفتن وظایف خاص، روی این نکته مهم برنامه ریزی (انتخاب و اثبات معیار) کمی کمتر می پردازیم.
اجازه دهید چند مفهوم و تعاریف را معرفی کنیم.
· برنامه کاریبیایید مجموعه خاصی از عملیات (کارها) را نام ببریم که برای رسیدن به یک یا چند هدف باید انجام شوند و اجرای کار برنامه تابع یک مرکز کارگردانی است. می توان در مورد برنامه کاری برای مجتمع راه اندازی، برنامه کاری برای یک سایت، یک سازمان ساختمانی، یک موسسه طراحی و غیره صحبت کرد.
· برنامه کاری تک موضوعیما برنامه ای را متشکل از مجموعه ای از کارهای مرتبط با تکنولوژی با هدف دستیابی به یک (موضوع تک منظوره) یا چندین هدف (موضوع چند منظوره) می نامیم.
· برنامه کاری چند موضوعیما برنامه ای را متشکل از چندین مجموعه کار می نامیم که از نظر فناوری در هر مجموعه به هم پیوسته اند. هر بسته کاری ممکن است یک یا چند هدف نهایی داشته باشد. آثار متعلق به مجتمع های مختلف از نظر فنی به یکدیگر مرتبط نیستند. وابستگی موضوعات به یک برنامه چند موضوعی با وحدت مرکز کنترل و مشترک بودن مخزن منابع تعیین می شود.
اجازه دهید ابتدا فرمول بندی های مختلف مسائل تخصیص منابع را در نظر بگیریم برنامه تک موضوعی تک هدفه.
بر اساس دو تنظیم هدف ممکن برای مدیریت پروژه که توسط مدل شبکه توضیح داده شده است، دو نوع اصلی تنظیم کار وجود دارد. نوع اول بر پایبندی دقیق به محدودیت های منابع متمرکز است، در حالی که نوع دوم شامل پایبندی دقیق به تاریخ های تکمیل پروژه است.
فرمول بندی اولین نوع بیان مسئله ("کالیبراسیون").
با محدودیت های داده شده در مصرف منابع، با در نظر گرفتن توالی فن آوری کار، تعیین شده توسط توپولوژی نمودار شبکه، چنین توزیعی از آنها را پیدا کنید، که تکمیل کل برنامه را در حداقل زمان تضمین می کند.
فرمول بندی نوع دوم بیان مسئله ("صاف کردن").
در صورت رعایت مدت زمان مشخص شده اجرای برنامه، لازم است منابع بین مشاغل فردی به گونه ای توزیع شود که مصرف آنها بهینه باشد. سوال انتخاب یک معیار بهینه برای این تنظیم توسط ما به طور جداگانه بررسی خواهد شد.
با توجه به مکانیسم متفاوت برای رفع نیاز به منابع، معمولاً به دو گروه انباشته (قابل ذخیره) و غیر انباشته (غیر قابل ذخیره سازی) تقسیم می شوند. از گروه دوم منابع اغلب به عنوان "منابع نوع ظرفیت" یاد می شود.
گروه اول شامل منابعی است که طبیعتاً امکان انباشت با امکان استفاده بعدی را فراهم می کند، به عنوان مثال، پول، مواد و سازه های مختلف و غیره. محدودیت‌های منبع در این مورد می‌تواند توسط یک تابع غیرکاهشی یکپارچه تنظیم شود، که در هر لحظه از زمان ارزش کل عرضه منبع را برای کل دوره قبل نشان می‌دهد.
گروه دوم شامل منابعی است که تجمع آنها برای استفاده بعدی غیرممکن است. به عنوان مثال، منابع زمان کار و ماشین. از کار افتادن کارگران و سازوکارها ضرری جبران ناپذیر است. محدودیت های منبع برای این گروه توسط تابع در دسترس بودن منبع در هر لحظه از زمان ارائه می شود.