Die inverse Matrix für eine gegebene Matrix ist eine solche Matrix, deren Multiplikation mit der Originalmatrix die Identitätsmatrix ergibt: Eine zwingende und ausreichende Bedingung für das Vorhandensein einer inversen Matrix ist, dass die Determinante der Originalmatrix ist ungleich Null (was wiederum impliziert, dass die Matrix quadratisch sein muss). Wenn die Determinante einer Matrix gleich Null ist, dann heißt sie singulär und eine solche Matrix hat keine Umkehrung. In der höheren Mathematik sind inverse Matrizen wichtig und werden zur Lösung einer Reihe von Problemen verwendet. Zum Beispiel am Finden der inversen Matrix gebaut Matrixmethode Gleichungssysteme lösen. Unsere Serviceseite ermöglicht Inverse Matrix online berechnen zwei Methoden: die Gauß-Jordan-Methode und die Verwendung der Matrix algebraischer Additionen. Die erste beinhaltet eine große Anzahl elementarer Transformationen innerhalb der Matrix, die zweite umfasst die Berechnung der Determinante und algebraische Additionen aller Elemente. Um die Determinante einer Matrix online zu berechnen, können Sie unseren anderen Service nutzen – Berechnung der Determinante einer Matrix online

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Für inverse Matrix Es gibt eine relevante Analogie mit der Umkehrung einer Zahl. Für jede Zahl A, ungleich Null, es gibt eine solche Zahl B dass die Arbeit A Und B gleich eins: ab= 1 . Nummer B wird als Kehrwert einer Zahl bezeichnet B. Für die Zahl 7 ist der Kehrwert beispielsweise 1/7, da 7*1/7=1.

Inverse Matrix , die für eine gegebene quadratische Matrix gefunden werden muss A, so heißt eine solche Matrix

das Produkt der Matrizen A rechts ist die Identitätsmatrix, d.h.
. (1)

Eine Identitätsmatrix ist eine Diagonalmatrix, in der alle Diagonalelemente gleich eins sind.

Finden der inversen Matrix- ein Problem, das oft mit zwei Methoden gelöst wird:

• die Methode der algebraischen Additionen, die das Finden von Determinanten und das Transponieren von Matrizen erfordert;
• die Gaußsche Methode zur Eliminierung von Unbekannten, die die Durchführung elementarer Matrizentransformationen erfordert (Zeilen hinzufügen, Zeilen mit derselben Zahl multiplizieren usw.).

Für besonders Neugierige gibt es noch andere Methoden, zum Beispiel die Methode der linearen Transformationen. In dieser Lektion werden wir die drei genannten Methoden und Algorithmen analysieren, um mit diesen Methoden die inverse Matrix zu finden.

Satz.Für jede nicht singuläre (nicht entartete, nicht singuläre) quadratische Matrix kann man eine inverse Matrix finden, und zwar nur eine. Für eine spezielle (entartete, singuläre) quadratische Matrix existiert die inverse Matrix nicht.

Die quadratische Matrix heißt nicht speziell(oder nicht entartet, nicht singulär), wenn seine Determinante nicht Null ist, und besonders(oder degenerieren, Singular), wenn seine Determinante Null ist.

Die Umkehrung einer Matrix kann nur für eine quadratische Matrix gefunden werden. Natürlich ist auch die Umkehrmatrix quadratisch und hat die gleiche Ordnung wie die gegebene Matrix. Eine Matrix, für die eine inverse Matrix gefunden werden kann, wird als invertierbare Matrix bezeichnet.

Finden der inversen Matrix mithilfe der Gaußschen Unbekannten-Eliminationsmethode

Der erste Schritt, um die Umkehrung einer Matrix mithilfe der Gaußschen Eliminierungsmethode zu finden, besteht darin, sie der Matrix zuzuweisen A Identitätsmatrix derselben Ordnung, die durch einen vertikalen Balken getrennt ist. Wir erhalten eine duale Matrix. Multiplizieren wir beide Seiten dieser Matrix mit, dann erhalten wir

,

Algorithmus zum Finden der inversen Matrix unter Verwendung der Gaußschen Unbekannten-Eliminationsmethode

1. Zur Matrix A Weisen Sie eine Identitätsmatrix derselben Ordnung zu.

2. Transformieren Sie die resultierende Dualmatrix so, dass Sie auf der linken Seite eine Einheitsmatrix und auf der rechten Seite anstelle der Identitätsmatrix automatisch eine inverse Matrix erhalten. Matrix A auf der linken Seite wird durch elementare Matrixtransformationen in die Identitätsmatrix transformiert.

2. Wenn im Prozess der Matrixtransformation A In der Identitätsmatrix gibt es in jeder Zeile oder Spalte nur Nullen, dann ist die Determinante der Matrix gleich Null und folglich die Matrix A wird singulär sein und hat keine inverse Matrix. In diesem Fall stoppt die weitere Bestimmung der inversen Matrix.

Beispiel 2. Für Matrix

Finden Sie die inverse Matrix.

und wir werden es so transformieren, dass wir auf der linken Seite eine Identitätsmatrix erhalten. Wir beginnen mit der Transformation.

Multiplizieren Sie die erste Zeile der linken und rechten Matrix mit (-3) und addieren Sie sie zur zweiten Zeile. Multiplizieren Sie dann die erste Zeile mit (-4) und addieren Sie sie zur dritten Zeile. Dann erhalten wir

.

Um sicherzustellen, dass es bei nachfolgenden Transformationen keine Bruchzahlen gibt, erstellen wir zunächst eine Einheit in der zweiten Zeile auf der linken Seite der Dualmatrix. Multiplizieren Sie dazu die zweite Zeile mit 2 und subtrahieren Sie die dritte Zeile davon, dann erhalten wir

.

Addieren wir die erste Zeile mit der zweiten, multiplizieren dann die zweite Zeile mit (-9) und addieren sie mit der dritten Zeile. Dann bekommen wir

.

Teilen Sie dann die dritte Zeile durch 8

.

Multiplizieren Sie die dritte Zeile mit 2 und addieren Sie sie zur zweiten Zeile. Es stellt sich heraus:

.

Vertauschen wir die zweite und dritte Zeile, dann erhalten wir endlich:

.

Wir sehen, dass wir auf der linken Seite die Identitätsmatrix haben, daher haben wir auf der rechten Seite die inverse Matrix. Auf diese Weise:

.

Sie können die Richtigkeit der Berechnungen überprüfen, indem Sie die Originalmatrix mit der gefundenen inversen Matrix multiplizieren:

Das Ergebnis sollte eine inverse Matrix sein.

Online-Rechner zum Ermitteln der inversen Matrix .

Beispiel 3. Für Matrix

Finden Sie die inverse Matrix.

Lösung. Kompilieren einer Dualmatrix

und wir werden es verwandeln.

Wir multiplizieren die erste Zeile mit 3 und die zweite mit 2 und subtrahieren von der zweiten, und dann multiplizieren wir die erste Zeile mit 5 und die dritte mit 2 und subtrahieren von der dritten Zeile, dann erhalten wir

.

Wir multiplizieren die erste Zeile mit 2 und addieren sie zur zweiten und subtrahieren dann die zweite von der dritten Zeile, dann erhalten wir

.

Wir sehen, dass in der dritten Zeile auf der linken Seite alle Elemente gleich Null sind. Daher ist die Matrix singulär und hat keine inverse Matrix. Wir hören auf, den inversen Maritz weiter zu finden.

Sie können die Lösung mit überprüfen

Gauß-Jordan-Methode. So finden Sie die Umkehrung einer Matrix
mit elementaren Transformationen?

Es war einmal der deutsche Mathematiker Wilhelm Jordan (wir transkribieren falsch aus dem DeutschenJordanien als Jordanien) setzte sich hin, um zu entscheiden ein anderes System Gleichungen. Er liebte dies und verbesserte seine Fähigkeiten in seiner Freizeit. Doch dann kam der Moment, in dem ihm die ganzen Lösungsmethoden langweilig wurden Gaußsche Methode einschließlich...

Angenommen, wir erhalten ein System mit drei Gleichungen und drei Unbekannten und schreiben seine erweiterte Matrix auf. Im häufigsten Fall erhalten Sie jeden Tag Standardschritte und so weiter ... Das Gleiche – wie hoffnungsloser Novemberregen.

Vertreibt die Melancholie für eine Weile ein anderer Weg Bringen der Matrix in eine Stufenform: , und es ist völlig gleichwertig und kann nur aufgrund der subjektiven Wahrnehmung unbequem sein. Aber früher oder später wird alles langweilig... Und dann dachte ich Ö rdan – warum sollte man sich überhaupt mit der Rückwärtsbewegung des Gaußschen Algorithmus beschäftigen? Ist es nicht einfacher, mit zusätzlichen Elementartransformationen sofort die Antwort zu erhalten?

...ja, das passiert nur aus Liebe =)

Um diese Lektion zu meistern, müssen „Dummies“ den F-Weg gehen Ö rdan und verbessern Sie elementare Transformationen auf mindestens ein durchschnittliches Niveau, nachdem Sie mindestens 15–20 relevante Aufgaben abgeschlossen haben. Wenn Sie also vage verstehen, worum es in dem Gespräch geht, und/oder Sie während des Unterrichts etwas falsch verstanden haben, empfehle ich Ihnen, sich in der folgenden Reihenfolge mit dem Thema vertraut zu machen:

Nun, es ist absolut wunderbar, wenn es klappt Reduzieren der Reihenfolge der Determinante.

Wie jeder versteht, handelt es sich bei der Gauß-Jordan-Methode um eine Modifikation Gauß-Methode und wir werden die Umsetzung der oben bereits geäußerten Hauptidee auf den nächstgelegenen Bildschirmen kennenlernen. Darüber hinaus enthält eines der wenigen Beispiele in diesem Artikel die wichtigste Anwendung – Finden der inversen Matrix mithilfe elementarer Transformationen.

Ohne weitere Umschweife:

Beispiel 1

Lösen Sie das System mit der Gauß-Jordan-Methode

Lösung: Dies ist die erste Aufgabe der Lektion Gaußsche Methode für Dummies, wobei wir die erweiterte Matrix des Systems fünfmal transformiert und in eine schrittweise Form gebracht haben:

Jetzt statt umkehren Zusätzlich kommen elementare Transformationen ins Spiel. Zuerst müssen wir an diesen Stellen Nullen bekommen: ,
und dann noch eine Null hier: .

Ein Idealfall aus Sicht der Einfachheit:

(6) Der zweiten Zeile wurde eine dritte Zeile hinzugefügt. Der ersten Zeile wurde eine dritte Zeile hinzugefügt.

(7) Die zweite Zeile wurde zur ersten Zeile addiert und mit –2 multipliziert.

Ich kann nicht anders, als das endgültige System zu veranschaulichen:

Antwort:

Ich warne die Leser davor, in eine schelmische Stimmung zu geraten – dies war ein einfaches Demonstrationsbeispiel. Die Gauß-Jordan-Methode hat ihre eigenen spezifischen Techniken und ist nicht die bequemste Berechnung, also bereiten Sie sich bitte auf ernsthafte Arbeiten vor.

Ich möchte nicht kategorisch oder wählerisch wirken, aber in der überwiegenden Mehrheit der Informationsquellen, die ich gesehen habe, werden typische Probleme äußerst schlecht berücksichtigt – man muss ein großartiges Gehirn haben und viel Zeit/Nerven in ein schwieriges, schwieriges Problem investieren. umständliche Lösung mit Brüchen. Im Laufe der Jahre der Praxis habe ich es geschafft, zu polieren, ich werde nicht sagen, dass es die beste ist, aber eine rationale und ziemlich einfache Methode, die für jeden zugänglich ist, der sich mit arithmetischen Operationen auskennt:

Beispiel 2

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Gauß-Jordan-Methode.

Lösung: Der erste Teil der Aufgabe ist sehr bekannt:

(1) Die erste Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert, multipliziert mit –1. Die erste Zeile, multipliziert mit 3, wurde zur dritten Zeile hinzugefügt. Die erste Zeile, multipliziert mit –5, wurde zur vierten Zeile hinzugefügt.

(2) Die zweite Zeile wird durch 2 geteilt, die dritte Zeile wird durch 11 geteilt, die vierte Zeile wird durch 3 geteilt.

(3) Die zweite und dritte Zeile sind proportional, die dritte Zeile wurde entfernt. Zur vierten Zeile wurde eine zweite Zeile hinzugefügt, multipliziert mit –7

(4) Die dritte Zeile wurde durch 2 geteilt.

Es ist offensichtlich, dass das System unendlich viele Lösungen hat, und unsere Aufgabe besteht darin, seine erweiterte Matrix in die Form zu bringen .

Wie geht es weiter? Zunächst ist anzumerken, dass wir eine leckere elementare Transformation verloren haben – die Neuanordnung der Saiten. Genauer gesagt ist es möglich, sie neu anzuordnen, aber das hat keinen Sinn (wir werden einfach unnötige Aktionen ausführen). Und dann empfiehlt es sich, sich an folgende Vorlage zu halten:

Wir finden kleinstes gemeinsames Vielfaches Zahlen in der dritten Spalte (1, –1 und 3), d.h. - die kleinste Zahl, die ohne Rest durch 1, -1 und 3 teilbar wäre. In diesem Fall ist es natürlich „drei“. Jetzt In der dritten Spalte müssen wir Zahlen erhalten, deren Modul identisch ist, und diese Überlegungen bestimmen die 5. Transformation der Matrix:

(5) Wir multiplizieren die erste Zeile mit –3, multiplizieren die zweite Zeile mit 3. Im Allgemeinen könnte die erste Zeile auch mit 3 multipliziert werden, aber das wäre für die nächste Aktion weniger praktisch. An gute Dinge gewöhnt man sich schnell:

(6) Der zweiten Zeile wurde eine dritte Zeile hinzugefügt. Der ersten Zeile wurde eine dritte Zeile hinzugefügt.

(7) Die zweite Spalte enthält zwei Werte ungleich Null (24 und 6) und wir müssen sie erneut ermitteln Zahlen mit identischem Modul. In diesem Fall hat alles ganz gut geklappt - das kleinste Vielfache von 24, und am effektivsten ist es, die zweite Zeile mit -4 zu multiplizieren.

(8) Zur ersten Zeile wurde eine zweite Zeile hinzugefügt.

(9) Letzter Schliff: Die erste Zeile wird durch -3 geteilt, die zweite Zeile wird durch -24 geteilt und die dritte Zeile wird durch 3 geteilt. Diese Aktion wird ausgeführt LETZTES MAL! Keine vorzeitigen Brüche!

Als Ergebnis elementarer Transformationen wurde ein äquivalentes Originalsystem erhalten:

Wir drücken die Grundvariablen einfach durch die freie Variable aus:

und schreibe:

Antwort: gemeinsame Entscheidung:

In solchen Beispielen ist die Verwendung des betrachteten Algorithmus am häufigsten gerechtfertigt, da das Gegenteil der Fall ist Gauß-Methode erfordert normalerweise zeitaufwändige und frustrierende Berechnungen mit Brüchen.

Und natürlich ist eine Überprüfung äußerst wünschenswert, die nach dem in der Lektion besprochenen üblichen Schema durchgeführt wird Inkompatible Systeme und Systeme mit einer gemeinsamen Lösung.

Um es selbst zu lösen:

Beispiel 3

Finden Sie eine grundlegende Lösung mithilfe elementarer Transformationen

Diese Problemstellung setzt die Verwendung der Gauß-Jordan-Methode voraus und in der Beispiellösung wird die Matrix auf die Standardform reduziert mit Basisvariablen. Denken Sie jedoch immer daran Sie können andere Variablen als Basisvariablen auswählen. Wenn also beispielsweise die erste Spalte umständliche Zahlen enthält, ist es durchaus akzeptabel, die Matrix auf das Formular zu reduzieren (Basisvariablen) oder auf das Formular (Basisvariablen) oder sogar auf das Formular mit Basisvariablen. Es gibt andere Möglichkeiten.

Dennoch handelt es sich hierbei um Extremfälle – es besteht kein Grund, die Lehrer noch einmal mit Ihrem Wissen und Ihrer Lösungstechnik zu schockieren, und noch mehr, es besteht kein Grund, exotische jordanische Ergebnisse wie z . Es kann jedoch schwierig sein, der Verwendung einer atypischen Basis zu widerstehen, wenn die ursprüngliche Matrix, beispielsweise in der 4. Spalte, zwei vorgefertigte Nullen enthält.

Notiz : Der Begriff „Basis“ hat eine algebraische Bedeutung und ein algebraisches Konzept geometrische Basis hat damit nichts zu tun!

Wenn in der erweiterten Matrix der Datengrößen plötzlich ein Paar entdeckt wird linear abhängig Linien, dann sollten Sie versuchen, es in seine gewohnte Form zu bringen mit Basisvariablen. Ein Beispiel für eine solche Entscheidung finden Sie in Beispiel Nr. 7 des Artikels über homogene lineare Gleichungssysteme, und da eine andere Basis gewählt wird.

Wir verbessern weiterhin unsere Fähigkeiten in Bezug auf das folgende angewandte Problem:

Wie finde ich die inverse Matrix mit der Gaußschen Methode?

Normalerweise wird die Bedingung abgekürzt formuliert, aber im Wesentlichen funktioniert auch hier der Gauß-Jordan-Algorithmus. Eine einfachere Methode zum Finden inverse Matrix Für eine quadratische Matrix haben wir uns vor langer Zeit in der entsprechenden Lektion damit befasst, und im harten Spätherbst beherrschen erfahrene Schüler eine meisterhafte Lösungsmethode.

Zusammenfassung Die nächsten Aktionen sind wie folgt: Zuerst sollten Sie eine quadratische Matrix zusammen mit der Identitätsmatrix schreiben: . Dann ist es notwendig, mithilfe elementarer Transformationen die Identitätsmatrix auf der linken Seite zu erhalten, während (ohne auf theoretische Details einzugehen) die inverse Matrix wird rechts gezeichnet. Schematisch sieht die Lösung so aus:

(Es ist klar, dass die inverse Matrix existieren muss)

Demo 4

Finden wir die inverse Matrix für eine Matrix mithilfe elementarer Transformationen. Dazu schreiben wir es in einem Geschirr mit der Identitätsmatrix und die „Zwei der Pferde“ stürmen davon:

(1) Die erste Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert, multipliziert mit –3.

(2) Zur ersten Zeile wurde eine zweite Zeile hinzugefügt.

(3) Die zweite Zeile wurde durch –2 geteilt.

Antwort:

Überprüfen Sie die Antwort in der ersten Beispiellektion Wie finde ich die Umkehrung einer Matrix?

Aber es war nur ein weiteres verlockendes Problem – in Wirklichkeit ist die Lösung viel zeitaufwändiger und mühsamer. Normalerweise wird Ihnen eine Drei-mal-Drei-Matrix angezeigt:

Beispiel 5

Lösung: Wir hängen die Identitätsmatrix an und beginnen mit der Durchführung von Transformationen, wobei wir uns an den „üblichen“ Algorithmus halten Gauß-Methode:

(1) Die erste und dritte Zeile wurden vertauscht. Auf den ersten Blick scheint das Neuanordnen von Zeilen illegal zu sein, aber tatsächlich ist es möglich, sie neu anzuordnen – schließlich müssen wir links die Identitätsmatrix erhalten, und rechts werden wir „erzwingen“, genau die Matrix zu erhalten (unabhängig davon, ob wir die Zeilen während der Lösung neu anordnen oder nicht). Bitte beachten Sie, dass Sie hier statt Permutation auch „Sechser“ in der 1. Spalte anordnen können (Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) von 3, 2 und 1). Die LCM-Lösung ist besonders praktisch, wenn in der ersten Spalte keine „Einheiten“ vorhanden sind.

(2) Die 1. Zeile wurde zur 2. und 3. Zeile addiert, jeweils mit –2 und –3 multipliziert.

(3) Die 2. Zeile wurde zur 3. Zeile addiert, multipliziert mit –1

Der zweite Teil der Lösung erfolgt nach dem bereits aus dem vorherigen Absatz bekannten Schema: Permutationen von Zeilen werden bedeutungslos und wir finden das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen in der dritten Spalte (1, –5, 4): 20 Es gibt einen strengen Algorithmus zum Finden des LCM, aber hier reicht normalerweise die Auswahl aus. Es ist in Ordnung, wenn Sie eine größere Zahl nehmen, die durch 1, -5 und 4 teilbar ist, zum Beispiel die Zahl 40. Der Unterschied liegt in umständlicheren Berechnungen.

Apropos Berechnungen. Um das Problem zu lösen, ist es keine Schande, sich mit einem Mikrorechner zu bewaffnen – hier geht es um viele Zahlen, und es wäre sehr enttäuschend, einen Rechenfehler zu machen.

(4) Multiplizieren Sie die dritte Zeile mit 5, die zweite Zeile mit 4, die erste Zeile mit „minus zwanzig“:

(5) Zur 1. und 2. Zeile wurde eine dritte Zeile hinzugefügt.

(6) Die erste und dritte Zeile wurden durch 5 geteilt, die zweite Zeile wurde mit –1 multipliziert.

(7) Das kleinste gemeinsame Vielfache der von Null verschiedenen Zahlen in der zweiten Spalte (–20 und 44) ​​ist 220. Multiplizieren Sie die erste Zeile mit 11, die zweite Zeile mit 5.

(8) Zur ersten Zeile wurde eine zweite Zeile hinzugefügt.

(9) Die erste Zeile wurde mit –1 multipliziert, die zweite Zeile wurde „rückwärts“ durch 5 dividiert.

(10) Jetzt auf der Hauptdiagonale der linken Matrix ist es ratsam, zu erhalten kleinstes gemeinsames Vielfaches diagonaler Zahlen (44, 44 und 4). Es ist absolut klar, dass diese Zahl 44 ist. Wir multiplizieren die dritte Zeile mit 11.

(11) Teilen Sie jede Zeile durch 44. Diese Aktion wird zuletzt ausgeführt!

Die Umkehrmatrix lautet also:

Das Einfügen und Entfernen von Tasks sind im Prinzip unnötige Aktionen, dies ist jedoch im Task-Registrierungsprotokoll erforderlich.

Antwort:

Die Prüfung erfolgt nach dem üblichen Schema, das in der Lektion über besprochen wird inverse Matrix.

Fortgeschrittene können die Lösung etwas abkürzen, aber ich muss Sie warnen, dass Eile hier mit einem ERHÖHTEN Fehlerrisiko verbunden ist.

Eine ähnliche Aufgabe zur unabhängigen Lösung:

Beispiel 6

Finden Sie die inverse Matrix mit der Gauß-Jordan-Methode.

Ein ungefähres Beispiel einer Aufgabe finden Sie unten auf der Seite. Und damit Sie nicht „durch Singen fahren“, habe ich die Lösung im bereits erwähnten Stil entworfen – ausschließlich durch das LCM von Spalten ohne eine einzige Neuanordnung von Zeilen und zusätzliche künstliche Transformationen. Meiner Meinung nach, Dieses Schema ist, wenn nicht das zuverlässigste, dann eines der zuverlässigsten.

Manchmal ist eine kürzere „modernistische“ Lösung praktisch, die wie folgt lautet: Im ersten Schritt ist alles wie gewohnt: .

Im zweiten Schritt werden mithilfe einer bewährten Technik (über die LCM der Zahlen in der 2. Spalte) zwei Nullen gleichzeitig in der zweiten Spalte organisiert: . Es ist besonders schwierig, dieser Aktion zu widerstehen, wenn die 2. Spalte Zahlen mit dem gleichen absoluten Wert enthält, beispielsweise mit den gleichen banalen „Einheiten“.

Und schließlich erhalten wir im dritten Schritt auf die gleiche Weise die erforderlichen Nullen in der dritten Spalte: .

Was die Dimension angeht, ist es in den meisten Fällen notwendig, die „Drei-mal-Drei“-Matrix aufzulösen. Von Zeit zu Zeit gibt es jedoch eine leichtere Version des Problems mit einer „zwei mal zwei“-Matrix und eine harte Version ... – eine Website speziell für alle Leser:

Beispiel 7

Finden Sie die Umkehrung einer Matrix mithilfe elementarer Transformationen

Dies ist eine Aufgabe aus meinem eigenen Physik- und Mathematiktest in Algebra, ... oh, wo ist mein erstes Jahr =) Vor fünfzehn Jahren (das Blatt ist überraschenderweise noch nicht gelb geworden), ich habe es in 8 Schritten gemacht, aber jetzt sind es nur noch 6! Die Matrix ist übrigens sehr kreativ – gleich im ersten Schritt sind mehrere verlockende Lösungen sichtbar. Meine neueste Version finden Sie unten auf der Seite.

Und zum Schluss noch ein Tipp: Nach solchen Beispielen sind Augengymnastik und gute Musik zur Entspannung sehr nützlich =)

Ich wünsche Ihnen Erfolg!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 3: Lösung: Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems auf und erhalten mithilfe elementarer Transformationen die Grundlösung:


(1) Die erste und zweite Zeile wurden vertauscht.
(2) Die erste Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert, multipliziert mit –2. Die erste Zeile wurde zur dritten Zeile addiert und mit 5 multipliziert.
(3) Die dritte Zeile wurde durch 3 geteilt.
(4) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile addiert und mit 2 multipliziert.
(5) Die dritte Zeile wurde durch 7 geteilt.
(6) Das kleinste Vielfache der Zahlen in der 3. Spalte (–3, 5, 1) ist 15. Die erste Zeile wird mit 5 multipliziert, die zweite Zeile wird mit –3 multipliziert, die dritte Zeile wird mit 15 multipliziert.
(7) Der ersten Zeile wurde eine dritte Zeile hinzugefügt. Der zweiten Zeile wurde eine dritte Zeile hinzugefügt.
(8) Die erste Zeile wurde durch 5 geteilt, die zweite Zeile wurde durch –3 geteilt, die dritte Zeile wurde durch 15 geteilt.
(9) Das kleinste Vielfache der von Null verschiedenen Zahlen in der 2. Spalte (–2 und 1) ist gleich: 2. Die zweite Zeile wurde mit 2 multipliziert
(10) Zur ersten Zeile wurde eine zweite Zeile hinzugefügt.
(11) Die zweite Zeile wurde durch 2 geteilt.
Lassen Sie uns die Grundvariablen als freie Variablen ausdrücken:

Antwort : gemeinsame Entscheidung:

Beispiel 6: Lösung: Wir finden die inverse Matrix mithilfe elementarer Transformationen:


(1) Die erste Zeile wurde mit –15 multipliziert, die zweite Zeile wurde mit 3 multipliziert, die dritte Zeile wurde mit 5 multipliziert.
(2) Die erste Zeile wurde zur zweiten und dritten Zeile hinzugefügt.
(3) Die erste Zeile wurde durch –15 geteilt, die zweite Zeile wurde durch –3 geteilt, die dritte Zeile wurde durch –5 geteilt.
(4) Die zweite Zeile wurde mit 7 multipliziert, die dritte Zeile wurde mit –9 multipliziert.
(5) Der dritten Zeile wurde eine zweite Zeile hinzugefügt.


(6) Die zweite Zeile wurde durch 7 geteilt.
(7) Die erste Zeile wurde mit 27 multipliziert, die zweite Zeile wurde mit 6 multipliziert, die dritte Zeile wurde mit –4 multipliziert.
(8) Zur ersten und zweiten Zeile wurde eine dritte Zeile hinzugefügt.
(9) Die dritte Zeile wurde durch –4 geteilt. Die zweite Zeile wurde zur ersten Zeile addiert und mit –1 multipliziert.
(10) Die zweite Zeile wurde durch 2 geteilt.
(11) Jede Zeile wurde durch 27 geteilt.
Ergebend:
Antwort :

Beispiel 7: Lösung: Finden wir die inverse Matrix mit der Gauß-Jordan-Methode:
(1) Zur 1. und 4. Zeile wurde eine 3. Zeile hinzugefügt.
(2) Die erste und vierte Zeile wurden vertauscht.
(3) Die 1. Zeile wurde zur 2. Zeile hinzugefügt. Die 1. Zeile wurde zur 3. Zeile addiert und mit 2 multipliziert:


(4) Die 2. Zeile wurde zur 3. Zeile addiert, multipliziert mit –2. Zur 4. Zeile wurde eine 2. Zeile hinzugefügt.
(5) Die 4. Zeile wurde zur 1. und 3. Zeile addiert, multipliziert mit –1.
(6) Die zweite Zeile wurde mit –1 multipliziert, die dritte Zeile wurde durch –2 dividiert.
Antwort :

Typischerweise werden Umkehroperationen verwendet, um komplexe algebraische Ausdrücke zu vereinfachen. Wenn das Problem beispielsweise die Division durch einen Bruch betrifft, können Sie es durch die Operation der Multiplikation mit dem Kehrwert eines Bruchs ersetzen, was die Umkehroperation ist. Darüber hinaus können Matrizen nicht geteilt werden, sodass Sie mit der inversen Matrix multiplizieren müssen. Die Umkehrung einer 3x3-Matrix zu berechnen ist ziemlich mühsam, aber Sie müssen in der Lage sein, dies manuell zu tun. Sie können den Kehrwert auch mit einem guten Grafikrechner ermitteln.

Schritte

Verwendung der adjungierten Matrix

Transponieren Sie die ursprüngliche Matrix. Transposition ist das Ersetzen von Zeilen durch Spalten relativ zur Hauptdiagonale der Matrix, d. h. Sie müssen die Elemente (i,j) und (j,i) vertauschen. In diesem Fall ändern sich die Elemente der Hauptdiagonale (beginnt in der oberen linken Ecke und endet in der unteren rechten Ecke) nicht.

• Um Zeilen in Spalten umzuwandeln, schreiben Sie die Elemente der ersten Zeile in die erste Spalte, die Elemente der zweiten Zeile in die zweite Spalte und die Elemente der dritten Zeile in die dritte Spalte. Die Reihenfolge der Änderung der Position der Elemente ist in der Abbildung dargestellt, in der die entsprechenden Elemente mit farbigen Kreisen umkreist sind.

Finden Sie die Definition jeder 2x2-Matrix. Jedes Element einer beliebigen Matrix, einschließlich einer transponierten, ist einer entsprechenden 2x2-Matrix zugeordnet. Um eine 2x2-Matrix zu finden, die einem bestimmten Element entspricht, streichen Sie die Zeile und Spalte durch, in der sich das angegebene Element befindet. Das heißt, Sie müssen fünf Elemente der ursprünglichen 3x3-Matrix durchstreichen. Es bleiben vier Elemente ungekreuzt, die Elemente der entsprechenden 2x2-Matrix sind.

• Um beispielsweise eine 2x2-Matrix für das Element zu finden, das sich am Schnittpunkt der zweiten Zeile und der ersten Spalte befindet, streichen Sie die fünf Elemente in der zweiten Zeile und der ersten Spalte durch. Die restlichen vier Elemente sind Elemente der entsprechenden 2x2-Matrix.
• Finden Sie die Determinante jeder 2x2-Matrix. Subtrahieren Sie dazu das Produkt der Elemente der Nebendiagonale vom Produkt der Elemente der Hauptdiagonale (siehe Abbildung).
• Detaillierte Informationen zu 2x2-Matrizen, die bestimmten Elementen einer 3x3-Matrix entsprechen, finden Sie im Internet.

Erstellen Sie eine Cofaktormatrix. Schreiben Sie die zuvor erhaltenen Ergebnisse in Form einer neuen Cofaktormatrix. Schreiben Sie dazu die gefundene Determinante jeder 2x2-Matrix dort auf, wo sich das entsprechende Element der 3x3-Matrix befand. Wenn Sie beispielsweise eine 2x2-Matrix für das Element (1,1) in Betracht ziehen, schreiben Sie dessen Determinante an Position (1,1). Ändern Sie dann die Vorzeichen der entsprechenden Elemente nach einem bestimmten Schema, das in der Abbildung dargestellt ist.

• Schema zum Vorzeichenwechsel: Das Vorzeichen des ersten Elements der ersten Zeile ändert sich nicht; das Vorzeichen des zweiten Elements der ersten Zeile wird umgekehrt; Das Vorzeichen des dritten Elements der ersten Zeile ändert sich nicht und so weiter Zeile für Zeile. Bitte beachten Sie, dass die im Diagramm (siehe Abbildung) dargestellten „+“- und „-“-Zeichen nicht darauf hinweisen, dass das entsprechende Element positiv oder negativ ist. In diesem Fall zeigt das „+“-Zeichen an, dass sich das Vorzeichen des Elements nicht ändert, und das „-“-Zeichen zeigt eine Änderung des Vorzeichens des Elements an.
• Detaillierte Informationen zu Cofaktor-Matrizen finden Sie im Internet.
• Auf diese Weise finden Sie die adjungierte Matrix der Originalmatrix. Sie wird manchmal als komplex konjugierte Matrix bezeichnet. Eine solche Matrix wird als adj(M) bezeichnet.

Teilen Sie jedes Element der adjungierten Matrix durch seine Determinante. Die Determinante der Matrix M wurde gleich zu Beginn berechnet, um zu überprüfen, ob die inverse Matrix existiert. Teilen Sie nun jedes Element der adjungierten Matrix durch diese Determinante. Schreiben Sie das Ergebnis jeder Divisionsoperation dort, wo sich das entsprechende Element befindet. Auf diese Weise finden Sie die zum Original inverse Matrix.

• Die Determinante der in der Abbildung dargestellten Matrix ist 1. Daher ist die adjungierte Matrix hier die inverse Matrix (denn wenn eine beliebige Zahl durch 1 geteilt wird, ändert sie sich nicht).
• In einigen Quellen wird die Divisionsoperation durch die Multiplikationsoperation mit 1/det(M) ersetzt. Am Endergebnis ändert sich jedoch nichts.

Schreiben Sie die inverse Matrix. Schreiben Sie die Elemente, die sich in der rechten Hälfte der großen Matrix befinden, als separate Matrix, die die inverse Matrix ist.

Mit einem Taschenrechner

Wählen Sie einen Rechner, der mit Matrizen arbeitet. Es ist nicht möglich, die Umkehrung einer Matrix mit einfachen Taschenrechnern zu ermitteln, aber mit einem guten Grafikrechner wie dem Texas Instruments TI-83 oder TI-86 ist dies möglich.

Geben Sie die Originalmatrix in den Speicher des Rechners ein. Klicken Sie dazu auf die Schaltfläche Matrix, sofern verfügbar. Bei einem Taschenrechner von Texas Instruments müssen Sie möglicherweise die 2.-Taste und die Matrix-Taste drücken.

Wählen Sie das Menü Bearbeiten. Verwenden Sie dazu die Pfeiltasten oder die entsprechende Funktionstaste oben auf der Tastatur des Rechners (die Position der Taste variiert je nach Rechnermodell).

Geben Sie die Matrixschreibweise ein. Die meisten Grafikrechner können mit 3–10 benennbaren Matrizen arbeiten Buchstaben A-J. Normalerweise wählen Sie einfach [A] aus, um die Originalmatrix festzulegen. Drücken Sie dann die Enter-Taste.

Geben Sie die Matrixgröße ein. In diesem Artikel geht es um 3x3-Matrizen. Grafikrechner können aber auch mit großen Matrizen arbeiten. Geben Sie die Anzahl der Zeilen ein, drücken Sie die Eingabetaste, geben Sie dann die Anzahl der Spalten ein und drücken Sie erneut die Eingabetaste.

Geben Sie jedes Matrixelement ein. Auf dem Rechnerbildschirm wird eine Matrix angezeigt. Wenn Sie zuvor eine Matrix in den Rechner eingegeben haben, erscheint diese auf dem Bildschirm. Der Cursor markiert das erste Element der Matrix. Geben Sie den Wert für das erste Element ein und drücken Sie die Eingabetaste. Der Cursor bewegt sich automatisch zum nächsten Matrixelement.

Die Matrix $A^(-1)$ heißt die Umkehrung der quadratischen Matrix $A$, wenn die Bedingung $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ erfüllt ist, wobei $E $ die Identitätsmatrix ist, deren Ordnung gleich der Ordnung der Matrix $A$ ist.

Eine nicht singuläre Matrix ist eine Matrix, deren Determinante ungleich Null ist. Dementsprechend ist eine singuläre Matrix eine Matrix, deren Determinante gleich Null ist.

Die inverse Matrix $A^(-1)$ existiert genau dann, wenn die Matrix $A$ nicht singulär ist. Wenn die inverse Matrix $A^(-1)$ existiert, dann ist sie eindeutig.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Umkehrung einer Matrix zu finden, und wir werden uns zwei davon ansehen. Auf dieser Seite wird die Adjungierte-Matrix-Methode besprochen, die in den meisten höheren Mathematikkursen als Standard gilt. Die zweite Methode zur Ermittlung der inversen Matrix (die Methode der Elementartransformationen), die die Verwendung der Gauß-Methode oder der Gauß-Jordan-Methode beinhaltet, wird im zweiten Teil besprochen.

Methode der adjungierten Matrix

Gegeben sei die Matrix $A_(n\times n)$. Um die inverse Matrix $A^(-1)$ zu finden, sind drei Schritte erforderlich:

1. Finden Sie die Determinante der Matrix $A$ und stellen Sie sicher, dass $\Delta A\neq 0$, d.h. dass Matrix A nicht singulär ist.
2. Bilden Sie algebraische Komplemente $A_(ij)$ jedes Elements der Matrix $A$ und schreiben Sie die Matrix $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ aus der gefundenen Algebra Ergänzungen.
3. Schreiben Sie die inverse Matrix unter Berücksichtigung der Formel $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Die Matrix $(A^(*))^T$ wird oft als adjungiert (reziprok, verbündet) zur Matrix $A$ bezeichnet.

Wenn die Lösung manuell erfolgt, ist die erste Methode nur für Matrizen relativ kleiner Ordnung geeignet: zweite (), dritte (), vierte (). Um die Umkehrung einer Matrix höherer Ordnung zu finden, werden andere Methoden verwendet. Zum Beispiel die Gaußsche Methode, die im zweiten Teil besprochen wird.

Beispiel Nr. 1

Finden Sie die Umkehrung der Matrix $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Da alle Elemente der vierten Spalte gleich Null sind, ist $\Delta A=0$ (d. h. die Matrix $A$ ist singulär). Da $\Delta A=0$ ist, gibt es keine inverse Matrix zur Matrix $A$.

Antwort: Matrix $A^(-1)$ existiert nicht.

Beispiel Nr. 2

Finden Sie die Umkehrung der Matrix $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$. Prüfung durchführen.

Wir verwenden die Methode der adjungierten Matrix. Finden wir zunächst die Determinante der gegebenen Matrix $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Da $\Delta A \neq 0$ ist, existiert die inverse Matrix, daher werden wir mit der Lösung fortfahren. Algebraische Komplemente finden

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligned)

Wir erstellen eine Matrix algebraischer Additionen: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Wir transponieren die resultierende Matrix: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the Die resultierende Matrix wird oft als adjungierte oder mit der Matrix $A$ verbündete Matrix bezeichnet. Mit der Formel $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ erhalten wir:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Somit wird die inverse Matrix gefunden: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\right) $. Um die Wahrheit des Ergebnisses zu überprüfen, reicht es aus, die Wahrheit einer der Gleichungen zu überprüfen: $A^(-1)\cdot A=E$ oder $A\cdot A^(-1)=E$. Überprüfen wir die Gleichheit $A^(-1)\cdot A=E$. Um weniger mit Brüchen arbeiten zu müssen, ersetzen wir die Matrix $A^(-1)$ nicht in der Form $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, und in der Form $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array )\right)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( array)\right)\cdot\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(array) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array )\right) =E $$

Antwort: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Beispiel Nr. 3

Finden Sie die inverse Matrix für die Matrix $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ . Prüfung durchführen.

Beginnen wir mit der Berechnung der Determinante der Matrix $A$. Die Determinante der Matrix $A$ ist also:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Da $\Delta A\neq 0$ ist, existiert die inverse Matrix, daher werden wir mit der Lösung fortfahren. Wir finden die algebraischen Komplemente jedes Elements einer gegebenen Matrix:

$$ \begin(aligned) & A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(array)(cc) 9 & 4\\ 3 & 2\end(array)\right| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 &4 \\ 0 & 2\end(array)\right|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 & 9\\ 0 & 3\end(array)\right|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 3 & 2\end(array)\right|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ 0 & 2\end(array)\right|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ 0 & 3\end(array)\right|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 9 & 4\end(array)\right|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ -4 & 4\end(array)\right|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ -4 & 9\end(array)\right|=37. \end(ausgerichtet) $$

Wir erstellen eine Matrix algebraischer Additionen und transponieren sie:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) . $$

Mit der Formel $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ erhalten wir:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Also $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Um die Wahrheit des Ergebnisses zu überprüfen, reicht es aus, die Wahrheit einer der Gleichungen zu überprüfen: $A^(-1)\cdot A=E$ oder $A\cdot A^(-1)=E$. Überprüfen wir die Gleichheit $A\cdot A^(-1)=E$. Um weniger mit Brüchen arbeiten zu müssen, ersetzen wir die Matrix $A^(-1)$ nicht in der Form $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ und in der Form $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(array)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(array) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(array) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end (array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(array) \right) =E $$

Die Prüfung war erfolgreich, die inverse Matrix $A^(-1)$ wurde korrekt gefunden.

Antwort: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Beispiel Nr. 4

Finden Sie die Matrixinverse der Matrix $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Für eine Matrix vierter Ordnung ist es etwas schwierig, die inverse Matrix mithilfe algebraischer Additionen zu finden. Allerdings sind solche Beispiele in Tests treffen.

Um die Umkehrung einer Matrix zu finden, müssen Sie zunächst die Determinante der Matrix $A$ berechnen. Der beste Weg, dies in dieser Situation zu tun, besteht darin, die Determinante entlang einer Zeile (Spalte) zu zerlegen. Wir wählen eine beliebige Zeile oder Spalte aus und finden die algebraischen Komplemente jedes Elements der ausgewählten Zeile oder Spalte.

Für die erste Zeile erhalten wir beispielsweise:

$$ A_(11)=\left|\begin(array)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(array)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(array)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(array)\right|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(array)\right|=-112. $$

Die Determinante der Matrix $A$ wird nach folgender Formel berechnet:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14 )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(aligned) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(ausgerichtet) $$

Matrix algebraischer Komplemente: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end(array)\right)$.

Adjungierte Matrix: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(array)\right)$.

Inverse Matrix:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $$

Die Prüfung kann, falls gewünscht, auf die gleiche Weise wie in den vorherigen Beispielen erfolgen.

Antwort: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $.

Im zweiten Teil betrachten wir eine andere Möglichkeit, die inverse Matrix zu finden, die die Verwendung von Transformationen der Gaußschen Methode oder der Gauß-Jordan-Methode beinhaltet.