확률론적 모델은 어떤 경우에 사용되나요? 확률론의 기초. 확률론적 모델. 기호 모델링의 중요한 유형은 연구 중인 다양한 물체와 현상이 동일할 수 있다는 사실에 기초한 수학적 모델링입니다.

수학적 모델

2.1. 문제의 공식화

결정론적 모델의 프로세스를 설명합니다. 결정론적인시스템.

결정론적 시스템입력 신호와 출력 신호(프로세스) 사이의 명확한 대응(관계)이 특징입니다.

이러한 시스템의 입력 신호가 주어지면 그 특성 y = F(x)와 초기 상태가 알려지면 언제든지 시스템 출력의 신호 값이 고유하게 결정됩니다. (그림 2.1).

존재한다 두 가지 접근법물리적 시스템 연구에: 결정론적이고 확률론적이다.

결정론적 접근 방식물리적 시스템의 결정론적 수학적 모델의 사용을 기반으로 합니다.

확률론적 접근물리적 시스템의 확률론적 수학적 모델의 사용이 포함됩니다.

확률론적 수학적 모델외부 및 내부 요인의 영향을 받아 작동하는 실제 시스템의 물리적 프로세스를 가장 적절하게(신뢰할 수 있게) 반영합니다. 무작위 요인(잡음).

2.2. 변량 요인(잡음)

내부 요인 −

1) 전자 부품의 온도 및 시간 불안정성;

2) 공급 전압의 불안정성;

3) 디지털 시스템의 양자화 잡음;

4) 주 전하 캐리어의 생성 및 재결합 과정이 고르지 않아 반도체 장치의 소음이 발생합니다.

5) 전하 캐리어의 열적 혼란 이동으로 인한 도체의 열 잡음;

6) 캐리어가 잠재적인 장벽을 극복하는 과정의 무작위 특성으로 인해 반도체의 샷 노이즈;

7) 플리커(flicker) - 전자기기 등의 재료의 개별 영역의 물리적, 화학적 상태의 느리고 무작위적인 변동으로 인해 발생하는 소음입니다.

외부 요인 –

1) 외부 전기장 및 자기장

2) 전자기 폭풍;

3) 산업 운영 및 운송과 관련된 간섭;

4) 진동;

5) 우주선, 주변 물체의 열복사 영향;

6) 온도, 압력, 공기 습도의 변동;

7) 공기의 먼지 등

무작위 요인의 영향(존재)은 그림 1에 표시된 상황 중 하나로 이어집니다. 2.2:

와 함께 그러므로 물리적 시스템의 결정론적 성격에 대한 가정과 결정론적 수학적 모델에 의한 설명은 다음과 같습니다. 실제 시스템의 이상화.실제로 우리는 그림 1에 묘사된 상황을 갖고 있습니다. 2.3.

결정론적 모델이 허용됩니다.다음과 같은 경우:

1) 무작위 요인의 영향은 매우 미미하므로 이를 무시해도 모델링 결과가 눈에 띄게 왜곡되지는 않습니다.

2) 결정론적 수학적 모델은 평균적인 의미에서 실제 물리적 프로세스를 반영합니다.

모델링 결과의 높은 정확도가 필요하지 않은 작업에서는 결정론적 모델이 선호됩니다. 이는 결정론적 수학적 모델의 구현 및 분석이 확률론적 모델보다 훨씬 간단하다는 사실로 설명됩니다.

결정론적 모델 받아들일 수 없는다음 상황에서: 무작위 프로세스 Ω(t)는 결정론적 프로세스 x(t)와 유사합니다. 결정론적 수학적 모델을 사용하여 얻은 결과는 실제 프로세스에 적합하지 않습니다. 이는 레이더 시스템, 유도 및 제어 시스템에 적용됩니다. 항공기, 통신 시스템, 텔레비전, 내비게이션 시스템, 약한 신호로 작동하는 모든 시스템, 전자 제어 장치, 정밀 측정 장치 등에 적용됩니다.

수학적 모델링에서 무작위 과정종종 시간의 무작위 함수로 간주되며, 그 순간 값은 무작위 변수입니다.

2.3. 확률론적 모델의 본질

확률론적 수학적 모델은 시스템의 입력과 출력 사이의 확률적 관계. 이 모델을 사용하면 다음을 수행할 수 있습니다. 연구 중인 프로세스의 일부 확률적 특성에 대한 통계적 결론 y(t):

1) 기대값 (평균값):

2) 분산(평균값에 대한 랜덤 프로세스 y(t) 값의 분산 측정):

3) 표준 편차:

(2.3)

4) 상관 함수(의존도 - 상관 관계 - 시간 τ로 서로 분리된 프로세스 값 y(t) 사이의 특성을 나타냄):

5) 스펙트럼 밀도랜덤 프로세스 y(t)는 주파수 특성을 설명합니다.

(2.5)

푸리에 변환.

확률론적 모델은 다음을 기반으로 형성됩니다. 확률적 미분또는 확률적 차이 방정식.

구별하다 세 가지 유형 확률론적 미분방정식: 무작위 매개변수, 무작위 초기 조건, 무작위 입력 프로세스(무작위 오른쪽). 확률론의 예를 들어보자 미분 방정식세 번째 유형:

, (2.6)

어디
– 첨가물랜덤 프로세스 - 입력 노이즈.

비선형 시스템에는 다음이 있습니다. 곱셈 잡음.

확률론적 모델을 분석하려면 특히 비선형 시스템의 경우 다소 복잡한 수학적 장치를 사용해야 합니다.

2.4. 무작위 과정의 전형적인 모델의 개념.정규(가우스) 랜덤 프로세스

확률론적 모델을 개발할 때 랜덤 프로세스의 특성을 결정하는 것이 중요합니다.
. 랜덤 프로세스는 1차원, 2차원, ..., n차원 또는 해당 확률 분포 밀도와 같은 분포 함수 세트(순서)로 설명할 수 있습니다. 대부분의 실제 문제에서는 1차원 및 2차원 분포 법칙을 결정하는 것으로 제한됩니다.

일부 문제에서는 배포의 성격이
선험적으로 알려져 있습니다.

대부분의 경우 무작위 프로세스가 수행될 때
이는 상당한 수의 독립적인 무작위 요인의 조합이 물리적 시스템에 미치는 영향의 결과이며, 다음과 같이 믿어집니다.
속성이 있습니다 정규(가우스) 분포 법칙. 이 경우 그들은 무작위 과정이라고 말합니다.
그것으로 대체 표준 모델– 가우스 랜덤 프로세스. 1차원분포 밀도확률정규(가우스) 랜덤 프로세스가 그림 1에 나와 있습니다. 2.4.

랜덤 프로세스의 정규(가우스) 분포는 다음과 같습니다. 다음 속성 .

1. 자연계의 상당수의 무작위 프로세스는 정규(가우스) 분포 법칙을 따릅니다.

2. 무작위 프로세스의 정상적인 성격을 매우 엄격하게 결정(증명)하는 능력입니다.

3. 물리적 시스템이 분포 법칙이 다른 일련의 무작위 요인에 의해 영향을 받는 경우 총 효과정규분포의 법칙을 따른다( 중심 극한 정리).

4. 선형 시스템을 통과할 때 일반 프로세스는 다른 무작위 프로세스와 달리 해당 속성을 유지합니다.

5. 가우스 랜덤 프로세스는 수학적 기대값과 분산이라는 두 가지 특성을 사용하여 완전히 설명할 수 있습니다.

안에 모델링 과정에서 종종 문제가 발생합니다. 분포의 성격을 결정하다일부 무작위 변수 x의 다중 측정(관찰) 결과를 기반으로 합니다.
. 이를 위해 그들은 구성합니다 히스토그램– 랜덤 변수 측정 결과를 기반으로 확률 분포 밀도를 추정할 수 있는 단계 그래프입니다.

히스토그램을 구성할 때 확률변수 값의 범위는
데이터를 일정한 수의 간격으로 나눈 후 각 간격에 속하는 데이터의 빈도(백분율)를 계산합니다. 따라서 히스토그램은 각 구간에서 랜덤 변수 값의 발생 빈도를 표시합니다. 구성된 히스토그램을 연속 분석 함수로 근사화하면 이 함수는 알려지지 않은 이론적 확률 분포 밀도의 통계적 추정치로 간주될 수 있습니다.

형성할 때 연속 확률론적 모델개념이 사용된다 "무작위 프로세스".개발자 차이 확률론적 모델컨셉으로 운영하다 "무작위 순서".

확률론적 모델링 이론에서 특별한 역할은 다음과 같습니다. 마르코프 무작위 시퀀스.이들에게는 조건부 확률 밀도에 대한 다음 관계가 유효합니다.

이로부터 한 번에 프로세스의 동작을 설명하는 확률 법칙이 나옵니다. , 현재 프로세스의 이전 상태에만 의존합니다.
과거의 행동(예: 특정 시점)과 완전히 독립적입니다.
).

위에 나열된 내부 및 외부 변량 요인(잡음)은 다양한 클래스의 변량 과정을 나타냅니다. 무작위 과정의 다른 예로는 액체와 가스의 난류 흐름, 다수의 소비자에게 공급하는 전력 시스템의 부하 변화, 무선 신호의 무작위 페이딩이 있을 때 전파 전파, 입자 좌표 변화 등이 있습니다. 브라운 운동에서는 장비 고장 과정, 서비스 요청 접수, 소량 콜로이드 용액의 입자 수 분포, 레이더 추적 시스템에 영향을 미치는 설정, 금속 표면에서 열이온 방출 과정 등이 있습니다.

확률적 미분방정식(SDE) - 하나 이상의 항이 확률론적 성격을 갖는 미분 방정식, 즉 확률론적 과정을 나타냅니다(다른 이름은 무작위 과정입니다). 따라서 방정식의 해는 확률론적 과정으로 판명됩니다. SDE의 가장 유명하고 자주 사용되는 예는 백색 잡음을 설명하는 용어가 포함된 방정식입니다(위너 프로세스의 파생 사례로 간주될 수 있음). 그러나 점프 프로세스와 같은 다른 유형의 무작위 변동이 있습니다.

이야기

문헌에서 SDE의 첫 번째 사용은 전통적으로 Marian Smoluchowski(g.)와 Albert Einstein(g.)이 독립적으로 수행한 브라운 운동 설명 작업과 관련되어 있습니다. 그러나 SDE는 프랑스 수학자 Louis Bouchelier가 박사 학위 논문 "가정 이론"에서 조금 더 일찍(몇 년) 사용했습니다. 이 연구의 아이디어를 바탕으로 프랑스 물리학자 Paul Langevin은 물리학 작업에 SDE를 사용하기 시작했습니다. 나중에 그와 러시아 물리학자 Ruslan Stratonovich는 SDE에 대한 보다 엄격한 수학적 정당성을 개발했습니다.

술어

물리학에서 SDE는 전통적으로 Langevin 방정식의 형태로 작성됩니다. SDE는 다른 여러 가지 방법으로 작성할 수 있지만 완전히 정확하지는 않지만 종종 Langevin 방정식 자체라고 부릅니다. Langevin 방정식 형태의 SDE는 일반적인 비확률적 미분 방정식과 백색 잡음을 설명하는 추가 부분으로 구성됩니다. 두 번째 일반적인 형식은 Fokker-Planck 방정식으로, 이는 편미분 방정식이며 시간에 따른 확률 밀도의 변화를 설명합니다. SDE의 세 번째 형태는 수학과 금융 수학에서 더 자주 사용되며 Langevin의 방정식과 유사하지만 확률적 미분을 사용하여 작성됩니다(자세한 내용은 아래 참조).

확률론적 계산

허락하다 T > 0 (\displaystyle T>0), 놔둬

μ: R n × [ 0 , T ] → R n ; (\displaystyle \mu:\mathbb (R) ^(n)\times \to \mathbb (R) ^(n);) σ : Rn × [0, T] → Rn × m; (\displaystyle \sigma:\mathbb (R) ^(n)\times \to \mathbb (R) ^(n\times m);) 전자 [ | Z | 2]< + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}

그런 다음 주어진 초기 조건에 대한 확률 미분 방정식

d X t = μ (X t , t) d t + σ (X t , t) d B t (\displaystyle \mathrm (d) X_(t)=\mu (X_(t),t)\,\mathrm (d) t+\sigma (X_(t),t)\,\mathrm (d) B_(t))을 위한 t ∈ [0, T]; (\디스플레이스타일 t\in ;) Xt = Z ; (\displaystyle X_(t)=Z;)

(“거의 확실히”라는 의미에서) 독특하고 t (\디스플레이스타일 t)-지속적인 솔루션 (t , Ω) ∣ → X t (Ω) (\displaystyle (t,\omega)\shortmid \!\to X_(t)(\omega)), 그렇게 X (\디스플레이스타일 X)- 여과에 적합한 공정 F t Z (\표시스타일 F_(t)^(Z)), 생성됨 Z (\표시스타일 Z)그리고 B s (\displaystyle B_(s)), s ≤ t (\displaystyle s\leq t), 그리고

E [ ∫ 0 T | Xt | 2dt]< + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} \left[\int \limits _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}

확률 방정식의 적용

물리학

물리학에서 SDE는 종종 Langevin 방정식의 형태로 작성됩니다. 예를 들어, 1차 SDE 시스템은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

x ˙ i = d x i d t = fi (x) + ∑ m = 1 n g i m (x) eta m (t) , (\displaystyle (\dot (x))_(i)=(\frac (dx_(i))( dt))=f_(i)(\mathbf (x))+\sum _(m=1)^(n)g_(i)^(m)(\mathbf (x))\eta _(m)( 티),)

어디 x = ( x i | 1 ≤ i ≤ k ) (\displaystyle \mathbf (x) =\(x_(i)|1\leq i\leq k\))- 미지의 집합, f i (\displaystyle f_(i))임의의 함수이고, eta m (\displaystyle \eta _(m))- 종종 노이즈 용어라고 불리는 시간의 무작위 함수입니다. 이러한 형태의 표기법은 새로운 미지수를 도입하여 더 높은 도함수가 있는 방정식을 1차 방정식 시스템으로 변환하는 표준 기술이 있기 때문에 사용됩니다. 만약에 g i (\displaystyle g_(i))- 상수이면 시스템은 추가 노이즈의 영향을 받는다고 합니다. 곱셈 잡음이 있는 시스템은 다음 경우에도 고려됩니다. g (x) ∝ x (\displaystyle g(x)\propto x). 고려된 두 가지 사례 중에서 추가 노이즈가 더 간단합니다. 부가적인 잡음이 있는 시스템에 대한 솔루션은 종종 표준 수학적 분석 방법만을 사용하여 찾을 수 있습니다. 특히, 알려지지 않은 기능을 구성하는 일반적인 방법을 사용할 수 있습니다. 그러나 곱셈 잡음의 경우 랑주빈 방정식은 일반적인 수학적 분석의 의미에서 제대로 정의되지 않으며 이토의 미적분학이나 스트라토노비치의 미적분학으로 해석해야 합니다.

물리학에서 SDE를 푸는 주요 방법은 확률 밀도의 형태로 해를 찾고 원래 방정식을 포커-플랑크 방정식으로 변환하는 것입니다. 포커-플랑크 방정식은 확률론적 항이 없는 편미분 방정식입니다. 슈뢰딩거 방정식이 양자 역학에서 시스템의 파동 함수의 시간 의존성을 결정하거나 확산 방정식이 화학 농도의 시간 변화를 결정하는 것처럼 확률 밀도의 시간 변화를 결정합니다. 예를 들어 몬테카를로 방법을 사용하여 수치적으로 솔루션을 찾을 수도 있습니다. 해를 찾는 다른 기술은 경로 적분을 사용합니다. 이 기술은 통계 물리학과 양자 역학 사이의 유사점을 기반으로 합니다(예: Fokker-Planck 방정식은 변수를 일부 변환하여 슈뢰딩거 방정식으로 변환할 수 있음). 또는 상미분 방정식 풀기 확률 밀도의 순간 동안.

연결

확률론적 세계 - 확률론적 미분 방정식에 대한 간단한 소개

문학

아도미안, 조지.확률론적 시스템(정의되지 않음) - 플로리다 주 올랜도: Academic Press Inc., 1983. - (과학 및 공학 수학(169)).
아도미안, 조지.비선형 확률론적 연산자 방정식(정의되지 않음) . - 플로리다 주 올랜도: Academic Press Inc., 1986.
아도미안, 조지.비선형 확률론적 시스템 이론 및 물리학에의 응용(영어). - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1989. - (수학과 그 응용(46)). (영어)

기술 시스템을 설명하기 위한 수학적 체계

시스템 모델의 일반 분류

인간 활동이 향하는 모든 것을 물체 . 물체와 그 모델을 연구하는 과정에서 모델링 이론의 역할을 결정할 때, 다양성을 추상화하고 본질적으로 다른 물체 모델에 내재된 공통 특징을 강조할 필요가 있습니다. 이러한 접근 방식은 시스템 모델의 일반적인 분류의 출현으로 이어졌습니다.

생성된 시스템 모델은 다음과 같이 분류됩니다.

· 시간에 따라

* 동적 모델: 미분 방정식으로 설명되는 연속 모델; 차이 방정식으로 설명되는 이산-연속(차이); 큐잉 이론의 확률적 이벤트 기반 모델;

* 개별 모델 - 자동 기계;

· 우연히:

* 결정론적 - 무작위 영향이 없는 프로세스를 반영하는 모델입니다.

* 확률론적 – 확률론적 과정과 사건을 반영하는 모델;

· 약속에 의해:

· 처리되는 정보 유형별:

* 정보 제공: - 참조 및 정보 제공;

정보 및 자문

전문가;

자동적 인;

* 물리적 모델: - 실물 크기(플라즈마);

반자연적(풍동);

* 시뮬레이션 모델;

* 지능형 모델;

* 의미론적(논리적) 모델;

계속해서 수학적 체계의 주요 유형을 고려해 보겠습니다.

1.3.1. 연속 결정론적 모델(D – 구성표)

이 유형의 수학적 체계는 다음을 반영합니다. 역학시스템에서 시간이 지남에 따라 발생하는 프로세스. 그래서 그들은 이렇게 불린다. D – 계획. 동적 시스템의 특별한 경우는 다음과 같습니다. 자동 제어 시스템.

선형 자동 시스템은 다음 형식의 선형 미분 방정식으로 설명됩니다.

어디 x(티)- 시스템의 영향이나 입력 변수를 설정합니다. y(티)- 시스템 상태 또는 출력 변수 - 계수; 티- 시간.

그림 1은 오류 신호가 있는 자동 제어 시스템의 확대된 기능 다이어그램을 보여줍니다. - 제어 조치; 에프(티)- 충격적인 영향. 이 시스템은 출력 변수를 가져오기 때문에 네거티브 피드백의 원리를 기반으로 합니다. y(티)이들 사이의 편차에 대한 정보는 지정된 값으로 사용됩니다. 이를 사용하면 전달 함수 형태 또는 미분 방정식(1.1) 형태로 블록 다이어그램과 수학적 모델을 개발할 수 있습니다. 여기서 단순화를 위해 방해 영향의 적용 지점이 일치한다고 가정합니다. 시스템 입력으로.

그림 1.1. 자동 제어 시스템 구조

연속 결정론적 회로(D 회로)는 아날로그 컴퓨터(AVM)에서 실행됩니다.

1.3.2. 이산 결정적 모델(F – 방식)

이산 결정론적 모델의 주요 유형은 다음과 같습니다. 유한한 기계.

상태 머신입력 신호의 영향을 받아 한 상태에서 다른 상태로 전환하고 출력 신호를 생성할 수 있는 이산 정보 변환기라고 합니다. 이는 자동 기억과 함께. 기억, 자동화 시간, 개념을 정리하기 위해 기계 상태.

개념 " 상태"자동 장치는 자동 장치의 출력 신호가 주어진 시간의 입력 신호에 따라 달라질 뿐만 아니라 더 일찍 도착하는 입력 신호도 고려한다는 것을 의미합니다. 이를 통해 시간을 명시적 변수로 제거하고 출력을 상태 및 입력의 함수로 표현할 수 있습니다.

한 상태에서 다른 상태로의 자동 전환은 개별 시간 간격 이후에 가능합니다. 또한, 전이 자체는 즉시 발생하는 것으로 간주됩니다. 즉, 실제 회로의 과도 프로세스는 고려되지 않습니다.

자동시간을 도입하는 방법에는 두 가지가 있는데, 자동기계는 다음과 같이 구분된다. 동기식그리고 비동기식.

안에 동기식오토마타에서 오토마타 상태의 변화가 기록되는 순간은 특수 장치인 클럭 신호 생성기에 의해 설정됩니다. 게다가 신호는 동일한 시간 간격으로 도착합니다. 클록 생성기의 주파수는 기계의 모든 요소가 다음 펄스가 나타나기 전에 작업을 완료할 시간을 갖도록 선택됩니다.

안에 비동기식자동 장치에서 자동 장치가 한 상태에서 다른 상태로 전환되는 순간은 미리 결정되지 않으며 특정 이벤트에 따라 달라집니다. 이러한 기계에서는 샘플링 간격이 가변적입니다.

또한 있다 결정론적인그리고 확률적인기관총.

안에 결정론적인오토마타에서는 매 순간의 오토마타의 행동과 구조가 현재 입력 정보와 오토마타의 상태에 따라 고유하게 결정됩니다.

안에 확률적인슬롯머신에서는 무작위 선택에 의존합니다.

추상적으로 유한 상태 기계는 수학 회로(F - 회로)로 표현될 수 있으며, 이는 6가지 유형의 변수와 함수로 특징지어집니다.

1) 유한 집합 x(티)입력 신호(입력 알파벳);

2) 유한 집합 y(티)출력 신호(출력 알파벳);

3) 유한집합 z(티)내부 상태(상태 알파벳)

4) 기계의 초기 상태 z 0 , ;

5) 한 상태에서 다른 상태로의 기계 전환 기능;

6) 기계 출력 기능.

추상 유한 상태 기계에는 하나의 입력과 하나의 출력이 있습니다. 매 순간마다 티=0,1,2,... F – 기계가 특정 상태에 있습니다 z(티)많은 사람들로부터 지– 기계의 상태 및 초기 순간 티=0항상 초기상태에요 지(0)=지 0. 그 순간 티, 가능하다 z(티), 오토마톤은 입력 채널에서 신호를 수신하고 출력 채널에서 신호를 생성하여 다음 상태로 들어갈 수 있습니다.

추상 유한 기계는 입력 알파벳 단어 집합의 일부 매핑을 구현합니다. 엑스출력 알파벳의 많은 단어에 대해 와이즉, 유한 상태 기계의 입력이 초기 상태로 설정된 경우 z 0, 입력 단어를 구성하는 입력 알파벳 문자를 특정 순서로 제출하면 기계 출력에서 출력 알파벳 문자가 순차적으로 나타나 출력 단어를 형성합니다.

결과적으로 유한 상태 기계의 작동은 다음 구성표에 따라 발생합니다. 티– 상태에 있는 기계의 입력에 대한 옴 스트로크 z(티), 일부 신호가 제공됩니다 x(티), 기계는 다음으로 전환하여 반응합니다. (t+1)–오, 새로운 상태에 적응해 지(티+1)일부 출력 신호를 생성합니다.

출력 신호가 결정되는 방식에 따라 동기식 추상 유한 상태 기계는 두 가지 유형으로 나뉩니다.

F – 첫 번째 종류의 자동 장치라고도 함 자동 마일리지 :

F – 두 번째 종류의 자동 장치:

두 번째 종류의 오토마톤

~라고 불리는 무어 머신 – 출력의 기능은 입력 변수에 의존하지 않습니다. x(티).

유한 F-자동장치를 정의하려면 집합의 모든 요소를 설명해야 합니다.

F-automata의 작동을 지정하는 방법에는 여러 가지가 있으며 그 중 가장 널리 사용되는 방법은 표, 그래픽 및 매트릭스 방법입니다.

1.3.3. 이산형 - 연속 모델

선형 펄스 및 디지털 자동 제어 시스템의 프로세스는 다음 형식의 이산 차분 방정식으로 설명됩니다.

어디 x(n)– 입력 신호의 격자 기능; 와이(엔)- 방정식 (1.2)을 풀어 결정되는 출력 신호의 격자 함수 ㄴㅋ- 상수 계수; - 차이점 에게- 첫 주문; t=nT, 어디 NT – N-그 순간, 티– 이산 기간(식 (1.2)에서는 일반적으로 단일성으로 간주됩니다).

방정식 (1.2)는 다른 형식으로 표현될 수 있습니다.

방정식 (1.3)은 다음을 계산할 수 있는 반복 관계입니다. (나+1)- 이전 멤버의 값을 기반으로 하는 시퀀스의 번째 멤버 나,나-1,...그리고 의미 x(i+1).

디지털 자동 시스템을 모델링하기 위한 주요 수학적 장치는 이산 라플라스 변환을 기반으로 하는 Z 변환입니다. 이를 위해서는 시스템의 임펄스 전달 함수를 찾고, 입력 변수를 설정하고, 시스템 매개변수를 변경하여 설계된 시스템의 최상의 버전을 찾을 수 있어야 합니다.

1.3.4. 이산형 - 확률론적 모델(P - 구성표)

이산 확률론적 모델에는 다음이 포함됩니다. 확률적 자동장치. 일반적으로 확률적 자동 장치는 메모리가 있는 개별 사이클별 정보 변환기이며, 각 사이클의 기능은 해당 메모리의 상태에만 의존하며 통계적으로 설명될 수 있습니다. 기계의 동작은 무작위 선택에 따라 달라집니다.

확률론적 오토마타 회로의 사용은 통계적으로 규칙적인 무작위 동작이 나타나는 개별 시스템을 설계하는 데 중요합니다.

P - 자동 장치의 경우 F - 자동 장치와 유사한 수학적 개념이 도입되었습니다. 모든 요소가 가능한 쌍인 집합 G를 생각해 보세요. (xi,zs), 어디 x 나는그리고 z 초입력 하위 집합의 요소 엑스및 상태의 하위 집합 지각기. 그러한 기능이 두 개 있고 그 도움으로 매핑이 수행되면 결정적 유형의 자동 장치를 정의한다고 말합니다.

확률적 자동장치의 전이 함수는 하나의 특정 상태가 아니라 여러 상태에 대한 확률 분포를 결정합니다.

(무작위 전환이 가능한 자동 기계). 출력 함수는 또한 일련의 출력 신호(임의의 출력을 갖는 자동 기계)에 대한 확률 분포입니다.

확률적 자동장치를 설명하기 위해 보다 일반적인 수학적 체계를 소개합니다. Ф를 다음 형식의 가능한 모든 쌍의 집합으로 설정합니다. (zk,yj), 어디 yj– 출력 하위 집합의 요소 와이. 다음으로 세트의 모든 요소가 필요합니다. G세트 Ф에서 다음 형식의 특정 분배 법칙이 유도되었습니다.

F의 요소

기계가 상태로 전환될 확률은 어디에 있습니까? zk출력에서의 신호 모양 yj만약 그가 할 수 있었다면 z 초이 순간 입력에서 신호가 수신되었습니다. x 나는.

테이블 형태로 제시된 분포의 수는 집합 G의 요소 수와 같습니다. 이 테이블 집합을 B로 표시하면 네 가지 요소가 호출됩니다. 확률적 자동장치 (R - 자동). 여기서 .

오토마타로 정의된 P-오토마톤의 특별한 경우로, 새로운 상태로의 전환이나 출력 신호가 결정론적으로 결정됩니다( Z – 결정적 확률적 자동장치, Y – 결정적 확률적 자동장치각기).

수학적 장치의 관점에서 볼 때 Y(결정론적 P) 자동 장치를 지정하는 것은 유한한 상태 집합으로 일부 마르코프 체인을 지정하는 것과 동일하다는 것이 분명합니다. 이와 관련하여 분석 계산을 위해 P 회로를 사용할 때 마르코프 체인 장치는 기본입니다. 유사한 P-automata는 시스템 기능 프로세스나 외부 환경 영향을 구성할 때 Markov 시퀀스 생성기를 사용합니다.

마르코프 시퀀스 Markov의 정리에 따르면 는 식이 참인 확률 변수의 시퀀스입니다.

여기서 N은 독립적인 테스트의 수입니다. 디--분산.

이러한 P-automata(P-schemes)는 통계적 모델링 방법을 사용하여 분석 모델과 시뮬레이션 모델 모두에 대해 연구 중인 시스템의 다양한 특성을 평가하는 데 사용할 수 있습니다.

Y – 결정적 P – 자동 장치는 전환(표 1.1)과 출력(표 1.2)이라는 두 개의 테이블로 지정될 수 있습니다.

표 1.1

여기서 Pi ij는 P-자동장치가 상태 z i에서 상태 z j로 전이할 확률이고, 입니다.

표 1.1은 차원의 정방행렬로 표현될 수 있다. 우리는 그런 테이블을 부를 것입니다 전환 확률 행렬아니면 단순히 P-오토마톤의 전이 행렬, 이는 압축된 형태로 표현될 수 있습니다:

Y-결정적 P-자동장치를 설명하려면 다음 형식의 초기 확률 분포를 지정해야 합니다.

지...	z 1	z 2	...	z k-1	zk
디...	디 1	일 2	...	dk-1	dk

여기서 d k는 작동 시작 시 P-자동 기계가 z k 상태에 있을 확률입니다.

따라서 작동 시작 전에 P-자동 장치는 상태 z 0에 있고 초기(0) 시간 단계에서 분포 D에 따라 상태가 변경됩니다. 그 후, 자동 장치의 상태 변경은 다음에 의해 결정됩니다. 전이 행렬 P. z 0을 고려하면 행렬 P p의 차원은 다음과 같이 증가해야 합니다. 이 경우 행렬의 첫 번째 행은 다음과 같습니다. (d0,d1,d2,...,dk), 첫 번째 열은 null이 됩니다.

예. Y – 결정론적 P – 자동 장치는 전이 테이블에 의해 지정됩니다.

표 1.3

및 출력 테이블

표 1.4

지	z 0	z 1	z 2	z 3	z 4
와이

표 1.3을 고려하면 확률적 자동 장치의 전이 그래프가 그림 1.2에 표시됩니다.

이 자동장치가 상태 z 2 및 z 3 에 있을 전체 최종 확률을 추정하는 것이 필요합니다. 즉, 단위가 기계의 출력에 나타날 때.

쌀. 1.2. 전환 그래프

분석적 접근 방식을 사용하면 마르코프 체인 이론에서 알려진 관계를 사용하고 방정식 시스템을 얻어 최종 확률을 결정할 수 있습니다. 또한 초기 분포가 최종 확률 값에 영향을 미치지 않기 때문에 초기 상태는 무시할 수 있습니다. 그러면 표 1.3은 다음과 같습니다.

Y- 결정론적 P- 자동장치가 상태에 있을 최종 확률은 어디에 있습니까? zk.

결과적으로 우리는 방정식 시스템을 얻습니다.

이 시스템에는 정규화 조건을 추가해야 합니다.

이제 (1.5)와 함께 방정식 (1.4) 시스템을 풀면 다음을 얻습니다.

따라서 주어진 자동 장치의 무한 작동 중에 다음과 같은 확률로 출력에 이진 시퀀스가 형성됩니다.

P-차트 형태의 분석 모델 외에도 통계 모델링 방법 등을 통해 시뮬레이션 모델을 사용하고 구현할 수도 있습니다.

1.3.5. 연속 확률론적 모델(Q-체계)

우리는 큐잉 시스템을 표준 수학적 체계로 사용하는 예를 사용하여 이러한 모델을 고려할 것입니다. Q- 회로 . 이러한 Q-체계는 본질적으로 프로세스인 시스템 기능 프로세스를 공식화하는 데 사용됩니다. 서비스.

에게 서비스 프로세스특정 기업에 대한 제품 공급 흐름, 작업장 조립 라인의 부품 및 구성 요소 흐름, 컴퓨터 네트워크의 원격 터미널에서 컴퓨터 정보 처리 요청이 원인일 수 있습니다. 이러한 시스템이나 네트워크 운영의 특징은 서비스 요청이 무작위로 나타나는 것입니다. 또한 모든 기본 서비스 행위에서는 서비스에 대한 기대와 실제로 요청 자체를 처리하는 프로세스라는 두 가지 주요 구성 요소를 구분할 수 있습니다. 동시에 애플리케이션을 포함할 수 있는 요청 Ni의 누산기로 구성된 i번째 서비스 장치 Pi(그림 1.3)의 형태로 이를 상상해 보겠습니다. K i – 요청을 처리하기 위한 채널입니다.

장치 Pi의 각 요소는 이벤트 스트림을 수신하고, 스토리지 Hi는 요청 스트림을 수신하며, 채널 Ki는 서비스 스트림 I i를 수신합니다.

그림 1.3. 서비스 장치

이벤트 스트림은 다음과 같습니다. 동종의, 이러한 이벤트의 도착 순서만 특징으로 하는 경우(), 또는 이질적인, 예를 들어 요청 소스, 우선 순위 존재, 하나 또는 다른 유형의 채널에서 서비스를 제공할 수 있는 기능 등과 같은 일련의 이벤트 특성이 특징인 경우

일반적으로 채널 Ki와 관련하여 다양한 시스템을 모델링할 때 입력 Ki의 요청 흐름은 제어되지 않는 변수의 하위 집합을 형성하고 서비스 흐름 I i는 제어되는 변수의 하위 집합을 형성한다고 가정할 수 있습니다.

여러 가지 이유로 채널 Ki에 의해 서비스되지 않는 요청은 출력 스트림 U i를 형성합니다.

이러한 모델은 최적 확률론적 모델로 분류될 수 있습니다.

많은 경우 모델을 구축할 때 모든 조건을 미리 알 수는 없습니다. 여기서 모델을 찾는 효과는 세 가지 요소에 따라 달라집니다.

지정된 조건 x1, x2,...,xn;

알 수 없는 조건 y 1 ,y 2 ,...,y k;

우리에게 달려있는 요소 그리고 1, 그리고 2,...,그리고 m,찾아야 할 것.

이러한 문제를 해결하기 위한 효율성 지표는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

알려지지 않은 요인의 존재 응 나최적화 문제를 불확실성 조건 하에서 솔루션을 선택하는 문제로 변환합니다. 작업이 극도로 어려워집니다.

수량이 많은 경우 작업이 특히 복잡해집니다. 응 나통계적 안정성이 없습니다. 즉, 알려지지 않은 요인입니다. 응 나통계적 방법으로는 연구할 수 없습니다. 그들의 유통법은 얻을 수 없거나 전혀 존재하지 않습니다.

이러한 경우 변수 값의 "최고" 및 "최악" 조합을 모두 얻는 방식으로 가능한 모든 Y 값의 조합이 고려됩니다. 응 나.

그런 다음 이를 최적화 기준으로 간주합니다.

확률론적 모델은 무작위적인 과정이나 상황을 기술하며, 특정 현상의 무작위성이 확률로 표현된다고 가정합니다. 결정론적 모델과 마찬가지로 확률론적 모델은 이산적이거나 연속적일 수 있습니다.

연속 확률 모델

다음과 같은 특징을 갖는 시스템의 공식화된 설명을 위한 기본 체계

1) 시간 변화의 지속적인 성격과

2) 행동에 사고가 있음,

큐잉 시스템 장치 역할을 합니다. 즉, 서비스 프로세스인 시스템의 기능 과정을 형식화하기 위해 개발된 수학적 도식의 계획이다. 기능의 확률론적 특성(서비스 요청의 무작위 출현), 무작위 시간에 서비스 완료, 요청의 입력 및 출력 흐름 존재, 서비스 장치의 존재, 서비스 흐름의 특징이 바로 이러한 시스템입니다. 이벤트, 서비스 대기열의 존재, 특정 서비스 순서 결정 등.

이런 종류의 모델에 대한 설명에서 볼 수 있듯이 연속 확률론적 모델은 우리에게 적합하지 않습니다.

이산 확률론적 모델

이 유형의 모델은 다음과 같은 특성을 가진 객체에 적합합니다.

시간은 그들에게서 분리되어 있다

정적으로 규칙적인 무작위 동작을 나타냅니다.

이 정의에 따르면 우리 모델은 이산 확률론적 모델의 설명과 완전히 일치합니다. 조건에 따라 시간은 이산적이며 모델에 무작위성이 있다고 결론지었습니다. 이러한 종류의 시스템 모델은 두 가지 공식화된 설명 체계를 기반으로 구축될 수 있습니다.

유한차분방정식, 확률과정을 정의하는 함수를 사용하는 변수 중

확률적 오토마타

"확률적 자동장치는 하나 이상의 상태를 갖는 개별 정보 변환기이며, 각 주기의 기능은 해당 메모리의 상태에만 의존하며 정적으로 설명될 수 있습니다." 3

확률적 오토마타의 할당은 표나 그래프를 사용하여 수행되지만 실제 사용은 컴퓨터에서 시뮬레이션 모델을 구현해야만 가능합니다(분석 계산도 가능한 작고 간단한 모델 제외).

우리 모델에 확률적 오토마타를 적용할 수 있는 가능성을 확인해 보겠습니다.

우리 모델에는 무작위성이 있지만 분포 법칙을 계산하는 것이 가능합니까?

1.랜덤가격의 경우?

예, 이것은 균일한 분포이며 가격을 결정할 때 모든 상태의 확률은 동일합니다.

미판매 상품을 무작위로 배포하는 경우?

이것은 다시 균일한 분포이며 확률을 찾을 수 있습니다.

시스템이 어떤 입력 상태를 받아들일 수 있는지 살펴보겠습니다. 이러한 상태는 무한히 많기 때문에 확률적 자동 장치를 구축하는 것은 불가능합니다. 생산량에 제한을 가하면 어떻게 될까요? 이 세트는 유한하며 확률론적 자동 장치를 구성할 수 있지만 시스템이 결정적이라는 가정의 경우와 마찬가지로 결과 모델은 현실을 제대로 반영하지 못합니다. 그러므로 우리는 확률적 자동장치의 구축을 포기합니다.

이산-확률적 형식화 기술 방식의 경우, 유한차분 방정식을 사용하여 문제를 해결하는 것이 가장 편리해 보입니다.

지금까지 우리는 결정론적 네트워크 토폴로지를 가진 모델을 고려했습니다. 복잡한 프로젝트를 모델링할 때 확률론적 구조를 갖춘 네트워크 모델이 가장 유연하고 유용한 경우가 많습니다. 확률론적 네트워크는 지속 기간의 확률적 분포뿐만 아니라 실행 확률을 특징으로 하는 아크(작업)와 함께 대체 노드(상태)를 포함하는 네트워크로 정의됩니다.

다양한 결과를 얻을 수 있는 확률론적 네트워크 모델은 기존 네트워크를 더욱 발전시켜 복잡한 프로젝트를 개발하고 생성하는 프로세스를 더욱 완전하게 반영할 수 있게 해줍니다. 확률론적 네트워크 모델을 분석하는 데 사용되는 수학적 장치를 사용하면 다양한 대안 결과의 확률을 계산하고 가능한 구현 시간을 추정할 수 있습니다.

확률론적 네트워크 모델은 유한 그래프 G=(W,A)입니다. 여기서 W는 이벤트로 식별되는 결정론적 및 대체 꼭지점 집합이고 기술 매트릭스 A=(pi ij )는 작업으로 식별되는 지향성 호 집합을 지정합니다( 또는 연결). 확률론적 네트워크의 경우 0£ p ij £ 1이고 p ij =1은 기존 네트워크에서 허용되는 정의와 유사한 작업(i,j)을 결정하며,

0 < p ij < 1 соответствует альтернативному событию i, из которого с вероятностью p ij «выходит» работа (i,j). Другими словами p ij – вероятность того, что работа (i,j) будет выполнена при условии, что узел i выполнен.

j(t ij)를 작업 실행 시간(i,j)의 분포 밀도라고 합니다. M[x] – 랜덤 변수 x의 수학적 기대.

확률 변수 t ij의 적률에 대한 조건부 생성 함수는 М ij (s)=М [е st ij ]로 도입됩니다.

M ij (s)= ò e st ij j(t ij)dt ij (연속확률변수의 경우),

е st ij j(t ij) (이산확률변수의 경우).

특히, t ij =a=const, M ij(0)=1인 경우 M ij(s)=M[e sа ] = е sа입니다.

각 호(i,j)에 대해 Y 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

Y ij(s) = p ij М ij(s).

원래 네트워크는 세 가지 기본 변환을 사용하여 동등한 네트워크로 변환됩니다.

· 연속적인 호,

· 평행 호,

연속적인 호의 경우(그림 7)

Y ik(들) = Y ij(들)Y jk(들).

평행 호의 경우(그림 8)

Y ij(s) = Y a(s) +Y b(s).

For 루프 형식(그림 9)

Y ij(s) = Y b(s)/.

기본 변환을 결합하면 모든 네트워크를 단일 호(E-arc)로 구성된 등가 네트워크로 변환할 수 있습니다.

확률론적 네트워크의 타이밍 분석의 목적은 네트워크(또는 그 일부)의 실행 시간에 대한 기대치와 분산, 그리고 네트워크 실행의 최종(또는 다른 이벤트) 확률을 계산하는 것입니다.

여기서는 위에서 소개한 Y 함수가 해당 아크 투과율 계수로 해석되는 폐쇄 흐름 그래프 이론이 사용됩니다. 이 이론의 결과를 원하는 매개변수 Y E(s)가 있는 개방형 네트워크에 적용하기 위해 매개변수 Y A(s)가 있는 추가 호가 도입되어 최종 이벤트(싱크)를 초기 이벤트(소스)와 연결합니다.

메이슨의 법칙(Mason's rule)으로 알려진 닫힌 그래프의 위상 방정식은 다음과 같이 사용됩니다.

1 – åT(L 1) + åT(L 2) – åT(L 3) +…+ (-1) m åT(L m) + … =0, (10)

여기서 åT(Lm)는 가능한 모든 m차 루프에 대한 등가 투과율 계수의 합입니다.

m차 루프의 등가 투과율은 투과율 m의 곱과 같습니다. 관련이 없는 1차 루프, 즉

T(Lm)=Õ m k=1 T k .

이는 1–Y A(s)Y E(s)=0 또는 Y A(s)=1/Y E(s)라는 메이슨의 규칙을 직접 따릅니다. 이 결과를 이용하여 위상수학식(10)에서 Y A(s)를 1/Y E(s)로 대체한 후 이를 Y E(s)에 대해 풀면 원래의 확률론적 네트워크에 대한 등가의 Y 함수를 얻을 수 있다.

Y E (s) = p E M E (s)이고 M E (0) = 1이므로 p E =Y E (0)입니다. 이는 다음을 의미합니다.

M E(s)= Y E(s)/p E =Y E(s) /Y E(0). (열하나)

ME(s)에 대한 분석적 표현식을 얻은 후, s=0 지점에서 함수 ME(s)의 s에 대한 1차 및 2차 부분 도함수를 계산합니다. 즉,

m 1E =¶/¶s[M E (s)] s=0 (12)

m 2E =¶ 2 /¶s 2 [M E(들)] s=0 (13)

원점에 대한 첫 번째 순간 m 1E는 네트워크 실행 시간에 대한 수학적 기대치(등가 E-arc로 변환됨)이며, 네트워크 실행 시간의 분산은 두 번째 순간 m 2E와 제곱 간의 차이와 같습니다. 첫 번째, 즉

s 2 = m 2E – (m 1E) 2. (14)

따라서 위에서 설명한 장치를 사용하면 확률론적 네트워크에서 사용자가 관심을 갖는 이벤트의 시간 매개변수를 계산할 수 있을 뿐만 아니라 해당 이벤트가 발생할 확률을 결정할 수 있습니다.

얻은 정보를 사용하여 체비쇼프 부등식을 사용하여 개별 작업을 완료하기 위한 임의의 시간 분포 법칙에 따라 프로젝트 완료 시간에 대한 신뢰 구간의 확률을 추정할 수 있습니다. 각 작업의 실행 시간이 정규 분포를 따르는 경우 결과 시간도 정규 분포를 따릅니다. 이 경우 Moivre-Laplace 적분 정리를 사용하여 프로젝트 완료 시간에 대한 확률론적 추정을 얻을 수 있습니다. 또한 네트워크의 작업 수가 충분히 많고 특정 조건(특히 작업의 독립성)이 충족되면 Lyapunov의 극한 정리를 사용하여 결과적인 프로젝트 완료 시간을 특성을 갖는 정규 분포 확률 변수로 간주할 수 있습니다. 위에서 설명한 방법을 사용하여 계산됩니다.

따라서 확률론적 네트워크 모델에는 각 개별 작업을 실행하는 동안 직접 발생하는 모든 무작위 편차와 불확실성이 포함됩니다.

3.4. 프로젝트 관리에서 작업 계획 문제의 일반적인 공식화 및 이를 기반으로 해결된 범용 네트워크 모델 및 시간 분석 문제에 대한 설명

위의 모델을 분석하고 종합한 결과, 보편적인 수학적 모델이 제안되었으며, 그 특수한 경우에는 고전적 모델, 일반화 모델, 확률론적 네트워크 모델이 있었습니다.

이 모델(이라고 함) 순환 확률론적 네트워크 모델 - TSSM)은 복잡한 프로젝트의 개발 관리 프로세스를 설명하기 위한 보다 유연하고 적절한 도구입니다.

CSSM은 인접 행렬 A=(p ij )에 의해 정의된 일련의 이벤트 W와 호(i,j)(이벤트 i, jОW)로 구성된 유한 지향 순환 그래프 G(W,A)입니다. 0Ј p ij Ј1 및 p ij =1은 결정론적 호(i,j)를 정의하고 0< p ij <1 определяет альтернативное событие i, которое с вероятностью p ij связано дугой с событием j. Множество дуг подразделяется на дуги-работы и дуги-связи. Первые реализуют определенный объем производственной деятельности во времени, второй тип дуг отражает исключительно логические связи между последними. Событиями могут быть как начала и окончания выполняемых работ, так некоторые их промежуточные состояния.

i번째 이벤트의 완료 시간을 T i로 표시하면 호(i, j)로 연결된 이벤트 타이밍 간의 관계는 부등식으로 제공됩니다.

T j - T i i y ij , (15)

여기서 y ij는 일반적으로 – Ґ에서 0까지 또는 0에서 +Ґ까지의 간격에서 어떤 법칙에 따라 분포되는 무작위 변수입니다.

또한 이벤트 i 구현 시 절대적인 제한이 가능합니다.

나는 Ј T i ЈL i . (16)

관계식 (15)-(16)은 일반화된 네트워크 모델을 설명할 때 해당 부등식을 일반화한 것입니다. 여기서 매개변수 yij와 인접 행렬 A는 본질적으로 결정론적입니다.

매개변수 y ij의 확률적 특성과 함께 관계(15)의 의미론적 부하를 고려해 보겠습니다.

(i,j)가 호 작업(또는 그 일부)인 경우 양의 분포를 갖는 무작위 변수 y ij는 이 작업의 최소 기간 분포를 지정합니다(정의 리소스의 최대 포화도와 관련됨). 이 작업은 수량 y ij의 분포가 단봉 및 비대칭이며 이러한 요구 사항이 베타 분포에 의해 충족됨을 보여줍니다. 최소 작동 시간밀도가 있는 세그먼트 [a, b]에 대한 베타 분포 법칙에 따라 분포되는 확률 변수 y ij =t min (i,j)입니다.

j(t)=С(t – a) p-1 (b – t) q-1 , (17)

여기서 C는 조건에 따라 결정됩니다.

호 작업 (i,j)에 해당하는 (15)의 확률 변수 y ij가 – Ґ에서 0까지의 구간에 분포된 경우 –y ij =t max (j,i)는 다음의 분포를 지정합니다. 정의 리소스가 최소한으로 포화된 상태에서도 작업(i,j)을 시작하고 완료해야 하는 최대 시간 간격의 길이입니다. 이 수량에 대해 비슷한 형태의 분포를 얻었습니다(17). 각 직업(i, j)에 대한 확률 변수 y ij의 분포를 알면 해당 수학적 기대값과 분산이 적절한 공식을 사용하여 계산됩니다.

arc-works (i, j)에 대해 음으로 분포된 값 y ij의 (15) 도입은 작업의 시간 특성을 설명하는 가능성을 크게 확장하여 널리 사용되는 확률 모델을 특수 사례 중 하나로 만듭니다.

호 연결(i,j)의 경우 값 y ij는 이벤트 i와 j 사이의 시간 의존성 분포를 지정하고 양의 분포 값 y ij는 "이전이 아닌" 유형의 관계를 결정합니다(이벤트 j는 더 일찍 발생할 수 없음). 이벤트 i ij 이후 y ij 일 이후), 음의 분포 값 y ij 가 "no later" 유형의 관계를 결정합니다(이벤트 i는 이벤트 j 발생 후 -y ij 일 이내에 발생할 수 있음). 후자의 경우 이러한 연결을 "역방향"이라고 합니다.

따라서 여기서 우리는 가능한 확률적 특성을 고려하여 이러한 연결의 일반화를 얻었습니다.

이벤트 Ti의 타이밍은 기술적으로 선행하는 작업의 기간의 합에 의해 결정되므로 중심 극한 정리에 따라 충분히 많은 수의 작업이 있는 경우 확률 변수 Ti의 분포는 다음과 같은 경향이 있습니다. 매개변수를 사용하여 정규화 - 수학적 기대값 MT i 및 분산 DT i . "역방향" 호에 해당하는 매개변수 y ij도 정규 분포를 가지며 이는 통계 분석으로도 확인됩니다.

(16)에 의해 주어진 이벤트 시기에 대한 절대적인 제한은 "절대적인"(실제 또는 조건부) 시간 척도로 지정된 작업 또는 그 일부의 시기에 대한 해당 정책, 조직 및 기술 제한을 반영합니다. 절대 제한은 또한 "이전 없음" 또는 "나중 없음" 유형이 특징이며 T i – T 0 i l i, T 0 – T i i –L i 형식을 취합니다. 따라서 형식 (16)의 절대 제한은 특정 호 연결에 대한 형식 (15)의 제한의 특별한 경우입니다.

일반화된 연결과 함께 확률론적 인접 행렬 A를 도입하면 복잡한 프로젝트를 생성하는 프로세스를 설명할 수 있는 추가 기회가 제공됩니다.

L(i,j)를 이벤트 i와 j를 연결하는 경로라고 가정합니다.

L(i,j)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =j). (18)

이것 결정적 경로, 모든 kО pi k-1에 대해 i k =1이 참이면, 확률론적, 그렇지 않으면. 따라서 확률론적 경로에는 "실행" 확률이 엄격하게 1보다 작은 하나 이상의 호가 포함됩니다.

유사하게 정의됨 결정론적 및 확률론적 회로К(i)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =i). (이러한 이벤트를 "윤곽"이라고 합니다).

사건 i와 j가 경로 L(i,j)로 연결되어 있는 경우, 사건 i가 발생한 경우 사건 j의 발생 확률 P(j/i)는 다음에 해당하는 인접 행렬 A의 계수의 곱입니다. 연결 경로의 호:

Р(j/i)=Х v k=1 p i k-1 i k . (19)

이벤트 i와 j가 여러 경로로 연결된 경우 주어진 네트워크 조각의 등가 GERT 변환은 작업에 제공된 공식에 따라 수행되고 변환된 조각의 생성 함수 Y ij(s)가 계산되며 사건 i가 발생했을 때 사건 j가 발생할 확률 P(j/i)= Y ij(0).

s=0 지점(첫 번째 순간 m 1 (j/i))에서 s에 대한 함수 Y ij (s)/Y ij (0)의 1차 도함수는 시간의 수학적 기대 M(j/i)를 결정합니다. 사건 i 발생 시간에 대한 사건 j 발생 시간. s=0 지점(두 번째 순간 m 2 (j/i))에서 s에 대한 함수 Y ij (s)/ Y ij (0)의 2차 도함수를 사용하면 사건 발생 시간의 분산을 계산할 수 있습니다. 공식을 사용하여 이벤트 i 발생 시간에 대한 j

s 2 (j/i) =m 2 (j/i) – (m 1 (j/i)) 2. (20)

경로의 길이 L(i,j)는 무작위 변수이며, ML(i,j)는 이 경로를 구성하는 모든 호의 길이에 대한 수학적 기대치와 분산 DL의 합입니다. (i,j)는 분산의 합과 같습니다.

이러한 조건에서 경로(회로)의 길이는 다음과 같습니다. 부정적인값은 다음과 같이 해석됩니다.

만약 L(i,j)<0 и дуга (j,i) имеет отрицательно распределенный параметр y ji , то событие j должно свершиться 나중에 말고사건 i 발생 후 –y ji일 이후. 매개변수 y ji는 본질적으로 확률적이므로(순환 네트워크 모델과 관련하여) 이벤트 간의 논리적-시간적 연결을 보다 유연하게 설명할 수 있습니다.

원호 y ij의 매개변수로서 모든 경로의 원호를 따라 가산성을 갖는 특성 매개변수(예: 작업 비용)를 고려할 수 있으며 등가 GERT 변환을 사용하여 수학적 기대값과 분산을 얻습니다. 네트워크 조각 또는 프로젝트 전체의 비용.

CSSM의 타이밍 분석 문제(및 솔루션 알고리즘)고전적, 일반화 또는 확률론적 네트워크 모델의 시간 분석은 모든 계획 및 프로젝트 관리 문제를 해결하기 위한 기초를 형성합니다. 자원 제한을 고려하지 않고 프로젝트 관리 문제를 해결할 때 이는 독립적인 중요성을 갖습니다.

후속 비교를 위해 자원 가용성 벡터의 특정 값에 대한 다양한 계획 옵션을 생성하고 계획 옵션의 품질을 평가하고 추가 개선 방향을 선택하려면 시간 분석 작업도 필요합니다.

프로젝트 관리에서 최적의 작업 계획 문제를 해결할 때 CSSM의 시간 분석 알고리즘은 기술적 제약 사항을 준수하기 위해 해당 최적화 알고리즘에 사용되는 필수 매개변수를 계산하는 도구로 사용됩니다.

CSSM의 시간 분석 작업은 랜덤 벡터 T=(T 0 ,T 1 ,…,T n)을 찾는 것으로 축소됩니다. 여기서 Ti는 i번째 이벤트의 발생 시간이며 그 좌표는 다음을 충족합니다. 부등식 (15), (16) 및 극한의 일부 목표 함수 f(T)로 전환합니다.

강조됨 타이밍 분석 문제의 세 가지 클래스:

· 권위 있는, 여기서 모든 호의 지속 시간에 대한 수학적 기대치를 사용하여 (Ti)를 계산합니다.

· 확률적인 Lyapunov의 극한 정리 또는 기타 분석 수단을 기반으로 i번째 사건의 타이밍에 대한 수학적 기대치가 계산됩니다. (MT i ), 이는 목표 함수 f(T)의 인수입니다.

· 통계적, 주어진 신뢰성 수준 p에 대해 작업에 설명된 방법을 사용하여 i 번째 이벤트의 타이밍 - (W p (T i)) 및 그 파생물에 대한 경험적 분포의 p-분위수 추정, 목적 함수 f(W p (T))의 값을 포함합니다. 여기서 W p (T)=(W p (T 0), W p (T 1),…,W p (T n))입니다.

CSSM의 일관성 개념이 도입되었습니다.

순환 확률론적 네트워크 모델은 다음과 같습니다. 일관된,해당 시간 분석 문제 클래스(고전적, 확률적 또는 통계적)에 대해 계산되어 불평등 시스템(15),(16)을 충족하는 실행 가능한 계획이 하나 이상 있는 경우.

이 세 가지 개념을 살펴보겠습니다.

모델의 고전적 일관성.

모든 호의 지속 시간에 대한 수학적 기대치를 계산한 후 일정한 호 길이를 갖는 네트워크가 형성됩니다. 고려 중인 모델의 확률론적 특성과 일반화된 연결의 존재를 고려하여 CSSM에서는 위의 계산 후에 확률론적 및 결정론적 윤곽이 발생할 수 있습니다. 다음 정리가 증명되었습니다.

정리 1 . 호의 지속 시간이 고전적인 방식에 따라 계산되는 순환 확률론적 모델이 주어진 확률 a와 일치하려면 모든 결정론적 윤곽선의 길이가 양수가 아니어야 하고 충분합니다.

확률적 모델 일관성.

사건 발생 시점의 수학적 기대 MT i 와 분산 s 2 Ti 가 분석적으로 계산됩니다. 이러한 방식으로 계산된 매개변수는 아크 지속 시간의 수학적 기대에 따라 고전적인 방식으로 계산된 매개변수 값과 15-20% 정도 다릅니다.

에 대해 이야기하자 평균적으로 모델의 확률적 일관성, 이러한 방식으로 얻은 집합이 부등식 (15)-(16)을 충족하는 경우 수학적 기대값은 y ij 값으로 간주됩니다. 다음 정리의 타당성이 입증되었습니다.

정리 2 . 순환 확률론적 모델이 평균적으로 확률적으로 일관되기 위해서는 모든 결정론적 윤곽의 길이에 대한 수학적 기대가 양수가 아닌 것이 필요하고 충분합니다.

Ti가 다음 매개변수를 갖는 정규 분포를 갖는다고 가정합니다: 수학적 기대값 - MT i 및 분산 - s 2 Ti, 우리는 e의 더 넓은 개념을 도입합니다. 모델의 확률적 일관성.

모든 Ti에 대해 부등식을 만족하는 e > 0이 존재하면 CSSM은 e-확률적으로 일관적이라고 말할 수 있습니다.

|티 나는 –MT 나는 |< e, справедливы соотношения (15)-(16). В работе доказано следующее:

정리 3 . 순환 대안 모델이 e-확률적으로 일관되기 위해서는 모든 결정론적 윤곽의 길이에 대한 수학적 기대가 ML(K(i)) Ј –4e 관계를 충족하는 것이 필요하고 충분합니다.

평균적으로 모델의 확률적 일관성은 e=0에 대한 e-확률적 일관성의 특별한 경우입니다.

모델의 통계적 일관성.

네트워크 모델의 매개변수를 계산하는 통계적 방법을 사용하여 해당 지표의 확률 이론적 유사체인 p-분위수 추정값을 처리합니다. 순환확률모델이라고 한다. 통계적으로 확률 p와 일치함, 각 사건 i에 대해 사건 W p (T i)의 타이밍에 대한 p-분위수 추정치가 있는 경우, 불평등을 충족합니다.

W p (T j) - W p (T i)i W p (y ij), (21)

l 나는 ЈW p (Т i)ЈL i . (22)

여기서 관계식 (21)-(22)는 (15)-(16)의 확률적 유사체입니다. Wp(yij)는 호 길이(i,j)의 p-분위수 추정치입니다. 다음이 입증되었습니다.

정리 4 . 순환 대안 모델이 확률 p와 통계적으로 일치하기 위해서는 모든 결정적 윤곽의 길이에 대한 p-분위수 추정이 관계식 W p (L(K(i))) Ј 0을 만족하는 것이 필요하고 충분합니다.

CSSM의 타이밍 매개변수를 계산하기 위한 알고리즘.

초기 계획과 늦은 계획.

이벤트의 초기 날짜와 늦은 날짜를 계산하기 위해 수정된 "Pendulum" 알고리즘이 제안되었습니다. 확률 네트워크에서 사용되는 매개변수 계산을 위한 통계적 방법과 일반 네트워크에서 사용되는 'Pendulum' 알고리즘을 합성해 CSSM에 적용하는 것이 수정 아이디어다.

그림 10. 계산을 위한 알고리즘의 개략적인 블록 다이어그램

p-분위수 추정 초기 날짜사건의 성과

블록 1. 초기 데이터 입력(행렬 A의 계수, 분포 매개변수 y ij, 신뢰 수준 p).

블록 2. 지정된 결과의 정확성을 보장하기 위해 필요한 "무승부" 수 N을 계산합니다. 수행된 계산은 p=0.95, e=0.05에서 N»270을 얻는다는 것을 보여주었습니다.

블록 3. v:=v+1(v는 "무승부" 번호).

블록 4. 각각의 분포 법칙에 따라 확률 변수 y ij 의 v번째 변형을 그려 상수 y ij(v) - v번째 도면에서 호(i, j)의 길이를 얻습니다.

블록 5. 인접한 정점 j로의 전환의 각 대체 정점 i에 대해 그리기(이산 확률 변수 p ij가 그려지며 인접 행렬 A, 0의 i 번째 행으로 표시됨)< р ij <1 и е j р ij =1). Выбранная дуга помечается, остальные из графа исключаются. Если в полученном графе образовался контур К(i), содержащий хотя бы одну помеченную дугу, это есть стохастический контур, вычисляем его длину L (v) K(i) и опять для вершины i разыгрываем дискретную случайную величину р ij . В соответствие с доказанной в работе 보조정리도 1에서, 주어진 신뢰 수준 p에 대한 동일한 확률론적 윤곽은 k회 이하로 형성될 수 있으며, 여기서 k는 적절한 공식을 사용하여 추정됩니다. (k+1)번째 단계에서 "재생"한 호의 길이에 윤곽선의 k겹 길이를 더하고 다른 확률론적 윤곽선(있는 경우) 분석을 진행합니다. 이 경우 네트워크(양의 결정론적 회로)에서 모순이 발생할 수 있으며, 작업에 제공된 공식에 따라 회로의 d배 길이를 추가하여 이벤트 "종료" 완료 시간을 추정합니다. 평균적으로 회로에서.

블록 6. 결과 결정론적 일반화 네트워크 G(v)를 두 개의 네트워크 G 1(v) 및 G 2(v)로 나누어 G 1(v)이나 G 2(v) 모두 윤곽선을 포함하지 않도록 합니다. 우리는 네트워크 G 1 (v)의 꼭지점을 순위별로 정렬하고 이에 따라 "올바른" 번호 매기기를 설정합니다. 이 번호를 네트워크 G 2(v)와 원래 G(v)로 전송합니다.

블록 7. 네트워크 G1(v)의 모든 정점 i에 대해 초기 마감일을 계산합니다.

Т i 0(v) :=max j (Т i 0(v) , Т j 0(v) + y ij (v) ).

블록 8. 우리는 네트워크 G2(v)의 정점에 대해 블록 7과 유사한 절차를 수행합니다.

블록 9. 블록 7과 8의 결과가 하나 이상의 표시기에서 일치하지 않으면 블록 7로 돌아가고(G 2(v)의 백 호 수보다 더 많은 반환이 없음), 그렇지 않으면 블록 10으로 돌아갑니다.

블록 10. 도면 번호가 vЈN이면 블록 4로 이동하고, 그렇지 않으면 블록 11로 이동합니다.

블록 11. 각 정점 i에 대한 결과 집합(T i 0(v))으로부터 변형 계열을 구성합니다. N x /N=р가 되도록 Т i 0(x)의 값을 고정합니다. 여기서 N x는 Т i 0(x)보다 작은 변형 계열의 구성원 수입니다. Ti 0(x) 값은 i번째 사건의 초기 기간에 대해 원하는 p-분위수 – W p(T i 0)입니다. 마찬가지로, 변형 계열(y ij (v) )을 사용하여 호 길이의 p-분위수 추정치 W p(y ij)를 구성합니다.

블록 6의 입력은 일반화된 네트워크 모델 G(v)의 v번째 버전을 수신하고 실제로 블록 6~9는 이벤트의 초기 날짜를 계산하기 위한 "Pendulum" 알고리즘의 확대된 블록 다이어그램을 나타냅니다. OSM. 적절한 알고리즘을 적용하여 계산함으로써 늦은 날짜블록 7과 8의 이벤트에서 Ti 1(v) - 일반화된 네트워크 모델의 v번째 버전에 대한 이벤트의 늦은 타이밍을 얻는 반면 블록 11은 W p(T i 1) - p-분위수 추정치를 제공합니다. 늦은 날짜이벤트 완료.

최소 기간 계획.

허용되는 계획의 기간 L(T (v)) T (v) = (T i (v) ) v 네트워크의 옵션 G (v)는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

L(T(v))=최대 ij |T i(v) – T j(v) |. (23)

그림의 블록 다이어그램으로 교체합니다. 최소 기능(23)을 찾기 위해 블록당 10개의 블록 6 – 9를 사용하여 네트워크 G(v)에 대한 최소 기간 계획(또는 "압축된" 계획)을 얻습니다. 크기

L(T* (v))=min max ij |T i (v) – T j (v) | (24)

네트워크 G(v)의 임계 시간입니다.

블록 6-9에서 OSM에 대한 압축된 계획을 찾고 결과 계획을 블록 11을 통해 전달하는 방법을 사용하여 압축된 계획의 확률적 p-분위수 추정치를 얻습니다.

작업에 대한 시간 예약(i, j)은 다음 공식을 사용하여 계산된 p-분위수 유사에 해당합니다.

R p p (i,j)= W p (T j 1) - W p (T i 0) - W p (y ij) 전체 예비, (25)

R with p (i,j)= W p (T j 0) - W p (T i 0) - W p (y ij) 무료 예약. (26)

적절한 공식을 사용하여 p-분위수를 계산합니다. 장력 계수 W p (k n (i,j)), 그 다음 p-분위수를 작동합니다. 임계 구역, p-분위수 예비 구역및 p-분위수 중간 구역.

아크 매개변수로는 작업(작업)의 실행 시간을 고려했습니다. 또한 모든 경로의 호를 따라 가산성을 갖는 특성 매개변수를 고려할 수도 있습니다. 이는 작업 비용, 필요한 누적 자원량 등이 될 수 있습니다.

지금까지는 결정론적 네트워크 모델링 방법, 최적의 자원 할당을 위한 일부 경험적 방법 및 비용 추정을 위한 매개변수적 방법(주로 항공 및 우주 비행 분야)만이 폭넓게 실용적으로 적용되었다는 점에 유의해야 합니다. 고전적인 네트워크 모델을 기반으로 한 비용 스케줄링 문제에 대한 정확한 솔루션이 이론적으로 발견되었지만(설명됨), 실제 사용에서는 시간-비용 관계에 대한 실제 데이터를 얻는 것이 어렵습니다.

위에서 논의한 각 모델에는 고유한 주제 영역이 있으며 고유한 방식으로(다소 완전하게) 프로젝트 관리의 기본 기능을 구현하며 분석된 모델과 방법을 종합해야만 다음을 적절하게 반영하는 모델을 구축할 수 있습니다. 불확실한 조건에서 복잡한 프로젝트를 실행하는 과정과 동시에 공식화된 문제를 해결하는 데 있어 수용 가능한 결과를 얻는 과정입니다.

Topic 4. 네트워크 모델 기반 자원 소비 최적화

일반적인 개념.

네트워크 모델은 제한된 리소스를 고려하지 않고 위에서 논의되었습니다. 이와 같은 최상의 자원 할당 문제는 제기되지 않았습니다. 우리가 조사한 네트워크 모델을 사용하는 방법에서 개별 작업의 시기와 가장 중요한(중요 및 하위 임계) 작업 체인의 식별에 주된 관심을 기울였습니다. 작동)에 따라 다릅니다. 따라서 이러한 방법의 특징은 전체 작업 복합체를 제 시간에 완료한다는 관점에서 중요성 정도에 따라 정보를 분류하는 것입니다.

정보의 중요성을 정량적으로 측정하는 방법은 작업 시간 예약 또는 장력 계수

K ij =1 – R p ij /(T n 0 – T cr (i,j)), (25)

여기서 R p ij는 작업의 전체 예약 시간(i,j)이고, T n 0은 프로젝트의 중요한 시간이며, T cr(i,j)는 작업(i,j)을 포함하는 최대 경로 세그먼트의 기간입니다. 임계 경로와 일치합니다. 0 £ K ij £ 1이고 K ij가 1에 가까울수록 작업에 대한 재고가 상대적으로 적기 때문에(i, j), 따라서 주어진 시간 내에 완료되지 못할 위험이 높아집니다. 예를 들어 작업의 경우 (2.5) (그림 5) T cr (2.5) = 5, R p 25 = 3, 여기서 K 25 = 1 –3/(22 – 5) = 0.82, 작업의 경우 ( 5.8) T cr (5.8)=0, R p 58 =12, 여기서 K 58 =1 –12/(22 – 0)=0.45. 작품의 총 보유량은 동일할 수 있지만 완료 시점의 긴장 정도는 다를 수 있습니다. 반대로, 서로 다른 전체 보유량은 동일한 강도 계수에 해당할 수 있습니다. 이러한 방식으로 분류된 정보를 통해 프로젝트 관리자는 모든 작업의 목표 완료 날짜에서 발생할 수 있는 편차를 제거하기 위해 언제든지 주의(및 자원)에 집중할 위치를 결정할 수 있습니다.

네트워크 계획 및 관리 방법을 개선하는 추가 방법을 설명하기 전에 위에서 논의한 방법에 내재된 몇 가지 주요 단점에 대해 자세히 살펴보겠습니다.

작업 기간에 대한 임시 추정치를 제공하면서 이 작업을 수행하기 위해 특정 강도의 특정 자원을 사용한다고 가정했습니다(자원 소비 강도는 단위 시간당 소비되는 자원의 양입니다).

예상 시간을 할당할 때 이 작업을 언제 완료해야 하는지 또는 동일한 유형의 자원을 소비하는 다른 프로젝트 활동이 동시에 수행될지는 알 수 없습니다. 또한 일반적으로 서로 다른 프로젝트에서 동일한 리소스가 동시에 필요할 수 있습니다. 따라서 특정 시점에 특정 자원에 대한 총 수요가 가용 수준을 초과할 수 있습니다. 이러한 경우 개별 작업에 대한 자원 소비 강도를 줄이거나 여러 작업의 실행을 나중에, 종종 이러한 작업의 전체 예약을 넘어서 연기해야 합니다. 이는 프로젝트 진행 과정에서 당초 계획에 대한 잦은 조정, 즉 계획의 불안정성으로 이어진다.

물론, 프로젝트 실행 프로세스를 계획할 때 리소스 제한을 미리 고려하면 훨씬 더 신뢰할 수 있는 계획을 얻을 수 있습니다.

사용 가능한 자원 수준과 프로젝트 완료 시기는 상호 연관되어 있습니다. 전체 프로젝트를 완료하는 데 걸리는 시간은 각 활동에 언제 얼마나 많은 리소스가 할당되는지에 따라 달라지며, 이는 주어진 시간에 예상되는 가용성에 따라 크게 결정됩니다.

따라서, 네트워크 환경에서 자원 분배 문제가 발생합니다.

일반적으로 생산 계획 프로세스는 자원의 효율적인 사용 문제를 해결하는 것 이상입니다.

효율성 기준은 다를 수 있으며, 특정 작업을 고려할 때 아래에서 계획(기준 선택 및 정당화)의 중요한 사항에 대해 설명하겠습니다.

몇 가지 개념과 정의를 소개하겠습니다.

· 작업 프로그램하나 이상의 목표를 달성하기 위해 수행해야 하는 특정 작업(작업) 세트의 이름을 지정하고 프로그램 작업의 구현은 단일 리더십 센터에 종속됩니다. 발사단지 작업 프로그램, 현장 작업 프로그램, 건설 조직, 디자인 연구소 등에 대해 이야기할 수 있습니다.

· 단일 주제 작업 프로그램하나(단일 목적 주제) 또는 여러 목표(다목적 주제)를 달성하기 위해 기술적으로 상호 연관된 일련의 작업으로 구성된 프로그램을 호출합니다.

· 다중 테마 작업 프로그램우리는 각 단지 내에서 기술적으로 상호 연결된 여러 작업 단지로 구성된 프로그램을 부를 것입니다. 각 작업 세트에는 하나 이상의 최종 목표가 있을 수 있습니다. 서로 다른 단지에 속한 작품은 기술적으로 서로 관련이 없습니다. 하나의 다중 주제 프로그램에 대한 주제의 소속은 제어 센터의 통일성과 자원 저장소의 공통성에 의해 결정됩니다.

먼저 자원 할당 문제의 다양한 공식화를 고려해 보겠습니다. 단일 주제, 단일 목적 프로그램.

네트워크 모델에 설명된 프로젝트를 관리할 때 가능한 두 가지 목표를 기반으로 두 가지 주요 유형의 작업 설정이 가능합니다. 첫 번째 유형은 자원 제한을 엄격하게 준수하는 데 중점을 두는 반면, 두 번째 유형은 프로젝트 완료 기한을 엄격하게 준수하는 데 중점을 둡니다.

첫 번째 유형의 문제 설명(“교정”) 작성.

자원 소비에 대한 제한이 주어지면 네트워크 다이어그램의 토폴로지에 의해 결정되는 작업의 기술적 순서를 고려하여 이러한 분포를 찾으십시오. 이는 전체 프로그램이 최소 시간 내에 완료되도록 보장합니다.

두 번째 유형의 문제 설명(“평활화”)의 공식화.

지정된 프로그램 실행 기간을 유지하면서 리소스 소비가 최적이 되도록 개별 작업 간에 리소스를 배포하는 것이 필요합니다. 우리는 이 공식에 대한 최적성 기준을 선택하는 문제를 구체적으로 고려할 것입니다.

리소스 요구 사항을 충족하는 다양한 메커니즘으로 인해 일반적으로 누적(저장) 및 비축적(비저장)의 두 그룹으로 나뉩니다. 두 번째 리소스 그룹은 종종 "용량 유형 리소스"라고 합니다.

첫 번째 그룹에는 돈, 다양한 재료 및 구조물 등과 같이 본질적으로 나중에 사용할 가능성이 있는 축적을 허용하는 자원이 포함됩니다. 이 경우 자원 제한은 전체 이전 기간 동안의 총 자원 공급량을 매 순간 표시하는 통합 비감소 함수로 지정할 수 있습니다.

두 번째 그룹에는 이후 사용을 위해 축적할 수 없는 리소스가 포함됩니다. 예를 들어 작업 리소스 및 컴퓨터 시간이 있습니다. 작업자와 기계의 가동 중단 시간은 회복할 수 없는 손실입니다. 이 그룹에 대한 자원 제한은 각 시점의 자원 가용성 기능에 의해 설정됩니다.

확률론적 모델은 어떤 경우에 사용되나요? 확률론의 기초. 확률론적 모델. 기호 모델링의 중요한 유형은 연구 중인 다양한 물체와 현상이 동일할 수 있다는 사실에 기초한 수학적 모델링입니다.

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