سیمپلکس را با استفاده از روش zlp زیر حل کنید. سرویس برای حل مسائل برنامه ریزی خطی. حل مسئله سیمپلکس با روش

نمونه ای از حل مسئله به روش سیمپلکس و همچنین نمونه ای از حل مسئله دوگانه در نظر گرفته شده است.

محتوا

وظیفه

برای اجرای سه گروه کالا، یک بنگاه تجاری دارای سه نوع منابع محدود مادی و پولی به مقدار b 1 = 240، b 2 = 200، b 3 = 160 واحد می باشد. در همان زمان، برای فروش 1 گروه کالا به قیمت 1000 روبل. گردش مالی، یک منبع از نوع اول به مقدار 11 = 2 واحد، یک منبع از نوع دوم به مقدار 21 = 4 واحد، یک منبع از نوع سوم به مقدار 31 = 4 مصرف می شود. واحدها برای فروش 2 و 3 گروه کالا به قیمت 1 هزار روبل. گردش مالی به ترتیب مصرف می شود، منبع نوع اول به مقدار 12 = 3، 13 = 6 واحد، منبع نوع دوم به مقدار 22 = 2، 23 = 4 واحد، منبع از نوع سوم به مقدار 32 = 6، 33 = 8 واحد. سود حاصل از فروش سه گروه کالا به مبلغ 1000 روبل. گردش مالی به ترتیب c 1 \u003d 4 ، c 2 \u003d 5 ، c 3 \u003d 4 (هزار روبل) است. حجم برنامه ریزی شده و ساختار گردش تجاری را تعیین کنید تا سود شرکت تجاری به حداکثر برسد.

به مشکل مستقیم برنامه ریزی گردش کالا، روش سیمپلکس قابل حل، ساختن مشکل دوگانهبرنامه ریزی خطی.
نصب جفت های مزدوج متغیرهامشکلات مستقیم و دوگانه
با توجه به جفت های مزدوج متغیرها، از حل مسئله مستقیم به دست می آید راه حل مشکل دوگانه، که در آن برآورد منابعصرف فروش کالا می شود.

حل مسئله سیمپلکس با روش

اجازه دهید x 1، x 2، x 3 - تعداد کالاهای فروخته شده، در هزار روبل، به ترتیب 1، 2، 3 گروه. سپس مدل ریاضی مسئله به شکل زیر است:

F = 4 x 1 + 5 x 2 + 4 x 3 -> حداکثر

0)))(~)" title="(!LANG:delim(lbrace)(ماتریس(4)(1)((2x_1 + 3x_2 + 6x_3= 0)))(~)">!}

سیمپلکس را با روش حل می کنیم.

ما متغیرهای اضافی x 4 ≥ 0، x 5 ≥ 0، x 6 ≥ 0 را برای تبدیل نابرابری ها به تساوی معرفی می کنیم.

به عنوان پایه، x 4 \u003d 240 را می گیریم. x5 = 200; x6 = 160.

داده ها وارد می شود جدول سیمپلکس

میز سیمپلکس شماره 1

تابع هدف:

0 240 + 0 200 + 0 160 = 0

ما نمرات را طبق فرمول محاسبه می کنیم:

Δ 1 \u003d 0 2 + 0 4 + 0 4 - 4 \u003d - 4
Δ 2 \u003d 0 3 + 0 2 + 0 6 - 5 \u003d - 5
Δ 3 \u003d 0 6 + 0 4 + 0 8 - 4 \u003d - 4
Δ 4 \u003d 0 1 + 0 0 + 0 0 - 0 \u003d 0
Δ 5 \u003d 0 0 + 0 1 + 0 0 - 0 \u003d 0
Δ 6 \u003d 0 0 + 0 0 + 0 1 - 0 \u003d 0

از آنجایی که برآوردهای منفی وجود دارد، طرح بهینه نیست. کمترین رتبه:

متغیر x 2 را به پایه معرفی می کنیم.

ما یک متغیر را با خروج از پایه تعریف می کنیم. برای انجام این کار، کوچکترین نسبت غیر منفی را برای ستون x 2 پیدا می کنیم.

= 26.667

کوچکترین غیر منفی: Q 3 = 26.667. متغیر x 6 را از مبنا استخراج می کنیم

خط 3 را بر 6 تقسیم کنید.
از ردیف اول، ردیف سوم را در 3 کم کنید
از ردیف دوم، ردیف سوم را در 2 کم کنید


محاسبه می کنیم:

ما یک جدول جدید دریافت می کنیم:

میز سیمپلکس شماره 2

تابع هدف:

0 160 + 0 440/3 + 5 80/3 = 400/3

ما نمرات را طبق فرمول محاسبه می کنیم:

Δ 1 \u003d 0 0 + 0 8/3 + 5 2/3 - 4 \u003d - 2/3
Δ 2 \u003d 0 0 + 0 0 + 5 1 - 5 \u003d 0
Δ 3 \u003d 0 2 + 0 4/3 + 5 4/3 - 4 \u003d 8/3
Δ 4 \u003d 0 1 + 0 0 + 5 0 - 0 \u003d 0
Δ 5 \u003d 0 0 + 0 1 + 5 0 - 0 \u003d 0
Δ 6 \u003d 0 (-1) / 2 + 0 (-1) / 3 + 5 1/6 - 0 \u003d 5/6

از آنجایی که تخمین منفی Δ 1 = - 2/3 وجود دارد، طرح بهینه نیست.

متغیر x 1 را به پایه معرفی می کنیم.

ما یک متغیر را با خروج از پایه تعریف می کنیم. برای انجام این کار، کوچکترین نسبت غیر منفی را برای ستون x 1 پیدا می کنیم.

کوچکترین غیرمنفی: Q 3 \u003d 40. متغیر x 2 را از پایه استخراج می کنیم

ردیف سوم را بر 2/3 تقسیم کنید.
از ردیف دوم، ردیف سوم ضرب در 8/3 را کم کنید


محاسبه می کنیم:

ما یک جدول جدید دریافت می کنیم:

میز سیمپلکس شماره 3

تابع هدف:

0 160 + 0 40 + 4 40 = 160

ما نمرات را طبق فرمول محاسبه می کنیم:

Δ 1 \u003d 0 0 + 0 0 + 4 1 - 4 \u003d 0
Δ 2 \u003d 0 0 + 0 (-4) + 4 3/2 - 5 \u003d 1
Δ 3 \u003d 0 2 + 0 (-4) + 4 2 - 4 \u003d 4
Δ 4 \u003d 0 1 + 0 0 + 4 0 - 0 \u003d 0
Δ 5 \u003d 0 0 + 0 1 + 4 0 - 0 \u003d 0
Δ 6 \u003d 0 (-1) / 2 + 0 (-1) + 4 1/4 - 0 \u003d 1

از آنجایی که برآورد منفی وجود ندارد، طرح بهینه است.

راه حل مشکل:

x 1 = 40; x2 = 0; x 3 \u003d 0; x 4 = 160; x5 = 40; x6 = 0; F max = 160

یعنی لازم است کالاهای نوع اول را به مبلغ 40 هزار روبل بفروشید. کالاهای نوع 2 و 3 نیازی به فروش ندارند. در این مورد، حداکثر سود F max = 160 هزار روبل خواهد بود.

حل مشکل دوگانه

مشکل دوگانه به نظر می رسد:

Z = 240 y 1 + 200 y 2 + 160 y 3 -> دقیقه

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(4)(1)((2y_1 + 4y_2 + 4y_3>=4) (3y_1 + 2y_2 + 6y_3>=5) (6y_1 + 4y_2 + 8y_3>=4) (y_1، y_2، y_3>= 0)))(~)">!}

ما متغیرهای اضافی y 4 ≥ 0، y 5 ≥ 0، y 6 ≥ 0 را برای تبدیل نابرابری ها به تساوی معرفی می کنیم.

جفت های مزدوج متغیرهای مسائل مستقیم و دوگانه به شکل زیر هستند:

از آخرین جدول سیمپلکس شماره 3 مسئله مستقیم، حل مسئله دوگانه را پیدا می کنیم:

Z min = F max = 160;
y 1 \u003d Δ 4 \u003d 0; y 2 \u003d Δ 5 \u003d 0; y 3 \u003d Δ 6 \u003d 1; y 4 \u003d Δ 1 \u003d 0; y 5 \u003d Δ 2 \u003d 1; y 6 \u003d Δ 3 \u003d 4;

Y1=0; y2 = 0; y 3 = 1; Z min = 160;

روش سیمپلکس- این روشی است برای شمارش منظم طرح های مرجع (ترتیب با تغییر یکنواخت در مقدار تابع هدف در طول انتقال به طرح بعدی تضمین می شود). در این مورد، رعایت این اصل ضروری است: هر مرحله بعدی باید ارزش تابع هدف را بهبود بخشد یا در موارد شدید، بدتر نشود.

برای حل LLP روش سیمپلکسبه شکل متعارف کاهش می یابد، یعنی. از محدودیت ها - نابرابری ها لازم است محدودیت ها - برابری ها ایجاد شود. برای انجام این کار، هر محدودیت با یک غیر منفی اضافی تکمیل می شود متغیر ترازنامهاگر علامت نابرابری "£" باشد با علامت "+" و اگر علامت نابرابری "3" باشد با علامت "-".

در تابع هدف، این متغیرهای اضافی با ضرایب صفر وارد می شوند، یعنی. ورودی تابع هدف تغییر نخواهد کرد. هر متغیری که مشمول شرط غیر منفی نمی شود را می توان به عنوان تفاوت دو متغیر غیر منفی نشان داد: .

اگر قیود وظیفه منعکس کننده حضور و مصرف منابع باشد، آنگاه مقدار عددی متغیر اضافی در برنامه وظیفه، که به شکل متعارف نوشته شده است، برابر با مقدار منبع استفاده نشده است.

برای حل مشکل از روش سیمپلکس استفاده می کنیم جداول سیمپلکس کوتاه شده سیستم معادلات خطی و روش حذف جردن اصلاح شده.

1. ما اولین طرح اولیه را ترسیم می کنیم

تکلیف ثابت می ماند. اجازه دهید شکل استاندارد سیستم نابرابری ها (1) را با معرفی متغیرهای تعادل اضافی به شکل متعارف سیستم معادلات بیاوریم. ایکس 3 , ایکس 4 , ایکس 5 ,ایکس 6 .

در مفهوم اقتصادی، مقادیر متغیرهای اضافی ایکس 3 , ایکس 4 , ایکس 5 تعیین تعادل مواد اولیه پس از فروش محصولات.

ماتریس سیستم معادلات حاصل به شکل زیر است:

می توان دید که در ماتریس آمینور پایه مرتبه چهارم تعیین کننده است که از ضرایب واحد برای متغیرهای اضافی تشکیل شده است. ایکس 3 , ایکس 4 , ایکس 5 ,ایکس 6، از آنجایی که غیر صفر و برابر با 1 است. این بدان معنی است که بردارهای ستون برای این متغیرها به صورت خطی مستقل هستند، i.e. فرم اساسو متغیرهای مربوطه ایکس 3 , ایکس 4 , ایکس 5 ,ایکس 6 هستند پایه ای(پایه ای). متغیرها ایکس 1 , ایکس 2 فراخوانی خواهد شد رایگان(جزئی).

اگر متغیرهای رایگان ایکس 1 و ایکس 2 بپرس معانی مختلف، سپس با حل سیستم با توجه به متغیرهای اساسی، مجموعه بی نهایتی از راه حل های خاص را به دست می آوریم. اگر فقط مقادیر صفر برای متغیرهای آزاد تنظیم شده باشد، از مجموعه بی‌نهایتی از راه‌حل‌های خاص، راه حل های اساسی- طرح های اساسی

برای اینکه بفهمیم آیا متغیرها می توانند پایه باشند یا خیر، لازم است تعیین کننده متشکل از ضرایب این متغیرها را محاسبه کنیم. اگر این تعیین کننده برابر با صفر نباشد، این متغیرها می توانند پایه باشند.


تعداد راه‌حل‌های پایه و تعداد متناظر گروه‌های متغیرهای پایه نمی‌تواند بیشتر از، جایی باشد nتعداد کل متغیرها است، rتعداد متغیرهای اساسی است، r≤ متر≤ n.

برای وظیفه ما r = 4; n= 6. سپس، i.e. 15 گروه از 4 متغیر اساسی امکان پذیر است (یا 15 راه حل اساسی).

اجازه دهید سیستم معادلات را با توجه به متغیرهای اصلی حل کنیم ایکس 3 , ایکس 4 , ایکس 5 ,ایکس 6:

با فرض اینکه متغیرهای آزاد ایکس 1 = 0, ایکس 2 = 0، مقادیر متغیرهای اصلی را دریافت می کنیم: ایکس 3 = 312; ایکس 4 = 15; ایکس 5 = 24;ایکس 6 = -10، یعنی. راه حل اصلی = (0؛ 0؛ 312؛ 15؛ 24؛ 10-) خواهد بود.

این راه حل اساسی است غیر قابل قبول، زیرا ایکس 6 = -10 ≤ 0، و با شرط محدودیت ایکس 6 ≥ 0. بنابراین، به جای متغیر ایکس 6 به عنوان پایه، شما باید متغیر دیگری را از بین متغیرهای رایگان بگیرید ایکس 1 یا ایکس 2 .

راه حل بعدی را با استفاده از جداول سیمپلکس کوتاه شده انجام می دهیم و ردیف های جدول اول را با ضرایب سیستم به صورت زیر پر می کنیم (جدول 1):

میز 1

اف- رشته نامیده می شود فهرست مطالب. با ضرایب تابع هدف که با علائم مخالف گرفته شده اند پر شده است، زیرا معادله تابع را می توان به صورت نشان داد اف = 0 – (– 4ایکس 1 – 3ایکس 2).

در ستون اعضای آزاد b iیک عنصر منفی وجود دارد ب 4 = -10، یعنی. راه حل سیستم نامعتبر است. برای به دست آوردن یک راه حل معتبر (طرح پایه)، عنصر ب 4 باید غیر منفی شود.

انتخاب کنید ایکس 6 - یک خط با یک عضو آزاد منفی. این خط حاوی عناصر منفی است. هر یک از آنها را انتخاب کنید، به عنوان مثال، "-1" در ایکس 1 -ستون و ایکس 1 - ستون قبول به عنوان ستون مجوز(این متغیر را تعیین می کند ایکس 1 از رایگان به پایه خواهد رفت).

ما اعضای رایگان را به اشتراک می گذاریم b iروی عناصر مربوطه a استستون حل، دریافت می کنیم روابط ارزشیΘ من==(24، 15، 12، 10). از بین آنها، ما کوچکترین مثبت را انتخاب می کنیم (minΘ من=10)، که مطابقت دارد خط مجوز. رشته مجوز یک متغیر را تعریف می کند x j، که در مرحله بعد از پایه بیرون زده و آزاد می شود. از همین رو ایکس 6 -خط یک خط مجاز است و عنصر "-1" است عنصر فعال کننده. دور آن حلقه می زنیم. متغیرها ایکس 1 و ایکس 6 تا عوض میشه

نسبت های تخمینی Θ مندر هر خط توسط قوانین تعیین می شود:

1) Θ من= اگر b iو a استدارند نشانه های مختلف;

2) Θ من= ∞ اگر b i= 0 و a است < 0;

3) Θ من= ∞ اگر a است = 0;

4) Θ من= 0 اگر b i= 0 و a است > 0;

5) Θ من= اگر b iو a استهمین علائم را دارند

گام حذف اصلاح شده اردنی (MJJI) را با عنصر مجاز برمی داریم و جدول جدید (جدول 2) را طبق قانون زیر تهیه می کنیم:

1) به جای عنصر حل کننده (RE)، یک مقدار تنظیم می شود، معکوس آن، یعنی. ;

2) عناصر خط مجاز به RE تقسیم می شوند.

3) عناصر ستون حل به RE تقسیم می شوند و علامت تغییر می کند.

4) عناصر باقی مانده طبق قانون مستطیل یافت می شوند:

از جدول. 2 نشان می دهد که اعضای رایگان در b i- ستون ها منفی نیستند، بنابراین، راه حل قابل قبول اولیه به دست می آید - طرح پایه اول= (10؛ 0؛ 182؛ 5؛ 4؛ 0). در این حالت مقدار تابع اف() = 40. از نظر هندسی، این مربوط به بالا است اف(10؛ 0) چند ضلعی محلول (شکل 1).

جدول 2

2. طرح را برای بهینه بودن بررسی می کنیم.طرح پایه بهینه نیست، زیرا در اف-خط دارای ضریب منفی "-4" است. ما طرح را اصلاح می کنیم.

3. یافتن خط پایه جدید

ما عنصر مجاز را طبق قانون انتخاب می کنیم:

ما کوچکترین ضریب منفی را در انتخاب می کنیم اف-خط "-4" که ستون فعال کننده را تعیین می کند - ایکس 6; متغیر ایکس 6 ترجمه به پایه.

نسبت های Θ را پیدا می کنیم من، از بین آنها ما کوچکترین مثبت را انتخاب می کنیم که مربوط به رشته مجاز است:

دقیقه Θ من = دقیقه(14، 5، 2، ∞) = 2، از این رو ایکس 5 - خط - مجاز، متغیر ایکس 5 ما به رایگان (متغیرها) ترجمه می کنیم ایکس 5 و ایکس 6 تعویض می شود).

در تقاطع سطر و ستون مجاز، عنصر مجاز "2" است.

ما مرحله SHMZhI را انجام می دهیم، جدول را می سازیم. 3 طبق قانون فوق و یک طرح مرجع جدید = (12; 0; 156; 3; 0; 2) دریافت کنید.

جدول 3

4. بررسی طرح پایه جدید برای بهینه بودن

طرح پایه نیز بهینه نیست، زیرا در اف-خط دارای ضریب منفی "-1" است. مقدار تابع اف() = 48، که از نظر هندسی با بالا مطابقت دارد E(12؛ 0) چند ضلعی محلول (شکل 1). ما طرح را اصلاح می کنیم.

5. یافتن خط پایه جدید

ایکس 2-ستون مجاز است، زیرا در اف-خط کوچکترین ضریب منفی "-1" در است ایکس 2-ستون (Δ 2 = -1). پیدا کردن کوچکترین Θ من: دقیقه Θ من = دقیقه(≈ 9، 6، ∞، 24) = 6، بنابراین ایکسخط 4 - مجاز. عنصر مجاز "1/2". تعویض متغیرها ایکس 2 و ایکسچهار . ما مرحله SHMZhI را انجام می دهیم، جدول را می سازیم. 4، یک طرح مرجع جدید = (9؛ 6؛ 51؛ 0؛ 0؛ 5) دریافت می کنیم.

6. بررسی طرح اولیه برای بهینه بودن

AT اف-خط، همه ضرایب غیر منفی هستند، بنابراین، طرح مرجع بهینه است. از نظر هندسی با یک نقطه مطابقت دارد D(9;6) (شکل 1 را ببینید). طرح بهینه حداکثر مقدار تابع هدف c.u را می دهد.

برای ساخت سه نوع پیراهن از نخ، دکمه و پارچه استفاده می شود. موجودی نخ ها، دکمه ها و پارچه ها، میزان مصرف آنها برای دوخت یک پیراهن در جدول نشان داده شده است. حداکثر سود و برنامه بهینه عرضه محصول را که آن را تضمین می کند بیابید (یافتن).

پیراهن 1 پیراهن 2 پیراهن 3 سهام نخ ها (متر) 1 9 3 96 دکمه ها (عدد) 20 10 30 640 پارچه ( 1 2 2 44 سود (R.) 2 5 4

راه حل مشکل

ساختمان نمونه

از طریق و تعداد پیراهن های نوع 1، 2 و 3، در نظر گرفته شده برای انتشار.

سپس محدودیت منابع به شکل زیر خواهد بود:

علاوه بر این، با توجه به معنای تکلیف

تابع هدف بیان کننده سود دریافتی:

ما مسئله برنامه ریزی خطی زیر را دریافت می کنیم:

کاهش یک مسئله برنامه ریزی خطی به شکل متعارف

اجازه دهید مشکل را به شکل متعارف برسانیم. بیایید متغیرهای اضافی را معرفی کنیم. همه متغیرهای اضافی را با ضریب صفر وارد تابع هدف می کنیم. متغیرهای اضافی را به قسمت‌های سمت چپ محدودیت‌هایی که فاقد آن هستند اضافه می‌کنیم نوع ترجیحی، و برابری ها را بدست می آوریم.

حل مسئله با روش سیمپلکس

جدول سیمپلکس را پر کنید:

از آنجایی که در حال حل مسئله برای حداکثر هستیم، وجود اعداد منفی در خط شاخص هنگام حل مسئله برای حداکثر نشان می دهد که ما جواب بهینه را دریافت نکرده ایم و لازم است از جدول تکرار 0 حرکت کنیم. بعدی.

انتقال به تکرار بعدی به صورت زیر انجام می شود:

ستون اصلی مسابقات

ردیف کلید با حداقل نسبت اعضای آزاد و اعضای ستون پیشرو تعیین می شود (نسبت های ساده):

در تقاطع ستون کلید و ردیف کلید، عنصر فعال کننده را پیدا می کنیم، یعنی. 9.

حالا بیایید کامپایل تکرار اول را شروع کنیم: به جای یک بردار واحد، یک بردار را معرفی می کنیم.

در جدول جدید به جای عنصر مجاز عدد 1 را می نویسیم، سایر عناصر ستون کلید صفر هستند. عناصر رشته کلیدی با عنصر مجاز تقسیم می شوند. تمام عناصر دیگر جدول بر اساس قانون مستطیل محاسبه می شوند.

ستون کلیدی برای منطبق‌های تکرار اول

عنصر حل کننده عدد 4/3 است. ما بردار را از مبنا استنتاج می کنیم و به جای آن بردار را معرفی می کنیم. جدول تکرار 2 را دریافت می کنیم.

ستون کلید برای تکرار دوم مربوط به

ما خط کلید را پیدا می کنیم، برای این تعریف می کنیم:

عنصر حل کننده عدد 10/3 است. ما بردار را از مبنا استنتاج می کنیم و به جای آن بردار را معرفی می کنیم. جدول تکرار سوم را دریافت می کنیم.

№ BP ج ب A o x 1 x2 x 3 x4 x5 x6 سیمپلکس 2 5 4 0 0 0 روابط 0 x4 0 96 1 9 3 1 0 0 32/3 x5 0 640 20 10 30 0 1 0 64 x6 0 44 1 2 2 0 0 1 22 F j - c j 0 -2 -5 -4 0 0 0 1 x2 5 32/3 1/9 1 1/3 1/9 0 0 32 x5 0 1600/3 170/9 0 80/3 -10/9 1 0 20 x6 0 68/3 7/9 0 4/3 -2/9 0 1 17 F j - c j 160/3 -13/9 0 -7/3 5/9 0 0 2 x2 5 5 -1/12 1 0 1/6 0 -1/4 -- x5 0 80 10/3 0 0 10/3 1 -20 24 x 3 4 17 7/12 0 1 -1/6 0 3/4 204/7 F j - c j 93 -1/12 0 0 1/6 0 7/4 3 x2 5 7 0 1 0 1/4 1/40 -3/4 x 1 2 24 1 0 0 1 3/10 -6 x 3 4 3 0 0 1 -3/4 -7/40 17/4 F j - c j 95 0 0 0 1/4 1/40 5/4

در ردیف شاخص، همه اعضا غیر منفی هستند، بنابراین راه حل زیر برای مسئله برنامه ریزی خطی به دست می آید (آن را از ستون اعضای آزاد می نویسیم):

دوخت 24 عدد پیراهن نوع 1، 7 عدد پیراهن تیپ 2 و 3 عدد پیراهن نوع 3 الزامی است. در این مورد، سود دریافتی حداکثر خواهد بود و به 95 روبل می رسد.

حل یک مسئله برنامه ریزی خطی ضروری است.

تابع هدف:

2x 1 +5x 2 +3x 3 +8x 4 → دقیقه

شرایط محدودیت:

3x 1 +6x 2 -4x 3 +x 4 ≤12
4x 1 -13x 2 +10x 3 +5x 4 ≥6
3x1 +7x2 +x3 ≥1

اجازه دهید سیستم محدودیت ها را به شکل متعارف بیاوریم، برای این لازم است که از نابرابری ها به برابری ها با اضافه کردن متغیرهای اضافی حرکت کنیم.

از آنجایی که مشکل ما یک مشکل کمینه سازی است، باید آن را به یک مسئله حداکثر سازی تبدیل کنیم. برای این کار، علائم ضرایب تابع هدف را به ضرایب مخالف تغییر می دهیم. عناصر اولین نابرابری را بدون تغییر می نویسیم و یک متغیر اضافی x 5 به آن اضافه می کنیم و علامت "≤" را به "=" تغییر می دهیم. از آنجایی که نابرابری های دوم و سوم دارای علامت "≥" هستند، لازم است علائم ضرایب آنها معکوس شود و متغیرهای اضافی x 6 و x 7 به ترتیب وارد آنها شود. در نتیجه، یک مشکل معادل دریافت می کنیم:

3x 1 + 6x 2 -4x 3 +x 4 +x 5 =12
-4x 1 +13x 2 -10x 3 -5x 4 +x 6 =-6
-3x 1 -7x 2 -x 3 +x 7 =-1

به تشکیل جدول سیمپلکس اولیه می رویم. ردیف F جدول حاوی ضرایب تابع هدف با علامت مخالف است.

عضو رایگان
اف
X5
X6
X7

در جدولی که ما گردآوری کردیم، عناصر منفی در ستون اعضای آزاد وجود دارد، ما حداکثر مدول را در میان آنها پیدا می کنیم - این عنصر است: -6، ردیف پیشرو را تنظیم می کند - X6. در این خط، ماکزیمم مدول عنصر منفی را نیز پیدا می کنیم: -10 در ستون X3 است که ستون اصلی خواهد بود. متغیر در ردیف اول از مبنا حذف می شود و متغیر مربوط به ستون پیشرو در مبنا قرار می گیرد. بیایید جدول سیمپلکس را دوباره محاسبه کنیم:

X1 X2 X6 X4 عضو رایگان
اف 0.8 8.9 0.3 6.5 -1.8
X5 4.6 0.8 -0.4 3 14.4
X3 0.4 -1.3 -0.1 0.5 0.6
X7 -2.6 -8.3 -0.1 0.5 -0.4

در جدولی که ما گردآوری کردیم، عناصر منفی در ستون اعضای آزاد وجود دارد، ما در میان آنها حداکثر مدول را پیدا می کنیم - این عنصر است: -0.4، ردیف پیشرو را تنظیم می کند - X7. در این خط، ماکزیمم مدول عنصر منفی را نیز پیدا می کنیم: -8.3 در ستون X2 است که ستون اصلی خواهد بود. متغیر در ردیف اول از مبنا حذف می شود و متغیر مربوط به ستون پیشرو در مبنا قرار می گیرد. بیایید جدول سیمپلکس را دوباره محاسبه کنیم:

X1 X7 X6 X4 عضو رایگان
اف -1.988 1.072 0.193 7.036 -2.229
X5 4.349 0.096 -0.41 3.048 14.361
X3 0.807 -0.157 -0.084 0.422 0.663
X2 0.313 -0.12 0.012 -0.06 0.048

از آنجایی که هیچ عنصر منفی در ستون عبارات آزاد وجود ندارد، راه حل قابل اجرا پیدا شده است، در ردیف F عناصر منفی وجود دارد که به این معنی است که جواب بهینه نیست. بیایید یک ستون پیشرو تعریف کنیم. برای انجام این کار، ما در ردیف F حداکثر عنصر منفی را در مقدار مطلق می یابیم - این 1.988- است. ردیف اول X2 و عنصر پیشرو 0.313 است.

X2 X7 X6 X4 عضو رایگان
اف 6.351 0.31 0.269 6.655 -1.924
X5 -13.895 1.763 -0.577 3.882 13.694
X3 -2.578 0.152 -0.115 0.577 0.539
X1 3.195 -0.383 0.038 -0.192 0.153

از آنجایی که هیچ عنصر منفی در ردیف F وجود ندارد، پس
راه حل بهینه را پیدا کرد. از آنجایی که وظیفه اصلی یافتن حداقل بود، راه‌حل بهینه عبارت آزاد رشته F است که با علامت مخالف گرفته می‌شود. F=1.924
با مقادیر متغیرها برابر است: x 3 = 0.539، x 1 = 0.153. متغیرهای x 2 و x 4 در مبنا گنجانده نشده اند، بنابراین x 2 = 0 x 4 = 0.

مثال شماره 3. حل مسئله برنامه ریزی خطی به روش سیمپلکس.
یافتن بزرگترین مقدار یک تابع (مبنای مصنوعی)

این راه حل نمونه ای از برنامه ارائه شده در سایت می باشد.


بزرگترین مقدار یک تابع را بیابید

x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0

1. اعضای آزاد سیستم باید غیر منفی باشند.

این شرط رعایت شده است.


2. هر قید سیستم باید یک معادله باشد.

x 1 - 2 x2 ≤ 4
x 1 - x2 ≥ 1
x 1 + x2 ≤ 8
x 1 - 2 x2 + S1 = 4
x 1 - x2 - S2 = 1
x 1 + x2 + S3 = 8

S 1 ≥ 0, S 2 ≥ 0, S 3 ≥ 0. متغیرهای معرفی شده S 1 , S 2 , S 3 متغیرهای تعادل نامیده می شوند.


3. یافتن مبنای اولیه و مقدار تابع F که با مبنای اولیه یافت شده مطابقت دارد.


مبنای چیست؟
یک متغیر برای یک معادله داده شده در صورتی که با معادله داده شده وارد شود، پایه نامیده می شود عامل یکو در معادلات باقی مانده گنجانده نشده است (به شرطی که یک عدد مثبت در سمت راست معادله وجود داشته باشد).
اگر هر معادله دارای یک متغیر پایه باشد، سیستم دارای یک مبنا است.
متغیرهایی که پایه نیستند، متغیر آزاد نامیده می شوند.

ایده پشت روش سیمپلکس چیست؟
هر پایه مربوط به یک مقدار واحد از تابع است. یکی از آنها است بالاترین ارزشتوابع F
ما از یک پایه به پایه دیگر منتقل می کنیم و مقدار تابع F را کمتر از تابع موجود به دست می آوریم.
بدیهی است که تعداد پایه های ممکن برای هر مشکلی خیلی زیاد نیست.
بنابراین دیر یا زود جواب دریافت خواهد شد.

انتقال از یک پایه به پایه دیگر چگونه انجام می شود؟
راحت تر است که راه حل را در قالب جداول ثبت کنید. هر ردیف از جدول معادل معادله سیستم است. خط برجسته از ضرایب تابع تشکیل شده است (جدول زیر را ببینید). این به شما امکان می دهد هر بار متغیرها را بازنویسی نکنید، که باعث صرفه جویی در زمان می شود.
در خط انتخاب شده، بزرگترین ضریب مثبت را انتخاب کنید (شما می توانید هر مثبت را انتخاب کنید).
این برای به دست آوردن مقدار تابع F که کمتر از تابع موجود نیست، ضروری است.
ستون انتخاب شد.
برای ضرایب مثبت ستون انتخابی، نسبت Θ را محاسبه کرده و انتخاب می کنیم کوچکترین ارزش.
این امر ضروری است تا پس از تبدیل، ستون اعضای آزاد مثبت باقی بماند.
ردیف انتخاب شد.
عنصری که عنصر پایه خواهد بود تعریف می شود. بعد، حساب می کنیم.

آیا سیستم ما مبنایی دارد؟

x 1 - 2 x2 + S1 = 4
x 1 - x2 - S2 = 1
x 1 + x2 + S3 = 8

هیچ مبنایی وجود ندارد، یعنی. ما نمی توانیم راه حلی را شروع کنیم
باید او را پیدا کرد برای انجام این کار، یک مشکل کمکی را حل می کنیم.
بیایید یک متغیر مصنوعی به معادله اضافه کنیم که در آن متغیر پایه وجود ندارد.

x 1 - 2 x2 + S1 = 4
x 1 - x2 - S2 + R1 = 1
x 1 + x2 + S3 = 8

R 1 ≥ 0. متغیر معرفی شده R 1 یک متغیر مصنوعی نامیده می شود.

تابع W را در نظر می گیریم و به دنبال کوچکترین مقدار آن می گردیم.

الگوریتم برای یافتن کوچکترین مقدار تابع W تنها یک تفاوت با الگوریتم مورد بحث در بالا دارد.
شما باید خودتان آن را کشف کنید.


x 1x2S1S2S3R1St. عضو Θ
1 -2 1 0 0 0 4 4: 1 = 4
1 -1 0 -1 0 1 1 1: 1 = 1
1 1 0 0 1 0 8 8: 1 = 8
-1 1 0 1 0 0 W - 1
0 -1 1 1 0 -1 3
1 -1 0 -1 0 1 1
0 2 0 1 1 -1 7
0 0 0 0 0 1 W - 0

متغیرهای آزاد را با صفر برابر می کنیم. به صورت شفاهی مقادیر متغیرهای اصلی را بیابید. (جدول را ببینید)
تابع W بر حسب متغیرهای آزاد بیان می شود. بنابراین، مقدار تابع W، برای یک راه حل داده شده، می تواند بلافاصله پیدا شود. (خط هایلایت شده جدول را ببینید)

x 2 = 0 S 2 = 0 R 1 = 0
x 1 = 1 S 1 = 3 S 3 = 7		 => W - 0 = 0 => W = 0

در بین ضرایب خط انتخاب شده، ضرایب منفی وجود ندارد. بنابراین، کوچکترین مقدار تابع W پیدا می شود.
یک پایه بدون استفاده از یک متغیر مصنوعی به دست می آید. چیزی که لازم بود.
ستون مربوط به متغیر مصنوعی را می توان خط زد.
در نتیجه، سیستم ما به شکل زیر است:

- x2 + S1 + S2 = 3
x 1 - x2 - S2 = 1
2 x2 + S2 + S3 = 7
اف = - x 1 + 3 x2
اف = -
( 1 + x2 + S2)
+ 3 x2
= -1 + 2 x2 - S2