11.1. Grundlegendes Konzept

Betrachten wir Linien, die durch Gleichungen zweiten Grades relativ zu den aktuellen Koordinaten definiert sind

Die Koeffizienten der Gleichung sind reelle Zahlen, aber mindestens eine der Zahlen A, B oder C ist ungleich Null. Solche Linien werden Linien (Kurven) zweiter Ordnung genannt. Im Folgenden wird festgestellt, dass Gleichung (11.1) einen Kreis, eine Ellipse, eine Hyperbel oder eine Parabel in der Ebene definiert. Bevor wir zu dieser Aussage übergehen, untersuchen wir die Eigenschaften der aufgelisteten Kurven.

11.2. Kreis

Die einfachste Kurve zweiter Ordnung ist ein Kreis. Denken Sie daran, dass ein Kreis mit dem Radius R und dem Mittelpunkt in einem Punkt die Menge aller Punkte M der Ebene ist, die die Bedingung erfüllen. Ein Punkt in einem rechteckigen Koordinatensystem habe die Koordinaten x 0, y 0 und - ein beliebiger Punkt auf dem Kreis (siehe Abb. 48).

Aus der Bedingung erhalten wir dann die Gleichung

(11.2)

Gleichung (11.2) wird durch die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf einem gegebenen Kreis erfüllt und nicht durch die Koordinaten eines beliebigen Punktes, der nicht auf dem Kreis liegt.

Gleichung (11.2) wird aufgerufen kanonische Gleichung Kreis

Insbesondere durch die Einstellung von und erhalten wir die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt im Ursprung .

Die Kreisgleichung (11.2) wird nach einfachen Transformationen die Form annehmen. Beim Vergleich dieser Gleichung mit allgemeine Gleichung(11.1) der Kurve zweiter Ordnung erkennt man leicht, dass für die Kreisgleichung zwei Bedingungen erfüllt sind:

1) die Koeffizienten für x 2 und y 2 sind einander gleich;

2) Es gibt kein Element, das das Produkt xy der aktuellen Koordinaten enthält.

Betrachten wir das umgekehrte Problem. Wenn wir die Werte und in Gleichung (11.1) einsetzen, erhalten wir

Lassen Sie uns diese Gleichung umwandeln:

(11.4)

Daraus folgt, dass Gleichung (11.3) einen Kreis unter der Bedingung definiert . Sein Mittelpunkt liegt an der Spitze und der Radius

.

Wenn , dann hat Gleichung (11.3) die Form

.

Sie wird durch die Koordinaten eines einzelnen Punktes erfüllt . In diesem Fall sagt man: „Der Kreis ist zu einem Punkt entartet“ (hat den Radius Null).

Wenn , dann definiert Gleichung (11.4) und daher die äquivalente Gleichung (11.3) keine Linie, da die rechte Seite von Gleichung (11.4) negativ und die linke nicht negativ ist (sagen wir: „ein imaginärer Kreis“).

11.3. Ellipse

Kanonische Ellipsengleichung

Ellipse ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die Summe der Abstände von jedem von ihnen zu zwei gegebenen Punkten dieser Ebene, genannt Tricks ist ein konstanter Wert, der größer als der Abstand zwischen den Brennpunkten ist.

Bezeichnen wir die Schwerpunkte mit F 1 Und F 2, der Abstand zwischen ihnen beträgt 2 C und die Summe der Abstände von einem beliebigen Punkt der Ellipse zu den Brennpunkten - in 2 A(siehe Abb. 49). Per Definition 2 A > 2C, d.h. A > C.

Um die Ellipsengleichung abzuleiten, wählen wir ein Koordinatensystem mit den Brennpunkten F 1 Und F 2 lagen auf der Achse und der Ursprung fiel mit der Mitte des Segments zusammen F 1 F 2. Dann haben die Brennpunkte die folgenden Koordinaten: und .

Sei ein beliebiger Punkt der Ellipse. Dann gilt gemäß der Definition einer Ellipse, d.h.

Dies ist im Wesentlichen die Gleichung einer Ellipse.

Lassen Sie uns Gleichung (11.5) wie folgt in eine einfachere Form umwandeln:

Als A>Mit, Das . Lasst uns

(11.6)

Dann nimmt die letzte Gleichung die Form an oder

(11.7)

Es kann bewiesen werden, dass Gleichung (11.7) äquivalent zur ursprünglichen Gleichung ist. Es heißt kanonische Ellipsengleichung .

Eine Ellipse ist eine Kurve zweiter Ordnung.

Untersuchung der Form einer Ellipse anhand ihrer Gleichung

Lassen Sie uns die Form der Ellipse anhand ihrer kanonischen Gleichung bestimmen.

1. Gleichung (11.7) enthält x und y nur in geraden Potenzen, wenn also ein Punkt zu einer Ellipse gehört, dann gehören auch die Punkte dazu. Daraus folgt, dass die Ellipse symmetrisch in Bezug auf die Achsen und ist, sowie in Bezug auf den Punkt, der als Mittelpunkt der Ellipse bezeichnet wird.

2. Finden Sie die Schnittpunkte der Ellipse mit den Koordinatenachsen. Durch Setzen finden wir zwei Punkte und , an denen die Achse die Ellipse schneidet (siehe Abb. 50). Indem wir Gleichung (11.7) einsetzen, finden wir die Schnittpunkte der Ellipse mit der Achse: und . Punkte A 1 , Eine 2 , B 1, B 2 werden genannt Eckpunkte der Ellipse. Segmente A 1 Eine 2 Und B 1 B 2, sowie deren Längen 2 A und 2 B heißen entsprechend große und kleine Achsen Ellipse. Zahlen A Und B werden groß bzw. klein genannt Achswellen Ellipse.

3. Aus Gleichung (11.7) folgt, dass jeder Term auf der linken Seite eins nicht überschreitet, d.h. die Ungleichheiten und oder und stattfinden. Folglich liegen alle Punkte der Ellipse innerhalb des durch die Geraden gebildeten Rechtecks.

4. In Gleichung (11.7) ist die Summe der nichtnegativen Terme und gleich eins. Wenn also ein Term zunimmt, nimmt der andere ab, d. h. wenn er zunimmt, nimmt er ab und umgekehrt.

Daraus folgt, dass die Ellipse die in Abb. gezeigte Form hat. 50 (ovale geschlossene Kurve).

Weitere Informationenüber die Ellipse

Die Form der Ellipse hängt vom Verhältnis ab. Wenn sich die Ellipse in einen Kreis verwandelt, nimmt die Gleichung der Ellipse (11.7) die Form an. Das Verhältnis wird oft verwendet, um die Form einer Ellipse zu charakterisieren. Das Verhältnis des halben Abstands zwischen den Brennpunkten zur großen Halbachse der Ellipse wird als Exzentrizität der Ellipse bezeichnet und o6o wird mit dem Buchstaben ε („Epsilon“) bezeichnet:

mit 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Dies zeigt, dass die Ellipse umso weniger abgeflacht ist, je kleiner die Exzentrizität der Ellipse ist. setzen wir ε = 0, dann verwandelt sich die Ellipse in einen Kreis.

Sei M(x;y) ein beliebiger Punkt der Ellipse mit den Brennpunkten F 1 und F 2 (siehe Abb. 51). Die Längen der Segmente F 1 M = r 1 und F 2 M = r 2 werden als Brennradien des Punktes M bezeichnet. Offensichtlich,

Die Formeln gelten

Direkte Leitungen werden aufgerufen

Satz 11.1. Wenn es sich um den Abstand von einem beliebigen Punkt der Ellipse zu einem bestimmten Brennpunkt handelt, d um den Abstand von demselben Punkt zur diesem Brennpunkt entsprechenden Geraden, dann ist das Verhältnis ein konstanter Wert, der der Exzentrizität der Ellipse entspricht:

Aus Gleichung (11.6) folgt das. Wenn, dann definiert Gleichung (11.7) eine Ellipse, deren Hauptachse auf der Oy-Achse und deren Nebenachse auf der Ox-Achse liegt (siehe Abb. 52). Die Brennpunkte einer solchen Ellipse liegen in den Punkten und , wo .

11.4. Hyperbel

Kanonische Hyperbelgleichung

Hyperbel ist die Menge aller Punkte der Ebene, der Modul der Differenz der Abstände von jedem von ihnen zu zwei gegebenen Punkten dieser Ebene, genannt Tricks ist ein konstanter Wert, der kleiner als der Abstand zwischen den Brennpunkten ist.

Bezeichnen wir die Schwerpunkte mit F 1 Und F 2 der Abstand zwischen ihnen beträgt 2s und der Modul der Abstandsdifferenz von jedem Punkt der Hyperbel zu den Brennpunkten durch 2a. A-Priorat 2a < 2s, d.h. A < C.

Um die Hyperbelgleichung abzuleiten, wählen wir ein Koordinatensystem mit den Brennpunkten F 1 Und F 2 lagen auf der Achse und der Ursprung fiel mit der Mitte des Segments zusammen F 1 F 2(siehe Abb. 53). Dann haben die Brennpunkte Koordinaten und

Sei ein beliebiger Punkt der Hyperbel. Dann gemäß der Definition einer Hyperbel oder , d. h. Nach Vereinfachungen, wie sie bei der Ableitung der Ellipsengleichung vorgenommen wurden, erhalten wir kanonische Hyperbelgleichung

(11.9)

(11.10)

Eine Hyperbel ist eine Gerade zweiter Ordnung.

Untersuchung der Form einer Hyperbel anhand ihrer Gleichung

Lassen Sie uns die Form der Hyperbel anhand ihrer kakonischen Gleichung ermitteln.

1. Gleichung (11.9) enthält x und y nur in geraden Potenzen. Folglich ist die Hyperbel symmetrisch um die Achsen und sowie um den Punkt, der aufgerufen wird das Zentrum der Hyperbel.

2. Finden Sie die Schnittpunkte der Hyperbel mit den Koordinatenachsen. Wenn wir Gleichung (11.9) einsetzen, finden wir zwei Schnittpunkte der Hyperbel mit der Achse: und. Wenn wir (11.9) einsetzen, erhalten wir , was nicht sein kann. Daher schneidet die Hyperbel die Oy-Achse nicht.

Die Punkte werden aufgerufen Gipfel Hyperbeln und das Segment

echte Achse , Liniensegment - echte Halbachse Hyperbel.

Das Segment, das die Punkte verbindet, wird aufgerufen imaginäre Achse , Nummer b - imaginäre Halbachse . Rechteck mit Seiten 2a Und 2b angerufen Grundrechteck der Hyperbel .

3. Aus Gleichung (11.9) folgt, dass der Minuend nicht kleiner als eins ist, also das oder . Das bedeutet, dass die Punkte der Hyperbel rechts von der Geraden (rechter Ast der Hyperbel) und links von der Geraden (linker Ast der Hyperbel) liegen.

4. Aus Gleichung (11.9) der Hyperbel geht hervor, dass sie zunimmt, wenn sie zunimmt. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Differenz einen konstanten Wert gleich eins beibehält.

Daraus folgt, dass die Hyperbel die in Abbildung 54 gezeigte Form hat (eine Kurve, die aus zwei unbegrenzten Zweigen besteht).

Asymptoten einer Hyperbel

Die Gerade L heißt Asymptote einer unbeschränkten Kurve K, wenn der Abstand d vom Punkt M der Kurve K zu dieser Geraden gegen Null geht, wenn der Abstand des Punktes M entlang der Kurve K vom Ursprung unbegrenzt ist. Abbildung 55 veranschaulicht das Konzept einer Asymptote: Die Gerade L ist eine Asymptote für Kurve K.

Zeigen wir, dass die Hyperbel zwei Asymptoten hat:

(11.11)

Da die Geraden (11.11) und die Hyperbel (11.9) symmetrisch zu den Koordinatenachsen sind, genügt es, nur die Punkte der angegebenen Geraden zu betrachten, die im ersten Viertel liegen.

Nehmen wir einen Punkt N auf einer Geraden, der die gleiche Abszisse x hat wie der Punkt auf der Hyperbel (siehe Abb. 56) und ermitteln Sie die Differenz ΜΝ zwischen den Ordinaten der Geraden und dem Zweig der Hyperbel:

Wie Sie sehen können, nimmt mit zunehmendem x der Nenner des Bruchs zu; Der Zähler ist ein konstanter Wert. Daher die Länge des Segments ΜΝ tendiert gegen Null. Da MΝ größer ist als der Abstand d vom Punkt M zur Geraden, geht d gegen Null. Die Geraden sind also Asymptoten der Hyperbel (11.9).

Beim Konstruieren einer Hyperbel (11.9) empfiehlt es sich, zunächst das Hauptrechteck der Hyperbel zu konstruieren (siehe Abb. 57), gerade Linien zu zeichnen, die durch die gegenüberliegenden Eckpunkte dieses Rechtecks ​​– die Asymptoten der Hyperbel – verlaufen, und die Eckpunkte zu markieren und , der Hyperbel.

Gleichung einer gleichseitigen Hyperbel.

deren Asymptoten die Koordinatenachsen sind

Die Hyperbel (11.9) heißt gleichseitig, wenn ihre Halbachsen gleich () sind. Seine kanonische Gleichung

(11.12)

Die Asymptoten einer gleichseitigen Hyperbel haben Gleichungen und sind daher Winkelhalbierende von Koordinatenwinkeln.

Betrachten wir die Gleichung dieser Hyperbel in einem neuen Koordinatensystem (siehe Abb. 58), das wir aus dem alten durch Drehen der Koordinatenachsen um einen Winkel erhalten. Wir verwenden die Formeln für rotierende Koordinatenachsen:

Wir setzen die Werte von x und y in Gleichung (11.12) ein:

Die Gleichung einer gleichseitigen Hyperbel, bei der die Achsen Ox und Oy Asymptoten sind, hat die Form .

Weitere Informationen zur Übertreibung

Exzentrizität Hyperbel (11.9) ist das Verhältnis des Abstands zwischen den Brennpunkten zum Wert der realen Achse der Hyperbel, bezeichnet mit ε:

Da für eine Hyperbel die Exzentrizität der Hyperbel größer als eins ist: . Exzentrizität kennzeichnet die Form einer Hyperbel. Tatsächlich folgt aus Gleichheit (11.10), d.h. Und .

Daraus ist ersichtlich, dass je kleiner die Exzentrizität der Hyperbel ist, desto kleiner ist das Verhältnis ihrer Halbachsen und desto länger ist daher ihr Hauptrechteck.

Die Exzentrizität einer gleichseitigen Hyperbel beträgt. Wirklich,

Brennradien Und Für Punkte des rechten Zweigs haben die Hyperbeln die Form und und für den linken Zweig - Und .

Direkte Linien werden als Leitlinien einer Hyperbel bezeichnet. Da für eine Hyperbel ε > 1 gilt, dann . Dies bedeutet, dass sich die rechte Leitlinie zwischen der Mitte und dem rechten Scheitelpunkt der Hyperbel befindet, die linke – zwischen der Mitte und dem linken Scheitelpunkt.

Die Leitlinien einer Hyperbel haben die gleichen Eigenschaften wie die Leitlinien einer Ellipse.

Die durch die Gleichung definierte Kurve ist ebenfalls eine Hyperbel, deren reale Achse 2b auf der Oy-Achse liegt und deren imaginäre Achse 2 A- auf der Ox-Achse. In Abbildung 59 ist es als gepunktete Linie dargestellt.

Es ist offensichtlich, dass Hyperbeln gemeinsame Asymptoten haben. Solche Hyperbeln nennt man konjugiert.

11.5. Parabel

Kanonische Parabelgleichung

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte der Ebene, von denen jeder gleich weit von einem bestimmten Punkt, dem sogenannten Brennpunkt, und einer bestimmten Linie, der sogenannten Leitlinie, entfernt ist. Der Abstand vom Fokus F zur Leitlinie wird als Parameter der Parabel bezeichnet und mit p (p > 0) bezeichnet.

Um die Parabelgleichung abzuleiten, wählen wir das Koordinatensystem Oxy so, dass die Ox-Achse durch den Fokus F senkrecht zur Leitlinie in Richtung von der Leitlinie zu F verläuft und der Koordinatenursprung O in der Mitte zwischen liegt Fokus und Leitlinie (siehe Abb. 60). Im gewählten System hat der Fokus F die Koordinaten , und die Leitliniengleichung hat die Form , oder .

1. In Gleichung (11.13) erscheint die Variable y in einem geraden Grad, was bedeutet, dass die Parabel symmetrisch um die Ox-Achse ist; Die Ox-Achse ist die Symmetrieachse der Parabel.

2. Da ρ > 0, folgt aus (11.13) dass . Folglich liegt die Parabel rechts von der Oy-Achse.

3. Wenn y = 0 ist. Daher verläuft die Parabel durch den Ursprung.

4. Wenn x auf unbestimmte Zeit zunimmt, nimmt auch der Modul y auf unbestimmte Zeit zu. Die Parabel hat die in Abbildung 61 dargestellte Form (Form). Der Punkt O(0; 0) wird als Scheitelpunkt der Parabel bezeichnet, das Segment FM = r wird als Brennradius des Punktes M bezeichnet.

Gleichungen , , ( p>0) definieren auch Parabeln, sie sind in Abbildung 62 dargestellt

Es lässt sich leicht zeigen, dass der Graph eines quadratischen Trinoms, in dem , B und C beliebige reelle Zahlen sind, eine Parabel im Sinne der oben gegebenen Definition ist.

11.6. Allgemeine Geradengleichung zweiter Ordnung

Gleichungen von Kurven zweiter Ordnung mit Symmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen

Finden wir zunächst die Gleichung einer Ellipse mit einem Mittelpunkt im Punkt, deren Symmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen Ox und Oy sind und deren Halbachsen jeweils gleich sind A Und B. Platzieren wir im Zentrum der Ellipse O 1 den Anfang eines neuen Koordinatensystems, dessen Achsen und Halbachsen A Und B(siehe Abb. 64):

Schließlich haben die in Abbildung 65 gezeigten Parabeln entsprechende Gleichungen.

Die gleichung

Die Gleichungen einer Ellipse, Hyperbel, Parabel und die Gleichung eines Kreises können nach Transformationen (Klammern öffnen, alle Terme der Gleichung auf eine Seite verschieben, ähnliche Terme hinzufügen, neue Notationen für Koeffizienten einführen) mit einer einzigen Gleichung geschrieben werden bilden

wobei die Koeffizienten A und C gleichzeitig ungleich Null sind.

Es stellt sich die Frage: Bestimmt jede Gleichung der Form (11.14) eine der Kurven (Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel) zweiter Ordnung? Die Antwort gibt der folgende Satz.

Satz 11.2. Gleichung (11.14) definiert immer: entweder einen Kreis (für A = C), oder eine Ellipse (für A C > 0) oder eine Hyperbel (für A C).< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Allgemeine Gleichung zweiter Ordnung

Betrachten wir nun eine allgemeine Gleichung zweiten Grades mit zwei Unbekannten:

Sie unterscheidet sich von Gleichung (11.14) durch das Vorhandensein eines Termes mit dem Koordinatenprodukt (B¹ 0). Durch Drehen der Koordinatenachsen um den Winkel a ist es möglich, diese Gleichung so umzuwandeln, dass der Term mit dem Koordinatenprodukt fehlt.

Verwendung von Achsenrotationsformeln

Lassen Sie uns die alten Koordinaten durch die neuen ausdrücken:

Wählen wir den Winkel a so, dass der Koeffizient für x" · y" Null wird, also die Gleichheit

Wenn also die Achsen um einen Winkel a gedreht werden, der die Bedingung (11.17) erfüllt, wird Gleichung (11.15) auf Gleichung (11.14) reduziert.

Abschluss: Die allgemeine Gleichung zweiter Ordnung (11.15) definiert auf der Ebene (außer bei Degeneration und Zerfall) die folgenden Kurven: Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel.

Hinweis: Wenn A = C, dann wird Gleichung (11.17) bedeutungslos. In diesem Fall ist cos2α = 0 (siehe (11.16)), dann ist 2α = 90°, also α = 45°. Wenn also A = C ist, sollte das Koordinatensystem um 45° gedreht werden.

(MIF-2, Nr. 3, 2005)

Linien zweiter Ordnung in einer Ebene

S. 1. Definition einer Linie zweiter Ordnung

Betrachten Sie eine Ebene, auf der ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem (XOY) angegeben ist. Dann ist jeder Punkt M durch seine Koordinaten (x, y) eindeutig bestimmt. Darüber hinaus definiert jedes Zahlenpaar (x, y) einen bestimmten Punkt auf der Ebene. Die Koordinaten von Punkten können bestimmte Bedingungen erfüllen, zum Beispiel eine Gleichung f(x, y) = 0 in Bezug auf die Unbekannten (x, y). In diesem Fall sagt man, dass die Gleichung f(x, y)=0 eine bestimmte Figur auf der Ebene definiert. Schauen wir uns Beispiele an.

Beispiel 1. Betrachten Sie die Funktion j= f( X). Die Koordinaten der Punkte im Diagramm dieser Funktion erfüllen die Gleichung j- F( X) = 0.

Beispiel 2. Gleichung (*), wo A, B, C– Manche Zahlen definieren eine bestimmte Gerade in der Ebene. (Es werden Gleichungen der Form (*) aufgerufen linear).

Beispiel 3. Der Graph einer Hyperbel besteht aus Punkten, deren Koordinaten die Gleichung https://pandia.ru/text/80/134/images/image004_92.gif" width="161" height="25"> erfüllen.

Definition 1. Gleichung der Form (**), wobei mindestens einer der Koeffizienten DIV_ADBLOCK53"> ist

Wir werden uns geometrische und ansehen physikalische Eigenschaften die oben genannten Zeilen. Beginnen wir mit einer Ellipse.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image008_54.gif" width="79" height="44 src="> (1).

Gleichung (1) wird aufgerufen kanonisch Gleichung der Ellipse.

Die Form der Ellipse kann anhand von Abbildung 1 beurteilt werden.

Sagen wir es. Die Punkte werden aufgerufen Tricks Ellipse. Mit Tricks sind eine Reihe interessanter Eigenschaften verbunden, die wir im Folgenden besprechen werden.

Definition 4. Hyperbel ist eine Figur auf einer Ebene, deren Koordinaten aller Punkte die Gleichung erfüllen

(2).

Gleichung (2) wird aufgerufen kanonisch Hyperbelgleichung. Die Art der Hyperbel kann anhand von Abbildung 2 beurteilt werden.

Sagen wir es. Die Punkte werden aufgerufen Tricks Hyperbel. Parameter A angerufen gültig, und der Parameter B- imaginäre Halbachse Hyperbeln bzw Ochse– echt, und Oh– imaginäre Achse der Hyperbel.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image016_34.gif" width="61" height="41">, aufgerufen werden Asymptoten. Bei große Werte Parameter X Die Punkte der Asymptoten kommen den Ästen der Hyperbel unendlich nahe. In Abbildung 2 sind die Asymptoten durch gepunktete Linien dargestellt.

Definition 5. Eine Parabel ist eine Figur auf einer Ebene, deren Koordinaten aller Punkte die Gleichung erfüllen

https://pandia.ru/text/80/134/images/image018_28.gif" width="47" height="45 src=">.

S. 3. Eigenschaften von LVP-Fokussen

Für jeden LVP in A.2. auf besondere Punkte wurde hingewiesen - Tricks. Diese Punkte spielen eine große Rolle bei der Erklärung der wichtigen Eigenschaften der Ellipse, Hyperbel und Parabel. Wir formulieren diese Eigenschaften in Form von Theoremen.

Satz. 1. Eine Ellipse ist eine Menge von PunktenM, so dass die Summe der Abstände dieser Punkte zu den Brennpunkten gleich 2 istA:

https://pandia.ru/text/80/134/images/image020_26.gif" width="115" height="23 src="> (5).

Um eine ähnliche Eigenschaft für eine Parabel zu formulieren, definieren wir Schulleiterin. Es ist gerade D, gegeben durch die Gleichung https://pandia.ru/text/80/134/images/image022_23.gif" width="103" height="21 src="> (6).

S. 4. Fokusse und Tangenten

https://pandia.ru/text/80/134/images/image024_24.gif" align="right" width="322" height="386 src=">.gif" width="52" height="24 src="> gehört zum entsprechenden HDL. Nachfolgend finden Sie die Gleichungen für die Tangenten, die durch diesen Punkt verlaufen:

– für eine Ellipse, (7)

– für Übertreibung, (8)

- für eine Parabel. (9)

Wenn wir Segmente von beiden Brennpunkten zum Berührungspunkt mit einer Ellipse oder Hyperbel zeichnen (sie heißen Brennradien Punkte), dann wird sich etwas Bemerkenswertes offenbaren Eigentum(siehe Abb. 5 und 6): Brennradien bilden mit der an diesem Punkt gezogenen Tangente gleiche Winkel.

Diese Eigenschaft hat eine interessante physikalische Interpretation. Betrachten wir beispielsweise die Kontur einer Ellipse als gespiegelt, dann Lichtstrahlen von einer Punktquelle, die in einem Brennpunkt platziert ist, werden nach der Reflexion an den Wänden des Stromkreises zwangsläufig durch den zweiten Brennpunkt gelangen.

Groß praktischer Nutzen eine ähnliche Eigenschaft für eine Parabel erhalten. Die Sache ist die Der Brennradius eines beliebigen Punktes der Parabel bildet mit der an diesen Punkt gezogenen Tangente einen Winkel, der dem Winkel zwischen der Tangente und der Achse der Parabel entspricht.

Physikalisch wird dies wie folgt interpretiert: Die Strahlen eines Punktes im Brennpunkt der Parabel breiten sich nach der Reflexion an ihren Wänden parallel zur Symmetrieachse der Parabel aus. Deshalb haben die Spiegel von Laternen und Strahlern eine parabolische Form. Wenn übrigens ein Lichtstrom (Radiowellen) parallel zur Parabelachse in die Parabel eindringt, passieren nach der Reflexion an den Wänden alle seine Strahlen den Fokus. Nach diesem Prinzip arbeiten sowohl Weltraumkommunikationsstationen als auch Radargeräte.

S. 5. Etwas mehr Physik

HDLs haben in der Physik und Astronomie weit verbreitete Verwendung gefunden. So wurde festgestellt, dass sich ein relativ leichter Körper (z. B. ein Satellit) im Gravitationsfeld eines massereicheren Körpers (Planet oder Stern) entlang einer Flugbahn bewegt, die einen der LVPs darstellt. In diesem Fall steht der massereichere Körper im Mittelpunkt dieser Flugbahn.

Zum ersten Mal wurden diese Eigenschaften im Detail untersucht Johannes Kepler und sie wurden Keplers Gesetze genannt.

Test Nr. 1 für Schüler der 10. Klasse

Selbsttestfragen (5 Punkte pro Aufgabe)

M.10.1.1. Definieren Sie HDL. Nennen Sie einige Beispiele für Gleichungen, die den LVP definieren.

M.10.1.2. Berechnen Sie die Koordinaten der Brennpunkte a) einer Ellipse, b) einer Hyperbel, wenn A=13, B=5.

M.10.1.3. Stellen Sie die kanonische Gleichung a) einer Ellipse, b) einer Hyperbel auf, wenn bekannt ist, dass diese Linie durch Punkte mit den Koordinaten (5, 6) und (-8, 7) verläuft.

M.10.1.4.Überprüfen Sie, ob die durch Gleichung (9) gegebene Gerade die durch Gleichung (3) gegebene Parabel tatsächlich nur an dem Punkt mit den Koordinaten schneidet. ( Notiz: Setzen Sie zunächst die Tangentengleichung in die Parabelgleichung ein und stellen Sie dann sicher, dass die Diskriminante der resultierenden quadratischen Gleichung Null ist.)

M.10.1.5. Schreiben Sie eine Gleichung für die Tangente an die Hyperbel mit der realen Halbachse 8 und der imaginären Halbachse 4 am Punkt mit der Koordinate X=11, wenn die zweite Koordinate des Punktes negativ ist.

Praktische Arbeit (10 Punkte)

M.10.1.6. Konstruieren Sie mehrere Ellipsen entsprechend zur nächsten Methode: Befestigen Sie ein Blatt Papier auf Sperrholz und stecken Sie ein paar Knöpfe in das Papier (aber nicht vollständig). Nehmen Sie ein Stück Faden und binden Sie die Enden zusammen. Werfen Sie die resultierende Schlaufe über beide Knöpfe (die Brennpunkte der zukünftigen Ellipse), ziehen Sie mit der Spitze eines Bleistifts am Faden und zeichnen Sie vorsichtig eine Linie. Achten Sie dabei darauf, dass der Faden straff ist. Durch Ändern der Abmessungen der Schleife können Sie mehrere konfokale Ellipsen erstellen. Versuchen Sie mit Satz 1 zu erklären, dass die resultierenden Linien tatsächlich Ellipsen sind, und erklären Sie, wie Sie, wenn Sie den Abstand zwischen den Knöpfen und die Länge des Fadens kennen, die Halbachsen der Ellipse berechnen können.

Transkript

1 Kapitel LINIEN ZWEITER ORDNUNG AUF EINER EBENE.1. Ellipse, Hyperbel, Parabel Definition. Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte der Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten F 1 und F ein konstanter Wert a ist, der größer ist als der Abstand zwischen F 1 und. M(, x) F 1 О F x Abb. Die Punkte F 1 und F werden als Brennpunkte der Ellipse bezeichnet, und der Abstand FF 1 zwischen ihnen ist die Brennweite, die mit c bezeichnet wird. Der Punkt M gehöre zur Ellipse. Die Strecken F1 M und F M heißen die Brennradien des Punktes M. Sei F1F = c. Per Definition a > c. Betrachten wir ein rechteckiges kartesisches Koordinatensystem Ox, in dem die Brennpunkte F 1 und F symmetrisch zum Ursprung auf der Abszissenachse liegen. In diesem Koordinatensystem wird die Ellipse durch die kanonische Gleichung beschrieben: x + = 1, a b 1

2. wobei b= a c Die Parameter a und b werden als große bzw. kleine Halbachse der Ellipse bezeichnet. Die Exzentrizität einer Ellipse ist die Zahl ε, gleich dem Verhältnis der Hälfte ihrer Brennweite zur großen Halbachse, d. h. ε =. Die Exzentrizität der Ellipse a erfüllt die Ungleichungen 0 ε< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 Die kanonische Gleichung einer Hyperbel hat die Form x a = b 1,. wo b= c a Die Zahlen a und b werden als reale bzw. imaginäre Halbachsen der Hyperbel bezeichnet. Innerhalb des durch die Punktungleichheit definierten Bereichs gibt es keine Hyperbel. x a b Definition. Die Asymptoten einer Hyperbel sind die durch die Gleichungen = x, = x gegebenen Geraden b b. a a Die Brennradien des Punktes M(x,) der Hyperbel können mit den Formeln r 1 = ε x a, r = ε x+ a ermittelt werden. Die Exzentrizität einer Hyperbel wird wie bei einer Ellipse durch die Formel ε = bestimmt. Es lässt sich leicht überprüfen, dass die Ungleichung ε a >1 für die Exzentrizität der Hyperbel gilt. Definition. Eine Parabel ist die Menge aller Punkte der Ebene, für die der Abstand zu einem gegebenen Punkt F gleich dem Abstand zu einer gegebenen Geraden d ist, die nicht durch den Punkt F geht. Punkt F wird als Brennpunkt der Parabel bezeichnet. und die Gerade d ist die Leitlinie. Der Abstand vom Fokus zur Leitlinie wird als Parameter der Parabel bezeichnet und mit p bezeichnet. d M (x,) F x Abb. 4 3

4 Wählen wir den Ursprung O des kartesischen Koordinatensystems in der Mitte des Segments FD, das eine Senkrechte ist, die vom Punkt F zur Geraden d fällt. In diesem Koordinatensystem hat der Fokus F die Koordinaten F p p ;0 und die Leitlinie d ist durch die Gleichung x + = 0 gegeben. Die kanonische Gleichung einer Parabel lautet: = px. Die Parabel ist symmetrisch um die Achse OF, die sogenannte Parabelachse. Der Schnittpunkt dieser Achse mit der Parabel O wird als Scheitelpunkt der Parabel bezeichnet. Fokusradius des Punktes M(x,), d.h. Sein p-Abstand zum Fokus wird durch die Formel r = x+ ermittelt. 10B.. Allgemeine Gleichung einer Geraden zweiter Ordnung Eine Gerade zweiter Ordnung ist eine Menge von Punkten in der Ebene, deren Koordinaten x sind und die die Gleichung a x + a x+ a + a x+ a + a =0, ​​​​11 erfüllen 1 wobei a11, a1, a, a10, a0, a00 einige reelle Zahlen sind und a, a, a gleichzeitig ungleich Null sind. Diese Gleichung wird als allgemeine Kurvengleichung zweiter Ordnung bezeichnet und kann auch in Vektorform geschrieben werden rr r r (Ax, x) + (b, x) + a = 0, wobei 00 a11 a1 r r A =, a1 a b = (a10 ; a0) , x = (x;). T Da A = A, ist A eine Matrix quadratischer Form r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x+ a Ellipse, Hyperbel und Parabel sind Beispiele für Kurven zweiter Ordnung in der Ebene. Zusätzlich zu den oben genannten Kurven gibt es andere Arten von Kurven zweiter Ordnung, die x-Geraden zugeordnet sind. Also zum Beispiel Gleichung = 0, wobei a 0, b 0, a b 4

5 definiert ein Paar sich schneidender Linien auf der Ebene. Koordinatensysteme, in denen die Kurvengleichung die einfachste Form annimmt, werden als kanonisch bezeichnet. Durch eine Kombination von Transformationen: Drehung der Achsen um den Winkel α, parallele Verschiebung des Koordinatenursprungs zum Punkt (x0; 0) und Spiegelung relativ zur Abszissenachse wird die Gleichung der Kurve zweiter Ordnung auf eins reduziert der kanonischen Gleichungen, von denen die wichtigsten oben aufgeführt sind. 11BBeispiele 1. Stellen Sie die kanonische Gleichung einer Ellipse mit einem Mittelpunkt im Ursprung und Brennpunkten auf der Abszissenachse auf, wenn bekannt ist, dass ihre Exzentrizität ε = und der Punkt N(3;) auf der 3. Ellipse liegt. x a b Gleichung einer Ellipse: + = 1. Wir haben das =. a b a 3 9 Von hier aus berechnen wir, dass a = b. Wenn wir die Koordinaten des Punktes N(3;) in die Gleichung einsetzen, erhalten wir + = 1 und dann b = 9 und a b 81 a = = 16,. Folglich ist die kanonische Gleichung der Ellipse 5 x + = 1. 16, 9. Stellen Sie die kanonische Gleichung einer Hyperbel mit einem Mittelpunkt im Ursprung und Brennpunkten auf der Abszissenachse zusammen, wenn ein Punkt M 1 (5; 3) gegeben ist. der Hyperbel und Exzentrizität ε =. x Die kanonische Gleichung einer Hyperbel = 1. Aus der Gleichheit a b a + b = ergibt sich b = a 5 9. Daher = 1 und a =16. Daher ist die kanonische Gleichung der Ellipse = a a a x 16 5

6 3. Finden Sie Punkte auf der Parabel = 10x, deren Fokusradius 1,5 beträgt. Beachten Sie, dass die Parabel in der rechten Halbebene liegt. Wenn M (x; auf der Parabel liegt, dann ist x 0. Parameter p = 5. Sei (;)) M x der gewünschte Punkt, F der Fokus, () die Leitlinie der Parabel. Dann F,5; 0, d: x=.5. Da FM = ρ(M, d), dann x +.5 = 1,5, 10 Antwort: () 1 10;10 x =, = 100, =± 10. Wir haben also zwei Punkte bekommen. M 10; 10 M, () 4. Suchen Sie auf dem rechten Zweig der durch die Gleichung x = 1 gegebenen Hyperbel einen Punkt, dessen Abstand vom rechten Fokus 16 9 zweimal kleiner ist als sein Abstand vom linken Fokus. Für den rechten Zweig der Hyperbel werden die Fokusradien durch die Formeln r 1 = ε x a und r = ε x + a bestimmt. Folglich erhalten wir die Gleichung ε x + a = (ε x a). Für eine gegebene Hyperbel a = 4, 5 c = = 5 und ε =. Daher ist x = 9,6. Daher haben wir =± x 16 =± d Antwort: zwei Punkte M 1 (9,6; 0,6 119), (9,6; 0,6 119) M. 5. Finden Sie die Gleichung der Geraden für jeden Punkt, zu dem das Verhältnis der Entfernung zu Punkt F (3;0) zum Abstand zur Geraden 1 x 8= 0 ist gleich ε =. Geben Sie den Namen der Zeile und ihre Parameter an. Mx; der gewünschten Linie gilt die Gleichheit: Für einen beliebigen Punkt () FM (x 3) + 1 = =. ρ(Ml,) x 8 6

7 Von hier aus gilt [(x 3) + ] = (x 8). Wenn wir die Klammern öffnen und die Terme neu anordnen, erhalten wir (x+) + = 50, d. h. (x+) + = Antwort: Die gesuchte Gerade ist eine Ellipse mit einem Mittelpunkt in einem Punkt und den Halbachsen a = 5 und b = Finden Sie die Gleichung der Hyperbel. Alte Koordinaten O () x ; 0 ; ;, ;. C(;0) = 8 im neuen System (x ;) und neu (zt ;) hängen durch die Matrixgleichung 1 1 x z 1 z+ t = 1 1 t = z t zusammen. Das bedeutet, dass die Gleichung x = 8 z+ t z t = 8, zt = 4. Antwort: zt = 4. γ:4x 4x+ 8x+ 4+ 3= 0 zur kanonischen 7. Bringen Sie die Kurve in die kanonische Form. in neuen Koordinaten hat die Form Betrachten Sie die quadratische Form () q x, = 4x 4x+. 4 Die Matrix der Form q hat die Eigenwerte 5 und 0 und die entsprechenden Orthonormalvektoren und gehen wir zu einem neuen Koordinatensystem über: 7

8 z 1 1 x. t = 5 1 Drücken Sie die alten Koordinaten (x;) durch die neuen (zt) aus; : 1 1 z+ t x 1 z = 1 t =, 1 z t bedeutet, x = z+ t, = z+ t Wenn wir die angegebenen Ausdrücke in die Gleichung der Kurve γ einsetzen, erhalten wir 0= 4x 4x+ 8x = x= z+ 1 t, = 1 z+ t ( ) () ()() = 5z 4 5z+ 3= z 5 4 z 5 + 3= z 5 1 z 5 3. Das bedeutet, dass in den neuen Koordinaten die Kurve γ durch die Gleichung 1 3 gegeben ist γ: z z =. Wenn wir = z, x = t setzen, erhalten wir γ: =, 1, woraus wir die kanonische Gleichung der Kurve γ: = 0 in kanonischen Koordinaten = 5 x 1 1 x finden. Beachten Sie, dass die Kurve γ ein Paar paralleler Linien ist. 1BAnhänge zu wirtschaftlichen und finanziellen Problemen 8. Lassen Sie Anya, Boris und Dmitry jeweils 150 Rubel haben, um Obst zu kaufen. Es ist bekannt, dass 1 kg Birnen 15 Geldeinheiten und 1 kg Äpfel 10 Geldeinheiten kosten. Darüber hinaus ist jeder der drei 8

9 verfügt über eine eigene Nutzfunktion, die beim Kauf maximal bereitgestellt werden soll. Es sollen x1 kg Birnen und x kg Äpfel gekauft werden. Diese Nutzenfunktionen lauten wie folgt: u = x + x für Anya, 1 A 1 x u B = +x für Boris und ud = x1 x für Dmitry. Es ist erforderlich, einen Kaufplan (x1, x) für Anya, Boris und Dmitry zu finden, nach dem sie das Maximum ihrer Nutzenfunktion bereitstellen. x Abb. 5 Das betrachtete Problem kann geometrisch gelöst werden. Um dieses Problem zu lösen, sollte das Konzept einer Niveaulinie eingeführt werden. x x 1 Abb. 6 Die Höhenlinie einer Funktion z = f(x,) ist die Menge aller Punkte auf der Ebene, auf der die Funktion einen konstanten Wert gleich h beibehält. x 9

10 In diesem Fall werden zur Lösung auch erste Vorstellungen über geometrische Flächen in der Ebene, spezifiziert durch lineare Ungleichungen (siehe Unterabschnitt 1.4), verwendet. x x 1 Abb. 7 Die Höhenlinien der Funktionen ua, u B und u D sind für Anya, Boris und Dmitry jeweils Geraden, Ellipsen und Hyperbeln. Entsprechend der Bedeutung des Problems gehen wir davon aus, dass x1 0, x 0 ist. Andererseits wird die Budgetbeschränkung als Ungleichung 15x1+ 10x 150 geschrieben. Teilen wir die letzte Ungleichung durch 10, erhalten wir 3x1+ x 30 oder + 1 Es ist leicht zu erkennen, dass x1 x der Bereich der Lösungen dieser Ungleichung ist, zusammen mit den Bedingungen der Nichtnegativität ein Dreieck, das durch die Linien x1 = 0, x = 0 und 3x1+ x = begrenzt wird

11 X * X * Abb. 8 Abb. 9 Anhand der geometrischen Zeichnungen lässt sich nun leicht feststellen, dass uamax = ua(0,15) = 15, ubmax = ub(0,15) = 5 und udmax = ud(Q). Die Koordinaten des Tangentialpunktes Q der Hyperbel auf der Höhe der Seite des Budgetdreiecks müssen analytisch berechnet werden. Beachten Sie dazu, dass Punkt Q drei Gleichungen erfüllt: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x " = =. x1 X * Abb.

12 Wenn wir h aus den Gleichungen eliminieren, erhalten wir die Koordinaten des Punktes Q= (x, x) = (5;7,5). 1 Antwort: Q= (x1, x) = (5;7,5). 9. Nichtlineares Modell Kosten und Gewinn des Unternehmens. Angenommen, ein Unternehmen produziert Mehrzweckgeräte der beiden Typen A und B in der Menge x bzw. den Produktionseinheiten. In diesem Fall wird das Einkommen des Unternehmens für das Jahr durch die Einkommensfunktion Rx (,) = 4x+ ausgedrückt, und die Produktionskosten werden durch die Kostenfunktion 1 1 Cx (,) = 7,5+ x + 4 ausgedrückt, in dem das Unternehmen das Maximum erhält Gewinn.. Bestimmen Sie den Produktionsplan (x, ) bei 3

13 Die Gewinnfunktion setzt sich aus der Differenz zwischen der Einkommensfunktion und der Kostenfunktion zusammen: 1 1 Π (x,) = R(x,) C(x,) = 4x+ 7,5 x. 4 Nachdem wir Transformationen durchgeführt haben, reduzieren wir den letzten Ausdruck auf die Form 1 1 Π (x,) = 9 (x 8) (1). 4 Die Niveaulinien für die Gewinnfunktion sehen aus wie (x 8) (1) = h. 4 Jede Linie der Ebene 0 h 9 ist eine Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung. Aus dem resultierenden Ausdruck ist leicht zu erkennen, dass das Maximum der Gewinnfunktion 9 beträgt und bei x = 8, = 1 erreicht wird. Antwort: x = 8, = 1. 13BÜbungen und Testfragen.1. Schreiben Sie die Normalgleichung eines Kreises. Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius des Kreises: a) x + + 8x 6=0; b) x x = 0... Schreiben Sie eine Gleichung für einen Kreis, der durch die Punkte M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3;0)..3 verläuft. Definieren Sie eine Ellipse und schreiben Sie ihre kanonische Gleichung. Schreiben Sie die kanonische Gleichung einer Ellipse, wenn 1 ihre Exzentrizität gleich ε = ist und die große Halbachse gleich ist. Schreiben Sie eine Gleichung einer Ellipse, deren Brennpunkte symmetrisch zum Ursprung auf der Ordinatenachse liegen, wobei Sie außerdem wissen, dass der Abstand zwischen seinen Brennpunkten ist c = 4 und die Exzentrizität ist ε = Geben Sie die Bestimmung der Exzentrizität einer Ellipse an. Finden Sie die Exzentrizität der Ellipse, wenn ihre große Halbachse viermal so groß ist wie ihre kleine Achse. 33

14.6. Definieren Sie eine Hyperbel und schreiben Sie ihre kanonische Gleichung. Durch den Punkt M (0; 0,5) und den rechten Scheitelpunkt der durch die Gleichung = 1 gegebenen Hyperbel wird eine Gerade gezogen. Finden Sie die Koordinaten des zweiten Schnittpunkts der Linie und der Hyperbel. Definieren Sie die Exzentrizität der Hyperbel. Schreiben Sie ihre kanonische Gleichung, wenn a = 1, b = 5. Was ist die Exzentrizität dieser Hyperbel?.8. Schreiben Sie Gleichungen für die Asymptoten der Hyperbel, die durch Ihre kanonische Gleichung gegeben ist. Schreiben Sie eine Gleichung für die Hyperbel 3, wenn ihre Asymptoten durch die Gleichungen =± x gegeben sind und die Hyperbel 5 durch den Punkt M (10; 3 3) verläuft..9. Definieren Sie eine Parabel und schreiben Sie ihre kanonische Gleichung. Schreiben Sie die kanonische Gleichung einer Parabel, wenn die x-Achse ihre Symmetrieachse ist, ihr Scheitelpunkt im Ursprung liegt und die Länge der Sehne der Parabel senkrecht zur Ox-Achse 8 beträgt und der Abstand dieser Sehne vom Scheitelpunkt beträgt Finden Sie auf der Parabel = 1x einen Punkt, dessen Fokusradius ist. Satz und Nachfrage nach einem Produkt sind durch die Funktionen p = 4q 1, p = + gegeben. Finden Sie den Marktgleichgewichtspunkt. 1 q Graphen erstellen..1. Andrey, Katya und Nikolay werden Orangen und Bananen kaufen. Kaufen Sie x1 kg Orangen und x kg Bananen. Jeder der drei verfügt über eine eigene Nutzenfunktion, die zeigt, wie nützlich er seinen Kauf findet. Diese Nutzenfunktionen sind: u = x + x für Andrey, 1 4 A 4 1 u K = x + x für Katya und un = x1 x für Nikolay. a) Konstruieren Sie die Niveaulinien der Nutzenfunktion für Niveauwerte h = 1, 3. b) Ordnen Sie sie jeweils in der Reihenfolge der Kaufpräferenz an: r = (4,1), s = (3,8), t = (1,1 ). 34

Modul „Analytische Geometrie“. Analytische Geometrie in der Ebene und im Raum Vorlesung 7 Zusammenfassung Linien zweiter Ordnung in der Ebene: Ellipse, Hyperbel, Parabel. Definition, allgemeine Merkmale.

VORTRAG N15. Kurven zweiter Ordnung. 1.Kreis... 1.Ellipse... 1 3.Hyperbel.... 4.Parabel.... 4 1.Kreis Eine Kurve zweiter Ordnung ist eine Linie, die durch eine Gleichung zweiten Grades in Bezug auf definiert wird

8 Kurven zweiter Ordnung 81 Kreis Eine Menge von Punkten in einer Ebene mit gleichem Abstand von einem Punkt, dem Mittelpunkt, und einem Abstand, der Radius genannt wird, wird Kreis genannt. Der Mittelpunkt des Kreises sei

Vorlesung 13 Thema: Kurven zweiter Ordnung Kurven zweiter Ordnung in der Ebene: Ellipse, Hyperbel, Parabel. Ableitung von Gleichungen für Kurven zweiter Ordnung anhand ihrer geometrischen Eigenschaften. Studium der Form einer Ellipse,

VORTRAG Linienhyperbel zweiter Ordnung Als Beispiel finden wir Gleichungen, die einen Kreis, eine Parabel, eine Ellipse und einen Kreis definieren. Ein Kreis ist eine Menge von Punkten auf einer Ebene mit gleichem Abstand zu einer gegebenen Ebene.

Kurven zweiter Ordnung Kreis Ellipse Hyperbel Parabel Auf der Ebene sei ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem angegeben. Eine Kurve zweiter Ordnung ist eine Menge von Punkten, deren Koordinaten erfüllen

Gerade und Ebene im Raum Lineare Algebra (Vorlesung 11) 24.11.2012 2 / 37 Gerade und Ebene im Raum Abstand zwischen zwei Punkten M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2)

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3. Hyperbel und ihre Eigenschaften Definition 3. Eine Hyperbel ist eine Kurve, die in einem rechteckigen kartesischen Koordinatensystem durch Gleichung 0. (3.) und Gleichheit (3.) definiert ist und als kanonische Gleichung bezeichnet wird

Praktische Lektion 1 Thema: Hyperbelplan 1 Definition und kanonische Gleichung einer Hyperbel Geometrische Eigenschaften Hyperbeln Die relative Position einer Hyperbel und einer durch ihren Mittelpunkt verlaufenden Linie. Asymptoten

Vorlesungsskript 13 ELLIPSE, HYPERBEL UND PARABOLA 0. Vorlesungsplan Vorlesung Ellipse, Hyperbel und Parabel. 1. Ellipse. 1.1. Definition von Ellipse; 1.2. Definition des kanonischen Koordinatensystems; 1.3. Herleitung der Gleichung

MODUL ELLIPS HYPERBOLA PARABOLA Praktischer Unterricht Thema: Ellipsenplan Definition und kanonische Gleichung einer Ellipse Geometrische Eigenschaften einer Ellipse Exzentrizität Abhängigkeit der Form einer Ellipse von der Exzentrizität

ZWEITE AUFGABE 1. Gerade in einer Ebene. 1. Zwei Linien sind durch Vektorgleichungen (, rn) = D und r= r + a und (an,) 0 gegeben. Finden Sie den Radiusvektor des Schnittpunkts der Linien. 0 t. Gegeben sei ein Punkt M 0 mit einem Radiusvektor

Kurven zweiter Ordnung. Definition: Eine Kurvenlinie zweiter Ordnung ist eine Menge (M) von Punkten der Ebene, deren kartesische Koordinaten (X, Y) die algebraische Gleichung zweiten Grades erfüllen:

ALGEBRAISCHE LINIEN AUF DER EBENE.. LINIEN ERSTER ORDNUNG (LINIEN AUF DER EBENE... GRUNDLEGENDE GLEICHUNGEN VON LINIEN AUF DER EBENE. Ein Vektor n ungleich Null senkrecht zu einer gegebenen Linie wird als Normal bezeichnet

Ellipse und ihre Eigenschaften Definition. Eine Ellipse ist eine Kurve zweiter Ordnung, die in einem rechteckigen kartesischen Koordinatensystem durch die Gleichung b, b 0 definiert ist. (.) Die Gleichheit (.) wird als kanonisch bezeichnet

0,5 setgray0 0,5 setgray1 1 Vorlesung 9 ELLIPSE, HYPERBEL UND PARABOLA 1. Die kanonische Gleichung einer Ellipse Definition 1. Eine Ellipse ist der geometrische Ort der Punkte M auf einer Ebene, die Summe der Abstände von jedem

ELEMENTE DER ANALYTISCHEN GEOMETRIE KLASSIFIZIERUNG EINER EBENE IM DREIDIMENSIONALEN RAUM Schreiben Sie eine Vektorgleichung einer Ebene und erklären Sie die Bedeutung der in dieser Gleichung enthaltenen Größen. Schreiben Sie eine allgemeine Gleichung einer Ebene

Lektion 12 Ellipse, Hyperbel und Parabel. Kanonische Gleichungen. Eine Ellipse ist der geometrische Ort von Punkten M auf einer Ebene, für den die Summe der Abstände von zwei Fixpunkten F 1 und F 2 genannt wird

LINEARE ALGEBRA Vorlesung Gleichungen von Kurven zweiter Ordnung Kreisdefinition Ein Kreis ist der Ort von Punkten mit gleichem Abstand von einem Punkt, dem Mittelpunkt des Kreises, in einem Abstand r

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OPTION 1 1 Finden Sie die Steigung k der Geraden, die durch die Punkte M 1 (18) und M (1) verläuft; Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie in parametrischer Form. Erstellen Sie Seiten- und Mediangleichungen eines Dreiecks mit Eckpunkten A()

Prüfung. Gegeben sind die Matrizen A, B und D. Finden Sie AB 9D, wenn: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Multiplizieren Sie die Matrizen A 3 und B 3. Resultierender Wille sei C der Größe 3 3, bestehend aus Elementen

Kapitel 9 Kurven in einer Ebene. Kurven zweiter Ordnung 9. Grundbegriffe Man sagt, dass eine Kurve Г in einem rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy die Gleichung F (,) = 0 hat, wenn der Punkt M(x, y) zur Kurve darin gehört

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Betrachten wir die durch die Gleichung zweiten Grades definierten Linien relativ zu den aktuellen Koordinaten

Die Koeffizienten der Gleichung sind reelle Zahlen, aber mindestens einer davon Zahlen A,B oder C ist von 0 verschieden. Solche Geraden nennt man Geraden (Kurven) zweiter Ordnung. Im Folgenden zeigen wir, dass Gleichung (1) eine Ellipse, eine Hyperbel oder eine Parabel auf einer Ebene definiert.

Kreis

Die einfachste Kurve zweiter Ordnung ist ein Kreis. Denken Sie daran, dass ein Kreis mit dem Radius R und dem Mittelpunkt im Punkt M 0 als die Menge der Punkte M der Ebene bezeichnet wird, die die Bedingung MM 0 =R erfüllen. Der Punkt M 0 im Oxy-System habe die Koordinaten x 0 ,y 0 und M(x,y) sei ein beliebiger Punkt auf dem Kreis. Dann oder

-kanonische Kreisgleichung . Unter der Annahme x 0 =y 0 =0 erhalten wir x 2 +y 2 =R 2

Zeigen wir, dass die Kreisgleichung als allgemeine Gleichung zweiten Grades (1) geschrieben werden kann. Dazu quadrieren wir die rechte Seite der Kreisgleichung und erhalten:

Damit diese Gleichung (1) entspricht, ist Folgendes erforderlich:

1) Koeffizient B=0,

2) . Dann erhalten wir: (2)

Die letzte Gleichung heißt allgemeine Kreisgleichung . Wenn wir beide Seiten der Gleichung durch A ≠0 dividieren und die Terme, die x und y enthalten, zu einem vollständigen Quadrat addieren, erhalten wir:

(2)

Wenn wir diese Gleichung mit der kanonischen Kreisgleichung vergleichen, stellen wir fest, dass Gleichung (2) tatsächlich eine Kreisgleichung ist, wenn:

1)A=C, 2)B=0, 3)D 2 +E 2 -4AF>0.

Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, liegt der Mittelpunkt des Kreises im Punkt O und sein Radius .

Ellipse

j

X

F 2 (c,o)

F 1 (-c,o)

Per Definition 2 >2c, also >c. Um die Gleichung der Ellipse abzuleiten, gehen wir davon aus, dass die Brennpunkte F 1 und F 2 auf der Ox-Achse liegen und t.O mit der Mitte des Segments F 1 F 2 zusammenfällt , dann F 1 (-c, 0), F 2 (c,0).

Sei M(x,y) ein beliebiger Punkt der Ellipse, dann gilt gemäß der Definition der Ellipse MF 1 +MF 2 =2, also

Dies ist die Gleichung einer Ellipse. Sie können es wie folgt in eine einfachere Form umwandeln:

Quadrieren Sie es:

quadriere es

Da 2 -c 2 >0 ist, setzen wir 2 -c 2 =b 2

Dann hat die letzte Gleichung die Form:

ist die Gleichung einer Ellipse in kanonischer Form.

Die Form der Ellipse hängt vom Verhältnis ab: Bei b= verwandelt sich die Ellipse in einen Kreis. Die Gleichung wird die Form annehmen. Das Verhältnis wird oft als Merkmal einer Ellipse verwendet. Diese Größe wird als Exzentrizität der Ellipse bezeichnet und ist 0< <1 так как 0

Untersuchung der Form einer Ellipse.

1) Die Gleichung der Ellipse enthält x und y nur in geradem Maße, daher ist die Ellipse symmetrisch in Bezug auf die Achsen Ox und Oy sowie in Bezug auf TO (0,0), das als Zentrum bezeichnet wird der Ellipse.

2) Finden Sie die Schnittpunkte der Ellipse mit den Koordinatenachsen. Bei y=0 finden wir A 1 ( ,0) und A 2 (- ,0), in denen die Ellipse Ox schneidet. Wenn wir x=0 setzen, finden wir B 1 (0,b) und B 2 (0,-b). Die Punkte A 1 , A 2 , B 1 , B 2 werden als Eckpunkte der Ellipse bezeichnet. Die Segmente A 1 A 2 und B 1 B 2 sowie ihre Längen 2 und 2b werden als Haupt- bzw. Nebenachse der Ellipse bezeichnet. Die Zahlen und b sind die große bzw. kleine Halbachse.

A 1 ( ,0)

A2(- ,0)

B 2 (0,b)

Folglich liegen alle Punkte der Ellipse innerhalb des Rechtecks, das durch die Linien x=± ,y=±b gebildet wird. (Abb.2.)

4) In der Ellipsengleichung ist die Summe der nichtnegativen Terme gleich eins. Wenn also ein Term zunimmt, nimmt der andere ab, d. h. wenn |x| zunimmt, dann |y| - verringert sich und umgekehrt. Aus allem Gesagten ergibt sich, dass die Ellipse die in Abb. 2 dargestellte Form hat. (ovale geschlossene Kurve).

In kartesischen Koordinaten definiert eine Gleichung ersten Grades eine bestimmte Gerade.

Linien, die durch eine Gleichung ersten Grades in kartesischen Koordinaten bestimmt werden, werden Linien erster Ordnung genannt. Folglich ist jede Gerade eine Gerade erster Ordnung.

Allgemeine Geradengleichung(als allgemeine Gleichung ersten Grades) wird durch eine Gleichung der Form bestimmt:

Oh + Wu + MIT = 0.

Betrachten wir unvollständige Gleichungen einer Geraden.

1. MIT= 0. Die Geradengleichung hat die Form: Ah + Wu = 0; die Gerade geht durch den Ursprung.

2. IN = 0 (A Nr. 0). Die Gleichung lautet Oh + MIT= 0 oder X =A, Wo A= Die Gerade geht durch den Punkt A(A; 0) ist es parallel zur Achse OU. Nummer A Oh(Abb. 1).

Reis. 1

Wenn A= 0, dann fällt die Gerade mit der Achse zusammen OU. Die Gleichung der Ordinatenachse Oy hat die Form: X = 0.

3. A = 0 (IN Nr. 0). Die Gleichung sieht so aus: Wu + MIT= 0 oder bei = B, Wo B= . Eine Gerade geht durch einen Punkt IN(0; B), es ist parallel zur Achse Oh. Nummer B ist der Wert des Segments, das die gerade Linie auf der Achse schneidet OU(Abb. 2).

Reis. 2

Wenn b = 0, dann fällt die Gerade mit der x-Achse Ox zusammen. Die Gleichung der x-Achse Ox hat die Form: y = 0.

Gleichung einer Geraden in Segmenten auf Achsen wird durch die Gleichung bestimmt:

Wo sind die Zahlen? A Und B sind die Werte der durch eine Gerade auf den Koordinatenachsen abgeschnittenen Segmente (Abb. 3).

(X 0 ;bei 0)senkrecht zum Normalenvektor = {A; B), wird durch die Formel bestimmt:

A(X – X 0) + IN(bei – bei 0) = 0.

Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt M verläuft(X 0 ; bei 0) parallel zum Richtungsvektor = {l; M), hat die Form:

Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte M verläuft 1 (X 1 ; bei 1) und M 2 (X 2 ; bei 2) wird durch die Gleichung bestimmt:

Die Steigung der Geraden k wird Tangens des Neigungswinkels der Geraden zur Achse genannt Oh, die von der positiven Richtung der Achse zur Geraden gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird, k= tgα.

Gleichung einer Geraden mit Steigung k hat die Form:

y = khx + B,

Wo k= tgα, B– die Größe des Segments, das durch eine gerade Linie auf der Achse abgeschnitten wird OU(Abb. 4).

Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt M verläuft(X 0 ;bei 0)in diese Richtung(Neigung k bekannt), bestimmt durch die Formel:

j - j 0 = k(X –X 0).

Gleichung eines Linienbündels, das durch einen gegebenen Punkt M verläuft(X 0 ;bei 0) (Steigung k unbekannt), bestimmt durch die Formel:

j - j 0 = k(X –X 0).

Gleichung eines Linienbündels, das durch den Schnittpunkt der Linien verläuft

A 1 X + IN 1 bei + MIT 1 = 0 und A 2 X + IN 2 bei + MIT 2 = 0, bestimmt durch die Formel:

α( A 1 X + IN 1 bei + MIT 1) + β( A 2 X + IN 2 bei + MIT 2) = 0.

Ecke j, gezählt gegen den Uhrzeigersinn von der Geraden y = k 1 X + B 1 zur Geraden y = k 2 X + B 2, wird durch die Formel (Abb. 5) bestimmt:

Für durch allgemeine Gleichungen gegebene Geraden A 1 X + IN 1 bei + MIT 1 = 0 und A 2 X + IN 2 bei + MIT 2 = 0, der Winkel zwischen zwei Geraden wird durch die Formel bestimmt:

Die Bedingung für die Parallelität zweier Geraden hat die Form: k 1 = k 2 oder .

Die Bedingung dafür, dass zwei Geraden senkrecht zueinander stehen, hat die Form: oder A 1 A 2 + IN 1 IN 2 = 0.

Die Normalgleichung einer Geraden hat die Form:

X cosα + j sinα – P = 0,

Wo P - die Länge der Senkrechten, die vom Ursprung zur Geraden fällt, α ist der Neigungswinkel der Senkrechten zur positiven Richtung der Achse Oh(Abb. 6).

Geben Sie die allgemeine Gleichung einer Geraden an Oh + Wu + MIT= 0 zur Normalform, Sie müssen alle Terme mit multiplizieren Normalisierungsfaktor μ= , genommen mit dem Vorzeichen, das dem Vorzeichen des freien Termes entgegengesetzt ist MIT.

Abstand vom Punkt M(X 0 ;bei 0)zu gerade Ah + Wu + MIT= 0 wird durch die Formel bestimmt:

Gleichungen der Winkelhalbierenden zwischen Geraden A 1 X + IN 1 bei + MIT 1 = 0 und A 2 X + IN 2 bei + MIT 2 = 0 sieht aus wie:

Beispiel 4. Gegeben sind die Eckpunkte eines Dreiecks ABC: A (–5; –7), IN (7; 2), MIT(–6; 8). Finden Sie: 1) Seitenlänge AB; 2) Gleichungen der Seiten AB Und Wechselstrom und ihre Winkelkoeffizienten; 3) Innenecke IN; 4) Mediangleichung AE; 5) Gleichung und Höhenlänge CD; 6) Winkelhalbierendegleichung AK; 7) Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt verläuft E parallel zur Seite AB; 8) Punktkoordinaten M, symmetrisch zum Punkt gelegen A relativ gerade CD.

1. Entfernung D zwischen zwei Punkten A(X 1 ; bei 1) und IN(X 2 ; bei 2) bestimmt durch die Formel:

Finden Sie die Länge der Seite AB als Abstand zwischen zwei Punkten A(–7; –8) und IN(8; –3):

2. Gleichung einer Geraden, die durch Punkte verläuft A(X 1 ; bei 1) und IN(X 2 ;j 2) hat die Form:

Ersetzen der Koordinaten der Punkte A Und IN, erhalten wir die Seitengleichung AB:

3(X+ 5) = 4(bei+ 7); 3X– 4bei– 13 = 0 (AB).

Den Hang finden k AB gerade ( AB) lösen wir die resultierende Gleichung nach bei:

4j= 3X– 13;

– Gleichung der Geraden ( AB)mit Steigung,

Ebenso das Ersetzen der Koordinaten der Punkte IN Und MIT, wir erhalten die Gleichung der Geraden ( Sonne):

6X– 42 = –13bei+ 26; 6x+ 13j– 68 = 0 (B.C.).

Lösen wir die Gleichung der Geraden ( Sonne)verhältnismäßig bei: .

3. Tangente des Winkels j zwischen zwei Geraden, deren Winkelkoeffizienten gleich sind k 1 und k 2, wird durch die Formel bestimmt:

Innenecke IN gebildet durch gerade Linien ( AB) Und ( Sonne), und das ist ein spitzer Winkel, um den die Gerade gedreht werden muss Sonne in positiver Richtung (gegen den Uhrzeigersinn), bis es mit der Geraden ( AB). Deshalb ersetzen wir es in die Formel k 1 = , k 2 = :

Ð IN= arctg = arctg 1,575 » 57,59°.

4. Um die Mediangleichung zu finden ( AE) bestimmen wir zunächst die Koordinaten des Punktes E, Das ist der Mittelpunkt der Seite Sonne. Dazu wenden wir die Formeln zur Aufteilung eines Segments in zwei gleiche Teile an:

Daher der Punkt E hat Koordinaten: E(0,5; 5).

Einsetzen der Koordinaten der Punkte in die Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei Punkte verläuft A Und E, finden wir die Mediangleichung ( AE):

24X – 11bei + 43 = 0 (AE).

5. Da die Höhe CD senkrecht zur Seite AB, dann ist die Gerade ( AB)senkrecht zur Geraden ( CD). Um die Steigung der Höhe zu ermitteln CD, Verwenden wir die Bedingung der Rechtwinkligkeit zweier Geraden:

Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft M(X 0 ; bei 0) in eine bestimmte Richtung (Steigung). k bekannt), hat die Form:

j – j 0 = k (x – x 0).

Einsetzen der Koordinaten des Punktes in die letzte Gleichung MIT(–6; 8) und erhalten wir die Höhengleichung CD:

bei – 8 = (X -(–6)), 3bei – 24 = – 4X– 24, 4X + 3bei = 0 (CD).

Abstand vom Punkt M(X 0 ; bei 0) zur Geraden Аx + By+C = 0 wird durch die Formel bestimmt:

Höhe Länge CD Finden Sie es als Abstand vom Punkt MIT(–6; 8) zur Geraden ( AB): 3X – 4bei– 13. Durch Einsetzen der erforderlichen Größen in die Formel ermitteln wir die Länge CD:

6. Gleichungen der Winkelhalbierenden zwischen Geraden Axt + By + C= 0 und
A 1 x+B 1 j + C 1 = 0 werden durch die Formel bestimmt:

Winkelhalbierende Gleichung AK Wir finden eine der Gleichungen für die Winkelhalbierenden zwischen Geraden ( AB)Und ( Wechselstrom).

Erstellen wir eine Gleichung der Geraden ( Wechselstrom) als Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft A(–5; –7) und MIT (–6; 8):

Lassen Sie uns die letzte Gleichung umwandeln:

15(X+ 5) = – (bei+ 7); 15x + y + 82 = 0 (Wechselstrom).

Ersetzen von Koeffizienten aus den allgemeinen Geradengleichungen ( AB)Und ( Wechselstrom) erhalten wir die Gleichungen der Winkelhalbierenden:

Lassen Sie uns die letzte Gleichung umwandeln:

; (3X – 4bei– 13) = ± 5 (15 x + y + 82);

3 X - 4 bei– 13 = ± (75 X +5bei + 410).

Betrachten wir zwei Fälle:

1) 3 X - 4 bei – 13 = 75X +5bei+ 410,у l АВ .

Dreieck ABC, Höhe CD, Median AE, Winkelhalbierende AK, gerade l und Punkt M im Koordinatensystem konstruiert Ohoo(Abb. 7).