Изчислете обема на тялото, образувано от въртене около оста. Как да изчислим обема на въртеливото тяло? Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртенето на плоска фигура около ос

Нека линията е ограничена. равнинната фигура е дадена в полярната координатна система.

Пример: Изчислете обиколката: x 2 +y 2 =R 2

Изчислете дължината на 4-та част от окръжността, разположена в I квадрант (х≥0, y≥0):

Ако уравнението на кривата е дадено в param-та форма:
, функциите x(t), y(t) са дефинирани и непрекъснати заедно с техните производни на интервала [α,β]. Производна, след което прави заместване във формулата:
и предвид това

получаваме
добавете множител
под знака на корена и накрая получаваме

Забележка: Дадена е равнинна крива, можете също да разгледате функция, дадена от параметри в пространството, след което функцията z=z(t) ще бъде добавена и формулата

Пример: Изчислете дължината на астроида, дадена от уравнението: x=a*cos 3 (t), y=a*sin 3 (t), a>0

Изчислете дължината на 4-тата част:

според формулата

Дължината на дъгата на равнинна крива, дадена в полярната координатна система:

Нека уравнението на кривата е дадено в полярната координатна система:
е непрекъсната функция, заедно с нейната производна върху сегмента [α,β].

Формули за преход от полярни координати:

се разглеждат като параметрични:

ϕ - параметър, съгласно ф-ле

Пример: Изчислете дължината на кривата:
>0

Z-tion: изчислете половината обиколка:

Обемът на тялото, изчислен от площта на напречното сечение на тялото.

Нека е дадено тяло, ограничено от затворена повърхност, и нека площта на всяко сечение от това тяло е известна с равнина, перпендикулярна на оста Ox. Тази зона ще зависи от позицията на режещата равнина.

нека цялото тяло е затворено между 2 равнини, перпендикулярни на оста x, пресичащи я в точки x=a, x=b (a

За да определим обема на такова тяло, ние го разделяме на слоеве, използвайки секущи равнини, перпендикулярни на оста Ox и пресичащи я в точки. Във всеки частичен интервал
. Да изберем

и за всяка стойност i=1,….,n построяваме цилиндрично тяло, чиято образуваща е успоредна на Ox, а водеща е контурът на сечението на тялото с равнината x=С i , обемът на такъв елементарен цилиндър с площ на основата S=C i и височина ∆х i . V i =S(C i)∆x i. Обемът на всички такива елементарни цилиндри ще бъде
. Границата на тази сума, ако съществува и е крайна при max ∆х  0, се нарича обем на даденото тяло.

. Тъй като V n е интегралната сума за функция S(x), непрекъсната на сегмент, тогава определената граница съществува (t-ma на съществуване) и се изразява чрез def. интегрална.

- обемът на тялото, изчислен от площта на напречното сечение.

Обем на тялото на въртене:

Нека тялото е образувано от въртене около оста Ox на криволинеен трапец, ограничен от графиката на функцията y=f(x), оста Ox и правите x=a, x=b.

Нека функцията y=f(x) е дефинирана и непрекъсната върху сегмента и неотрицателна върху него, тогава сечението на това тяло с равнина, перпендикулярна на Ox, е окръжност с радиус R=y(x)=f(x ) . Площта на кръга S (x) \u003d Py 2 (x) \u003d P 2. Заместване на формулата
получаваме формула за изчисляване на обема на въртящо се тяло около оста Ox:

Ако обаче криволинейният трапец се върти около оста Oy, ограничен от графика, непрекъсната върху функцията, тогава обемът на такова тяло на въртене:

Същият обем може да се изчисли по формулата:
. Ако линията е дадена чрез параметрични уравнения:

Чрез промяна на променливата получаваме:

Ако линията е дадена чрез параметрични уравнения:

y (α)= c , y (β)= d . Правейки промяната y = y (t), получаваме:

Изчислете телата на въртене около оста y на параболата, .

2) Изчислете V на тялото на въртене около оста OX на криволинеен трапец, ограничен от права линия y \u003d 0, дъга (с център в точка (1; 0) и радиус = 1), с .

Площ на повърхността на тялото на въртене

Нека дадената повърхност е образувана от въртенето на кривата y=f(x) около оста x. Необходимо е да се определи S на тази повърхност при .

Нека функцията y \u003d f (x) е определена и непрекъсната, има неотрицателни и неотрицателни във всички точки на сегмента [a; c]

Нека начертаем хорди, чиито дължини означаваме съответно (n-хорди)

според теоремата на Лагранж:

Площта на цялата описана прекъсната линия ще бъде равна на

Определение: границата на тази сума, ако е крайна, когато най-голямата връзка на полилинията max , се нарича площта на разглежданата повърхност на въртене.

Може да се докаже, че сто граница на сумата е равна на границата на интегралната сума за p-та

Формула за S повърхност на тяло на въртене =

S на повърхността, образувана от въртенето на дъгата на кривата x=g(x) около оста Oy при

Продължава с производната си

Ако кривата е зададена параметрично с ур-мих=x(t) ,г= T(T) функциих’(T), г’(T), х(T), г(T) са определени на сегмента [а; b], х(а)= а, х(b)= bслед което правите промяната на заместванетох= х(T)

Ако кривата е дадена параметрично, като направим промяна във формулата, получаваме:

Ако уравнението на кривата е дадено в полярната координатна система

Сповърхността на въртене около оста ще бъде равна на

С изключение намиране на площта на плоска фигура с помощта на определен интеграл (виж 7.2.3.)най-важното приложение на темата е изчисляване на обема на въртеливото тяло. Материалът е прост, но читателят трябва да бъде подготвен: необходимо е да можете да решите неопределени интегралисредна сложност и приложете формулата на Нютон-Лайбниц в определен интеграл, nНеобходими са и добри умения за чертане. Като цяло има много интересни приложения в интегралното смятане; използвайки определен интеграл, можете да изчислите площта на фигура, обема на въртящо се тяло, дължината на дъгата, повърхността на тялото и много повече. Представете си някаква плоска фигура в координатната равнина. Представено? ... Сега тази фигура също може да се завърта, и то по два начина:

- около оста x ;

- около оста y .

Нека да разгледаме и двата случая. Вторият метод на въртене е особено интересен, той причинява най-големи трудности, но всъщност решението е почти същото като при по-често срещаното въртене около оста x. Нека започнем с най-популярния тип ротация.

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртенето на плоска фигура около ос ОХ

Пример 1

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане на фигурата, ограничена с линии, около оста.

Решение:Както в проблема с намирането на областта, решението започва с чертеж на плоска фигура. Тоест в самолета XOYнеобходимо е да се изгради фигура, ограничена от линии, като не се забравя, че уравнението определя оста. Чертежът тук е доста прост:

Желаната плоска фигура е оцветена в синьо, тя е тази, която се върти около оста. В резултат на въртене се получава такава леко яйцевидна летяща чиния с два остри върха по оста. ОХ, симетричен спрямо оста ОХ. Всъщност тялото има математическо име, вижте в справочника.

Как да изчислим обема на въртеливото тяло? Ако тялото е образувано в резултат на въртене около осОХ, мислено се разделя на успоредни слоеве с малка дебелина dxкоито са перпендикулярни на оста ОХ. Обемът на цялото тяло очевидно е равен на сумата от обемите на такива елементарни слоеве. Всеки слой, подобно на кръгъл резен лимон, е висок нисък цилиндър dxи с основен радиус f(х). Тогава обемът на един слой е произведението на основната площ π f 2 до височината на цилиндъра ( dx), или π∙ f 2 (х)∙dx. И площта на цялото тяло на революция е сумата от елементарни обеми или съответния определен интеграл. Обемът на въртеливото тяло може да се изчисли по формулата:

Как да зададете границите на интеграция "a" и "be" е лесно да се познае от завършения чертеж. Функция... каква е тази функция? Да погледнем чертежа. Плоската фигура е ограничена от параболата отгоре. Това е функцията, която се подразбира във формулата. В практически задачи понякога плоска фигура може да бъде разположена под оста ОХ. Това не променя нищо - функцията във формулата е на квадрат: f 2 (х), По този начин, обемът на тялото на въртене винаги е неотрицателен, което е съвсем логично. Изчислете обема на тялото на въртене, като използвате тази формула:

Както вече отбелязахме, интегралът почти винаги се оказва прост, основното е да бъдете внимателни.

Отговор:

В отговора е необходимо да посочите размерността - кубични единици. Тоест в нашето тяло на въртене има приблизително 3,35 "кубчета". Защо точно кубичен единици? Защото това е най-универсалната формула. Може да има кубични сантиметри, може да има кубични метри, може да има кубични километри и т.н., ето колко малки зелени човечета въображението ви може да побере в една летяща чиния.

Пример 2

Намерете обема на тяло, образувано от въртене около ос ОХфигура, ограничена от линии , , .

Това е пример за „направи си сам“. Пълно решение и отговор в края на урока.

Пример 3

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане около абсцисната ос на фигурата, ограничена от линиите , , и .

Решение:Нека изобразим на чертежа плоска фигура, ограничена от линии , , , , като не забравяме, че уравнението х= 0 определя оста ой:

Желаната фигура е оцветена в синьо. Когато се върти около оста ОХсе оказва плосък ъглов багел (шайба с две конични повърхности).

Обемът на тялото на въртене се изчислява като разлика в обема на тялото. Първо, нека разгледаме фигурата, която е оградена в червено. Когато се върти около оста ОХкоето води до пресечен конус. Нека обозначим обема на този пресечен конус като V 1 .

Помислете за фигурата, която е оградена в зелено. Ако завъртим тази фигура около оста ОХ, тогава получавате и пресечен конус, само малко по-малък. Нека означим неговия обем с V 2 .

Очевидно разликата в обема V = V 1 - V 2 е обемът на нашата "поничка".

Използваме стандартната формула за намиране на обема на въртящо се тяло:

1) Фигурата, оградена в червено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

2) Фигурата, оградена в зелено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

3) Обемът на желаното тяло на въртене:

Отговор:

Любопитно е, че в този случай решението може да се провери с помощта на училищната формула за изчисляване на обема на пресечен конус.

Самото решение често се прави по-кратко, нещо подобно:

Определение 3. Въртящо тяло е тяло, получено чрез въртене на плоска фигура около ос, която не пресича фигурата и лежи в една равнина с нея.

Оста на въртене също може да пресича фигурата, ако е оста на симетрия на фигурата.

Теорема 2.
, ос
и прави сегменти
И

се върти около ос
. Тогава обемът на полученото тяло на въртене може да се изчисли по формулата

(2)

Доказателство. За такова тяло сечението с абсцисата е кръг с радиус
, Средства
и формула (1) дава желания резултат.

Ако фигурата е ограничена от графиките на две непрекъснати функции
И
, и сегменти от линия
И
, освен това
И
, то при въртене около абсцисната ос се получава тяло, чийто обем

Пример 3 Изчислете обема на тор, получен при въртене на окръжност, ограничена от окръжност

около оста x.

Р решение. Посочената окръжност е ограничена отдолу от графиката на функцията
, и отгоре -
. Разликата на квадратите на тези функции:

Желан обем

(графиката на интегранд е горният полукръг, така че интегралът, написан по-горе, е площта на полукръга).

Пример 4 Параболичен сегмент с основа
, и височина , се върти около основата. Изчислете обема на полученото тяло ("лимон" на Кавалиери).

Р решение. Поставете параболата, както е показано на фигурата. Тогава неговото уравнение
, и
. Нека намерим стойността на параметъра :
. И така, желаният обем:

Теорема 3. Нека криволинейният трапец е ограничен от графиката на непрекъсната неотрицателна функция
, ос
и прави сегменти
И
, освен това
, се върти около ос
. Тогава обемът на полученото тяло на въртене може да се намери по формулата

(3)

доказателствена идея. Разделяне на сегмента
точки

, на части и начертайте прави линии
. Целият трапец ще се разложи на ленти, които могат да се считат приблизително за правоъгълници с основа
и височина
.

Цилиндърът, получен в резултат на въртенето на такъв правоъгълник, се нарязва по протежение на генератора и се разгъва. Получаваме "почти" паралелепипед с размери:
,
И
. Обемът му
. Така че за обема на едно въртящо се тяло ще имаме приблизително равенство

За да получим точно равенство, трябва да преминем към границата при
. Сумата, написана по-горе, е интегралната сума за функцията
, следователно в границата получаваме интеграла от формула (3). Теоремата е доказана.

Забележка 1. В теореми 2 и 3 условието
може да се пропусне: формула (2) обикновено е нечувствителна към знака
, а във формула (3) е достатъчно
заменен от
.

Пример 5 Параболичен сегмент (основа
, височина ) се върти около височината. Намерете обема на полученото тяло.

Решение. Подредете параболата, както е показано на фигурата. И въпреки че оста на въртене пресича фигурата, тя - оста - е оста на симетрия. Следователно трябва да се вземе предвид само дясната половина на сегмента. Уравнение на парабола
, и
, Средства
. Имаме за обем:

Забележка 2. Ако криволинейната граница на криволинейния трапец е дадена от параметричните уравнения
,
,
И
,
тогава формули (2) и (3) могат да се използват със замяната На
И
На
когато се промени Tот
преди .

Пример 6 Фигурата е ограничена от първата дъга на циклоидата
,
,
, и абсцисната ос. Намерете обема на тялото, получено при завъртане на тази фигура около: 1) оста
; 2) оси
.

Решение. 1) Обща формула
В нашия случай:

2) Обща формула
За нашата фигура:

Ние насърчаваме учениците сами да правят всички изчисления.

Забележка 3. Нека криволинеен сектор, ограничен от непрекъсната линия
и лъчи
,

, се върти около полярната ос. Обемът на полученото тяло може да се изчисли по формулата.

Пример 7 Част от фигура, ограничена от кардиоида
, лежащ извън кръга
, се върти около полярната ос. Намерете обема на полученото тяло.

Решение. И двете линии, а оттам и фигурата, която те ограничават, са симетрични спрямо полярната ос. Следователно е необходимо да се разгледа само частта, за която
. Кривите се пресичат при
И

при
. Освен това фигурата може да се разглежда като разликата на два сектора и следователно обемът може да се изчисли като разликата на два интеграла. Ние имаме:

Задачи за независимо решение.

1. Окръжен сегмент, чиято основа
, височина , се върти около основата. Намерете обема на тялото на въртене.

2. Намерете обема на параболоид на въртене, чиято основа , а височината е .

3. Фигура, ограничена от астроид
,
се върти около оста x. Намерете обема на тялото, което се получава в този случай.

4. Фигура, ограничена с линии
И
се върти около оста x. Намерете обема на тялото на въртене.

Използване на интеграли за намиране на обеми на въртеливото тяло

Практическата полезност на математиката се дължи на факта, че без

специфичните математически познания затрудняват разбирането на принципите на устройството и използването на съвременни технологии. Всеки човек в живота си трябва да извършва доста сложни изчисления, да използва често използвано оборудване, да намира необходимите формули в справочници и да съставя прости алгоритми за решаване на проблеми. В съвременното общество все повече специалности, които изискват високо ниво на образование, се свързват с директното приложение на математиката. Така за ученик математиката се превръща в професионално значим предмет. Водещата роля принадлежи на математиката във формирането на алгоритмично мислене, възпитава способността да се действа по даден алгоритъм и да се проектират нови алгоритми.

Изучавайки темата за използването на интеграла за изчисляване на обемите на телата на революция, предлагам на учениците в факултативните часове да разгледат темата: „Обеми на телата на революция с помощта на интеграли“. Ето някои насоки за справяне с тази тема:

1. Площта на плоска фигура.

От курса по алгебра знаем, че проблемите от практическо естество са довели до концепцията за определен интеграл. Един от тях е изчисляване на площта на плоска фигура, ограничена от непрекъсната линия y=f(x) (където f(x)DIV_ADBLOCK243">

Изчислете площта на криволинейния трапец, като използвате формулата, ако основата на трапеца лежи на оста x или като използвате формулата https://pandia.ru/text/77/502/images/image004_49.jpg" width= "526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

За да намерим обема на въртящо се тяло, образувано от въртенето на криволинейния трапец около оста Ox, ограничен от начупена линия y=f(x), оста Ox, прави x=a и x=b, изчисляваме по формулата

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Обемът на цилиндъра.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Конусът се получава чрез завъртане правоъгълен триъгълник ABC(C=90) около оста Ox, на която лежи кракът AC.

Отсечката AB лежи на правата y=kx+c, където https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Нека a=0, b=H (H е височината на конуса), тогава Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Обемът на пресечен конус.

Чрез въртене може да се получи пресечен конус правоъгълен трапец ABCD (CDOx) около оста Ox.

Отсечката AB лежи на правата y=kx+c, където , c=r.

Тъй като правата минава през точката A (0; r).

Така правата линия изглежда така https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Нека a=0, b=H (H е височината на пресечения конус), тогава https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Обемът на топката.

Топката може да бъде получена чрез завъртане на кръг с център (0;0) около оста x. Полукръгът, разположен над оста x, е даден от уравнението

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

I. Обем на телата на въртене. Предварително изучете глава XII, стр. 197, 198, според учебника на Г. М. Фихтенгольц * Анализирайте подробно примерите, дадени в стр. 198.

508. Изчислете обема на тялото, образувано от въртенето на елипсата около оста x.

По този начин,

530. Намерете площта на повърхността, образувана от въртенето около оста Ox на дъгата на синусоидата y \u003d sin x от точката X \u003d 0 до точката X = It.

531. Изчислете повърхността на конус с височина h и радиус r.

532. Изчислете повърхността, образувана от

въртене на астроида x3 -) - y* - a3 около оста x.

533. Изчислете площта на повърхността, образувана от обръщането на цикъла на кривата 18 y-x(6-x)r около оста x.

534. Намерете повърхността на тора, получена от въртенето на окръжността X2 - j - (y-3)2 = 4 около оста x.

535. Изчислете площта на повърхността, образувана от въртенето на кръга X = a cost, y = asint около оста Ox.

536. Изчислете площта на повърхността, образувана от въртенето на цикъла на кривата x = 9t2, y = St - 9t3 около оста Ox.

537. Намерете площта на повърхността, образувана от въртенето на дъгата на кривата x = e * sint, y = el cost около оста Ox

от t = 0 до t = -.

538. Покажете, че повърхността, получена от въртенето на дъгата на циклоидата x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) около оста Oy, е равна на 16 u2 o2.

539. Намерете повърхността, получена при въртене на кардиоида около полярната ос.

540. Намерете площта на повърхността, образувана от въртенето на лемниската около полярната ос.