Област на конвергенция Функционална серия е серия, чиито членове са функции / дефинирани върху определено множество E на реалната ос. Например, членовете на серия са дефинирани на интервал, а членовете на серия са дефинирани на сегмент За функционална серия (1) се казва, че се събира в точка Xo € E, ако се събира във всяка точка x от множество D ⊂ E и се разминава във всяка точка, която не принадлежи на множеството D, тогава се казва, че серията се събира в множеството D, а D се нарича област на конвергенция на серията. Серия (1) се нарича абсолютно сходна на множество D, ако серията се сближава на това множество.В случай на сходимост на редица (1) на множество D, неговата сума S ще бъде функция, дефинирана върху D. Областта на сближаването на някои функционални серии може да се намери с помощта на известни достатъчни критерии, установени за серии с положителни членове, например знак на Dapamber, знак на Коши. Пример 1. Намерете областта на сближаване на серията M Тъй като числовата серия се сближава за p > 1 и се разминава за p > 1, тогава, приемайки p - Igx, получаваме тази серия. които ще се сближат за Igx > T, т.е. ако x > 10, и се разминават, когато Igx ^ 1, т.е. на 0< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х >0 редът се разминава, тъй като L =. Дивергенцията на редицата при x = 0 е очевидна. Пример 3. Намерете областта на конвергенция на серията Членовете на тази серия са дефинирани и непрекъснати в множеството. Прилагайки знака Kosh и, намираме за всеки. Следователно серията се разминава за всички стойности на x. Означаваме с Sn(x) n-тата частична сума от функционалната редица (1). Ако тази серия се сближава в множеството D и нейната сума е равна на 5(g), тогава тя може да бъде представена като къде е сумата на серията, сходяща се в множеството D, което се нарича n-ти остатъкфункционална серия (1). За всички стойности на x € D връзката е в сила и следователно. т.е. остатъкът Rn(x) от конвергентния ред клони към нула при n oo, каквото и да е x 6 D. Равномерна конвергенция Сред всички конвергентни редове от функции, така наречените равномерно конвергентни редове играят важна роля. Нека е даден функционален ред, сходящ се в множеството D, чиято сума е равна на S(x). Вземете неговата n-та частична сума. Функционална серия ФУНКЦИОНАЛНА СЕРИЯ Област на конвергенция Равномерна конвергенция Критерий на Вайерщрас Свойството на равномерно сходящата се функционална редица се казва, че е равномерно сходяща се в множеството PS1), ако за всяко число ε > 0 съществува число λ > 0, такова че неравенството x от множеството fI. Коментирайте. Тук числото N е едно и също за всички x ∈ 10, т.е. не зависи от z, а зависи от избора на числото e, така че пишем N = N(e). Равномерната конвергенция на функционалния ред £ /n(®) към функцията S(x) върху множеството ft често се означава по следния начин: Дефиницията на равномерното сходимост на реда /n(x) върху множеството ft може да бъде написани по-кратко с помощта на логически символи: функционален ред. Нека вземем отсечката [a, 6] като множество ft и начертаем графиките на функциите. Неравенството |, което е в сила за числата n > N и за всички a; G [a, b] и y = 5(g) + e (фиг. 1). Пример 1 се сближава равномерно в отсечката. Този ред е редуващ се, удовлетворява условията на теста на Лайбниц за всяко x € [-1,1] и следователно се сближава в отсечката (-1,1]. Нека S(x) е неговата сума, а Sn (x) - неговата n-та част сума. Остатъкът от редицата не превишава по абсолютна стойност абсолютната стойност на първия член: и тъй като Нека вземем всяко е. Тогава неравенството | ще бъде изпълнено, ако. От тук намираме, че n > \. Ако вземем число (тук [a] означава най-голямото цяло число, непревишаващо a), тогава неравенството | e ще се проведе за всички числа n > N и за всички x € [-1,1). Това означава, че този ред се събира равномерно на отсечката [-1,1). I. Не всеки функционален ред, който се събира в множеството D, е равномерно сходим в Пример 2. Нека покажем, че редът се събира в интервала, но не равномерно. 4 Нека изчислим n-тата частична сума £n(*) на редицата. Имаме Откъде Този ред се събира в сегмента и неговата сума, ако Абсолютната стойност на разликата S (x) - 5„ (x) (остатъкът от реда) е равна на. Нека вземем число e такова, че. Нека решим неравенството по отношение на n. Имаме, откъде (защото и при деление на Inx знакът на неравенството е обърнат). Неравенството ще важи за . Следователно, такова число N(e), което не зависи от x, така че неравенството е в сила за всяко) непосредствено за всички x от сегмента. , не съществува. Ако обаче сегментът 0 се замени с по-малък сегмент, където, тогава на последния този ред ще се сближи равномерно към функцията S0. Наистина, за и следователно за всички x наведнъж §3. Критерият на Вайерщрас Достатъчен критерий за равномерна конвергенция на функционален ред е даден от теоремата на Вайерщрас. Теорема 1 (тест на Вайерщрас). Нека за всички x от множеството Q членовете на функционалната редица по абсолютна стойност не превишават съответните членове на конвергентната числова редица П=1 с положителни членове, т.е. за всички x ∈ Q. Тогава функционалната редица ( 1) на множеството П се сходи абсолютно и равномерно . И Tek, тъй като според условието на теоремата членовете на реда (1) удовлетворяват условие (3) за цялото множество Q, тогава, по критерия за сравнение, редът 2 \fn(x)\ се сближава за всеки x ∈ H и, следователно, серията (1) се сближава абсолютно на P. Нека докажем равномерната сходимост на ред (1). Нека Означим със Sn(x) и an частичните суми на редовете (1) и (2), съответно. Имаме Вземете всяко (произволно малко) число e > 0. Тогава конвергенцията на числовата серия (2) предполага съществуването на число N = N(e), така че, следователно, -e за всички числа n > N(e ) и за всички x6n , т.е. ред (1) се събира равномерно в множеството P. Забележка. Числовият ред (2) често се нарича мажориращ или мажорантен за функционалния ред (1). Пример 1. Изследване на реда за равномерна конвергенция Неравенството е валидно за всички. и за всички. Числовият ред се събира. По силата на теста на Вайерщрас разглежданата функционална редица се събира абсолютно и равномерно по цялата ос. Пример 2. Изследване на ред за равномерна конвергенция Членовете на реда са дефинирани и непрекъснати на отсечката [-2,2|. Тъй като на сегмента [-2,2) за всяко естествено n, тогава По този начин неравенството е в сила за. Тъй като числовата серия се сближава, тогава, според теста на Weierstrass, първоначалната функционална серия се сближава абсолютно и равномерно на сегмента. Коментирайте. Функционалната редица (1) може да се сближава равномерно върху множеството Piv в случай, че няма числова мажорантна редица (2), т.е. критерият на Вайерщрас е само достатъчен критерий за равномерна конвергенция, но не е необходим. Пример. Както е показано по-горе (пример), серията се събира равномерно в сегмента 1-1,1]. За него обаче няма мажорантен конвергентен числов ред (2). Наистина, за всички естествени числа n и за всички x ∈ [-1,1) неравенството е в сила и равенството се постига при. Следователно членовете на желаната мажорантна серия (2) трябва непременно да отговарят на условието, но числовата серия ФУНКЦИОНАЛНА СЕРИЯ Област на конвергенция Равномерна конвергенция Тест на Вайерщрас Свойствата на равномерно сходящата се функционална серия се различават. Това означава, че серията £ op също ще се разминава. Свойства на равномерно сходящата серия от функции Равномерно сходящата серия от функции има редица важни свойства. Теорема 2. Ако всички членове на редица, равномерно сходящи се в сегмента [a, b], се умножат по една и съща функция q(x), ограничена в [a, 6], тогава получената функционална редица ще се събира равномерно в. Нека серията £ fn(x) се сближава равномерно към функцията S(x) на интервала [a, b\] и нека функцията g(x) е ограничена, т.е. съществува константа C > 0, такава че By дефиницията на равномерната конвергенция на редицата за всяко число e > 0 има число N, такова че за всички n > N и за всички x ∈ [a, b] неравенството ще се проведе, където 5n(ar) е частична сума от разглежданата серия. Следователно, ние ще имаме за всеки. редът се събира равномерно на [a, b| към функция Теорема 3. Нека всички членове fn(x) на функционален ред са непрекъснати и редът се събира равномерно на отсечката [a, b\. Тогава сумата S(x) на редицата е непрекъсната на този интервал. M Нека вземем в интервала [o, b] две произволни точки zr + Ax. Тъй като тази серия се сближава равномерно в сегмента [a, b], тогава за всяко число e > 0 има число N = N(e), такова че за всички n > N неравенствата ще бъдат валидни, където 5n(x) са частични суми от серията fn (x). Тези частични суми Sn(x) са непрекъснати в интервала [a, 6] като сбор от краен брой функции fn(x), които са непрекъснати в [a, 6). Следователно, за фиксирано число no > N(e) и дадено число e, има число 6 = 6(e) > 0, такова че неравенството Ax, удовлетворяващо условието | форма: откъде. Като вземем предвид неравенства (1) и (2), за увеличения Ax, отговарящи на условието |, получаваме Това означава, че сумата Six) е непрекъсната в точката x. Тъй като x е произволна точка от отсечката [a, 6], следва, че 5(x) е непрекъснато върху |a, 6|. Коментирайте. Функционална серия, чиито членове са непрекъснати в интервала [a, 6), но която се сближава неравномерно в (a, 6], може да има прекъсната функция като сума. Пример 1. Разгледайте функционална серия в интервала |0,1 ). Нека изчислим неговата n-та частична сума. Следователно, той е прекъснат на сегмента, въпреки че членовете на серията са непрекъснати на него. По силата на доказаната теорема тази редица не е равномерно сходна на интервала . Пример 2. Разгледайте серия Както е показано по-горе, тази серия се сближава при, серията ще се сближава равномерно според критерия на Вайерщрас, тъй като 1 и числената серия се сближават. Следователно, за всяко x > 1, сумата от тази серия е непрекъсната. Коментирайте. Функцията се нарича функция на Риман on (тази функция играе голяма роля в теорията на числата). Теорема 4 (за почленно интегриране на функционален ред). Нека всички членове fn(x) на редицата са непрекъснати и нека серията се събира равномерно на отсечката [a, b] към функцията S(x). Тогава е в сила следното равенство.Поради непрекъснатостта на функциите fn(x) и равномерната сходимост на дадения ред върху интервала [a, 6], неговата сума 5(x) е непрекъсната и следователно интегрируема върху . Разгледайте разликата. Следва от равномерната конвергенция на редицата върху [o, b], че за всяко e > 0 има число N(e) > 0, такова че за всички числа n > N(e) и за всички x € [a, 6] неравенството ще се запази. Ако серията fn(0 не е равномерно сходяща се, тогава, най-общо казано, тя не може да бъде интегрирана член по член, т.е. Теорема 5 (относно член по член диференциация на функционалната серия) , Нека всички членове на конвергентния ред 00 имат непрекъснати производни и редът, съставен от тези производни, се сближава равномерно в интервала [a, b]. Тогава във всяка точка равенството е вярно, т.е., даденият ред може да бъде диференциран член по член. M Нека вземем произволни две точки. Тогава, по силата на теорема 4, имаме Функцията o-(x) е непрекъсната като сума от равномерно сходяща серия от непрекъснати функции. Следователно, чрез диференциране на равенството ние получавам

- може би комплексът няма да се окаже толкова сложен;) И заглавието на тази статия също е хитро - сериите, които ще бъдат обсъдени днес, по-скоро не са сложни, а "рядкоземни". Но дори и задочниците не са имунизирани от тях и затова този привидно допълнителен урок трябва да се приема с най-голяма сериозност. В края на краищата, след като сте работили през него, можете да се справите с почти всеки "звяр"!

Да започнем с класиката на жанра:

Пример 1

Първо, имайте предвид, че това НЕ е степенен ред (Напомням ви, че има формата). И второ, тук веднага се набива на очи стойността, която очевидно не може да влезе в областта на сближаване на реда. И това вече е малък успех на изследването!

Но все пак как да постигнем голям успех? Бързам да ви зарадвам - такива серии могат да бъдат решени по същия начин като мощност– разчитайки на знака на д'Аламбер или радикалния знак на Коши!

Решение: стойността не е в обхвата на сходимост на реда. Това е важен факт и трябва да се отбележи!

Основата на алгоритъма работи като стандарт. Използвайки теста на d'Alembert, намираме интервала на сходимост на серията:

Серията се сближава при . Нека преместим модула нагоре:

Нека незабавно проверим "лошата" точка: стойността не влезе в областта на конвергенция на серията.

Изследваме конвергенцията на серията във „вътрешните“ краища на интервалите:
ако , тогава
ако , тогава

И двете числени серии се разминават, тъй като не е изпълнено необходим знак за конвергенция.

Отговор: област на конвергенция:

Нека направим малък анализ. Нека заместим някаква стойност от десния интервал във функционалната серия, например:
- се сближава знак на д'Аламбер.

В случай на заместване на стойности от левия интервал се получават и конвергентни редове:
ако , тогава .

И накрая, ако , тогава сериалът - наистина се разминава.

Няколко прости примера за загряване:

Пример 2

Намерете областта на конвергенция на функционална серия

Пример 3

Намерете областта на конвергенция на функционална серия

Бъдете особено добри с „ново“ модул- той ще се срещне 100500 пъти днес!

Кратки решения и отговори в края на урока.

Използваните алгоритми изглеждат универсални и безпроблемни, но всъщност това не е така - за много функционални серии те често се „подхлъзват“ или дори водят до погрешни заключения (и аз също ще разгледам такива примери).

Грапавостта започва още на нивото на интерпретация на резултатите: помислете например за серията . Тук, в границата, получаваме (проверете сами), и на теория е необходимо да се даде отговор, че редът се събира в една точка. Точката обаче е "преиграна", което означава, че нашият "пациент" се разминава навсякъде!

А за поредицата „очевидното“ решение „според Коши“ не дава абсолютно нищо:
- за ВСЯКА стойност на "x".

И възниква въпросът какво да правя? Използваме метода, на който ще бъде посветена основната част от урока! Може да се формулира по следния начин:

Директен анализ на числови серии за различни стойности

Всъщност ние вече започнахме да правим това в Пример 1. Първо, изследваме някои специфични "x" и съответните числа. Моли да се вземе стойността:
- получената числова серия се разминава.

И това веднага навежда на мисълта: ами ако същото се случи и в други точки?
Да проверим необходим критерий за сходимостта на редицатаза произволенстойности:

Точка, разгледана по-горе за всички останали "х"организираме стандартна рецепция втора прекрасна граница:

Заключение: серията се разминава по цялата числова ос

И това решение е най-работещият вариант!

На практика често трябва да се сравнява функционалната серия обобщени хармонични серии :

Пример 4

Решение: Първо, нека да се справим с област на дефиниция: в този случай радикалният израз трябва да бъде строго положителен и освен това всички членове на серията трябва да съществуват, като се започне от 1-ви. От това следва, че:
. С тези стойности се получават условно сходящи се редове:
и т.н.

Други "x" не са подходящи, така че, например, когато получим незаконен случай, когато първите два члена от серията не съществуват.

Всичко това е добре, всичко е ясно, но има още един важен въпрос - как компетентно да съставите решение? Предлагам схема, която може да се опише на жаргон като "прехвърляне на стрелки" към числови серии:

Обмисли произволензначение и изследваме сходимостта на числовата серия. Рутина знак на Лайбниц:

1) Тази серия се редува.

2) – членовете на реда намаляват по модул. Всеки следващ член от серията е по-малък по абсолютна стойност от предходния: , така че намалението е монотонно.

Заключение: серията се сближава според теста на Лайбниц. Както вече беше отбелязано, сближаването тук е условно - поради причината, че серия - се разминава.

Така че ето го - спретнато и правилно! Защото зад "алфата" ние умело скрихме всички валидни числови серии.

Отговор: функционалната серия съществува и се сближава условно за .

Подобен пример за решение „направи си сам“:

Пример 5

Изследвайте конвергенцията на функционална серия

Пример за финална задача в края на урока.

Ето ви "работна хипотеза"! – функционалната редица се събира на интервала!

2) Всичко е прозрачно със симетричен интервал, считаме произволенстойности и получаваме: – абсолютно сходящи числови редове.

3) И накрая, "средата". Тук също е удобно да се разграничат два интервала.

Обмисляме произволенстойност от интервала и вземете числова серия:

! Отново, ако е трудно , заменете някакво конкретно число, например . Обаче ... искахте трудности =)

За всички стойности на "en" , означава:
- по този начин, от знак за сравнениесерията се събира заедно с безкрайно намаляваща прогресия.

За всички стойности на "x" от интервала, който получаваме са абсолютно сходни редове.

Всички X са проучени, X вече ги няма!

Отговор: зона на сближаване на серията:

Трябва да кажа, неочакван резултат! И трябва да се добави, че използването на знаци на d'Alembert или Cauchy тук определено ще подведе!

Директното оценяване е "висшият пилотаж" на математическия анализ, но това, разбира се, изисква опит, а някъде дори и интуиция.

Или може би някой ще намери по-лесен начин? пишете! Между другото, има прецеденти - няколко пъти читатели предлагаха по-рационални решения и аз ги публикувах с удоволствие.

Успех при кацането :)

Пример 11

Намерете областта на конвергенция на функционална серия

Моята версия на решението е много близка.

Допълнителен хардкор можете да намерите на Раздел VI (Редове)колекция на Кузнецов (Задачи 11-13).В интернет има готови решения, но тук имам нужда от вас предупреждавам- много от тях са непълни, неправилни и дори погрешни. И между другото това беше една от причините да се роди тази статия.

Нека обобщим трите урока и систематизираме нашите инструменти. Така:

За да се намери интервалът(ите) на сходимост на функционален ред, може да се използва:

1) знак на д'Аламбер или знак на Коши. И ако редът не е мощност– проявяваме повишено внимание, когато анализираме резултата, получен чрез директно заместване на различни стойности.

2) Единен критерий за конвергенция на Вайерщрас. Да не забравяме!

3) Сравнение с типични числови редове- задвижвания в общия случай.

Тогава прегледайте краищата на намерените интервали (ако е необходимо)и получаваме областта на сходимост на реда.

Сега имате на ваше разположение доста сериозен арсенал, който ще ви позволи да се справите с почти всяка тематична задача.

Пожелавам ти успех!

Решения и отговори:

Пример 2: Решение: стойността не е в обхвата на сходимост на реда.
Използваме знака на д'Аламбер:


Серията се сближава на:

По този начин интервалите на конвергенция на функционалната серия: .
Изследваме сходимостта на серията в крайните точки:
ако , тогава ;
ако , тогава .
И двете числа се разминават, защото. необходимият критерий за конвергенция не е изпълнен.

Отговор : област на конвергенция:

функционални редове. Степенен ред.
Диапазон на сходимост на редицата

Смехът без причина е признак на д'Аламбер

И така, часът на функционалните редове удари. За да овладеете успешно темата и по-специално този урок, трябва да сте добре запознати с обичайните числови серии. Трябва да разбирате добре какво е серия, да можете да прилагате знаците за сравнение, за да изучавате серията за конвергенция. По този начин, ако току-що сте започнали да изучавате темата или сте чайник във висшата математика, необходимопреработете последователно три урока: Редове за чайници,Знак на д'Аламбер. Признаци на Кошии Редуващи се редове. Знак на Лайбниц. Определено и трите! Ако имате основни познания и умения за решаване на задачи с числови серии, тогава ще бъде доста лесно да се справите с функционални серии, тъй като няма много нов материал.

В този урок ще разгледаме концепцията за функционален ред (какво е това като цяло), ще се запознаем със степенните редове, които се срещат в 90% от практическите задачи и ще научим как да решаваме често срещана типична задача за намиране на радиуса на конвергенция, интервалът на конвергенция и областта на конвергенция степенни редове. Освен това препоръчвам да разгледате материала разширяване на функциите в степенни редове, а на начинаещия ще бъде осигурена линейка. След кратка почивка, преминаваме към следващото ниво:

Също така в раздела на функционалните серии има многобройни приложения за приблизителни изчисления, и редовете на Фурие, които по правило са отделени в отделна глава в образователната литература, се разминават малко. Имам само една статия, но е дълга и много, много допълнителни примери!

И така, ориентирите са поставени, да тръгваме:

Концепцията за функционални редове и степенни редове

Ако в границата се получи безкрайност, тогава алгоритъмът за решение също завършва работата си и ние даваме окончателния отговор на задачата: „Поредицата се събира в“ (или в едно от двете“). Вижте случай #3 от предишния параграф.

Ако в границата се окаже, че не е нула и не е безкрайност, тогава имаме най-често срещания случай в практиката № 1 - редът се събира на определен интервал.

В този случай ограничението е. Как да намерим интервала на сходимост на редица? Правим неравенство:

AT ВСЯКА задача от този тип от лявата страна на неравенството трябва да бъде граничен резултат от изчислението, и от дясната страна на неравенството строго мерна единица. Няма да обяснявам защо точно това неравенство и защо има такова вдясно. Облекло за уроци практическа насоченост, и вече е много добре, че преподавателският състав не се обеси от моите истории, някои теореми станаха по-ясни.

Техниката на работа с модула и решаването на двойни неравенства беше разгледана подробно през първата година в статията Обхват на функцията, но за удобство ще се опитам да коментирам всички действия възможно най-подробно. Разкриваме неравенството с модула училищно правило . В такъв случай:

На половината път назад.

На втория етап е необходимо да се изследва сходимостта на серията в краищата на намерения интервал.

Първо вземаме левия край на интервала и го заместваме в нашата степенна серия:

При

Получена е числова редица, която трябва да проверим за сходимост (задача, позната от предишни уроци).

1) Серията е знакоредуваща се.
2) – членовете на реда намаляват по модул. Освен това всеки следващ член от серията е по-малък от предходния по модул: , така че намалението е монотонно.
Заключение: серията се сближава.

С помощта на серия, съставена от модули, ще разберем как точно:
– конвергира („референтни” редове от семейството на обобщените хармонични редове).

Така получената редица от числа се сближава абсолютно.

при - се сближава.

! напомням че всеки конвергентен положителен ред е и абсолютно конвергентен.

Така степенният ред се сближава, и то абсолютно, в двата края на намерения интервал.

Отговор:област на сходимост на изследваните степенни редове:

Има право на живот и друг дизайн на отговора: Серията се сближава, ако

Понякога в условието на задачата се изисква да се посочи радиусът на конвергенция. Очевидно е, че в разглеждания пример.

Пример 2

Намерете областта на сходимост на степенен ред

Решение:намираме интервала на сходимост на реда като се използвазнак на д'Аламбер (но не според атрибута! - няма такъв атрибут за функционални серии):

Поредицата се сближава в

Налявотрябва да си тръгваме само, така че умножаваме двете страни на неравенството по 3:

– Сериалът е знакоредуващ се.
– – членовете на реда намаляват по модул. Всеки следващ член от серията е по-малък от предходния по абсолютна стойност: , така че намалението е монотонно.

Заключение: серията се сближава.

Ние го изследваме за естеството на конвергенцията:

Сравнете този ред с дивергентния ред.
Използваме граничния знак за сравнение:

Получава се крайно число, различно от нула, което означава, че редът се разминава заедно с реда.

Така редицата се сближава условно.

2) Кога – се разминава (както е доказано).

Отговор:Областта на сходимост на изследваните степенни редове: . За , серията converges условно.

В разглеждания пример областта на сближаване на степенния ред е полуинтервал, а във всички точки на интервала степенният ред съвпада абсолютно, а в точката , както се оказа, условно.

Пример 3

Намерете интервала на сходимост на степенния ред и изследвайте неговата сходимост в краищата на намерения интервал

Това е пример за „направи си сам“.

Помислете за няколко примера, които са редки, но се срещат.

Пример 4

Намерете областта на сближаване на серията:

Решение:използвайки теста на d'Alembert, намираме интервала на сходимост на тази серия:

(1) Съставете съотношението на следващия член на серията към предишния.

(2) Отървете се от четириетажната част.

(3) Кубовете и, съгласно правилото за операции със степените, се сумират под една степен. В числителя умело разлагаме степента, т.е. разширяваме по такъв начин, че на следващата стъпка намаляваме дробта с . Факториалите са описани подробно.

(4) Под куба разделяме числителя на знаменателя член по член, което показва, че . В дроб намаляваме всичко, което може да се намали. Множителят е изваден от знака за граница, той може да бъде изваден, тъй като в него няма нищо, което да зависи от "динамичната" променлива "en". Моля, обърнете внимание, че знакът на модула не е изчертан - поради причината, че приема неотрицателни стойности за всеки "x".

В границата се получава нула, което означава, че можем да дадем окончателния отговор:

Отговор:Поредицата се сближава в

И в началото изглеждаше, че този спор с "ужасен пълнеж" ще бъде трудно разрешим. Нула или безкрайност в границата е почти подарък, защото решението е забележимо намалено!

Пример 5

Намерете областта на сближаване на серия

Това е пример за „направи си сам“. Бъдете внимателни ;-) Пълното решение е отговорът в края на урока.

Помислете за още няколко примера, които съдържат елемент на новост по отношение на използването на техники.

Пример 6

Намерете интервала на сходимост на серията и изследвайте неговата сходимост в краищата на намерения интервал

Решение:Общият член на степенния ред включва фактора , който осигурява редуването. Алгоритъмът за решение е напълно запазен, но при съставянето на лимита ние игнорираме (не пишем) този фактор, тъй като модулът унищожава всички „минуси“.

Намираме интервала на сходимост на серията с помощта на теста на d'Alembert:

Съставяме стандартното неравенство:
Поредицата се сближава в
Налявотрябва да си тръгваме само модул, така че умножаваме двете страни на неравенството по 5:

Сега разширяваме модула по познат начин:

В средата на двойното неравенство трябва да оставите само "x", за целта извадете 2 от всяка част на неравенството:

е интервалът на сходимост на изследваните степенни редове.

Изследваме сходимостта на серията в краищата на намерения интервал:

1) Заместете стойността в нашия степенен ред :

Бъдете изключително внимателни, множителят не осигурява редуване за всеки естествен "en". Изваждаме полученото минус от серията и забравяме за нея, тъй като тя (както всеки постоянен множител) не влияе по никакъв начин на конвергенцията или дивергенцията на числовата серия.

Забележете отновоче в хода на заместването на стойността в общия член на степенния ред сме намалили фактора . Ако това не се случи, това би означавало, че или сме изчислили неправилно лимита, или неправилно сме разширили модула.

Така че е необходимо да се изследва конвергенцията на числовата серия. Тук е най-лесно да използвате критерия за гранично сравнение и да сравните тази серия с дивергентна хармонична серия. Но, честно казано, бях ужасно уморен от крайния знак за сравнение, така че ще добавя малко разнообразие към решението.

Така че серията се сближава при

Умножете двете страни на неравенството по 9:

Извличаме корена от двете части, като си спомняме старата училищна шега:


Разширяване на модула:

и добавете по едно към всички части:

е интервалът на сходимост на изследваните степенни редове.

Изследваме конвергенцията на степенния ред в краищата на намерения интервал:

1) Ако , тогава се получава следната числова серия:

Множителят изчезна безследно, защото за всяка естествена стойност на "en" .

Функционален диапазон се нарича формално писмен израз

u1 (х) + u 2 (х) + u 3 (х) + ... + uн ( х) + ... , (1)

където u1 (х), u 2 (х), u 3 (х), ..., uн ( х), ... - последователност от функции от независима променлива х.

Съкратена нотация на функционален ред със сигма:.

Примери за функционални серии са :

(2)

(3)

Даване на независимата променлива хнякаква стойност х0 и замествайки го във функционалната серия (1), получаваме числена серия

u1 (х 0 ) + u 2 (х 0 ) + u 3 (х 0 ) + ... + uн ( х 0 ) + ...

Ако получената числова серия се сближава, тогава се казва, че функционалната серия (1) се сближава за х = х0 ; ако се разминава, което се казва, че серия (1) се разминава при х = х0 .

Пример 1. Изследване на сходимостта на функционален ред(2) за стойности х= 1 и х = - 1 .
Решение. При х= 1 получаваме числова серия

който се сближава според теста на Лайбниц. При х= - 1 получаваме числова серия

,

което се разминава като продукт на дивергентна хармонична серия от – 1. По този начин серия (2) се сближава при х= 1 и се отклонява при х = - 1 .

Ако такъв тест за сходимост на функционалната серия (1) се проведе по отношение на всички стойности на независимата променлива от областта на дефиниране на нейните членове, тогава точките от тази област ще бъдат разделени на две групи: със стойности хвзета в едната редица (1) се събира, а в другата се разминава.

Наборът от стойности на независима променлива, за които функционалната серия се сближава, се нарича нейна регион на конвергенция .

Пример 2. Намерете областта на конвергенция на функционална серия

Решение. Членовете на редицата са определени на цялата числова ос и образуват геометрична прогресия със знаменател р= грях х. Така че редът се събира, ако

и се разминава, ако

(стойностите не са възможни). Но за ценности и за други ценности х. Следователно редът се сближава за всички стойности х, Освен това . Регионът на неговата конвергенция е цялата числова линия, с изключение на тези точки.

Пример 3. Намерете областта на сходимост на функционален ред

Решение. Членовете на редицата образуват геометрична прогресия със знаменател р=вн х. Следователно редът се сближава, ако , или , откъде . Това е областта на конвергенция на тази серия.

Пример 4. Изследване на сходимостта на функционален ред

Решение. Нека вземем произволна стойност. С тази стойност получаваме числова серия

(*)

Намерете границата на неговия общ член

Следователно серията (*) се разминава за произволно избрана, т.е. за всяка стойност х. Областта на неговата конвергенция е празното множество.

Равномерна сходимост на функционален ред и неговите свойства

Да преминем към концепцията равномерна конвергенция на функционалната редица . Позволявам с(х) е сумата от тази серия и сн ( х) - сума нпървите членове на тази серия. Функционален диапазон u1 (х) + u 2 (х) + u 3 (х) + ... + uн ( х) + ... се нарича равномерно сходящ се на интервала [ а, b] , ако за произволно малко число ε > 0 има такова число н, това за всички н ≥ ннеравенството ще бъде изпълнено

|с(х) − сн ( х)| < ε

за всеки хот сегмента [ а, b] .

Горното свойство може да бъде геометрично илюстрирано по следния начин.

Разгледайте графиката на функцията г = с(х) . Построяваме лента с ширина 2 около тази крива. ε н, тоест изграждаме криви г = с(х) + ε ни г = с(х) − ε н(на снимката по-долу са зелени).

Тогава за всякакви ε нфункционална графика сн ( х) ще лежи изцяло в разглежданата лента. Същата лента ще съдържа графики на всички следващи частични суми.

Всеки конвергентен функционален ред, който няма характеристиката, описана по-горе, е неравномерно конвергентен.

Разгледайте още едно свойство на равномерно конвергентни функционални серии:

сумата от поредица от непрекъснати функции, която се събира равномерно на някакъв интервал [ а, b] , има функция, която е непрекъсната в този сегмент.

Пример 5Определете дали сумата от функционална серия е непрекъсната

Решение. Нека намерим сумата нпървите членове на тази серия:

Ако х> 0, тогава

,

ако х < 0 , то

ако х= 0, тогава

И следователно .

Нашето изследване показа, че сумата от тази серия е прекъсната функция. Неговата графика е показана на фигурата по-долу.

Тест на Вайерщрас за равномерна сходимост на функционални редове

Нека се доближим до критерия на Вайерщрас чрез концепцията повечето функционални серии . Функционален диапазон

u1 (х) + u 2 (х) + u 3 (х) + ... + uн ( х) + ...

4.1. Функционална серия: основни понятия, област на конвергенция

Определение 1. Серия, чиито членове са функции на една или
се извикват няколко независими променливи, дефинирани в някакъв набор функционален диапазон.

Помислете за функционална серия, чиито членове са функции на една независима променлива х. Сборът на първия нчленовете на серията е частична сума от дадената функционална серия. Общ член има функция от хопределени в някаква област. Помислете за функционална серия в точка . Ако съответната серия номер конвергира, т.е. има ограничение на частичните суми от тази серия
(където − сумата от редицата от числа), тогава се извиква точката точка на конвергенцияфункционален диапазон . Ако числовата линия се разминава, тогава точката се нарича точка на разминаванефункционален ред.

Определение 2. Зона на конвергенцияфункционален диапазон се нарича набор от всички такива стойности х, за които функционалният ред се събира. Означена е областта на конвергенция, състояща се от всички точки на конвергенция . Забележи, че Р.

Функционалната серия се събира в региона , ако има такива тя се събира като числова серия, докато сумата й ще бъде някаква функция . Този т.нар ограничителна функцияпоследователности : .

Как да намерите областта на сближаване на функционална серия ? Можете да използвате знак, подобен на знака на д'Аламбер. За номер композирайте и вземете предвид ограничението при фиксирано х:
. Тогава е решение на неравенството и решаване на уравнението (ние вземаме само тези решения на уравнението, в
които съответните числови редове се събират).

Пример 1. Намерете областта на сходимост на серията.

Решение. Обозначете , . Нека съставим и изчислим границата , тогава областта на сходимост на реда се определя от неравенството и уравнение . Нека допълнително да изследваме конвергенцията на оригиналната серия в точките, които са корените на уравнението:

какво ако , , тогава получаваме разминаваща се серия ;

б) ако , , след това реда се сближава условно (по

Тест на Лайбниц, пример 1, лекция 3, сек. 3.1).

По този начин регионът на конвергенция ред изглежда така: .

4.2. Степенен ред: основни понятия, теорема на Абел

Да разгледаме частен случай на функционална серия, т.нар степенни редове , където
.

Определение 3. мощност следващасе нарича функционална серия от формата ,

където − постоянни числа, наз коефициенти на серията.

Степенен ред е "безкраен полином", подреден в нарастващи степени . Всякаква числова линия е
частен случай на степенен ред за .

Разгледайте специален случай на степенна серия за :
. Разберете какъв вид
област на сходимост на дадена серия .

Теорема 1 (теорема на Абел). 1) Ако степенната редица се събира в точка , тогава той се сближава абсолютно за всеки х, за което неравенството .

2) Ако степенната редица се разминава при , тогава се разминава за всеки х, за което .

Доказателство. 1) По условие степенният ред се събира в точката ,

т.е. числовата серия се събира

(1)

и според необходимия критерий за сходимост общият му член клони към 0, т.е. . Следователно има номер че всички членове на серията са ограничени до този брой:
.

Помислете сега за всеки х, за което , и съставете поредица от абсолютни стойности: .
Нека напишем тази серия в различна форма: оттогава , тогава (2).

От неравенството
получаваме, т.е. ред

се състои от членове, които са по-големи от съответните членове на серия (2). Редете е сходяща серия от геометрична прогресия със знаменател , освен това , защото . Следователно ред (2) се сближава за . И така, степенните редове съвпада абсолютно.

2) Нека редът се разминава при , с други думи,

числовата линия се разминава . Нека докажем това за всеки х () серията се разминава. Доказателството е от противно. Нека за някои

фиксиран ( ) серията се сближава, тогава тя се сближава за всички (виж първата част на тази теорема), в частност, за , което противоречи на условие 2) от теорема 1. Теоремата е доказана.

Последица. Теоремата на Абел позволява да се прецени местоположението на точката на сближаване на степенен ред. Ако точка е точка на сходимост на степенния ред, след това интервалът изпълнен с точки на конвергенция; ако точката на разминаване е точка , тогава
безкрайни интервали изпълнен с точки на разминаване (фиг. 1).

Ориз. 1. Интервали на сходимост и дивергенция на редицата

Може да се докаже, че има такова число , това за всички
степенни редове се сближава абсолютно и − се разминава. Ще приемем, че ако редът се събира само в една точка 0, тогава , и ако серията се събира за всички , тогава .

Определение 4. Интервал на конвергенциястепенни редове този интервал се нарича , това за всички тази серия се сближава абсолютно и за всички хлежащи извън този интервал, серията се разминава. Номер РНаречен радиус на конвергенциястепенни редове.

Коментирайте. В края на интервала въпросът за сходимостта или дивергенцията на степенен ред се решава отделно за всеки конкретен ред.

Нека покажем един от методите за определяне на интервала и радиуса на сходимост на степенен ред.

Помислете за степенните серии и обозначават .

Нека направим поредица от абсолютни стойности на неговите членове:

и приложете теста на д'Аламбер към него.

Нека съществува

.

Според теста на д'Аламбер, серията се сближава, ако , и се разминава, ако . От тук серията се сближава при , след това интервалът на сближаване: . При , серията се разминава, защото .
Използване на нотацията , получаваме формула за определяне на радиуса на сходимост на степенен ред:

,

където са коефициентите на степенния ред.

Ако се окаже, че границата , тогава предполагаме .

За определяне на интервала и радиуса на сходимост на степенен ред може да се използва и радикалният критерий на Коши, радиусът на сходимост на реда се определя от връзката .

Определение 5. Обобщени степенни редовесе нарича серия

. Нарича се още следващ по степени .
За такава серия интервалът на конвергенция има формата: , където − радиус на конвергенция.

Нека да покажем как се намира радиусът на сходимост за обобщен степенен ред.

тези. , където .

Ако , тогава , и зоната на конвергенция R; ако , тогава и зона на конвергенция .

Пример 2. Намерете областта на сближаване на серия .

Решение. Обозначете . Да направим лимит

Решаваме неравенството: , , следователно интервалът

конвергенцията има формата: , освен това Р= 5. Освен това изучаваме краищата на интервала на конвергенция:
а) , , получаваме сериала , който се разминава;
б) , , получаваме сериала , който се сближава
условно. Така областта на конвергенция е: , .

Отговор:област на конвергенция .

Пример 3Редете различни за всички , защото при , радиус на конвергенция .

Пример 4Серията се сближава за всички R, радиуса на сближаване .