معادله کلی خط مستقیم و انواع آن. معادله کلی منحنی های مرتبه دوم. انتقال از معادله کلی یک خط مستقیم به انواع دیگر معادلات یک خط مستقیم و بالعکس

معادله کلی منحنی مرتبه دوم در یک صفحه به صورت زیر است:

تبر 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2ای + اف = 0, (39)

جایی که آ 2 + ب 2 + سی 2 0, (آ, ب, سی, D, E, اف) آر. تمام مقاطع مخروطی ممکن را که به طور دلخواه در صفحه قرار گرفته اند تعریف می کند.

از ضرایب معادله (39) دو عامل تعیین می کنیم:

تماس گرفت ممیز معادله(39) و - تمایز عبارت های اصلی معادله.در 0، معادله (39) تعیین می کند: > 0 - بیضی.< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

از معادله کلی (39) می توان در صورتی که ترم های خطی و متقاطع با عبور به یک سیستم مختصات جدید منطبق با محورهای تقارن شکل حذف شوند، به معادله متعارف منتقل شد. اجازه دهید در (39) جایگزین کنیم ایکسبر روی ایکس + آو yبر روی y + ب، جایی که آ, ببرخی از ثابت ها اجازه دهید ضرایب به دست آمده را بنویسیم ایکسو yو آنها را با 0 برابر کنید

(aa + bb + D)ایکس = 0, (Cb + با + E)y = 0. (41)

در نتیجه، معادله (39) به شکل زیر خواهد بود:

آ(ایکس) 2 + 2ب(ایکس)(y) + سی(y) 2 + اف = 0, (42)

که در آن ضرایب ولی, ب, سیتغییر نکرده اند، اما اف= / حل سیستم معادلات (41) مختصات مرکز تقارن شکل را مشخص می کند:

اگر یک ب= 0، سپس آ = -D/آ, ب = -E/سیو حذف عبارت های خطی در (39) با روش کاهش به مربع کامل راحت است:

تبر 2 + 2Dx = آ(ایکس 2 + 2xD/آ + (D/آ) 2 - (D/آ) 2) = آ(ایکس + D/آ) 2 - D 2 /آ.

در رابطه (42) مختصات را در زاویه a (38) بچرخانیم. ضریب حاصل را در نقطه ضربدری می نویسیم ایکسyو آن را با 0 برابر کنید

xy = 0. (44)

شرط (44) زاویه چرخش مورد نیاز محورهای مختصات را تا زمانی که با محورهای تقارن شکل منطبق شوند تعیین می کند و شکل زیر را به خود می گیرد:

معادله (42) به شکل زیر است:

آ+X2+ سی + Y 2 + اف = 0 (46)

که از آن به راحتی می توان به معادله متعارف منحنی عبور کرد:

شانس آ + , سی+، تحت شرط (45)، می تواند به عنوان ریشه های یک معادله درجه دوم کمکی نشان داده شود:

تی 2 - (آ + سی)تی + = 0. (48)

در نتیجه، موقعیت و جهت محورهای تقارن شکل، نیم محورهای آن مشخص می شود:

و می توان آن را به صورت هندسی ساخت.

در حالت = 0 سهمی داریم. اگر محور تقارن آن با محور موازی باشد اوه، سپس معادله تبدیل می شود:

اگر نه، پس به فرم:

که در آن عبارات داخل پرانتز، معادل 0، خطوط محورهای مختصات جدید را تعریف می کنند: , .

حل مسائل معمولی

مثال 15معادله 2 را بیاورید ایکس 2 + 3y 2 - 4ایکس + 6y- 7 = 0 به شکل متعارف و ایجاد یک منحنی.

راه حل. ب= 0، = -72 0، = 6 > 0 بیضی.

بیایید کاهش را به مربع کامل انجام دهیم:

2(ایکس - 1) 2 + 3(y + 1) 2 - 12 = 0.

مختصات مرکز تقارن (1؛ -1)، تبدیل خطی ایکس = ایکس - 1, Y = y+ 1 معادله را به شکل متعارف می آورد.

مثال 16معادله 2 را بیاورید xy = آ 2 به شکل متعارف و ایجاد یک منحنی.

راه حل. ب = 1, = آ 2 0, = -1 < 0 гипербола .

مرکز سیستم مختصات در مرکز تقارن منحنی قرار دارد، زیرا هیچ عبارت خطی در معادله وجود ندارد. بیایید محورها را از طریق زاویه a بچرخانیم. با فرمول (45) tg2a = داریم ب/(آ - سی) =، یعنی a = 45 درجه شانس معادله متعارف (46) آ + , سی+ با معادله (48) تعیین می شوند: تی 2 = 1 یا تی 1,2 = 1 آ + = 1, سی+ = -1، یعنی
ایکس 2 - Y 2 = آ 2 یا . بنابراین معادله 2 هو = آ 2 هذلولی را با مرکز تقارن (0؛ 0) توصیف می کند. محورهای تقارن در امتداد نیمسازهای زوایای مختصات قرار دارند، مجانب محورهای مختصات هستند، نیم محورهای هذلولی برابر است با آ.y - 9 = 0;

9ایکس 2 + y 2 - 18ایکس + 2y + 1 = 0;

2ایکس 2 + 4ایکس + y - 2 = 0;

3ایکس 2 - 6ایکس - y + 2 = 0;

-ایکس 2 + 4y 2 - 8ایکس - 9y + 16 = 0;

4ایکس 2 + 8ایکس - y - 5 = 0;

9ایکس 2 - y 2 + 18ایکس + 2y - 1 = 0;

9ایکس 2 - 4y 2 + 36ایکس + 16y - 16 = 0.

در این مقاله معادله کلی خط مستقیم در یک صفحه را بررسی می کنیم. اگر دو نقطه از این خط مستقیم مشخص باشد یا اگر یک نقطه و بردار عادی این خط مستقیم مشخص باشد، مثال هایی از ساخت معادله کلی خط مستقیم می زنیم. اجازه دهید روش هایی برای تبدیل یک معادله به ارائه کنیم نمای کلیبه اشکال متعارف و پارامتریک.

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی دلخواه داده شود اکسی. یک معادله درجه یک یا یک معادله خطی را در نظر بگیرید:

تبر + با + سی=0,

(1)

جایی که الف، ب، جبرخی از ثابت ها و حداقل یکی از عناصر هستند آو بمتفاوت از صفر

نشان خواهیم داد که یک معادله خطی در صفحه یک خط مستقیم را تعریف می کند. اجازه دهید قضیه زیر را اثبات کنیم.

قضیه 1. در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی دلخواه روی یک صفحه، هر خط مستقیم را می توان با یک معادله خطی به دست آورد. برعکس، هر معادله خطی (1) در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی دلخواه در صفحه یک خط مستقیم را تعریف می کند.

اثبات برای اثبات این خط کافی است Lبا یک معادله خطی برای هر یک از سیستم مختصات مستطیلی دکارتی تعیین می شود، از آن زمان با یک معادله خطی و برای هر انتخابی از سیستم مختصات مستطیلی دکارتی تعیین می شود.

بگذارید یک خط مستقیم روی هواپیما داده شود L. ما یک سیستم مختصات را انتخاب می کنیم تا محور گاو نربا خط هماهنگ شده است L، و محور اوهعمود بر آن بود. سپس معادله خط Lبه شکل زیر خواهد بود:

y=0.

(2)

همه نقاط روی یک خط Lمعادله خطی (2) را برآورده می کند و تمام نقاط خارج از این خط مستقیم معادله (2) را برآورده نمی کند. قسمت اول قضیه ثابت می شود.

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی داده شود و معادله خطی (1) داده شود، که در آن حداقل یکی از عناصر آو بمتفاوت از صفر مکان نقاطی را که مختصات آنها معادله (1) را برآورده می کند، بیابید. از آنجایی که حداقل یکی از ضرایب آو ببا صفر متفاوت است، پس معادله (1) حداقل یک جواب دارد م(ایکس 0 ,y 0). (مثلاً وقتی آ≠0، نقطه م 0 (−C/A, 0) متعلق به مکان داده شده از نقاط است). با جایگزینی این مختصات به (1) هویت را بدست می آوریم

تبر 0 +توسط 0 +سی=0.

(3)

بیایید هویت (3) را از (1) کم کنیم:

آ(ایکس−ایکس 0)+ب(y−y 0)=0.

(4)

بدیهی است که معادله (4) معادل معادله (1) است. بنابراین، برای اثبات اینکه (4) برخی از خطوط را تعریف می کند، کافی است.

از آنجایی که ما یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی را در نظر می گیریم، از برابری (4) نتیجه می شود که بردار با مولفه های ( x-x 0 , y-y 0 ) متعامد بردار است nبا مختصات ( الف، ب}.

خطی را در نظر بگیرید Lعبور از نقطه م 0 (ایکس 0 , y 0) و عمود بر بردار n(عکس. 1). بگذارید نکته م(ایکس,y) متعلق به خط است L. سپس بردار با مختصات x-x 0 , y-y 0 عمود بر nو معادله (4) برآورده می شود (ضرب اسکالر بردارها). nو برابر با صفر است). برعکس، اگر نقطه م(ایکس,y) روی یک خط قرار نمی گیرد L، سپس بردار با مختصات x-x 0 , y-y 0 متعامد بردار نیست nو معادله (4) ارضا نمی شود. قضیه ثابت شده است.

اثبات از آنجایی که خطوط (5) و (6) یک خط را تعریف می کنند، بردارهای عادی n 1 ={آ 1 ,ب 1) و n 2 ={آ 2 ,ب 2) خطی هستند. از آنجایی که بردارها n 1 ≠0, n 2 ≠ 0، سپس یک عدد وجود دارد λ ، چی n 2 =n 1 λ . از این رو داریم: آ 2 =آ 1 λ , ب 2 =ب 1 λ . این را ثابت کنیم سی 2 =سی 1 λ . واضح است که خطوط منطبق یک نقطه مشترک دارند م 0 (ایکس 0 , y 0). ضرب معادله (5) در λ و با کم کردن معادله (6) از آن به دست می آوریم:

از آنجایی که دو برابری اول از عبارت (7) برآورده می شود، پس سی 1 λ −سی 2=0. آن ها سی 2 =سی 1 λ . تذکر ثابت شده است.

توجه داشته باشید که معادله (4) معادله یک خط مستقیم را که از نقطه عبور می کند تعریف می کند م 0 (ایکس 0 , y 0) و داشتن بردار معمولی n={الف، ب). بنابراین اگر بردار معمولی خط و نقطه متعلق به این خط مشخص باشد، می توان با استفاده از رابطه (4) معادله کلی خط را ساخت.

مثال 1. یک خط از یک نقطه عبور می کند م=(4,-1) و دارای بردار نرمال است n= (3، 5). معادله کلی یک خط مستقیم را بسازید.

راه حل. ما داریم: ایکس 0 =4, y 0 =−1, آ=3, ب=5. برای ساخت معادله کلی یک خط مستقیم، این مقادیر را با معادله (4) جایگزین می کنیم:

پاسخ:

بردار موازی با خط Lو از این رو بر بردار معمولی خط عمود است L. بیایید یک بردار خط معمولی بسازیم Lبا توجه به اینکه حاصل ضرب اسکالر بردارها nو برابر با صفر است. می توانیم مثلا بنویسیم n={1,−3}.

برای ساخت معادله کلی خط مستقیم از فرمول (4) استفاده می کنیم. اجازه دهید مختصات نقطه را با (4) جایگزین کنیم م 1 (می توانیم مختصات نقطه را نیز بگیریم م 2) و بردار نرمال n:

جایگزینی مختصات نقطه م 1 و م 2 در (9) می توانیم مطمئن شویم که خط مستقیمی که در رابطه (9) به دست می آید از این نقاط عبور می کند.

پاسخ:

تفریق (10) از (1):

معادله متعارف یک خط مستقیم را به دست آورده ایم. بردار q={−ب, آ) بردار جهت خط مستقیم (12) است.

تبدیل معکوس را ببینید.

مثال 3. یک خط مستقیم در یک صفحه با معادله کلی زیر نشان داده می شود:

جمله دوم را به سمت راست ببرید و دو طرف معادله را بر 2 5 تقسیم کنید.

این مقاله در ادامه مبحث معادله خط مستقیم در یک صفحه است: چنین معادله ای را معادله کلی خط مستقیم در نظر بگیرید. بیایید یک قضیه را تعریف کنیم و آن را اثبات کنیم. بیایید بفهمیم که یک معادله کلی ناقص یک خط مستقیم چیست و چگونه می توان از یک معادله کلی به انواع دیگر معادلات یک خط مستقیم انتقال داد. ما کل نظریه را با تصاویر و حل مسائل عملی تجمیع خواهیم کرد.

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی O x y در صفحه داده شود.

قضیه 1

هر معادله درجه اول با شکل A x + B y + C \u003d 0، که در آن A، B، C برخی از اعداد واقعی هستند (A و B همزمان با صفر نیستند) یک خط مستقیم را در یک سیستم مختصات مستطیلی در هواپیما. به نوبه خود، هر خط در یک سیستم مختصات مستطیلی روی هواپیما با معادله ای تعیین می شود که به شکل A x + B y + C = 0 برای مجموعه خاصی از مقادیر A، B، C است.

اثبات

این قضیه از دو نکته تشکیل شده است که هر کدام را ثابت می کنیم.

اجازه دهید ثابت کنیم که معادله A x + B y + C = 0 یک خط را در صفحه تعریف می کند.

بگذارید نقطه ای M 0 (x 0 , y 0) وجود داشته باشد که مختصات آن با معادله A x + B y + C = 0 مطابقت دارد. بنابراین: A x 0 + B y 0 + C = 0 . از سمت چپ و راست معادلات A x + B y + C \u003d 0 سمت چپ و راست معادله A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 کم کنید، معادله جدیدی به نظر می رسد که شبیه A است. (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . معادل A x + B y + C = 0 است.

معادله A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 شرط لازم و کافی برای عمود بردارهای n → = (A, B) و M 0 M → = (x - x است. 0، y - y 0 ) . بنابراین، مجموعه نقاط M (x, y) در یک سیستم مختصات مستطیلی یک خط مستقیم عمود بر جهت بردار n → = (A, B) را تعریف می کند. می توانیم فرض کنیم که اینطور نیست، اما پس از آن بردارهای n → = (A, B) و M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) عمود نخواهند بود و برابری A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 درست نیست.

بنابراین، معادله A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 یک خط مشخص را در یک سیستم مختصات مستطیلی در هواپیما تعریف می کند و بنابراین معادله معادل A x + B y + C \u003d 0 است. همان خط را تعریف می کند. بنابراین قسمت اول قضیه را ثابت کردیم.

اجازه دهید ثابت کنیم که هر خط مستقیم در یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه را می توان با معادله درجه اول Ax + B y + C = 0 به دست آورد.

بیایید یک خط مستقیم a را در یک سیستم مختصات مستطیلی روی صفحه قرار دهیم. نقطه M 0 (x 0 , y 0) که این خط از آن عبور می کند و همچنین بردار عادی این خط n → = (A , B) .

اجازه دهید نقطه ای M (x، y) نیز وجود داشته باشد - یک نقطه شناور از خط. در این حالت بردارهای n → = (A , B) و M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) بر یکدیگر عمود هستند و حاصل ضرب اسکالر آنها صفر است:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

بیایید معادله A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 را بازنویسی کنیم، C = - A x 0 - B y 0 را تعریف کنیم و در نهایت معادله A x + B y + C = 0 را بدست آوریم.

بنابراین، ما قسمت دوم قضیه را ثابت کرده ایم و کل قضیه را به عنوان یک کل ثابت کرده ایم.

تعریف 1

معادله ای که به نظر می رسد A x + B y + C = 0 - این هست معادله کلی یک خط مستقیمدر یک صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی شکلO x y .

بر اساس قضیه اثبات شده، می‌توان نتیجه گرفت که یک خط مستقیم داده‌شده روی صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی ثابت و معادله کلی آن به‌طور جدایی ناپذیری به هم مرتبط هستند. به عبارت دیگر، خط اصلی با معادله کلی آن مطابقت دارد. معادله کلی یک خط مستقیم با یک خط مستقیم مشخص مطابقت دارد.

همچنین از اثبات قضیه برمی‌آید که ضرایب A و B برای متغیرهای x و y مختصات بردار معمولی خط مستقیم هستند که با معادله کلی خط مستقیم Ax + B y + به دست می‌آید. C = 0.

در نظر گرفتن مثال خاصمعادله کلی یک خط مستقیم

اجازه دهید معادله 2 x + 3 y - 2 = 0 داده شود، که مربوط به یک خط مستقیم در یک سیستم مختصات مستطیلی است. بردار معمولی این خط بردار است n → = (2، 3). یک خط مستقیم داده شده را در نقاشی بکشید.

موارد زیر را نیز می توان استدلال کرد: خط مستقیمی که در نقاشی می بینیم با معادله کلی 2 x + 3 y - 2 = 0 تعیین می شود، زیرا مختصات تمام نقاط یک خط مستقیم داده شده با این معادله مطابقت دارد.

می‌توانیم معادله λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 را با ضرب هر دو طرف معادله خط مستقیم عمومی در یک عدد غیر صفر λ بدست آوریم. معادله به دست آمده معادل معادله کلی اصلی است، بنابراین، همان خط را در صفحه توصیف می کند.

تعریف 2

معادله کلی یک خط مستقیم را کامل کنید- چنین معادله کلی از خط A x + B y + C \u003d 0، که در آن اعداد A، B، C غیر صفر هستند. در غیر این صورت، معادله است ناقص.

اجازه دهید همه تغییرات معادله کلی ناقص خط مستقیم را تحلیل کنیم.

وقتی A \u003d 0، B ≠ 0، C ≠ 0، معادله کلی B y + C \u003d 0 می شود. چنین معادله کلی ناقص، خط مستقیمی را در یک سیستم مختصات مستطیلی O x y تعریف می کند که موازی با محور Ox است، زیرا برای هر مقدار واقعی x، متغیر y مقدار را به خود می گیرد. - C B. به عبارت دیگر، معادله کلی خط A x + B y + C \u003d 0، زمانی که A \u003d 0، B ≠ 0، مکان نقاط (x، y) را مشخص می کند که مختصات آنها با همان عدد برابر است. - C B.
اگر A \u003d 0، B ≠ 0، C \u003d 0، معادله کلی تبدیل به y \u003d 0 می شود. چنین معادله ناقصی محور x Ox را تعریف می کند.
وقتی A ≠ 0، B \u003d 0، C ≠ 0، یک معادله کلی ناقص A x + C \u003d 0 دریافت می کنیم که یک خط مستقیم موازی با محور y تعریف می کند.
اجازه دهید A ≠ 0، B \u003d 0، C \u003d 0، سپس معادله کلی ناقص به شکل x \u003d 0 خواهد بود و این معادله خط مختصات O y است.
در نهایت، وقتی A ≠ 0، B ≠ 0، C \u003d 0، معادله کلی ناقص شکل A x + B y \u003d 0 را به خود می گیرد. و این معادله یک خط مستقیم را توصیف می کند که از مبدا می گذرد. در واقع، جفت اعداد (0، 0) با برابری A x + B y = 0 مطابقت دارد، زیرا A · 0 + B · 0 = 0.

اجازه دهید تمام انواع بالا از معادله کلی ناقص یک خط مستقیم را به صورت گرافیکی نشان دهیم.

مثال 1

مشخص است که خط مستقیم داده شده موازی با محور y است و از نقطه 2 7 , - 11 می گذرد. نوشتن معادله کلی یک خط مستقیم ضروری است.

راه حل

یک خط مستقیم موازی با محور y با معادله ای به شکل A x + C \u003d 0 داده می شود که در آن A ≠ 0 است. شرط همچنین مختصات نقطه ای را که خط از آن می گذرد مشخص می کند و مختصات این نقطه با شرایط معادله کلی ناقص A x + C = 0 مطابقت دارد، یعنی. برابری صحیح است:

A 2 7 + C = 0

می توان C را با دادن مقداری غیر صفر به A، به عنوان مثال، A = 7 از آن تعیین کرد. در این مورد، ما دریافت می کنیم: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. ما هر دو ضریب A و C را می دانیم، آنها را در معادله A x + C = 0 جایگزین می کنیم و معادله مورد نیاز خط را بدست می آوریم: 7 x - 2 = 0

پاسخ: 7 x - 2 = 0

مثال 2

نقاشی یک خط مستقیم را نشان می دهد، لازم است معادله آن را بنویسید.

راه حل

نقشه داده شده به ما اجازه می دهد تا به راحتی داده های اولیه را برای حل مسئله برداریم. در نقاشی می بینیم که خط داده شده موازی با محور Ox است و از نقطه (0 و 3) می گذرد.

خط مستقیم که موازی با آبسیسا است با معادله کلی ناقص B y + С = 0 تعیین می شود. مقادیر B و C را پیدا کنید. مختصات نقطه (0، 3)، از آنجایی که یک خط مستقیم از آن عبور می کند، معادله خط مستقیم B y + С = 0 را برآورده می کند، پس تساوی معتبر است: В · 3 + С = 0. بیایید B را مقداری غیر از صفر قرار دهیم. فرض کنید B \u003d 1، در این مورد، از برابری B · 3 + C \u003d 0 می توانیم C: C \u003d - 3 را پیدا کنیم. ما استفاده می کنیم ارزش های شناخته شده B و C معادله مورد نیاز خط را بدست می آوریم: y - 3 = 0.

پاسخ: y - 3 = 0.

معادله کلی خط مستقیمی که از نقطه معینی از صفحه می گذرد

بگذارید خط داده شده از نقطه M 0 (x 0, y 0) عبور کند، سپس مختصات آن با معادله کلی خط مطابقت دارد، یعنی. برابری درست است: A x 0 + B y 0 + C = 0. سمت چپ و راست این معادله را از سمت چپ و راست معادله کامل کلی خط مستقیم کم کنید. دریافت می کنیم: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0، این معادله معادل معادله اصلی اصلی است، از نقطه M 0 (x 0، y 0) عبور می کند و دارای یک بردار عادی n → \u003d (A, B) .

نتیجه ای که به دست آوردیم امکان نوشتن معادله کلی یک خط مستقیم را برای مختصات شناخته شده بردار معمولی خط مستقیم و مختصات یک نقطه معین از این خط مستقیم فراهم می کند.

مثال 3

با توجه به نقطه M 0 (- 3, 4) که خط از آن عبور می کند و بردار عادی این خط n → = (1، - 2) . نوشتن معادله یک خط مستقیم ضروری است.

راه حل

شرایط اولیه به ما امکان می دهد داده های لازم را برای تدوین معادله به دست آوریم: A \u003d 1، B \u003d - 2، x 0 \u003d - 3، y 0 \u003d 4. سپس:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

مشکل را می شد به گونه ای دیگر حل کرد. معادله کلی یک خط مستقیم به شکل A x + B y + C = 0 است. بردار نرمال داده شده به شما امکان می دهد مقادیر ضرایب A و B را بدست آورید، سپس:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

حالا بیایید مقدار C را با استفاده از نقطه M 0 (- 3, 4) که با شرط مسئله که خط از آن عبور می کند، پیدا کنیم. مختصات این نقطه با معادله x - 2 · y + C = 0 مطابقت دارد، یعنی. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. بنابراین C = 11. معادله خط مستقیم مورد نیاز به شکل: x - 2 · y + 11 = 0 است.

پاسخ: x - 2 y + 11 = 0 .

مثال 4

با توجه به یک خط 2 3 x - y - 1 2 = 0 و یک نقطه M 0 که روی این خط قرار دارد. فقط آبسیسا این نقطه مشخص است و برابر با - 3 است. تعیین ترتیب نقطه داده شده ضروری است.

راه حل

بیایید تعیین مختصات نقطه M 0 را x 0 و y 0 قرار دهیم. داده های اولیه نشان می دهد که x 0 \u003d - 3. از آنجایی که نقطه متعلق به یک خط معین است، پس مختصات آن با معادله کلی این خط مطابقت دارد. سپس برابری زیر صادق خواهد بود:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0 را تعریف کنید: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

پاسخ: - 5 2

انتقال از معادله کلی یک خط مستقیم به انواع دیگر معادلات یک خط مستقیم و بالعکس

همانطور که می دانیم چندین نوع از معادله یک خط مستقیم در صفحه وجود دارد. انتخاب نوع معادله به شرایط مسئله بستگی دارد. می توان گزینه ای را انتخاب کرد که برای راه حل آن راحت تر باشد. اینجاست که مهارت تبدیل یک معادله از یک نوع به یک معادله از نوع دیگر بسیار مفید است.

ابتدا، انتقال از معادله عمومی شکل A x + B y + C = 0 به معادله متعارف x - x 1 a x = y - y 1 a y را در نظر بگیرید.

اگر A ≠ 0 باشد، عبارت B y را به سمت راست معادله عمومی منتقل می کنیم. در سمت چپ، A را از پرانتز خارج می کنیم. در نتیجه به دست می آوریم: A x + C A = - B y .

این برابری را می توان به صورت یک نسبت نوشت: x + C A - B = y A .

اگر B ≠ 0 باشد، فقط عبارت A x را در سمت چپ معادله کلی می گذاریم، بقیه را به سمت راست منتقل می کنیم، دریافت می کنیم: A x \u003d - B y - C. ما - B را از پرانتز خارج می کنیم، سپس: A x \u003d - B y + C B.

بیایید تساوی را به صورت نسبت بازنویسی کنیم: x - B = y + C B A .

البته نیازی به حفظ فرمول های به دست آمده نیست. کافی است الگوریتم اقدامات را در طول انتقال از معادله عمومی به معادله متعارف بدانیم.

مثال 5

معادله کلی خط 3 y - 4 = 0 داده شده است. باید به یک معادله متعارف تبدیل شود.

راه حل

معادله اصلی را به صورت 3 y - 4 = 0 می نویسیم. بعد، طبق الگوریتم عمل می کنیم: عبارت 0 x در سمت چپ باقی می ماند. و در سمت راست بیرون می آوریم - 3 از براکت ها؛ دریافت می کنیم: 0 x = - 3 y - 4 3 .

بیایید تساوی حاصل را به صورت نسبت بنویسیم: x - 3 = y - 4 3 0 . بنابراین، معادله ای از شکل متعارف را به دست آورده ایم.

پاسخ: x - 3 = y - 4 3 0.

برای تبدیل معادله کلی یک خط مستقیم به پارامتری، ابتدا انتقال به شکل متعارف و سپس انتقال از معادله متعارف خط مستقیم به معادلات پارامتری انجام می شود.

مثال 6

خط مستقیم با معادله 2 x - 5 y - 1 = 0 به دست می آید. معادلات پارامتری این خط را بنویسید.

راه حل

بیایید انتقال از معادله عمومی به معادله متعارف را انجام دهیم:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

حال بیایید هر دو بخش از معادله متعارف حاصل را برابر λ در نظر بگیریم، سپس:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

پاسخ:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

معادله کلی را می توان به یک معادله خط مستقیم با شیب y = k x + b تبدیل کرد، اما فقط زمانی که B≠ 0 باشد. برای انتقال در سمت چپ، عبارت B y را ترک می کنیم، بقیه به سمت راست منتقل می شوند. دریافت می کنیم: B y = - A x - C . بیایید هر دو قسمت تساوی حاصل را بر B تقسیم کنیم که با صفر متفاوت است: y = - A B x - C B .

مثال 7

معادله کلی یک خط مستقیم داده شده است: 2 x + 7 y = 0 . شما باید آن معادله را به یک معادله شیب تبدیل کنید.

راه حل

بیایید طبق الگوریتم اقدامات لازم را انجام دهیم:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

پاسخ: y = - 2 7 x .

از معادله کلی یک خط مستقیم، کافی است به سادگی یک معادله در بخش هایی به شکل x a + y b \u003d 1 به دست آوریم. برای انجام چنین انتقالی، عدد C را به سمت راست برابری منتقل می کنیم، هر دو قسمت تساوی حاصل را بر - С تقسیم می کنیم و در نهایت، ضرایب متغیرهای x و y را به مخرج ها منتقل می کنیم:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

مثال 8

لازم است معادله کلی خط مستقیم x - 7 y + 1 2 = 0 به معادله یک خط مستقیم در پاره ها تبدیل شود.

راه حل

بیایید 1 2 را به سمت راست حرکت دهیم: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

دو طرف معادله را بر 1/2- تقسیم کنید: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

پاسخ: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

به طور کلی، انتقال معکوس نیز آسان است: از انواع دیگر معادلات به معادلات عمومی.

معادله یک خط مستقیم در قطعات و معادله با یک شیب را می توان به سادگی با جمع آوری تمام عبارت های سمت چپ معادله به یک معادله کلی تبدیل کرد:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

معادله متعارف طبق طرح زیر به معادله عمومی تبدیل می شود:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

برای عبور از پارامتری، ابتدا انتقال به متعارف و سپس به کلی انجام می شود:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

مثال 9

معادلات پارامتری خط راست x = - 1 + 2 · λ y = 4 داده شده است. باید معادله کلی این خط را یادداشت کرد.

راه حل

بیایید انتقال از معادلات پارامتری به استاندارد را انجام دهیم:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

بیایید از متعارف به کلی حرکت کنیم:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

پاسخ: y - 4 = 0

مثال 10

معادله یک خط مستقیم در قطعات x 3 + y 1 2 = 1 داده شده است. لازم است انتقال به شکل کلی معادله انجام شود.

راه حل:

بیایید فقط معادله را به شکل مورد نیاز بازنویسی کنیم:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

پاسخ: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

ترسیم معادله کلی خط مستقیم

در بالا گفتیم که معادله کلی را می توان با مختصات شناخته شده بردار نرمال و مختصات نقطه ای که خط از آن عبور می کند، نوشت. چنین خط مستقیمی با معادله A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 تعریف می شود. در همان مکان مثال مربوطه را تحلیل کردیم.

حال بیایید به مثال های پیچیده تری نگاه کنیم که در آنها ابتدا لازم است مختصات بردار نرمال تعیین شود.

مثال 11

یک خط موازی با خط 2 x - 3 y + 3 3 = 0 داده می شود. همچنین نقطه M 0 (4، 1) که خط داده شده از آن عبور می کند نیز شناخته شده است. نوشتن معادله یک خط مستقیم ضروری است.

راه حل

شرایط اولیه به ما می گوید که خطوط موازی هستند، در حالی که، به عنوان بردار معمولی خطی که معادله آن باید نوشته شود، بردار هدایت کننده خط n را می گیریم → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. اکنون تمام داده های لازم برای ایجاد معادله کلی یک خط مستقیم را می دانیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

پاسخ: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

مثال 12

خط داده شده از مبدأ عمود بر خط x - 2 3 = y + 4 5 عبور می کند. نوشتن معادله کلی یک خط مستقیم ضروری است.

راه حل

بردار معمولی خط داده شده بردار هدایت کننده خط x - 2 3 = y + 4 5 خواهد بود.

سپس n → = (3، 5) . خط مستقیم از مبدا می گذرد، یعنی. از نقطه O (0, 0) . بیایید معادله کلی یک خط مستقیم داده شده را بسازیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

پاسخ: 3 x + 5 y = 0 .

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

گفتیم که یک منحنی جبری مرتبه دوم با یک معادله جبری درجه دوم با توجه به ایکسو در. به طور کلی، چنین معادله ای را می توان به صورت زیر نوشت

ولی ایکس 2 + ب هو+ سی در 2+D ایکس+ E y+ F = 0، (6)

که در آن A 2 + B 2 + C 2 ¹ 0 (یعنی اعداد A، B، C در همان زمان ناپدید نمی شوند). شرایط الف ایکس 2، V هو، از جانب در 2 اصطلاحات ارشد معادله، عدد نامیده می شوند

تماس گرفت ممیزاین معادله معادله (6) نامیده می شود معادله کلیمنحنی مرتبه دوم

برای منحنی‌هایی که قبلاً در نظر گرفته شد، داریم:

بیضی: Þ A =، B = 0، C =، D = E = 0، F = -1،

دایره ایکس 2 + در 2 = آ 2 Þ A = C = 1، B = D = E = 0، F = - آ 2 , d = 1>0;

هذلولی: Þ A =، B = 0، C = -، D = E = 0، F = -1،

d = - .< 0.

سهمی: در 2 = 2pxÞ A \u003d B \u003d 0، C \u003d 1، D \u003d -2 آر، E = F = 0، d = 0،

ایکس 2 = 2RUÞ A \u003d 1B \u003d C \u003d D \u003d 0، E \u003d -2 آر، F = 0، d = 0.

منحنی های داده شده در رابطه (6) نامیده می شوند مرکزیمنحنی ها اگر d¹0 باشد. اگر d> 0 باشد، منحنی بیضویاگر d را تایپ کنید<0, то кривая هذلولینوع منحنی هایی که d = 0 منحنی هستند سهموینوع

ثابت شده است که خط مرتبه دوم در هرسیستم مختصات دکارتی توسط یک معادله جبری مرتبه دوم به دست می آید. فقط در یک سیستم معادله شکل پیچیده ای دارد (مثلاً (6)) و در دیگری ساده تر است ، مثلاً (5). بنابراین، در نظر گرفتن چنین سیستم مختصاتی راحت است که در آن منحنی مورد مطالعه با ساده ترین معادله (به عنوان مثال، متعارف) نوشته شده است. انتقال از یک سیستم مختصات، که در آن منحنی با معادله ای از شکل (6) به دیگری داده می شود، جایی که معادله آن شکل ساده تری دارد، نامیده می شود. تبدیل مختصات.

انواع اصلی تبدیل مختصات را در نظر بگیرید.

من. تبدیل انتقالمحورهای مختصات (با حفظ جهت). بگذارید نقطه M در سیستم مختصات اولیه XOU دارای مختصات باشد ( ایکس, درایکس¢, در¢). از رسم می توان دریافت که مختصات نقطه M در سیستم های مختلف با روابط مرتبط هستند

(7)، یا (8).

فرمول (7) و (8) فرمول تبدیل مختصات نامیده می شود.

II. چرخش تبدیلمختصات محورها بر اساس زاویه a. اگر در سیستم مختصات XOU اولیه نقطه M دارای مختصات باشد ( ایکس, در، و در سیستم مختصات XO¢Y جدید دارای مختصات ( ایکس¢, در¢). سپس رابطه بین این مختصات با فرمول ها بیان می شود

, (9)

یا

با استفاده از تبدیل مختصات می توان رابطه (6) را به یکی از موارد زیر کاهش داد ابتداییمعادلات

1) - بیضی،

2) - هذلولی،

3) در 2 = 2px, ایکس 2 = 2RU- سهمی

4) آ 2 ایکس 2 – ب 2 y 2 \u003d 0 - یک جفت خط متقاطع (شکل a)

5) y 2 – آ 2 \u003d 0 - یک جفت خط موازی (شکل ب)

6) ایکس 2 –آ 2 \u003d 0 - یک جفت خط موازی (شکل ج)

7) y 2 = 0 - خطوط منطبق (محور OX)

8) x 2 = 0 - خطوط منطبق (محور سیستم عامل)

9) الف 2 ایکس 2 + ب 2 y 2 = 0 - امتیاز (0، 0)

10) بیضی خیالی

11) y 2 + آ 2 = 0 – یک جفت خط خیالی

12) x 2 + آ 2 = 0 جفت خط خیالی.

هر یک از این معادلات یک معادله خط مرتبه دوم هستند. خطوط تعریف شده توسط معادلات 4 - 12 نامیده می شوند منحطمنحنی های مرتبه دوم

اجازه دهید مثال هایی از تبدیل معادله کلی یک منحنی به شکل متعارف را در نظر بگیریم.

1) 9ایکس 2 + 4در 2 – 54ایکس + 8در+ 49 = 0 Þ (9 ایکس 2 – 54ایکس) + (4در 2 + 8در) + 49 = 0 z

9(ایکس 2 – 6ایکس+ 9) + 4(در 2 + 2در+ 1) - 81 - 4 + 49 = 0 Þ 9( ایکس –3) 2 + 4(در+ 1) = 36، z

بگذاریم ایکس¢ = ایکس – 3, در¢ = در+ 1، معادله متعارف بیضی را به دست می آوریم . برابری ایکس¢ = ایکس – 3, در¢ = در+ 1 تبدیل تبدیل سیستم مختصات را به نقطه (3، -1) تعریف می کند. با ساختن سیستم مختصات قدیمی و جدید، ترسیم این بیضی آسان است.

2) 3در 2 +4ایکس– 12در+8 = 0. بیایید تبدیل کنیم:

(3در 2 – 12در)+ 4 ایکس+8 = 0

3(در 2 – 4در+4) - 12 + 4 ایکس +8 = 0

3(y - 2) 2 + 4(ایکس –1) = 0

(در – 2) 2 = – (ایکس – 1) .

بگذاریم ایکس¢ = ایکس – 1, در¢ = در– 2، معادله سهمی را بدست می آوریم در¢2 = - ایکس¢. جایگزینی انتخاب شده مربوط به انتقال سیستم مختصات به نقطه О¢(1,2) است.

منحنی مرتبه دوم- مکان نقاط روی هواپیما، مختصات مستطیلی

که معادله ای از فرم را برآورده می کند:

که در آن حداقل یکی از ضرایب یک 11, یک 12, یک 22برابر با صفر نیست

متغیرهای منحنی مرتبه دوم.

شکل منحنی به 4 متغیری که در زیر آورده شده است بستگی دارد:

متغیرهای با توجه به چرخش و جابجایی سیستم مختصات: