Wann werden stochastische Modelle verwendet? Grundlagen der Stochastik. stochastische Modelle. Eine wichtige Art der Zeichenmodellierung ist die mathematische Modellierung, die auf der Tatsache basiert, dass verschiedene untersuchte Objekte und Phänomene dasselbe haben können

MATHEMATISCHE MODELLE

2.1. Formulierung des Problems

Deterministische Modelle Prozesse beschreiben in deterministisch Systeme.

Deterministische Systeme sind durch eine Eins-zu-Eins-Entsprechung (Verhältnis) zwischen Eingangs- und Ausgangssignalen (Prozessen) gekennzeichnet.

Wenn das Eingangssignal eines solchen Systems gegeben ist, seine Charakteristik y \u003d F (x) sowie sein Zustand zum Anfangszeitpunkt bekannt sind, dann ist der Wert des Signals am Ausgang des Systems zu jedem Zeitpunkt eindeutig bestimmt (Abb. 2.1).

Existiert zwei Ansätze zum Studium physikalischer Systeme: deterministisch und stochastisch.

Deterministischer Ansatz basiert auf der Anwendung eines deterministischen mathematischen Modells eines physikalischen Systems.

Stochastischer Ansatz impliziert die Verwendung eines stochastischen mathematischen Modells eines physikalischen Systems.

Stochastisches mathematisches Modell spiegelt am besten (zuverlässig) die physikalischen Prozesse in einem realen System wider, das unter dem Einfluss von außen und innen funktioniert Zufallsfaktoren (Rauschen).

2.2. Zufallsfaktoren (Rauschen)

Interne Faktoren −

1) Temperatur- und Zeitinstabilität elektronischer Komponenten;

2) Instabilität der Versorgungsspannung;

3) Quantisierungsrauschen in digitalen Systemen;

4) Rauschen in Halbleiterbauelementen als Folge der ungleichmäßigen Erzeugungs- und Rekombinationsprozesse der Hauptladungsträger;

5) thermisches Rauschen in Leitern aufgrund thermisch chaotischer Bewegung von Ladungsträgern;

6) Schrotrauschen in Halbleitern aufgrund der zufälligen Natur des Prozesses der Überwindung der Potentialbarriere durch Ladungsträger;

7) Flimmern - Rauschen, das durch langsame zufällige Schwankungen des physikalischen und chemischen Zustands einzelner Bereiche von Materialien elektronischer Geräte usw. verursacht wird.

Extern Faktoren –

1) äußere elektrische und magnetische Felder;

2) elektromagnetische Stürme;

3) Eingriffe im Zusammenhang mit der Arbeit von Industrie und Verkehr;

4) Schwingungen;

5) Einfluss von kosmischer Strahlung, Wärmestrahlung von umgebenden Objekten;

6) Temperatur-, Druck-, Luftfeuchtigkeitsschwankungen;

7) staubige Luft usw.

Der Einfluss (Vorhandensein) von Zufallsfaktoren führt zu einer der in Abb. 1 gezeigten Situationen. 2.2:

AUS Daher ist die Annahme über die deterministische Natur eines physikalischen Systems und seine Beschreibung durch ein deterministisches mathematisches Modell Idealisierung des realen Systems. Tatsächlich haben wir die in Abb. 2.3.

Deterministisches Modell ist erlaubt in folgenden Fällen:

1) der Einfluss von Zufallsfaktoren ist so gering, dass ihre Vernachlässigung zu keiner merklichen Verfälschung der Simulationsergebnisse führt.

2) ein deterministisches mathematisches Modell spiegelt reale physikalische Prozesse im gemittelten Sinne wider.

Bei Aufgabenstellungen, bei denen keine hohe Genauigkeit der Simulationsergebnisse erforderlich ist, wird einem deterministischen Modell der Vorzug gegeben. Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass die Implementierung und Analyse eines deterministischen mathematischen Modells viel einfacher ist als eines stochastischen.

Deterministisches Modell inakzeptabel in folgenden Situationen: Zufällige Prozesse ω(t) sind deterministisch x(t). Die unter Verwendung eines deterministischen mathematischen Modells erhaltenen Ergebnisse werden für reale Prozesse unzureichend sein. Dies gilt für Radarsysteme, Leit- und Kontrollsysteme. Flugzeug, Kommunikationssysteme, Fernsehen, Navigationssysteme, alle Systeme, die mit schwachen Signalen arbeiten, in elektronischen Steuergeräten, in Präzisionsmessgeräten usw.

In der mathematischen Modellierung zufälliger Prozess oft als zufällige Funktion der Zeit betrachtet, deren Momentanwerte Zufallsvariablen sind.

2.3. Die Essenz des stochastischen Modells

Stochastische mathematische Modellsätze Wahrscheinlichkeitsbeziehungen zwischen Eingabe und Ausgabe des Systems. Dieses Modell macht es möglich statistische Schlussfolgerungen über einige probabilistische Eigenschaften des untersuchten Prozesses y(t):

1) erwarteter Wert (mittlere Bedeutung):

2) Streuung(ein Maß für die Streuung der Werte eines zufälligen Prozesses y(t) relativ zu seinem Durchschnittswert):

3) Standardabweichung:

(2.3)

4) Korrelationsfunktion(charakterisiert den Grad der Abhängigkeit - Korrelation - zwischen den Werten des Prozesses y(t), die durch die Zeit τ voneinander getrennt sind):

5) spektrale Dichte Zufallsprozess y(t) beschreibt seine Frequenzeigenschaften:

(2.5)

Fourier-Transformation.

Das stochastische Modell wird basierend auf gebildet stochastisches Differential oder Stochastische Differenzengleichung.

Unterscheiden drei Arten stochastische Differentialgleichungen: mit zufälligen Parametern, mit zufälligen Anfangsbedingungen, mit zufälligem Eingabeprozess (zufällige rechte Seite). Lassen Sie uns ein Beispiel für eine Stochastik geben Differentialgleichung Dritter Typ:

, (2.6)

wo
– Zusatzstoff zufälliger Prozess - Eingangsrauschen.

In nichtlinearen Systemen gibt es multiplikative Geräusche.

Die Analyse stochastischer Modelle erfordert den Einsatz eines ziemlich komplexen mathematischen Apparats, insbesondere für nichtlineare Systeme.

2.4. Das Konzept eines typischen Modells eines zufälligen Prozesses.Normaler (Gaußscher) Zufallsprozess

Bei der Entwicklung eines stochastischen Modells ist es wichtig, die Natur eines zufälligen Prozesses zu bestimmen
. Ein Zufallsprozess kann durch eine Menge (Folge) von Verteilungsfunktionen beschrieben werden - eindimensional, zweidimensional, ..., n-dimensional oder die entsprechenden Wahrscheinlichkeitsverteilungsdichten. Bei den meisten praktischen Problemen beschränken sie sich auf die Definition eindimensionaler und zweidimensionaler Verteilungsgesetze.

Bei manchen Problemen die Art der Verteilung
a priori bekannt.

In den meisten Fällen handelt es sich um einen Zufallsprozess
Es wird angenommen, dass das Ergebnis der Auswirkungen einer Kombination einer erheblichen Anzahl unabhängiger Zufallsfaktoren auf das physikalische System ist
Eigenschaften hat normales (Gaußsches) Verteilungsgesetz. In diesem Fall sagen wir, dass der zufällige Prozess
wird dadurch ersetzt Typ Modell ist ein Gaußscher Zufallsprozess. eindimensionalVerteilungsdichteWahrscheinlichkeiten Der normale (Gaußsche) Zufallsprozess ist in Abb. 1 dargestellt. 2.4.

Die normale (Gaußsche) Verteilung eines zufälligen Prozesses hat die folgenden Eigenschaften .

1. Eine beträchtliche Anzahl zufälliger Prozesse in der Natur gehorcht dem normalen (Gaußschen) Verteilungsgesetz.

2. Möglichkeit, die Normalität eines zufälligen Prozesses ziemlich streng zu bestimmen (zu beweisen).

3. Wenn ein physikalisches System einer Kombination zufälliger Faktoren mit unterschiedlichen Verteilungsgesetzen ausgesetzt ist Nettoeffekt gehorcht dem Normalverteilungsgesetz ( zentraler Grenzwertsatz).

4. Beim Durchlaufen eines linearen Systems behält ein normaler Prozess im Gegensatz zu anderen zufälligen Prozessen seine Eigenschaften.

5. Ein gaußscher stochastischer Prozess kann mit zwei Eigenschaften vollständig beschrieben werden − mathematische Erwartung und Streuung.

BEI während des modellierungsprozesses tritt oft das problem auf - die Art der Verteilung bestimmen irgendeine Zufallsvariable x gemäß den Ergebnissen ihrer mehrfachen Messungen (Beobachtungen)
. Dafür machen sie Histogramm– Stufendiagramm, das es ermöglicht, basierend auf den Ergebnissen der Messung einer Zufallsvariablen, ihre Wahrabzuschätzen.

Beim Erstellen eines Histogramms der Wertebereich einer Zufallsvariablen
werden in eine bestimmte Anzahl von Intervallen unterteilt, und dann wird die Häufigkeit (Prozentsatz) der Daten, die in jedes Intervall fallen, berechnet. Somit zeigt das Histogramm die Häufigkeit des Treffens der Werte einer Zufallsvariablen in jedem der Intervalle an. Wenn das konstruierte Histogramm durch eine kontinuierliche analytische Funktion angenähert wird, dann kann diese Funktion als statistische Schätzung einer unbekannten theoretischen Wahrbetrachtet werden.

Beim Formen kontinuierliche stochastische Modelle Konzept verwendet wird „Zufälliger Prozess“. Entwickler Unterschied stochastische Modelle mit dem Konzept arbeiten „Zufallsfolge“.

Eine besondere Rolle in der Theorie der stochastischen Modellierung spielt dabei die Markov-Zufallsfolgen. Für sie gilt für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte folgender Zusammenhang:

Daraus folgt, dass das Wahrscheinlichkeitsgesetz das Verhalten des Prozesses im Moment beschreibt , hängt nur vom aktuellen Stand des Prozesses ab
und absolut nicht von seinem Verhalten in der Vergangenheit (d. h. zu bestimmten Zeitpunkten) abhängt
).

Die oben aufgeführten internen und externen Zufallsfaktoren (Rauschen) sind Zufallsvorgänge verschiedener Klassen. Andere Beispiele für zufällige Prozesse sind turbulente Strömungen von Flüssigkeiten und Gasen, eine Laständerung eines Stromnetzes, das eine große Anzahl von Verbrauchern speist, die Ausbreitung von Funkwellen bei zufälligem Schwund von Funksignalen, eine Änderung der Koordinaten eines Partikels in Brownscher Bewegung, Geräteausfallprozesse, Eingang von Wartungsanträgen, Verteilung der Anzahl von Partikeln in einer kolloidalen Lösung mit kleinem Volumen, die den Einfluss in Radarverfolgungssystemen festlegt, der Prozess der thermionischen Emission von der Metalloberfläche usw .

Stochastische Differentialgleichung(SDE) - eine Differentialgleichung, in der ein oder mehrere Terme stochastischer Natur sind, dh einen stochastischen Prozess darstellen (ein anderer Name ist ein zufälliger Prozess). Somit erweisen sich auch die Lösungen der Gleichung als stochastische Prozesse. Das bekannteste und am häufigsten verwendete Beispiel für ein SDE ist eine Gleichung mit einem Term, der weißes Rauschen beschreibt (was als Beispiel für eine Ableitung eines Wiener-Prozesses angesehen werden kann). Es gibt jedoch auch andere Arten von zufälligen Schwankungen, wie z. B. einen Sprungvorgang.

Geschichte

In der Literatur wird die erste Verwendung der SDE traditionell mit der Arbeit zur Beschreibung der Brownschen Bewegung in Verbindung gebracht, die unabhängig voneinander von Marian Smoluchowski (g.) und Albert Einstein (g.) durchgeführt wurde. Allerdings wurden SDEs schon etwas früher (d.) von dem französischen Mathematiker Louis Bouchelier in seiner Doktorarbeit „Theory of Assumptions“ verwendet. Basierend auf den Ideen dieser Arbeit begann der französische Physiker Paul Langevin, die SDE in seinen physikalischen Arbeiten anzuwenden. Später entwickelten er und der russische Physiker Ruslan Stratonovich eine strengere mathematische Begründung für die SDE.

Terminologie

In der Physik werden SDEs traditionell in Form der Langevin-Gleichung geschrieben. Und oft, nicht ganz korrekt, die Langevin-Gleichung selbst genannt, obwohl die SDE auf viele andere Arten geschrieben werden kann. Die SDE in Form der Langevin-Gleichung besteht aus einer gewöhnlichen nichtstochastischen Differentialgleichung und einem zusätzlichen Teil, der weißes Rauschen beschreibt. Die zweite gängige Form ist die Fokker-Planck-Gleichung, die eine partielle Differentialgleichung ist und die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichte beschreibt. Die dritte Form der SDE wird häufiger in Mathematik und Finanzmathematik verwendet, sie ähnelt den Langevin-Gleichungen, wird aber unter Verwendung stochastischer Differentiale geschrieben (siehe Details unten).

Stochastische Rechnung

Lassen T > 0 (\displaystyle T>0), Loslassen

μ: R n × [ 0 , T ] → R n ; (\displaystyle \mu:\mathbb (R) ^(n)\times \to \mathbb (R) ^(n);) σ : R n × [ 0 , T ] → R n × m ; (\displaystyle \sigma:\mathbb (R) ^(n)\times \to \mathbb (R) ^(n\times m);) E[ | Z | 2]< + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}

Dann die stochastische Differentialgleichung für gegebene Anfangsbedingungen

d X t = μ (X t , t) d t + σ (X t , t) d B t (\displaystyle \mathrm (d) X_(t)=\mu (X_(t),t)\,\mathrm (d) t+\sigma (X_(t),t)\,\mathrm (d) B_(t)) zum t ∈ [ 0 , T ] ; (\displaystyle t\in ;) Xt \u003d Z; (\displaystyle X_(t)=Z;)

hat eine einzigartige (im Sinne von "fast wahrscheinlich") und t (\displaystyle t)-kontinuierliche Lösung (t , ω) ∣ → X t (ω) (\displaystyle (t,\omega)\shortmid \!\to X_(t)(\omega)), so dass X (\ displaystyle X)- angepasstes Verfahren zur Filtration F t Z (\displaystyle F_(t)^(Z)), generiert Z (\displaystyle Z) und Bs (\displaystyle B_(s)), s ≤ t (\displaystyle s\leq t), und

E [ ∫ 0 T | Xt | 2dt]< + ∞ . {\displaystyle \mathbb {E} \left[\int \limits _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}

Anwendung stochastischer Gleichungen

Physik

In der Physik werden SDEs oft in Form der Langevin-Gleichung geschrieben. Beispielsweise kann ein SDE-System erster Ordnung geschrieben werden als:

x ˙ ich = d x ich d t = f ich (x) + ∑ m = 1 n g ich m (x) η m (t) , (\displaystyle (\dot (x))_(i)=(\frac (dx_(i))( dt))=f_(i)(\mathbf(x))+\sum_(m=1)^(n)g_(i)^(m)(\mathbf(x))\eta_(m)( t))

wo x = ( x ich | 1 ≤ ich ≤ k ) (\displaystyle \mathbf (x) =\(x_(i)|1\leq i\leq k\))- eine Reihe von Unbekannten, f ich (\ displaystyle f_ (i)) und sind beliebige Funktionen, und η m (\ displaystyle \ eta _ (m)) sind Zufallsfunktionen der Zeit, die oft als Rauschterme bezeichnet werden. Diese Notation wird verwendet, weil es eine Standardtechnik zum Umwandeln einer Gleichung mit höheren Ableitungen in ein System von Gleichungen erster Ordnung gibt, indem neue Unbekannte eingeführt werden. Wenn ein g ich (\ displaystyle g_ (i)) Konstanten sind, sagen wir, dass das System additivem Rauschen unterliegt. Wir betrachten auch Systeme mit multiplikativem Rauschen g (x) ∝ x (\displaystyle g(x)\propto x). Von den beiden betrachteten Fällen ist additives Rauschen der einfachere. Die Lösung eines Systems mit additivem Rauschen kann oft nur mit den Methoden der Standardrechnung gefunden werden. Insbesondere kann das übliche Verfahren zum Zusammensetzen unbekannter Funktionen verwendet werden. Im Fall von multiplikativem Rauschen ist die Langevin-Gleichung jedoch im Sinne einer gewöhnlichen mathematischen Analyse schlecht definiert und muss in Bezug auf das Itô-Kalkül oder das Stratonovich-Kalkül interpretiert werden.

In der Physik besteht die Hauptmethode zum Lösen von SDEs darin, eine Lösung in Form einer Wahrscheinlichkeitsdichte zu finden und die ursprüngliche Gleichung in die Fokker-Planck-Gleichung umzuwandeln. Die Fokker-Planck-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung ohne stochastische Terme. Sie bestimmt die Zeitentwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichte, so wie die Schrödinger-Gleichung die Zeitabhängigkeit der Wellenfunktion eines Systems in der Quantenmechanik oder die Diffusionsgleichung die Zeitentwicklung der chemischen Konzentration bestimmt. Lösungen können auch numerisch gesucht werden, beispielsweise mit der Monte-Carlo-Methode. Andere Techniken zum Finden von Lösungen verwenden das Pfadintegral, diese Technik basiert auf der Analogie zwischen statistischer Physik und Quantenmechanik (z. B. kann die Fokker-Planck-Gleichung durch eine Transformation von Variablen in die Schrödinger-Gleichung umgewandelt werden) oder die Lösung von gewöhnliche Differentialgleichungen für Wahrscheinlichkeitsdichtemomente.

Verknüpfungen

  • Stochastische Welt - eine einfache Einführung in stochastische Differentialgleichungen

Literatur

  • Adomjan, Georg. Stochastische Systeme (neopr.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. - (Mathematics in Science and Engineering (169)).
  • Adomjan, Georg. Nichtlineare stochastische Operatorgleichungen (neopr.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
  • Adomjan, Georg. Nichtlineare stochastische Systemtheorie und Anwendungen in der Physik. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1989. - (Mathematik und ihre Anwendungen (46)). (Englisch)

Mathematische Schemata zur Beschreibung technischer Systeme

Allgemeine Klassifizierung von Systemmodellen

Alles, worauf menschliches Handeln abzielt, wird genannt Objekt . Um die Rolle der Modellierungstheorie bei der Untersuchung von Objekten und damit ihrer Modelle zu bestimmen, ist es notwendig, von ihrer Vielfalt zu abstrahieren und die gemeinsamen Merkmale hervorzuheben, die Modellen von Objekten unterschiedlicher Natur innewohnen. Dieser Ansatz hat zur Entstehung einer allgemeinen Klassifikation von Systemmodellen geführt.

Die erstellten Systemmodelle werden klassifiziert:

· zum Zeitpunkt

* dynamische Modelle: kontinuierliche, die durch Differentialgleichungen beschrieben werden; diskret-kontinuierlich (Differenz), werden durch Differenzengleichungen beschrieben; probabilistische, auf Ereignissen aufbauende Modelle der Warteschlangentheorie;

* Diskrete Modelle - Automaten;

· zufällig:

* deterministisch – Modelle, die Prozesse widerspiegeln, in denen es keine zufälligen Effekte gibt;

* stochastisch - Modelle, die probabilistische Prozesse und Ereignisse widerspiegeln;

· nach Vereinbarung:

· nach Art der verarbeiteten Informationen:

* Informationen: - Hinweise und Informationen;

Information und Beratung;

Experte;

Automatisch;

* physikalische Modelle: - natürlich (Plasma);

Halbnatürlich (Windkanäle);

* Simulationsmodelle;

* intelligente Modelle;

* semantische (logische) Modelle;

Fahren wir mit der Betrachtung der Haupttypen mathematischer Schemata fort.

1.3.1. Kontinuierlich deterministische Modelle (D - Schemata)

Mathematische Schemata dieser Art widerspiegeln Dynamik zeitlich im System ablaufende Prozesse. Deshalb werden sie gerufen D-Schemata. Ein Spezialfall sind dynamische Systeme automatische Kontrollsysteme.

Ein lineares automatisches System wird durch eine lineare Differentialgleichung der Form beschrieben

wo x(t)- Aktions- oder Eingabevariable des Systems einstellen; y(t)- Systemzustand oder Ausgangsvariable; - Koeffizienten; t- Zeit.

Fig. 1 zeigt ein vergrößertes Funktionsdiagramm des automatischen Steuersystems, wobei das Fehlersignal ist; - Kontrollaktion; f(t)- störender Einfluss. Dieses System basiert auf dem Prinzip der Gegenkopplung, da um die Ausgangsgröße zu reduzieren y(t) zu seinem gegebenen Wert werden Informationen über die Abweichung zwischen ihnen verwendet. Demnach ist es möglich, ein Blockschaltbild und ein mathematisches Modell in Form einer Übertragungsfunktion oder in Form einer Differentialgleichung (1.1) zu entwickeln, bei der der Einfachheit halber angenommen wird, dass die Angriffspunkte von Störeinflüsse fallen mit dem Systemeingang zusammen.



Abb.1.1. Struktur des automatischen Steuersystems

Kontinuierlich deterministische Schaltungen (D-Schaltungen) werden auf analogen Computern (ACMs) ausgeführt.

1.3.2. Diskrete deterministische Modelle (F - Schemata)

Der Haupttyp diskret-deterministischer Modelle ist Endmaschine.

Zustandsmaschine wird als diskreter Informationswandler bezeichnet, der unter dem Einfluss von Eingangssignalen von einem Zustand in einen anderen wechseln und am Ausgang Signale erzeugen kann. Das ist eine Automatik mit Erinnerung. Speicher, Automatenzeit und das Konzept organisieren Zustand der Maschine.

Das Konzept von " Bedingung" Automat bedeutet, dass das Ausgangssignal des Automaten nicht nur von den Eingangssignalen zu einem bestimmten Zeitpunkt abhängt, sondern auch die früher kommenden Eingangssignale berücksichtigt. Dadurch kann die Zeit als explizite Variable eliminiert und Ausgaben als Funktion von Zuständen und Eingaben ausgedrückt werden.

Ein Übergang des Automaten von einem Zustand in einen anderen ist frühestens nach einem diskreten Zeitintervall möglich. Außerdem wird der Übergang selbst als augenblicklich betrachtet, dh transiente Prozesse in realen Schaltungen werden nicht berücksichtigt.

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Automatenzeit einzuführen, nach denen Automaten unterteilt werden synchron und asynchron.

BEI synchron Bei Automaten werden die Zeitpunkte, zu denen Änderungen in den Zuständen des Automaten aufgezeichnet werden, von einem speziellen Gerät - einem Taktsignalgenerator - festgelegt. Außerdem kommen die Signale in gleichen Zeitintervallen an - . Die Frequenz des Taktgenerators wird so gewählt, dass jedes Element des Automaten Zeit hat, seine Arbeit zu beenden, bevor der nächste Impuls erscheint.

BEI asynchron Bei einem Automaten sind die Zeitpunkte des Übergangs des Automaten von einem Zustand in einen anderen nicht vorbestimmt und hängen von bestimmten Ereignissen ab. In solchen Automaten ist das Intervall der Diskretion variabel.

Es gibt auch deterministisch und probabilistisch Automaten.

BEI deterministisch Automaten werden das Verhalten und die Struktur des Automaten zu jedem Zeitpunkt eindeutig durch die aktuellen Eingabeinformationen und den Zustand des Automaten bestimmt.

BEI probabilistisch Automaten, sie hängen von einer zufälligen Auswahl ab.

Abstrakt lässt sich ein endlicher Automat als mathematisches Schema (F-Schema) darstellen, das sich durch sechs Arten von Variablen und Funktionen auszeichnet:

1) endliche Menge x(t) Eingangssignale (Eingangsalphabet);

2) endliche Menge y(t) Ausgangssignale (Ausgangsalphabet);

3) endliche Menge z(t) innere Zustände (Zustandsalphabet);

4) Anfangszustand des Automaten z0 , ;

5) die Funktion von Automatenübergängen von einem Zustand in einen anderen;

6) die Funktion der Ausgänge der Maschine.

Ein abstrakter endlicher Automat hat einen Eingang und einen Ausgang. Zu jedem diskreten Zeitpunkt t=0,1,2,... F– Die Maschine befindet sich in einem bestimmten Zustand z(t) Von vielen Z– Zustände des Automaten und zum Anfangszeitpunkt t=0 es befindet sich immer im Ausgangszustand z(0)=z0. In dem Moment t, in der Lage z(t), kann der Automat das Signal auf dem Eingangskanal wahrnehmen und das Signal auf dem Ausgangskanal ausgeben und in den Zustand übergehen

Ein abstrakter endlicher Automat implementiert eine Abbildung des Satzes von Wörtern im Eingabealphabet X in eine Reihe von Wörtern im Ausgabealphabet Y, das heißt, wenn der Eingang des Zustandsautomaten auf den Anfangszustand gesetzt wird z0, geben Sie in einer bestimmten Reihenfolge die Buchstaben des Eingabealphabets an, aus denen das Eingabewort besteht, dann erscheinen in der Ausgabe des Automaten nacheinander die Buchstaben des Ausgabealphabets, die das Ausgabewort bilden.

Daher erfolgt die Operation des endlichen Automaten nach folgendem Schema: auf jedem t– ter Zyklus zum Eingang des Automaten, der sich im Zustand befindet z(t), wird ein Signal gegeben x(t), auf die der Automat mit Umschalten auf reagiert (t+1)– Ohm-Takt in einen neuen Zustand z(t+1) und geben irgendein Ausgangssignal.

Je nachdem, wie das Ausgangssignal definiert ist, werden synchrone abstrakte Zustandsautomaten in zwei Typen unterteilt:

F ist ein Automat erster Art, auch genannt Mili-Maschine :

F - Automat der zweiten Art:

Ein Automat der zweiten Art, für den

genannt Moore-Maschine – die Funktion der Ausgänge unabhängig von der Eingangsgröße ist x(t).

Um einen endlichen F-Automaten zu spezifizieren, müssen alle Elemente der Menge beschrieben werden.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Arbeit von F-Automaten einzustellen, von denen die am häufigsten verwendeten tabellarisch, grafisch und Matrix sind.

1.3.3. Diskrete kontinuierliche Modelle

Prozesse in linearen Impuls- und digitalen automatischen Steuersystemen werden durch diskrete Differenzengleichungen der Form beschrieben:

wo x(n) die Gitterfunktion des Eingangssignals ist; ja (n) die Gitterfunktion des Ausgangssignals ist, die durch die Lösung von Gleichung (1.2) bestimmt ist; b k sind konstante Koeffizienten; - Unterschied zu-te Ordnung; t=nT, wo NT – n- Zeitpunkt T die diskrete Periode ist (in Ausdruck (1.2) wird sie bedingt als Einheit angenommen).

Gleichung (1.2) kann auch in anderer Form dargestellt werden:

Gleichung (1.3) ist eine rekursive Beziehung, mit der Sie beliebige berechnen können (i+1)-ten Mitglied der Sequenz durch die Werte seiner vorherigen Mitglieder ich, ich-1,... und Bedeutung x(i+1).

Das wichtigste mathematische Werkzeug zur Modellierung digitaler automatischer Systeme ist die Z-Transformation, die auf der diskreten Laplace-Transformation basiert. Dazu ist es notwendig, die Impulsübertragungsfunktion des Systems zu finden, die Eingangsvariable festzulegen und durch Variieren der Systemparameter die beste Version des zu entwerfenden Systems zu finden.

1.3.4. Diskrete - stochastische Modelle (P - Schemata)

Das diskret-stochastische Modell beinhaltet Wahrscheinlichkeitsautomat. Im Allgemeinen ist ein probabilistischer Automat ein diskreter Schritt-für-Schritt-Informationsumsetzer mit Gedächtnis, dessen Funktionsweise in jedem Schritt nur vom Zustand des darin enthaltenen Gedächtnisses abhängt und statistisch beschrieben werden kann. Das Verhalten des Automaten hängt von der zufälligen Auswahl ab.

Die Verwendung von Schemata probabilistischer Automaten ist wichtig für den Entwurf diskreter Systeme, in denen sich statistisch regelmäßiges Zufallsverhalten manifestiert.

Für den P-Automaten wird ein ähnliches mathematisches Konzept wie für den F-Automaten eingeführt. Betrachten Sie eine Menge G, deren Elemente alle möglichen Paare sind (x i ,z s), wo x ich und z s Subset-Elemente eingeben X und Teilmengen von Zuständen Z beziehungsweise. Wenn es zwei solcher Funktionen gibt und diese abbilden und mit ihrer Hilfe ausgeführt werden, dann sagt man, dass das einen Automaten eines deterministischen Typs definiert.

Die Übergangsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsautomaten bestimmt nicht einen bestimmten Zustand, sondern die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einer Menge von Zuständen

(Automat mit zufälligen Übergängen). Die Ausgabefunktion ist auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Satz von Ausgabesignalen (ein Automat mit zufälligen Ausgaben).

Um einen probabilistischen Automaten zu beschreiben, führen wir ein allgemeineres mathematisches Schema ein. Sei Φ die Menge aller möglichen Paare der Form (z k , y j), wo y j ist ein Element der Ausgabeteilmenge Y. Als nächstes verlangen wir, dass jedes Element der Menge G induzierte auf der Menge Φ ein Verteilungsgesetz der folgenden Form:

Elemente aus ...

wo sind die Wahrscheinlichkeiten für den Übergang des Automaten in den Zustand zk und das Auftreten eines Signals am Ausgang y j wenn er konnte z s und zu diesem Zeitpunkt wurde an seinem Eingang ein Signal empfangen x ich.

Die Anzahl solcher Verteilungen, die in Form von Tabellen dargestellt werden, ist gleich der Anzahl der Elemente der Menge G. Wenn wir diese Menge von Tabellen mit B bezeichnen, werden die vier Elemente aufgerufen Wahrscheinlichkeitsautomat (P - automatisch). Dabei .

Ein Sonderfall von P-Automaten, definiert als Automaten, bei denen entweder der Übergang in einen neuen Zustand oder das Ausgangssignal deterministisch bestimmt wird ( Z ist ein deterministischer Wahrscheinlichkeitsautomat, Y ist ein deterministischer Wahrscheinlichkeitsautomat beziehungsweise).

Offensichtlich ist vom Standpunkt des mathematischen Apparats aus die Zuordnung eines Y-deterministischen P-Automaten äquivalent zur Zuordnung einer Markov-Kette mit einer endlichen Menge von Zuständen. In dieser Hinsicht ist der Apparat der Markov-Ketten der wichtigste, wenn P-Schemata für analytische Berechnungen verwendet werden. Ähnliche P-Automaten verwenden Generatoren von Markov-Folgen, wenn sie die Prozesse des Funktionierens von Systemen oder Umwelteinflüssen konstruieren.

Markov-Folgen, nach dem Markov-Theorem, ist eine Folge von Zufallsvariablen, für die der Ausdruck

wobei N die Anzahl unabhängiger Tests ist; D-- Streuung.

Solche P-Automaten (P-Schemata) können verwendet werden, um verschiedene Eigenschaften der untersuchten Systeme sowohl für analytische Modelle als auch für Simulationsmodelle unter Verwendung statistischer Modellierungsmethoden zu bewerten.

Y - deterministischer P-Automat kann durch zwei Tabellen spezifiziert werden: Übergänge (Tabelle 1.1) und Ausgänge (Tabelle 1.2).

Tabelle 1.1

Wobei P ij die Wahrscheinlichkeit des Übergangs des P-Automaten vom Zustand z i in den Zustand z j ist, während .

Tabelle 1.1 kann als quadratische Matrix der Dimension dargestellt werden. Wir werden eine solche Tabelle nennen Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix oder einfach Übergangsmatrix des P-Automaten, die in kompakter Form dargestellt werden kann:

Um den Y-deterministischen P-Automaten zu beschreiben, ist es notwendig, die anfängliche Wahrscheinlichkeitsverteilung der Form festzulegen:

Z... z1 z2 ... zk-1 zk
D... d1 d2 ... dk-1 dk

wobei d k die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich der P-Automat zu Beginn der Arbeit im Zustand z k befindet, während .

Der P-Automat befindet sich also vor Beginn der Arbeit im Zustand z 0 und ändert beim ersten (Null-)Zeitschritt den Zustand gemäß der Verteilung D. Danach die Änderung der Zustände des Automaten wird durch die Übergangsmatrix P bestimmt. Unter Berücksichtigung von z 0 sollte die Dimension der Matrix Р р auf erhöht werden, während die erste Zeile der Matrix sein wird (d 0 ,d 1 ,d 2 ,...,dk), und die erste Spalte ist null.

Beispiel. Der Y-deterministische P-Automat ist durch die Übergangstabelle gegeben:

Tabelle 1.3

und Ausgabetabelle

Tabelle 1.4

Z z0 z1 z2 z3 z4
Y

Unter Berücksichtigung von Tabelle 1.3 ist der Graph der Übergänge eines probabilistischen Automaten in Abb. 1.2 dargestellt.

Es ist erforderlich, die endgültigen Gesamtwahrscheinlichkeiten dafür abzuschätzen, dass sich dieser Automat in den Zuständen z 2 und z 3 befindet, d. h. wenn Einheiten am Ausgang der Maschine erscheinen.

Reis. 1.2. Übergangsdiagramm

Mit einem analytischen Ansatz kann man bekannte Beziehungen aus der Theorie der Markov-Ketten verwenden und erhält ein Gleichungssystem zur Bestimmung der endgültigen Wahrscheinlichkeiten. Darüber hinaus kann der Anfangszustand ignoriert werden, da die Anfangsverteilung die Werte der endgültigen Wahrscheinlichkeiten nicht beeinflusst. Dann nimmt Tabelle 1.3 die Form an:

wobei die endgültige Wahrscheinlichkeit ist, dass sich der Y-deterministische P-Automat im Zustand befindet zk.

Als Ergebnis erhalten wir ein Gleichungssystem:

Die Normierungsbedingung sollte diesem System hinzugefügt werden:

Wenn wir nun das Gleichungssystem (1.4) zusammen mit (1.5) lösen, erhalten wir:

Somit wird bei der unendlichen Operation eines gegebenen Automaten an seinem Ausgang eine binäre Folge mit einer Auftrittswahrscheinlichkeit von eins gebildet, gleich: .

Neben analytischen Modellen in Form von P-Schemata können auch Simulationsmodelle verwendet werden, die beispielsweise durch die Methode der statistischen Modellierung realisiert werden.

1.3.5. Kontinuierlich-stochastische Modelle (Q-Schemata)

Wir werden solche Modelle am Beispiel der Verwendung von Warteschlangensystemen als typische mathematische Schemata betrachten, die genannt werden Q– Schemata . Solche Q-Schemata werden bei der Formalisierung der Funktionsweise von Systemen verwendet, die im Wesentlichen Prozesse sind Service.

Zu Serviceprozesse zugeschrieben werden können: Ströme von Produktlieferungen an ein bestimmtes Unternehmen, Ströme von Teilen und Komponenten am Fließband einer Werkstatt, Anwendungen zur Verarbeitung von Computerinformationen von Remote-Terminals eines Computernetzwerks. Ein charakteristisches Merkmal für das Funktionieren solcher Systeme oder Netzwerke ist das zufällige Auftreten von Dienstanfragen. Darüber hinaus können bei jeder elementaren Dienstleistungshandlung zwei Hauptkomponenten unterschieden werden: die Dienstleistungserwartung und tatsächlich der Prozess der Wartung der Anwendung selbst. Stellen wir es uns in Form eines i-ten Dienstgeräts P i (Abb. 1.3) vor, das aus einem Akkumulator von Anfragen Н i besteht, in dem es gleichzeitig Anwendungen geben kann; K i – Anwendungsdienstkanal.

Jedes Element der Vorrichtung P i empfängt Ereignisflüsse, ein Anforderungsfluss tritt in den Akkumulator H i ein und ein Dienstfluss AND i tritt in den Kanal K i ein.

Abb.1.3. Wartungsgerät

Event-Streams können sein homogen, wenn es nur durch die Reihenfolge des Eintreffens dieser Ereignisse gekennzeichnet ist (), oder heterogen, wenn es durch eine Reihe von Ereignisattributen gekennzeichnet ist, z. B. eine solche Reihe von Attributen: die Quelle der Anfragen, das Vorhandensein einer Priorität, die Möglichkeit, den einen oder anderen Kanaltyp zu bedienen usw.

Üblicherweise kann bei der Modellierung verschiedener Systeme in Bezug auf den Kanal K i davon ausgegangen werden, dass der Anfragefluss am Eingang K i eine Untermenge von unkontrollierten Variablen bildet und der Dienstfluss AND i eine Untermenge von kontrollierten Variablen bildet.

Diese Anforderungen, die aus verschiedenen Gründen nicht vom Kanal K i bedient werden, bilden den Ausgangsstrom Y i .

Diese Modelle können als optimale stochastische Modelle klassifiziert werden.

In vielen Fällen sind beim Bau eines Modells nicht alle Bedingungen im Voraus bekannt. Die Effizienz, hier ein Modell zu finden, hängt von drei Faktoren ab:

Bedingungen festlegen x 1 , x 2 ,..., x n;

unbekannte Bedingungen y 1 ,y 2 ,...,y k;

Faktoren unter unserer Kontrolle und 1 ,und 2 ,...,und m , gefunden werden.

Der Effizienzindikator zur Lösung eines solchen Problems hat die Form:

Vorhandensein unbekannter Faktoren y ich transformiert das Optimierungsproblem in das Problem der Wahl einer Lösung unter Unsicherheit. Die Aufgabe wird extrem schwierig.

Die Aufgabe ist besonders kompliziert für Fälle, in denen die Mengen y ich haben keine statistische Stabilität, dh unbekannte Faktoren y ich kann nicht mit statistischen Methoden untersucht werden. Ihre Verteilungsgesetze sind entweder nicht erhältlich oder gar nicht vorhanden.

In diesen Fällen werden Kombinationen möglicher Werte von Y so betrachtet, dass sowohl die "besten" als auch die "schlechtesten" Kombinationen von Variablenwerten erhalten werden. y ich.

Dann wird als Optimierungskriterium betrachtet.

Stochastische Modelle beschreiben zufällige Prozesse oder Situationen, wobei die Zufälligkeit bestimmter Phänomene selbstverständlich in Form von Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt wird. Ebenso wie deterministische Modelle können stochastische Modelle diskret und kontinuierlich sein.

      1. Kontinuierliche stochastische Modelle

Das Hauptschema einer formalisierten Beschreibung von Systemen, die gekennzeichnet sind durch

1) die kontinuierliche Natur der zeitlichen Veränderung und

2) das Vorhandensein von Zufälligkeit im Verhalten,

dient als Apparat von Warteschlangensystemen. Das heißt, es ist ein Plan mathematischer Schemata, die dazu bestimmt sind, die Prozesse des Funktionierens von Systemen, die Serviceprozesse sind, zu formalisieren. Für solche Systeme gilt die stochastische Art des Betriebs (zufälliges Auftreten von Dienstanforderungen), die Beendigung des Dienstes zu zufälligen Zeiten, das Vorhandensein eines Eingabe- und Ausgabestroms von Anforderungen, das Vorhandensein von Dienstgeräten, der Ablauf von Ereignissen, die Existenz einer Warteschlange für Dienste, die Definition einer bestimmten Dienstreihenfolge usw. .

Wie aus der Beschreibung derartiger Modelle ersichtlich ist, sind kontinuierlich-stochastische Modelle nicht für uns geeignet.

      1. Diskrete stochastische Modelle

Dieser Modelltyp eignet sich für Objekte mit folgenden Eigenschaften:

    Zeit in ihnen ist diskret

    sie zeigen ein statisch regelmäßiges zufälliges Verhalten.

Gemäß dieser Definition passt unser Modell vollständig zur Beschreibung diskreter stochastischer Modelle: Aufgrund der Bedingung ist unsere Zeit diskret und wir schlussfolgerten, dass das Modell Zufälligkeiten enthält. Modelle solcher Systeme können auf der Grundlage von zwei formalisierten Beschreibungsschemata aufgebaut werden:

Finite-Differenzen-Gleichungen, zu deren Variablen Funktionen gehören, die zufällige Prozesse definieren

Wahrscheinlichkeitsautomaten

„Ein probabilistischer Automat ist ein diskreter Informationswandler, der mehr als einen Zustand hat, dessen Funktionsweise in jedem Zyklus nur vom Zustand des darin enthaltenen Gedächtnisses abhängt und statisch beschrieben werden kann“ 3

Die Zuordnung probabilistischer Automaten erfolgt tabellarisch oder anhand von Graphen, ihr Einsatz in der Praxis ist jedoch nur durch Implementierung eines Simulationsmodells auf einem Computer möglich (mit Ausnahme kleiner und einfacher Modelle, bei denen auch analytische Berechnungen möglich sind).

Lassen Sie uns die Möglichkeit prüfen, probabilistische Automaten auf unser Modell anzuwenden:

In unserem Modell gibt es Zufälligkeiten, aber ist es möglich, das Verteilungsgesetz zu berechnen?

1.Im Falle eines zufälligen Preises?

Ja, das ist eine Gleichverteilung und die Wahrscheinlichkeiten aller Zustände sind bei der Preisermittlung gleich.

    Im Falle einer zufälligen Verteilung von unverkauften Produkten?

Dies ist wieder eine Gleichverteilung und die Wahrscheinlichkeiten können gefunden werden.

Mal sehen, welche Eingangszustände das System annehmen kann ... Es stellt sich heraus, dass es unendlich viele solcher Zustände gibt, daher ist es unmöglich, einen Wahrscheinlichkeitsautomaten zu bauen. Was ist, wenn es Beschränkungen hinsichtlich des Ausgabevolumens gibt? Diese Menge wird endlich sein und ein probabilistischer Automat kann gebaut werden, aber das resultierende Modell wird, wie im Fall der Annahme, dass das System deterministisch ist, die Realität schlecht widerspiegeln. Daher verzichten wir auf die Konstruktion eines probabilistischen Automaten.

Im Falle eines diskret-stochastischen Schemas einer formalisierten Beschreibung ist die bequemste Lösung die Lösung des Problems mit Hilfe von Finite-Differenzen-Gleichungen.

Bisher haben wir Modelle mit einer deterministischen Netzwerktopologie betrachtet. Bei der Modellierung eines komplexen Projekts sind Netzwerkmodelle mit stochastischer Struktur oft am flexibelsten und nützlichsten. Ein stochastisches Netzwerk ist definiert als ein Netzwerk, das alternative Knoten (Zustände) enthält, während die Bögen (Werke) nicht nur durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Dauer, sondern auch durch die Wahrscheinlichkeit ihrer Ausführung gekennzeichnet sind.

Das stochastische Netzwerkmodell mit vielen möglichen Ergebnissen als Weiterentwicklung traditioneller Netzwerke ermöglicht es, den Prozess der Entwicklung und Erstellung eines komplexen Projekts besser abzubilden. Der zur Analyse stochastischer Netzwerkmodelle verwendete mathematische Apparat ermöglicht es, die Wahrscheinlichkeiten verschiedener alternativer Ergebnisse zu berechnen und den Zeitpunkt ihrer möglichen Realisierung abzuschätzen.

Das stochastische Netzwerkmodell ist ein endlicher Graph G=(W,A), wobei W der Satz deterministischer und alternativer Eckpunkte ist, die mit Ereignissen identifiziert werden, und die technologische Matrix A=(p ij ) den Satz orientierter Bögen definiert, die mit Jobs ( oder Verbindungen). Für stochastische Netzwerke ist 0 £ p ij £ 1, und p ij = 1 definiert die Arbeit (i, j) ähnlich wie die Definitionen, die in traditionellen Netzwerken akzeptiert werden, und

0 < p ij < 1 соответствует альтернативному событию i, из которого с вероятностью p ij «выходит» работа (i,j). Другими словами p ij – вероятность того, что работа (i,j) будет выполнена при условии, что узел i выполнен.

Sei j(t ij) die Verteilungsdichte der Ausführungszeit der Arbeit (i,j). M[x] ist der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen x.

Die bedingte Erzeugungsfunktion der Momente der Zufallsvariablen t ij wird eingeführt als ¼ ij (s)=ž[å st ij ], d.h.


M ij (s)= ò e st ij j(t ij)dt ij (für eine stetige Zufallsvariable),

å st ij j(t ij) (für eine diskrete Zufallsvariable).

Insbesondere ist Ì ij (s)=Ì[å sа ] = e sа bei t ij = а=const, Ì ij (0)=1.

Für jeden Bogen (i, j) ist die Y-Funktion definiert als

Y ij (s) = p ij ¼ ij (s).

Das ursprüngliche Netzwerk wird mithilfe von drei grundlegenden Transformationen in das äquivalente Netzwerk konvertiert:

aufeinanderfolgende Bögen,

Parallele Bögen



Für aufeinanderfolgende Bögen (Abb. 7)

Y ik (s) = Y ij (s) Y jk (s).

Für parallele Bögen (Abb. 8)

Y ij (s) = Y a (s) + Y b (s).

Für Sichtschleifen (Abb. 9)

Yij (s) = Yb (s)/.

Durch die Kombination grundlegender Transformationen kann jedes Netzwerk in ein äquivalentes Netzwerk transformiert werden, das aus einem einzelnen Bogen (E-Bogen) besteht.

Der Zweck der Zeitanalyse eines stochastischen Netzwerks besteht darin, die mathematische Erwartung und Varianz der Ausführungszeit des Netzwerks (oder eines seiner Fragmente) und die Wahrscheinlichkeit der Ausführung des letzten (oder eines anderen Ereignisses) des Netzwerks zu berechnen.

Hier wird die Theorie der geschlossenen Flussdiagramme verwendet, wobei die oben eingeführte Y-Funktion als der entsprechende Lichtbogentransmissionsgrad interpretiert wird. Um die Ergebnisse dieser Theorie auf ein offenes Netz mit dem gewünschten Parameter Y E (s) anzuwenden, wird ein zusätzlicher Bogen mit dem Parameter Y A (s) eingeführt, der das Endereignis (Senke) mit dem Anfangsereignis (Quelle) verbindet.

Dann wird die als Mason-Regel bekannte topologische Gleichung für geschlossene Graphen in der folgenden Form verwendet:

1 – åT(L 1) + åT(L 2) – åT(L 3) +…+ (-1) m åT(L m) + … =0, (10)

wobei åT(L m) die Summe der äquivalenten Transmissionen für alle möglichen Schleifen der m-ten Ordnung ist.

Die äquivalente Transmission für die Schleife m-ter Ordnung ist gleich dem Produkt der Transmissionen m unabhängig Schleifen erster Ordnung, d.h.

T(L m)=Õ m k=1 T k .

Aus der Mason-Regel folgt direkt, dass 1 – Y A (s)Y E (s)=0 oder Y A (s)=1/Y E (s). Unter Verwendung dieses Ergebnisses wird in der topologischen Gleichung (10) Y A (s) durch 1/Y E (s) ersetzt und dann in Bezug auf Y E (s) gelöst, wodurch eine äquivalente Y-Funktion für das ursprüngliche stochastische Netzwerk erhalten wird.

Da Y E (s) \u003d p E M E (s) und M E (0) \u003d 1, dann p E \u003d Y E (0), was dies impliziert

M E (s) = Y E (s)/p E = Y E (s) / Y E (0). (elf)

Nachdem Sie einen analytischen Ausdruck für M E (s) erhalten haben, berechnen Sie die erste und zweite partielle Ableitung in Bezug auf s der Funktion M E (s) am Punkt s = 0, d.h.

m 1E =¶/¶s[M E (s)] s=0 (12)

m 2E =¶ 2 /¶s 2 [M E (s)] s=0 (13)

Das erste Moment m 1E relativ zum Ursprung ist die mathematische Erwartung der Netzwerkausführungszeit (transformiert in ihren äquivalenten E-Bogen), und die Varianz der Netzwerkausführungszeit ist gleich der Differenz zwischen dem zweiten Moment m 2E und dem Quadrat des ersten, d.h.

s 2 \u003d m 2E - (m 1E) 2. (vierzehn)

Die oben beschriebene Vorrichtung ermöglicht somit die Berechnung der Zeitparameter beliebiger, für den Benutzer interessanter Ereignisse eines stochastischen Netzes sowie die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens.

Anhand der gewonnenen Informationen lässt sich unter Verwendung der Tschebyscheff-Ungleichung die Wahrscheinlichkeit etwaiger Konfidenzintervalle für den Abschluss des Projekts für willkürliche Verteilungsgesetze für die Ausführung einzelner Operationen abschätzen. Wenn die Ausführungszeit jeder Operation normalverteilt ist, dann ist auch die resultierende Zeit normalverteilt. In diesem Fall ist es möglich, mithilfe des Moivre-Laplace-Integralsatzes probabilistische Schätzungen der Projektausführungszeit zu erhalten. Darüber hinaus können wir bei einer ausreichend großen Anzahl von Jobs im Netzwerk und der Erfüllung bestimmter Bedingungen (insbesondere der Unabhängigkeit von Jobs) den Lyapunov-Grenzsatz anwenden und die resultierende Projektdurchführungszeit als normalverteilte Zufallsvariable mit betrachten Eigenschaften, die nach dem oben beschriebenen Verfahren berechnet wurden.

Das stochastische Netzwerkmodell beinhaltet somit alle zufälligen Abweichungen und Unsicherheiten, die direkt bei der Ausführung jedes einzelnen Jobs entstehen.

3.4. Formalisierung der allgemeinen Aufgabenstellung der Planungsarbeit im Projektmanagement und Beschreibung des universellen Netzwerkmodells und der auf seiner Grundlage gelösten Aufgaben der zeitlichen Analyse

Als Ergebnis der Analyse und Synthese der obigen Modelle wird ein universelles mathematisches Modell vorgeschlagen, während klassische, verallgemeinerte und stochastische Netzwerkmodelle seine Spezialfälle sind.

Dieses Modell (benannt zyklisches stochastisches Netzwerkmodell - CSSM) ist ein flexibleres und adäquateres Instrument zur Beschreibung des Prozesses zur Verwaltung der Entwicklung eines komplexen Projekts.

CSSM ist ein endlicher, orientierter, zyklischer Graph G(W,A), der aus einer Menge von Ereignissen W und Bögen (i,j)(Ereignisse i, jOW) besteht, die durch die Adjazenzmatrix A=(p ij ) bestimmt sind. 0´ p ij ´1, und p ij =1 definiert einen deterministischen Bogen (i,j), und 0< p ij <1 определяет альтернативное событие i, которое с вероятностью p ij связано дугой с событием j. Множество дуг подразделяется на дуги-работы и дуги-связи. Первые реализуют определенный объем производственной деятельности во времени, второй тип дуг отражает исключительно логические связи между последними. Событиями могут быть как начала и окончания выполняемых работ, так некоторые их промежуточные состояния.

Bezeichnen Sie mit T i den Zeitpunkt des Abschlusses des i-ten Ereignisses, dann ist das Verhältnis zwischen dem Zeitpunkt des Abschlusses von Ereignissen, die durch den Bogen (i, j) verbunden sind, durch die Ungleichung gegeben:

Т j – Т i і y ij , (15)

wobei y ij im Allgemeinen eine Zufallsvariable ist, die gemäß einem Gesetz im Bereich von –½ bis 0 oder von 0 bis +½ verteilt ist.

Darüber hinaus sind absolute Einschränkungen zum Zeitpunkt der Durchführung des Events i möglich:

l ich Ј Т ich ЈL ich . (16)

Die Beziehungen (15)-(16) sind eine Verallgemeinerung der entsprechenden Ungleichungen bei der Beschreibung verallgemeinerter Netzwerkmodelle, wobei der Parameter y ij und die Adjazenzmatrix A deterministisch sind.

Betrachten Sie die semantische Belastung der Beziehung (15) mit der probabilistischen Natur des Parameters y ij .

Wenn (i,j) eine Bogenarbeit (oder ein Teil davon) ist, dann spezifiziert eine positiv verteilte Zufallsvariable y ij die Verteilung der minimalen Dauer dieser Arbeit (verbunden mit ihrer maximalen Sättigung mit der definierenden Ressource). Die Arbeit zeigt, dass die Verteilung des Werts y ij unimodal und asymmetrisch ist und die Beta-Verteilung diese Anforderungen erfüllt, also Mindestlaufzeit ist eine Zufallsvariable y ij =t min (i,j), die nach dem Beta-Verteilungsgesetz auf dem Segment [a, b] mit Dichte verteilt ist

j(t)=С(t – a) p-1 (b – t) q-1 , (17)

wobei C aus der Bedingung bestimmt wird

Wenn die Zufallsvariable y ij in (15), die der Bogenarbeit (i,j) entspricht, im Intervall von –Ґ bis 0 verteilt ist, dann setzt –y ij =t max (j,i) die Verteilung von die Länge des maximalen Zeitintervalls, in dem die Arbeit (i, j) begonnen und beendet werden muss, selbst wenn sie minimal mit der definierenden Ressource gesättigt ist. Für diese Größe haben wir eine ähnliche Verteilung erhalten (17). Da die Verteilung der Zufallsvariablen y ij für jeden Job (i, j) bekannt ist, werden ihre mathematische Erwartung und Varianz unter Verwendung der entsprechenden Formeln berechnet.

Die Einführung negativ verteilter Werte y ij für arc-Jobs (i,j) in (15) erweitert die Möglichkeiten zur Beschreibung der zeitlichen Eigenschaften von Jobs erheblich, wodurch das weit verbreitete probabilistische Modell nur noch zu einem Sonderfall wird.

Für Bogenverbindungen (i,j) gibt der Wert y ij die Verteilung der Zeitabhängigkeit zwischen den Ereignissen i und j an, und der positiv verteilte Wert y ij bestimmt die Beziehung vom Typ „nicht früher“ (Ereignis j kann nicht früher eintreten als y ij Tage nach Abschluss des Ereignisses i), und der negativ verteilte Wert y ij bestimmt die Beziehung vom Typ „spätestens als“ (Ereignis i kann spätestens –y ij Tage nach dem Ereignis j eintreten). Im letzteren Fall werden solche Links als "umgekehrt" bezeichnet.

Somit haben wir hier eine Verallgemeinerung dieser Zusammenhänge erhalten, unter Berücksichtigung ihres möglicherweise probabilistischen Charakters.

Da der Zeitpunkt des Abschlusses von Ereignissen Т i durch die Summe der Dauern technologisch vorausgehender Arbeiten bestimmt wird, ergibt sich bei einer ausreichend großen Anzahl solcher Arbeiten gemäß dem zentralen Grenzwertsatz die Verteilung der Zufallsvariablen Т i tendiert zur Normalität mit den Parametern – Erwartung МТ i und Streuung DТ i . Die Normalverteilung hat auch den Parameter y ij entsprechend den "umgekehrten" Bögen, was auch durch statistische Analyse bestätigt wird.

Absolute zeitliche Beschränkungen von Ereignissen, gegeben durch (16), spiegeln die entsprechenden richtungweisenden, organisatorischen und technologischen Beschränkungen bezüglich des zeitlichen Ablaufs der Ausführung von Arbeiten oder Teilen davon wider, die in der „absoluten“ (realen oder bedingten) Zeitskala angegeben sind. Absolute Einschränkungen sind auch durch den Typ "nicht früher" oder "nicht später" gekennzeichnet und haben die Form: T i - T 0 і l i , T 0 - T i і -L i . Absolute Beschränkungen der Form (16) sind also ein Spezialfall von Beschränkungen der Form (15) für bestimmte Bogenverbindungen.

Die Einführung einer stochastischen Adjazenzmatrix A in Kombination mit verallgemeinerten Zusammenhängen bietet zusätzliche Möglichkeiten, den Entstehungsprozess eines komplexen Projekts zu beschreiben.

Sei L(i,j) ein Pfad, der die Ereignisse i und j verbindet:

L(i,j)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =j). (achtzehn)

Dies Pfad deterministisch, wenn pi k-1 i k =1 für alle k¾ gilt, und stochastisch, sonst. Somit enthält der stochastische Pfad mindestens einen Bogen, dessen "Ausführungswahrscheinlichkeit" streng kleiner als 1 ist.

Ähnlich definiert deterministischer und stochastischer SchaltkreisÊ(i)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =i). (solche Ereignisse nenne ich "Kontur").

Wenn die Ereignisse i und j durch einen Pfad L(i,j) verbunden sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses j unter der Voraussetzung, dass das Ereignis i eingetreten ist P(j/i), das Produkt der Koeffizienten der Adjazenzmatrix A entsprechend den Bögen des Verbindungsweges:

P(j/i)=X v k=1 p ich k-1 ich k . (19)

Wenn die Ereignisse i und j auf mehrere Arten verbunden sind, wird die äquivalente GERT-Transformation dieses Netzwerkfragments gemäß den in der Arbeit angegebenen Formeln durchgeführt, die erzeugende Funktion Y ij (s) des transformierten Fragments berechnet und die Wahrscheinlichkeit berechnet des Ereignisses j, vorausgesetzt, dass das Ereignis i eingetreten ist P (j/i)= Y ij (0).

Die erste Ableitung der Funktion Y ij (s)/ Y ij (0) nach s am Punkt s=0 (dem ersten Moment m 1 (j/i)) bestimmt den Erwartungswert M(j/i) der Zeitpunkt des Ereignisses j in Bezug auf den Zeitpunkt des Ereignisses i . Die zweite Ableitung der Funktion Y ij (s)/ Y ij (0) nach s am Punkt s=0 (dem zweiten Moment m 2 (j/i)) erlaubt uns, die Varianz der Zeit von zu berechnen Ereignis j in Bezug auf den Zeitpunkt des Ereignisses i durch die Formel

s 2 (j / i) \u003d m 2 (j / i) - (m 1 (j / i)) 2. (zwanzig)

Die Länge des Weges L(i,j) ist eine Zufallsvariable, deren mathematischer Erwartungswert ML(i,j) die Summe der mathematischen Erwartungswerte der Längen aller Bögen ist, aus denen dieser Weg besteht, und der Varianz DL (i,j) ist gleich der Summe der Varianzen.

Unter diesen Bedingungen kann die Länge des Weges (Kontur) annehmen Negativ Werte, was wie folgt interpretiert wird:

wenn L(i,j)<0 и дуга (j,i) имеет отрицательно распределенный параметр y ji , то событие j должно свершиться nicht später als -y ji Tage nach dem Eintreten des Ereignisses i. Der Parameter y ji ist probabilistischer Natur, was es ermöglicht, die logisch-zeitlichen Zusammenhänge zwischen Ereignissen flexibler (im Vergleich zu zyklischen Netzwerkmodellen) zu beschreiben.

Als Bogenparameter y ij kann man auch jeden charakteristischen Parameter betrachten, der entlang der Bögen beliebiger Pfade Additivität aufweist (z. B. die Arbeitskosten), während wir unter Verwendung der äquivalenten GERT-Transformation den mathematischen Erwartungswert und die Varianz der Kosten erhalten eines Netzwerkfragments oder eines Projekts als Ganzes.

Aufgaben der zeitlichen Analyse von CSSM (und Algorithmen zu ihrer Lösung) sowie die zeitliche Analyse klassischer, verallgemeinerter oder stochastischer Netzwerkmodelle liegen der Lösung aller Planungs- und Projektmanagementprobleme zugrunde. Sie sind von eigenständiger Bedeutung bei der Lösung von Projektmanagementproblemen ohne Berücksichtigung von Ressourcenbeschränkungen.

Aufgaben der zeitlichen Analyse sind auch notwendig, um verschiedene Planoptionen für bestimmte Werte des Ressourcenverfügbarkeitsvektors zum Zweck ihres anschließenden Vergleichs, der Bewertung der Qualität der Planoptionen und der Auswahl der Richtung für ihre weitere Verbesserung zu generieren.

Bei der Lösung von Problemen der optimalen Arbeitsplanung im Projektmanagement werden CSSM-Zeitanalysealgorithmen als Werkzeug zur Berechnung der notwendigen Parameter verwendet, die in den entsprechenden Optimierungsalgorithmen verwendet werden, um die Erfüllung technologischer Randbedingungen sicherzustellen.

Die Aufgabe der zeitlichen Analyse des CSSM reduziert sich darauf, einen Zufallsvektor T=(T 0 ,T 1 ,…,T n ) zu finden, wobei T i der Zeitpunkt des i-ten Ereignisses ist, dessen Koordinaten die Ungleichungen ( 15),(16) und verwandeln eine Zielfunktion f(T) in ein Extremum.

Hervorgehoben drei Klassen von Zeitanalyseproblemen:

· klassisch, in der zur Berechnung von (T i ) die mathematischen Erwartungen der Dauern aller Bögen verwendet werden;

· probabilistisch bei dem auf der Grundlage des Grenzwertsatzes von Lyapunov oder anderer analytischer Mittel die mathematischen Erwartungen des Zeitpunkts des Abschlusses von i-ten Ereignissen – (MT i ), die Argumente der Zielfunktion f(T) sind, berechnet werden ;

· statistisch, in dem für ein gegebenes Zuverlässigkeitsniveau p gemäß der in der Arbeit beschriebenen Methode p-Quantilschätzungen empirischer Verteilungen sowohl für den Zeitpunkt der i-ten Ereignisse - (W p (T i)) als auch für deren bestimmt werden Ableitungen, einschließlich Werte der Zielfunktion f(W p (T)), wobei W p (T)=(W p (T 0),W p (T 1),…,W p (T n)) .

Das Konzept der CSSM-Konsistenz wird eingeführt.

Das zyklische stochastische Netzwerkmodell wird aufgerufen konsistent wenn es mindestens einen zulässigen Plan gibt, der für die entsprechende Klasse von zeitlichen Analyseproblemen (klassisch, probabilistisch oder statistisch) berechnet wurde und das System der Ungleichungen (15), (16) erfüllt.

Werfen wir einen Blick auf diese drei Konzepte.

Klassische Modellkonsistenz.

Die mathematischen Erwartungen der Dauer aller Bögen werden berechnet, wonach ein Netzwerk mit konstanten Bogenlängen gebildet wird. Unter Berücksichtigung der stochastischen Natur des betrachteten Modells und des Vorhandenseins verallgemeinerter Verbindungen können nach den obigen Berechnungen stochastische und deterministische Konturen im CSSM stattfinden. Der folgende Satz ist bewiesen:

Satz 1 . Damit das zyklisch-stochastische Modell, bei dem die Dauern der Bögen nach dem klassischen Schema berechnet werden, mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit a konsistent ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Längen aller deterministischen Konturen nicht positiv sind.

Konsistenz des probabilistischen Modells.

Die mathematische Erwartung von MT i und die Streuung s 2 T i des zeitlichen Ablaufs von Ereignissen werden analytisch berechnet. Die so berechneten Parameter weichen um 15-20% in der Größenordnung von den auf klassischem Weg (entsprechend den mathematischen Erwartungen der Lichtbogendauern) berechneten ab.

Lass uns reden über probabilistische Konsistenz des Modells im Durchschnitt, wenn die so erhaltene Menge die Ungleichungen (15)–(16) erfüllt, wobei ihre mathematische Erwartung als Wert von y ij genommen wird. Die Gültigkeit des folgenden Satzes ist bewiesen:

Satz 2 . Damit ein zyklisch-stochastisches Modell im Durchschnitt probabilistisch konsistent ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die mathematischen Erwartungen an die Längen aller deterministischen Konturen nicht positiv sind.

Unter der Annahme, dass Т i eine Normalverteilung mit Parametern hat: mathematischer Erwartungswert - МТ i und Varianz - s 2 Т i , führen wir ein breiteres Konzept von e- ein. probabilistische Modellkonsistenz.

Wir werden sagen, dass der CSSM e-probabilistisch konsistent ist, wenn es e > 0 gibt, sodass für alle T i die Ungleichung erfüllt ist

|T ich –MT ich |< e, справедливы соотношения (15)-(16). В работе доказано следующее:

Satz 3 . Damit das zyklische Alternativmodell e-probabilistisch konsistent ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die mathematischen Erwartungen an die Längen aller deterministischen Konturen die Beziehung МL(K(i)) Ј –4e erfüllen.

Die probabilistische Konsistenz des Modells ist im Durchschnitt ein Sonderfall der e-probabilistischen Konsistenz bei e=0.

Statistische Konsistenz des Modells.

Bei der statistischen Methode zur Berechnung der Parameter des Netzwerkmodells handelt es sich um ihre p-Quantil-Schätzungen von Werten, die probabilistische Analoga der entsprechenden Indikatoren sind. Es wird gesagt, dass das zyklische stochastische Modell statistisch konsistent mit Wahrscheinlichkeit p, wenn es für jedes Ereignis i p-Quantil-Schätzungen des Zeitpunkts des Abschlusses von Ereignissen W p (T i) gibt, die die Ungleichungen erfüllen:

W p (Т j) – W p (Т i)і W p (y ij), (21)

l ich JW p (Т i)JL ich . (22)

Hier sind die Beziehungen (21)-(22) probabilistische Analoga von (15)-(16), W p (y ij) ist die p-Quantil-Schätzung der Bogenlänge (i, j). Folgendes hat sich bewährt:

Satz 4 . Damit das zyklische Alternativmodell statistisch konsistent mit der Wahrscheinlichkeit p ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die p-Quantil-Schätzungen der Längen aller deterministischen Konturen die Beziehung W p (L(K(i))) Ј 0 erfüllen.

Algorithmen zur Berechnung der Zeitparameter des CSSM.

Frühe und späte Pläne.

Um die frühen und späten Daten für den Abschluss von Ereignissen zu berechnen, wird ein modifizierter „Pendel“-Algorithmus vorgeschlagen. Die Idee der Modifikation besteht darin, die statistische Methode zur Berechnung von Parametern, die für probabilistische Netzwerke verwendet werden, und den in verallgemeinerten Netzwerken verwendeten "Pendel" -Algorithmus zu synthetisieren und sie dann auf CSSM anzuwenden.

Abb.10. Schematisches Blockdiagramm des Berechnungsalgorithmus

p-Quantil-Schätzungen frühe Termine Durchführung von Veranstaltungen

Block 1. Eingabe von Anfangsdaten (Matrix-A-Koeffizienten, Verteilungsparameter y ij , Konfidenzniveau p).

Block 2. Berechnung der erforderlichen Anzahl von "Zügen" N, um die angegebene Genauigkeit der Ergebnisse zu gewährleisten. Die durchgeführten Berechnungen zeigten, dass wir bei p=0,95, e=0,05 N»270 erhalten.

Block 3. v:=v+1 (v ist die Zahl der „Ziehung“).

Block 4. Zeichnen der v-ten Variante von Zufallsvariablen y ij , jede in Übereinstimmung mit ihrem Verteilungsgesetz, Erhalten von Konstanten y ij (v) - die Länge des Bogens (i, j) bei der v-ten Zeichnung.

Block 5. Zeichnen Sie für jeden alternativen Knoten i den Übergang zu einem benachbarten Knoten j (es wird eine diskrete Zufallsvariable p ij gespielt, repräsentiert durch die i-te Zeile der Adjazenzmatrix A, 0< р ij <1 и е j р ij =1). Выбранная дуга помечается, остальные из графа исключаются. Если в полученном графе образовался контур К(i), содержащий хотя бы одну помеченную дугу, это есть стохастический контур, вычисляем его длину L (v) K(i) и опять для вершины i разыгрываем дискретную случайную величину р ij . В соответствие с доказанной в работе Lemma 1 kann die gleiche stochastische Kontur bei einem gegebenen Konfidenzniveau p höchstens k Mal gebildet werden, wobei k durch die entsprechende Formel geschätzt wird. Wir addieren die k-fache Länge der Kontur zur Länge des Bogens, den wir im (k + 1)-ten Schritt „ausgespielt“ haben, und fahren mit der Analyse einer anderen stochastischen Kontur (falls vorhanden) fort. In diesem Fall können im Netzwerk Widersprüche auftreten (positive deterministische Konturen), dann addieren wir gemäß den in der Arbeit angegebenen Formeln die d-fache Länge der Kontur und schätzen so die durchschnittliche Zeit für die Fertigstellung des „ Ausgabe“-Event aus der Kontur.

Block 6. Das resultierende deterministische verallgemeinerte Netzwerk G (v) wird in zwei Netzwerke G 1 (v) und G 2 (v) aufgeteilt, so dass weder G 1 (v) noch G 2 (v) Konturen enthalten. Die Knoten im Netzwerk G 1 (v) sind nach Rängen geordnet und entsprechend setzen wir die „richtige“ Nummerierung. Wir übertragen diese Numerierung auf das Netzwerk G 2 (v) und auf das ursprüngliche G (v) .

Block 7. Für alle Knoten i des Netzwerks G 1 (v) berechnen wir die frühen Fertigstellungstermine

T. ich 0(v) :=max j (T. ich 0(v) , T. j 0(v) + y ij (v) ).

Block 8. Wir führen ähnliche Prozeduren wie in Block 7 für die Eckpunkte des Netzwerks G 2 (v) durch.

Block 9. Wenn die Ergebnisse der Blöcke 7 und 8 nicht mindestens bei einem Indikator übereinstimmen, kehren wir zu Block 7 zurück (es gibt nicht mehr solcher Rückgaben als die Anzahl der umgekehrten Bögen in G 2 (v)), andernfalls Block 10.

Block 10. Wenn die Ziehungsnummer vJN ist, gehe zu Block 4, andernfalls gehe zu Block 11.

Block 11. Aus der resultierenden Menge (T i 0(v) ) für jeden Knoten i bauen wir eine Variationsreihe auf. Wir legen einen solchen Wert von Т i 0(x) fest, dass N x /N=р ist, wobei N x die Anzahl der Mitglieder der Variationsreihe kleiner als Т i 0(x) ist. Der Wert Т i 0(x) ist das erforderliche p-Quantil des frühen Terms des i-ten Ereignisses – ​​W p (Т i 0). In ähnlicher Weise erstellen wir unter Verwendung der Variationsreihe (y ij (v) ) p-Quantil-Schätzungen der Bogenlängen – W p (y ij).

Die Eingabe von Block 6 empfängt die v-te Version des verallgemeinerten Netzwerkmodells G(v), und tatsächlich sind die Blöcke 6–9 ein vergrößertes Blockdiagramm des "Pendel"-Algorithmus zum Berechnen des frühen Zeitpunkts von Ereignissen in dem OSM. Anwenden eines geeigneten Algorithmus zum Berechnen späte Termine Abschluss von Ereignissen in den Blöcken 7 und 8 erhalten wir T i 1(v) – späte Daten für den Abschluss von Ereignissen für die v-te Version des verallgemeinerten Netzwerkmodells, während Block 11 uns W p (T i 1) liefert – p-Quantil-Schätzungen späte Termine Abschluss von Veranstaltungen.

Pläne mit Mindestdauer.

Die Dauer L(T (v)) eines beliebigen realisierbaren Plans T (v) = (T i (v) ) der v-ten Version des Netzwerks G (v) wird durch die Formel bestimmt:

L(Т (v))=max ij |Т i (v) – Т j (v) |. (23)

Ersetzen im Blockschaltbild in Abb. 10 Blöcke 6 - 9 auf dem Block zum Finden des Minimums der Funktion (23), erhalten wir den Plan der minimalen Dauer für das Netzwerk G (v) (oder "komprimierter" Plan). Wert

L(T* (v))=min max ij |T i (v) – Tj (v) | (24)

ist die kritische Zeit des Netzwerks G (v) .

Unter Verwendung des Verfahrens zum Finden eines komprimierten Plans für OCM in den Blöcken 6–9 und Weiterleiten der resultierenden Pläne durch Block 11 erhalten wir probabilistische p-Quantil-Schätzungen komprimierter Pläne.

Die Zeitreserven für Arbeit (i, j) entsprechen ihren p-Quantil-Gegenstücken, berechnet nach den Formeln:

R p p (i, j) \u003d W p (T j 1) - W p (T i 0) - W p (y ij) für volle Reserve, (25)

R mit p (i, j) \u003d W p (T j 0) - W p (T i 0) - W p (y ij) für freie Reserve. (26)

Nach den entsprechenden Formeln werden p-Quantile berechnet Spannungskoeffizienten arbeitet W p (k n (i, j)), dann das p-Quantil kritische Zone, p-Quantil Reservezone und p-Quantil Zwischenzone.

Als Parameter des Lichtbogens haben wir die Ausführungszeit der Operation (Arbeit) betrachtet. Man kann auch jeden charakteristischen Parameter berücksichtigen, der entlang der Bögen eines beliebigen Pfads Additivität aufweist. Dies können die Kosten der Arbeit, die Menge der erforderlichen angesammelten Ressourcen usw. sein.

Es ist anzumerken, dass bisher nur Methoden der deterministischen Netzwerkmodellierung, einige heuristische Methoden der optimalen Ressourcenallokation und parametrische Methoden zur Kostenschätzung (hauptsächlich im Bereich der Luft- und Raumfahrt) breite praktische Anwendung gefunden haben. Obwohl die exakte Lösung der Kostenprobleme der auf klassischen Netzwerkmodellen basierenden Zeitplanung theoretisch gefunden wurde (beschrieben in), ist ihre praktische Anwendung mit der Schwierigkeit verbunden, tatsächliche Daten über die Zeit-Kosten-Abhängigkeiten zu erhalten.

Jedes der oben diskutierten Modelle hat seinen eigenen Themenbereich, der auf seine Weise (mehr oder weniger vollständig) die Grundfunktionen des Projektmanagements implementiert, und nur die Synthese der analysierten Modelle und Methoden ermöglicht es Ihnen, ein Modell zu erstellen, das dies angemessen widerspiegelt Prozess der Umsetzung eines komplexen Projekts unter Bedingungen der Ungewissheit und gleichzeitig eine Akzeptanz bei der Lösung des formulierten Problems.

Thema 4. OPTIMIERUNG DES RESSOURCENVERBRAUCHS AUF BASIS VON NETZWERKMODELLEN

Allgemeine Konzepte.

Oben wurden Netzwerkmodelle betrachtet, ohne die begrenzten Ressourcen zu berücksichtigen, d.h. das Problem der besten Verteilung der Ressourcen als solcher wurde nicht gestellt. Bei den von uns betrachteten Methoden zur Verwendung von Netzwerkmodellen wurde das Hauptaugenmerk auf den Zeitpunkt der Durchführung einzelner Arbeiten und die Identifizierung der wichtigsten (kritischen und unterkritischen) Arbeitsketten gelegt, auf denen der rechtzeitige Abschluss des Projekts ( Inbetriebnahme der Anlage) abhängig. Ein charakteristisches Merkmal dieser Methoden ist daher die Klassifizierung von Informationen nach dem Grad ihrer Bedeutung im Hinblick auf die Erledigung des gesamten Arbeitsspektrums innerhalb des festgelegten Zeitrahmens.

Ein quantitatives Maß für die Wichtigkeit von Informationen ist die Reserve an Arbeitszeit bzw Spannungskoeffizienten

K ij \u003d 1 - R p ij / (T n 0 - T cr (i, j)), (25)

wobei R p ij die Gesamtarbeitsreserve (i, j) ist, T n 0 die kritische Zeit für das Projekt ist, T kr (i, j) die Dauer des Abschnitts des maximalen Pfads ist, der mit dem kritischen Pfad zusammenfällt , die Arbeit (i, j) enthält. 0 £ K ij £ 1, und je näher K ij an 1, desto geringer die Reserve im Arbeitsvorrat (i, j), daher desto größer das Risiko, dass er nicht innerhalb der festgelegten Zeit fertiggestellt wird. Zum Beispiel für die Arbeit (2,5) (Abb. 5) T cr (2,5) = 5, R p 25 = 3, womit K 25 = 1 -3 / (22 - 5) = 0,82 und für die Arbeit ( 5,8) T cr (5,8) \u003d 0, R p 58 \u003d 12, woraus K 58 \u003d 1 -12 / (22 - 0) \u003d 0,45. Werke mögen die gleichen vollen Reserven haben, aber der Grad der Spannung im Zeitpunkt ihrer Umsetzung kann unterschiedlich sein. Umgekehrt können unterschiedliche Gesamtreserven denselben Spannungsbeiwerten entsprechen. Mit so klassifizierten Informationen kann der Projektleiter jederzeit bestimmen, auf welchen Bereich seine Aufmerksamkeit (und Ressourcen) konzentriert werden sollten, um sich abzeichnende Abweichungen vom vorgegebenen Fertigstellungstermin für alle Arbeiten zu beseitigen.

Bevor wir weitere Möglichkeiten zur Verbesserung der Methoden der Netzwerkplanung und -verwaltung skizzieren, lassen Sie uns detaillierter auf einige der Hauptmängel eingehen, die den oben diskutierten Methoden innewohnen.

Bei einer zeitlichen Schätzung der Dauer einer Arbeit haben wir angenommen, dass bestimmte Ressourcen mit einer bestimmten Intensität verwendet werden, um diese Arbeit auszuführen (die Intensität des Ressourcenverbrauchs ist die Menge der pro Zeiteinheit verbrauchten Ressourcen).

Zum Zeitpunkt der Vergabe einer Zeitschätzung ist nicht bekannt, wann diese Arbeiten durchgeführt werden müssen, welche anderen Projektaktivitäten, die die gleiche Art von Ressourcen verbrauchen, gleichzeitig durchgeführt werden. Außerdem können in der Regel dieselben Ressourcen gleichzeitig für verschiedene Projekte benötigt werden. Daher ist es möglich, dass der Gesamtbedarf für eine bestimmte Ressource zu bestimmten Zeitpunkten deren verfügbares Niveau übersteigt. In diesen Fällen ist es notwendig, entweder die Intensität des Ressourcenverbrauchs an einzelnen Jobs zu reduzieren oder die Ausführung mehrerer Jobs auf einen späteren Zeitpunkt zu verschieben, oft über die vollen Reserven dieser Jobs hinaus. Dies führt im Projektverlauf zu häufigen Anpassungen des ursprünglichen Plans, also zur Instabilität des Plans.

Wenn Ressourcenbeschränkungen bei der Planung des Projektimplementierungsprozesses im Voraus berücksichtigt werden, kann natürlich ein viel zuverlässigerer Plan erstellt werden.

Die Höhe der verfügbaren Ressourcen und der mögliche Zeitpunkt des Projektabschlusses sind miteinander verknüpft. Die Fertigstellungszeit des gesamten Projekts hängt davon ab, wann und wie viele Ressourcen den einzelnen Aktivitäten zugewiesen werden, und dies wird weitgehend von ihrer voraussichtlichen Verfügbarkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt bestimmt.

Somit entsteht das Problem der Ressourcenzuweisung in einer Netzwerkumgebung.

Grundsätzlich ist jede Produktionsplanung nichts anderes als eine Lösung für das Problem der effizienten Ressourcennutzung.

Effizienzkriterien können unterschiedlich sein, auf diesen wichtigen Planungspunkt (Auswahl und Begründung des Kriteriums) gehen wir bei konkreten Aufgabenstellungen etwas weiter unten ein.

Lassen Sie uns einige Begriffe und Definitionen einführen.

· Arbeitsprogramm Nennen wir eine bestimmte Reihe von Operationen (Arbeiten), die durchgeführt werden müssen, um ein oder mehrere Ziele zu erreichen, und die Ausführung der Arbeit des Programms ist einem einzigen leitenden Zentrum untergeordnet. Wir können über das Arbeitsprogramm für den Start-up-Komplex, das Arbeitsprogramm für einen Standort, eine Bauorganisation, ein Designinstitut usw. sprechen.

· Arbeitsprogramm zu einem einzigen Thema wir werden ein Programm nennen, das aus einem Komplex technologisch miteinander verbundener Arbeiten besteht, die darauf abzielen, ein (Einzelzweckthema) oder mehrere Ziele (Mehrzweckthema) zu erreichen.

· Themenübergreifendes Arbeitsprogramm Wir nennen ein Programm, das aus mehreren Werkkomplexen besteht, die innerhalb jedes Komplexes technologisch miteinander verbunden sind. Jedes Arbeitspaket kann ein oder mehrere Endziele haben. Werke, die zu verschiedenen Komplexen gehören, sind technologisch nicht miteinander verwandt. Die Zugehörigkeit von Themen zu einem Mehrthemenprogramm wird durch die Einheit der Leitstelle und die Gemeinsamkeit des Ressourcenreservoirs bestimmt.

Betrachten wir zunächst verschiedene Formulierungen von Ressourcenallokationsproblemen für Single-Theme-Single-Purpose-Programm.

Basierend auf den zwei möglichen Zielstellungen für das Projektmanagement, die das Netzwerkmodell beschreibt, gibt es zwei Hauptarten der Aufgabenstellung. Der erste Typ konzentriert sich auf die strikte Einhaltung von Ressourcenbeschränkungen, während der zweite Typ die strikte Einhaltung von Projektabschlussterminen beinhaltet.

Formulierung der ersten Art der Problemstellung („Kalibrierung“).

Finden Sie bei gegebenen Einschränkungen des Ressourcenverbrauchs eine solche Verteilung unter Berücksichtigung des technologischen Arbeitsablaufs, der durch die Topologie des Netzwerkdiagramms bestimmt wird und die die Fertigstellung des gesamten Programms in kürzester Zeit gewährleistet.

Formulierung der zweiten Art der Problemstellung („Glättung“).

Wird die vorgegebene Dauer der Programmausführung eingehalten, ist es erforderlich, die Ressourcen so auf die einzelnen Jobs zu verteilen, dass deren Verbrauch optimal ist. Die Frage nach der Wahl eines Optimalitätskriteriums für diese Einstellung wird von uns gesondert betrachtet.

Aufgrund der unterschiedlichen Mechanismen zur Deckung des Ressourcenbedarfs werden sie üblicherweise in zwei Gruppen eingeteilt: kumuliert (speicherbar) und nicht akkumulierbar (nicht speicherbar). Die zweite Gruppe von Ressourcen wird oft als "Kapazitätstyp-Ressourcen" bezeichnet.

Die erste Gruppe umfasst Ressourcen, die ihrer Natur nach eine Akkumulation mit der Möglichkeit ihrer späteren Verwendung ermöglichen, zum Beispiel Geld, verschiedene Materialien und Strukturen usw. Ressourcenbeschränkungen können in diesem Fall durch eine integrale, nicht abnehmende Funktion festgelegt werden, die zu jedem Zeitpunkt den Gesamtwert der Bereitstellung der Ressource für den gesamten vorherigen Zeitraum anzeigt.

Die zweite Gruppe umfasst Ressourcen, deren Akkumulation für eine spätere Verwendung unmöglich ist. Zum Beispiel Ressourcen von Arbeits- und Maschinenzeit. Ausfallzeiten von Arbeitern und Mechanismen sind ein unwiederbringlicher Verlust. Die Ressourcenbeschränkungen für diese Gruppe sind durch die Ressourcenverfügbarkeitsfunktion zu jedem Zeitpunkt gegeben.