11.1. 기본 개념

현재 좌표를 기준으로 2차 방정식으로 정의된 선을 고려해 보겠습니다.

방정식의 계수는 실수이지만 숫자 A, B, C 중 적어도 하나는 0이 아닙니다. 이러한 선을 2차 선(곡선)이라고 합니다. 아래에서는 방정식 (11.1)이 평면의 원, 타원, 쌍곡선 또는 포물선을 정의한다는 것이 확립되었습니다. 이 설명으로 넘어가기 전에 나열된 곡선의 속성을 살펴보겠습니다.

11.2. 원

가장 간단한 2차 곡선은 원입니다. 점을 중심으로 하는 반지름 R의 원은 조건 을 만족하는 평면의 모든 점 M의 집합이라는 것을 기억하세요. 직교 좌표계의 한 점에 좌표 x 0, y 0 및 - 원 위의 임의의 점이 있다고 가정합니다(그림 48 참조).

그런 다음 조건으로부터 방정식을 얻습니다.

(11.2)

식 (11.2)는 주어진 원 위의 임의 점의 좌표로 만족되고 원 위에 있지 않은 점의 좌표로는 만족되지 않습니다.

식 (11.2)는 다음과 같다. 표준 방정식원

특히, 과 를 설정하면 중심을 원점으로 하는 원의 방정식을 구합니다. .

간단한 변환 후의 원 방정식(11.2)은 다음과 같은 형식을 취합니다. 이 방정식을 다음과 비교할 때 일반 방정식 2차 곡선의 (11.1)을 보면 원 방정식의 경우 두 가지 조건이 충족된다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

1) x 2와 y 2의 계수는 서로 동일합니다.

2) 현재 좌표의 곱 xy를 포함하는 멤버가 없습니다.

반대 문제를 생각해 봅시다. 값을 방정식 (11.1)에 넣으면

이 방정식을 변형해 보겠습니다.

(11.4)

방정식 (11.3)은 다음 조건 하에서 원을 정의합니다. . 그 중심은 지점에 있다 , 그리고 반경

.

만약에 , 방정식 (11.3)은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

.

단일점의 좌표로 만족 . 이 경우 그들은 "원이 점으로 변질되었습니다"(반경이 0임)라고 말합니다.

만약에 , 그런 다음 방정식 (11.4) 및 등가 방정식 (11.3)은 방정식 (11.4)의 오른쪽이 음수이고 왼쪽이 음수가 아니기 때문에 선을 정의하지 않습니다 (예 : "가상 원").

11.3. 타원

표준 타원 방정식

타원 는 평면의 모든 점의 집합으로, 각 점에서 이 평면의 주어진 두 점까지의 거리의 합입니다. 트릭 는 초점 사이의 거리보다 큰 상수 값입니다.

초점을 다음과 같이 표시하겠습니다. F 1그리고 F 2, 그들 사이의 거리는 2이다 씨, 그리고 타원의 임의 지점에서 초점까지의 거리의 합 - 2 ㅏ(그림 49 참조) 정의에 따르면 2 ㅏ > 2씨, 즉. ㅏ > 씨.

타원 방정식을 도출하기 위해 초점이 다음과 같은 좌표계를 선택합니다. F 1그리고 F 2축 위에 놓여 있고 원점은 세그먼트의 중간과 일치합니다. 여 1 여 2. 그러면 초점은 다음 좌표를 갖게 됩니다: 및 .

타원의 임의의 점이라고 하자. 그런 다음 타원의 정의에 따라, 즉

이것은 본질적으로 타원의 방정식입니다.

방정식 (11.5)를 다음과 같이 더 간단한 형태로 변환해 보겠습니다.

왜냐하면 ㅏ>와 함께, 저것 . 넣어보자

(11.6)

그런 다음 마지막 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

(11.7)

방정식 (11.7)이 원래 방정식과 동일하다는 것이 입증될 수 있습니다. 그것은 ~라고 불린다 표준 타원 방정식 .

타원은 2차 곡선입니다.

방정식을 이용한 타원의 모양 연구

표준 방정식을 사용하여 타원의 모양을 설정해 보겠습니다.

1. 방정식 (11.7)은 짝수 거듭제곱으로만 x와 y를 포함하므로 점이 타원에 속하면 점 ,,도 여기에 속합니다. 타원은 및 축뿐만 아니라 타원의 중심이라고 불리는 점에 대해서도 대칭입니다.

2. 타원과 좌표축의 교차점을 찾습니다. 을 넣으면 축이 타원과 교차하는 두 점과 를 찾습니다(그림 50 참조). 방정식 (11.7)을 입력하면 타원과 축의 교차점을 찾습니다. 및 . 포인트들 ㅏ 1 , A 2 , 비 1, 비 2호출된다 타원의 꼭지점. 세그먼트 ㅏ 1 A 2그리고 비 1 비 2, 길이 2 ㅏ그리고 2 비그에 따라 호출됩니다 주요 축과 보조 축타원. 숫자 ㅏ그리고 비각각 크고 작은 것으로 불린다. 액슬 샤프트타원.

3. 방정식 (11.7)에서 왼쪽의 각 항은 1을 초과하지 않습니다. 즉, 불평등 및 또는 및가 발생합니다. 결과적으로 타원의 모든 점은 직선으로 형성된 직사각형 내부에 놓입니다.

4. 식 (11.7)에서 음이 아닌 항의 합과 는 1과 같습니다. 결과적으로 한 항이 증가하면 다른 항은 감소합니다. 즉, 증가하면 감소하고 그 반대도 마찬가지입니다.

위에서부터 타원은 그림 1에 표시된 모양을 갖습니다. 50(타원형 폐곡선).

추가 정보타원에 대해서

타원의 모양은 비율에 따라 달라집니다. 타원이 원으로 바뀌면 타원 방정식(11.7)은 다음과 같은 형식을 취합니다. 비율은 종종 타원의 모양을 특성화하는 데 사용됩니다. 초점과 타원의 장반경 사이 거리의 절반 비율을 타원의 이심률이라고 하며 o6o는 문자 ε("엡실론")으로 표시됩니다.

0으로<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

이는 타원의 이심률이 작을수록 타원이 덜 편평해진다는 것을 보여줍니다. ε = 0으로 설정하면 타원은 원으로 변합니다.

M(x;y)를 초점 F 1 및 F 2 를 갖는 타원의 임의 지점으로 설정합니다(그림 51 참조). 세그먼트 F 1 M = r 1 및 F 2 M = r 2의 길이를 점 M의 초점 반경이라고 합니다. 확실히,

수식은 유지

직통 전화가 호출됩니다.

정리 11.1.가 타원의 임의 점에서 일부 초점까지의 거리이고 d가 동일한 점에서 이 초점에 해당하는 준선까지의 거리이면 비율은 타원의 이심률과 동일한 상수 값입니다.

평등(11.6)으로부터 다음과 같습니다. 그렇다면 방정식 (11.7)은 장축이 Oy 축에 있고 단축이 Ox 축에 있는 타원을 정의합니다(그림 52 참조). 이러한 타원의 초점은 점 및 에 있습니다. 여기서 .

11.4. 쌍곡선

정식 쌍곡선 방정식

과장법 는 평면의 모든 점의 집합으로, 각 점에서 이 평면의 주어진 두 점까지의 거리 차이를 모듈러스라고 합니다. 트릭 는 초점 사이의 거리보다 작은 상수 값입니다.

초점을 다음과 같이 표시하겠습니다. F 1그리고 F 2그들 사이의 거리는 2초, 그리고 쌍곡선의 각 점에서 초점까지의 거리 차이의 계수는 다음과 같습니다. 2a. 우선순위 2a < 2초, 즉. ㅏ < 씨.

쌍곡선 방정식을 도출하기 위해 초점이 다음과 같은 좌표계를 선택합니다. F 1그리고 F 2축 위에 놓여 있고 원점은 세그먼트의 중간과 일치합니다. 여 1 여 2(그림 53 참조) 그러면 초점은 좌표를 갖게 되며

쌍곡선의 임의의 점이라고 하자. 그러면 쌍곡선의 정의에 따라 또는 즉, 타원 방정식을 유도할 때와 같이 단순화한 후 다음을 얻습니다. 표준 쌍곡선 방정식

(11.9)

(11.10)

쌍곡선은 2차 직선입니다.

방정식을 사용하여 쌍곡선의 모양 연구

쌍곡선 방정식을 사용하여 쌍곡선의 형태를 확립해 보겠습니다.

1. 방정식 (11.9)에는 짝수 거듭제곱의 x와 y만 포함됩니다. 결과적으로 쌍곡선은 축과 에 대해 대칭이고 점에 대해서도 대칭입니다. 쌍곡선의 중심.

2. 쌍곡선과 좌표축의 교차점을 찾습니다. 방정식 (11.9)을 입력하면 쌍곡선과 축의 두 교차점을 찾습니다. (11.9)를 대입하면 , 이는 불가능합니다. 따라서 쌍곡선은 Oy 축과 교차하지 않습니다.

포인트라고 합니다 봉우리 쌍곡선 및 세그먼트

실제 축 , 선분 - 실제 반축 과장법.

점들을 연결하는 선분을 이라고 합니다. 가상축 , 번호 b - 가상 반축 . 측면이 있는 직사각형 2a그리고 2b~라고 불리는 쌍곡선의 기본 직사각형 .

3. 방정식 (11.9)에서 피감수는 1보다 작지 않습니다. 즉, 또는 입니다. 이는 쌍곡선의 점이 선의 오른쪽(쌍곡선의 오른쪽 가지)과 선의 왼쪽(쌍곡선의 왼쪽 가지)에 위치한다는 것을 의미합니다.

4. 쌍곡선의 방정식 (11.9)에서 증가하면 증가한다는 것이 분명합니다. 이는 차이가 1과 같은 일정한 값을 유지한다는 사실에서 비롯됩니다.

위에서부터 쌍곡선은 그림 54(두 개의 무제한 가지로 구성된 곡선)에 표시된 형태를 갖습니다.

쌍곡선의 점근선

직선 L을 점근선이라 부른다. 원점에서 곡선 K를 따라 점 M까지의 거리가 무제한일 때 곡선 K의 점 M에서 이 직선까지의 거리 d가 0이 되는 경향이 있는 경우 무한 곡선 K의 그림 55는 점근선의 개념을 보여줍니다. 직선 L은 곡선 K에 대한 점근선입니다.

쌍곡선에 두 개의 점근선이 있음을 보여드리겠습니다:

(11.11)

직선(11.11)과 쌍곡선(11.9)은 좌표축을 기준으로 대칭이므로 1/4에 위치한 표시된 선의 점만 고려하면 충분합니다.

쌍곡선의 점과 가로좌표 x가 동일한 직선 위의 점 N을 취하겠습니다. (그림 56 참조) 그리고 직선의 세로 좌표와 쌍곡선 가지 사이의 차이 ΜΝ를 구합니다.

보시다시피, x가 증가함에 따라 분수의 분모도 증가합니다. 분자는 상수 값입니다. 따라서 세그먼트의 길이는 ΜΝ는 0이 되는 경향이 있습니다. MΝ는 점 M에서 선까지의 거리 d보다 크므로 d는 0이 되는 경향이 있습니다. 따라서 선은 쌍곡선(11.9)의 점근선입니다.

쌍곡선(11.9)을 구성할 때 먼저 쌍곡선의 주 직사각형을 구성하고(그림 57 참조) 이 직사각형의 반대쪽 꼭지점을 통과하는 직선(쌍곡선의 점근선)을 그리고 꼭지점을 표시하는 것이 좋습니다. 쌍곡선의.

등변 쌍곡선의 방정식.

점근선은 좌표축입니다

쌍곡선(11.9)은 반축이 ()와 같을 경우 등변형이라고 합니다. 표준 방정식

(11.12)

등변 쌍곡선의 점근선은 방정식을 가지므로 좌표각의 이등분선입니다.

좌표축을 각도만큼 회전하여 이전 좌표계에서 얻은 새 좌표계(그림 58 참조)에서 이 쌍곡선의 방정식을 고려해 보겠습니다. 좌표축 회전에 대한 공식을 사용합니다.

x와 y의 값을 방정식 (11.12)으로 대체합니다.

Ox와 Oy 축이 점근선인 등변 쌍곡선의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

과장법에 대한 추가 정보

이심률 쌍곡선 (11.9)은 초점 사이의 거리와 쌍곡선의 실제 축 값의 비율이며 ε으로 표시됩니다.

쌍곡선 의 경우 쌍곡선의 이심률은 1보다 큽니다. 이심률은 쌍곡선의 모양을 특징으로 합니다. 실제로 평등(11.10)에 따르면 다음과 같습니다. 그리고 .

이것으로부터 쌍곡선의 이심률이 작을수록 반축의 비율이 작아지고 따라서 주 직사각형이 더 길어진다는 것을 알 수 있습니다.

정쌍곡선의 이심률은 입니다. 정말,

초점 반경 그리고 오른쪽 가지의 점에 대한 쌍곡선은 과 , 왼쪽 가지의 경우 - 그리고 .

직선을 쌍곡선의 방향선이라고 합니다. 쌍곡선 ε > 1이므로 . 이는 오른쪽 방향선이 쌍곡선의 중심과 오른쪽 꼭지점 사이에 위치하고, 왼쪽 방향선이 중심과 왼쪽 꼭지점 사이에 위치함을 의미합니다.

쌍곡선의 방향선은 타원의 방향선과 동일한 속성을 갖습니다.

방정식에 의해 정의된 곡선은 또한 쌍곡선이며, 실수축 2b는 Oy축에 위치하고 허수축 2는 ㅏ- 황소 축. 그림 59에서는 점선으로 표시되어 있습니다.

쌍곡선이 공통 점근선을 갖는다는 것은 명백합니다. 이러한 쌍곡선을 공액이라고 합니다.

11.5. 포물선

표준 포물선 방정식

포물선은 평면의 모든 점의 집합으로, 각 점은 초점이라고 하는 주어진 점과 준선이라고 하는 주어진 선에서 동일하게 떨어져 있습니다. 초점 F에서 준선까지의 거리를 포물선 매개변수라고 하며 p(p > 0)로 표시합니다.

포물선의 방정식을 도출하기 위해 Ox 축이 준선에서 F 방향으로 준선에 수직인 초점 F를 통과하고 좌표 O의 원점이 두 축 사이의 중간에 위치하도록 좌표계 Oxy를 선택합니다. 초점과 방향선(그림 60 참조). 선택한 시스템에서 초점 F는 좌표 를 가지며 준선 방정식은 , 또는 의 형식을 갖습니다.

1. 방정식 (11.13)에서 변수 y는 짝수 각도로 나타납니다. 이는 포물선이 Ox 축에 대해 대칭임을 의미합니다. Ox 축은 포물선의 대칭 축입니다.

2. ρ > 0이므로 (11.13)에서 다음과 같습니다. 결과적으로 포물선은 Oy 축의 오른쪽에 위치합니다.

3. y = 0일 때. 따라서 포물선은 원점을 통과합니다.

4. x가 무한정 증가함에 따라 모듈 y도 무한정 증가합니다. 포물선은 그림 61에 표시된 형태(모양)를 갖습니다. 점 O(0; 0)을 포물선의 정점이라고 하고, 세그먼트 FM = r을 점 M의 초점 반경이라고 합니다.

방정식 , , ( p>0) 또한 포물선을 정의하며 그림 62에 나와 있습니다.

, B 및 C가 임의의 실수인 ​​이차 삼항식의 그래프가 위에 주어진 정의의 의미에서 포물선임을 보여주는 것은 쉽습니다.

11.6. 2차선의 일반 방정식

좌표축에 평행한 대칭축을 갖는 2차 곡선의 방정식

먼저 점에 중심을 두고 대칭축이 좌표축 Ox 및 Oy에 평행하고 반축이 각각 동일한 타원의 방정식을 찾아보겠습니다. ㅏ그리고 비. 타원 O 1의 중심에 축과 반축이 있는 새로운 좌표계의 시작점을 배치하겠습니다. ㅏ그리고 비(그림 64 참조):

마지막으로 그림 65에 표시된 포물선에는 해당 방정식이 있습니다.

방정식

타원, 쌍곡선, 포물선의 방정식과 변환 후 원의 방정식(괄호 열기, 방정식의 모든 항을 한쪽으로 이동, 유사한 항 가져오기, 계수에 대한 새로운 표기법 도입)은 다음의 단일 방정식을 사용하여 작성할 수 있습니다. 형태

여기서 계수 A와 C는 동시에 0이 아닙니다.

질문이 생깁니다: (11.14) 형식의 모든 방정식이 2차 곡선(원, 타원, 쌍곡선, 포물선) 중 하나를 결정합니까? 답은 다음 정리에 의해 제공됩니다.

정리 11.2. 방정식 (11.14)은 항상 다음을 정의합니다: 원(A = C의 경우), 타원(A C > 0의 경우) 또는 쌍곡선(A C의 경우)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

일반 2차 방정식

이제 두 개의 미지수를 갖는 2차 일반 방정식을 고려해 보겠습니다.

좌표(B1 0)의 곱을 포함하는 항이 존재한다는 점에서 방정식 (11.14)과 다릅니다. 각도 a만큼 좌표축을 회전함으로써 좌표 곱이 포함된 항이 없도록 이 방정식을 변환하는 것이 가능합니다.

축 회전 수식 사용

새로운 좌표로 이전 좌표를 표현해 보겠습니다.

x" · y"에 대한 계수가 0이 되도록, 즉 평등이 되도록 각도 a를 선택합시다.

따라서 조건 (11.17)을 만족하는 각도 a 만큼 축을 회전시키면 식 (11.15)는 식 (11.14)로 축소된다.

결론: 일반적인 2차 방정식(11.15)은 평면에서 다음 곡선을 정의합니다(변형 및 붕괴의 경우 제외): 원, 타원, 쌍곡선, 포물선.

참고: A = C이면 방정식 (11.17)은 의미가 없습니다. 이 경우 cos2α = 0((11.16) 참조), 2α = 90°, 즉 α = 45°입니다. 따라서 A = C일 때 좌표계는 45° 회전되어야 합니다.

(MIF-2, No. 3, 2005)

비행기의 2차 주문 라인

P. 1. 두 번째 주문 라인의 정의

직사각형 직교 좌표계(XOY)가 지정된 평면을 생각해 보세요. 그런 다음 임의의 점 M은 좌표(x, y)에 의해 고유하게 결정됩니다. 또한 숫자 쌍(x, y)은 평면의 특정 지점을 정의합니다. 점의 좌표는 특정 조건(예: 미지수(x, y)에 대한 일부 방정식 f(x, y) = 0)을 충족할 수 있습니다. 이 경우 그들은 방정식 f(x, y)=0이 평면의 특정 형상을 정의한다고 말합니다. 예를 살펴 보겠습니다.

예시 1.기능을 고려하십시오 와이= 에프( 엑스). 이 함수 그래프의 점 좌표는 다음 방정식을 만족합니다. 와이– 에프( 엑스) = 0.

예시 2.방정식 (*), 여기서 ㅏ, 비, 씨– 일부 숫자는 평면의 특정 직선을 정의합니다. ((*) 형식의 방정식을 호출합니다. 선의).

예시 3.쌍곡선 그래프는 좌표가 https://pandia.ru/text/80/134/images/image004_92.gif" width="161" height="25"> 방정식을 충족하는 점으로 구성됩니다.

정의 1. 형식의 방정식(**), 여기서 계수 중 하나 이상이 DIV_ADBLOCK53">

우리는 기하학과 물리적 특성위에서 언급한 라인. 타원부터 시작해 보겠습니다.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image008_54.gif" width="79" height="44 src="> (1).

방정식 (1)은 다음과 같이 호출됩니다. 표준적인타원의 방정식.

타원의 모양은 그림 1에서 판단할 수 있습니다.

넣어 보자. 포인트라고 합니다 트릭타원. 트릭과 관련된 흥미로운 속성이 많이 있으며, 이에 대해서는 아래에서 논의하겠습니다.

정의 4. 과장법 모든 점의 좌표가 다음 방정식을 만족하는 평면 위의 도형입니다.

(2).

방정식 (2)는 다음과 같습니다. 표준적인쌍곡선 방정식. 쌍곡선의 유형은 그림 2에서 판단할 수 있습니다.

넣어 보자. 포인트라고 합니다 트릭과장법. 매개변수 ㅏ~라고 불리는 유효한, 그리고 매개변수 비- 가상의 반축쌍곡선은 각각 황소– 진짜, 그리고 오– 쌍곡선의 허수축.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image016_34.gif" width="61" height="41">라고 합니다. 점근선. ~에 큰 값매개변수 엑스점근선의 점은 무한히 가까운 쌍곡선의 가지에 접근합니다. 그림 2에서 점근선은 점선으로 표시됩니다.

정의 5. 포물선은 모든 점의 좌표가 다음 방정식을 만족하는 평면 위의 도형입니다.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image018_28.gif" width="47" height="45 src=">.

P. 3. LVP 포커스의 속성

A.2의 각 LVP에 대해. 특별한 포인트가 표시되었습니다 - 트릭. 이러한 점은 타원, 쌍곡선, 포물선의 중요한 특성을 설명하는 데 큰 역할을 합니다. 우리는 이러한 속성을 정리의 형태로 공식화합니다.

정리. 1. 타원은 점들의 집합이다중, 이 점에서 초점까지의 거리의 합은 2와 같습니다.ㅏ:

https://pandia.ru/text/80/134/images/image020_26.gif" width="115" height="23 src="> (5).

포물선에 대한 유사한 속성을 공식화하기 위해 우리는 다음을 정의합니다. 여자 교장. 똑바르다 디, 방정식 https://pandia.ru/text/80/134/images/image022_23.gif" width="103" height="21 src="> (6)로 제공됩니다.

P. 4. 초점과 접선

https://pandia.ru/text/80/134/images/image024_24.gif" align="right" width="322" height="386 src=">.gif" width="52" height="24 src=">는 해당 HDL에 속합니다. 다음은 이 점을 통과하는 접선에 대한 방정식입니다.

– 타원의 경우, (7)

– 과장법의 경우, (8)

- 포물선의 경우. (9)

타원이나 쌍곡선을 사용하여 두 초점에서 접선 지점까지 세그먼트를 그리는 경우(이들을 호출합니다.) 초점 반경포인트) 그러면 놀라운 사실이 드러날 것입니다 재산(그림 5 및 6 참조): 초점 반경은 이 지점에 그려진 접선과 동일한 각도를 형성합니다.

이 속성은 흥미로운 물리적 해석을 가지고 있습니다. 예를 들어, 타원의 윤곽이 대칭된다고 생각하면 하나의 초점에 위치한 점 광원의 광선은 회로 벽에서 반사된 후 반드시 두 번째 초점을 통과합니다..

큰 실제 사용포물선에 대해 유사한 특성을 얻었습니다. 사실은 포물선의 임의 점의 초점 반경은 이 점에 그려진 접선과 각도가 접선과 포물선 축 사이의 각도와 같습니다..

물리적으로 이는 다음과 같이 해석됩니다. 포물선의 초점에 위치한 점의 광선은 벽에서 반사된 후 포물선의 대칭축에 평행하게 전파됩니다.. 이것이 랜턴과 스포트라이트의 거울이 포물선 모양을 갖는 이유입니다. 그건 그렇고, 포물선 축과 평행 한 빛의 흐름 (전파)이 들어 오면 벽에서 반사 된 후 모든 광선이 초점을 통과합니다. 레이더뿐만 아니라 우주 통신국도 이 원리에 따라 작동합니다.

P. 5. 좀 더 물리학

HDL은 물리학과 천문학에서 널리 사용됩니다. 따라서 상대적으로 가벼운 몸체(예: 위성)가 LVP 중 하나를 나타내는 궤적을 따라 더 무거운 몸체(행성 또는 별)의 중력장에서 움직이는 것으로 나타났습니다. 이 경우 더 큰 몸체가 이 궤적의 초점이 됩니다.

처음으로 이러한 특성이 자세히 연구되었습니다. 요하네스 케플러 그리고 그 법칙을 케플러의 법칙이라고 불렀습니다.

10학년 학생을 위한 시험 1번

자가 테스트 질문(작업당 5점)

M.10.1.1. HDL을 정의합니다. LVP를 정의하는 방정식의 몇 가지 예를 들어보세요.

M.10.1.2. a) 타원, b) 쌍곡선의 초점 좌표를 계산합니다. ㅏ=13, 비=5.

M.10.1.3.이 선이 좌표 (5, 6) 및 (-8, 7)을 갖는 점을 통과하는 것으로 알려진 경우 a) 타원, b) 쌍곡선의 표준 방정식을 작성하십시오.

M.10.1.4.방정식 (9)에 의해 주어진 직선이 실제로 좌표가 있는 점에서만 방정식 (3)에 의해 주어진 포물선과 교차하는지 확인하십시오. ( 메모: 먼저 접선 방정식을 포물선 방정식에 대입한 다음 결과 이차 방정식의 판별식이 0인지 확인합니다..)

M.10.1.5.좌표가 있는 점에서 실수 반축 8과 허수 반축 – 4를 사용하여 쌍곡선의 접선에 대한 방정식을 작성합니다. 엑스=11은 점의 두 번째 좌표가 음수인 경우입니다.

실무(10점)

M.10.1.6.다음에 따라 여러 타원을 구성합니다. 다음 방법으로: 종이 한 장을 합판에 고정하고 두 개의 단추를 종이에 붙입니다(완전히 붙이지는 않음). 실 한 조각을 가져다가 끝을 묶습니다. 결과 루프를 두 버튼 (미래 타원의 초점) 위에 던지고 날카로운 연필 끝으로 실을 당기고 조심스럽게 선을 그려 실이 팽팽한 지 확인하십시오. 루프의 크기를 변경하면 여러 공초점 타원을 만들 수 있습니다. 정리 1을 사용하여 결과 선이 실제로 타원임을 설명하고 단추 사이의 거리와 스레드 길이를 알면 타원의 반축을 계산할 수 있는 방법을 설명하십시오.

성적 증명서

1 평면의 2차 라인 챕터 1. 타원, 쌍곡선, 포물선 정의. 타원은 주어진 두 점 F1과 F까지의 거리의 합이 F1과 F 사이의 거리를 초과하는 상수 값인 평면의 모든 점의 집합입니다. M(, x) F 1 О F x 그림. 점 F1과 F를 타원의 초점이라고 하며, 두 점 사이의 거리 FF1이 초점 거리이며 c로 표시됩니다. 점 M이 타원에 속한다고 가정합니다. 세그먼트 F1 M과 F M을 점 M의 초점 반경이라고 합니다. F1F = c로 둡니다. 정의에 따르면 a > c. 초점 F 1과 F가 원점을 기준으로 대칭적으로 가로축에 위치하는 직사각형 직교 좌표계 Ox를 고려해 보겠습니다. 이 좌표계에서 타원은 표준 방정식: x + = 1, a b 1로 설명됩니다.

2. 여기서 b= a c 매개변수 a와 b는 각각 타원의 주요 반축과 보조 반축이라고 합니다. 타원의 이심률은 숫자 ε이며, 이는 초점 거리의 절반과 장반경 축의 비율과 같습니다. ε =. 타원 a의 이심률은 부등식 0 ε을 충족합니다.< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 쌍곡선의 정식 방정식은 x a = b 1,의 형식을 갖습니다. 여기서 b= c a 숫자 a와 b는 각각 쌍곡선의 실수 반축과 허수 반축이라고 합니다. 점의 부등식으로 정의된 영역 내부에는 쌍곡선이 없습니다. x a b 정의. 쌍곡선의 점근선은 방정식 = x, = x로 주어진 직선 b b입니다. a a 쌍곡선의 점 M(x,)의 초점 반경은 공식 r 1 = ε x a, r = ε x+ a를 사용하여 찾을 수 있습니다. 타원과 마찬가지로 쌍곡선의 이심률은 공식 ε =에 의해 결정됩니다. 쌍곡선의 이심률에 대해 부등식 ε a >1이 참인지 확인하는 것은 쉽습니다. 정의. 포물선은 주어진 점 F까지의 거리가 점 F를 통과하지 않는 주어진 직선 d까지의 거리와 동일한 평면의 모든 점의 집합입니다. 점 F를 포물선의 초점이라고 합니다. 직선 d는 준선입니다. 초점에서 준선까지의 거리를 포물선 매개변수라고 하며 p로 표시합니다. d M (x,) F x 그림. 4 3

4 점 F에서 직선 d까지 수직인 선분 FD의 중앙에서 직교 좌표계의 원점 O를 선택합시다. 이 좌표계에서 초점 F는 좌표 F p p ;0을 가지며 준선 d는 방정식 x + = 0으로 지정됩니다. 포물선의 표준 방정식은 = px입니다. 포물선은 포물선 축이라고 불리는 OF축을 중심으로 대칭입니다. 이 축과 포물선의 교차점 O를 포물선의 꼭지점이라고 합니다. 점 M(x,)의 초점 반경, 즉 초점까지의 p ​​거리는 공식 r = x+로 구됩니다. 10B.. 2차 직선의 일반 방정식 2차 직선은 좌표가 x이고 방정식 a x + a x+ a + a x+ a + a =0, ​​​11을 만족하는 평면의 점 집합입니다. 1 여기서 a11, a1, a, a10, a0, a00 일부 실수와 a, a, a는 동시에 0이 아닙니다. 이 방정식은 일반적인 2차 곡선 방정식이라고 하며 벡터 형식으로 작성할 수도 있습니다. rr r r (Ax, x) + (b, x) + a = 0, 여기서 00 a11 a1 r r A =, a1 a b = (a10; a0) , x = (x;). T A = A이므로 A는 r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x+ a 2차 형식의 행렬입니다. 타원, 쌍곡선 및 포물선은 평면의 2차 곡선의 예입니다. 위의 곡선 외에도 x 직선과 관련된 다른 유형의 2차 곡선이 있습니다. 예를 들어 방정식 = 0, 여기서 a 0, b 0, a b 4

5는 평면에 교차하는 한 쌍의 선을 정의합니다. 곡선의 방정식이 가장 간단한 형태를 취하는 좌표계를 표준이라고 합니다. 변환 구성 사용: 각도 α만큼 축 회전, 점(x0; 0)에 대한 좌표 원점의 평행 이동 및 가로축을 기준으로 한 반사, 2차 곡선의 방정식이 1로 감소됩니다. 표준 방정식 중 주요 방정식은 위에 나열되어 있습니다. 11B예제 1. 이심률 ε =이고 점 N(3;)이 세 번째 타원에 있는 것으로 알려진 경우 중심이 원점이고 초점이 가로축에 있는 타원의 표준 방정식을 작성합니다. x a b 타원 방정식: + = 1. =이 있습니다. a b a 3 9 여기에서 우리는 a = b를 계산합니다. 점 N(3;)의 좌표를 방정식에 대입하면 + = 1, b = 9 및 a b 81 a = = 16,을 얻습니다. 결과적으로, 타원 5 x + = 1. 16, 9의 정식 방정식은 원점에 중심이 있고 가로축에 초점이 있는 쌍곡선의 정식 방정식을 구성합니다(점 M 1 (5; 3)). 쌍곡선과 이심률 ε =. x 쌍곡선의 정식 방정식 = 1. 등식 a b a + b =로부터 b = a 5 9를 얻습니다. 따라서 = 1이고 a =16입니다. 따라서 타원의 정식 방정식 = a a a x 16 5

6 3. 초점 반경이 1.5인 포물선 = 10x에서 점을 찾습니다. 포물선은 오른쪽 반평면에 위치합니다. M (x;가 포물선 위에 있으면 x 0입니다. 매개변수 p = 5. (;)) M x를 원하는 점, F를 초점, ()를 포물선의 준선으로 둡니다. 그런 다음 F,5; 0, d: x=.5. FM = ρ(M, d)이므로 x +.5 = 1.5, 10 답: () 1 10;10 x =, = 100, =± 10. 따라서 두 개의 점을 얻었습니다. 남 10; 10 M, () 4. 방정식 x = 1로 주어진 쌍곡선의 오른쪽 가지에서 오른쪽 초점으로부터의 거리가 왼쪽 초점으로부터의 거리보다 두 배 작은 16 9 인 점을 찾습니다. 쌍곡선의 오른쪽 가지에 대해 초점 반경은 공식 r 1 = ε x a 및 r = ε x + a에 의해 결정됩니다. 결과적으로 우리는 방정식 ε x + a = (ε x a)를 얻습니다. 주어진 쌍곡선에 대해 a = 4, 5 c = = 5 및 ε =. 따라서 x = 9.6입니다. 따라서 =± x 16 =± d 답: 두 점 M 1 (9.6; 0.6 119), (9.6; 0.6 119) M. 5. 거리 비율이 다음과 같은 점에 대한 선의 방정식을 찾습니다. 점 F(3;0)에서 직선까지의 거리 1 x 8= 0은 ε =과 같습니다. 라인 이름과 해당 매개변수를 지정합니다. MX; 원하는 라인의 경우 동등성은 true입니다. 임의의 점의 경우 () FM (x 3) + 1 = =. ρ(ML,) x 8 6

7 여기에서 [(x 3) + ] = (x 8)이 됩니다. 괄호를 열고 용어를 재배열하면 (x+) + = 50이 됩니다. 즉, (x+) + = 답: 필요한 선은 한 점에 중심이 있고 반축 a = 5 및 b = 쌍곡선의 방정식을 찾는 타원입니다. 이전 좌표 O () x ; 0 ; ;, ;. 새로운 시스템(x ;)에서 C(;0) = 8과 새로운 시스템(zt ;)은 행렬 동등 1 1 x z 1 z+ t = 1 1 t = z t에 의해 관련됩니다. 이는 방정식 x = 8 z+ t z t = 8, zt = 4를 의미합니다. 답: zt = 4. γ:4x 4x+ 8x+ 4+ 3= 0을 정규 7로 만듭니다. 곡선을 정규 형식으로 만듭니다. 새로운 좌표의 형태는 다음과 같습니다. 이차 형태() q x, = 4x 4x+를 고려해보세요. 4 q 형식의 행렬은 고유값 5와 0과 해당 직교 벡터를 가지며 새로운 좌표계로 넘어 갑시다. 7

8z 1 1x. t = 5 1 이전 좌표(x;)를 새 좌표(zt)를 통해 표현합니다. : 1 1 z+ t x 1 z = 1 t =, 1 z t는 다음을 의미합니다. x = z+ t, = z+ t 표시된 표현식을 곡선 γ의 방정식에 대입하면 0= 4x 4x+ 8x = x= z+ 1 t, = 1 z+ t ( ) () ()() = 5z 4 5z+ 3= z 5 4 z 5 + 3= z 5 1 z 5 3. 이는 새 좌표에서 곡선 γ가 방정식 1 3으로 제공됨을 의미합니다. γ: z z =. = z, x = t로 설정하면 γ: =, 1을 얻습니다. 여기서 곡선 γ: = 0의 정식 좌표 = 5 x 1 1 x의 정식 방정식을 찾습니다. 곡선 γ는 한 쌍의 평행선입니다. 1B경제 및 재정 문제에 대한 부록 8. Anya, Boris 및 Dmitry가 과일을 사기 위해 각각 150루블을 갖게 하십시오. 배 1kg의 가격은 15화폐 단위이고, 사과 1kg의 가격은 10화폐 단위인 것으로 알려져 있습니다. 게다가 3개는 각각 8개

9에는 구매 시 최대한 제공하고자 하는 자체 유틸리티 기능이 있습니다. x1kg의 배와 xkg의 사과를 구입하자. 이러한 유틸리티 함수는 다음과 같습니다: Anya의 경우 u = x + x, Boris의 경우 1 A 1 x u B = +x, Dmitry의 경우 ud = x1 x. Anya, Boris 및 Dmitry에 대해 최대 유틸리티 기능을 제공하는 구매 계획(x1, x)을 찾아야 합니다. x 그림. 5 고려 중인 문제는 기하학적으로 해결될 수 있습니다. 이러한 문제를 해결하기 위해서는 레벨라인(level line)이라는 개념이 도입되어야 한다. x x 1 그림. 6 함수 z = f(x,)의 수준선은 함수가 h와 동일한 상수 값을 유지하는 평면 위의 모든 점의 집합입니다. x 9

10 이 경우, 선형 부등식(하위 섹션 1.4 참조)으로 지정된 평면의 기하학적 영역에 대한 초기 아이디어도 솔루션에 사용됩니다. x x 1 그림. 7 함수 ua, u B 및 u D의 수준선은 각각 Anya, Boris 및 Dmitry에 대한 직선, 타원 및 쌍곡선입니다. 문제의 의미에 따르면 x1 0, x 0이라고 가정합니다. 반면에 예산 제약 조건은 불평등 15x1+ 10x 150으로 작성됩니다. 마지막 불평등을 10으로 나누면 3x1+ x 30 또는 + 1이 됩니다. x1 x가 비음성 조건과 함께 이 부등식에 대한 해의 영역이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. x1 = 0, x = 0 및 3x1+ x = 선으로 둘러싸인 삼각형입니다.

11 X * X * 그림. 8 그림. 9 기하학적 도면을 기반으로 이제 uamax = ua(0.15) = 15, ubmax = ub(0.15) = 5 및 udmax = ud(Q)를 쉽게 설정할 수 있습니다. 예산 삼각형의 측면 수준에서 쌍곡선 접선의 점 Q 좌표를 분석적으로 계산해야 합니다. 이를 위해 점 Q는 세 가지 방정식을 충족합니다: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x " = =. x1 X * Fig.

12 방정식에서 h를 제거하면 점 Q= (x, x) = (5;7,5)의 좌표를 얻습니다. 답 1개: Q= (x1, x) = (5;7,5). 9. 비선형 모델회사의 비용과 이익. 한 회사가 두 가지 유형 A와 B의 다목적 장비를 각각 수량 x와 생산량 단위로 생산한다고 가정합니다. 이 경우 해당 기업의 해당 연도 소득은 소득함수 Rx(,) = 4x+로 표현되고, 생산비용은 비용함수 1 1 Cx(,) = 7.5+ x + 4로 표현되며, 이 중 기업이 최대로 받는 금액은 다음과 같다. 이익.. 3에서 생산계획(x, )을 결정한다.

13 이익 함수는 소득 함수와 비용 함수의 차이로 구성됩니다: 1 1 Π (x,) = R(x,) C(x,) = 4x+ 7.5 x. 4 변환을 마친 후 마지막 표현식을 1 1 Π (x,) = 9 (x 8) (1) 형식으로 줄입니다. 4 이익 함수의 수준선은 (x 8) (1) = h와 같습니다. 4 레벨 0 h 9의 각 선은 원점을 중심으로 하는 타원입니다. 결과 표현식에서 이익 함수의 최대값은 9이고 x = 8, = 1에서 달성된다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 답: x = 8, = 1. 13B연습 및 테스트 질문.1. 원의 정규방정식을 쓰세요. 원의 중심 좌표와 반지름을 구합니다. a) x + + 8x 6=0; b) x x = 0... 점 M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3;0)..3을 통과하는 원에 대한 방정식을 작성하십시오. 타원을 정의하고 표준 방정식을 작성합니다. 1의 이심률이 ε =이고 장반경이 다음과 같은 경우 타원의 표준 방정식을 작성합니다. 초점이 원점을 중심으로 세로축에 대칭으로 놓여 있는 타원의 방정식을 작성합니다. 초점 사이는 c = 4이고 이심률은 ε = 타원의 이심률을 결정합니다. 장반경이 단축의 4배인 경우 타원의 이심률을 구합니다. 33

14.6. 쌍곡선을 정의하고 표준 방정식을 작성합니다. 점 M(0; 0.5)과 방정식 = 1로 주어진 쌍곡선의 오른쪽 꼭지점을 통해 직선이 그려집니다. 선과 쌍곡선의 두 번째 교점 좌표를 구하고 쌍곡선의 이심률을 정의합니다. a = 1, b = 5이면 표준 방정식을 쓰십시오. 이 쌍곡선의 이심률은 얼마입니까?8. 표준 방정식에 의해 주어진 쌍곡선의 점근선에 대한 방정식을 작성하십시오. 쌍곡선 3의 점근선이 방정식 =± x로 주어지고 쌍곡선 5가 점 M (10; 3 3)..9를 통과하는 경우 쌍곡선 3에 대한 방정식을 작성하십시오. 포물선을 정의하고 표준 방정식을 작성합니다. x축이 대칭축이고 정점이 원점에 있고 Ox 축에 수직인 포물선 현의 길이가 8이고 정점에서 이 현까지의 거리가 포물선의 표준 방정식을 작성하세요. 포물선 = 1x에서 초점 반경이 명제이고 일부 제품에 대한 수요가 함수 p = 4q 1, p = +로 제공되는 점을 찾습니다. 시장 균형점을 찾아보세요. 1 q 그래프 구성..1. Andrey, Katya 및 Nikolay는 오렌지와 바나나를 구입할 예정입니다. x1kg의 오렌지와 xkg의 바나나를 구입하세요. 세 가지 각각에는 자신의 효용 함수가 있는데, 이는 그가 구매를 얼마나 유용하게 생각하는지를 보여줍니다. 이러한 유틸리티 함수는 Andrey의 경우 u = x + x, Katya의 경우 1 4 A 4 1 u K = x + x, Nikolay의 경우 un = x1 x입니다. a) 수준 값 h = 1, 3에 대한 효용 함수의 수준 선을 구성합니다. b) 각각에 대해 구매 선호도 순서대로 정렬합니다. r = (4,1), s = (3,8), t = (1,1). 34

분석 기하학 모듈. 평면과 공간의 해석기하학 7강 초록 평면 위의 2차선: 타원, 쌍곡선, 포물선. 정의, 일반적인 특성.

강의 N15. 2차 곡선. 1.원... 1.타원... 1 3.쌍곡선.... 4.포물선.... 4 1.원 2차 곡선은 2차 방정식으로 정의되는 선입니다.

8 2차 곡선 81 원 중심이라고 하는 한 점에서 반지름이라고 하는 거리에 있는 한 점에서 등거리에 있는 평면의 점 집합을 원이라고 합니다. 원의 중심을 다음과 같이 하십시오.

13강 주제: 2차 곡선 평면 위의 2차 곡선: 타원, 쌍곡선, 포물선. 기하학적 특성을 기반으로 2차 곡선에 대한 방정식 유도. 타원의 모양을 연구하고,

강의 2차 직선 쌍곡선 예를 들어 원, 포물선, 타원 및 원을 정의하는 방정식을 찾습니다. 원은 주어진 평면에서 등거리에 있는 평면 위의 점 집합입니다.

2차 곡선 원 타원 쌍곡선 포물선 직사각형 직교 좌표계를 평면에 지정합니다. 2차 곡선은 좌표가 다음을 만족하는 점들의 집합입니다.

공간 속의 직선과 평면 선형대수학 (11강) 2012-11-24 2 / 37 공간 속의 직선과 평면 두 점 사이의 거리 M 1 (x 1, y 1, z 1)과 M 2 (x 2, y 2, z 2)

교육과학부 러시아 연방야로슬라블 주립대학교의 이름을 따서 명명되었습니다. P. G. Demidova 대수학 및 수학 논리학 2차 곡선 파트 I 지침

3. 쌍곡선 및 그 속성 정의 3.. 쌍곡선은 직각 직교 좌표계에서 방정식 0. (3.)에 의해 정의된 곡선이며 등식 (3.)을 표준 방정식이라고 합니다.

실기 1 주제: 쌍곡선 계획 1 쌍곡선의 정의와 정준방정식 기하학적 특성쌍곡선 쌍곡선과 그 중심을 통과하는 선의 상대적인 위치 점근선

강의 노트 13 타원, 쌍곡선 및 포물선 0. 강의 계획 타원, 쌍곡선 및 포물선을 강의합니다. 1. 타원. 1.1. 타원의 정의; 1.2. 표준 좌표계의 정의 1.3. 방정식의 유도

모듈 타원 하이퍼볼라 파라볼라 실습 주제: 타원 평면 정의 및 타원의 표준 방정식 타원의 기하학적 특성 이심률 이심률에 대한 타원 모양의 의존성

두 번째 과제 1. 평면 위의 직선. 1. 두 개의 선은 벡터 방정식 (, rn) = D 및 r= r + a, 및 (an,) 0으로 제공됩니다. 선 교차점의 반경 벡터를 찾습니다. 0t. 반경 벡터가 있는 점 M 0이 주어지면

2차 곡선. 정의: 2차 곡선)은 2차 대수 방정식을 충족하는 평면의 점 집합(M), 데카르트 좌표 X, Y)입니다.

평면 위의 대수선.. 1차 직선(평면 위의 선... 평면 위의 선 방정식의 기본 유형. 주어진 선에 수직인 0이 아닌 벡터 n을 법선이라고 합니다.

타원 및 해당 속성 정의.. 타원은 일부 직사각형 직교 좌표계에서 방정식 b, b 0으로 정의된 2차 곡선입니다. (.) 등식(.)을 정규(canonical)이라고 합니다.

0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 강의 9 타원, 쌍곡선 및 파라볼라 1. 타원의 표준방정식 정의 1. 타원은 평면 위의 점 M의 기하학적 궤적이며, 각 점으로부터의 거리의 합입니다.

분석 기하학 요소 3차원 공간에서 평면 분류 평면의 벡터 방정식을 작성하고 이 방정식에 포함된 양의 의미를 설명합니다. 평면의 일반 방정식을 작성합니다.

12과 타원, 쌍곡선, 포물선. 정식 방정식. 타원은 두 고정점 F1과 F2로부터의 거리의 합이 호출되는 평면 위의 점 M의 기하학적 궤적입니다.

선형대수학 2차 곡선의 방정식 원의 정의 원은 원의 중심이라고 불리는 한 점으로부터 거리 r만큼 떨어진 점들의 자취입니다.

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강의 9.30 Chapter 평면의 분석기하 평면의 좌표계 직사각형 및 극좌표계 평면의 좌표계는 다음을 결정할 수 있는 방법입니다.

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주제 평면과 공간의 분석 기하학 요소 강의.. 평면 위의 직선 계획. 평면상의 좌표법.. 직교좌표계의 직선.. 평행도와 직각도의 조건

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2차 분석 G E O 측정 곡선 SHIMANCHUK Dmitry Viktorovich [이메일 보호됨]상트페테르부르크 주립대학교 응용과정수학부

행렬 1 주어진 행렬과 찾기: a) A + B; b) 2B; c) T에서; d) AB T; e) T A 솔루션에서 a) 행렬의 합의 정의에 따라 b) 행렬과 숫자의 곱에 대한 정의에 따라 c) 전치된 행렬의 정의에 따라

옵션 1 1 점 M 1 (18)과 M (1)을 통과하는 선의 기울기 k를 구합니다. 매개변수 형식으로 직선의 방정식을 작성합니다. 꼭지점 A()가 있는 삼각형의 변과 중앙값의 방정식을 작성합니다.

시험. 주어진 행렬 A, B, D. 다음과 같은 경우 AB 9D를 구합니다. 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 행렬 A 3과 B 3을 곱합니다. 결과는 다음과 같습니다. 요소로 구성된 크기 3 3의 C이어야 합니다.

9장 평면 위의 곡선. 2차 곡선 9. 기본 개념 직교 좌표계 Oxy의 곡선 Г는 점 M(x, y)가 곡선에 속하면 방정식 F(,) = 0을 갖는다고 합니다.

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1장 2차 곡선과 표면 1.9를 제외한 모든 섹션에서 좌표계는 직사각형입니다. 1.1. 2차 곡선 및 기타 곡선에 대한 방정식 작성 1. p) 다음을 증명하십시오.

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CHAPTER 5. 분석 기하학 5.. 평면 위의 직선 방정식 F(x, y) 0 형식의 방정식이 주어진 평면에 있는 임의의 점 좌표로 만족되면 직선 방정식이라고 합니다.

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44. 과장법 정의. 쌍곡선은 적합한 좌표계의 좌표가 방정식 2 2 y2 = 1, (1) b2를 만족하는 평면 위의 모든 점 집합입니다. 여기서 b > 0입니다. 이 방정식

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옵션 11 1 점 M()은 점 N(1-1)에서 선 l까지 떨어뜨린 수직선의 밑면입니다. 선 l의 방정식을 쓰십시오. 점 N에서 선 l까지의 거리를 구합니다. 지나가는 선의 방정식을 작성합니다.

49. 원통형 및 원추형 표면 1. 원통형 표면 정의. 직선 l과 0이 아닌 벡터 a가 공간에 주어져 있다고 가정합니다. 가능한 모든 것을 통과하는 직선으로 형성된 표면

분석 기하학 평면 위의 분석 기하학. 해석기하학은 대수학을 이용하여 기하학적 문제를 해결하는 것으로 좌표법을 사용한다. 평면의 좌표계 아래

옵션 1 작업 1. 타원의 기하학적 정의를 제시하세요. 문제 2. 타원이 원뿔 단면으로 발생함을 단들랭 공을 사용하여 증명하십시오. 문제 3. 점 P의 집합이 다음임을 증명하십시오.

Sekaeva L.R., Tyuleneva O.N. 평면상의 분석 기하학 Kazan 008 0 Kazan State University 일반 수학과 Sekaeva L.R., Tyuleneva O.N. 평면에서의 분석 기하학

러시아 연방 교육 과학부 카잔 주립 건축 및 토목 공학 대학 벡터 및 선형 대수학의 고등 수학 요소. 분석 기하학.

평면 위의 해석기하학 선의 방정식은 해석기하학의 가장 중요한 개념입니다. y M(x, y) 0 x 정의. Oxy 평면 위의 선(곡선) 방정식은 다음과 같은 방정식입니다.

LA 가우스 방법의 기본 문제 샘플 특정 선형 방정식 시스템 가우스 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 푼다 x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 가우스 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 푼다 6

옵션 16 1 점 M 1 (3 4) 및 M (6)을 통해 직선이 그려집니다. 이 선과 좌표축의 교차점을 찾습니다. 점 A (1 ) B(3 1) C(0 4)는

시험 3 선택 1 두 선의 교점을 지나는 수직인 직선의 방정식을 쓰고 .. 두 점을 지나는 직선의 방정식을 쓰고 그 점으로부터의 거리를 구하라

평면의 분석 기하학 요소. 직선 1. 정점이 A(6; 7), B(3; 3), C(1; 5)인 삼각형의 둘레를 계산합니다. 2. 점 A(7;

해석 기하학 모듈 1 행렬 대수학 벡터 대수학 텍스트 5 ( 자율 학습) 평면과 공간의 추상 직교 직교 좌표계 거리 공식

러시아 연방 로스토프 교육부 주립대학교기계 및 수학 학부 기하학학과 Kazak V.V. 1학년 학생들을 위한 분석기하학 워크숍

평면의 분석 기하학 일반 방정식. OPR 평면은 선 위의 두 점이 해당 평면에 속하면 선 위의 모든 점이 이 평면에 속한다는 특성을 갖는 표면입니다.

5강 분석 기하학의 요소. 1 1. 공간에서의 표면방정식과 선방정식. 방정식의 기하학적 의미 분석 기하학에서 모든 표면은 세트로 간주됩니다.

제1장 직선과 평면 n R. 1.1. 점 공간 이전에 우리는 문자열의 산술 공간을 살펴보았는데, 수학에서는 유한한 순서의 좌표 집합을 해석할 수 있을 뿐만 아니라

분석 기하학의 테스트 할당. 2학기. 선택 1 1. 선 5x 12y + 1 = 0에 평행한 원 (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4에 대한 접선의 방정식을 찾습니다. 2. 방정식을 작성합니다. 접선

러시아 연방 교육과학부 고등 전문 교육 기관 "카잔(볼가 지역) 연방 대학교"

높은 주문의 차등. 수험표. 행렬, 기본 개념 및 정의. 점 A(;)와 B(-;6)가 지름 중 하나의 끝인 경우 원의 방정식을 작성합니다. 정점이 제공됩니다.

N.E.의 이름을 딴 모스크바 주립 기술 대학 Bauman 기초과학부 수학적 모델링학과 A.N. 카시코프,

2차 표면. 3차원 공간의 표면은 F(x; y; z) = 0 또는 z = f(x; y) 형식의 방정식으로 설명됩니다. 두 표면의 교차점은 공간의 선을 정의합니다. 공간의 선

현재 좌표를 기준으로 2차 방정식으로 정의된 선을 고려해 보겠습니다.

방정식의 계수는 실수이지만 다음 중 적어도 하나는 숫자 A,B또는 C는 0과 다릅니다. 이러한 선을 2차 선(곡선)이라고 합니다. 아래에서는 방정식 (1)이 평면의 타원, 쌍곡선 또는 포물선을 정의한다는 것을 보여줍니다.

원

가장 간단한 2차 곡선은 원입니다. 점 M 0에 중심을 둔 반경 R의 원은 조건 MM 0 =R을 만족하는 평면의 점 M의 집합이라고 불립니다. Oxy 시스템에서 점 M 0 의 좌표는 x 0 ,y 0 이고 M(x,y)는 원 위의 임의의 점입니다. 그런 다음 또는

-원의 정식 방정식 . x 0 =y 0 =0이라고 가정하면 x 2 +y 2 =R 2 를 얻습니다.

원의 방정식이 2차 일반 방정식(1)으로 작성될 수 있음을 보여드리겠습니다. 이를 위해 원 방정식의 우변을 제곱하고 다음을 얻습니다.

이 방정식이 (1)에 대응하려면 다음이 필요합니다.

1) 계수 B=0,

2) . 그러면 우리는 다음을 얻습니다: (2)

마지막 방정식은 다음과 같습니다. 원의 일반 방정식 . 방정식의 양변을 A ≠0으로 나누고 x와 y를 포함하는 항을 완전한 정사각형에 추가하면 다음을 얻습니다.

(2)

이 방정식을 원의 표준 방정식과 비교하면 다음과 같은 경우 방정식 (2)가 진정한 원 방정식이라는 것을 알 수 있습니다.

1)A=C, 2)B=0, 3)D2+E2-4AF>0.

이러한 조건이 충족되면 원의 중심은 점 O에 위치하고 반지름은 .

타원

와이

엑스

F 2 (c,o)

F 1 (-c,o)

정의에 따르면 2 >2c, 즉 >c 타원의 방정식을 도출하기 위해 초점 F 1 및 F 2가 Ox 축에 있고 t.O가 세그먼트 F 1 F 2의 중간과 일치한다고 가정합니다. , F 1 (-c, 0), F 2 (c,0).

M(x,y)를 타원의 임의의 점이라고 하면 타원의 정의에 따라 MF 1 +MF 2 =2입니다.

이것은 타원의 방정식입니다. 다음과 같이 더 간단한 형식으로 변환할 수 있습니다.

제곱하세요:

제곱해

2 -c 2 >0이므로 2 -c 2 =b 2

그러면 마지막 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

정식 형식의 타원 방정식입니다.

타원의 모양은 비율에 따라 달라집니다. 즉, b=일 때 타원은 원으로 변합니다. 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. 비율은 종종 타원의 특성으로 사용됩니다. 이 양을 타원의 이심률이라고 하며 0입니다.< <1 так как 0

타원의 모양에 대한 연구.

1) 타원의 방정식에는 x와 y가 짝수 정도로만 포함되므로 타원은 Ox 및 Oy 축과 중심이라고 하는 TO (0,0)에 대해 대칭입니다. 타원의.

2) 타원과 좌표축의 교차점을 찾습니다. y=0으로 설정하면 타원이 Ox와 교차하는 A 1 ( ,0) 및 A 2 (- ,0)을 찾습니다. x=0이라고 하면 B 1 (0,b)와 B 2 (0,-b)를 찾습니다. 점 A 1 , A 2 , B 1 , B 2 를 타원의 정점이라고 합니다. 세그먼트 A 1 A 2 및 B 1 B 2와 해당 길이 2 및 2b를 각각 타원의 주축 및 단축이라고 합니다. 숫자와 b는 각각 주요 반축과 보조 반축입니다.

1 ( ,0)

A2(- ,0)

B 2 (0,b)

결과적으로, 타원의 모든 점은 x=± ,y=±b 선으로 형성된 직사각형 내부에 있습니다. (그림 2.)

4) 타원방정식에서 음이 아닌 항의 합은 1이다. 결과적으로, 한 항이 증가하면 다른 항은 감소합니다. 즉, |x| 증가하면 |y| - 감소하고 그 반대도 마찬가지입니다. 지금까지 말한 모든 것에서 타원은 그림 2와 같은 모양을 갖습니다. (타원형 폐곡선).

데카르트 좌표에서 1차 방정식은 특정 직선을 정의합니다.

데카르트 좌표의 1차 방정식에 의해 결정되는 선을 1차 선이라고 합니다. 결과적으로, 각 직선은 1차 선입니다.

직선의 일반 방정식(1차 일반 방정식으로)는 다음 형식의 방정식으로 결정됩니다.

오 + 우 + 와 함께 = 0.

불완전한 직선 방정식을 생각해 봅시다.

1. 와 함께= 0. 직선 방정식의 형식은 다음과 같습니다. 아 + 우 = 0; 직선은 원점을 통과합니다.

2. 안에 = 0 (ㅏ 0 번). 방정식은 다음과 같습니다 오 + 와 함께= 0 또는 엑스 =ㅏ, 어디 ㅏ= 직선이 점을 통과한다 ㅏ(ㅏ; 0) 축과 평행하다. OU. 숫자 ㅏ 오(그림 1).

쌀. 1

만약에 ㅏ= 0이면 직선이 축과 일치합니다. OU. 세로축 Oy의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.: 엑스 = 0.

3. ㅏ = 0 (안에 0 번). 방정식은 다음과 같습니다. 우 + 와 함께= 0 또는 ~에 = 비, 어디 비= . 직선이 한 점을 지나간다 안에(0; 비), 축과 평행하다 오. 숫자 비축에서 직선이 잘라내는 세그먼트의 값입니다. OU(그림 2).

쌀. 2

b = 0이면 직선은 x축 Ox와 일치합니다. x축 Ox의 방정식은 y = 0 형식을 갖습니다.

축의 세그먼트에 있는 선의 방정식다음 방정식에 의해 결정됩니다.

숫자는 어디에 있습니까? ㅏ그리고 비좌표축에서 직선으로 잘라낸 세그먼트의 값입니다 (그림 3).

(엑스 0 ;~에 0)법선 벡터에 수직 = {ㅏ; 비)는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

ㅏ(엑스 – 엑스 0) + 안에(~에 – ~에 0) = 0.

주어진 점 M을 지나는 직선의 방정식(엑스 0 ; ~에 0) 방향 벡터와 평행 = {엘; 중)의 형식은 다음과 같습니다.

주어진 두 점 M을 지나는 직선의 방정식 1 (엑스 1 ; ~에 1) 그리고 중 2 (엑스 2 ; ~에 2) 다음 방정식에 의해 결정됩니다.

선 k의 기울기축에 대한 선의 경사각의 접선이라고합니다. 오는 축의 양의 방향에서 시계 반대 방향의 직선까지 측정되며, 케이=tgα.

기울기가 k인 직선의 방정식형식은 다음과 같습니다.

y = khx + 비,

어디 케이=tgα, 비– 축의 직선으로 잘린 세그먼트의 크기 OU(그림 4).

주어진 점 M을 지나는 직선의 방정식(엑스 0 ;~에 0)이 방향으로(경사 케이알려진), 다음 공식에 의해 결정됩니다.

y - y 0 = 케이(엑스 –엑스 0).

주어진 점 M을 통과하는 선의 연필 방정식(엑스 0 ;~에 0) (기울기 케이알 수 없음), 다음 공식에 의해 결정됩니다.

y - y 0 = 케이(엑스 –엑스 0).

선의 교차점을 통과하는 선의 연필 방정식

ㅏ 1 엑스 + 안에 1 ~에 + 와 함께 1 = 0 및 ㅏ 2 엑스 + 안에 2 ~에 + 와 함께 2 = 0, 다음 공식에 의해 결정됩니다.

α( ㅏ 1 엑스 + 안에 1 ~에 + 와 함께 1) +β( ㅏ 2 엑스 + 안에 2 ~에 + 와 함께 2) = 0.

모서리 j, 직선에서 시계 반대 방향으로 계산 와이 = 케이 1 엑스 + 비 1에서 직선으로 와이 = 케이 2 엑스 + 비 2는 공식에 의해 결정됩니다 (그림 5).

일반 방정식으로 주어진 선의 경우 ㅏ 1 엑스 + 안에 1 ~에 + 와 함께 1 = 0 및 ㅏ 2 엑스 + 안에 2 ~에 + 와 함께 2 = 0인 경우 두 직선 사이의 각도는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

두 선의 병렬성 조건은 다음과 같은 형식을 갖습니다.: 케이 1 = 케이 2 또는 .

두 직선이 수직일 때의 조건은 다음과 같다.: 또는 ㅏ 1 ㅏ 2 + 안에 1 안에 2 = 0.

직선의 정규 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.:

엑스 cosα + 와이죄α – 피 = 0,

어디 피 –원점에서 직선까지 떨어진 수직선의 길이, α는 축의 양의 방향에 대한 수직선의 경사각입니다. 오(그림 6).

직선의 일반 방정식을 제시하려면 오 + 우 + 와 함께= 0을 정규 형식으로 변환하려면 모든 항에 다음을 곱해야 합니다. 정규화 인자 μ= , 자유 용어 기호 반대 기호로 촬영 와 함께.

M점으로부터의 거리(엑스 0 ;~에 0)똑바로 아 + 우 + 와 함께= 0은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

선 A 사이의 각도의 이등분선 방정식 1 엑스 + 안에 1 ~에 + 와 함께 1 = 0 및 ㅏ 2 엑스 + 안에 2 ~에 + 와 함께 2 = 0은 다음과 같습니다:

실시예 4. 삼각형의 꼭지점이 주어졌을 때 알파벳: ㅏ (–5; –7), 안에 (7; 2), 와 함께(–6; 8). 찾기: 1) 측면 길이 AB; 2) 변의 방정식 AB그리고 교류그리고 그들의 각도 계수; 3) 내부 코너 안에; 4) 중앙 방정식 AE; 5) 방정식과 높이 길이 CD; 6) 이등분 방정식 AK; 7) 한 점을 지나는 선의 방정식 이자형측면에 평행 AB; 8) 점좌표 중, 점에 대칭으로 위치 ㅏ비교적 직선 CD.

1. 거리 디두 지점 사이 ㅏ(엑스 1 ; ~에 1) 그리고 안에(엑스 2 ; ~에 2) 공식에 의해 결정됩니다.

변의 길이 구하기 AB두 점 사이의 거리만큼 ㅏ(–7; –8) 및 안에(8; –3):

2. 점을 지나는 선의 방정식 ㅏ(엑스 1 ; ~에 1) 그리고 안에(엑스 2 ;와이 2) 형식은 다음과 같습니다.

점의 좌표 대체 ㅏ그리고 안에, 우리는 변의 방정식을 얻습니다 AB:

3(엑스+ 5) = 4(~에+ 7); 3엑스– 4~에– 13 = 0 (AB).

경사를 찾으려면 케이 AB똑바로 ( AB) 다음과 관련하여 결과 방정식을 풀어 보겠습니다. ~에:

4와이= 3엑스– 13;

– 선의 방정식 ( AB) 경사가 있는,

마찬가지로, 점의 좌표를 대체하면 안에그리고 와 함께, 우리는 직선의 방정식을 얻습니다 ( 해):

6엑스– 42 = –13~에+ 26; 6엑스+ 13와이– 68 = 0 (기원전).

직선의 방정식을 풀어보자( 해)비교적 ~에: .

3. 각도 계수가 동일한 두 직선 사이의 각도 j의 접선 케이 1과 케이 2는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

내부 코너 안에직선( AB) 그리고 ( 해), 이는 직선이 회전해야 하는 예각입니다. 해직선( AB). 그러므로 공식에 대입해 보겠습니다. 케이 1 = , 케이 2 = :

Ð 안에= arctg = arctg 1.575 » 57.59°.

4. 중앙 방정식을 찾으려면( AE), 먼저 점의 좌표를 결정합니다 이자형,옆면의 중간지점이다 해.이를 위해 세그먼트를 두 개의 동일한 부분으로 나누는 공식을 적용합니다.

그러므로 요점은 이자형좌표가 있습니다: 이자형(0,5; 5).

두 점을 지나는 직선의 방정식에 점의 좌표를 대입하면 ㅏ그리고 이자형, 우리는 중간 방정식을 찾습니다 ( AE):

24엑스 – 11~에 + 43 = 0 (AE).

5. 키가 크니까 CD측면에 수직 AB, 직선( AB) 직선에 수직 ( CD). 높이의 기울기를 구하려면 CD,두 직선의 수직성 조건을 사용해 보겠습니다.

주어진 점을 지나는 선의 방정식 중(엑스 0 ; ~에 0) 주어진 방향(기울기)으로 케이알려져 있음)의 형식은 다음과 같습니다.

와이 – 와이 0 = 케이 (엑스 – 엑스 0).

점의 좌표를 마지막 방정식에 대입 와 함께(-6; 8) 및 , 우리는 높이 방정식을 얻습니다 CD:

~에 – 8 = (엑스 -(–6)), 3~에 – 24 = – 4엑스– 24, 4엑스 + 3~에 = 0 (CD).

지점으로부터의 거리 중(엑스 0 ; ~에 0) 직선으로 Аx + By+C = 0은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

높이 길이 CD그 점으로부터의 거리로 구하라 와 함께(–6; 8)을 직선( AB): 3엑스 – 4~에– 13. 필요한 양을 공식에 ​​대입하면 길이를 찾습니다. CD:

6. 직선 사이의 각도의 이등분선 방정식 도끼 + 으로 + C= 0과
ㅏ 1 x+B 1 와이 + 씨 1 = 0은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

이등분 방정식 AK직선 사이의 각도의 이등분선에 대한 방정식 중 하나를 찾습니다( AB)그리고 ( 교류).

직선의 방정식을 만들어 봅시다( 교류) 두 점을 통과하는 선의 방정식으로 ㅏ(–5; –7) 및 와 함께 (–6; 8):

마지막 방정식을 변환해 보겠습니다.

15(엑스+ 5) = – (~에+ 7); 15x + y + 82 = 0 (교류).

선의 일반 방정식에서 계수 대체( AB)그리고 ( 교류), 각도 이등분선의 방정식을 얻습니다.

마지막 방정식을 변환해 보겠습니다.

; (3엑스 – 4~에– 13) = ± 5 (15 x + y + 82);

3 엑스 - 4 ~에– 13 = ± (75 엑스 +5~에 + 410).

두 가지 경우를 고려해 보겠습니다.

1) 3 엑스 - 4 ~에 – 13 = 75엑스 +5~에+ 410.у l АВ .

삼각형 알파벳,키 CD, 중앙값 AE, 이등분선 AK, 똑바로 엘및 기간 중좌표계로 구성 오오(그림 7).