Условието на Липшиц за сходимост на нелинейно уравнение. Системи нелинейни уравнения. Метод на проста итерация
Упражнение:
1) Използвайки итерационния метод, решете системата
2) Използвайки метода на Нютон, решете системата
нелинейни уравненияс точност до 0,001.
Задача №1 С помощта на итерационния метод решете системата от нелинейни уравнения с точност до 0,001.
Теоретична част.
Итерационен метод eТова е начин за числено решаване на математически проблеми. Същността му е да се намери алгоритъм за търсене на известно приближение (приблизителна стойност) на желаната стойност на следващото, по-точно приближение. Използва се в случай, че последователността от приближения според зададения алгоритъм се сближава.
Този методнаричан още метод на последователни приближения, метод на повтарящи се замествания, метод на прости итерации и др.
Метод на Нютон, алгоритъмът на Нютон (известен също като метод на допирателната) е итеративен числен методнамиране на корен (нула) на дадената функция. Методът е предложен за първи път от английския физик, математик и астроном Исак Нютон (1643-1727). Търсенето на решение се извършва чрез конструиране на последователни приближения и се основава на принципите на простата итерация. Методът има квадратична сходимост. Подобрение на метода е методът на хордите и допирателните. Също така, методът на Нютон може да се използва за решаване на оптимизационни проблеми, при които се изисква да се определи нулата на първата производна или градиента в случай на многомерно пространство. Обосновка
За да се реши уравнението числено чрез метода на простата итерация, то трябва да се редуцира до следната форма: , където е картографирането на свиването.
За най-добра сходимост на метода в точката на следващото приближение трябва да е изпълнено условието. Решението на това уравнение се търси във формата , тогава:
Ако приемем, че точката на приближаване е "достатъчно близо" до корена и това дадена функцияе непрекъсната, крайната формула за е:
Като се има предвид това, функцията се дефинира с израза:
Тази функция в близост до корена извършва картографиране на свиване и алгоритъмът за намиране на числено решение на уравнението се свежда до итеративна изчислителна процедура:
.
Варианти на задачите
№1. 1) 
2) 
№2. 1) 
2) 
№3. 1) 
2) 
№4. 1) 
2) 
№5. 1) 
2) 
№6. 1) 
2) 
№7. 1) 
2) 
№8. 1) 
2) 
№9. 1) 
2) 
№10.1) 
2) 
№11.1) 
2) 
№12.1) 
2) 
№13.1) 
2) 
№14.1) 
2) 
№15.1) 
2) 
№16.1) 
2) 
№17.1) 
2) 
№18.1) 
2) 
№19.1) 
2) 
№20.1) 
2) 
№21. 1) 
2) 
№22. 1) 
2) 
№23. 1) 
2) 
№24. 1) 
2) 
№25. 1) 
2) 
№26. 1) 
2) 
№27. 1) 
2) 
№28. 1) 
2) 
№29. 1) 
2) 
№30. 1) 
2) 
Примерно изпълнение на задача
№1. 1) 
2) 
Пример за решаване на система от нелинейни уравнения чрез итерация
Да пренапишем тази системакато:
Разделянето на корените става графично (фиг. 1). От графиката виждаме, че системата има едно решение, затворено в областта Д: 0<х<0,3;-2,2<г<-1,8.
Нека се уверим, че итерационният метод е приложим за прецизиране на решението на системата, за което го записваме в следния вид:
От , имаме в региона D
+ 
= ;
+ = 
По този начин условията за конвергенция са изпълнени.
Таблица номер 2
| П |  |  |  |  |
||
| 0,15 | -2 | -0,45 | -0,4350 | -0,4161 | -0,1384 | |
| 0,1616 | -2,035 | -0,4384 | -0,4245 | -0,4477 | -0,1492 | |
| 0,1508 | -2.0245 | -0,4492 | -0,4342 | -0,4382 | -0,1461 | |
| 0.1539 | -2,0342. | -0,4461 | -0.4313 | -0,4470 | -0,1490 | |
| 0.1510 | -2,0313 | -0,4490 | -0,4341 | -0,4444 | -0.1481 | |
| 0,1519 | -2,0341 | -0,4481 | -0,4333 | -0,4469 | -0,1490 | |
| 0,1510 | -2.0333 | -0.449 | -0,4341 | -0.4462 | -0,1487 | |
| 0.1513 | -2.0341 | -0,4487 | -0,4340 | -0,4469 | -0.1490 | |
| 0.1510 | -2,0340 |
Приемаме като първоначални приближения x o=0,15, y 0 =-2.
(табл. № 2). Тогава отговорът ще бъде:
Пример за решаване на система от нелинейни уравнения по метода на Нютон
Разделянето на корените се извършва графично (фиг. 2). За да начертаем функционални графики, ще съставим таблица с функционални стойности и , включени в първото и второто уравнения (Таблица I).
Стойностите за x могат да бъдат взети въз основа на следните условия: от първото уравнение 1≤1,2x+0,4≤1, т.е. 1.16≤х≤0.5; от второто уравнение , т.е. . По този начин, .
Системата има две решения. Нека прецизираме един от тях, който принадлежи към региона D: 0.4<х<0,5;
0,76<г<0,73. За начальное приближение примем Имеем:
Таблица #3
| х | -1,1 | -1 | -0,8 | -0,6 | -0,2 | -0,4 | 0,2 | 0,4 | 0,5 | |
| х 2 | 1.21 | 0,64 | 0,36 | 0,04 | 0,16 | 0,04 | 0.16 | 0,25 | ||
| 0,8х 2 | 0,97 | 0,8 | 0,51 | 0,29 | 0,032 | 0,13 | 0,032 | 0,13 | 0,2 | |
| 1 -0,8х 2 | 0,03 | 0,2 | 0,49 | 0,71 | 0,97 | 0,87 | 0,97 | 0.87 | 0,8 | |
| 0,02 | 0,13 | 0,33 | 0,47 | 0,65 | 0,58 | 0,67 | 0,65 | 0,58 | 0.53 | |
| ±0,14 | ±0,36 | ±0,57 | ±0,69 | ±0,81 | ±0,76 | ±0,82 | ±0,81 | ±0,76 | ±0,73 | |
| 1,2x | -1,32 | -1,2 | -0,9b" | -0,72 | -0,24 | -0,48 | 0,24 | 0,48 | 0,6 | |
| 0,4+1,2х | -0,92 | -0,8 | -0,56 | -0,32 | 0,16 | -0,08 | 0,4 | 0,64 | 0.88 | |
| 2x-y | -1.17 | -0,93 | -0,59 | -0,33 | 0,16 | -0,08 | 0,41 | 0,69 | 2.06 1,08 | 1,57 |
| -1,03 | -1,07 | -1,01 | -0,87 | -0,56 | -0,72 | -0,41 | -0,29 | -1,26 -1,28 | -0.57 |
Ние прецизираме корените по метода на Нютон:
където 
; 
;
; 
;
Всички изчисления се правят съгласно таблица 3
| Таблица 3 | 0,10 | 0,017 | -0,0060 | 0,0247 | -0,0027 | -0,0256 | 0,0001 | 0,0004 | ||||||||
| 0,2701 | 0,0440 | -0,0193 | 0,0794 | -0,0080 | -0,0764 | -0,0003 | 0,0013 | |||||||||
| 2,6197 | 3,2199 | 2,9827 | 3,1673 | |||||||||||||
| -0,0208 | -2,25 | 0,1615 | -2,199 | 0,1251 | -2,1249 | 0,1452 | -2,2017 | |||||||||
| -1,1584 | 0,64 | -1,523 | 0,8 | -1,4502 | 0,7904 | -1,4904 | 0,7861 | |||||||||
| 0,1198 | -0,0282 | -0,0131 | 0,059 | -0,0007 | -0,0523 | -0,0002 | 0,0010 | |||||||||
| 0,9988 | 0,0208 | 0,9869 | -0,1615 | 0,9921 | -0,1251 | -0,9894 | -0,1452 | |||||||||
| 0,55 | 0,733 | 1,6963 | 1,7165 | |||||||||||||
| 0,128 | 0,8438 | 0,2 | 0,8059 | 0,1952 | 0,7525 | 0,1931 | 0,8079 | |||||||||
| 0,4 | 0,75 | 0,50 | -0,733 | 0,4940 | -0,7083 | 0,4913 | -0,7339 | 0,4912 | -0,7335 | Отговор: х≈0,491 г≈ 0,734 | ||||||
| н | ||||||||||||||||
тестови въпроси
1) Представете на графиката възможните случаи на решаване на система от две нелинейни уравнения.
2) Формулирайте изложението на задачата за решаване на система от n-линейни уравнения.
3) Дайте итеративните формули на метода на простата итерация в случай на система от две нелинейни уравнения.
4) Формулирайте теорема за локалната сходимост на метода на Нютон.
5) Избройте трудностите, които възникват при използването на метода на Нютон на практика.
6) Обяснете как може да се модифицира методът на Нютон.
7) Начертайте под формата на блокови диаграми алгоритъм за решаване на системи от две нелинейни уравнения с помощта на проста итерация и методи на Нютон.
Лаборатория #3
Сервизно задание. Онлайн калкулаторът е предназначен да намира корените на уравнението итерационен метод.Решението се прави във формат Word.
Правила за въвеждане на функция
Примери≡ x^2/(1+x)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
Един от най-ефективните начини за числено решаване на уравнения е итерационен метод. Същността на този метод е следната. Нека е дадено уравнението f(x)=0.
Нека го заменим с еквивалентното уравнение
Избираме първоначалното приближение на корена x 0 и го заместваме в дясната страна на уравнение (1). Тогава получаваме някакво число
x 1 \u003d φ (x 0). (2)
Замествайки сега в дясната страна на (2) вместо x 0 числото x 1, получаваме числото x 2 \u003d φ (x 1). Повтаряйки този процес, ще имаме поредица от числа
x n =φ(x n-1) (n=1,2..). (3)
Ако тази последователност е конвергентна, т.е. има граница , тогава преминавайки към границата в равенство (3) и приемайки, че функцията φ(x) е непрекъсната, намираме
Или ξ=φ(ξ).
По този начин границата ξ е коренът на уравнение (1) и може да се изчисли от формула (3) с всякаква степен на точност.
Ориз. 1а Фиг. 1б
Ориз. 2.
|φ′(x)|>1 - дивергентен процес
На фигури 1a, 1b, в близост до корена |φ′(x)|<1 и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай |φ′(x)|>1, тогава процесът на итерация може да бъде различен (виж Фиг. 2).
Достатъчни условия за сходимост на итерационния метод
Теорема 7.Нека функцията φ(x) е дефинирана и диференцируема на сегмента и всички нейни стойности φ(x)∈ и нека |φ′(x)|≤q<1 при x∈. Тогда процесс итерации x n = φ(x n -1) сходится независимо от начального значения x 0 ∈ и предельное значение является единственным корнем уравнения x= φ(x) на отрезке .Доказателство:Разгледайте две последователни приближения x n = φ(x n -1) и x n +1 = φ(x n) и вземете тяхната разлика x n+1 -x n =φ(x n)-φ(x n-1). Чрез теоремата на Лагранж дясната страна може да бъде представена като
φ′(x n)(x n -x n-1)
Където x n ∈
Тогава получаваме
|x n+1 -x n |≤φ′(x n)|x n -x n-1 |≤q|x n -x n-1 |
Ако приемем n=1,2,...
|x 2 -x 1 |≤q|x 1 -x 0 |
|x 3 -x 2 |≤q|x 2 -x 1 |≤q²|x 1 -x 0 |
|x n+1 -x n ≤q n |x 1 -x 0 | (четири)
От (4) поради условието q<1 видно, что последовательность {x n } сходится к некоторому числу ξ, то есть
, и следователно (поради непрекъснатостта на функцията φ(x)) или ξ= φ(ξ) q.t.d.
За грешката на корена ξ може да се получи следната формула.
Имаме x n =φ(x n-1).
Освен това ξ-x n =ξ-φ(x n-1) = φ(ξ)-φ(x n-1) →
Сега φ(x n-1)=φ(x n)-φ′(c)(x n -x n-1) →
φ(ξ)-φ(x n)+φ′(c)(x n -x n-1)
В резултат на това получаваме
ξ-x n = φ′(c 1)(ξ-x n-1)+φ′(c)(x n -x n-1)
или
|ξ-x n |≤q|ξ-x n |+q|x n -x n-1 |
Оттук
, (5)
откъдето се вижда, че за q близо до 1 разликата |ξ -x n | може да бъде много голям, въпреки че |x n -x n -1 |<ε, где ε-заданная величина. Для того, чтобы вычислить ξ с точностью ε необходимо обеспечить
. (6)
След това замествайки (6) в (5), получаваме |ξ -x n |<ε.
Ако q е много малко, тогава вместо (6) може да се използва
|x n -x n -1 |<ε
Сходимост на итерационния методлинеен с коефициент на конвергенция α=q. Наистина имаме
ξ-x n =φ(ξ)-φ n-1 = φ′(c) (ξ-x n-1), следователно |ξ-x n |≤q·|ξ-x n-1 |.
Коментирайте.Нека в някаква близост на корена ξ∈(a,b) на уравнението x= φ(x), производната φ’(x) запазва постоянен знак и неравенството |φ’(x)|≤q<1. Тогда, если φ’(x) положительна, то последовательные приближения x n = φ(x n -1) сходятся к корню монотонно.
Ако φ'(x) е отрицателно, тогава последователните приближения осцилират около корена.
Помислете за начин за представяне на уравнението f(x)=0 във формата x= φ(x).
Функцията φ(x) трябва да бъде определена така, че |φ'(x)| беше малък в близост до корена.
Нека са известни m 1 и M 1 - най-малката и най-голямата стойност на производната f’(x)
0
x = x - λf(x).
Нека φ(x) = x- λf(x). Нека изберем параметъра λ по такъв начин, че в околност на корена ξ неравенството
0≤|φ′(x)|=|1-λ f′(x)|≤q≤1
Следователно, въз основа на (7), получаваме
0≤|1-λM 1 |≤|1-λm 1 |≤q
Тогава избирайки λ = 1/M 1 , получаваме
q = 1-m 1 /M 1< 1.
Ако λ \u003d 1 / f '(x), тогава итеративната формула x n \u003d φ (x n -1) преминава във формулата на Нютон
x n \u003d x n -1 - f (x n) / f '(x).
Итерационен метод в Excel
В клетка B2 въвеждаме началото на интервала a, в клетка B3 въвеждаме края на интервала b. Ред 4 се задава под заглавието на таблицата. Ние организираме процеса на итерации в клетки A5:D5.Процесът на намиране на нули на функция чрез итерациясе състои от следните стъпки:
- Вземете шаблон с тази услуга.
- Прецизирайте интервалите в клетки B2, B3.
- Копирайте итерационните редове до необходимата точност (колона D).
Пример. Намерете корена на уравнението e -x -x=0, x=∈, ε=0,001 (8)
Решение.
Представяме уравнение (8) във формата x=x-λ(e -x -x)
Намерете максималната стойност на производната на функцията f(x)= e - x -x.
max f′(x)=max(-(e -x +1)) ≈ -1,37. Значение 
. Така решаваме следното уравнение
x=x+0.73(e-x-x)
Стойностите на последователните приближения са дадени в таблицата.
| н | x i | f(x i) |
| 1 | 0.0 | 1.0 |
| 2 | 0.73 | -0.2481 |
| 3 | 0.5489 | 0.0287 |
| 4 | 0.5698 | -0.0042 |
| 5 | 0.5668 | 0.0006 |
Системата от нелинейни уравнения има формата:
Тук са неизвестни променливи и системата (7) се нарича система с нормален ред, ако поне една от функциите е нелинейна.
Решаването на системи от нелинейни уравнения е една от най-трудните задачи в изчислителната математика. Трудността е да се определи дали системата има решение и ако има, колко. Усъвършенстването на решения в дадена област е по-проста задача.
Нека функциите са определени в области. Тогава регионът ще бъде регионът, в който може да се намери решението. Най-често срещаните методи за прецизиране на решението са методът на простите итерации и методът на Нютон.
Метод на простите итерации за решаване на системи от нелинейни уравнения
От изходната система (7) чрез еквивалентни трансформации преминаваме към система от вида:
Итеративен процес, определен от формули
можете да започнете, като дадете първоначално приближение. Достатъчно условие за конвергенцията на итеративния процес е едно от двете условия:
Нека напишем първото условие:
Нека напишем второто условие:
Нека разгледаме един от начините за привеждане на системата (7) във формата (8), която допуска конвергентни итерации.
Нека е дадена система от втори ред на формата:
Необходимо е да го приведете във формата:
Умножаваме първото уравнение на системата по неизвестна константа, второто - по, след което ги събираме и ги добавяме към двете страни на уравнението. Получаваме първото уравнение на трансформираната система
Определяме неизвестните константи от достатъчни условия за сходимост
Нека напишем тези условия по-подробно:
Ако приемем, че изразите под знака на модула са равни на нула, получаваме система от четири уравнения с четири неизвестни за определяне на константите:
При такъв избор на параметри условията за сходимост ще бъдат изпълнени, ако частните производни на функциите и не се променят много бързо в околността на точката.
За да разрешите системата, трябва да зададете първоначалното приближение и да изчислите стойностите на производните и в този момент. Изчислението се извършва на всяка стъпка от итерации, докато,.
Методът на простите итерации е самокоригиращ се, универсален и лесен за внедряване на компютър. Ако системата има голям ред, тогава не се препоръчва използването на този метод, който има бавна скорост на конвергенция. В този случай се използва методът на Нютон, който има по-бърза конвергенция.
Метод на Нютон за решаване на системи от нелинейни уравнения
Нека се изисква да се реши система от нелинейни уравнения от вида (7). Да приемем, че решението съществува в някаква област, където всички функции са непрекъснати и имат поне първата производна. Методът на Нютон е итеративен процес, който се извършва по определена формула със следния вид:
Трудности при използване на метода на Нютон:
има ли обратна матрица?
излиза ли извън района?
Модифицираният метод на Нютон улеснява първата задача. Модификацията се състои в това, че матрицата се изчислява не във всяка точка, а само в началната. Така модифицираният метод на Нютон има следната формула:
Но модифицираният метод на Нютон не дава отговор на втория въпрос.
Итеративният процес по формули (8) или (10) завършва, ако е изпълнено следното условие
Предимството на метода на Нютон е неговата бърза конвергенция в сравнение с метода на простите итерации.
Решаване на нелинейни уравнения
Нека се изисква да се реши уравнението
Където 
е нелинейна непрекъсната функция.
Методите за решаване на уравнения се делят на директни и итеративни. Директните методи са методи, които ви позволяват да изчислите решение с помощта на формула (например намиране на корените на квадратно уравнение). Итеративните методи са методи, при които се задава някакво първоначално приближение и се конструира сходна последователност от приближения към точното решение, като всяко следващо приближение се изчислява с помощта на предишните.
Пълното решение на проблема може да бъде разделено на 3 етапа:
Задайте броя, характера и местоположението на корените на уравнение (1).
Намерете приблизителните стойности на корените, т.е. посочете празнините, в които ще бъдат открити корените (отделете корените).
Намерете стойността на корените с необходимата точност (посочете корените).
Има различни графични и аналитични методи за решаване на първите две задачи.
Най-илюстративният метод за разделяне на корените на уравнение (1) е да се определят координатите на пресечните точки на графиката на функцията 
с абсцисната ос. Абсцисите 
точки на пресичане на графика 
с ос 
са корените на уравнение (1)
Интервалите на изолация на корените на уравнение (1) могат да бъдат получени аналитично, въз основа на теореми за свойствата на функции, които са непрекъснати на сегмент.
Ако например функцията 
непрекъснат на сегмента 
и 
, тогава според теоремата на Болцано-Коши, на интервала 
има поне един корен на уравнение (1) (нечетен брой корени).
Ако функцията 
удовлетворява условията на теоремата на Болцано-Коши и е монотонен на този сегмент, тогава на 
има само един корен на уравнение (1).Така уравнение (1) има on 
единственият корен, ако са изпълнени условията:
Ако една функция е непрекъснато диференцируема на даден интервал, тогава можем да използваме следствието от теоремата на Рол, според която винаги има поне една стационарна точка между двойка корени. Алгоритъмът за решаване на проблема в този случай ще бъде както следва:
Полезен инструмент за разделяне на корени е и използването на теоремата на Щурм.
Решаването на третия проблем се извършва чрез различни итеративни (числови) методи: метод на дихотомия, метод на проста итерация, метод на Нютон, метод на акорди и др.
ПримерНека решим уравнението 
метод проста итерация. Да поставим 
. Нека изградим графика на функцията.
Графиката показва, че коренът на нашето уравнение принадлежи на сегмента 
, т.е. 
е изолационният сегмент на корена на нашето уравнение. Нека проверим това аналитично, т.е. изпълнение на условия (2):
Спомнете си, че първоначалното уравнение (1) в метода на простата итерация се трансформира във формата 
и итерациите се извършват по формулата:
(3)
Извършването на изчисления по формула (3) се нарича една итерация. Итерациите спират, когато условието е изпълнено 
, където 
е абсолютната грешка при намирането на корена, или 
, където 
- относителна грешка.
Методът на простата итерация се сближава, ако условието 
за 
. Избор на функция 
във формула (3) за итерации, може да се повлияе на конвергенцията на метода. В най-простия случай 
със знак плюс или минус.
На практика често се изразява 
директно от уравнение (1). Ако условието за конвергенция не е изпълнено, то се преобразува във формата (3) и се избира. Ние представяме нашето уравнение във формата 
(изразяваме х от уравнението). Нека проверим условието за сходимост на метода:
за 
. Имайте предвид, че условието за конвергенция не е изпълнено 
, така че вземаме коренния изолационен сегмент 
. Мимоходом отбелязваме, че когато представяме нашето уравнение във формата 
, условието за сходимост на метода не е изпълнено: 
на сегмента 
. Графиката показва това 
нараства по-бързо от функцията 
(|tg| ъгъл на наклон на допирателната към 
на сегмента 
)
Да изберем 
. Организираме повторенията по формулата:
Програмно организираме процеса на итерации със зададена точност:
> fv:=proc(f1,x0,eps)
> k:=0:
x:=x1+1:
докато abs(x1-x)> eps правят
x1:=f1(x):
печат (evalf (x1,8)):
печат (abs(x1-x)):
:printf("Брой итерации=%d ",k):
край:
При итерация 19 получихме корена на нашето уравнение 
с абсолютна грешка 
Нека решим нашето уравнение Метод на Нютон. Итерациите в метода на Нютон се извършват по формулата:
Методът на Нютон може да се разглежда като метод на проста итерация с функция, тогава условието за конвергенция на метода на Нютон може да се запише като:
.
В нашето обозначение 
и условието за конвергенция е изпълнено на сегмента 
което може да се види на графиката:
Спомнете си, че методът на Нютон се сближава с квадратична скорост и първоначалното приближение трябва да бъде избрано достатъчно близо до корена. Нека направим изчисленията: 
, първоначално приближение, . Организираме повторенията по формулата:
Програмно организираме процеса на итерации със зададена точност. При 4 итерации получаваме корена на уравнението 
с 
Разгледахме методи за решаване на нелинейни уравнения, използвайки кубични уравнения като пример; естествено, различни видове нелинейни уравнения се решават с тези методи. Например решаване на уравнението
Методът на Нютон с 
, намираме корена на уравнението върху [-1,5;-1]:
Упражнение: Решавайте нелинейни уравнения с точност 
0.
разполовяване на сегмент (дихотомия)
проста итерация.
Нютон (тангенса)
секанс - хорда.
Опциите на задачите се изчисляват, както следва: номерът на списъка се разделя на 5 ( 
), цялата част съответства на номера на уравнението, остатъкът съответства на номера на метода.
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА УКРАЙНА
СУМСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ
Катедра Информатика
КУРСОВА РАБОТА
ПО КУРСА:
Числени методи
"Итеративни методи за решаване на системи от нелинейни уравнения"
1. Методи за решаване на системи от нелинейни уравнения. Главна информация
2.1 Метод на прости итерации
2.2 Трансформация на Ейткен
2.3 Метод на Нютон
2.3.1 Модификации на метода на Нютон
2.3.2 Квазинютонови методи
2.4 Други итеративни методи за решаване на системи от нелинейни уравнения
2.4.1 Метод на Пикар
2.4.2 Метод на градиентно спускане
2.4.3 Релаксационен метод
3. Внедряване на итеративни методи програмно и с помощта на математическия пакет Maple
3.1 Метод на проста итерация
3.2 Метод на градиентно спускане
3.3 Метод на Нютон
3.4 Модифициран метод на Нютон
Списък на използваната литература
1. Методи за решаване на нелинейни уравнения. Главна информация.
Нека ни е дадена система от уравнения, където
- някои нелинейни оператори: (1.1)Може да се представи и в матрична форма:
(1.1)Неговото решение се нарича такава стойност
, за коетоМного често срещан е изчислителният проблем за намиране на някои или всички решения на система (1.1) от ннелинейни алгебрични или трансцендентални уравнения с ннеизвестен.
Означаваме с хколонен вектор ( х 1 , Х 2 ,..., x n)Tи напишете системата от уравнения под формата на формула (1.2): Е(х) = 0, където F=(f 1 , е 2 ,...,fn)T.
Такива системи от уравнения могат да възникнат директно, например при проектиране на физически системи, или косвено. Така например при решаване на проблема с минимизирането на определена функция Ж(х) често е необходимо да се определят онези точки, в които градиентът на тази функция е равен на нула. Ако приемем F=град g,получаваме нелинейна система.
За разлика от системите от линейни алгебрични уравнения, които могат да бъдат решени с помощта и на двете прав(или точен) и итеративен(или приблизителен) методи, решението на системи от нелинейни уравнения може да се получи само чрез приблизителни, итеративни методи. Те позволяват да се получи последователност от приближения
. Ако итеративният процес се сближава, тогава граничната стойност е решението на дадената система от уравнения.За пълно разбиране на методите за намиране на решение на системата е необходимо да се обясни такова понятие като "скорост на конвергенция". Ако за последователността x n, сближаващи се до границата Х *, формулата е правилна
(ке положително реално число), тогава ксе нарича скорост на сходимост на дадената последователност.
2. Итеративни методи за решаване на системи от нелинейни уравнения
2.1 Метод на прости итерации
Методът на простите итерации (последователни приближения) е един от основните в изчислителната математика и се използва за решаване на широк клас уравнения. Нека опишем и обосновем този метод за системи от нелинейни уравнения от вида
f i (x 1,x 2,...x n) = 0, аз=1,2,..н;
Привеждаме системата от уравнения в специална форма:
(2.1)Или във векторна форма
. (2.2)Освен това преходът към тази система трябва да бъде само при условие, че
е картографиране на свиване.Използвайки някакво първоначално приближение X(0) = (x 1 (0), x 2 (0),...x n (0))
конструирайте итеративен процес X (k+1) = (X (k)). Изчисленията продължават до изпълнение на условието
. Тогава решението на системата от уравнения е неподвижната точка на преобразуването.Нека обосновем метода в определена норма
пространства.Нека представим една теорема за конвергенцията, чието изпълнение на условията води до намиране на решение на системата.
Теорема (на конвергенция).Позволявам
един). В областта е дефинирана вектор функцията Ф(х).
; условието3). справедливо неравенство
След това в итеративен процес:
, – решение на системата от уравнения; ,Коментирайте. Неравенството на условие 2) е условието на Липшиц за вектор-функцията Ф(х) в областта Сс константа
(състояние на компресия). Това показва Ее операторът за свиване в домейна С, т.е. уравнение (2.2) е обект на принципа на картографиране на свиването. Твърденията на теоремата означават, че уравнение (2.2) има решение в областта Си последователните приближения се събират към това решение със скоростта на геометрична последователност със знаменател р.Доказателство. Тъй като
, тогава за приближението, поради предположение 3), имаме . Означава, че . Нека покажем, че , k=2,3,… и за съседни приближения неравенството (2.3) е изпълненоЩе аргументираме по индукция. При
твърдението е вярно, т.к и . Да приемем, че апроксимациите принадлежат на S и неравенството (2.3) е валидно за . Тъй като , то за отчитане на условие 2) от теоремата имаме .По индуктивната хипотеза