20-то изд. - М.: 2010.- 416 с.

Книгата очертава основите на механиката на материална точка, системата от материални точки и твърдо тялов размер, съответстващ на програмите на техническите университети. Дадени са много примери и задачи, чиито решения са придружени с подходящи насоки. За студенти от редовни и задочни технически университети.

формат: pdf

размер: 14 MB

Гледайте, изтеглете: drive.google

СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор към тринадесетото издание 3
Въведение 5
РАЗДЕЛ ПЪРВИ СТАТИКА НА ТВЪРДО ТЯЛО
Глава I. Основни понятия Начални разпоредби на членове 9
41. Абсолютно твърдо тяло; сила. Задачи по статика 9
12. Изходни позициистатика » 11
$ 3. Връзки и техните реакции 15
Глава II. Състав на силите. Система от събиращи се сили 18
§4. Геометрично! Метод на обединяване на силите. Резултат от събиращите се сили, разлагане на силите 18
f 5. Проекции на сила върху оста и върху равнината, Аналитичен метод за задаване и добавяне на сили 20
16. Равновесие на системата от събиращи се сили_. . . 23
17. Решаване на задачи по статика. 25
Глава III. Силов момент около центъра. Силова двойка 31
i 8. Силов момент около центъра (или точката) 31
| 9. Няколко сили. двойка момент 33
f 10*. Теореми за еквивалентност и добавяне на двойки 35
Глава IV. Привеждане на системата от сили към центъра. Условия на равновесие... 37
f 11. Теорема 37 за паралелен пренос на сила
112. Привеждане на системата от сили към даден център - . .38
§ 13. Условия за равновесие на система от сили. Теорема за момента на резултантната 40
Глава V. Плоска система от сили 41
§ 14. Алгебрични моменти на сила и двойки 41
115. Намаляване на плоска система от сили до най-простата форма .... 44
§ 16. Равновесие на плоска система от сили. Случаят на успоредни сили. 46
§ 17. Решаване на задачи 48
118. Равновесие на системи от тела 63
§ 19*. Статично определени и статично неопределени системи от тела (конструкции) 56"
f 20*. Определение за вътрешни сили. 57
§ 21*. Разпределени сили 58
E22*. Изчисляване на плоски ферми 61
Глава VI. Триене 64
! 23. Закони на триенето при плъзгане 64
: 24. Реакции на груби връзки. Ъгъл на триене 66
: 25. Равновесие при наличие на триене 66
(26*. Триене на резба върху цилиндрична повърхност 69
1 27*. Триене при търкаляне 71
Глава VII. Пространствена система от сили 72
§28. Силов момент около оста. Изчисляване на главен вектор
и главният момент на системата от сили 72
§ 29*. Намаляване на пространствената система от сили до най-проста форма 77
§тридесет. Равновесие на произволна пространствена система от сили. Случаят на успоредни сили
Глава VIII. Център на тежестта 86
§31. Център на паралелни сили 86
§ 32. Силово поле. Център на тежестта на твърдо тяло 88
§ 33. Координати на центровете на тежестта на еднородни тела 89
§ 34. Методи за определяне на координатите на центровете на тежестта на телата. 90
§ 35. Центрове на тежестта на някои еднородни тела 93
РАЗДЕЛ ВТОРИ КИНЕМАТИКА НА ТОЧКА И ТВЪРДО ТЯЛО
Глава IX. Точкова кинематика 95
§ 36. Въведение в кинематиката 95
§ 37. Методи за уточняване на движението на точка. . 96
§38. Вектор на точковата скорост,. 99
§ 39
§40. Определяне на скоростта и ускорението на точка с координатния метод за уточняване на движение 102
§41. Решаване на задачи по точкова кинематика 103
§ 42. Оси на естествен тристен. Числова стойностскорост 107
§ 43. Тангенса и нормално ускорение на точка 108
§44. Някои специални случаи на движение на точка в софтуера
§45. Графики на движение, скорост и ускорение на точка 112
§ 46. Решаване на задачи< 114
§47*. Скорост и ускорение на точка в полярни координати 116
Глава X. Постъпателни и въртеливи движения на твърдо тяло. . 117
§48. Транслационно движение 117
§ 49. Въртеливо движение на твърдо тяло около ос. Ъглова скорост и ъглово ускорение 119
§50. Равномерно и равномерно въртене 121
§51. Скорости и ускорения на точки на въртящо се тяло 122
Глава XI. Равнопаралелно движение на твърдо тяло 127
§52. Уравнения на равнинно-паралелно движение (движение плоска фигура). Разлагане на движението на постъпателно и въртеливо 127
§53*. Определяне на траектории на точки от равнинна фигура 129
§54. Определяне на скоростите на точки на равнинна фигура 130
§ 55. Теоремата за проекциите на скоростите на две точки от тялото 131
§ 56. Определяне на скоростите на точки от плоска фигура с помощта на моментния център на скоростите. Концепцията за центроиди 132
§57. Решаване на проблеми 136
§58*. Определяне на ускоренията на точки от равнинна фигура 140
§59*. Моментален център на ускорение "*"*
Глава XII*. Движение на твърдо тяло около неподвижна точка и движение на свободно твърдо тяло 147
§ 60. Движение на твърдо тяло с една неподвижна точка. 147
§61. Кинематични уравнения на Ойлер 149
§62. Скорости и ускорения на точките на тялото 150
§ 63. Общ случай на движение на свободно твърдо тяло 153
Глава XIII. Сложно движение на точки 155
§ 64. Относителни, образни и абсолютни движения 155
§ 65, Теорема за добавяне на скорост » 156
§66. Теорема за добавяне на ускорения (теорема на Кориолс) 160
§67. Решаване на проблеми 16*
Глава XIV*. Сложно движение на твърдо тяло 169
§68. Добавяне на транслационни движения 169
§69. Събиране на ротации около две успоредни оси 169
§70. Цилиндрични зъбни колела 172
§ 71. Събиране на завъртания около пресичащи се оси 174
§72. Добавяне на транслационни и ротационни движения. Движение на винта 176
РАЗДЕЛ ТРЕТИ ДИНАМИКА НА ТОЧКА
Глава XV: Въведение в динамиката. Закони на динамиката 180
§ 73. Основни понятия и определения 180
§ 74. Закони на динамиката. Задачи на динамиката на материална точка 181
§ 75. Системи единици 183
§76. Основни видове сили 184
Глава XVI. Диференциални уравнения на движение на точка. Решаване на задачи от точкова динамика 186
§ 77. Диференциални уравнения, движения на материална точка № 6
§ 78. Решение на първата задача от динамиката (определяне на силите от дадено движение) 187
§ 79. Решение на основната задача на динамиката за праволинейно движениеточки 189
§ 80. Примери за решаване на задачи 191
§81*. Падане на тяло в съпротивителна среда (въздух) 196
§82. Решение на основната задача на динамиката, с криволинейно движение на точка 197
Глава XVII. Общи теореми на точковата динамика 201
§83. Количеството движение на точката. Силов импулс 201
§ S4. Теорема за промяната на импулса на точка 202
§ 85. Теоремата за промяната на ъгловия момент на точка (теорема за моментите) "204
§86*. Движение под действието на централна сила. Закон за областите.. 266
§ 8-7. Принудителна работа. Мощност 208
§88. Примери за изчисление на работа 210
§89. Теорема за изменението на кинетичната енергия на точка. „... 213J
Глава XVIII. Несвободно и относително движение на точка 219
§90. Несвободно движение на точка. 219
§91. Относително движение на точка 223
§ 92. Влияние на въртенето на Земята върху равновесието и движението на телата... 227
Раздел 93*. Отклонение на точката на падане от вертикалата поради въртенето на Земята “230
Глава XIX. Праволинейни флуктуации на точка. . . 232
§ 94. Свободни вибрации без отчитане на силите на съпротивление 232
§ 95. Свободни трептения с вискозно съпротивление (затихващи трептения) 238
§96. Принудителни вибрации. Резонанс 241
Глава XX*. Движение на тяло в полето на тежестта 250
§ 97. Движение на хвърлено тяло в гравитационното поле на Земята "250
§98. Изкуствени спътници на Земята. Елиптични траектории. 254
§ 99. Концепцията за безтегловност. "Местни референтни системи 257
ЧЕТВЪРТИ РАЗДЕЛ ДИНАМИКА НА СИСТЕМА И КВЪРДО ТЯЛО
G i a v a XXI. Въведение в системната динамика. моменти на инерция. 263
§ 100. Механична система. Външни и вътрешни сили 263
§ 101. Маса на системата. Център на тежестта 264
§ 102. Инерционен момент на тяло спрямо ос. Радиус на инерция. . 265
$ 103. Инерционни моменти на тяло спрямо успоредни оси. Теорема на Хюйгенс 268
§ 104*. центробежни инерционни моменти. Понятия за главните инерционни оси на тялото 269
$105*. Инерционният момент на тялото спрямо произволна ос. 271
Глава XXII. Теорема за движението на центъра на масата на системата 273
$ 106. Диференциални уравнения на движението на системата 273
§ 107. Теорема за движението на центъра на масата 274
$ 108. Закон за запазване на движението на центъра на масата 276
§ 109. Решаване на задачи 277
Глава XXIII. Теорема за изменението на количеството на подвижна система. . 280
$ НО. Номер на системата за движение 280
§111. Теорема за промяна на импулса 281
§ 112. Закон за запазване на импулса 282
$113*. Приложение на теоремата към движението на течност (газ) 284
§ 114*. Тяло с променлива маса. Ракетно движение 287
Гдава XXIV. Теоремата за промяната на момента на импулса на системата 290
§ 115. Основният момент на количествата на движение на системата 290
$ 116. Теорема за промяната на главния момент на импулса на системата (теорема за моментите) 292
$117. Законът за запазване на главния момент на импулса. . 294
$ 118. Решаване на проблеми 295
$119*. Приложение на теоремата за момента към движението на течност (газ) 298
§ 120. Условия на равновесие механична система 300
Глава XXV. Теорема за изменението на кинетичната енергия на системата. . 301.
§ 121. Кинетична енергия на системата 301
$122. Някои случаи на изчисляване работят 305
$ 123. Теорема за промяната на кинетичната енергия на системата 307
$ 124. Решаване на проблеми 310
$ 125*. Смесени задачи "314
$ 126. Потенциално силово поле и силова функция 317
$127, потенциална енергия. Закон за запазване на механичната енергия 320
Глава XXVI. „Приложение на общи теореми към динамиката на твърдо тяло 323
$12&. Ротационно движение на твърдо тяло около фиксирана ос ". 323"
$ 129. Физическо махало. Експериментално определяне на инерционните моменти. 326
$130. Равнопаралелно движение на твърдо тяло 328
$131*. Елементарна теория на жироскопа 334
$132*. Движение на твърдо тяло около фиксирана точка и движение на свободно твърдо тяло 340
Глава XXVII. Принцип на д'Аламбер 344
$ 133. Принципът на д'Аламбер за точка и механична система. . 344
$ 134. Главен вектор и главен момент на инерционните сили 346
$ 135. Решаване на проблеми 348
$136*, Дидемични реакции, действащи върху оста на въртящо се тяло. Балансиране на въртящи се тела 352
Глава XXVIII. Принципът на възможните премествания и общото уравнение на динамиката 357
§ 137. Класификация на връзките 357
§ 138. Възможни премествания на системата. Брой степени на свобода. . 358
§ 139. Принципът на възможните движения 360
§ 140. Решаване на задачи 362
§ 141. Общо уравнение на динамиката 367
Глава XXIX. Условия на равновесие и уравнения на движение на системата в обобщени координати 369
§ 142. Обобщени координати и обобщени скорости. . . 369
§ 143. Обобщени сили 371
§ 144. Условия на равновесие на система в обобщени координати 375
§ 145. Уравнения на Лагранж 376
§ 146. Решаване на задачи 379
Глава XXX*. Малки колебания на системата около положението на устойчиво равновесие 387
§ 147. Концепцията за устойчивост на равновесие 387
§ 148. Малки свободни трептения на система с една степен на свобода 389
§ 149. Малки затихващи и принудени трептения на система с една степен на свобода 392
§ 150. Малки сумарни трептения на система с две степени на свобода 394
Глава XXXI. Теория на елементарния удар 396
§ 151. Основно уравнение на теорията на удара 396
§ 152. Общи теореми на теорията на удара 397
§ 153. Коефициент на възстановяване на удара 399
§ 154. Удар на тялото върху неподвижна преграда 400
§ 155. Пряк централен удар на две тела (удар на топки) 401
§ 156. Загуба на кинетична енергия при нееластичен удар на две тела. Теорема на Карно 403
§ 157*. Удар във въртящо се тяло. Ударен център 405
Индекс 409

Статиката е дял от теоретичната механика, който изучава условията на равновесие на материалните тела под действието на сили, както и методите за превръщане на силите в еквивалентни системи.

Под състояние на равновесие в статиката се разбира състоянието, в което всички части на механичната система са в покой спрямо някаква инерционна координатна система. Един от основните обекти на статиката са силите и точките на тяхното приложение.

Силата, действаща върху материална точка с радиус-вектор от други точки, е мярка за влиянието на други точки върху разглежданата точка, в резултат на което тя получава ускорение спрямо инерциалната отправна система. Стойност силасе определя по формулата:
,
където m е масата на точката - стойност, която зависи от свойствата на самата точка. Тази формула се нарича втори закон на Нютон.

Приложение на статиката в динамиката

Важна характеристика на уравненията на движението на абсолютно твърдо тяло е, че силите могат да бъдат преобразувани в еквивалентни системи. При такава трансформация уравненията на движението запазват формата си, но системата от сили, действащи върху тялото, може да се трансформира в по- проста система. Така точката на прилагане на силата може да се премества по линията на нейното действие; силите могат да бъдат разширени според правилото на успоредника; силите, приложени в една точка, могат да бъдат заменени с тяхната геометрична сума.

Пример за такива трансформации е гравитацията. Действа върху всички точки на твърдото тяло. Но законът за движение на тялото няма да се промени, ако силата на гравитацията, разпределена във всички точки, бъде заменена с един вектор, приложен в центъра на масата на тялото.

Оказва се, че ако към основната система от сили, действащи върху тялото, добавим еквивалентна система, в която посоките на силите са обърнати, то тялото под действието на тези системи ще бъде в равновесие. По този начин задачата за определяне на еквивалентни системи от сили се свежда до проблема за равновесието, т.е. до проблема за статиката.

Основната задача на статикатае установяването на закони за трансформиране на система от сили в еквивалентни системи. По този начин методите на статиката се използват не само при изследване на тела в равновесие, но и в динамиката на твърдо тяло, при трансформирането на силите в по-прости еквивалентни системи.

Статика на материалната точка

Помислете за материална точка, която е в равновесие. И нека върху него действат n сили, k = 1, 2, ..., н.

Ако материалната точка е в равновесие, тогава векторната сума на силите, действащи върху нея, е равна на нула:
(1) .

В равновесие геометричната сума на силите, действащи върху дадена точка, е нула.

Геометрична интерпретация. Ако началото на втория вектор се постави в края на първия вектор, а началото на третия се постави в края на втория вектор и след това този процес продължи, тогава краят на последния, n-ти вектор ще се комбинира с началото на първия вектор. Тоест получаваме затворена геометрична фигура, чиито дължини на страните са равни на модулите на векторите. Ако всички вектори лежат в една и съща равнина, тогава получаваме затворен многоъгълник.

Често е удобно да избирате правоъгълна координатна система Oxyz. Тогава сумите от проекциите на всички вектори на сила върху координатните оси са равни на нула:

Ако изберете която и да е посока, определена от някакъв вектор, тогава сумата от проекциите на векторите на силата върху тази посока е равна на нула:
.
Умножаваме уравнение (1) скаларно по вектора:
.
Ето скаларното произведение на векторите и .
Имайте предвид, че проекцията на вектор върху посоката на вектора се определя от формулата:
.

Статика на твърдото тяло

Силов момент около точка

Определяне на момента на силата

Силов момент, приложен към тялото в точка А, спрямо неподвижния център О, се нарича вектор, равен на векторното произведение на векторите и:
(2) .

Геометрична интерпретация

Силовият момент е равен на произведението на силата F и рамото OH.

Нека векторите и са разположени в равнината на фигурата. Според свойството на кръстосаното произведение векторът е перпендикулярен на векторите и , тоест перпендикулярен на равнината на фигурата. Посоката му се определя от правилото за десния винт. На фигурата векторът на момента е насочен към нас. Абсолютната стойност на момента:
.
Защото тогава
(3) .

Използвайки геометрията, може да се даде друга интерпретация на момента на силата. За да направите това, начертайте права линия AH през вектора на силата. От центъра O пускаме перпендикуляра OH към тази права. Дължината на този перпендикуляр се нарича рамо на силата. Тогава
(4) .
Тъй като , формули (3) и (4) са еквивалентни.

По този начин, абсолютна стойност на момента на силатаспрямо центъра O е произведение на сила върху рамототази сила спрямо избрания център O .

Когато се изчислява моментът, често е удобно силата да се разложи на два компонента:
,
Където . Силата минава през точка О. Следователно неговият импулс е нула. Тогава
.
Абсолютната стойност на момента:
.

Моментни компоненти в правоъгълни координати

Ако изберем правоъгълна координатна система Oxyz с център в точка O, тогава моментът на силата ще има следните компоненти:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Ето координатите на точка А в избраната координатна система:
.
Компонентите са съответно стойностите на момента на силата около осите.

Свойства на момента на силата спрямо центъра

Моментът около центъра O, от силата, преминаваща през този център, е равен на нула.

Ако точката на прилагане на силата се премести по линия, минаваща през вектора на силата, тогава моментът по време на такова движение няма да се промени.

Моментът от векторната сума на силите, приложени към една точка на тялото, е равен на векторната сума на моментите от всяка от силите, приложени към същата точка:
.

Същото важи и за сили, чиито удължителни линии се пресичат в една точка.

Ако векторната сума на силите е нула:
,
тогава сумата от моментите от тези сили не зависи от положението на центъра, спрямо който се изчисляват моментите:
.

Силова двойка

Силова двойка- това са две равни по абсолютна стойност и противоположни посоки сили, приложени към различни точки на тялото.

Една двойка сили се характеризира с момента, в който те създават. Тъй като векторната сума на силите, включени в двойката, е нула, моментът, създаден от двойката, не зависи от точката, спрямо която се изчислява моментът. От гледна точка на статичното равновесие природата на силите в двойката е без значение. Двойка сили се използва, за да се посочи, че върху тялото действа момент на сили, който има определена стойност.

Силов момент около дадена ос

Често има случаи, когато не е необходимо да знаем всички компоненти на момента на силата около избрана точка, а трябва да знаем само момента на силата около избрана ос.

Моментът на силата спрямо оста, минаваща през точката О, е проекцията на вектора на момента на силата, спрямо точката О, върху посоката на оста.

Свойства на момента на силата около оста

Моментът около оста от силата, преминаваща през тази ос, е равен на нула.

Моментът около ос от сила, успоредна на тази ос, е нула.

Изчисляване на момента на силата около ос

Нека сила действа върху тялото в точка А. Нека намерим момента на тази сила спрямо оста O′O′′.

Нека изградим правоъгълна координатна система. Нека оста Oz съвпада с O′O′′. От точка A пускаме перпендикуляра OH на O′O′′ . През точките O и A прекарваме оста Ox. Начертаваме оста Oy перпендикулярна на Ox и Oz. Разлагаме силата на компоненти по осите на координатната система:
.
Силата пресича оста O′O′′. Следователно неговият импулс е нула. Силата е успоредна на оста O′O′′. Следователно неговият момент също е нула. По формула (5.3) намираме:
.

Обърнете внимание, че компонентът е насочен тангенциално към окръжността, чийто център е точката O . Посоката на вектора се определя от правилото за десния винт.

Условия на равновесие за твърдо тяло

В равновесие векторната сума на всички сили, действащи върху тялото, е равна на нула, а векторната сума на моментите на тези сили спрямо произволен неподвижен център е равна на нула:
(6.1) ;
(6.2) .

Подчертаваме, че центърът O , спрямо който се изчисляват моментите на силите, може да бъде избран произволно. Точка О може или да принадлежи на тялото, или да е извън него. Обикновено центърът O се избира, за да се улеснят изчисленията.

Условията на равновесие могат да бъдат формулирани по друг начин.

В равновесие сумата от проекциите на силите във всяка посока, дадена от произволен вектор, е равна на нула:
.
Сумата от моментите на силите около произволна ос O′O′′ също е равна на нула:
.

Понякога тези условия са по-удобни. Има моменти, когато чрез избор на оси изчисленията могат да бъдат опростени.

Център на тежестта на тялото

Помислете за една от най-важните сили - гравитацията. Тук силите не се прилагат в определени точки на тялото, а се разпределят непрекъснато по неговия обем. За всяка част от тялото с безкрайно малък обем ∆V, действа гравитационната сила. Тук ρ е плътността на веществото на тялото, е ускорението на свободното падане.

Нека е масата на безкрайно малка част от тялото. И нека точката A k определя позицията на този участък. Нека намерим величините, свързани със силата на гравитацията, които са включени в уравненията на равновесието (6).

Нека намерим сумата от гравитационните сили, образувани от всички части на тялото:
,
къде е масата на тялото. По този начин сумата от гравитационните сили на отделните безкрайно малки части на тялото може да бъде заменена с един вектор на гравитацията на цялото тяло:
.

Нека намерим сумата от моментите на силите на гравитацията, спрямо избрания център O по произволен начин:

.
Тук сме въвели точка C, която се нарича център на тежесттатяло. Положението на центъра на тежестта в координатна система с център точка O се определя по формулата:
(7) .

Така че, когато се определя статичното равновесие, сумата от силите на гравитацията на отделните секции на тялото може да бъде заменена с резултантната
,
приложен към центъра на масата на тялото C , чието положение се определя по формула (7).

Положението на центъра на тежестта за различни геометрични формиможете да намерите в съответните ръководства. Ако тялото има ос или равнина на симетрия, тогава центърът на тежестта е разположен върху тази ос или равнина. И така, центровете на тежестта на сфера, кръг или кръг са разположени в центровете на кръговете на тези фигури. Центровете на тежестта на правоъгълен паралелепипед, правоъгълник или квадрат също са разположени в техните центрове - в точките на пресичане на диагоналите.

Равномерно (A) и линейно (B) разпределен товар.

Има и случаи, подобни на силата на гравитацията, когато силите не се прилагат в определени точки на тялото, а се разпределят непрекъснато по повърхността или обема му. Такива сили се наричат разпределени силиили .

(Фигура А). Освен това, както в случая с гравитацията, тя може да бъде заменена от резултантната сила с величина , приложена в центъра на тежестта на диаграмата. Тъй като диаграмата на фигура А е правоъгълник, центърът на тежестта на диаграмата е в нейния център - точка С: | AC | = | CB |.

(снимка Б). Може да се замени и с резултата. Стойността на резултата е равна на площта на диаграмата:
.
Точката на приложение е в центъра на тежестта на парцела. Центърът на тежестта на триъгълник с височина h е на разстояние от основата. Ето защо .

Сили на триене

Триене при плъзгане. Нека тялото е на равна повърхност. И нека е сила, перпендикулярна на повърхността, с която повърхността действа върху тялото (сила на натиск). Тогава силата на триене при плъзгане е успоредна на повърхността и насочена настрани, предотвратявайки движението на тялото. Най-голямата му стойност е:
,
където f е коефициентът на триене. Коефициентът на триене е безразмерна величина.

триене при търкаляне. Оставете заобленото тяло да се търкаля или може да се търкаля по повърхността. И нека силата на натиск е перпендикулярна на повърхността, с която повърхността действа върху тялото. Тогава върху тялото, в точката на контакт с повърхността, действа моментът на силите на триене, което предотвратява движението на тялото. Най-голямата стойност на момента на триене е:
,
където δ е коефициентът на триене при търкаляне. Има измерението на дължината.

Препратки:
С. М. Тарг, Кратък курс по теоретична механика, “ висше училище“, 2010 г.

Общи теореми за динамиката на система от тела. Теореми за движението на центъра на масата, за изменението на импулса, за изменението на главния момент на импулса, за изменението на кинетичната енергия. Принципи на д'Аламбер и възможни измествания. Общо уравнение на динамиката. Уравнения на Лагранж.

Съдържание

Работата, извършена от силата, е равно на скаларното произведение на векторите на силата и безкрайно малкото преместване на точката на нейното приложение:
,
т.е. произведението на модулите на векторите F и ds и косинуса на ъгъла между тях.

Работата, извършена от момента на силата, е равно на скаларното произведение на векторите на момента и безкрайно малкия ъгъл на завъртане:
.

принцип на д'Аламбер

Същността на принципа на д'Аламбер е да сведе проблемите на динамиката до проблемите на статиката. За целта се приема (или е известно предварително), че телата на системата имат определени (ъглови) ускорения. След това се въвеждат силите на инерцията и (или) моментите на инерционните сили, които са равни по големина и реципрочни по посока на силите и моментите на силите, които според законите на механиката биха създали дадени ускорения или ъглови ускорения

Помислете за пример. Тялото извършва постъпателно движение и върху него действат външни сили. Освен това приемаме, че тези сили създават ускорение на центъра на масата на системата. Според теоремата за движението на центъра на масата центърът на масата на тялото би имал същото ускорение, ако върху тялото действа сила. След това въвеждаме силата на инерцията:
.
След това задачата на динамиката е:
.
;
.

За въртеливото движение продължете по подобен начин. Нека тялото се върти около оста z и върху него действат външни моменти на сили M e zk. Приемаме, че тези моменти създават ъглово ускорение ε z . След това въвеждаме момента на инерционните сили M И = - J z ε z . След това задачата на динамиката е:
.
Превръща се в статична задача:
;
.

Принципът на възможните движения

Принципът на възможните премествания се използва за решаване на проблеми със статиката. В някои задачи дава по-кратко решение от писането на уравнения за равновесие. Това важи особено за системи с връзки (например системи от тела, свързани с нишки и блокове), състоящи се от много тела

Принципът на възможните движения.
За равновесието на механична система с идеални ограничения е необходимо и достатъчно сумата от елементарните работи на всички действащи върху нея активни сили за всяко възможно преместване на системата да бъде равна на нула.

Възможно преместване на системата- това е малко изместване, при което не се прекъсват връзките, наложени на системата.

Перфектни връзки- това са връзки, които не вършат работа при преместване на системата. По-точно сумата на работата, извършена от самите връзки при преместване на системата, е нула.

Общо уравнение на динамиката (принцип на Д'Аламбер - Лагранж)

Принципът на д'Аламбер-Лагранж е комбинация от принципа на д'Аламбер с принципа на възможните премествания. Тоест, когато решаваме проблема с динамиката, въвеждаме силите на инерцията и свеждаме проблема до проблема със статиката, който решаваме, използвайки принципа на възможните премествания.

принцип на д'Аламбер-Лагранж.
Когато една механична система се движи с идеални ограничения във всеки момент от времето, сумата от елементарните работи на всички приложени активни сили и всички инерционни сили върху всяко възможно изместване на системата е равна на нула:
.
Това уравнение се нарича общо уравнение на динамиката.

Уравнения на Лагранж

Обобщени координати q 1 , q 2 , ..., q n е набор от n стойности, които еднозначно определят позицията на системата.

Броят на обобщените координати n съвпада с броя на степените на свобода на системата.

Обобщени скоростиса производните на обобщените координати по време t.

Обобщени сили Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Да разгледаме възможно изместване на системата, при което координатата q k ще получи изместване δq k . Останалите координати остават непроменени. Нека δA k е работата, извършена от външни сили по време на такова преместване. Тогава
δA k = Q k δq k , или
.

Ако при възможно изместване на системата всички координати се променят, тогава работата, извършена от външни сили по време на такова изместване, има формата:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Тогава обобщените сили са частични производни на работата по изместване:
.

За потенциални силис потенциал Π,
.

Уравнения на Лагранжса уравненията на движение на механична система в обобщени координати:

Тук Т е кинетичната енергия. Това е функция на обобщени координати, скорости и вероятно време. Следователно неговата частна производна също е функция на обобщени координати, скорости и време. След това трябва да вземете предвид, че координатите и скоростите са функции на времето. Следователно, за да се намери общата производна по отношение на времето, трябва да се приложи правилото за диференциране сложна функция:
.

Препратки:
С. М. Тарг, Кратък курс по теоретична механика, Висше училище, 2010 г.

Съдържание

Кинематика

Кинематика на материална точка

Определяне на скоростта и ускорението на точка по дадените уравнения на нейното движение

Дадено е: Уравнения на движение на точка: x = 12 sin(πt/6), см; y= 6 cos 2 (πt/6), см.

Задайте вида на неговата траектория и за момента t = 1 секнамиране на позицията на точка върху траекторията, нейната скорост, пълно, тангенциално и нормално ускорение, както и радиуса на кривината на траекторията.

Постъпателно и въртеливо движение на твърдо тяло

дадени:
t = 2 s; r 1 = 2 cm, R 1 = 4 cm; r 2 = 6 cm, R 2 = 8 cm; r 3 \u003d 12 cm, R 3 \u003d 16 cm; s 5 \u003d t 3 - 6t (cm).

Определете в момент t = 2 скоростите на точките A, C; ъглово ускорение на колело 3; ускорение в точка B и ускорение на багажника 4.

Кинематичен анализ на плосък механизъм

дадени:
R1, R2, L, AB, ω1.
Намерете: ω 2 .

Плоският механизъм се състои от щанги 1, 2, 3, 4 и плъзгач Е. Щангите са свързани посредством цилиндрични панти. Точка D се намира в средата на лента AB.
Дадено е: ω 1 , ε 1 .
Намерете: скорости V A , V B , V D и V E ; ъглови скорости ω 2 , ω 3 и ω 4 ; ускорение a B ; ъглово ускорение ε AB на връзка AB; позиции на моментните центрове на скоростите P 2 и P 3 на връзките 2 и 3 на механизма.

Определяне на абсолютната скорост и абсолютното ускорение на точка

Правоъгълна плоча се върти около фиксирана ос по закона φ = 6 t 2 - 3 t 3. Положителната посока на отчитане на ъгъла φ е показана на фигурите с дъгообразна стрелка. Ос на въртене OO 1 лежи в равнината на плочата (плочата се върти в пространството).

Точката M се движи по правата BD по плочата. Даден е законът за относителното му движение, т.е. зависимостта s = AM = 40 (t - 2 t 3) - 40(s - в сантиметри, t - в секунди). Разстояние b = 20 см. На фигурата точка M е показана в положение, където s = AM > 0 (за s< 0 точка M е от другата страна на точка A).

Намерете абсолютната скорост и абсолютното ускорение на точка M в момент t 1 = 1 s.

Динамика

Интегриране на диференциални уравнения на движение на материална точка под действието на променливи сили

Товар D с маса m, получил начална скорост V 0 в точка А, се движи в извита тръба ABC, разположена във вертикална равнина. На участъка AB, чиято дължина е l, товарът се влияе от постоянна сила T (нейната посока е показана на фигурата) и силата R на съпротивлението на средата (модулът на тази сила е R = μV 2, векторът R е насочен срещуположно на скоростта V на товара).

Товарът, завършил движението си в сечение AB, в точка B на тръбата, без да променя стойността на своя модул на скоростта, преминава в сечение BC. На участъка BC върху товара действа променлива сила F, чиято проекция F x върху оста x е дадена.

Разглеждайки товара като материална точка, намерете закона за неговото движение върху сечението BC, т.е. x = f(t), където x = BD. Пренебрегнете триенето на товара върху тръбата.

Изтеглете решение

Теорема за изменението на кинетичната енергия на механична система

Механичната система се състои от тежести 1 и 2, цилиндрична ролка 3, двустепенни макари 4 и 5. Телата на системата са свързани с резби, навити на макари; секциите на нишките са успоредни на съответните равнини. Ролката (твърд хомогенен цилиндър) се търкаля по референтната равнина без приплъзване. Радиусите на стъпките на макарите 4 и 5 са ​​съответно R 4 = 0,3 m, r 4 = 0,1 m, R 5 = 0,2 m, r 5 = 0,1 м. Масата на всяка макара се счита за равномерно разпределена по външния й ръб. Опорните равнини на тежести 1 и 2 са грапави, коефициентът на триене при плъзгане за всяка тежест е f = 0,1.

Под действието на сила F, чийто модул се променя по закона F = F(s), където s е преместването на точката на нейното приложение, системата започва да се движи от състояние на покой. Когато системата се движи, върху ролката 5 действат съпротивителни сили, чийто момент спрямо оста на въртене е постоянен и равен на M 5 .

Определете стойността на ъгловата скорост на макарата 4 в момента, когато преместването s на точката на прилагане на сила F стане равно на s 1 = 1,2 m.

Изтеглете решение

Приложение на общото уравнение на динамиката за изследване на движението на механична система

За механична система определете линейното ускорение a 1 . Имайте предвид, че за блоковете и ролките масите са разпределени по външния радиус. Кабелите и коланите се считат за безтегловни и неразтегливи; няма приплъзване. Пренебрегвайте триенето при търкаляне и плъзгане.

Изтеглете решение

Приложение на принципа на д'Аламбер за определяне на реакциите на опорите на въртящо се тяло

Вертикалният вал АК, въртящ се равномерно с ъглова скорост ω = 10 s -1, е закрепен с опорен лагер в точка А и цилиндричен лагер в точка D.

Безтегловен прът 1 с дължина l 1 = 0,3 m е здраво закрепен към вала, в свободния край на който има товар с маса m 1 = 4 kg, и хомогенен прът 2 с дължина l 2 = 0,6 m, с маса m 2 = 8 kg. И двата пръта лежат в една и съща вертикална равнина. Точките на закрепване на прътите към вала, както и ъглите α и β са посочени в таблицата. Размери AB=BD=DE=EK=b, където b = 0,4 м. Вземете товара като материална точка.

Пренебрегвайки масата на вала, определете реакциите на опорния лагер и лагера.

Точкова кинематика.

1. Предмет на теоретичната механика. Основни абстракции.

Теоретична механикае наука, която изучава общи законимеханично движение и механично взаимодействие на материалните тела

Механично движениесе нарича движението на едно тяло по отношение на друго тяло, протичащо в пространството и времето.

Механично взаимодействие се нарича такова взаимодействие на материалните тела, което променя характера на тяхното механично движение.

Статика - Това е дял от теоретичната механика, който изучава методите за преобразуване на системи от сили в еквивалентни системи и установява условията за равновесие на силите, приложени към твърдо тяло.

Кинематика - е разделът на теоретичната механика, който се занимава с движението на материалните тела в пространството от геометрична гледна точка, независимо от силите, действащи върху тях.

Динамика - Това е дял от механиката, който изучава движението на материалните тела в пространството в зависимост от силите, действащи върху тях.

Обекти на изучаване на теоретичната механика:

материална точка,

система от материални точки,

Абсолютно твърдо тяло.

Абсолютното пространство и абсолютното време са независими едно от друго. Абсолютно пространство - триизмерно, хомогенно, неподвижно евклидово пространство. Абсолютно време - тече от миналото към бъдещето непрекъснато, то е еднородно, еднакво във всички точки на пространството и не зависи от движението на материята.

2. Предмет на кинематиката.

Кинематика - е клонът на механиката, който се занимава с геометрични свойствадвижение на тела, без да се отчита тяхната инерция (т.е. маса) и силите, действащи върху тях

За определяне на позицията на движещо се тяло (или точка) спрямо тялото, спрямо което се изследва движението дадено тяло, твърдо, свързват някаква координатна система, която заедно с тялото образува справочна система.

Основната задача на кинематиката е да, познавайки закона за движение на дадено тяло (точка), да определим всички кинематични величини, които характеризират неговото движение (скорост и ускорение).

3. Методи за уточняване на движението на точка

· естествен начин

Трябва да се знае:

Траектория на движение на точката;

Начало и посока на броене;

Законът за движение на точка по дадена траектория във формата (1.1)

· Координатен метод

Уравнения (1.2) са уравненията на движението на точка М.

Уравнението за траекторията на точка М може да се получи чрез елиминиране на времевия параметър « T » от уравнения (1.2)

· Векторен начин

(1.3) Връзка между координатни и векторни методи за уточняване на движението на точка (1.4)

Връзка между координатен и естествен начин за определяне на движението на точка

Определете траекторията на точката, като изключите времето от уравнения (1.2);

-- намерете закона за движение на точка по траектория (използвайте израза за диференциала на дъгата)

След интегриране получаваме закона за движение на точка по дадена траектория:

Връзката между координатния и векторния метод за определяне на движението на точка се определя от уравнение (1.4)

4. Определяне на скоростта на точка с векторния метод за уточняване на движението.

Нека в моментаTпозицията на точката се определя от радиус вектора , и в момента на времеT 1 – радиус-вектор , след това за период от време точката ще се премести.

(1.5) точкова средна скорост, посоката на вектора е същата като вектора

Точкова скорост в този моментвреме

За да получите скоростта на точка в даден момент от време, е необходимо да направите преминаване до границата

(1.6)

(1.7)

Векторът на скоростта на точка в даден момент е равна на първата производна на радиус вектора по време и е насочена тангенциално към траекторията в дадена точка.

(мерна единица¾ m/s, km/h)

Вектор на средното ускорение има същата посока като вектораΔ v , тоест насочен към вдлъбнатината на траекторията.

Вектор на ускорението на точка в даден момент е равна на първата производна на вектора на скоростта или втората производна на радиус вектора на точката по отношение на времето.

(мерна единица - )

Как е разположен векторът спрямо траекторията на точката?

При праволинейно движение векторът е насочен по правата линия, по която се движи точката. Ако траекторията на точката е плоска крива, тогава векторът на ускорението , както и векторът cp, лежи в равнината на тази крива и е насочен към нейната вдлъбнатина. Ако траекторията не е равнинна крива, тогава векторът cp ще бъде насочен към вдлъбнатината на траекторията и ще лежи в равнината, минаваща през допирателната към траекторията в точкатаМ и права, успоредна на допирателната в съседна точкаМ 1 . IN граница, когато точкатаМ 1 има тенденция да М тази равнина заема позицията на така наречената съседна равнина. Следователно в общия случай векторът на ускорението лежи в съседна равнина и е насочен към вдлъбнатината на кривата.