دور مجموعه ای از تمام نقاط صفحه در فاصله مساوی از یک نقطه معین است که نامیده می شود مرکز دایرهفاصله از مرکز دایره تا هر نقطه از دایره نامیده می شود . شعاع دایره

- معادله متعارف دایره (16) - مرکز دایره.

اگر مرکز دایره در مبدا باشد، معادله دایره است (16 .)

بیضیمجموعه تمام نقاط صفحه نامیده می شود که مجموع فواصل آنها از دو نقطه داده شده از این صفحه (به نام ترفندهااین بیضی) یک مقدار ثابت است.

در (0;b)M(x,y)

r 1 r 2 r 1 + r 2 = 2a

(-а; 0) F 1 (-c; 0) 0 F 2 (c; 0) (a; 0) X

اجازه دهید برای اختصار یک 2 -b 2 \u003d c 2 (*)، سپس معادله بیضی را نشان دهیم: (17)

اگر y=0 قرار دهیم، دریافت می کنیم و اگر x=0 قرار دهیم، به دست می آید. از این رو، و طول نیم محورهای بیضی هستند - بزرگ() و کم اهمیت(). علاوه بر این، هر یک از عبارت های سمت چپ نمی تواند بزرگتر از یک باشد، از این رو، و بنابراین کل بیضی در داخل مستطیل قرار دارد. نقاط A,B,C,D، که در آن بیضی محورهای تقارن خود را قطع می کند، نامیده می شود رئوس بیضی

نگرش خروج از مرکز بیضی نامیده می شود.

هایپربولی مجموعه ای از تمام نقاط صفحه است که مدول اختلاف فاصله آنها از دو نقطه داده شده از این صفحه (به نام ترفندهااین هذلولی) یک کمیت ثابت است. وسط فاصله بین کانون ها نامیده می شود مرکز هذلولی.

r 2 r 1 –r 2 = 2a

F 1 (-c; 0) 0 F 2 (c; 0) x

معادله هذلولی را 2 -c 2 \u003d-b 2 (**) نشان دهید: (18)

از این معادله می توان دریافت که هذلولی همچنین دارای دو محور تقارن (محورهای اصلی) و همچنین یک مرکز تقارن (مرکز هذلولی) است.

نگرش خروج از مرکز هذلولی نامیده می شود.

اگر y=0 قرار دهیم، به دست می‌آییم و اگر x=0 قرار دهیم، می‌گیریم.

بنابراین محور Ox هذلولی را در دو نقطه قطع می کند (راس هذلولی)، این است - محور واقعی; محور Oy هذلولی را قطع نمی کند - این است " محور خیالی. » هر پاره ای که دو نقطه هذلولی را به هم متصل کند، اگر از مرکز عبور کند، نامیده می شود قطر هذلولی

خط مستقیمی که یک خط منحنی به طور دلخواه به آن نزدیک می شود، اما هرگز آن را قطع نمی کند، نامیده می شود مجانب منحنیهذلولی دو مجانب دارد. معادلات آنها عبارتند از: (19)

سهمی مجموعه ای از تمام نقاط صفحه نامیده می شود که فاصله هر یک از آنها تا یک نقطه معین (نامیده می شود تمرکز)برابر است با فاصله تا خط داده شده (نامیده می شود مدیر مدرسه).

- پارامتر سهمی

سهمی دارای یک محور تقارن است. نقطه تقاطع سهمی با محور تقارن نامیده می شود بالای سهمی.

معادله متعارف سهمی با راس در مبدا که محور تقارن آن محور Ox و شاخه های آن به سمت راست است، شکل دارد. (20)

معادله مستقیم آن:

معادله متعارف سهمی با راس در مبدا که محور تقارن آن محور Ox و شاخه های آن به سمت چپ است، شکل دارد. (20 ,)

معادله مستقیم آن:

معادله متعارف سهمی با راس در مبدا که محور تقارن آن محور Oy و شاخه‌های آن به سمت بالا است، شکل دارد. (20 ,)

معادله مستقیم آن:

معادله متعارف سهمی با راس در مبدأ که محور تقارن آن محور Oy و شاخه های آن به سمت پایین است، شکل دارد. (20 ,)

معادله مستقیم آن:

y y

F 0 p/2 x -p/2 0 x

Y y

p/2

-p/2
مبحث 2.1. سخنرانی 7. درس 10

موضوع: توابع یک متغیر مستقل، نمودارهای آنها.

مفهوم تابع

یکی از مفاهیم اساسی ریاضی، مفهوم تابع است. مفهوم تابع با ایجاد وابستگی (ارتباط) بین عناصر دو مجموعه همراه است.

اجازه دهید دو مجموعه غیر خالی X و Y داده شود. مطابقت ƒ که یک و تنها یک عنصر yÎ Y را با هر عنصر xÎ X مرتبط می کند، تابع نامیده می شود و y=ƒ(x)، xÎ X یا ƒ نوشته می شود. : X→Y. همچنین گفته می شود که تابع ƒ مجموعه X را روی مجموعه Y نگاشت می کند.

به عنوان مثال، مطابقت های ƒ و g نشان داده شده در شکل 98 a و b تابع هستند، در حالی که در شکل 98 c و d اینگونه نیستند. در مورد in - هر عنصر xÎX با عنصر yÎY مطابقت ندارد. در مورد r، شرط یکتایی برآورده نمی شود.

مجموعه X دامنه تابع ƒ نامیده می شود و با D(f) نشان داده می شود. مجموعه همه унY مجموعه مقادیر تابع ƒ نامیده می شود و با E(ƒ) نشان داده می شود.

توابع عددی نمودار تابع راه های تنظیم توابع

اجازه دهید یک تابع ƒ : X→Y داده شود.

اگر عناصر مجموعه های X و Y اعداد حقیقی باشند (یعنی XÌ R و YÌ R)، تابع ƒ تابع عدد نامیده می شود. در آینده، ما (به عنوان یک قاعده) توابع عددی را مطالعه خواهیم کرد، برای اختصار آنها را به سادگی توابع نامیده و y=ƒ(x) را می نویسیم.

متغیر x آرگومان یا متغیر مستقل و y تابع یا متغیر وابسته (از x) نامیده می شود. در مورد خود مقادیر x و y می گویند که در یک رابطه عملکردی هستند. گاهی اوقات وابستگی تابعی y به x به صورت y=y(x) نوشته می شود، بدون اینکه حرف جدیدی (ƒ) برای نشان دادن وابستگی وارد شود.

ارزش خصوصیتوابع ƒ(x) در x=a به صورت زیر نوشته می شوند: ƒ(a). برای مثال، اگر ƒ(x)=2x 2 -3، ƒ(0)=-3، ƒ(2)=5.

نمودار تابع y \u003d (x) مجموعه تمام نقاط صفحه Oxy است که برای هر یک از آنها x مقدار آرگومان و y مقدار متناظر تابع است.

به عنوان مثال، نمودار تابع y \u003d √ (1-x 2) نیم دایره بالایی شعاع R \u003d 1 با مرکز O (0؛ 0) است (شکل 99 را ببینید).

برای تنظیم تابع y=ƒ(x)، لازم است قاعده ای مشخص شود که با دانستن x، مقدار مربوط به y را پیدا کند.

سه روش رایج برای تعریف یک تابع وجود دارد: تحلیلی، جدولی، گرافیکی.

روش تحلیلی: تابع به صورت یک یا چند فرمول یا معادله مشخص می شود.

اگر دامنه تابع y = ƒ(x) مشخص نشده باشد، فرض بر این است که با مجموعه تمام مقادیر آرگومان که فرمول مربوطه برای آن معنا دارد، مطابقت دارد. بنابراین، دامنه تابع y \u003d √ (1-x2) قطعه [-1; یک].

روش تحلیلی تنظیم تابع کامل ترین است، زیرا با روش های تجزیه و تحلیل ریاضی همراه است که به شما امکان می دهد تابع y=ƒ(x) را به طور کامل کشف کنید.

روش گرافیکی: نمودار تابع تنظیم شده است.

اغلب نمودارها به طور خودکار توسط ضبط کننده ها ترسیم می شوند یا بر روی صفحه نمایش نمایش داده می شوند. مقادیر تابع y، مربوط به مقادیر معینی از آرگومان x، مستقیماً از این نمودار یافت می شود.

مزیت یک کار گرافیکی قابل مشاهده بودن آن است، عیب آن عدم دقت آن است.

روش جدولی: یک تابع با جدولی از یک سری مقادیر آرگومان و مقادیر تابع مربوطه مشخص می شود. به عنوان مثال، جداول معروف مقادیر توابع مثلثاتی، جداول لگاریتمی.

در عمل، اغلب باید از جداول مقادیر توابع به دست آمده به صورت تجربی یا در نتیجه مشاهدات استفاده کرد.

رونوشت

1 فصل خطوط مرتبه دوم در هواپیما.1. تعریف بیضی، هذلولی، سهمی. بیضی مجموعه ای از تمام نقاط صفحه است که مجموع فواصل دو نقطه داده شده F 1 و F یک مقدار ثابت a است که از فاصله بین F 1 و بیشتر است. M(، x) F 1 O F x نقاط F 1 و F را کانون های بیضی می نامند و فاصله FF 1 بین آنها فاصله کانونی است که با c نشان داده می شود. بگذارید نقطه M متعلق به بیضی باشد. پاره های F1 M و F M شعاع کانونی نقطه M نامیده می شوند. اجازه دهید F1F = c. طبق تعریف، a > c. یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی Ox را در نظر بگیرید که در آن کانون های F 1 و F به طور متقارن نسبت به مبدا بر روی محور x قرار دارند. در این سیستم مختصات، بیضی با معادله متعارف توصیف می شود: x + = 1، a b 1

2. که در آن b= a c پارامترهای a و b به ترتیب نیم محور اصلی و فرعی بیضی نامیده می شوند. خروج از مرکز یک بیضی عدد ε است، برابر با نسبت نیمی از فاصله کانونی c به محور نیمه اصلی، یعنی. ε =. خروج از مرکز بیضی a نابرابری های 0 ε را برآورده می کند< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 معادله متعارف هذلولی به شکل x a = b 1، است. که در آن b= c a اعداد a و b به ترتیب نیم محورهای واقعی و خیالی هذلولی نامیده می شوند. هیچ نقطه هذلولی در داخل منطقه تعریف شده توسط نابرابری وجود ندارد. x a b تعریف. مجانب هذلولی خطوط مستقیم b b هستند که با معادلات = x، = x به دست می آیند. a a شعاع کانونی نقطه M(x,) هذلولی را می توان با فرمول r 1 = ε x a, r = ε x + a یافت. خروج از مرکز یک هذلولی، مانند یک بیضی، با فرمول ε = تعیین می شود. به راحتی می توان بررسی کرد که نابرابری ε a > 1 برای خروج از مرکز هذلولی درست است. تعریف. سهمی مجموعه ای از تمام نقاط صفحه است که فاصله آنها از نقطه معین F برابر است با فاصله یک خط معین d که از نقطه F نمی گذرد. ​​نقطه F را کانون سهمی می نامند. و خط d را دایرکتوری می نامند. فاصله کانون تا جهت را پارامتر سهمی می نامند و با p نشان داده می شود. d M (x،) F x 4 3

4 بیایید مبدأ O سیستم مختصات دکارتی را در وسط قطعه FD انتخاب کنیم که یک عمود از نقطه F به خط d افتاده است. در این سیستم مختصات، کانون F دارای مختصات F p p ;0 است، و جهت d با معادله x + = 0 به دست می‌آید. معادله متعارف سهمی عبارت است از: = px. سهمی نسبت به محور OF متقارن است که به آن محور سهمی گفته می شود. نقطه O تقاطع این محور با سهمی را رأس سهمی می نامند. شعاع کانونی نقطه M (x،) یعنی. فاصله p آن تا کانون با فرمول r = x+ پیدا می شود. 10B.. معادله عمومی یک خط مرتبه دوم یک خط مرتبه دوم مجموعه ای از نقاط در صفحه است که مختصات آنها x و معادله a x + a x+ a + a x+ a + a =0، 11 1 را برآورده می کند. که در آن a11، a1، a، a10، a0، a00 برخی اعداد حقیقی و a، a، a همزمان با صفر برابر نیستند. این معادله معادله منحنی مرتبه دوم عمومی نامیده می شود و همچنین می توان آن را به صورت برداری rr r r (Ax, x) + (b, x) + a = 0 نوشت که 00 a11 a1 r r A =, a1 a b = (a10) ؛ a0)، x = (x;). از آنجایی که A = A، پس A یک ماتریس درجه دوم است r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x+ a بیضی، هذلولی و سهمی نمونه هایی از منحنی های مرتبه دوم در صفحه هستند. علاوه بر منحنی های نام برده، انواع دیگری از منحنی های مرتبه دوم نیز وجود دارد که با خطوط مستقیم با x به هم متصل می شوند. بنابراین، برای مثال، معادله = 0، که در آن a 0، b 0، a b 4

5 یک جفت خط متقاطع را در صفحه تعریف می کند. سیستم های مختصاتی که در آنها معادله منحنی ساده ترین شکل را به خود می گیرد، متعارف نامیده می شوند. با استفاده از ترکیب تبدیل ها: چرخش محورها توسط یک زاویه α، انتقال موازی مبدا به نقطه (x0؛ 0) و بازتاب در مورد محور آبسیسا، معادله منحنی مرتبه دوم به یکی از معادلات متعارف کاهش می یابد. که اصلی ترین آنها در بالا ذکر شد. 11بمثال 1. معادله متعارف یک بیضی را با مرکز مبدأ و کانونهای واقع در محور آبسیسا بنویسید، در صورتی که مشخص شود که خروج از مرکز آن ε = و نقطه N(3;) روی بیضی سوم قرار دارد. x a b معادله بیضی: + = 1. داریم که =. a b a 3 9 بنابراین محاسبه می کنیم که a = b. با جایگزینی مختصات نقطه N(3;) در معادله، + = 1 و سپس b = 9 و a b 81 a = = 16، به دست می آوریم. بنابراین، معادله متعارف بیضی 5 x + = 1 است. 16، 9. معادله متعارف هذلولی را با مرکز در مبدا و کانون های واقع در محور آبسیسا بنویسید، اگر نقطه M 1 (5; 3) باشد. هذلولی و خروج از مرکز ε = داده شده است. x معادله متعارف هذلولی = 1. از برابری a b a + b = b = a 5 داریم 9. بنابراین = 1 و a = 16. بنابراین، معادله متعارف بیضی = a a a x 16 5

6 3. نقاطی را در سهمی = 10x که شعاع کانونی آن 1.5 است پیدا کنید. توجه داشته باشید که سهمی در نیم صفحه سمت راست قرار دارد. اگر M (x؛ روی یک سهمی قرار دارد، آنگاه x 0. پارامتر p = 5. فرض کنید (;)) M x نقطه مورد نظر باشد، F کانون است، () جهت سهمی. سپس F,5; 0، d: x=،5. از آنجایی که FM = ρ(M، d)، سپس x +،5 = 1.5، 10 پاسخ: () 1 10;10 x =، = 100، =± 10. بنابراین، ما دو امتیاز گرفتیم. M10; 10 M, () 4. در شاخه سمت راست هذلولی که با معادله x = 1 داده شده است، نقطه ای را پیدا کنید که فاصله آن از کانون سمت راست 16 9 دو برابر کمتر از فاصله آن از کانون چپ باشد. برای شاخه سمت راست هذلولی، شعاع کانونی با فرمول r 1 = ε x a و r = ε x + a تعریف می شود. بنابراین معادله ε x + a = (ε x a) را بدست می آوریم. برای یک هذلولی معین a = 4، 5 c = 5 و ε =. بنابراین، x = 9.6. از اینجا داریم = ± x 16 = ± d پاسخ: دو نقطه M 1 (9.6؛ 0.6 119)، (9.6؛ 0.6 119) M. 5. معادله خط را پیدا کنید، برای هر نقطه ای که نسبت فاصله به نقطه F (3;0) تا فاصله خط مستقیم 1 x 8 = 0 برابر ε = است. نام خط و پارامترهای آن را مشخص کنید. Mx; در خط مورد نظر، برابری درست است: برای یک نقطه دلخواه () FM (x 3) + 1 = =. ρ(Ml،) x 8 6

7 بنابراین ما [(x 3) + ] = (x 8) داریم. با باز کردن پرانتزها و مرتب کردن مجدد عبارت ها، (x+) + = 50، یعنی. (x+) + = پاسخ: خط مورد نظر یک بیضی است که در مرکز یک نقطه و نیم محورهای a = 5 و b = معادله هذلولی را بیابید مختصات قدیمی مختصات O () x ; 0; ;, ;. C(;0) = 8 در سیستم جدید (x ;) و موارد جدید (zt ;) با برابری ماتریس 1 1 x z 1 z+ t = 1 1 t = z t مرتبط هستند. از این رو، معادله x = 8 z+ t z t = 8، zt = 4. پاسخ: zt = 4. γ:4x 4x+ 8x+ 4+ 3= 0 به شکل متعارف. در مختصات جدید دارای شکل است شکل درجه دوم () q x, = 4x 4x+ را در نظر بگیرید. ماتریس 4 فرمی q دارای مقادیر ویژه 5 و 0 و بردارهای متعارف مربوطه و

8 z 1 1 x. t = 5 1 بیایید مختصات قدیمی (x;) را از طریق مختصات جدید (zt) بیان کنیم. : 1 1 z+ t x 1 z = 1 t =، 1 z t یعنی x = z+ t، = z+ t ) () ()() = 5z 4 5z+ 3= z 5 4 z 5 + 3 = z 5 1 z 5 3 از این رو، در مختصات جدید، منحنی γ با معادله 1 3 γ بدست می آید: z z =. با تنظیم = z، x = t، γ: =، 1 را بدست می آوریم که از آنجا معادله متعارف منحنی γ را می یابیم: = 0 در مختصات متعارف = 5 x 1 1 x توجه داشته باشید که منحنی γ یک جفت خط موازی است. 1BA ضمیمه مشکلات اقتصادی و مالی 8. اجازه دهید آنیا، بوریس و دیمیتری هر کدام 150 روبل برای خرید میوه داشته باشند. مشخص است که 1 کیلوگرم گلابی 15 واحد پولی و 1 کیلوگرم سیب 10 واحد پولی است. در همان زمان، هر یک از سه

9 یک تابع سودمند دارد که می خواهد خرید خود را برای آن به حداکثر برساند. اجازه دهید x1 کیلوگرم گلابی و x کیلوگرم سیب خریداری شود. این توابع کاربردی به شرح زیر است: u = x + x برای Anya، 1 A 1 x u B = +x برای Boris، و ud = x1 x برای Dmitry. لازم است یک طرح خرید (x1، x) برای آنیا، بوریس و دیمیتری پیدا کنید که تحت آن حداکثر عملکرد مفید خود را ارائه می دهند. x شکل 5 مسئله مورد بررسی را می توان به صورت هندسی حل کرد. برای حل این مشکل باید مفهوم خط تراز را معرفی کرد. x x 1 شکل. 6 خط تراز یک تابع z = f(x,) مجموعه ای از تمام نقاط صفحه است که در آن تابع مقدار ثابتی برابر با h حفظ می کند. x9

10 در این مورد، راه حل همچنین از ایده های اولیه در مورد نواحی هندسی روی صفحه استفاده می کند که توسط نابرابری های خطی ارائه شده است (به بخش 1.4 مراجعه کنید). x x 1 شکل. 7 خطوط سطح توابع ua، u B و u D به ترتیب برای آنیا، بوریس و دمیتری خطوط مستقیم، بیضی و هذلولی هستند. با مفهوم مسئله، فرض می کنیم که x1 0، x 0. از طرف دیگر، محدودیت بودجه به صورت نابرابری 15x1+ 10x150 نوشته می شود. با تقسیم آخرین نابرابری بر 10، 3x1+ x 30 یا +1 به دست می آید. به راحتی می توان فهمید که x1 x مساحت حل این نابرابری است همراه با شرایط غیر منفی مثلثی است که با خطوط x1 = 0، x = 0 و 3x1 + x = محدود شده است.

11 X * X * شکل. 8 شکل 9 بر اساس شکل های هندسی، اکنون به راحتی می توان تعیین کرد که uamax = ua(0.15) = 15، ubmax = ub(0.15) = 5 و udmax = ud(Q). مختصات نقطه Q مماس هذلول سطح ضلع مثلث بودجه باید قبلاً به صورت تحلیلی محاسبه شود. برای انجام این کار، توجه داشته باشید که نقطه Q سه معادله را برآورده می کند: xx 1 = h، 3x1 + x = 30، h 3 x " = =. x1 X * شکل

12 با حذف h از معادلات، مختصات نقطه Q= (x, x) = (5;7.5) را بدست می آوریم. 1 پاسخ: Q= (x1, x) = (5;7.5). 9. مدل غیر خطیهزینه ها و سود شرکت اجازه دهید شرکت تجهیزات چند منظوره از دو نوع A و B را به ترتیب به مقدار x و واحد تولید تولید کند. در عین حال، درآمد شرکت برای سال با تابع درآمد Rx (,) = 4x+ و هزینه های تولید با تابع هزینه 1 1 Cx (,) = 7.5+ x + 4 بیان می شود که در آن شرکت دریافت می کند. حداکثر سود برنامه تولید (x, ) را در 3 تعیین کنید

13 تابع سود به عنوان تفاوت بین تابع درآمد و تابع هزینه کامپایل می شود: 1 1 Π (x,) = R(x,) C(x,) = 4x+ 7.5 x. 4 پس از انجام تبدیل ها، آخرین عبارت را به شکل 1 1 Π (x,) = 9 (x 8) (1) می آوریم. 4 خطوط سطح برای تابع سود شبیه (x 8) (1) = h است. 4 هر خط سطح 0 h 9 یک بیضی است که در مرکز مبدا قرار دارد. از عبارت حاصل به راحتی می توان دریافت که حداکثر تابع سود 9 است و در x= 8، = 1 به دست می آید. پاسخ: x = 8، = 1. 13BE تمرین ها و سوالات آزمون. معادله عادی یک دایره را بنویسید. مختصات مرکز و شعاع دایره را بیابید: a) x + + 8x 6=0; ب) x x = 0 ... معادله دایره ای را بنویسید که از نقاط M 1 (1;)، M (0; 1)، M 3 (3; 0) عبور می کند..3. بیضی را تعریف کنید و معادله متعارف آن را بنویسید. معادله متعارف یک بیضی را بنویسید اگر 1 گریز از مرکز آن برابر ε = و محور نیمه اصلی آن برابر باشد معادله ای از بیضی بنویسید که کانون های آن به طور متقارن بر روی محور بیضی قرار دارند و علاوه بر این، بدانید که فاصله بین کانونهای آن c = 4 و خروج از مرکز ε = خروج از مرکز یک بیضی را تعیین کنید. اگر محور اصلی بیضی چهار برابر محور فرعی آن باشد، خروج از مرکز را بیابید. 33

14.6. هذلولی را تعریف کنید و معادله متعارف آن را بنویسید. یک خط مستقیم از طریق نقطه M رسم می شود (0؛ 0.5) و راس سمت راست هذلولی که با معادله x = 1 داده می شود. مختصات نقطه دوم تلاقی خط و هذلولی را پیدا کنید خروج از مرکز هذلولی را تعریف کنید. معادله متعارف آن را بنویسید اگر a = 1، b = 5. خروج از مرکز این هذلولی چقدر است؟.8. معادلات مجانب هذلولی که با معادله متعارف آن به دست می آید را بنویسید. معادله هذلولی 3 را بنویسید اگر مجانب آن با معادلات = ± x به دست آمده باشد و هذلولی 5 از نقطه M عبور کند (10؛ 3 3)..9. سهمی را تعریف کنید و معادله متعارف آن را بنویسید. معادله متعارف سهمی را بنویسید اگر محور x محور تقارن آن باشد، راس آن در مبدا و طول وتر سهمی عمود بر محور Ox 8 باشد و فاصله این وتر از راس باشد. است در سهمی = 1x نقطه ای را پیدا کنید که شعاع کانونی آن جمله است و تقاضا برای مقداری کالا با توابع p = 4q 1، p = + داده می شود. نقطه تعادل بازار را پیدا کنید. 1 q ایجاد نمودار..1. آندری، کاتیا و نیکولای قصد خرید پرتقال و موز را دارند. x1 کیلوگرم پرتقال و x کیلوگرم موز بخرید. هر یک از این سه تابع کاربردی خاص خود را دارند که نشان می دهد خرید خود را چقدر مفید می داند. این توابع کاربردی به شرح زیر است: u = x + x برای Andrey، 1 4 A 4 1 u K = x + x برای Katya، و un = x1 x برای نیکولای. الف) خطوط سطح تابع ابزار را برای مقادیر سطح h=1، 3 رسم کنید. ب) برای هر کدام، به ترتیب اولویت خرید r = (4.1)، s = (3.8)، t = (1.1) ترتیب دهید. ). 34

ماژول هندسه تحلیلی هندسه تحلیلی در صفحه و در فضا سخنرانی 7 چکیده خطوط مرتبه دوم در صفحه: بیضی، هذلولی، سهمی. تعریف، مشخصات کلی.

سخنرانی N15. منحنی های مرتبه دوم. 1. دایره... 1. بیضی... 1 3. هذلولی .... 4. سهمی.... 4 1. دایره

8 منحنی مرتبه دوم 81 دایره به مجموعه نقاط صفحه ای با فاصله مساوی از یک نقطه به نام مرکز در فاصله ای به نام شعاع دایره می گویند.

سخنرانی 13 موضوع: منحنی های مرتبه دوم منحنی های مرتبه دوم در صفحه: بیضی، هذلولی، سهمی. استخراج معادلات منحنی های مرتبه دوم بر اساس ویژگی های هندسی آنها. مطالعه شکل یک بیضی،

سخنرانی خطوط هذلولی مرتبه دوم به عنوان مثال، معادلاتی را پیدا می کنیم که یک دایره، یک سهمی، یک بیضی و یک دایره را تعریف می کند.

منحنی های مرتبه دوم دایره بیضی هذلولی سهمی اجازه دهید یک سیستم مختصات دکارتی مستطیل شکل در صفحه داده شود. منحنی مرتبه دوم مجموعه ای از نقاط است که مختصات آنها برآورده می شود

خط مستقیم و صفحه در فضا جبر خطی (سخنرانی 11) 24.11.2012 2 / 37 خط مستقیم و صفحه در فضا فاصله بین دو نقطه M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2) ، z2)

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیهدانشگاه دولتی یاروسلاول P. G. Demidova گروه جبر و منحنی منطق ریاضی مرتبه دوم قسمت اول رهنمودها

3. هذلولی و خصوصیات آن تعریف 3. هذلولی منحنی است که در برخی از سیستم مختصات دکارتی مستطیلی با معادله 0 تعریف شده است. (3.) و برابری (3.) معادله متعارف نامیده می شود.

تمرین 1 موضوع: طرح کلی هذلولی 1 تعریف و معادله متعارف هذلولی خواص هندسیهذلولی ها موقعیت متقابل هذلولی و خط مستقیمی که از مرکز آن مجانب می گذرد

خلاصه سخنرانی 13 بیضی، هایپربولا و سهمی 0. طرح سخنرانی بیضی، هذلولی و سهمی. 1. بیضی. 1.1. تعریف بیضی; 1.2. تعریف سیستم مختصات متعارف؛ 1.3. استخراج معادله

PARABOLAS HYPERBOLAS MODULUS ELIPSE درس عملی موضوع: طرح بیضی تعریف و معادله متعارف بیضی خواص هندسی بیضی خروج از مرکز وابستگی شکل بیضی به خروج از مرکز

وظیفه دوم 1. یک خط مستقیم در یک هواپیما. 1. دو خط با معادلات برداری (، rn) = D و r= r + a، که در آن (an،) 0 به دست می آید. بردار شعاع نقطه تقاطع خطوط را بیابید. 0 تن نقطه M 0 با بردار شعاع داده می شود

منحنی های مرتبه دوم. تعریف: خط منحنی) مرتبه دوم مجموعه (M) نقاط صفحه است که مختصات دکارتی X، Y) معادله جبری درجه دوم را برآورده می کند:

خطوط جبری در هواپیما.

بیضی و خواص آن تعریف.. بیضی یک منحنی مرتبه دوم است که در برخی از سیستم مختصات دکارتی مستطیلی با معادله b, b 0 تعریف می شود. (.) برابری (.) را متعارف می گویند.

0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 سخنرانی 9 بیضی، هایپربولا و سهمی 1. معادله متعارف یک بیضی تعریف

عناصر هندسه تحلیلی اشغال صفحه در فضای سه بعدی معادله برداری صفحه را بنویسید و معنای کمیت های موجود در این معادله را توضیح دهید.

درس 12 بیضی، هذلولی و سهمی. معادلات متعارف بیضی مکان نقاط M در صفحه است که مجموع فواصل دو نقطه ثابت F 1 و F 2 برای آن نامیده می شود.

جبر خطی سخنرانی معادلات منحنی های مرتبه دوم تعریف دایره دایره مکان نقاطی است که از یک نقطه فاصله دارند و مرکز دایره در فاصله r نامیده می شود.

دانشگاه فدرال اورال، موسسه ریاضیات و علوم کامپیوتر، گروه جبر و ریاضیات گسسته نکات مقدماتی در این سخنرانی، منحنی مرتبه دوم سهمی را مطالعه می کنیم.

سخنرانی 9.30 فصل هندسه تحلیلی در صفحه سیستم های مختصات در صفحه سیستم مختصات مستطیلی و قطبی سیستم مختصات در یک صفحه روشی است که به شما امکان می دهد تعیین کنید.

وزارت آموزش و پرورش دانشگاه دولتی یاروسلاول فدراسیون روسیه P. G. Demidova گروه جبر و منطق ریاضی S. I. Yablokova منحنی های مرتبه دوم قسمت عملی

موضوع عناصر هندسه تحلیلی در صفحه و در فضا سخنرانی.. خطوط مستقیم روی صفحه پلان. روش مختصات روی صفحه.. خط مستقیم در مختصات دکارتی.. شرط موازی و عمود بودن

جبر خطی و هندسه تحلیلی موضوع: منحنی های مرتبه دوم مدرس Rozhkova S.V. 01 15. منحنی های مرتبه دوم منحنی های مرتبه دوم به 1) منحط و) غیر منحط تقسیم می شوند.

سخنرانی 11 1. بخش های مخروطی 1.1. تعریف. بخشی از یک مخروط دایره ای راست را با صفحه ای عمود بر ژنراتیکس این مخروط در نظر بگیرید. در ارزش های مختلفزاویه α در راس در محوری

سخنرانی 9 1. بخش های مخروطی 1.1. تعریف. بخشی از یک مخروط دایره ای راست را با صفحه ای عمود بر ژنراتیکس این مخروط در نظر بگیرید. برای مقادیر مختلف زاویه α در راس در محوری

دانشگاه فدرال اورال، موسسه ریاضیات و علوم کامپیوتر، گروه جبر و ریاضیات گسسته نکات مقدماتی در این سخنرانی، منحنی مرتبه دوم دیگری، هذلولی را مطالعه می کنیم.

تمرین 14 موضوع: طرح کلی سهمی 1. تعریف و معادله متعارف سهمی.ویژگی های هندسی سهمی. موقعیت نسبی سهمی و خط مستقیمی که از مرکز آن می گذرد. اصلی

A N A L I T I C E S K I A G E O M E T R I منحنی های مرتبه دوم شیمانچوک دیمیتری ویکتورویچ [ایمیل محافظت شده]دانشکده ریاضیات کاربردی فرآیندهای دانشگاه ایالتی سنت پترزبورگ

ماتریس 1 ماتریس های داده شده و پیدا کنید: a) A + B; ب) 2B; ج) B T ; د) AB T ; ه) B T A راه حل الف) با تعریف مجموع ماتریس ها ب) با تعریف حاصل ضرب یک ماتریس با عدد ج) با تعریف ماتریس جابجا شده

گزینه 1 1 شیب k خط مستقیمی که از نقاط M 1 (18) و M (1) می گذرد را بیابید. معادله خط مستقیم را به صورت پارامتریک بنویسید معادلات اضلاع و وسط مثلث را با راس A بنویسید ()

تست. با توجه به ماتریس های A، B و D. AB 9D را پیدا کنید اگر: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7، B =، D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 ماتریس های A 3 و B 3 را ضرب کنید. C با اندازه 3 3، متشکل از عناصر خواهد بود

فصل 9 منحنی ها در هواپیما. منحنی های مرتبه دوم 9. مفاهیم اساسی گفته می شود که منحنی Γ در سیستم مختصات مستطیلی Oxy دارای معادله F (,) \u003d 0 است اگر نقطه M (x, y) متعلق به منحنی در آن باشد.

جبر خطی و هندسه تحلیلی موضوع: منحنی های مرتبه دوم مدرس پاخوموا E.G. 01 15. منحنی های مرتبه دوم منحنی های مرتبه دوم به 1) منحط و) غیر منحط تقسیم می شوند.

دانشگاه فدرال اورال، موسسه ریاضیات و علوم کامپیوتر، گروه جبر و ریاضیات گسسته

فصل 1 منحنی ها و سطوح مرتبه دوم در تمام بخش ها به جز 1.9، سیستم مختصات مستطیل شکل است. 1.1. رسم معادلات منحنی های مرتبه دوم و منحنی های دیگر 1. p) ثابت کنید که مجموعه

دانشگاه دولتی مسکو دانشگاه فنیبه نام N.E. گروه "علوم بنیادی" دانشکده باومن " مدل سازی ریاضی» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

فصل 5. هندسه تحلیلی 5. معادله خط در یک صفحه معادله ای به شکل F(x, y) 0 معادله خط نامیده می شود اگر این معادله با مختصات هر نقطه ای که در یک صفحه معین قرار دارد برآورده شود.

موسسه مهندسی و فناوری بالاکوو - شعبه موسسه آموزشی خودمختار ایالتی فدرال آموزش عالی"دانشگاه ملی تحقیقات هسته ای "MEPhI"

خطوط مرتبه دوم Yu. L. Kalinovsky گروه ریاضیات عالی دانشگاه "Dubna" طرح 2 3 4 5 6 7 خطوط مرتبه دوم: مکان نقاطی که مختصات دکارتی آنها معادله را برآورده می کند.

44. تعریف هایپربولی. هذلولی مجموعه ای از تمام نقاط روی صفحه ای است که مختصات آن در یک سیستم مختصات مناسب معادله 2 2 y2 = 1، (1) b2 را برآورده می کند که در آن، b > 0. این معادله

جبر خطی و هندسه تحلیلی مبحث: منحنی های مرتبه دوم (ادامه) مدرس پاخوموا E.G. 01 4. تعریف کلیبیضی، هذلولی و سهمی تعریف. مستقیم m را مستقیم می نامند

1 سخنرانی 1.4. منحنی ها و سطوح مرتبه دوم چکیده: معادلات متعارف منحنی ها از تعاریف: بیضی، هذلولی و سهمی استنباط می شود. معادلات پارامتری بیضی و هذلولی داده شده است.

وزارت آموزش و پرورش و علوم بودجه ایالتی فدرال فدراسیون روسیه موسسه تحصیلیبالاتر آموزش حرفه ای"دانشگاه دولتی صنعتی سیبری"

کار عملی ترسیم معادلات خطوط و منحنی های مرتبه دوم هدف کار: تثبیت توانایی ترسیم معادلات خطوط و منحنی های مرتبه دوم محتوای کار. مفاهیم اساسی. بردار B C 0

وظایف برای حذف کلاس های از دست رفته فهرست مطالب موضوع: ماتریس ها، اقدامات روی آنها. محاسبه دترمینال ها .... 2 موضوع: ماتریس معکوس. حل سیستم معادلات با استفاده از ماتریس معکوس. فرمول ها

هندسه تحلیلی 5.. خط روی هواپیما راه های مختلفتعیین یک خط مستقیم در یک صفحه معادله کلی یک خط مستقیم در یک صفحه. موقعیت خط نسبت به سیستم مختصات. حس هندسی

گزینه 11 1 نقطه M() پایه عمودی است که از نقطه N(1-1) به خط l افتاده است معادله خط l را بنویسید. فاصله نقطه N تا خط را پیدا کنید l معادلات خطوط عبوری را بسازید

49. سطوح استوانه ای و مخروطی 1. سطوح استوانه ای تعریف. بگذارید یک خط l و یک بردار غیر صفر a در فضا داده شود. سطح تشکیل شده توسط خطوط مستقیم عبور از مختلف

هندسه تحلیلی هندسه تحلیلی در یک صفحه. حل هندسه تحلیلی مسائل هندسی به کمک جبر که برای آن از روش مختصات استفاده می شود. تحت سیستم مختصات در هواپیما

گزینه 1 وظیفه 1. یک تعریف هندسی از بیضی ارائه دهید. مسئله 2. با استفاده از توپ های قاصدک، ثابت کنید که بیضی به صورت مقطع مخروطی ایجاد می شود. مسئله 3. ثابت کنید که مجموعه نقاط P، که از آن

Sekaeva L.R., Tyuleneva O.N. هندسه تحلیلی در هواپیما کازان 008 0 دانشگاه دولتی کازان گروه ریاضیات عمومی Sekaeva LR, Tyuleneva ON. هندسه تحلیلی در صفحه

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه دانشگاه ایالتی کازان معماری و مهندسی عمران گروه ریاضیات عالی عناصر جبر بردار و خطی. هندسه تحلیلی

هندسه تحلیلی در صفحه معادله خط مهمترین مفهوم هندسه تحلیلی است. y М(x, y) 0 x تعریف. معادله یک خط (منحنی) در صفحه Oxy معادله ای است که به آن

نمونه هایی از مسائل اساسی LA روش گاوس تعریف شده سیستم های معادلات خطی حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوسی x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوسی 6

گزینه 16 1 یک خط مستقیم از طریق نقاط M 1 (3 4) و M (6) ترسیم شده است. نقاط تلاقی این خط را با محورهای مختصات بیابید معادلات اضلاع مثلثی را بسازید که برای آنها نقاط A (1) ) B (3 1) C (0 4) هستند

تست 3 گزینه 1 معادله یک خط مستقیم را بنویسید، عمود بر نقطه تلاقی خطوط و .. معادله خط مستقیم عبور از نقاط را بنویسید و فاصله از نقطه را پیدا کنید.

عناصر هندسه تحلیلی در صفحه. خط مستقیم 1. محیط مثلثی را محاسبه کنید که رئوس آن نقاط A(6; 7)، B(3; 3)، C(1; 5) است. 2. نقطه ای با فاصله مساوی از نقاط A(7;

هندسه تحلیلی ماژول 1 جبر ماتریسی جبر برداری متن 5 ( مطالعه مستقل) حاشیه نویسی سیستم مختصات دکارتی در صفحه و در فضا فرمول های فاصله

وزارت آموزش و پرورش فدراسیون روسیه دانشگاه دولتی روستوف دانشکده مکانیک و ریاضیات گروه هندسه Kazak V.V. کارگاه هندسه تحلیلی برای دانش آموزان دوره اول

معادله ی عمومی زمین شناسی تحلیلی یک هواپیما. صفحه OPD سطحی است که این ویژگی را دارد که اگر دو نقطه از یک خط مستقیم به صفحه تعلق داشته باشد، تمام نقاط خط مستقیم متعلق به صفحه داده شده است.

سخنرانی 5 عناصر هندسه تحلیلی. 1 1. معادلات سطح و معادلات خط در فضا. معنای هندسی معادلات در هندسه تحلیلی، هر سطحی به عنوان یک مجموعه در نظر گرفته می شود.

فصل 1 خطوط و صفحات n R. 1.1. فضاهای نقطه ای قبلاً فضای ریاضی رشته ها در نظر گرفته می شد.در ریاضیات، مجموعه ای از مختصات مرتب شده محدود را می توان نه تنها تفسیر کرد.

تکلیف تست در هندسه تحلیلی. ترم 2. گزینه 1 1. معادلات مماس بر دایره (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4، موازی با خط 5x 12y + 1 = 0. 2. معادله مماس را بنویسید.

وزارت آموزش و پرورش فدراسیون روسیه موسسه آموزشی مستقل دولتی فدرال آموزش عالی حرفه ای دانشگاه فدرال کازان (منطقه ولگا)

دیفرانسیل های مرتبه بالا بلیط امتحان. ماتریس ها، مفاهیم اساسی و تعاریف.. معادله یک دایره را بنویسید اگر نقاط A (;) و B (-; 6) انتهای یکی از قطرها باشند. رئوس داده شده است.

دانشگاه فنی دولتی مسکو به نام N.E. باومن دانشکده علوم بنیادی گروه مدل سازی ریاضی А.Н. کاناتنیکوف،

سطوح مرتبه دوم. یک سطح در فضای سه بعدی با معادله ای به شکل F(x; y; z) = 0 یا z = f(x; y) توصیف می شود. تقاطع دو سطح یک خط را در فضا مشخص می کند، یعنی. خط در فضا

1. خطوط مرتبه دوم در صفحه اقلیدسی.

2. متغیرهای معادلات خطوط مرتبه دوم.

3. تعیین نوع خطوط مرتبه دوم از متغیرهای معادله آن.

4. خطوط مرتبه دوم در صفحه افین. قضیه یگانه بودن

5. مراکز خطوط مرتبه دوم.

6. مجانب و قطر خطوط مرتبه دوم.

7. کاهش معادلات خطوط مرتبه دوم به ساده ترین.

8. جهات و قطرهای اصلی خطوط مرتبه دوم.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. خطوط مرتبه دوم در صفحه اقلیدسی.

تعریف:

صفحه اقلیدسیفضایی به ابعاد 2 است،

(فضای واقعی دو بعدی).

خطوط مرتبه دوم خطوط تقاطع یک مخروط دایره ای با صفحاتی هستند که از بالای آن عبور نمی کنند.

این خطوط اغلب در سؤالات مختلف علوم طبیعی یافت می شود. به عنوان مثال، حرکت یک نقطه مادی تحت تأثیر میدان گرانش مرکزی در امتداد یکی از این خطوط رخ می دهد.

اگر صفحه برش تمام ژنراتیکس های مستطیل یک حفره مخروط را قطع کند، در این بخش خطی به نام به دست می آید. بیضی(شکل 1.1، الف). اگر صفحه برش ژنراتورهای هر دو حفره مخروط را قطع کند، در این قسمت خطی به نام به دست می آید. هایپربولی(شکل 1.1.6). و در نهایت، اگر صفحه سکونت موازی با یکی از مولدهای مخروط باشد (در 1.1، که در- این ژنراتور است AB)،سپس در بخش شما خطی به نام دریافت می کنید سهمیبرنج. 1.1 می دهد بازنمایی بصریدر مورد شکل خطوط مورد نظر

شکل 1.1

معادله کلی خط مرتبه دوم به شکل زیر است:

(1)

(1*)

بیضی مجموعه ای از نقاط صفحه است که مجموع فواصل آنها به دو می رسدنقاط ثابتاف 1 واف 2 این صفحه که کانون نامیده می شود یک مقدار ثابت است.

این موضوع همزمانی کانون های بیضی را رد نمی کند. به طور مشخص اگر کانون ها یکسان باشند، بیضی یک دایره است.

برای استخراج معادله متعارف بیضی، مبدأ O سیستم مختصات دکارتی را در وسط قطعه انتخاب می کنیم. اف 1 اف 2 , تبرها اوهو OUمستقیم همانطور که در شکل نشان داده شده است. 1.2 (اگر حقه اف 1 و اف 2 منطبق، سپس O همزمان با اف 1 و اف 2 و برای محور اوهمی توان هر محوری را که از آن می گذرد گرفت O).

طول قطعه را بگذارید اف 1 اف 2 اف 1 و اف 2 به ترتیب دارای مختصات (-c, 0) و (c, 0) هستند. با نشان دادن 2aثابتی که در تعریف بیضی به آن اشاره شده است. بدیهی است که 2a > 2c، یعنی. a > c (اگر یک م- نقطه بیضی (نگاه کنید به شکل 1.2)، سپس | MF ] |+ | MF 2 | = 2 آ, و از مجموع دو ضلع MF 1 و MF 2 مثلث MF 1 اف 2 بیش از یک شخص ثالث اف 1 اف 2 = 2c، سپس 2a > 2c. طبیعی است که مورد 2a = 2c را حذف کنیم، از آن زمان به بعد این نقطه است مواقع در بخش اف 1 اف 2 و بیضی به یک قطعه تبدیل می شود. ).

اجازه دهید م (x, y)(شکل 1.2). فاصله های نقطه را با r 1 و r 2 نشان دهید مبه نقاط اف 1 و اف 2 به ترتیب. با توجه به تعریف بیضی برابری

r 1 + r 2 = 2a(1.1)

شرط لازم و کافی برای قرار گرفتن نقطه M(x,y) روی بیضی داده شده است.

با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه، به دست می آوریم

(1.2)

از (1.1) و (1.2) چنین است که نسبت

(1.3)

نشان دهنده شرط لازم و کافی برای مکان یک نقطه M با مختصات x و y در یک بیضی معین است.بنابراین، رابطه (1.3) را می توان به عنوان معادله بیضیبا استفاده از روش استاندارد "تخریب رادیکال ها" این معادله به شکل کاهش می یابد

(1.4) (1.5)

از آنجایی که معادله (1.4) است نتیجه جبریمعادله بیضی (1.3)، سپس مختصات x و yهر نقطه مبیضی نیز معادله (1.4) را برآورده می کند. از آنجایی که "ریشه های اضافی" می توانند در طول تبدیل های جبری مرتبط با خلاص شدن از شر رادیکال ها ظاهر شوند، ما باید مطمئن شویم که هر نقطه ای م،که مختصات آن معادله (1.4) بر روی بیضی داده شده قرار دارد. برای این، بدیهی است که ثابت کنیم که مقادیر r کافی است 1 و ر 2 برای هر نقطه رابطه (1.1) را برآورده کنید. بنابراین مختصات را بگذارید ایکسو درنکته ها ممعادله (1.4) را برآورده کنید. ارزش جایگزین در 2از (1.4) به سمت راست عبارت (1.2) برای r 1 پس از تبدیل های ساده، متوجه می شویم که دقیقاً به همان روشی که (1.6) را پیدا می کنیم.

یعنی r 1 + r 2 = 2a،و بنابراین نقطه M روی یک بیضی قرار دارد. معادله (1.4) نامیده می شود معادله متعارف بیضیمقادیر آو ببه ترتیب نامیده می شوند نیم محورهای اصلی و فرعی یک بیضی(نام "بزرگ" و "کوچک" با این واقعیت توضیح داده می شود که الف > ب).

اظهار نظر. اگر نیم محورهای بیضی آو بمساوی هستند، سپس بیضی دایره ای است که شعاع آن برابر است آر = آ = ب، و مرکز با مبدا منطبق است.

هایپربولی مجموعه ای از نقاط در صفحه است که قدر مطلق اختلاف فاصله تا دو نقطه ثابت است.اف 1 واف 2 این صفحه که کانون نامیده می شود یک مقدار ثابت است (تمرکز اف 1 و اف 2 طبیعی است که هذلولی ها را متفاوت در نظر بگیریم، زیرا اگر ثابت نشان داده شده در تعریف هذلولی برابر با صفر نباشد، آنگاه یک نقطه از صفحه وجود ندارد که اف 1 و اف 2 , که الزامات تعریف هذلولی را برآورده می کند. اگر این ثابت صفر باشد و اف 1 مصادف است با اف 2 , سپس هر نقطه از صفحه الزامات تعریف هذلولی را برآورده می کند. ).

برای استخراج معادله متعارف هذلولی، مبدأ مختصات را در وسط پاره انتخاب می کنیم. اف 1 اف 2 , تبرها اوهو OUمستقیم همانطور که در شکل نشان داده شده است. 1.2. طول قطعه را بگذارید اف 1 اف 2 برابر 2 ثانیه است. سپس در سیستم مختصات انتخاب شده نقاط اف 1 و اف 2 به ترتیب مختصات (-с, 0) و (с, 0) را با 2 نشان دهید آثابتی که در تعریف هذلولی به آن اشاره شده است. بدیهی است 2a< 2с, т. е. آ< с.

اجازه دهید م- نقطه هواپیما با مختصات (x, y)(شکل 1.2). فاصله ها را با r 1 و r 2 نشان دهید MF 1 و MF 2 . طبق تعریف هذلولی برابری

(1.7)

شرط لازم و کافی برای قرار گرفتن نقطه M بر روی هذلولی است.

با استفاده از عبارات (1.2) برای r 1 و r 2 و رابطه (1.7)، موارد زیر را بدست می آوریم. شرط لازم و کافی برای مکان نقطه M با مختصات x و y روی یک هذلولی معین:

. (1.8)

با استفاده از روش استاندارد "تخریب رادیکال ها" معادله (1.8) را به شکل کاهش می دهیم.

(1.9) (1.10)

ما باید مطمئن شویم که معادله (1.9) که با تبدیل جبری معادله (1.8) به دست آمده است، ریشه جدیدی پیدا نکرده است. برای انجام این کار، اثبات آن برای هر نقطه کافی است م،مختصات ایکسو درکه معادله (1.9) را برآورده می کند، کمیت های r 1 و r 2 رابطه (1.7) را برآورده می کنند. با اجرای آرگومان هایی مشابه آنچه که هنگام استخراج فرمول (1.6) ارائه شد، عبارات زیر را برای مقادیر r 1 و r 2 مورد علاقه خود می یابیم:

(1.11)

بنابراین، برای نکته در نظر گرفته شده است مما داریم

, و بنابراین روی یک هذلولی قرار دارد.

معادله (1.9) نامیده می شود معادله متعارف هذلولیمقادیر آو ببه ترتیب واقعی و خیالی نامیده می شوند. نیم محورهای هذلولی

سهمی مجموعه ای از نقاط در صفحه است که فاصله آنها تا یک نقطه ثابت استافاین صفحه برابر است با فاصله تا یک خط ثابت که در صفحه در نظر گرفته شده نیز قرار دارد.

(MIF-2، شماره 3، 2005)

خطوط مرتبه دوم در هواپیما

ص 1. تعریف خط مرتبه دوم

صفحه ای را در نظر بگیرید که روی آن یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی (XOY) مشخص شده است. سپس هر نقطه M به طور یکتا با مختصات آن (x,y) تعیین می شود. علاوه بر این، هر جفت اعداد (x، y) نقطه‌ای از صفحه را تعریف می‌کنند. مختصات نقطه ای می توانند برخی از شرایط را برآورده کنند، به عنوان مثال، برخی از معادله f(x, y)=0 با توجه به مجهولات (x, y). در این حالت، معادله f(x,y)=0 گفته می‌شود که شکلی را در صفحه تعریف می‌کند. نمونه هایی را در نظر بگیرید.

مثال 1تابع را در نظر بگیرید y= f( ایکس). مختصات نقاط نمودار این تابع معادله را برآورده می کند y– f( ایکس) = 0.

مثال 2معادله (*)، که در آن آ, ب, جاعدادی هستند که خط مستقیم خاصی را روی صفحه مشخص می کنند. (معادلات شکل (*) نامیده می شوند خطی).

مثال 3نمودار هذلولی از نقاطی تشکیل شده است که مختصات آنها معادله https://pandia.ru/text/80/134/images/image004_92.gif" width="161" height="25"> را برآورده می کند.

تعریف 1. معادله شکل (**) که در آن حداقل یکی از ضرایب DIV_ADBLOCK75">

هندسی و را در نظر خواهیم گرفت مشخصات فیزیکیخطوط ذکر شده در بالا اجازه دهید با یک بیضی شروع کنیم.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image008_54.gif" width="79" height="44 src="> (1).

معادله (1) نامیده می شود ابتداییمعادله بیضی

شکل بیضی را می توان از شکل 1 قضاوت کرد.

اجازه دهید . نقاط نامیده می شود ترفندهابیضی تعدادی از خواص جالب با ترفندهایی همراه است که در زیر به آنها خواهیم پرداخت.

تعریف 4. هایپربولی شکلی در صفحه نامیده می شود که مختصات تمام نقاط آن معادله را برآورده می کند

(2).

معادله (2) نامیده می شود ابتداییمعادله هذلولی شکل هذلولی را می توان از شکل 2 قضاوت کرد.

اجازه دهید . نقاط نامیده می شود ترفندهاهذلولی پارامتر آتماس گرفت معتبر، و پارامتر ب- نیمه محور خیالیهذلولی، به ترتیب. گاو نرواقعی است و اوهمحور خیالی هذلولی است.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image016_34.gif" width="61" height="41"> نامیده می شود مجانبی. در ارزش های بزرگپارامتر ایکسنقاط مجانب به شاخه های هذلولی بی نهایت نزدیک می شوند. در شکل 2 مجانب با خطوط نقطه چین نشان داده شده است.

تعریف 5. سهمی شکلی در صفحه ای است که مختصات تمام نقاط آن معادله را برآورده می کند

https://pandia.ru/text/80/134/images/image018_28.gif" width="47" height="45 src=">.

بخش 3. ویژگی های کانون LCS

برای هر LVP در بخش 2. نکات ویژه بود ترفندها. این نکات در تبیین خواص مهم بیضی، هذلولی و سهمی نقش زیادی دارند. ما این خصوصیات را در قالب قضایا تنظیم می کنیم.

قضیه. یکی بیضی مجموعه ای از نقاط استمبه طوری که مجموع فواصل این نقاط تا کانون ها 2 باشدآ:

https://pandia.ru/text/80/134/images/image020_26.gif" width="115" height="23 src="> (5).

به منظور فرمول بندی یک خاصیت مشابه برای سهمی، تعریف می کنیم مدیر مدرسه. مستقیم است د، با معادله https://pandia.ru/text/80/134/images/image022_23.gif" width="103" height="21 src="> (6) ارائه شده است.

مورد 4. کانون ها و مماس ها

https://pandia.ru/text/80/134/images/image024_24.gif" align="right" width="322" height="386 src=">.gif" width="52" height="24 src="> متعلق به HDL مربوطه است. در زیر معادلات مماس هایی که از این نقطه عبور می کنند آورده شده است:

- برای بیضی، (7)

- برای هذلولی، (8)

برای سهمی (9)

اگر از هر دو کانون قطعه‌هایی رسم کنیم (نامیده می‌شوند شعاع کانونینقطه)، سپس قابل توجه است ویژگی(شکل 5 و 6 را ببینید): شعاع های کانونی با مماس رسم شده در آن نقطه زوایای مساوی تشکیل می دهند.

این خاصیت تفسیر فیزیکی جالبی دارد. برای مثال، اگر خط بیضی را آینه ای در نظر بگیریم، پرتوهای نور از یک منبع نقطه ای که در یکی از کانون های آن قرار دارد، پس از انعکاس از دیواره های کانتور، لزوماً از کانون دوم عبور می کنند..

بزرگ استفاده عملیویژگی مشابهی برای سهمی بدست آورد. واقعیت این است که شعاع کانونی هر نقطه از سهمی با مماس کشیده شده به این نقطه زاویه ای برابر با زاویه بین مماس و محور سهمی ایجاد می کند..

از نظر فیزیکی، این به صورت زیر تفسیر می شود: پرتوهای نقطه ای که در کانون سهمی قرار می گیرند، پس از بازتاب از دیواره های آن، به موازات محور تقارن سهمی منتشر می شوند.. به همین دلیل است که آینه های فانوس ها و نورافکن ها شکل سهموی دارند. به هر حال، اگر جریانی از نور (امواج رادیویی) موازی با محور سهمی وارد آن شود، پس از انعکاس از دیوارها، تمام پرتوهای آن از کانون عبور می کند. ایستگاه های ارتباطات فضایی و رادارها بر اساس این اصل عمل می کنند.

ص 5. کمی بیشتر فیزیک

HDL ها کاربرد گسترده ای در فیزیک و نجوم پیدا کرده اند. بنابراین، مشخص شد که یک جسم نسبتاً سبک (مثلاً یک ماهواره) در میدان گرانشی یک جسم پرجرم تر (سیاره یا ستاره) در امتداد مسیری حرکت می کند که یکی از LCS است. در این حالت، جسمی پرجرم تر در کانون این مسیر قرار می گیرد.

این خواص ابتدا به تفصیل مورد مطالعه قرار گرفت یوهانس کپلر و آنها را قوانین کپلر می نامیدند.

وظیفه کنترلی شماره 1 برای دانش آموزان پایه دهم

سوالات برای خودآزمایی (5 امتیاز در هر کار)

M.10.1.1. HDL را تعریف کنید. چند مثال از معادله‌هایی که LTL را تعریف می‌کنند، بیاورید.

M.10.1.2.مختصات کانون های الف) بیضی، ب) هذلولی را محاسبه کنید، اگر آ=13, ب=5.

M.10.1.3.معادله متعارف الف) بیضی، ب) هذلولی را بنویسید، اگر معلوم باشد که این خط از نقاطی با مختصات (5، 6) و (8، 7) می گذرد.

M.10.1.4.بررسی کنید که خط مستقیمی که با معادله (9) به دست می‌آید، فقط در نقطه‌ای با مختصات، واقعاً با سهمی معادله (3) تلاقی می‌کند. ( نشانه: ابتدا معادله مماس را به معادله سهمی متصل کنید و سپس اطمینان حاصل کنید که ممیز معادله درجه دوم حاصل صفر است..)

M.10.1.5.معادله مماس بر هذلولی را با نیم محور واقعی 8 و فرضی - 4 در نقطه با مختصات بنویسید. ایکساگر مختصات دوم نقطه منفی باشد = 11.

کار عملی (10 امتیاز)

M.10.1.6.چند بیضی ترسیم کنید روش بعدی: یک ورق کاغذ را روی تخته سه لا بچسبانید و چند دکمه را روی کاغذ بچسبانید (اما نه کاملا). یک تکه نخ بردارید و انتهای آن را ببندید. حلقه حاصل را روی هر دو دکمه بیندازید (ترفندهای بیضی آینده)، نخ را با انتهای تیز مداد بکشید و با دقت یک خط بکشید و مطمئن شوید که نخ کشیده شده است. با تغییر اندازه حلقه، می توانید چندین بیضی کانفوکال بسازید. سعی کنید با کمک قضیه 1 توضیح دهید که خطوط حاصل واقعاً بیضی هستند و توضیح دهید که چگونه با دانستن فاصله بین دکمه ها و طول نخ می توانید نیم محورهای بیضی را محاسبه کنید.

در مختصات دکارتی، معادله درجه اول مقداری خط مستقیم را مشخص می کند.

خطوطی که در مختصات دکارتی با یک معادله درجه یک تعریف می شوند، خطوط مرتبه اول نامیده می شوند. بنابراین، هر خط یک خط از مرتبه اول است.

معادله کلی یک خط مستقیم(به عنوان یک معادله کلی درجه اول) با معادله ای به شکل زیر تعیین می شود:

اوه + وو + از جانب = 0.

معادلات ناقص خط راست را در نظر بگیرید.

1. از جانب= 0. معادله یک خط مستقیم به شکل زیر است: آه + وو = 0; خط از مبدأ عبور می کند.

2. AT = 0 (ولی¹ 0). معادله به نظر می رسد اوه + از جانب= 0 یا ایکس =آ، جایی که آ= خط از نقطه عبور می کند ولی(آ; 0)، موازی با محور است OU. عدد آ اوه(عکس. 1).

برنج. یکی

اگر یک آ= 0، سپس خط با محور منطبق است OU. معادله محور y شکل دارد: ایکس = 0.

3. ولی = 0 (AT¹ 0). معادله به نظر می رسد: وو + از جانب= 0 یا در = ب، جایی که ب= خط از نقطه عبور می کند AT(0; ب) موازی با محور است اوه. عدد بمقدار قطعه ای است که خط مستقیم روی محور را قطع می کند OU(شکل 2).

برنج. 2

اگر b = 0 باشد، خط مستقیم با محور آبسیسا Ox منطبق است. معادله محور x Ox به شکل: y \u003d 0 است.

معادله یک خط مستقیم در قطعات روی محورهابا معادله تعیین می شود:

اعداد کجا هستند آو بمقادیر قطعاتی هستند که با یک خط مستقیم بر روی محورهای مختصات قطع شده اند (شکل 3).

(ایکس 0 ;در 0)عمود بر بردار معمولی = {آ; ب) با فرمول تعیین می شود:

ولی(ایکس – ایکس 0) + AT(در – در 0) = 0.

معادله خط مستقیمی که از نقطه معین M می گذرد(ایکس 0 ; در 0) موازی با بردار جهت = {ل; متر) دارای شکل:

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه داده شده M می گذرد 1 (ایکس 1 ; در 1) و م 2 (ایکس 2 ; در 2) با معادله تعیین می شود:

شیب خط مستقیم kمماس زاویه میل خط مستقیم بر محور نامیده می شود اوهکه از جهت مثبت محور به خط مستقیم در خلاف جهت عقربه های ساعت اندازه گیری می شود، ک= تانا.

معادله یک خط مستقیم با شیب kبه نظر می رسد:

y = kx + ب,

جایی که ک= تانا، ب- مقدار قطعه قطع شده توسط یک خط مستقیم روی محور OU(شکل 4).

معادله خط مستقیمی که از نقطه معین M می گذرد(ایکس 0 ;در 0)در این راستا(شیب کشناخته شده)، با فرمول تعیین می شود:

y - y 0 = ک(ایکس –ایکس 0).

معادله یک مداد از خطوطی که از نقطه معین M می گذرد(ایکس 0 ;در 0) (شیب کناشناخته)، با فرمول تعیین می شود:

y - y 0 = ک(ایکس –ایکس 0).

معادله مداد خطوطی که از نقطه تلاقی خطوط عبور می کنند

ولی 1 ایکس + AT 1 در + از جانب 1 = 0 و ولی 2 ایکس + AT 2 در + از جانب 2 = 0، با فرمول تعیین می شود:

α( ولی 1 ایکس + AT 1 در + از جانب 1) + β( ولی 2 ایکس + AT 2 در + از جانب 2) = 0.

گوشه j، در خلاف جهت عقربه های ساعت از یک خط مستقیم شمارش می شود y = k 1 ایکس + ب 1 به راست y = k 2 ایکس + ب 2 با فرمول (شکل 5) تعیین می شود:

برای خطوطی که با معادلات کلی داده می شوند ولی 1 ایکس + AT 1 در + از جانب 1 = 0 و ولی 2 ایکس + AT 2 در + از جانب 2 = 0، زاویه بین دو خط مستقیم با فرمول تعیین می شود:

شرط موازی برای دو خط دارای فرم است: ک 1 = ک 2 یا .

شرط عمود بودن دو خط دارای شکل است: یا ولی 1 ولی 2 + AT 1 AT 2 = 0.

معادله عادی یک خط مستقیم شکل دارد:

ایکس cos + y sinα- پ = 0,

جایی که پ-طول عمود کاهش یافته از مبدأ به خط مستقیم، α زاویه میل عمود بر جهت مثبت محور است. اوه(شکل 6).

برای به دست آوردن معادله کلی یک خط مستقیم اوه + وو + از جانب= 0 به فرم معمولی، باید تمام اعضای آن را در ضرب کنید عامل نرمال کننده μ= ، با علامت مخالف عبارت آزاد گرفته شده است از جانب.

فاصله از نقطه M(ایکس 0 ;در 0)راست آه + وو + از جانب= 0 با فرمول تعیین می شود:

معادلات نیمسازهای بین خطوط مستقیم A 1 ایکس + AT 1 در + از جانب 1 = 0 و ولی 2 ایکس + AT 2 در + از جانب 2 = 0 به شکل زیر است:

مثال 4. با توجه به رئوس یک مثلث ABC: ولی (–5; –7), AT (7; 2), از جانب(-6؛ 8). پیدا کنید: 1) طول ضلع AB; 2) معادلات جانبی ABو ACو دامنه های آنها 3) گوشه داخلی AT; 4) معادله میانه AE; 5) معادله و طول ارتفاع سی دی; 6) معادله نیمساز AK; 7) معادله خط مستقیمی که از یک نقطه می گذرد Eبه موازات کنار AB; 8) مختصات نقطه مبه صورت متقارن نسبت به نقطه واقع شده است ولینسبتا مستقیم سی دی.

1. فاصله دبین دو نقطه ولی(ایکس 1 ; در 1) و AT(ایکس 2 ; در 2) با فرمول تعیین می شود:

طول ضلع را پیدا کنید ABبه عنوان فاصله بین دو نقطه ولی(-7؛ -8) و AT(8; –3):

2. معادله یک خط مستقیم که از نقاط عبور می کند ولی(ایکس 1 ; در 1) و AT(ایکس 2 ;y 2) دارای شکل:

جایگزینی مختصات نقطه ولیو AT، معادله جانبی را بدست می آوریم AB:

3(ایکس+ 5) = 4(در+ 7); 3ایکس– 4در– 13 = 0 (AB).

برای پیدا کردن شیب k ABسر راست ( AB) معادله حاصل را با توجه به حل می کنیم در:

4y= 3ایکس– 13;

معادله یک خط مستقیم است ( AB) با ضریب زاویه ای،

به همین ترتیب، جایگزینی مختصات نقاط ATو از جانب، معادله خط مستقیم را بدست می آوریم ( آفتاب):

6ایکس– 42 = –13در+ 26; 6x + 13y– 68 = 0 (قبل از میلاد مسیح).

بیایید معادله یک خط مستقیم را حل کنیم ( آفتاب)به طور نسبی در: .

3. مماس زاویه j بین دو خط مستقیم که شیب آنها مساوی است ک 1 و ک 2 با فرمول تعیین می شود:

گوشه داخلی ATتشکیل شده توسط خطوط مستقیم ( AB) و ( آفتاب) و این زاویه حادی است که خط مستقیم باید از طریق آن بچرخد آفتابدر جهت مثبت (در خلاف جهت عقربه های ساعت) تا زمانی که با یک خط مستقیم منطبق شود ( AB). بنابراین، ما به فرمول جایگزین می کنیم ک 1 = , ک 2 = :

Ð AT= آرکتان = آرکتان 1.575 » 57.59 درجه.

4. برای یافتن معادله میانه ( AE) ابتدا مختصات نقطه را مشخص می کنیم E،که نقطه وسط ضلع است آفتاب.برای انجام این کار، فرمول های تقسیم یک قطعه را به دو قسمت مساوی اعمال می کنیم:

از این رو نکته Eمختصات دارد: E(0,5; 5).

در معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد، مختصات نقاط را جایگزین کنید ولیو E، معادله میانه را پیدا می کنیم ( AE):

24ایکس – 11در + 43 = 0 (AE).

5. چون قد سی دیعمود بر ضلع AB، سپس خط مستقیم ( ABعمود بر خط است ( سی دی). برای یافتن شیب ارتفاع سی دی،از شرط عمود بودن دو خط استفاده می کنیم:

معادله خطی که از یک نقطه معین می گذرد م(ایکس 0 ; در 0) در جهت معین (شیب کشناخته شده)، به نظر می رسد:

y 0 = ک (x-x 0).

جایگزین کردن مختصات نقطه در آخرین معادله از جانب(-6؛ 8) و معادله ارتفاع را بدست می آوریم سی دی:

در – 8 = (ایکس -(–6)), 3در – 24 = – 4ایکس– 24, 4ایکس + 3در = 0 (سی دی).

فاصله از نقطه م(ایکس 0 ; در 0) به سمت راست تبر + با + C = 0 با فرمول تعیین می شود:

طول ارتفاع سی دیبه عنوان فاصله از نقطه پیدا کنید از جانب(-6؛ 8) به یک خط مستقیم ( AB): 3ایکس – 4در– 13. با جایگزینی مقادیر لازم در فرمول، طول را پیدا می کنیم سی دی:

6. معادلات نیمساز زوایای بین خطوط مستقیم تبر + توسط + C= 0 و
ولی 1 x+B 1 y + سی 1 = 0 با فرمول تعیین می شود:

معادله نیمساز AKما به عنوان یکی از معادلات نیمسازهای زوایای بین خطوط ( AB) و ( AC).

بیایید معادله خط مستقیم را بنویسیم ( AC) به عنوان معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد ولی(-5؛ -7) و از جانب (–6; 8):

بیایید آخرین معادله را تبدیل کنیم:

15(ایکس+ 5) = – (در+ 7); 15x + y + 82 = 0 (مانند).

جایگزینی ضرایب از معادلات کلیمستقیم ( AB) و ( ACمعادلات نیمسازهای زاویه را بدست می آوریم:

بیایید آخرین معادله را تبدیل کنیم:

; (3ایکس – 4در– 13) = 5 ± (15 x + y + 82);

3 ایکس - 4 در– 13 = ± (75 ایکس +5در + 410).

دو مورد را در نظر بگیرید:

1) 3 ایکس - 4 در – 13 = 75ایکس +5در+ 410.y l AB.

مثلث ABC،ارتفاع سی دی، میانه AE، نیمساز AK، سر راست لو نقطه مدر سیستم مختصات ساخته شده است اوهو(شکل 7).