직선과 그 변형의 일반 방정식. 2차 곡선의 일반 방정식. 직선의 일반 방정식에서 다른 유형의 직선 방정식으로 또는 그 반대로 전환

평면에서 2차 곡선의 일반 방정식은 다음과 같습니다.

도끼 2 + 2Bxy + 싸이 2 + 2디엑스 + 2어이 + 에프 = 0, (39)

어디 ㅏ 2 + 비 2 + 씨 2 0, (ㅏ, 비, 씨, 디, 이자형, 에프) 아르 자형. 평면에 임의로 위치한 모든 가능한 원뿔 단면을 정의합니다.

방정식 (39)의 계수에서 두 가지 결정 요인을 구성합니다.

~라고 불리는 방정식의 판별(39) 및 - 방정식의 주요 항을 판별합니다. 0에서 식 (39)는 다음을 결정합니다. > 0 - 타원;< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

일반방정식(39)에서 도형의 대칭축과 일치하는 새로운 좌표계로 전달하여 선형항과 교차항을 제외하면 정준방정식으로 전달이 가능하다. (39)로 바꾸자 엑스~에 엑스 + ㅏ그리고 와이~에 와이 + 비, 어디 ㅏ, 비일부 상수. 에 대해 얻은 계수를 적어 봅시다. 엑스그리고 와이 0과 동일시

(아아 + bb + 디)엑스 = 0, (Cb + 바 + 이자형)와이 = 0. (41)

결과적으로 방정식 (39)는 다음 형식을 취합니다.

ㅏ(엑스) 2 + 2비(엑스)(와이) + 씨(와이) 2 + 에프 = 0, (42)

여기서 계수 ㅏ, 비, 씨변경되지 않았지만 에프= / . 방정식 시스템 (41)의 솔루션은 그림의 대칭 중심 좌표를 결정합니다.

만약에 비= 0이면 ㅏ = -디/ㅏ, 비 = -이자형/씨전체 제곱으로 축소하는 방법으로 (39)의 선형 항을 제거하는 것이 편리합니다.

도끼 2 + 2디엑스 = ㅏ(엑스 2 + 2xD/ㅏ + (디/ㅏ) 2 - (디/ㅏ) 2) = ㅏ(엑스 + 디/ㅏ) 2 - 디 2 /ㅏ.

방정식 (42)에서 각도 a (38)를 통해 좌표를 회전 시키십시오. 교차 항에 결과 계수를 씁니다. 엑스와이그리고 0과 동일시

XY = 0. (44)

조건 (44)는 좌표축이 그림의 대칭축과 일치할 때까지 필요한 회전 각도를 결정하고 다음 형식을 취합니다.

식 (42)는 다음과 같은 형식을 취합니다.

ㅏ+X2+ 씨 + 와이 2 + 에프 = 0 (46)

곡선의 정식 방정식으로 전달하기 쉽습니다.

승산 ㅏ + , 씨+ 는 조건 (45)에서 보조 이차 방정식의 근으로 나타낼 수 있습니다.

티 2 - (ㅏ + 씨)티 + = 0. (48)

결과적으로 그림의 대칭축의 위치와 방향, 그 반축이 결정됩니다.

기하학적으로 구성할 수 있습니다.

케이스 = 0에서 우리는 포물선을 가집니다. 대칭축이 축과 평행한 경우 오이면 방정식은 다음과 같습니다.

그렇지 않은 경우 다음 형식으로 변경합니다.

여기서 괄호 안의 표현식은 0과 동일하며 새 좌표축의 선을 정의합니다: , .

일반적인 문제 해결

실시예 15방정식 2 제공 엑스 2 + 3와이 2 - 4엑스 + 6와이- 7 = 0을 정식 형식으로 만들고 곡선을 만듭니다.

해결책. 비= 0, = -72 0, = 6 > 0 타원.

전체 제곱으로 축소를 수행해 보겠습니다.

2(엑스 - 1) 2 + 3(와이 + 1) 2 - 12 = 0.

대칭 중심 좌표(1; -1), 선형 변환 엑스 = 엑스 - 1, 와이 = 와이+1은 방정식을 정식 형식으로 가져옵니다.

실시예 16방정식 2 제공 XY = ㅏ 2 정규 형식으로 변환하고 곡선을 구성합니다.

해결책. 비 = 1, = ㅏ 2 0, = -1 < 0 гипербола .

좌표계의 중심은 곡선의 대칭 중심에 위치합니다. 방정식에 선형 항이 없습니다. 각도 a만큼 축을 회전시켜 봅시다. 공식 (45)에 의해 tg2a = 비/(ㅏ - 씨) = , 즉 a = 45°. 승산 정식 방정식 (46) ㅏ + , 씨+는 식(48)에 의해 결정된다: 티 2 = 1 또는 티 1,2 = 1 ㅏ + = 1, 씨+ = -1, 즉
엑스 2 - 와이 2 = ㅏ 2 또는 . 따라서 방정식 2 후 = ㅏ 2는 대칭 중심이 (0; 0)인 쌍곡선을 설명합니다. 대칭축은 좌표각의 이등분선을 따라 위치하며 점근선은 좌표축이고 쌍곡선의 반축은 다음과 같습니다. ㅏ.y - 9 =0;

9엑스 2 + 와이 2 - 18엑스 + 2y + 1 = 0;

2엑스 2 + 4엑스 + 와이 - 2 = 0;

3엑스 2 - 6엑스 - 와이 + 2 = 0;

-엑스 2 + 4와이 2 - 8엑스 - 9와이 + 16 = 0;

4엑스 2 + 8엑스 - 와이 - 5 = 0;

9엑스 2 - 와이 2 + 18엑스 + 2와이 - 1 = 0;

9엑스 2 - 4와이 2 + 36엑스 + 16와이 - 16 = 0.

이 기사에서는 평면에서 직선의 일반 방정식을 고려할 것입니다. 이 직선의 두 점을 알고 있거나 한 점과 이 직선의 법선 벡터를 알고 있는 경우 직선의 일반 방정식을 구성하는 예를 들어 보겠습니다. 방정식을 다음으로 변환하는 방법을 제시하겠습니다. 일반적인 견해정식 및 파라메트릭 형식으로 변환합니다.

임의의 데카르트 직교 좌표계를 지정하자 옥시. 1차 방정식 또는 선형 방정식을 고려하십시오.

도끼+작성자+C=0,

(1)

어디 A, B, C일부 상수이며 요소 중 적어도 하나는 ㅏ그리고 비제로와는 다릅니다.

평면의 선형 방정식이 직선을 정의한다는 것을 보여줄 것입니다. 다음 정리를 증명해 보자.

정리 1. 평면 위의 임의의 데카르트 직교 좌표계에서 각 직선은 선형 방정식으로 주어질 수 있습니다. 반대로, 평면의 임의의 데카르트 직교 좌표계의 각 선형 방정식(1)은 직선을 정의합니다.

증거. 라인임을 증명하기에 충분합니다. 엘직교 직교 좌표계의 선형 방정식에 의해 결정되므로 직교 직교 좌표계의 모든 선택에 대해 선형 방정식에 의해 결정됩니다.

비행기에 직선을 주자 엘. 축이 되도록 좌표계를 선택합니다. 황소라인에 맞춰 엘, 그리고 축 오이그것에 수직이었다. 그런 다음 선의 방정식 엘다음과 같은 형식을 취합니다.

y=0.

(2)

라인의 모든 포인트 엘선형 방정식 (2)를 충족하고 이 직선 외부의 모든 점은 방정식 (2)를 충족하지 않습니다. 정리의 첫 번째 부분이 증명되었습니다.

데카르트 직교 좌표계가 주어지고 선형 방정식 (1)이 주어지면 요소 중 적어도 하나는 다음과 같습니다. ㅏ그리고 비제로와는 다릅니다. 좌표가 방정식 (1)을 충족하는 점의 궤적을 찾습니다. 계수 중 적어도 하나는 ㅏ그리고 비가 0이 아닌 경우 방정식 (1)에는 적어도 하나의 솔루션이 있습니다. 중(엑스 0 ,와이 0). (예를 들어, 언제 ㅏ≠0, 점 중 0 (−C/A, 0) 주어진 점의 자취에 속함). 이 좌표를 (1)에 대입하면 다음을 얻습니다.

도끼 0 +에 의해 0 +씨=0.

(3)

(1)에서 항등식 (3)을 뺍니다.

ㅏ(엑스−엑스 0)+비(와이−와이 0)=0.

(4)

분명히 방정식 (4)는 방정식 (1)과 동일합니다. 따라서 (4)가 어떤 라인을 정의한다는 것을 증명하는 것으로 충분합니다.

우리는 데카르트 직교 좌표계를 고려하고 있기 때문에 등식 (4)에서 구성 요소가 있는 벡터( x-x 0 , y−y 0 )은 벡터와 직교합니다. N좌표( A,B}.

어떤 라인을 고려 엘지점을 통과 중 0 (엑스 0 , 와이 0) 벡터에 수직 N(그림 1). 요점을 보자 중(엑스,y) 라인에 속합니다 엘. 그런 다음 좌표가 있는 벡터 x-x 0 , y−y 0 수직 N방정식 (4)가 충족됩니다(벡터의 스칼라 곱). N 0과 같음). 반대로 포인트라면 중(엑스,y) 선상에 있지 않음 엘, 좌표가 있는 벡터 x-x 0 , y−y 0은 벡터와 직교하지 않습니다. N방정식 (4)가 만족되지 않습니다. 정리가 입증되었습니다.

증거. 선 (5)와 (6)은 동일한 선을 정의하므로 법선 벡터 N 1 ={ㅏ 1 ,비 1) 및 N 2 ={ㅏ 2 ,비 2) 동일 선상에 있습니다. 벡터 이후 N 1 ≠0, N 2 ≠ 0이면 숫자가 있습니다. λ , 무엇 N 2 =N 1 λ . 따라서 우리는: ㅏ 2 =ㅏ 1 λ , 비 2 =비 1 λ . 증명하자 씨 2 =씨 1 λ . 일치하는 선에는 공통점이 있음이 분명합니다. 중 0 (엑스 0 , 와이 0). 식 (5)를 곱하면 λ 식 (6)을 빼면 다음과 같습니다.

식 (7)의 처음 두 등식이 충족되므로 씨 1 λ −씨 2=0. 저것들. 씨 2 =씨 1 λ . 발언이 입증되었습니다.

방정식 (4)는 점을 통과하는 직선의 방정식을 정의합니다. 중 0 (엑스 0 , 와이 0) 법선 벡터를 가짐 N={A,B). 따라서 직선의 법선 벡터와 이 직선에 속하는 점을 알면 식 (4)를 이용하여 직선의 일반방정식을 구성할 수 있다.

예 1. 한 점을 지나는 선 중=(4,−1)이고 법선 벡터를 가집니다. N=(3, 5). 직선의 일반 방정식을 구성하십시오.

해결책. 우리는: 엑스 0 =4, 와이 0 =−1, ㅏ=3, 비=5. 직선의 일반 방정식을 구성하기 위해 다음 값을 방정식 (4)로 대체합니다.

답변:

선에 평행한 벡터 엘따라서 선의 법선 벡터에 수직입니다. 엘. 법선 벡터를 구성해 봅시다 엘, 벡터의 스칼라 곱이 주어지면 N 0과 같습니다. 예를 들어 다음과 같이 작성할 수 있습니다. N={1,−3}.

직선의 일반 방정식을 구성하기 위해 공식 (4)를 사용합니다. 점의 좌표를 (4)에 대입해보자. 중 1(점의 좌표를 취할 수도 있습니다. 중 2) 및 법선 벡터 N:

포인트 좌표 대체 중 1과 중(9)의 2에서 방정식 (9)로 주어진 직선이 이 점들을 통과하는지 확인할 수 있습니다.

답변:

(1)에서 (10) 빼기:

우리는 직선의 정식 방정식을 얻었습니다. 벡터 큐={−비, ㅏ)는 직선(12)의 방향 벡터입니다.

역변환을 참조하십시오.

예 3. 평면의 직선은 다음 일반 방정식으로 표시됩니다.

두 번째 항을 오른쪽으로 옮기고 방정식의 양변을 2 5로 나눕니다.

이 기사는 평면의 직선 방정식에 대한 주제를 계속합니다. 직선의 일반 방정식과 같은 유형의 방정식을 고려하십시오. 정리를 정의하고 그 증명을 제시해 봅시다. 직선의 불완전한 일반 방정식이 무엇이며 일반 방정식에서 다른 유형의 직선 방정식으로 전환하는 방법을 알아 봅시다. 우리는 전체 이론을 삽화와 실제 문제 해결로 통합할 것입니다.

직각좌표계 O x y가 평면에 주어진다고 하자.

정리 1

A x + B y + C \u003d 0 형식을 갖는 1 차 방정식은 A, B, C가 실수입니다 (A와 B는 동시에 0이 아님). 평면의 직교 좌표계. 차례로 평면의 직각 좌표계의 모든 선은 A, B, C 값의 특정 집합에 대해 A x + B y + C = 0 형식의 방정식에 의해 결정됩니다.

증거

이 정리는 두 가지 점으로 구성되어 있으며 각각을 증명할 것입니다.

방정식 A x + B y + C = 0이 평면 위의 선을 정의한다는 것을 증명해 봅시다.

좌표가 방정식 A x + B y + C = 0에 해당하는 점 M 0 (x 0 , y 0)이 있다고 가정합니다. 따라서: A x 0 + B y 0 + C = 0 . 방정식 A x + B y + C \u003d 0의 왼쪽과 오른쪽에서 방정식 A x 0 + B y 0 + C \u003d 0의 왼쪽과 오른쪽을 빼면 A와 같은 새로운 방정식을 얻습니다. (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . A x + B y + C = 0 과 동일합니다.

결과 방정식 A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0은 벡터 n → = (A, B) 및 M 0 M → = (x - x의 수직성에 대한 필요충분조건입니다. 0, y - y 0 ) . 따라서 점 세트 M (x, y)는 직각 좌표계에서 벡터 n → = (A, B) 방향에 수직인 직선을 정의합니다. 그렇지 않다고 가정할 수 있지만 벡터 n → = (A, B) 및 M 0 M → = (x - x 0, y - y 0)은 수직이 아니며 평등 A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0은 참이 아닙니다.

따라서 방정식 A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0은 평면의 직교 좌표계에서 일부 선을 정의하므로 등가 방정식 A x + B y + C \u003d 0은 정의합니다. 같은 줄. 따라서 우리는 정리의 첫 번째 부분을 증명했습니다.

평면의 직각 좌표계에서 모든 직선이 1차 방정식 A x + B y + C = 0으로 주어질 수 있음을 증명해 보겠습니다.

평면의 직교 좌표계에 직선 a를 설정합시다. 이 선이 통과하는 점 M 0 (x 0 , y 0) 뿐만 아니라 이 선의 법선 벡터 n → = (A , B) .

직선의 부동 소수점인 M(x, y)도 존재한다고 하자. 이 경우 벡터 n → = (A , B) 및 M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0)은 서로 수직이며 스칼라 곱은 0입니다.

n → , M 0 M → = A(x - x 0) + B(y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B 0 = 0 방정식을 다시 작성하고 C: C = - A x 0 - B y 0을 정의하고 마지막으로 방정식 A x + B y + C = 0을 얻습니다.

그래서, 우리는 정리의 두 번째 부분을 증명했고, 전체 정리를 전체적으로 증명했습니다.

정의 1

다음과 같은 방정식 A x + B Y + C = 0 - 이것 직선의 일반 방정식직각 좌표계의 평면에서옥시.

증명된 정리를 바탕으로 우리는 고정된 직각 좌표계에서 평면에 주어진 직선과 그 일반 방정식이 불가분의 관계에 있다는 결론을 내릴 수 있습니다. 즉, 원래 라인은 일반 방정식에 해당합니다. 직선의 일반 방정식은 주어진 직선에 해당합니다.

또한 변수 x와 y에 대한 계수 A와 B는 직선 A x + B y + C = 0 .

고려하다 구체적인 예직선의 일반 방정식.

주어진 직교 좌표계에서 직선에 해당하는 방정식 2 x + 3 y - 2 = 0이 주어집니다. 이 선의 법선 벡터는 벡터입니다. n → = (2 , 3) . 도면에 주어진 직선을 그립니다.

다음과 같이 주장 할 수도 있습니다. 주어진 직선의 모든 점 좌표가이 방정식에 해당하기 때문에 그림에서 보는 직선은 일반 방정식 2 x + 3 y-2 = 0에 의해 결정됩니다.

일반 직선 방정식의 양변에 0이 아닌 숫자 λ를 곱하여 방정식 λ · A x + λ · B y + λ · C = 0을 얻을 수 있습니다. 결과 방정식은 원래 일반 방정식과 동일하므로 평면에서 동일한 선을 설명합니다.

정의 2

직선의 일반방정식 완성-숫자 A, B, C가 0이 아닌 라인 A x + B y + C \u003d 0의 일반 방정식. 그렇지 않으면 방정식은 다음과 같습니다. 불완전한.

직선의 불완전한 일반 방정식의 모든 변형을 분석해 봅시다.

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0이면 일반 방정식은 B y + C \u003d 0이 됩니다. 이러한 불완전한 일반 방정식은 O x 축에 평행한 직교 좌표계 O x y에서 직선을 정의합니다. -씨비. 즉, A x + B y + C \u003d 0 라인의 일반 방정식은 A \u003d 0, B ≠ 0 일 때 좌표가 같은 숫자 인 점 (x, y)의 궤적을 정의합니다. -씨비.
A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0이면 일반 방정식은 y \u003d 0이 됩니다. 이러한 불완전한 방정식은 x축 O x 를 정의합니다.
A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0이면 불완전한 일반 방정식 A x + C \u003d 0을 얻어 y축에 평행한 직선을 정의합니다.
A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0이면 불완전한 일반 방정식은 x \u003d 0 형식을 취하고 이것은 좌표선 O y의 방정식입니다.
마지막으로 A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0일 때 불완전한 일반 방정식은 A x + B y \u003d 0의 형식을 취합니다. 그리고 이 방정식은 원점을 지나는 직선을 나타냅니다. 실제로 숫자 쌍(0 , 0)은 A · 0 + B · 0 = 0이므로 A x + B y = 0 등식에 해당합니다.

직선의 불완전한 일반 방정식의 위의 모든 유형을 그래픽으로 설명하겠습니다.

예 1

주어진 직선은 y축에 평행하고 점 2 7 , - 11 을 통과하는 것으로 알려져 있습니다. 주어진 직선의 일반 방정식을 작성하는 것이 필요합니다.

해결책

y 축에 평행한 직선은 A x + C \u003d 0 형식의 방정식으로 제공되며 여기서 A ≠ 0입니다. 조건은 또한 선이 통과하는 점의 좌표를 지정하며, 이 점의 좌표는 불완전한 일반 방정식 A x + C = 0의 조건에 해당합니다. 평등이 맞습니다.

에이 2 7 + 씨 = 0

예를 들어 A = 7 과 같이 A에 0이 아닌 값을 지정하여 C를 결정할 수 있습니다. 이 경우 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2를 얻습니다. 우리는 계수 A와 C를 모두 알고 있으며 방정식 A x + C = 0으로 대체하고 필요한 라인 방정식을 얻습니다. 7 x - 2 = 0

답변: 7 x - 2 = 0

예 2

그림은 직선을 보여줍니다. 방정식을 적어 둘 필요가 있습니다.

해결책

주어진 도면을 통해 문제 해결을 위한 초기 데이터를 쉽게 가져올 수 있습니다. 그림에서 주어진 선이 O x 축과 평행하고 점 (0 , 3) 을 통과하는 것을 볼 수 있습니다.

가로 좌표에 평행한 직선은 불완전한 일반 방정식 B y + С = 0에 의해 결정됩니다. B와 C의 값을 찾으십시오. 주어진 직선이 통과하기 때문에 점 (0, 3)의 좌표는 직선 B의 방정식을 만족합니다. y + С = 0이면 평등이 유효합니다 : В · 3 + С = 0. B를 0이 아닌 다른 값으로 설정해 봅시다. 이 경우 평등 B · 3 + C \u003d 0에서 B \u003d 1이라고 가정하면 C : C \u003d-3을 찾을 수 있습니다. 우리는 사용 알려진 값 B와 C, 우리는 y - 3 = 0이라는 라인의 필수 방정식을 얻습니다.

답변: y - 3 = 0 .

평면의 주어진 점을 통과하는 직선의 일반 방정식

주어진 선이 점 M 0 (x 0, y 0)을 통과하면 그 좌표는 선의 일반 방정식, 즉 평등은 참입니다: A x 0 + B y 0 + C = 0 . 직선의 일반완전방정식의 좌변과 우변에서 이 방정식의 좌변과 우변을 뺀다. A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, 이 방정식은 원래 일반 방정식과 동일하며 점을 통과합니다. M 0 (x 0, y 0) 그리고 법선 벡터 n → \u003d (A, B) .

우리가 얻은 결과는 직선의 법선 벡터의 알려진 좌표와 이 직선의 특정 지점의 좌표에 대해 직선의 일반 방정식을 작성할 수 있게 합니다.

예 3

직선이 통과하는 점 M 0(-3, 4)와 이 직선의 법선 벡터가 주어지면 n → = (1 , - 2) . 주어진 직선의 방정식을 쓸 필요가 있습니다.

해결책

초기 조건을 통해 A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4 방정식을 컴파일하는 데 필요한 데이터를 얻을 수 있습니다. 그 다음에:

A(x - x 0) + B(y - y 0) = 0 ⇔ 1(x - (- 3)) - 2 y(y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

문제는 다르게 해결되었을 수 있습니다. 직선의 일반 방정식은 A x + B y + C = 0 형식입니다. 주어진 법선 벡터를 사용하면 계수 A 및 B의 값을 얻을 수 있습니다. 그런 다음:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2y + C = 0 ⇔ x - 2y + C = 0

이제 문제의 조건으로 주어지는 점 M 0 (- 3, 4)를 이용하여 선이 통과하는 C의 값을 구해 봅시다. 이 점의 좌표는 x - 2 · y + C = 0 방정식에 해당합니다. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. 따라서 C = 11입니다. 필요한 직선 방정식의 형식은 x - 2 · y + 11 = 0 입니다.

답변: x - 2y + 11 = 0 .

예 4

직선 2 3 x - y - 1 2 = 0과 이 직선 위에 놓인 점 M 0이 주어집니다. 이 점의 가로 좌표만 알려져 있으며 -3과 같습니다. 주어진 점의 좌표를 결정할 필요가 있습니다.

해결책

점 M 0 의 좌표 지정을 x 0 및 y 0 으로 설정합시다. 초기 데이터는 x 0 \u003d - 3임을 나타냅니다. 점이 주어진 선에 속하기 때문에 그 좌표는 이 선의 일반 방정식에 해당합니다. 그러면 다음과 같은 평등이 성립합니다.

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0 정의: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

답변: - 5 2

직선의 일반 방정식에서 다른 유형의 직선 방정식으로 또는 그 반대로 전환

우리가 알고 있듯이 평면에서 같은 직선의 방정식에는 여러 가지 유형이 있습니다. 방정식 유형의 선택은 문제의 조건에 따라 다릅니다. 솔루션에 더 편리한 것을 선택할 수 있습니다. 이것은 한 종류의 방정식을 다른 종류의 방정식으로 변환하는 기술이 매우 유용한 곳입니다.

먼저 A x + B y + C = 0 형식의 일반 방정식에서 표준 방정식 x - x 1 a x = y - y 1 a y로의 전환을 고려하십시오.

A ≠ 0이면 항 B y를 일반 방정식의 우변으로 옮깁니다. 왼쪽에서 괄호에서 A를 꺼냅니다. 결과적으로 다음을 얻습니다. A x + C A = - B y .

이 평등은 비율로 쓸 수 있습니다: x + C A - B = y A .

B ≠ 0이면 일반 방정식의 왼쪽에 A x라는 항만 남기고 나머지는 오른쪽으로 옮기면 A x \u003d - B y - C가 됩니다. 괄호에서 -B를 꺼낸 다음 A x \u003d - B y + C B입니다.

평등을 비율로 다시 작성해 봅시다: x - B = y + C B A .

물론 결과 공식을 외울 필요는 없습니다. 일반 방정식에서 정식 방정식으로 전환하는 동안 동작 알고리즘을 아는 것으로 충분합니다.

실시예 5

라인 3 y - 4 = 0의 일반 방정식이 제공됩니다. 표준 방정식으로 변환해야 합니다.

해결책

원래 방정식을 3 y - 4 = 0 으로 씁니다. 다음으로 알고리즘에 따라 행동합니다. 용어 0 x는 왼쪽에 남아 있습니다. 오른쪽에는 괄호에서 3 개를 꺼냅니다. 우리는 다음을 얻습니다: 0 x = - 3 y - 4 3 .

결과 평등을 비율로 작성해 봅시다: x - 3 = y - 4 3 0 . 따라서 정식 형식의 방정식을 얻었습니다.

답: x - 3 = y - 4 3 0.

직선의 일반 방정식을 파라메트릭 방정식으로 변환하려면 먼저 정규 형식으로 전환한 다음 직선의 정규 방정식에서 파라메트릭 방정식으로 전환합니다.

실시예 6

직선은 방정식 2 x - 5 y - 1 = 0으로 제공됩니다. 이 선의 파라메트릭 방정식을 적어 두십시오.

해결책

일반 방정식에서 정식 방정식으로 전환해 보겠습니다.

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

이제 결과 정식 방정식의 두 부분을 λ와 동일하게 취한 다음:

x 5 = λ y + 15 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

답변:x = 5 λ y = - 15 + 2 λ , λ ∈ R

일반 방정식은 기울기가 y = k x + b인 직선 방정식으로 변환할 수 있지만 B ≠ 0인 경우에만 가능합니다. 왼쪽 전환의 경우 By 용어를 그대로 두고 나머지는 오른쪽으로 전송됩니다. 우리는 다음을 얻습니다. B y = - A x - C . 결과 평등의 두 부분을 0이 아닌 B로 나눕니다: y = - A B x - C B .

실시예 7

직선의 일반 방정식은 다음과 같습니다. 2 x + 7 y = 0 . 해당 방정식을 기울기 방정식으로 변환해야 합니다.

해결책

알고리즘에 따라 필요한 작업을 수행해 보겠습니다.

2x + 7y = 0 ⇔ 7y - 2x ⇔ y = - 27x

답변: y = -27x .

직선의 일반 방정식에서 x a + y b \u003d 1 형식의 세그먼트에서 방정식을 얻는 것으로 충분합니다. 이러한 전환을 위해 숫자 C를 평등의 오른쪽으로 옮기고 결과 평등의 두 부분을 - С로 나눈 다음 마지막으로 변수 x 및 y의 계수를 분모로 옮깁니다.

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

실시예 8

직선 x - 7 y + 1 2 = 0의 일반 방정식을 세그먼트의 직선 방정식으로 변환해야 합니다.

해결책

1 2 를 오른쪽으로 옮깁니다: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

방정식의 양변을 -1/2로 나눕니다: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

답변: x - 12 + y114 = 1 .

일반적으로 다른 유형의 방정식에서 일반 방정식으로의 역전이도 쉽습니다.

선분의 직선 방정식과 기울기가 있는 방정식은 방정식의 왼쪽에 있는 모든 항을 모으기만 하면 일반 방정식으로 쉽게 변환할 수 있습니다.

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

정식 방정식은 다음 체계에 따라 일반 방정식으로 변환됩니다.

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

파라 메트릭에서 전달하려면 먼저 정식으로 전환 한 다음 일반으로 전환합니다.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

실시예 9

직선 x = - 1 + 2 · λ y = 4의 파라메트릭 방정식이 주어집니다. 이 선의 일반 방정식을 적어 둘 필요가 있습니다.

해결책

파라메트릭 방정식에서 표준 방정식으로 전환해 보겠습니다.

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 12 λ = y - 40 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

표준에서 일반으로 이동해 보겠습니다.

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

답변: y - 4 = 0

실시예 10

세그먼트 x 3 + y 1 2 = 1의 직선 방정식이 제공됩니다. 방정식의 일반 형식으로의 전환을 수행할 필요가 있습니다.

해결책:

방정식을 필요한 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

답변: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

직선의 일반 방정식 그리기

위에서 우리는 법선 벡터의 알려진 좌표와 선이 통과하는 점의 좌표로 일반 방정식을 작성할 수 있다고 말했습니다. 이러한 직선은 방정식 A(x - x 0) + B(y - y 0) = 0으로 정의됩니다. 같은 곳에서 해당 예제를 분석했습니다.

이제 먼저 법선 벡터의 좌표를 결정해야 하는 보다 복잡한 예를 살펴보겠습니다.

실시예 11

직선 2 x - 3 y + 3 3 = 0 에 평행한 직선이 주어집니다. 주어진 직선이 통과하는 점 M 0 (4 , 1)도 알려져 있습니다. 주어진 직선의 방정식을 쓸 필요가 있습니다.

해결책

초기 조건은 선이 평행하다는 것을 알려주는 반면, 방정식을 작성해야 하는 선의 법선 벡터로 선의 방향 벡터를 취합니다. n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. 이제 우리는 직선의 일반 방정식을 구성하는 데 필요한 모든 데이터를 알고 있습니다.

A(x - x 0) + B(y - y 0) = 0 ⇔ 2(x - 4) - 3(y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

답변: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

실시예 12

주어진 직선은 직선 x - 2 3 = y + 4 5 에 수직인 원점을 통과합니다. 주어진 직선의 일반 방정식을 쓸 필요가 있습니다.

해결책

주어진 선의 법선 벡터는 x - 2 3 = y + 4 5 선의 방향 벡터가 됩니다.

그런 다음 n → = (3 , 5) . 직선은 원점을 통과합니다. 점 O(0, 0)을 통해 . 주어진 직선의 일반 방정식을 작성해 봅시다.

A(x - x 0) + B(y - y 0) = 0 ⇔ 3(x - 0) + 5(y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

답변: 3x + 5y = 0 .

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우리는 2차 대수 곡선이 에 대한 2차 대수 방정식에 의해 결정된다고 말했습니다. 엑스그리고 ~에. 일반적으로 이러한 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

ㅏ 엑스 2 + B 후+ 씨 ~에 2+D 엑스+ 전자 와이+ F = 0, (6)

여기서 A 2 + B 2 + C 2 ¹ 0(즉, 숫자 A, B, C는 동시에 사라지지 않습니다). 용어 A 엑스 2, V 후, 와 함께 ~에 2는 등식의 상급항, 숫자

~라고 불리는 판별식이 방정식. 식 (6)은 일반 방정식 2차곡선.

이전에 고려한 곡선의 경우 다음이 있습니다.

타원: Þ A = , B = 0, C = , D = E = 0, F = –1,

원 엑스 2 + ~에 2 = ㅏ 2 Þ A = C = 1, B = D = E = 0, F = - ㅏ 2, d = 1>0;

쌍곡선: Þ A = , B = 0, C = - , D = E = 0, F = -1,

d = - .< 0.

포물선: ~에 2 = 2픽셀Þ A \u003d B \u003d 0, C \u003d 1, D \u003d -2 아르 자형, E = F = 0, d = 0,

엑스 2 = 2러시아Þ A \u003d 1B \u003d C \u003d D \u003d 0, E \u003d -2 아르 자형, F = 0, d = 0.

방정식 (6)에 의해 주어진 곡선은 본부 d¹0인 경우 곡선. d> 0이면 곡선 타원형 d이면 입력<0, то кривая 쌍곡선유형. d = 0인 곡선은 곡선입니다. 비유담 같은유형.

에서 2차 라인임을 증명한다. 어느데카르트 좌표계는 2차 대수 방정식으로 제공됩니다. 한 시스템에서만 방정식이 복잡한 형식(예: (6))이고 다른 시스템에서는 더 간단합니다(예: (5)). 따라서 연구 중인 곡선이 가장 간단한(예: 정식) 방정식으로 작성되는 좌표계를 고려하는 것이 편리합니다. 곡선이 형식 (6)의 방정식으로 주어지는 한 좌표계에서 방정식이 더 간단한 형식을 갖는 다른 좌표계로의 전환을 호출합니다. 좌표 변환.

좌표 변환의 주요 유형을 고려하십시오.

나. 전송 변환좌표축(방향 유지). 초기 XOU 좌표계의 점 M이 좌표( 엑스, ~에엑스¢, ~에¢). 다른 시스템에서 점 M의 좌표가 관계에 의해 관련되어 있음을 그림에서 볼 수 있습니다.

(7) 또는 (8).

공식 (7)과 (8)을 좌표 변환 공식이라고 합니다.

II. 회전 변환각도로 좌표축 a. 초기 XOU 좌표계에서 점 M이 좌표( 엑스, ~에), 새로운 XO¢Y 좌표계에서는 좌표( 엑스¢, ~에¢). 그런 다음 이러한 좌표 간의 관계는 다음 공식으로 표현됩니다.

, (9)

또는

좌표 변환을 사용하면 방정식 (6)을 다음 중 하나로 줄일 수 있습니다. 정식방정식.

1) - 타원,

2) - 과장,

3) ~에 2 = 2픽셀, 엑스 2 = 2러시아- 포물선

4) ㅏ 2 엑스 2 – 비 2 와이 2 \u003d 0-교차하는 한 쌍의 선 (그림 a)

5) 와이 2 – ㅏ 2 \u003d 0 - 한 쌍의 평행선 (그림 b)

6) 엑스 2 –ㅏ 2 \u003d 0 - 한 쌍의 평행선 (그림 c)

7) 와이 2 = 0 - 일치하는 선(OX 축)

8) 엑스 2 = 0 - 일치하는 선(OS 축)

9) ㄱ 2 엑스 2 + 비 2 와이 2 = 0 - 점(0, 0)

10) 가상의 타원

11) y 2 + ㅏ 2 = 0– 가상선 쌍

12) 엑스 2 + ㅏ 2 = 0 가상선 쌍.

이러한 각 방정식은 2차 직선 방정식입니다. 방정식 4 - 12에 의해 정의된 선은 다음과 같습니다. 타락하다 2차 곡선.

곡선의 일반 방정식을 표준 형식으로 변환하는 예를 살펴보겠습니다.

1) 9엑스 2 + 4~에 2 – 54엑스 + 8~에+ 49 = 0 Þ (9 엑스 2 – 54엑스) + (4~에 2 + 8~에) + 49 = 0z

9(엑스 2 – 6엑스+ 9) + 4(~에 2 + 2~에+ 1) – 81 – 4 + 49 = 0 Þ 9( 엑스 –3) 2 + 4(~에+ 1) = 36, 지

넣어 보자 엑스¢ = 엑스 – 3, ~에¢ = ~에+ 1, 우리는 타원의 정식 방정식을 얻습니다. . 평등 엑스¢ = 엑스 – 3, ~에¢ = ~에+ 1은 좌표계의 점 (3, –1)으로의 변환 변환을 정의합니다. 이전 좌표계와 새 좌표계를 구축했으므로 이 타원을 그리는 것은 쉽습니다.