Приети означения и символи в дескриптивната геометрия. Нотация и символика Как да обозначим пресичащи се линии

Генетична символика

Символизъм - списък и обяснение на конвенционални имена и термини, използвани във всеки клон на науката.

Основите на генетичната символика са положени от Грегор Мендел, който използва буквената символика за обозначаване на знаци. Доминантните признаци са обозначени с главни букви на латинската азбука A, B, C и т.н., рецесивните - с малки букви - a, b, c и т.н. Буквалният символизъм, предложен от Мендел, всъщност е алгебрична форма на изразяване на законите за наследяване на чертите.

Следната символика е приета за обозначаване на пресичане.

Родителите се обозначават с латинската буква P (родители - родители), след което техните генотипове се изписват един до друг. Женският пол се обозначава със символа ♂ (огледало на Венера), мъжкият - ♀ (щит и копие на Марс). Между родителите се поставя „x“, което показва кръстосване. На първо място е изписан генотипът на женския индивид, а на второ - на мъжкия.

Първото поколение е обозначено като F 1 (Фили - деца), второ поколение - Ф 2 и т.н. До тях са обозначенията на генотиповете на потомството.

Речник на основните термини и понятия

Алели (алелни гени)- различни форми на един и същи ген, получени в резултат на мутации и разположени в едни и същи точки (локуси) на сдвоени хомоложни хромозоми.

Алтернативни знаци- Взаимно изключващи се, контрастиращи характеристики.

Гамети (от гръцки "гамети" "- съпруг) - зародишна клетка на растителен или животински организъм, която носи един ген от алелна двойка. Гаметите винаги носят гени в "чист" вид, т.к се образуват чрез мейотично клетъчно делене и съдържат една от двойката хомоложни хромозоми.

Ген (от гръцки "genos" "- раждане) - част от ДНК молекула, която носи информация за първичната структура на един конкретен протеин.

Гените са алелни - сдвоени гени, разположени в идентични области на хомоложни хромозоми.

Генотип - набор от наследствени наклонности (гени) на тялото.

Хетерозигота (от гръцки "хетерос" "- друг и зигота) - зигота, която има два различни алела за даден ген ( Aa, Bb).

Хетерозиготнинаречени индивиди, които са получили различни гени от родителите си. Хетерозиготен индивид в потомството дава разделяне на тази черта.

Хомозигота (от гръцки "хомос" "- същото и зиготата) - зигота, която има едни и същи алели на даден ген (и двата доминиращи или и двата рецесивни).

хомозиготен наречени индивиди, които са получили от родителските индивиди същите наследствени наклонности (гени) за някаква специфична черта. Хомозиготен индивид в потомството не дава разделяне.

хомоложни хромозоми(от гръцки "хомос" "- идентични) - сдвоени хромозоми, идентични по форма, размер, набор от гени. В диплоидна клетка наборът от хромозоми винаги е сдвоен: една хромозома е от двойка от майчин произход, втората е от баща.

Хетерозиготнинаречени индивиди, които са получили различни гени от родителите си. Така според генотипа индивидите могат да бъдат хомозиготни (AA или aa) или хетерозиготни (Aa).

Доминантна черта (ген) – преобладаващ, проявяващ се - обозначава се с главни букви на латинската азбука: A, B, C и т.н.

рецесивен признак (ген) – потиснат знак - обозначава се със съответната малка буква от латинската азбука: a, b c и т.н

Анализ на кръстосване- кръстосване на тестовия организъм с друг, който е рецесивен хомозиготен за този признак, което ви позволява да установите генотипа на теста.

Дихибридно кръстосване- кръстосване на форми, които се различават една от друга по две двойки алтернативни признаци.

Кръстосване монохибридно- кръстосване на форми, които се различават една от друга по една двойка алтернативни характеристики.

Изчистени линии - организми, които са хомозиготни за една или повече черти и не произвеждат алтернативна черта в своето потомство.

Сешоарът е знак.

Фенотип - съвкупността от всички външни признаци и свойства на организма, достъпни за наблюдение и анализ.

Алгоритъм за решаване на генетични проблеми

Прочетете внимателно нивото на задачата.
Направете кратка бележка на изложението на проблема.
Запишете генотиповете и фенотиповете на кръстосаните индивиди.
Определете и запишете видовете гамети, които образуват кръстосаните индивиди.
Определете и запишете генотиповете и фенотиповете на потомството, получено от кръстосването.
Анализирайте резултатите от кръстосването. За да направите това, определете броя на класовете потомство по фенотип и генотип и ги запишете като числено съотношение.
Запишете отговора на въпроса.

(При решаване на задачи по определени теми последователността от етапи може да се промени и тяхното съдържание може да бъде променено.)

Задачи за форматиране

Обичайно е първо да се записва генотипът на женската, а след това на мъжкия (правилният запис е ♀AABB x ♂aavb; невалиден запис- ♂ aavv x ♀AABB).
Гените на една и съща алелна двойка винаги се записват един до друг(правилният запис е ♀AABB; неправилният запис е ♀ABAB).
Когато записвате генотип, буквите, обозначаващи признаците, винаги се изписват по азбучен ред, независимо дали представляват доминантен или рецесивен признак (правилна нотация - ♀aaBB;невалиден запис -♀ Vvaa).
Ако е известен само фенотипът на индивида, тогава при записване на неговия генотип се записват само онези гени, чието присъствие е безспорно.Ген, който не може да бъде определен по фенотип, се обозначава с иконата "_"(например, ако жълтият цвят (A) и гладката форма (B) на семената на граха са доминиращи характеристики, а зеленият цвят (a) и набръчканата форма (c) са рецесивни, тогава генотипът на индивид с жълти набръчкани семена се записва по следния начин: A_vv).
Фенотипът винаги се записва под генотипа.
Гаметите се изписват, като се ограждат.(НО).
При индивидите се определят и записват видовете гамети, а не техният брой.

Точката е абстрактен обект, който няма измервателни характеристики: нито височина, нито дължина, нито радиус. В рамките на задачата е важно само местоположението му

Точката се обозначава с цифра или главна (едра) латинска буква. Няколко точки - различни цифри или различни букви, за да могат да се различават

точка А, точка Б, точка С

A B C

точка 1, точка 2, точка 3

1 2 3

Можете да начертаете три точки "А" на лист хартия и да поканите детето да начертае линия през двете точки "А". Но как да разберем през кое? А А А

Линията е набор от точки. Тя измерва само дължината. Няма ширина и дебелина.

Обозначава се с малки (малки) латински букви

линия a, линия b, линия c

a b c

Линията може да бъде

затворен, ако началото и краят му са в една и съща точка,
отворен, ако началото и краят му не са свързани

затворени линии

отворени линии

Излязохте от апартамента, купихте хляб в магазина и се върнахте обратно в апартамента. Каква линия получихте? Точно така, затворено. Върнахте се в началната точка. Излезли сте от апартамента, купили сте хляб в магазина, влезли сте във входа и сте говорили със съседа си. Каква линия получихте? Отворете. Не сте се върнали в началната точка. Излязохте от апартамента, купихте хляб в магазина. Каква линия получихте? Отворете. Не сте се върнали в началната точка.

самопресичащи се
без самопресичане

самопресичащи се линии

линии без самопресичане

прав
прекъсната линия
крив

прави линии

прекъснати линии

извити линии

Правата линия е линия, която не се извива, няма нито начало, нито край, тя може да бъде удължена неограничено и в двете посоки

Дори когато се вижда малък участък от права линия, се приема, че тя продължава безкрайно и в двете посоки.

Обозначава се с малка (малка) латинска буква. Или две главни (големи) латински букви - точки, разположени на права линия

права линия а

права линия AB

Б А

правите линии могат да бъдат

пресичащи се, ако имат обща точка. Две линии могат да се пресичат само в една точка.
- перпендикулярни, ако се пресичат под прав ъгъл (90°).
успоредни, ако не се пресичат, нямат обща точка.

паралелни линии

пресичащи се линии

перпендикулярни линии

Лъчът е част от права линия, която има начало, но няма край, може да се удължи безкрайно само в една посока

Началната точка за лъча светлина в картината е слънцето.

слънце

Точката разделя правата на две части - два лъча A A

Лъчът се обозначава с малка (малка) латинска буква. Или две главни (големи) латински букви, където първата е точката, от която започва лъчът, а втората е точката, разположена върху лъча

лъч а

лъч AB

Б А

Гредите съвпадат, ако

разположени на една и съща права линия
започнете от една точка
насочен на една страна

лъчите AB и AC съвпадат

лъчите CB и CA съвпадат

C B A

Отсечката е част от права линия, която е ограничена от две точки, тоест има начало и край, което означава, че нейната дължина може да бъде измерена. Дължината на сегмент е разстоянието между началната и крайната му точка.

През една точка могат да бъдат начертани произволен брой линии, включително прави.

През две точки - неограничен брой криви, но само една права линия

криви линии, минаващи през две точки

Б А

права линия AB

Б А

От правата линия беше „отрязано“ парче и остана сегмент. От примера по-горе можете да видите, че неговата дължина е най-късото разстояние между две точки. ✂ B A ✂

Отсечката се обозначава с две главни (големи) латински букви, като първата е точката, от която започва отсечката, а втората е точката, от която завършва отсечката

сегмент AB

Б А

Задача: къде е правата, лъчът, отсечката, кривата?

Прекъснатата линия е линия, състояща се от последователно свързани сегменти, които не са под ъгъл 180°

Дълъг сегмент беше "разбит" на няколко къси.

Връзките на полилиния (подобно на връзките на верига) са сегментите, които изграждат полилинията. Съседни връзки са връзки, в които краят на една връзка е началото на друга. Съседните връзки не трябва да лежат на една и съща права линия.

Върховете на полилинията (подобно на върховете на планините) са точката, от която полилинията започва, точките, в които се свързват сегментите, образуващи полилинията, точката, където полилинията завършва.

Полилинията се обозначава чрез изброяване на всички нейни върхове.

прекъсната линия ABCDE

връх на полилиния A, връх на полилиния B, връх на полилиния C, връх на полилиния D, връх на полилиния E

връзка на начупена линия AB, връзка на начупена линия BC, връзка на начупена линия CD, връзка на начупена линия DE

връзка AB и връзка BC са съседни

връзка BC и връзка CD са съседни

връзка CD и връзка DE са съседни

A B C D E 64 62 127 52

Дължината на една полилиния е сумата от дължините на нейните връзки: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: коя прекъсната линия е по-дълга, а кой има повече пикове? На първия ред всички връзки са с еднаква дължина, а именно 13 см. Вторият ред има всички връзки с еднаква дължина, а именно 49 см. Третият ред има всички връзки с еднаква дължина, а именно 41 см.

Многоъгълникът е затворена полилиния

Страните на многоъгълника (те ще ви помогнат да запомните изразите: "отидете на четирите страни", "бягайте към къщата", "от коя страна на масата ще седнете?") са връзките на прекъснатата линия. Съседните страни на многоъгълник са съседни връзки на прекъсната линия.

Върховете на многоъгълника са върховете на полилинията. Съседните върхове са крайни точки на едната страна на многоъгълника.

Многоъгълник се означава чрез изброяване на всички негови върхове.

затворена полилиния без самопресичане, ABCDEF

многоъгълник ABCDEF

многоъгълник връх A, многоъгълник връх B, многоъгълник връх C, многоъгълник връх D, многоъгълник връх E, многоъгълник връх F

връх A и връх B са съседни

връх B и връх C са съседни

връх C и връх D са съседни

връх D и връх E са съседни

връх E и връх F са съседни

връх F и връх A са съседни

многоъгълна страна AB, многоъгълна страна BC, многоъгълна страна CD, многоъгълна страна DE, многоъгълна страна EF

страна AB и страна BC са съседни

страна BC и страна CD са съседни

страна CD и страна DE са съседни

страна DE и страна EF са съседни

страна EF и страна FA са съседни

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметърът на многоъгълник е дължината на полилинията: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоъгълник с три върха се нарича триъгълник, с четири - четириъгълник, с пет - петоъгълник и т.н.

На лекциите и практическите занятия ще бъде възприета система от означения и символи (табл. 2,3), разработена от проф. Н. Ф. Четверухин. Системата от тези обозначения в момента се използва широко от катедрите по дескриптивна геометрия и инженерна графика на водещите руски университети.

таблица 2

СИМВОЛИ НА ГЕОМЕТРИЧНИ ОБЕКТИ

Геометрична фигура (обект)	Нотация и пример
Точка	Главна буква на латинската азбука: НО, AT, ОТ, ... или арабска цифра: 1 , 2 , 3 , … (може да бъде римска цифра: аз, II, III, …). прожекционен център С. Произход О(писмо). Точка в безкрайността: S¥, НО ¥ , AT ¥ , ….
Линия - права или крива	Малка буква от латинската азбука: а,b,° С, …. Хоризонтална ч; челен f; профил права линия или крива (профил) Р; ос на въртене аз; посока на проекция или посока на гледане в пространството: с- на П 1, v- на П 2; координатни оси: х, г, z; проекционни оси х, г, zили х 12, x24и т.н. ( AB) е права линия, определена от точки НОи AT; Ι ABΙ - дължина на сегмента AB, естествен размер на сегмента AB. Скоби не се поставят, ако текстът съдържа съответните думи (напр. права линия AB).
Повърхност (включително равнина)	Ж(гама), С(сигма), Л(ламбда), ....
Проекционна равнина	Главна буква на гръцката азбука: П(pi) с добавяне на индекс. П 1– хоризонтална равнина на проекциите; П 2– фронтална равнина на проекциите; П 3– профилна равнина на проекции; P 4, P 5, … са допълнителни проекционни равнини.
Ъгъл	Малка буква от гръцката азбука: а, b, ж, ….
Проекция на обект	A 1, b 1, S1– хоризонтални проекции на точка НО, линии b, повърхности С; А 2, б 2, S2– фронтални проекции на точката НО, направо b, повърхности С; и т.н.

Таблица 3

СИМВОЛИ НА ВРЪЗКИ И ЛОГИЧЕСКИ ОПЕРАЦИИ

Знак	Значението на знака	Пример, обяснение
Ì или É Î или "	Взаимна принадлежност (инцидент) на обекти като множества, подмножества точка	TÌ Ж- линия Tпринадлежи на повърхността Ж; повърхност Жпреминава през линията T; ЖÉ T– същото (знакът с отворената част винаги е обърнат към по-големия комплект). т "А- линия Tминава през точка НО; точка НОпринадлежи на линията T; НОÎ T– същото (знакът О е обърнат към комплекта с отворената си част).
∩	кръстовище	а ∩ b– линии аи bпресичат се; С (а ∩ b) - самолет Сзададени от пресичащи се линии аи b.
= или	Резултат равен мач	НО=а∩b- точка НОполучени в резултат на пресичането на линии аи b.ê ABê=ê EFê - сегмент ABравен на сегмента EF. А 2=В 2– фронтални проекции на точки НОи ATсъвпада.
ΙΙ	Паралелизъм	(AB) ΙΙ (СD) – прави линии ABи CDса успоредни.
^	Перпендикулярност	AB^CD
®	Показана последователност от операции	НО 1® НО 2 - върху хоризонталната проекция на точката НОизграждане на фронт.

4. МЕТОДИЧЕСКИ УКАЗАНИЯ ЗА ИЗПЪЛНЕНИЕ НА ГРАФИЧНИ ПРОИЗВОДСТВА

Графична работа №1

"проекция"

Упражнение:

1. На формат А3, според две дадени проекции на къщата, изградете профилна проекция, като увеличите изображението 2 пъти.

2. Определете на чертежа, посочете и запишете в таблицата в долния десен ъгъл (размер на таблицата - 100x100 mm), разположен над основния надпис, положението на линиите в пространството (линия с общо положение, три линии на ниво, три изпъкнали линии, една двойка успоредни прави, една двойка пресичащи се линии, една двойка пресичащи се прави).

3. Определете естествения размер на права линия в общо положение и нейните ъгли на наклон към проекционните равнини.

4. Определете координатите на произволни пет маркирани точки. Въведете данните в таблицата в горния десен ъгъл на формата (размер на таблицата 40x60 mm).

5. Изберете и изградете аксонометрична проекция на къщата на формат А4, начертайте диаграма на аксонометричните оси. Защриховайте аксонометрията с цветни моливи.

Инструкции за изпълнение на графична работа №1. На лист А3 начертайте координатните оси в центъра на листа. Според вашата версия изградете две проекции на „Къщата“, като увеличите изображението 2 пъти. Фронталната проекция на основата на "къщата" трябва да бъде на оста OX. Използвайки линиите на проекционната връзка, изградете третата проекция на "къщата".

След това последователно определете и обозначете с главни букви на латинската азбука върху три проекции на „къщата“ правите линии, посочени в задачата. Запишете резултатите в таблица. Пример за попълване на таблицата е показан на фигурата.

За правата линия, намираща се в общо положение в равнината P 1 и P 2, определете и обозначете естествения размер, като използвате метода на правоъгълния триъгълник и нейните ъгли на наклон към хоризонталната и фронталната проекционна равнина (α и β).

За всеки пет обозначени точки определете координатите. Въведете стойностите в mm в таблицата. Пример за попълване на таблицата е показан на фигурата.

Изберете вида на аксонометричната проекция по такъв начин, че равнините (лицата) да не се проектират в линии върху изображението на къщата. На формат А4 изградете избраната аксонометрична проекция, като запазите вторичната хоризонтална проекция и аксонометричните оси.

С помощта на цветни моливи оцветете аксонометричната проекция на „Къщата“. В горния десен ъгъл начертайте диаграма на аксонометричните оси. Пример за графична работа на фигура 9.10.

Варианти на задачи за графична работа № 1 "Проекция"

Графична работа № 2

"Конструкция на пресечена призма и пресечен цилиндър"

Упражнение:

Графичната работа се изпълнява на два формата А3 и се състои от две задачи.

Задача номер 1. Изградете три проекции на директна шестоъгълна призма (вземете данните за конструиране от таблицата според собствената си версия). Конструирайте естествения размер на контура на сечението, като използвате метода за заместване на проекционните равнини. Изградете размах. Изберете и начертайте аксонометрична проекция. Не прилагайте размери. Чертежът трябва да посочи точките за изграждане и линиите на проекционната връзка.

Безкрайност.Дж. Уолис (1655).

За първи път се среща в трактата на английския математик Джон Валис "За коничните сечения".

Основа на естествените логаритми. Л. Ойлер (1736).

Математическа константа, трансцендентно число. Този номер понякога се нарича не-Перовв чест на шотландцитеучен Напиер, автор на произведението "Описание на удивителната таблица на логаритмите" (1614 г.). За първи път константата мълчаливо присъства в приложението към английския превод на гореспоменатия труд на Напиер, публикуван през 1618 г. Същата константа е изчислена за първи път от швейцарския математик Якоб Бернули в хода на решаването на проблема за граничната стойност на лихвения доход.

2,71828182845904523...

Първата известна употреба на тази константа, където тя се обозначава с буквата b, намерени в писмата на Лайбниц до Хюйгенс, 1690-1691. писмо дзапочва да използва Ойлер през 1727 г. и първата публикация с това писмо е неговата Механика, или науката за движението, изложена аналитично, 1736 г. съответно добикновено се нарича Число на Ойлер. Защо е избрано писмото? д, не е точно известно. Може би това се дължи на факта, че думата започва с него експоненциален("експоненциален", "експоненциален"). Друго предположение е, че буквите а, b, ° Си двече широко използвани за други цели и дбеше първото "безплатно" писмо.

Съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър. У. Джоунс (1706), Л. Ойлер (1736).

Математическа константа, ирационално число. Числото "пи", старото име е числото на Лудолф. Като всяко ирационално число, π е представено от безкрайна непериодична десетична дроб:

π=3,141592653589793...

За първи път обозначението на това число с гръцката буква π е използвано от британския математик Уилям Джоунс в книгата „Ново въведение в математиката“ и става общоприето след работата на Леонхард Ойлер. Това обозначение идва от началната буква на гръцките думи περιφερεια - кръг, периферия и περιμετρος - периметър. Йохан Хайнрих Ламберт доказва ирационалността на π през 1761 г., а Адриен Мари Лежандр през 1774 г. доказва ирационалността на π 2 . Лежандр и Ойлер допускат, че π може да бъде трансцендентално, т.е. не може да удовлетвори никакво алгебрично уравнение с цели коефициенти, което в крайна сметка беше доказано през 1882 г. от Фердинанд фон Линдеман.

имагинерна единица. Л. Ойлер (1777, в печат - 1794).

Известно е, че уравнението x 2 \u003d 1има два корена: 1 и -1 . Въображаемата единица е един от двата корена на уравнението x 2 \u003d -1, обозначени с латинската буква аз, друг корен: -и. Това обозначение е предложено от Леонхард Ойлер, който е взел първата буква от латинската дума за това имагинариус(въображаем). Той също така разшири всички стандартни функции към сложната област, т.е. набор от числа, представими във формата a+ib, където аи bса реални числа. Терминът "комплексно число" е въведен в широка употреба от немския математик Карл Гаус през 1831 г., въпреки че терминът преди това е бил използван в същия смисъл от френския математик Лазар Карно през 1803 г.

Единични вектори. У. Хамилтън (1853).

Единичните вектори често се свързват с координатните оси на координатната система (по-специално с осите на декартовата координатна система). Единичен вектор, насочен по оста х, означено аз, единичен вектор, насочен по оста Y, означено й, и единичният вектор, насочен по оста З, означено к. Вектори аз, й, ксе наричат orts, те имат модули за идентичност. Терминът "ort" е въведен от английския математик и инженер Оливър Хевисайд (1892 г.), а нотацията аз, й, кирландският математик Уилям Хамилтън.

Цялата част от числото, antie. К. Гаус (1808).

Цялата част от числото [x] на числото x е най-голямото цяло число, което не превишава x. И така, =5, [-3,6]=-4. Функцията [x] се нарича още "предшественик на x". Символът за целочислена част е въведен от Карл Гаус през 1808 г. Някои математици предпочитат вместо това да използват обозначението E(x), предложено през 1798 г. от Legendre.

Ъгъл на успоредност. Н.И. Лобачевски (1835).

На равнината на Лобачевски - ъгълът между праватаbпреминаващ през точкатаОуспоредна на права линияа, несъдържащ точкаО, и перпендикулярно отОна а. α е дължината на този перпендикуляр. Тъй като точката е премахнатаОот прав аъгълът на успоредност намалява от 90° до 0°. Лобачевски даде формула за ъгъла на успоредностP( α )=2arctg e - α /q , където ре някаква константа, свързана с кривината на пространството на Лобачевски.

Неизвестни или променливи количества. Р. Декарт (1637).

В математиката променливата е величина, характеризираща се с набор от стойности, които може да приеме. Това може да означава както реално физическо количество, временно разглеждано изолирано от неговия физически контекст, така и някакво абстрактно количество, което няма аналози в реалния свят. Концепцията за променлива възниква през 17 век. първоначално под влияние на изискванията на естествената наука, която извежда на преден план изучаването на движението, процесите, а не само състоянията. Тази концепция изискваше нови форми за своето изразяване. Литералната алгебра и аналитичната геометрия на Рене Декарт са такива нови форми. За първи път правоъгълната координатна система и обозначението x, y са въведени от Рене Декарт в неговия труд „Беседа за метода“ през 1637 г. Пиер Ферма също допринася за развитието на координатния метод, но работата му е публикувана за първи път след смъртта му. Декарт и Ферма са използвали координатния метод само на равнината. Координатният метод за триизмерно пространство е приложен за първи път от Леонхард Ойлер още през 18 век.

вектор. О.Коши (1853).

От самото начало векторът се разбира като обект, имащ величина, посока и (по избор) точка на приложение. Началото на векторното смятане се появява заедно с геометричния модел на комплексните числа на Гаус (1831). Разширените операции върху вектори са публикувани от Хамилтън като част от неговото кватернионно смятане (въображаемите компоненти на кватерниона образуват вектор). Хамилтън измисли термина вектор(от латинската дума вектор, носител) и описва някои операции за векторен анализ. Този формализъм е използван от Максуел в неговите трудове върху електромагнетизма, като по този начин привлича вниманието на учените към новото смятане. Скоро последваха Елементите на векторния анализ на Гибс (1880-те), а след това Хевисайд (1903) даде на векторния анализ съвременния му облик. Самият векторен знак е въведен от френския математик Августин Луи Коши през 1853 г.

Събиране, изваждане. Дж. Уидман (1489).

Знаците плюс и минус очевидно са изобретени в немската математическа школа на "косистите" (т.е. алгебристите). Те се използват в учебника на Ян (Йоханес) Видман „Бързо и приятно броене за всички търговци“, публикуван през 1489 г. Преди това добавянето се означаваше с буквата стр(от латински плюс"още") или латинската дума et(съюз "и"), а изваждане - с буква м(от латински минус„по-малко, по-малко“). В Widman символът плюс замества не само събирането, но и съюза "и". Произходът на тези символи е неясен, но най-вероятно те са били използвани преди това в търговията като знаци за печалба и загуба. И двата символа скоро стават често срещани в Европа - с изключение на Италия, която използва старите обозначения за около век.

Умножение. В. Аутред (1631), Г. Лайбниц (1698).

Знакът за умножение под формата на наклонен кръст е въведен през 1631 г. от англичанина Уилям Аутред. Преди него най-често използваната буква М, въпреки че бяха предложени и други обозначения: символ на правоъгълник (френски математик Еригон, 1634 г.), звездичка (швейцарски математик Йохан Ран, 1659 г.). По-късно Готфрид Вилхелм Лайбниц заменя кръста с точка (края на 17 век), за да не се бърка с буквата х; преди него такава символика е открита от немския астроном и математик Региомонтан (XV век) и английския учен Томас Хариот (1560 -1621).

дивизия. И.Ран (1659), Г.Лайбниц (1684).

Уилям Аутред използва наклонената черта / като знак за деление. Разделението на двоеточие започва да обозначава Готфрид Лайбниц. Преди тях писмото също е било често използвано д. Започвайки от Фибоначи, се използва и хоризонталната линия на дробта, която е използвана от Херон, Диофант и в арабските писания. В Англия и Съединените щати символът ÷ (obelus), предложен от Йохан Ран (вероятно с участието на Джон Пел) през 1659 г., стана широко разпространен. Опит на Американския национален комитет по математически стандарти ( Национален комитет по математически изисквания) за премахване на обела от практиката (1923 г.) беше неубедителен.

Процент. М. де ла Порт (1685).

Една стотна от цялото, взета като единица. Самата дума "процент" идва от латинското "pro centum", което означава "сто". През 1685 г. в Париж е публикувана книгата „Ръководство за търговска аритметика“ от Матийо дьо ла Порт. На едно място ставаше въпрос за проценти, което тогава означаваше "cto" (съкращение от cento). Обаче наборчикът обърка това „cto“ за дроб и написа „%“. Така че поради печатна грешка този знак влезе в употреба.

Степени. Р. Декарт (1637), И. Нютон (1676).

Съвременната нотация за експонентата е въведена от Рене Декарт в неговия " геометрии„(1637), обаче, само за естествени степени с показатели, по-големи от 2. По-късно Исак Нютон разшири тази форма на запис до отрицателни и дробни показатели (1676), чието тълкуване вече беше предложено по това време: фламандският математик и инженерът Саймън Стевин, английският математик Джон Валис и френският математик Албер Жирар.

аритметичен корен нта степен на реално число а≥0, - неотрицателно число н-та степен на което е равно на а. Аритметичният корен от 2-ра степен се нарича квадратен корен и може да се запише без посочване на степента: √. Аритметичният корен от 3-та степен се нарича кубичен корен. Средновековните математици (например Кардано) обозначават квадратния корен със символа R x (от лат. Радикс, корен). Съвременното обозначение е използвано за първи път от немския математик Кристоф Рудолф от школата на Косистите през 1525 г. Този символ идва от стилизираната първа буква на същата дума корен. Редът над радикалния израз отсъстваше в началото; по-късно е въведен от Декарт (1637) за различна цел (вместо скоби) и тази характеристика скоро се слива със знака на корена. Кубичният корен през 16-ти век е обозначен както следва: R x .u.cu (от лат. Radix universalis cubica). Албер Жирар (1629) започва да използва обичайната нотация за корен на произволна степен. Този формат е създаден благодарение на Исак Нютон и Готфрид Лайбниц.

Логаритъм, десетичен логаритъм, натурален логаритъм. И. Кеплер (1624), Б. Кавалиери (1632), А. Принсхайм (1893).

Терминът "логаритъм" принадлежи на шотландския математик Джон Напиер ( „Описание на удивителната таблица на логаритмите“, 1614); възниква от комбинация от гръцките думи λογος (дума, връзка) и αριθμος (число). Логаритъмът на J. Napier е спомагателно число за измерване на отношението на две числа. Съвременната дефиниция на логаритъма е дадена за първи път от английския математик Уилям Гардинър (1742). По дефиниция, логаритъм от число bпо разум а (а ≠ 1, а > 0) - показател м, до което трябва да се повиши числото а(наричана основа на логаритъма), за да получите b. Означено регистрирайте a b.Така, m = дневник а b, ако a m = b.

Първите таблици с десетични логаритми са публикувани през 1617 г. от професора по математика в Оксфорд Хенри Бригс. Следователно в чужбина десетичните логаритми често се наричат бриги. Терминът "естествен логаритъм" е въведен от Пиетро Менголи (1659 г.) и Николас Меркатор (1668 г.), въпреки че лондонският учител по математика Джон Спидел съставя таблица с естествени логаритми още през 1619 г.

До края на 19 век не е имало общоприета нотация за логаритъма, основата апосочен отляво и над символа дневник, след това върху него. В крайна сметка математиците стигнаха до извода, че най-удобното място за основата е под чертата, след символа дневник. Знакът на логаритъма - резултатът от редуцирането на думата "логаритъм" - се среща в различни форми почти едновременно с появата на първите таблици с логаритми, напр. Дневник- И. Кеплер (1624) и Г. Бригс (1631), дневник- Б. Кавалиери (1632). Обозначаване вътрезащото естественият логаритъм е въведен от немския математик Алфред Прингсхайм (1893).

Синус, косинус, тангенс, котангенс. В. Аутред (средата на 17 век), И. Бернули (18 век), Л. Ойлер (1748, 1753).

Стенограмата за синус и косинус е въведена от Уилям Аутред в средата на 17 век. Съкращения за тангенс и котангенс: tg, ctgвъведени от Йохан Бернули през 18 век, те стават широко разпространени в Германия и Русия. В други страни се използват имената на тези функции. тен, кошарапредложен от Албер Жирар още по-рано, в началото на 17 век. Леонард Ойлер (1748, 1753) донесе теорията на тригонометричните функции в нейната съвременна форма и ние също му дължим консолидирането на реалния символизъм.Терминът "тригонометрични функции" е въведен от немския математик и физик Георг Симон Клугел през 1770 г.

Синусовата линия на индийските математици първоначално е наречена "арха джива"("полуструна", тоест половината от акорда), след това думата "арха"беше изхвърлен и синусовата линия започна да се нарича просто "джива". Арабските преводачи не са превели думата "джива"арабска дума "ватар", обозначаваща тетивата и хордата, и транскрибирана с арабски букви и започва да нарича синус линия "джиба". Тъй като кратките гласни не са посочени на арабски, а дългите "и" в думата "джиба"обозначаван по същия начин като полугласната "у", арабите започнали да произнасят името на синусовата линия "подигравка", което буквално означава "кух", "пазва". Когато превеждаха арабски произведения на латински, европейските преводачи превеждаха думата "подигравка"латинска дума синусите, имащи същото значение.Терминът "тангента" (от лат.допирателни- докосване) е въведено от датския математик Томас Финке в неговата Геометрия на кръга (1583).

Арксинус. K.Scherfer (1772), J.Lagrange (1772).

Обратните тригонометрични функции са математически функции, които са обратни на тригонометричните функции. Името на обратната тригонометрична функция се образува от името на съответната тригонометрична функция чрез добавяне на префикса "дъга" (от лат. дъга- дъга).Обратните тригонометрични функции обикновено включват шест функции: арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg), арккотангенс (arcctg), арксеканс (arcsec) и арккосеканс (arccosec). За първи път специални символи за обратни тригонометрични функции са използвани от Даниел Бернули (1729, 1736).Начин на записване на обратните тригонометрични функции с префикс дъга(от лат. аркус, дъга) се появява при австрийския математик Карл Шерфер и се утвърждава благодарение на френския математик, астроном и механик Жозеф Луи Лагранж. Имаше предвид, че например обичайният синус ви позволява да намерите хордата, която го свързва по дъгата на окръжност, а обратната функция решава обратния проблем. До края на 19 век английската и немската математически школи предлагат друга нотация: sin -1 и 1/sin, но те не са широко използвани.

Хиперболичен синус, хиперболичен косинус. В. Рикати (1757).

Историците откриват първата поява на хиперболични функции в писанията на английския математик Абрахам де Моавър (1707, 1722). Съвременната дефиниция и подробното им изследване е извършено от италианеца Винченцо Рикати през 1757 г. в труда "Opusculorum", той също предлага техните обозначения: ш,гл. Рикати изхожда от разглеждането на една хипербола. Независимо откритие и по-нататъшно изследване на свойствата на хиперболичните функции е извършено от немския математик, физик и философ Йохан Ламберт (1768), който установява широк паралелизъм между формулите на обикновената и хиперболичната тригонометрия. Н.И. Впоследствие Лобачевски използва този паралелизъм, опитвайки се да докаже последователността на неевклидовата геометрия, в която обикновената тригонометрия е заменена с хиперболична.

Точно както тригонометричният синус и косинус са координатите на точка от координатна окръжност, хиперболичният синус и косинус са координатите на точка от хипербола. Хиперболичните функции се изразяват чрез експонента и са тясно свързани с тригонометричните функции: sh(x)=0,5(e х-е-х) , ch(x)=0,5(e x +e -x). По аналогия с тригонометричните функции хиперболичният тангенс и котангенс се дефинират съответно като съотношения на хиперболичен синус и косинус, косинус и синус.

Диференциал. Г. Лайбниц (1675, в печат 1684).

Основната, линейна част от нарастването на функцията.Ако функцията y=f(x)една променлива x има при х=х0производна и увеличениеΔy \u003d f (x 0 +? x)-f (x 0)функции f(x)може да се представи катоΔy \u003d f "(x 0) Δx + R (Δx) , където член Рбезкрайно малък в сравнение сΔx. Първи членdy=f"(x 0 )Δxв това разширение се нарича диференциал на функцията f(x)в точкатаx0. AT произведения на Готфрид Лайбниц, Якоб и Йохан Бернули слово"различие"се използва в смисъл на "прираст", И. Бернули го обозначава чрез Δ. Г. Лайбниц (1675 г., публикуван през 1684 г.) използва нотацията за "безкрайно малка разлика"д- първата буква на думата"диференциал", образувано от него от"различие".

Неопределен интеграл. Г. Лайбниц (1675, в печат 1686).

Думата "интеграл" е използвана за първи път в печат от Якоб Бернули (1690). Може би терминът произлиза от лат цяло число- цяло. Според друго предположение основата е латинската дума интегро- възстановяване, възстановяване. Знакът ∫ се използва за означаване на интеграл в математиката и представлява стилизирано изображение на първата буква от латинска дума сума-сума. За първи път е използван от немския математик Готфрид Лайбниц, основателят на диференциалното и интегралното смятане, в края на 17 век. Друг от основателите на диференциалното и интегралното смятане, Исак Нютон, не предлага алтернативна символика на интеграла в своите трудове, въпреки че опитва различни варианти: вертикална лента над функция или квадратен символ, който стои пред функция или граничи с него. Неопределен интеграл за функция y=f(x)е съвкупността от всички първоизводни на дадената функция.

Определен интеграл. Ж. Фурие (1819-1822).

Определен интеграл на функция f(x)с долна граница аи горна граница bможе да се определи като разлика F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , където F(x)- някаква противопроизводна функция f(x) . Определен интеграл a ∫ b f(x)dx числено равна на площта на фигурата, ограничена от оста x, прави линии х=аи x=bи функционална графика f(x). Френският математик и физик Жан Батист Жозеф Фурие предлага дизайна на определен интеграл във формата, с която сме свикнали в началото на 19 век.

Производна. Г. Лайбниц (1675), Ж. Лагранж (1770, 1779).

Производна - основното понятие на диференциалното смятане, характеризиращо скоростта на изменение на функция f(x)когато аргументът се промени х . Дефинира се като границата на съотношението на увеличението на функция към увеличението на нейния аргумент, тъй като увеличението на аргумента клони към нула, ако такова ограничение съществува. Функция, която има крайна производна в дадена точка, се нарича диференцируема в тази точка. Процесът на изчисляване на производната се нарича диференциране. Обратният процес е интеграция. В класическото диференциално смятане производната най-често се определя чрез понятията на теорията на границите, но исторически теорията на границите се появява по-късно от диференциалното смятане.

Терминът "дериват" е въведен от Джоузеф Луис Лагранж през 1797 г.; dy/dx- Готфрид Лайбниц през 1675 г. Начинът за означаване на производната по време с точка над буквата идва от Нютон (1691).Руският термин "производна на функция" е използван за първи път от руски математикВасилий Иванович Висковатов (1779-1812).

Частен дериват. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).

За функции на много променливи се дефинират частни производни - производни по един от аргументите, изчислени при предположението, че останалите аргументи са постоянни. Нотация ∂f/ ∂ х, ∂ z/ ∂ гвъведен от френския математик Адриен Мари Лежандр през 1786 г.; fх",zx"- Жозеф Луи Лагранж (1797, 1801); ∂ 2z/ ∂ x2, ∂ 2z/ ∂ х ∂ г- частни производни от втори ред - немски математик Карл Густав Якоб Якоби (1837).

Разлика, увеличение. И. Бернули (края на 17 век - първата половина на 18 век), Л. Ойлер (1755).

Означаването на увеличението с буквата Δ е използвано за първи път от швейцарския математик Йохан Бернули. Символът "делта" навлиза в обичайната практика след работата на Леонхард Ойлер през 1755 г.

Сума. Л. Ойлер (1755).

Сумата е резултат от добавяне на стойности (числа, функции, вектори, матрици и др.). За означаване на сумата от n числа a 1, a 2, ..., a n се използва гръцката буква "сигма" Σ: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i . Знакът Σ за сумата е въведен от Леонхард Ойлер през 1755 г.

работа. К. Гаус (1812).

Продуктът е резултат от умножението. За означаване на произведението на n числа a 1, a 2, ..., a n се използва гръцката буква "pi" Π: a 1 a 2 ... a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Например 1 3 5 ... 97 99 = ? 50 1 (2i-1). Символът Π за продукта е въведен от немския математик Карл Гаус през 1812 г. В руската математическа литература терминът "работа" се среща за първи път от Леонтий Филипович Магнитски през 1703 г.

Факториал. К. Кръмп (1808).

Факториелът на число n (обозначен с n!, произнася се „en factorial“) е произведението на всички естествени числа до и включително n: n! = 1 2 3 ... n. Например 5! = 1 2 3 4 5 = 120. По дефиниция 0! = 1. Факториелът е дефиниран само за неотрицателни цели числа. Факториелът на число n е равен на броя на пермутациите на n елемента. Например 3! = 6, наистина,

♣ ♦

♦ ♣

Всичките шест и само шест пермутации на три елемента.

Терминът "факториал" е въведен от френския математик и политик Луи Франсоа Антоан Арбогаст (1800), обозначението n! - френски математик Кристиан Крамп (1808 г.).

Модул, абсолютна стойност. К. Вайерщрас (1841).

Модул, абсолютната стойност на реалното число x - неотрицателно число, дефинирано по следния начин: |x| = x за x ≥ 0 и |x| = -x за x ≤ 0. Например |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Модулът на комплексно число z = a + ib е реално число, равно на √(a 2 + b 2).

Смята се, че терминът "модул" е предложен да се използва от английския математик и философ, ученик на Нютон, Роджър Коутс. Готфрид Лайбниц също използва тази функция, която той нарича "модул" и обозначава: mol x. Общоприетото обозначение за абсолютната стойност е въведено през 1841 г. от немския математик Карл Вайерщрас. За комплексните числа това понятие е въведено от френските математици Огюстен Коши и Жан Робер Арган в началото на 19 век. През 1903 г. австрийският учен Конрад Лоренц използва същата символика за дължината на вектор.

норма. Е. Шмид (1908).

Нормата е функционал, дефиниран върху векторно пространство и обобщаващ концепцията за дължината на вектор или модула на число. Знакът "норма" (от латинската дума "norma" - "правило", "проба") е въведен от немския математик Ерхард Шмид през 1908 г.

Лимит. S. Luillier (1786), W. Hamilton (1853), много математици (до началото на 20 век)

Граница - едно от основните понятия на математическия анализ, което означава, че стойността на дадена променлива в процеса на разглежданата промяна се доближава до определена постоянна стойност за неопределено време. Концепцията за граница е използвана интуитивно още през втората половина на 17-ти век от Исак Нютон, както и от математици от 18-ти век, като Леонхард Ойлер и Джоузеф Луис Лагранж. Първите строги дефиниции на границата на последователност са дадени от Бернард Болцано през 1816 г. и Огюстин Коши през 1821 г. Символът lim (първите 3 букви от латинската дума limes - граница) се появява през 1787 г. при швейцарския математик Симон Антоан Жан Луйе, но употребата му все още не прилича на съвременната. Изразът lim в по-позната за нас форма е използван за първи път от ирландския математик Уилям Хамилтън през 1853 г.Вайерщрас въвежда обозначение, близко до съвременното, но вместо обичайната стрелка използва знака за равенство. Стрелката се появява в началото на 20 век при няколко математици наведнъж - например при английския математик Годфрид Харди през 1908 г.

Дзета функция, d Дзета функция на Риман. Б. Риман (1857).

Аналитична функция на комплексната променлива s = σ + it, за σ > 1, определена от абсолютно и равномерно сходящия се ред на Дирихле:

ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .

За σ > 1 е валидно представянето под формата на произведението на Ойлер:

ζ(s) = Πстр (1-p -s) -s,

където произведението се взема върху всички прости числа p. Дзета функцията играе голяма роля в теорията на числата.Като функция на реална променлива дзета функцията е въведена през 1737 г. (публикувана през 1744 г.) от Л. Ойлер, който посочва нейното разлагане в продукт. След това тази функция е разгледана от немския математик Л. Дирихле и особено успешно от руския математик и механик П.Л. Чебишев при изучаването на закона за разпределение на простите числа. Но най-дълбоките свойства на дзета функцията са открити по-късно, след работата на немския математик Георг Фридрих Бернхард Риман (1859), където дзета функцията се разглежда като функция на комплексна променлива; той също въвежда името "дзета функция" и нотацията ζ(s) през 1857 г.

Гама функция, Γ-функция на Ойлер. А. Лежандр (1814).

Гама функцията е математическа функция, която разширява понятието факториел до полето на комплексните числа. Обикновено се означава с Γ(z). Z-функцията е въведена за първи път от Леонхард Ойлер през 1729 г.; определя се по формулата:

Γ(z) = limn→∞ n!n z /z(z+1)...(z+n).

Голям брой интеграли, безкрайни произведения и суми от редове се изразяват чрез G-функцията. Широко използван в аналитичната теория на числата. Името "Гама функция" и нотацията Γ(z) са предложени от френския математик Адриен Мари Лежандр през 1814 г.

Бета функция, B функция, Ойлер B функция. Ж. Бине (1839).

Функция на две променливи p и q, дефинирана за p>0, q>0 от равенството:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.

Бета функцията може да се изрази чрез Γ-функцията: В(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).Точно както гама функцията за цели числа е обобщение на факториела, бета функцията е в известен смисъл обобщение на биномните коефициенти.

Много свойства са описани с помощта на бета функцията.елементарни частициучастващи в силно взаимодействие. Тази особеност е забелязана от италианския теоретичен физикГабриеле Венецианопрез 1968г. Започнатеория на струните.

Наименованието „бета функция“ и обозначението B(p, q) са въведени през 1839 г. от френския математик, механик и астроном Жак Филип Мари Бине.

Оператор на Лаплас, Лаплас. Р. Мърфи (1833).

Линеен диференциален оператор Δ, който функционира φ (x 1, x 2, ..., x n) от n променливи x 1, x 2, ..., x n свързва функцията:

Δφ \u003d ∂ 2 φ / ∂x 1 2 + ∂ 2 φ / ∂x 2 2 + ... + ∂ 2 φ / ∂x n 2.

По-специално, за функция φ(x) на една променлива, операторът на Лаплас съвпада с оператора на 2-ра производна: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Уравнението Δφ = 0 обикновено се нарича уравнение на Лаплас; оттук идват наименованията "оператор на Лаплас" или "лапласиан". Нотацията Δ е въведена от английския физик и математик Робърт Мърфи през 1833 г.

Хамилтонов оператор, nabla оператор, Хамилтонов оператор. О. Хевисайд (1892).

Векторен диференциален оператор на формата

∇ = ∂/∂x аз+ ∂/∂г й+ ∂/∂z к,

където аз, й, и к- координатни вектори. Чрез оператора nabla основните операции на векторния анализ, както и операторът на Лаплас, се изразяват по естествен начин.

През 1853 г. ирландският математик Уилям Роуън Хамилтън въвежда този оператор и изковава символа ∇ за него под формата на обърната гръцка буква Δ (делта). При Хамилтън върхът на символа сочи наляво; по-късно, в трудовете на шотландския математик и физик Питър Гътри Тейт, символът придобива модерен вид. Хамилтън нарича този символ думата "атлед" (думата "делта", прочетена назад). По-късно английски учени, включително Оливър Хевисайд, започват да наричат този символ "набла", по името на буквата ∇ във финикийската азбука, където се среща. Произходът на буквата се свързва с музикален инструмент като арфата, ναβλα (nabla) на старогръцки означава „арфа“. Операторът се наричаше оператор на Хамилтън или оператор на набла.

функция. И. Бернули (1718), Л. Ойлер (1734).

Математическа концепция, която отразява връзката между елементите на множествата. Можем да кажем, че функцията е „закон“, „правило“, според което на всеки елемент от едно множество (наречено домейн на дефиниция) се приписва някакъв елемент от друго множество (наречен домейн на стойностите). Математическата концепция за функция изразява интуитивна идея за това как едно количество напълно определя стойността на друго количество. Често терминът "функция" означава числова функция; тоест функция, която поставя някои числа в съответствие с други. Дълго време математиците дават аргументи без скоби, например така - φх. Тази нотация е използвана за първи път от швейцарския математик Йохан Бернули през 1718 г.Скобите се използват само ако има много аргументи или ако аргументът е сложен израз. Ехото от онези времена е често срещано и сега има записиsin x, lg xи т.н. Но постепенно използването на скоби f(x) се превърна в общо правило. И основната заслуга за това принадлежи на Леонхард Ойлер.

Равенство. Р. Запис (1557).

Знакът за равенство е предложен от уелския лекар и математик Робърт Рекорд през 1557 г.; контурът на героя беше много по-дълъг от сегашния, тъй като имитираше изображението на два успоредни сегмента. Авторът обясни, че няма нищо по-равно в света от две успоредни отсечки с еднаква дължина. Преди това в древната и средновековната математика равенството се е обозначавало устно (напр. est egale). Рене Декарт през 17 век започва да използва æ (от лат. aequalis), и той използва съвременния знак за равенство, за да посочи, че коефициентът може да бъде отрицателен. Франсоа Виете обозначава изваждането със знак за равенство. Символът на Рекорда не се разпространи веднага. Разпространението на символа Record беше възпрепятствано от факта, че от древни времена същият символ се използва за обозначаване на успоредността на линиите; в крайна сметка беше решено символът на паралелизма да бъде вертикален. В континентална Европа знакът "=" е въведен от Готфрид Лайбниц едва в началото на 17-18 век, тоест повече от 100 години след смъртта на Робърт Рекорд, който за първи път го използва за това.

Приблизително същото, приблизително същото. А. Гюнтер (1882).

Знак " ≈" е въведено от немския математик и физик Адам Вилхелм Зигмунд Гюнтер през 1882 г. като символ за връзката „приблизително равно".

Още по-малко. Т. Хариот (1631).

Тези два знака са въведени в употреба от английския астроном, математик, етнограф и преводач Томас Хариот през 1631 г., преди това са били използвани думите "повече" и "по-малко".

Съпоставимост. К. Гаус (1801).

Сравнение - отношението между две цели числа n и m, което означава, че разликата n-m на тези числа е разделена на дадено цяло число a, наречено модул на сравнение; пише се: n≡m(mod a) и се чете "числата n и m са сравними по модул a". Например, 3≡11(mod 4), тъй като 3-11 се дели на 4; числата 3 и 11 са съвпадащи по модул 4. Сравненията имат много свойства, подобни на тези на равенствата. Така терминът в една част от сравнението може да се пренесе с противоположен знак в друга част, а сравненията с един и същи модул могат да се добавят, изваждат, умножават, двете части на сравнението могат да се умножават по едно и също число и т.н. Например,

3≡9+2(mod 4) и 3-2≡9(mod 4)

В същото време верни сравнения. И от двойка истински сравнения 3≡11(mod 4) и 1≡5(mod 4) коректността на следното следва:

3+1≡11+5(mod 4)

3-1≡11-5(мод 4)

3 1≡11 5(mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3 23≡11 23 (mod 4)

В теорията на числата се разглеждат методи за решаване на различни сравнения, т.е. методи за намиране на цели числа, които удовлетворяват сравнения от един или друг вид.Модулните сравнения са използвани за първи път от немския математик Карл Гаус в книгата му „Аритметични изследвания“ от 1801 г. Той също така предложи символиката, установена в математиката за сравнение.

Идентичност. Б. Риман (1857).

Идентичност - равенството на два аналитични израза, валидно за всякакви допустими стойности на буквите, включени в него. Равенството a+b = b+a е валидно за всички числени стойности на a и b и следователно е идентичност. За записване на идентичности в някои случаи от 1857 г. се използва знакът "≡" (да се чете "идентично равен"), чийто автор в тази употреба е немският математик Георг Фридрих Бернхард Риман. Може да се пише a+b ≡ b+a.

Перпендикулярност. П.Еригон (1634).

Перпендикулярност - взаимното разположение на две прави линии, равнини или права и равнина, при което тези фигури образуват прав ъгъл. Знакът ⊥ за означаване на перпендикулярност е въведен през 1634 г. от френския математик и астроном Пиер Еригон. Концепцията за перпендикулярност има редица обобщения, но всички те, като правило, са придружени от знака ⊥ .

Паралелизъм. W. Outred (1677 посмъртно издание).

Успоредност - връзката между някои геометрични фигури; например прави линии. Дефинирани по различен начин в зависимост от различните геометрии; например в геометрията на Евклид и в геометрията на Лобачевски. Знакът за паралелизъм е известен от древни времена, използван е от Херон и Пап от Александрия. Първоначално символът беше подобен на сегашния знак за равенство (само по-разширен), но с появата на последния, за да се избегне объркване, символът беше обърнат вертикално ||. В този вид се появява за първи път в посмъртно издание на трудовете на английския математик Уилям Аутред през 1677 г.

Пресечна точка, съюз. Дж. Пеано (1888).

Пресечната точка на множества е множество, което съдържа тези и само тези елементи, които едновременно принадлежат на всички дадени множества. Обединението на множества е множество, което съдържа всички елементи на оригиналните множества. Пресичането и обединението също се наричат операции върху множества, които присвояват нови множества на определени множества съгласно горните правила. Означава се съответно с ∩ и ∪. Например ако

A= (♠ ♣ )и B= (♣ ♦ ),

Че

A∩B= {♣ }

A∪B= {♠ ♣ ♦ } .

Съдържа, съдържа. Е. Шрьодер (1890).

Ако A и B са две множества и в A няма елементи, които да не принадлежат на B, тогава те казват, че A се съдържа в B. Те пишат A⊂B или B⊃A (B съдържа A). Например,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

Символите "съдържа" и "съдържа" се появяват през 1890 г. с немския математик и логик Ернст Шрьодер.

Принадлежност. Дж. Пеано (1895).

Ако a е елемент от множеството A, тогава напишете a∈A и прочетете „a принадлежи на A“. Ако a не е елемент от A, напишете a∉A и прочетете „a не принадлежи на A“. Първоначално отношенията „съдържа се“ и „принадлежи“ („е елемент“) не бяха разграничени, но с течение на времето тези понятия изискваха разграничение. Знакът за членство ∈ е използван за първи път от италианския математик Джузепе Пеано през 1895 г. Символът ∈ идва от първата буква на гръцката дума εστι - да бъда.

Универсалният квантор, екзистенциалният квантор. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).

Кванторът е общо име за логически операции, които показват областта на истинност на предикат (математическо твърдение). Философите отдавна обръщат внимание на логическите операции, които ограничават обхвата на истинността на предиката, но не ги отделят като отделен клас операции. Въпреки че кванторно-логическите конструкции са широко използвани както в научната, така и в ежедневната реч, тяхната формализация се извършва едва през 1879 г., в книгата на немския логик, математик и философ Фридрих Лудвиг Готлоб Фреге „Изчислението на понятията“. Нотацията на Фреге изглеждаше като тромава графична конструкция и не беше приета. Впоследствие бяха предложени много по-успешни символи, но нотацията ∃ за екзистенциалния квантор (да се чете „съществува“, „има“), предложена от американския философ, логик и математик Чарлз Пиърс през 1885 г., и ∀ за универсалния квантор ( четете "any" , "each", "any"), образуван от немския математик и логик Герхард Карл Ерих Генцен през 1935 г. по аналогия със символа на екзистенциалния квантор (обърнатите първи букви на английските думи Existence (съществуване) и Any ( всякакви)). Например вписването

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

гласи следното: „за всяко ε>0 съществува δ>0 такова, че за всички x, които не са равни на x 0 и отговарят на неравенството |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

Празен комплект. Н. Бурбаки (1939).

Набор, който не съдържа никакъв елемент. Знакът за празен набор е въведен в книгите на Никола Бурбаки през 1939 г. Бурбаки е колективният псевдоним на група френски математици, създадена през 1935 г. Един от членовете на групата Бурбаки е Андре Вейл, авторът на символа Ø.

Q.E.D. Д. Кнут (1978).

В математиката доказателството се разбира като последователност от разсъждения, основани на определени правила, показващи, че дадено твърдение е вярно. От епохата на Ренесанса краят на доказателството се обозначава от математиците като "Q.E.D.", от латинския израз "Quod Erat Demonstrandum" - "Това, което трябваше да бъде доказано." Когато създава компютърната система за оформление ΤΕΧ през 1978 г., американският професор по компютърни науки Доналд Едуин Кнут използва символ: запълнен квадрат, така нареченият „символ Халмош“, кръстен на американския математик от унгарски произход Пол Ричард Халмош. Днес завършването на доказателство обикновено се обозначава със символа Халмос. Като алтернатива се използват други знаци: празен квадрат, правоъгълен триъгълник, // (две наклонени черти), както и руското съкращение "ч.т.д.".