وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه

موسسه آموزشی خودمختار ایالتی فدرال

آموزش عالی حرفه ای

"دانشگاه فدرال اورال به نام اولین رئیس جمهور روسیه B.N. Yeltsin"

موسسه رادیو الکترونیک و فناوری اطلاعات - RTF

بخش اتوماسیون و فناوری اطلاعات

درون یابی اسپلاین

دستورالعمل های روش شناختی برای کارهای آزمایشگاهی در مورد رشته " روشهای عددی»

گردآوری شده توسط I.A. Selivanova، مدرس ارشد.

درون‌یابی SPLINE:راهنمای تمرین های عملی در رشته "روش های عددی"

دستورالعمل ها برای دانش آموزان تمام اشکال آموزش در جهت 230100 - "انفورماتیک و مهندسی کامپیوتر" در نظر گرفته شده است.

Ó FSAEI HPE "UrFU به نام اولین رئیس جمهور روسیه B.N. Yeltsin"، 2011

1. درون یابی توسط SPLINE. چهار

1.1. خطوط مکعبی. چهار

1.2. شکل خاصی از نوشتن یک اسپلاین. 5

1.3. اسپلاین های درجه دوم. 13

1.4. تکلیف را تمرین کنید. هجده

1.5. گزینه های وظیفه 19

مراجع 21

1. درون یابی توسط splines.

در مواردی که فاصله [ آ,ب]، که در آن لازم است تابع جایگزین شود f(ایکس) بزرگ، می توانید درون یابی اسپلاین را اعمال کنید.

1.1. خطوط مکعبی.

خطوط درون یابی 3ترتیب توابعی هستند که از تکه های چند جمله ای 3 تشکیل شده اند هفتمسفارش. گره های مزدوج تداوم تابع، مشتقات اول و دوم آن را تضمین می کنند. تابع تقریبی از چندجمله‌ای مجزا تشکیل شده است، معمولاً با درجه‌ای به همان اندازه کوچک، که هر کدام در قسمت خاص خود از بخش تعریف می‌شوند.

اجازه دهید در بخش [ آ, ب] محور واقعی ایکس شبکه داده شده است که در گره هایی که مقادیر آن تعریف شده است
کارکرد f(ایکس). لازم است بر روی بخش [ آ, ب] تابع اسپلاین پیوسته اس(ایکس), که شرایط زیر را برآورده می کند:

برای ساخت اسپلاین مورد نظر باید ضرایب را پیدا کنید
چند جمله ای ها
,من=1,… n، یعنی 4 n ضرایب ناشناخته ای که برآورده می شوند 4 n-2 معادلات (1)، (2)، (3). برای اینکه سیستم معادلات یک راه حل داشته باشد، دو شرط اضافی (مرز) دیگر اضافه می شود. سه نوع شرایط مرزی استفاده می شود:

شرایط (1)، (2)، (3) و یکی از شرایط (4)، (5)، (6) یک SLAE سفارشی را تشکیل می دهند. 4 n. سیستم را می توان با استفاده از روش گاوس حل کرد. با این حال، با انتخاب شکل خاصی از نوشتن یک چند جمله ای مکعبی، می توان نظم سیستم معادلات حل شده را به میزان قابل توجهی کاهش داد.

1.2. شکل خاصی از نوشتن یک اسپلاین.

بخش را در نظر بگیرید
. اجازه دهید نماد زیر را برای متغیرها معرفی کنیم:

اینجا
- طول قطعه
,

,
- متغیرهای کمکی،

ایکس- نقطه میانی در قطعه
.

چه زمانی ایکس از تمام مقادیر در بازه عبور می کند
، متغیر از 0 به 1 تغییر می کند و
از 1 به 0 تغییر می کند.

چند جمله ای مکعبی را بگذارید
در بخش
به نظر می رسد:

متغیرها و
در رابطه با بخش خاصی از درونیابی تعیین می شوند.

مقدار spline را پیدا کنید
در انتهای بخش
. نقطه
اولیه برای بخش است
، از همین رو =0,
=1 و مطابق (3.8):
.

در پایان بخش
=1,
=0 و
.

برای فاصله
نقطه
نهایی است، بنابراین =1,
= 0 و از فرمول (9) بدست می آوریم:
. بنابراین، شرط تداوم برای تابع برآورده می شود اس(ایکس) در نقاط اتصال چندجمله ای های مکعبی، صرف نظر از انتخاب اعداد  i .

برای تعیین ضرایب  i، من=0,… n ما (8) را دو بار به عنوان یک تابع پیچیده از ایکس. سپس

مشتقات دوم spline را تعریف کنید
و
:

برای چند جمله ای
نقطه آغاز بخش درونیابی است و =0,
= 1، بنابراین

از (15) و (16) چنین است که در بخش [ آ,بتابع spline که از تکه های چند جمله ای مرتبه 3 "چسبانده شده" است، مشتق پیوسته ای از مرتبه 2 دارد.

برای به دست آوردن پیوستگی اولین مشتق یک تابع اس(ایکس), ما نیاز داریم که شرایط زیر در گره های داخلی درون یابی انجام شود:

برای اسپلاین مکعبی طبیعی
بنابراین، سیستم معادلات به صورت زیر خواهد بود:

و سیستم معادلات (17) به صورت زیر خواهد بود:

مثال.

اطلاعات اولیه:

عملکرد را جایگزین کنید
اسپلاین مکعبی درون یابی که مقادیر آن در نقاط گرهی داده شده (به جدول مراجعه کنید) با مقادیر تابع در همان نقاط منطبق است. شرایط مرزی مختلف را در نظر بگیرید.

بیایید مقدار تابع را در نقاط گره محاسبه کنیم. برای انجام این کار، مقادیر جدول را در تابع داده شده جایگزین می کنیم.

برای شرایط مرزی مختلف (4)، (5)، (6) ضرایب اسپلاین های مکعبی را پیدا می کنیم.

1. اولین شرایط مرزی را در نظر بگیرید.

در مورد ما n=3,
,
,
. برای پیدا کردن
ما از سیستم معادلات (3.18) استفاده می کنیم:

محاسبه کنید و با استفاده از فرمول های (7) و (11):

مقادیر به دست آمده را در سیستم معادلات جایگزین می کنیم:

.

راه حل سیستم:

با در نظر گرفتن شرایط مرزی اول، ضرایب اسپلاین:

تعریف ضرایب spline را با در نظر گرفتن شرایط مرزی در نظر بگیرید (3.5):

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم
:

محاسبه کنید
و
:

اجازه دهید مقادیر را در سیستم معادلات (21) جایگزین کنیم و :

با استفاده از فرمول (20)،  0 و  3 را تعیین می کنیم:

با توجه به مقادیر خاص:

و بردار ضریب:

بیایید مقادیر spline مکعبی S(x) را در نقاط میانی بخش های درون یابی محاسبه کنیم.

بخش های میانی:

برای محاسبه مقدار اسپلاین مکعبی در نقاط میانی بخش های درون یابی، از فرمول های (7) و (9) استفاده می کنیم.

3.1.

بیایید پیدا کنیم و
:

در فرمول (3.9) ضرایب را جایگزین می کنیم

3.2.

بیایید پیدا کنیم و
:

، برای شرایط مرزی (4)، (5)، (6):

3.3.

بیایید پیدا کنیم و
:

در فرمول (9) ضرایب را جایگزین می کنیم
، برای شرایط مرزی (4)، (5)، (6):

بیایید یک جدول درست کنیم:

	(شرایط 1 cr.)	(شرایط 2 cr.)	(شرایط 3 کرون)

وظیفه اصلی درون یابی- یافتن مقدار یک تابع جدولی در آن نقاط در یک بازه معین که در آن مشخص نشده است. داده های جدولی اولیه را می توان هم به صورت تجربی به دست آورد (در این مورد، اساساً هیچ داده میانی بدون کار اضافی وجود ندارد)، و هم با محاسبه با استفاده از وابستگی های پیچیده (در این مورد، مقدار را با استفاده از درون یابی پیدا کنید. تابع پیچیدهساده تر از محاسبه مستقیم با استفاده از یک فرمول پیچیده است)

مفهوم درونیابی

حل مسائل درون یابی و برون یابی با ساخت تابع درون یابی ارائه می شود L(ایکس), تقریبا جایگزین اصلی f(ایکس) در یک جدول داده شده و از تمام نقاط داده شده عبور می کند - گره های درون یابیبا استفاده از این تابع می توانید مقدار دلخواه تابع اصلی را در هر نقطه محاسبه کنید.

سه مشکل اصلی در ارتباط با درونیابی در نظر گرفته شده است.

1) انتخاب تابع درونیابی L(ایکس);

2) تخمین خطای درونیابی آر(ایکس);

3) قرار دادن گره های درون یابی برای اطمینان از بالاترین دقت ممکن در بازیابی عملکرد ( ایکس 1 , ایکس 2 ,…,x n).

روش های درون یابی ویژه به شما امکان می دهد مقدار مورد نظر تابع را بدون ساخت مستقیم تابع درون یابی تعیین کنید. در اصل، تمام روش های درون یابی مبتنی بر استفاده از چند جمله ای به عنوان تابع درون یابی نتایج یکسان، اما با هزینه های متفاوت به دست می دهند. این به دلیل چند جمله ای است nدرجه ام حاوی n+1 پارامتر و عبور از تمام داده ها n+1 امتیاز، - تنها یک. علاوه بر این، یک چند جمله ای را می توان به عنوان یک سری کوتاه تیلور نشان داد که در آن تابع قابل تمایز اصلی گسترش یافته است. این شاید یکی از مزایای اصلی چند جمله ای به عنوان یک تابع درون یابی باشد. بنابراین، اغلب اولین مشکل درونیابی با انتخاب یک چند جمله ای به عنوان تابع درون یابی حل می شود، اگرچه می توان از توابع دیگری نیز استفاده کرد (به عنوان مثال، چند جمله ای های مثلثاتی، سایر توابع انتخاب شده از شرایط غیررسمی یک مسئله معنی دار).

برنج. 3.2 تصویر درونیابی

انتخاب نوع تابع درونیابی عموماً یک کار مهم است، به خصوص اگر به یاد داشته باشید که هر تعداد تابع را می توان از طریق نقاط داده شده ترسیم کرد (شکل 3.2). لازم به ذکر است که یک راه واضح برای ساخت تابع درون یابی وجود دارد: از شرایطی که تابع از تمام نقاط عبور کند، یک سیستم معادلات ایجاد می شود که از حل آن پارامترهای آن پیدا می شود. با این حال، این مسیر از کارآمدترین مسیر، به خصوص با تعداد زیادی امتیاز، فاصله زیادی دارد.

مرسوم است که بین درونیابی محلی و جهانی تمایز قائل شود. در حالتی که چند جمله ای برای کل ناحیه درون یابی یکسان باشد، می گوییم درون یابی جهانی. در مواردی که چند جمله ای ها بین گره های مختلف متفاوت است، می توان از آن صحبت کرد قطعه ای یا درون یابی محلی.

درون یابی خطی

ساده ترین و رایج ترین شکل درونیابی محلی است درون یابی خطی.این شامل این واقعیت است که نقاط داده شده م(x i، y i) (من = 0, 1, …,n) توسط قطعات خط مستقیم و تابع متصل می شوند f(ایکس) به چندخط با رئوس در این نقاط نزدیک می شود (شکل 3.3) .

برنج. 3.3 درونیابی خطی

معادلات هر بخش از یک خط شکسته به طور کلی متفاوت است. از آنجایی که وجود دارد nفواصل (x i، x i + 1)، سپس برای هر یک از آنها به عنوان یک معادله

چند جمله ای درون یابی از معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه عبور می کند استفاده می کند. به طور خاص، برای من -بازه، می توانیم معادله یک خط مستقیم را بنویسیم که از نقاط ( x i، y i) و ( x i + 1 , y من + 1), مانند:

(3.2)

بنابراین، هنگام استفاده از درون یابی خطی، ابتدا باید فاصله زمانی که مقدار آرگومان در آن قرار می گیرد را تعیین کنید ایکسو سپس آن را با فرمول (3.2) جایگزین کرده و مقدار تقریبی توابع را در این نقطه پیدا کنید.

شکل 3.4 نمونه ای از استفاده از درون یابی خطی در برنامه MathCAD را نشان می دهد. برای درون یابی خطی، تابع استفاده می شود لنگر (ایکس,y,z). اینجا ایکس, y- اطلاعات اولیه، z- نقطه ای که مقدار تابع در آن قرار دارد.

برنج. 3.4. درون یابی خطی

درونیابی درجه دوم

چه زمانی درونیابی درجه دومبه عنوان تابع درون یابی روی قطعه ( x i - 1 ,x i + 1) یک مثلث مربع بگیرید معادله یک مثلث مربع شکل دارد

y = a i x 2 + b i x + c i، x i - 1 ایکس x i + 1 , (3.3)

درون یابی برای هر نقطه ایکس [ایکس 0 ، x n] روی سه نزدیکترین نقطه کشیده می شود.

درون یابی اسپلاین مکعبی

AT سال های گذشتهشاخه جدیدی از ریاضیات محاسباتی مدرن به شدت در حال توسعه است - نظریه اسپلاین ها Splines این امکان را فراهم می کند که به طور موثر مشکلات پردازش وابستگی های تجربی بین پارامترهایی که ساختار نسبتاً پیچیده ای دارند حل شود.

روش‌های درون‌یابی محلی که در بالا مورد بحث قرار گرفت، در اصل، ساده‌ترین اسپلاین درجه اول (برای درونیابی خطی) و درجه دوم (برای درونیابی درجه دوم) هستند.

وسیع ترین استفاده عملی، به دلیل سادگی آنها، اسپلاین های مکعبی پیدا کردند. ایده‌های اصلی تئوری اسپلاین‌های مکعبی در نتیجه تلاش‌ها برای توصیف ریاضی لت‌های انعطاف‌پذیر ساخته شده از مواد الاستیک (خط‌های مکانیکی) شکل گرفت که مدت‌هاست توسط نقشه‌کشان در مواردی که کشیدن یک منحنی به اندازه کافی صاف از طریق آن ضروری می‌شد، استفاده می‌شد. امتیاز داده شده مشخص است که یک ریل ساخته شده از یک ماده الاستیک که در نقاط خاصی ثابت شده و در وضعیت تعادل قرار دارد، شکلی به خود می گیرد که انرژی آن حداقل است. این ویژگی اساسی استفاده موثر از splines را در حل مسائل عملی پردازش اطلاعات تجربی ممکن می سازد.

به طور کلی، برای یک تابع y=f(ایکس) برای یافتن یک تقریب لازم است y=j(ایکس) به طوری که f(x i)= j(x i) در نقاط ایکس = ایکس i، a در نقاط دیگر بخش [ الف، ب] ارزش های

کارکرد f(ایکس) و j(ایکس) به هم نزدیک بودند. با تعداد کم نقاط تجربی (مثلاً 8-6) می توان از یکی از روش های ساخت چند جمله ای های درونیابی برای حل مسئله درونیابی استفاده کرد. با این حال، با تعداد زیادی گره، چند جمله ای های درون یابی عملا غیر قابل استفاده می شوند. این به دلیل این واقعیت است که درجه چند جمله ای درون یابی تنها یک کمتر از تعداد مقادیر تجربی توابع است. البته می توان قسمتی را که تابع بر روی آن تعریف می شود به بخش هایی که تعداد کمی نقطه آزمایشی دارند تقسیم کرد و برای هر یک از آنها چند جمله ای های درون یابی ساخت. با این حال، در این حالت، تابع تقریبی دارای نقاطی خواهد بود که مشتق پیوسته نیست، به عنوان مثال، نمودار تابع حاوی نقاط "شکست" خواهد بود.

اسپلاین های مکعبی این کاستی را ندارند. مطالعات تئوری پرتو نشان داده است که یک پرتو نازک منعطف بین دو گره به خوبی توسط یک چند جمله‌ای مکعبی توصیف می‌شود و از آنجایی که فرو نمی‌ریزد، تابع تقریبی باید حداقل به طور پیوسته قابل تمایز باشد. این بدان معنی است که توابع j(ایکس), j'(ایکس)، جی"(ایکس) باید در بازه [ الف، ب].

اسپلاین درون یابی مکعبی , مناسب برای این عملکرد f(ایکس) و گره های داده شده x iتابع نامیده می شود y(ایکس), ارضای شرایط زیر:

1. در هر بخش [ x i - 1 ، x i]، من = 1, 2, ..., nعملکرد y(ایکس) یک چند جمله ای درجه سوم است،

عملکرد y(ایکس), و همچنین مشتقات اول و دوم آن بر روی قطعه [ الف، ب],

اسپلاین مکعبیاز چند جمله ای های درجه سوم به هم چسبیده است که برای منبخش ام به شرح زیر نوشته شده است:

به ترتیب برای کل فاصله پچند جمله ای های مکعبی که در ضرایب متفاوت هستند آمن, b i, ج من, d i. اغلب اوقات، گره ها در طول درونیابی اسپلاین به طور مساوی از هم فاصله دارند، یعنی. ایکسمن +1 -ایکسمن = پایان = ساعت (اگرچه این مورد لازم نیست).

در شرایطی که هر چند جمله ای از دو نقطه عبور کند، باید چهار ضریب پیدا کرد (x من، y من) و (x من +1 ، y من +1 ) , که معادلات واضح زیر را به دست می دهد:

شرط اول مربوط به عبور چند جمله ای از نقطه شروع است، شرط دوم - از نقطه پایان. یافتن تمام ضرایب از این معادلات غیرممکن است، زیرا شرایط کمتری نسبت به پارامترهای مورد نیاز وجود دارد. بنابراین، این شرایط با شرایط صاف بودن تابع (یعنی پیوستگی مشتق اول) و صاف بودن مشتق اول (یعنی پیوستگی مشتق دوم) در گره های درون یابی تکمیل می شوند. از نظر ریاضی، این شرایط به ترتیب به عنوان برابری مشتقات اول و دوم در پایان نوشته می شود. منهفتم و در آغاز ( من+1 )-th نمودارها.

از آنجایی که و ، سپس

(y’ (x i +1 ) در پایان منبخش -ام برابر است با تو(ایکسمن +1 ) در ابتدا ( من+1 )-th)

(در"(ایکسمن +1 ) در پایان منبخش -ام برابر است با y" (xمن +1 ) در ابتدا ( من+1)-th).

نتیجه یک سیستم معادلات خطی (برای همه بخش ها) است که شامل 4n - 2 معادله با 4n مجهول (مشخصات a 1 , a 2 ,…, a n , b 1 ,…, d n - ضرایب spline) است. برای حل سیستم، دو شرط مرزی از یکی از انواع زیر اضافه می شود (1 اغلب استفاده می شود):

حل مشترک معادلات 4n امکان یافتن تمام ضرایب 4n را فراهم می کند.

برای بازیابی مشتقات، می توان چند جمله ای مکعبی مربوطه را در هر بخش متمایز کرد. در صورت لزوم تعیین مشتقات در گره ها، تکنیک های خاصی وجود دارد که تعریف مشتقات را به حل یک سیستم معادلات ساده تر با توجه به مشتقات مرتبه دوم یا اول مورد نظر کاهش می دهد. مزیت مهم درون یابی اسپلاین مکعبی بدست آوردن تابعی است که حداقل انحنای ممکن را داشته باشد. معایب درون یابی اسپلاین شامل نیاز به دستیابی به تعداد نسبتاً زیادی از پارامترها است.

بیایید با استفاده از برنامه MathCAD مشکل درون یابی را حل کنیم. برای این کار از تابع داخلی استفاده می کنیم interp(VS,x,y,z) . متغیرها ایکس و y مختصات نقاط گره را تنظیم کنید، z یک آرگومان تابع است، در مقابل نوع را مشخص می کند

شرایط مرزی در انتهای بازه

ما توابع درون یابی را برای سه نوع اسپلاین مکعبی تعریف می کنیم

اینجا cspline (VX , VY) بردار را برمی گرداند در مقابلمشتقات دوم هنگام نزدیک شدن در نقاط مرجع به چند جمله ای مکعبی.

pspline(VX, VY) بردار را برمی گرداند در مقابلمشتقات دوم هنگام نزدیک شدن به نقاط مرجع به منحنی سهمی.

lspline(VX, VY) بردار را برمی گرداند در مقابلمشتقات دوم هنگام نزدیک شدن به نقاط مرجع خط مستقیم.

interp(در مقابل, VX, VY, ایکس) یک مقدار را برمی گرداند y(ایکس) برای بردارهای داده شده در مقابل, VX, VYو مقدار را تنظیم کنید ایکس.

ما مقادیر توابع درون یابی را در نقاط داده شده محاسبه کرده و نتایج را با آن مقایسه می کنیم مقادیر دقیق

توجه داشته باشید که نتایج درونیابی توسط انواع مختلف خطوط مکعبی عملاً در نقاط داخلی بازه یکسان است و با مقادیر دقیق تابع مطابقت دارد. در نزدیکی لبه‌های بازه، تفاوت بیشتر محسوس می‌شود و هنگامی که در خارج از بازه داده شده برون‌یابی شود، انواع مختلف اسپلاین نتایج بسیار متفاوتی به دست می‌دهند. برای وضوح بیشتر، نتایج را در نمودار ارائه می کنیم (شکل 3.5)

برنج. درون یابی 3.5 مکعبی اسپلاین

اگر تابع به صورت گسسته مشخص شود، ماتریس های داده برای درون یابی مشخص می شوند.

در درونیابی جهانی، درون یابی چند جمله ای بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد nدرون یابی درجه ام یا لاگرانژ.

رویکرد کلاسیک مبتنی بر الزام تطبیق دقیق مقادیر است f(ایکس) و j(ایکس) در نقاط x i(من = 0, 1, 2, … n).

ما به دنبال تابع درون یابی خواهیم بود j(ایکس) به عنوان چند جمله ای درجه n.

این چند جمله ای دارد n+ 1 ضریب. طبیعی است که چنین فرض کنیم n+ 1 شرایط

j(ایکس 0) = y 0 , j(ایکس 1) = y 1 , . . ., j(x n) = y n (3.4)

روی چند جمله ای قرار گرفته است

تعیین منحصر به فرد ضرایب آن را ممکن می سازد. در واقع، نیازمند j(ایکس) تحقق شرایط (3.4) , ما سیستم را دریافت می کنیم n+ 1 معادله با n+ 1 ناشناخته:

(3.6)

حل این سیستم برای مجهولات آ 0 ، آ 1 ، …، یکما یک عبارت تحلیلی برای چند جمله ای (3.5) به دست می آوریم. سیستم (3.6) همیشه یک راه حل منحصر به فرد دارد , زیرا تعیین کننده آن

در جبر به عنوان شناخته شده است تعیین کننده واندرموند،متفاوت از صفر . این دلالت می کنه که , چند جمله ای درونیابی چیست؟ j(ایکس) برای عملکرد f(ایکس) داده شده در یک جدول وجود دارد و منحصر به فرد است.

معادله منحنی حاصل دقیقاً از نقاط داده شده عبور می کند. خارج از گره های درون یابی، مدل ریاضی می تواند خطای قابل توجهی داشته باشد

فرمول درونیابی لاگرانژ

اجازه دهید مقادیر یک تابع مشخص شود f(ایکس)که در n+ 1 نقطه دلخواه مختلف y من = f(x i) , من = 0,…, پ.برای درون یابی (بازیابی) یک تابع در نقطه ای ایکس،متعلق به بخش [ x 0، x p], لازم است یک چند جمله ای درون یابی از مرتبه n ساخته شود که در روش لاگرانژ به صورت زیر نمایش داده می شود:

و دیدن آن آسان است Qj(x i) = 0, اگر من¹ j, و Qj(x i) =1, اگر من= j. اگر حاصل ضرب همه پرانتزها را در صورت بسط دهیم (در مخرج همه پرانتزها اعداد هستند)، یک چند جمله ای از مرتبه n به دست می آوریم. ایکس،از آنجایی که شمارنده شامل n عامل درجه اول است. بنابراین، چند جمله‌ای درون‌یابی لاگرانژ، علی‌رغم نمادگذاری خاص، چیزی بیش از یک چند جمله‌ای معمولی از مرتبه n نیست.

خطای درون یابی را در یک نقطه تخمین بزنید ایکساز جانب [ x 0، xn] (یعنی دومی را حل کنید

مسئله درون یابی) را می توان با فرمول ارائه کرد

در فرمول - حداکثر مقدار مشتق (n+1) -امین تابع اصلی f(ایکس)در بخش [ x 0، xn]. بنابراین، برای تخمین خطای درون یابی، برخی اطلاعات اضافی در مورد تابع اصلی مورد نیاز است (این باید واضح باشد، زیرا تعداد نامحدودی از توابع مختلف می توانند از نقاط اولیه داده شده عبور کنند، که خطا برای آنها متفاوت خواهد بود). چنین اطلاعاتی مشتق از ترتیب n + 1 است که یافتن آن چندان آسان نیست. در زیر نحوه رهایی از این وضعیت نشان داده خواهد شد. همچنین توجه می کنیم که استفاده از فرمول خطا تنها در صورتی امکان پذیر است که تابع n + 1 بار متمایز باشد.

برای ساخت فرمول درونیابی لاگرانژدر MathCAD استفاده از تابع راحت است اگر

اگر (شرط، x، y)

اگر cond 0 نباشد (true) مقدار x را برمی گرداند. اگر cond 0 باشد (نادرست) y را برمی گرداند (شکل 3.6).

فرمول های درون یابی لاگرانژ، نیوتن و استرلینگ و غیره هنگام استفاده از تعداد زیادی گره درون یابی در کل بخش [ آ, ب] اغلب به دلیل انباشته شدن خطاها در فرآیند محاسبه منجر به تقریب ضعیف می شود. علاوه بر این، به دلیل واگرایی فرآیند درون یابی، افزایش تعداد گره ها لزوماً منجر به افزایش دقت نمی شود. برای کاهش خطاها، کل بخش [ آ, ب] به بخش های جزئی تقسیم می شود و در هر یک از آنها تابع با یک چند جمله ای تقریباً درجه پایین جایگزین می شود. نامیده می شود درونیابی چند جمله ای تکه ای.

یکی از روش های درون یابی در کل بخش [ آ, ب] است درون یابی اسپلاین.

اسپلاینتابع چند جمله ای تکه ای تعریف شده بر روی پاره [ آ, ب] و داشتن تعداد معینی مشتق پیوسته در این بازه. مزایای درون یابی اسپلاین نسبت به روش های درون یابی معمولی در همگرایی و پایداری فرآیند محاسباتی است.

یکی از رایج ترین موارد را در عمل در نظر بگیرید - درون یابی تابع اسپلاین مکعبی.
اجازه دهید در بخش [ آ, ب] یک تابع پیوسته است. بیایید یک پارتیشن از بخش را معرفی کنیم:

و نشان می دهد، .

یک spline مربوط به یک تابع معین و گره های درون یابی (6) تابعی است که شرایط زیر را برآورده می کند:

1) در هر بخش، تابع یک چند جمله ای مکعبی است.

2) تابع و همچنین مشتقات اول و دوم آن بر روی قطعه پیوسته هستند [ آ, ب] ;

شرط سوم نامیده می شود شرایط درون یابی. یک spline تعریف شده توسط شرایط 1) - 3) فراخوانی می شود درون یابی اسپلاین مکعبی.

روشی را برای ساخت یک اسپلاین مکعبی در نظر بگیرید.

در هر یک از بخش ها، ما به دنبال یک تابع spline به شکل چند جمله ای درجه سوم خواهیم بود:

(7)

جایی که ضرایب مورد نظر

ما (7) را سه بار با توجه به ایکس:

از آنجا به دنبال آن است

از شرط درونیابی 3) بدست می آوریم:

از شرایط تداوم تابع نتیجه می شود.

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه

بودجه ایالت فدرال موسسه تحصیلیآموزش عالی حرفه ای

"دانشگاه ایالتی دان"

گروه "نرم افزار برای مهندسی کامپیوتر و سیستم های خودکار" "POVT و AS"

تخصص: پشتیبانی و مدیریت ریاضی سیستم های اطلاعاتی

کار دوره

در رشته "روش های محاسبه"

با موضوع: "درون یابی توسط splines"

مدیر کار:

مدودوا تاتیانا الکساندرونا

روستوف-آن-دون

ورزش

برای یک مقاله ترم در رشته "روش های محاسباتی"

دانش آموز: گروه الکساندر مویزینکو VBMO21

موضوع: درون یابی توسط splines

آخرین مهلت ارسال اثر برای دفاع "__" _______ 201_

داده های اولیه برای مقاله ترم: یادداشت های سخنرانی در مورد روش های محاسبه، ru.wikipedia.org، کتاب. کارگاه ریاضیات عالی Sobol B.V.

بخش‌های قسمت اصلی: 1 نمای کلی، 2 فرمول درون‌یابی، 3 الگوریتم درون‌یابی مکعبی، 4 طراحی نرم‌افزار، 5 نتیجه عملکرد نرم‌افزار.

رئیس کار: /Medvedeva T.A./

انشا

این گزارش شامل: صفحات-19، نمودار-3، منابع-3، بلوک دیاگرام-1 است.

کلمات کلیدی: INTERPOLATION، SPLINE، سیستم Mathcad، INTERPOLATION BY SPLINES.

روش درون یابی توسط اسپلاین های مکعبی به تفصیل در نظر گرفته شده است. ماژول نرم افزار مربوطه ارائه شده است. بلوک دیاگرام ماژول برنامه نشان داده شده است. چندین مثال در نظر گرفته شده است.

مقدمه

1. بررسی نظری

2. درون یابی

2.1 درون یابی با اسپلاین درجه دوم

2.2 درونیابی با استفاده از اسپلاین مکعبی

2.3 بیان مشکل

3. الگوریتم درونیابی با استفاده از SPLINE مکعب

4. طراحی نرم افزار

5. نتایج عملیات نرم افزار

5.1 شرح نمونه ها

5.2 نتیجه آزمایش

5.3 مورد آزمایشی 1

5.4 مورد آزمایشی 2

5.5 مورد آزمایشی 3

نتیجه

کتابشناسی - فهرست کتب

مقدمه

تقریب توابع شامل جایگزینی تقریبی تابع داده شده است f(ایکس) توسط یک تابع j( ایکس) به طوری که انحراف تابع j( ایکس) از جانب f(ایکس) در منطقه داده شده کوچکترین بود. تابع j( ایکس) تقریبی نامیده می شود. یک مشکل تقریب تابع معمولی مسئله درون یابی است. نیاز به درون یابی تابع عمدتاً به دو دلیل است:

1. عملکرد f(ایکس) دارای یک توصیف تحلیلی پیچیده است که باعث ایجاد مشکلات خاصی در استفاده از آن می شود (به عنوان مثال، f(ایکس) یک تابع خاص است: تابع گاما، تابع بیضوی و غیره).

2. توصیف تحلیلی تابع f(ایکس) ناشناخته، یعنی f(ایکس) در جدول آورده شده است. در این مورد، لازم است یک توصیف تحلیلی داشته باشیم که تقریباً نشان دهنده آن باشد f(ایکس) (مثلاً برای محاسبه مقادیر f(ایکس) در نقاط دلخواه، تعاریف انتگرال و مشتقات از f(ایکس) و غیره.).

1. بررسی نظری

درون یابی - در ریاضیات محاسباتی، راهی برای یافتن مقادیر میانی یک کمیت از یک مجموعه گسسته موجود ارزش های شناخته شده. هنگام حل مسائل با محاسبات علمی و مهندسی، اغلب لازم است با مجموعه‌هایی از مقادیر به‌دست‌آمده به‌صورت تجربی یا با روش عمل کرد. نمونه اتفاقی. به عنوان یک قاعده، بر اساس این مجموعه ها، لازم است تابعی ساخته شود که سایر مقادیر به دست آمده با دقت بالایی بر روی آن قرار گیرند. به این مشکل تقریب توابع می گویند. درون یابی نوعی تقریب توابع است که در آن منحنی تابع ساخته شده دقیقاً از نقاط داده موجود عبور می کند.

Spline تابعی است که دامنه تعریف آن به تعداد محدودی از بخش ها تقسیم می شود که در هر یک از آنها spline با چند جمله ای جبری منطبق است. حداکثر درجه چند جمله ای های مورد استفاده را درجه اسپلاین می گویند. تفاوت بین درجه اسپلاین و صافی حاصل را نقص اسپلاین می گویند.

Splines این امکان را فراهم می کند که به طور موثر مشکلات پردازش وابستگی های تجربی بین پارامترهایی را که ساختار نسبتاً پیچیده ای دارند حل کند.

خطوط مکعبی کاربرد عملی گسترده ای پیدا کرده اند. ایده‌های اصلی تئوری اسپلاین‌های مکعبی در نتیجه تلاش‌ها برای توصیف ریاضی لت‌های انعطاف‌پذیر ساخته شده از مواد الاستیک (خط‌های مکانیکی) شکل گرفت که مدت‌هاست توسط نقشه‌کشان در مواردی که کشیدن یک منحنی به اندازه کافی صاف از طریق آن ضروری می‌شد، استفاده می‌شد. امتیاز داده شده مشخص است که یک ریل ساخته شده از یک ماده الاستیک که در نقاط خاصی ثابت شده و در وضعیت تعادل قرار دارد، شکلی به خود می گیرد که انرژی آن حداقل است. این ویژگی اساسی استفاده موثر از splines را در حل مسائل عملی پردازش اطلاعات تجربی ممکن می سازد.

2. درون یابی

2.1 درون یابی با اسپلاین درجه دوم

بنابراین، در هر بخش جزئی از درون یابی، تابعی از شکل را می سازیم:

ما به دنبال ضرایب spline از شرایط زیر خواهیم بود:

الف) شرایط لاگرانژ

ب) پیوستگی مشتق اول در نقاط گرهی

دو شرط آخر معادلات را به دست می دهند، در حالی که تعداد ضرایب مجهول. معادله گم شده را می توان از شرایط اضافی اعمال شده بر رفتار اسپلاین به دست آورد. به عنوان مثال، می توانید درخواست کنید که مقدار اولین مشتق از spline s 1 در نقطه x 0 صفر باشد، یعنی.

جایگزینی این عبارات به معادلات زیر منجر می شود

جایی که نماد

اجازه دهید ضرایب را از معادله دوم بیان کنیم ج 1 ، پس از جایگزینی مقادیر ضرایب در آن آ 1 از معادله اول:

سپس با جایگزینی این عبارت در معادله سیستم، یک رابطه بازگشتی ساده برای ضرایب بدست می آوریم.

اکنون الگوریتم تعیین ضرایب اسپلاین ها کاملاً آشکار می شود. ابتدا با استفاده از فرمول، مقادیر تمام ضرایب را با در نظر گرفتن این واقعیت تعیین می کنیم. سپس طبق فرمول ضرایب را محاسبه می کنیم. ضرایب از معادله اول سیستم تعیین می شود. در این حالت، روش محاسبه ضرایب اسپلاین ها فقط یک بار نیاز است.

پس از محاسبه ضرایب، برای محاسبه خود اسپلاین، کافی است تعداد بازه‌ای که نقطه درون یابی در آن می‌افتد را تعیین کرده و از فرمول استفاده کنید. برای تعیین عدد بازه، از الگوریتمی مشابه الگوریتم استفاده شده در مثال قبل برای درونیابی درجه دوم تکه ای استفاده خواهیم کرد.

2.2 درونیابی با استفاده از اسپلاین مکعبی

اسپلاین درون یابی مکعبی , مناسب برای این عملکرد f(ایکس) و گره های داده شده ایکس من, تابع نامیده می شود اس(ایکس), ارضای شرایط زیر:

1. در هر بخش [ ایکس من- 1 ، ایکس من]، من = 1, 2, ...، نعملکرد اس(ایکس) یک چند جمله ای درجه سوم است،

2. عملکرد اس(ایکس), و همچنین مشتقات اول و دوم آن بر روی قطعه [ الف، ب],

3. اس(ایکس من)= f(ایکس من)، من = 0, 1، ...، ن.

روی هر یک از بخش ها [ایکس من- 1 ، ایکس من]، من = 1, 2, ...، نما به دنبال یک تابع خواهیم بود اس(ایکس)= S من(ایکس) به صورت چند جمله ای درجه سوم:

اس من(ایکس)= a من+b من(x-x من- 1)+c من(x-x من- 1) 2 +d من(ایکس- 1) 3 ,

ایکس من- 1 Ј ایکسЈ ایکس من,

جایی که آ من، ب من، ج من، د من- اصلاً ضرایب تعیین شود nبخش های ابتدایی برای اینکه یک سیستم معادلات جبری جواب داشته باشد، تعداد معادلات باید دقیقاً برابر با تعداد مجهولات باشد. پس باید 4 بگیریم nمعادلات

اول 2 nمعادلات را از شرطی بدست می آوریم که نمودار تابع اس(ایکس) باید از نقاط داده شده عبور کند، i.e.

اس من(ایکس من- 1)=y من- 1 ، اس من(ایکس من) = y من.

این شرایط را می توان به صورت زیر نوشت:

اس من(ایکس من- 1)= a من=y من- 1 ,

اس من(ایکس من)= a من+b منساعت من+c منh + d منh = y من,

ساعت من= x من- ایکس من- 1 ، من = 1, 2، ...، n.

بعدی 2 n- 2 معادله از شرط تداوم مشتق اول و دوم در گره های درون یابی، یعنی شرط صاف بودن منحنی در همه نقاط، به دست می آید.

اس" من + 1 (ایکس من)=S" من(ایکس من), من = 1، ...، n - 1,

اس"" من + 1 (ایکس من)=S"" من(ایکس من)، من = 1، ...، n - 1,

اس" من(ایکس)= ب من + 2 ج من(x-x من- 1) + 3 د من(x-x من- 1),

اس" من + 1 (ایکس)= ب من + 1 + 2 ج من + 1 (x-x من) + 3 د من + 1 (x-x من).

معادل سازی در هر گره داخلی x = x منمقادیر این مشتقات محاسبه شده در فواصل سمت چپ و راست گره را به دست می آوریم (با در نظر گرفتن ساعت من= x من- ایکس من- 1):

ب من + 1 = ب من + 2 ساعت منج من + 3ساعت د من، من = 1، ...، n - 1,

اس"" من(ایکس) = 2 ج من + 6 د من(x-x من- 1),

اس"" من + 1 (ایکس) = 2 ج من + 1 + 6 د من + 1 (x-x من),

اگر ایکس = ایکس من

ج من + 1 = ج من + 3 ساعت مند من، من = 1, 2, ...، n- 1.

در این مرحلهما 4 تا داریم nناشناخته و 4 n- 2 معادله بنابراین دو معادله دیگر باید پیدا شود.

با تثبیت آزاد انتهایی، انحنای خط در این نقاط را می توان برابر با صفر دانست. از شرایط انحنای صفر در انتها چنین می شود که مشتقات دوم در این نقاط برابر با صفر هستند:

اس 1" " (ایکس 0) = 0 و اس ن""(ایکس n) = 0,

ج من = 0 و 2 ج n + 6 د nساعت n = 0.

معادلات سیستمی از معادلات جبری خطی را برای تعیین 4 تشکیل می دهند nضرایب: آ من، ب من، ج من، د من (من = 1, 2, . . ., n).

این سیستم را می توان به شکل راحت تری کاهش داد. از شرط، بلافاصله می توانید تمام ضرایب را پیدا کنید آمن .

من = 1, 2, ...، n- 1,

با جایگزین کردن، دریافت می کنیم:

ب من = - (ج من + 1 + 2ج من)، من = 1, 2, ...، n- 1,

ب n = - (ساعت nج n)

ضرایب را از معادله حذف کنید ب منو د من. در نهایت سیستم معادلات زیر را فقط برای ضرایب بدست می آوریم با من:

ج 1 = 0 و ج n+ 1 = 0:

ساعت من- 1 ج من- 1 + 2 (ساعت من- 1 + ساعت من) ج من+ h منج من + 1 = 3 ,

من = 2, 3, ...، n.

با توجه به ضرایب یافت شده با من آسان برای محاسبه د من، ب من.

2.3 بیان مشکل

در بخش [ الف، ب] داده می شود n + 1 نکته ها ایکس من = ایکس 0 , ایکس 1 , . . ., ایکس n، که گره نامیده می شوند درون یابی , و مقدار یک تابع f(ایکس) در این نقاط

f(ایکس 0)=y 0 ، اف(ایکس 1) = y 1 , . . .، f(ایکس n)=y n.

استفاده از اسپلاین های مکعبی برای ساخت تابع درون یابی f(ایکس).

3. الگوریتم درونیابی با استفاده از SPLINE مکعب

بیایید با الگوریتم برنامه آشنا شویم.

1. محاسبه مقادیر و

2. بر اساس این مقادیر ضرایب sweep و o را محاسبه می کنیم.

3. بر اساس داده های به دست آمده، ضرایب را محاسبه می کنیم

4. سپس مقدار تابع را با استفاده از spline محاسبه می کنیم.

4. طراحی نرم افزار

5. نتایج نرم افزار

5.1 شرح موارد آزمایشی

در این دوره، یک ماژول نرم افزاری توسعه داده شد که منحنی مربوط به آنها را از طریق نقاط موجود ترسیم می کند. موارد آزمایشی برای بررسی اثربخشی کار انجام شد.

5.2 نتایج آزمون

برای بررسی اجرای صحیح موارد تست، از تابع cspline تعبیه شده در بسته MATHCAD استفاده می شود که بردار مشتقات دوم را هنگام نزدیک شدن به چند جمله ای مکعبی در نقاط مرجع برمی گرداند.

5.3 مورد آزمایشی 1

شکل 1.1 - نتیجه برنامه

مورد آزمایشی 2

شکل 1.2 - نتیجه برنامه

مورد آزمایشی 3

شکل 1.3 - نتیجه برنامه

نتیجه

تابع درون یابی اسپلاین محاسباتی

در ریاضیات محاسباتی، درونیابی توابع نقش اساسی ایفا می کند، به عنوان مثال. ساخت یک تابع معین از دیگری (معمولاً ساده تر) که مقادیر آن با مقادیر تابع داده شده در تعداد معینی از نقاط منطبق است. علاوه بر این، درونیابی دارای اهمیت عملی و نظری است. در عمل، مشکل اغلب بازگرداندن یک تابع پیوسته از مقادیر جدولی آن، به عنوان مثال، از مقادیر به دست آمده در دوره آزمایشی به وجود می آید. برای محاسبه بسیاری از توابع، تقریب آنها با چند جمله ای یا توابع گویا کسری کارآمد است. تئوری درون یابی در ساخت و مطالعه فرمول های تربیعی برای انتگرال گیری عددی، برای به دست آوردن روش هایی برای حل معادلات دیفرانسیل و انتگرال استفاده می شود. نقطه ضعف اصلی درون یابی چند جمله ای این است که در یکی از راحت ترین و رایج ترین شبکه ها - شبکه ای با گره های مساوی فاصله - ناپایدار است. اگر مشکل اجازه دهد، این مشکل را می توان با انتخاب یک شبکه با گره های Chebyshev حل کرد. با این حال، اگر ما نتوانیم آزادانه گره های درون یابی را انتخاب کنیم، یا فقط به الگوریتمی نیاز داریم که برای انتخاب گره ها خیلی سخت نباشد، درون یابی منطقی ممکن است جایگزین مناسبی برای درونیابی چند جمله ای باشد.

از مزایای درون یابی اسپلاین می توان به سرعت پردازش بالای الگوریتم محاسباتی اشاره کرد، زیرا spline یک تابع چند جمله ای تکه ای است و در طول درونیابی، داده ها به طور همزمان برای تعداد کمی از نقاط اندازه گیری متعلق به قطعه در نظر گرفته شده در آن پردازش می شوند. این لحظه. سطح درونیابی شده تنوع فضایی مقیاس های مختلف را توصیف می کند و در عین حال صاف است. شرایط اخیر امکان تجزیه و تحلیل مستقیم هندسه و توپولوژی سطح را با استفاده از روش های تحلیلی فراهم می کند.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. بی.و.سوبول، بی.چ.مسخی، آی.م.پشخوف. کارگاه ریاضیات محاسباتی. - روستوف روی دان: فینیکس، 2008;

2. ن.س. باخوالوف، ن.پ. ژیدکوف، G.M. کوبلکوف روشهای عددی. انتشارات "آزمایشگاه دانش پایه". 2003

3. www.wikipedia.ru/spline

اسناد مشابه

روش های محاسباتی جبر خطی. درون یابی تابع چند جمله ای درونیابی نیوتن. گره های درون یابی چند جمله ای درونیابی لاگرانژ. درون یابی اسپلاین. ضرایب اسپلاین های مکعبی.

کار آزمایشگاهی، اضافه شده 02/06/2004


در ریاضیات محاسباتی، درونیابی توابع نقش اساسی ایفا می کند. فرمول لاگرانژ درون یابی طبق طرح آیتکن. فرمول های درون یابی نیوتن برای گره های همفاصله. فرمول نیوتن با اختلافات تقسیم شده درون یابی اسپلاین.

کار کنترل، اضافه شده 01/05/2011


ساختن چند جمله ای درون یابینیوتن یک نمودار رسم کنید و گره های درون یابی را روی آن علامت بزنید. چند جمله ای درون یابی لاگرانژ را بسازید. درون یابی spline درجه سوم را انجام دهید.

کار آزمایشگاهی، اضافه شده 02/06/2004


نقش درونیابی توابعی که مقادیر آنها با مقادیر یک تابع معین در تعداد معینی از نقاط منطبق است. درون یابی توابع توسط چند جمله ای ها، توابع مستقیم پیوسته روی یک قطعه و در یک نقطه. تعریف مفهوم خطای درونیابی.

مقاله ترم، اضافه شده 04/10/2011


تقریب مستمر و نقطه ای. چند جمله ای های درون یابی لاگرانژ و نیوتن. خطای درونیابی جهانی، وابستگی درجه دوم. روش حداقل مربعات انتخاب فرمول های تجربی درون یابی ثابت تکه ای و خطی تکه ای.

مقاله ترم، اضافه شده در 2014/03/14


آشنایی با تاریخچه ظهور روش مقطع طلایی. در نظر گرفتن مفاهیم اساسی و الگوریتم برای انجام محاسبات. بررسی روش عدد فیبوناچی و ویژگی های آن. شرح نمونه هایی از پیاده سازی روش مقطع طلایی در برنامه نویسی.

مقاله ترم، اضافه شده 08/09/2015


مسائل درون یابی جهانی و محلی توسط لاگرانژ و نیوتن. رفتار colive چند جمله ای درونیابی. توابع رانج اسپلاین گروهی از چندجمله‌ای به نام چندجمله‌ای مکعبی است که اولی غیر قابل عبور و دیگری مشابه، مزایای درون‌یابی اسپلاین است.

ارائه، اضافه شده در 2014/02/06


روش های تمایز عددی محاسبه مشتق، ساده ترین فرمول ها. تمایز عددی بر اساس درون یابی توسط چندجمله ای های جبری. تقریب توسط چند جمله ای لاگرانژ. تمایز، با استفاده از درون یابی.

مقاله ترم، اضافه شده در 1395/02/15


شرح روش های حل یک سیستم معادلات جبری خطی: ماتریس معکوسژاکوبی، گاوس سیدل. فرمول بندی و حل مسئله درونیابی. انتخاب وابستگی چند جمله ای با روش حداقل مربعات. ویژگی های روش آرام سازی.

کار آزمایشگاهی، اضافه شده در 12/06/2011


مشکل یافتن یک افراط: ماهیت و محتوا، بهینه سازی. حل با روش های درونیابی درجه دوم و مقطع طلایی، ویژگی های مقایسه ای آنها، تعیین مزایا و معایب اصلی. تعداد تکرارها و تخمین دقت.

منحنی ها و سطوحی که در مسائل عملی با آنها مواجه می شوند اغلب شکل نسبتاً پیچیده ای دارند که به کمک توابع ابتدایی اجازه نمی دهد مشخصات تحلیلی جهانی به طور کلی وجود داشته باشد. بنابراین، آنها از قطعات صاف نسبتا ساده - بخش ها (منحنی ها) یا برش ها (سطوح) مونتاژ می شوند، که هر کدام را می توان با استفاده از توابع ابتدایی یک یا دو متغیر به طور کاملا رضایت بخش توصیف کرد. در عین حال، کاملاً طبیعی است که نیاز داشته باشیم که توابع صافی که برای ساختن منحنی ها یا سطوح جزئی استفاده می شوند، ماهیت مشابهی داشته باشند، به عنوان مثال، چند جمله ای با درجه یکسان باشند. و برای اینکه منحنی یا سطح حاصله به اندازه کافی صاف باشد، لازم است در محل اتصال قطعات مربوطه مراقب باشید. درجه چند جمله ای ها از ملاحظات هندسی ساده انتخاب می شود و معمولاً کوچک است. برای تغییر صاف مماس در امتداد کل منحنی مرکب، کافی است منحنی‌های اتصال را با استفاده از چندجمله‌ای درجه سوم، چند جمله‌ای مکعبی توصیف کنیم. ضرایب این چند جمله ای ها را همیشه می توان طوری انتخاب کرد که انحنای منحنی ترکیبی متناظر پیوسته باشد. خطوط مکعبی که در حل مسائل یک بعدی به وجود می آیند را می توان با شکل دادن به قطعات سطوح کامپوزیت تطبیق داد. و در اینجا، کاملاً طبیعی، خطوط دو مکعبی ظاهر می‌شوند که با چند جمله‌ای درجه سوم در هر یک از دو متغیر توصیف می‌شوند. کار با این گونه اسپلاین ها نیازمند محاسبات بسیار بیشتری است. اما یک فرآیند به درستی سازماندهی شده اجازه می دهد تا حداکثر قابلیت های رو به رشد فناوری رایانه را در نظر بگیریم. توابع Spline Let on قطعه، یعنی Remark. شاخص (t) اعداد a^ نشان دهنده آن است. که مجموعه ضرایبی که تابع S(x) بر روی هر قطعه جزئی D تعیین می شود، مختص به خود است. در هر یک از بخش‌های D1، spline 5(x) چند جمله‌ای با درجه p است و بر روی این بخش با ضریب p + 1 تعیین می‌شود. کل بخش های جزئی - سپس. از این رو، برای تعیین کامل spline، لازم است (p + 1) سپس اعداد را پیدا کنیم. شرط) به معنای پیوستگی تابع S(x) و مشتقات آن در تمام گره های شبکه داخلی w است. تعداد این گره ها m - 1 است. بنابراین برای یافتن ضرایب همه چند جمله ای ها، شرایط (معادلات) p(m - 1) به دست می آید. برای تعریف کامل spline، (شرایط (معادلات) کافی وجود ندارد. انتخاب شرایط اضافی با توجه به ماهیت مشکل مورد بررسی و گاهی اوقات صرفاً با تمایل کاربر تعیین می شود. تئوری SPLINE نمونه هایی از راه حل ها اغلب، مسائل درون یابی و هموارسازی در نظر گرفته می شوند، زمانی که نیاز به ساختن یک یا آن اسپلاین از آرایه معینی از نقاط در یک صفحه باشد در مسائل درون یابی، لازم است که نمودار اسپلاین از نقاطی عبور کند. m + 1 شرایط (معادلات) اضافی را بر ضرایب خود تحمیل می کند. شرایط p - 1 باقیمانده (معادلات) برای ساخت منحصر به فرد یک اسپلاین اغلب به شکل مقادیر مشتقات پایین تر اسپلاین در انتهای بخش مورد نظر [a, 6] - مرز تنظیم می شود. شرایط مرزی. توانایی انتخاب شرایط مرزی مختلف به شما این امکان را می دهد که اسپلاین هایی با ویژگی های مختلف بسازید. در مسائل هموارسازی، یک اسپلاین به گونه ای ساخته می شود که نمودار آن از نزدیک نقاط (i "" Y")، * = 0، 1، ...، m و نه از آنها عبور کند. اندازه گیری این نزدیکی را می توان به روش های مختلفی تعریف کرد که منجر به تنوع قابل توجهی از هموارسازی خطوط می شود. گزینه های توصیف شده برای انتخاب هنگام ساخت توابع اسپلاین به دور از فرسودگی تنوع آنها هستند. و اگر در ابتدا فقط توابع اسپلاین چند جمله ای تکه تکه در نظر گرفته می شد، سپس با گسترش دامنه کاربرد آنها، اسپلاین ها شروع به ظاهر شدن کردند که از دیگر توابع ابتدایی نیز "چسبانده شده بودند". خطوط مکعب درونیابی بیان مسئله درون یابی اجازه دهید شبکه w در بازه [a, 6) داده شود. مجموعه ای از اعداد مسئله را در نظر بگیرید. تابعی بسازید که روی قطعه (a, 6) صاف باشد و مقادیر داده شده را در گره های شبکه o به خود بگیرد، یعنی با تحمیل شرایط اضافی بر روی تابع در حال ساخت، می توان به منحصر به فرد بودن لازم دست یافت. در کاربردها، آن اغلب برای تقریب یک تابع داده شده به صورت تحلیلی با استفاده از یک تابع با تجویز کافی ضروری می شود خواص خوب . به عنوان مثال، در مواردی که محاسبه مقادیر یک تابع مفروض f(x) در نقاط قطعه [a, 6] با مشکلات قابل توجهی همراه است و/یا تابع داده شده f(x) دارای یکنواختی مورد نیاز است، استفاده از تابع دیگری که به اندازه کافی به خوبی تقریب داشته باشد، یک تابع داده شده و فاقد کاستی های ذکر شده است، راحت است. مشکل درونیابی توابع بر روی بازه [a, 6] یک تابع صاف a(x) بسازید که در گره های شبکه w با تابع داده شده f(x) منطبق است. تعریف یک اسپلاین مکعبی درون یابی اسپلاین مکعبی درون یابی S(x) روی یک مش w تابعی است که 1) روی هر یک از قطعات یک چند جمله ای درجه سوم است، 2) دو بار به طور پیوسته در قطعه [a, b قابل تمایز است. ]، یعنی متعلق به کلاس C2 است[a، 6] و 3) شرایط را برآورده می کند در هر یک از بخش ها، spline S(x) چند جمله ای درجه سه است و بر روی این بخش با چهار ضریب تعیین می شود. تعداد کل پاره ها m است یعنی برای تعیین کامل spline باید اعداد 4m را پیدا کرد شرط به معنای پیوستگی تابع S (x) و مشتقات آن S "(x) و 5" است. (x) در تمام گره های شبکه داخلی w. تعداد این گره ها m - 1 است. بنابراین برای یافتن ضرایب همه چند جمله ای ها، 3 (m - 1) شرایط (معادلات) بیشتر به دست می آید. همراه با شرایط (2)، شرایط (معادلات) به دست می آید. شرایط مرزی (مرز) دو شرط از دست رفته به عنوان محدودیت در مقادیر spline و/یا مشتقات آن در انتهای بازه مشخص شده است [a, 6]. هنگام ساخت یک اسپلاین مکعبی درون یابی، بیشتر از شرایط مرزی چهار نوع زیر استفاده می شود. الف. شرایط مرزی نوع 1. - در پایان بازه [a, b]، مقادیر اولین مشتق تابع مورد نظر داده می شود. ب. شرایط مرزی نوع 2. - در پایان بازه (a, 6) مقادیر دومین مشتق تابع مورد نظر تنظیم می شود. ب- شرایط مرزی نوع 3. دوره ای نامیده می شوند. در مواردی که تابع درونیابی تناوبی با دوره T = b-a باشد، نیاز به تحقق این شرایط طبیعی است. د. شرایط مرزی نوع 4. نیاز به نظر خاصی دارد اظهار نظر. در گره های sepsi داخلی، سومین مشتق تابع S(x) به طور کلی ناپیوسته است. با این حال، تعداد ناپیوستگی های مشتق سوم را می توان با استفاده از شرایط نوع 4 کاهش داد. در این حالت، اسپلاین ساخته شده به طور پیوسته سه بار در فواصل زمانی قابل تمایز خواهد بود.ساخت یک اسپلاین مکعبی درون یابی. در هر یک از بازه ها، تابع spline درون یابی به شکل زیر جستجو می شود برای شرایط مرزی نوع 1 و 2، این سیستم دارای شکل زیر است که در آن ضرایب به انتخاب شرایط مرزی بستگی دارد. شرایط مرزی نوع 1: شرایط مرزی نوع 2: در مورد شرایط مرزی نوع 3، سیستم تعیین اعداد به صورت زیر نوشته می شود. برای شرایط مرزی نوع 4، سیستم تعیین اعداد دارای فرم است ماتریس های هر سه سیستم جبری خطی ماتریس هایی با غلبه مورب هستند. این ماتریس ها منحط نیستند و بنابراین هر یک از این سیستم ها راه حل منحصر به فردی دارند. قضیه. یک اسپلاین مکعب درونیابی که شرایط (2) را برآورده می کند و یک شرط مرزی یکی از چهار نوع ذکر شده وجود دارد و منحصر به فرد است. بنابراین، ساختن یک spline مکعبی درون یابی به معنای یافتن ضرایب آن است. وقتی ضرایب spline پیدا شد، مقدار spline S(x) در یک نقطه دلخواه از بخش [a, b] را می توان با استفاده از فرمول (( 3). اما برای محاسبات عملی، الگوریتم زیر برای یافتن کمیت S(x) مناسب تر است. اجازه دهید x 6 [x"، ابتدا مقادیر A و B طبق فرمول ها محاسبه شده و سپس مقدار 5(x) بدست می آید: استفاده از این الگوریتم هزینه های محاسباتی برای تعیین مقدار را به طور قابل توجهی کاهش می دهد. کاربر انتخاب شرایط مرزی (مرز) و گره های درون یابی تا حدودی امکان کنترل ویژگی های خطوط درون یابی را فراهم می کند. الف- انتخاب شرایط مرزی (مرز). انتخاب شرایط مرزی یکی از مشکلات اصلی در درونیابی توابع است. در مواردی که لازم است از دقت بالای تقریب تابع f(x) توسط spline 5(g) در نزدیکی انتهای بخش [a, 6] اطمینان حاصل شود، اهمیت ویژه ای پیدا می کند. مقادیر مرزی تأثیر قابل توجهی بر رفتار spline 5(g) در نزدیکی نقاط a و b می‌گذارند و این تأثیر با دور شدن از آنها به سرعت ضعیف می‌شود. انتخاب شرایط مرزی اغلب با حضور تعیین می شود اطلاعات اضافی بر روی رفتار تابع f(x) که تقریبی شده است. اگر مقادیر اولین مشتق f "(x) در انتهای بخش (a, 6) شناخته شده باشد، طبیعی است که از شرایط مرزی نوع 1 استفاده شود. اگر مقادیر دومی مشتق f "(x) در انتهای قطعه [a, 6] شناخته شده است، پس شرایط مرزی استفاده طبیعی از نوع دوم است. اگر امکان انتخاب بین شرایط مرزی نوع 1 و 2 وجود دارد، باید به شرایط نوع 1 اولویت داده شود. اگر f(x) یک تابع تناوبی است، پس باید در شرایط مرزی نوع 3 توقف کنیم. اگر اطلاعات اضافی در مورد رفتار تابع تقریبی وجود نداشته باشد، اغلب از شرایط به اصطلاح مرزی طبیعی استفاده می شود، اما باید در نظر داشت که با چنین انتخابی از شرایط مرزی، دقت تقریب تابع f می باشد. (x) توسط spline S (x) در نزدیکی انتهای قطعه (a, ft) به شدت کاهش می یابد. گاهی اوقات از شرایط مرزی نوع 1 یا 2 استفاده می شود، اما نه با مقادیر دقیق مشتقات مربوطه، اما با تقریب های متفاوت آنها دقت این رویکرد پایین است.تجربه عملی محاسبات نشان می دهد که در شرایط مورد بررسی مناسب ترین انتخاب شرایط مرزی نوع 4 است.ب.انتخاب گره های درونیابی.اگر مشتق سوم f" "(x) تابع در برخی از نقاط قطعه [a, b] ناپیوسته است، سپس برای بهبود کیفیت تقریب، این نقاط باید در تعداد گره های درون یابی گنجانده شوند. مشتق دوم / "(x)، سپس برای جلوگیری از نوسان اسپلاین در نزدیکی نقاط ناپیوستگی باید اقدامات خاصی انجام شود. گره های درون یابی به گونه ای انتخاب می شوند که نقاط ناپیوستگی مشتق دوم در داخل بازه \xif قرار می گیرند، به طوری که. مقدار a را می توان با آزمایش عددی انتخاب کرد (اغلب تنظیم a = 0.01 کافی است). مجموعه ای از دستور العمل ها برای غلبه بر مشکلاتی وجود دارد که هنگام ناپیوسته بودن اولین مشتق f "(x) به وجود می آیند. به عنوان یکی از ساده ترین آنها، می توانیم این را پیشنهاد کنیم: بخش تقریب را به فواصل زمانی که مشتق پیوسته است تقسیم کنید و یک عدد بسازید. انتخاب تابع درون یابی (مزایا و معایب) رویکرد 1. چند جمله ای درون یابی لاگرانژ برای یک آرایه معین نظریه SPLINE نمونه هایی از راه حل ها (شکل 3) چند جمله ای درون یابی لاگرانژ با فرمول تعیین می شود. ویژگی های چند جمله ای درون یابی لاگرانژ از دو موقعیت متضاد، با بحث در مورد مزایای اصلی جدا از معایب - رویکرد: 1) نمودار چند جمله ای درون یابی لاگرانژ از هر نقطه آرایه عبور می کند، 2) تابع ساخته شده به راحتی توصیف می شود ( تعداد ضرایب چند جمله ای درون یابی لاگرانژ در شبکه u که باید تعیین شود برابر با m + 1 است، 3) تابع ساخته شده دارای مشتقات پیوسته از هر منفذی است. 4) چند جمله ای درون یابی به طور منحصر به فردی توسط یک آرایه معین تعریف می شود. معایب اصلی رویکرد اول: 1) درجه چند جمله ای درون یابی لاگرانژ به تعداد گره های شبکه بستگی دارد و هر چه این عدد بزرگتر باشد، درجه چند جمله ای درون یابی بالاتر است و بنابراین محاسبات بیشتری مورد نیاز است. ) تغییر حداقل یک نقطه در آرایه مستلزم محاسبه مجدد کامل ضرایب چند جمله ای درونیابی لاگرانژ است، 3) افزودن یک نقطه جدید به آرایه، درجه چند جمله ای درونیابی لاگرانژ را یک بار افزایش می دهد و حتی منجر به محاسبه مجدد کامل ضرایب آن می شود. ، 4) با پالایش مش نامحدود، درجه چند جمله ای درونیابی لاگرانژ به طور نامحدود افزایش می یابد. رفتار چند جمله ای درونیابی لاگرانژ تحت پالایش مش نامحدود به طور کلی نیاز به توجه ویژه دارد. نظرات الف. تقریب تابع پیوسته توسط یک چند جمله ای. شناخته شده است (Weierstrass, 1885) که هر تابع پیوسته (و حتی بیشتر صاف) در یک بازه را می توان با یک چند جمله ای در این بازه تقریبی کرد و همچنین خواست. اجازه دهید این واقعیت را با زبان فرمول ها توصیف کنیم. فرض کنید f(x) یک تابع پیوسته در قطعه [a, 6] باشد. سپس برای هر e > 0 یک چند جمله‌ای Рn(x) وجود دارد به طوری که برای هر x از بازه [a, 6] نابرابری برآورده می‌شود (شکل 4) بی‌نهایت تعداد زیادی وجود دارد. روی قطعه [a, 6] یک شبکه w می سازیم. واضح است که گره های آن، به طور کلی، با نقاط تقاطع نمودارهای چند جمله ای Pn(x) و تابع f(x) منطبق نیستند (شکل 5). بنابراین، برای شبکه گرفته شده، چند جمله ای Pn(x) یک چند جمله ای درون یابی نیست. هنگامی که یک تابع پیوسته توسط یک چند جمله ای درون یابی Jla-grajj تقریب می شود، نمودار آن نه تنها لازم نیست در هر نقطه از بخش [a, b] به نمودار تابع f(x) نزدیک باشد، بلکه می تواند از آن نیز منحرف شود. این تابع به اندازه دلخواه بیایید دو مثال بزنیم. مثال 1 (Rung, 1901). با افزایش نامحدود در تعداد گره ها برای یک تابع در بازه [-1، 1]، برابری حد برآورده می شود (شکل 6) مثال 2 (Berichtein, 1912). دنباله ای از چند جمله ای های درون یابی لاگرانژ که بر روی شبکه های یکنواخت نانومتر برای یک تابع پیوسته ساخته شده اند /(x) = |x| در بخش با افزایش تعداد گره ها m به تابع f(x) تمایل ندارد (شکل 7). رویکرد 2. درون یابی خطی تکه ای اگر صاف بودن تابع درون یابی رها شود، نسبت بین تعداد مزایا و تعداد معایب می تواند به طور محسوسی در جهت اولی تغییر کند. اجازه دهید یک تابع خطی تکه تکه با اتصال متوالی نقاط (xit y) با پاره های خط مستقیم بسازیم (شکل 8). مزایای اصلی رویکرد دوم: 1) نمودار یک تابع خطی تکه تکه از هر نقطه آرایه عبور می کند، 2) تابع ساخته شده به راحتی توصیف می شود (تعداد ضرایب توابع خطی مربوطه که برای شبکه تعیین می شود ( 1) 2 متر است)، 3) تابع ساخته شده توسط یک آرایه مشخص به طور واضح تعریف می شود، 4) درجه چندجمله ای های مورد استفاده برای توصیف تابع درون یابی به تعداد گره های شبکه (برابر 1) بستگی ندارد، 5) تغییر یک نقطه در آرایه مستلزم محاسبه چهار عدد (ضرایب دو پیوند مستقیم خطی ناشی از نقطه جدید) است، 6) افزودن نقطه اضافی به آرایه مستلزم محاسبه چهار ضریب است. تابع خطی تکه ای هنگام پالایش شبکه کاملاً خوب عمل می کند. اشکال اصلی رویکرد دوم این است که تابع خطی تقریبی تکه ای هموار نیست: مشتقات اول در گره های شبکه (گوش های درون یابی) دچار ناپیوستگی می شوند. نزدیک 3. درون یابی Spline رویکردهای پیشنهادی را می توان ترکیب کرد تا تعداد مزایای ذکر شده هر دو رویکرد حفظ شود و در عین حال تعداد معایب کاهش یابد. این را می توان با ساخت یک تابع spline درون یابی صاف درجه p انجام داد. مزایای اصلی رویکرد سوم: 1) نمودار تابع ساخته شده از هر نقطه آرایه عبور می کند، 2) توصیف تابع ساخته شده نسبتاً آسان است (تعداد ضرایب چند جمله ای مربوطه که برای شبکه تعیین می شود ( 1) است 3) تابع ساخته شده به طور منحصر به فرد توسط آرایه داده شده تعیین می شود، 4) چند جمله ای های درجه به تعداد گره های شبکه بستگی ندارد و بنابراین با افزایش آن تغییر نمی کند، 5) تابع ساخته شده مشتقات پیوسته دارد. به ترتیب p - 1 شامل، 6) تابع ساخته شده دارای خواص تقریبی خوبی است. اشاره مختصر نام پیشنهادی - spline - تصادفی نیست - توابع چند جمله‌ای تکه‌ای صاف که توسط ما معرفی شده‌اند و اسپلاین‌های رسم ارتباط نزدیکی دارند. یک خط کش انعطاف پذیر و ایده آل نازک را در نظر بگیرید که از نقاط مرجع آرایه واقع در صفحه (x,y) عبور می کند. بر اساس قانون برنولی- اویلر، معادله خطی یک خط کش منحنی شکل دارد. تابع S(x)، که خط کش ها را توصیف می کند، یک چند جمله ای درجه سوم بین هر و دو نقطه همسایه آرایه (پشتیبانی) است و دو بار به طور پیوسته در کل بازه قابل تمایز است (a, 6). اظهار نظر. 06 درون یابی تابع پیوسته برخلاف چند جمله ای های درون یابی لاگرانژ، دنباله ای از خطوط مکعب درون یابی روی یک شبکه یکنواخت همیشه به یک تابع پیوسته درونیابی شده همگرا می شود و با بهبود خواص دیفرانسیل این تابع، سرعت همگرایی افزایش می یابد. مثال. برای یک تابع، اسپلاین مکعبی روی یک شبکه با تعداد گره‌های m = 6 خطای تقریبی به همان ترتیب چند جمله‌ای درون‌یابی Ls(z) می‌دهد و در شبکه‌ای با تعداد گره‌های m = 21، این خطا. آنقدر کوچک است که در مقیاس یک کتاب معمولی به سادگی نمی توان آن را نشان داد (شکل 10) (چند جمله ای درون یابی 1>2o(r) در این مورد خطای حدود 10000 وات می دهد). خصوصیات یک اسپلاین مکعبی درون یابی الف. خواص تخصیص یک اسپلاین مکعبی. خواص تقریبی اسپلاین درون یابی به صاف بودن تابع f(x) بستگی دارد - هر چه همواری تابع درون یابی شده بیشتر باشد، ترتیب تقریب بالاتر است و هنگامی که شبکه پالایش می شود، نرخ همگرایی بیشتر می شود. اگر تابع درون یابی شده f(x) در بازه پیوسته باشد اگر تابع درونیابی شده f(x) یک مشتق اول پیوسته در بازه [a, 6] داشته باشد، یعنی یک spline درونیابی که شرایط مرزی 1 یا را برآورده می کند. نوع 3، سپس برای h داریم در این حالت، نه تنها spline به تابع درون یابی همگرا می شود، بلکه مشتق spline نیز به مشتق این تابع همگرا می شود. اگر spline S(x) تابع f(x) را در پاره [a, b] و مشتقات اول و دوم آن به ترتیب تابع B را تقریب بزنند. اسپلاین مکعب درون یابی یک عدد دیگر دارد دارایی مفید . مثال زیر را در نظر بگیرید. مثال. یک تابع /(x) بسازید که تابعی را در کلاس توابع از فضای C2 که نمودارهای آن از نقاط آرایه x می گذرد، به حداقل می رساند) که شرایط مرزی را برآورده می کند، یک انتها (حداقل) را به تابع می دهد. نکته 2. جالب است بدانید که spline مکعب درون یابی دارای ویژگی فوق العاده ای است که در بالا در یک کلاس بسیار گسترده از توابع، یعنی در کلاس |0، 5] توضیح داده شد. 1.2. صاف کردن خطوط مکعبی در فرمول مسئله هموارسازی اجازه دهید یک شبکه و مجموعه ای از اعداد داده شود. در واقع به این معنی است که برای هر یک بازه مشخص می شود و هر عددی از این بازه را می توان به عنوان مقدار y در نظر گرفت. تفسیر مقادیر y، به عنوان مثال، به عنوان نتایج اندازه گیری برخی از تابع y(x) برای مقادیر داده شده متغیر x، حاوی یک خطای تصادفی راحت است. هنگام حل مشکل بازیابی یک تابع از چنین مقادیر "تجربی"، استفاده از درون یابی به سختی توصیه می شود، زیرا تابع درون یابی نوسانات عجیب و غریب ناشی از یک جزء تصادفی در آرایه (y،) را به طور مطیع بازتولید می کند. یک رویکرد طبیعی تر بر اساس یک روش هموارسازی طراحی شده است تا به نوعی عنصر تصادفی را در نتیجه اندازه گیری ها کاهش دهد. معمولاً در چنین مسائلی باید تابعی را پیدا کرد که مقادیر آن برای x = x، * = 0، 1، .... m در فواصل مربوطه قرار می گیرد و علاوه بر این، دارای خواص به اندازه کافی خوب باشد. مثلاً مشتقات اول و دوم پیوسته داشته باشد یا نمودار آن منحنی خیلی قوی نداشته باشد، یعنی نوسانات قوی نداشته باشد. مشکلی از این نوع نیز زمانی به وجود می آید که، طبق یک آرایه (دقیقا) داده شده، لازم است تابعی ساخته شود که از نقاط غیر داده شده، اما نزدیک آنها عبور کند و علاوه بر این، کاملاً هموار تغییر کند. به عبارت دیگر، تابع مورد نظر آرایه داده شده را همانطور که بود هموار کرد و آن را درون یابی نکرد. اجازه دهید یک شبکه w و دو مجموعه اعداد داده شود نظریه SPLINE مثال هایی از راه حل ها. یک تابع صاف روی بخش [a, A] بسازید که مقادیر آن در گره های شبکه است و با مقادیر داده شده با اعداد y متفاوت است. مشکل هموارسازی فرموله شده استبهبود عملکرد صاف در جدول ارائه شده است. واضح است که چنین مشکلی راه حل های مختلفی دارد. با تحمیل شرایط اضافی بر تابع ساخته شده، می توانیم به منحصر به فرد بودن لازم دست یابیم. تعریف یک اسپلاین مکعبی هموار کننده یک اسپلاین مکعبی هموار S(x) روی یک مش w تابعی است که 1) روی هر یک از قطعات یک چند جمله ای درجه سوم است، 2) دو بار به طور پیوسته روی قطعه قابل تمایز است [a, 6 ]، یعنی به کلاس C2 تعلق دارد [a, b]، 3) یک حداقل را به تابعی که در آن اعداد داده شده ارائه می دهد، 4) شرایط مرزی یکی از سه نوع نشان داده شده در زیر را برآورده می کند. شرایط مرزی (مرز) شرایط مرزی به عنوان محدودیت در مقادیر spline و مشتقات آن در گره های مرزی مش w مشخص می شود. الف. شرایط مرزی نوع 1. - در پایان بازه [a, b) مقادیر اولین مشتق تابع مورد نظر داده می شود. شرایط مرزی نوع 2. - مشتقات دوم تابع مورد نظر در انتهای بازه (a, b) برابر با صفر است. ج. شرایط مرزی نوع 3 را تناوبی می نامند قضیه. اسپلاین مکعبی S (x) به حداقل رساندن تابعی (4) ) و ارضای شرایط مرزی یکی از سه نوع مشخص شده، به طور منحصر به فردی تعریف شده است.تعریف، یک اسپلاین مکعبی که J(f) عملکردی را به حداقل می رساند و شرایط مرزی نوع i را برآورده می کند، اسپلاین هموارسازی نوع i نامیده می شود. با چهار ضریب.قطعات کل - m.بنابراین، برای تعریف کامل spline، باید اعداد 4m را پیدا کنید.شرط به معنای تداوم تابع 5(ar) و همه مشتقات در تمام گره های داخلی شبکه o است. «تعداد چنین گره هایی m - 1 است بنابراین برای یافتن ضرایب همه چند جمله ای ها، 3 (m - 1) شرط (معادلات) به دست می آید. که تعداد کمیت هایی که باید برای آنها تعیین شود 2 + 2 است. در هر یک از بازه ها، تابع spline هموارسازی به شکل زیر جستجو می شود. اجازه دهید ابتدا نحوه یافتن مقادیر n* را شرح دهیم. برای شرایط مرزی نوع 1 و 2، سیستم معادلات خطی برای تعیین مقادیر Hi به شکل زیر نوشته شده است که در آن اعداد شناخته شده هستند. ضرایب به انتخاب شرایط مرزی بستگی دارد. شرایط مرزی نوع 1: شرایط مرزی نوع 2: در مورد شرایط مرزی نوع 3، سیستم تعیین اعداد به صورت زیر نوشته می شود: علاوه بر این، تمام ضرایب با فرمول (5) محاسبه می شوند (مقادیر با شاخص های k و m + k برابر در نظر گرفته می شوند: نکته مهم*. ماتریس های سیستم ها منحط نیستند و بنابراین هر یک از این سیستم ها راه حل منحصر به فردی دارند. اگر اعداد n، - پیدا شوند، کمیت ها به راحتی توسط فرمول ها تعیین می شوند اگر همه چیز و اسپلاین هموارسازی معلوم شود که درون یابی است. این به طور خاص به این معنی است که هرچه مقادیر دقیق‌تر داده شوند، مقدار پیش مقیاس ضرایب وزنی مربوطه کمتر است. از طرف دیگر، اگر لازم باشد که spline از نقطه (x^, yk) عبور کند، ضریب وزن p\ مربوط به آن باید برابر با صفر قرار گیرد. در محاسبات عملی، مهم ترین انتخاب مقادیر pi-Let D، - خطای اندازه گیری مقدار y، است. در ساده ترین حالت، ضرایب وزن پی را می توان به عنوان مثال به شکل - که در آن c مقداری ثابت به اندازه کافی کوچک است، اقتضا کرد. با این حال، چنین انتخابی از وزن p، به دلیل خطا در مقادیر y، - اجازه استفاده از "راهرو" را نمی دهد. یک الگوریتم منطقی تر، اما زمان برتر برای تعیین مقادیر p، - ممکن است به شرح زیر باشد. اگر در تکرار fc مقادیر یافت شوند، در آن صورت فرض می شود که e یک عدد کوچک است، که به صورت تجربی با در نظر گرفتن شبکه بیت کامپیوتر، مقادیر D و دقت انتخاب می شود. حل سیستم معادلات جبری خطی اگر در تکرار fc در نقطه i، شرط (6) نقض شود، آخرین فرمول کاهش ضریب وزن مربوطه p را تضمین می کند. اگر در تکرار بعدی افزایش p، منجر به استفاده کامل تر از "راهرو" (6) و در نهایت، تغییر هموارتر spline می شود. کمی تئوری الف. اثبات فرمول های محاسبه ضرایب درون یابی اسپلاین مکعبی. ما نماد را معرفی می کنیم که m، کمیت های ناشناخته هستند. تعداد آنها برابر m + 1 است. اسپلاین به شکلی نوشته می شود که شرایط درون یابی را برآورده می کند و در کل بازه [a, b\ پیوسته است: با قرار دادن فرمول، به ترتیب به دست می آوریم. علاوه بر این، دارای یک مشتق اول پیوسته در بازه [a, 6]: با افتراق رابطه (7) و تنظیم، متناظر را بدست می آوریم. در حقیقت. اجازه دهید نشان دهیم که اعداد m را می توان طوری انتخاب کرد که تابع spline (7) دارای مشتق دوم پیوسته در بازه [a, 6] باشد. محاسبه مشتق دوم اسپلاین روی بازه: در نقطه x، - 0 (در t = 1) داریم مشتق دوم اسپلاین را روی بازه محاسبه می کنیم در نقطه ای که داریم از شرط پیوستگی مشتق دوم در گره های شبکه داخلی a; رابطه m - 1 را به دست می آوریم که با افزودن دو معادله m - 1 دیگر، که از شرایط مرزی و از شرایط مرزی ناشی می شود، سیستمی از m + 1 معادلات جبری خطی با m + I مجهول miy i = 0، 1 به دست می آوریم. ...، م. سیستم معادلات برای محاسبه مقادیر gw در مورد شرایط مرزی نوع 1 و 2 به شکلی است که (شرایط مرزی نوع 1)، (شرایط مرزی نوع 2). برای شرایط مرزی دوره ای (شرایط مرزی نوع 3)، شبکه o; یک گره دیگر طولانی کنید و فرض کنید سپس سیستم تعیین مقادیر r* در گره های شبکه دوم و (! - !) تداوم شکل خواهد داشت. از دو رابطه آخر، دو معادله گمشده را به دست می آوریم که با شرایط مرزی نوع چهارم مطابقت دارد: با حذف مجهول r0 از معادلات، و pc مجهول از معادلات، در نتیجه سیستم معادلات به دست می آید. توجه داشته باشید که تعداد مجهولات در این سیستم برابر با r - I است. ما نمادی را معرفی می کنیم که در آن Zi و nj هنوز کمیت های ناشناخته هستند. تعداد آنها برابر است با 2m + 2. تابع spline نوشته شده در فرم در کل بازه پیوسته است (a, 6): با قرار دادن این فرمول به ترتیب به دست می آوریم. اجازه دهید نشان دهیم که اعداد z و n می توانند طوری انتخاب شود که spline نوشته شده به شکل (8)، دارای مشتق اول پیوسته در بازه [a, 6] باشد. اولین مشتق از spline S(x) در بازه را محاسبه کنید: در یک نقطه، از شرط تداوم اولین مشتق spline در گره های داخلی شبکه و --> یک رابطه m - 1 به دست می آوریم. نوشتن این رابطه به صورت ماتریسی راحت است. رابطه (8) و تنظیم، به دست می آوریم، به ترتیب، رابطه ماتریس Yeshe olyu از شرط حداقل تابع (4) به دست می آید. دو برابری ماتریسی آخر را می توان به عنوان یک سیستم خطی 2 متر + 2 معادلات جبری خطی در 2 متر + 2 مجهول در نظر گرفت. با جایگزینی ستون r در تساوی اول با عبارت آن به دست آمده از رابطه (9)، به معادله ماتریس SPLINE THEORY نمونه هایی از راه حل های تعیین ستون M می رسیم. این معادله به دلیل اینکه ماتریس A + راه حل منحصر به فردی دارد. 6HRH7 همیشه غیر دژنره است. با یافتن او به راحتی آقای امشاین را شناسایی می کنیم. عناصر ماتریس های مثلثی A و H n را فقط با پارامترهای شبکه u (با مراحل hi) تعیین می کنند و به مقادیر yj بستگی ندارند. فضای خطی توابع اسپلاین مکعبی مجموعه اسپلاین های مکعبی ساخته شده بر روی قطعه [a, 6) توسط گره wcra + l یک فضای خطی به ابعاد m + 3 است: 1) مجموع دو اسپلاین مکعبی ساخته شده توسط شبکه u > و حاصل ضرب یک اسپلاین مکعبی، ساخته شده بر روی شبکه u>، یک عدد دلخواه مخفیانه تر، اسپلاین های مکعبی هستند که بر روی این شبکه ساخته شده اند، 2) هر اسپلاین مکعبی ساخته شده روی شبکه و از گره کاملاً با m + 1 تعیین می شود. مقدار مقادیر y" در این گره ها و دو شرط مرزی - فقط + 3 پارامتر. با انتخاب یک پایه متشکل از m + 3 spline مستقل خطی در این فضا، می‌توانیم یک spline مکعبی دلخواه a(x) را به‌عنوان ترکیب خطی آن‌ها به روشی منحصربه‌فرد بنویسیم. اظهار نظر. چنین مشخصات spline به طور گسترده در عمل محاسباتی استفاده می شود. به ویژه راحت پایه است، که شامل به اصطلاح B-splines مکعبی (پایه، یا بنیادی، splines). استفاده از D-splines می تواند به میزان قابل توجهی نیاز به حافظه کامپیوتر را کاهش دهد. اسپلاین های L. B-spline صفر درجه، ساخته شده بر روی یک خط عددی در امتداد شبکه w، تابع فورک است. در 7\x) درجه به ترتیب در شکل 11 و 12 نشان داده شده است. B-spline درجه دلخواه k می تواند با صفر فقط در یک قطعه خاص (تعریف شده توسط k + 2 گره) متفاوت باشد. عدد B مکعب راحت تر است. - spline ها به طوری که spline B,-3* (n) با صفر در قطعه ir,-+2] متفاوت باشد اجازه دهید برای حالت یک شبکه یکنواخت یک فرمول برای یک spline مکعبی درجه سوم ارائه دهیم. یک مرحله A). در موارد دیگر داریم. نمودار معمولی یک B-spline مکعبی در شکل 13 ارائه شده است. تابع a) دو بار به طور پیوسته روی یک قطعه قابل تمایز است، یعنی به کلاس C2 تعلق دارد. [a, ")، c) فقط در چهار بخش متوالی شبکه گسترده w * mo غیر صفر است لازم است خانواده ای از m + 3 مکعب B-splines ساخته شود: این خانواده در فضای اسپلاین های مکعبی بر روی قطعه (a, b]، پایه ای را تشکیل می دهد. بنابراین، یک spline مکعبی دلخواه S(z) بر روی بخش |s، 6] شبکه o ساخته شده است. از گره های 1+، می توان در این بخش به صورت یک ترکیب خطی نشان داد.شرایط مسئله، ضرایب ft، این بسط به طور منحصر به فردی تعیین می شود. ... در موردی که مقادیر تابع در گره های شبکه و مقادیر اولین مشتق تابع در انتهای شبکه "(مشکل درون یابی با شرایط مرزی نوع اول)، این ضرایب از سیستم شکل زیر محاسبه می شوند مقادیر b-iو &m+i، یک سیستم خطی با مجهولات 5q، ...، bm و یک ماتریس سه دیجونال بدست می آوریم. این شرایط تسلط مورب را تضمین می کند و بنابراین امکان استفاده از روش جارو برای حل آن را فراهم می کند. 3MMCHMYU 1. سیستم های خطی با شکل مشابه زمانی که سایر مسائل درون یابی را نیز در نظر می گیریم به وجود می آیند. Zmmchm* 2. در مقایسه با الگوریتم های توضیح داده شده در بخش 1.1، استفاده از R-spline در مسائل درون یابی * به شما امکان می دهد مقدار * مقدار اطلاعات ذخیره شده را کاهش دهید، یعنی به میزان قابل توجهی نیاز به حافظه رایانه را کاهش دهید، اگرچه منجر به افزایش تعداد عملیات ساخت منحنی‌های اسپلاین با استفاده از توابع اسپلاین در بالا، آرایه‌هایی در نظر گرفته شد که نقاط آن‌ها به گونه‌ای شماره‌گذاری شدند که ابسیساهای آن‌ها دنباله‌ای کاملاً افزایشی را تشکیل می‌دادند. به عنوان مثال، مورد نشان داده شده در شکل. 14، زمانی که نقاط مختلف آرایه دارای ابسیسا یکسان باشند، مجاز نبود. این شرایط هم انتخاب کلاس منحنی های تقریبی (ترافیک توابع) و هم روش ساخت آنها را تعیین کرد. با این حال، روش ارائه شده در بالا امکان ساخت کاملاً موفقیت آمیز منحنی درون یابی را در حالت کلی تر، زمانی که شماره گذاری نقاط آرایه و مکان آنها در صفحه، به طور معمول، به هم مرتبط نیستند، ممکن می سازد (شکل 15). علاوه بر این، هنگام طرح مسئله ساخت منحنی درون یابی، می توانیم آرایه داده شده را غیرمسطح در نظر بگیریم، یعنی واضح است که برای حل این مشکل کلی، باید به طور قابل توجهی کلاس منحنی های قابل قبول، از جمله در آن هم منحنی های بسته، هم منحنی هایی که نقاط خود تقاطع دارند و هم منحنی های فضایی. توصیف چنین منحنی هایی با استفاده از معادلات پارامتری راحت است. علاوه بر این، به طوری که توابع صافی کافی داشته باشند، به عنوان مثال، آنها متعلق به کلاس C1 [a, /0] یا به کلاس هستند. مرحله 1. در یک فاصله دلخواه)