Основни свойства на интегралите. Основни свойства на неопределения интеграл. Промяна на променлива в определен интеграл

Основните интеграционни формули се получават чрез обръщане на формулите за производни, следователно, преди да започнете да изучавате разглежданата тема, трябва да повторите формулите за диференциране на 1 основни функции (т.е. запомнете таблицата с производни).

При запознаване с понятието първоизводна, дефиницията на неопределен интеграл и сравняване на операциите диференциране и интегриране, учениците трябва да обърнат внимание на факта, че операцията интегриране е многозначна, т.к. дава безкраен набор от първоизводни на разглеждания интервал. Всъщност обаче проблемът с намирането само на една антипроизводна е решен, защото всички първоизводни на дадена функция се различават една от друга с постоянна стойност

Където ° С– произволна стойност 2.

Въпроси за самопроверка.

Дайте дефиницията на антипроизводна функция.

Какво е неопределен интеграл?

Какво е функция интегранд?

Какво е интегранд?

Посочете геометричния смисъл на семейството от първообразни функции.

6. В семейството намерете кривата, минаваща през точката

2. Свойства на неопределения интеграл.

ТАБЛИЦА НА ПРОСТИТЕ ИНТЕГРАЛИ

Тук от учениците се изисква да научат следните свойства на неопределения интеграл.

Имот 1. Производната на неопределения интеграл е равна на интегранта на 3-та функция (по дефиниция)

Имот 2. Диференциалът на интеграла е равен на интеграла

тези. ако диференциалният знак е преди интегралния знак, тогава те взаимно се отменят.

Имот 3. Ако знакът за интеграл е преди знака за диференциал, те се отменят взаимно и към функцията се добавя произволна постоянна стойност

Имот 4. Разликата между две първоизводни на една и съща функция е постоянна стойност.

Имот 5. Константният коефициент може да бъде изваден изпод интегралния знак

Където А– постоянно число.

Между другото, това свойство се доказва лесно чрез диференциране на двете страни на равенството (2.4), като се вземе предвид свойство 2.

Имот 6. Интегралът на сумата (разликата) на функция е равен на сумата (разликата) на интегралите на тези функции (ако съществуват отделно)

Това свойство също лесно се доказва чрез диференциране.

Естествено обобщение на свойството 6

. (2.6)

Като се има предвид интегрирането като действие, обратно на диференцирането, директно от таблицата на най-простите производни може да се получи следната таблица на най-простите интеграли.

Таблица на най-простите неопределени интеграли

1. , където, (2.7)

2. , където, (2.8)

4. , където,, (2.10)

9. , (2.15)

10. . (2.16)

Формулите (2.7) – (2.16) на най-простите неопределени интеграли трябва да се научат наизуст. Познаването им е необходимо, но далеч не достатъчно, за да се научите как да се интегрирате. Устойчиви умения за интеграция се постигат само чрез решаване на достатъчно голям брой проблеми (обикновено около 150–200 примера от различни видове).

По-долу са дадени примери за опростяване на интеграли чрез преобразуването им в сумата от известните интеграли (2.7) – (2.16) от таблицата по-горе.

Пример 1.

.

Тези свойства се използват за извършване на трансформации на интеграла, за да се намали до един от елементарните интеграли и по-нататъшно изчисление.

1. Производната на неопределения интеграл е равна на интегранта:

2. Диференциалът на неопределения интеграл е равен на интегранта:

3. Неопределеният интеграл на диференциала на определена функция е равен на сумата от тази функция и произволна константа:

4. Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак:

Освен това a ≠ 0

5. Интегралът на сбора (разликата) е равен на сбора (разликата) на интегралите:

6. Имотът е комбинация от свойства 4 и 5:

Освен това, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Свойство за инвариантност на неопределения интеграл:

Ако , тогава

8. Имот:

Ако , тогава

Всъщност това свойство е частен случай на интегриране с помощта на метода за промяна на променливата, който се обсъжда по-подробно в следващия раздел.

Да разгледаме един пример:

Първо приложихме свойство 5, след това свойство 4, след това използвахме таблицата на антипроизводните и получихме резултата.

Алгоритъмът на нашия онлайн интегрален калкулатор поддържа всички свойства, изброени по-горе, и лесно ще намери подробно решение за вашия интеграл.

Английски: Wikipedia прави сайта по-сигурен. Използвате стар уеб браузър, който няма да може да се свързва с Wikipedia в бъдеще. Моля, актуализирайте вашето устройство или се свържете с вашия ИТ администратор.

中文: The以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

испански: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrator informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Френски: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires плюс техники et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: IT情報は以下に英語で提供しています。

Немски: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät or sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

италиански: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Останете в уеб браузъра, който не ви позволява да свържете Wikipedia в бъдеще. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

маджарски: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

шведска: Wikipedia отидете на тази страница. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia in framtiden. Актуализирайте din enhet или contacta din IT-administrator. Det finns en längre och mer tehnicsk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Премахваме поддръжката за несигурни версии на протокол TLS, по-специално TLSv1.0 и TLSv1.1, на които софтуерът на вашия браузър разчита, за да се свърже с нашите сайтове. Това обикновено се причинява от остарели браузъри или по-стари смартфони с Android. Или може да е намеса от корпоративен или личен софтуер за „Уеб сигурност“, който всъщност намалява сигурността на връзката.

Трябва да надстроите вашия уеб браузър или по друг начин да коригирате този проблем, за да получите достъп до нашите сайтове. Това съобщение ще остане до 1 януари 2020 г. След тази дата вашият браузър няма да може да установи връзка с нашите сървъри.

В тази статия се говори подробно за основните свойства на определения интеграл. Те се доказват с помощта на концепцията за интеграла на Риман и Дарбу. Изчисляването на определен интеграл става благодарение на 5 свойства. Останалите се използват за оценка на различни изрази.

Преди да преминете към основните свойства на определения интеграл, е необходимо да се уверите, че a не превишава b.

Основни свойства на определения интеграл

Определение 1

Функцията y = f (x), дефинирана при x = a, е подобна на справедливото равенство ∫ a a f (x) d x = 0.

Доказателство 1

От това виждаме, че стойността на интеграла със съвпадащи граници е равна на нула. Това е следствие от интеграла на Риман, тъй като всяка интегрална сума σ за всяко разпределение на интервала [ a ; a ] и всеки избор на точки ζ i е равен на нула, защото x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , което означава, че откриваме, че границата на интегралните функции е нула.

Определение 2

За функция, която е интегрируема на интервала [a; b ] , условието ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x е изпълнено.

Доказателство 2

С други думи, ако размените горната и долната граница на интегриране, стойността на интеграла ще се промени на противоположната стойност. Това свойство е взето от интеграла на Риман. Но номерацията на дяла на отсечката започва от точката x = b.

Определение 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x се прилага за интегрируеми функции от тип y = f (x) и y = g (x), дефинирани на интервала [ a ; b ] .

Доказателство 3

Запишете интегралната сума на функцията y = f (x) ± g (x) за разделяне на сегменти с даден избор от точки ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

където σ f и σ g са интегралните суми на функциите y = f (x) и y = g (x) за разделяне на сегмента. След преминаване до границата при λ = m a x i = 1, 2, . . . , n (x i - x i - 1) → 0 получаваме, че lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

От дефиницията на Риман този израз е еквивалентен.

Определение 4

Разширяване на постоянния множител отвъд знака на определения интеграл. Интегрирана функция от интервала [a; b ] с произволна стойност k има справедливо неравенство от вида ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Доказателство 4

Доказателството за определеното интегрално свойство е подобно на предишното:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x

Определение 5

Ако функция от вида y = f (x) е интегрируема на интервал x с a ∈ x, b ∈ x, получаваме, че ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d х.

Доказателство 5

Свойството се счита за валидно за c ∈ a; b, за c ≤ a и c ≥ b. Доказателството е подобно на предишните свойства.

Определение 6

Когато една функция може да бъде интегрируема от сегмента [a; b ], тогава това е възможно за всеки вътрешен сегмент c; d ∈ a; b.

Доказателство 6

Доказателството се основава на свойството на Darboux: ако се добавят точки към съществуващо разделение на сегмент, тогава долната сума на Darboux няма да намалее, а горната няма да се увеличи.

Определение 7

Когато една функция е интегрируема върху [a; b ] от f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 за всяка стойност x ∈ a ; b , тогава получаваме, че ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Свойството може да се докаже с помощта на дефиницията на интеграла на Риман: всяка интегрална сума за всеки избор на точки на разделяне на сегмента и точки ζ i с условието, че f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 е неотрицателна .

Доказателство 7

Ако функциите y = f (x) и y = g (x) са интегрируеми на интервала [ a ; b ], тогава следните неравенства се считат за валидни:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Благодарение на изявлението знаем, че интеграцията е допустима. Това следствие ще бъде използвано в доказателството на други свойства.

Определение 8

За интегрируема функция y = f (x) от интервала [ a ; b ] имаме справедливо неравенство от вида ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Доказателство 8

Имаме, че - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . От предишното свойство открихме, че неравенството може да се интегрира член по член и то съответства на неравенство от вида - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Това двойно неравенство може да се запише в друга форма: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Определение 9

Когато функциите y = f (x) и y = g (x) се интегрират от интервала [ a ; b ] за g (x) ≥ 0 за всеки x ∈ a ; b , получаваме неравенство от вида m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x , където m = m i n x ∈ a ; b f (x) и M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

Доказателство 9

Доказателството се извършва по подобен начин. M и m се считат за най-големи и най-ниска стойностфункция y = f (x), дефинирана от сегмента [ a ; b ] , тогава m ≤ f (x) ≤ M . Необходимо е двойното неравенство да се умножи по функцията y = g (x), което ще даде стойността на двойното неравенство във формата m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x). Необходимо е да се интегрира върху интервала [a; b ] , тогава получаваме твърдението за доказване.

Последица: За g (x) = 1, неравенството приема формата m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) .

Първа средна формула

Определение 10

За y = f (x), интегрируема на интервала [ a ; b] с m = m i n x ∈ a; b f (x) и M = m a x x ∈ a ; b f (x) има число μ ∈ m; M , което отговаря на ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Последица: Когато функцията y = f (x) е непрекъсната от интервала [ a ; b ], тогава има число c ∈ a; b, което удовлетворява равенството ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

Първата средна формула в обобщен вид

Определение 11

Когато функциите y = f (x) и y = g (x) са интегрируеми от интервала [ a ; b] с m = m i n x ∈ a; b f (x) и M = m a x x ∈ a ; b f (x) и g (x) > 0 за всяка стойност x ∈ a; b. От тук имаме, че има число μ ∈ m; M , което удовлетворява равенството ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

Втора средна формула

Определение 12

Когато функцията y = f (x) е интегрируема от интервала [ a ; b ] и y = g (x) е монотонно, тогава има число, което c ∈ a; b , където получаваме справедливо равенство във формата ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Първопроизводен и неопределен интеграл.

Първоизводна на функция f(x) в интервала (a; b) е функция F(x), така че равенството е в сила за всеки x от дадения интервал.

Ако вземем предвид факта, че производната на константата C е равна на нула, тогава равенството е вярно . По този начин функцията f(x) има набор от първоизводни F(x)+C за произволна константа C и тези антипроизводни се различават една от друга с произволна постоянна стойност.

Цялото множество от първоизводни на функцията f(x) се нарича неопределен интеграл на тази функция и се означава .

Изразът се нарича интегранд, а f(x) се нарича интегранд. Интегралната функция представлява диференциала на функцията f(x).

Действието за намиране на неизвестна функция при даден неин диференциал се нарича неопределено интегриране, тъй като резултатът от интегрирането не е една функция F(x), а набор от нейните първоизводни F(x)+C.

Таблични интеграли

Най-простите свойства на интегралите

1. Производната на резултата от интегрирането е равна на интегралната функция.

2. Неопределеният интеграл на диференциала на функция е равен на сумата от самата функция и произволна константа.

3. Коефициентът може да бъде изваден от знака на неопределения интеграл.

4. Неопределеният интеграл на сбора/разликата на функциите е равен на сбора/разликата на неопределените интеграли на функциите.

За пояснение са дадени междинни равенства на първо и второ свойство на неопределения интеграл.

За доказване на третото и четвъртото свойство е достатъчно да се намерят производните на десните части на равенствата:

Тези производни са равни на интеграндите, което е доказателство поради първото свойство. Използва се и при последните преходи.

По този начин проблемът с интеграцията е обратен на проблема с диференциацията и има много тясна връзка между тези проблеми:

първото свойство позволява да се провери интеграцията. За да проверите правилността на извършеното интегриране, е достатъчно да изчислите производната на получения резултат. Ако получената в резултат на диференцирането функция се окаже равна на интегранта, това ще означава, че интегрирането е извършено правилно;

второто свойство на неопределения интеграл позволява да се намери неговата антипроизводна от известен диференциал на функция. Прякото изчисляване на неопределени интеграли се основава на това свойство.

1.4.Инвариантност на интеграционните форми.

Инвариантната интеграция е вид интеграция за функции, чиито аргументи са елементи от група или точки от хомогенно пространство (всяка точка от такова пространство може да бъде прехвърлена в друго дадено действиегрупи).

функция f(x) се свежда до изчисляване на интеграла на диференциалната форма f.w, където

По-долу е дадена ясна формула за r(x). Условието на споразумението има формата .

тук Tg означава оператора за смяна на X с помощта на gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Нека X=G е топология, група, действаща върху себе си чрез леви смени. Аз и. съществува тогава и само ако G е локално компактен (по-специално, върху безкрайномерни групи I.I. не съществува). За подмножество от I. и. характеристичната функция cA (равна на 1 на A и 0 извън A) определя лявата Xaar мярка m(A). Определящото свойство на тази мярка е нейната инвариантност при леви отмествания: m(g-1A)=m(A) за всички gОG. Лявата мярка на Хаар върху група е уникално дефинирана до положителен скаларен фактор. Ако мярката на Хаар m е известна, тогава I. и. функция f е дадена с формулата . Правилната мярка на Хаар има подобни свойства. Съществува непрекъснат хомоморфизъм (карта, запазваща груповото свойство) DG на групата G в груповата (по отношение на умножението) позиция. числа, за които

където dmr и dmi са дясната и лявата мярка на Хаар. Извиква се функцията DG(g). модул на групата G. Ако , тогава групата G се нарича. едномодулен; в този случай дясната и лявата мярка на Хаар съвпадат. Компактните, полупростите и нилпотентните (по-специално комутативни) групи са унимодуларни. Ако G е n-мерна група на Ли и q1,...,qn е базис в пространството на лявоинвариантните 1-форми на G, тогава лявата мярка на Хаар на G е дадена от n-формата. В местни координати за изчисление

форми qi, можете да използвате всяка матрична реализация на групата G: матрицата 1-форма g-1dg остава инвариантна и нейният коефициент. са ляво-инвариантни скаларни 1-форми, от които се избира търсената база. Например пълната матрична група GL(n, R) е унимодуларна и мярката на Хаар върху нея е дадена от формата. Позволявам X=G/H е хомогенно пространство, за което локално компактната група G е трансформационна група, а затворената подгрупа H е стабилизатор на дадена точка. За да съществува i.i. върху X е необходимо и достатъчно за всички hОH да е в сила равенството DG(h)=DH(h). По-специално, това е вярно в случая, когато H е компактен или полупрост. Пълна теория на I. и. не съществува на безкрайномерни многообразия.

Замяна на променливи.