Процесът на намиране на производната на функция се нарича диференциация.Производната трябва да се намери в редица задачи в хода на математическия анализ. Например при намиране на точки на екстремум и точки на инфлексия на графика на функция.

Как да намеря?

За да намерите производната на функция, трябва да знаете таблицата с производни на елементарни функции и да приложите основните правила за диференциране:

1. Изваждане на константата от знака на производната: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Производна на сума/разлика на функции: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Производна на произведението на две функции: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Производна на дроб: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. Производна на съставна функция: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Примери за решения

Пример 1

Намерете производната на функцията $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $

Решение

Производната на сбора/разликата на функциите е равна на сбора/разликата на производните: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Използвайки правилото за производна на степенна функция $ (x^p)" = px^(p-1) $ имаме: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Също така беше взето предвид, че производната на константата е равна на нула. Ако не можете да разрешите проблема си, изпратете го до нас. Ние ще предоставим подробно решение. Ще можете да се запознаете с хода на изчислението и да съберете информация. Това ще ви помогне да получите кредит от учителя своевременно!

Отговор

$$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

Какво е дериват?
Определение и значение на производната на функция

Мнозина ще бъдат изненадани от неочакваното място на тази статия в моя авторски курс за производната на функция на една променлива и нейните приложения. В крайна сметка, както беше от училище: стандартен учебник, на първо място, дава дефиниция на производна, нейното геометрично, механично значение. След това учениците намират производни на функции по дефиниция и всъщност едва тогава техниката на диференциране се усъвършенства с помощта производни таблици.

Но от моя гледна точка следният подход е по-прагматичен: на първо място е препоръчително да РАЗБЕРЕТЕ ДОБРЕ ограничение на функцията, и най-вече безкрайно малки. Факт е, че дефиницията на производната се основава на концепцията за лимит, което е слабо разгледано в училищен курс. Ето защо значителна част от младите потребители на гранитни знания слабо проникват в самата същност на производното. По този начин, ако сте зле ориентирани в диференциалното смятане или мъдър мозък за дълги годиниуспешно изхвърли този багаж, моля, започнете от функционални граници. В същото време овладейте / запомнете решението си.

Същият практически смисъл предполага, че първо е печелившо научете се да намирате производни, включително производни на сложни функции. Теорията си е теория, но, както се казва, винаги искаш да правиш разлика. В това отношение е по-добре да изработите изброените основни уроци и може би да станете майстор на диференциациятабез дори да осъзнават същността на действията си.

Препоръчвам да започнете материалите на тази страница, след като прочетете статията. Най-прости задачи с производна, където по-специално се разглежда проблемът за допирателната към графиката на функция. Но може да се забави. Факт е, че много приложения на производното не изискват разбирането му и не е изненадващо, че теоретичният урок се появи доста късно - когато трябваше да обясня намиране на интервали на нарастване/намаляване и екстремумифункции. Освен това той беше в темата доста дълго време " Функции и графики”, докато не реших да го сложа по-рано.

Затова, мили чайници, не бързайте да поглъщате есенцията на производното като гладни животни, защото насищането ще е безвкусно и непълно.

Концепцията за нарастване, намаляване, максимум, минимум на функция

много учебни ръководстваводят до концепцията за производна с помощта на някои практически задачи и също излязох с интересен пример. Представете си, че трябва да пътуваме до град, до който може да се стигне по различни начини. Веднага изхвърляме кривите криволичещи пътеки и ще разглеждаме само прави линии. Правите посоки обаче също са различни: можете да стигнете до града по плосък аутобан. Или по хълмиста магистрала - нагоре-надолу, нагоре-надолу. Друг път върви само нагоре, а друг се спуска през цялото време. Търсачите на силни усещания ще изберат маршрут през ждрелото със стръмна скала и стръмно изкачване.

Но каквито и да са вашите предпочитания, препоръчително е да познавате района или поне да го локализирате. топографска карта. Ами ако няма такава информация? В крайна сметка можете да изберете например равна пътека, но в резултат на това да се натъкнете на ски писта със забавни финландци. Не е фактът, че навигаторът и дори сателитното изображение ще дадат надеждни данни. Затова би било хубаво да формализираме релефа на пътя с помощта на математиката.

Помислете за някакъв път (страничен изглед):

За всеки случай напомням един елементарен факт: пътуването се осъществява от ляво на дясно. За простота приемаме, че функцията непрекъснатов разглеждания район.

Какви са характеристиките на тази диаграма?

На интервали функция се увеличава, тоест всяка негова следваща стойност Повече ▼предишния. Грубо казано, графикът върви надолу нагоре(изкачваме хълма). И на интервала функцията намалява- всяка следваща стойност по-малкопредишния и графикът ни върви отгоре надолу(слизане по склона).

Обръщаме внимание и на специални точки. В точката, до която достигаме максимум, това е съществуватакъв участък от пътя, на който стойността ще бъде най-голяма (най-висока). В същата точка, минимум, И съществуватакова негово съседство, в което стойността е най-малка (най-ниска).

По-строгата терминология и определения ще бъдат разгледани в урока. относно екстремумите на функцията, но засега нека проучим още една важна характеристика: на интервалите функцията се увеличава, но се увеличава с различна скорост . И първото нещо, което хваща окото ви е, че графиката се издига нагоре на интервала много по-готиноотколкото на интервала. Възможно ли е да се измери стръмността на пътя с помощта на математически инструменти?

Скорост на промяна на функцията

Идеята е следната: вземете някаква стойност (прочетете "делта x"), който ще наречем увеличение на аргументаи нека започнем да го „пробваме“ на различни точки от нашия път:

1) Нека погледнем най-лявата точка: заобикаляйки разстоянието, се изкачваме по склона до височина (зелена линия). Стойността се нарича увеличение на функцията, и в този случай това увеличение е положително (разликата на стойностите по оста е по-голяма от нула). Нека направим съотношението , което ще бъде мярката за стръмността на нашия път. Очевидно е много конкретно число и тъй като и двете увеличения са положителни, тогава .

внимание! Наименование са ЕДНОсимвол, тоест не можете да „откъснете“ „делтата“ от „x“ и да разгледате тези букви отделно. Разбира се, коментарът се отнася и за символа за нарастване на функцията.

Нека проучим естеството на получената дроб по-смислено. Да предположим, че първоначално сме на височина 20 метра (в лявата черна точка). Преодолявайки разстоянието от метри (лява червена линия), ще бъдем на височина 60 метра. Тогава увеличението на функцията ще бъде метри (зелена линия) и: . По този начин, на всеки метъртози участък от пътя височината се увеличава средно аритметичнос 4 метра…забравихте ли оборудването си за катерене? =) С други думи, конструираното съотношение характеризира СРЕДНАТА СКОРОСТ НА ИЗМЕНЕНИЕ (в този случай растеж) на функцията.

Забележка : числови стойностина разглеждания пример отговарят само приблизително на пропорциите на чертежа.

2) Сега нека отидем на същото разстояние от най-дясната черна точка. Тук покачването е по-нежно, така че увеличението (пурпурна линия) е сравнително малко и съотношението в сравнение с предишния случай ще бъде доста скромно. Относително казано, метри и темп на растеж на функциятае . Тоест тук за всеки метър от пътя има средно аритметичнополовин метър нагоре.

3) Малко приключение на планинския склон. Нека погледнем горната черна точка, разположена на оста y. Да приемем, че това е знак от 50 метра. Отново преодоляваме разстоянието, в резултат на което се оказваме по-ниско - на ниво 30 метра. Тъй като движението е направено отгоре надолу(в "обратната" посока на оста), след което финала увеличението на функцията (височината) ще бъде отрицателно: метра (кафява линия на чертежа). И в случая говорим за скорост на разпадХарактеристика: , тоест за всеки метър от пътя на този участък височината намалява средно аритметичнос 2 метра. Погрижете се за дрехите на петата точка.

Сега нека зададем въпроса: коя е най-добрата стойност на "измервателния стандарт" за използване? Ясно е, че 10 метра е много грубо. Доста дузина неравности могат лесно да се поберат върху тях. Защо има неравности, отдолу може да има дълбоко дере, а след няколко метра - другата му страна с по-нататъшно стръмно изкачване. Така с десетметров няма да получим разбираема характеристика на такива участъци от пътя през съотношението.

От горната дискусия следва следното заключение: как по-малка стойност , толкова по-точно ще опишем релефа на пътя. Освен това следните факти са верни:

– За всякаквиповдигащи точки можете да изберете стойност (макар и много малка), която се вписва в границите на едно или друго покачване. А това означава, че съответното нарастване на височината ще бъде гарантирано положително и неравенството ще показва правилно растежа на функцията във всяка точка от тези интервали.

- По същия начин, за всякаквиточка на наклон, има стойност, която ще пасне напълно на този наклон. Следователно съответното увеличение на височината е недвусмислено отрицателно и неравенството ще покаже правилно намаляването на функцията във всяка точка от дадения интервал.

– От особен интерес е случаят, когато скоростта на изменение на функцията е нула: . Първо, нулево увеличение на височината () е знак за четен път. И второ, има и други любопитни ситуации, примери за които виждате на фигурата. Представете си, че съдбата ни е отвела на самия връх на хълм с реещи се орли или на дъното на дере с квакащи жаби. Ако направите малка стъпка във всяка посока, тогава промяната във височината ще бъде незначителна и можем да кажем, че скоростта на промяна на функцията всъщност е нула. Същият модел се наблюдава в точки.

Така се доближихме до невероятна възможност да характеризираме перфектно точно скоростта на промяна на функция. В края на краищата, математическият анализ ни позволява да насочим нарастването на аргумента към нула: т.е. безкрайно малък.

В резултат на това възниква друг логичен въпрос: възможно ли е да се намери за пътя и неговия график друга функция, който ще ни кажеотносно всички равнини, изкачвания, спускания, върхове, низини, както и степента на нарастване/намаляване във всяка точка от пътя?

Какво е дериват? Дефиниция на производна.
Геометричният смисъл на производната и диференциала

Моля, четете внимателно и не много бързо - материалът е прост и достъпен за всеки! Няма проблем, ако на някои места нещо не изглежда много ясно, винаги можете да се върнете към статията по-късно. Ще кажа повече, че е полезно да изучавате теорията няколко пъти, за да разберете качествено всички точки (съветът е особено подходящ за „технически“ студенти, за които висшата математика играе важна роля в образователния процес).

Естествено, в самата дефиниция на производната в точка, ще я заменим с:

До какво стигнахме? И стигнахме до извода, че за функция по закон е подравнен друга функция, което се нарича производна функция(или просто производна).

Производната характеризира темп на промянафункции . как? Мисълта минава като червена нишка от самото начало на статията. Помислете за някакъв момент домейнифункции . Нека функцията е диференцируема в дадена точка. Тогава:

1) Ако , тогава функцията нараства в точката . И очевидно има интервал(дори и много малък), съдържащ точката, в която функцията расте, а графиката й върви „отдолу нагоре“.

2) Ако , тогава функцията намалява в точката . И има интервал, съдържащ точка, в която функцията намалява (графиката върви „отгоре надолу“).

3) Ако , тогава безкрайно близоблизо до точката, функцията запазва скоростта си постоянна. Това се случва, както беше отбелязано, за функционална константа и в критичните точки на функцията, в частност в минималните и максималните точки.

Някаква семантика. Какво означава глаголът "диференцирам" в широк смисъл? Да се ​​разграничи означава да се отдели признак. Диференцирайки функцията, ние "избираме" скоростта на нейното изменение под формата на производна на функцията. И какво, между другото, се разбира под думата "производно"? функция се случиот функцията.

Термините много успешно интерпретират механичния смисъл на производната :
Нека разгледаме закона за промяна на координатата на тялото, който зависи от времето, и функцията на скоростта на движение дадено тяло. Функцията характеризира скоростта на изменение на координатата на тялото, следователно е първата производна на функцията по време: . Ако концепцията за „движение на тялото“ не съществуваше в природата, тогава нямаше да съществува производнапонятието "скорост".

Ускорението на тялото е скоростта на промяна на скоростта, следователно: . Ако първоначалните концепции за „движение на тялото“ и „скорост на движение на тялото“ не съществуваха в природата, тогава нямаше да ги има производнапонятието ускорение на тялото.

В задача B9 е дадена графика на функция или производна, от която се изисква да се определи една от следните величини:

1. Стойността на производната в дадена точка x 0,
2. Високи или ниски точки (екстремни точки),
3. Интервали на нарастващи и намаляващи функции (интервали на монотонност).

Функциите и производните, представени в тази задача, са винаги непрекъснати, което значително опростява решението. Въпреки факта, че задачата принадлежи към раздела на математическия анализ, тя е напълно по силите дори на най-слабите ученици, тъй като тук не се изискват задълбочени теоретични познания.

За намиране на стойността на производната, точките на екстремум и интервалите на монотонност има прости и универсални алгоритми - всички те ще бъдат разгледани по-долу.

Прочетете внимателно условието на задача B9, за да не правите глупави грешки: понякога се срещат доста обемни текстове, но важни условия, които влияят върху хода на решението, са малко.

Изчисляване на стойността на производната. Метод с две точки

Ако за задачата е дадена графика на функцията f(x), допирателна към тази графика в някаква точка x 0 , и се изисква да се намери стойността на производната в тази точка, се прилага следният алгоритъм:

1. Намерете две "адекватни" точки на допирателната графика: техните координати трябва да са цели числа. Нека означим тези точки като A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Запишете координатите правилно - това е ключовата точка на решението и всяка грешка тук води до грешен отговор.
2. Познавайки координатите, е лесно да се изчисли увеличението на аргумента Δx = x 2 − x 1 и увеличението на функцията Δy = y 2 − y 1 .
3. Накрая намираме стойността на производната D = Δy/Δx. С други думи, трябва да разделите увеличението на функцията на увеличението на аргумента - и това ще бъде отговорът.

Още веднъж отбелязваме: точките A и B трябва да се търсят точно по допирателната, а не върху графиката на функцията f(x), както често се случва. Допирателната задължително ще съдържа поне две такива точки, в противен случай проблемът е формулиран неправилно.

Разгледайте точките A (−3; 2) и B (−1; 6) и намерете увеличенията:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Нека намерим стойността на производната: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. Фигурата показва графиката на функцията y \u003d f (x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x 0 .

Помислете за точки A (0; 3) и B (3; 0), намерете увеличения:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Сега намираме стойността на производната: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. Фигурата показва графиката на функцията y \u003d f (x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x 0 .

Разгледайте точки A (0; 2) и B (5; 2) и намерете увеличения:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Остава да намерим стойността на производната: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

От последния пример можем да формулираме правилото: ако допирателната е успоредна на оста OX, производната на функцията в точката на контакт е равна на нула. В този случай дори не е нужно да изчислявате нищо - просто погледнете графиката.

Изчисляване на високи и ниски точки

Понякога вместо графика на функция в задача B9 се дава производна графика и се изисква да се намери точката на максимум или минимум на функцията. В този сценарий двуточковият метод е безполезен, но има друг, още по-прост алгоритъм. Първо, нека дефинираме терминологията:

1. Точката x 0 се нарича максимална точка на функцията f(x), ако в някаква околност на тази точка е валидно следното неравенство: f(x 0) ≥ f(x).
2. Точката x 0 се нарича минимална точка на функцията f(x), ако в някаква околност на тази точка е валидно следното неравенство: f(x 0) ≤ f(x).

За да намерите максималните и минималните точки на графиката на производната, е достатъчно да изпълните следните стъпки:

1. Преначертайте графиката на производната, като премахнете цялата ненужна информация. Както показва практиката, допълнителните данни само пречат на решението. Затова отбелязваме нулите на производната на координатната ос - и това е всичко.
2. Намерете знаците на производната на интервалите между нулите. Ако за дадена точка x 0 е известно, че f'(x 0) ≠ 0, тогава са възможни само две опции: f'(x 0) ≥ 0 или f'(x 0) ≤ 0. Знакът на производната е лесно се определя от оригиналния чертеж: ако графиката на производната лежи над оста OX, тогава f'(x) ≥ 0. Обратно, ако графиката на производната лежи под оста OX, тогава f'(x) ≤ 0.
3. Отново проверяваме нулите и знаците на производната. Там, където знакът се променя от минус на плюс, има минимална точка. Обратно, ако знакът на производната се промени от плюс на минус, това е максималната точка. Броенето винаги се извършва отляво надясно.

Тази схема работи само за непрекъснати функции - в задача B9 няма други.

Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на отсечката [−5; 5]. Намерете минималната точка на функцията f(x) върху тази отсечка.

Да се ​​освободим от ненужната информация - ще оставим само границите [−5; 5] и нулите на производната x = −3 и x = 2.5. Обърнете внимание и на знаците:

Очевидно в точката x = −3 знакът на производната се променя от минус на плюс. Това е минималната точка.

Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−3; 7]. Намерете максималната точка на функцията f(x) на този сегмент.

Нека преначертаем графиката, оставяйки само границите [−3; 7] и нулите на производната x = −1.7 и x = 5. Обърнете внимание на знаците на производната върху получената графика. Ние имаме:

Очевидно в точката x = 5 знакът на производната се променя от плюс на минус - това е максималната точка.

Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−6; 4]. Намерете броя на максималните точки на функцията f(x), които принадлежат на интервала [−4; 3].

От условията на задачата следва, че е достатъчно да се разгледа само частта от графиката, ограничена от отсечката [−4; 3]. Затова изграждаме нова графика, на която отбелязваме само границите [−4; 3] и нулите на производната вътре в него. А именно точките x = −3,5 и x = 2. Получаваме:

На тази графика има само една максимална точка x = 2. Именно в нея знакът на производната се променя от плюс на минус.

Малка бележка за точки с нецелочислени координати. Например в последната задача беше разгледана точката x = −3,5, но със същия успех можем да вземем x = −3,4. Ако проблемът е формулиран правилно, подобни промени не трябва да влияят на отговора, тъй като точките "без определено място на пребиваване" не участват пряко в решаването на проблема. Разбира се, с цели точки такъв трик няма да работи.

Намиране на интервали на нарастване и намаляване на функция

В такъв проблем, подобно на точките на максимум и минимум, се предлага да се намерят области, в които самата функция нараства или намалява от графиката на производната. Първо, нека дефинираме какво е възходящо и низходящо:

1. Функция f(x) се нарича нарастваща върху отсечка, ако за всеки две точки x 1 и x 2 от тази отсечка е вярно твърдението: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). С други думи, колкото по-голяма е стойността на аргумента, толкова по-голяма е стойността на функцията.
2. Функция f(x) се нарича намаляваща на отсечка, ако за всеки две точки x 1 и x 2 от тази отсечка е вярно твърдението: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Тези. по-голяма стойностаргумент съответства на по-малката стойност на функцията.

Ние формулираме достатъчни условия за увеличаване и намаляване:

1. За да нараства непрекъсната функция f(x) върху отсечката , достатъчно е нейната производна вътре в отсечката да е положителна, т.е. f'(x) ≥ 0.
2. За да намалява непрекъсната функция f(x) върху отсечката , достатъчно е нейната производна вътре в отсечката да е отрицателна, т.е. f'(x) ≤ 0.

Приемаме тези твърдения без доказателства. По този начин получаваме схема за намиране на интервали на увеличение и намаляване, която в много отношения е подобна на алгоритъма за изчисляване на екстремни точки:

1. Премахнете цялата излишна информация. На оригиналната графика на производната се интересуваме предимно от нулите на функцията, така че оставяме само тях.
2. Отбележете знаците на производната на интервалите между нулите. Когато f'(x) ≥ 0, функцията нараства, а когато f'(x) ≤ 0, тя намалява. Ако проблемът има ограничения върху променливата x, ние допълнително ги маркираме на новата диаграма.
3. Сега, след като знаем поведението на функцията и ограничението, остава да изчислим търсената стойност в задачата.

Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−3; 7.5]. Намерете интервалите на намаляваща функция f(x). В отговора си напишете сумата от цели числа, включени в тези интервали.

Както обикновено, преначертаваме графиката и маркираме границите [−3; 7.5], както и нулите на производната x = −1.5 и x = 5.3. След това отбелязваме знаците на производната. Ние имаме:

Тъй като производната е отрицателна на интервала (− 1,5), това е интервалът на намаляваща функция. Остава да се сумират всички цели числа, които са вътре в този интервал:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на отсечката [−10; 4]. Намерете интервалите на нарастваща функция f(x). В отговора си запишете дължината на най-големия от тях.

Да се ​​отървем от излишната информация. Оставяме само границите [−10; 4] и нули на производната, които този път се оказаха четири: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Забележете знаците на производната и получете следната картина:

Ние се интересуваме от интервалите на нарастваща функция, т.е. където f'(x) ≥ 0. Има два такива интервала на графиката: (−8; −6) и (−3; 2). Нека изчислим техните дължини:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Тъй като се изисква да се намери дължината на най-големия от интервалите, в отговор записваме стойността l 2 = 5.

Геометричният смисъл на производната

ОПРЕДЕЛЯНЕ НА допирателната към крива Допирателна към крива y=ƒ(x)в точката Мсе нарича гранично положение на секанса, прекаран през точката Ми прилежащата му точка М 1крива, при условие че точката М 1се приближава неограничено по кривата до точка М. ГЕОМЕТРИЧНО ЗНАЧЕНИЕ НА ПРОИЗВОДНАТА Производна на функция y=ƒ(x)в точката х 0 е числено равно на тангенса на ъгъла на наклон спрямо оста одопирателна, начертана към кривата y=ƒ(x)в точката M (x 0; ƒ (x 0)).

ДОТИЧНИ КЪМ ИЗВИТИ Дотичная до кривото y=ƒ(x)към основния въпрос Мнаречена гранична позиция на сичното, прекарана през точката Ми преценете точка с него М 1крив, имайте предвид, каква точка М 1кривата се доближава до точката М. ГЕОМЕТРИЧЕН ЗМИСТ ДОБРЕ Други функции y=ƒ(x)към основния въпрос х 0числено увеличаване на тангентата на kuta nahil към оста о dotichny, извършен до кривата y=ƒ(x)към основния въпрос M (x 0; ƒ (x 0)).

Практическото значение на производната

Нека разгледаме какво на практика означава стойността, намерена от нас като производна на някаква функция.

Преди всичко, производна- това е основната концепция на диференциалното смятане, характеризираща скоростта на изменение на функция в дадена точка.

Какво е "скорост на промяна"? Представете си функция f(x) = 5. Независимо от стойността на аргумента (x), стойността му не се променя по никакъв начин. Тоест скоростта на промяна е нула.

Сега разгледайте функцията f(x) = x. Производната на x е равна на едно. Наистина, лесно е да се види, че за всяка промяна на аргумента (x) с единица, стойността на функцията също се увеличава с единица.

От гледна точка на получената информация, сега нека да разгледаме таблицата с производни на прости функции. Изхождайки от това, физическият смисъл на намирането на производната на функция веднага става ясен. Такова разбиране трябва да улесни решаването на практически проблеми.

Съответно, ако производната показва скоростта на промяна на функцията, тогава двойната производна показва ускорението.

2080.1947

Много лесно се запомня.

Е, няма да отидем далеч, веднага ще разгледаме обратната функция. Каква е обратната на експоненциалната функция? Логаритъм:

В нашия случай основата е число:

Такъв логаритъм (т.е. логаритъм с основа) се нарича „естествен“ и ние използваме специална нотация за него: пишем вместо това.

На какво е равно? Разбира се, .

Производната на естествения логаритъм също е много проста:

Примери:

1. Намерете производната на функцията.
2. Каква е производната на функцията?

Отговори: Експонентата и натуралният логаритъм са функции, които са уникално прости по отношение на производната. Експоненциалните и логаритмичните функции с всяка друга основа ще имат различна производна, която ще анализираме по-късно, след като преминем през правилата за диференциране.

Правила за диференциране

Какви правила? Пак нов мандат, пак?!...

Диференциацияе процесът на намиране на производната.

Само и всичко. Каква е другата дума за този процес? Не производство... Диференциалът на математиката се нарича самото нарастване на функцията при. Този термин идва от латинския differentia - разлика. Тук.

Когато извличаме всички тези правила, ще използваме две функции, например и. Ще ни трябват и формули за техните увеличения:

Има общо 5 правила.

Константата се изважда от знака на производната.

Ако - някакво постоянно число (константа), тогава.

Очевидно това правило работи и за разликата: .

Нека го докажем. Нека или по-лесно.

Примери.

Намерете производни на функции:

1. в точката;
2. в точката;
3. в точката;
4. в точката.

Решения:

1. (производната е една и съща във всички точки, тъй като е линейна функция, помните ли?);

Производно на продукт

Тук всичко е подобно: въвеждаме нова функция и намираме нейното увеличение:

Производна:

Примери:

1. Намерете производни на функции и;
2. Намерете производната на функция в точка.

Решения:

Производна на експоненциална функция

Сега знанията ви са достатъчни, за да научите как да намирате производната на всяка експоненциална функция, а не само степенната (забравили ли сте вече какво е?).

И така, къде е някакво число.

Вече знаем производната на функцията, така че нека се опитаме да пренесем нашата функция на нова база:

За целта използваме просто правило: . Тогава:

Е, проработи. Сега опитайте да намерите производната и не забравяйте, че тази функция е сложна.

Се случи?

Ето, проверете сами:

Формулата се оказа много подобна на производната на експонента: както беше, така и остава, появи се само фактор, който е просто число, но не и променлива.

Примери:
Намерете производни на функции:

Отговори:

Това е просто число, което не може да се изчисли без калкулатор, тоест не може да се напише в по-прост вид. Затова в отговора е оставено в този вид.

Имайте предвид, че тук е частното на две функции, така че прилагаме подходящото правило за диференциране:

В този пример продуктът на две функции:

Производна на логаритмична функция

Тук е подобно: вече знаете производната на естествения логаритъм:

Следователно, за да намерите произволен логаритъм с различна основа, например:

Трябва да приведем този логаритъм към основата. Как се променя основата на логаритъм? Надявам се, че помните тази формула:

Само сега вместо ще напишем:

Знаменателят се оказа просто константа (постоянно число, без променлива). Производната е много проста:

Производни на експоненциалната и логаритмичната функция почти никога не се срещат на изпита, но няма да е излишно да ги знаете.

Производна на сложна функция.

Какво е "сложна функция"? Не, това не е логаритъм и не е аркутангенс. Тези функции могат да бъдат трудни за разбиране (въпреки че ако логаритъма ви изглежда труден, прочетете темата "Логаритми" и всичко ще се получи), но от гледна точка на математиката думата "комплексен" не означава "труден".

Представете си малък конвейер: двама души седят и извършват някакви действия с някакви предмети. Например първият увива шоколадов блок в обвивка, а вторият го завързва с панделка. Оказва се такъв съставен обект: шоколадово блокче, увито и завързано с панделка. За да изядете блокче шоколад, трябва да направите противоположните стъпки в обратен ред.

Нека създадем подобен математически конвейер: първо ще намерим косинуса на число, а след това ще повдигнем на квадрат полученото число. И така, те ни дават число (шоколад), аз намирам неговия косинус (обвивка), а след това вие повдигате на квадрат полученото (завързвате го с панделка). Какво стана? функция. Това е пример за сложна функция: когато, за да намерим нейната стойност, извършваме първото действие директно с променливата и след това друго второ действие с това, което се е случило в резултат на първото.

С други думи, Сложна функция е функция, чийто аргумент е друга функция: .

За нашия пример,.

Можем да направим същите действия в обратен ред: първо повдигате на квадрат, а след това търся косинуса на полученото число:. Лесно е да се досетите, че резултатът почти винаги ще бъде различен. Важна характеристика на сложните функции: когато редът на действията се промени, функцията се променя.

Втори пример: (същото). .

Последното действие, което правим, ще бъде извикано "външна" функция, а първо извършеното действие – респ "вътрешна" функция(това са неофициални имена, използвам ги само за да обясня материала на прост език).

Опитайте се да определите сами коя функция е външна и коя вътрешна:

Отговори:Разделянето на вътрешни и външни функции е много подобно на промяната на променливи: например във функцията

1. Какво действие ще предприемем първо? Първо изчисляваме синуса и едва след това го повдигаме на куб. Така че това е вътрешна функция, а не външна.
   И първоначалната функция е тяхната композиция: .
2. Вътрешен: ; външен: .
   Преглед: .
3. Вътрешен: ; външен: .
   Преглед: .
4. Вътрешен: ; външен: .
   Преглед: .
5. Вътрешен: ; външен: .
   Преглед: .

променяме променливите и получаваме функция.

Е, сега ще извлечем нашия шоколад - потърсете производното. Процедурата винаги е обратна: първо търсим производната на външната функция, след това умножаваме резултата по производната на вътрешната функция. За оригиналния пример изглежда така:

Друг пример:

И така, нека най-накрая формулираме официалното правило:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

Изглежда, че е просто, нали?

Нека проверим с примери:

Решения:

1) Вътрешен: ;

Външен: ;

2) Вътрешен: ;

(само не се опитвайте да редуцирате досега! Нищо не е извадено от косинуса, помните ли?)

3) Вътрешен: ;

Външен: ;

Веднага става ясно, че тук има сложна функция на три нива: в крайна сметка това вече е сложна функция сама по себе си и ние все още извличаме корена от нея, тоест изпълняваме третото действие (поставете шоколад в обвивка и с панделка в куфарче). Но няма причина да се страхувате: така или иначе ще „разопаковаме“ тази функция в същия ред, както обикновено: от края.

Тоест, първо диференцираме корена, след това косинуса и едва след това израза в скоби. И след това умножаваме всичко.

В такива случаи е удобно действията да се номерират. Тоест нека си представим това, което знаем. В какъв ред ще извършим действия за изчисляване на стойността на този израз? Да разгледаме един пример:

Колкото по-късно се извърши действието, толкова по-„външна“ ще бъде съответната функция. Последователността на действията - както преди:

Тук гнезденето обикновено е 4-степенно. Да определим хода на действие.

1. Радикален израз. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Събираме всичко заедно:

ПРОИЗВОДНО. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Производна на функция- съотношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента с безкрайно малко увеличение на аргумента:

Основни производни:

Правила за диференциране:

Константата се изважда от знака на производната:

Производна на сумата:

Производен продукт:

Производна на коефициента:

Производна на сложна функция:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

1. Дефинираме "вътрешната" функция, намираме нейната производна.
2. Дефинираме "външната" функция, намираме нейната производна.
3. Умножаваме резултатите от първа и втора точка.