چند جمله ای درونیابی لاگرانژ را پیدا کنید. فرمول درونیابی لاگرانژی تقریب توابع ارائه شده در جدول

n تعداد گره هاست.

وظیفه درون یابی یافتن تابعی است که مقادیر یکسانی را در نقاط دریافت کند.

فرض بر این است که هیچ یک از مقادیر یکسان نیستند. نقاط را گره های درون یابی می نامند. گره های درون یابی نباید به طور مساوی روی بخش [ .

تابع درون قطبی نامیده می شود.

اگر مقدار در بازه [ ) جستجو شود، این وظیفه معمولاً وظیفه درون یابی نامیده می شود و اگر خارج از این فاصله باشد، این وظیفه برون یابی است.

مشکل راه حل های زیادی دارد، زیرا از طریق نقاط داده شده، i=0، 1،...، n، بی نهایت منحنی را می توان رسم کرد که هر کدام نمودار تابعی خواهد بود که تمام شرایط (1.2) برای آن برقرار است.

بسته به هدف تقریب، از درون یابی (تقریبا نقطه ای) یا تقریب استفاده می شود. تقریب جایگزینی یک تابع جدولی با تابعی است که دارای انحراف محدودی از تابع در بخش مورد نظر است.

شرط درون یابی:

(1.2)

جایی که a بردار ضرایب مجهول است.

معمولاً گونه از قبل شناخته شده است. برای حل مسئله درون یابی، به یک ضریب نیاز است.

حل مسئله درون یابی یعنی یافتن برای داده شده و .

AT نمای کلیسیستم نشان دهنده سیستم است معادلات غیر خطیو اغلب هیچ راه حلی برای n بزرگ ندارد.

اولین روش برای حل مسئله درونیابی روش لاگرانژ است.

ساده ترین و پرکاربردترین تابع چند جمله ای است:

(1.3)

که در آن , , … ضریب چند جمله ای است

m درجه چند جمله ای تقریبی است.

درون یابی عبارت است از جایگزینی تقریبی یک تابع ارائه شده در جدول با تابعی که همان مقادیر تابع را می گیرد.

تمام روش های درون یابی را می توان به محلی و جهانی تقسیم کرد. در مورد درونیابی جهانی، یک چند جمله ای منفرد در کل بازه [ . روش های درون یابی سراسری معمولاً برای توابعی که با تعداد کمی از نقاط تعریف می شوند استفاده می شود، زیرا با افزایش تعداد نقاط، ترتیب چند جمله ای درون یابی افزایش می یابد که بر صافی تابع حاصل تأثیر منفی می گذارد. یک تقریب چند جمله‌ای که از تمام گره‌های جدول به طور همزمان استفاده می‌کند (درون یابی جهانی) یک اشکال قابل توجه دارد - امکان ظاهر شدن افراط‌های بزرگ در فواصل بین گره‌های شبکه. آن ها چند جمله ای درون یابی ممکن است دارای نوساناتی باشد که مشخصه داده های اصلی نیست. علاوه بر این، با افزایش درجه چند جمله ای، انباشتگی سریع خطاهای گرد وجود دارد. برای جلوگیری از این اثرات نامطلوب، در عمل از درون یابی محلی استفاده می شود. . در مورد درونیابی محلی، یک چند جمله ای جداگانه بر روی هر بازه ساخته می شود. برای درون یابی محلی، تعداد گره ها واجد اهمیت زیادندارد.

بیایید برخی از انواع درون یابی محلی و جهانی را در نظر بگیریم.

درون یابی محلی:

1. درونیابی خطی تکه ای

2. درون یابی توسط splines

درون یابی جهانی:

1. چند جمله ای لاگرانژ

2. چند جمله ای نیوتن

INTERPOLATION جهانی

درونیابی با چند جمله ای لاگرانژ

با درون یابی جهانی، یک چند جمله ای منفرد در کل بازه ایجاد می شود. یکی از اشکال نوشتن چند جمله ای درون یابی برای درون یابی جهانی، چند جمله ای لاگرانژ است:

چند جمله ای درون یابی لاگرانژ درجه n ترکیبی خطی از چند جمله ای های اساسی لاگرانژ است:

یعنی چند جمله ای لاگرانژ:

(2.3)

چند جمله ای شرط را برآورده می کند

این شرط به این معنی است که چند جمله ای برابر با صفر برای هر کدام است به جز، یعنی،،، …، ریشه های این چند جمله ای هستند. بنابراین، درجه چندجمله ای برابر با n است و در , تمام جمله های حاصل از جمع ناپدید می شوند، به جز جمله ای با عدد i=j برابر با .

مقدار 1 را در نقطه و 0 را در سایر گره های درون یابی می گیرد. بنابراین، در آن نقطه، چند جمله ای اصلی مقدار را می گیرد

(2.4)

عبارت (2.1) هم برای گره هایی با فواصل مساوی و هم برای گره های بدون فاصله قابل استفاده است.

چند جمله ای لاگرانژ به صراحت حاوی مقادیر توابع در گره های درون یابی است، بنابراین زمانی مفید است که مقادیر توابع تغییر می کنند، اما گره های درون یابی بدون تغییر هستند. تعداد عملیات محاسباتی مورد نیاز برای ساختن چند جمله ای لاگرانژ متناسب است و برای همه اشکال نمادگذاری کوچکترین است. معایب این شکل از نمادگذاری شامل این واقعیت است که با تغییر در تعداد گره ها، کل محاسبه باید دوباره انجام شود.

2.2. چند جمله ای نیوتن

اجازه دهید تابع g(x) با یک مرحله دلخواه داده شود و نقاط جدول مقادیر به ترتیب دلخواه شماره گذاری شوند.

چند جمله ای نیوتن به شدت بر مفهوم تفاوت های تقسیم شده متکی است.

تفاوت های تقسیم مرتبه صفر با مقادیر تابع در گره ها منطبق است. تفاوت های تقسیم مرتبه اول بر حسب تفاوت های تقسیم شده مرتبه صفر تعریف می شوند:

تفاوت‌های تقسیم شده k-امین مرتبه بر حسب تفاوت تقسیم مرتبه تعریف می‌شوند:

برای بهبود دقت درون یابی، اعضای جدیدی را می توان به جمع اضافه کرد که نیاز به اتصال گره های اضافی دارد. در عین حال، برای فرمول نیوتن، مهم نیست که گره های جدید به چه ترتیبی به هم متصل شوند، در حالی که برای چند جمله ای لاگرانژ، زمانی که گره های جدید اضافه می شوند، تمام محاسبات باید دوباره انجام شود.

فرض کنید لازم است درجه چند جمله ای را با اضافه کردن یک گره دیگر به جدول یک عدد افزایش دهیم. برای محاسبه کافی است فقط به یک جمله اضافه کنید

درون یابی محلی

3.1. درونیابی خطی تکه ای

یکی از پرکاربردترین و ساده ترین انواع درون یابی محلی، درون یابی خطی تکه ای است که در آن هر دو نقطه و یک تابع جدول توسط پاره های خط مستقیم به هم متصل می شوند (یعنی یک چند جمله ای درجه یک رسم می شود).

	(3.3)
	(3.4)

درون یابی خطی تکه ای ساده ترین است و بنابراین اغلب برای محاسبه مقادیر بین گره های درون یابی استفاده می شود. برای ایجاد یک رابطه درونیابی که در محاسبات علمی و مهندسی بیشتر استفاده می شود، معمولاً از روش های درون یابی پیچیده تری استفاده می شود.

3.2. درون یابی اسپلاین

گاهی اوقات لازم است که از تداوم نه تنها تابع درون یابی، بلکه تعداد مورد نیاز مشتقات آن نیز اطمینان حاصل شود؛ برای این کار، آنها به درون یابی اسپلاین متوسل می شوند.

Spline تابعی است که دامنه تعریف آن به تعداد محدودی از بخش ها تقسیم می شود که در هر یک از آنها spline با یک چند جمله ای جبری منطبق است. حداکثر درجه چند جمله ای های مورد استفاده را درجه اسپلاین می گویند.

مزایای درون یابی اسپلاین نسبت به روش های درون یابی معمولی در همگرایی و پایداری فرآیند محاسباتی است. در عمل، خطوط مکعبی اغلب استفاده می شود - خطوط درجه سوم با مشتق پیوسته، حداقل، اول. در این حالت، مقدار شیب spline در نقطه (گره) نامیده می شود.

بیایید بخش را به N بخش مساوی [ , ] تقسیم کنیم، که در آن، i=0,1,…,N-1.

اگر گره ها، , روی مقادیری تنظیم شوند که spline مکعبی می گیرد، در قسمت جزئی [ , ] به شکل زیر در می آید:

(3.3)

در واقع، تأیید این موضوع با محاسبه و در نقاط، آسان است،

می توان ثابت کرد که اگر یک چند جمله ای درجه سوم مقادیر را در نقاط و به ترتیب در این نقاط مشتقاتی داشته باشد، آنگاه با چند جمله ای (3.3) منطبق می شود.

بنابراین، برای تنظیم یک spline مکعبی بر روی یک قطعه، لازم است مقادیر i=0,1…,N در N+1 در گره تنظیم شود.

خطای INTERPOLATION

هنگام درون یابی، توابع همیشه خطای متشکل از خطای خود روش و خطاهای گرد کردن را دریافت می کنند.

خطا در تقریب تابع با چند جمله ای درونیابی درجه نهمدر نقطه x با تفاوت تعیین می شود.

در اینجا مشتق (n+1) ترتیب تابع در نقطه ای است و تابع به صورت تعریف می شود

سپس تخمینی برای خطای درون یابی انجام می شود.

(4.4)

مقدار خاص خطا در نقطه x به وضوح به مقدار تابع در این نقطه بستگی دارد. ماهیت کیفی وابستگی در شکل 2 نشان داده شده است.

از شکل می توان دریافت که خطای درون یابی هر چه بیشتر باشد، نقطه x به انتهای قطعه نزدیکتر است. خارج از بخش درونیابی (به عنوان مثال

هنگامی که برون یابی می شود) به سرعت افزایش می یابد، بنابراین خطا به طور قابل توجهی افزایش می یابد.

شکل 2

با توجه به رفتار توصیف شده خطا، درون یابی جهانی در برخی موارد می تواند نتیجه کاملاً رضایت بخش را به همراه داشته باشد.

5. مثالی از درونیابی تابع توسط چندجمله ای های لاگرانژ و نیوتن

برای یافتن چند جمله ای که مقادیر مورد نظر را در نقاط خاص می گیرد، می توان از بسته Mathcad استفاده کرد. به عنوان مثال، مسئله یافتن چند جمله ای لاگرانژ را در نظر بگیرید که داده های اولیه داده شده را برآورده کند.

بیایید چند جمله ای لاگرانژ را در بسته Mathcad بسازیم:

اطلاعات اولیه:

در عمل محاسباتی، اغلب باید با توابعی که توسط جداول مقادیر آنها برای مجموعه محدودی از مقادیر تعریف شده اند، سروکار داشته باشیم. ایکس : .

در فرآیند حل مسئله، استفاده از مقادیر ضروری است
برای مقادیر میانی آرگومان در این مورد، تابع Ф(x) ساخته می شود که برای محاسبات به اندازه کافی ساده است، که در نقاط داده شده انجام می شود ایکس 0 ، ایکس 1 ،...،ایکس n , گره های درون یابی نامیده می شوند، مقادیر را می گیرد و در سایر نقاط قطعه (x 0 , x n) متعلق به حوزه تعریف هستند.
، تقریباً نشان دهنده تابع است
با درجه ای از دقت

هنگام حل مشکل در این مورد، به جای تابع
با تابع Ф(x) عمل کنید. وظیفه ساخت چنین تابعی Ф(x) را مسئله درون یابی می نامند. اغلب، تابع درون یابی Ф(x) به شکل یک چند جمله ای جبری یافت می شود.

1. چند جمله ای درون یابی

برای هر عملکرد
تعریف شده در [ الف، ب] و هر مجموعه ای از گره ها ایکس 0 ، ایکس 1 ،...،ایکس n (ایکس من
[الف، ب], ایکس من ایکس jبرای من j) در بین چند جمله‌ای جبری درجه حداکثر n، یک چند جمله‌ای درونیابی منحصربه‌فرد Ф(x) وجود دارد که می‌توان آن را به شکل زیر نوشت:

, (3.1)

جایی که
یک چند جمله ای درجه n است که دارای ویژگی زیر است:

برای یک چند جمله ای درون یابی، چند جمله ای
به نظر می رسد:

این چند جمله ای (3.1) مسئله درون یابی را حل می کند و چند جمله ای درون یابی لاگرانژ نامیده می شود.

به عنوان مثال، تابعی از فرم را در نظر بگیرید
در فاصله زمانی
به صورت جدولی ارائه شده است.

تعیین مقدار تابع در نقطه x-2.5 ضروری است. برای این کار از چند جمله ای لاگرانژ استفاده می کنیم. بر اساس فرمول های (3.1 و 3.3)، این چند جمله ای را به صراحت می نویسیم:

(3.4).

سپس مقادیر اولیه جدول خود را با فرمول (3.4) به دست می آوریم

نتیجه به دست آمده با نظریه مطابقت دارد. .

1. فرمول درونیابی لاگرانژ

چند جمله ای درونیابی لاگرانژ را می توان به شکل دیگری نوشت:

(3.5)

نوشتن یک چند جمله ای به شکل (3.5) برای برنامه نویسی راحت تر است.

هنگام حل مسئله درون یابی، مقدار nمرتبه چند جمله ای درون یابی نامیده می شود. در این حالت، همانطور که از فرمول های (3.1) و (3.5) مشاهده می شود، تعداد گره های درون یابی همیشه برابر خواهد بود. n+1و معنی ایکس، که برای آن ارزش تعیین می شود
, باید در دامنه گره های درون یابی قرار گیرد آن ها

. (3.6)

در برخی موارد عملی، تعداد کل شناخته شده گره های درون یابی مترممکن است از مرتبه چند جمله ای درون یابی بزرگتر باشد n.

در این حالت، قبل از اجرای روش درون یابی طبق فرمول (3.5)، باید آن دسته از گره های درون یابی را مشخص کرد که شرط (3.6) برای آنها معتبر است. لازم به یادآوری است که کوچکترین خطا هنگام یافتن مقدار حاصل می شود ایکس در مرکز منطقه درون یابی برای اطمینان از این امر، روش زیر پیشنهاد می شود:

هدف اصلی درون یابی محاسبه مقادیر تابع جدول بندی شده برای مقادیر آرگومان غیر گرهی (واسطه) است، به همین دلیل است که درون یابی اغلب به عنوان "هنر خواندن جداول بین خطوط" نامیده می شود.

نمونه داده‌های تجربی آرایه‌ای از داده‌ها است که فرآیند تغییر سیگنال اندازه‌گیری شده را در یک زمان معین (یا نسبت به متغیر دیگر) مشخص می‌کند. برای انجام تجزیه و تحلیل نظری سیگنال اندازه گیری شده، لازم است یک تابع تقریبی پیدا کنیم که مجموعه ای گسسته از داده های تجربی را با یک تابع پیوسته متصل می کند - یک چند جمله ای درون یابی n -درجه. یکی از راه‌های نشان دادن چند جمله‌ای درون‌یابی n درجه، استفاده از چند جمله‌ای به شکل لاگرانژ است.

چند جمله ای درون یابی به شکللاگرانژیک تابع ریاضی است که به شما امکان می دهد چند جمله ای بنویسید n -درجه هایی که تمام نقاط داده شده را از مجموعه ای از مقادیر به دست آمده به صورت تجربی یا روش به هم متصل می کند. نمونه اتفاقیدر نقاط مختلف زمان با یک گام زمانی غیر ثابت اندازه گیری.

1. فرمول درون یابی لاگرانژ

به طور کلی، چند جمله ای درون یابیدر شکل لاگرانژ به صورت زیر نوشته می شود:

جایی که ˗ درجه چند جمله ای;

˗ مقدار مقدار تابع درونیابیدر نقطه؛

˗ چند جمله ای های پایه (ضریب لاگرانژ) که با فرمول تعیین می شوند:

به عنوان مثال، چند جمله ای درون یابیبه شکل لاگرانژ که از سه نقطه داده شده عبور می کند، به شکل زیر نوشته می شود:

چند جمله ای لاگرانژ به صراحت حاوی مقادیر تابع در گره های درون یابی است، بنابراین زمانی مفید است که مقادیر تابع تغییر می کنند اما گره های درون یابی بدون تغییر باقی می مانند. تعداد عملیات حسابی مورد نیاز برای ساخت چند جمله ای لاگرانژ متناسب استو کوچکترین برای همه اشکال علامت گذاری است. از معایب این شکل نوشتن می توان به این واقعیت اشاره کرد که هنگام ساخت یک چند جمله ای درجه n + 1، اطلاعات مربوط به چند جمله ای قبلی درجه n به طور کامل از بین می رود، یعنی. با تغییر در تعداد گره ها، کل محاسبه باید از نو انجام شود.

2. خطای چند جمله ای درون یابی به شکل لاگرانژ

تابع را در نظر بگیرید f(x ) که پیوسته و قابل تمایز در بخش مورد نظر است. چند جمله ای درون یابی L (x) در شکل لاگرانژ در نقاط می گیردنقاط تنظیم تابع. در نقاط دیگر، چند جمله ای درون یابی L(x) متفاوت از مقدار تابع f(x) با مقدار عضو باقی مانده ، که خطای مطلق فرمول درونیابی لاگرانژ را تعیین می کند:

ولی خطای مطلق فرمول درونیابی لاگرانژ به صورت زیر تعیین می شود:

جایی که n ˗ درجه چند جمله ای

متغیر کران بالای مقدار مدول را نشان می دهد (n+1) مشتق تابع f(x) در یک بازه معین

خطای درون یابی با روش لاگرانژ به ویژگی های تابع بستگی دارد f(x) و همچنین از محل گره های درون یابی و نقطه ایکس. اگر خطا به دقت لازم نرسید، باید بخش را به قطعات تقسیم کنید و هر قسمت را به طور جداگانه درون یابی کنید - درون یابی تکه ای.

انتخاب گره های درون یابی

با کمک انتخاب صحیح گره ها، می توان مقدار را به حداقل رسانددر تخمین خطا، در نتیجه دقت درونیابی را بهبود می بخشد. این مشکل را می توان با استفاده از چند جمله ای چبیشف حل کرد:

به عنوان گره، شما باید ریشه های این چند جمله ای را بگیرید، یعنی نقاط:

3. تکنیک محاسبه چند جمله ای به شکل لاگرانژ

الگوریتم محاسبه چند جمله ای به شکل لاگرانژ به ما اجازه می دهد تا وظایف تعیین ضرایب و محاسبه مقادیر چند جمله ای را از هم جدا کنیم. ارزش های مختلفبحث و جدل:

1. نمونه ای از n -points که شامل مقادیر تابع و مقادیر آرگومان تابع است.

2. یک چند جمله ای n درجه به شکل لاگرانژ با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

الگوریتم محاسبه چند جمله ای در فرملاگرانژ در شکل 1 نشان داده شده است.

تکنیک محاسبه چند جمله ای در فرم لاگرانژ

اجازه دهید یک تابع بر روی یک قطعه در یک سری از گره ها با مقادیر آن داده شود، جایی که. مشکل درون یابی جبری ساختن چند جمله ای درجه ای است که شرط درون یابی را برآورده می کند:.

مشخص است که یک چندجمله ای منحصر به فرد با درجه وجود دارد که بالاتر از آن نیست، که مقادیر داده شده را در نقاط اولیه می گیرد. ضرایب چند جمله ای را می توان از سیستم معادلات تعیین کرد:

تعیین کننده این سیستم، تعیین کننده Vandermonde است و از این رو سیستم دارای یک راه حل منحصر به فرد است.

مثال.یک چند جمله ای درونیابی همزمان با تابع بسازید در نقاط

راه حل.اجازه دهید ، پس داریم

بنابراین در.

چند جمله ای لاگرانژ

ما به دنبال یک چند جمله ای به شکل ترکیب خطی از مجموعه های درجه خواهیم بود.

در این مورد، ما نیاز داریم که هر چند جمله ای در تمام گره های درون یابی، به جز یکی، که برابر با 1 است.

.

واقعا، . انباشت کننده عبارت 0 است. بر اساس قیاس، به دست می آوریم:

,

با جایگزینی این فرمول ها به چند جمله ای اصلی، دریافت می کنیم:

این فرمول چند جمله ای درونیابی لاگرانژ نامیده می شود.

مثال.چند جمله ای درون یابی لاگرانژ را مطابق با تابع در نقاط بسازید

.

راه حل.بیا یه میز درست کنیم

با جایگزینی این مقادیر در فرمول لاگرانژ، به دست می آوریم:

اگر تابع به طور پیوسته تا مرتبه هفتم مشمول متمایز شدن باشد، باقیمانده جمله چند جمله ای درون یابی در شکل لاگرانژ به شکل

جایی که یک نقطه داخلی از حداقل بخش حاوی گره های درون یابی و یک نقطه است.

چند جمله ای نیوتن با تفاوت های محدود

مورد گره های درون یابی مساوی را در نظر بگیرید، به عنوان مثال، یک مرحله نامیده می شود.

اجازه دهید مفهوم تفاوت های محدود را معرفی کنیم. اجازه دهید مقادیر تابع در گره ها مشخص شود. تفاوت بین مقادیر تابع را بنویسید:

به این تفاوت ها تفاوت های مرتبه اول می گویند.

ما می توانیم تفاوت های مرتبه دوم ایجاد کنیم:

تفاوت های مرتبه k به طور مشابه جمع آوری می شوند:

ما تفاوت های محدود را مستقیماً بر اساس مقدار تابع بیان می کنیم:

بنابراین، برای هر k، می توانیم بنویسیم:

بیایید این فرمول را برای مقادیر تفاوت در گره بنویسیم:

با استفاده از تفاوت های محدود می توان تعیین کرد

اجازه دهید به ساخت چند جمله ای درونیابی نیوتن ادامه دهیم. ما به دنبال این چند جمله ای در شکل خواهیم بود

نمودار چند جمله ای باید از گره های داده شده عبور کند، یعنی . برای یافتن ضرایب چند جمله ای از این شرایط استفاده می کنیم:

بیایید ضرایب را از اینجا پیدا کنیم:

بنابراین، برای هر ضریب -ام، فرمول شکل می گیرد

.

با جایگزینی این فرمول ها با عبارت چند جمله ای نیوتن، شکل زیر را به دست می آوریم:

فرمول حاصل را می توان به شکل دیگری نوشت. برای این کار یک متغیر معرفی می کنیم.

در این مورد

با در نظر گرفتن این روابط، فرمول چند جمله ای نیوتن را می توان به صورت نوشتاری نوشت

عبارت حاصل می تواند تابع داده شده را در کل بخش تغییر در آرگومان تقریبی کند. با این حال، مصلحت‌تر است (از نظر افزایش دقت محاسبات و کاهش تعداد عبارت‌ها در فرمول حاصل) به مورد اکتفا کنیم، یعنی از این فرمول برای همه استفاده کنیم. برای موارد دیگر، به جای پذیرش اگر در. در این مورد، چند جمله ای درون یابی را می توان به صورت نوشتاری نوشت

فرمول به دست آمده اولین چند جمله ای درونیابی نیوتن برای درونیابی رو به جلو نامیده می شود. این فرمول درون یابی معمولاً برای محاسبه مقادیر تابع در نقاط نیمه چپ بخش در نظر گرفته شده استفاده می شود. این با موارد زیر توضیح داده می شود: علاوه بر این، تفاوت ها از طریق مقادیر تابع محاسبه می شود. به همین دلیل، برای مقادیر بزرگ x، نمی‌توانیم سفارشات بالاتر را محاسبه کنیم.

برای نیمه سمت راست قطعه مورد نظر، بهتر است تفاوت ها را از راست به چپ محاسبه کنید. در این مورد، یعنی چند جمله ای درونیابی نیوتن را می توان به شکل زیر به دست آورد:

فرمول حاصل را دومین چند جمله ای درون یابی عقب مانده می نامند.

مثال.با استفاده از چند جمله ای درونیابی نیوتن، محاسبه کنید، که در آن تابع با جدول داده شده است

راه حل.جدولی از تفاوت های متناهی تهیه کنید.

برای محاسبه، ما در چند جمله ای درونیابی نیوتن و سپس و

مثال.جدول داده شده است. پیدا کردن .

هنگام محاسبه قرار می دهیم

.

هنگام محاسبه قرار می دهیم

.

اجازه دهید خطاهای فرمول های نیوتن را به جلو و عقب تخمین بزنیم:

فرمول های تمایز تقریبی بر اساس اولین فرمول درونیابی نیوتن است. چند جمله ای درونیابی نیوتن دارای شکل است

با ضرب دو جمله ای ها به دست می آوریم

زیرا ، سپس

به طور مشابه، مشتقات توابع از هر مرتبه را می توان محاسبه کرد.

در برخی موارد، لازم است مشتقات توابع را در نقاط جدول اصلی پیدا کنید. از آنجایی که مقدار جدولی را می توان به عنوان مقدار اولیه در نظر گرفت، پس با فرض، داریم

برای مشتق چند جمله ای نیوتن مرتبه اول، خطا را می توان با فرمول محاسبه کرد ,

تعداد تفاوت های محدود در چند جمله ای نیوتن کجاست.

مثال.تابع داده شده در جدول را پیدا کنید.

راه حل.

با محاسبه خطا، دریافت می کنیم:

.

واقعا، .

بنابراین، نتایج تا رقم چهارم مطابقت دارند.

ما یک چند جمله ای درون یابی به شکل می سازیم

چند جمله ای های درجه حداکثر کجا هستند پ،دارای خاصیت زیر:

در واقع، در این مورد چند جمله ای (4.9) در هر گره x j, j=0،1،…n، برابر با مقدار مربوط به تابع است y j، یعنی درون یابی است.

اجازه دهید چنین چند جمله ای ها را بسازیم. از آنجایی که برای x=x 0 , x 1 ,…x i -1 , x i +1 ,…x n می توان به صورت زیر فاکتور گرفت

جایی که c یک ثابت است. از شرطی که به دست می آوریم

چند جمله ای درون یابی (4.1) به شکل نوشته شده است

چند جمله ای درونیابی لاگرانژ نامیده می شود.

مقدار تقریبی یک تابع در یک نقطه ایکس *، که با استفاده از چند جمله ای لاگرانژ محاسبه می شود، یک خطای باقیمانده (4.8) خواهد داشت. اگر تابع مقادیر باشد y مندر گره های درون یابی x iتقریباً با همان خطای مطلق داده می شوند، سپس به جای ارزش دقیقیک مقدار تقریبی محاسبه خواهد شد و

خطای مطلق محاسباتی چند جمله ای درونیابی لاگرانژ کجاست. در نهایت، ما تخمین زیر را از کل خطای مقدار تقریبی داریم.

به طور خاص، چند جمله‌ای لاگرانژ درجه اول و دوم شکل خواهند داشت

و مجموع خطاهای آنها در نقطه x *

اشکال دیگری برای نوشتن همان چند جمله ای درون یابی (4.1) وجود دارد، به عنوان مثال، فرمول درونیابی تفاضل تقسیم شده نیوتن در زیر و انواع آن در نظر گرفته شده است. با محاسبات دقیق، مقادیر Pn(x*)، به دست آمده توسط فرمول های درون یابی مختلف که از گره های یکسان ساخته شده اند، منطبق هستند. وجود یک خطای محاسباتی منجر به تفاوت در مقادیر به دست آمده توسط این فرمول ها می شود. نوشتن یک چند جمله ای به شکل لاگرانژ معمولاً منجر به خطای محاسباتی کوچک تری می شود.

استفاده از فرمول‌ها برای تخمین خطاهایی که در حین درونیابی ایجاد می‌شوند به بیان مسئله بستگی دارد. به عنوان مثال، اگر تعداد گره ها مشخص باشد، و تابع با تعداد زیادی علامت معتبر داده شود، می توانیم وظیفه محاسبه را تعیین کنیم. f(x*)با بالاترین دقت ممکن اگر برعکس، تعداد نشانه‌های صحیح کم و تعداد گره‌ها زیاد باشد، می‌توانیم مشکل محاسبه را ایجاد کنیم. f(x*)با دقتی که مقدار جدولی تابع اجازه می دهد، و برای حل این مشکل، ممکن است هم کمیابی و هم فشرده سازی جدول مورد نیاز باشد.

§4.3. تفاوت های جدا شده و ویژگی های آنها

مفهوم تفاوت تقسیم شده یک مفهوم تعمیم یافته از مشتق است. در نقاط x 0 , x 1 ,…x n مقادیر توابع را بگذارید f(x 0)، f(x 1)،…،f(x n). تفاوت های تقسیم شده مرتبه اول با برابری ها تعریف می شوند

تقسیم تفاوت های مرتبه دوم - برابری ها،

و تفاوت های تقسیم شده کمرتبه با فرمول بازگشتی زیر تعیین می شود:

تفاوت های تقسیم شده معمولاً در جدولی مانند زیر قرار می گیرند:

x i	f(x i)	تفاوت های تقسیم شده
سفارش 1	سفارش دوم	مرتبه سوم	سفارش IV
x 0	y 0
		f
x 1	y 1		f
		f		f
x 2	y2		f		f
		f		f
x 3	y 3		f
		f
x 4	y 4

ویژگی های زیر را در مورد تفاوت های تقسیم شده در نظر بگیرید.

1. تفاوت های تقسیم شده همه سفارش ها ترکیب خطی مقادیر هستند f(x i)، یعنی فرمول زیر برقرار است:

اجازه دهید اعتبار این فرمول را با استقراء ترتیب تفاوت ها اثبات کنیم. برای تفاوت های درجه اول

فرمول (4.12) معتبر است. اکنون فرض می کنیم که برای همه تفاوت های ترتیبی معتبر است.

سپس مطابق (4.11) و (4.12) برای اختلاف ترتیب k=n+1ما داریم

اصطلاحات حاوی f(x0)و f(x n +1)، فرم مورد نیاز را داشته باشد. اصطلاحات حاوی را در نظر بگیرید f(x i), i=1، 2، …، n. دو عبارت وجود دارد - از مجموع اول و دوم:

آن ها فرمول (4.12) برای تفاوت سفارش معتبر است k=n+1، اثبات کامل است.

2. تفاوت تقسیم شده یک تابع متقارن از آرگومان های آن x 0 , x 1 ,…x n است (یعنی با هیچ جایگشتی تغییر نمی کند):

این ویژگی مستقیماً از برابری (4.12) ناشی می شود.

3. اتصال ساده اختلاف تقسیم شده fو مشتق f(n)(x)قضیه زیر را می دهد.

اجازه دهید گره های x 0 , x 1 ,...x n متعلق به بخش باشند و عملکرد f(x)یک مشتق پیوسته از نظم دارد پ. سپس چنین نکته ای وجود دارد xО، چی

اجازه دهید ابتدا صحت رابطه را اثبات کنیم

مطابق (4.12)، عبارت در کروشه مربع است

f.

از مقایسه (4.14) با عبارت (4.7) برای عبارت باقی مانده R n (x)=f(x)-L n (x)ما (4.13) را بدست می آوریم، قضیه ثابت می شود.

یک نتیجه ساده از این قضیه به دست می آید. برای چند جمله ای پدرجه ام

f(x) = a 0 x n +a 1 x n -1 +…a n

مشتق سفارش پبدیهی است وجود دارد

و رابطه (4.13) مقدار اختلاف تقسیم شده را می دهد

بنابراین، برای هر چند جمله ای درجه پاختلاف ترتیب تقسیم شده پبرابر با یک مقدار ثابت هستند - ضریب در بالاترین درجه چند جمله ای. تفاوت های جدا شده از مرتبه بالاتر
(بیشتر پ) آشکارا برابر با صفر هستند. با این حال، این نتیجه گیری تنها در صورتی معتبر است که برای تفاوت های تقسیم شده خطای محاسباتی وجود نداشته باشد.

§4.4. چند جمله ای درون یابی نیوتن با تفاوت های تقسیم شده

چند جمله ای درون یابی لاگرانژ را به شکل زیر می نویسیم:

جایی که L 0 (x) \u003d f (x 0) \u003d y 0، آ L k (x)چند جمله ای درجه درون یابی لاگرانژ است ک، ساخته شده توسط گره ها x 0، x 1، …، x k. سپس یک چند جمله ای درجه وجود دارد ک، که ریشه آن نقطه است x 0، x 1، …، x k -1. بنابراین می توان آن را فاکتورسازی کرد

جایی که Ak یک ثابت است.

مطابق با (4.14) دریافت می کنیم

با مقایسه (4.16) و (4.17) به این نتیجه می رسیم که (4.15) نیز به شکل

که به آن چند جمله ای درونیابی نیوتن با اختلاف تقسیم می گویند.

این نوع ضبط چند جمله ای درون یابی بصری تر است (افزودن یک گره مطابق با ظاهر یک جمله است) و به شما امکان می دهد قیاس ساختارهای انجام شده با ساختارهای اصلی تحلیل ریاضی را بهتر ردیابی کنید.

خطای باقیمانده چند جمله ای درونیابی نیوتن با فرمول (4.8) بیان می شود، اما با در نظر گرفتن (4.13)، می توان آن را به شکل دیگری نیز نوشت.

آن ها خطای باقیمانده را می توان با مدول اولین جمله حذف شده در چند جمله ای تخمین زد. N n (x *).

خطای محاسباتی Nn(x*)با خطاهای تفاوت های تقسیم شده تعیین می شود. نزدیک ترین گره های درون یابی به مقدار درونیابی شده ایکس *، تأثیر بیشتری بر چند جمله ای درون یابی خواهد داشت که بیشتر - کمتر است. بنابراین، در صورت امکان، توصیه می شود x0و x 1گرفتن به ایکس *گره های درون یابی و ابتدا درون یابی خطی را روی این گره ها انجام دهید. سپس گره های زیر را به تدریج جذب کنید تا تا حد امکان متقارن باشند ایکس *، تا زمانی که عبارت مدول بعدی کمتر از خطای مطلق تفاضل تقسیم شده در آن باشد.