Stokastik modellar qachon ishlatiladi? Stokastika asoslari. stokastik modellar. Belgilarni modellashtirishning muhim turi o'rganilayotgan turli ob'ektlar va hodisalar bir xil bo'lishi mumkinligiga asoslangan matematik modellashtirishdir.
MATEMATIK MODELLAR
2.1. Muammoni shakllantirish
Deterministik modellar jarayonlarini tasvirlab bering deterministik tizimlari.
Deterministik tizimlar kirish va chiqish signallari (jarayonlari) o'rtasidagi bir-biriga mos kelishi (nisbati) bilan tavsiflanadi.
Agar bunday tizimning kirish signali berilgan bo'lsa, uning xarakteristikasi y \u003d F (x), shuningdek uning boshlang'ich vaqtidagi holati ma'lum bo'lsa, tizimning istalgan vaqtda chiqishidagi signalning qiymati yagona aniqlanadi (2.1-rasm).
Mavjud ikkita yondashuv jismoniy tizimlarni o'rganish uchun: deterministik va stokastik.
Deterministik yondashuv fizik tizimning deterministik matematik modelini qo'llashga asoslangan.
Stokastik yondashuv fizik tizimning stokastik matematik modelidan foydalanishni nazarda tutadi.
Stokastik matematik model tashqi va ichki omillar ta'sirida ishlaydigan haqiqiy tizimdagi jismoniy jarayonlarni eng adekvat (ishonchli) aks ettiradi. tasodifiy omillar (shovqin).
2.2. Tasodifiy omillar (shovqin)
Ichki omillar −
1) elektron komponentlarning harorat va vaqt beqarorligi;
2) ta'minot kuchlanishining beqarorligi;
3) raqamli tizimlarda kvantlash shovqini;
4) asosiy zaryad tashuvchilarni hosil qilish va rekombinatsiya qilishning notekis jarayonlari natijasida yarimo'tkazgichli qurilmalardagi shovqin;
5) zaryad tashuvchilarning termal xaotik harakati tufayli o'tkazgichlarda termal shovqin;
6) tashuvchilar tomonidan potentsial to'siqni engib o'tish jarayonining tasodifiy tabiati tufayli yarimo'tkazgichlarda otish shovqini;
7) miltillash - elektron qurilmalar materiallarining alohida joylarining fizik-kimyoviy holatining sekin tasodifiy tebranishlari natijasida yuzaga keladigan shovqin va boshqalar.
Tashqi omillar –
1) tashqi elektr va magnit maydonlari;
2) elektromagnit bo'ronlar;
3) sanoat va transport ishiga aralashish;
4) tebranishlar;
5) kosmik nurlarning ta'siri, atrofdagi ob'ektlarning termal nurlanishi;
6) harorat, bosim, havo namligining o'zgarishi;
7) changli havo va boshqalar.
Tasodifiy omillarning ta'siri (mavjudligi) rasmda ko'rsatilgan vaziyatlardan biriga olib keladi. 2.2:
FROM 
Shuning uchun fizik tizimning deterministik tabiati va uni deterministik matematik model bilan tavsiflash haqidagi taxmin real tizimni ideallashtirish. Aslida, bizda rasmda tasvirlangan vaziyat mavjud. 2.3.
Deterministik modelga ruxsat beriladi quyidagi hollarda:
1) tasodifiy omillarning ta'siri shunchalik ahamiyatsizki, ularni e'tiborsiz qoldirish simulyatsiya natijalarining sezilarli buzilishiga olib kelmaydi.
2
)
deterministik matematik model real fizik jarayonlarni o'rtacha ma'noda aks ettiradi.
Simulyatsiya natijalarining yuqori aniqligi talab qilinmaydigan vazifalarda deterministik modelga ustunlik beriladi. Bu deterministik matematik modelni amalga oshirish va tahlil qilish stokastik modelga qaraganda ancha sodda ekanligi bilan izohlanadi.
Deterministik model qabul qilib bo'lmaydigan quyidagi vaziyatlarda: tasodifiy jarayonlar ō(t) deterministik x(t) ga mutanosib. Deterministik matematik model yordamida olingan natijalar real jarayonlarga mos kelmaydi. Bu radar tizimlari, hidoyat va boshqaruv tizimlariga tegishli. samolyot, aloqa tizimlari, televizor, navigatsiya tizimlari, zaif signallar bilan ishlaydigan har qanday tizimlar, elektron boshqaruv qurilmalarida, aniq o'lchash asboblarida va boshqalar.
Matematik modellashtirishda tasodifiy jarayon ko'pincha tasodifiy vaqt funktsiyasi sifatida qabul qilinadi, ularning lahzali qiymatlari tasodifiy o'zgaruvchilardir.
2.3. Stokastik modelning mohiyati
Stokastik matematik modellar to'plami tizimning kirishi va chiqishi o'rtasidagi ehtimollik munosabatlari. Ushbu model buni amalga oshirishga imkon beradi o'rganilayotgan jarayonning ba'zi ehtimollik xususiyatlari haqida statistik xulosalar y(t):
1) kutilgan qiymat (o'rtacha qiymati):
2) dispersiya(y(t) tasodifiy jarayon qiymatlarining o'rtacha qiymatiga nisbatan dispersiya o'lchovi):
3) standart og'ish:
(2.3)
4) korrelyatsiya funktsiyasi(t vaqt bo'yicha bir-biridan ajratilgan y (t) jarayonning qiymatlari o'rtasidagi bog'liqlik darajasini - korrelyatsiyani tavsiflaydi):
5) spektral zichlik tasodifiy jarayon y(t) uning chastota xususiyatlarini tavsiflaydi:
(2.5)
Furye konvertatsiyasi.
Stokastik model asosida shakllanadi stokastik differensial yoki stokastik farq tenglamasi.
Farqlash uch tur stokastik differentsial tenglamalar: tasodifiy parametrlar bilan, tasodifiy boshlang'ich shartlar bilan, tasodifiy kiritish jarayoni bilan (tasodifiy o'ng tomon). Keling, stokastikga misol keltiraylik differensial tenglama uchinchi tur:
,
(2.6)
qayerda 
– qo'shimcha tasodifiy jarayon - kirish shovqini.
Chiziqli bo'lmagan tizimlarda mavjud multiplikativ shovqinlar.
Stokastik modellarni tahlil qilish, ayniqsa, chiziqli bo'lmagan tizimlar uchun juda murakkab matematik apparatdan foydalanishni talab qiladi.
2.4. Tasodifiy jarayonning tipik modeli tushunchasi.Oddiy (Gauss) tasodifiy jarayon
Stokastik modelni ishlab chiqishda tasodifiy jarayonning xarakterini aniqlash muhim ahamiyatga ega 
. Tasodifiy jarayon taqsimot funktsiyalari to'plami (ketma-ketligi) bilan tavsiflanishi mumkin - bir o'lchovli, ikki o'lchovli, ... , n o'lchovli yoki mos keladigan ehtimollik taqsimot zichliklari. Aksariyat amaliy masalalarda ular bir o'lchovli va ikki o'lchovli taqsimot qonunlarini aniqlash bilan cheklanadi.
Ba'zi muammolarda taqsimotning tabiati 
a priori ma'lum.
Ko'p hollarda, qachon tasodifiy jarayon 
ko'p sonli mustaqil tasodifiy omillarning kombinatsiyasining jismoniy tizimiga ta'siri natijasidir, deb ishoniladi 
xossalariga ega normal (Gauss) taqsimot qonuni. Bunday holda, biz tasodifiy jarayon deb aytamiz 
u bilan almashtiriladi turi modeli Gauss tasodifiy jarayondir. bir o'lchovlitarqatish zichligiehtimolliklar normal (Gauss) tasodifiy jarayon shaklda ko'rsatilgan. 2.4.
Tasodifiy jarayonning normal (Gauss) taqsimoti mavjud quyidagi xususiyatlar .
1. Tabiatdagi tasodifiy jarayonlarning katta qismi normal (Gauss) taqsimot qonuniga bo'ysunadi.
2. Tasodifiy jarayonning normal tabiatini aniq aniqlash (isbotlash) imkoniyati.
3. Jismoniy tizimga tasodifiy omillar kombinatsiyasi ta'sirida ularning taqsimlanishining turli qonuniyatlari mavjud aniq ta'sir normal taqsimot qonuniga bo'ysunadi ( markaziy chegara teoremasi).
4. Chiziqli tizimdan o'tayotganda, normal jarayon boshqa tasodifiy jarayonlardan farqli o'laroq, o'z xususiyatlarini saqlab qoladi.
5. Gauss stokastik jarayonini ikkita xususiyat bilan to'liq tasvirlash mumkin - matematik kutish va dispersiya.
DA 
modellashtirish jarayonida muammo ko'pincha paydo bo'ladi - taqsimlanish xususiyatini aniqlang ba'zi tasodifiy o'zgarmaydigan x uning bir nechta o'lchovlari (kuzatishlari) natijalariga ko'ra 
. Buning uchun ular yaratadilar gistogramma- tasodifiy o'zgaruvchini o'lchash natijalariga ko'ra uning ehtimollik taqsimoti zichligini baholashga imkon beruvchi bosqichli grafik.
Gistogrammani qurishda tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari diapazoni 
ma'lum miqdordagi intervallarga bo'linadi, so'ngra har bir intervalga tushadigan ma'lumotlarning chastotasi (foiz) hisoblanadi. Shunday qilib, gistogramma har bir oraliqda tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini urish chastotasini ko'rsatadi. Agar tuzilgan gistogramma uzluksiz analitik funktsiya bilan yaqinlashtirilsa, u holda bu funktsiyani noma'lum nazariy ehtimollik taqsimot zichligining statistik bahosi sifatida ko'rish mumkin.
Shakllantirganda doimiy stokastik modellar tushunchasidan foydalaniladi "tasodifiy jarayon". Dasturchilar stokastik modellarning farqi tushunchasi bilan ishlaydi "tasodifiy ketma-ketlik".
Stokastik modellashtirish nazariyasida alohida rol o'ynaydi Markov tasodifiy ketma-ketliklar. Ular uchun shartli ehtimollik zichligi uchun quyidagi munosabat amal qiladi:
Bundan kelib chiqadiki, ehtimollik qonuni jarayonning vaqt momentidagi xatti-harakatlarini tavsiflaydi 
, faqat o'sha paytdagi jarayonning oldingi holatiga bog'liq 
va uning o'tmishdagi xatti-harakatlariga mutlaqo bog'liq emas (ya'ni, vaqt oralig'ida). 
).
Yuqorida sanab o'tilgan ichki va tashqi tasodifiy omillar (shovqin) turli sinflarning tasodifiy jarayonlaridir. Tasodifiy jarayonlarning boshqa misollari - suyuqlik va gazlarning turbulent oqimlari, ko'p sonli iste'molchilarni oziqlantiradigan energiya tizimining yukining o'zgarishi, radio signallarining tasodifiy susayishi sharoitida radio to'lqinlarining tarqalishi, koordinatalarning o'zgarishi. zarrachaning Braun harakati, uskunaning ishdan chiqishi jarayonlari, texnik xizmat ko'rsatish uchun arizalarni qabul qilish, radar kuzatuv tizimlarida ta'sirni belgilovchi kichik hajmli kolloid eritmadagi zarrachalar sonini taqsimlash, metall yuzasidan termion emissiya jarayoni va boshqalar. .
Stokastik differensial tenglama(SDE) - bir yoki bir nechta atamalar stokastik xususiyatga ega bo'lgan, ya'ni ular stokastik jarayonni ifodalovchi differentsial tenglama (boshqa nom tasodifiy jarayon). Shunday qilib, tenglamaning yechimlari ham stokastik jarayonlarga aylanadi. SDE ning eng mashhur va tez-tez qo'llaniladigan misoli oq shovqinni tavsiflovchi atama bilan tenglamadir (uni Wiener jarayonining hosilasi misoli sifatida ko'rib chiqish mumkin). Biroq, tasodifiy tebranishlarning boshqa turlari mavjud, masalan, sakrash jarayoni.
Hikoya
Adabiyotda SDE dan birinchi marta foydalanish an'anaviy ravishda Marian Smoluchovski (g.) va Albert Eynshteyn (g.) tomonidan mustaqil ravishda amalga oshirilgan Brownian harakatining tavsifi bo'yicha ish bilan bog'liq. Biroq, SDElar biroz oldinroq qo'llanilgan ( d.) frantsuz matematigi Lui Bushye o'zining "Taxminlar nazariyasi" doktorlik dissertatsiyasida. Ushbu ish g'oyalariga asoslanib, fransuz fizigi Pol Langevin fizika bo'yicha ishida SDEni qo'llashni boshladi. Keyinchalik u rus fizigi Ruslan Stratonovich bilan SDE uchun yanada qat'iy matematik asoslashni ishlab chiqdi.
Terminologiya
Fizikada SDE an'anaviy ravishda Langevin tenglamasi shaklida yoziladi. Va ko'pincha, to'liq aniq emas, Langevin tenglamasining o'zi deb ataladi, garchi SDE boshqa ko'plab usullar bilan yozilishi mumkin. Langevin tenglamasi ko'rinishidagi SDE oddiy stokastik bo'lmagan differentsial tenglama va oq shovqinni tavsiflovchi qo'shimcha qismdan iborat. Ikkinchi keng tarqalgan shakl Fokker-Plank tenglamasi bo'lib, u qisman differensial tenglama bo'lib, vaqt o'tishi bilan ehtimollik zichligi evolyutsiyasini tavsiflaydi. SDE ning uchinchi shakli matematika va moliyaviy matematikada ko'proq qo'llaniladi, u Langevin tenglamalariga o'xshaydi, lekin stokastik differensiallar yordamida yoziladi (quyida tafsilotlarga qarang).
Stokastik hisob
Mayli T > 0 (\displaystyle T>0), qo'yib yubor
m: R n × [ 0 , T ] → R n ; (\displaystyle \mu:\mathbb (R) ^(n)\times \to \mathbb (R) ^(n);) s: R n × [0, T] → R n × m; (\displaystyle \sigma:\mathbb (R) ^(n)\times \to \mathbb (R) ^(n\times m);) E[ | Z | 2]< + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}Keyin berilgan dastlabki shartlar uchun stokastik differensial tenglama
d X t = m (X t , t) d t + s (X t , t) d B t (\displaystyle \mathrm (d) X_(t)=\mu (X_(t),t)\,\mathrm (d) t+\sigma (X_(t),t)\,\mathrm (d) B_(t)) uchun t ∈ [ 0 , T ] ; (\displaystyle t\in;) X t \u003d Z; (\displaystyle X_(t)=Z;)noyob ("deyarli ehtimol" ma'nosida) ega va t (\displaystyle t)- uzluksiz yechim (t , ō) ∣ → X t (ō) (\displaystyle (t,\omega)\shortmid \!\to X_(t)(\omega)), shu kabi X (\displaystyle X)- filtrlash uchun moslashtirilgan jarayon F t Z (\displaystyle F_(t)^(Z)), hosil qilingan Z (\displaystyle Z) va B s (\displaystyle B_(lar)), s ≤ t (\displaystyle s\leq t), va
E [ ∫ 0 T | X t | 2dt]< + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} \left[\int \limits _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}Stokastik tenglamalarni qo'llash
Fizika
Fizikada SDE ko'pincha Langevin tenglamasi shaklida yoziladi. Masalan, birinchi darajali SDE tizimini quyidagicha yozish mumkin:
x ˙ i = d x i d t = f i (x) + ∑ m = 1 n g i m (x) ķ m (t) , (\displaystyle (\nuqta (x))_(i)=(\frac (dx_(i))( dt))=f_(i)(\mathbf (x))+\sum _(m=1)^(n)g_(i)^(m)(\mathbf (x))\eta _(m)( t))qayerda x = ( x i | 1 ≤ i ≤ k ) (\displaystyle \mathbf (x) =\(x_(i)|1\leq i\leq k\))- noma'lumlar to'plami; f i (\displaystyle f_(i)) va ixtiyoriy funksiyalardir, va ē m (\displaystyle \eta _(m)) vaqtning tasodifiy funktsiyalari bo'lib, ular ko'pincha shovqin atamalari deb ataladi. Bu belgi qo'llaniladi, chunki yangi noma'lumlarni kiritish orqali yuqori hosilalari bo'lgan tenglamani birinchi tartibli tenglamalar tizimiga aylantirishning standart texnikasi mavjud. Agar a g i (\displaystyle g_(i)) doimiylar bo'lsa, biz tizim qo'shimcha shovqinga duchor bo'lishini aytamiz. Biz, shuningdek, qachon multiplikativ shovqinli tizimlarni ko'rib chiqamiz g (x) ∝ x (\displaystyle g(x)\propto x). Ko'rib chiqilgan ikkita holatdan qo'shimcha shovqin oddiyroqdir. Qo'shimcha shovqinli tizimning echimini ko'pincha faqat standart hisoblash usullari yordamida topish mumkin. Xususan, noma'lum funktsiyalarni tuzishning odatiy usulidan foydalanish mumkin. Biroq, multiplikativ shovqin holatida Langevin tenglamasi oddiy matematik tahlil ma'nosida kam aniqlangan va Itô hisobi yoki Stratonovich hisobi nuqtai nazaridan talqin qilinishi kerak.
Fizikada SDElarni yechishning asosiy usuli ehtimollik zichligi ko’rinishidagi yechim topish va dastlabki tenglamani Fokker-Plank tenglamasiga aylantirishdir. Fokker-Plank tenglamasi stokastik hadlarsiz qisman differentsial tenglamadir. U ehtimollik zichligining vaqt evolyutsiyasini aniqlaydi, xuddi Shredinger tenglamasi kvant mexanikasida tizimning to'lqin funktsiyasining vaqtga bog'liqligini aniqlaydi yoki diffuziya tenglamasi kimyoviy konsentratsiyaning vaqt evolyutsiyasini belgilaydi. Yechimlarni, masalan, Monte-Karlo usulidan foydalangan holda, raqamli tarzda ham izlash mumkin. Yechimlarni topishning boshqa usullari yo'l integralidan foydalanadi, bu usul statistik fizika va kvant mexanikasi o'rtasidagi o'xshashlikka asoslanadi (masalan, Fokker-Plank tenglamasini o'zgaruvchilarning ba'zi transformatsiyasi yordamida Shredinger tenglamasiga aylantirish mumkin) yoki ehtimollik zichligi momentlari uchun oddiy differensial tenglamalar.
Havolalar
- Stokastik dunyo - stokastik differensial tenglamalarga oddiy kirish
Adabiyot
- Adomian, Jorj. Stokastik tizimlar (neopr.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. - (Fan va muhandislik sohasida matematika (169)).
- Adomian, Jorj. Nochiziqli stokastik operator tenglamalari (neopr.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986 yil.
- Adomian, Jorj. Nochiziqli stokastik tizimlar nazariyasi va fizikaga qo'llanilishi. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1989. - (Matematika va uning ilovalari (46)). (inglizcha)
Texnik tizimlarni tavsiflashning matematik sxemalari
Tizim modellarining umumiy tasnifi
Inson faoliyati maqsad qilingan hamma narsa deyiladi ob'ekt . Ob'ektlarni va shuning uchun ularning modellarini o'rganish jarayonida modellashtirish nazariyasining rolini aniqlab, ularning xilma-xilligidan mavhumlash va tabiatan har xil bo'lgan ob'ektlar modellariga xos bo'lgan umumiy xususiyatlarni ajratib ko'rsatish kerak. Ushbu yondashuv tizim modellarining umumiy tasnifining paydo bo'lishiga olib keldi.
Yaratilgan tizim modellari quyidagilarga bo'linadi:
· vaqt bo'yicha
* dinamik modellar: uzluksiz, ular differentsial tenglamalar bilan tavsiflanadi; diskret-uzluksiz (farq), farq tenglamalari bilan tavsiflanadi; probabilistik, voqealarga asoslangan - navbat nazariyasi modellari;
* diskret modellar - avtomatlar;
· tasodifan:
* deterministik - tasodifiy ta'sirlar bo'lmagan jarayonlarni aks ettiruvchi modellar;
* stoxastik - ehtimollik jarayonlari va hodisalarini aks ettiruvchi modellar;
· tayinlash orqali:
· qayta ishlangan ma'lumotlar turi bo'yicha:
* ma'lumot: - ma'lumotnoma va ma'lumot;
Ma'lumot va maslahatlar;
Mutaxassis;
Avtomatik;
* jismoniy modellar: - tabiiy (plazma);
Yarim tabiiy (shamol tunnellari);
* simulyatsiya modellari;
* aqlli modellar;
* semantik (mantiqiy) modellar;
Keling, matematik sxemalarning asosiy turlarini ko'rib chiqishga o'tamiz.
1.3.1. Uzluksiz deterministik modellar (D - sxemalar)
Bunday turdagi matematik sxemalar aks ettiradi dinamikasi tizimda o'z vaqtida sodir bo'ladigan jarayonlar. Shuning uchun ular chaqiriladi D-sxemalar. Dinamik tizimlarning alohida holati avtomatik boshqaruv tizimlari.
Chiziqli avtomatik tizim shaklning chiziqli differentsial tenglamasi bilan tavsiflanadi
qayerda x(t)- tizimning harakat yoki kirish o'zgaruvchisini o'rnatish; y(t)- tizim holati yoki chiqish o'zgaruvchisi; - koeffitsientlar; t- vaqt.
1-rasmda avtomatik boshqaruv tizimining kattalashtirilgan funktsional diagrammasi ko'rsatilgan, bu erda xato signali; - nazorat harakati; f(t)- bezovta qiluvchi ta'sir. Ushbu tizim salbiy teskari aloqa printsipiga asoslanadi, chunki chiqish o'zgaruvchisini kamaytirish uchun y(t) uning berilgan qiymatiga, ular orasidagi og'ish haqidagi ma'lumotlardan foydalaniladi. Unga ko‘ra, blok-sxema va matematik modelni uzatish funksiyasi ko‘rinishida yoki differensial tenglama (1.1) ko‘rinishida ishlab chiqish mumkin bo‘ladi, bunda soddaligi uchun qo‘llanish nuqtalari nazarda tutiladi. bezovta qiluvchi ta'sirlar tizim kiritishiga to'g'ri keladi.
1.1-rasm. Avtomatik boshqaruv tizimining tuzilishi
Uzluksiz deterministik sxemalar (D-sxema) analog kompyuterlarda (ACM) bajariladi.
1.3.2. Diskret-deterministik modellar (F - sxemalar)
Diskret-deterministik modellarning asosiy turi hisoblanadi oxirgi mashina.
davlat mashinasi kirish signallari ta'sirida bir holatdan ikkinchi holatga o'tishga va chiqishda signallarni hosil qilishga qodir bo'lgan diskret axborot konvertori deb ataladi. Bu avtomatik xotira bilan. Xotirani, avtomat vaqtini va kontseptsiyani tashkil qilish mashinaning holati.
tushunchasi " holat" avtomat degani, avtomatning chiqish signali faqat ma'lum bir vaqtda kirish signallariga bog'liq emas, balki undan oldin keladigan kirish signallarini ham hisobga olishni anglatadi. Bu vaqtni aniq o'zgaruvchi sifatida yo'q qilish va natijalarni holatlar va kirishlar funktsiyasi sifatida ifodalash imkonini beradi.
Avtomatning har qanday holatdan ikkinchisiga o'tishi diskret vaqt oralig'idan keyin mumkin emas. Bundan tashqari, o'tishning o'zi bir zumda sodir bo'ladi deb hisoblanadi, ya'ni haqiqiy zanjirlardagi vaqtinchalik jarayonlar hisobga olinmaydi.
Avtomat vaqtini joriy etishning ikki yo'li mavjud, unga ko'ra avtomatlar bo'linadi sinxron va asinxron.
DA sinxron Avtomatlarda avtomat holatidagi o'zgarishlar qayd qilinadigan vaqt momentlari maxsus qurilma - taktli signal generatori tomonidan o'rnatiladi. Bundan tashqari, signallar teng vaqt oralig'ida keladi - . Soat generatorining chastotasi shunday tanlanganki, avtomatning har qanday elementi keyingi impuls paydo bo'lishidan oldin o'z ishini yakunlash uchun vaqt topadi.
DA asinxron Avtomatda avtomatning bir holatdan ikkinchi holatga o'tish momentlari oldindan belgilanmagan va aniq hodisalarga bog'liq. Bunday avtomatlarda diskretlik oralig'i o'zgaruvchan bo'ladi.
Shuningdek bor deterministik va ehtimollik avtomatlar.
DA deterministik avtomatlar, har bir daqiqada avtomatning xatti-harakati va tuzilishi joriy kirish ma'lumotlari va avtomatning holati bilan noyob tarzda aniqlanadi.
DA ehtimollik avtomatlar, ular tasodifiy tanlovga bog'liq.
Mavhum ravishda, chekli avtomat olti turdagi o'zgaruvchilar va funktsiyalar bilan tavsiflangan matematik sxema (F - sxema) sifatida ifodalanishi mumkin:
1) chekli to'plam x(t) kirish signallari (kirish alifbosi);
2) chekli to‘plam y(t) chiqish signallari (chiqish alifbosi);
3) chekli to‘plam z(t) ichki davlatlar (shtatlar alifbosi);
4) avtomatning dastlabki holati z0 , ;
5) avtomatning bir holatdan ikkinchi holatga o‘tish funksiyasi;
6) mashinaning chiqishlarining vazifasi.
Mavhum chekli avtomat bitta kirish va bitta chiqishga ega. Vaqtning har bir diskret daqiqasida t=0,1,2,... F - mashina ma'lum bir holatda z(t) ko'pchilikdan Z– avtomatning holati va vaqtning dastlabki momentida t=0 u har doim o'zining dastlabki holatida bo'ladi z(0)=z0. Ayni damda t, qodir bo'lish z(t), avtomat kirish kanalidagi signalni idrok eta oladi va holatga o'tib, chiqish kanalida signal beradi.
Mavhum chekli avtomat kirish alifbosidagi so'zlar to'plamining ba'zi xaritalarini amalga oshiradi. X chiqish alifbosidagi so'zlar to'plamiga Y, ya'ni chekli holat mashinasining kirishi boshlang'ich holatga o'rnatilgan bo'lsa z0, kirish so'zini tashkil etuvchi kirish alifbosining harflarini qandaydir ketma-ketlikda bering, keyin avtomatning chiqishida ketma-ket chiqish so'zini tashkil etuvchi chiqish alifbosining harflari paydo bo'ladi.
Shuning uchun chekli avtomatning ishlashi quyidagi sxema bo'yicha sodir bo'ladi: har birida t– th sikl holatida bo'lgan avtomatning kirishiga z(t), ba'zi signal beriladi x(t), unga avtomat o'tish orqali reaksiyaga kirishadi (t+1)– yangi holatga ohm takt z(t+1) va ba'zi chiqish signalini beradi.
Chiqish signalining aniqlanishiga qarab, sinxron mavhum chekli holat mashinalari ikki turga bo'linadi:
F - birinchi turdagi avtomat, uni ham deyiladi Mili mashina :
F - ikkinchi turdagi avtomat:
Ikkinchi turdagi avtomat, buning uchun
chaqirdi Mur mashinasi - chiqishlarning funktsiyasi kirish o'zgaruvchisiga bog'liq emas x(t).
Cheklangan F-avtomatini o'rnatish uchun to'plamning barcha elementlarini tavsiflash kerak.
F - avtomatlarning ishini o'rnatishning bir necha usullari mavjud, ular orasida jadvalli, grafik va matritsali eng ko'p qo'llaniladi.
1.3.3. Diskret-uzluksiz modellar
Chiziqli impulsli va raqamli avtomatik boshqaruv tizimlaridagi jarayonlar quyidagi shakldagi diskret-farq tenglamalari bilan tavsiflanadi:
qayerda x(n) kirish signalining panjara funksiyasidir; y(n)(1.2) tenglama yechimi bilan aniqlanadigan chiqish signalining panjara funksiyasi; b k doimiy koeffitsientlar; - farq uchun- tartib; t=nT, qayerda nt – n– vaqtning th nuqtasi T diskret davr (1.2 ifodada shartli ravishda birlik sifatida qabul qilinadi).
(1.2) tenglama boshqa shaklda ifodalanishi mumkin:
(1.3) tenglama har qanday hisoblash imkonini beruvchi rekursiv munosabatdir (i+1)- oldingi a'zolarining qiymatlari bo'yicha ketma-ketlikning a'zosi i,i-1,... va ma'nosi x(i+1).
Raqamli avtomatik tizimlarni modellashtirishning asosiy matematik apparati diskret Laplas transformatsiyasiga asoslangan Z-transformatsiyasidir. Buning uchun tizimning impuls uzatish funksiyasini topish, kirish o'zgaruvchisini o'rnatish kerak va tizim parametrlarini o'zgartirish orqali siz loyihalashtirilayotgan tizimning eng yaxshi versiyasini topishingiz mumkin.
1.3.4. Diskret - stokastik modellar (P - sxemalar)
Diskret-stokastik model o'z ichiga oladi ehtimolli avtomat. Umuman olganda, ehtimollik avtomati xotiraga ega bo'lgan diskret bosqichma-bosqich axborot konvertori bo'lib, uning har bir siklda ishlashi faqat undagi xotira holatiga bog'liq va statistik jihatdan tavsiflanishi mumkin. Avtomatning harakati tasodifiy tanlovga bog'liq.
Ehtimoliy avtomatlarning sxemalaridan foydalanish statistik muntazam tasodifiy xatti-harakatlar namoyon bo'ladigan diskret tizimlarni loyihalash uchun muhimdir.
P-avtomat uchun F-avtomatiga o'xshash matematik tushuncha kiritilgan. Elementlari barcha mumkin bo'lgan juftliklar bo'lgan G to'plamini ko'rib chiqaylik (x i, z s), qayerda x i va z s kichik to'plam elementlarini kiritish X va shtatlarning kichik to'plamlari Z mos ravishda. Agar shunday ikkita funktsiya mavjud bo'lsa va qaysi xarita va , u holda ular deterministik turdagi avtomatni aniqlaydi, deyishadi.
Ehtimoliy avtomatning o'tish funktsiyasi bitta aniq holatni emas, balki bir qator holatlar bo'yicha ehtimollik taqsimotini aniqlaydi.
(tasodifiy o'tishli avtomat). Chiqish funktsiyasi, shuningdek, chiqish signallari to'plamidagi ehtimollik taqsimoti (tasodifiy chiqishlari bo'lgan avtomat).
Ehtimoliy avtomatni tavsiflash uchun biz umumiyroq matematik sxemani kiritamiz. Formaning barcha mumkin bo‘lgan juftliklari to‘plami P bo‘lsin (z k, y j), qayerda y j chiqish kichik to‘plamining elementi hisoblanadi Y. Keyinchalik, biz to'plamning istalgan elementini talab qilamiz G to'plamda induktsiya qilingan p quyidagi shakldagi taqsimot qonuni:
f dan elementlar ...
avtomatning holatga o'tish ehtimoli qayerda z k va chiqishda signal paydo bo'lishi y j agar u qodir bo'lsa z s va bu vaqtda uning kirishida signal qabul qilindi x i.
Jadvallar ko'rinishida berilgan bunday taqsimotlar soni G to'plamining elementlari soniga teng. Agar ushbu jadvallar to'plamini B bilan belgilasak, u holda to'rtta element deyiladi. ehtimolli avtomat (P - avtomatik). Qayerda.
P-avtomatning maxsus holati, avtomatlar sifatida tavsiflanadi, bunda yangi holatga o'tish yoki chiqish signali deterministik tarzda aniqlanadi ( Z - deterministik ehtimolli avtomat, Y - deterministik ehtimolli avtomat mos ravishda).
Shubhasiz, matematik apparat nuqtai nazaridan, Y - deterministik P - avtomatining tayinlanishi cheklangan holatlar to'plamiga ega bo'lgan ba'zi Markov zanjirining tayinlanishiga tengdir. Shu munosabat bilan, analitik hisob-kitoblar uchun P-sxemalaridan foydalanganda Markov zanjirlarining apparati asosiy hisoblanadi. Shunga o'xshash P-avtomatlar tizimlarning ishlash jarayonlarini yoki atrof-muhit ta'sirini qurishda Markov ketma-ketliklarining generatorlaridan foydalanadilar.
Markov ketma-ketligi, Markov teoremasiga ko'ra, tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi ifodalanadi
bu erda N - mustaqil testlar soni; D-- dispersiya.
Bunday P-avtomatlar (P-sxemalar) statistik modellashtirish usullaridan foydalangan holda analitik modellar uchun ham, simulyatsiya modellari uchun ham o'rganilayotgan tizimlarning turli xususiyatlarini baholash uchun ishlatilishi mumkin.
Y - deterministik P-avtomatni ikkita jadval bilan ko'rsatish mumkin: o'tishlar (1.1-jadval) va chiqishlar (1.2-jadval).
1.1-jadval
Bu erda P ij - P-avtomatning z i holatdan z j holatiga o'tish ehtimoli, shu bilan birga.
1.1-jadvalni o'lchamli kvadrat matritsasi sifatida ko'rsatish mumkin. Biz bunday stolni chaqiramiz o'tish ehtimoli matritsasi yoki oddiygina P-avtomatning o'tish matritsasi, bu ixcham shaklda ifodalanishi mumkin:
Y-deterministik P-avtomatini tavsiflash uchun shaklning dastlabki ehtimollik taqsimotini belgilash kerak:
| Z... | z1 | z2 | ... | z k-1 | z k |
| D... | d1 | d2 | ... | dk-1 | dk |
Bu yerda d k - ish boshida P-avtomatning z k holatida bo'lish ehtimoli.
Shunday qilib, ish boshlanishidan oldin, P-avtomat z 0 holatda bo'ladi va boshlang'ich (nol) vaqt bosqichida D taqsimotiga muvofiq holatni o'zgartiradi. Shundan so'ng, P-avtomatning holati o'zgaradi. avtomat P o'tish matritsasi bilan aniqlanadi. z 0 ni hisobga olgan holda, matritsaning o'lchamini R r ga oshirish kerak, shu bilan birga matritsaning birinchi qatori bo'ladi. (d 0 ,d 1 ,d 2 ,...,dk), va birinchi ustun null bo'ladi.
Misol. Y-deterministik P-avtomat o'tish jadvali bilan berilgan:
1.3-jadval
va chiqish jadvali
1.4-jadval
| Z | z0 | z1 | z2 | z3 | z4 |
| Y |
1.3-jadvalni hisobga olgan holda, ehtimolli avtomatning o'tishlari grafigi 1.2-rasmda ko'rsatilgan.
Ushbu avtomatning z 2 va z 3 holatida bo'lgan umumiy yakuniy ehtimolliklarini baholash talab qilinadi, ya'ni. mashinaning chiqishida birliklar paydo bo'lganda.
Guruch. 1.2. O'tish grafigi
Analitik yondashuv bilan Markov zanjirlari nazariyasidan ma'lum munosabatlardan foydalanish va yakuniy ehtimollarni aniqlash uchun tenglamalar tizimini olish mumkin. Bundan tashqari, dastlabki holatni e'tiborsiz qoldirish mumkin, chunki dastlabki taqsimot yakuniy ehtimollik qiymatlariga ta'sir qilmaydi. Keyin 1.3-jadval quyidagi shaklni oladi:
Y-deterministik P-avtomatning holatda bo'lishining yakuniy ehtimolligi qayerda z k.
Natijada biz tenglamalar tizimini olamiz:
Ushbu tizimga normalizatsiya sharti qo'shilishi kerak:
Endi (1.4) tenglamalar tizimini (1.5) bilan birgalikda yechib, biz quyidagilarga erishamiz:
Shunday qilib, berilgan avtomatning cheksiz ishlashi bilan uning chiqishida bitta yuzaga kelish ehtimoli bo'lgan ikkilik ketma-ketlik hosil bo'ladi: .
P-sxemalar ko'rinishidagi analitik modellarga qo'shimcha ravishda, simulyatsiya modellaridan ham foydalanish mumkin, masalan, statistik modellashtirish usuli bilan amalga oshiriladi.
1.3.5. Uzluksiz-stokastik modellar (Q-sxemalari)
Biz bunday modellarni navbat tizimlarini odatiy matematik sxemalar sifatida ishlatish misolida ko'rib chiqamiz. Q - sxemalar . Bunday Q-sxemalar tizimlarning ishlash jarayonlarini rasmiylashtirishda qo'llaniladi, ular mohiyatiga ko'ra jarayonlardir. xizmat.
Kimga xizmat ko'rsatish jarayonlari quyidagilarni o'z ichiga oladi: ayrim korxonalarga mahsulot yetkazib berish oqimlari, ustaxona konveyeridagi qismlar va butlovchi qismlar oqimi, masofaviy kompyuter tarmog'i terminallaridan kompyuter ma'lumotlarini qayta ishlash uchun so'rovlar. Bunday tizimlar yoki tarmoqlarning ishlashi uchun xarakterli xususiyat xizmat so'rovlarining tasodifiy ko'rinishidir. Bundan tashqari, har qanday elementar xizmat aktida ikkita asosiy komponentni ajratish mumkin: xizmatni kutish va aslida dasturning o'ziga xizmat ko'rsatish jarayoni. Uni bir vaqtning o'zida ilovalar bo'lishi mumkin bo'lgan N i so'rovlar akkumulyatoridan iborat P i (1.3-rasm) qandaydir i-xizmat qurilmasi ko'rinishida tasvirlaymiz; K i – ilovalarga xizmat ko‘rsatish kanali.
Qurilmaning har bir elementi P i hodisalar oqimlarini oladi, so'rovlar oqimi H i akkumulyatorga kiradi va xizmat oqimi VA i kanali K i ga kiradi.
1.3-rasm. Xizmat ko'rsatish qurilmasi
Voqea oqimlari bo'lishi mumkin bir hil, agar u faqat ushbu hodisalarning kelishi ketma-ketligi bilan tavsiflangan bo'lsa (), yoki heterojen, agar u hodisa atributlari to'plami bilan tavsiflangan bo'lsa, masalan, bunday atributlar to'plami: so'rovlar manbai, ustuvorlikning mavjudligi, u yoki bu turdagi kanallar tomonidan xizmat ko'rsatish imkoniyati va boshqalar.
Odatda, K i kanaliga nisbatan turli tizimlarni modellashtirishda, K i kirishidagi so‘rovlar oqimi boshqarilmaydigan o‘zgaruvchilar to‘plamini, xizmat oqimi esa VA i boshqariladigan o‘zgaruvchilar to‘plamini tashkil qiladi, deb taxmin qilish mumkin.
Turli sabablarga ko'ra K i kanali tomonidan xizmat ko'rsatilmaydigan so'rovlar Y i chiqish oqimini tashkil qiladi.
Ushbu modellarni optimal stokastik modellar deb tasniflash mumkin.
Ko'pgina hollarda, modelni qurishda barcha shartlar oldindan ma'lum emas. Bu erda modelni topish samaradorligi uchta omilga bog'liq bo'ladi:
Shartlarni belgilang x 1 , x 2 ,..., x n;
noma'lum sharoitlar y 1 ,y 2 ,...,y k;
Bizning nazoratimiz ostidagi omillar va 1 , va 2 ,..., va m , topiladi.
Bunday muammoni hal qilish uchun samaradorlik ko'rsatkichi quyidagi shaklga ega:
Noma'lum omillarning mavjudligi y i optimallashtirish muammosini noaniqlik sharoitida yechim tanlash muammosiga aylantiradi. Vazifa nihoyatda qiyinlashadi.
Vazifa, ayniqsa, miqdorlar bo'lgan holatlar uchun murakkab y i statistik barqarorlikka, ya'ni noma'lum omillarga ega emas y i statistik usullar yordamida o‘rganib bo‘lmaydi. Ularning taqsimot qonunlarini yoki olish mumkin emas yoki umuman mavjud emas.
Bunday hollarda Y ning mumkin bo'lgan qiymatlari kombinatsiyasi o'zgaruvchan qiymatlarning "eng yaxshi" va "eng yomon" kombinatsiyalarini olish uchun ko'rib chiqiladi. y i.
Keyin optimallashtirish mezoni sifatida ko'rib chiqiladi.
Stoxastik modellar tasodifiy jarayonlar yoki vaziyatlarni tasvirlaydi, shu bilan birga ma'lum hodisalarning tasodifiyligi ehtimollik nuqtai nazaridan ifodalanishi tushuniladi. Deterministik modellar singari, stokastik modellar ham diskret va uzluksiz bo'lishi mumkin.
Uzluksiz stokastik modellar
bilan tavsiflangan tizimlarning rasmiylashtirilgan tavsifining asosiy sxemasi
1) vaqt o'zgarishining uzluksiz tabiati va
2) xatti-harakatlarda tasodifiylikning mavjudligi,
navbat tizimlarining apparati bo'lib xizmat qiladi. Ya'ni, bu xizmat ko'rsatish jarayonlari bo'lgan tizimlarning ishlash jarayonlarini rasmiylashtirish uchun mo'ljallangan matematik sxemalar rejasidir. Aynan shunday tizimlar uchun operatsiyaning stokastik tabiati (xizmat so'rovlarining tasodifiy paydo bo'lishi), xizmatning tasodifiy vaqtda tugallanishi, so'rovlarning kirish va chiqish oqimining mavjudligi, xizmat ko'rsatish qurilmalarining mavjudligi, hodisalar oqimi, mavjudligi xizmat ko'rsatish uchun navbat, xizmat ko'rsatishning ma'lum tartibini belgilash va boshqalar.
Ushbu turdagi modellarning tavsifidan ko'rinib turibdiki, uzluksiz stokastik modellar bizga mos kelmaydi.
Diskret stokastik modellar
Ushbu turdagi model quyidagi xususiyatlarga ega bo'lgan ob'ektlar uchun javob beradi:
ulardagi vaqt diskretdir
ular statik muntazam tasodifiy xatti-harakatni namoyon qiladi.
Ushbu ta'rifga ko'ra, bizning modelimiz diskret stokastik modellarning tavsifiga to'liq mos keladi: shartga ko'ra, bizning vaqtimiz diskretdir va biz modelda tasodifiylik bor degan xulosaga keldik. Ushbu turdagi tizimlarning modellari ikkita rasmiylashtirilgan tavsif sxemasi asosida tuzilishi mumkin:
O'zgaruvchilar orasida tasodifiy jarayonlarni aniqlaydigan funktsiyalar mavjud bo'lgan chekli farqli tenglamalar
Ehtimoliy avtomatlar
"Ehtimoliy avtomat - bu bir nechta holatga ega bo'lgan diskret ma'lumot konvertori bo'lib, uning har bir tsiklda ishlashi faqat undagi xotira holatiga bog'liq va statik ravishda tavsiflanishi mumkin" 3
Ehtimoliy avtomatlarni tayinlash jadvallar yoki grafiklar yordamida amalga oshiriladi, ammo ulardan amalda foydalanish faqat kompyuterda simulyatsiya modelini amalga oshirish orqali mumkin (analitik hisob-kitoblar ham mumkin bo'lgan kichik va oddiy modellar bundan mustasno).
Keling, modelimizga ehtimolli avtomatlarni qo'llash imkoniyatini tekshirib ko'raylik:
Bizning modelimizda tasodifiylik mavjud, ammo taqsimot qonunini hisoblash mumkinmi?
1. Tasodifiy narx bo'lsa?
Ha, bu yagona taqsimot va narxni aniqlashda barcha shtatlarning ehtimoli teng.
Sotilmagan mahsulotlarni tasodifiy taqsimlashda?
Bu yana bir xil taqsimot va ehtimolliklarni topish mumkin.
Keling, tizim qanday kirish holatlarini olishi mumkinligini ko'rib chiqaylik... Bunday holatlar cheksiz ko'p ekanligi ma'lum bo'ldi, shuning uchun ehtimollik avtomatini qurish mumkin emas. Agar mahsulot hajmi bo'yicha cheklovlar mavjud bo'lsa-chi? Ushbu to'plam chekli bo'ladi va ehtimollik avtomatini qurish mumkin, ammo natijada olingan model, tizim deterministik degan taxminda bo'lgani kabi, haqiqatni yomon aks ettiradi. Shuning uchun biz ehtimollik avtomatini qurishdan voz kechamiz.
Formallashtirilgan tavsifning diskret-stokastik sxemasi bo'lsa, masalani chekli farqli tenglamalar yordamida hal qilish eng qulay echimdir.
Hozirgacha biz deterministik tarmoq topologiyasiga ega modellarni ko'rib chiqdik. Murakkab loyihani modellashtirishda stokastik tuzilishga ega tarmoq modellari ko'pincha eng moslashuvchan va foydali hisoblanadi. Stokastik tarmoq muqobil tugunlarni (holatlarni) o'z ichiga olgan tarmoq sifatida ta'riflanadi, yoylar (ishlar) esa nafaqat davomiylik ehtimoli taqsimoti, balki ularning bajarilishi ehtimoli bilan ham tavsiflanadi.
Ko'p mumkin bo'lgan natijalarga ega bo'lgan stokastik tarmoq modeli an'anaviy tarmoqlarning keyingi rivojlanishi bo'lib, murakkab loyihani ishlab chiqish va yaratish jarayonini to'liqroq aks ettirish imkonini beradi. Stoxastik tarmoq modellarini tahlil qilish uchun ishlatiladigan matematik apparat turli xil muqobil natijalar ehtimolini hisoblash va ularni amalga oshirish vaqtini taxmin qilish imkonini beradi.
Stokastik tarmoq modeli chekli grafik G=(W,A) bo‘lib, bu yerda W hodisalar bilan aniqlangan deterministik va muqobil cho‘qqilar to‘plamidir va texnologik matritsa A=(p ij) ishlar bilan aniqlangan yo‘naltirilgan yoylar to‘plamini belgilaydi ( yoki ulanishlar). Stokastik tarmoqlar uchun 0 £ p ij £ 1 va p ij =1 an'anaviy tarmoqlarda qabul qilingan ta'riflarga o'xshash ishni (i, j) belgilaydi va
0 < p ij < 1 соответствует альтернативному событию i, из которого с вероятностью p ij «выходит» работа (i,j). Другими словами p ij – вероятность того, что работа (i,j) будет выполнена при условии, что узел i выполнен.
j(t ij) ishning bajarilish vaqtining taqsimlanish zichligi (i,j) bo'lsin. M[x] - x tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi.
Tasodifiy t ij momentlarining shartli hosil qiluvchi funksiyasi M ij (s)=M[e st ij ] shaklida kiritiladi, yaʼni.
M ij (s)= ò e st ij j(t ij)dt ij (uzluksiz tasodifiy miqdor uchun),
e st ij j(t ij) (diskret tasodifiy miqdor uchun).
Xususan, M ij (s)=M[e sa ] = e sa at t ij =a=const, M ij (0)=1.
Har bir yoy (i,j) uchun Y-funksiya quyidagicha aniqlanadi
Y ij (s) = p ij M ij (s).
Asl tarmoq uchta asosiy transformatsiya yordamida ekvivalent tarmoqqa aylantiriladi:
ketma-ket yoylar,
Parallel yoylar
Ketma-ket yoylar uchun (7-rasm)
Y ik (s) = Y ij (s) Y jk (s).
Parallel yoylar uchun (8-rasm)
Y ij (s) = Y a (s) + Y b (s).
Ko'rish halqalari uchun (9-rasm)
Y ij (s) = Y b (s)/.
Asosiy transformatsiyalarni birlashtirib, har qanday tarmoq bitta yoydan (E-arc) iborat ekvivalent tarmoqqa aylantirilishi mumkin.
Stoxastik tarmoqning vaqt tahlilining maqsadi tarmoqning (yoki uning biron bir qismining) bajarilish vaqtining matematik kutilishi va dispersiyasini va tarmoqning yakuniy (yoki boshqa har qanday hodisani) amalga oshirish ehtimolini hisoblashdir.
Bu erda yopiq oqim grafiklari nazariyasi qo'llaniladi, bu erda yuqorida kiritilgan Y-funktsiya mos keladigan yoy o'tkazuvchanligi sifatida talqin qilinadi. Ushbu nazariyaning natijalarini kerakli parametr Y E (s) bilan ochiq tarmoqqa qo'llash uchun Y A (s) parametriga ega bo'lgan qo'shimcha yoy kiritiladi, bu yakuniy hodisani (cho'kish) dastlabki (manba) bilan bog'laydi.
Keyin Mason qoidasi deb nomlanuvchi yopiq grafiklar uchun quyidagi shakldagi topologik tenglama qo'llaniladi:
1 – åT(L 1) + åT(L 2) – åT(L 3) +…+ (-1) m åT(L m) + … =0, (10)
Bu erda åT(L m) - m-tartibdagi barcha mumkin bo'lgan tsikllar uchun ekvivalent o'tkazuvchanliklarning yig'indisi.
m-tartibli sikl uchun ekvivalent o'tkazuvchanlik m o'tkazuvchanlik ko'paytmasiga teng. bog'liq bo'lmagan birinchi tartibli ilmoqlar, ya'ni.
T(L m)=Õ m k=1 T k.
To'g'ridan-to'g'ri Meyson qoidasidan kelib chiqadiki, 1–Y A (s)Y E (s)=0 yoki Y A (s)=1/Y E (s). Ushbu natijadan foydalanib, topologik tenglamada (10) Y A (s) 1/Y E (s) ga almashtiriladi va keyin u Y E (s) ga nisbatan echiladi va shu bilan dastlabki stokastik tarmoq uchun ekvivalent Y-funksiya olinadi.
Y E (s) \u003d p E M E (s) va M E (0) \u003d 1 bo'lgani uchun, p E \u003d Y E (0), bu shuni anglatadiki
M E (s)= Y E (s)/p E = Y E (s) / Y E (0). (o'n bir)
M E (s) uchun analitik ifodani olgandan so'ng, s=0 nuqtada M E (s) funktsiyasining s ga nisbatan birinchi va ikkinchi qisman hosilalarini hisoblang, ya'ni.
m 1E =¶/¶s[M E (s)] s=0 (12)
m 2E =¶ 2 /¶s 2 [M E (s)] s=0 (13)
Kelib chiqishiga nisbatan birinchi moment m 1E tarmoqning bajarilish vaqtining matematik kutilishi (uning ekvivalenti E-yoyiga aylantirilgan) va tarmoqni bajarish vaqtining dispersiyasi ikkinchi moment m 2E va kvadrat o'rtasidagi farqga teng. birinchisidan, ya'ni.
s 2 \u003d m 2E - (m 1E) 2. (o'n to'rt)
Shunday qilib, yuqorida tavsiflangan apparat foydalanuvchini qiziqtiradigan stokastik tarmoqning har qanday hodisalarining vaqt parametrlarini hisoblash, shuningdek, ularning paydo bo'lish ehtimolini aniqlash imkonini beradi.
Olingan ma'lumotlardan foydalanib, Chebyshev tengsizligidan foydalanib, individual operatsiyalarni bajarish uchun o'zboshimchalik bilan taqsimlash qonunlari loyihasini yakunlash uchun har qanday ishonch oraliqlari ehtimolini taxmin qilish mumkin. Har bir operatsiyani bajarish vaqti normal taqsimlangan bo'lsa, natijada olingan vaqt ham normal taqsimlanadi. Bunday holda, Moivre-Laplas integral teoremasi yordamida loyihani bajarish vaqtining ehtimollik baholarini olish mumkin. Bundan tashqari, tarmoqdagi ish joylarining etarlicha ko'pligi va ma'lum shartlarning bajarilishi (xususan, ishlarning mustaqilligi) bilan biz Lyapunov chegara teoremasidan foydalanishimiz va natijada loyihani bajarish vaqtini normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi sifatida ko'rib chiqishimiz mumkin. yuqorida tavsiflangan usul bilan hisoblangan xususiyatlar.
Shunday qilib, stokastik tarmoq modeli to'g'ridan-to'g'ri har bir alohida ishni bajarish jarayonida yuzaga keladigan barcha tasodifiy og'ishlar va noaniqlikni o'z ichiga oladi.
3.4. Loyihani boshqarishda ishlarni rejalashtirish vazifasining umumiy bayonini rasmiylashtirish va universal tarmoq modeli tavsifi va uning asosida hal qilingan vaqtinchalik tahlil vazifalari
Yuqoridagi modellarni tahlil qilish va sintez qilish natijasida universal matematik model taklif qilinadi, klassik, umumlashtirilgan va stokastik tarmoq modellari esa uning maxsus holatlari hisoblanadi.
Ushbu model (nomi tsiklik stokastik tarmoq modeli - CSSM) murakkab loyihani ishlab chiqishni boshqarish jarayonini tavsiflash uchun yanada moslashuvchan va adekvat vositadir.
CSSM - chekli, yo'naltirilgan, tsiklik grafik G(W,A) bo'lib, A=(p ij ) qo'shnilik matritsasi bilan aniqlangan W hodisalar va yoylardan (i,j)(i,jOW hodisalari) iborat. 0Ј p ij Ј1, p ij =1 esa deterministik yoyni (i,j) belgilaydi va 0< p ij <1 определяет альтернативное событие i, которое с вероятностью p ij связано дугой с событием j. Множество дуг подразделяется на дуги-работы и дуги-связи. Первые реализуют определенный объем производственной деятельности во времени, второй тип дуг отражает исключительно логические связи между последними. Событиями могут быть как начала и окончания выполняемых работ, так некоторые их промежуточные состояния.
i-hodisaning tugallanish vaqtini T i bilan belgilang, keyin (i, j) yoyi bilan bog‘langan hodisalarning tugallanish vaqti o‘rtasidagi nisbat tengsizlik bilan beriladi:
T j – T i í y ij , (15)
bu yerda y ij odatda tasodifiy oʻzgaruvchi boʻlib, baʼzi bir qonun boʻyicha –H dan 0 gacha yoki 0 dan +H oraligʻida taqsimlanadi.
Bundan tashqari, tadbirni amalga oshirish vaqtida mutlaq cheklovlar mumkin: i:
l i Ј T i ЈL i. (16)
(15)-(16) munosabatlar umumlashtirilgan tarmoq modellarini tavsiflashda mos tengsizliklarni umumlashtirish bo’lib, bunda y ij parametri va qo’shnilik matritsasi A deterministik bo’ladi.
(15) y ij parametrining ehtimollik xususiyati bilan munosabatning semantik yukini ko'rib chiqing.
Agar (i,j) yoy asari (yoki uning bir qismi) bo'lsa, u holda musbat taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi y ij ushbu ishning minimal davomiyligini taqsimlashni belgilaydi (uning aniqlovchi resurs bilan maksimal to'yinganligi bilan bog'liq). Maqola shuni ko'rsatadiki, y ij qiymatining taqsimlanishi unimodal va assimetrikdir va beta taqsimoti ushbu talablarni qondiradi, shuning uchun minimal ishlash vaqti tasodifiy o‘zgaruvchi y ij =t min (i,j) zichlikka ega [a, b] segmentida beta taqsimot qonuniga muvofiq taqsimlanadi.
j(t)=S(t – a) p-1 (b – t) q-1 , (17)
bu yerda C shartdan aniqlanadi
Agar (15) dagi yoy ishiga (i,j) mos keluvchi y ij tasodifiy o‘zgaruvchisi –H dan 0 gacha bo‘lgan oraliqda taqsimlangan bo‘lsa, u holda –y ij =t max (j,i) ning taqsimlanishini o‘rnatadi. maksimal vaqt oralig'ining uzunligi, uning davomida ish (i, j) belgilovchi manba bilan minimal darajada to'yingan bo'lsa ham boshlanishi va tugatilishi kerak. Bu miqdor uchun biz uning o'xshash shakldagi taqsimotini oldik (17). Har bir ish (i, j) uchun y ij tasodifiy miqdorning taqsimlanishini bilib, uning matematik kutilishi va dispersiyasi tegishli formulalar yordamida hisoblanadi.
(15) ga (i,j) yoy ishlari uchun manfiy taqsimlangan y ij qiymatlarining kiritilishi ishlarning vaqtinchalik xususiyatlarini tavsiflash imkoniyatlarini sezilarli darajada kengaytiradi, keng qo'llaniladigan ehtimollik modelini faqat maxsus holatlardan biriga aylantiradi.
(i,j) yoy bog‘lanishlari uchun y ij qiymati i va j hodisalar o‘rtasidagi vaqtga bog‘liqlikning taqsimlanishini, musbat taqsimlangan y ij qiymati esa “avval bo‘lmagan” turdagi munosabatni belgilaydi (j hodisasi avvalroq sodir bo‘lishi mumkin emas). i hodisa tugaganidan keyin y ij kundan ortiq), va salbiy taqsimlangan qiymat y ij “kech bo‘lmaganda” tipidagi munosabatni aniqlaydi (i hodisasi j hodisasidan keyin –y ij kundan kechikmay sodir bo‘lishi mumkin). Ikkinchi holda, bunday havolalar "teskari" deb ataladi.
Shunday qilib, biz bu bog'lanishlarning ehtimollik xususiyatini hisobga olgan holda umumlashtirishga erishdik.
Hodisalarning vaqti T i texnologik jihatdan oldingi davrlar yig'indisi bilan aniqlanganligi sababli, markaziy chegara teoremasiga muvofiq, bunday ishlarning etarlicha ko'pligi bilan tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishi T i ga intiladi. parametrlari bilan normal - kutish MT i va dispersiya DT i . Oddiy taqsimot "teskari" yoylarga mos keladigan y ij parametriga ham ega bo'lib, bu statistik tahlil bilan ham tasdiqlanadi.
(16) tomonidan berilgan voqealar vaqtining mutlaq chegaralari "mutlaq" (haqiqiy yoki shartli) vaqt shkalasida berilgan ishlarni yoki uning qismlarini bajarish vaqtlari bo'yicha tegishli direktiv, tashkiliy va texnologik cheklovlarni aks ettiradi. Mutlaq cheklovlar, shuningdek, "avval emas" yoki "keyinroq emas" turi bilan tavsiflanadi va shaklni oladi: T i - T 0 í l i, T 0 - T i í -L i. Shunday qilib, (16) shaklning mutlaq cheklovlari ma'lum yoylar-bog'lanishlar uchun shaklning (15) cheklanishining alohida holatidir.
Umumiy bog'lanishlar bilan birgalikda A stoxastik qo'shnilik matritsasining kiritilishi murakkab loyihani yaratish jarayonini tavsiflash uchun qo'shimcha imkoniyatlar beradi.
L(i,j) i va j hodisalarini bog‘lovchi yo‘l bo‘lsin:
L(i,j)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =j). (o'n sakkiz)
Bu yo'l deterministik, agar pi k-1 i k =1 hamma kO uchun amal qilsa, va stokastik, aks holda. Shunday qilib, stokastik yo'l kamida bitta yoyni o'z ichiga oladi, uning "bajarish" ehtimoli 1 dan qat'iy kam.
Xuddi shunday ta'riflangan deterministik va stokastik sxema K(i)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =i). (bunday hodisalar i "kontur" deb ataladi).
Agar i va j hodisalar L(i,j) yo‘li bilan bog‘langan bo‘lsa, u holda j hodisaning sodir bo‘lish ehtimoli P(j/i) i hodisasi sodir bo‘lgan bo‘lsa, qo‘shnilik koeffitsientlarining ko‘paytmasiga teng bo‘ladi. ulanish yo'lining yoylariga mos keladigan A matritsasi:
P(j/i)=X v k=1 p i k-1 i k. (19)
Agar i va j hodisalar bir necha usul bilan bog'langan bo'lsa, u holda ushbu tarmoq fragmentining ekvivalent GERT transformatsiyasi ishda keltirilgan formulalarga muvofiq amalga oshiriladi, o'zgartirilgan fragmentning Y ij (s) hosil qiluvchi funktsiyasi hisoblanadi va ehtimollik j hodisaning sodir bo'lishi, i hodisasi sodir bo'lgan taqdirda P (j/i)= Y ij (0).
Y ij (s)/ Y ij (0) funksiyaning s=0 nuqtadagi s ga nisbatan birinchi hosilasi (birinchi moment m 1 (j/i)) ning M(j/i) kutilishini aniqlaydi. hodisa vaqti j hodisa vaqtiga nisbatan i. Y ij (s)/ Y ij (0) funksiyaning s=0 nuqtadagi s ga nisbatan ikkinchi hosilasi (ikkinchi moment m 2 (j/i)) vaqt dispersiyasini hisoblash imkonini beradi. i hodisa vaqtiga nisbatan j hodisani formula bo‘yicha
s 2 (j / i) \u003d m 2 (j / i) - (m 1 (j / i)) 2. (yigirma)
L(i,j) yo‘l uzunligi tasodifiy o‘zgaruvchi bo‘lib, uning matematik kutilishi ML(i,j) bu yo‘lni tashkil etuvchi barcha yoylar uzunliklarining matematik kutilmalari yig‘indisi va DL dispersiyasidir. (i,j) dispersiyalarning yig‘indisiga teng.
Bunday sharoitda yo'lning uzunligi (kontur) olishi mumkin salbiy qiymatlar, ular quyidagicha talqin qilinadi:
agar L(i,j)<0 и дуга (j,i) имеет отрицательно распределенный параметр y ji , то событие j должно свершиться keyin emas i hodisa sodir bo'lgandan keyin -y ji kundan keyin. Y ji parametri ehtimollik xarakteriga ega bo'lib, bu hodisalar o'rtasidagi mantiqiy-vaqtinchalik munosabatlarni yanada moslashuvchan (tsiklik tarmoq modellariga nisbatan) tavsiflash imkonini beradi.
Yoy parametri y ij sifatida, shuningdek, har qanday yo'lning yoylari bo'ylab qo'shilish xususiyatiga ega bo'lgan har qanday xarakterli parametrni ham ko'rib chiqish mumkin (masalan, ishning narxi), ekvivalent GERT transformatsiyasidan foydalangan holda, biz tannarxning matematik kutilishi va dispersiyasini olamiz. tarmoq bo'lagi yoki umuman loyiha.
CSSM ning vaqtinchalik tahlili vazifalari (va ularni hal qilish algoritmlari) shuningdek, klassik, umumlashtirilgan yoki stokastik tarmoq modellarining vaqtinchalik tahlili barcha rejalashtirish va loyihalarni boshqarish muammolarini hal qilishning asosini tashkil qiladi. Ular resurs cheklovlarini hisobga olmasdan loyihani boshqarish muammolarini hal qilishda mustaqil ahamiyatga ega.
Vaqtinchalik tahlil vazifalari, shuningdek, keyinchalik taqqoslash, reja variantlari sifatini baholash va uni yanada takomillashtirish yo'nalishini tanlash uchun resurslar mavjudligi vektorining ma'lum qiymatlari uchun turli xil reja variantlarini yaratish uchun zarurdir.
Loyihani boshqarishda optimal ishni rejalashtirish muammolarini hal qilishda CSSM vaqtni tahlil qilish algoritmlari texnologik cheklovlarning bajarilishini ta'minlash uchun tegishli optimallashtirish algoritmlarida qo'llaniladigan zarur parametrlarni hisoblash vositasi sifatida ishlatiladi.
CSSM ni vaqtinchalik tahlil qilish vazifasi tasodifiy vektorni topishga qisqartiriladi T=(T 0 ,T 1 ,…,T n), bu erda T i - i-hodisa vaqti, koordinatalari tengsizliklarni qanoatlantiradi ( 15), (16) va ekstremumga ba'zi bir maqsad funktsiyasi f(T) aylanadi.
Belgilangan Vaqtinchalik tahlil muammolarining uchta klassi:
· klassik, bunda (T i) hisoblash uchun barcha yoylarning davomiyligining matematik taxminlari qo'llaniladi;
· ehtimollik bunda Lyapunov chegara teoremasi yoki boshqa analitik vositalar asosida f(T) maqsad funksiyasining argumentlari bo'lgan i-hodisalar - (MT i ) tugash vaqtining matematik taxminlari, hisoblab chiqiladi;
· statistik, unda ma'lum darajadagi ishonchlilik p uchun, qog'ozda tasvirlangan usulga ko'ra, empirik taqsimotlarning p-kvantil baholari i-hodisalar vaqti uchun ham aniqlanadi - (W p (T i)) va ularning hosilalar, shu jumladan maqsad funktsiyasining qiymatlari f(W p (T)), bu erda W p (T)=(W p (T 0), W p (T 1),…, W p (T n)) .
CSSM izchilligi tushunchasi kiritiladi.
Tsiklik stokastik tarmoq modeli deyiladi izchil tengsizliklar tizimini (15), (16) qondiradigan vaqt tahlilida (klassik, ehtimollik yoki statistik) tegishli sinf muammolari uchun hisoblangan kamida bitta amalga oshirish mumkin bo'lgan reja mavjud bo'lsa.
Keling, ushbu uchta tushunchani ko'rib chiqaylik.
Klassik modelning mustahkamligi.
Barcha yoylarning davomiyligining matematik taxminlari hisoblab chiqiladi, shundan so'ng doimiy yoy uzunliklariga ega bo'lgan tarmoq hosil bo'ladi. Ko'rib chiqilayotgan modelning stokastik tabiatini va umumlashtirilgan bog'lanishlarning mavjudligini hisobga olgan holda, yuqoridagi hisob-kitoblardan so'ng, CSSMda stokastik va deterministik konturlar sodir bo'lishi mumkin. Quyidagi teorema isbotlangan:
Teorema 1 . Klassik sxema bo'yicha yoy davomiyligi hisoblangan tsiklik stokastik model berilgan a ehtimolligiga mos kelishi uchun barcha deterministik konturlarning uzunliklari ijobiy bo'lmasligi zarur va etarli.
Ehtimoliy modelning izchilligi.
MT i ning matematik kutilishi va hodisalar vaqtining dispersiyasi s 2 T i analitik tarzda hisoblanadi. Shu tarzda hisoblangan parametrlar klassik usulda hisoblanganlardan 15-20% ga farq qiladi (yoy davomiyligining matematik taxminlariga ko'ra).
Keling, gaplashaylik modelning o'rtacha ehtimollik izchilligi, agar shu tarzda olingan toʻplam (15)-(16) tengsizliklarni qanoatlantirsa, bunda uning matematik kutilishi y ij qiymati sifatida qabul qilinadi. Quyidagi teoremaning to'g'riligi isbotlangan:
Teorema 2 . Tsiklik stoxastik model o'rtacha ehtimollik jihatdan izchil bo'lishi uchun barcha deterministik konturlar uzunligining matematik taxminlari ijobiy bo'lmasligi zarur va etarli.
T i parametrlari bilan normal taqsimotga ega deb faraz qilsak: matematik kutilma - MT i va dispersiya - s 2 T i , e- degan kengroq tushunchani kiritamiz. ehtimollik modelining izchilligi.
Biz aytamizki, agar barcha T i uchun tengsizlikni qondiradigan e > 0 mavjud bo'lsa, CSSM e-ehtimollik jihatdan mos keladi.
|T i –MT i |< e, справедливы соотношения (15)-(16). В работе доказано следующее:
Teorema 3 . Tsiklik muqobil model e-ehtimoliy jihatdan izchil bo'lishi uchun barcha deterministik konturlar uzunliklarining matematik kutilmalari ML(K(i)) Ј –4e munosabatini qondirish zarur va yetarlidir.
Modelning ehtimollik konsistensiyasi, o'rtacha hisobda, e=0 da e-ehtimollik izchilligining maxsus holatidir.
Modelning statistik muvofiqligi.
Tarmoq modelining parametrlarini hisoblashning statistik usuli bilan biz tegishli ko'rsatkichlarning ehtimollik analoglari bo'lgan qiymatlarning p-kvantil baholari bilan shug'ullanamiz. Aytishlaricha, tsiklik stokastik model statistik jihatdan ehtimollik p bilan mos keladi, agar har bir i hodisa uchun W p (T i) hodisalarining yakunlanish vaqtining p-kvantil baholari mavjud bo'lsa, tengsizliklarni qondiradi:
W p (T j) – W p (T i)í W p (y ij), (21)
l i JW p (T i)JL i . (22)
Bu yerda (21)-(22) munosabatlar (15)-(16) ning ehtimollik analoglari, W p (y ij) yoy uzunligining (i,j) p-kvantil bahosi. Quyidagilar isbotlangan:
Teorema 4 . Tsiklik muqobil model statistik jihatdan p ehtimollik bilan mos kelishi uchun barcha deterministik konturlar uzunliklarining p-kvantil baholari W p (L(K(i))) Ј 0 munosabatini qondirish zarur va yetarli.
CSSM ning vaqt parametrlarini hisoblash algoritmlari.
Erta va kech rejalar.
Voqealar tugashining erta va kech sanalarini hisoblash uchun o'zgartirilgan "Mayatnik" algoritmi taklif etiladi. O'zgartirish g'oyasi ehtimollik tarmoqlari uchun ishlatiladigan parametrlarni hisoblashning statistik usulini va umumlashtirilgan tarmoqlarda qo'llaniladigan "Makaç" algoritmini sintez qilish va keyin uni CSSMga qo'llashdir.
 |
|||
 |
|||
 |
10-rasm. Hisoblash algoritmining sxematik blok diagrammasi
p-kvantil baholari erta sanalar tadbirlarni amalga oshirish
Blok 1. Dastlabki ma'lumotlarni kiritish (matritsa A koeffitsientlari, taqsimot parametrlari y ij, ishonch darajasi p).
Blok 2. Natijalarning belgilangan aniqligini ta'minlash uchun kerakli miqdordagi "chizilgan" N ni hisoblash. Amalga oshirilgan hisob-kitoblar shuni ko'rsatdiki, p=0,95, e=0,05 da N»270 ni olamiz.
Blok 3. v:=v+1 (v - "chizish" raqami).
Blok 4. Tasodifiy miqdorlarning v-variantini chizish y ij , har biri o'z taqsimot qonuniga muvofiq, y ij (v) konstantalarini olish - v-chizmadagi yoy uzunligi (i, j).
Blok 5. Qo‘shni j cho‘qqisiga o‘tishning har bir muqobil i cho‘qqisini chizing (diskret tasodifiy o‘zgaruvchi p ij o‘ynaladi, A qo‘shnilik matritsasining i-qatori bilan ifodalanadi, 0< р ij <1 и е j р ij =1). Выбранная дуга помечается, остальные из графа исключаются. Если в полученном графе образовался контур К(i), содержащий хотя бы одну помеченную дугу, это есть стохастический контур, вычисляем его длину L (v) K(i) и опять для вершины i разыгрываем дискретную случайную величину р ij . В соответствие с доказанной в работе lemma 1 ma'lum bir ishonch darajasida p bir xil stokastik konturni k martadan ko'p bo'lmagan holda shakllantirish mumkin, bu erda k mos keladigan formula bilan baholanadi. Biz (k + 1)-bosqichda "o'ynagan" yoy uzunligiga konturning k-katlama uzunligini qo'shamiz va boshqa stokastik konturni (agar mavjud bo'lsa) tahliliga o'tamiz. Bunday holda, tarmoqda qarama-qarshiliklar paydo bo'lishi mumkin (ijobiy deterministik konturlar), keyin ishda berilgan formulalarga muvofiq, biz konturning d-katlama uzunligini qo'shamiz va shu bilan "" yakunlashning o'rtacha vaqtini hisoblaymiz. konturdan chiqish” hodisasi.
Blok 6. Olingan deterministik umumlashtirilgan tarmoq G (v) ikkita tarmoq G 1 (v) va G 2 (v) ga bo'linadi, shuning uchun na G 1 (v) va na G 2 (v) konturlarni o'z ichiga olmaydi. G 1 (v) tarmog'idagi tepaliklar darajalar bo'yicha tartiblangan va ularga muvofiq biz "to'g'ri" raqamlashni o'rnatamiz. Biz ushbu raqamlashni tarmoqqa o'tkazamiz G 2 (v) va asl G (v) .
Blok 7. G 1 (v) tarmog'ining barcha i tepalari uchun biz erta tugatish sanalarini hisoblaymiz
T i 0(v) :=max j (T i 0(v) , T j 0(v) + y ij (v) ).
Blok 8. Tarmoqning uchlari uchun 7-blokga o'xshash protseduralarni bajaramiz G 2 (v) .
9-blok. Agar 7 va 8-bloklarning natijalari hech bo'lmaganda bitta ko'rsatkich bo'yicha mos kelmasa, biz 7-blokga qaytamiz (G 2 (v) dagi teskari yoylar sonidan ko'proq bunday qaytishlar yo'q), aks holda 10-blok.
10-blok. Agar o'yin raqami vJN bo'lsa, u holda 4-blokga o'ting, aks holda 11-blokga o'ting.
11-blok. Hosil bo'lgan to'plamdan (T i 0(v) ) har bir i tepasi uchun variatsion qator quramiz. T i 0(x) ning shunday qiymatini aniqlaymizki, N x /N=r, bu erda N x - T i 0(x) dan kichik o'zgarishlar qatori a'zolari soni. T i 0(x) qiymati i-hodisaning dastlabki muddatining zarur p-kvantidir – W p (T i 0). Xuddi shunday, variatsion qator (y ij (v) ) yordamida yoy uzunliklarining p-kvantil baholarini tuzamiz – W p (y ij).
6-blokning kiritilishi umumlashtirilgan tarmoq modeli G (v) ning v-versiyasini oladi va aslida 6 - 9 bloklari "Mayatnik" algoritmining kengaytirilgan blok diagrammasi bo'lib, voqealarning erta vaqtini hisoblash uchun mo'ljallangan. OSM. Hisoblash uchun tegishli algoritmni qo'llash kech sanalar 7 va 8-bloklardagi hodisalar tugallanganda biz T i 1(v) ni olamiz - umumlashtirilgan tarmoq modelining v-versiyasi uchun voqealarni yakunlash uchun kechikish sanalari, 11-blok esa W p (T i 1) - p-kvantil baholari kech sanalar tadbirlarni yakunlash.
Minimal davomiylik rejalari.
G (v) tarmog'ining v-versiyasining har qanday amalga oshirilishi mumkin bo'lgan T (v) =(T i (v) ) rejasining L(T (v)) davomiyligi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
L(T (v))=max ij |T i (v) – T j (v) |. (23)
Shakldagi blok diagrammada almashtirish. 10 blok 6 - 9 funktsiyaning minimalini topish blokida (23), biz tarmoq G (v) (yoki "siqilgan" reja) uchun minimal davomiylik rejasini olamiz. Qiymat
L(T* (v))=min max ij |T i (v) – T j (v) | (24)
- tarmoqning kritik vaqti G (v) .
6-9 bloklarda OCM uchun siqilgan rejani topish va olingan rejalarni 11-blok orqali o'tkazish usulidan foydalanib, biz siqilgan rejalarning p-kvantil taxminlarini olamiz.
Ish uchun vaqt zaxiralari (i, j) formulalar bo'yicha hisoblangan p-kvantil analoglariga mos keladi:
R p p (i, j) \u003d W p (T j 1) - W p (T i 0) - W p (y ij) uchun to'liq zaxira, (25)
R bilan p (i, j) \u003d W p (T j 0) - W p (T i 0) - W p (y ij) uchun bepul zaxira. (26)
Tegishli formulalar bo'yicha p-kvantillar hisoblanadi kuchlanish koeffitsientlari ishlaydi W p (k n (i, j)), keyin p-kvantil tanqidiy zona, p-kvantil zaxira zonasi va p-kvantil oraliq zona.
Yoyning parametri sifatida biz operatsiyaning (ishning) bajarilish vaqtini ko'rib chiqdik. Har qanday yo'lning yoylari bo'ylab qo'shimchaga ega bo'lgan har qanday xarakterli parametrni ham ko'rib chiqish mumkin. Bu ishning narxi, kerakli to'plangan resurs miqdori va boshqalar bo'lishi mumkin.
Shuni ta'kidlash kerakki, hozirgi kunga qadar faqat deterministik tarmoqni modellashtirish usullari, resurslarni optimal taqsimlashning ba'zi evristik usullari va xarajatlarni baholashning parametrik usullari (asosan, havo va kosmik parvozlar sohasida) keng amaliy qo'llanilishini topdi. Klassik tarmoq modellari asosida rejalashtirishning xarajat muammolarining aniq yechimi nazariy jihatdan topilgan bo'lsa-da (ta'riflangan), uning amaliy qo'llanilishi vaqt-xarajat bog'liqligi bo'yicha haqiqiy ma'lumotlarni olish qiyinligi bilan bog'liq.
Yuqorida ko'rib chiqilgan modellarning har biri o'z mavzu sohasiga ega, o'ziga xos tarzda (ko'proq yoki kamroq to'liq) loyihani boshqarishning asosiy funktsiyalarini amalga oshiradi va faqat tahlil qilingan modellar va usullarning sintezi sizga mos keladigan modelni yaratishga imkon beradi. noaniqlik sharoitida murakkab loyihani amalga oshirish jarayoni va shu bilan birga tuzilgan muammoni hal qilishda maqbul natijaga erishish.
4-mavzu. TARMOQ MODELLARI ASOSIDA RESURS ISTE'molini OPTIMALLASHTIRISH.
Umumiy tushunchalar.
Yuqorida tarmoq modellari cheklangan resurslarni hisobga olmasdan ko'rib chiqildi, ya'ni. resurslarni eng yaxshi taqsimlash muammosi qo'yilmadi. Biz ko'rib chiqqan tarmoq modellaridan foydalanish usullarida asosiy e'tibor alohida ishlarni amalga oshirish muddatlariga va loyihani o'z vaqtida yakunlanishi kerak bo'lgan eng muhim (tanqidiy va subkritik) ish zanjirlarini aniqlashga qaratildi ( ob'ektni ishga tushirish) bog'liq. Shunday qilib, ushbu usullarning o'ziga xos xususiyati ma'lumotlarni belgilangan vaqt oralig'ida barcha ishlarni bajarish nuqtai nazaridan uning muhimlik darajasiga ko'ra tasniflashdir.
Axborot ahamiyatining miqdoriy o'lchovi ish vaqtining zaxiralari yoki kuchlanish koeffitsientlari
K ij \u003d 1 - R p ij / (T n 0 - T cr (i, j)), (25)
Bu erda R p ij - ishning umumiy zaxirasi (i, j), T n 0 - loyiha uchun kritik vaqt, T kr (i, j) - kritik yo'lga to'g'ri keladigan maksimal yo'l segmentining davomiyligi. , ishni o'z ichiga oladi (i, j). 0 £ K ij £ 1 va K ij 1 ga qanchalik yaqin bo'lsa, ish zaxirasidagi (i, j) nisbatan kamroq zahira bo'ladi, shuning uchun uning belgilangan muddatda bajarilmasligi xavfi shunchalik yuqori bo'ladi. Masalan, ish uchun (2,5) (5-rasm) T cr (2,5) = 5, R p 25 = 3, bu erdan K 25 = 1 -3 / (22 - 5) = 0,82 va ish uchun ( 5,8) T. cr (5,8) \u003d 0, R p 58 \u003d 12, bu erdan K 58 \u003d 1 -12 / (22 - 0) \u003d 0,45. Ishlar bir xil to'liq zaxiralarga ega bo'lishi mumkin, ammo ularni amalga oshirish vaqtidagi keskinlik darajasi boshqacha bo'lishi mumkin. Aksincha, turli xil umumiy zaxiralar bir xil kuchlanish koeffitsientlariga mos kelishi mumkin. Ma'lumotlar shu tarzda tasniflangan bo'lsa, loyiha menejeri istalgan vaqtda barcha ishlar uchun belgilangan tugatish sanasidan paydo bo'lgan og'ishlarni bartaraf etish uchun e'tibor (va resurslar) qaysi sohaga qaratilishi kerakligini aniqlay oladi.
Tarmoqni rejalashtirish va boshqarish usullarini takomillashtirishning keyingi yo'llarini ko'rsatishdan oldin, keling, yuqorida muhokama qilingan usullarga xos bo'lgan ba'zi asosiy kamchiliklarga batafsil to'xtalib o'tamiz.
Har qanday ishning davomiyligini vaqt smetasini berib, biz ushbu ishni bajarish uchun ma'lum bir intensivlikdagi ma'lum resurslardan foydalanishni nazarda tutdik (resurslarni iste'mol qilish intensivligi - bu vaqt birligiga sarflangan resurs miqdori).
Vaqt smetasini tayinlashda, bu ish qachon bajarilishi kerakligi, bir vaqtning o'zida bir xil turdagi resurslarni iste'mol qiladigan boshqa qanday loyiha faoliyati amalga oshirilishi noma'lum. Bundan tashqari, qoida tariqasida, turli loyihalarda bir vaqtning o'zida bir xil resurslar talab qilinishi mumkin. Shu sababli, ma'lum bir manbaga bo'lgan umumiy ehtiyoj vaqtning ma'lum nuqtalarida ularning mavjud darajasidan oshib ketishi mumkin. Bunday hollarda alohida ish joylarida resurslarni iste'mol qilish intensivligini kamaytirish yoki ko'pincha ushbu ishlarning to'liq zaxiralaridan tashqari bir qator ishlarni bajarishni kechiktirish kerak bo'ladi. Bu loyihani amalga oshirish jarayonida dastlabki rejaga tez-tez tuzatishlar kiritishga, boshqacha aytganda, rejaning beqarorligiga olib keladi.
Shubhasiz, agar loyihani amalga oshirish jarayonini rejalashtirishda resurslar cheklovlari oldindan hisobga olinsa, u holda ancha ishonchli rejani olish mumkin.
Mavjud resurslar darajasi va loyihani yakunlashning mumkin bo'lgan muddatlari o'zaro bog'liqdir. Butun loyihani yakunlash vaqti har bir ishga qachon va qancha resurslar ajratilishiga bog'liq bo'ladi va bu asosan ularning istalgan vaqtda kutilayotgan mavjudligi bilan belgilanadi.
Shunday qilib, tarmoq sozlamalarida resurslarni taqsimlash muammosi paydo bo'ladi.
Umuman olganda, har qanday ishlab chiqarishni rejalashtirish jarayoni resurslardan samarali foydalanish muammosini hal qilishdan boshqa narsa emas.
Samaradorlik mezonlari har xil bo'lishi mumkin, biz aniq vazifalarni ko'rib chiqishda bir oz pastroq rejalashtirish (mezonni tanlash va asoslash) muhim momentiga to'xtalamiz.
Keling, ba'zi tushunchalar va ta'riflar bilan tanishaylik.
· ish dasturi bir yoki bir nechta maqsadga erishish uchun bajarilishi kerak bo'lgan ma'lum operatsiyalar (ishlar) to'plamini nomlaylik va dastur ishining bajarilishi yagona yo'naltiruvchi markazga bo'ysunadi. Ishga tushirish majmuasi uchun ish dasturi, sayt, qurilish tashkiloti, loyiha instituti va boshqalar uchun ish dasturi haqida gapirishimiz mumkin.
· Yagona mavzuli ish dasturi biz bir (bir maqsadli mavzu) yoki bir nechta maqsadlarga (ko'p maqsadli mavzu) erishishga qaratilgan texnologik jihatdan o'zaro bog'liq bo'lgan ishlarning bir majmuasidan iborat dasturni chaqiramiz.
· Ko'p mavzuli ish dasturi biz har bir majmua ichida texnologik jihatdan o'zaro bog'langan bir nechta ishlar majmuasidan iborat dasturni chaqiramiz. Har bir ish paketi bir yoki bir nechta yakuniy maqsadlarga ega bo'lishi mumkin. Turli komplekslarga tegishli ishlar texnologik jihatdan bir-biri bilan bog'liq emas. Mavzularning bitta ko'p mavzuli dasturga bog'liqligi boshqaruv markazining birligi va resurslar rezervuarining umumiyligi bilan belgilanadi.
Keling, birinchi navbatda resurslarni taqsimlash muammolarining turli formulalarini ko'rib chiqaylik yagona mavzuli yagona maqsadli dastur.
Tarmoq modeli tomonidan tavsiflangan loyihani boshqarish uchun ikkita mumkin bo'lgan maqsadli sozlamalarga asoslanib, vazifalarni sozlashning ikkita asosiy turi mavjud. Birinchi tur resurs cheklovlariga qat'iy rioya qilishga qaratilgan bo'lsa, ikkinchi tur loyihani yakunlash muddatlariga qat'iy rioya qilishni o'z ichiga oladi.
Muammo bayonotining birinchi turini shakllantirish ("kalibrlash").
Resurslarni iste'mol qilish bo'yicha berilgan cheklovlar bilan, butun dasturni minimal vaqt ichida bajarishni ta'minlaydigan tarmoq diagrammasi topologiyasi bilan aniqlangan ishlarning texnologik ketma-ketligini hisobga olgan holda ularning bunday taqsimotini toping.
Muammoning ikkinchi turini shakllantirish ("tekislash").
Agar dasturni bajarishning belgilangan muddati kuzatilsa, resurslarni alohida ish o'rinlari o'rtasida ularning iste'moli maqbul bo'ladigan tarzda taqsimlash talab qilinadi. Ushbu parametr uchun optimallik mezonini tanlash masalasi biz tomonidan alohida ko'rib chiqiladi.
Resurslarga bo'lgan ehtiyojni qondirishning turli mexanizmlari tufayli ularni ikki guruhga bo'lish odatiy holdir: to'plangan (saqlangan) va to'planmaydigan (saqlanmagan). Resurslarning ikkinchi guruhi ko'pincha "imkoniyat tipidagi resurslar" deb ataladi.
Birinchi guruhga o'z tabiatiga ko'ra ularni keyinchalik foydalanish imkoniyati bilan to'plashga imkon beradigan resurslar kiradi, masalan, pul, turli materiallar va tuzilmalar va boshqalar. Bu holda resurs cheklovlari har bir oldingi davr uchun resurs etkazib berishning umumiy qiymatini ko'rsatadigan integral kamaymaydigan funktsiya bilan belgilanishi mumkin.
Ikkinchi guruhga keyinchalik foydalanish uchun to'plash mumkin bo'lmagan resurslar kiradi. Masalan, ish va mashina vaqti resurslari. Ishchilar va mexanizmlarning ishlamay qolishi - bu qaytarib bo'lmaydigan yo'qotish. Ushbu guruh uchun resurs cheklovlari har bir vaqtning har bir lahzasida resurslar mavjudligi funksiyasi tomonidan beriladi.