aylana Berilgan nuqtadan teng masofada joylashgan tekislikning barcha nuqtalarining yig'indisi deyiladi aylananing markazi. Doira markazidan aylananing istalgan nuqtasigacha bo'lgan masofa deyiladi . doira radiusi.

- aylananing kanonik tenglamasi (16) - aylananing markazi.

Agar aylananing markazi koordinata boshida yotsa, aylana tenglamasi (16 .)

Ellips tekislikning barcha nuqtalari to'plami deyiladi, bu tekislikning ikkita berilgan nuqtasidan masofalarining yig'indisi (deb ataladi) nayranglar bu ellips) doimiy miqdordir.

(0;b)M(x,y) da

r 1 r 2 r 1 +r 2 =2a

(-a; 0) F 1 (-c; 0) 0 F 2 (c; 0) (a; 0) X

Qisqalik uchun a 2 -b 2 \u003d c 2 (*), keyin ellips tenglamasini belgilaymiz: (17)

Agar y=0 qo‘ysak, u holda , x=0 qo‘ysak, ; demak, va ellipsning yarim o'qlarining uzunliklari - katta() va kichik(). Bundan tashqari, chap tomondagi atamalarning har biri birdan katta bo'lishi mumkin emas, demak, , va shuning uchun butun ellips to'rtburchak ichida joylashgan. A, B, C, D nuqtalari, bunda ellips o'zining simmetriya o'qlarini kesib o'tadi, deyiladi ellipsning uchlari.

Munosabat ellipsning ekssentrikligi deyiladi.

Giperbola - bu tekislikning barcha nuqtalarining yig'indisi, bu tekislikning ikkita berilgan nuqtasidan masofalari farqining moduli (deb ataladi). nayranglar bu giperbola) doimiy miqdordir. Fokuslar orasidagi masofaning o'rtasi deyiladi giperbolaning markazi.

r 2 r 1 –r 2 =2a

F 1 (-c; 0) 0 F 2 (c; 0) x

2 -c 2 \u003d-b 2 (**), giperbola tenglamasini belgilang: (18)

Bu tenglamadan ko'rinib turibdiki, giperbolaning ikkita simmetriya o'qi (bosh o'qlari), shuningdek simmetriya markazi (giperbolaning markazi) ham mavjud.

Munosabat giperbolaning ekssentrikligi deyiladi.

Agar y=0 qo‘ysak, u holda , x=0 qo‘ysak, ga erishamiz.

Shunday qilib, Ox o'qi giperbolani ikki nuqtada (giperbolaning cho'qqilarida) kesib o'tadi, bu - haqiqiy o'q; Oy o'qi giperbolani kesib o'tmaydi - bu " xayoliy o'q. » Giperbolaning ikkita nuqtasini bog'laydigan har qanday segment, agar u markazdan o'tsa, deyiladi giperbolaning diametri.

Egri chiziq o'zboshimchalik bilan yaqinlashadigan, lekin uni hech qachon kesib o'tmaydigan to'g'ri chiziq deyiladi. egri asimptota. Giperbolada ikkita asimptota mavjud. Ularning tenglamalari: (19)

parabola tekislikning barcha nuqtalari to'plami deb ataladi, ularning har biridan ma'lum bir nuqtagacha bo'lgan masofa (deb ataladi diqqat) berilgan chiziqgacha bo'lgan masofaga teng (deb ataladi direktor).

- parabola parametri.

Parabola bitta simmetriya o'qiga ega. Parabolaning simmetriya o'qi bilan kesishish nuqtasi deyiladi parabolaning tepasi.

Simmetriya o'qi Ox o'qi bo'lgan va shoxlari o'ngga yo'naltirilgan, boshida cho'qqisi bo'lgan parabolaning kanonik tenglamasi ko'rinishga ega. (20)

Uning direktrisa tenglamasi:

Simmetriya o'qi Ox o'qi bo'lgan va shoxlari chapga yo'naltirilgan, boshida cho'qqisi bo'lgan parabolaning kanonik tenglamasi ko'rinishga ega. (20 ,)

Uning direktrisa tenglamasi:

Simmetriya o'qi Oy o'qi bo'lgan va shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan, boshida cho'qqisi bo'lgan parabolaning kanonik tenglamasi ko'rinishga ega. (20 ,)

Uning direktrisa tenglamasi:

Simmetriya o‘qi Oy o‘qi bo‘lgan va shoxlari pastga yo‘nalgan, boshida cho‘qqisi bo‘lgan parabolaning kanonik tenglamasi ko‘rinishga ega. (20 ,)

Uning direktrisa tenglamasi:

y y

F 0 p/2 x -p/2 0 x

Y y

p/2

-p/2
2.1-mavzu. Ma’ruza 7. 10-dars

Mavzu: Bitta mustaqil o zgaruvchining funksiyalari, ularning grafiklari.

Funktsiya tushunchasi

Asosiy matematik tushunchalardan biri funksiya tushunchasidir. Funksiya tushunchasi ikki to‘plam elementlari o‘rtasida bog‘liqlik (bog‘lanish) o‘rnatilishi bilan bog‘liq.

Ikkita boʻsh boʻlmagan X va Y toʻplamlar berilsin.Har bir xÎ X element bilan bitta va faqat bitta yÎ Y elementini bogʻlaydigan ƒ moslik funksiya deyiladi va y=ƒ(x), xÎ X yoki ƒ deb yoziladi. : X→Y. Bundan tashqari, ƒ funktsiyasi X to'plamni Y to'plamga xaritalashi aytiladi.

Masalan, 98-rasm a va b da ko'rsatilgan ƒ va g mosliklari funksiya bo'lsa, 98-rasmda c va d dagilar esa emas. In - holatida har bir xÎX element yÎY elementiga mos kelmaydi. r holida yagonalik sharti bajarilmaydi.

X to‘plam ƒ funksiyaning sohasi deyiladi va D(f) bilan belgilanadi. Barcha unYlar to'plami ƒ funksiyaning qiymatlar to'plami deb ataladi va E(ƒ) bilan belgilanadi.

Raqamli funksiyalar. Funktsiya grafigi. Funksiyalarni o'rnatish usullari

ƒ : X→Y funksiya berilsin.

Agar X va Y to‘plamlarning elementlari haqiqiy sonlar bo‘lsa (ya’ni XÌ R va YÌ R), u holda ƒ funksiya son funksiyasi deyiladi. Kelajakda biz (qoida tariqasida) sonli funksiyalarni o'rganamiz, qisqalik uchun ularni oddiy funksiyalar deb ataymiz va y=ƒ(x) deb yozamiz.

X o'zgaruvchisi argument yoki mustaqil o'zgaruvchi, y esa funksiya yoki bog'liq o'zgaruvchi (x ning) deb ataladi. X va y qiymatlariga kelsak, ular funktsional munosabatda ekanligini aytishadi. Ba'zan y ning x ga funksional bog'liqligi bog'liqlikni ko'rsatish uchun yangi harf (ƒ) kiritilmasdan, y=y(x) shaklida yoziladi.

shaxsiy qiymat x=a da ƒ(x) funksiyalar quyidagicha yoziladi: ƒ(a). Masalan, ƒ(x)=2x 2 -3 bo'lsa, ƒ(0)=-3, ƒ(2)=5.

Funktsiya grafigi y \u003d (x) - Oksi tekisligining barcha nuqtalari to'plami, ularning har biri uchun x argumentning qiymati va y - funktsiyaning mos keladigan qiymati.

Masalan, y \u003d √ (1-x 2) funktsiyasining grafigi R \u003d 1 radiusning yuqori yarim doirasidir, markazi O (0; 0) da (99-rasmga qarang).

y=ƒ(x) funksiyani o'rnatish uchun x ni bilib, y ning mos keladigan qiymatini topishga imkon beruvchi qoidani ko'rsatish kerak.

Funktsiyani aniqlashning uchta eng keng tarqalgan usuli mavjud: analitik, jadvalli, grafik.

Analitik usul: Funktsiya bir yoki bir nechta formulalar yoki tenglamalar sifatida ko'rsatilgan.

Agar y = ƒ(x) funksiyaning sohasi aniqlanmagan bo'lsa, u tegishli formula mantiqiy bo'lgan argumentning barcha qiymatlari to'plamiga to'g'ri keladi deb taxmin qilinadi. Demak, y \u003d √ (1-x2) funksiyaning sohasi [-1; biri].

Funktsiyani o'rnatishning analitik usuli eng mukammal hisoblanadi, chunki u y=ƒ(x) funksiyasini to'liq o'rganish imkonini beruvchi matematik tahlil usullari bilan birga keladi.

Grafik usul: funksiyaning grafigi o'rnatiladi.

Ko'pincha grafiklar magnitafonlar tomonidan avtomatik ravishda chiziladi yoki displey ekranida ko'rsatiladi. X argumentining ma'lum qiymatlariga mos keladigan y funktsiyasining qiymatlari to'g'ridan-to'g'ri ushbu grafikdan topiladi.

Grafik topshiriqning afzalligi - uning ko'rinishi, kamchiligi - uning noto'g'riligi.

Jadval usuli: funktsiya bir qator argument qiymatlari va mos keladigan funktsiya qiymatlari jadvali bilan belgilanadi. Masalan, trigonometrik funktsiyalar qiymatlarining taniqli jadvallari, logarifmik jadvallar.

Amalda, ko'pincha empirik yoki kuzatishlar natijasida olingan funktsiya qiymatlari jadvallaridan foydalanish kerak.

transkript

1-bob SAMOOLDA IKKINCHI TARTIBLI SETLAR.1. Ellips, giperbola, parabola Ta'rif. Ellips - bu tekislikdagi barcha nuqtalar to'plami bo'lib, ular uchun berilgan ikkita F 1 va F nuqtalarigacha bo'lgan masofalar yig'indisi doimiy qiymat a bo'lib, F 1 va orasidagi masofadan oshib ketadi. M(, x) F 1 O F x F 1 va F nuqtalar ellips fokuslari deb ataladi va ular orasidagi FF 1 masofa fokus uzunligi bo'lib, u c bilan belgilanadi. M nuqta ellipsga tegishli bo'lsin. F1 M va F M segmentlari M nuqtaning fokal radiuslari deyiladi. F1F = c bo'lsin. Ta'rifga ko'ra, a > c. To'g'ri burchakli Ox dekart koordinata tizimini ko'rib chiqaylik, unda F 1 va F fokuslari koordinata boshiga nisbatan simmetrik ravishda x o'qida joylashgan. Bu koordinatalar sistemasida ellips kanonik tenglama bilan tavsiflanadi: x + = 1, a b 1

2. bu yerda b= a c a va b parametrlari mos ravishda ellipsning katta va kichik yarim o'qlari deyiladi. Ellipsning ekssentrisiteti e soni bo'lib, uning fokus masofasi c yarmining yarim katta o'qga nisbatiga teng, ya'ni. e =. Ellipsning ekssentrisiteti a 0 e tengsizliklarni qanoatlantiradi< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 Giperbolaning kanonik tenglamasi x a = b 1, ko'rinishga ega. bu yerda b= c a a va b sonlari mos ravishda giperbolaning haqiqiy va xayoliy yarim o'qlari deyiladi. Mintaqada tengsizlik bilan aniqlangan giperbola nuqtalari yo'q. x a b Ta'rif. Giperbolaning asimptotalari = x, = x tenglamalar bilan berilgan b b to'g'ri chiziqlardir. a a Giperbolaning M(x,) nuqtasining fokus radiuslarini r 1 = e x a, r = e x+ a formulalar orqali topish mumkin. Ellipsdagi kabi giperbolaning ekssentrisiteti e = formulasi bilan aniqlanadi. Giperbolaning ekssentrisiteti uchun e a >1 tengsizlik to'g'ri ekanligini tekshirish oson. Ta'rif. Parabola - tekislikdagi barcha nuqtalar to'plami bo'lib, uning F nuqtagacha bo'lgan masofasi F nuqtadan o'tmaydigan ma'lum d chiziqqa masofaga teng bo'ladi. F nuqta parabolaning fokusi deb ataladi. d chiziq esa direktrisa deyiladi. Fokusdan direktrisagacha bo'lgan masofa parabolaning parametri deb ataladi va p bilan belgilanadi. d M (x,) F x 4 3

4 F nuqtadan d to'g'riga tushirilgan perpendikulyar bo'lgan FD segmentining o'rtasidan Dekart koordinata sistemasining boshi O ni tanlaymiz. Bu koordinatalar sistemasida F fokusi F p p ;0 koordinatalariga ega va d direktrisasi x + = 0 tenglama bilan berilgan. Parabolaning kanonik tenglamasi: = px. Parabola OF o'qiga nisbatan simmetrik bo'lib, parabola o'qi deb ataladi. Bu o'qning parabola bilan kesishgan O nuqtasi parabolaning uchi deyiladi. M nuqtaning fokus radiusi (x,) ya'ni. uning fokusgacha bo'lgan p masofasi r = x+ formulasi bilan topiladi. 10B.. Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamasi Ikkinchi tartibli chiziq tekislikdagi koordinatalari x va a x + a x+ a + a x+ a + a =0, ​​11 1 bu yerda a11 tenglamani qanoatlantiradigan nuqtalar to‘plamidir. , a1, a, a10, a0, a00 ba'zi haqiqiy sonlar va a, a, a bir vaqtning o'zida nolga teng emas. Bu tenglama umumiy ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasi deb ataladi va vektor shaklida ham yozilishi mumkin rr r r (Ax, x) + (b, x) + a = 0, bunda 00 a11 a1 r r A =, a1 a b = (a10) ; a0) , x = (x;). T A = A ekan, u holda A kvadrat matritsa r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x+ a Ellips, giperbola va parabola tekislikdagi ikkinchi tartibli egri chiziqlarga misol bo'la oladi. Nomlangan egri chiziqlardan tashqari ikkinchi tartibli egri chiziqlarning boshqa turlari ham borki, ular x bilan to'g'ri chiziqlar bilan bog'langan. Shunday qilib, masalan, tenglama = 0, bu erda a 0, b 0, a b 4

5 tekislikdagi kesishuvchi chiziqlar juftligini belgilaydi. Egri chiziq tenglamasi eng oddiy shaklni olgan koordinata tizimlari kanonik deyiladi. Transformatsiyalar tarkibidan foydalangan holda: o'qlarni a burchak ostida aylantirish, boshni nuqtaga (x0; 0) parallel ravishda o'tkazish va abscissa o'qi atrofida aks ettirish, ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasi kanoniklardan biriga qisqartiriladi. tenglamalar, ularning asosiylari yuqorida sanab o'tilgan. 11BMisollar 1. Markazi abssissa o’qida joylashgan koordinata boshi va fokuslarida joylashgan ellipsning kanonik tenglamasini tuzing, agar uning ekssentrisiteti e = va N(3;) nuqtasi 3-ellipsda yotganligi ma’lum bo’lsa. x a b Ellips tenglamasi: + = 1. Bizda bu =. a b a 3 9 Demak, a = b ekanligini hisoblaymiz. N(3;) nuqtaning koordinatalarini tenglamaga qo‘yib, + = 1 va keyin b = 9 va a b 81 a = = 16, ni olamiz. Demak, ellipsning kanonik tenglamasi 5 x + = 1. 16, 9. Markazi koordinata boshida va o’choqlari abscissa o’qida joylashgan giperbolaning kanonik tenglamasini tuzing, agar M 1 (5; 3) nuqta bo’lsa. giperbolaning va ekssentriklik e = berilgan. x Giperbolaning kanonik tenglamasi = 1. a b a + b = tengligidan bizda b = a 5 9. Demak, = 1 va a =16. Demak, ellipsning kanonik tenglamasi = a a a x 16 5

6 3. Fokus radiusi 1,5 ga teng = 10x parabola nuqtalarini toping. Parabola o'ng yarim tekislikda joylashganligiga e'tibor bering. Agar M (x; parabolada yotsa, u holda x 0. Parametr p = 5. (;)) M x kerakli nuqta, F fokus, () parabolaning direktrisasi bo'lsin. Keyin F,5; 0, d: x=,5. FM = r(M, d) bo'lgani uchun x +,5 = 1,5, 10 Javob: () 1 10;10 x =, = 100, =± 10. Demak, ikkita ochko oldik. M10; 10 M, () 4. X = 1 tenglama bilan berilgan giperbolaning o‘ng shoxida o‘ng fokusdan masofasi chap fokusdan masofasidan 16 9 2 marta kichik bo‘lgan nuqtani toping. Giperbolaning o'ng shoxchasi uchun fokus radiuslari r 1 = e x a va r = e x + a formulalari bilan aniqlanadi. Demak, e x + a = (e x a) tenglamani olamiz. Berilgan giperbola uchun a = 4, 5 c = 5 va e =. Shuning uchun x = 9,6. Bu yerdan bizda = ± x 16 = ± d Javob: ikkita nuqta M 1 (9,6; 0,6 119), (9,6; 0,6 119) M. 5. Istalgan nuqta uchun masofa nisbati teng bo'lgan chiziq tenglamasini toping. 1 x 8= 0 to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa F (3;0) nuqta e = ga teng. Chiziq nomini va uning parametrlarini belgilang. Mx; kerakli chiziq, tenglik to'g'ri: Ixtiyoriy nuqta uchun () FM (x 3) + 1 = =. r(Ml,) x 8 6

7 Demak, bizda [(x 3) + ] = (x 8) mavjud. Qavslarni ochish va shartlarni qayta tartibga solish, biz (x+) + = 50 ni olamiz, ya'ni. (x+) + = Javob: kerakli chiziq bir nuqtada markazlashtirilgan ellips va yarim o'qlar a = 5 va b = Giperbolaning tenglamasini toping Eski koordinatalar koordinatalari O () x ; 0; ;, ;. Yangi sistemada C(;0) = 8 (x ;) va yangilari (zt ;) 1 1 x z 1 z+ t = 1 1 t = z t matritsa tengligi bilan bog‘langan. Demak, x = 8 z+ t z t = 8, zt = 4. Javob: zt = 4. g:4x 4x+ 8x+ 4+ 3= 0 kanonik shaklga teng. yangi koordinatalarda () q x, = 4x 4x+ kvadrat shaklini ko'rib chiqing. 4-shakldagi q matritsasi 5 va 0 xos qiymatlarga ega va tegishli ortonormal vektorlar va

8 z 1 1 x. t = 5 1 Eski koordinatalarni (x;) yangilari (zt) orqali ifodalaymiz; : 1 1 z+ t x 1 z = 1 t =, 1 z t x = z+ t, = z+ t ) () ()() = 5z 4 5z+ 3= z 5 4 z 5 + 3= z 5 1 z 5 3 ni bildiradi. Demak, yangi koordinatalarda g egri chiziq 1 3 g tenglama bilan berilgan: z z =. = z, x = t sozlamasi, g: =, 1 ni olamiz, shundan kanonik koordinatalarda g: = 0 egri chiziqning kanonik tenglamasini topamiz = 5 x 1 1 x E'tibor bering, g egri chiziq juft parallel chiziqlardir. 1BIqtisodiy va moliyaviy muammolarga qo'shimchalar 8. Anya, Boris va Dmitriyning har biriga meva sotib olish uchun 150 rubldan bo'lsin. Ma'lumki, 1 kg nok 15 pul birligiga, 1 kg olma esa 10 pul birligiga to'g'ri keladi. Shu bilan birga, uchtasining har biri

9 o'z xaridini maksimal darajada oshirishni xohlaydigan foydali funksiyaga ega. X1 kg nok va x kg olma sotib olinsin. Ushbu foydali funktsiyalar quyidagilardir: Anya uchun u = x + x, Boris uchun 1 A 1 x u B = +x va Dmitriy uchun ud = x1 x. Anya, Boris va Dmitriy uchun sotib olish rejasini (x1, x) topish talab qilinadi, ular ostida ular o'zlarining foydali funktsiyalarini maksimal darajada ta'minlaydilar. x rasm. 5 Ko'rib chiqilayotgan masalani geometrik tarzda yechish mumkin. Ushbu muammoni hal qilish uchun sath chizig'i tushunchasini kiritish kerak. x x 1 rasm. 6 z = f(x,) funksiyaning sath chizig‘i funksiya h ga teng o‘zgarmas qiymatni saqlaydigan tekislikdagi barcha nuqtalar to‘plamidir. x9

10 Bu holda, yechim chiziqli tengsizliklar bilan berilgan tekislikdagi geometrik maydonlar haqidagi dastlabki fikrlardan ham foydalanadi (1.4-kichik bo'limga qarang). x x 1 rasm. 7 ua, u B va u D funktsiyalarining darajali chiziqlari mos ravishda Anya, Boris va Dmitriy uchun to'g'ri chiziqlar, ellips va giperbolalardir. Masalaning ma'nosiga ko'ra, biz x1 0, x 0 deb faraz qilamiz. Boshqa tomondan, byudjet cheklovi 15x1+ 10x 150 tengsizlik sifatida yoziladi. Oxirgi tengsizlikni 10 ga bo'lsak, biz 3x1+ x 30 yoki + 1 ni olamiz. X1 x bu tengsizlikning yechim maydoni va manfiy bo'lmagan shartlar x1 = 0, x = 0 va 3x1+ x = chiziqlari bilan chegaralangan uchburchak ekanligini ko'rish oson.

11 X * X * rasm. 8-rasm. 9 Geometrik figuralarga asoslanib, uamax = ua(0,15) = 15, ubmax = ub(0,15) = 5 va udmax = ud(Q) ekanligini aniqlash oson. Byudjet uchburchagi tomonining sathi giperbolasi tangensi Q nuqtasining koordinatalari allaqachon analitik tarzda hisoblab chiqilishi kerak. Buning uchun Q nuqtasi uchta tenglamani qanoatlantirishiga e'tibor bering: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x " = =. x1 X * rasm.

12 Tenglamalardan h ni chiqarib, Q= (x, x) = (5;7.5) nuqtaning koordinatalarini olamiz. 1 Javob: Q= (x1, x) = (5;7.5). 9. Nochiziqli model kompaniyaning xarajatlari va foydasi. Firma ikkita A va B turdagi ko'p maqsadli uskunalarni mos ravishda x va ishlab chiqarish birliklari miqdorida ishlab chiqarsin. Shu bilan birga, kompaniyaning yildagi daromadi Rx (,) = 4x+ daromad funktsiyasi bilan, ishlab chiqarish xarajatlari esa 1 1 Cx (,) = 7,5+ x + 4 tannarx funksiyasi bilan ifodalanadi, bu erda kompaniya oladi. maksimal foyda.3 da ishlab chiqarish rejasini (x, ) aniqlang

13 Daromad funksiyasi daromad funksiyasi bilan xarajat funksiyasi orasidagi farq sifatida tuziladi: 1 1 N (x,) = R(x,) C(x,) = 4x+ 7,5 x. 4 O'zgartirishlarni amalga oshirib, oxirgi ifodani 1 1 P (x,) = 9 (x 8) (1) ko'rinishga keltiramiz. 4 Foyda funktsiyasi uchun daraja chiziqlari (x 8) (1) = h kabi ko'rinadi. 4 Har bir sath chizig'i 0 h 9 koordinata boshida joylashgan ellipsdir. Olingan ifodadan foyda funksiyasining maksimali 9 ga teng ekanligini va x= 8, = 1 da erishilganligini ko rish oson. Javob: x = 8, = 1. 13Bmashq va test savollari.1. Doira uchun normal tenglamani yozing. Aylana markazi va radiusi koordinatalarini toping: a) x + + 8x 6=0; b) x x = 0... M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3; 0) nuqtalaridan o'tuvchi aylana tenglamasini yozing..3. Ellipsni aniqlang va uning kanonik tenglamasini yozing. Ellipsning kanonik tenglamasini yozing, agar 1 ekssentrisiteti e = ga, yarim katta o'qi esa teng bo'lsa, fokuslari ordinat o'qida koordinata o'qiga nisbatan simmetrik joylashgan ellipsning tenglamasini tuzing, bundan tashqari, shuni ham bilib oling. uning fokuslari orasidagi masofa c = 4 va ekssentrisitet e = ellipsning ekssentrikligini aniqlang. Agar ellipsning katta o'qi kichik o'qdan to'rt marta katta bo'lsa, uning ekssentrisitesini toping. 33

14.6. Giperbolani aniqlang va uning kanonik tenglamasini yozing. X = 1 tenglama bilan berilgan giperbolaning M (0; 0,5) nuqtasi va o‘ng tepasi orqali to‘g‘ri chiziq o‘tkaziladi. Chiziq va giperbolaning ikkinchi kesishish nuqtasining koordinatalarini toping Giperbolaning ekssentrisitesini aniqlang. Uning kanonik tenglamasini yozing, agar a = 1, b = 5. Bu giperbolaning ekssentrikligi nimaga teng?.8. Giperbolaning kanonik tenglamasi bilan berilgan asimptotalari tenglamalarini yozing. Giperbola 3 tenglamasini yozing, agar uning asimptotalari =± x tenglamalar bilan berilgan bo'lsa va giperbola 5 M nuqtadan o'tsa (10; 3 3)..9. Parabolani aniqlang va uning kanonik tenglamasini yozing. Parabolaning kanonik tenglamasini yozing, agar x oʻqi uning simmetriya oʻqi boʻlsa, uning choʻqqisi koordinata boshida boʻlsa va Ox oʻqiga perpendikulyar boʻlgan parabola akkord uzunligi 8 boʻlsa va bu akkordning choʻqqidan masofasi boʻlsa. is = 1x parabola bo'yicha fokus radiusi Gap bo'lgan va qandaydir tovarga bo'lgan talab p = 4q 1, p = + funktsiyalari bilan berilgan nuqtani toping. Bozor muvozanatining nuqtasini toping. 1 q Grafiklarni yaratish..1. Andrey, Katya va Nikolay apelsin va banan sotib olmoqchi. X1 kg apelsin va x kg banan sotib oling. Uchalasining har biri o'zining foydali funktsiyasiga ega, bu uning xaridini qanchalik foydali deb bilishini ko'rsatadi. Bu foydali funktsiyalar quyidagicha: Andrey uchun u = x + x, Katya uchun 1 4 A 4 1 u K = x + x va Nikolay uchun un = x1 x. a) h=1, 3 daraja qiymatlari uchun foydali funktsiyaning darajali chiziqlarini chizing. b) Har biri uchun r = (4.1), s = (3.8), t = (1.1) sotib olishni afzal ko'rish tartibida joylashtiring. ). 34

Analitik geometriya moduli. Tekislikda va fazoda analitik geometriya 7-ma'ruza Konspekt Tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqlar: ellips, giperbola, parabola. Ta'rifi, umumiy xususiyatlari.

15-MA'RUZA. Ikkinchi tartibli egri chiziqlar. 1. Doira... 1. Ellips... 1 3. Giperbola.... 4. Parabola.... 4 1. Doira.

8 Ikkinchi tartibli egri chiziqlar 81 Doira Bir nuqtadan teng masofada joylashgan, markaz deb ataladigan, radius deb ataladigan masofada joylashgan tekislikning nuqtalari to'plami aylana deyiladi.Doira markazi bo'lsin.

13-ma'ruza Mavzu: Ikkinchi tartibli egri chiziqlar Tekislikdagi ikkinchi tartibli egri chiziqlar: ellips, giperbola, parabola. Geometrik xossalari asosida ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamalarini chiqarish. Ellips shaklini o'rganish,

MA'RUZA Ikkinchi tartibli giperbola chiziqlari Misol tariqasida aylana, parabola, ellips va aylana aniqlovchi tenglamalarni topamiz Doira - tekislikdagi berilgan nuqtadan teng masofada joylashgan nuqtalar to'plami

Ikkinchi tartibli egri chiziqlar Doira ellips giperbola Parabola To'g'ri to'rtburchak dekart koordinatalar tizimi tekislikda berilgan bo'lsin. Ikkinchi tartibli egri chiziq koordinatalarini qanoatlantiradigan nuqtalar to'plamidir

Fazoda to'g'ri chiziq va tekislik Chiziqli algebra (11-ma'ruza) 24.11.2012 2 / 37 Fazodagi to'g'ri chiziq va tekislik Ikki nuqta orasidagi masofa M 1 (x 1, y 1, z 1) va M 2 (x 2, y 2) , z2)

Ta'lim va fan vazirligi Rossiya Federatsiyasi Yaroslavl davlat universiteti P. G. Demidova Algebra va ikkinchi tartibli matematik mantiq egri chiziqlari kafedrasi I qism Ko'rsatmalar

3. Giperbola va uning xossalari Ta'rif 3.. Giperbola - ba'zi to'rtburchaklar dekart koordinata sistemasida 0. (3.) tenglama bilan aniqlangan egri chiziq va Tenglik (3.) kanonik tenglama deyiladi.

1-amaliy Mavzu: Giperbolaning konspekti 1 Giperbolaning ta’rifi va kanonik tenglamasi Geometrik xususiyatlar giperbolalar Giperbolaning o'zaro joylashuvi va uning markazidan o'tuvchi to'g'ri chiziq Asimptotlar

Ma'ruza xulosasi 13 ELLIPS, GIPERBOLA VA PARABOLA 0. Ma'ruza rejasi Ma'ruza Ellips, Giperbola va Parabola. 1. Ellips. 1.1. Ellipsning ta'rifi; 1.2. Kanonik koordinatalar tizimining ta'rifi; 1.3. Tenglamani hosil qilish

ELIPS MODULI GIPERBOLA PARABOLA Amaliy dars Mavzu: Ellips rejasi Ellipsning ta'rifi va kanonik tenglamasi Ellipsning geometrik xossalari Eksentriklik Ellips shaklining ekssentriklikka bog'liqligi.

IKKINCHI TOPSHIRIQ 1. Tekislikdagi to'g'ri chiziq. 1. Ikkita chiziq (, rn) = D va r= r + a vektor tenglamalari bilan berilgan, bu erda (an,) 0. Chiziqlarning kesishish nuqtasining radius vektorini toping. 0 t. Radius vektorli M 0 nuqta berilgan

Ikkinchi tartibli egri chiziqlar. Ta'rif: Ikkinchi tartibli egri chiziq chizig'i - bu tekislik nuqtalari to'plami (M), Dekart koordinatalari X, Y) ikkinchi darajali algebraik tenglamani qanoatlantiradi:,

Samolyotdagi ALGebraik chiziqlar.

Ellips va uning xossalari Ta'rif.. Ellips - bu ba'zi to'rtburchaklar Dekart koordinata tizimida b, b 0 tenglama bilan aniqlangan ikkinchi tartibli egri chiziqdir. (.) Tenglik (.) kanonik deyiladi.

0,5 setgray0 0,5 setgray1 1 9-ma'ruza ELLIPS, GIPERBOLA VA PARABOLA 1. Ellipsning kanonik tenglamasi Ta'rif.

ANALITIK G'EOMETRİYANI ISHLAB CHIQISH ELEMENTLARI UCH O'lchamli fazoda tekislikning vektor tenglamasini yozing va bu tenglamaga kiruvchi kattaliklarning ma'nosini tushuntiring.

12-dars Ellips, giperbola va parabola. Kanonik tenglamalar. Ellips - bu tekislikdagi M nuqtalarning joylashuvi bo'lib, u uchun ikkita qo'zg'almas F 1 va F 2 nuqtalari orasidagi masofalar yig'indisi deyiladi.

CHIZIQLI ALGEBRA Ma'ruza Ikkinchi tartibli egri chiziqlar tenglamalari Doira ta'rifi Doira - bir nuqtadan teng masofada joylashgan, aylananing markazi deb ataladigan r masofadagi nuqtalarning joylashuvi.

Ural Federal universiteti, Matematika va kompyuter fanlari instituti, Algebra va diskret matematika bo'limi Kirish so'zlari Ushbu ma'ruzada biz parabolaning uchinchi ikkinchi darajali egri chizig'ini o'rganamiz.

Ma’ruza 9.30-bob Tekislikdagi analitik geometriya Tekislikdagi koordinatalar tizimlari To‘g‘ri to‘rtburchaklar va qutbli koordinatalar sistemalari Tekislikdagi koordinatalar sistemasi bu aniqlash imkonini beruvchi usuldir.

Rossiya Federatsiyasi Ta'lim va fan vazirligi Yaroslavl davlat universiteti P. G. Demidova Algebra va matematik mantiq kafedrasi S. I. Yablokova Ikkinchi tartibli egri chiziqlar bo‘limi Amaliy qism

Mavzu ANALITIK G'EOMETRİYANING TEKISLIKDA VA KOSOSDAGI ELEMENTLARI Ma'ruza.. Tekislikdagi to'g'ri chiziqlar Reja. Tekislikdagi koordinatalar usuli.. Dekart koordinatalarida to'g'ri chiziq.. Parallellik va perpendikulyarlik sharti.

Chiziqli algebra va analitik geometriya Mavzu: Ikkinchi tartibli egri chiziqlar O'qituvchi Rojkova S.V. 01 15. Ikkinchi tartibli egri chiziqlar Ikkinchi tartibli egri chiziqlar 1) degenerativ va) degenerativ bo‘lmaganlarga bo‘linadi.

11-ma'ruza 1. KONIK QISMLAR 1.1. Ta'rif. To'g'ri dumaloq konusning ushbu konusning avlodiga perpendikulyar tekislik bilan kesilgan qismini ko'rib chiqaylik. Da turli qiymatlar ekseneldagi tepada a burchak

9-ma'ruza 1. KONIK QISMLAR 1.1. Ta'rif. To'g'ri dumaloq konusning ushbu konusning avlodiga perpendikulyar tekislik bilan kesilgan qismini ko'rib chiqaylik. Eksendagi tepada a burchagining turli qiymatlari uchun

Ural Federal universiteti, Matematika va kompyuter fanlari instituti, Algebra va diskret matematika bo'limi Kirish so'zlari Ushbu ma'ruzada biz yana bir ikkinchi tartibli egri chiziqni, giperbolani o'rganamiz.

14-amaliy Mavzu: Parabola konspekti 1. Parabolaning ta’rifi va kanonik tenglamasi Parabolaning geometrik xossalari. Parabola va uning markazidan o'tuvchi to'g'ri chiziqning nisbiy holati. Asosiy

A N A L I T I C E S K I A G E O M E T R I I ikkinchi tartibli egri chiziqlar SHIMANCHUK Dmitriy Viktorovich [elektron pochta himoyalangan] Sankt-Peterburg davlat universiteti jarayonlarning amaliy matematikasi fakulteti

Matritsalar 1 Berilgan matritsalar va toping: a) A + B; b) 2B; c) B T; d) AB T; e) B T A Yechim a) Matritsalar yig‘indisining ta’rifi bilan b) Matritsaning ko‘paytmasini son bilan aniqlash orqali c) Transpozitsiyalangan matritsaning ta’rifi bilan.

1-VARIANT 1 M 1 (18) va M (1) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning qiyaligi k topilsin; to‘g‘ri chiziq tenglamasini parametrik ko‘rinishda yozing, uchlari A () bo‘lgan uchburchakning tomonlari va medianalari tenglamalarini tuzing.

Nazorat ishi. Berilgan A, B va D matritsalari. AB 9D ni toping, agar: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 A 3 va B matritsalarni koʻpaytiring 3. Natijada elementlardan tashkil topgan 3 3 o'lchamdagi C bo'ladi

9-bob Samolyotdagi egri chiziqlar. Ikkinchi tartibli egri chiziqlar 9. Tayanch tushunchalar Oksi toʻrtburchaklar koordinatalar sistemasidagi D egri chizigʻi, agar M (x, y) nuqta bu egri chiziqqa tegishli boʻlsa, F (,) \u003d 0 tenglamaga ega ekanligi aytiladi.

Chiziqli algebra va analitik geometriya Mavzu: Ikkinchi tartibli egri chiziqlar O‘qituvchi Paxomova E.G. 01 15. Ikkinchi tartibli egri chiziqlar Ikkinchi tartibli egri chiziqlar 1) degenerativ va) degenerativ bo‘lmaganlarga bo‘linadi.

Ural Federal universiteti, Matematika va kompyuter fanlari instituti, Algebra va diskret matematika bo'limi

1-bob Ikkinchi tartibli egri chiziqlar va sirtlar 1.9 dan tashqari barcha bo'limlarda koordinatalar tizimi to'rtburchaklar shaklida bo'ladi. 1.1. Ikkinchi tartibli va boshqa egri chiziqlar tenglamalarini tuzish 1. p) to'plam ekanligini isbotlang

Moskva davlat universiteti Texnika universiteti nomidagi N.E. Bauman fakulteti "Fundamental fanlar" kafedrasi " Matematik modellashtirish» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

5-BOB. ANALITIK G'EOMETRIYA 5.. Tekislikdagi chiziq tenglamasi F(x, y) 0 ko'rinishdagi tenglama, agar bu tenglama berilgan tekislikda yotgan har qanday nuqtaning koordinatalari bilan qanoatlansa, chiziqli tenglama deyiladi.

Balakovo muhandislik-texnologiya instituti - federal davlat avtonom ta'lim muassasasining filiali Oliy ma'lumot"MEPhI" Milliy tadqiqot yadro universiteti

Ikkinchi tartibli chiziqlar Yu.L.Kalinovskiy nomidagi Oliy matematika universiteti “Dubna” kafedrasi Reja 2 3 4 5 6 7 Ikkinchi tartibli chiziqlar: Dekart koordinatalari tenglamani qanoatlantiradigan nuqtalar joylashuvi

44. Giperbolaning ta'rifi. Giperbola - tegishli koordinatalar sistemasidagi koordinatalari 2 2 y2 = 1, (1) b2 tenglamani qanoatlantiradigan tekislikdagi barcha nuqtalar to'plami, bu erda, b > 0. Bu tenglama

Chiziqli algebra va analitik geometriya Mavzu: Ikkinchi tartibli egri chiziqlar (davomi) O‘qituvchi Paxomova E.G. 01 4. Umumiy ta'rif ellips, giperbola va parabola TA'RIF. To'g'ridan-to'g'ri a m to'g'ridan-to'g'ri deyiladi.

1 ma'ruza 1.4. Ikkinchi tartibli egri chiziqlar va sirtlar Xulosa: Egri chiziqlarning kanonik tenglamalari quyidagi ta'riflardan kelib chiqadi: ellips, giperbola va parabola. Ellips va giperbolaning parametrik tenglamalari berilgan.

Rossiya Federatsiyasi Ta'lim va fan vazirligi Federal Davlat byudjeti ta'lim muassasasi yuqoriroq kasb-hunar ta'limi"Sibir davlat sanoat universiteti"

Amaliy ish Ikkinchi tartibli chiziqlar va egri chiziqlar tenglamalarini tuzish Ishning maqsadi: ikkinchi tartibli chiziqlar va egri chiziqlar tenglamalarini tuzish qobiliyatini mustahkamlash Ishning mazmuni. Asosiy tushunchalar. B C 0 vektori

O'tkazib yuborilgan darslarni qayta ishlash bo'yicha topshiriqlar Mundarija Mavzu: Matritsalar, ulardagi amallar. Determinantlarni hisoblash.... 2 Mavzu: Teskari matritsa. Tenglamalar sistemasi yordamida yechish teskari matritsa. Formulalar

Analitik geometriya 5.. Tekislikdagi chiziq Har xil usullar tekislikda to'g'ri chiziqni belgilash. Tekislikdagi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi. Chiziqning koordinata tizimiga nisbatan joylashishi. geometrik ma'no

11-VARIANT 1 M() nuqta N(1-1) nuqtadan l chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning asosi l chiziq tenglamasini yozing; N nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani toping l O'tadigan chiziqlar tenglamalarini tuzing

49. Silindrsimon va konussimon yuzalar 1. Silindrsimon yuzalar Ta’rifi. Fazoda l chiziq va nolga teng bo'lmagan a vektor berilgan bo'lsin. Har xil bo'lgan to'g'ri chiziqlar orqali hosil bo'lgan sirt

Analitik geometriya Tekislikdagi analitik geometriya. Analitik geometriya geometrik masalalarni algebra yordamida yechish, buning uchun koordinatalar usuli qo'llaniladi. Tekislikdagi koordinatalar tizimi ostida

1-variant 1-topshiriq. Ellipsning geometrik ta’rifini bering. Masala 2. Dandelin sharlaridan foydalanib, ellipsning konus kesimi sifatida paydo bo'lishini isbotlang. Masala 3. P nuqtalar to'plamini isbotlang

Sekaeva L.R., Tyuleneva O.N. SAMOQDA ANALITIK GEOMETRIYA Qozon 008 0 Qozon davlat universiteti umumiy matematika kafedrasi Sekaeva LR, Tyuleneva ON. SAVOLOTDAGI ANALITIK GENEOMETRIYA

Rossiya Federatsiyasi Ta'lim va fan vazirligi Qozon davlat arxitektura va qurilish universiteti Oliy matematika kafedrasi Vektor va chiziqli algebra elementlari. Analitik geometriya.

Tekislikdagi analitik geometriya Chiziq tenglamasi analitik geometriyaning eng muhim tushunchasidir. y M(x, y) 0 x Aniqlash. Oksi tekisligidagi chiziq (egri) tenglamasi unga tenglamadir

Asosiy LA masalalariga misollar Gauss usuli aniqlangan chiziqli tenglamalar tizimi Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini 6.

16-VARIANT 1 M 1 (3 4) va M (6) nuqtalar orqali to‘g‘ri chiziq o‘tkaziladi. Bu chiziqning koordinata o‘qlari bilan kesishgan nuqtalarini toping Uchburchak tomonlari tenglamalarini tuzing. ) B (3 1) C (0 4) mavjud

Test 3 1-VARIANT Chiziqlarning kesishish nuqtasidan o‘tuvchi va perpendikulyar to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing va .. Nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing va nuqtadan masofani toping.

TAKSIZLIKDAGI ANALITIK G'EOMETRIYA ELEMENTLARI. To'g'ri chiziq 1. Cho'qqilari A(6; 7), B(3; 3), C(1; 5) nuqtalari bo'lgan uchburchakning perimetrini hisoblang. 2. A(7) nuqtalardan teng masofada joylashgan nuqtani toping;

Analitik geometriya 1-modul Matritsa algebrasi Vektor algebrasi Matn 5 ( mustaqil ta'lim) Izoh Tekislikdagi va fazodagi dekart koordinatalar tizimi Masofa uchun formulalar

Rossiya Federatsiyasi Ta'lim vazirligi Rostov davlat universiteti Mexanika-matematika fakulteti Geometriya Kazak V.V. Birinchi sinf o'quvchilari uchun analitik geometriya bo'yicha seminar

ANALITIK GEOETRIYA TAKLIKNING UMUMIY TENGLASHISHI. OPD Tekislik - bu to'g'ri chiziqning ikkita nuqtasi tekislikka tegishli bo'lsa, to'g'ri chiziqning barcha nuqtalari berilganiga tegishli bo'lgan xossaga ega bo'lgan sirt.

5-MA'RUZA ANALITIK GENEOMETRIYA ELEMENTLARI. 1 1. Fazodagi yuza tenglama va chiziq tenglamalari. Tenglamalarning geometrik ma'nosi Analitik geometriyada har qanday sirt to'plam sifatida qaraladi

1-bob Chiziqlar va tekisliklar n R. 1.1. Nuqta fazolari Ilgari satrlarning arifmetik fazosi ko‘rib chiqilar edi.Matematikada koordinatalarning chekli tartibli to‘plami nafaqat talqin qilinishi mumkin.

Analitik geometriyadan test topshirig'i. Semestr 2. 1-variant 1. 5x 12y + 1 = 0 chiziqqa parallel (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4 aylanaga teginish tenglamalarini toping. 2. Tangens tenglamasini yozing.

Rossiya Federatsiyasi Ta'lim va fan vazirligi Federal davlat avtonom oliy kasbiy ta'lim muassasasi Qozon (Volga viloyati) Federal universiteti

Yuqori tartibli farqlar. Imtihon chiptasi. Matritsalar, asosiy tushunchalar va ta'riflar.. Agar A (;) va B (-; 6) nuqtalar diametrlardan birining uchi bo'lsa, aylana tenglamasini yozing.. Vertikallar berilgan.

N.E. nomidagi Moskva davlat texnika universiteti. Bauman fundamental fanlar fakulteti Matematik modellashtirish kafedrasi A.N. Kanatnikov,

Ikkinchi tartibli yuzalar. Uch oʻlchovli fazodagi sirt F(x; y; z) = 0 yoki z = f(x; y) koʻrinishdagi tenglama bilan tavsiflanadi. Ikki sirtning kesishishi kosmosdagi chiziqni belgilaydi, ya'ni. kosmosdagi chiziq

1. Evklid tekisligidagi ikkinchi tartibli chiziqlar.

2. Ikkinchi tartibli chiziqlar tenglamalarining invariantlari.

3. Uning tenglamasining invariantlaridan ikkinchi tartibli chiziqlar turini aniqlash.

4. Affin tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqlar. Yagonalik teoremasi.

5. Ikkinchi tartibli chiziqlar markazlari.

6. Ikkinchi tartibli chiziqlarning asimptotalari va diametrlari.

7. Ikkinchi tartibli chiziqlar tenglamalarini eng oddiyga keltirish.

8. Ikkinchi tartibli chiziqlarning asosiy yo'nalishlari va diametrlari.

Bibliografiya

1. Evklid tekisligidagi ikkinchi tartibli chiziqlar.

Ta'rif:

Evklid tekisligi 2 o'lchamli bo'shliq,

(ikki o'lchovli haqiqiy fazo).

Ikkinchi tartibli chiziqlar - dumaloq konusning yuqori qismidan o'tmaydigan tekisliklari bilan kesishgan chiziqlar.

Bu chiziqlar ko'pincha tabiatshunoslikning turli savollarida uchraydi. Masalan, markaziy tortishish maydoni ta'sirida moddiy nuqtaning harakati ushbu chiziqlardan biri bo'ylab sodir bo'ladi.

Agar kesish tekisligi konusning bir bo'shlig'ining barcha to'g'ri chiziqli generatritsalarini kesib o'tsa, u holda kesmada chiziq hosil bo'ladi. ellips(1.1-rasm, a). Agar kesish tekisligi konusning ikkala bo'shlig'ining generatorlarini kesib o'tsa, u holda kesmada chiziq hosil bo'ladi. giperbola(1.1.6-rasm). Va nihoyat, agar sekant tekislik konusning generatorlaridan biriga parallel bo'lsa (1.1, ichida- bu generator AB), keyin bo'limda siz deb nomlangan chiziqni olasiz parabola. Guruch. 1.1 beradi vizual ifodalash ko'rib chiqilayotgan chiziqlar shakli haqida.

1.1-rasm

Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamasi quyidagi shaklga ega:

(1)

(1*)

Ellips - tekislikdagi masofalar yig'indisi ikkiga teng bo'lgan nuqtalar to'plamibelgilangan nuqtalarF 1 vaF 2 fokuslar deb ataladigan bu tekislik doimiy qiymatdir.

Bu ellips o'choqlarining mos kelishini istisno qilmaydi. Shubhasiz agar fokuslar bir xil bo'lsa, u holda ellips aylana bo'ladi.

Ellipsning kanonik tenglamasini olish uchun segmentning o'rtasidan Dekart koordinata tizimining boshi O ni tanlaymiz. F 1 F 2 , boltalar Oh va OU to'g'ridan-to'g'ri shaklda ko'rsatilganidek. 1.2 (agar hiylalar bo'lsa F 1 va F 2 mos keladi, keyin O bilan mos keladi F 1 va F 2 va eksa uchun Oh orqali o'tadigan har qanday o'qni olish mumkin O).

Segmentning uzunligi bo'lsin F 1 F 2 F 1 va F 2 mos ravishda (-c, 0) va (c, 0) koordinatalariga ega. tomonidan belgilang 2a ellips ta'rifida ko'rsatilgan doimiy. Shubhasiz, 2a > 2c, ya'ni. a > c ( Agar a M- ellipsning nuqtasi (1.2-rasmga qarang), keyin | MF ] |+ | MF 2 | = 2 a, va ikki tomonning yig'indisidan boshlab MF 1 va MF 2 uchburchak MF 1 F 2 uchinchi tomondan ko'proq F 1 F 2 = 2c, keyin 2a > 2c. 2a = 2c ishni istisno qilish tabiiydir, shundan beri nuqta M segmentida joylashgan F 1 F 2 ellips esa segmentga aylanadi. ).

Mayli M (x, y)(1.2-rasm). Nuqtadan masofalarni r 1 va r 2 bilan belgilang M nuqtalarga F 1 va F 2 mos ravishda. Ellipsning ta'rifiga ko'ra tenglik

r 1 + r 2 = 2a(1.1)

berilgan ellipsda M(x, y) nuqtaning joylashishi uchun zarur va yetarli shartdir.

Ikki nuqta orasidagi masofa formulasidan foydalanib, biz olamiz

(1.2)

(1.1) va (1.2) dan shunday xulosa kelib chiqadi nisbat

(1.3)

berilgan ellipsda x va y koordinatalari bo‘lgan M nuqtaning joylashishi uchun zarur va yetarli shartni ifodalaydi. Shuning uchun (1.3) munosabatni shunday deb hisoblash mumkin ellips tenglamasi."Radikallarni yo'q qilish" standart usuli yordamida bu tenglama shaklga keltiriladi

(1.4) (1.5)

Chunki (1.4) tenglama algebraik natija ellips tenglamasi (1.3), keyin koordinatalar x va y har qanday nuqta M ellips (1.4) tenglamani ham qanoatlantiradi. Radikallardan xalos bo'lish bilan bog'liq algebraik o'zgarishlar paytida "qo'shimcha ildizlar" paydo bo'lishi mumkinligi sababli, biz har qanday nuqtaga ishonch hosil qilishimiz kerak. M, koordinatalari (1.4) tenglamani qanoatlantiradigan ellipsda joylashgan. Buning uchun kattaliklarning r ekanligini isbotlash kifoya 1 va r 2 Har bir nuqta uchun (1.1) munosabatni qondirish. Shunday qilib, koordinatalarga ruxsat bering X va da ball M(1.4) tenglamani qanoatlantiring. Qiymatni almashtirish 2 da(1.4) dan (1.2) ifodaning oʻng tomoniga oddiy oʻzgartirishlardan soʻng r 1 uchun, xuddi shu tarzda (1.6) topamiz.

ya'ni r 1 + r 2 = 2a, va shuning uchun M nuqta ellipsda joylashgan. (1.4) tenglama chaqiriladi ellipsning kanonik tenglamasi. Miqdorlar a va b navbati bilan deyiladi ellipsning katta va kichik yarim o'qlari("Katta" va "kichik" nomi shu bilan izohlanadi a > b).

Izoh. Agar ellipsning yarim o'qlari a va b teng bo'lsa, ellips radiusi teng bo'lgan doiradir R = a = b, va markaz kelib chiqishi bilan mos keladi.

Giperbola - bu tekislikdagi nuqtalar to'plami bo'lib, ular uchun ikkita sobit nuqtagacha bo'lgan masofalar farqining mutlaq qiymati,F 1 vaF 2 fokuslar deb ataladigan bu tekislik doimiy qiymatdir ( Fokuslar F 1 va F 2 giperbolalarni boshqacha ko'rib chiqish tabiiydir, chunki agar giperbolaning ta'rifida ko'rsatilgan doimiy nolga teng bo'lmasa, u holda tekislikning bitta nuqtasi yo'q. F 1 va F 2 , bu giperbolaning ta'rifi talablariga javob beradi. Agar bu doimiy nolga teng bo'lsa va F 1 bilan mos keladi F 2 , u holda tekislikning istalgan nuqtasi giperbolaning ta'rifi talablarini qondiradi. ).

Giperbolaning kanonik tenglamasini olish uchun biz segmentning o'rtasida joylashgan koordinatalarning kelib chiqishini tanlaymiz. F 1 F 2 , boltalar Oh va OU to'g'ridan-to'g'ri shaklda ko'rsatilganidek. 1.2. Segmentning uzunligi bo'lsin F 1 F 2 2s ga teng. Keyin tanlangan koordinatalar tizimida nuqtalar F 1 va F 2 mos ravishda (-s, 0) va (s, 0) koordinatalariga ega 2 bilan belgilang a giperbolaning ta'rifida ko'rsatilgan doimiy. Shubhasiz 2a< 2с, т. е. a< с.

Mayli M- koordinatali tekislikning nuqtasi (x, y)(1.2-rasm). Masofalarni r 1 va r 2 bilan belgilang MF 1 va MF 2 . Giperbolaning ta'rifiga ko'ra tenglik

(1.7)

berilgan giperbolada M nuqtaning joylashishi uchun zarur va yetarli shartdir.

r 1 va r 2 va munosabat (1.7) uchun ifodalar (1.2) yordamida quyidagini olamiz. Berilgan giperbolada x va y koordinatalari bo'lgan M nuqtani joylashtirish uchun zarur va etarli shart:

. (1.8)

"Radikallarni yo'q qilish" standart usulidan foydalanib, (1.8) tenglamani shaklga keltiramiz

(1.9) (1.10)

(1.8) tenglamani algebraik o'zgartirishlar natijasida olingan (1.9) tenglama yangi ildizlarga ega emasligiga ishonch hosil qilishimiz kerak. Buning uchun har bir nuqta uchun buni isbotlash kifoya M, koordinatalar X va da(1.9) tenglamani qanoatlantirsa, r 1 va r 2 miqdorlar (1.7) munosabatni qanoatlantiradi. Formulalarni (1.6) chiqarishda keltirilgan dalillarga o'xshash dalillarni olib, bizni qiziqtirgan r 1 va r 2 miqdorlari uchun quyidagi iboralarni topamiz:

(1.11)

Shunday qilib, ko'rib chiqilgan nuqta uchun M bizda ... bor

, va shuning uchun u giperbolada joylashgan.

(1.9) tenglama chaqiriladi giperbolaning kanonik tenglamasi. Miqdorlar a va b mos ravishda real va xayoliy deyiladi. giperbolaning yarim o'qlari.

parabola tekislikdagi nuqtalar to'plami bo'lib, ular uchun qandaydir qo'zg'almas nuqtagacha bo'lgan masofaFbu tekislik ba'zi bir qo'zg'almas chiziqgacha bo'lgan masofaga teng, u ham ko'rib chiqilayotgan tekislikda joylashgan.

(MIF-2, 3-son, 2005 y.)

Samolyotda ikkinchi tartibli chiziqlar

P. 1. Ikkinchi tartibli chiziqning ta'rifi

To'g'ri burchakli Dekart koordinata tizimi (XOY) ko'rsatilgan tekislikni ko'rib chiqaylik. U holda har qanday M nuqta uning koordinatalari (x, y) bilan yagona aniqlanadi. Bundan tashqari, har qanday raqamlar juftligi (x, y) tekislikdagi biron bir nuqtani belgilaydi. Nuqta koordinatalari ba'zi shartlarni qanoatlantirishi mumkin, masalan, noma'lumlarga (x, y) nisbatan ba'zi f(x, y)=0 tenglama. Bunda f(x, y)=0 tenglama tekislikdagi qandaydir figurani aniqlaydi deyiladi. Misollarni ko'rib chiqing.

1-misol Funktsiyani ko'rib chiqing y= f( x). Bu funksiya grafigi nuqtalarining koordinatalari tenglamani qanoatlantiradi y– f( x) = 0.

2-misol Tenglama (*), bu erda a, b, c tekislikda ma'lum bir to'g'ri chiziqni aniqlaydigan ba'zi raqamlar. ((*) ko'rinishdagi tenglamalar deyiladi chiziqli).

3-misol Giperbolaning grafigi koordinatalari https://pandia.ru/text/80/134/images/image004_92.gif" width="161" height="25"> tenglamani qanoatlantiradigan nuqtalardan iborat.

Ta'rif 1. (**) shakldagi tenglama, bu erda DIV_ADBLOCK75"> koeffitsientlarining kamida bittasi

Biz geometrik va jismoniy xususiyatlar yuqorida aytib o'tilgan qatorlar. Keling, ellipsdan boshlaylik.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image008_54.gif" width="79" height="44 src="> (1).

(1) tenglama deyiladi kanonik ellips tenglamasi.

Ellipsning shakli 1-rasmdan baholanishi mumkin.

Mayli. Nuqtalar chaqiriladi nayranglar ellips. Bir qator qiziqarli xususiyatlar fokuslar bilan bog'liq bo'lib, biz quyida muhokama qilamiz.

Ta'rif 4. Giperbola tekislikdagi barcha nuqtalarining koordinatalari tenglamani qanoatlantiradigan figura deyiladi

(2).

(2) tenglama deyiladi kanonik giperbolik tenglama. Giperbolaning shakli 2-rasmdan baholanishi mumkin.

Mayli. Nuqtalar chaqiriladi nayranglar giperbola. Parametr a chaqirdi yaroqli, va parametr b- xayoliy yarim o'q mos ravishda giperbola. ho'kiz haqiqiy va oy giperbolaning xayoliy o'qidir.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image016_34.gif" width="61" height="41"> deyiladi asimptotlar. Da katta qiymatlar parametr x asimptotalarning nuqtalari giperbola shoxlariga cheksiz yaqinlashadi. 2-rasmda asimptotlar nuqtali chiziqlar bilan ko'rsatilgan.

Ta'rif 5. Parabola - bu barcha nuqtalarning koordinatalari tenglamani qanoatlantiradigan tekislikdagi figura

https://pandia.ru/text/80/134/images/image018_28.gif" width="47" height="45 src=">.

3-sek. LCS o'choqlarining xossalari

2-bo'limdagi har bir LVP uchun. maxsus nuqtalar edi nayranglar. Bu nuqtalar ellips, giperbola va parabolaning muhim xususiyatlarini tushuntirishda katta rol o'ynaydi. Biz bu xossalarni teorema shaklida shakllantiramiz.

Teorema. bitta. Ellips - bu nuqtalar to'plamiM, shundayki, bu nuqtalardan fokuslargacha bo'lgan masofalar yig'indisi 2 ga tenga:

https://pandia.ru/text/80/134/images/image020_26.gif" width="115" height="23 src="> (5).

Parabola uchun shunga o'xshash xususiyatni shakllantirish uchun biz aniqlaymiz direktor. Bu to'g'ri d, tenglama bilan berilgan https://pandia.ru/text/80/134/images/image022_23.gif" width="103" height="21 src="> (6).

4-modda. Fokuslar va tangenslar

https://pandia.ru/text/80/134/images/image024_24.gif" align="o'ng" width="322" height="386 src=">.gif" width="52" height="24" src="> mos keladigan HDL ga tegishli. Quyida ushbu nuqtadan o'tadigan tangenslar tenglamalari keltirilgan:

- ellips uchun, (7)

- giperbola uchun, (8)

parabola uchun. (9)

Agar ikkala fokusdan segmentlarni chizsak (ular deyiladi fokus radiuslari nuqta), keyin ajoyib mulk(5 va 6-rasmlarga qarang): fokus radiuslari shu nuqtada chizilgan tangens bilan teng burchaklar hosil qiladi.

Bu xususiyat qiziqarli jismoniy talqinga ega. Masalan, ellipsning konturini aks ettirilgan deb hisoblasak, u holda, Fokuslardan birida joylashgan nuqta manbasidan keladigan yorug'lik nurlari, kontur devorlaridan aks etgandan so'ng, ikkinchi fokusdan o'tadi..

katta amaliy foydalanish parabola uchun xuddi shunday xususiyatga ega bo'ldi. Gap shundaki parabolaning har qanday nuqtasining fokus radiusi bu nuqtaga chizilgan tangens bilan parabolaning tangensi va o'qi orasidagi burchakka teng burchak hosil qiladi..

Jismoniy jihatdan bu quyidagicha talqin qilinadi: Parabolaning fokusida joylashgan nuqtaning nurlari uning devorlaridan aks etgandan so‘ng parabolaning simmetriya o‘qiga parallel ravishda tarqaladi.. Shuning uchun chiroqlar va chiroqlarning ko'zgulari parabolik shaklga ega. Aytgancha, agar unga parabola o'qiga parallel yorug'lik oqimi (radio to'lqinlar) kirsa, devorlardan aks etgandan so'ng, uning barcha nurlari fokusdan o'tadi. Kosmik aloqa stansiyalari va radarlar shu printsip asosida ishlaydi.

P. 5. Bir oz ko'proq fizika

HDL fizika va astronomiyada keng qo'llanilishini topdi. Shunday qilib, bitta nisbatan engil jism (masalan, sun'iy yo'ldosh) kattaroq jismning (sayyora yoki yulduz) tortishish maydonida LCS dan biri bo'lgan traektoriya bo'ylab harakatlanishi aniqlandi. Bunday holda, ushbu traektoriyaning diqqat markazida yanada massiv jism turadi.

Bu xususiyatlar birinchi navbatda batafsil o'rganildi Iogannes Kepler va ular Kepler qonunlari deb nomlangan.

10-sinf o'quvchilari uchun 1-son nazorat topshirig'i

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar (har bir topshiriq uchun 5 ball)

M.10.1.1. HDL ni aniqlang. LTLni aniqlaydigan tenglamalarga ba'zi misollar keltiring.

M.10.1.2. a) ellips, b) giperbola fokuslarining koordinatalarini hisoblang, agar a=13, b=5.

M.10.1.3. a) ellips, b) giperbolaning kanonik tenglamasini tuzing, agar bu chiziq (5, 6) va (-8, 7) koordinatali nuqtalardan o'tishi ma'lum bo'lsa.

M.10.1.4.(9) tenglamada berilgan to'g'ri chiziq haqiqatan ham (3) tenglamada berilgan parabola bilan faqat koordinatali nuqtada kesishganligini tekshiring. ( ko'rsatma: avval tangens tenglamani parabola tenglamasiga ulang va keyin hosil bo'lgan kvadrat tenglamaning diskriminanti nolga teng ekanligiga ishonch hosil qiling.)

M.10.1.5. Haqiqiy yarim o'q 8 va xayoliy - 4 bo'lgan giperbolaga teguvchi tenglamani koordinatali nuqtada yozing. x Agar nuqtaning ikkinchi koordinatasi manfiy bo'lsa =11.

Amaliy ish (10 ball)

M.10.1.6. Bir nechta ellips chizing keyingi usul: qog'oz varag'ini faneraga mahkamlang va qog'ozga bir nechta tugmachalarni yopishtiring (lekin to'liq emas). Bir parcha ipni oling va uchlarini bog'lang. Olingan pastadirni ikkala tugmachaga tashlang (kelajakdagi ellipsning hiyla-nayranglari), qalamning o'tkir uchi bilan ipni torting va ipning tarang ekanligiga ishonch hosil qilib, diqqat bilan chiziq torting. Loop hajmini o'zgartirib, siz bir nechta konfokal ellipslarni qurishingiz mumkin. 1-teorema yordamida olingan chiziqlar haqiqatan ham ellips ekanligini tushuntirishga harakat qiling va tugmalar orasidagi masofani va ipning uzunligini bilib, ellipsning yarim o'qlarini qanday hisoblash mumkinligini tushuntiring.

Dekart koordinatalarida birinchi darajali tenglama qandaydir to'g'ri chiziqni aniqlaydi.

Dekart koordinatalarida birinchi darajali tenglama bilan aniqlangan chiziqlar birinchi tartibli chiziqlar deb ataladi. Shuning uchun har bir satr birinchi tartibli chiziqdir.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi(birinchi darajali umumiy tenglama sifatida) quyidagi shakldagi tenglama bilan aniqlanadi:

Oh + Vu + FROM = 0.

To'g'ri chiziqning to'liq bo'lmagan tenglamalarini ko'rib chiqing.

1. FROM= 0. Toʻgʻri chiziq tenglamasi quyidagi koʻrinishga ega: Ah + Vu = 0; chiziq koordinatadan o'tadi.

2. DA = 0 (LEKIN¹ 0). Tenglama o'xshaydi Oh + FROM= 0 yoki X =a, qayerda a= Chiziq nuqtadan o'tadi LEKIN(a; 0), u o'qga parallel OU. Raqam a Oh(1-rasm).

Guruch. bitta

Agar a a= 0, keyin chiziq o'qga to'g'ri keladi OU. Y o'qi tenglamasi shaklga ega: X = 0.

3. LEKIN = 0 (DA¹ 0). Tenglama quyidagicha ko'rinadi: Vu + FROM= 0 yoki da = b, qayerda b= . Chiziq nuqtadan o'tadi DA(0; b), u o'qga parallel Oh. Raqam b o'qdagi to'g'ri chiziqni kesib tashlaydigan segmentning qiymati OU(2-rasm).

Guruch. 2

Agar b = 0 bo'lsa, to'g'ri chiziq Ox abscissa o'qiga to'g'ri keladi. Ox o'qi tenglamasi quyidagi shaklga ega: y \u003d 0.

O'qlardagi segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi tenglama bilan aniqlanadi:

Raqamlar qayerda a va b koordinata o'qlarida to'g'ri chiziq bilan kesilgan segmentlarning qiymatlari (3-rasm).

(X 0 ;da 0)normal vektorga perpendikulyar = {A; B), formula bilan aniqlanadi:

LEKIN(X – X 0) + DA(da – da 0) = 0.

Berilgan M nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi(X 0 ; da 0) yo'nalish vektoriga parallel = {l; m), shaklga ega:

Berilgan ikkita M nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi 1 (X 1 ; da 1) va M 2 (X 2 ; da 2) tenglama bilan aniqlanadi:

To'g'ri chiziqning qiyaligi k to'g'ri chiziqning o'qga moyillik burchagi tangensi deb ataladi Oh, u o'qning musbat yo'nalishidan to'g'ri chiziqqa soat miliga teskari yo'nalishda o'lchanadi, k= tana.

Nishab k bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi kabi ko'rinadi:

y = kx + b,

qayerda k= tana, b- eksa bo'yicha to'g'ri chiziq bilan kesilgan segmentning qiymati OU(4-rasm).

Berilgan M nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi(X 0 ;da 0)bu yo'nalishda(qiyalik k ma'lum), formula bilan aniqlanadi:

y - y 0 = k(X –X 0).

Berilgan M nuqtadan o'tuvchi chiziqlarning qalam tenglamasi(X 0 ;da 0) (qiyalik k noma'lum), formula bilan aniqlanadi:

y - y 0 = k(X –X 0).

Chiziqlarning kesishish nuqtasidan o'tadigan chiziqlar qalamining tenglamasi

LEKIN 1 X + DA 1 da + FROM 1 = 0 va LEKIN 2 X + DA 2 da + FROM 2 = 0, formula bilan aniqlanadi:

α( LEKIN 1 X + DA 1 da + FROM 1) + b( LEKIN 2 X + DA 2 da + FROM 2) = 0.

Burchak j, to'g'ri chiziqdan soat miliga teskari hisoblangan y = k 1 X + b 1 - to'g'ri y = k 2 X + b 2 formula bilan aniqlanadi (5-rasm):

Umumiy tenglamalar bilan berilgan chiziqlar uchun LEKIN 1 X + DA 1 da + FROM 1 = 0 va LEKIN 2 X + DA 2 da + FROM 2 = 0, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Ikki chiziq uchun parallellik sharti shaklga ega: k 1 = k 2 yoki .

Ikki chiziqning perpendikulyarlik sharti shaklga ega: yoki LEKIN 1 LEKIN 2 + DA 1 DA 2 = 0.

To'g'ri chiziqning normal tenglamasi shaklga ega:

x cos + y sina- p = 0,

qayerda p- boshdan to'g'ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar uzunligi, a - o'qning musbat yo'nalishiga perpendikulyarning moyillik burchagi. Oh(6-rasm).

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini berish Oh + Vu + FROM= 0 normal shaklga, siz uning barcha a'zolarini ko'paytirishingiz kerak normallashtiruvchi omil m= , erkin terminning teskari belgisi bilan olingan FROM.

M nuqtadan masofa(X 0 ;da 0)to'g'ri ah + Vu + FROM= 0 formula bilan aniqlanadi:

A to'g'ri chiziqlar orasidagi burchaklar bissektrisalari tenglamalari 1 X + DA 1 da + FROM 1 = 0 va LEKIN 2 X + DA 2 da + FROM 2 = 0 quyidagi shaklga ega:

4-misol. Uchburchakning uchlari berilgan ABC: LEKIN (–5; –7), DA (7; 2), FROM(–6; 8). Toping: 1) yon uzunligi AB; 2) yon tenglamalar AB va AC va ularning yon bag'irlari; 3) ichki burchak DA; 4) median tenglama AE; 5) tenglama va balandlik uzunligi CD; 6) bissektrisa tenglamasi AK; 7) nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi E yon tomonga parallel AB; 8) nuqta koordinatalari M nuqtaga simmetrik joylashgan LEKIN nisbatan tekis CD.

1. Masofa d ikki nuqta o'rtasida LEKIN(X 1 ; da 1) va DA(X 2 ; da 2) formula bilan aniqlanadi:

Yon tomonning uzunligini toping AB ikki nuqta orasidagi masofa sifatida LEKIN(-7; -8) va DA(8; –3):

2. Nuqtalardan o`tuvchi to`g`ri chiziq tenglamasi LEKIN(X 1 ; da 1) va DA(X 2 ;y 2) quyidagi shaklga ega:

Nuqta koordinatalarini almashtirish LEKIN va DA, yon tenglamani olamiz AB:

3(X+ 5) = 4(da+ 7); 3X– 4da– 13 = 0 (AB).

Nishabni topish uchun k AB To'g'riga ( AB) ga nisbatan olingan tenglamani yechamiz da:

4y= 3x– 13;

to'g'ri chiziq tenglamasi ( AB) burchak koeffitsienti bilan,

Xuddi shunday, nuqtalarning koordinatalarini almashtirish DA va FROM, biz to'g'ri chiziq tenglamasini olamiz ( Quyosh):

6X– 42 = –13da+ 26; 6x + 13y– 68 = 0 (Miloddan avvalgi).

To'g'ri chiziq tenglamasini yechamiz ( Quyosh)nisbatan da: .

3. Nishablari teng bo'lgan ikkita to'g'ri chiziq orasidagi j burchakning tangensi k 1 va k 2 formula bilan aniqlanadi:

Ichki burchak DA to'g'ri chiziqlar bilan hosil qilingan ( AB) va ( Quyosh), va bu to'g'ri chiziqni aylantirish kerak bo'lgan o'tkir burchak Quyosh musbat yo'nalishda (soat miliga teskari) to'g'ri chiziqqa to'g'ri kelguncha ( AB). Shuning uchun biz formulaga almashtiramiz k 1 = , k 2 = :

Ð DA= arctan = arctan 1,575 » 57,59°.

4. Median tenglamani topish ( AE), avval nuqtaning koordinatalarini aniqlaymiz E, bu tomonning o'rta nuqtasi Quyosh. Buning uchun biz segmentni ikkita teng qismga bo'lish formulalarini qo'llaymiz:

Demak, nuqta E koordinatalariga ega: E(0,5; 5).

Ikki nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasiga nuqtalar koordinatalarini qo'yish LEKIN va E, median tenglamani topamiz ( AE):

24X – 11da + 43 = 0 (AE).

5. Chunki balandlik CD yon tomonga perpendikulyar AB, keyin to'g'ri chiziq ( AB) chiziqqa perpendikulyar ( CD). Balandlikning qiyaligini topish uchun CD, Biz ikkita chiziqning perpendikulyarlik shartidan foydalanamiz:

Berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi M(X 0 ; da 0) berilgan yo'nalishda (qiyalik k ma'lum), ko'rinadi:

y 0 = k (x-x 0).

Oxirgi tenglamaga nuqtaning koordinatalarini qo'yish FROM(–6; 8) va , balandlik tenglamasini olamiz CD:

da – 8 = (X -(–6)), 3da – 24 = – 4X– 24, 4X + 3da = 0 (CD).

Nuqtadan masofa M(X 0 ; da 0) to'g'riga Ax + By + C = 0 formula bilan aniqlanadi:

Balandligi uzunligi CD nuqtadan masofa sifatida toping FROM(–6; 8) to‘g‘ri chiziqqa ( AB): 3X – 4da– 13. Formulaga kerakli qiymatlarni qo‘yib, uzunlikni topamiz CD:

6. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchaklar bissektorlari tenglamalari Axe + By + C= 0 va
LEKIN 1 x+B 1 y + C 1 = 0 formula bilan aniqlanadi:

Bissektrisa tenglamasi AK chiziqlar orasidagi burchaklar bissektrisalarining tenglamalaridan biri sifatida topamiz ( AB)va ( AC).

To'g'ri chiziq tenglamasini yozamiz ( AC) ikki nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi sifatida LEKIN(-5; -7) va FROM (–6; 8):

Oxirgi tenglamani o'zgartiramiz:

15(X+ 5) = – (da+ 7); 15x + y + 82 = 0 (AS).

dan koeffitsientlarni almashtirish umumiy tenglamalar bevosita ( AB)va ( AC), burchak bissektrisalari tenglamalarini olamiz:

Oxirgi tenglamani o'zgartiramiz:

; (3X – 4da– 13) = ± 5 (15 x + y + 82);

3 X - 4 da– 13 = ± (75 X +5da + 410).

Ikkita holatni ko'rib chiqing:

1) 3 X - 4 da – 13 = 75X +5da+ 410.y l AB.

Uchburchak ABC, balandligi CD, median AE, bissektrisa AK, To'g'riga l va nuqta M koordinatalar tizimida qurilgan Ohu(7-rasm).