یک ماتریس معکوس برای یک معکوس، چنین ماتریسی است، ضرب در اصلی که در آن یک ماتریس هویت به دست می‌دهد: شرط اجباری و کافی برای وجود یک ماتریس معکوس، نابرابری تعیین‌کننده اصلی است (که به نوبه خود نشان می دهد که ماتریس باید مربع باشد). اگر تعیین کننده یک ماتریس برابر با صفر باشد، آن را منحط می گویند و چنین ماتریسی معکوس ندارد. در ریاضیات عالی، ماتریس های معکوس مهم هستند و برای حل تعدادی از مسائل استفاده می شوند. به عنوان مثال، در پیدا کردن ماتریس معکوسساخته شده روش ماتریسیحل سیستم های معادلات سایت خدمات ما اجازه می دهد محاسبه معکوس ماتریس آنلایندو روش: روش گاوس-جردن و استفاده از ماتریس اضافات جبری. اولی شامل تعداد زیادی تبدیل اولیه در ماتریس است، دومی - محاسبه اضافات تعیین کننده و جبری به همه عناصر. برای محاسبه تعیین کننده یک ماتریس به صورت آنلاین، می توانید از سرویس دیگر ما - محاسبه تعیین کننده ماتریس به صورت آنلاین استفاده کنید.

.

ماتریس معکوس را در سایت پیدا کنید

سایت اینترنتیبه شما امکان می دهد پیدا کنید ماتریس معکوس آنلاینسریع و رایگان در سایت، محاسبات توسط سرویس ما انجام می شود و نتیجه با یک راه حل دقیق برای یافتن نمایش داده می شود ماتریس معکوس. سرور همیشه فقط پاسخ دقیق و درست را می دهد. در وظایف بر اساس تعریف ماتریس معکوس آنلاین، لازم است که تعیین کننده ماتریس هابا صفر فرق داشت وگرنه سایت اینترنتیعدم امکان یافتن ماتریس معکوس را به دلیل مساوی بودن عامل تعیین کننده ماتریس اصلی گزارش خواهد کرد. یافتن وظیفه ماتریس معکوسدر بسیاری از شاخه های ریاضیات یافت می شود و یکی از اساسی ترین مفاهیم جبر و ابزار ریاضی در مسائل کاربردی است. مستقل تعریف ماتریس معکوسبرای اینکه در محاسبات دچار لغزش یا اشتباه کوچکی نشوید، به تلاش زیاد، زمان زیاد، محاسبات و دقت زیاد نیاز دارد. بنابراین، خدمات ما پیدا کردن ماتریس معکوس به صورت آنلاینکار شما را بسیار آسان می کند و به ابزاری ضروری برای حل مسائل ریاضی تبدیل می شود. حتی اگر شما پیدا کردن ماتریس معکوسخودتان، توصیه می کنیم راه حل خود را در سرور ما بررسی کنید. ماتریس اصلی خود را در Calculate Inverse Matrix Online وارد کنید و پاسخ خود را بررسی کنید. سیستم ما هرگز اشتباه نمی کند و می یابد ماتریس معکوسبعد داده شده در حالت برخطفورا! در سایت سایت اینترنتیورود کاراکترها در عناصر مجاز است ماتریس ها، در این مورد ماتریس معکوس آنلاینبه شکل کلی نمادین ارائه خواهد شد.

برای ماتریس معکوس یک قیاس مناسب با متقابل یک عدد وجود دارد. برای هر عدد آ، که برابر با صفر نیست، یک عدد وجود دارد بکه کار آو ببرابر یک: ab= 1. عدد بمتقابل یک عدد نامیده می شود ب. به عنوان مثال، برای عدد 7، معکوس عدد 1/7 است، زیرا 7*1/7=1 است.

ماتریس معکوس ، که باید برای یک ماتریس مربع مشخص پیدا شود ولی، چنین ماتریسی نامیده می شود

محصولی که توسط آن ماتریس ها ولیدر سمت راست ماتریس هویت است، به عنوان مثال،
. (1)

ماتریس هویت یک ماتریس مورب است که در آن تمام ورودی های قطری برابر با یک هستند.

پیدا کردن ماتریس معکوس- مشکلی که اغلب با دو روش حل می شود:

• روش اضافات جبری، که در آن نیاز به یافتن عوامل تعیین کننده و جابجایی ماتریس ها است.
• روش حذف گاوسی، که نیازمند تبدیل اولیه ماتریس ها (افزودن سطرها، ضرب سطرها در همان تعداد و غیره) است.

برای کسانی که به ویژه کنجکاو هستند، روش های دیگری نیز وجود دارد، به عنوان مثال، روش تبدیل های خطی. در این درس سه روش ذکر شده و الگوریتم های یافتن ماتریس معکوس توسط این روش ها را تحلیل خواهیم کرد.

قضیه.برای هر ماتریس مربع غیر مفرد (غیر مفرد، غیر مفرد)، می توان یک ماتریس معکوس و علاوه بر این، فقط یک ماتریس پیدا کرد. برای یک ماتریس مربع خاص (منحط، منفرد)، ماتریس معکوس وجود ندارد.

ماتریس مربع نامیده می شود غیر خاص(یا غیر منحط, غیر مفرد) اگر تعیین کننده آن برابر با صفر نباشد و خاص(یا منحط, مفرد) اگر تعیین کننده آن صفر باشد.

ماتریس معکوس را فقط می توان برای یک ماتریس مربع یافت. به طور طبیعی، ماتریس معکوس نیز مربع و به همان ترتیب ماتریس داده شده خواهد بود. ماتریسی که می توان برای آن ماتریس معکوس پیدا کرد، ماتریس معکوس نامیده می شود.

یافتن ماتریس معکوس با حذف گاوسی مجهولات

اولین قدم برای یافتن ماتریس معکوس با حذف گاوسی، اختصاص دادن به ماتریس است. آماتریس هویت از همان ترتیب، آنها را با یک نوار عمودی جدا می کند. ما یک ماتریس دوگانه می گیریم. هر دو قسمت این ماتریس را در ضرب کنید، سپس به دست می آوریم

,

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس با حذف گاوسی مجهولات

1. به ماتریس آیک ماتریس هویت با همان ترتیب اختصاص دهید.

2. ماتریس دوگانه حاصل را به گونه ای تبدیل کنید که ماتریس هویت در قسمت چپ آن به دست آید، سپس ماتریس معکوس به طور خودکار در قسمت سمت راست به جای ماتریس هویت به دست می آید. ماتریس آدر سمت چپ با تبدیل های اولیه ماتریس به ماتریس هویت تبدیل می شود.

2. اگر در فرآیند تبدیل ماتریس آدر ماتریس هویت در هر سطر یا در هر ستون فقط صفر خواهد بود، سپس تعیین کننده ماتریس برابر با صفر است، و بنابراین، ماتریس آمنحط خواهد بود و ماتریس معکوس ندارد. در این حالت، یافتن بیشتر ماتریس معکوس متوقف می شود.

مثال 2برای ماتریس

ماتریس معکوس را پیدا کنید

و آن را طوری تبدیل می کنیم که ماتریس هویت در سمت چپ به دست آید. بیایید تحول را شروع کنیم.

سطر اول ماتریس چپ و راست را در (-3) ضرب می کنیم و به ردیف دوم اضافه می کنیم و سپس ردیف اول را در (4-) ضرب می کنیم و به ردیف سوم اضافه می کنیم، سپس به دست می آید.

.

به طوری که در صورت امکان در حین تبدیل های بعدی اعداد کسری وجود نداشته باشد، ابتدا یک واحد در ردیف دوم در سمت چپ ماتریس دوگانه ایجاد می کنیم. برای این کار، ردیف دوم را در 2 ضرب کرده و ردیف سوم را از آن کم کنید، سپس به دست می آوریم

.

سطر اول را به ردیف دوم اضافه می کنیم و سپس ردیف دوم را در (9-) ضرب می کنیم و به ردیف سوم اضافه می کنیم. سپس می گیریم

.

سپس ردیف سوم را بر 8 تقسیم کنید

.

ردیف سوم را در 2 ضرب کنید و به ردیف دوم اضافه کنید. معلوم می شود:

.

جاهای خط دوم و سوم را عوض می کنیم و در نهایت می گیریم:

.

می بینیم که ماتریس هویت در سمت چپ به دست می آید، بنابراین ماتریس معکوس در سمت راست به دست می آید. به این ترتیب:

.

می توانید صحت محاسبات را با ضرب ماتریس اصلی در ماتریس معکوس یافت شده بررسی کنید:

نتیجه باید یک ماتریس معکوس باشد.

ماشین حساب آنلاین برای یافتن ماتریس معکوس .

مثال 3برای ماتریس

ماتریس معکوس را پیدا کنید

راه حل. کامپایل یک ماتریس دوگانه

و ما آن را متحول خواهیم کرد.

ردیف اول را در 3 و دومی را در 2 ضرب می کنیم و از دومی کم می کنیم و سپس ردیف اول را در 5 و ردیف سوم را در 2 ضرب می کنیم و از ردیف سوم کم می کنیم سپس به دست می آید.

.

ردیف اول را در 2 ضرب می کنیم و به ردیف دوم اضافه می کنیم و ردیف دوم را از ردیف سوم کم می کنیم و به دست می آوریم.

.

می بینیم که در خط سوم سمت چپ، همه عناصر برابر با صفر هستند. بنابراین، ماتریس منحط است و ماتریس معکوس ندارد. ما یافتن بیشتر ماریا معکوس را متوقف می کنیم.

می توانید راه حل را بررسی کنید

روش گاوس-اردن نحوه پیدا کردن ماتریس معکوس
با استفاده از تبدیل های ابتدایی؟

زمانی ریاضیدان آلمانی ویلهلم جردن (ما به اشتباه از آلمانی رونویسی می کنیماردن به عنوان اردن)نشست تا تصمیم بگیرد سیستم دیگریمعادلات او عاشق انجام این کار بود و در اوقات فراغت مهارت های خود را بهبود می بخشید. اما پس از آن لحظه ای فرا رسید که او از تمام روش های حل خسته شد و روش گاوسشامل...

فرض کنید سیستمی با سه معادله، سه مجهول به ما داده شده و ماتریس تقویت شده آن نوشته شده است. در رایج ترین حالت، مراحل استاندارد به دست می آید و بنابراین هر روز .... یکی و یکسان - مثل باران ناامید نوامبر.

مدتی اندوه را از بین می برد یک راه دیگرآوردن ماتریس به شکل پلکانی: علاوه بر این، کاملاً معادل است و ممکن است فقط به دلیل درک ذهنی ناخوشایند باشد. اما همه چیز دیر یا زود خسته کننده می شود .... و بعد فکر کردم در باره rdan - چرا حتی با حرکت معکوس الگوریتم گاوسی زحمت بکشیم؟ آیا دریافت فوری پاسخ با کمک تحولات ابتدایی اضافی آسان تر نیست؟

... بله این فقط برای عشق اتفاق می افتد =)

برای تسلط بر این درس، آدمک‌ها باید راه F را بروند در بارهدگرگونی‌های ابتدایی rdana و پمپ حداقل در سطح متوسط، با حل حداقل 15-20 کار مربوطه. بنابراین، اگر به طور مبهم درک می کنید که گفتگو در مورد چیست و / یا در طول درس از چیزی سوء تفاهم دارید، توصیه می کنم به ترتیب زیر با موضوع آشنا شوید:

خوب، اگر به نتیجه برسد، کاملاً فوق العاده است پایین آوردن ترتیب تعیین کننده.

همانطور که همه فهمیدند، روش گاوس-جردن یک اصلاح است روش گاوسو با اجرای ایده اصلی که قبلا در بالا بیان شده است، در صفحه های بعدی ملاقات خواهیم کرد. علاوه بر این، در میان نمونه های معدود این مقاله مهم ترین برنامه کاربردی - پیدا کردن معکوس یک ماتریس با استفاده از تبدیل های ابتدایی.

بدون ADO بیشتر:

مثال 1

سیستم را با استفاده از روش گاوس-جردن حل کنید

راه حل: این اولین وظیفه درس است روش گاوس برای آدمک ها، که در آن ماتریس توسعه یافته سیستم را 5 بار تبدیل کرده و آن را به شکل پلکانی آورده ایم:

حالا به جای معکوسدگرگونی های ابتدایی اضافی وارد بازی می شوند. ابتدا باید صفرها را در این مکان ها بدست آوریم: ,
و سپس یک صفر دیگر در اینجا: .

حالت ایده آل از نظر سادگی:

(6) خط سوم به خط دوم اضافه شد. خط سوم به خط اول اضافه شد.

(7) سطر دوم ضرب در 2- به سطر اول اضافه شد.

من نمی توانم در برابر نشان دادن سیستم نهایی مقاومت کنم:

پاسخ:

من به خوانندگان در مورد خلق و خوی هوس انگیز هشدار می دهم - این ساده ترین نمونه نمایشی بود. روش گاوس-جردن ترفندهای خاص خود را دارد و راحت ترین محاسبات را ندارد، بنابراین لطفاً برای کار جدی آماده شوید.

من نمی خواهم قاطعانه یا حساس به نظر بیایم ، اما در اکثریت قریب به اتفاق منابع اطلاعاتی که من دیده ام ، مشکلات معمولی بسیار ضعیف در نظر گرفته می شوند - شما باید هفت دهانه در پیشانی خود داشته باشید و زمان / اعصاب زیادی را روی یک دستگاه سنگین صرف کنید. محلول ناشیانه با کسری. در طی سالها تمرین، من موفق به صیقل دادن شدم، نمی گویم که بهترین است، بلکه یک تکنیک منطقی و نسبتاً آسان است که برای همه کسانی که عملیات حسابی دارند در دسترس است:

مثال 2

حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس-جردن.

راه حل: قسمت اول کار به خوبی شناخته شده است:

(1) ردیف اول به ردیف دوم اضافه شد و در -1 ضرب شد. خط اول ضرب در 3 به خط سوم اضافه شد و اولین خط ضرب در 5- به خط چهارم اضافه شد.

(2) ردیف دوم بر 2 تقسیم شد، ردیف سوم بر 11، ردیف چهارم بر 3 تقسیم شد.

(3) خط دوم و سوم متناسب هستند، خط 3 حذف شد. خط دوم به سطر چهارم اضافه شد که در 7- ضرب شد

(4) ردیف سوم بر 2 تقسیم شد.

بدیهی است که این سیستم راه حل های بی نهایت زیادی دارد و وظیفه ما این است که ماتریس افزوده شده آن را به شکل بیاوریم. .

چگونه باید ادامه داد؟ اول از همه، لازم به ذکر است که ما یک تحول ابتدایی خوشمزه را از دست داده ایم - جایگشت رشته ها. به طور دقیق تر، امکان تنظیم مجدد آنها وجود دارد، اما این معنی ندارد (ما فقط اقدامات غیر ضروری را انجام خواهیم داد). و سپس توصیه می شود به الگوی زیر پایبند باشید:

ما پیدا می کنیم کمترین مضرب مشترکاعداد در ستون سوم (1، -1 و 3)، یعنی. - کوچکترین عددی که بدون باقیمانده بر 1 و بر -1 و بر 3 بخش پذیر است. در این مورد، البته، این "سه" است. اکنون در ستون سوم باید همان اعداد مدول را بدست آوریمو این ملاحظات تبدیل پنجمین ماتریس را تعیین می کند:

(5) ردیف اول را در 3- ضرب کنید، ردیف دوم را در 3 ضرب کنید. شما به سرعت به چیزهای خوب عادت می کنید:

(6) خط سوم به خط دوم اضافه شد. خط سوم به خط اول اضافه شد.

(7) در ستون دوم (24 و 6) دو مقدار غیر صفر وجود دارد و دوباره باید بدست آوریم اعداد همان مدول. در این مورد، همه چیز کاملاً خوب بود - کوچکترین مضرب 24 است و ضرب ردیف دوم در -4 کارآمدتر است.

(8) خط دوم به خط اول اضافه شد.

(9) لمس پایانی: خط اول تقسیم بر -3، خط دوم تقسیم بر 24- و خط سوم تقسیم بر 3 است. این عمل انجام می شود. در آخرین درخواست! بدون کسری زودرس!

در نتیجه تحولات ابتدایی، یک سیستم اصلی معادل به دست آمد:

ما ابتدا متغیرهای اساسی را بر حسب متغیر آزاد بیان می کنیم:

و بنویس:

پاسخ: تصمیم مشترک:

در چنین مثال هایی، استفاده از الگوریتم در نظر گرفته شده اغلب توجیه می شود، زیرا حرکت معکوس انجام می شود روش گاوسمعمولاً به محاسبات زمان بر و ناخوشایند با کسری نیاز دارد.

و البته چک بسیار مطلوب است که طبق طرح معمولی که در درس مطرح می شود انجام می شود. سیستم ها و سیستم های ناسازگار با یک راه حل مشترک.

برای یک راه حل مستقل:

مثال 3

راه حل اصلی را با استفاده از تبدیل های ابتدایی پیدا کنید

این فرمول مسئله شامل استفاده از روش گاوس-جردن است و در محلول نمونه ماتریس به فرم استاندارد کاهش می یابد. با متغیرهای اساسی با این حال، همیشه این را در نظر داشته باشید متغیرهای دیگر را می توان به عنوان متغیر پایه انتخاب کرد. بنابراین، به عنوان مثال، اگر اعداد دست و پا گیر در ستون اول وجود داشته باشد، پس آوردن ماتریس به فرم کاملاً قابل قبول است. (متغیرهای اساسی)، یا به فرم (متغیرهای اساسی)، یا حتی به فرم با متغیرهای اساسی گزینه های دیگری نیز وجود دارد.

اما با این حال، این موارد شدید هستند - شما نباید یک بار دیگر معلمان را با دانش، تکنیک راه حل خود شوکه کنید، و حتی بیشتر از آن، نباید نتایج عجیب و غریب اردنی مانند . با این حال، زمانی که ماتریس اصلی، مثلاً در ستون 4، دو صفر آماده داشته باشد، ممکن است خودداری از یک مبنای غیر نوع دشوار باشد.

توجه داشته باشید : اصطلاح «مبنا» معنای جبری و مفهومی دارد مبنای هندسیهیچ چیز در اینجا!

اگر یک جفت از وابسته به خطخطوط، سپس باید سعی کنید آن را به شکل معمولی برسانید با متغیرهای اساسی نمونه ای از چنین راه حلی در مثال شماره 7 مقاله در مورد سیستم های همگن معادلات خطی، و آنجا مبنای دیگری انتخاب شده است.

ما همچنان به بهبود مهارت های خود در مورد کار کاربردی زیر ادامه می دهیم:

چگونه با استفاده از روش گاوسی معکوس یک ماتریس را پیدا کنیم؟

معمولاً شرط به صورت اختصاری فرموله می شود، اما در اصل، الگوریتم گاوس-جردن نیز در اینجا کار می کند. یک راه ساده تر برای پیدا کردن ماتریس معکوسبرای یک ماتریس مربع، مدتها پیش در درس مربوطه در نظر گرفتیم و در اواخر پاییز سخت، دانش آموزان رنده شده به روش استادانه حل مسلط شدند.

خلاصهمراحل بعدی به شرح زیر است: ابتدا ماتریس مربع را پشت سر هم با ماتریس هویت بنویسید: . سپس با استفاده از تبدیل های ابتدایی، لازم است ماتریس هویت در سمت چپ به دست آید (بدون وارد شدن به جزئیات نظری)ماتریس معکوس در سمت راست ترسیم شده است. از نظر شماتیک، راه حل به صورت زیر است:

(مشخص است که ماتریس معکوس باید وجود داشته باشد)

نسخه ی نمایشی 4

بیایید ماتریس معکوس ماتریس را با استفاده از تبدیل های ابتدایی پیدا کنیم. برای انجام این کار، آن را در یک مهار با یک ماتریس هویت می نویسیم و "دو اسب" عجله کردند:

(1) ردیف اول به ردیف دوم اضافه شد و در -3 ضرب شد.

(2) خط دوم به خط اول اضافه شد.

(3) ردیف دوم بر 2- تقسیم شد.

پاسخ:

پاسخ مثال اول درس را بررسی کنید. چگونه ماتریس معکوس را پیدا کنیم؟

اما این یک مشکل فریبنده دیگر بود - در واقع، راه حل بسیار طولانی تر و پر زحمت تر است. به طور معمول، یک ماتریس سه در سه به شما ارائه می شود:

مثال 5

راه حل: ماتریس هویت را متصل می کنیم و با رعایت الگوریتم "عادی" شروع به انجام تبدیل می کنیم. روش گاوس:

(1) خط اول و سوم عوض شده است. در نگاه اول، جایگشت ردیف ها غیرقانونی به نظر می رسد، اما در واقع می توانید آنها را دوباره مرتب کنید - از این گذشته، با توجه به مجموع در سمت چپ، ما باید یک ماتریس هویت به دست آوریم، و در سمت راست، "به زور" دقیقاً به دست می آوریم. ماتریس (صرف نظر از اینکه خطوط را در حین حل مرتب کنیم یا نه). لطفاً توجه داشته باشید که در اینجا، به جای جایگشت، می توانید "شش ها" را در ستون 1 ترتیب دهید (کمترین مضرب مشترک (LCM) اعداد 3، 2 و 1). راه حل LCM مخصوصاً زمانی مناسب است که در ستون اول "واحد" وجود نداشته باشد.

(2) به خطوط 2 و 3، خط 1 اضافه شد، به ترتیب در -2 و -3 ضرب شد.

(3) به خط 3، خط دوم را در -1 ضرب می کنیم

بخش دوم راه حل طبق طرحی که قبلاً از پاراگراف قبل شناخته شده است انجام می شود: جایگشت های ردیف بی معنی می شوند و کمترین مضرب مشترک اعداد را در ستون سوم (1، -5، 4) می یابیم: 20. یک الگوریتم سختگیرانه برای یافتن LCM وجود دارد، اما انتخاب معمولاً در اینجا کافی است. اگر عدد بزرگتری را که هم بر 1 و هم بر 5- و هم بر 4 بخش پذیر باشد، برای مثال عدد 40 در نظر بگیرید، اشکالی ندارد. تفاوت در محاسبات دست و پاگیرتر خواهد بود.

صحبت از محاسبات شد. برای حل مشکل، اصلاً شرم آور نیست که خود را با یک ریزماشین حساب مسلح کنید - اعدادی که در اینجا ظاهر می شوند قابل توجه هستند و اشتباه محاسباتی بسیار ناامید کننده خواهد بود.

(4) خط سوم را در 5، خط دوم را در 4، خط اول را در "منهای بیست" ضرب می کنیم:

(5) خط سوم به خطوط 1 و 2 اضافه شد.

(6) ردیف اول و سوم بر 5 تقسیم شد، ردیف دوم در -1 ضرب شد.

(7) کمترین مضرب مشترک اعداد غیر صفر در ستون دوم (20- و 44) 220 است. سطر اول را در 11 و ردیف دوم را در 5 ضرب می کنیم.

(8) خط دوم به خط اول اضافه شد.

(9) ردیف اول در -1 ضرب شد، ردیف دوم "بازگشت" بر 5 تقسیم شد.

(10) اکنون در مورب اصلی ماتریس سمت چپ، به دست آوردن مصلحت است کمترین مضرب مشترک اعداد روی قطر (44، 44 و 4). کاملا مشخص است که این عدد 44 است، خط سوم را در 11 ضرب می کنیم.

(11) هر ردیف را بر 44 تقسیم کنید. این عمل آخرین بار انجام می شود!

بنابراین ماتریس معکوس به صورت زیر است:

معرفی و حذف th، در اصل، اقدامات غیر ضروری است، اما این توسط پروتکل ثبت وظایف الزامی است.

پاسخ:

تأیید مطابق طرح معمولی که در درس در مورد بحث شده است انجام می شود ماتریس معکوس.

افراد پیشرفته می توانند راه حل را تا حدودی کوتاه کنند، اما باید به شما هشدار دهم، عجله در اینجا مملو از خطر افزایش اشتباه است.

یک کار مشابه برای یک راه حل مستقل:

مثال 6

ماتریس معکوس را با روش گاوس-جردن پیدا کنید.

نمونه ای از یک کار در پایین صفحه. و برای اینکه "با آهنگ ها رد نشوید" ، من راه حل را به سبک ذکر شده قبلاً طراحی کردم - منحصراً از طریق LCM ستون ها بدون تغییر ردیف ها و دگرگونی های مصنوعی اضافی. به نظر من، این طرح، اگر نه بیشترین، یکی از قابل اعتمادترین است.

گاهی اوقات یک راه حل کوتاه تر "مدرنیستی" راحت است، که به شرح زیر است: در مرحله اول، همه چیز طبق معمول است: .

در مرحله دوم، با یک تکنیک خنثی شده (از طریق LCM اعداد ستون دوم)، دو صفر به طور همزمان در ستون دوم سازماندهی می شوند: . اگر اعداد همان مدول در ستون 2 ترسیم شوند، به عنوان مثال، همان "واحدهای" پیش پا افتاده، مقاومت در برابر این عمل به ویژه دشوار است.

و در نهایت در مرحله سوم صفرهای لازم را در ستون سوم به همین ترتیب بدست می آوریم: .

در مورد بعد، در بیشتر موارد لازم است که ماتریس "سه در سه" را حل کنیم. با این حال، هر از گاهی یک نسخه سبک از مشکل با یک ماتریس دو به دو و یک سخت ... - به ویژه برای همه خوانندگان سایت:

مثال 7

ماتریس معکوس را با استفاده از تبدیل های ابتدایی پیدا کنید

این یک تکلیف از تست جبر فیزماتوف خودم است، ... اوه، اولین دوره من کجاست =) پانزده سال پیش (برگ در کمال تعجب هنوز زرد نشده است)، من در 8 مرحله تمام کردم و اکنون - فقط 6! به هر حال، ماتریس بسیار خلاقانه است - در همان مرحله اول، چندین راه حل وسوسه انگیز قابل مشاهده است. آخرین نسخه من در پایین صفحه است.

و نکته پایانی - بعد از چنین مثال هایی، ژیمناستیک برای چشم و مقداری موسیقی خوب برای آرامش بسیار مفید است =)

برای شما آرزوی موفقیت می کنم!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 3: راه حل: ماتریس منبسط شده سیستم را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی جواب اصلی را بدست می آوریم:


(1) خط اول و دوم عوض شده است.
(2) ردیف اول در 2- ضرب به ردیف دوم اضافه شد. خط اول در 5 ضرب به خط سوم اضافه شد.
(3) ردیف سوم بر 3 تقسیم می شود.
(4) خط دوم ضرب در 2 به خط سوم اضافه شد.
(5) ردیف سوم بر 7 تقسیم شد.
(6) کمترین مضرب اعداد در ستون 3 (-3، 5، 1) 15 است. ردیف اول در 5 ضرب شد، ردیف دوم در -3 ضرب شد، ردیف سوم در 15 ضرب شد.
(7) خط 3 به خط اول اضافه شد. خط 3 به خط دوم اضافه شد.
(8) ردیف اول بر 5 تقسیم شد، ردیف دوم بر 3- تقسیم شد، ردیف سوم بر 15 تقسیم شد.
(9) حداقل مضرب اعداد غیر صفر ستون دوم (2-و 1) برابر است با: 2. ردیف دوم در 2 ضرب شد.
(10) خط دوم به سطر اول اضافه شد.
(11) ردیف دوم بر 2 تقسیم شد.
بیایید متغیرهای اساسی را بر حسب متغیرهای آزاد بیان کنیم:

پاسخ : تصمیم مشترک:

مثال 6: راه حل: ماتریس معکوس را با استفاده از تبدیل های ابتدایی پیدا می کنیم:


(1) ردیف اول در 15- ضرب شد، ردیف دوم در 3 ضرب شد، ردیف سوم در 5 ضرب شد.
(2) خط اول به خطوط 2 و 3 اضافه شد.
(3) ردیف اول بر 15-، ردیف دوم بر 3-، ردیف سوم بر 5- تقسیم شد.
(4) ردیف دوم در 7 ضرب شد، ردیف سوم در -9 ضرب شد.
(5) خط دوم به خط سوم اضافه شد.


(6) ردیف دوم بر 7 تقسیم شد.
(7) ردیف اول در 27 ضرب شد، ردیف دوم در 6 ضرب شد، ردیف سوم در -4 ضرب شد.
(8) خط سوم به سطر اول و دوم اضافه شد.
(9) خط سوم بر 4- تقسیم شد. خط دوم به خط اول اضافه شد، ضرب در -1.
(10) ردیف دوم بر 2 تقسیم شد.
(11) هر خط بر 27 تقسیم شد.
در نتیجه:
پاسخ :

مثال 7: راه حل: ماتریس معکوس را با استفاده از روش گاوس-جردن پیدا کنید:
(1) خط 3 به خطوط 1 و 4 اضافه شد.
(2) خط اول و چهارم عوض شده است.
(3) خط 1 به خط 2 اضافه شد. به خط 3، خط 1 را در 2 ضرب می کنیم:


(4) خط 2 به خط 3 اضافه شد، ضرب در 2-. خط 2 به خط 4 اضافه شد.
(5) خط 4 ضرب در -1 به خطوط 1 و 3 اضافه شد.
(6) ردیف دوم در -1 ضرب شد، ردیف سوم بر -2 تقسیم شد.
پاسخ :

به طور معمول، عملیات معکوس برای ساده کردن عبارات جبری پیچیده استفاده می شود. به عنوان مثال، اگر مسئله شامل عملیات تقسیم بر کسری باشد، می توانید آن را با عمل ضرب در یک متقابل جایگزین کنید که عمل معکوس است. علاوه بر این، ماتریس ها قابل تقسیم نیستند، بنابراین باید در ماتریس معکوس ضرب کنید. محاسبه معکوس یک ماتریس 3x3 بسیار خسته کننده است، اما باید بتوانید آن را به صورت دستی انجام دهید. شما همچنین می توانید متقابل را با یک ماشین حساب نموداری خوب پیدا کنید.

مراحل

با استفاده از ماتریس پیوست شده

ماتریس اصلی را جابجا کنید.جابجایی جایگزینی ردیف ها با ستون ها نسبت به قطر اصلی ماتریس است، یعنی باید عناصر (i، j) و (j، i) را تعویض کنید. در این حالت، عناصر مورب اصلی (از گوشه سمت چپ بالا شروع می شود و در گوشه سمت راست پایین به پایان می رسد) تغییر نمی کند.

• برای تعویض سطرها با ستون ها، عناصر سطر اول را در ستون اول، عناصر سطر دوم را در ستون دوم و عناصر سطر سوم را در ستون سوم بنویسید. ترتیب تغییر موقعیت عناصر در شکل نشان داده شده است که در آن عناصر مربوطه با دایره های رنگی دایره شده اند.

تعریف هر ماتریس 2x2 را پیدا کنید.هر عنصر از هر ماتریس، از جمله عنصر انتقال یافته، با یک ماتریس 2x2 مربوطه مرتبط است. برای پیدا کردن یک ماتریس 2x2 که مربوط به یک عنصر خاص است، ردیف و ستونی را که این عنصر در آن قرار دارد خط بکشید، یعنی باید پنج عنصر از ماتریس 3x3 اصلی را خط بزنید. چهار عنصر که عناصر ماتریس 2x2 متناظر هستند بدون خط باقی می مانند.

• به عنوان مثال، برای پیدا کردن ماتریس 2x2 برای عنصری که در تقاطع ردیف دوم و ستون اول قرار دارد، پنج عنصر را که در ردیف دوم و ستون اول قرار دارند خط بکشید. چهار عنصر باقیمانده عناصری از ماتریس 2x2 مربوطه هستند.
• تعیین کننده هر ماتریس 2x2 را پیدا کنید. برای انجام این کار، حاصل ضرب عناصر قطر ثانویه را از حاصل ضرب عناصر قطر اصلی کم کنید (شکل را ببینید).
• اطلاعات دقیق در مورد ماتریس های 2x2 مربوط به عناصر خاصی از یک ماتریس 3x3 را می توان در اینترنت یافت.

یک ماتریس از کوفاکتورها ایجاد کنید.نتایج بدست آمده را در قالب یک ماتریس جدید از کوفاکتورها ثبت کنید. برای این کار، تعیین کننده یافت شده هر ماتریس 2x2 را در جایی که عنصر مربوط به ماتریس 3x3 قرار داشت بنویسید. به عنوان مثال، اگر یک ماتریس 2x2 برای عنصر (1،1) در نظر گرفته شود، تعیین کننده آن را در موقعیت (1،1) بنویسید. سپس علائم عناصر مربوطه را با توجه به الگوی خاصی که در شکل نشان داده شده است تغییر دهید.

• طرح تغییر علامت: علامت اولین عنصر خط اول تغییر نمی کند. علامت عنصر دوم خط اول معکوس است. علامت سومین عنصر خط اول تغییر نمی کند و به همین ترتیب خط به خط. لطفاً توجه داشته باشید که علائم "+" و "-" که در نمودار نشان داده شده است (شکل را ببینید) نشان دهنده مثبت یا منفی بودن عنصر مربوطه نیست. در این حالت علامت «+» نشان دهنده تغییر نکردن علامت عنصر و علامت «-» نشان دهنده تغییر علامت عنصر است.
• اطلاعات دقیق در مورد ماتریس های کوفاکتور را می توان در اینترنت یافت.
• به این ترتیب ماتریس مرتبط با ماتریس اصلی را پیدا می کنید. گاهی اوقات به آن ماتریس مزدوج پیچیده نیز می گویند. چنین ماتریسی به عنوان adj (M) نشان داده می شود.

هر عنصر ماتریس الحاقی را بر تعیین کننده تقسیم کنید.تعیین کننده ماتریس M در همان ابتدا محاسبه شد تا بررسی شود که ماتریس معکوس وجود دارد. اکنون هر عنصر ماتریس الحاقی را بر این تعیین کننده تقسیم کنید. نتیجه هر عملیات تقسیم را در جایی که عنصر مربوطه قرار دارد ثبت کنید. بنابراین ماتریس، معکوس اصلی را خواهید یافت.

• تعیین کننده ماتریس نشان داده شده در شکل 1 است. بنابراین، در اینجا ماتریس مرتبط ماتریس معکوس است (زیرا تقسیم هر عددی بر 1 آن را تغییر نمی دهد).
• در برخی منابع، عملیات تقسیم با عملیات ضرب در 1/det(M) جایگزین می شود. در این صورت نتیجه نهایی تغییر نمی کند.

ماتریس معکوس را بنویسید.عناصر واقع در نیمه سمت راست ماتریس بزرگ را به عنوان یک ماتریس جداگانه بنویسید که یک ماتریس معکوس است.

با استفاده از ماشین حساب

ماشین حسابی را انتخاب کنید که با ماتریس کار کند.ماشین‌حساب‌های ساده نمی‌توانند ماتریس معکوس را پیدا کنند، اما می‌توان آن را با یک ماشین‌حساب نموداری خوب مانند Texas Instruments TI-83 یا TI-86 انجام داد.

ماتریس اصلی را در حافظه ماشین حساب وارد کنید.برای انجام این کار، در صورت وجود روی دکمه Matrix کلیک کنید. برای ماشین حساب تگزاس اینسترومنتز، ممکن است لازم باشد دکمه های 2 و Matrix را فشار دهید.

منوی Edit را انتخاب کنید.این کار را با استفاده از دکمه های جهت دار یا دکمه عملکرد مربوطه که در بالای صفحه کلید ماشین حساب قرار دارد انجام دهید (محل قرارگیری دکمه به مدل ماشین حساب بستگی دارد).

نام ماتریس را وارد کنید.بیشتر ماشین‌حساب‌های نموداری می‌توانند با 3-10 ماتریس کار کنند که می‌توان آن‌ها را نشان داد حروف A-J. به عنوان یک قانون کلی، فقط [A] را برای نشان دادن ماتریس اصلی انتخاب کنید. سپس دکمه Enter را فشار دهید.

اندازه ماتریس را وارد کنید.این مقاله در مورد ماتریس های 3x3 صحبت می کند. اما ماشین حساب های گرافیکی می توانند با ماتریس های بزرگ کار کنند. تعداد ردیف ها را وارد کنید، دکمه Enter را فشار دهید، سپس تعداد ستون ها را وارد کنید و دوباره دکمه Enter را فشار دهید.

هر عنصر ماتریس را وارد کنید.یک ماتریس روی صفحه ماشین حساب نمایش داده می شود. اگر یک ماتریس قبلاً وارد ماشین حساب شده باشد، روی صفحه ظاهر می شود. مکان نما اولین عنصر ماتریس را برجسته می کند. مقدار عنصر اول را وارد کرده و Enter را فشار دهید. مکان نما به طور خودکار به عنصر بعدی ماتریس منتقل می شود.

ماتریس $A^(-1)$ معکوس ماتریس مربع $A$ نامیده می شود اگر $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$، جایی که $E $ ماتریس هویت است که ترتیب آن برابر با ترتیب ماتریس $A$ است.

ماتریس غیر مفرد ماتریسی است که دترمینان آن برابر با صفر نباشد. بر این اساس، ماتریس منحط، ماتریسی است که دترمینانت آن برابر با صفر باشد.

ماتریس معکوس $A^(-1)$ وجود دارد اگر و فقط اگر ماتریس $A$ غیر مفرد باشد. اگر ماتریس معکوس $A^(-1)$ وجود داشته باشد، یکتا است.

راه های مختلفی برای یافتن معکوس یک ماتریس وجود دارد که ما به دو مورد از آنها می پردازیم. در این صفحه روش ماتریس الحاقی که در اکثر دروس ریاضیات عالی استاندارد در نظر گرفته می شود، بحث خواهد شد. راه دوم برای یافتن ماتریس معکوس (روش تبدیل های ابتدایی) که شامل استفاده از روش گاوس یا روش گاوس-جردن است، در قسمت دوم بررسی می شود.

روش ماتریس الحاقی (اتحادیه).

اجازه دهید ماتریس $A_(n\times n)$ داده شود. برای یافتن ماتریس معکوس $A^(-1)$، سه مرحله مورد نیاز است:

1. تعیین کننده ماتریس $A$ را پیدا کنید و مطمئن شوید که $\Delta A\neq 0$، یعنی. که ماتریس A غیر دژنره است.
2. مکمل های جبری $A_(ij)$ از هر عنصر ماتریس $A$ را بنویسید و ماتریس $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \راست)$ را از قسمت پیدا شده یادداشت کنید. مکمل های جبری
3. ماتریس معکوس را با در نظر گرفتن فرمول $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ بنویسید.

ماتریس $(A^(*))^T$ اغلب به عنوان ماتریس الحاقی (متقابل، متحد) $A$ نامیده می شود.

اگر تصمیم به صورت دستی گرفته شود، روش اول فقط برای ماتریس های سفارشات نسبتا کوچک مناسب است: دوم ()، سوم ()، چهارم (). برای یافتن ماتریس معکوس برای یک ماتریس مرتبه بالاتر، از روش های دیگری استفاده می شود. برای مثال روش گاوس که در قسمت دوم به آن پرداخته شده است.

مثال شماره 1

ماتریس معکوس به ماتریس $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 پیدا کنید & -9 & 0 \end(آرایه) \راست)$.

از آنجایی که تمام عناصر ستون چهارم برابر با صفر هستند، پس $\Delta A=0$ (یعنی ماتریس $A$ منحط است). از آنجایی که $\Delta A=0$، هیچ ماتریسی معکوس به $A$ وجود ندارد.

پاسخ: ماتریس $A^(-1)$ وجود ندارد.

مثال شماره 2

ماتریس معکوس ماتریس $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ را پیدا کنید. یک چک اجرا کنید.

ما از روش ماتریس الحاقی استفاده می کنیم. ابتدا، بیایید تعیین کننده ماتریس داده شده $A$ را پیدا کنیم:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

از آنجایی که $\Delta A \neq 0$ است، پس ماتریس معکوس وجود دارد، بنابراین راه حل را ادامه می دهیم. یافتن مکمل های جبری

\begin(تراز شده) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(تراز شده)

ماتریسی از مکمل های جبری بسازید: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

ماتریس حاصل را جابجا کنید: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (نتیجه ماتریس اغلب ماتریس الحاقی یا اتحادی به ماتریس $A$ نامیده می شود. با استفاده از فرمول $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$، داریم:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

بنابراین ماتریس معکوس پیدا می شود: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \ راست) $. برای بررسی صحت نتیجه کافی است صحت یکی از برابری ها را بررسی کنید: $A^(-1)\cdot A=E$ یا $A\cdot A^(-1)=E$. بیایید برابری $A^(-1)\cdot A=E$ را بررسی کنیم. برای اینکه کمتر با کسرها کار کنیم، ماتریس $A^(-1)$ را جایگزین می کنیم نه به شکل $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ اما بصورت $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ پایان(آرایه)\راست)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( آرایه)\راست)\cdot\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(array) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array )\راست) =E $$

پاسخ: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

مثال شماره 3

معکوس ماتریس $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ را پیدا کنید. یک چک اجرا کنید.

بیایید با محاسبه تعیین کننده ماتریس $A$ شروع کنیم. بنابراین، تعیین کننده ماتریس $A$ است:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\ end(array) \ right| = 18-36+56-12=26. $$

از آنجایی که $\Delta A\neq 0$ است، پس ماتریس معکوس وجود دارد، بنابراین راه حل را ادامه می دهیم. ما مکمل های جبری هر عنصر از ماتریس داده شده را پیدا می کنیم:

$$ \begin(تراز شده) & A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(array)(cc) 9 & 4\\ 3 & 2\end(array)\right| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 &4 \\ 0 & 2\end(array)\right|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 & 9\\ 0 & 3\end(array)\right|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 3 & 2\end(array)\right|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ 0 & 2\end(array)\right|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ 0 & 3\end(array)\right|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 9 & 4\end(array)\right|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ -4 & 4\end(array)\right|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ -4 & 9\end(array)\right|=37. \end (تراز شده) $$

ماتریسی از اضافات جبری می سازیم و آن را جابجا می کنیم:

$$ A^*=\left(\begin(array) (cccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \راست) . $$

با استفاده از فرمول $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$، دریافت می کنیم:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(آرایه) \راست) $$

بنابراین $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. برای بررسی صحت نتیجه کافی است صحت یکی از برابری ها را بررسی کنید: $A^(-1)\cdot A=E$ یا $A\cdot A^(-1)=E$. بیایید برابری $A\cdot A^(-1)=E$ را بررسی کنیم. برای اینکه کمتر با کسرها کار کنیم، ماتریس $A^(-1)$ را جایگزین می کنیم نه به شکل $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$، اما به صورت $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(array)(cccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end (array) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(array) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(array) (cccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\ end (آرایه) \راست) =\ چپ (\شروع (آرایه) (cccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(آرایه) \راست) =E $$

چک با موفقیت پاس شد، ماتریس معکوس $A^(-1)$ به درستی پیدا شد.

پاسخ: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

مثال شماره 4

ماتریس معکوس $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 را پیدا کنید & -8 & -3 \end(آرایه) \راست)$.

برای یک ماتریس مرتبه چهارم، یافتن ماتریس معکوس با استفاده از اضافات جبری تا حدودی دشوار است. با این حال، چنین نمونه هایی کنترل کارملاقات.

برای پیدا کردن ماتریس معکوس، ابتدا باید تعیین کننده ماتریس $A$ را محاسبه کنید. بهترین راه برای انجام این کار در این شرایط، گسترش دترمینان در یک ردیف (ستون) است. هر سطر یا ستونی را انتخاب می کنیم و مکمل جبری هر عنصر سطر یا ستون انتخاب شده را پیدا می کنیم.

به عنوان مثال، برای ردیف اول دریافت می کنیم:

$$ A_(11)=\چپ|\begin(array)(cccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(array)\right|=556; \; A_(12)=-\چپ|\begin(آرایه)(cccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(array)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\چپ|\begin(array)(cccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(array)\right|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(array)(cccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(array)\right|=-112. $$

تعیین کننده ماتریس $A$ با فرمول زیر محاسبه می شود:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14 )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(تراز شده) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end (تراز شده) $$

ماتریس متمم جبری: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 & -250 & -463 & -96\end(آرایه)\راست)$.

ماتریس پیوست شده: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(آرایه)\راست)$.

ماتریس معکوس:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 و 1/25 و 9/25 و -24/25 \end (آرایه) \راست) $$

بررسی در صورت تمایل می تواند مانند نمونه های قبلی انجام شود.

پاسخ: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(آرایه) \راست) $.

در بخش دوم راه دیگری برای یافتن ماتریس معکوس در نظر گرفته می شود که شامل استفاده از تبدیل های روش گاوس یا روش گاوس-جردن است.