주어진 행렬에 대한 역행렬은 단위 행렬을 제공하는 원래 행렬의 곱셈과 같은 행렬입니다. 역행렬의 존재에 대한 필수 및 충분 조건은 원래 행렬의 행렬식의 부등식입니다(이는 차례로 행렬이 정사각형이어야 함을 의미합니다). 행렬의 행렬식이 0과 같으면 축퇴라고 하며 이러한 행렬에는 역행렬이 없습니다. 고등 수학에서는 역행렬이 중요하며 여러 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 역행렬 찾기세워짐 매트릭스 방법연립방정식의 해. 우리의 서비스 사이트는 역행렬 온라인 계산두 가지 방법: Gauss-Jordan 방법 및 대수 덧셈 행렬 사용. 첫 번째는 행렬 내에서 많은 수의 기본 변환을 의미하고 두 번째는 모든 요소에 대한 행렬식 및 대수적 추가 계산을 의미합니다. 행렬의 행렬식을 온라인으로 계산하려면 다른 서비스인 온라인 행렬의 행렬식 계산을 사용할 수 있습니다.

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사이트에서 역행렬 찾기

웹사이트당신이 찾을 수 있습니다 역행렬 온라인빠르고 무료입니다. 사이트에서 당사 서비스에서 계산을 수행하고 결과를 찾기 위한 자세한 솔루션과 함께 표시됩니다. 역행렬. 서버는 항상 정확하고 정확한 답변만을 제공합니다. 정의에 따른 작업에서 역행렬 온라인, 결정자가 필요하다. 행렬 0과 달랐습니다. 그렇지 않으면 웹사이트원래 행렬의 행렬식이 0과 같기 때문에 역행렬을 찾는 것이 불가능하다고 보고합니다. 작업 찾기 역행렬수학의 많은 분야에서 발견되는 대수학의 가장 기본적인 개념 중 하나이자 응용 문제의 수학적 도구입니다. 독립적인 역행렬 정의계산에서 실수나 작은 오류가 발생하지 않도록 상당한 노력, 많은 시간, 계산 및 세심한 주의가 필요합니다. 따라서 우리의 서비스 온라인에서 역행렬 찾기작업을 크게 촉진하고 수학 문제를 해결하는 데 없어서는 안될 도구가 될 것입니다. 당신이 역행렬 찾기서버에서 솔루션을 확인하는 것이 좋습니다. 온라인 역행렬 계산에 원래 행렬을 입력하고 답을 확인하십시오. 우리 시스템은 결코 틀리지 않으며 역행렬모드에서 주어진 차원 온라인곧! 그 자리에서 웹사이트요소에 문자 입력이 허용됩니다. 행렬, 이 경우 역행렬 온라인일반적인 상징적 형태로 제시될 것이다.

을 위한 역행렬 숫자의 역수와 적절한 비유가 있습니다. 모든 숫자에 대해 ㅏ, 0이 아닌 숫자가 있습니다. 비그 작업 ㅏ그리고 비 1과 같음: ab= 1 . 숫자 비숫자의 역수라고 합니다. 비. 예를 들어, 숫자 7의 경우 7*1/7=1이므로 역수는 숫자 1/7입니다.

역행렬 , 주어진 정방 행렬에 대해 찾아야 합니다. 하지만, 이러한 행렬을

행렬을 만드는 제품 하지만오른쪽은 단위 행렬입니다. 즉,
. (1)

단위 행렬은 모든 대각선 항목이 1인 대각 행렬입니다.

역행렬 찾기- 두 가지 방법으로 가장 자주 해결되는 문제:

• 행렬식을 찾고 행렬을 전치하는 데 필요한 대수적 덧셈 방법;
• 행렬의 기본 변환(행 추가, 행 곱하기 등)이 필요한 가우스 제거 방법.

특히 궁금한 사람들을 위해 선형 변환 방법과 같은 다른 방법이 있습니다. 이 단원에서는 언급된 세 가지 방법과 이러한 방법으로 역행렬을 찾는 알고리즘을 분석합니다.

정리.각각의 비특이(비특이, 비특이) 정방행렬에 대해 역행렬을 찾을 수 있으며 또한 하나만 찾을 수 있습니다. 특수(축퇴, 특이) 정방 행렬의 경우 역행렬이 존재하지 않습니다.

정방 행렬은 비특수(또는 비퇴화, 비단수) 그것의 행렬식이 0이 아닌 경우, 그리고 특별한(또는 퇴화하다, 단수형) 그 행렬식이 0인 경우.

역행렬은 정방행렬에서만 찾을 수 있습니다. 당연히 역행렬도 정사각형이 될 것이고 주어진 행렬과 같은 차수가 될 것입니다. 역행렬을 찾을 수 있는 행렬을 역행렬이라고 합니다.

미지수의 가우스 제거로 역행렬 찾기

가우스 소거법으로 역행렬을 찾는 첫 번째 단계는 행렬에 할당하는 것입니다. ㅏ동일한 차수의 단위 행렬을 세로 막대로 구분합니다. 우리는 이중 행렬을 얻습니다. 이 행렬의 두 부분에 를 곱하면 다음을 얻습니다.

,

미지수의 가우스 소거법으로 역행렬을 찾는 알고리즘

1. 매트릭스로 ㅏ동일한 차수의 단위 행렬을 할당합니다.

2. 결과 이중 행렬을 변환하여 왼쪽 부분에서 단위 행렬을 얻으면 단위 행렬 대신 오른쪽 부분에서 역행렬이 자동으로 얻어집니다. 행렬 ㅏ왼쪽의 는 행렬의 기본 변환에 의해 단위 행렬로 변환됩니다.

2. 행렬 변환 과정에서 ㅏ행이나 열의 단위 행렬에 0만 있으면 행렬의 행렬식이 0과 같으므로 행렬 ㅏ퇴화되며 역행렬이 없습니다. 이 경우 역행렬의 더 이상 찾기가 중지됩니다.

실시예 2매트릭스의 경우

역행렬을 찾습니다.

그리고 우리는 그것을 왼쪽에서 단위 행렬을 얻도록 변환할 것입니다. 변신을 시작해 봅시다.

왼쪽 및 오른쪽 행렬의 첫 번째 행에 (-3)을 곱하고 두 번째 행에 더하고 첫 번째 행에 (-4)를 곱하고 세 번째 행에 더하면 다음을 얻습니다.

.

가능한 경우 후속 변환 중에 분수가 없도록 이중 행렬의 왼쪽에 있는 두 번째 행에 단위를 먼저 만듭니다. 이렇게하려면 두 번째 행에 2를 곱하고 세 번째 행을 빼면 다음을 얻습니다.

.

첫 번째 행을 두 번째 행에 더한 다음 두 번째 행에 (-9)를 곱하여 세 번째 행에 더합니다. 그럼 우리는

.

세 번째 행을 8로 나눈 다음

.

세 번째 행에 2를 곱하고 두 번째 행에 더합니다. 그것은 밝혀:

.

두 번째와 세 번째 줄의 위치를 ​​바꾸면 마침내 다음을 얻습니다.

.

왼쪽에서 단위 행렬이 얻어졌으므로 오른쪽에서 역행렬이 얻어짐을 알 수 있습니다. 이런 식으로:

.

원래 행렬에 찾은 역행렬을 곱하여 계산의 정확성을 확인할 수 있습니다.

결과는 역행렬이어야 합니다.

역행렬을 찾기 위한 온라인 계산기 .

실시예 3매트릭스의 경우

역행렬을 찾습니다.

해결책. 이중 행렬 컴파일

그리고 우리는 그것을 변형시킬 것입니다.

첫 번째 행에 3을 곱하고 두 번째 행에 2를 곱하고 두 번째 행에서 뺀 다음 첫 번째 행에 5를 곱하고 세 번째 행에 2를 곱하고 세 번째 행에서 빼면 다음을 얻습니다.

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첫 번째 행에 2를 곱하고 두 번째 행에 더한 다음 세 번째 행에서 두 번째 행을 빼면 다음을 얻습니다.

.

왼쪽의 세 번째 줄에서 모든 요소가 0으로 판명되었음을 알 수 있습니다. 따라서 행렬은 축퇴되고 역행렬이 없습니다. 우리는 역 마리아의 더 이상 찾기를 중지합니다.

다음을 사용하여 솔루션을 확인할 수 있습니다.

가우스-조던 방법. 역행렬을 찾는 방법
기본 변환을 사용하여?

한때 독일 수학자 빌헬름 요르단 (우리는 독일어에서 잘못 번역요르단으로 요르단)결정하기 위해 앉았다 다른 시스템방정식. 그는 그것을 하는 것을 좋아했고 여가 시간에 기술을 향상시켰습니다. 그러나 모든 해결 방법과 방법에 지루해하는 순간이 왔습니다. 가우스 방법포함...

3개의 방정식, 3개의 미지수가 있는 시스템이 주어지고 그 증대 행렬이 작성되었다고 가정합니다. 가장 일반적인 경우 표준 단계가 얻어지며 매일 .... 희망 없는 11월의 비와 같은 것.

잠시 우울함을 몰아낸다. 또 다른 방법행렬을 계단식으로 가져오기: , 게다가 완전히 동등하며 주관적인 인식 때문에 불편할 수 있습니다. 그러나 조만간 모든 것이 지루해집니다 .... 그리고 나서 나는 생각했다. ~에 대한 rdan - 왜 가우스 알고리즘의 역방향 이동을 귀찮게 합니까? 추가적인 기본 변환의 도움으로 즉시 답을 얻는 것이 더 쉽지 않습니까?

... 예, 이것은 사랑에 대해서만 발생합니다 =)

이 수업을 마스터하려면 "인형"이 F의 길을 가야합니다. ~에 대한최소 15-20개의 해당 작업을 해결한 최소 평균 수준의 rdana 및 펌프 기본 변환. 따라서 대화 내용을 모호하게 이해하거나 수업 과정에서 뭔가 오해가 있는 경우 다음 순서로 주제에 익숙해지는 것이 좋습니다.

글쎄요, 해결된다면 정말 대단합니다 행렬식의 차수 낮추기.

모두가 알다시피 Gauss-Jordan 방법은 수정 가우스 방법그리고 이미 위에서 언급한 주요 아이디어의 구현으로 다음 화면에서 만납니다. 또한 이 기사의 몇 가지 예 중 가장 중요한 응용 프로그램이 포함되어 있습니다. 기본 변환을 사용하여 행렬의 역행렬 찾기.

더 이상 고민하지 않고:

실시예 1

Gauss-Jordan 방법을 사용하여 시스템 풀기

해결책: 이것은 수업의 첫 번째 과제입니다. 인형을 위한 가우스 방법, 여기서 우리는 시스템의 확장 행렬을 5번 변환하고 계단 형태로 가져왔습니다.

이제 대신 뒤집다추가적인 기본 변형이 작동합니다. 먼저 다음 위치에서 0을 가져와야 합니다. ,
그리고 여기에 또 다른 0이 있습니다. .

단순성의 관점에서 이상적인 경우:

(6) 두 번째 줄에 세 번째 줄이 추가되었습니다. 첫 번째 줄에 세 번째 줄이 추가되었습니다.

(7) 첫 번째 줄에 두 번째 줄을 더하고 -2를 곱합니다.

최종 시스템을 설명하지 않을 수 없습니다.

대답:

나는 변덕스러운 분위기에 대해 독자들에게 경고합니다. 이것은 가장 간단한 데모 예였습니다. Gauss-Jordan 방법은 고유한 트릭이 있으며 가장 편리한 계산이 아니므로 진지한 작업을 준비하십시오.

나는 범주적이거나 까다롭게 보이고 싶지 않지만 내가 본 대부분의 정보 출처에서 전형적인 문제는 매우 열악한 것으로 간주됩니다. 분수가있는 서투른 솔루션. 수년간의 연습을 통해 나는 연마 할 수있었습니다. 최고라고 말하지는 않겠지만 산술 연산을 소유 한 모든 사람이 사용할 수있는 합리적이고 상당히 쉬운 기술입니다.

실시예 2

Gauss-Jordan 방법을 사용하여 선형 연립방정식을 풉니다.

해결책: 작업의 첫 번째 부분은 잘 알려져 있습니다.

(1) 첫 번째 행을 두 번째 행에 더하고 -1을 곱합니다. 첫 번째 줄에 3을 곱한 값을 세 번째 줄에 더하고 첫 번째 줄에 -5를 곱한 값을 네 번째 줄에 더합니다.

(2) 두 번째 행은 2로, 세 번째 행은 11로, 네 번째 행은 3으로 나누었습니다.

(3) 두 번째와 세 번째 줄은 비례하고 세 번째 줄은 삭제했습니다. 두 번째 줄은 -7을 곱한 네 번째 줄에 추가되었습니다.

(4) 세 번째 행을 2로 나눴습니다.

분명히, 시스템은 무한히 많은 솔루션을 가지고 있으며 우리의 임무는 증강 행렬을 다음 형식으로 가져오는 것입니다. .

어떻게 진행하나요? 우선, 문자열의 순열이라는 맛있는 기본 변환을 잃어 버렸습니다. 더 정확하게는 재정렬이 가능하지만 이것은 의미가 없습니다(불필요한 작업만 수행할 것입니다). 그런 다음 다음 패턴을 따르는 것이 좋습니다.

우리는 찾는다 최소 공배수세 번째 열의 숫자(1, -1 및 3), 즉 - 나머지 없이 1, -1 및 3으로 나눌 수 있는 가장 작은 수. 이 경우 물론 "3"입니다. 지금 세 번째 열에서 우리는 동일한 모듈로 숫자를 얻어야 합니다., 그리고 이러한 고려 사항은 행렬의 다섯 번째 변환을 결정합니다.

(5) 첫 번째 행에 -3을 곱하고 두 번째 행에 3을 곱합니다. 일반적으로 첫 번째 행에도 3을 곱할 수 있지만 다음 단계에서는 덜 편리합니다. 좋은 일에 빨리 익숙해집니다.

(6) 두 번째 줄에 세 번째 줄이 추가되었습니다. 첫 번째 줄에 세 번째 줄이 추가되었습니다.

(7) 두 번째 열(24 및 6)에는 0이 아닌 두 값이 있으며 다시 얻어야 합니다. 동일한 모듈로의 숫자. 이 경우 모든 것이 아주 잘 나타났습니다. 가장 작은 배수는 24이고 두 번째 행에 -4를 곱하는 것이 가장 효율적입니다.

(8) 첫 번째 줄에 두 번째 줄이 추가되었습니다.

(9) 마무리 터치: 첫 번째 줄을 -3으로, 두 번째 줄을 -24로, 세 번째 줄을 3으로 나눕니다. 이 동작이 수행됩니다. 마지막 요청에! 조기 분수 없음!

기본 변환의 결과로 동등한 원래 시스템이 얻어졌습니다.

기본 변수를 자유 변수로 기본적으로 표현합니다.

쓰기:

대답: 일반적인 결정:

이러한 예에서 고려된 알고리즘의 사용은 가장 자주 정당화됩니다. 가우스 방법일반적으로 분수를 사용하여 시간이 많이 걸리고 불쾌한 계산이 필요합니다.

물론 수표는 매우 바람직하며 수업에서 논의한 일반적인 계획에 따라 수행됩니다. 공통 솔루션이 있는 호환되지 않는 시스템 및 시스템.

독립형 솔루션의 경우:

실시예 3

기본 변환을 사용하여 기본 솔루션 찾기

이 문제의 공식화는 Gauss-Jordan 방법의 사용을 포함하며 샘플 솔루션에서 행렬은 표준 형식으로 축소됩니다. 기본 변수와 함께 그러나 항상 명심하십시오. 다른 변수를 기본 변수로 선택할 수 있습니다.. 따라서 예를 들어 첫 번째 열에 성가신 숫자가 있는 경우 행렬을 다음 형식으로 가져오는 것이 좋습니다. (기본 변수) 또는 형식 (기본 변수), 또는 심지어 형식까지 기본 변수와 함께 다른 옵션이 있습니다.

그러나 여전히 이것은 극단적인 경우입니다. 지식, 솔루션 기술로 교사를 다시 한 번 놀라게 해서는 안 되며, 더욱이 다음과 같은 이국적인 요르단 결과를 제공해서는 안 됩니다. . 그러나 원래 행렬, 예를 들어 4번째 열에 2개의 미리 만들어진 0이 있는 경우 비-유형 기반을 자제하기 어려울 수 있습니다.

메모 : "기초"라는 용어는 대수적 의미와 개념을 가지고 있습니다. 기하학적 기초여기 아무것도!

한 쌍의 경우 선형 종속줄을 표시한 다음 일반적인 형식으로 가져와야 합니다. 기본 변수와 함께 이러한 솔루션의 예는 다음 기사의 예 7에 있습니다. 균질 선형 방정식 시스템, 거기 다른 근거가 선택됨.

우리는 다음과 같은 응용 작업에 대한 기술을 계속 향상시키고 있습니다.

가우스 방법을 사용하여 행렬의 역행렬을 찾는 방법은 무엇입니까?

일반적으로 조건은 축약된 형식으로 공식화되지만 본질적으로 Gauss-Jordan 알고리즘도 여기에서 작동합니다. 더 쉽게 찾는 방법 역행렬정사각형 행렬의 경우 해당 수업에서 오래 전에 고려했으며 혹독한 늦가을에 강판을받은 학생들은 해결 방법을 마스터했습니다.

요약다음 단계는 다음과 같습니다. 먼저 단위 행렬과 함께 정방 행렬을 작성합니다. . 그런 다음 기본 변환을 사용하여 왼쪽의 단위 행렬을 얻을 필요가 있는 반면 (이론적인 세부 사항으로 들어가지 않고)역행렬은 오른쪽에 그려집니다. 개략적으로 솔루션은 다음과 같습니다.

(역행렬이 반드시 존재해야 함은 분명함)

데모 4

기본 변환을 사용하여 행렬에 대한 역행렬을 찾아 보겠습니다. 이를 위해 단위 행렬이 있는 하나의 하네스에 작성하고 "두 마리의 말"이 돌진합니다.

(1) 첫 번째 행을 두 번째 행에 더하고 -3을 곱합니다.

(2) 첫 번째 줄에 두 번째 줄이 추가되었습니다.

(3) 두 번째 행을 -2로 나눴습니다.

대답:

수업의 첫 번째 예에 대한 답을 확인하세요. 역행렬을 찾는 방법은 무엇입니까?

그러나 그것은 또 다른 매력적인 문제였습니다. 사실, 솔루션은 훨씬 더 길고 힘들었어요. 일반적으로 3x3 행렬이 표시됩니다.

실시예 5

해결책: 우리는 단위 행렬을 첨부하고 "정상" 알고리즘을 준수하여 변환을 수행하기 시작합니다. 가우스 방법:

(1) 첫 번째 줄과 세 번째 줄이 바뀌었습니다. 언뜻보기에는 행의 순열이 불법으로 보이지만 실제로는 재정렬할 수 있습니다. 결국 왼쪽의 합계에 따라 단위 행렬을 가져와야 하고 오른쪽에서 "강제로" 정확히 행렬 (해결 중 라인 재배열 여부에 관계없이). 여기서 순열 대신 첫 번째 열에 "6"을 정렬할 수 있습니다. (숫자 3, 2, 1의 최소공배수(LCM)). LCM 솔루션은 첫 번째 열에 "단위"가 없을 때 특히 편리합니다.

(2) 두 번째 줄과 세 번째 줄에 첫 번째 줄을 추가하고 각각 -2와 -3을 곱합니다.

(3) 세 번째 줄에 두 번째 줄을 추가하고 -1을 곱합니다.

솔루션의 두 번째 부분은 이전 단락에서 이미 알려진 방식에 따라 수행됩니다. 행 순열은 의미가 없고 세 번째 열(1, -5, 4): 20에서 숫자의 최소 공배수를 찾습니다. LCM을 찾기 위한 엄격한 알고리즘이 있지만 일반적으로 여기에서 선택하면 충분합니다. 예를 들어 숫자 40과 같이 1과 -5, 그리고 4로 나눌 수 있는 더 큰 숫자를 사용해도 괜찮습니다. 그 차이는 계산이 더 복잡할 것입니다.

계산을 말하는 것입니다. 문제를 해결하기 위해 마이크로 계산기로 무장하는 것은 전혀 부끄러운 일이 아닙니다. 여기에 나타나는 숫자는 상당하며 계산 오류를 범하는 것은 매우 실망스러울 것입니다.

(4) 세 번째 줄에 5를 곱하고 두 번째 줄에 4를 곱하고 첫 번째 줄에 "20 빼기"를 곱합니다.

(5) 1행과 2행에 3행을 추가했습니다.

(6) 첫 번째 행과 세 번째 행을 5로 나누고 두 번째 행에 -1을 곱했습니다.

(7) 두 번째 열(-20 및 44)에 있는 0이 아닌 숫자의 최소 공배수는 220입니다. 첫 번째 행에 11을 곱하고 두 번째 행에 5를 곱합니다.

(8) 첫 번째 줄에 두 번째 줄이 추가되었습니다.

(9) 첫 번째 행에 -1을 곱하고 두 번째 행을 "뒤로" 5로 나눕니다.

(10) 지금 왼쪽 행렬의 주대각선에서 다음을 얻는 것이 편리합니다. 대각선에 있는 숫자의 최소 공배수 (44, 44 및 4). 이 숫자가 44라는 것은 분명합니다. 세 번째 줄에 11을 곱합니다.

(11) 각 줄을 44로 나눕니다. 이 작업은 마지막에 수행됩니다!

따라서 역행렬은 다음과 같습니다.

th의 도입과 제거는 원칙적으로 불필요한 작업이지만, 이는 작업 등록 프로토콜에 의해 요구됩니다.

대답:

검증은 다음 단원에서 논의한 일반적인 계획에 따라 수행됩니다. 역행렬.

고급 사람들은 솔루션을 다소 단축할 수 있지만 경고해야 합니다. 여기에서 서두르면 실수할 위험이 높아집니다.

독립 솔루션에 대한 유사한 작업:

실시예 6

Gauss-Jordan 방법으로 역행렬을 찾습니다.

페이지 하단에 있는 작업의 예. 그리고 "노래로 지나치지 않도록"하기 위해 이미 언급한 스타일로 솔루션을 설계했습니다. 행의 단일 순열과 추가적인 인공 변형 없이 열의 LCM을 통해서만 독점적입니다. 내 생각에, 이 계획은 가장은 아니지만 가장 신뢰할 수 있는 것 중 하나입니다..

때로는 더 짧은 "모더니스트"솔루션이 편리합니다. 다음과 같습니다. 첫 번째 단계에서는 모든 것이 평소와 같습니다. .

두 번째 단계에서 널링 기법(두 번째 열 번호의 LCM을 통해)을 사용하여 두 번째 열에 두 개의 0이 한 번에 구성됩니다. . 동일한 모듈러스의 숫자가 두 번째 열에 표시되는 경우(예: 동일한 진부한 "단위") 이 작업에 저항하는 것은 특히 어렵습니다.

마지막으로 세 번째 단계에서 같은 방식으로 세 번째 열에 필요한 0을 얻습니다. .

차원의 경우 대부분의 경우 "3x3" 행렬을 해결해야 합니다. 그러나 때때로 2x2 행렬과 하드 문제의 가벼운 버전이 있습니다 ... - 특히 사이트의 모든 독자에게:

실시예 7

기본 변환을 사용하여 역행렬 찾기

이것은 내 자신의 Fizmatov 대수 시험에서 나온 과제입니다. ... 오, 내 첫 번째 코스는 어디입니까 =) 15 년 전 (놀랍게도 잎은 아직 노랗게 변하지 않았습니다), 8단계로 완료했는데 이제 6단계만 남았습니다! 그런데 매트릭스는 매우 창의적입니다. 첫 번째 단계에서 몇 가지 유혹적인 솔루션을 볼 수 있습니다. 내 최신 버전은 페이지 하단에 있습니다.

그리고 마지막 팁 - 이러한 예 후에 눈을 위한 체조와 휴식을 위한 좋은 음악이 매우 유용합니다 =)

너에게 성공을 기원한다!

솔루션 및 답변:

예 3: 해결책: 시스템의 확장 행렬을 작성하고 기본 변환을 사용하여 기본 솔루션을 얻습니다.


(1) 첫 번째 라인과 두 번째 라인이 바뀌었습니다.
(2) 첫 번째 행을 두 번째 행에 더하고 -2를 곱했습니다. 첫 번째 줄을 세 번째 줄에 더하고 5를 곱했습니다.
(3) 세 번째 행을 3으로 나눕니다.
(4) 두 번째 줄에 2를 곱한 값을 세 번째 줄에 더했습니다.
(5) 세 번째 행을 7로 나눴습니다.
(6) 세 번째 열(-3, 5, 1)에 있는 숫자의 최소 배수는 15입니다. 첫 번째 행에는 5를 곱하고, 두 번째 행에는 -3을 곱하고, 세 번째 행에는 15를 곱합니다.
(7) 첫 번째 줄에 세 번째 줄을 추가했습니다. 두 번째 줄에 세 번째 줄이 추가되었습니다.
(8) 첫 번째 행은 5로, 두 번째 행은 -3으로, 세 번째 행은 15로 나눕니다.
(9) 두 번째 열(-2 및 1)의 0이 아닌 숫자의 최소 배수는 다음과 같습니다. 2. 두 번째 행에 2를 곱했습니다.
(10) 첫 번째 줄에 두 번째 줄이 추가되었습니다.
(11) 두 번째 행을 2로 나눴습니다.
기본 변수를 자유 변수로 표현해 보겠습니다.

대답 : 일반적인 결정:

예 6: 해결책: 기본 변환을 사용하여 역행렬을 찾습니다.


(1) 첫 번째 행에 -15를 곱하고, 두 번째 행에 3을 곱하고, 세 번째 행에 5를 곱합니다.
(2) 두 번째, 세 번째 줄에 첫 번째 줄이 추가되었습니다.
(3) 첫 번째 행은 -15로, 두 번째 행은 -3으로, 세 번째 행은 -5로 나눕니다.
(4) 두 번째 행에 7을 곱하고 세 번째 행에 -9를 곱했습니다.
(5) 세 번째 줄에 두 번째 줄이 추가되었습니다.


(6) 두 번째 행을 7로 나눴습니다.
(7) 첫 번째 행에 27을 곱하고, 두 번째 행에 6을 곱하고, 세 번째 행에 -4를 곱합니다.
(8) 첫 번째 줄과 두 번째 줄에 세 번째 줄을 추가했습니다.
(9) 세 번째 줄을 -4로 나눴습니다. 두 번째 줄을 첫 번째 줄에 추가하고 -1을 곱했습니다.
(10) 두 번째 행을 2로 나눴습니다.
(11) 각 줄을 27로 나눴습니다.
결과적으로:
대답 :

예 7: 해결책: Gauss-Jordan 방법을 사용하여 역행렬을 찾습니다.
(1) 1, 4행에 3행을 추가했습니다.
(2) 첫 번째 라인과 네 번째 라인이 바뀌었습니다.
(3) 1번째 라인이 2번째 라인에 추가되었습니다. 세 번째 줄에 첫 번째 줄을 추가하고 2를 곱합니다.


(4) 세 번째 줄에 두 번째 줄을 더하고 -2를 곱합니다. 2번째 라인이 4번째 라인에 추가되었습니다.
(5) 4번째 줄에 -1을 곱한 값이 1번째 줄과 3번째 줄에 추가되었습니다.
(6) 두 번째 행은 -1을 곱하고 세 번째 행은 -2로 나눕니다.
대답 :

일반적으로 역연산은 복잡한 대수식을 단순화하는 데 사용됩니다. 예를 들어 문제에 분수로 나누는 연산이 포함된 경우 역수를 곱하는 연산인 역연산으로 대체할 수 있습니다. 또한 행렬은 나눌 수 없으므로 역행렬을 곱해야 합니다. 3x3 행렬의 역수를 계산하는 것은 꽤 지루하지만 수동으로 할 수 있어야 합니다. 좋은 그래프 계산기로 역수를 찾을 수도 있습니다.

단계

첨부된 매트릭스를 사용하여

원래 행렬을 전치합니다.전치는 행렬의 주대각선을 기준으로 행을 열로 바꾸는 것입니다. 즉, 요소 ​​(i, j)와 (j, i)를 바꿔야 합니다. 이 경우 주 대각선의 요소(왼쪽 상단 모서리에서 시작하여 오른쪽 하단 모서리에서 끝남)는 변경되지 않습니다.

• 행을 열로 바꾸려면 첫 번째 행의 요소를 첫 번째 열에, 두 번째 행의 요소를 두 번째 열에, 세 번째 행의 요소를 세 번째 열에 씁니다. 요소의 위치를 ​​​​변경하는 순서는 그림에 나와 있으며 해당 요소는 색상이 지정된 원으로 표시됩니다.

각 2x2 행렬의 정의를 찾으십시오.전치된 행렬을 포함하여 모든 행렬의 각 요소는 해당 2x2 행렬과 연결됩니다. 특정 요소에 해당하는 2x2 행렬을 찾으려면 이 요소가 있는 행과 열을 지우십시오. 즉, 원래 3x3 행렬의 5개 요소를 지워야 합니다. 해당 2x2 행렬의 요소인 4개의 요소는 줄이 그어지지 않은 상태로 유지됩니다.

• 예를 들어, 두 번째 행과 첫 번째 열의 교차점에 있는 요소에 대한 2x2 행렬을 찾으려면 두 번째 행과 첫 번째 열에 있는 5개의 요소를 지웁니다. 나머지 4개의 요소는 해당 2x2 행렬의 요소입니다.
• 각 2x2 행렬의 행렬식을 찾습니다. 이렇게하려면 주 대각선 요소의 곱에서 보조 대각선 요소의 곱을 뺍니다(그림 참조).
• 3x3 행렬의 특정 요소에 해당하는 2x2 행렬에 대한 자세한 정보는 인터넷에서 찾을 수 있습니다.

보조인자의 행렬을 만듭니다.이전에 얻은 결과를 새로운 보조인자 매트릭스 형태로 기록합니다. 이렇게 하려면 3x3 행렬의 해당 요소가 위치한 각 2x2 행렬의 찾은 행렬식을 작성하십시오. 예를 들어, 요소 (1,1)에 대해 2x2 행렬이 고려되는 경우 위치 (1,1)에 행렬식을 기록하십시오. 그런 다음 그림에 표시된 특정 패턴에 따라 해당 요소의 기호를 변경합니다.

• 부호 변경 방식: 첫 번째 줄의 첫 번째 요소 부호는 변경되지 않습니다. 첫 번째 줄의 두 번째 요소의 부호는 반대입니다. 첫 번째 줄의 세 번째 요소의 부호는 변경되지 않고 줄 단위로 변경됩니다. 다이어그램(그림 참조)에 표시된 "+" 및 "-" 기호는 해당 요소가 양수 또는 음수임을 나타내지 않습니다. 이 경우 "+" 기호는 요소의 부호가 변경되지 않았음을 나타내고 "-" 기호는 요소의 부호가 변경된 것을 나타냅니다.
• 보조인자 행렬에 대한 자세한 정보는 인터넷에서 찾을 수 있습니다.
• 이것이 원래 행렬의 관련 행렬을 찾는 방법입니다. 복소수 켤레 행렬이라고도 합니다. 이러한 행렬은 adj(M)로 표시됩니다.

인접 행렬의 각 요소를 행렬식으로 나눕니다.역행렬이 존재하는지 확인하기 위해 맨 처음에 행렬 M의 행렬식을 계산했습니다. 이제 인접 행렬의 각 요소를 이 행렬식으로 나눕니다. 해당 요소가 위치한 각 분할 연산의 결과를 기록합니다. 따라서 원본의 역행렬인 행렬을 찾을 수 있습니다.

• 그림에 표시된 행렬의 행렬식은 1입니다. 따라서 여기에서 연결된 행렬은 역행렬입니다(어떤 숫자를 1로 나누어도 변경되지 않기 때문에).
• 일부 출처에서는 나눗셈 연산이 1/det(M)에 의한 곱셈 연산으로 대체됩니다. 이 경우 최종 결과는 변경되지 않습니다.

역행렬을 기록합니다.큰 행렬의 오른쪽 절반에 있는 요소를 역행렬인 별도의 행렬로 씁니다.

계산기 사용

행렬과 함께 작동하는 계산기를 선택하십시오.간단한 계산기로는 역행렬을 찾을 수 없지만 Texas Instruments TI-83 또는 TI-86과 같은 우수한 그래프 계산기를 사용하면 역행렬을 찾을 수 있습니다.

계산기의 메모리에 원래 행렬을 입력합니다.이렇게 하려면 가능한 경우 매트릭스 버튼을 클릭합니다. Texas Instruments 계산기의 경우 2nd 및 Matrix 버튼을 눌러야 할 수도 있습니다.

편집 메뉴를 선택합니다.화살표 버튼 또는 계산기 키보드 상단에 있는 해당 기능 버튼을 사용하여 이 작업을 수행합니다(버튼 위치는 계산기 모델에 따라 다름).

매트릭스 지정을 입력합니다.대부분의 그래프 계산기는 다음과 같이 나타낼 수 있는 3-10개의 행렬로 작업할 수 있습니다. 문자 A-J. 일반적으로 [A]를 선택하여 원래 행렬을 나타냅니다. 그런 다음 Enter 버튼을 누릅니다.

매트릭스 크기를 입력합니다.이 기사에서는 3x3 행렬에 대해 설명합니다. 그러나 그래픽 계산기는 큰 행렬에서 작동할 수 있습니다. 행 수를 입력하고 Enter 버튼을 누른 다음 열 수를 입력하고 Enter 버튼을 다시 누릅니다.

행렬의 각 요소를 입력합니다.계산기 화면에 행렬이 표시됩니다. 행렬이 이전에 계산기에 이미 입력되어 있으면 화면에 나타납니다. 커서가 행렬의 첫 번째 요소를 강조 표시합니다. 첫 번째 요소의 값을 입력하고 Enter 키를 누릅니다. 커서는 자동으로 행렬의 다음 요소로 이동합니다.

$A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$인 경우 $A^(-1)$ 행렬은 정방 행렬 $A$의 역행렬이라고 합니다. 여기서 $E $ 는 행렬 $A$의 차수와 동일한 단위 행렬입니다.

비특이 행렬은 행렬식이 0이 아닌 행렬입니다. 따라서 축퇴행렬은 행렬식이 0인 행렬입니다.

역행렬 $A^(-1)$는 $A$ 행렬이 비특이 행렬인 경우에만 존재합니다. 역행렬 $A^(-1)$가 있으면 고유합니다.

역행렬을 찾는 방법에는 여러 가지가 있으며 그 중 두 가지를 살펴보겠습니다. 이 페이지에서는 대부분의 고등 수학 과정에서 표준으로 간주되는 adjoint 행렬 방법에 대해 설명합니다. 가우스 방법 또는 가우스-조던 방법을 사용하는 역행렬(기본 변환 방법)을 찾는 두 번째 방법은 두 번째 부분에서 고려됩니다.

인접(결합) 행렬 방법

행렬 $A_(n\times n)$가 주어집니다. 역행렬 $A^(-1)$를 찾으려면 세 단계가 필요합니다.

1. 행렬 $A$의 행렬식을 찾고 $\Delta A\neq 0$인지 확인하십시오. 행렬 A는 축퇴하지 않습니다.
2. 행렬 $A$의 각 요소에 대한 대수 보수 $A_(ij)$를 작성하고 찾은 행렬 $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$를 기록합니다. 대수 보완.
3. 공식 $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$를 고려하여 역행렬을 작성하십시오.

행렬 $(A^(*))^T$는 종종 $A$의 인접(상호, 연합) 행렬이라고 합니다.

결정이 수동으로 이루어지면 첫 번째 방법은 상대적으로 작은 차수의 행렬에만 적합합니다: 두 번째(), 세 번째(), 네 번째(). 고차 행렬에 대한 역행렬을 찾기 위해 다른 방법이 사용됩니다. 예를 들어, 두 번째 부분에서 설명하는 가우스 방법입니다.

예 #1

행렬의 역행렬 찾기 $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(배열) \right)$.

네 번째 열의 모든 요소가 0이므로 $\Delta A=0$입니다(즉, $A$ 행렬이 축퇴됨). $\Delta A=0$이므로 $A$에 역행렬은 없습니다.

대답: $A^(-1)$ 행렬이 존재하지 않습니다.

예 #2

$A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ 행렬의 역행렬을 찾습니다. 검사를 실행합니다.

우리는 adjoint 행렬 방법을 사용합니다. 먼저, 주어진 행렬 $A$의 행렬식을 찾자:

$$ \델타 A=\왼쪽| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

$\Delta A \neq 0$이므로 역행렬이 존재하므로 해를 계속합니다. 대수적 보수 찾기

\begin(정렬) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(정렬)

대수 보수의 행렬을 작성하십시오: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

결과 행렬을 전치합니다. $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (결과 행렬은 종종 행렬 $A$에 대한 adjoint 또는 union 행렬이라고 합니다. $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

따라서 역행렬이 발견됩니다. $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \오른쪽) $. 결과의 참을 확인하려면 $A^(-1)\cdot A=E$ 또는 $A\cdot A^(-1)=E$ 중 하나의 참을 확인하면 됩니다. $A^(-1)\cdot A=E$가 같은지 확인합시다. 분수를 덜 사용하기 위해 $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 형식이 아닌 $A^(-1)$ 행렬을 대체합니다. & 5/103 \ end(array)\right)$ 하지만 $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ 끝(배열)\오른쪽)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(배열) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( array)\right)\cdot\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(배열) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(배열)\right) =\left(\begin(배열) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(배열 )\오른쪽) =E $$

대답: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

예 #3

$A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ 행렬의 역행렬을 찾습니다. 검사를 실행합니다.

행렬 $A$의 행렬식을 계산하는 것으로 시작하겠습니다. 따라서 행렬 $A$의 행렬식은 다음과 같습니다.

$$ \델타 A=\왼쪽| \begin(배열) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(배열) \right| = 18-36+56-12=26. $$

$\Delta A\neq 0$이므로 역행렬이 존재하므로 해를 계속합니다. 주어진 행렬의 각 요소에 대한 대수적 보수를 찾습니다.

$$ \begin(정렬) & A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(array)(cc) 9 & 4\\ 3 & 2\end(array)\right| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 &4 \\ 0 & 2\end(array)\right|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 & 9\\ 0 & 3\end(array)\right|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 3 & 2\end(array)\right|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ 0 & 2\end(array)\right|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ 0 & 3\end(array)\right|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 9 & 4\end(array)\right|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ -4 & 4\end(array)\right|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ -4 & 9\end(array)\right|=37. \end(정렬) $$

우리는 대수적 덧셈 행렬을 구성하고 그것을 전치합니다:

$$ A^*=\left(\begin(배열) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(배열) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(배열) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(배열) \right) . $$

$A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(배열) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(배열) \right)= \left(\begin(배열) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

따라서 $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. 결과의 참을 확인하려면 $A^(-1)\cdot A=E$ 또는 $A\cdot A^(-1)=E$ 중 하나의 참을 확인하면 됩니다. $A\cdot A^(-1)=E$가 같은지 확인합시다. 분수를 덜 사용하기 위해 $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ 형식이 아닌 $A^(-1)$ 행렬을 대체합니다. \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, 그러나 $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(배열) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(배열) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(배열)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(배열) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(배열) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(배열) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end (배열) \right) =\left(\begin(배열) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(배열) \right) =E $$

검사가 성공적으로 통과되었으며 역행렬 $A^(-1)$가 올바르게 발견되었습니다.

대답: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

예 #4

$A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8의 역행렬 찾기 & -8 & -3 \end(배열) \right)$.

4차 행렬의 경우 대수 덧셈을 사용하여 역행렬을 찾는 것은 다소 어렵습니다. 그러나 그러한 예 제어 작업만나다.

역행렬을 찾으려면 먼저 행렬 $A$의 행렬식을 계산해야 합니다. 이 상황에서 이를 수행하는 가장 좋은 방법은 행(열)에서 행렬식을 확장하는 것입니다. 행이나 열을 선택하고 선택한 행이나 열의 각 요소에 대한 대수적 보수를 찾습니다.

예를 들어, 첫 번째 행에 대해 다음을 얻습니다.

$$ A_(11)=\left|\begin(배열)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(배열)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(array)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(array)\right|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(array)\right|=-112. $$

행렬 $A$의 행렬식은 다음 공식으로 계산됩니다.

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14 )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(정렬) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(정렬) $$

대수 보수 행렬: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 & -250 & -463 & -96\end(배열)\오른쪽)$.

첨부된 행렬: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(array)\right)$.

역행렬:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(배열) \right)= \left(\begin(배열) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $$

원하는 경우 이전 예와 동일한 방식으로 검사를 수행할 수 있습니다.

대답: $A^(-1)=\left(\begin(배열) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(배열) \right) $.

두 번째 부분에서는 가우스 방법 또는 가우스-조던 방법의 변환을 사용하는 역행렬을 찾는 또 다른 방법을 고려할 것입니다.