Трансформация на афинната координатна система. Координатни пространствени трансформации Афинни координатни трансформации за манекени

Английски: Wikipedia прави сайта по-сигурен. Използвате стар уеб браузър, който няма да може да се свързва с Wikipedia в бъдеще. Моля, актуализирайте вашето устройство или се свържете с вашия ИТ администратор.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器将来无法连接维基百科。请更新您的设备或联络您的IT管理员。以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

испански: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrator informático. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

френски: Wikipedia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplementaires плюс техники et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ウィキペディアではサイトのセキュリティを高めています。ご利用のブラウザはバージョンが古く、今後、ウィキペディアに接続できなくなる可能性があります。デバイスを更新するか、IT管理者にご相談ください。技術面の詳しい更新情報は以下に英語で提供しています。

Немски: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät or sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

италиански: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

маджарски: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Швеция: Wikipedia отидете на тази страница. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia in framtiden. Актуализирайте din enhet или contacta din IT-administrator. Det finns en längre och mer tehnicsk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Премахваме поддръжката за несигурни версии на протокол TLS, по-специално TLSv1.0 и TLSv1.1, на които софтуерът на вашия браузър разчита, за да се свърже с нашите сайтове. Това обикновено се причинява от остарели браузъри или по-стари смартфони с Android. Или може да е намеса от корпоративен или личен софтуер за „Уеб сигурност“, който всъщност намалява сигурността на връзката.

Трябва да надстроите вашия уеб браузър или по друг начин да коригирате този проблем, за да получите достъп до нашите сайтове. Това съобщение ще остане до 1 януари 2020 г. След тази дата вашият браузър няма да може да установи връзка с нашите сървъри.

Първо, нека дефинираме какво представляват трансформациите. Да кажем, че имаме модел (за по-лесно нека бъде триъгълник). И три координатни пространства: обект (в който е описан този триъгълник), свят и пространство на камера. И така, трансформацията е израз на координатите на обект, разположен в една координатна система (обектив), използвайки координатите на друга координатна система (първо световната, а след това камерата).

Както писах преди, използването на различни координатни пространства улеснява създаването на виртуален свят. Обектите се създават в обектното пространство и всеки обект има собствено координатно пространство. Световното пространство свързва всички обекти на виртуалния свят и ви позволява да правите много трудни неща - много прости (например движещи се обекти). След като сцената е създадена и всички обекти са преместени, световните координати се преобразуват в координатното пространство на камерата. Ще използваме само една камера, но в реални ситуации можете да създадете няколко. Няколко камери например бяха използвани в брилянтната игра Earth 2150: Escape from the blue planet.

И така, за какво говоря: необходими са трансформации, за да се използват множество координатни пространства.

Първо, нека си припомним нещо за векторите. Следната фигура ще ни помогне за това:

Какво виждаме тук: световното пространство на координатите образувани от оси x, y, z. Единични вектори аз, й, ксе наричат ​​ортове или базисни вектори на световното координатно пространство. Използвайки сумата от тези вектори, можете да получите всеки вектор в световното координатно пространство.

vе вектор, който свързва началото на световните координати и началото на координатите на обекта. Дължината на вектора v е равна на разстоянието между началото на световните координати и началото на координатите на обекта. Помислете за векторната форма v=(5,2,5):

v=x* аз+y* й+z* к = 5*аз + 2*й + 5*к

Както писах по-горе, с помощта на базисни вектори можете да представите всяка точка (вектор) от дадено пространство, което демонстрира това уравнение.

Вектори стр,р,rса базисните вектори на обектното пространство. Забележи това аз,й,кне непременно равни стр,р,r.

На тази фигура съм пропуснал редица подробности: има три точки в координатното пространство на обекта, които образуват триъгълник. Освен това не отбелязах камерата, която сочи към триъгълника.

Линейни координатни трансформации с помощта на матрици

Първо, нека разгледаме единичните вектори аз,й,к, които съвпадат по посока с координатните оси на световното пространство и се наричат ​​ортове или базисни вектори на световното пространство.

Записваме тези вектори в координатна форма като матрици:

аз= [ i x i y i z ] = [ 1 0 0 ] й= [ j x j y j z ] = [ 0 1 0 ] к= [ k x k y k z ] = [ 0 0 0 ]

Тук векторите са представени от 1x3 матрици (редови матрици).

Можем да напишем тези базисни вектори с помощта на една матрица:

И дори, което е по-важно, можем да напишем тези вектори така:

Както можете да видите, резултатът е матрица за идентичност 3x3 или 4x4.

Изглежда, че има такова нещо? Само си помислете, възможно е да запишете някои глупави базисни вектори на пространството в една матрица. Но не, не "мислете"!!! Именно тук се крие една от най-ужасните тайни на триизмерното програмиране.

Както писах по-горе, всяка точка, която присъства във виртуалния свят, може да бъде записана във векторна форма:

v=x* аз+y* й+z* к

Където v- точка в пространството, x,y,z - координати на точка v, А аз,й,к- базисни вектори на пространството. Обърнете внимание, че тук говорим за точка, но разглеждаме вектор. Надявам се, че помните, че вектор и точка са по същество едно и също нещо.

Формулата по-горе се нарича векторна форма на вектор. Има и друго име - линейна комбинация от вектори. Това е така, между другото.

Сега нека отново погледнем вектора. v. Нека го напишем в матрица на ред: v = [ 5 2 5 ]

Обърнете внимание, че дължината на вектора vе разстоянието от началото на световното координатно пространство до началото на обектното координатно пространство.

Нека се опитаме да умножим този вектор по матрица, в която са записани базисните вектори на световното пространство (надявам се, че помните формулата за умножение на матрицата):

В резултат на това получаваме следното уравнение:

v M = [ (xi x + yj x + zk x) (xi y + yj y + zk y) (xi z + yj z + zk z) ]

Имаме вектор. Тези. резултатът от умножаването на вектор по матрица е вектор. В този случай векторът не се е променил. Но ако елементите на матрицата не са единици (на главния диагонал) и нули (всички останали елементи), а някои други числа, тогава векторът ще се промени. Следователно можем да кажем, че матрицата M извършва трансформация на координатни пространства. Помислете за общата формула:

a, b - вектори, M - трансформационна матрица на координатни пространства. Формулата може да се прочете така: "матрица M трансформира точка a в точка b".

За по-голяма яснота, нека да разгледаме един пример. Трябва да преобразуваме координатите от обектното пространство (p,q) в световното пространство (i,j):

аз,й- базисни вектори на световното пространство, стр,рса базисните вектори на обектното пространство. На снимката можете да видите, че координатното пространство на обекта е завъртяно с -45 градуса около оста z (не се вижда на снимката). Освен това векторите р,стр 1,5 пъти повече вектори аз,й, което означава, че обектите, дефинирани в обектното пространство, ще изглеждат един път и половина по-малки в световното пространство.

За да визуализирате как ще изглежда моделът на обектното пространство след трансформацията, можете да начертаете рамка за векторите аз,й:

Можете да нарисувате същата рамка за стр,р, но не съм претрупал чертежа.

Сега, да кажем, че имаме триъгълник, начертан в пространството на обекта (Фигура a). В световното пространство този триъгълник ще бъде завъртян на 45 градуса и намален с една трета (фиг. b):

Сега нека съберем всички елементи на мозайката: както знаем, трансформацията може да се извърши с помощта на матрица. Редовете от матрици са базисни вектори. Координатите на базисните вектори на световното координатно пространство в обектното пространство са както следва:

аз = [ 0.473 0.473 ] й = [ -0.473 0.473 ]

Откъде знаем координатите? Първо, знаем, че координатните пространства са завъртяни на 45 градуса едно спрямо друго. Второ, базисните вектори на обектното пространство са 1,5 пъти по-дълги от базисните вектори на световното пространство. Знаейки това, можем лесно да изчислим координатите на векторите аз,й.

В резултат на това получаваме следната матрица на трансформация (в този случай ротация или ротация):

Или в 3D пространство:

Всички стойности са приблизителни.

Това е матрицата на координатната трансформация от обектното пространство към инерционното пространство (напомням ви, че базисните вектори на инерционното пространство съвпадат с базисните вектори на световното пространство). За да трансформирате триъгълник от обектно пространство в инерционно пространство, трябва да умножите всички точки (вектори) на триъгълника по трансформационната матрица.

В последния пример срещнахме две трансформации: ротация и мащабиране. И двете трансформации са линейни.

Сега, след като разгледахме примери за линейни трансформации, можем да се запознаем с определението:

Линейните трансформации са координатни трансформации, които не изкривяват пространствата. Тези. всички успоредни прави остават успоредни (все пак има едно изключение). Или съвсем просто: с линейни трансформации триъгълникът никога няма да се превърне в кръг или квадрат, а винаги ще си остане триъгълник.

Сега, след като грубо разбираме какво представляват линейните трансформации, нека да разгледаме конкретни формули:

Мащаб

k 1 ,k 2 ,k 3 - коефициенти на мащабиране. Ако k е 1, има увеличение на обектите.

Въртене или въртене (Въртене)

Завъртете около оста x:

Завъртане около оста y:

Въртене около оста z:

Между другото, именно тази матрица (на въртене около оста z) използвахме по-горе.

Въртенето може да бъде не само около осите, образуващи координатното пространство, но и около произволни линии. Формулата за завъртане около произволна права линия е доста сложна, все още не сме готови да я разгледаме.

Най-важното нещо, което трябва да запомните от горното е, че редовете на трансформационната матрица съдържат базисните вектори на новото координатно пространство, изразено чрез координатите на старото координатно пространство. .

Ако разбирате това просто нещо (че базисните вектори на новото пространство са записани в матрицата), тогава като погледнете трансформационната матрица, можете лесно да видите новото координатно пространство.

И последното:
Линейните трансформации не могат да преместват обекти. Тези. обектите могат да се увеличават/намаляват, могат да се въртят, но остават неподвижни.

Афинни трансформации

Афинните трансформации са линейни трансформации с транслация. С помощта на афинни трансформации можете да местите обекти.

Формулата е много проста:

A = bM + v;

Където b е първоначалната точка, M е матрицата на линейната трансформация, a е точката на трансформация и v е векторът, свързващ двете пространства. Или с други думи, това е вектор, чиято дължина е равна на разстоянието между две координатни пространства.

На снимката в началото на урока е необходима именно афинната трансформация: първо линейна трансформация от обектното пространство към инерционното и след това прехвърляне на всички точки от обектното пространство в световното пространство с помощта на вектора v.

За опростяване на изчисленията в програмирането на 3D графики се използват четириизмерни вектори, 4x4 матрици и така наречените хомогенни координати. Четвъртото измерение не играе никаква роля, то се въвежда само за опростяване на изчисленията.

4D вектор има, познахте, четири компонента: x, y, z и w. Четвъртият компонент на вектора се нарича хомогенна координата.

Много е трудно да се представи хомогенна координата геометрично. Следователно ще разгледаме тримерно хомогенно пространство с координати (x, y, w). Представете си, че в точката w=1 е дефинирана двумерна равнина. Съответно, двумерна точка е представена в хомогенно пространство със следните координати (x,y,1). Всички точки в пространството, които не са в равнина (те са в равнини, където w != 1), могат да бъдат изчислени чрез проектиране върху двуизмерна равнина. За да направите това, трябва да разделите всички компоненти на тази точка на хомогенна. Тези. ако w!=1, във "физическата" (където работим и където w=1) равнина координатите на точката ще бъдат следните: (x/w,y/w,w/w) или (x/w,y/w,1). Погледни снимката:

Координатите на вектора са както следва:

V 1 = [ 3 3 3 ] v 2 = [ 3 1 0 ] v 3 = [ 3 -2 -2 ]

Тези вектори се проектират във "физическата" равнина (w=1), както следва:

V 1 = [ 1 1 1 ] v 3 = [ -1,5 1 1 ]

Фигурата показва три вектора. Обърнете внимание, че когато точка лежи в равнината w=0, тогава тази точка не може да бъде проектирана във физическата равнина (вектор v 2).

За всяка точка от физическия план има безкраен брой точки в хомогенно пространство.

В четириизмерното пространство всичко е абсолютно същото. Ние работим във физическо пространство, където w = 1: (x, y, z, 1). Ако в резултат на изчисленията w != 1, тогава трябва да разделите всички координати на точката на хомогенна: (x/w,y/w,z/w,w/w) или (x/w,y/w,z/w,1). Има и друг специален случай, когато w = 0. Ще го разгледаме по-късно.

Сега да преминем към практиката: защо, по дяволите, ви е необходима хомогенна координата?

Както вече разбрахме, матрица 3x3 представлява линейна трансформация, т.е. не съдържа прехвърляне (преместване). За прехвърляне се използва отделен вектор (и това вече е афинна трансформация):

V = aM + b

Тези. ние умножаваме всички точки (вектори) на обекта по трансформационната матрица M, за да отидем до инерционната координатна система (чиито базисни вектори са същите като базисните вектори на световната координатна система), и след това да стигнем до световното пространство, използвайки вектора b. Като напомняне, векторът b свързва началото на обектното пространство и началото на световното пространство.

Така че, използвайки четири измерения, можете да натъпчете както линейни трансформации (въртене, мащабиране), така и транслация в една матрица.

Представете си, че четвъртият компонент винаги е равен на единица (въпреки че вече разбрахме, че това не е така). Сега линейната трансформация може да бъде представена с помощта на матрица 4x4:

Нека да разгледаме формулата за умножаване на вектори с трансформационна матрица в четиримерно пространство:

V x = (xi x + yj x + zk x + w*0) v y = (xi y + yj y + zk y + w*0) v z = (xi z + yj z + zk z + w*0) v w = (x*0 + y*0 + z*0 + w*1) 3x3. Четвъртият компонент, както се съгласихме, винаги ще бъде равен на единица, така че може просто да бъде изхвърлен. Следователно можем да кажем, че трансформациите, извършени от матрици 3x3 и 3x4, са еквивалентни.

Сега нека да разгледаме матрицата на трансфера:

Умножете произволен вектор от пространството на обекта (вижте фигурата в началото на урока) по тази матрица и можете да изразите този вектор в световното координатно пространство (това е ако базисните вектори на обекта и световното пространство са равни).

Имайте предвид, че това също е линейна трансформация, само в 4D пространство.

Използвайки матричния продукт, можем да комбинираме ротационната матрица и транслационната матрица:

Тази последна матрица е точно това, от което се нуждаехме от самото начало. Трябва добре да разбирате какво точно означават всички негови елементи (с изключение на 4-та колона).

В хомогенни координати точката се записва като всеки мащабен фактор. Освен това, ако дадена точка е представена в хомогенни координати, тогава нейните двумерни декартови координати могат да бъдат намерени като и .

Геометричният смисъл на хомогенните координати е следният (фиг. 6). произволна точка на права

Ориз. 6. Геометрична интерпретация на еднородни координати

По този начин се установява взаимно еднозначно съответствие между продуктивната точка с координати (x, y) и множеството от тройки числа от вида (W×x, W×y, W), W≠0, което ни позволява да разглеждаме числата W×x, W×y, W като нови координати на тази точка. По този начин хомогенните координати могат да бъдат представени като вграждане на двуизмерна равнина, мащабирана с коефициент W в равнината z = W (тук z = 1) в триизмерното пространство.

Използването на хомогенни координати се оказва удобно при решаването дори на най-простите задачи.

Ако устройството за показване работи само с цели числа (или ако е необходимо да работи само с цели числа), тогава за произволна стойност на W (например W=1) не може да бъде представена точка с хомогенни координати (0,5; 0,1; 2,5). Въпреки това, с разумен избор на W, е възможно да се гарантира, че координатите на тази точка са цели числа. По-специално, при W=10 за разглеждания пример имаме (5; 1; 25).

Друг случай. За да не доведат резултатите от трансформацията до аритметично препълване, за точка с координати (80000; 40000; 1000) можете да вземете например W=0.001. В резултат на това получаваме (80; 40; 1).

Основното приложение на хомогенните координати обаче са геометричните трансформации, тъй като с помощта на тройки от хомогенни координати и матрици от трети ред може да се опише всяка афинна трансформация в равнината. По същия начин, с помощта на четворки от хомогенни координати и матрици от четвърти ред, може да се опише всяка трансформация в триизмерното пространство.

Както е известно, трансформациите на транслация, мащабиране и ротация в матрична форма се записват като

P' = P × S;

Преводът се изпълнява отделно (чрез събиране) от мащабиране и ротация (чрез умножение). Ако точките са изразени в хомогенни координати, тогава и трите трансформации могат да бъдат изпълнени с помощта на умножения. Тук ще разгледаме двумерни трансформации.

Транспортните уравнения се записват под формата на трансформационна матрица от хомогенни координати, както следва:

P' = P × T(dx, dy),

.

Понякога такива изрази се записват, както следва:

Помислете например за двойно изместване на точката. Нека е необходимо да се премести точката P до точката P' на разстояние (dx1, dy1), а след това до P'' на разстояние (dx2, dy2). Общият трансфер трябва да е равен на разстоянието (dх1+d2, dу1+dу2). Записваме данните във формата

P' = P × T (dx1, dy1);

P'' = P' × T (dx2, dy2).

Като заместим първата формула във втората, получаваме

P'' = P × (T (dx1, dy1) × T (dx2, dy2)).

Матричното произведение T (dx1, dy1) ∙ T (dx2, dy2) е

Така полученият трансфер е (dx1+dx2, dy1+dy2), т.е. последователните пренасяния се добавят.

Уравненията за мащабиране в матрична форма, използващи хомогенни координати, се записват като

,

.

P' = P' × S(Sx, Sy).

Матричното произведение S(Sx1, Sy1) × S(Sx2, Sy2) е

Следователно последователните скалирания са мултипликативни.

И накрая, уравнението на въртене (в дясната система) може да бъде представено като

.

Последователните ротации са адитивни.

Композиция на 2D трансформации с помощта на хомогенни координати. Матричното произведение в различните случаи се нарича конкатенация, обединение, конкатенацияИ състав. Ще използваме последния от тези термини.

Помислете например за въртенето на обект по отношение на произволна точка P1. Тъй като знаем само как да се въртим около началото, ще разделим първоначалния проблем на три подзадачи:

Транслация, при която точката P1 се премества в началото;

Завъртете;

Транслация, при която точката от началото се връща в първоначалната си позиция P1.

Последователността на тези трансформации е показана на фиг. 7.1.

Ориз. 7.1. Завъртете обект около произволна точка

Получената трансформация има формата

Използвайки подобен подход, можете да мащабирате обекта спрямо произволна точка P1: преместете P1 в началото, мащабирайте, върнете се обратно към точка P1. Получената трансформация в този случай ще изглежда така

Нека разгледаме по-сложна трансформация. Да приемем, че трябва да мащабираме, завъртим и позиционираме обект на правилното място (къщата на фиг. 7.2), където центърът на въртене и мащабиране е точка P1.

Ориз. 7.2. пример за последователност на преобразуване

Последователността от трансформации се състои в преместване на точката P1 към началото, мащабиране и завъртане и след това преместване от началото към нова позиция P2. Структурата на данните на приложната програма, която съдържа тази трансформация, може да съдържа коефициента(ите) на мащаба, ъгъла на завъртане и количествата на транслация или получената матрица на трансформация може да бъде написана:

T (-x1, -y1) × S (Sx, Sy) × R (A) × T (x2, y2).

Като цяло матричното умножение е некомутативно. Ако M1 и M2 са елементарни транслации, мащаби или ротации, комутативността възниква в следните специални случаи:

M1	М2
Превод Мащаб Завъртане на мащаба (когато Sx=Sy)	Преместване Скала Завъртане Завъртане

Композиция най общ изглед, съставен от операциите R, S и T, има матрицата

Горната му част 2 × 2 е комбинираната матрица за въртене и мащабиране, докато tx и ty описват цялостния превод. Изчисляването на P∙M като произведение на вектор и матрица 3 × 3 изисква 9 умножения и 6 събирания. Структурата на последната колона на обобщената матрица дава възможност за опростяване на действително извършените действия.

Проблем с координатна трансформациясе състои в следното: познаване на координатите на новото начало и новите координатни вектори в старата система:

, , , (3)

експресни координати x,yточки Мв старата координатна система, чрез координати тази точка в новата система.

От формули (3) следва, че

; ; . (4)

(според правилото на триъгълника).

защото , , след това чрез дефиниране на координатите на точката , , т.е. ; .

Тогава, използвайки формули (4), получаваме:

от където намираме:

(5) ;

Така се изразяват координатите x,yпроизволна точка Мв старата система чрез своите координати в новата система .

Формули (5) се наричат формули за трансформация на афинна координатна система.

Коефициенти, at-координати на новия вектор в старата система; коефициенти , at - координати на новия вектор в старата система, свободни членове , - координати на новото начало в старата система:

Координати на точки М

в новата система

х

при

=

=

+

+

+

+

Таблица се нарича матрица на преход от базис към базис .

Частни случаи на трансформация на афина

Координатни системи

1. Начало на трансфера.

С тази трансформация , , А (фиг. 40).

Нека намерим координатите на векторите и в старата система, т.е. , , И :

Þ Þ , ;

Þ Þ , .

Тогава формули (5) ще приемат формата:

ОТНОСНО"

Ориз. 40

(7)

Формули (7) се наричат формули за замяна на координатни вектори.

Концепцията за насочен ъгъл между векторите.

Трансформация на правоъгълна координатна система

Понятието насочен ъгъл между векторите се въвежда върху ориентирана равнина.

Нека и са ненулеви вектори, дадени в определен ред ( - първи вектор, - втори вектор).

Ако || , Че насочен ъгъл между вектор и векторНаречен

величина , ако основа , - право;

величина , ако основата , остава.

Ако , Че насочен ъгълмежду тях се счита за равно, ако , тогава (фиг. 42).

Помислете за две правоъгълни декартови координатни системи и . Позволявам M(x; y) V , V . Тъй като правоъгълната координатна система е частен случай на афинната, можем да използваме формули (5) от §12, но коефициентите , , , вече не може да бъде случаен.

Нека намерим координатите на векторите в старата система. Нека разгледаме два случая.

1) Основите , и , са еднакво ориентирани (фиг. 43).

A 1

А

IN

В 1

ОТНОСНО"

Ориз. 44

а

а

правоъгълни триъгълници И равни по хипотенуза и остър ъгъл (
, ), следователно, И .

от намираме:

следователно .

следователно . Тогава формули (5) ще приемат формата:

Обърнете внимание, че детерминантата на преходната матрица от основа към основа,

.

2) Основите , и , са срещуположно ориентирани (фиг. 45).

ОТНОСНО

ОТНОСНО"

Ориз. 45

ОТНОСНО

ОТНОСНО"

IN

В 1

А

A 1

а

Ориз. 46

Позволявам . Довеждаме векторите и до общото начало ОТНОСНО(фиг. 46).

Разсъждавайки подобно на случай 1), получаваме:

следователно ; .

Тогава формули (5) ще приемат формата:

Обърнете внимание, че детерминантата на матрицата на прехода от основа към основа в този случай

Формули (8) и (9) могат да се комбинират:

, Където

.

Специални случаи на трансформация

Правоъгълна координатна система

1. Стартирайте трансфера: , .

Полярни координати

Ако е посочено правило, според което позицията на точките на равнината може да се определи с помощта на подредени двойки реални числа, тогава те казват, че на равнината е дадена координатна система. В допълнение към афинната координатна система, която беше разгледана в § 10, в математиката често се използва полярна координатна система в равнината.

Полярната координатна система се въвежда в ориентирана равнина.

Двойка, състояща се от точка ОТНОСНОи единичен вектор , се нарича полярна координатна системаи означава или . Насочена права Наречен полярна ос, точка ОТНОСНО- полюс(фиг. 48).

По този начин, . Ако Мсъвпада с ОТНОСНО, Че . За всяка точка Мполярния му радиус

Ако Мсъвпада с полюса ОТНОСНО, тогава j е недефинирано. От определението за насочен ъгъл между векторите (виж §13) следва, че полярният ъгъл

Р

Ориз. 51

М

й

М 1

Извеждаме формули за преход от полярни координати към правоъгълни декартови и обратно.

Нека е полярна координатна система в ориентирана равнина, , V . Добавяме към полярната система единичен вектор, ортогонален на вектора, така че основата да е права (фиг. 51).

, .

Позволявам M(x; y) V . Тогава ; (фиг. 51).

Има формули за преобразуване от полярни към правоъгълни координати:

Повдигаме на квадрат двете страни на тези равенства и добавяме:

, където (коренът се взема със знак "+", т.к ). Þ Þ
;
.

а

ОТНОСНО

V

Ориз. 52

Коментирайте . При решаване на задачи за преход от правоъгълни декартови координати към полярни координати не е достатъчно да се намери само или само , защото недвусмислено е невъзможно да се определи полярният ъгъл от една тригонометрична функция: в интервала има два ъгъла с еднакви косинуси (два ъгъла с еднакви синуси) (фиг. 52). Следователно можете да намерите правилно полярния ъгъл j само ако едновременно изчислите И .