механичен баланс. Условие на равновесие на механична система в обобщени координати Стабилно равновесно положение на механична система по координата

Както следва от примера за изследване на осцилаторното движение на материална точка, собственото движение на системата се причинява от еластична сила. По-рано беше показано, че еластичната сила принадлежи на потенциалното силово поле. Следователно, пристъпвайки към изучаването на естествените колебателни движения на механичните системи, трябва да се приеме, че такива движения са причинени от силите на потенциалното поле. Следователно, ако системата има s степени на свобода, тогава нейните обобщени сили ще бъдат записани чрез функцията на силата U или потенциалната енергия П във формата:

Както следва от изследването на движението на точка, нейните колебания възникват около равновесното положение. Осцилаторното движение на системата също ще се случи близо до позицията на нейното равновесие, което се характеризира с условия.

Тези условия показват, че осцилаторните движения на системата могат да възникнат близо до позиции, характеризиращи се с относителен екстремум на функцията на силата или потенциалната енергия на системата. Осцилаторното движение на системата обаче не е възможно в близост до равновесно положение.

Определяне на устойчиво равновесно положение на механична система

Нека механичната система се състои от материални точки, които са в равновесие под действието на сили, приложени към тях. Нека дадем на точките на тази система малки отклонения от равновесното положение и малки начални скорости. Тогава системата ще започне да се движи. Ако през цялото време след нарушаване на равновесието точките на системата остават в непосредствена близост до равновесното си положение, тогава това положение се нарича стабилно. В противен случай равновесието на системата се нарича нестабилно. За колебания на системата може да се говори само в случай, че тези колебания възникват близо до позицията на стабилно равновесие. Ако положението на системата е нестабилно, т.е. ако с малко отклонение от равновесното положение и ниски скорости системата се отдалечава още повече от него, тогава не може да се говори за колебания на системата в близост до това положение. Следователно изследването на трептенията на системата трябва да започне с установяването на критерий за стабилността на равновесието на механичната система.

Критерий за устойчивост на равновесие за консервативна механична система

Критерият за стабилност на равновесието на консервативна система се установява от теоремата на Лагранж-Дирихле, която е следната: ако една механична система има стационарни ограничения и е консервативна и ако в равновесното положение на тази система нейната потенциална енергия има минимум (т.е. функцията на силата има максимум), тогава равновесието на системата е стабилно.

Нека докажем тази теорема. Нека позицията на механичната система се определя от обобщени координати, които се измерват от позицията на равновесие. Тогава в тази позиция ще имаме:

Количествата могат да се разглеждат като координати на точка в -мерното пространство. Тогава всяка позиция на системата ще съответства на определена точка от това пространство. По-специално, началото на координатите O ще съответства на равновесното положение.

Потенциалната енергия P ще се брои от позицията на равновесие, като се приеме, че в тази позиция това, което не нарушава общността на разсъжденията, тъй като потенциалната енергия се определя до произволна константа.

Нека вземем някакво положително число и опишем от точка O сфера с радиус . Регионът, ограничен от тази сфера, ще бъде означен с Числото ще се счита за произволно, но достатъчно малко. Тогава за всяка точка от границата на областта D ще бъде валидно следното неравенство:

тъй като в точка O функцията P е равна на нула и има минимум.

Позволявам най-малка стойност P на границата на областта D е равно на P. Тогава за всяка точка, принадлежаща на тази граница, ще имаме

Нека сега изведем системата от равновесие, като дадем на нейните точки толкова малки начални отклонения и толкова малки начални скорости, че неравенствата да са в сила:

където са началните стойности на потенциала и кинетична енергия. Тогава ще имаме:

Но при по-нататъшно движение на системата, поради закона за запазване на механичната енергия, който е валиден за консервативни системи със стационарни ограничения, равенството ще бъде изпълнено.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

устойчив баланс- това е равновесие, при което тялото, изведено от равновесие и оставено само на себе си, се връща в предишното си положение.

Това се случва, ако при леко изместване на тялото в която и да е посока от първоначалното положение, резултатът от силите, действащи върху тялото, стане ненулев и е насочен към равновесното положение. Например топка, лежаща на дъното на сферична кухина (фиг. 1а).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Нестабилно равновесие- това е равновесие, при което тялото, изведено от равновесното положение и оставено само на себе си, ще се отклони още повече от равновесното положение.

В този случай, при малко изместване на тялото от равновесното положение, резултатът от приложените към него сили е различен от нула и е насочен от равновесното положение. Пример е топка, разположена в горната част на изпъкнала сферична повърхност (фиг. 1 b).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Безразличен баланс- това е равновесие, при което тялото, изведено от равновесие и оставено само на себе си, не променя своето положение (състояние).

В този случай при малки премествания на тялото от първоначалното му положение резултатът от силите, приложени към тялото, остава равен на нула. Например топка, лежаща върху равна повърхност (фиг. 1, c).

Фиг. 1. Различни видове равновесие на тялото върху опора: а) стабилно равновесие; б) неустойчиво равновесие; в) безразлично равновесие.

Статично и динамично равновесие на телата

Ако в резултат на действието на силите тялото не получи ускорение, то може да бъде в покой или да се движи равномерно праволинейно. Следователно можем да говорим за статично и динамично равновесие.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Статичен баланс- това е такова равновесие, когато под действието на приложени сили тялото е в покой.

динамичен баланс- това е такова равновесие, когато под действието на сили тялото не променя движението си.

В състояние на статично равновесие е фенер, окачен на кабели, всяка строителна конструкция. Като пример за динамично равновесие можем да разгледаме колело, което се търкаля по равна повърхност при липса на сили на триене.

Равновесието на една механична система е нейното състояние, при което всички точки на разглежданата система са в покой спрямо избраната отправна система.

Най-лесният начин да разберете условията на равновесие е чрез примера на най-простата механична система - материална точка. Според първия закон на динамиката (виж Механика), състоянието на покой (или униформа праволинейно движение) на материална точка в инерционната координатна система е равенството на нула на векторната сума на всички сили, приложени към нея.

При прехода към по-сложни механични системи само това условие за тяхното равновесие не е достатъчно. В допълнение към транслационното движение, което се причинява от некомпенсирани външни сили, сложна механична система може да извършва въртеливо движение или да се деформира. Намерете абсолютно условията на равновесие твърдо тяло- механична система, състояща се от съвкупност от частици, взаимните разстояния между които не се променят.

Възможността за постъпателно движение (с ускорение) на механична система може да бъде елиминирана по същия начин, както в случая на материална точка, като се изисква сумата от силите, приложени към всички точки на системата, да бъде равна на нула. Това е първото условие за равновесие на една механична система.

В нашия случай твърдото тяло не може да се деформира, тъй като се съгласихме, че взаимните разстояния между неговите точки не се променят. Но за разлика от материалната точка, двойка равни и противоположно насочени сили могат да бъдат приложени към абсолютно твърдо тяло в различните му точки. Освен това, тъй като сумата от тези две сили е равна на нула, разглежданата механична система на транслационно движение няма да работи. Очевидно е обаче, че под действието на такава двойка сили тялото ще започне да се върти около някаква ос с все по-голяма ъглова скорост.

Появата на въртеливо движение в разглежданата система се дължи на наличието на некомпенсирани моменти на сили. Моментът на сила спрямо която и да е ос е произведението на големината на тази сила F от рамото d, т.е. от дължината на перпендикуляра, пуснат от точката O (вижте фигурата), през която минава оста, по посоката на силата. Имайте предвид, че моментът на сила с тази дефиниция е алгебрична величина: счита се за положителен, ако силата води до въртене обратно на часовниковата стрелка, и за отрицателен в противен случай. По този начин второто условие за равновесие на твърдо тяло е изискването сумата от моментите на всички сили около всяка ос на въртене да бъде равна на нула.

В случай, че са изпълнени и двете намерени условия за равновесие, твърдото тяло ще бъде в покой, ако в момента, в който силите са започнали да действат, скоростите на всички негови точки са били равни на нула.

В противен случай той ще извършва равномерно движение по инерция.

Разгледаната дефиниция на равновесието на механична система не казва нищо за това какво ще се случи, ако системата леко напусне равновесното положение. В този случай има три възможности: системата ще се върне към предишното си състояние на равновесие; системата, въпреки отклонението, няма да промени състоянието на равновесие; системата ще бъде извън равновесие. Първият случай се нарича стабилно състояние на равновесие, вторият - безразлично, третият - нестабилно. Характерът на равновесното положение се определя от зависимостта на потенциалната енергия на системата от координатите. Фигурата показва и трите вида баланс на примера на тежка топка, разположена във вдлъбнатина (стабилен баланс), върху гладка хоризонтална маса (безразличен), на върха на туберкул (нестабилен) (виж фигурата на стр. 220). ).

Горният подход към проблема за равновесието на механична система е бил разглеждан от учени в древния свят. И така, законът за равновесие на лоста (т.е. твърдо тяло с фиксирана ос на въртене) е открит от Архимед през 3 век. пр.н.е д.

През 1717 г. Йохан Бернули разработва напълно различен подход за намиране на условията на равновесие за механична система - методът на виртуалните премествания. Тя се основава на свойството на силите на реакция на връзката, произтичащи от закона за запазване на енергията: при малко отклонение на системата от равновесното положение общата работа на силите на реакция на връзката е нула.

При решаване на проблеми със статиката (виж Механика), въз основа на условията на равновесие, описани по-горе, връзките, съществуващи в системата (опори, резби, пръти), се характеризират с възникващите в тях сили на реакция. Необходимостта да се вземат предвид тези сили при определяне на условията на равновесие в случай на системи, състоящи се от няколко тела, води до тромави изчисления. Въпреки това, поради факта, че работата на силите на реакция на връзката е равна на нула за малки отклонения от равновесното положение, е възможно да се избегне разглеждането на тези сили като цяло.

В допълнение към силите на реакция, външните сили също действат върху точките на механичната система. Каква е тяхната работа при малко отклонение от равновесното положение? Тъй като системата първоначално е в покой, всяко движение на системата изисква да се извърши някаква положителна работа. По принцип тази работа може да бъде извършена както от външни сили, така и от сили на реакция на връзки. Но, както вече знаем, общата работа на силите за реакция е нула. Следователно, за да може системата да излезе от състоянието на равновесие, общата работа на външните сили за всяко възможно изместване трябва да бъде положителна. Следователно условието за невъзможност за движение, т.е. условието за равновесие, може да се формулира като изискването общата работа на външните сили да бъде неположителна за всяко възможно изместване: .

Да приемем, че когато точките на системата се движат, сумата от работата на външните сили се оказа равна на . И какво се случва, ако системата прави движения - Тези движения са възможни по същия начин като първите; но работата на външните сили сега ще промени знака: . Разсъждавайки подобно на предишния случай, стигаме до извода, че сега условието за равновесие на системата има формата: , т.е. работата на външните сили трябва да е неотрицателна. Единственият начин да се „помирят” тези две почти противоречиви условия е да се изисква точно равенство на нула на общата работа на външните сили за всяко възможно (виртуално) изместване на системата от равновесно положение: . Под възможно (виртуално) движение тук се разбира безкрайно малко умствено движение на системата, което не противоречи на наложените й връзки.

И така, условието за равновесие на механична система под формата на принципа на виртуалните премествания се формулира, както следва:

"За равновесието на всяка механична система с идеални връзки е необходимо и достатъчно сумата от елементарните работи, действащи върху системата от сили за всяко възможно преместване, да бъде равна на нула."

Използвайки принципа на виртуалните премествания, се решават проблемите не само на статиката, но и на хидростатиката и електростатиката.

Механичен баланс

Механичен баланс- състояние на механична система, при което сумата от всички сили, действащи върху всяка от нейните частици, е равна на нула и сумата от моментите на всички сили, приложени към тялото спрямо всяка произволна ос на въртене, също е равна на нула .

В състояние на равновесие тялото е в покой (векторът на скоростта е равен на нула) в избраната отправна система, или се движи равномерно по права линия, или се върти без тангенциално ускорение.

Определение чрез енергията на системата

Тъй като енергията и силите са свързани чрез фундаментални зависимости, това определение е еквивалентно на първото. Въпреки това, определението по отношение на енергията може да бъде разширено, за да се получи информация за стабилността на равновесното положение.

Видове баланс

Да дадем пример за система с една степен на свобода. В този случай достатъчно условие за равновесното положение ще бъде наличието на локален екстремум в изследваната точка. Както е известно, условието за локален екстремум на диференцируема функция е равенството на нула на нейната първа производна. За да се определи кога тази точка е минимум или максимум, е необходимо да се анализира нейната втора производна. Стабилността на равновесното положение се характеризира със следните опции:

• нестабилно равновесие;
• стабилен баланс;
• безразличен баланс.

Нестабилно равновесие

В случай, че втората производна е отрицателна, потенциалната енергия на системата е в състояние на локален максимум. Това означава, че равновесното положение нестабилен. Ако системата се измести на малко разстояние, тогава тя ще продължи движението си поради силите, действащи върху системата.

устойчив баланс

Втора производна > 0: потенциална енергия при локален минимум, равновесно положение стабилно(вижте теоремата на Лагранж за устойчивостта на равновесие). Ако системата се измести на малко разстояние, тя ще се върне обратно в състоянието на равновесие. Равновесието е стабилно, ако центърът на тежестта на тялото заема най-ниската позиция в сравнение с всички възможни съседни позиции.

Безразличен баланс

Втора производна = 0: в тази област енергията не се променя, а равновесното положение е безразличен. Ако системата се премести на малко разстояние, тя ще остане в новата позиция.

Устойчивост в системи с голям брой степени на свобода

Ако системата има няколко степени на свобода, тогава може да се окаже, че равновесието е стабилно при промени в едни посоки и нестабилно в други. Най-простият пример за такава ситуация е "седло" или "проход" (на това място би било хубаво да поставите снимка).

Равновесието на система с няколко степени на свобода ще бъде стабилно само ако е стабилно във всички посоки.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "механичен баланс" в други речници:

механичен баланс- mechaninė pusiausvyra statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. механичен баланс vok. mechanisches Gleichgewicht, n рус. механичен баланс, n pranc. équilibre mécanique, m … Fizikos terminų žodynas

- ... Уикипедия

Фазови преходи Член I ... Wikipedia

Състоянието на термодинамична система, в което тя идва спонтанно след достатъчно дълъг период от време в условия на изолация от околната среда, след което параметрите на състоянието на системата вече не се променят с времето. Изолация…… Велика съветска енциклопедия

РАВНОВЕСИЕ- (1) механично състояние на неподвижност на тялото, което е следствие от действащите върху него R. сили (когато сумата от всички сили, действащи върху тялото, е нула, т.е. не придава ускорение). Има R .: а) стабилен, когато, когато се отклонява от ... ... Голяма политехническа енциклопедия

Състоянието на механичния система, за която всички нейни точки са фиксирани спрямо дадената референтна система. Ако тази референтна система е инерционна, тогава R. m. абсолютно, иначе относително. В зависимост от поведението на тялото след... Голям енциклопедичен политехнически речник

Термодинамичното равновесие е състояние на изолирана термодинамична система, при което във всяка точка за всички химични, дифузионни, ядрени и други процеси скоростта на правата реакция е равна на скоростта на обратната. Термодинамични ... ... Уикипедия

Равновесие- най-вероятното макросъстояние на веществото, когато променливите, независимо от избора, остават постоянни при пълно описаниесистеми. Равновесието се различава: механично, термодинамично, химично, фазово и др.: Вижте ... ... енциклопедичен речникв металургията

Съдържание 1 Класическа дефиниция 2 Дефиниция чрез енергията на системата 3 Видове равновесие ... Wikipedia

Фазови преходи Статията е част от поредицата "Термодинамика". Концепцията за фаза Равновесие на фазите Квантов фазов преход Раздели на термодинамиката Начало на термодинамиката Уравнение на състоянието ... Wikipedia

Равновесие на механична системае състояние, при което всички точки на механична система са в покой по отношение на разглежданата отправна система. Ако отправната система е инерциална, се нарича равновесие абсолютен, ако е неинерционен — роднина.

За да се намерят условията на равновесие за абсолютно твърдо тяло, е необходимо мислено да се раздели на голям брой достатъчно малки елементи, всеки от които може да бъде представен от материална точка. Всички тези елементи взаимодействат помежду си - тези сили на взаимодействие се наричат вътрешни. Освен това външни сили могат да действат върху редица точки на тялото.

Съгласно втория закон на Нютон, за да бъде ускорението на точка нула (и ускорението на точка в покой да бъде нула), геометричната сума на силите, действащи върху тази точка, трябва да е нула. Ако тялото е в покой, то всички негови точки (елементи) също са в покой. Следователно за всяка точка от тялото можем да напишем:

където е геометричната сума на всички външни и вътрешни сили, действащи върху азелемент на тялото.

Уравнението означава, че за равновесието на едно тяло е необходимо и достатъчно геометричната сума на всички сили, действащи върху всеки елемент от това тяло, да е равна на нула.

От него лесно се получава първото условие за равновесието на едно тяло (система от тела). За да направите това, достатъчно е да сумирате уравнението за всички елементи на тялото:

.

Втората сума е равна на нула според третия закон на Нютон: векторната сума на всички вътрешни сили на системата е равна на нула, тъй като всяка вътрешна сила съответства на сила, равна по абсолютна стойност и противоположна по посока.

Следователно,

.

Първото условие за равновесие на твърдо тяло(системи на тялото)е равенство на нула на геометричната сума на всички външни сили, приложени към тялото.

Това условие е необходимо, но не достатъчно. Лесно е да проверите това, като си спомните въртеливото действие на двойка сили, чиято геометрична сума също е равна на нула.

Второто условие за равновесие на твърдо тялое равенството на нула на сумата от моментите на всички външни сили, действащи върху тялото, спрямо всяка ос.

По този начин условията на равновесие за твърдо тяло в случай на произволен брой външни сили изглеждат така:

.