فرآیند یافتن مشتق تابع نامیده می شود تفکیک.مشتق را باید در تعدادی از مسائل در دوره تجزیه و تحلیل ریاضی یافت. به عنوان مثال، هنگام یافتن نقاط انتهایی و نقاط عطف یک نمودار تابع.

چطوری پیدا کنم؟

برای یافتن مشتق یک تابع، باید جدول مشتقات توابع ابتدایی را بدانید و قوانین اساسی تمایز را اعمال کنید:

1. خارج کردن ثابت از علامت مشتق: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. مشتق مجموع/تفاوت توابع: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. مشتق حاصل ضرب دو تابع: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. مشتق کسری: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. مشتق تابع مرکب: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

نمونه های راه حل

مثال 1

مشتق تابع $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $ را بیابید

راه حل

مشتق مجموع / تفاوت توابع برابر است با مجموع / تفاوت مشتقات: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ با استفاده از قانون مشتق تابع توان $ (x^p)" = px^(p-1) $ داریم: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ همچنین در نظر گرفته شد که مشتق ثابت برابر با صفر است. اگر نمی توانید مشکل خود را حل کنید، آن را برای ما ارسال کنید. ما یک راه حل دقیق ارائه خواهیم کرد. شما می توانید با پیشرفت محاسبات آشنا شوید و اطلاعات را جمع آوری کنید. این به شما کمک می کند تا به موقع از معلم امتیاز بگیرید!

پاسخ

$$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

مشتق چیست؟
تعریف و معنای مشتق تابع

بسیاری از مکان غیرمنتظره این مقاله در دوره نویسنده من در مورد مشتق تابع یک متغیر و کاربردهای آن شگفت زده خواهند شد. از این گذشته ، همانطور که از مدرسه بود: یک کتاب درسی استاندارد ، اول از همه ، تعریفی از مشتق ، معنای هندسی و مکانیکی آن را ارائه می دهد. سپس، دانش‌آموزان مشتقات توابع را بر اساس تعریف پیدا می‌کنند، و در واقع، تنها در این صورت است که تکنیک تمایز با استفاده از آن کامل می‌شود. جداول مشتق.

اما از دیدگاه من، رویکرد زیر عمل گرایانه تر است: اول از همه، توصیه می شود به خوبی درک کنید محدودیت عملکرد، و به خصوص بی نهایت کوچک. حقیقت این هست که تعریف مشتق بر اساس مفهوم حد است، که ضعیف در نظر گرفته شده است دوره مدرسه. به همین دلیل است که بخش قابل توجهی از مصرف کنندگان جوان دانش گرانیت به طور ضعیفی به ذات مشتق نفوذ می کنند. بنابراین، اگر شما در حساب دیفرانسیل جهت گیری ضعیفی دارید، یا یک مغز عاقل برای سال های طولانیاین چمدان با موفقیت دفع شد، لطفاً از شروع کنید محدودیت های عملکرد. در همان زمان استاد / تصمیم آنها را به خاطر بسپارید.

همان حس عملی نشان می دهد که اولاً سودآور است پیدا کردن مشتقات را بیاموزید، شامل مشتقات توابع پیچیده. تئوری یک نظریه است، اما، همانطور که می گویند، شما همیشه می خواهید تفاوت ایجاد کنید. در این زمینه، بهتر است دروس اولیه ذکر شده را بررسی کنید، و شاید تبدیل شوید استاد تمایزبدون اینکه حتی به اصل اعمال خود پی ببرند.

توصیه می کنم پس از خواندن مقاله، مطالب این صفحه را شروع کنید. ساده ترین مشکلات با یک مشتق، که در آن، به طور خاص، مشکل مماس بر نمودار یک تابع در نظر گرفته می شود. اما می توان آن را به تاخیر انداخت. واقعیت این است که بسیاری از کاربردهای مشتق نیازی به درک آن ندارند، و جای تعجب نیست که درس نظری بسیار دیر ظاهر شد - زمانی که من نیاز به توضیح داشتم. یافتن فواصل افزایش/کاهش و افراطکارکرد. علاوه بر این، او مدت زیادی در این موضوع بود. توابع و نمودارها"، تا اینکه تصمیم گرفتم زودتر آن را قرار دهم.

بنابراین قوری های عزیز مانند حیوانات گرسنه در جذب ذات مشتق عجله نکنید زیرا اشباع بی مزه و ناقص خواهد بود.

مفهوم افزایش، کاهش، حداکثر، حداقل یک تابع

زیاد راهنمای مطالعهبا کمک برخی مسائل عملی به مفهوم مشتق منجر شد و من نیز به مثال جالبی رسیدم. تصور کنید که باید به شهری سفر کنیم که از راه های مختلف می توان به آن دست یافت. ما بلافاصله مسیرهای پیچ در پیچ منحنی را کنار می گذاریم و فقط خطوط مستقیم را در نظر می گیریم. با این حال، جهت های خط مستقیم نیز متفاوت است: می توانید در امتداد یک اتوبان صاف به شهر بروید. یا در یک بزرگراه تپه ای - بالا و پایین، بالا و پایین. جاده دیگری فقط سربالایی می رود و یکی دیگر همیشه سرازیر می شود. جویندگان هیجان مسیری را از میان تنگه با صخره ای شیب دار و صعودی تند انتخاب می کنند.

اما ترجیحات شما هر چه باشد، توصیه می‌شود منطقه را بشناسید یا حداقل آن را پیدا کنید. نقشه توپوگرافی. اگر چنین اطلاعاتی وجود نداشته باشد چه؟ پس از همه، شما می توانید، به عنوان مثال، یک مسیر صاف را انتخاب کنید، اما در نتیجه، به یک پیست اسکی با فنلاندی های خنده دار برخورد کنید. نه این واقعیت که ناوبر و حتی یک تصویر ماهواره ای داده های قابل اعتمادی را ارائه می دهد. بنابراین، خوب است که تسکین مسیر را با استفاده از ریاضیات رسمی کنیم.

جاده ای را در نظر بگیرید (نمای جانبی):

در هر صورت، یک واقعیت ابتدایی را به شما یادآوری می کنم: سفر اتفاق می افتد از چپ به راست. برای سادگی، فرض می کنیم که تابع مداومدر منطقه مورد نظر

این نمودار چه ویژگی هایی دارد؟

در فواصل زمانی تابع افزایش، یعنی هر یک از مقادیر بعدی آن بیشترقبلی به طور کلی، برنامه پیش می رود پایین بالا(از تپه بالا می رویم). و در بازه تابع در حال کاهش- هر مقدار بعدی کمترقبلی، و برنامه ما ادامه دارد بالا پایین(پایین رفتن از شیب).

ما نیز توجه می کنیم نکات ویژه. در نقطه ای که می رسیم بیشترین، به این معنا که وجود داردچنین بخشی از مسیر که در آن مقدار بزرگترین (بالاترین) خواهد بود. در همان نقطه، کمترین، و وجود داردچنین همسایگی آن، که در آن مقدار کوچکترین (کمترین) است.

اصطلاحات و تعاریف دقیق تری در درس در نظر گرفته می شود. در مورد حداکثر تابع، اما در حال حاضر اجازه دهید یک ویژگی مهم دیگر را مطالعه کنیم: در فواصل تابع در حال افزایش است، اما در حال افزایش است با سرعت متفاوت . و اولین چیزی که توجه شما را جلب می کند این است که نمودار در فاصله زمانی بالا می رود خیلی باحال ترنسبت به فاصله آیا می توان شیب جاده را با استفاده از ابزارهای ریاضی اندازه گیری کرد؟

نرخ تغییر تابع

ایده این است: مقداری ارزش داشته باشید ("دلتا x" را بخوانید)، که ما با آن تماس خواهیم گرفت افزایش آرگومانو شروع به "آزمایش آن" در نقاط مختلف مسیر خود کنیم:

1) به سمت چپ ترین نقطه نگاه می کنیم: با دور زدن فاصله، از شیب به ارتفاع (خط سبز) بالا می رویم. مقدار نامیده می شود افزایش تابعو در این حالت این افزایش مثبت است (تفاوت مقادیر در امتداد محور بزرگتر از صفر است). بیایید نسبت را تعیین کنیم، که معیار شیب جاده ما خواهد بود. بدیهی است که عدد بسیار خاصی است و از آنجایی که هر دو افزایش مثبت هستند، پس .

توجه! تعیین هستند ONEنماد، یعنی شما نمی توانید "دلتا" را از "x" جدا کنید و این حروف را جداگانه در نظر بگیرید. البته این نظر در مورد نماد افزایش تابع نیز صدق می کند.

بیایید ماهیت کسر حاصل را معنادارتر بررسی کنیم. فرض کنید در ابتدا در ارتفاع 20 متری (در نقطه سیاه سمت چپ) هستیم. با غلبه بر فاصله متری (خط قرمز سمت چپ) در ارتفاع 60 متری قرار خواهیم گرفت. سپس افزایش تابع خواهد بود متر (خط سبز) و: . بدین ترتیب، در هر متراین بخش از جاده قد افزایش می یابد میانگیندر 4 متر... آیا تجهیزات کوهنوردی خود را فراموش کرده اید؟ =) به عبارت دیگر، نسبت ساخته شده میانگین نرخ تغییر (در این مورد، رشد) تابع را مشخص می کند.

توجه داشته باشید : مقادیر عددینمونه مورد بررسی فقط تقریباً با نسبت های نقاشی مطابقت دارد.

2) حالا بیایید به همان فاصله از سمت راست ترین نقطه سیاه برویم. در اینجا افزایش ملایم تر است، بنابراین افزایش (خط زرشکی) نسبتاً کم است و نسبت نسبت به مورد قبلی کاملاً متوسط ​​خواهد بود. به طور نسبی، متر و نرخ رشد تابعاست . یعنی اینجا به ازای هر متر جاده وجود دارد میانگیننیم متر بالاتر

3) کمی ماجراجویی در دامنه کوه. بیایید به نقطه سیاه بالای واقع در محور y نگاه کنیم. بیایید فرض کنیم که این علامت 50 متر است. دوباره بر فاصله غلبه می کنیم، در نتیجه خود را پایین تر می یابیم - در سطح 30 متر. از آنجایی که جنبش ایجاد شده است بالا پایین(در جهت "مخالف" محور)، سپس نهایی افزایش تابع (ارتفاع) منفی خواهد بود: متر (خط قهوه ای در نقاشی). و در این مورد ما در مورد آن صحبت می کنیم نرخ پوسیدگیامکانات: یعنی به ازای هر متر از مسیر این قطعه ارتفاع کم می شود میانگیندر 2 متر در نکته پنجم مراقب لباس ها باشید.

حال بیایید این سوال را بپرسیم: بهترین ارزش "استاندارد اندازه گیری" برای استفاده چیست؟ مشخص است که 10 متر بسیار ناهموار است. یک دوجین برجستگی خوب می تواند به راحتی روی آنها قرار بگیرد. چرا دست اندازها وجود دارد، ممکن است یک دره عمیق در زیر وجود داشته باشد و پس از چند متر - سمت دیگر آن با یک صعود تند بیشتر. بنابراین، با یک ده متری، ویژگی قابل فهمی از این بخش های مسیر از طریق نسبت به دست نخواهیم آورد.

از بحث فوق نتیجه گیری زیر حاصل می شود: چگونه ارزش کمتر ، با دقت بیشتری نقش برجسته جاده را توصیف خواهیم کرد. علاوه بر این، حقایق زیر صادق است:

– برای هرچینقاط بلند کردن شما می توانید مقداری را انتخاب کنید (البته بسیار کوچک) که در محدوده یک یا آن افزایش متناسب باشد. و این بدان معنی است که افزایش ارتفاع متناظر مثبت خواهد بود و نابرابری به درستی نشان دهنده رشد تابع در هر نقطه از این فواصل خواهد بود.

- به همین ترتیب، برای هرچینقطه شیب، مقداری وجود دارد که به طور کامل روی این شیب قرار می گیرد. بنابراین، افزایش متناظر در ارتفاع به طور واضح منفی است و نابرابری به درستی کاهش تابع را در هر نقطه از بازه داده شده نشان می دهد.

– مورد توجه خاص زمانی است که نرخ تغییر تابع صفر باشد: . اولاً، افزایش ارتفاع صفر () نشانه یک مسیر زوج است. و ثانیا، موقعیت های عجیب دیگری نیز وجود دارد که نمونه هایی از آنها را در شکل مشاهده می کنید. تصور کنید که سرنوشت ما را به بالای تپه ای با عقاب های سر به فلک کشیده یا ته دره ای با قورباغه های غرغور برده است. اگر گام کوچکی در هر جهت بردارید، تغییر ارتفاع ناچیز خواهد بود و می توان گفت که سرعت تغییر تابع در واقع صفر است. همین الگو در نقاط مشاهده می شود.

بنابراین، ما به یک فرصت شگفت انگیز برای توصیف دقیق نرخ تغییر یک تابع نزدیک شده ایم. از این گذشته، تجزیه و تحلیل ریاضی به ما امکان می دهد که افزایش استدلال را به صفر هدایت کنیم: یعنی آن را بسازیم. بی نهایت کوچک.

در نتیجه، یک سوال منطقی دیگر مطرح می شود: آیا می توان برای جاده و برنامه آن پیدا کرد عملکرد دیگر، که به ما می گفتدر مورد همه هموارها، سربالایی ها، سرازیری ها، قله ها، پستی ها و همچنین میزان افزایش/کاهش در هر نقطه از مسیر؟

مشتق چیست؟ تعریف مشتق.
معنای هندسی مشتق و دیفرانسیل

لطفاً با دقت و نه خیلی سریع بخوانید - مطالب ساده و در دسترس برای همه است! اشکالی ندارد اگر در بعضی جاها چیزی خیلی واضح به نظر نمی رسد، همیشه می توانید بعداً به مقاله بازگردید. بیشتر می گویم، برای درک کیفی همه نکات، چندین بار مطالعه تئوری مفید است (توصیه به ویژه برای دانش آموزان "فنی" که ریاضیات عالی برای آنها نقش مهمی در روند آموزشی ایفا می کند مرتبط است).

طبیعتاً در تعریف مشتق در یک نقطه، آن را با:

به چی رسیدیم؟ و به این نتیجه رسیدیم که برای یک کارکرد طبق قانون تراز شده است عملکرد دیگر، که نامیده می شود تابع مشتق(یا به سادگی مشتق).

مشتق مشخص می کند نرخ تغییرکارکرد . چگونه؟ این فکر از همان ابتدای مقاله مانند یک نخ قرمز پیش می رود. نکته ای را در نظر بگیرید دامنه هاکارکرد . اجازه دهید تابع در یک نقطه مشخص قابل تفکیک باشد. سپس:

1) اگر، پس تابع در نقطه افزایش می یابد. و بدیهی است که وجود دارد فاصله(حتی اگر خیلی کوچک باشد) حاوی نقطه ای است که تابع در آن رشد می کند و نمودار آن از پایین به بالا می رود.

2) اگر، پس تابع در نقطه کاهش می یابد. و یک بازه حاوی نقطه ای وجود دارد که در آن تابع کاهش می یابد (گراف "از بالا به پایین" می رود).

3) اگر، پس بی نهایت نزدیکدر نزدیکی نقطه، تابع سرعت خود را ثابت نگه می دارد. همانطور که اشاره شد، این اتفاق برای یک تابع-ثابت و در نقاط بحرانی تابع، به خصوص در حداقل و حداکثر امتیاز.

برخی از معناشناسی فعل «متمایز کردن» در معنای وسیع به چه معناست؟ تمایز به معنای جدا کردن یک ویژگی است. با متمایز کردن تابع، نرخ تغییر آن را به شکل مشتق تابع "انتخاب" می کنیم. و به هر حال، منظور از کلمه "مشتق" چیست؟ تابع اتفاق افتاداز تابع

اصطلاحات با موفقیت معنای مکانیکی مشتق را تفسیر می کنند :
اجازه دهید قانون تغییر مختصات بدن را در نظر بگیریم که به زمان و تابع سرعت حرکت بستگی دارد. بدن داده شده. تابع سرعت تغییر مختصات بدنه را مشخص می کند، بنابراین اولین مشتق تابع نسبت به زمان است: . اگر مفهوم "حرکت بدن" در طبیعت وجود نداشت، وجود نداشت مشتقمفهوم "سرعت".

شتاب یک جسم میزان تغییر سرعت است، بنابراین: . اگر مفاهیم اولیه "حرکت بدن" و "سرعت حرکت بدن" در طبیعت وجود نداشت، وجود نداشت مشتقمفهوم شتاب جسم

در مسئله B9، نموداری از یک تابع یا مشتق داده شده است که از آن باید یکی از کمیت های زیر را تعیین کرد:

1. مقدار مشتق در نقطه ای x 0،
2. نقاط بالا یا پایین (نقاط افراطی)،
3. فواصل توابع افزایش و کاهش (فاصله های یکنواختی).

توابع و مشتقات ارائه شده در این مسئله همیشه پیوسته هستند که راه حل را تا حد زیادی ساده می کند. علیرغم این واقعیت که این کار به بخش تجزیه و تحلیل ریاضی تعلق دارد، حتی در اختیار ضعیف ترین دانش آموزان است، زیرا در اینجا به دانش نظری عمیقی نیاز نیست.

برای یافتن مقدار مشتق، نقاط افراطی و فواصل یکنواختی، الگوریتم های ساده و جهانی وجود دارد - همه آنها در زیر مورد بحث قرار خواهند گرفت.

برای اینکه مرتکب اشتباهات احمقانه نشوید، شرایط مشکل B9 را با دقت بخوانید: گاهی اوقات متون بسیار حجیمی به دست می آید، اما شرایط مهم، که بر روند راه حل تأثیر می گذارد، تعداد کمی وجود دارد.

محاسبه مقدار مشتق. روش دو نقطه ای

اگر به مسئله نموداری از تابع f(x)، مماس بر این نمودار در نقطه ای x 0 داده شود، و لازم است مقدار مشتق را در این نقطه پیدا کنیم، الگوریتم زیر اعمال می شود:

1. دو نقطه "کافی" را در نمودار مماس پیدا کنید: مختصات آنها باید عدد صحیح باشد. بیایید این نقاط را به صورت A (x 1 ; y 1) و B (x 2 ; y 2) نشان دهیم. مختصات را به درستی بنویسید - این نکته کلیدی راه حل است و هر اشتباهی در اینجا منجر به پاسخ اشتباه می شود.
2. با دانستن مختصات، محاسبه افزایش آرگومان Δx = x 2 − x 1 و افزایش تابع Δy = y 2 − y 1 آسان است.
3. در نهایت، مقدار مشتق D = Δy/Δx را پیدا می کنیم. به عبارت دیگر، شما باید تابع افزایش را بر افزایش آرگومان تقسیم کنید - و این پاسخ خواهد بود.

یک بار دیگر، یادآور می‌شویم: نقاط A و B را باید دقیقاً بر روی مماس جستجو کرد، نه در نمودار تابع f(x)، همانطور که اغلب اتفاق می‌افتد. مماس لزوماً شامل حداقل دو نقطه از این قبیل خواهد بود، در غیر این صورت مسئله به اشتباه فرمول بندی شده است.

نقاط A (-3; 2) و B (-1; 6) را در نظر بگیرید و افزایش ها را پیدا کنید:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

بیایید مقدار مشتق را پیدا کنیم: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

وظیفه. شکل نمودار تابع y \u003d f (x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا x 0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه x 0 بیابید.

نقاط A (0; 3) و B (3; 0) را در نظر بگیرید، افزایش ها را پیدا کنید:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

اکنون مقدار مشتق را پیدا می کنیم: D = Δy/Δx = -3/3 = -1.

وظیفه. شکل نمودار تابع y \u003d f (x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا x 0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه x 0 بیابید.

نقاط A (0; 2) و B (5; 2) را در نظر بگیرید و افزایش ها را پیدا کنید:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

باقی مانده است که مقدار مشتق را پیدا کنیم: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

از آخرین مثال، می توانیم این قانون را فرموله کنیم: اگر مماس موازی با محور OX باشد، مشتق تابع در نقطه تماس برابر با صفر است. در این مورد، شما حتی نیازی به محاسبه چیزی ندارید - فقط به نمودار نگاه کنید.

محاسبه امتیاز بالا و پایین

گاهی اوقات به جای نمودار یک تابع در مسئله B9، یک نمودار مشتق داده می شود و لازم است حداکثر یا حداقل نقطه تابع را پیدا کنید. در این سناریو، روش دو نقطه ای بی فایده است، اما الگوریتم دیگری حتی ساده تر وجود دارد. ابتدا بیایید اصطلاحات را تعریف کنیم:

1. نقطه x 0 حداکثر نقطه تابع f(x) نامیده می شود اگر نابرابری زیر در همسایگی این نقطه برقرار باشد: f(x 0) ≥ f(x).
2. نقطه x 0 را حداقل نقطه تابع f(x) می نامند اگر نابرابری زیر در همسایگی این نقطه برقرار باشد: f(x 0) ≤ f(x).

برای یافتن حداکثر و حداقل نقاط در نمودار مشتق، کافی است مراحل زیر را انجام دهید:

1. نمودار مشتق را دوباره ترسیم کنید، تمام اطلاعات غیر ضروری را حذف کنید. همانطور که تمرین نشان می دهد، داده های اضافی فقط در تصمیم گیری دخالت می کنند. بنابراین، صفرهای مشتق را روی محور مختصات علامت گذاری می کنیم - و تمام.
2. نشانه های مشتق را در فواصل بین صفرها پیدا کنید. اگر برای نقطه ای x 0 معلوم شود که f'(x 0) ≠ 0، آنگاه فقط دو گزینه ممکن است: f'(x 0) ≥ 0 یا f'(x 0) ≤ 0. علامت مشتق است به راحتی می توان از ترسیم اصلی تعیین کرد: اگر نمودار مشتق بالای محور OX باشد، آنگاه f'(x) ≥ 0. برعکس، اگر نمودار مشتق زیر محور OX باشد، آنگاه f'(x) ≤ 0 است.
3. ما دوباره صفرها و نشانه های مشتق را بررسی می کنیم. جایی که علامت از منفی به مثبت تغییر می کند، یک نقطه حداقل وجود دارد. برعکس، اگر علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر کند، این حداکثر نقطه است. شمارش همیشه از چپ به راست انجام می شود.

این طرح فقط برای توابع پیوسته کار می کند - هیچ مورد دیگری در مشکل B9 وجود ندارد.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-5; 5]. حداقل نقطه تابع f(x) را در این قطعه پیدا کنید.

بیایید از شر اطلاعات غیر ضروری خلاص شویم - فقط مرزها را ترک خواهیم کرد [-5; 5] و صفرهای مشتق x = -3 و x = 2.5. همچنین به علائم توجه کنید:

بدیهی است که در نقطه x = -3، علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می کند. این حداقل امتیاز است.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-3; 7]. حداکثر نقطه تابع f(x) را در این قطعه پیدا کنید.

بیایید نمودار را دوباره ترسیم کنیم و فقط مرزها را باقی بگذاریم [-3; 7] و صفرهای مشتق x = −1.7 و x = 5. به نشانه‌های مشتق در نمودار حاصل توجه کنید. ما داریم:

بدیهی است که در نقطه x = 5، علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند - این حداکثر نقطه است.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-6; 4]. تعداد حداکثر نقاط تابع f(x) که به بازه [-4; 3].

از شرایط مسئله برمی‌آید که کافی است فقط بخشی از نمودار را که توسط بخش محدود شده است در نظر بگیریم [-4; 3]. بنابراین، ما یک نمودار جدید می سازیم که روی آن فقط مرزها را علامت گذاری می کنیم [-4; 3] و صفرهای مشتق داخل آن. یعنی نقاط x = −3.5 و x = 2. دریافت می کنیم:

در این نمودار، تنها یک نقطه حداکثر x = 2 وجود دارد. در آن است که علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند.

یک نکته کوچک در مورد نقاط با مختصات غیر صحیح. به عنوان مثال، در مسئله آخر، نقطه x = -3.5 در نظر گرفته شد، اما با همان موفقیت می توانیم x = -3.4 را بگیریم. اگر مشکل به درستی فرموله شود، چنین تغییراتی نباید روی پاسخ تأثیر بگذارد، زیرا نکات "بدون محل اقامت ثابت" مستقیماً در حل مشکل دخالت ندارند. البته با امتیازهای صحیح چنین ترفندی کارساز نخواهد بود.

یافتن فواصل افزایش و کاهش یک تابع

در چنین مسئله ای، مانند نقاط حداکثر و حداقل، یافتن مناطقی پیشنهاد می شود که خود تابع از نمودار مشتق کم یا زیاد می شود. ابتدا بیایید تعریف کنیم که صعودی و نزولی چیست:

1. اگر برای هر دو نقطه x 1 و x 2 از این پاره جمله درست باشد تابع f(x) در یک پاره افزایش نامیده می شود: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). به عبارت دیگر، هر چه مقدار آرگومان بزرگتر باشد، مقدار تابع نیز بزرگتر است.
2. تابع f(x) در یک قطعه نزولی نامیده می شود که برای هر دو نقطه x 1 و x 2 از این پاره، این جمله درست باشد: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). آن ها ارزش بیشترآرگومان مربوط به مقدار کوچکتر تابع است.

ما شرایط کافی برای افزایش و کاهش را تدوین می کنیم:

1. برای اینکه تابع پیوسته f(x) روی قطعه افزایش یابد، کافی است مشتق آن در داخل قطعه مثبت باشد، یعنی. f'(x) ≥ 0.
2. برای کاهش یک تابع پیوسته f(x) در قطعه کافی است که مشتق آن در داخل قطعه منفی باشد، یعنی. f'(x) ≤ 0.

ما این ادعاها را بدون دلیل می پذیریم. بنابراین، طرحی برای یافتن فواصل افزایش و کاهش به دست می آوریم که از بسیاری جهات شبیه الگوریتم محاسبه نقاط اکستریم است:

1. تمام اطلاعات اضافی را حذف کنید. در نمودار اصلی مشتق، ما در درجه اول به صفرهای تابع علاقه داریم، بنابراین فقط آنها را رها می کنیم.
2. علائم مشتق را در فواصل بین صفرها مشخص کنید. در جایی که f'(x) ≥ 0 باشد، تابع افزایش می یابد و در جایی که f'(x) ≤ 0 باشد، کاهش می یابد. اگر مشکل محدودیت‌هایی روی متغیر x داشته باشد، آنها را در نمودار جدید علامت‌گذاری می‌کنیم.
3. اکنون که رفتار تابع و محدودیت را می دانیم، باقی مانده است که مقدار مورد نیاز در مسئله را محاسبه کنیم.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-3; 7.5]. بازه های تابع نزولی f(x) را بیابید. در پاسخ خود مجموع اعداد صحیح موجود در این فواصل را بنویسید.

طبق معمول، نمودار را دوباره ترسیم می کنیم و مرزها را علامت گذاری می کنیم [-3; 7.5]، و همچنین صفرهای مشتق x = -1.5 و x = 5.3. سپس نشانه های مشتق را مشخص می کنیم. ما داریم:

از آنجایی که مشتق در بازه (1.5-) منفی است، این بازه تابع کاهشی است. باقی مانده است که تمام اعداد صحیحی که در این بازه هستند جمع شوند:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

وظیفه. شکل، نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می‌دهد که در بخش [-10; 4]. بازه های افزایش تابع f(x) را بیابید. در پاسخ خود طول بزرگترین آنها را بنویسید.

بیایید از شر اطلاعات اضافی خلاص شویم. ما فقط مرزها را ترک می کنیم [-10; 4] و صفرهای مشتق، که این بار چهار شد: x = −8، x = −6، x = −3 و x = 2. به نشانه‌های مشتق توجه کنید و تصویر زیر را دریافت کنید:

ما به فواصل افزایش تابع علاقه داریم، یعنی. که در آن f'(x) ≥ 0. دو بازه از این قبیل در نمودار وجود دارد: (-8؛ -6) و (-3؛ 2). بیایید طول آنها را محاسبه کنیم:
l 1 = - 6 - (-8) = 2;
l 2 = 2 - (-3) = 5.

از آنجایی که لازم است طول بزرگترین بازه را پیدا کنیم، در پاسخ مقدار l 2 = 5 را می نویسیم.

معنای هندسی مشتق

تعیین مماس بر منحنی مماس بر منحنی y=ƒ(x)در نقطه مموقعیت محدود کننده سکانس کشیده شده از نقطه نامیده می شود مو نقطه مجاور آن M 1منحنی، به شرطی که نقطه M 1به طور نامحدود در طول منحنی به یک نقطه نزدیک می شود م. معنی هندسی مشتق مشتق تابع y=ƒ(x)در نقطه ایکس 0 از نظر عددی برابر است با مماس زاویه میل بر محور اوهمماس کشیده شده به منحنی y=ƒ(x)در نقطه M (x 0؛ ƒ (x 0)).

DOTIC به منحنی دوتیچنایا به کج y=ƒ(x)به نقطه مموقعیت مرزی سیچنو نامیده می شود که از طریق نقطه کشیده شده است مو یک نکته را با آن قضاوت کنید M 1کج، توجه داشته باشید، چه نکته ای M 1منحنی به نقطه نزدیک تر می شود م. هندسی ZMIST خوب توابع دیگر y=ƒ(x)به نقطه x 0مماس کوتا ناهیل بر محور را عددی افزایش دهید اوه dotichny، انجام شده به منحنی y=ƒ(x)به نقطه M (x 0؛ ƒ (x 0)).

معنای عملی مشتق

بیایید در نظر بگیریم که ارزشی که ما به عنوان مشتق از یک تابع پیدا کرده ایم، عملاً به چه معناست.

اول از همه، مشتق- این مفهوم اساسی حساب دیفرانسیل است که میزان تغییر یک تابع را در یک نقطه مشخص مشخص می کند.

"نرخ تغییر" چیست؟ یک تابع را تصور کنید f(x) = 5. صرف نظر از مقدار آرگومان (x)، مقدار آن به هیچ وجه تغییر نمی کند. یعنی نرخ تغییر صفر است.

حالا تابع را در نظر بگیرید f(x) = x. مشتق x برابر با یک است. در واقع، به راحتی می توان دریافت که به ازای هر تغییر در آرگومان (x) توسط یک، مقدار تابع نیز یک افزایش می یابد.

از نقطه نظر اطلاعات دریافتی، اکنون به جدول مشتقات توابع ساده نگاه می کنیم. بر این اساس، معنای فیزیکی یافتن مشتق یک تابع بلافاصله روشن می شود. چنین درک باید حل مشکلات عملی را تسهیل کند.

بر این اساس، اگر مشتق میزان تغییر تابع را نشان دهد، مشتق مضاعف شتاب را نشان می دهد.

2080.1947

به خاطر سپردن آن بسیار آسان است.

خوب، ما خیلی دور نخواهیم رفت، بلافاصله تابع معکوس را در نظر خواهیم گرفت. معکوس تابع نمایی چیست؟ لگاریتم:

در مورد ما، پایه یک عدد است:

چنین لگاریتمی (یعنی لگاریتمی با پایه) "طبیعی" نامیده می شود و ما از نماد خاصی برای آن استفاده می کنیم: به جای آن می نویسیم.

برابر چیست؟ البته، .

مشتق لگاریتم طبیعی نیز بسیار ساده است:

مثال ها:

1. مشتق تابع را بیابید.
2. مشتق تابع چیست؟

پاسخ ها: توان و لگاریتم طبیعی توابعی هستند که از نظر مشتق ساده هستند. توابع نمایی و لگاریتمی با هر پایه دیگری مشتق متفاوتی خواهند داشت که بعد از مرور قوانین تمایز آن را تحلیل خواهیم کرد.

قوانین تمایز

چه قوانینی؟ بازم یه اصطلاح جدید دیگه؟!...

تفکیکفرآیند یافتن مشتق است.

فقط و همه چیز. کلمه دیگری برای این فرآیند چیست؟ نه proizvodnovanie... دیفرانسیل ریاضی را همان افزایش تابع در می نامند. این اصطلاح از دیفرانسیل لاتین - تفاوت می آید. اینجا.

هنگام استخراج همه این قوانین، از دو تابع به عنوان مثال و. ما همچنین به فرمول هایی برای افزایش آنها نیاز خواهیم داشت:

در کل 5 قانون وجود دارد.

ثابت از علامت مشتق خارج می شود.

اگر - یک عدد ثابت (ثابت)، پس.

بدیهی است که این قانون برای تفاوت نیز کار می کند: .

بیایید ثابت کنیم. اجازه دهید، یا راحت تر.

مثال ها.

مشتقات توابع را پیدا کنید:

1. در نقطه؛
2. در نقطه؛
3. در نقطه؛
4. در نقطه

راه حل ها:

1. (مشتق در همه نقاط یکسان است، زیرا یک تابع خطی است، یادتان هست؟)

مشتق از یک محصول

همه چیز در اینجا مشابه است: ما یک تابع جدید را معرفی می کنیم و افزایش آن را پیدا می کنیم:

مشتق:

مثال ها:

1. مشتقات توابع را پیدا کنید و
2. مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.

راه حل ها:

مشتق تابع نمایی

اکنون دانش شما کافی است تا بیاموزید که چگونه مشتق هر تابع نمایی را بیابید، و نه فقط توان را (آیا فراموش کرده اید که چیست؟).

پس فلان عدد کجاست

ما قبلاً مشتق تابع را می دانیم، بنابراین بیایید سعی کنیم تابع خود را به یک پایه جدید برسانیم:

برای این کار از یک قانون ساده استفاده می کنیم: . سپس:

خوب، کار کرد. حالا سعی کنید مشتق را پیدا کنید و فراموش نکنید که این تابع پیچیده است.

اتفاق افتاد؟

در اینجا، خود را بررسی کنید:

فرمول بسیار شبیه به مشتق توان است: همانطور که بود، باقی می ماند، فقط یک عامل ظاهر شد، که فقط یک عدد است، اما یک متغیر نیست.

مثال ها:
مشتقات توابع را پیدا کنید:

پاسخ ها:

این فقط یک عدد است که بدون ماشین حساب نمی توان آن را محاسبه کرد، یعنی نمی توان آن را به شکل ساده تر نوشت. لذا در جواب به این صورت رها شده است.

توجه داشته باشید که در اینجا ضریب دو تابع است، بنابراین قانون تمایز مناسب را اعمال می کنیم:

در این مثال حاصل ضرب دو تابع:

مشتق تابع لگاریتمی

در اینجا مشابه است: شما قبلاً مشتق لگاریتم طبیعی را می دانید:

بنابراین، برای پیدا کردن یک دلخواه از لگاریتم با پایه متفاوت، به عنوان مثال،:

ما باید این لگاریتم را به پایه بیاوریم. چگونه پایه لگاریتم را تغییر می دهید؟ امیدوارم این فرمول را به خاطر بسپارید:

فقط اکنون به جای آن می نویسیم:

مخرج فقط یک ثابت بود (یک عدد ثابت، بدون متغیر). مشتق بسیار ساده است:

مشتقات توابع نمایی و لگاریتمی تقریباً هرگز در امتحان یافت نمی شوند، اما دانستن آنها اضافی نخواهد بود.

مشتق تابع مختلط

"تابع پیچیده" چیست؟ نه، این یک لگاریتم نیست، و نه یک مماس قوسی. درک این توابع ممکن است دشوار باشد (البته اگر لگاریتم برای شما دشوار به نظر می رسد، مبحث "لگاریتم" را بخوانید و همه چیز درست می شود)، اما از نظر ریاضی، کلمه "پیچیده" به معنای "دشوار" نیست.

یک نوار نقاله کوچک را تصور کنید: دو نفر نشسته اند و با برخی از اشیاء اقداماتی را انجام می دهند. به عنوان مثال، اولی یک تخته شکلات را در یک بسته بندی می پیچد و دومی آن را با یک روبان می بندد. به نظر می رسد چنین شی کامپوزیتی: یک شکلات پیچیده شده و با یک روبان گره خورده است. برای خوردن یک شکلات تخته ای، باید مراحل مخالف را به ترتیب معکوس انجام دهید.

بیایید یک خط لوله ریاضی مشابه ایجاد کنیم: ابتدا کسینوس یک عدد را پیدا می کنیم و سپس عدد حاصل را مربع می کنیم. بنابراین، آنها به ما یک عدد (شکلات) می دهند، من کسینوس آن را پیدا می کنم (لفاف) و سپس شما آنچه را که به دست آوردم مربع می کنید (آن را با یک روبان ببندید). چی شد؟ تابع. این مثالی از یک تابع پیچیده است: زمانی که برای یافتن مقدار آن، اولین عمل را مستقیماً با متغیر انجام می دهیم و سپس اقدام دوم دیگری را با آنچه در نتیجه اولی اتفاق افتاده است انجام می دهیم.

به عبارت دیگر، تابع پیچیده تابعی است که آرگومان آن تابع دیگری است: .

برای مثال ما، .

ما ممکن است همان اقدامات را به ترتیب معکوس انجام دهیم: ابتدا شما مربع می کنید و سپس من به دنبال کسینوس عدد حاصل می گردم:. به راحتی می توان حدس زد که نتیجه تقریباً همیشه متفاوت خواهد بود. یک ویژگی مهم توابع پیچیده: وقتی ترتیب اعمال تغییر می کند، تابع تغییر می کند.

مثال دوم: (همان). .

آخرین اقدامی که انجام می دهیم نامیده می شود عملکرد "خارجی".، و اولین اقدام انجام شد - به ترتیب عملکرد "داخلی".(این اسامی غیر رسمی هستند، من از آنها فقط برای توضیح مطالب به زبان ساده استفاده می کنم).

سعی کنید خودتان تعیین کنید کدام تابع خارجی و کدام داخلی است:

پاسخ ها:جداسازی توابع داخلی و خارجی بسیار شبیه به تغییر متغیرها است: به عنوان مثال، در تابع

1. ابتدا چه اقدامی انجام خواهیم داد؟ ابتدا سینوس را محاسبه می کنیم و تنها سپس آن را به مکعب می آوریم. بنابراین یک عملکرد داخلی است، نه یک عملکرد خارجی.
   و کارکرد اصلی ترکیب آنهاست: .
2. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
3. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
4. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
5. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .

متغیرها را تغییر می دهیم و یک تابع می گیریم.

خوب، اکنون شکلات خود را استخراج می کنیم - به دنبال مشتق باشید. روال همیشه برعکس است: ابتدا مشتق تابع بیرونی را جستجو می کنیم، سپس نتیجه را در مشتق تابع درونی ضرب می کنیم. برای مثال اصلی، به نظر می رسد:

مثالی دیگر:

بنابراین، اجازه دهید در نهایت قانون رسمی را فرموله کنیم:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

به نظر ساده است، درست است؟

بیایید با مثال ها بررسی کنیم:

راه حل ها:

1) داخلی:

خارجی: ;

2) داخلی:

(فقط سعی نکنید تا الان کم کنید! چیزی از زیر کسینوس خارج نشده، یادتان هست؟)

3) داخلی:

خارجی: ;

فوراً مشخص است که در اینجا یک عملکرد پیچیده سه سطحی وجود دارد: از این گذشته ، این به خودی خود یک عملکرد پیچیده است و ما هنوز ریشه را از آن استخراج می کنیم ، یعنی عمل سوم را انجام می دهیم (شکلات را در یک بسته بندی قرار می دهیم. و با یک روبان در کیف). اما دلیلی برای ترس وجود ندارد: به هر حال، ما این عملکرد را به همان ترتیب معمول "باز کردن" می کنیم: از پایان.

یعنی ابتدا ریشه و بعد کسینوس و فقط بعد عبارت داخل پرانتز را متمایز می کنیم. و سپس همه را ضرب می کنیم.

در چنین مواردی، شماره گذاری اقدامات راحت است. یعنی آنچه را که می دانیم تصور کنیم. به چه ترتیبی اقداماتی را برای محاسبه مقدار این عبارت انجام خواهیم داد؟ بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

هرچه این عمل دیرتر انجام شود، عملکرد مربوطه "خارجی" تر خواهد بود. دنباله اقدامات - مانند قبل:

در اینجا لانه سازی به طور کلی 4 سطح است. بیایید مسیر عمل را مشخص کنیم.

1. بیان رادیکال. .

2. ریشه. .

3. سینوس. .

4. مربع. .

5. کنار هم گذاشتن همه:

مشتق. به طور خلاصه در مورد اصلی

مشتق تابع- نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان با افزایش بی نهایت کوچک آرگومان:

مشتقات پایه:

قوانین تمایز:

ثابت از علامت مشتق خارج می شود:

مشتق جمع:

محصول مشتق:

مشتق ضریب:

مشتق تابع مختلط:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

1. ما تابع "داخلی" را تعریف می کنیم، مشتق آن را پیدا می کنیم.
2. ما تابع "خارجی" را تعریف می کنیم، مشتق آن را پیدا می کنیم.
3. نتایج نقطه اول و دوم را ضرب می کنیم.