Sie ermöglicht es, die optimale Reihenfolge für das Studium der im Curriculum enthaltenen Fächer festzulegen. Jedes Fach im Lehrplan hat eine eigene Nummer.

Lassen Sie den Lehrplan 19 Fächer umfassen. Wir bauen eine quadratische Matrix mit einer Basis, die gleich der Anzahl der Fächer im Lehrplan ist (19).

Die Methode der fachlichen Begutachtung durch erfahrene Lehrkräfte ermittelt die wichtigsten Zusammenhänge zwischen den Fächern. Die Spalten der Matrix gelten als Verbraucher und die Zeilen als Informationsträger. Beispielsweise sind für Spalte 10, Zeilen 7, 9, 11 wichtige Informationsträger, also Wissen zu Themen mit diesen Nummern. Diese Zeilen in der Spalte werden durch Einsen (1) wiedergegeben, das Fehlen einer Geldverbindung - durch Nullen (0). Als Ergebnis der Analyse wurde eine Matrix neunzehnter Ordnung gebildet.Die Analyse der Matrix besteht in der sequentiellen Entfernung von Spalten und Zeilen. Mit Nullen gefüllte Spalten erhalten keine Informationen von anderen Subjekten, d.h. ihr Studium basiert nicht auf einer logischen Beziehung zu anderen Subjekten, obwohl sie wiederum Träger von Primärinformationen sein können. Das bedeutet, dass Fächer mit Nummern in diesen Spalten zuerst studiert werden können. Mit Nullen gefüllte Zeilen gelten nicht als Informationsträger und bilden keine Grundlage für das Studium anderer Fächer, können also zuletzt studiert werden.

Zuerst werden die Spalten 7,8, 9,18 und ihre entsprechenden Zeilen durchgestrichen. Wir erhalten die erste reduzierte Matrix der fünfzehnten Ordnung, die wiederum null Spalten 4, 16, 17 hat. Wenn wir sie loswerden, erhalten wir die zweite reduzierte Matrix. Nachdem wir also alle nachfolgenden Reduktionen durchgeführt haben, erhalten wir eine Matrix, in der es keine Spalten ohne Einheiten gibt, sondern Nullzeilen, die mit den entsprechenden Spalten auch durchgestrichen sind. Nachdem wir nacheinander ähnliche Aktionen ausgeführt haben, gelangen wir zu einer Matrix dieser Form, wie im Diagramm gezeigt.

Die gebildete Matrix entspricht dem in Abbildung 3.2 gezeigten Diagramm. Dieser Graph enthält drei geschlossene Doppelkonturen (13-15), (5-6), (11-10). Mit einiger Näherung können wir davon ausgehen, dass die Fächer, die in diese Kreise eingetreten sind, parallel studiert werden sollten, und zuerst die Fächer mit den Nummern 13 und 15 studiert werden und erst dann die Fächer 5, 6, 10, 11.

Als Ergebnis der durchgeführten Matrixanalyse wird es möglich, ein schematisches (Block-)Modell des Studiums von Fächern im Lehrplan zu erstellen:

Das Diagramm zeigt ein kombiniertes System zur Verbindung von Bildungsfächern. Die Zellen enthalten die Nummern der Fächer mit Parallelstudium. Ein gebildetes Verbindungssystem sollte nicht als obligatorische Folge verstanden werden, eine Gruppe von Fächern erst nach dem Ende der vorherigen zu verbinden, sondern nur als Notwendigkeit, in ihrem Studium der Kurve voraus zu sein. Sie zeigt nur auf allgemeiner Trend beim Verbinden von Gegenständen.

Matrix-Analyse-Programm

Ermöglicht es Ihnen, die logische Reihenfolge des Standorts zu bewerten Unterrichtsmaterial innerhalb des Themas und verbessern Sie es entsprechend.

Lassen Sie das Thema 6 Themen umfassen. Matrix A! zusammengestellt nach dem thematischen Plan dieses wissenschaftlichen Faches. Die Nummern der Themen, die bei der Erstellung der Matrix im Hinblick auf ihre Verwendung in der Untersuchung anderer Themen berücksichtigt werden, sind vertikal angeordnet, die horizontal angeordneten Nummern entsprechen den betrachteten Themen im Hinblick auf ihre Verwendung von Informationen aus anderen Themen.

Um geschlossene Schleifen zu identifizieren, deren Vorhandensein auf die Unmöglichkeit hinweist, den Durchgang der Durchgangsfolge einzelner Themen festzustellen, führen wir Transformationen (Verkürzungen) der Matrix Au durch. Wir löschen die Zeile 5, bestehend aus Nullen, und die dazugehörige Spalte sowie die Nullspalte 3 mit der entsprechenden Zeile. Matrix A2 wird gebildet.

Die Matrix A2 hat fehlende Zeilen und Spalten, die nur aus Nullen bestehen. Um geschlossene Konturen zu erstellen, präsentieren wir den Graphen, der der Matrix A2 entspricht (siehe Abb. 3.3, a).

Aus der Untersuchung des Diagramms folgt, dass das Vorhandensein geschlossener Konturen durch die Beziehung zwischen dem Inhalt des Unterrichtsmaterials der Themen 1 und 6 sowie der Themen 4 und 6 verursacht wird. Der Grund für die festgestellte Beziehung ist der Misserfolg Umverteilung des Inhalts des Unterrichtsmaterials zwischen diesen Themen. Nach Überprüfung des Inhalts dieser Themen wird es möglich, die bestehenden geschlossenen Konturen des Diagramms zu beseitigen. Dadurch entsteht ein neuer Graph (Abb. 3.3, b) und die zugehörige Matrix A3.

Das Reduzieren dieser Matrix ergibt eine neue Matrix A4.

Nach dem Entfernen der Bögen (6, 4), (6, 1) und (1, 6) erhalten wir eine neue Anfangsmatrix B1, deren Graph keine geschlossenen Konturen hat.

Jetzt, da die Schleifen unterbrochen sind, beginnen wir damit, die Reihenfolge der Themen anzupassen. Dazu löschen wir nacheinander Spalten bestehend aus Nullen und gleichnamige Zeilen mit diesen. Themen in diesen Spalten verwenden keine Informationen aus anderen Themen und können daher zuerst untersucht werden.

In der Matrix! die Spalten 1 und 3 sind null, sodass Thema 1 seinen Platz im Themenplan einnehmen kann. Bei der Untersuchung der Gründe für die Platzierung von Thema 3 vor Thema 2 stellt sich heraus, dass einige der Informationen zu Thema 2 in Thema 3 stattfinden. Es ist jedoch logischer und sinnvoller, sie in Thema 3 zu belassen.

Nachdem wir das Unterrichtsmaterial neu angeordnet haben, erhalten wir anstelle des Bogens (3, 2) den Bogen (2, 3); Spalte 1 löschen - wir erhalten die Matrix B2.

Wir weisen Thema 2 die bisherige Nummer 2 zu. Streichen Sie Spalte 2 Zeile 2. Wir erhalten Matrix B3.

Themen 3 und 4 bleiben mit den gleichen Nummern. Löschen Sie die Spalten 3, 4 mit den entsprechenden Zeilen; wir erhalten die Matrix B4

Thema 6 erhält die Nummer 5 und Thema 5 die Nummer 6.

Wir stellen die Matrix C1 gemäß der neuen Themenverteilung zusammen.

Lassen Sie uns Transformationen der Matrix durchführen, indem wir nacheinander null Zeilen und Spalten mit demselben Namen löschen. Wir verschieben die ihnen entsprechenden Themen an das Ende der Reihe, da die Informationen dieser Themen nicht für das Studium anderer Themen verwendet werden. Thema 5 erhält die Nummer 6.

Zeile und Spalte 6 löschen. Thema 6 Nummer 5 zuweisen.

Wir löschen die Zeilen 4 und 3 und die Themen, die sie beantworten, weisen den früheren Nummern 4 und 3 zu.

Für die Themen 1 und 2 bleiben die gleichen Nummern im Themenplan erhalten. Als Ergebnis der Matrixverarbeitung erhält man die folgende endgültige Anordnung der Themen in der Struktur des Themas:

Aus obigem Ablauf ist ersichtlich, dass nach der Matrixbearbeitung die Strukturen des Themenplans vertauscht wurden, Themen 5 und 6. Außerdem wurde es notwendig, das Lehrmaterial zu Thema 5 zu Thema 1 sowie von Thema zu verschieben 2 zu Thema 3.

Wie aus obigem Beispiel ersichtlich ist, ermöglicht die Matrixanalyse der Struktur des Unterrichtsmaterials bis zu einem gewissen Grad, dieses zu straffen und die wechselseitige Anordnung der Themen des Curriculums zu verbessern.

Dabei ist zu berücksichtigen, dass die Matrixanalyse von Curricula und Programmen von den Ausführenden viel praktische Erfahrung und eine tiefe Kenntnis der Ausbildungsinhalte erfordert. Dies bezieht sich zunächst auf die Erstellung der Ausgangsmatrix, genauer gesagt auf die Definition von Verbindungen zwischen akademischen Fächern bzw Lernthemen innerhalb des Themas. Es gibt viele Verbindungen zwischen so großen Elementen wie Programmthemen, aber Matrixanalyse-Ausführende müssen in der Lage sein, "zwischen den Zeilen zu lesen" (verborgene, aber echte Verbindungen zu finden), die Bedeutung verschiedener Verbindungen in Bezug auf die Ziele der Matrixanalyse zu bestimmen und manchmal kritisch gegenüber dem Inhalt der Themen der Bildungsfächer sein.

Vorlesungsreihe zur Disziplin

"Matrixanalyse"

für Studenten im 2

Spezialgebiet der Fakultät für Mathematik

"Ökonomische Kybernetik"

(Dozent Dmitruk Maria Alexandrowna)

1. Funktionsdefinition.

Df. Lassen

ist eine skalare Argumentfunktion. Es muss definiert werden, was mit f(A) gemeint ist, d.h. wir müssen die Funktion f(x) auf den Matrixwert des Arguments erweitern.

Die Lösung dieses Problems ist bekannt, wenn f(x) ein Polynom ist:

, dann .

Definition von f(A) im allgemeinen Fall.

Sei m(x) das Minimalpolynom A und habe die kanonische Zerlegung

, , sind die Eigenwerte von A. Nehmen wir die Polynome g(x) und h(x). gleiche Werte.

Sei g(A)=h(A) (1), dann ist das Polynom d(x)=g(x)-h(x) das Vernichtungspolynom für A, da d(A)=0, also d(x ) ist durch ein lineares Polynom teilbar, d.h. d(x)=m(x)*q(x) (2).

, d.h. (3), , , .

Vereinbaren wir m Zahlen für f(x) wie z

Nennen Sie die Werte der Funktion f(x) im Spektrum der Matrix A, und die Menge dieser Werte wird mit bezeichnet.

Wenn die Menge f(Sp A) für f(x) definiert ist, dann ist die Funktion auf dem Spektrum der Matrix A definiert.

Aus (3) folgt, dass die Polynome h(x) und g(x) im Spektrum der Matrix A die gleichen Werte haben.

Unsere Argumentation ist umkehrbar, d.h. von (3) → (3) → (1). Wenn also die Matrix A gegeben ist, wird der Wert des Polynoms f(x) vollständig durch die Werte dieses Polynoms im Spektrum der Matrix A bestimmt, d.h. alle Polynome g i (x), die im Spektrum der Matrix die gleichen Werte annehmen, haben die gleichen Matrixwerte g i (A). Wir fordern, dass die Definition des Werts von f(A) im allgemeinen Fall dem gleichen Prinzip folgt.

Die Werte der Funktion f(x) auf dem Spektrum der Matrix A müssen f(A) vollständig bestimmen, d.h. Funktionen mit gleichen Werten im Spektrum müssen den gleichen Matrixwert f(A) haben. Offensichtlich reicht es zur Bestimmung von f(A) im allgemeinen Fall aus, ein Polynom g(x) zu finden, das auf dem Spektrum A die gleichen Werte annehmen würde wie die Funktion f(A)=g(A).

Df. Wenn f(x) im Spektrum der Matrix A definiert ist, dann ist f(A)=g(A), wobei g(A) ein Polynom ist, das im Spektrum dieselben Werte annimmt wie f(A),

Df.Der Wert der Funktion aus der Matrix A wir nennen den Wert des Polynoms in dieser Matrix for

.

Unter den Polynomen von С[x], die die gleichen Werte im Spektrum der Matrix A annehmen, wie f(x), mit einem Grad nicht höher als (m-1), der die gleichen Werte im Spektrum annimmt Spektrum A, da f(x) der Rest der Division eines beliebigen Polynoms g(x) mit den gleichen Werten im Spektrum der Matrix A wie f(x) zum Minimalpolynom m(x)=g(x) ist )=m(x)*g(x)+r(x) ​​.

Dieses Polynom r(x) heißt Lagrange-Sylvester-Interpolationspolynom für die Funktion f(x) auf dem Spektrum der Matrix A.

Kommentar. Wenn das Minimalpolynom m(x) der Matrix A keine Mehrfachwurzeln hat, d.h.

, dann der Wert der Funktion im Spektrum .

Beispiel:

Finden Sie r(x) für beliebige f(x) wenn die Matrix

. Konstruieren wir f(H 1). Finden Sie das minimale Polynom H 1 - der letzte invariante Faktor:

, d n-1 = x 2 ; dn-1 = 1;

m x \u003d f n (x) \u003d d n (x) / d n-1 (x) \u003d x nÞ 0 – n-fache Wurzel von m(x), d.h. n-fache Eigenwerte von H 1 .

, r(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0)Þ .

2. Eigenschaften von Funktionen aus Matrizen.

Eigentum Nr. 1. Wenn die Matrix

Eigenwerte hat (es können Vielfache darunter sein), und , dann sind die Eigenwerte der Matrix f(A) die Eigenwerte des Polynoms f(x): .

Nachweisen:

Das charakteristische Polynom der Matrix A habe die Form:

, , . Lass uns zählen. Kommen wir von der Gleichheit zu den Determinanten:

Nehmen wir eine Änderung in der Gleichheit vor:

(*)

Gleichheit (*) gilt für jede Menge f(x), also ersetzen wir das Polynom f(x) durch

, wir bekommen: .

Links haben wir das charakteristische Polynom für die Matrix f(A) erhalten, rechts in lineare Faktoren zerlegt, woraus folgt

sind die Eigenwerte der Matrix f(A).

CHTD.

Eigentum Nr. 2. Lassen Sie die Matrix

und sind die Eigenwerte der Matrix A, f(x) ist eine beliebige Funktion, die auf dem Spektrum der Matrix A definiert ist, dann sind die Eigenwerte der Matrix f(A) .

Nachweisen:

Da Funktion f(x) auf dem Spektrum der Matrix A definiert ist, dann existiert Interpolationspolynom Matrizen r(x) so dass

, und dann f(A)=r(A), und die Matrix r(A) wird Eigenwerte gemäß Eigenschaft Nr. 1 haben, die jeweils gleich sind.

UDC 681.51.011

MATRIX-ANALYSE IM ENTERPRISE MANAGEMENT SYSTEM

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LLC "Samara - AviaGaz"

Samara State Aerospace University

Die Werkanalysen verschiedene Wege Anwendung von Matrizen in der Unternehmensführung. Die Beziehung (Verbindung) zwischen den Elementen zweier oder mehrerer Mengen kann in Matrixform dargestellt werden. Die Zusammensetzung von Beziehungen ermöglicht es Ihnen, die Analyse von Beziehungen zwischen Elementen von Mengen zu vereinfachen. Es wird ein Beispiel für die Verwendung von Prioritätsmatrizen im Unternehmensmanagementsystem gegeben.

Matrizen als Analysewerkzeug werden seit langem im Unternehmensmanagementsystem verwendet. Es genügt, solche Qualitätswerkzeuge wie Matrixdiagramme, Prioritätsmatrizen, Matrixanalyse in Quality Function Deployment zu nennen.

1. Die Verwendung von Matrizen im Management ist darauf zurückzuführen, dass fast jedes Unternehmen durch eine große Menge von Objekten (verschiedene Geräte, Abteilungen, Lieferanten, Verbraucher) gekennzeichnet ist und es schwierig ist, die Beziehungen zwischen ihnen mit Abhängigkeiten wie y zu beschreiben \u003d f (x) . Reale Verbindungen sind mehrdimensional und implizit. Matrizen hingegen ermöglichen es, solche Zusammenhänge in recht anschaulicher Form zu erkennen und zu analysieren. Bei der Aufgabe, die Produktionsstruktur eines Unternehmens zu bilden, kann eine Matrix von Beziehungen zwischen Gruppen von Teilen B = ] verwendet werden, wobei ^ die Anzahl der Einheiten ist.

Die Hauptausrüstung, die bei der Verarbeitung des 1. und] -ten Teils verwendet wird, die Matrix der technischen Ebene u = \u^] wird in der Marktforschung verwendet, wo

und y - technisches Niveau des 1. Unternehmens auf dem ] -ten Markt und die Preismatrix.

Aus mathematischer Sicht kann die Zuordnung einer Matrix als Angabe einer Beziehung (Verbindung) zwischen den Objekten zweier Mengen interpretiert werden. Das Matrixelement kann in diesem Fall sowohl die Verbindung von Objekten (z. B. „Ja“ oder „Nein“) als auch die Stärke der Verbindung, ausgedrückt als Zahl, bedeuten. Bei drei oder mehr Mengen kann man mehrdimensionale Relationen und dementsprechend mehrdimensionale Matrizen aufbauen. Allerdings verliert dieser Ansatz an Klarheit und leichter Interpretierbarkeit. Die Komplexität der Analyse mehrdimensionaler Beziehungen

Ionen können mit Hilfe der Beziehungskomposition überwunden werden.

2. Nehmen wir an, das Unternehmen hat Lieferanten P1 P2, ... P5, die Materialien (Teile, Baugruppen, Komponenten) Mі, M2, M3 liefern. Aus diesen Materialien stellt das Unternehmen die Produkte Ib I2, ... I, für Kunden (Verbraucher) Zi, Z2, ... Z5 her. Für diese Mengen können Sie Verbindungsmatrizen zusammenstellen. Lassen Sie zum Beispiel Beziehungen zwischen Lieferanten und den von ihnen gelieferten Materialien (Tabelle 1), Produkten und herstellen notwendige Materialien(Tabelle 2), Kunden und Produkte (Tabelle 3). Das Zeichen "x" bezeichnet die Verbindung von Objekten zweier Mengen.

Tabelle 1. Lieferantenbeziehungsmatrix

und beigestellte Materialien (PM)

PM Pі P2 Pz P4 P5

Tabelle 2. Matrix der Beziehungen zwischen Produkten und Materialien (IM)

IM Mі M2 Mz

Tabelle 3. Beziehungsmatrix zwischen Kunden und Produkten (PI)

ZI II I2 Von Von

Unter Verwendung der Zusammensetzung der Verhältnisse, die durch die Matrizen PM, MI und ZI gegeben sind, ist es nicht schwierig, eine Matrix des Verhältnisses von PP zusammenzustellen. Die PZ-Matrix (Tab. 4) zeigt die vom Unternehmen hergestellten Verknüpfungen zwischen Lieferanten P und Kunden Z^ So findet beispielsweise die Interaktion des Kunden Z3 mit dem Unternehmen über das Produkt I3 statt, das Materialien M benötigt! und M3, versorgt durch Pn P3 und P5.

Tabelle 4. Beziehungsmatrix zwischen Lieferanten-

Die detaillierte Planung von technologischen Prozessen (Produktlinien) mit Hilfe von Beziehungsmatrizen vereinfacht die Ermittlung des Mehrwerts für den Kunden, des Gewinns des Unternehmens und seiner Verluste.

3. Der Aufbau eines betrieblichen Qualitätsmanagementsystems ist mit der Zuordnung eines Netzwerks von Prozessen verbunden. Die Verteilung von Prozessen nach Unternehmensbereichen, die Umsetzung der Anforderungen der Norm, zB ISO 9001-2000, kann über Matrizen erfolgen. Nehmen wir an, die Prozesse werden hervorgehoben: Auftragsvergabe, QMS-Dokumentationsmanagement, internes Audit, Beschaffung, Fertigung, Überwachung der Kundenzufriedenheit, und das Unternehmen hat Abteilungen: Marketingabteilung, Einkaufsabteilung, Chefdesignerabteilung, Cheftechnologenabteilung, Produktion, Garantieunterstützungsabteilung. Basierend auf den Gesprächsergebnissen mit Fachbereichsvertretern kann eine PP-Matrix erstellt werden (Tabelle 5). Andererseits sollten dedizierte Prozesse die Anforderungen einer Norm wie ISO 9001-2000 abdecken. Die Verknüpfung von Prozessen mit ISO 9001-2000 führt zu einer TP-Matrix (Tabelle 6).

Durch die Zusammensetzung der Relationen erhalten wir die ISO-Matrix (Tabelle 7).

uns und Kunden (PP)

ПЗ Зі 32 Зз 34 35

Tabelle 5. Verknüpfungsmatrix zwischen Prozessen und Abteilungen (SP)

PP-Matrix Marketingabteilung Beschaffungsabteilung Chefdesignerabteilung Cheftechnologenabteilung Produktion Garantieunterstützungsabteilung

Vertrag X X

Internes Audit X

Beschaffung X

Fertigung X

Tabelle 6. Beziehung der Prozesse zu ISO 9001-2000

TP-Matrix Qualitätsmanagementsysteme Managementverantwortung Ressourcenmanagement Prozesse Lebenszyklus Produkte Messen, analysieren und verbessern

Vertrag X

QMS-Dokumentationsmanagement X X

Interne Revision X X

Beschaffung X

Produktion X X X

Überwachung der Kundenzufriedenheit X

ISO-Matrix Marketingabteilung Einkauf Kap. Designerabteilung Kap. Technologe Produktionsgarantie Support-Abteilung

Qualitätsmanagementsysteme X X

Verantwortung der Leitung X X X

Ressourcenverwaltung X

Produktlebenszyklusprozesse X X X

Messung, Analyse und Verbesserung X X

Offensichtlich sind bei einer solchen Verteilung der ISO-Anforderungen Widersprüchlichkeiten in Abschnitt 5 „Verantwortung der Leitung“ zu erwarten, da die Qualitätspolitik in der Verantwortung der obersten Leitung liegt.

4. Das Erweitern jedes Elements der Beziehungsmatrix, z. B. „Managementverantwortung – Marketingabteilung“, kann mithilfe der Prioritätsmatrix erfolgen, die der Hierarchieanalysemethode zugrunde liegt. Die Anforderungen der Reihe ISO 9000-2000 legen den Umfang und die Tiefe der regulatorischen und technischen Dokumentation fest, die für das Funktionieren des QMS des Unternehmens erforderlich sind. Eines der obligatorischen Dokumente des QMS des Unternehmens sind die Politik und die Ziele im Bereich der Qualität. Die Ziele des Unternehmens werden in verschiedenen Bereichen formuliert: Finanzen, Markt, Wettbewerb

(Benchmarking), Kundenzufriedenheit, Verbesserung der Produkt- und Prozessleistung. Die Ziele der gesamten Organisation sollten in ihre Abteilungen projiziert (eingesetzt, zerlegt) werden, damit sich die Mitarbeiter ihrer Beteiligung und Verantwortung für das Erreichen eines bestimmten Ziels der gesamten Organisation bewusst sind.

Planung, Zielwahl, Optimierung des Verhaltens in einem Wettbewerbsumfeld erfordern immer eine Entscheidung in einem bestimmten Stadium. Es wurde praktisch offensichtlich, dass soziale Prozesse, insbesondere Managementprozesse, im klassischen Rahmen schlecht formalisiert sind.

Themen. In diesem Fall kann die Methode der Analyse von Hierarchien sehr effektiv sein.

Die Methode zur Analyse von Hierarchien basiert auf der sogenannten Prioritätsmatrix. Angenommen, die Aufgabe besteht darin, die Faktoren zu vergleichen, die das ausgewählte Objekt beeinflussen. In der Regel ist die Zahl der Einflussfaktoren recht groß, die genauen Abhängigkeiten sind unbekannt, und die mathematische Formalisierung des Problems ist praktisch nicht durchführbar. Auch der Sachverständige hat Schwierigkeiten bei der Beurteilung des Einflusses von Faktoren auf das Objekt. Überraschenderweise lässt sich das Problem leichter lösen, wenn ein paarweiser Vergleich des Einflusses von Faktoren auf das Objekt durchgeführt wird. (Unterm Strich ist die Frage, wie viel A wiegt, schwer zu beantworten, viel einfacher zu entscheiden, was schwerer ist: A oder B)

Für die analytische Planung der Unternehmensentwicklung ist es notwendig, den Ausgangszustand (Ist-Stand), den Zielzustand (Ziele) und die Mittel zur Verknüpfung dieser Zustände zu beschreiben. Unten ist ein Beispiel für die Anwendung der Methode der Analyse von Hierarchien, als Objekt wird das Ziel aus der Qualitätspolitik „Nachhaltiges Wachstum der Unternehmensgewinne“ ausgewählt und einige Faktoren hervorgehoben, die das Ziel beeinflussen (Tabelle 8).

Spezialisten - Experten des Unternehmens haben Prioritätsmatrizen nach den ausgewählten Kriterien zusammengestellt (ein Beispiel ist in Tabelle 9 angegeben).

Management Logistik

Planung, Beschaffung,

Investitionen, Lieferantenbeziehungen,

Werbung, Einlasskontrolle,

Verkaufspreise, Ressourcenkontrolle.

Vermarktungsstrategie. Personal und Entwicklung

Produktionsqualifikation,

Einhaltung von Fristen, Mitarbeiterschulung,

Technik, Mitarbeitermotivation,

Qualität, Kreativität,

Organisation der Produktion, Kostenkontrolle. Neuentwicklungen planen

Tabelle 9. Beispiel für die Matrix „Produktion“

Produktion Einhaltung der Lieferbedingungen der Produkte Technologie Qualität Organisation der Produktion Kostenkontrolle

Einhaltung der Produktliefertermine 1 5 1 3 3

Technologie 1/5 1 3 1 3

Qualität 1 1/3 1 3 1

Organisation der Produktion 1/3 1 1/3 1 1

Kostenkontrolle 1/3 1/3 1 1 1

Skala der Beziehungen und Ausfüllen der Tabellen 1 - Äquivalenz der Faktoren, 3 - Dominanz eines Faktors gegenüber einem anderen Faktor,

5 - starke Dominanz eines Faktors gegenüber einem anderen Faktor, 2,4 - mögliche Zwischenwerte.

Die mathematische Verarbeitung von Matrizen bestand darin, den Prioritätsvektor als Eigenvektor zu finden, der dem maximalen Eigenwert entspricht. Als Beispiel sind unten die Ergebnisse der Verarbeitung der Schätzungen von Experte N (Tabelle 10) aufgeführt. Die Spalten geben die Komponenten des Prioritätenvektors nach verschiedenen Faktoren an, zum Beispiel nach dem Kriterium „Management“

Investitionen haben Vorrang.

Auf Abb. 1. Die Ergebnisse der Berechnung der Prioritäten von Experten gemäß den oben genannten Kriterien werden angegeben. Zielerreichung ist verbunden mit Investition, Qualität,

Neuentwicklungen planen und Ressourcen steuern.

Tabelle 10. Ergebnisse der Verarbeitung der Schätzungen des Experten N

Ziel - Nachhaltiges Wachstum des Unternehmensgewinns

Management Production Mat - Technische Versorgung Personal und Entwicklung

0,1084 0,3268 0,3072 0,1625

0,4198 0,1280 0,2059 0,0773

0,1084 0,2829 0,1552 0,1007

0,2356 0,1002 0,3316 0,2080

0,1279 0,1621 0,4516

Management

Produktion

S&I^TO oder i_CO

Personal und Entwicklung

Reis. 1. Ergebnisse der Berechnung der Prioritäten von Experten

Die Kenntnis der Verteilung der Prioritäten gemäß den ausgewählten Kriterien ermöglicht es dem Top-Management des Unternehmens, eine solide Politik zur Erreichung des Ziels zu verfolgen.

Referenzliste

1. Gludkin O.P., Gorbunov NM., Gurov A.I., Zorin Yu.V. Total Quality Management. - M.: Radio und Kommunikation, 1999.

2. Kuzin B., Yuriev V., Shakhdinarov G. Methoden und Modelle der Unternehmensführung. - Sankt Petersburg: Peter, 2001.

3. Faure R., Kofman A., Denis-Papin M. Moderne Mathematik. -M.: Mir, 1966.

4. Saati T. Entscheidungsfindung. Methode der Hierarchieanalyse. / pro. aus dem Englischen. - M.: Radio und Kommunikation, 1993.

MATRIX-ANALYSE IM ENTERPRISE EXECUTIVE SYSTEM

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\cSamara - Aviagas»

Samara State Aerospace University

In der Arbeit werden verschiedene Wege der Matrizenanwendung im Geschäftsbetrieb analysiert. Die Relation (Verbindung) zwischen Elementen von zwei und mehr Mengen kann in Matrixform übermittelt werden. Die Zusammensetzung von Relationen ermöglicht es, die Analyse von Verbindungen zwischen Elementen von Mengen zu vereinfachen. Das Ergebnis ist das Beispiel der Nutzung der Matrizen der Prioritäten im Steuersystem des Unternehmens.

Übung 1

Berechnen Sie die Summe der Matrizen kA+mB, wenn

Die Elemente der Summenmatrix werden durch die Formel bestimmt:

cij=kaij+mbij.

Berechnen Sie die Elemente der ersten Zeile der Summenmatrix:

C11=-4*2+5*3=7

C12=-4 * (-1)+5 * 7=39

C13=-4*4+5*(-2)=-26

C21=-4*6+5*9=21

C22=-4*3+5*1=-7

C23=-4*0+5*6=30

С31=-4 * (-7)+5 * (-4)=8

C32=-4*5+5*8=20

C33=-4*9+5*5=-11

Somit nimmt die Summenmatrix die Form an:

Aufgabe 2

Berechne die inverse Matrix und überprüfe.

Wir verwenden den Algorithmus zum Finden der inversen Matrix:

• 1. Die Matrix ist quadratisch (die Anzahl der Zeilen ist gleich der Anzahl der Spalten), daher existiert die dazu inverse Matrix.
• 2. Finden Sie die Determinante der ursprünglichen Matrix:

• ?A=-3 * 3 * 3+1 * (-5) * 1+0 * (-4) * 3-1 * 3 * 3-(-4) * 1 * 3-0 * (-5) * (-3)=-29 ? 0
• 3. Finden Sie eine Matrix, die aus algebraischen Komplementen von Elementen der ursprünglichen Matrix besteht:

A11=(-1) 2*3*3-0*(-5)=-9

A12=(-1) 3 * -4 * 3-1 * (-5)=7

A13 = (-1) 4 * -4 * 0-1 * 3 = -3

A21=(-1) 3*1*3-0*3=-3

A22=(-1) 4*-3*3-1*3=-12

A23=(-1) 5 * -3 * 0-1 * 1=1

A31=(-1) 4*1*(-5)-3*3=-14

A32 = (-1) 5 * -3 * (-5)-(-4) * 3 = -27

A33=(-1) 6 * -3 * 3-(-4) * 1=-5

Damit erhalten wir die Matrix:

4. Transponieren Sie die resultierende Matrix:

5. Wir dividieren die letzte Matrix durch die Determinante der ursprünglichen Matrix und erhalten die inverse Matrix:

6. Wir überprüfen das Ergebnis. Dazu finden wir das Produkt der resultierenden Matrix mit der ursprünglichen:

A -1 .* A=A * A -1 =*= ==

Als Ergebnis haben wir also die Identitätsmatrix erhalten. Folglich, inverse Matrix gefunden, stimmt.

Aufgabe 3

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Cramer-Gauß-Methode.

Lösung:

1) Lösen Sie das System nach Cramers Methode.

Wir stellen die Matrix des Systems zusammen:

Wir berechnen die Determinante dieser Matrix:

0 * (-8) * 4+3 * 2 * (-5)+7 * 2 * 9-9 * (-8) * (-5)-3 * 7 * 4-0 * 2 * 2=-348?0

Determinanten finden? 1 , ?2, ?3, erhalten aus der ursprünglichen Determinante durch Ersetzen der ersten, zweiten bzw. dritten Spalte durch eine Spalte mit freien Elementen:

1==2 * (-8) * 4+3 * 2 * (-3)+9 * 5 * 2-9 * (-8) * (-3)-3 * 5 * 4-2 * 2 * 2=-276

2==0 * 5 * 4+2 * 2 * (-5)+9 * 7 * (-3)-9 * 5 * (-5)-2 * 7 * 2-0 * 2 * (-3)=- 40

3==0 * (-8) * (-3)+3 * 5 * (-5)+2 * 7 * 2-2 * (-8) * (-5)-3 * 7 * (-3)-0 * 5 * 2=- 64

Jetzt mit Cramers Formeln

x1=, x2=, x3= ,

Finden Sie die Lösung des Systems:

X1==,=0,79 x2==,=0,11 x3===0,18

2) Wir lösen das System mit der Gauß-Methode.

Wir stellen die erweiterte Matrix des Systems zusammen, die Koeffizienten für Variablen und freie Terme enthält:

Multiplizieren Sie die 2. Reihe mit (5). Multiplizieren Sie die 3. Reihe mit (7). Fügen wir die 3. Zeile zur 2. hinzu:

Multiplizieren Sie die 1. Reihe mit (26). Multiplizieren Sie die 2. Reihe mit (3). Fügen wir die 2. Zeile zur 1. hinzu:

Ab der 1. Zeile drücken wir x 3 aus

Ab der 2. Zeile drücken wir x 2 aus

26x 2 \u003d - + 4 \u003d 0,11

Ab der 3. Zeile drücken wir x 1 aus

5x 1 \u003d -2 * 0,11- - 3 \u003d 0,79

Aufgabe 4

Matrixdeterminante linear Cramer Gauß

Berechnen Sie die Determinante 4. Ordnung

Wir schreiben die Erweiterung der Determinante in die vierte Zeile:

A \u003d\u003d 0 * A 41 +3 * A 42 +0 * A 43 +1 * A 44

wobei Aij das algebraische Komplement des Elements ij a ist.

Suchen wir algebraische Additionen nach der Formel A ij =(-1) i+j , wobei m ij der Minor des Elements ij a ist, der aus der ursprünglichen Determinante durch Streichen der Zeile und Spalte an deren Schnittpunkt dies erhalten wird Element steht.

A 42 \u003d (-1) 4 + 2 * m 42 \u003d (-1) 6 * \u003d 4 * 7 * (-9) + 7 * (-7) * 0 + 1 * (-1) * 0 - 0 * 7 * 0 - 7 * 1 * (-9) - 4 * (-7) * (-1) = -217

A 44 \u003d (-1) 4 + 4 * m 44 \u003d (-1) 8 * \u003d 4 * (-3) * (-1) + 0 * 7 * 0 + 1 * 1 * 7-7 * (-3 ) * 0-0 * 1 * (-1)-4 * 7 * 1=-9

Wir setzen die erhaltenen Werte in die Erweiterung der Determinante ein:

3 * A 42 + A 44 \u003d 3 * (-217) + (-9) \u003d -660

Aufgabe 5

inverse Determinantenmatrix linear Cramer Gauß

Eigenständig, analog zum Beispiel, ein Problem mit wirtschaftlichem Inhalt erstellen, ein mathematisches Modell des Wirtschaftsprozesses erstellen und das Problem lösen.

Eine Aufgabe.

Die Kosten von drei Rohstoffarten A, B, C für die Herstellung einer Einheit jeder der drei Produktarten I, II, III und die Reserven jeder Rohstoffart sind in der Tabelle (Tabelle 1) angegeben. :

Tabelle 1

Produkte Art des Rohstoffs				Bestände an Rohstoffen

Es ist erforderlich, einen Produktionsplan festzulegen, der die Verwendung aller Rohstoffe sicherstellt.

Lassen Sie uns ein System linearer Gleichungen schreiben, indem wir die in der Tabelle angegebenen Daten verwenden:

wo - das Volumen der Ausgabe jedes Typs.

Zur Lösung verwenden wir die Gauß-Methode. Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems:

Wir schreiben das System in Form einer erweiterten Matrix:

Multiplizieren Sie die 2. Zeile mit (-2). Fügen wir die 2. Zeile zur 1. hinzu:

Multiplizieren Sie die 2. Reihe mit (3). Multiplizieren Sie die 3. Zeile mit (-1). Fügen wir die 3. Zeile zur 2. hinzu:

Multiplizieren Sie die 1. Reihe mit (2). Fügen wir die 2. Zeile zur 1. hinzu:

Nun kann das ursprüngliche System geschrieben werden als:

x2 = /2

x 1 = /3

Ab der 1. Zeile drücken wir x 3 aus

Ab der 2. Zeile drücken wir x 2 aus

Ab der 3. Zeile drücken wir x 1 aus

Methode wissenschaftliche Forschung Eigenschaften von Objekten basierend auf der Verwendung der Regeln der Matrizentheorie, die den Wert der Elemente des Modells bestimmen und die Beziehung von Wirtschaftsobjekten widerspiegeln. Es wird in Fällen verwendet, in denen das Hauptuntersuchungsobjekt das Gleichgewichtsverhältnis von Kosten und Ergebnissen der Produktion und wirtschaftlichen Aktivitäten und die Standards von Kosten und Outputs sind.

• - Pseudobrücke, Matrixbrücke

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• - eine Methode zur wissenschaftlichen Untersuchung der Eigenschaften von Objekten, die auf der Verwendung der Regeln der Matrizentheorie basiert, die den Wert der Elemente des Modells bestimmen und die Beziehung wirtschaftlicher Objekte widerspiegeln ...

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• - in der Wirtschaftswissenschaft eine Methode zur wissenschaftlichen Untersuchung der Eigenschaften von Objekten, die auf der Verwendung der Regeln der Matrizentheorie basiert, die den Wert der Elemente des Modells bestimmen und die Beziehung wirtschaftlicher Objekte widerspiegeln ...

  Große sowjetische Enzyklopädie

• - eine Methode zur Untersuchung der Beziehungen zwischen wirtschaftlichen Objekten unter Verwendung ihrer Matrixmodellierung ...

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• - ...

  Rechtschreibwörterbuch der russischen Sprache

• - MATRI-A, -s, f. ...

  Erklärendes Wörterbuch von Ozhegov

• - MATRIX, Matrix, Matrix. adj. zu Matrix. Matrixkarton...

  Erklärendes Wörterbuch von Ushakov

• - Matrix I adj. rel. mit Substantiv. Matrix I damit verbunden II adj. 1. Verhältnis mit Substantiv. Matrix II, damit verbunden 2. Ermöglicht das Drucken mit einer Matrix. III adj. Verhältnis...

  Erklärendes Wörterbuch von Efremova

• - m "...

  Russisches Rechtschreibwörterbuch

• - ...

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• - Adj., Anzahl der Synonyme: 1 vier ...

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