Видове геометрични модели и техните свойства. Видове геометрични модели, техните свойства, параметризация на моделите. Основните видове геометрични модели

Геометричен модел–
идея за външни знаци
реален обект.
геометричен компютър
модел - изглед
информационен модел с
с помощта на компютър
диаграми.

Геометричното моделиране се подразделя на:

о
о
о
конструкция на рамката - геометрична
моделът е изграден от ограничен набор
графични примитиви (сегменти, дъги,
конични криви).
повърхности - моделиране
многообразия от втори ред (сфери,
цилиндри, конуси и др.).
насипни тела- основен обект
симулацията е триизмерна
обемно тяло.

Видове и свойства на моделите

о
Линиите могат да описват отделни геометрични свойства на обекти, да представляват
характерни черти на обектите. Те могат да бъдат пространствени и двуизмерни. Криви
Линиите служат като строителен материал за създаване на повърхности и твърди тела.
о
Повърхностите, подобно на линиите, са математически абстракции, които дават
представа за индивидуалните свойства на обектите и служи като строителен материал
да създава тела.
о
Набор от повърхности, които се свързват по протежение на границите, се нарича обвивка. За
моделиране, е необходимо да се опише набор от повърхности, разделящи вътрешния обем
обект от останалото пространство.
о
За геометрично моделиране на обекти, заемащи краен обем, в
Математиката използва обекти, наречени твърди тела или просто тела. При
моделиране на тела, изграждат се повърхности, които отделят частта, която заемат
пространство от останалото пространство.

2D модели

растер
вектор
триизмерен
фрактал

Растерен модел

Предимства
недостатъци
лекота на цифровизация (сканиране или твърдо фиксиран брой
фотография с възможн
пиксели в растер.
последващо сканиране
печат (слайд)).
възможността е много малка
корекции на изображението
намеса
Лесна процедура за преобразуване
липса на вътрешна структура
пикселен модел в изображение с подходяща структура
показване или отпечатване
изобразени предмети
голяма памет и дълъг
време на обработка

векторен модел

Предимства
недостатъци
Заето сравнително малко пространство
памет
Включване във векторния модел
множеството видове обекти го затрудняват
изследване на неговата структура
Векторно изображение може да бъде
структурирани с произволни
ниво на детайлност
Изграждане на векторен модел
изображението представлява
трудна задача
автоматизация
Векторни моделни обекти
изображения лесно
се трансформират, те
мащабирането не включва
без изкривяване на изображението, без загуба
визуална информация
Моделът на векторно изображение не е такъв
дава на потребителя инструментите,
съответстващи на традиционните
техника на рисуване
Във векторния модел текстът,
изглежда като отделна категория
обекти

процес на еволюция
векторни програми
класации най-бързо
влизам направо
посока нагоре
реализъм
векторни изображения,
и нови обекти
векторен модел
(запълване на мрежа, сенки,
градиент
прозрачност) в
до голяма степен
разширяване
вектор на изобразителните възможности

Модели за представяне на информация за тримерни обекти

Многоъгълна
(мрежа)
Воксел
Функционален

Полигонални (мрежести) модели

Предимства
недостатъци
отговаря не на изображението, а на формата
предмети и носи повече
информация за тях от всеки модел
2D графики
визуализация и алгоритми за изпълнение
топологични операции (напр.
изграждане на секции) са доста сложни
дава възможност за автоматично решаване на числото при изграждане на сложни модели
задачата да се изгради илюзията за перспектива, ръбовете растат невероятно
сенки и акценти при различни условия на осветеност с бързина, която не само прави
мрежестият модел не е твърде компактен,
но също така изисква колосална
изчислителна мощност
моделът дава възможност за
изграждане с минимален труд
изображение на симулираната сцена в
всеки ъгъл
приближение на плоско лице
води до значителна грешка
особено при комплексно моделиране
повърхности
като вектор по природа,
запазва много от предимствата на
векторно изображение на модел
повишени изисквания към потребителя,
което предполага, че той има развит
пространствено въображение

Воксел модел

ВОКСЕЛЕН МОДЕЛ
Предимства
недостатъци
възможност за представителство
вътрешността на обекта, не само
външен слой
много информация,
необходими за представяне
обемни данни
проста процедура за картографиране
триизмерни сцени
значителна цена на паметта
ограничаваща резолюция
способност, точност на моделиране
просто изпълнение на топологични
операции (например за показване
разрез на пространствено тяло,
достатъчно воксели за създаване
прозрачен)
проблеми с увеличението или
намаляване на изображението; например с
резолюцията се влошава
способност за изображение

функционални модели

Предимства на функционалните модели

лесна процедура за изчисление
координати на всяка точка;
малък обем
информация за
описания на сложни форми;
възможност за изграждане
на повърхностна основа
скаларни данни без
предварителен
триангулация.
Кулата на Шухов - пример за използване
хиперболоид на революцията

Геометрична параметризация се нарича
параметрично моделиране, при което
геометрията на всеки параметричен обект
преизчислява се в зависимост от позицията
родителски обекти, неговите параметри и
променливи.

Геометрична параметризация

о
о
Добра идея е да смените едно или повече
параметри и вижте как ще се държи кога
това е целия модел.
Конструктор, в случай на параметричен
дизайн, създава математически модел
обекти с параметри, които се променят
промени в конфигурацията на частите,
взаимни движения на части в сглобка и др.

Геометрични операции върху модели

Над тела, както и над други геометрични
обекти, можете да извършвате операции -
набор от действия върху едно или повече
оригинални тела, което води до раждането
ново тяло. Една от основните операции за
две тела са булеви операции.
o Булевите операции се наричат операции
обединяване, пресичане и изваждане на тела, т.н
как извършват същите операции върху
вътрешни обеми на тела (над комплекти
точки от пространството, разположени вътре в телата).

Съюзна операция

o Резултатът от операцията по комбиниране на две тела е тялото,
която съдържа точките, принадлежащи на вътрешния
обема както на първото, така и на второто тяло.
o същността на операцията: трябва да намерите линиите на пресичане на лицата на телата,
премахнете тази част от първото тяло, която е попаднала във второто
тяло и онази част от второто тяло, която е попаднала в първото
тяло, а от всичко останало да се изгради ново тяло.
Две оригинални тела
Съюз на телата

Операция на пресичане

o Резултатът от операцията на пресичане на две тела е тялото,
който съдържа точки, принадлежащи на вътрешния обем
както първото, така и второто тяло.
o Същността на операцията на пресичане на тела: трябва да намерите линии
пресичане на телата, изтрийте частта от първото тяло, която не е
попадна вътре във второто и тази част от второто тяло, която не е
влезе вътре в първия и от всичко останало да изгради нов
тяло.
Две оригинални тела
Пресичане на тела

операция изваждане

o Резултатът от операцията за изваждане на две тела е тяло, което
съдържа точки, които принадлежат към вътрешния обем на първия, но не
принадлежащи към вътрешния обем на второто тяло.
o Същността на операцията за изваждане на тела: трябва да намерите линиите на пресичане на телата,
премахнете тази част от първото тяло, която е попаднала във второто, и тази част
второ тяло, което не е попаднало в първото, а от всичко останало
изгради ново тяло. Резултатът от операцията зависи от това кое тяло
изваден.
Две оригинални тела
Разлика в тялото

Геометричните модели се класифицират на предметни, изчислителни и когнитивни. Сред геометричните модели могат да се разграничат плоски и триизмерни модели. Обектните модели са тясно свързани с визуалното наблюдение. Информацията, получена от модели на обекти, включва информация за формата и размера на обекта, за местоположението му спрямо другите. Чертежите на машини, технически устройства и техните части се изпълняват в съответствие с редица символи, специални правила и определен мащаб. Чертежите могат да бъдат сглобени, общ изглед, монтажни, таблични, цялостни, външни изгледи, оперативни и др. Чертежите се разграничават и по отрасли: машиностроене, уредостроене, строителство, минно-геоложки, топографски и др. Чертежите на земната повърхност се наричат карти. Чертежите се отличават по метода на изображенията: ортогонална рисунка, аксонометрия, перспектива, проекции с цифрови знаци, афинни проекции, стереографски проекции, кинеперспектива и др. Обектните модели включват чертежи, карти, снимки, оформления, телевизионни изображения и др. Обектните модели са тясно свързани с визуалното наблюдение. Сред предметните геометрични модели могат да се разграничат плоски и обемни модели. Обектните модели се различават значително по начина на изпълнение: рисунки, чертежи, картини, снимки, филми, радиографии, макети, модели, скулптури и др. В зависимост от етапа на проектиране чертежите се разделят на чертежи на техническо предложение, чертежи и технически проекти, работни чертежи. Чертежите също се разграничават в оригинали, оригинали и копия.

Графичните конструкции могат да служат за получаване числени решенияразлични задачи. Графично можете да извършвате алгебрични операции (събиране, изваждане, умножение, деление), диференциране, интегриране и решаване на уравнения. При изчисляване на алгебрични изрази числата се представят чрез насочени сегменти. За да се намери разликата или сумата на числата, съответстващите им сегменти се начертават на права линия. Умножението и делението се извършва чрез построяване на пропорционални отсечки, които се отрязват от страните на ъгъла с прави успоредни линии. Комбинацията от операции за умножение и събиране ви позволява да изчислявате суми от продукти и среднопретеглена стойност. Графичното степенуване се състои в последователно повторение на умножението. Графичното решение на уравненията е стойността на абсцисата на пресечната точка на кривите. Графично можете да изчислите определен интеграл, да построите графика на производната, т.е. диференцират и интегрират и решават уравнения. Геометричните модели за графични изчисления трябва да се разграничават от номограмите и изчислителните геометрични модели (RGM). Графичните изчисления изискват последователност от конструкции всеки път. Номограмите и RGM са геометрични изображения на функционални зависимости и не изискват нови конструкции за намиране на числените стойности. Номограмите и RGM се използват за изчисления и изследвания на функционални зависимости. Изчисленията върху RGM и номограмите се заменят с четене на отговори с помощта на елементарни операции, посочени в ключа на номограмата. Основните елементи на номограмите са скали и двоични полета. Номограмите се подразделят на елементарни и съставни номограми. Номограмите се отличават и с операцията в ключа. Основната разлика между RGM и номограмата е, че за конструиране на RGM се използват геометрични методи, а за конструиране на номограми се използват аналитични методи. Номографията е преходът от аналитична машина към геометрична машина.

Когнитивните модели включват функционални графики, диаграми и графики. Графичен модел на зависимостта на едни променливи от други се нарича графика на функции. Функционални графики могат да бъдат построени от дадена част от нея или от графика на друга функция с помощта на геометрични трансформации. Графично изображение, което ясно показва съотношението на всякакви количества, е диаграма. Стълбовата диаграма, която е колекция от съседни правоъгълници, изградени на една и съща права линия и представляващи разпределението на всякакви стойности според количествен атрибут, се нарича хистограма. Геометричните модели, изобразяващи връзките между елементите на множеството, се наричат графики. Графиките са модели на ред и начин на действие. При тези модели няма разстояния, ъгли, връзката на точки на права линия или крива е безразлична. В графите се разграничават само върхове, ръбове и дъги. За първи път в хода на решаването на пъзели бяха използвани графики. Понастоящем графите се използват ефективно в теорията на планирането и управлението, теорията на планирането, социологията, биологията, при решаването на вероятностни и комбинаторни проблеми и др.

Специално значениеимат теоретични геометрични модели. В аналитичната геометрия геометричните образи се изучават с помощта на алгебра, основана на метода на координатите. В проективната геометрия се изучават проективни трансформации и неизменни свойства на независими от тях фигури. IN дескриптивна геометрияизучават се пространствени фигури и методи за решаване на пространствени задачи чрез построяване на изображенията им върху равнина. Имоти плоски фигурисе разглеждат в планиметрията, а свойствата на пространствените фигури – в стереометрията. В сферичната тригонометрия се изучават връзките между ъгли и страни на сферични триъгълници. Теорията на фотограметрията и стерео- и фотограметрията позволява да се определят формите, размерите и положението на обектите от техните фотографски изображения във военното дело, космическите изследвания, геодезията и картографията. Съвременната топология изучава непрекъснатите свойства на фигурите и тяхното взаимно разположение. Фракталната геометрия (въведена в науката през 1975 г. от Б. Манделброт), която изучава общите закономерности на процесите и структурите в природата, се превърна в едно от най-плодотворните и красиви открития в математиката благодарение на съвременните компютърни технологии. Фракталите биха били още по-популярни, ако се базираха на постижения съвременна теориядескриптивна геометрия.

Задачите на класическата дескриптивна геометрия могат условно да се разделят на позиционни, метрични и конструктивни задачи.

В техническите дисциплини се използват статични геометрични модели, които помагат да се формират идеи за определени обекти, техните конструктивни характеристики, за техните съставни елементи, както и динамични или функционални геометрични модели, които позволяват да се демонстрира кинематика, функционални връзки или технически и технологични процеси. Много често геометричните модели позволяват да се проследи хода на такива явления, които не се поддават на обикновено наблюдение и могат да бъдат представени въз основа на съществуващите знания. Изображенията позволяват не само да се представи устройството на определени машини, устройства и оборудване, но в същото време да се характеризират техните технологични характеристики и функционални параметри.

Чертежите предоставят не само геометрична информация за формата на детайлите на монтажа. Според него се разбира принципът на действие на агрегата, движението на частите една спрямо друга, трансформацията на движенията, възникването на сили, напрежения, преобразуването на енергията в механична работа и др. В техническия университет чертежите и диаграмите се провеждат във всички изучавани общотехнически и специални дисциплини ( теоретична механика, съпротивление на материалите, конструкционни материали, електромеханика, хидравлика, инженерни технологии, машини и инструменти, теория на машините и механизмите, машинни части, машини и съоръжения и др.). За да предадат различна информация, рисунките се допълват с различни знаци и символи, а за словесното им описание се използват нови понятия, чието формиране се основава на основните понятия на физиката, химията и математиката.

От особен интерес е използването на геометрични модели за начертаване на аналогии между геометричните закони и реални обекти, за да се анализира същността на явлението и да се оцени теоретичното и практическото значение на математическите разсъждения и да се анализира същността на математическия формализъм. Трябва да се отбележи, че общоприетите средства за предаване на придобития опит, знания и възприятия (говор, писане, рисуване и т.н.) са съзнателно хомоморфен проекционен модел на реалността. Понятията проекционен схематизъм и операции за проектиране са свързани с дескриптивната геометрия и имат своето обобщение в теорията на геометричното моделиране.Проекционните геометрични модели, получени в резултат на операцията за проектиране, могат да бъдат перфектни, несъвършени (с различна степен на несъвършенство) и дезинтегрирани. От геометрична гледна точка всеки обект може да има много проекции, които се различават както по положението на проекционния център и картината, така и по своите размери, т.е. Реалните явления на природата и социалните отношения позволяват различни описания, различаващи се едно от друго по степен на достоверност и съвършенство. база научно изследванеи източник на всичко научна теорияе наблюдение и експеримент, който винаги има за цел да разкрие някаква закономерност. Всички тези обстоятелства формират основата за използването на аналогии между различни видовепроекционни геометрични модели, получени чрез хомоморфно моделиране, и модели, произтичащи от изследването.

Резултатът от геометричното моделиране на даден обект е математически модел на неговата геометрия. Математическият модел ви позволява да изобразите графично симулирания обект, да получите неговите геометрични характеристики, да проучите много от физическите свойства на обекта чрез създаване на числени експерименти, да подготвите производството и накрая да произведете обекта.

За да видите как изглежда даден обект, трябва да симулирате потока от светлинни лъчи, падащи и връщащи се от повърхностите му. В този случай лицата на модела могат да получат необходимия цвят, прозрачност, текстура и други физически свойства. Моделът може да се осветява от различни посоки със светлина с различен цвят и интензитет.

Геометричният модел ви позволява да определите центрирането на масата и инерционните характеристики на проектирания обект, да измерите дължините и ъглите на неговите елементи. Позволява да се изчислят размерните вериги и да се определи събираемостта на проектирания обект. Ако обектът е механизъм, тогава върху модела можете да проверите неговата производителност и да изчислите кинематичните характеристики.

С помощта на геометричен модел е възможно да се създаде числен експеримент за определяне на напрегнато-деформираното състояние, честотите и формите на собствените трептения, стабилността на структурните елементи, топлинните, оптичните и други свойства на обекта. За да направите това, трябва да добавите геометричен модел физични свойства, симулирайте външните условия на неговата работа и, използвайки физичните закони, извършете подходящото изчисление.

От геометричния модел можете да изчислите траекторията на режещия инструмент за обработка на обекта. С избраната производствена технология на обекта, геометричният модел ви позволява да проектирате инструменталната екипировка и да подготвите производството, както и да проверите самата възможност за производство на обекта по този начин и качеството на това производство. Освен това е възможна графична симулация на производствения процес. Но за да се произведе предмет, различен от геометрична информациянужда от информация за технологичния процес, производствено оборудване и много други свързани с производството.

Много от тези проблеми образуват самостоятелни клонове на приложната наука и не отстъпват по сложност, а в повечето случаи дори надминават проблема за създаване на геометричен модел. Геометричният модел е отправна точка за по-нататъшни действия. При конструирането на геометричен модел не използвахме физични закони, радиус векторът на всяка точка от интерфейса между външната и вътрешната част на моделирания обект е известен, следователно, когато конструираме геометричен модел, трябва да съставим и решим алгебрични уравнения.

Задачи, които използват физични закони, водят до диференциални и интегрални уравнения, чието решение е по-трудно от решаването на алгебрични уравнения.

В тази глава ще се съсредоточим върху извършването на изчисления, които не са свързани с физически процеси. Ще разгледаме изчисляването на чисто геометричните характеристики на телата и техните плоски сечения: повърхност, обем, център на масата, инерционни моменти и ориентация на главните инерционни оси. Тези изчисления не изискват допълнителна информация. Освен това ще разгледаме проблемите на численото интегриране, които трябва да бъдат решени при определяне на геометричните характеристики.

Определянето на площта, центъра на масата и инерционните моменти на равнинно сечение на тялото води до изчисляване на интеграли върху площта на сечението. За равнинните сечения имаме информация за техните граници. Намаляваме интегралите върху площта на равнинно сечение до криволинейни интеграли, които от своя страна се редуцират до определени интеграли. Определянето на повърхността, обема, центъра на масата, инерционните моменти на тялото води до изчисляване на повърхностни и обемни интеграли. Ще разчитаме на представянето на тялото с помощта на граници, т.е. на описанието на тялото чрез набор от повърхности, които го ограничават, и топологична информация за взаимното съседство на тези повърхности. Редуцираме интегралите по обема на тялото до повърхностни интеграли по повърхностите на лицата на тялото, които от своя страна се редуцират до двойни интеграли. В общия случай областта на интеграция е свързана двумерна област. Изчисляването на двойни интеграли чрез числени методи може да се извърши за области от прости типове - четириъгълна или триъгълна форма. В тази връзка, в края на главата, методите за изчисление определени интегралии двойни интеграли върху четириъгълни и триъгълни области. Методите за разделяне на областите на дефиниране на повърхностни параметри в набор от триъгълни поддомейни са разгледани в следващата глава.

В началото на главата разглеждаме редуцирането на интегралите на площта до криволинейни интеграли и редуцирането на интегралите на обема до интеграли на повърхността. Това ще бъде основата за изчисляване на геометричните характеристики на моделите.

Изпратете добрата си работа в базата знания е лесно. Използвайте формата по-долу

Студенти, докторанти, млади учени, които използват базата от знания в обучението и работата си, ще ви бъдат много благодарни.

Хоствано на http://www.allbest.ru/

Системи за геометрично моделиране

Системите за геометрично моделиране ви позволяват да работите с форми в триизмерно пространство. Те са създадени, за да се преодолеят проблемите, свързани с използването на физически модели в процеса на проектиране, като например трудността при получаване на сложни форми с точни размери, както и трудността при извличане на необходимата информация от реални модели за точното им възпроизвеждане. .

Тези системи създават среда, подобна на тази, в която се създават физическите модели. С други думи, в система за геометрично моделиране, разработчикът променя формата на модела, добавя и премахва части от него, като детайлизира формата на визуалния модел. Визуалният модел може да изглежда по същия начин като физическия, но е нематериален. Въпреки това, триизмерният визуален модел се съхранява в компютъра заедно с неговото математическо описание, което елиминира основния недостатък на физическия модел - необходимостта от извършване на измервания за последващо прототипиране или масово производство. Системите за геометрично моделиране се разделят на телени, повърхностни, твърди и неформирани.

Рамкови системи

В системите за телено моделиране формата се представя като набор от линии и крайни точки, които я характеризират. Линиите и точките се използват за представяне на триизмерни обекти на екрана, а преоформянето се извършва чрез промяна на позицията и размера на линиите и точките. С други думи, визуалният модел е чертеж на телена рамка на формата, а съответното математическо описание е набор от уравнения на крива, координати на точка и информация за връзка между крива и точка. Информацията за свързаност описва принадлежността на точки към конкретни криви, както и пресичането на кривите една с друга. Системите за телено моделиране бяха популярни по времето, когато GM едва започваше да се появява. Тяхната популярност се дължи на факта, че в системите за каркасиране създаването на формуляри се извършва чрез поредица от прости стъпки, така че за потребителите е доста лесно да създават формуляри сами. Въпреки това, визуален модел, състоящ се само от линии, може да бъде двусмислен. Освен това съответното математическо описание не съдържа информация за вътрешните и външните повърхности на моделирания обект. Без тази информация не е възможно да се изчисли масата на обекта, да се определят пътищата на движение или да се генерира мрежа за анализ с крайни елементи, въпреки че обектът изглежда триизмерен. Тъй като тези операции са неразделна част от процеса на проектиране, системите за телено моделиране постепенно са заменени от системи за повърхностно и твърдо моделиране.

Системи за повърхностно моделиране

В системите за повърхностно моделиране математическото описание на визуалния модел включва не само информация за характерни линии и техните крайни точки, но също така и данни за повърхности. Когато работите с модела, показан на екрана, уравненията на повърхността, уравненията на кривите и координатите на точките се променят. Математическото описание може да включва информация за свързаността на повърхностите - как повърхностите се свързват една с друга и по какви криви. В някои приложения тази информация може да бъде много полезна.

Има три стандартни метода за създаване на повърхности в системите за моделиране на повърхности:

1) Интерполация на входни точки.

2) Интерполация на извити точки.

3) Транслация или ротация на дадена крива.

Системите за повърхностно моделиране се използват за създаване на модели със сложни повърхности, тъй като визуалният модел ви позволява да оцените естетиката на проекта, а математическото описание ви позволява да изграждате програми с точни изчисления на траекториите на движение.

Системи за твърдо моделиране

Предназначени са за работа с обекти, състоящи се от затворен обем или монолит. В системите за моделиране на твърдо тяло, за разлика от системите за каркасно и повърхностно моделиране, не е позволено да се създава набор от повърхности или характерни линии, ако те не образуват затворен обем. Математическото описание на обекта, създадено в системата за твърдо моделиране, съдържа информация, чрез която системата може да определи къде се намира линията или точката: вътре в обема, извън него или на неговата граница. В този случай може да се получи всякаква информация за обема на тялото, което означава, че могат да се използват приложения, които работят с обекта на ниво обем, а не върху повърхности.

Системите за солидно моделиране обаче изискват повече входни данни в сравнение с количеството данни, което дава математическо описание. Ако системата изисква от потребителя да въведе всички данни за пълно математическо описание, това би станало твърде сложно за потребителите и те биха го изоставили. Ето защо разработчиците на такива системи се опитват да представят прости и естествени функции, така че потребителите да могат да работят с триизмерни форми, без да навлизат в детайлите на математическото описание.

Функциите за моделиране, поддържани от повечето системи за солидно моделиране, могат да бъдат разделени на пет основни групи:

1) Функции за създаване на примитиви, както и функции за добавяне, изваждане на обем - булеви оператори. Тези функции позволяват на дизайнера бързо да създаде форма, близка до крайната форма на детайла.

2) Функции за създаване на триизмерни тела чрез преместване на повърхността. Функцията за почистване ви позволява да създадете триизмерно тяло чрез преместване или завъртане на зона, определена в равнина.

3) Функции основно за модификация съществуваща форма. Типични примери са функциите за запълване или смесване и повдигане.

4) Функции, които ви позволяват директно да манипулирате компонентите на обемни тела, тоест по върхове, ръбове и лица.

5) Функции, които дизайнерът може да използва за моделиране твърдоизползване на безплатни форми.

Малко симулационни системи

Системите за твърдо моделиране позволяват на потребителя да създава тела със затворен обем, т.е. в математически термини тела, които са многообразия. С други думи, такива системи забраняват създаването на структури, които не са многообразни. Нарушения на условието за разнообразие са например допирането на две повърхности в една точка, допирането на две повърхности по отворена или затворена крива, два затворени обема с общо лице, ръб или връх, както и повърхности, които образуват структури. като пчелни пити.

Забраната за създаване на модели с малък размер се счита за едно от предимствата на системите за твърдо моделиране, тъй като благодарение на това всеки модел, създаден в такава система, може да бъде произведен. Ако потребителят иска да работи със системата за геометрично моделиране през целия процес на разработка, това предимство се превръща в друга страна.

Абстрактен модел със смесица от размери е удобен, защото не ограничава творческата мисъл на дизайнера. Модел със смесени размери може да съдържа свободни ръбове, наслоени повърхности и обеми. Абстрактният модел е полезен и с това, че може да служи като основа за анализ. На всеки етап от процеса на проектиране могат да се прилагат различни аналитични инструменти. Например, чрез метода на крайните елементи, директно върху оригиналното представяне на модела, което ви позволява да автоматизирате обратна връзкамежду етапите на проектиране и анализ, който в момента се изпълнява от дизайнера самостоятелно. Разнообразните модели са незаменими като етап от развитието на един проект от пълно описаниена ниски нива до готовото обемно тяло. Диверсифицираните системи за моделиране ви позволяват да използвате телени, повърхностни, твърди и пчелни модели едновременно в една и съща среда за моделиране, разширявайки обхвата на наличните модели.

Описание на повърхностите

важно интегрална частгеометричните модели е описание на повърхности. Ако повърхностите на детайла са плоски лица, тогава моделът може да бъде изразен доста просто с определена информация за лицата, ръбовете и върховете на детайла. В този случай обикновено се използва методът на конструктивната геометрия. Представяне с помощта на плоски повърхности също се извършва в случай на по-сложни повърхности, ако тези повърхности са апроксимирани от набори от плоски секции - многоъгълни мрежи. Тогава повърхностният модел може да бъде определен в една от следните форми:

1) моделът е списък от лица, всяко лице е представено от подреден списък от върхове (вертекс цикъл); тази форма се характеризира със значително излишък, тъй като всеки връх се повтаря в няколко списъка;

2) моделът е списък от ръбове, всеки ръб има инцидентни върхове и лица. Въпреки това, апроксимацията чрез полигонални мрежи при големи размери на клетките на мрежата дава забележими изкривявания на формата, а при малки размери на клетките се оказва неефективна по отношение на изчислителните разходи. Следователно описанията на неравнинни повърхности чрез кубични уравнения под формата на Безие или 5-сплайнове са по-популярни.

Удобно е да се запознаете с тези форми, като покажете приложението им за описване на геометрични обекти от първо ниво - пространствени криви.

Забележка. Геометричните обекти от нулево, първо и второ ниво се наричат съответно точки, криви, повърхнини.

Подсистемите MGIGM използват параметрично дефинирани кубични криви

повърхност за геометрично структурно моделиране

x(t) = axt3 + bxt2 + cxt + dx;

y(t) = ay t3 + X чрез t2 + cy t + dy;

z(t) = a.t3 + b_t2 + cj + d_,

където 1 > t > 0. Такива криви описват сегментите на апроксимираната крива, т.е. апроксимираната крива се разделя на сегменти и всеки сегмент се апроксимира с уравнения (3.48).

Използването на кубични криви осигурява (чрез подходящ избор на четири коефициента във всяко от трите уравнения) изпълнението на четири условия за конюгиране на сегменти. При кривите на Безие тези условия са преминаването на сегментната крива през две зададени крайни точки и равенството в тези точки на допирателните вектори на съседни сегменти. В случай на 5-сплайнове, условията за непрекъснатост на допирателния вектор и кривината (т.е. първата и втората производна) в две крайни точки са изпълнени, което осигурява висока степен на гладкост на кривата, въпреки че преминаването на тук не е осигурена апроксимиращата крива през дадените точки. Не се препоръчва използването на полиноми, по-високи от трета степен, тъй като вероятността от вълнообразност е висока.

В случая на формата на Безие, коефициентите в (3.48) се определят, първо, чрез заместване в (3.48) на стойностите (=0k(=1) и координатите на дадените крайни точки Р, и Р4, съответно , и второ, чрез заместване на производните в изразите

dx / dt \u003d За t2 + 2b + c, X X x "

dy/dt = Za, G2 + 2byt + s,

dz/dt = 3a.t2 + 2b.t + c.

същите стойности / \u003d 0 и / \u003d 1 и координатите на точките P2 и P3, които определят посоките на допирателните вектори (фиг. 3.27). В резултат на това за формата на Безие получаваме

Крива на Безие. (3,27)

за които матрицата M има различен вид и е представена в табл. 3.12, а векторите Gx, Gy, G съдържат съответните координати на точките P, 1; P, P, + 1, P, + 2.

Нека покажем, че в точките на спрежение за първата и втората производни на апроксимиращия израз са изпълнени условията за непрекъснатост, което се изисква от дефиницията на B-сплайн. Нека означим сегмента от апроксимиращия B-сплайн, съответстващ на сегмента [Р, Р +1] от оригиналната крива с . Тогава за този участък и координатата x в точката на конюгиране Q / + имаме t = 1 и

За отсечката в същата точка Qi+| имаме t = 0 и

т.е. равенството на производните в точката на конюгиране в съседните секции потвърждава непрекъснатостта на допирателния вектор и кривината. Естествено, x стойността на x координатата на точката Qi+1 на апроксимиращата крива на отсечката .

е равна на стойността на x, изчислена за същата точка на участъка, но стойностите на координатите на възловите точки x и x+] на апроксимиращите и апроксимираните криви не съвпадат.

По подобен начин могат да се получат изрази за форми на Безие и 5-сплайнове, приложени към повърхности, като се има предвид, че вместо (3.48) се използват кубични зависимости от две променливи.

Хоствано на Allbest.ru

Подобни документи

Статични и динамични модели. Анализ на симулационни симулационни системи. Система за моделиране "AnyLogic". Основните видове симулационно моделиране. Непрекъснати, дискретни и хибридни модели. Изграждане на модел на кредитна банка и неговия анализ.

дисертация, добавена на 24.06.2015 г

Проблеми на оптимизацията на сложни системи и подходи за тяхното решаване. Софтуерна реализация на анализа на сравнителната ефективност на метода на вариращите вероятности и генетичен алгоритъм с двоично представяне на решенията. Метод за решаване на проблема със символната регресия.

дисертация, добавена на 02.06.2011 г

Описание на основните принципи за създаване на математически модели на хидрологични процеси. Описание на процесите на дивергенция, трансформация и конвергенция. Въведение в основните компоненти на хидроложкия модел. Същност на симулационното моделиране.

презентация, добавена на 16.10.2014 г

Основната теза на формализацията. Моделиране на динамични процеси и симулация на сложни биологични, технически, социални системи. Анализ на моделирането на обекти и избор на всички негови известни свойства. Изборът на формата на представяне на модела.

резюме, добавено на 09/09/2010

Ефективността на макроикономическото прогнозиране. Историята на възникването на икономическото моделиране в Украйна. Характеристики на моделирането на сложни системи, направления и трудности на моделирането на икономиката. Развитие и проблеми на съвременната икономика на Украйна.

резюме, добавено на 01/10/2011

Основни проблеми на иконометричното моделиране. Използване на фиктивни променливи и хармонични тенденции. Метод на най-малките квадрати и дисперсия на извадката. Значението на коефициента на детерминация. Изчисляване на функцията на еластичност. Свойства на линейния модел.

контролна работа, добавена на 11/06/2009

Теоретичен и методически основимоделиране на развитието на фирми с наемно ориентирано управление. Икономически и математически основи за моделиране на динамично сложни системи. Заемаща функция: понятие, същност, свойства, аналитичен поглед.

дисертация, добавена на 02/04/2011

Създаване на комбинирани модели и методи като модерен начинпрогнозиране. Базиран на ARIMA модел за описание на стационарни и нестационарни времеви редове при решаване на проблеми с групирането. Авторегресивни AR модели и приложение на корелограми.

презентация, добавена на 01.05.2015 г

Методология за получаване на оценки, използвани в процедурите за проектиране на управленски решения. Приложно използване на многовариантния линеен регресионен модел. Създаване на ковариационна матрица от данни и модели на проектиране на решения, получени от нея.

статия, добавена на 03.09.2016 г

Анализ на сложни системи. Провеждане на икономически изследвания с помощта на технология за компютърно моделиране. Изграждане на блокови схеми, маршрути на потоци от съобщения. Разработване на модел за работа на автобусен маршрут. Многовариантни моделни изчисления.

Геометрично моделиране

Векторна и растерна графика.

Има два вида графики - векторни и растерни. Основната разлика е в принципа на съхранение на изображението. Векторна графикаописва изображение с помощта на математически формули. Основното предимство на векторната графика е, че когато промените мащаба на изображението, то не губи качеството си. От това следва още едно предимство - при преоразмеряване на изображението размерът на файла не се променя. Растерна графикае правоъгълна матрица, състояща се от множество много малки неделими точки (пиксели).

Растерното изображение може да се сравни с детска мозайка, когато картината е съставена от цветни квадратчета. Компютърът запомня цветовете на всички квадратчета подред в определен ред. Следователно растерните изображения изискват повече памет за съхранение. Те са трудни за мащабиране и още по-трудни за редактиране. За да увеличите изображението, трябва да увеличите размера на квадратите и тогава картината се оказва "стъпкова". За да намалите растерно изображение, няколко съседни точки трябва да бъдат преобразувани в една или допълнителните точки трябва да бъдат изхвърлени. В резултат на това изображението се изкривява, фините му детайли стават нечетливи. Тези недостатъци са лишени от векторна графика. Във векторните редактори чертежът се съхранява като комплект геометрични форми- контури, представени под формата на математически формули. За да увеличите обект пропорционално, всичко, което трябва да направите, е да промените едно число: коефициента на мащабиране. Няма изкривявания нито при увеличаване, нито при намаляване на картината. Следователно, когато създавате чертеж, не е нужно да мислите за окончателните му размери - винаги можете да ги промените.

Геометрични трансформации

Векторната графика е използването на геометрични примитиви като точки, линии, сплайни и полигони за представяне на изображения в компютърна графика. Помислете например за кръг с радиус r. Списъкът с информация, необходима за пълно описание на кръга, е както следва:

радиус r;

координати на центъра на кръга;

цвят и дебелина на контура (по възможност прозрачен);

цвят на запълване (евентуално прозрачен).

Предимства на този начин за описване на графики пред растерни графики:

Минималното количество информация се прехвърля в много по-малък размер на файла (размерът не зависи от размера на обекта).

Съответно можете безкрайно да увеличавате, например, дъгата на кръг и тя ще остане гладка. От друга страна, ако кривата е представена като начупена линия, увеличението ще покаже, че тя всъщност не е крива.

Когато обектите се увеличават или намаляват, дебелината на линиите може да бъде постоянна.

Параметрите на обекта се съхраняват и могат да се променят. Това означава, че преместването, мащабирането, завъртането, запълването и т.н. няма да влошат качеството на чертежа. Освен това е обичайно да се определят размери в независими от устройството единици ((английски)), което води до възможно най-доброто растеризиране на растерни устройства.

Векторната графика има два основни недостатъка.

Не всеки обект може лесно да бъде начертан във векторна форма. В допълнение, обемът на паметта и времето за показване зависи от броя на обектите и тяхната сложност.

Преобразуването на векторна графика в растер е доста просто. Но, като правило, няма връщане назад - растерното проследяване обикновено не осигурява висококачествено векторно рисуване.

Векторните графични редактори обикновено ви позволяват да завъртате, местите, отразявате, разтягате, скосявате, извършвате основни афинни трансформации на обекти, променяте z-реда и комбинирате примитиви в по-сложни обекти.

По-сложните трансформации включват булеви операции върху затворени фигури: обединение, събиране, пресичане и т.н.

Векторната графика е идеална за прости или съставни рисунки, които трябва да са независими от устройството или не се нуждаят от фотореализъм. Например PostScript и PDF използват векторния графичен модел.

Линии и прекъснати линии.

Многоъгълници.

Кръгове и елипси.

Криви на Безие.

Безигони.

Текст (в компютърните шрифтове като TrueType всяка буква е съставена от криви на Безие).

Този списък е непълен. Яжте различни видовекриви (сплайнове на Catmull-Rom, NURBS и др.), които се използват в различни приложения.

Също така е възможно да мислим за растерно изображение като за примитивен обект, който се държи като правоъгълник.

Основните видове геометрични модели

Геометричните модели дават външна представа за оригиналния обект и се характеризират със същите пропорции на геометричните размери. Тези модели са разделени на двуизмерни и триизмерни. Скици, диаграми, чертежи, графики, картини са примери за двуизмерни геометрични модели и модели на сгради, автомобили, самолети и др. са триизмерни геометрични модели.

3D графикиоперира с обекти в триизмерното пространство. Обикновено резултатите са плоска картина, проекция. Триизмерната компютърна графика се използва широко във филми и компютърни игри.

В 3D компютърната графика всички обекти обикновено се представят като колекция от повърхности или частици. Най-малката повърхност се нарича многоъгълник. Триъгълниците обикновено се избират като многоъгълник.

Всички визуални трансформации в 3D графиките се контролират от матрици (вижте също: афинна трансформацияв линейната алгебра). В компютърната графика се използват три вида матрици:

ротационна матрица

матрица на отместване

матрица за мащабиране

Всеки многоъгълник може да бъде представен като набор от координати на неговите върхове. И така, триъгълникът ще има 3 върха. Координатите на всеки връх са вектор (x, y, z). Като умножим вектор по съответната матрица, получаваме нов вектор. След като извършим такава трансформация с всички върхове на многоъгълника, получаваме нов многоъгълник и след трансформирането на всички полигони, получаваме нов обект, завъртян/изместен/мащабиран спрямо оригинала