Umfang ist die Sammlung aller Punkte der Ebene, die von einem gegebenen Punkt gleich weit entfernt sind, genannt der Mittelpunkt des Kreises. Der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis wird aufgerufen . Radius des Kreises.

- kanonische Kreisgleichung (16) - Mittelpunkt des Kreises.

Liegt der Mittelpunkt des Kreises im Ursprung, dann lautet die Kreisgleichung (16 .)

Ellipse ist die Menge aller Punkte der Ebene, die Summe der Abstände von zwei gegebenen Punkten dieser Ebene (genannt Tricks dieser Ellipse) ist ein konstanter Wert.

In (0;b)M(x,y)

r 1 r 2 r 1 +r 2 =2a

(-a;0) F 1 (-c;0) 0 F 2 (c;0) (a;0) X

Bezeichnen wir der Kürze halber a 2 -b 2 =c 2 (*), dann lautet die Gleichung der Ellipse: (17)

Wenn Sie y=0 setzen, erhalten Sie , und wenn Sie x=0 setzen, erhalten Sie ; das bedeutet, dass und die Längen der Halbachsen der Ellipse sind – groß() Und klein(). Darüber hinaus kann jeder der Terme auf der linken Seite nicht größer als eins sein, daher , , und daher befindet sich die gesamte Ellipse innerhalb des Rechtecks. Punkte A,B,C,D, in dem die Ellipse ihre Symmetrieachsen schneidet, werden genannt Eckpunkte der Ellipse.

Attitüde nennt man die Exzentrizität der Ellipse.

Hyperbel ist die Menge aller Punkte der Ebene, der Modul der Abstandsdifferenz von zwei gegebenen Punkten dieser Ebene (genannt Tricks dieser Hyperbel) ist ein konstanter Wert. Der Mittelpunkt des Abstandes zwischen den Brennpunkten wird genannt Zentrum der Hyperbel.

r 2 r 1 –r 2 =2a

F 1 (-c;0) 0 F 2 (c;0) x

Bezeichnen wir a 2 -c 2 = -b 2 (**), die Hyperbelgleichung: (18)

Aus dieser Gleichung geht hervor, dass eine Hyperbel zwei Symmetrieachsen (Hauptachsen) sowie ein Symmetriezentrum (Mittelpunkt der Hyperbel) hat.

Attitüde heißt Exzentrizität der Hyperbel.

Wenn Sie y=0 setzen, erhalten Sie , und wenn Sie x=0 setzen, erhalten Sie .

Das bedeutet, dass die Ox-Achse die Hyperbel an zwei Punkten (Eckpunkten der Hyperbel) schneidet, das ist - echte Achse; Die Oy-Achse schneidet die Hyperbel nicht – das ist „ imaginäre Achse. „Jedes Segment, das zwei Punkte einer Hyperbel verbindet, wenn es durch den Mittelpunkt verläuft, heißt Durchmesser der Hyperbel.

Eine gerade Linie, der sich eine gekrümmte Linie so nahe wie gewünscht annähert, diese jedoch nie schneidet, heißt Asymptote der Kurve. Eine Hyperbel hat zwei Asymptoten. Ihre Gleichungen lauten: (19)

Parabel ist die Sammlung aller Punkte auf der Ebene, deren Abstand von jedem zu einem bestimmten Punkt (genannt Fokus) gleich dem Abstand zu einer gegebenen Geraden (genannt Schulleiterin).

- Parabelparameter.

Eine Parabel hat eine Symmetrieachse. Der Schnittpunkt einer Parabel mit der Symmetrieachse wird genannt der Scheitelpunkt der Parabel.

Die kanonische Gleichung einer Parabel mit einem Scheitelpunkt im Ursprung, deren Symmetrieachse die Ox-Achse und nach rechts gerichteten Zweigen ist, hat die Form (20)

Die Gleichung ihrer Schulleiterin:

Die kanonische Gleichung einer Parabel mit einem Scheitelpunkt im Ursprung, deren Symmetrieachse die Ox-Achse und nach links gerichteten Zweigen ist, hat die Form (20 ,)

Die Gleichung ihrer Schulleiterin:

Die kanonische Gleichung einer Parabel mit einem Scheitelpunkt im Ursprung, deren Symmetrieachse die Oy-Achse ist und deren nach oben gerichtete Zweige die Form haben (20 ,)

Die Gleichung ihrer Schulleiterin:

Die kanonische Gleichung einer Parabel mit einem Scheitelpunkt im Ursprung, deren Symmetrieachse die Oy-Achse ist und deren Äste nach unten gerichtet sind, hat die Form (20 ,)

Die Gleichung ihrer Schulleiterin:

jj

F 0 p/2 x -p/2 0 x

Ja

p/2

–p/2
Thema 2.1. Vorlesung 7. Lektion 10

Thema: Funktionen einer unabhängigen Variablen, ihre Graphen.

Funktionsbegriff

Eines der grundlegenden mathematischen Konzepte ist das Konzept der Funktion. Mit dem Funktionsbegriff ist die Herstellung einer Abhängigkeit (Verbindung) zwischen den Elementen zweier Mengen verbunden.

Gegeben seien zwei nichtleere Mengen X und Y. Die Korrespondenz ƒ, die jedem Element xО : X→Y. Man sagt auch, dass die Funktion ƒ die Menge X auf die Menge Y abbildet.

Beispielsweise sind die in Abbildung 98 a und b gezeigten Korrespondenzen ƒ und g Funktionen, die in Abbildung 98 c und d jedoch nicht. Im Fall von - entspricht nicht jedem Element xÎX ein Element yÎY. Im Fall d ist die Eindeutigkeitsbedingung nicht erfüllt.

Die Menge X heißt Definitionsbereich der Funktion ƒ und wird mit D(f) bezeichnet. Die Menge aller уОY wird als Wertemenge der Funktion ƒ bezeichnet und mit E(ƒ) bezeichnet.

Numerische Funktionen. Funktionsgraph. Methoden zur Angabe von Funktionen

Gegeben sei eine Funktion ƒ : X→Y.

Wenn die Elemente der Mengen X und Y reelle Zahlen sind (also XÌ R und YÌ R), dann heißt die Funktion ƒ eine Zahlenfunktion. In Zukunft werden wir (in der Regel) numerische Funktionen untersuchen; der Kürze halber werden wir sie einfach Funktionen nennen und y = ƒ (x) schreiben.

Die Variable x wird als Argument oder unabhängige Variable bezeichnet, und y wird als Funktion oder abhängige Variable (von x) bezeichnet. Von den Größen x und y selbst spricht man von funktionaler Abhängigkeit. Manchmal wird die funktionale Abhängigkeit von y von x in der Form y = y (x) geschrieben, ohne einen neuen Buchstaben (ƒ) einzuführen, um die Abhängigkeit zu bezeichnen.

Privater Wert Funktionen ƒ(x) für x=a werden wie folgt geschrieben: ƒ(a). Wenn beispielsweise ƒ(x)=2x 2 -3, dann ƒ(0)=-3, ƒ(2)=5.

Funktionsgraph y=(x) ist die Menge aller Punkte der Oxy-Ebene, für die x jeweils der Wert des Arguments und y der entsprechende Wert der Funktion ist.

Beispielsweise ist der Graph der Funktion y=√(1-2) der obere Halbkreis mit dem Radius R=1 und dem Mittelpunkt bei O(0;0) (siehe Abb. 99).

Um die Funktion y=ƒ(x) festzulegen, muss eine Regel angegeben werden, die es ermöglicht, bei Kenntnis von x den entsprechenden Wert von y zu finden.

Die gebräuchlichsten drei Möglichkeiten zur Angabe einer Funktion sind: analytisch, tabellarisch und grafisch.

Analytische Methode: Eine Funktion wird als eine oder mehrere Formeln oder Gleichungen angegeben.

Wenn der Definitionsbereich der Funktion y = ƒ(x) nicht angegeben ist, wird angenommen, dass er mit der Menge aller Werte des Arguments übereinstimmt, für die die entsprechende Formel sinnvoll ist. Somit ist der Definitionsbereich der Funktion y = √(1-x2) das Segment [-1; 1].

Die analytische Methode zur Spezifikation einer Funktion ist die fortschrittlichste, da sie Methoden der mathematischen Analyse umfasst, die es ermöglichen, die Funktion y=ƒ(x) vollständig zu untersuchen.

Grafische Methode: Der Graph der Funktion wird angegeben.

Häufig werden Diagramme automatisch von Aufzeichnungsinstrumenten gezeichnet oder auf einem Bildschirm angezeigt. Die Werte der Funktion y, die bestimmten Werten des Arguments x entsprechen, werden direkt aus diesem Diagramm ermittelt.

Der Vorteil einer grafischen Aufgabe ist ihre Übersichtlichkeit, der Nachteil ist ihre Ungenauigkeit.

Tabellarische Methode: Eine Funktion wird durch eine Tabelle mit einer Reihe von Argumentwerten und entsprechenden Funktionswerten angegeben. Zum Beispiel bekannte Wertetabellen trigonometrischer Funktionen, logarithmische Tabellen.

In der Praxis ist es oft notwendig, Tabellen mit Funktionswerten zu verwenden, die experimentell oder als Ergebnis von Beobachtungen gewonnen wurden.

Transkript

1 Kapitel LINIEN ZWEITER ORDNUNG AUF EINER EBENE.1. Ellipse, Hyperbel, Parabel Definition. Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte der Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten F 1 und F ein konstanter Wert a ist, der größer ist als der Abstand zwischen F 1 und. M(, x) F 1 О F x Abb. Die Punkte F 1 und F werden als Brennpunkte der Ellipse bezeichnet, und der Abstand FF 1 zwischen ihnen ist die Brennweite, die mit c bezeichnet wird. Der Punkt M gehöre zur Ellipse. Die Strecken F1 M und F M heißen die Brennradien des Punktes M. Sei F1F = c. Per Definition a > c. Betrachten wir ein rechteckiges kartesisches Koordinatensystem Ox, in dem die Brennpunkte F 1 und F symmetrisch zum Ursprung auf der Abszissenachse liegen. In diesem Koordinatensystem wird die Ellipse durch die kanonische Gleichung beschrieben: x + = 1, a b 1

2. wobei b= a c Die Parameter a und b werden als große bzw. kleine Halbachse der Ellipse bezeichnet. Die Exzentrizität einer Ellipse ist die Zahl ε, gleich dem Verhältnis der Hälfte ihrer Brennweite zur großen Halbachse, d. h. ε =. Die Exzentrizität der Ellipse a erfüllt die Ungleichungen 0 ε< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 Die kanonische Gleichung einer Hyperbel hat die Form x a = b 1,. wo b= c a Die Zahlen a und b werden als reale bzw. imaginäre Halbachsen der Hyperbel bezeichnet. Innerhalb des durch die Punktungleichheit definierten Bereichs gibt es keine Hyperbel. x a b Definition. Die Asymptoten einer Hyperbel sind die durch die Gleichungen = x, = x gegebenen Geraden b b. a a Die Brennradien des Punktes M(x,) der Hyperbel können mit den Formeln r 1 = ε x a, r = ε x+ a ermittelt werden. Die Exzentrizität einer Hyperbel wird wie bei einer Ellipse durch die Formel ε = bestimmt. Es lässt sich leicht überprüfen, dass die Ungleichung ε a >1 für die Exzentrizität der Hyperbel gilt. Definition. Eine Parabel ist die Menge aller Punkte der Ebene, für die der Abstand zu einem gegebenen Punkt F gleich dem Abstand zu einer gegebenen Geraden d ist, die nicht durch den Punkt F geht. Punkt F wird als Brennpunkt der Parabel bezeichnet. und die Gerade d ist die Leitlinie. Der Abstand vom Fokus zur Leitlinie wird als Parameter der Parabel bezeichnet und mit p bezeichnet. d M (x,) F x Abb. 4 3

4 Wählen wir den Ursprung O des kartesischen Koordinatensystems in der Mitte des Segments FD, das eine Senkrechte ist, die vom Punkt F zur Geraden d fällt. In diesem Koordinatensystem hat der Fokus F die Koordinaten F p p ;0 und die Leitlinie d ist durch die Gleichung x + = 0 gegeben. Die kanonische Gleichung einer Parabel lautet: = px. Die Parabel ist symmetrisch um die Achse OF, die sogenannte Parabelachse. Der Schnittpunkt dieser Achse mit der Parabel O wird als Scheitelpunkt der Parabel bezeichnet. Fokusradius des Punktes M(x,), d.h. Sein p-Abstand zum Fokus wird durch die Formel r = x+ ermittelt. 10B.. Allgemeine Gleichung einer Geraden zweiter Ordnung Eine Gerade zweiter Ordnung ist eine Menge von Punkten in der Ebene, deren Koordinaten x sind und die die Gleichung a x + a x+ a + a x+ a + a =0, ​​​​11 erfüllen 1 wobei a11, a1, a, a10, a0, a00 einige reelle Zahlen sind und a, a, a gleichzeitig ungleich Null sind. Diese Gleichung wird als allgemeine Kurvengleichung zweiter Ordnung bezeichnet und kann auch in Vektorform geschrieben werden rr r r (Ax, x) + (b, x) + a = 0, wobei 00 a11 a1 r r A =, a1 a b = (a10 ; a0) , x = (x;). T Da A = A, ist A eine Matrix quadratischer Form r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x+ a Ellipse, Hyperbel und Parabel sind Beispiele für Kurven zweiter Ordnung in der Ebene. Zusätzlich zu den oben genannten Kurven gibt es andere Arten von Kurven zweiter Ordnung, die x-Geraden zugeordnet sind. Also zum Beispiel Gleichung = 0, wobei a 0, b 0, a b 4

5 definiert ein Paar sich schneidender Linien auf der Ebene. Koordinatensysteme, in denen die Kurvengleichung die einfachste Form annimmt, werden als kanonisch bezeichnet. Durch eine Kombination von Transformationen: Drehung der Achsen um den Winkel α, parallele Verschiebung des Koordinatenursprungs zum Punkt (x0; 0) und Spiegelung relativ zur Abszissenachse wird die Gleichung der Kurve zweiter Ordnung auf eins reduziert der kanonischen Gleichungen, von denen die wichtigsten oben aufgeführt sind. 11BBeispiele 1. Stellen Sie die kanonische Gleichung einer Ellipse mit einem Mittelpunkt im Ursprung und Brennpunkten auf der Abszissenachse auf, wenn bekannt ist, dass ihre Exzentrizität ε = und der Punkt N(3;) auf der 3. Ellipse liegt. x a b Gleichung einer Ellipse: + = 1. Wir haben das =. a b a 3 9 Von hier aus berechnen wir, dass a = b. Wenn wir die Koordinaten des Punktes N(3;) in die Gleichung einsetzen, erhalten wir + = 1 und dann b = 9 und a b 81 a = = 16,. Folglich ist die kanonische Gleichung der Ellipse 5 x + = 1. 16, 9. Stellen Sie die kanonische Gleichung einer Hyperbel mit einem Mittelpunkt im Ursprung und Brennpunkten auf der Abszissenachse zusammen, wenn ein Punkt M 1 (5; 3) gegeben ist. der Hyperbel und Exzentrizität ε =. x Die kanonische Gleichung einer Hyperbel = 1. Aus der Gleichheit a b a + b = ergibt sich b = a 5 9. Daher = 1 und a =16. Daher ist die kanonische Gleichung der Ellipse = a a a x 16 5

6 3. Finden Sie Punkte auf der Parabel = 10x, deren Fokusradius 1,5 beträgt. Beachten Sie, dass die Parabel in der rechten Halbebene liegt. Wenn M (x; auf der Parabel liegt, dann ist x 0. Parameter p = 5. Sei (;)) M x der gewünschte Punkt, F der Fokus, () die Leitlinie der Parabel. Dann F,5; 0, d: x=.5. Da FM = ρ(M, d), dann x +.5 = 1,5, 10 Antwort: () 1 10;10 x =, = 100, =± 10. Wir haben also zwei Punkte bekommen. M 10; 10 M, () 4. Suchen Sie auf dem rechten Zweig der durch die Gleichung x = 1 gegebenen Hyperbel einen Punkt, dessen Abstand vom rechten Fokus 16 9 zweimal kleiner ist als sein Abstand vom linken Fokus. Für den rechten Zweig der Hyperbel werden die Fokusradien durch die Formeln r 1 = ε x a und r = ε x + a bestimmt. Folglich erhalten wir die Gleichung ε x + a = (ε x a). Für eine gegebene Hyperbel a = 4, 5 c = = 5 und ε =. Daher ist x = 9,6. Daher haben wir =± x 16 =± d Antwort: zwei Punkte M 1 (9,6; 0,6 119), (9,6; 0,6 119) M. 5. Finden Sie die Gleichung der Geraden für jeden Punkt, zu dem das Verhältnis der Entfernung zu Punkt F (3;0) zum Abstand zur Geraden 1 x 8= 0 ist gleich ε =. Geben Sie den Namen der Zeile und ihre Parameter an. Mx; der gewünschten Linie gilt die Gleichheit: Für einen beliebigen Punkt () FM (x 3) + 1 = =. ρ(Ml,) x 8 6

7 Von hier aus gilt [(x 3) + ] = (x 8). Wenn wir die Klammern öffnen und die Terme neu anordnen, erhalten wir (x+) + = 50, d. h. (x+) + = Antwort: Die gesuchte Gerade ist eine Ellipse mit einem Mittelpunkt in einem Punkt und den Halbachsen a = 5 und b = Finden Sie die Gleichung der Hyperbel. Alte Koordinaten O () x ; 0 ; ;, ;. C(;0) = 8 im neuen System (x ;) und neu (zt ;) hängen durch die Matrixgleichung 1 1 x z 1 z+ t = 1 1 t = z t zusammen. Das bedeutet, dass die Gleichung x = 8 z+ t z t = 8, zt = 4. Antwort: zt = 4. γ:4x 4x+ 8x+ 4+ 3= 0 zur kanonischen 7. Bringen Sie die Kurve in die kanonische Form. in neuen Koordinaten hat die Form Betrachten Sie die quadratische Form () q x, = 4x 4x+. 4 Die Matrix der Form q hat die Eigenwerte 5 und 0 und die entsprechenden Orthonormalvektoren und gehen wir zu einem neuen Koordinatensystem über: 7

8 z 1 1 x. t = 5 1 Drücken Sie die alten Koordinaten (x;) durch die neuen (zt) aus; : 1 1 z+ t x 1 z = 1 t =, 1 z t bedeutet, x = z+ t, = z+ t Wenn wir die angegebenen Ausdrücke in die Gleichung der Kurve γ einsetzen, erhalten wir 0= 4x 4x+ 8x = x= z+ 1 t, = 1 z+ t ( ) () ()() = 5z 4 5z+ 3= z 5 4 z 5 + 3= z 5 1 z 5 3. Das bedeutet, dass in den neuen Koordinaten die Kurve γ durch die Gleichung 1 3 gegeben ist γ: z z =. Wenn wir = z, x = t setzen, erhalten wir γ: =, 1, woraus wir die kanonische Gleichung der Kurve γ: = 0 in kanonischen Koordinaten = 5 x 1 1 x finden. Beachten Sie, dass die Kurve γ ein Paar paralleler Linien ist. 1BAnhänge zu wirtschaftlichen und finanziellen Problemen 8. Lassen Sie Anya, Boris und Dmitry jeweils 150 Rubel haben, um Obst zu kaufen. Es ist bekannt, dass 1 kg Birnen 15 Geldeinheiten und 1 kg Äpfel 10 Geldeinheiten kosten. Darüber hinaus ist jeder der drei 8

9 verfügt über eine eigene Nutzfunktion, die beim Kauf maximal bereitgestellt werden soll. Es sollen x1 kg Birnen und x kg Äpfel gekauft werden. Diese Nutzenfunktionen lauten wie folgt: u = x + x für Anya, 1 A 1 x u B = +x für Boris und ud = x1 x für Dmitry. Es ist erforderlich, einen Kaufplan (x1, x) für Anya, Boris und Dmitry zu finden, nach dem sie das Maximum ihrer Nutzenfunktion bereitstellen. x Abb. 5 Das betrachtete Problem kann geometrisch gelöst werden. Um dieses Problem zu lösen, sollte das Konzept einer Niveaulinie eingeführt werden. x x 1 Abb. 6 Die Höhenlinie einer Funktion z = f(x,) ist die Menge aller Punkte auf der Ebene, auf der die Funktion einen konstanten Wert gleich h beibehält. x 9

10 In diesem Fall werden zur Lösung auch erste Vorstellungen über geometrische Flächen in der Ebene, spezifiziert durch lineare Ungleichungen (siehe Unterabschnitt 1.4), verwendet. x x 1 Abb. 7 Die Höhenlinien der Funktionen ua, u B und u D sind für Anya, Boris und Dmitry jeweils Geraden, Ellipsen und Hyperbeln. Entsprechend der Bedeutung des Problems gehen wir davon aus, dass x1 0, x 0 ist. Andererseits wird die Budgetbeschränkung als Ungleichung 15x1+ 10x 150 geschrieben. Teilen wir die letzte Ungleichung durch 10, erhalten wir 3x1+ x 30 oder + 1 Es ist leicht zu erkennen, dass x1 x der Bereich der Lösungen dieser Ungleichung ist, zusammen mit den Bedingungen der Nichtnegativität ein Dreieck, das durch die Linien x1 = 0, x = 0 und 3x1+ x = begrenzt wird

11 X * X * Abb. 8 Abb. 9 Anhand der geometrischen Zeichnungen lässt sich nun leicht feststellen, dass uamax = ua(0,15) = 15, ubmax = ub(0,15) = 5 und udmax = ud(Q). Die Koordinaten des Tangentialpunktes Q der Hyperbel auf der Höhe der Seite des Budgetdreiecks müssen analytisch berechnet werden. Beachten Sie dazu, dass Punkt Q drei Gleichungen erfüllt: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x " = =. x1 X * Abb.

12 Wenn wir h aus den Gleichungen eliminieren, erhalten wir die Koordinaten des Punktes Q= (x, x) = (5;7,5). 1 Antwort: Q= (x1, x) = (5;7,5). 9. Nichtlineares Modell Kosten und Gewinn des Unternehmens. Angenommen, ein Unternehmen produziert Mehrzweckgeräte der beiden Typen A und B in der Menge x bzw. den Produktionseinheiten. In diesem Fall wird das Einkommen des Unternehmens für das Jahr durch die Einkommensfunktion Rx (,) = 4x+ ausgedrückt, und die Produktionskosten werden durch die Kostenfunktion 1 1 Cx (,) = 7,5+ x + 4 ausgedrückt, in dem das Unternehmen das Maximum erhält Gewinn.. Bestimmen Sie den Produktionsplan (x, ) bei 3

13 Die Gewinnfunktion setzt sich aus der Differenz zwischen der Einkommensfunktion und der Kostenfunktion zusammen: 1 1 Π (x,) = R(x,) C(x,) = 4x+ 7,5 x. 4 Nachdem wir Transformationen durchgeführt haben, reduzieren wir den letzten Ausdruck auf die Form 1 1 Π (x,) = 9 (x 8) (1). 4 Die Niveaulinien für die Gewinnfunktion sehen aus wie (x 8) (1) = h. 4 Jede Höhenlinie 0 h 9 ist eine Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung. Aus dem resultierenden Ausdruck ist leicht zu erkennen, dass das Maximum der Gewinnfunktion 9 beträgt und bei x = 8, = 1 erreicht wird. Antwort: x = 8, = 1. 13BÜbungen und Testfragen.1. Schreiben Sie die Normalgleichung eines Kreises. Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius des Kreises: a) x + + 8x 6=0; b) x x = 0... Schreiben Sie eine Gleichung für einen Kreis, der durch die Punkte M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3;0)..3 verläuft. Definieren Sie eine Ellipse und schreiben Sie ihre kanonische Gleichung. Schreiben Sie die kanonische Gleichung einer Ellipse, wenn 1 ihre Exzentrizität gleich ε = ist und die große Halbachse gleich ist. Schreiben Sie eine Gleichung einer Ellipse, deren Brennpunkte symmetrisch zum Ursprung auf der Ordinatenachse liegen, wobei Sie außerdem wissen, dass der Abstand zwischen seinen Brennpunkten ist c = 4 und die Exzentrizität ist ε = Geben Sie die Bestimmung der Exzentrizität einer Ellipse an. Finden Sie die Exzentrizität der Ellipse, wenn ihre große Halbachse viermal so groß ist wie ihre kleine Achse. 33

14.6. Definieren Sie eine Hyperbel und schreiben Sie ihre kanonische Gleichung. Durch den Punkt M (0; 0,5) und den rechten Scheitelpunkt der durch die Gleichung = 1 gegebenen Hyperbel wird eine Gerade gezogen. Finden Sie die Koordinaten des zweiten Schnittpunkts der Linie und der Hyperbel. Definieren Sie die Exzentrizität der Hyperbel. Schreiben Sie ihre kanonische Gleichung, wenn a = 1, b = 5. Was ist die Exzentrizität dieser Hyperbel?.8. Schreiben Sie Gleichungen für die Asymptoten der Hyperbel, die durch Ihre kanonische Gleichung gegeben ist. Schreiben Sie eine Gleichung für die Hyperbel 3, wenn ihre Asymptoten durch die Gleichungen =± x gegeben sind und die Hyperbel 5 durch den Punkt M (10; 3 3) verläuft..9. Definieren Sie eine Parabel und schreiben Sie ihre kanonische Gleichung. Schreiben Sie die kanonische Gleichung einer Parabel, wenn die x-Achse ihre Symmetrieachse ist, ihr Scheitelpunkt im Ursprung liegt und die Länge der Sehne der Parabel senkrecht zur Ox-Achse 8 beträgt und der Abstand dieser Sehne vom Scheitelpunkt beträgt Finden Sie auf der Parabel = 1x einen Punkt, dessen Fokusradius ist. Satz und Nachfrage nach einem Produkt sind durch die Funktionen p = 4q 1, p = + gegeben. Finden Sie den Marktgleichgewichtspunkt. 1 q Graphen erstellen..1. Andrey, Katya und Nikolay werden Orangen und Bananen kaufen. Kaufen Sie x1 kg Orangen und x kg Bananen. Jeder der drei verfügt über eine eigene Nutzenfunktion, die zeigt, wie nützlich er seinen Kauf findet. Diese Nutzenfunktionen sind: u = x + x für Andrey, 1 4 A 4 1 u K = x + x für Katya und un = x1 x für Nikolay. a) Konstruieren Sie die Niveaulinien der Nutzenfunktion für Niveauwerte h = 1, 3. b) Ordnen Sie sie jeweils in der Reihenfolge der Kaufpräferenz an: r = (4,1), s = (3,8), t = (1,1 ). 34

Modul „Analytische Geometrie“. Analytische Geometrie in der Ebene und im Raum Vorlesung 7 Zusammenfassung Linien zweiter Ordnung in der Ebene: Ellipse, Hyperbel, Parabel. Definition, allgemeine Merkmale.

VORTRAG N15. Kurven zweiter Ordnung. 1.Kreis... 1.Ellipse... 1 3.Hyperbel.... 4.Parabel.... 4 1.Kreis Eine Kurve zweiter Ordnung ist eine Linie, die durch eine Gleichung zweiten Grades in Bezug auf definiert wird

8 Kurven zweiter Ordnung 81 Kreis Eine Menge von Punkten in einer Ebene mit gleichem Abstand von einem Punkt, dem Mittelpunkt, und einem Abstand, der Radius genannt wird, wird Kreis genannt. Der Mittelpunkt des Kreises sei

Vorlesung 13 Thema: Kurven zweiter Ordnung Kurven zweiter Ordnung in der Ebene: Ellipse, Hyperbel, Parabel. Ableitung von Gleichungen für Kurven zweiter Ordnung anhand ihrer geometrischen Eigenschaften. Studium der Form einer Ellipse,

VORTRAG Linienhyperbel zweiter Ordnung Als Beispiel finden wir die Gleichungen, die einen Kreis, eine Parabel, eine Ellipse und einen Kreis definieren. Ein Kreis ist eine Menge von Punkten auf einer Ebene mit gleichem Abstand zu einem gegebenen Punkt

Kurven zweiter Ordnung Kreis Ellipse Hyperbel Parabel Auf der Ebene sei ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem angegeben. Eine Kurve zweiter Ordnung ist eine Menge von Punkten, deren Koordinaten erfüllen

Gerade und Ebene im Raum Lineare Algebra (Vorlesung 11) 24.11.2012 2 / 37 Gerade und Ebene im Raum Abstand zwischen zwei Punkten M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2)

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Skript zur Vorlesung 13 Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln 0. Vorlesungsplan Vorlesung Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln. 1. Ellipse. 1.1. Definition von Ellipse; 1.2. Definition des kanonischen Koordinatensystems; 1.3. Herleitung der Gleichung

MODUL ELLIPS HYPERBOLA PARABOLA Praktischer Unterricht Thema: Ellipsenplan Definition und kanonische Gleichung einer Ellipse Geometrische Eigenschaften einer Ellipse Exzentrizität Abhängigkeit der Form einer Ellipse von der Exzentrizität

ZWEITE AUFGABE 1. Gerade in einer Ebene. 1. Zwei Linien sind durch Vektorgleichungen (, rn) = D und r= r + a und (an,) 0 gegeben. Finden Sie den Radiusvektor des Schnittpunkts der Linien. 0 t. Gegeben sei ein Punkt M 0 mit einem Radiusvektor

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0,5 setgray0 0,5 setgray1 1 Vorlesung 9 ELLIPSE, HYPERBEL UND PARABOLA 1. Die kanonische Gleichung einer Ellipse Definition 1. Eine Ellipse ist der geometrische Ort der Punkte M auf einer Ebene, die Summe der Abstände von jedem

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2. Invarianten von Geradengleichungen zweiter Ordnung.

3. Bestimmung des Typs von Geraden zweiter Ordnung aus den Invarianten ihrer Gleichung.

4. Linien zweiter Ordnung auf der affinen Ebene. Eindeutigkeitssatz.

5. Zentren von Linien zweiter Ordnung.

6. Asymptoten und Durchmesser von Linien zweiter Ordnung.

7. Reduzieren der Gleichungen von Geraden zweiter Ordnung auf das einfachste.

8. Hauptrichtungen und Durchmesser von Linien zweiter Ordnung.

LITERATURVERZEICHNIS

1. Linien zweiter Ordnung in der euklidischen Ebene.

Definition:

Euklidische Ebene ist ein Raum der Dimension 2,

(zweidimensionaler realer Raum).

Linien zweiter Ordnung sind die Schnittlinien eines Kreiskegels mit Ebenen, die nicht durch seinen Scheitelpunkt verlaufen.

Diese Zeilen finden sich häufig in verschiedenen naturwissenschaftlichen Fragestellungen. Beispielsweise erfolgt die Bewegung eines materiellen Punktes unter dem Einfluss des zentralen Schwerkraftfeldes entlang einer dieser Linien.

Wenn die Schnittebene alle geradlinigen Erzeugenden eines Hohlraums des Kegels schneidet, dann erzeugt der Schnitt eine Linie namens Ellipse(Abb. 1.1, a). Wenn die Schnittebene die Erzeugenden beider Hohlräume des Kegels schneidet, erzeugt der Schnitt eine Linie namens Hyperbel(Abb. 1.1,6). Und schließlich, wenn die Schnittebene parallel zu einer der Erzeugenden des Kegels ist (bei 1.1, V- Das ist der Generator AB), dann erzeugt der Abschnitt eine Zeile mit dem Namen Parabel. Reis. 1.1 gibt visuelle Darstellungüber die Form der betrachteten Linien.

Abbildung 1.1

Die allgemeine Gleichung einer Geraden zweiter Ordnung lautet wie folgt:

(1)

(1*)

Ellipse ist die Menge der Punkte auf der Ebene, für die die Summe der Abstände zwei beträgtFixpunkteF 1 UndF 2 diese Ebene, Brennpunkte genannt, ist ein konstanter Wert.

In diesem Fall ist das Zusammentreffen der Brennpunkte der Ellipse nicht ausgeschlossen. Offensichtlich fallen die Brennpunkte zusammen, dann ist die Ellipse ein Kreis.

Um die kanonische Gleichung der Ellipse abzuleiten, wählen wir den Ursprung O des kartesischen Koordinatensystems in der Mitte des Segments F 1 F 2 , und die Achsen Oh Und OU Richten wir es wie in Abb. 1,2 (wenn Tricks F 1 Und F 2 zusammenfallen, dann fällt O zusammen mit F 1 Und F 2, und für die Achse Oh Sie können jede durchgehende Achse nehmen UM).

Sei die Länge des Segments F 1 F 2 F 1 Und F 2 haben jeweils die Koordinaten (-с, 0) und (с, 0). Bezeichnen wir mit 2a die Konstante, auf die in der Definition einer Ellipse Bezug genommen wird. Offensichtlich ist 2a > 2c, d.h. a > c ( Wenn M- Punkt der Ellipse (siehe Abb. 1.2), dann | M.F. ] |+ | M.F. 2 | = 2 A, und da die Summe zweier Seiten M.F. 1 Und M.F. 2 Dreieck M.F. 1 F 2 mehr Dritte F 1 F 2 = 2c, dann 2a > 2c. Es ist natürlich, den Fall 2a = 2c auszuschließen, denn dann ist der Punkt M befindet sich auf dem Segment F 1 F 2 und die Ellipse degeneriert zu einem Segment. ).

Lassen M (x, y)(Abb. 1.2). Bezeichnen wir mit r 1 und r 2 die Abstände vom Punkt M zu Punkten F 1 Und F 2 jeweils. Gemäß der Definition einer Ellipse Gleichwertigkeit

R 1 + R 2 = 2a(1.1)

ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Lage des Punktes M (x, y) auf einer gegebenen Ellipse.

Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten erhalten wir

(1.2)

Aus (1.1) und (1.2) folgt das Verhältnis

(1.3)

stellt eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Lage eines Punktes M mit den Koordinaten x und y auf einer gegebenen Ellipse dar. Daher kann die Beziehung (1.3) als betrachtet werden Ellipsengleichung. Mit der Standardmethode der „Radikalzerstörung“ wird diese Gleichung auf die Form reduziert

(1.4) (1.5)

Da Gleichung (1.4) ist algebraische Folgerung Ellipsengleichung (1.3), dann die Koordinaten x und y irgendein Punkt M Ellipse erfüllt auch Gleichung (1.4). Da bei algebraischen Transformationen, die mit dem Entfernen von Radikalen verbunden sind, „zusätzliche Wurzeln“ auftreten könnten, müssen wir sicherstellen, dass jeder Punkt vorhanden ist M, deren Koordinaten Gleichung (1.4) erfüllen, liegt auf dieser Ellipse. Dazu reicht es natürlich aus zu beweisen, dass die Werte von r 1 und r 2 für jeden Punkt die Beziehung (1.1) erfüllen. Also lassen Sie die Koordinaten X Und bei Punkte M Gleichung (1.4) erfüllen. Den Wert ersetzen um 2 von (1.4) auf die rechte Seite des Ausdrucks (1.2) für r 1, nach einfachen Transformationen finden wir das Ganz ähnlich finden wir das (1.6)

d.h. R 1 + R 2 = 2a, und daher liegt Punkt M auf einer Ellipse. Gleichung (1.4) wird aufgerufen kanonische Gleichung einer Ellipse. Mengen A Und B heißen entsprechend große und kleine Halbachsen der Ellipse(Die Bezeichnungen „groß“ und „klein“ erklären sich daraus a>b).

Kommentar. Wenn die Halbachsen der Ellipse A Und B gleich sind, dann ist die Ellipse ein Kreis, dessen Radius gleich ist R = A = B, und der Mittelpunkt fällt mit dem Ursprung zusammen.

Hyperbel ist die Menge der Punkte auf der Ebene, für die der Absolutwert der Abstandsdifferenz zu zwei festen Punkten beträgtF 1 UndF 2 dieser Ebene, Brennpunkte genannt, gibt es einen konstanten Wert ( Tricks F 1 Und F 2 Es ist natürlich, Hyperbeln unterschiedlich zu betrachten, denn wenn die in der Definition einer Hyperbel angegebene Konstante nicht gleich Null ist, gibt es keinen einzigen Punkt der Ebene, wenn sie zusammenfallen F 1 Und F 2 , was die Anforderungen für die Definition einer Hyperbel erfüllen würde. Wenn diese Konstante Null ist und F 1 fällt zusammen mit F 2 , dann erfüllt jeder Punkt der Ebene die Anforderungen für die Definition einer Hyperbel. ).

Um die kanonische Gleichung einer Hyperbel abzuleiten, wählen wir den Koordinatenursprung in der Mitte des Segments F 1 F 2 , und die Achsen Oh Und OU Richten wir es wie in Abb. 1.2. Sei die Länge des Segments F 1 F 2 gleich 2s. Dann im gewählten Koordinatensystem die Punkte F 1 Und F 2 haben jeweils die Koordinaten (-с, 0) und (с, 0) Bezeichnen wir mit 2 A die Konstante, auf die in der Definition einer Hyperbel Bezug genommen wird. Offensichtlich 2a< 2с, т. е. A< с.

Lassen M- Punkt der Ebene mit Koordinaten (x, y)(Abb. 1,2). Bezeichnen wir mit r 1 und r 2 die Abstände M.F. 1 Und M.F. 2 . Nach der Definition von Hyperbel Gleichwertigkeit

(1.7)

ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Lage des Punktes M auf einer gegebenen Hyperbel.

Unter Verwendung der Ausdrücke (1.2) für r 1 und r 2 und der Beziehung (1.7) erhalten wir Folgendes notwendige und hinreichende Bedingung für die Lage eines Punktes M mit den Koordinaten x und y auf einer gegebenen Hyperbel:

. (1.8)

Mit der Standardmethode der „Zerstörung von Radikalen“ reduzieren wir Gleichung (1.8) auf die Form

(1.9) (1.10)

Wir müssen sicherstellen, dass Gleichung (1.9), die durch algebraische Transformationen von Gleichung (1.8) erhalten wurde, keine neuen Wurzeln erhalten hat. Dazu genügt es, dies für jeden Punkt zu beweisen M, Koordinaten X Und bei die Gleichung (1.9) erfüllen, erfüllen die Werte von r 1 und r 2 die Beziehung (1.7). Unter Berücksichtigung ähnlicher Argumente wie bei der Ableitung der Formeln (1.6) finden wir die folgenden Ausdrücke für die für uns interessanten Größen r 1 und r 2:

(1.11)

Also zum fraglichen Punkt M wir haben

, und liegt daher auf einer Hyperbel.

Gleichung (1.9) wird aufgerufen die kanonische Gleichung einer Hyperbel. Mengen A Und B werden real bzw. imaginär genannt Halbachsen der Hyperbel.

Parabel ist die Menge der Punkte auf der Ebene, für die der Abstand zu einem festen Punkt beträgtFdiese Ebene ist gleich dem Abstand zu einer festen Geraden, die sich ebenfalls in der betrachteten Ebene befindet.

(MIF-2, Nr. 3, 2005)

Linien zweiter Ordnung in einer Ebene

S. 1. Definition einer Linie zweiter Ordnung

Betrachten Sie eine Ebene, auf der ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem (XOY) angegeben ist. Dann ist jeder Punkt M durch seine Koordinaten (x, y) eindeutig bestimmt. Darüber hinaus definiert jedes Zahlenpaar (x, y) einen bestimmten Punkt auf der Ebene. Die Koordinaten von Punkten können bestimmte Bedingungen erfüllen, zum Beispiel eine Gleichung f(x, y) = 0 in Bezug auf die Unbekannten (x, y). In diesem Fall sagt man, dass die Gleichung f(x, y)=0 eine bestimmte Figur auf der Ebene definiert. Schauen wir uns Beispiele an.

Beispiel 1. Betrachten Sie die Funktion j= f( X). Die Koordinaten der Punkte im Diagramm dieser Funktion erfüllen die Gleichung j- F( X) = 0.

Beispiel 2. Gleichung (*), wo A, B, C– Manche Zahlen definieren eine bestimmte Gerade in der Ebene. (Es werden Gleichungen der Form (*) aufgerufen linear).

Beispiel 3. Der Graph einer Hyperbel besteht aus Punkten, deren Koordinaten die Gleichung https://pandia.ru/text/80/134/images/image004_92.gif" width="161" height="25"> erfüllen.

Definition 1. Gleichung der Form (**), wobei mindestens einer der Koeffizienten DIV_ADBLOCK75"> ist

Wir werden uns geometrische und ansehen physikalische Eigenschaften die oben genannten Zeilen. Beginnen wir mit einer Ellipse.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image008_54.gif" width="79" height="44 src="> (1).

Gleichung (1) wird aufgerufen kanonisch Gleichung der Ellipse.

Die Form der Ellipse kann anhand von Abbildung 1 beurteilt werden.

Sagen wir es. Die Punkte werden aufgerufen Tricks Ellipse. Mit Tricks sind eine Reihe interessanter Eigenschaften verbunden, die wir im Folgenden besprechen werden.

Definition 4. Hyperbel ist eine Figur auf einer Ebene, deren Koordinaten aller Punkte die Gleichung erfüllen

(2).

Gleichung (2) wird aufgerufen kanonisch Hyperbelgleichung. Die Art der Hyperbel kann anhand von Abbildung 2 beurteilt werden.

Sagen wir es. Die Punkte werden aufgerufen Tricks Hyperbel. Parameter A angerufen gültig, und der Parameter B- imaginäre Halbachse Hyperbeln bzw Ochse– echt, und Oh– imaginäre Achse der Hyperbel.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image016_34.gif" width="61" height="41">, aufgerufen werden Asymptoten. Bei große Werte Parameter X Die Punkte der Asymptoten kommen den Ästen der Hyperbel unendlich nahe. In Abbildung 2 sind die Asymptoten durch gepunktete Linien dargestellt.

Definition 5. Eine Parabel ist eine Figur auf einer Ebene, deren Koordinaten aller Punkte die Gleichung erfüllen

https://pandia.ru/text/80/134/images/image018_28.gif" width="47" height="45 src=">.

S. 3. Eigenschaften von LVP-Fokussen

Für jeden LVP in A.2. auf besondere Punkte wurde hingewiesen - Tricks. Diese Punkte spielen eine große Rolle bei der Erklärung der wichtigen Eigenschaften der Ellipse, Hyperbel und Parabel. Wir formulieren diese Eigenschaften in Form von Theoremen.

Satz. 1. Eine Ellipse ist eine Menge von PunktenM, so dass die Summe der Abstände dieser Punkte zu den Brennpunkten gleich 2 istA:

https://pandia.ru/text/80/134/images/image020_26.gif" width="115" height="23 src="> (5).

Um eine ähnliche Eigenschaft für eine Parabel zu formulieren, definieren wir Schulleiterin. Es ist gerade D, gegeben durch die Gleichung https://pandia.ru/text/80/134/images/image022_23.gif" width="103" height="21 src="> (6).

S. 4. Fokusse und Tangenten

https://pandia.ru/text/80/134/images/image024_24.gif" align="right" width="322" height="386 src=">.gif" width="52" height="24 src="> gehört zum entsprechenden HDL. Nachfolgend finden Sie die Gleichungen für die Tangenten, die durch diesen Punkt verlaufen:

– für eine Ellipse, (7)

– für Übertreibung, (8)

- für eine Parabel. (9)

Wenn wir Segmente von beiden Brennpunkten zum Berührungspunkt mit einer Ellipse oder Hyperbel zeichnen (sie heißen Brennradien Punkte), dann wird sich etwas Bemerkenswertes offenbaren Eigentum(siehe Abb. 5 und 6): Brennradien bilden mit der an diesem Punkt gezogenen Tangente gleiche Winkel.

Diese Eigenschaft hat eine interessante physikalische Interpretation. Betrachten wir beispielsweise die Kontur einer Ellipse als gespiegelt, dann Lichtstrahlen von einer Punktquelle, die in einem Brennpunkt platziert ist, werden nach der Reflexion an den Wänden des Stromkreises zwangsläufig durch den zweiten Brennpunkt gelangen.

Groß praktischer Nutzen eine ähnliche Eigenschaft für eine Parabel erhalten. Die Sache ist die Der Brennradius eines beliebigen Punktes der Parabel bildet mit der an diesen Punkt gezogenen Tangente einen Winkel, der dem Winkel zwischen der Tangente und der Achse der Parabel entspricht.

Physikalisch wird dies wie folgt interpretiert: Die Strahlen eines Punktes im Brennpunkt der Parabel breiten sich nach der Reflexion an ihren Wänden parallel zur Symmetrieachse der Parabel aus. Deshalb haben die Spiegel von Laternen und Strahlern eine parabolische Form. Wenn übrigens ein Lichtstrom (Radiowellen) parallel zur Parabelachse in die Parabel eindringt, passieren nach der Reflexion an den Wänden alle seine Strahlen den Fokus. Nach diesem Prinzip arbeiten sowohl Weltraumkommunikationsstationen als auch Radargeräte.

S. 5. Etwas mehr Physik

HDLs haben in der Physik und Astronomie weit verbreitete Verwendung gefunden. So wurde festgestellt, dass sich ein relativ leichter Körper (z. B. ein Satellit) im Gravitationsfeld eines massereicheren Körpers (Planet oder Stern) entlang einer Flugbahn bewegt, die einen der LVPs darstellt. In diesem Fall steht der massereichere Körper im Mittelpunkt dieser Flugbahn.

Zum ersten Mal wurden diese Eigenschaften im Detail untersucht Johannes Kepler und sie wurden Keplers Gesetze genannt.

Test Nr. 1 für Schüler der 10. Klasse

Selbsttestfragen (5 Punkte pro Aufgabe)

M.10.1.1. Definieren Sie HDL. Nennen Sie einige Beispiele für Gleichungen, die den LVP definieren.

M.10.1.2. Berechnen Sie die Koordinaten der Brennpunkte a) einer Ellipse, b) einer Hyperbel, wenn A=13, B=5.

M.10.1.3. Stellen Sie die kanonische Gleichung a) einer Ellipse, b) einer Hyperbel auf, wenn bekannt ist, dass diese Linie durch Punkte mit den Koordinaten (5, 6) und (-8, 7) verläuft.

M.10.1.4.Überprüfen Sie, ob die durch Gleichung (9) gegebene Gerade die durch Gleichung (3) gegebene Parabel tatsächlich nur an dem Punkt mit den Koordinaten schneidet. ( Notiz: Setzen Sie zunächst die Tangentengleichung in die Parabelgleichung ein und stellen Sie dann sicher, dass die Diskriminante der resultierenden quadratischen Gleichung Null ist.)

M.10.1.5. Schreiben Sie eine Gleichung für die Tangente an die Hyperbel mit der realen Halbachse 8 und der imaginären Halbachse 4 am Punkt mit der Koordinate X=11, wenn die zweite Koordinate des Punktes negativ ist.

Praktische Arbeit (10 Punkte)

M.10.1.6. Konstruieren Sie mehrere Ellipsen entsprechend zur nächsten Methode: Befestigen Sie ein Blatt Papier auf Sperrholz und stecken Sie ein paar Knöpfe in das Papier (aber nicht vollständig). Nehmen Sie ein Stück Faden und binden Sie die Enden zusammen. Werfen Sie die resultierende Schlaufe über beide Knöpfe (die Brennpunkte der zukünftigen Ellipse), ziehen Sie mit der Spitze eines Bleistifts am Faden und zeichnen Sie vorsichtig eine Linie. Achten Sie dabei darauf, dass der Faden straff ist. Durch Ändern der Abmessungen der Schleife können Sie mehrere konfokale Ellipsen erstellen. Versuchen Sie mit Satz 1 zu erklären, dass die resultierenden Linien tatsächlich Ellipsen sind, und erklären Sie, wie Sie, wenn Sie den Abstand zwischen den Knöpfen und die Länge des Fadens kennen, die Halbachsen der Ellipse berechnen können.

In kartesischen Koordinaten definiert eine Gleichung ersten Grades eine bestimmte Gerade.

Linien, die durch eine Gleichung ersten Grades in kartesischen Koordinaten bestimmt werden, werden Linien erster Ordnung genannt. Folglich ist jede Gerade eine Gerade erster Ordnung.

Allgemeine Geradengleichung(als allgemeine Gleichung ersten Grades) wird durch eine Gleichung der Form bestimmt:

Oh + Wu + MIT = 0.

Betrachten wir unvollständige Gleichungen einer Geraden.

1. MIT= 0. Die Geradengleichung hat die Form: Ah + Wu = 0; die Gerade geht durch den Ursprung.

2. IN = 0 (A Nr. 0). Die Gleichung lautet Oh + MIT= 0 oder X =A, Wo A= Die Gerade geht durch den Punkt A(A; 0) ist es parallel zur Achse OU. Nummer A Oh(Abb. 1).

Reis. 1

Wenn A= 0, dann fällt die Gerade mit der Achse zusammen OU. Die Gleichung der Ordinatenachse Oy hat die Form: X = 0.

3. A = 0 (IN Nr. 0). Die Gleichung sieht so aus: Wu + MIT= 0 oder bei = B, Wo B= . Eine Gerade geht durch einen Punkt IN(0; B), es ist parallel zur Achse Oh. Nummer B ist der Wert des Segments, das die gerade Linie auf der Achse schneidet OU(Abb. 2).

Reis. 2

Wenn b = 0, dann fällt die Gerade mit der x-Achse Ox zusammen. Die Gleichung der x-Achse Ox hat die Form: y = 0.

Gleichung einer Geraden in Segmenten auf Achsen wird durch die Gleichung bestimmt:

Wo sind die Zahlen? A Und B sind die Werte der durch eine Gerade auf den Koordinatenachsen abgeschnittenen Segmente (Abb. 3).

(X 0 ;bei 0)senkrecht zum Normalenvektor = {A; B), wird durch die Formel bestimmt:

A(X – X 0) + IN(bei – bei 0) = 0.

Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt M verläuft(X 0 ; bei 0) parallel zum Richtungsvektor = {l; M), hat die Form:

Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte M verläuft 1 (X 1 ; bei 1) und M 2 (X 2 ; bei 2) wird durch die Gleichung bestimmt:

Die Steigung der Geraden k wird Tangens des Neigungswinkels der Geraden zur Achse genannt Oh, die von der positiven Richtung der Achse zur Geraden gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird, k= tgα.

Gleichung einer Geraden mit Steigung k hat die Form:

y = khx + B,

Wo k= tgα, B– die Größe des Segments, das durch eine gerade Linie auf der Achse abgeschnitten wird OU(Abb. 4).

Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt M verläuft(X 0 ;bei 0)in diese Richtung(Neigung k bekannt), bestimmt durch die Formel:

j - j 0 = k(X –X 0).

Gleichung eines Linienbündels, das durch einen gegebenen Punkt M verläuft(X 0 ;bei 0) (Steigung k unbekannt), bestimmt durch die Formel:

j - j 0 = k(X –X 0).

Gleichung eines Linienbündels, das durch den Schnittpunkt der Linien verläuft

A 1 X + IN 1 bei + MIT 1 = 0 und A 2 X + IN 2 bei + MIT 2 = 0, bestimmt durch die Formel:

α( A 1 X + IN 1 bei + MIT 1) + β( A 2 X + IN 2 bei + MIT 2) = 0.

Ecke j, gezählt gegen den Uhrzeigersinn von der Geraden y = k 1 X + B 1 zur Geraden y = k 2 X + B 2, wird durch die Formel (Abb. 5) bestimmt:

Für durch allgemeine Gleichungen gegebene Geraden A 1 X + IN 1 bei + MIT 1 = 0 und A 2 X + IN 2 bei + MIT 2 = 0, der Winkel zwischen zwei Geraden wird durch die Formel bestimmt:

Die Bedingung für die Parallelität zweier Geraden hat die Form: k 1 = k 2 oder .

Die Bedingung dafür, dass zwei Geraden senkrecht zueinander stehen, hat die Form: oder A 1 A 2 + IN 1 IN 2 = 0.

Die Normalgleichung einer Geraden hat die Form:

X cosα + j sinα – P = 0,

Wo P - die Länge der Senkrechten, die vom Ursprung zur Geraden fällt, α ist der Neigungswinkel der Senkrechten zur positiven Richtung der Achse Oh(Abb. 6).

Geben Sie die allgemeine Gleichung einer Geraden an Oh + Wu + MIT= 0 zur Normalform, Sie müssen alle Terme mit multiplizieren Normalisierungsfaktor μ= , genommen mit dem Vorzeichen, das dem Vorzeichen des freien Termes entgegengesetzt ist MIT.

Abstand vom Punkt M(X 0 ;bei 0)zu gerade Ah + Wu + MIT= 0 wird durch die Formel bestimmt:

Gleichungen der Winkelhalbierenden zwischen Geraden A 1 X + IN 1 bei + MIT 1 = 0 und A 2 X + IN 2 bei + MIT 2 = 0 sieht aus wie:

Beispiel 4. Gegeben sind die Eckpunkte eines Dreiecks ABC: A (–5; –7), IN (7; 2), MIT(–6; 8). Finden Sie: 1) Seitenlänge AB; 2) Gleichungen der Seiten AB Und Wechselstrom und ihre Winkelkoeffizienten; 3) Innenecke IN; 4) Mediangleichung AE; 5) Gleichung und Höhenlänge CD; 6) Winkelhalbierendegleichung AK; 7) Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt verläuft E parallel zur Seite AB; 8) Punktkoordinaten M, symmetrisch zum Punkt gelegen A relativ gerade CD.

1. Entfernung D zwischen zwei Punkten A(X 1 ; bei 1) und IN(X 2 ; bei 2) bestimmt durch die Formel:

Finden Sie die Länge der Seite AB als Abstand zwischen zwei Punkten A(–7; –8) und IN(8; –3):

2. Gleichung einer Geraden, die durch Punkte verläuft A(X 1 ; bei 1) und IN(X 2 ;j 2) hat die Form:

Ersetzen der Koordinaten der Punkte A Und IN, erhalten wir die Seitengleichung AB:

3(X+ 5) = 4(bei+ 7); 3X– 4bei– 13 = 0 (AB).

Den Hang finden k AB gerade ( AB) lösen wir die resultierende Gleichung nach bei:

4j= 3X– 13;

– Gleichung der Geraden ( AB)mit Steigung,

Ebenso das Ersetzen der Koordinaten der Punkte IN Und MIT, wir erhalten die Gleichung der Geraden ( Sonne):

6X– 42 = –13bei+ 26; 6x+ 13j– 68 = 0 (B.C.).

Lösen wir die Gleichung der Geraden ( Sonne)verhältnismäßig bei: .

3. Tangente des Winkels j zwischen zwei Geraden, deren Winkelkoeffizienten gleich sind k 1 und k 2, wird durch die Formel bestimmt:

Innenecke IN gebildet durch gerade Linien ( AB) Und ( Sonne), und das ist ein spitzer Winkel, um den die Gerade gedreht werden muss Sonne in positiver Richtung (gegen den Uhrzeigersinn), bis es mit der Geraden ( AB). Deshalb ersetzen wir es in die Formel k 1 = , k 2 = :

Ð IN= arctg = arctg 1,575 » 57,59°.

4. Um die Mediangleichung zu finden ( AE) bestimmen wir zunächst die Koordinaten des Punktes E, Das ist der Mittelpunkt der Seite Sonne. Dazu wenden wir die Formeln zur Aufteilung eines Segments in zwei gleiche Teile an:

Daher der Punkt E hat Koordinaten: E(0,5; 5).

Einsetzen der Koordinaten der Punkte in die Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei Punkte verläuft A Und E, finden wir die Mediangleichung ( AE):

24X – 11bei + 43 = 0 (AE).

5. Da die Höhe CD senkrecht zur Seite AB, dann ist die Gerade ( AB)senkrecht zur Geraden ( CD). Um die Steigung der Höhe zu ermitteln CD, Verwenden wir die Bedingung der Rechtwinkligkeit zweier Geraden:

Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft M(X 0 ; bei 0) in eine bestimmte Richtung (Steigung). k bekannt), hat die Form:

j – j 0 = k (x – x 0).

Einsetzen der Koordinaten des Punktes in die letzte Gleichung MIT(–6; 8) und erhalten wir die Höhengleichung CD:

bei – 8 = (X -(–6)), 3bei – 24 = – 4X– 24, 4X + 3bei = 0 (CD).

Abstand vom Punkt M(X 0 ; bei 0) zur Geraden Аx + By+C = 0 wird durch die Formel bestimmt:

Höhe Länge CD Finden Sie es als Abstand vom Punkt MIT(–6; 8) zur Geraden ( AB): 3X – 4bei– 13. Durch Einsetzen der erforderlichen Größen in die Formel ermitteln wir die Länge CD:

6. Gleichungen der Winkelhalbierenden zwischen Geraden Axt + By + C= 0 und
A 1 x+B 1 j + C 1 = 0 werden durch die Formel bestimmt:

Winkelhalbierende Gleichung AK Wir finden eine der Gleichungen für die Winkelhalbierenden zwischen Geraden ( AB)Und ( Wechselstrom).

Erstellen wir eine Gleichung der Geraden ( Wechselstrom) als Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft A(–5; –7) und MIT (–6; 8):

Lassen Sie uns die letzte Gleichung umwandeln:

15(X+ 5) = – (bei+ 7); 15x + y + 82 = 0 (Wechselstrom).

Ersetzen der Koeffizienten von allgemeine Gleichungen gerade ( AB)Und ( Wechselstrom) erhalten wir die Gleichungen der Winkelhalbierenden:

Lassen Sie uns die letzte Gleichung umwandeln:

; (3X – 4bei– 13) = ± 5 (15 x + y + 82);

3 X - 4 bei– 13 = ± (75 X +5bei + 410).

Betrachten wir zwei Fälle:

1) 3 X - 4 bei – 13 = 75X +5bei+ 410,у l АВ .

Dreieck ABC, Höhe CD, Median AE, Winkelhalbierende AK, gerade l und Punkt M im Koordinatensystem konstruiert Ohoo(Abb. 7).