둘레 주어진 한 점에서 등거리에 있는 평면의 모든 점을 모아 놓은 것입니다. 원의 중심.원의 중심에서 원 위의 한 점까지의 거리를 이라고 합니다. . 원의 반경.

- 원의 표준 방정식(16) - 원의 중심.

원의 중심이 원점에 있으면 원의 방정식은 다음과 같습니다. (16 .)

타원는 평면의 모든 점의 집합으로, 이 평면의 주어진 두 점으로부터의 거리의 합입니다(라고 함). 트릭이 타원)은 상수 값입니다.

(0;b)M(x,y)에서

r 1 r 2 r 1 +r 2 =2a

(-a;0) F 1 (-c;0) 0 F 2 (c;0) (a;0) X

간략하게 a 2 -b 2 =c 2 (*)로 표시하면 타원의 방정식은 다음과 같습니다. (17)

y=0을 넣으면 을 얻고, x=0을 넣으면 ;을 얻습니다. 이는 타원의 반축 길이를 의미합니다. 큰() 그리고 작은(). 또한 왼쪽의 각 항은 1보다 클 수 없으므로 , 이므로 전체 타원이 직사각형 내부에 위치합니다. 포인트 A,B,C,D, 타원이 대칭축과 교차하는 경우를 호출합니다. 타원의 꼭지점.

태도 타원의 이심률이라고 합니다.

과장법 평면의 모든 점의 집합, 이 평면의 주어진 두 점으로부터의 거리 차이의 계수(라고 함) 트릭이 쌍곡선의)은 상수 값입니다. 초점 사이의 거리의 중간점을 호출합니다. 쌍곡선의 중심.

r 2 r 1 -r 2 =2a

F 1 (-c;0) 0 F 2 (c;0) x

쌍곡선 방정식인 a 2 -c 2 = -b 2 (**)를 나타내자: (18)

이 방정식에서 쌍곡선에는 두 개의 대칭축(주축)과 대칭 중심(쌍곡선의 중심)이 있다는 것이 분명합니다.

태도 쌍곡선의 이심률이라고 합니다.

y=0을 넣으면 가 되고, x=0을 넣으면 가 됩니다.

이것은 Ox 축이 두 점(쌍곡선의 꼭지점)에서 쌍곡선과 교차한다는 것을 의미합니다. 이것은 - 실제 축; Oy 축은 쌍곡선과 교차하지 않습니다. 이는 " 가상축. "쌍곡선의 두 점을 연결하는 선분이 중심을 통과하는 경우를 선분이라고 합니다. 쌍곡선의 지름.

곡선이 원하는 만큼 가깝게 접근하지만 전혀 교차하지 않는 직선을 직선이라고 합니다. 곡선의 점근선.쌍곡선에는 두 개의 점근선이 있습니다. 그들의 방정식은 다음과 같습니다: (19)

포물선 평면 위의 모든 점의 집합으로, 각 점에서 주어진 점(라고 함)까지의 거리입니다. 집중하다)주어진 직선(라고 함)까지의 거리와 같습니다. 여자 교장).

- 포물선 매개변수.

포물선에는 하나의 대칭축이 있습니다. 포물선과 대칭축의 교차점을 호출합니다. 포물선의 꼭지점.

원점에 꼭지점이 있고 대칭축이 황소 축이고 가지가 오른쪽으로 향하는 포물선의 정식 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. (20)

그녀의 교장의 방정식:

원점에 꼭지점이 있고 대칭축이 황소 축이고 가지가 왼쪽으로 향하는 포물선의 정식 방정식은 다음과 같습니다. (20 ,)

그녀의 교장의 방정식:

원점에 꼭지점이 있고 대칭축이 Oy 축이고 가지가 위쪽을 향하는 포물선의 정식 방정식은 다음과 같습니다. (20 ,)

그녀의 교장의 방정식:

원점에 꼭지점이 있고 대칭축이 Oy 축이고 가지가 아래쪽을 향하는 포물선의 정식 방정식은 다음과 같습니다. (20 ,)

그녀의 교장의 방정식:

y y

F 0p/2 x -p/2 0 x

예

p/2

-p/2
주제 2.1. 강의 7. 강의 10

주제: 하나의 독립변수의 기능, 그래프.

기능의 개념

기본적인 수학적 개념 중 하나는 함수의 개념입니다. 함수의 개념은 두 집합의 요소 간의 종속성(연결)을 설정하는 것과 관련됩니다.

비어 있지 않은 두 집합 X와 Y가 주어졌을 때 각 요소 xО X 단 하나의 요소 уО Y에 해당하는 대응 f를 함수라고 부르며 y=f(x), xО X 또는 f로 작성합니다. : X→Y. 그들은 또한 함수 f가 집합 X를 집합 Y에 매핑한다고 말합니다.

예를 들어, 그림 98a와 b에 표시된 대응 fc와 g는 함수이지만 그림 98c와 d의 대응은 함수가 아닙니다. 경우에 - 모든 요소 xÎX가 요소 yÎY에 해당하는 것은 아닙니다. d의 경우 고유성 조건이 충족되지 않습니다.

집합 X는 함수 θ의 정의 영역이라고 불리며 D(f)로 표시됩니다. 모든 уОY의 집합을 함수 f의 값 집합이라고 하며 E(f)로 표시합니다.

수치 함수. 함수 그래프. 기능 지정 방법

함수 fr : X→Y가 주어집니다.

집합 X와 Y의 요소가 실수(예: XÌ R 및 YÌ R)인 경우 함수 f를 숫자 함수라고 합니다. 앞으로 우리는 (원칙적으로) 수치 함수를 공부할 것입니다; 간결함을 위해 간단히 함수라고 부르고 y = f (x)라고 쓰겠습니다.

변수 x를 인수 또는 독립변수라고 하고, y를 함수 또는 (x의) 종속변수라고 합니다. 수량 x와 y 자체에 관해서는 기능적으로 종속적이라고 합니다. 때때로 x에 대한 y의 기능적 의존성은 의존성을 표시하기 위해 새로운 문자(f)를 도입하지 않고 y = y(x) 형식으로 작성됩니다.

개인적인 가치 x=a에 대한 함수 f(x)는 다음과 같이 작성됩니다: f(a). 예를 들어, fc(x)=2x 2 -3이면 fc(0)=-3, fc(2)=5입니다.

함수 그래프 y=(x)는 Oxy 평면의 모든 점의 집합입니다. 각 점의 x는 인수 값이고 y는 함수의 해당 값입니다.

예를 들어, 함수 y=√(1-2)의 그래프는 중심이 O(0;0)에 있는 반지름 R=1의 위쪽 반원입니다(그림 99 참조).

함수 y=f(x)를 설정하려면 x를 알고 해당 y 값을 찾을 수 있는 규칙을 지정해야 합니다.

함수를 지정하는 가장 일반적인 세 ​​가지 방법은 분석, 표, 그래픽입니다.

분석방법: 함수는 하나 이상의 수식이나 방정식으로 지정됩니다.

함수 y = f(x)의 정의 영역이 지정되지 않은 경우 해당 공식이 의미가 있는 인수의 모든 값 집합과 일치하는 것으로 가정됩니다. 따라서 함수 y = √(1-x2)의 정의 영역은 세그먼트 [-1; 1].

함수를 지정하는 분석적 방법은 함수 y=f(x)를 완전히 연구할 수 있는 수학적 분석 방법을 포함하므로 가장 발전된 방법입니다.

그래픽 방법: 함수의 그래프가 지정됩니다.

종종 그래프는 기록 장비에 의해 자동으로 그려지거나 디스플레이 화면에 표시됩니다. 인수 x의 특정 값에 해당하는 함수 y의 값을 이 그래프에서 직접 찾을 수 있습니다.

그래픽 작업의 장점은 명확성이며, 단점은 부정확성입니다.

테이블 형식: 함수는 일련의 인수 값과 해당 함수 값의 테이블로 지정됩니다. 예를 들어, 잘 알려진 삼각 함수 값 테이블, 로그 테이블.

실제로는 실험적으로나 관찰 결과로 얻은 함수값 표를 사용해야 하는 경우가 많습니다.

성적 증명서

1 평면의 2차 라인 챕터 1. 타원, 쌍곡선, 포물선 정의. 타원은 주어진 두 점 F1과 F까지의 거리의 합이 F1과 F 사이의 거리를 초과하는 상수 값인 평면의 모든 점의 집합입니다. M(, x) F 1 О F x 그림. 점 F1과 F를 타원의 초점이라고 하며, 두 점 사이의 거리 FF1이 초점 거리이며 c로 표시됩니다. 점 M이 타원에 속한다고 가정합니다. 세그먼트 F1 M과 F M을 점 M의 초점 반경이라고 합니다. F1F = c로 둡니다. 정의에 따르면 a > c. 초점 F 1과 F가 원점을 기준으로 대칭적으로 가로축에 위치하는 직사각형 직교 좌표계 Ox를 고려해 보겠습니다. 이 좌표계에서 타원은 표준 방정식: x + = 1, a b 1로 설명됩니다.

2. 여기서 b= a c 매개변수 a와 b는 각각 타원의 주요 반축과 보조 반축이라고 합니다. 타원의 이심률은 숫자 ε이며, 이는 초점 거리의 절반과 장반경 축의 비율과 같습니다. ε =. 타원 a의 이심률은 부등식 0 ε을 충족합니다.< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 쌍곡선의 정식 방정식은 x a = b 1,의 형식을 갖습니다. 여기서 b= c a 숫자 a와 b는 각각 쌍곡선의 실수 반축과 허수 반축이라고 합니다. 점의 부등식으로 정의된 영역 내부에는 쌍곡선이 없습니다. x a b 정의. 쌍곡선의 점근선은 방정식 = x, = x로 주어진 직선 b b입니다. a a 쌍곡선의 점 M(x,)의 초점 반경은 공식 r 1 = ε x a, r = ε x+ a를 사용하여 찾을 수 있습니다. 타원과 마찬가지로 쌍곡선의 이심률은 공식 ε =에 의해 결정됩니다. 쌍곡선의 이심률에 대해 부등식 ε a >1이 참인지 확인하는 것은 쉽습니다. 정의. 포물선은 주어진 점 F까지의 거리가 점 F를 통과하지 않는 주어진 직선 d까지의 거리와 동일한 평면의 모든 점의 집합입니다. 점 F를 포물선의 초점이라고 합니다. 직선 d는 준선입니다. 초점에서 준선까지의 거리를 포물선 매개변수라고 하며 p로 표시합니다. d M (x,) F x 그림. 4 3

4 점 F에서 직선 d까지 수직인 선분 FD의 중앙에서 직교 좌표계의 원점 O를 선택합시다. 이 좌표계에서 초점 F는 좌표 F p p ;0을 가지며 준선 d는 방정식 x + = 0으로 지정됩니다. 포물선의 표준 방정식은 = px입니다. 포물선은 포물선 축이라고 불리는 OF축을 중심으로 대칭입니다. 이 축과 포물선의 교차점 O를 포물선의 꼭지점이라고 합니다. 점 M(x,)의 초점 반경, 즉 초점까지의 p ​​거리는 공식 r = x+로 구됩니다. 10B.. 2차 직선의 일반 방정식 2차 직선은 좌표가 x이고 방정식 a x + a x+ a + a x+ a + a =0, ​​​11을 만족하는 평면의 점 집합입니다. 1 여기서 a11, a1, a, a10, a0, a00 일부 실수와 a, a, a는 동시에 0이 아닙니다. 이 방정식은 일반적인 2차 곡선 방정식이라고 하며 벡터 형식으로 작성할 수도 있습니다. rr r r (Ax, x) + (b, x) + a = 0, 여기서 00 a11 a1 r r A =, a1 a b = (a10 ; a0) , x = (x;). T A = A이므로 A는 r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x+ a 2차 형식의 행렬입니다. 타원, 쌍곡선 및 포물선은 평면의 2차 곡선의 예입니다. 위의 곡선 외에도 x 직선과 관련된 다른 유형의 2차 곡선이 있습니다. 예를 들어 방정식 = 0, 여기서 a 0, b 0, a b 4

5는 평면에 교차하는 한 쌍의 선을 정의합니다. 곡선의 방정식이 가장 간단한 형태를 취하는 좌표계를 표준이라고 합니다. 변환 구성 사용: 각도 α만큼 축 회전, 점(x0; 0)에 대한 좌표 원점의 평행 이동 및 가로축을 기준으로 한 반사, 2차 곡선의 방정식이 1로 감소됩니다. 표준 방정식 중 주요 방정식은 위에 나열되어 있습니다. 11B예제 1. 이심률 ε =이고 점 N(3;)이 세 번째 타원에 있는 것으로 알려진 경우 중심이 원점이고 초점이 가로축에 있는 타원의 표준 방정식을 작성합니다. x a b 타원 방정식: + = 1. =이 있습니다. a b a 3 9 여기에서 우리는 a = b를 계산합니다. 점 N(3;)의 좌표를 방정식에 대입하면 + = 1, b = 9 및 a b 81 a = = 16,을 얻습니다. 결과적으로, 타원 5 x + = 1. 16, 9의 표준 방정식은 원점에 중심이 있고 가로축에 초점이 있는 쌍곡선의 표준 방정식을 구성합니다(점 M 1 (5; 3)). 쌍곡선과 이심률 ε =. x 쌍곡선의 정식 방정식 = 1. 등식 a b a + b =로부터 b = a 5 9를 얻습니다. 따라서 = 1이고 a =16입니다. 따라서 타원의 정식 방정식 = a a a x 16 5

6 3. 초점 반경이 1.5인 포물선 = 10x에서 점을 찾습니다. 포물선은 오른쪽 반평면에 위치합니다. M (x;가 포물선 위에 있으면 x 0입니다. 매개변수 p = 5. (;)) M x를 원하는 점, F를 초점, ()를 포물선의 준선으로 둡니다. 그런 다음 F,5; 0, d: x=.5. FM = ρ(M, d)이므로 x +.5 = 1.5, 10 답: () 1 10;10 x =, = 100, =± 10. 따라서 두 개의 점을 얻었습니다. 남 10; 10 M, () 4. 방정식 x = 1로 주어진 쌍곡선의 오른쪽 가지에서 오른쪽 초점으로부터의 거리가 왼쪽 초점으로부터의 거리보다 두 배 작은 16 9 인 점을 찾습니다. 쌍곡선의 오른쪽 가지에 대해 초점 반경은 공식 r 1 = ε x a 및 r = ε x + a에 의해 결정됩니다. 결과적으로 우리는 방정식 ε x + a = (ε x a)를 얻습니다. 주어진 쌍곡선에 대해 a = 4, 5 c = = 5 및 ε =. 따라서 x = 9.6입니다. 따라서 =± x 16 =± d 답: 두 점 M 1 (9.6; 0.6 119), (9.6; 0.6 119) M. 5. 거리 비율이 다음과 같은 점에 대한 선의 방정식을 찾습니다. 점 F(3;0)에서 직선까지의 거리 1 x 8= 0은 ε =과 같습니다. 라인 이름과 해당 매개변수를 지정합니다. MX; 원하는 라인의 경우 동등성은 true입니다. 임의의 점의 경우 () FM (x 3) + 1 = =. ρ(ML,) x 8 6

7 여기에서 [(x 3) + ] = (x 8)이 됩니다. 괄호를 열고 용어를 재배열하면 (x+) + = 50이 됩니다. 즉, (x+) + = 답: 필요한 선은 한 점에 중심이 있고 반축 a = 5 및 b = 쌍곡선의 방정식을 찾는 타원입니다. 이전 좌표 O () x ; 0 ; ;, ;. 새로운 시스템(x ;)에서 C(;0) = 8과 새로운 시스템(zt ;)은 행렬 동등 1 1 x z 1 z+ t = 1 1 t = z t에 의해 관련됩니다. 이는 방정식 x = 8 z+ t z t = 8, zt = 4를 의미합니다. 답: zt = 4. γ:4x 4x+ 8x+ 4+ 3= 0을 정규 7로 만듭니다. 곡선을 정규 형식으로 만듭니다. 새로운 좌표의 형태는 다음과 같습니다. 이차 형태() q x, = 4x 4x+를 고려해보세요. 4 q 형식의 행렬은 고유값 5와 0과 해당 직교 벡터를 가지며 새로운 좌표계로 넘어 갑시다. 7

8z 1 1x. t = 5 1 이전 좌표(x;)를 새 좌표(zt)를 통해 표현합니다. : 1 1 z+ t x 1 z = 1 t =, 1 z t는 다음을 의미합니다. x = z+ t, = z+ t 표시된 표현식을 곡선 γ의 방정식에 대입하면 0= 4x 4x+ 8x = x= z+ 1 t, = 1 z+ t ( ) () ()() = 5z 4 5z+ 3= z 5 4 z 5 + 3= z 5 1 z 5 3. 이는 새 좌표에서 곡선 γ가 방정식 1 3으로 제공됨을 의미합니다. γ: z z =. = z, x = t로 설정하면 γ: =, 1을 얻습니다. 여기서 곡선 γ: = 0의 정식 좌표 = 5 x 1 1 x의 정식 방정식을 찾습니다. 곡선 γ는 한 쌍의 평행선입니다. 1B경제 및 재정 문제에 대한 부록 8. Anya, Boris 및 Dmitry가 과일을 사기 위해 각각 150루블을 갖게 하십시오. 배 1kg의 가격은 15화폐 단위이고, 사과 1kg의 가격은 10화폐 단위인 것으로 알려져 있습니다. 게다가 3개는 각각 8개

9에는 구매 시 최대한 제공하고자 하는 자체 유틸리티 기능이 있습니다. x1kg의 배와 xkg의 사과를 구입하자. 이러한 유틸리티 함수는 다음과 같습니다: Anya의 경우 u = x + x, Boris의 경우 1 A 1 x u B = +x, Dmitry의 경우 ud = x1 x. Anya, Boris 및 Dmitry에 대해 최대 유틸리티 기능을 제공하는 구매 계획(x1, x)을 찾아야 합니다. x 그림. 5 고려 중인 문제는 기하학적으로 해결될 수 있습니다. 이러한 문제를 해결하기 위해서는 레벨라인(level line)이라는 개념이 도입되어야 한다. x x 1 그림. 6 함수 z = f(x,)의 수준선은 함수가 h와 동일한 상수 값을 유지하는 평면 위의 모든 점의 집합입니다. x 9

10 이 경우, 선형 부등식(하위 섹션 1.4 참조)으로 지정된 평면의 기하학적 영역에 대한 초기 아이디어도 솔루션에 사용됩니다. x x 1 그림. 7 함수 ua, u B 및 u D의 수준선은 각각 Anya, Boris 및 Dmitry에 대한 직선, 타원 및 쌍곡선입니다. 문제의 의미에 따르면 x1 0, x 0이라고 가정합니다. 반면에 예산 제약 조건은 불평등 15x1+ 10x 150으로 작성됩니다. 마지막 불평등을 10으로 나누면 3x1+ x 30 또는 + 1이 됩니다. x1 x가 비음성 조건과 함께 이 부등식에 대한 해의 영역이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. x1 = 0, x = 0 및 3x1+ x = 선으로 둘러싸인 삼각형입니다.

11 X * X * 그림. 8 그림. 9 기하학적 도면을 기반으로 이제 uamax = ua(0.15) = 15, ubmax = ub(0.15) = 5 및 udmax = ud(Q)를 쉽게 설정할 수 있습니다. 예산 삼각형의 측면 수준에서 쌍곡선 접선의 점 Q 좌표를 분석적으로 계산해야 합니다. 이를 위해 점 Q는 세 가지 방정식을 충족합니다: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x " = =. x1 X * Fig.

12 방정식에서 h를 제거하면 점 Q= (x, x) = (5;7,5)의 좌표를 얻습니다. 답 1개: Q= (x1, x) = (5;7,5). 9. 비선형 모델회사의 비용과 이익. 한 회사가 두 가지 유형 A와 B의 다목적 장비를 각각 수량 x와 생산량 단위로 생산한다고 가정합니다. 이 경우 해당 기업의 해당 연도 소득은 소득함수 Rx(,) = 4x+로 표현되고, 생산비용은 비용함수 1 1 Cx(,) = 7.5+ x + 4로 표현되며, 이 중 기업이 최대로 받는 금액은 다음과 같다. 이익.. 3에서 생산계획(x, )을 결정한다.

13 이익 함수는 소득 함수와 비용 함수의 차이로 구성됩니다: 1 1 Π (x,) = R(x,) C(x,) = 4x+ 7.5 x. 4 변환을 마친 후 마지막 표현식을 1 1 Π (x,) = 9 (x 8) (1) 형식으로 줄입니다. 4 이익 함수의 수준선은 (x 8) (1) = h와 같습니다. 4 각 레벨 라인 0 h 9는 원점을 중심으로 하는 타원입니다. 결과 표현식에서 이익 함수의 최대값은 9이고 x = 8, = 1에서 달성된다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 답: x = 8, = 1. 13B연습 및 테스트 질문.1. 원의 정규방정식을 쓰세요. 원의 중심 좌표와 반지름을 구합니다. a) x + + 8x 6=0; b) x x = 0... 점 M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3;0)..3을 통과하는 원에 대한 방정식을 작성하십시오. 타원을 정의하고 표준 방정식을 작성합니다. 1의 이심률이 ε =이고 장반경이 다음과 같은 경우 타원의 표준 방정식을 작성합니다. 초점이 원점을 중심으로 세로축에 대칭으로 놓여 있는 타원의 방정식을 작성합니다. 초점 사이는 c = 4이고 이심률은 ε = 타원의 이심률을 결정합니다. 장반경이 단축의 4배인 경우 타원의 이심률을 구합니다. 33

14.6. 쌍곡선을 정의하고 표준 방정식을 작성합니다. 점 M(0; 0.5)과 방정식 = 1로 주어진 쌍곡선의 오른쪽 꼭지점을 통해 직선이 그려집니다. 선과 쌍곡선의 두 번째 교점 좌표를 구하고 쌍곡선의 이심률을 정의합니다. a = 1, b = 5이면 표준 방정식을 쓰십시오. 이 쌍곡선의 이심률은 얼마입니까?8. 표준 방정식에 의해 주어진 쌍곡선의 점근선에 대한 방정식을 작성하십시오. 쌍곡선 3의 점근선이 방정식 =± x로 주어지고 쌍곡선 5가 점 M (10; 3 3)..9를 통과하는 경우 쌍곡선 3에 대한 방정식을 작성하십시오. 포물선을 정의하고 표준 방정식을 작성합니다. x축이 대칭축이고 정점이 원점에 있고 Ox 축에 수직인 포물선 현의 길이가 8이고 정점에서 이 현까지의 거리가 포물선의 표준 방정식을 작성하세요. 포물선 = 1x에서 초점 반경이 명제이고 일부 제품에 대한 수요가 함수 p = 4q 1, p = +로 제공되는 점을 찾습니다. 시장 균형점을 찾아보세요. 1 q 그래프 구성..1. Andrey, Katya 및 Nikolay는 오렌지와 바나나를 구입할 예정입니다. x1kg의 오렌지와 xkg의 바나나를 구입하세요. 세 가지 각각에는 자신의 효용 함수가 있는데, 이는 그가 구매를 얼마나 유용하게 생각하는지를 보여줍니다. 이러한 유틸리티 함수는 Andrey의 경우 u = x + x, Katya의 경우 1 4 A 4 1 u K = x + x, Nikolay의 경우 un = x1 x입니다. a) 수준 값 h = 1, 3에 대한 효용 함수의 수준 선을 구성합니다. b) 각각에 대해 구매 선호도 순서대로 정렬합니다. r = (4,1), s = (3,8), t = (1,1). 34

분석 기하학 모듈. 평면과 공간의 해석기하학 7강 초록 평면 위의 2차선: 타원, 쌍곡선, 포물선. 정의, 일반적인 특성.

강의 N15. 2차 곡선. 1.원... 1.타원... 1 3.쌍곡선.... 4.포물선.... 4 1.원 2차 곡선은 2차 방정식으로 정의되는 선입니다.

8 2차 곡선 81 원 중심이라고 하는 한 점에서 반지름이라고 하는 거리에 있는 한 점에서 등거리에 있는 평면의 점 집합을 원이라고 합니다. 원의 중심을 다음과 같이 하십시오.

13강 주제: 2차 곡선 평면 위의 2차 곡선: 타원, 쌍곡선, 포물선. 기하학적 특성을 기반으로 2차 곡선에 대한 방정식 유도. 타원의 모양을 연구하고,

강의 2차 직선 쌍곡선 예를 들어 원, 포물선, 타원 및 원을 정의하는 방정식을 찾습니다. 원은 주어진 평면에서 등거리에 있는 평면 위의 점 집합입니다.

2차 곡선 원 타원 쌍곡선 포물선 직사각형 직교 좌표계를 평면에 지정합니다. 2차 곡선은 좌표가 다음을 만족하는 점들의 집합입니다.

공간 속의 직선과 평면 선형대수학 (11강) 2012-11-24 2 / 37 공간 속의 직선과 평면 두 점 사이의 거리 M 1 (x 1, y 1, z 1)과 M 2 (x 2, y 2, z 2)

교육과학부 러시아 연방야로슬라블 주립대학교의 이름을 따서 명명되었습니다. P. G. Demidova 대수학 및 수학 논리학 2차 곡선 파트 I 지침

3. 쌍곡선 및 그 속성 정의 3.. 쌍곡선은 직각 직교 좌표계에서 방정식 0. (3.)에 의해 정의된 곡선이며 등식 (3.)을 표준 방정식이라고 합니다.

실기 1 주제: 쌍곡선 계획 1 쌍곡선의 정의와 정준방정식 기하학적 특성쌍곡선 쌍곡선과 그 중심을 통과하는 선의 상대적인 위치 점근선

강의 노트 13 타원, 쌍곡선 및 포물선 0. 강의 계획 타원, 쌍곡선 및 포물선을 강의합니다. 1. 타원. 1.1. 타원의 정의; 1.2. 표준 좌표계의 정의 1.3. 방정식의 유도

모듈 타원 하이퍼볼라 파라볼라 실습 주제: 타원 평면 정의 및 타원의 표준 방정식 타원의 기하학적 특성 이심률 이심률에 대한 타원 모양의 의존성

두 번째 과제 1. 평면 위의 직선. 1. 두 개의 선은 벡터 방정식 (, rn) = D 및 r= r + a, 및 (an,) 0으로 제공됩니다. 선 교차점의 반경 벡터를 찾습니다. 0t. 반경 벡터가 있는 점 M 0이 주어지면

2차 곡선. 정의: 2차 곡선)은 2차 대수 방정식을 충족하는 평면의 점 집합(M), 데카르트 좌표 X, Y입니다.

평면 위의 대수선.. 1차 직선(평면 위의 선... 평면 위의 선 방정식의 기본 유형. 주어진 선에 수직인 0이 아닌 벡터 n을 법선이라고 합니다.

타원 및 해당 속성 정의.. 타원은 일부 직사각형 직교 좌표계에서 방정식 b, b 0으로 정의된 2차 곡선입니다. (.) 등호(.)를 표준(canonical)이라고 합니다.

0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 강의 9 타원, 쌍곡선 및 파라볼라 1. 타원의 표준방정식 정의 1. 타원은 평면 위의 점 M의 기하학적 궤적이며, 각 점으로부터의 거리의 합입니다.

분석 기하학 요소 3차원 공간에서 평면 분류 평면의 벡터 방정식을 작성하고 이 방정식에 포함된 양의 의미를 설명합니다. 평면의 일반 방정식을 작성합니다.

12과 타원, 쌍곡선, 포물선. 정식 방정식. 타원은 두 고정점 F1과 F2로부터의 거리의 합이 호출되는 평면 위의 점 M의 기하학적 궤적입니다.

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시험. 주어진 행렬 A, B, D. 다음과 같은 경우 AB 9D를 구합니다. 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 행렬 A 3과 B 3을 곱합니다. 결과는 다음과 같습니다. 요소로 구성된 크기 3 3의 C이어야 합니다.

9장 평면 위의 곡선. 2차 곡선 9. 기본 개념 직교 좌표계 Oxy의 곡선 Г는 점 M(x, y)가 곡선에 속하면 방정식 F(,) = 0을 갖는다고 합니다.

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CHAPTER 5. 분석 기하학 5.. 평면 위의 직선 방정식 F(x, y) 0 형식의 방정식이 주어진 평면 위에 있는 임의의 점의 좌표로 만족되면 직선 방정식이라고 합니다.

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1. 유클리드 평면의 2차선.

2. 2차선 방정식의 불변성.

3. 방정식의 불변량으로부터 2차 선의 유형을 결정합니다.

4. 아핀평면 위의 2차선. 고유성 정리.

5. 2차 주문 라인의 중심.

6. 2차선의 점근선과 지름.

7. 2차 방정식을 가장 간단한 방정식으로 줄입니다.

8. 2차 라인의 주요 방향과 직경.

서지

1. 유클리드 평면의 2차선.

정의:

유클리드 평면 2차원 공간이고,

(2차원 실제 공간).

2차선은 원뿔과 꼭지점을 통과하지 않는 평면이 만나는 선입니다.

이 선은 자연과학의 다양한 질문에서 흔히 발견됩니다. 예를 들어, 중심 중력장의 영향을 받는 물질 점의 이동은 이러한 선 중 하나를 따라 발생합니다.

절단 평면이 원뿔의 한 공동의 모든 직선 생성선과 교차하면 단면은 다음과 같은 선을 생성합니다. 타원(그림 1.1, a). 절단 평면이 원뿔의 두 공동 모선과 교차하면 단면은 다음과 같은 선을 생성합니다. 과장법(그림 1.1,6). 그리고 마지막으로 절단 평면이 원뿔의 생성선 중 하나와 평행한 경우(1.1에서, V- 이것은 발전기입니다 AB),그러면 섹션에서 다음과 같은 줄이 생성됩니다. 포물선.쌀. 1.1은 제공 시각적 표현고려중인 선의 모양에 대해.

그림 1.1

두 번째 순서선의 일반 방정식은 다음과 같습니다.

(1)

(1*)

타원 는 두 점까지의 거리의 합이 되는 평면상의 점들의 집합입니다.고정점에프 1 그리고에프 2 초점이라고 불리는 이 평면은 일정한 값입니다.

이 경우 타원 초점의 일치는 배제되지 않습니다. 확실히 초점이 일치하면 타원은 원입니다.

타원의 표준 방정식을 도출하기 위해 선분 중앙에서 데카르트 좌표계의 원점 O를 선택합니다. 에프 1 에프 2 , 그리고 축 오그리고 OU그림과 같이 방향을 잡아보자. 1.2 (트릭이라면 에프 1 그리고 에프 2 일치하면 O는 다음과 일치합니다. 에프 1 그리고 에프 2, 축의 경우 오통과하는 모든 축을 사용할 수 있습니다. 에 대한).

세그먼트의 길이를 보자 에프 1 에프 2 에프 1 그리고 에프 2 각각 (-с, 0) 및 (с, 0) 좌표를 갖습니다. 다음으로 나타내자 2a타원의 정의에 언급된 상수. 분명히 2a > 2c입니다. a > c (만약에 중- 타원의 점(그림 1.2 참조), 그런 다음 | M.F. ] |+ | M.F. 2 | = 2 ㅏ, 그리고 두 변의 합이니까 M.F. 1 그리고 M.F. 2 삼각형 M.F. 1 에프 2 더 많은 제3자 에프 1 에프 2 = 2c, 그다음 2a > 2c. 2a=2c인 경우를 배제하는 것은 당연하다. 중세그먼트에 위치 에프 1 에프 2 타원은 세그먼트로 퇴화됩니다. ).

허락하다 중 (x, y)(그림 1.2). 점으로부터의 거리를 r 1 과 r 2 로 표시하겠습니다. 중포인트로 에프 1 그리고 에프 2 각기. 타원의 정의에 따르면 평등

아르 자형 1 + 아르 자형 2 = 2a(1.1)

는 주어진 타원 위의 점 M(x, y)의 위치에 대한 필요충분조건입니다.

두 점 사이의 거리 공식을 사용하면

(1.2)

(1.1)과 (1.2)로부터 다음과 같다. 비율

(1.3)

주어진 타원에서 x와 y 좌표를 가진 점 M의 위치에 대한 필요충분조건을 나타냅니다.따라서 관계식 (1.3)은 다음과 같이 간주될 수 있다. 타원 방정식."라디칼 파괴"라는 표준 방법을 사용하면 이 방정식은 다음과 같은 형태로 축소됩니다.

(1.4) (1.5)

식 (1.4)는 다음과 같다. 대수적 추론타원 방정식 (1.3), 좌표 x와 y어느 지점이든 중타원은 방정식 (1.4)도 만족합니다. 근수 제거와 관련된 대수 변환 중에 "여분의 근"이 나타날 수 있으므로 모든 점이 다음과 같은지 확인해야 합니다. 중,그의 좌표는 방정식 (1.4)을 만족하며 이 타원에 위치합니다. 이를 위해서는 분명히 r의 값이 다음과 같다는 것을 증명하는 것으로 충분합니다. 1 그리고 r 2 각 점에 대해 관계식 (1.1)을 충족합니다. 그럼 좌표를 보자 엑스그리고 ~에포인트들 중식 (1.4)를 만족시킨다. 값 대체 2시에(1.4)에서 r 1에 대한 식 (1.2)의 오른쪽까지, 간단한 변환 후에 우리는 다음을 발견합니다. 매우 유사하게 우리는 다음을 발견합니다: (1.6)

즉. 아르 자형 1 + 아르 자형 2 = 2a,따라서 점 M은 타원 위에 위치합니다. 식 (1.4)는 다음과 같다. 타원의 표준 방정식.수량 ㅏ그리고 비그에 따라 호출됩니다 타원의 주요 및 보조 반축("큰"과 "작은"이라는 이름은 다음과 같은 사실로 설명됩니다. a>b).

논평. 타원의 반축인 경우 ㅏ그리고 비가 같으면 타원은 반지름이 다음과 같은 원입니다. 아르 자형 = ㅏ = 비, 중심은 원점과 일치합니다.

과장법 두 고정점까지의 거리 차이의 절대값이 다음과 같은 평면 위의 점 집합입니다.에프 1 그리고에프 2 초점이라고 불리는 이 평면에는 상수 값(트릭 에프 1 그리고 에프 2 쌍곡선의 정의에 표시된 상수가 0이 아닌 경우 쌍곡선이 일치하면 평면의 단일 점이 없기 때문에 쌍곡선을 다르게 간주하는 것이 당연합니다. 에프 1 그리고 에프 2 , 이는 쌍곡선 정의에 대한 요구 사항을 충족합니다. 이 상수가 0이고 에프 1 일치하다 에프 2 , 그러면 평면 위의 모든 점은 쌍곡선 정의에 대한 요구 사항을 충족합니다. ).

쌍곡선의 표준방정식을 도출하기 위해 선분 중간에 있는 좌표의 원점을 선택합니다. 에프 1 에프 2 , 그리고 축 오그리고 OU그림과 같이 방향을 잡아보자. 1.2. 세그먼트의 길이를 보자 에프 1 에프 2 2s와 같습니다. 그런 다음 선택한 좌표계에서 점 에프 1 그리고 에프 2 각각 (-с, 0)과 (с, 0) 좌표를 2로 표시하겠습니다. ㅏ쌍곡선의 정의에 언급된 상수. 분명히 2a< 2с, т. е. ㅏ< с.

허락하다 중- 좌표가 있는 평면의 점 (x, y)(그림 1,2). r 1 과 r 2 로 거리를 나타내자 M.F. 1 그리고 M.F. 2 . 쌍곡선의 정의에 따르면 평등

(1.7)

주어진 쌍곡선에서 점 M의 위치에 대한 필요충분조건입니다.

r 1 과 r 2 에 대한 식 (1.2)와 관계식 (1.7)을 사용하여 다음을 얻습니다. 주어진 쌍곡선에서 좌표 x와 y를 갖는 점 M의 위치에 대한 필요충분조건:

. (1.8)

"라디칼 파괴"라는 표준 방법을 사용하여 방정식 (1.8)을 다음 형식으로 줄입니다.

(1.9) (1.10)

우리는 방정식 (1.8)을 대수적으로 변환하여 얻은 방정식 (1.9)가 새로운 근을 얻지 않았는지 확인해야 합니다. 이를 위해서는 각 포인트에 대해 다음을 증명하는 것으로 충분합니다. 중,좌표 엑스그리고 ~에식(1.9)을 만족하는 r1과 r2의 값은 관계식(1.7)을 만족한다. 공식(1.6)을 도출할 때 만들어진 것과 유사한 주장을 수행하면 우리가 관심 있는 양인 r 1 및 r 2에 대한 다음 표현식을 찾을 수 있습니다.

(1.11)

따라서 문제의 지점에 대해서는 중우리는

, 그러므로 그것은 쌍곡선 위에 위치합니다.

식 (1.9)는 다음과 같다. 쌍곡선의 표준 방정식.수량 ㅏ그리고 비각각 현실과 상상이라고 부른다. 쌍곡선의 반축.

포물선 어떤 고정점까지의 거리가 다음과 같은 평면상의 점들의 집합이다.에프이 평면은 고려중인 평면에 위치한 일부 고정 직선까지의 거리와 같습니다.

(MIF-2, No. 3, 2005)

비행기의 2차 주문 라인

P. 1. 두 번째 주문 라인의 정의

직사각형 직교 좌표계(XOY)가 지정된 평면을 생각해 보세요. 그런 다음 임의의 점 M은 좌표(x, y)에 의해 고유하게 결정됩니다. 또한 숫자 쌍(x, y)은 평면의 특정 지점을 정의합니다. 점의 좌표는 특정 조건(예: 미지수(x, y)에 대한 일부 방정식 f(x, y) = 0)을 충족할 수 있습니다. 이 경우 그들은 방정식 f(x, y)=0이 평면의 특정 형상을 정의한다고 말합니다. 예를 살펴 보겠습니다.

예시 1.기능을 고려하십시오 와이= 에프( 엑스). 이 함수 그래프의 점 좌표는 다음 방정식을 만족합니다. 와이– 에프( 엑스) = 0.

예시 2.방정식 (*), 여기서 ㅏ, 비, 씨– 일부 숫자는 평면의 특정 직선을 정의합니다. ((*) 형식의 방정식을 호출합니다. 선의).

예시 3.쌍곡선 그래프는 좌표가 https://pandia.ru/text/80/134/images/image004_92.gif" width="161" height="25"> 방정식을 충족하는 점으로 구성됩니다.

정의 1. 형식의 방정식(**), 여기서 계수 중 하나 이상이 DIV_ADBLOCK75">

우리는 기하학과 물리적 특성위에서 언급한 라인. 타원부터 시작해 보겠습니다.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image008_54.gif" width="79" height="44 src="> (1).

방정식 (1)은 다음과 같이 호출됩니다. 표준적인타원의 방정식.

타원의 모양은 그림 1에서 판단할 수 있습니다.

넣어 보자. 포인트라고 합니다 트릭타원. 트릭과 관련된 흥미로운 속성이 많이 있으며, 이에 대해서는 아래에서 논의하겠습니다.

정의 4. 과장법 모든 점의 좌표가 다음 방정식을 만족하는 평면 위의 도형입니다.

(2).

방정식 (2)는 다음과 같습니다. 표준적인쌍곡선 방정식. 쌍곡선의 유형은 그림 2에서 판단할 수 있습니다.

넣어 보자. 포인트라고 합니다 트릭과장법. 매개변수 ㅏ~라고 불리는 유효한, 그리고 매개변수 비- 가상의 반축쌍곡선은 각각 황소– 진짜, 그리고 오– 쌍곡선의 허수축.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image016_34.gif" width="61" height="41">라고 합니다. 점근선. ~에 큰 값매개변수 엑스점근선의 점은 무한히 가까운 쌍곡선의 가지에 접근합니다. 그림 2에서 점근선은 점선으로 표시됩니다.

정의 5. 포물선은 모든 점의 좌표가 다음 방정식을 만족하는 평면 위의 도형입니다.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image018_28.gif" width="47" height="45 src=">.

P. 3. LVP 포커스의 속성

A.2의 각 LVP에 대해. 특별한 포인트가 표시되었습니다 - 트릭. 이러한 점은 타원, 쌍곡선, 포물선의 중요한 특성을 설명하는 데 큰 역할을 합니다. 우리는 이러한 속성을 정리의 형태로 공식화합니다.

정리. 1. 타원은 점들의 집합이다중, 이 점에서 초점까지의 거리의 합은 2와 같습니다.ㅏ:

https://pandia.ru/text/80/134/images/image020_26.gif" width="115" height="23 src="> (5).

포물선에 대한 유사한 속성을 공식화하기 위해 우리는 다음을 정의합니다. 여자 교장. 똑바르다 디, 방정식 https://pandia.ru/text/80/134/images/image022_23.gif" width="103" height="21 src="> (6)로 제공됩니다.

P. 4. 초점과 접선

https://pandia.ru/text/80/134/images/image024_24.gif" align="right" width="322" height="386 src=">.gif" width="52" height="24 src=">는 해당 HDL에 속합니다. 다음은 이 점을 통과하는 접선에 대한 방정식입니다.

– 타원의 경우, (7)

– 과장법의 경우, (8)

- 포물선의 경우. (9)

타원이나 쌍곡선을 사용하여 두 초점에서 접선 지점까지 세그먼트를 그리는 경우(이들을 호출합니다.) 초점 반경포인트) 그러면 놀라운 사실이 드러날 것입니다 재산(그림 5 및 6 참조): 초점 반경은 이 지점에 그려진 접선과 동일한 각도를 형성합니다.

이 속성은 흥미로운 물리적 해석을 가지고 있습니다. 예를 들어, 타원의 윤곽이 대칭된다고 생각하면 하나의 초점에 위치한 점 광원의 광선은 회로 벽에서 반사된 후 반드시 두 번째 초점을 통과합니다..

큰 실제 사용포물선에 대해 유사한 특성을 얻었습니다. 사실은 포물선의 임의 점의 초점 반경은 이 점에 그려진 접선과 각도가 접선과 포물선 축 사이의 각도와 같습니다..

물리적으로 이는 다음과 같이 해석됩니다. 포물선의 초점에 위치한 점의 광선은 벽에서 반사된 후 포물선의 대칭축에 평행하게 전파됩니다.. 이것이 랜턴과 스포트라이트의 거울이 포물선 모양을 갖는 이유입니다. 그건 그렇고, 포물선 축과 평행 한 빛의 흐름 (전파)이 들어 오면 벽에서 반사 된 후 모든 광선이 초점을 통과합니다. 레이더뿐만 아니라 우주 통신국도 이 원리에 따라 작동합니다.

P. 5. 좀 더 물리학

HDL은 물리학과 천문학에서 널리 사용됩니다. 따라서 상대적으로 가벼운 몸체(예: 위성)가 LVP 중 하나를 나타내는 궤적을 따라 더 무거운 몸체(행성 또는 별)의 중력장에서 움직이는 것으로 나타났습니다. 이 경우 더 큰 몸체가 이 궤적의 초점이 됩니다.

처음으로 이러한 특성이 자세히 연구되었습니다. 요하네스 케플러 그리고 그 법칙을 케플러의 법칙이라고 불렀습니다.

10학년 학생을 위한 시험 1번

자가 테스트 질문(작업당 5점)

M.10.1.1. HDL을 정의합니다. LVP를 정의하는 방정식의 몇 가지 예를 들어보세요.

M.10.1.2. a) 타원, b) 쌍곡선의 초점 좌표를 계산합니다. ㅏ=13, 비=5.

M.10.1.3.이 선이 좌표 (5, 6) 및 (-8, 7)을 갖는 점을 통과하는 것으로 알려진 경우 a) 타원, b) 쌍곡선의 표준 방정식을 작성하십시오.

M.10.1.4.방정식 (9)에 의해 주어진 직선이 실제로 좌표가 있는 점에서만 방정식 (3)에 의해 주어진 포물선과 교차하는지 확인하십시오. ( 메모: 먼저 접선 방정식을 포물선 방정식에 대입한 다음 결과 이차 방정식의 판별식이 0인지 확인합니다..)

M.10.1.5.좌표가 있는 점에서 실수 반축 8과 허수 반축 – 4를 사용하여 쌍곡선의 접선에 대한 방정식을 작성합니다. 엑스=11은 점의 두 번째 좌표가 음수인 경우입니다.

실무(10점)

M.10.1.6.다음에 따라 여러 타원을 구성합니다. 다음 방법으로: 종이 한 장을 합판에 고정하고 두 개의 단추를 종이에 붙입니다(완전히 붙이지는 않음). 실 한 조각을 가져다가 끝을 묶습니다. 결과 루프를 두 버튼 (미래 타원의 초점) 위에 던지고 날카로운 연필 끝으로 실을 당기고 조심스럽게 선을 그려 실이 팽팽한 지 확인하십시오. 루프의 크기를 변경하면 여러 공초점 타원을 만들 수 있습니다. 정리 1을 사용하여 결과 선이 실제로 타원임을 설명하고 단추 사이의 거리와 스레드 길이를 알면 타원의 반축을 계산할 수 있는 방법을 설명하십시오.

데카르트 좌표에서 1차 방정식은 특정 직선을 정의합니다.

데카르트 좌표의 1차 방정식에 의해 결정되는 선을 1차 선이라고 합니다. 결과적으로, 각 직선은 1차 선입니다.

직선의 일반 방정식(1차 일반 방정식으로)는 다음 형식의 방정식으로 결정됩니다.

오 + 우 + 와 함께 = 0.

불완전한 직선 방정식을 생각해 봅시다.

1. 와 함께= 0. 직선 방정식의 형식은 다음과 같습니다. 아 + 우 = 0; 직선은 원점을 통과합니다.

2. 안에 = 0 (ㅏ 0 번). 방정식은 다음과 같습니다 오 + 와 함께= 0 또는 엑스 =ㅏ, 어디 ㅏ= 직선이 점을 통과한다 ㅏ(ㅏ; 0) 축과 평행하다. OU. 숫자 ㅏ 오(그림 1).

쌀. 1

만약에 ㅏ= 0이면 직선이 축과 일치합니다. OU. 세로축 Oy의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.: 엑스 = 0.

3. ㅏ = 0 (안에 0 번). 방정식은 다음과 같습니다. 우 + 와 함께= 0 또는 ~에 = 비, 어디 비= . 직선이 한 점을 지나간다 안에(0; 비), 축과 평행하다 오. 숫자 비축에서 직선이 잘라내는 세그먼트의 값입니다. OU(그림 2).

쌀. 2

b = 0이면 직선은 x축 Ox와 일치합니다. x축 Ox의 방정식은 y = 0 형식을 갖습니다.

축의 세그먼트에 있는 선의 방정식다음 방정식에 의해 결정됩니다.

숫자는 어디에 있습니까? ㅏ그리고 비좌표축에서 직선으로 잘라낸 세그먼트의 값입니다 (그림 3).

(엑스 0 ;~에 0)법선 벡터에 수직 = {ㅏ; 비)는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

ㅏ(엑스 – 엑스 0) + 안에(~에 – ~에 0) = 0.

주어진 점 M을 지나는 직선의 방정식(엑스 0 ; ~에 0) 방향 벡터와 평행 = {엘; 중)의 형식은 다음과 같습니다.

주어진 두 점 M을 지나는 직선의 방정식 1 (엑스 1 ; ~에 1) 그리고 중 2 (엑스 2 ; ~에 2) 다음 방정식에 의해 결정됩니다.

선 k의 기울기축에 대한 선의 경사각의 접선이라고합니다. 오는 축의 양의 방향에서 시계 반대 방향의 직선까지 측정되며, 케이=tgα.

기울기가 k인 직선의 방정식형식은 다음과 같습니다.

y = khx + 비,

어디 케이=tgα, 비– 축의 직선으로 잘린 세그먼트의 크기 OU(그림 4).

주어진 점 M을 지나는 직선의 방정식(엑스 0 ;~에 0)이 방향으로(경사 케이알려진), 다음 공식에 의해 결정됩니다.

y - y 0 = 케이(엑스 –엑스 0).

주어진 점 M을 통과하는 선의 연필 방정식(엑스 0 ;~에 0) (기울기 케이알 수 없음), 다음 공식에 의해 결정됩니다.

y - y 0 = 케이(엑스 –엑스 0).

선의 교차점을 통과하는 선의 연필 방정식

ㅏ 1 엑스 + 안에 1 ~에 + 와 함께 1 = 0 및 ㅏ 2 엑스 + 안에 2 ~에 + 와 함께 2 = 0, 다음 공식에 의해 결정됩니다.

α( ㅏ 1 엑스 + 안에 1 ~에 + 와 함께 1) +β( ㅏ 2 엑스 + 안에 2 ~에 + 와 함께 2) = 0.

모서리 j, 직선에서 시계 반대 방향으로 계산 와이 = 케이 1 엑스 + 비 1에서 직선으로 와이 = 케이 2 엑스 + 비 2는 공식에 의해 결정됩니다 (그림 5).

일반 방정식으로 주어진 선의 경우 ㅏ 1 엑스 + 안에 1 ~에 + 와 함께 1 = 0 및 ㅏ 2 엑스 + 안에 2 ~에 + 와 함께 2 = 0인 경우 두 직선 사이의 각도는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

두 선의 병렬성 조건은 다음과 같은 형식을 갖습니다.: 케이 1 = 케이 2 또는 .

두 직선이 수직일 때의 조건은 다음과 같다.: 또는 ㅏ 1 ㅏ 2 + 안에 1 안에 2 = 0.

직선의 정규 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.:

엑스 cosα + 와이죄α – 피 = 0,

어디 피 -원점에서 직선까지 떨어진 수직선의 길이, α는 축의 양의 방향에 대한 수직선의 경사각입니다. 오(그림 6).

직선의 일반 방정식을 제공하려면 오 + 우 + 와 함께= 0을 정규 형식으로 변환하려면 모든 항에 다음을 곱해야 합니다. 정규화 인자 μ= , 자유 용어 기호 반대 기호로 촬영 와 함께.

M점으로부터의 거리(엑스 0 ;~에 0)똑바로 아 + 우 + 와 함께= 0은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

선 A 사이의 각도의 이등분선 방정식 1 엑스 + 안에 1 ~에 + 와 함께 1 = 0 및 ㅏ 2 엑스 + 안에 2 ~에 + 와 함께 2 = 0은 다음과 같습니다:

실시예 4. 삼각형의 꼭지점이 주어졌을 때 알파벳: ㅏ (–5; –7), 안에 (7; 2), 와 함께(–6; 8). 찾기: 1) 측면 길이 AB; 2) 변의 방정식 AB그리고 교류그리고 그들의 각도 계수; 3) 내부 코너 안에; 4) 중앙 방정식 AE; 5) 방정식과 높이 길이 CD; 6) 이등분 방정식 AK; 7) 한 점을 지나는 선의 방정식 이자형측면에 평행 AB; 8) 점좌표 중, 점에 대칭으로 위치 ㅏ비교적 직선 CD.

1. 거리 디두 지점 사이 ㅏ(엑스 1 ; ~에 1) 그리고 안에(엑스 2 ; ~에 2) 공식에 의해 결정됩니다.

변의 길이 구하기 AB두 점 사이의 거리만큼 ㅏ(–7; –8) 및 안에(8; –3):

2. 점을 지나는 선의 방정식 ㅏ(엑스 1 ; ~에 1) 그리고 안에(엑스 2 ;와이 2) 형식은 다음과 같습니다.

점의 좌표 대체 ㅏ그리고 안에, 우리는 변의 방정식을 얻습니다 AB:

3(엑스+ 5) = 4(~에+ 7); 3엑스– 4~에– 13 = 0 (AB).

경사를 찾으려면 케이 AB똑바로 ( AB) 다음과 관련하여 결과 방정식을 풀어 보겠습니다. ~에:

4와이= 3엑스– 13;

– 선의 방정식 ( AB) 경사가 있는,

마찬가지로, 점의 좌표를 대체하면 안에그리고 와 함께, 우리는 직선의 방정식을 얻습니다 ( 해):

6엑스– 42 = –13~에+ 26; 6엑스+ 13와이– 68 = 0 (기원전).

직선의 방정식을 풀어보자( 해)비교적 ~에: .

3. 각도 계수가 동일한 두 직선 사이의 각도 j의 접선 케이 1과 케이 2는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

내부 코너 안에직선( AB) 그리고 ( 해), 이는 직선이 회전해야 하는 예각입니다. 해직선( AB). 그러므로 공식에 대입해 보겠습니다. 케이 1 = , 케이 2 = :

Ð 안에= arctg = arctg 1.575 » 57.59°.

4. 중앙 방정식을 찾으려면( AE), 먼저 점의 좌표를 결정합니다 이자형,옆면의 중간지점이다 해.이를 위해 세그먼트를 두 개의 동일한 부분으로 나누는 공식을 적용합니다.

그러므로 요점은 이자형좌표가 있습니다: 이자형(0,5; 5).

두 점을 지나는 직선의 방정식에 점의 좌표를 대입하면 ㅏ그리고 이자형, 우리는 중간 방정식을 찾습니다 ( AE):

24엑스 – 11~에 + 43 = 0 (AE).

5. 키가 크니까 CD측면에 수직 AB, 직선( AB) 직선에 수직 ( CD). 높이의 기울기를 구하려면 CD,두 직선의 수직성 조건을 사용해 보겠습니다.

주어진 점을 지나는 선의 방정식 중(엑스 0 ; ~에 0) 주어진 방향(기울기)으로 케이알려져 있음)의 형식은 다음과 같습니다.

와이 – 와이 0 = 케이 (엑스 – 엑스 0).

점의 좌표를 마지막 방정식에 대입 와 함께(-6; 8) 및 , 우리는 높이 방정식을 얻습니다 CD:

~에 – 8 = (엑스 -(–6)), 3~에 – 24 = – 4엑스– 24, 4엑스 + 3~에 = 0 (CD).

지점으로부터의 거리 중(엑스 0 ; ~에 0) 직선으로 Аx + By+C = 0은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

높이 길이 CD그 점으로부터의 거리로 구하라 와 함께(–6; 8)을 직선( AB): 3엑스 – 4~에– 13. 필요한 수량을 공식에 ​​대입하면 길이를 찾습니다. CD:

6. 직선 사이의 각도의 이등분선 방정식 도끼 + 으로 + C= 0과
ㅏ 1 x+B 1 와이 + 씨 1 = 0은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

이등분 방정식 AK직선 사이의 각도의 이등분선에 대한 방정식 중 하나를 찾습니다( AB)그리고 ( 교류).

직선의 방정식을 만들어 봅시다( 교류) 두 점을 통과하는 선의 방정식으로 ㅏ(–5; –7) 및 와 함께 (–6; 8):

마지막 방정식을 변환해 보겠습니다.

15(엑스+ 5) = – (~에+ 7); 15x + y + 82 = 0 (교류).

다음의 계수를 대체하면 일반 방정식똑바로 ( AB)그리고 ( 교류), 각도 이등분선의 방정식을 얻습니다.

마지막 방정식을 변환해 보겠습니다.

; (3엑스 – 4~에– 13) = ± 5 (15 x + y + 82);

3 엑스 - 4 ~에– 13 = ± (75 엑스 +5~에 + 410).

두 가지 경우를 고려해 보겠습니다.

1) 3 엑스 - 4 ~에 – 13 = 75엑스 +5~에+ 410.у l АВ .

삼각형 알파벳,키 CD, 중앙값 AE, 이등분선 AK, 똑바로 엘및 기간 중좌표계로 구성 오오(그림 7).