Konvergenzbereich Eine Funktionsreihe ist eine Reihe, deren Mitglieder Funktionen / sind, die auf einer bestimmten Menge E der reellen Achse definiert sind. Zum Beispiel sind die Terme einer Reihe auf einem Intervall definiert und die Terme einer Reihe auf einem Segment. Die funktionale Reihe (1) konvergiert am Punkt Xo € E, wenn die FUNKTIONELLEN REIHEN an jedem Punkt x konvergieren der Menge D ⊂ E und divergiert an jedem Punkt, der nicht zur Menge D gehört, dann heißt die Reihe gegen die Menge D konvergieren, und D heißt Konvergenzbereich der Reihe. Eine Reihe (1) heißt absolut konvergent auf einer Menge D, wenn die Reihe auf dieser Menge konvergiert.Im Fall der Konvergenz von Reihe (1) auf einer Menge D ist ihre Summe S eine auf D definierte Funktion Die Konvergenz einiger Funktionsreihen kann unter Verwendung bekannter ausreichender Kriterien gefunden werden, die für Reihen mit positiven Mitgliedern festgelegt wurden, z. B. Dapamber-Zeichen, Cauchy-Zeichen. Beispiel 1. Finden Sie den Konvergenzbereich der Reihe M Da die numerische Reihe für p > 1 konvergiert und für p > 1 divergiert, erhalten wir unter der Annahme von p - Igx diese Reihe. die für Igx > T konvergieren, d.h. wenn x > 10, und divergieren wenn Igx ^ 1, d.h. bei 0< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х >0 divergiert die Reihe, da L =. Die Divergenz der Reihe bei x = 0 ist offensichtlich. Beispiel 3. Finden Sie den Konvergenzbereich der Reihe. Die Terme dieser Reihe sind auf der Menge definiert und stetig. Anwenden des Zeichens Kosh und finden wir für alle. Daher divergiert die Reihe für alle Werte von x. Bezeichne mit Sn(x) die n-te Partialsumme der Funktionsreihe (1). Wenn diese Reihe gegen die Menge D konvergiert und ihre Summe gleich 5(g) ist, dann kann sie dargestellt werden als wobei die Summe der Reihen ist, die gegen die aufgerufene Menge D konvergieren n-ter Rest Funktionsreihe (1). Für alle Werte von x € D gilt die Beziehung und daher. d.h. der Rest Rn(x) der konvergenten Reihe geht als n oo gegen Null, was auch immer x 6 D ist. Gleichmäßige Konvergenz Unter allen konvergenten Reihen von Funktionen spielen die sogenannten gleichmäßig konvergenten Reihen eine wichtige Rolle. Gegeben sei eine auf der Menge D konvergierende Funktionsreihe, deren Summe gleich S(x) ist. Nimm seine n-te Partialsumme Definition. Funktionsreihe FUNKTIONSREIHE Konvergenzgebiet Gleichmäßige Konvergenz Weierstrass-Test Die Eigenschaft gleichmäßig konvergenter Funktionsreihen heißt gleichmäßig konvergent auf der Menge PS1), wenn es für jede Zahl ε > 0 eine Zahl λ > 0 gibt, so dass die Ungleichung x aus der Menge fI. Kommentar. Hier ist die Zahl N für alle x ∈ 10 gleich, d.h. hängt nicht von z ab, sondern von der Wahl der Zahl e, also schreiben wir N = N(e). Die gleichmäßige Konvergenz der Funktionsreihe £ /n(®) zur Funktion S(x) auf der Menge ft wird oft wie folgt bezeichnet: Funktionsreihe. Nehmen wir das Segment [a, 6] als Menge ft und zeichnen wir die Graphen der Funktionen. Die Ungleichung |, die für Zahlen n > N und für alle a gilt; G [a, b] und y = 5(g) + e (Abb. 1). Beispiel 1 konvergiert gleichmäßig auf der Strecke Diese Reihe ist alternierend, erfüllt die Bedingungen des Leibniz-Tests für jedes x € [-1,1] und konvergiert daher auf der Strecke (-1,1) Sei S(x). seine Summe und Sn (x) - sein n-ter Teil Summe. Der Rest der Reihe überschreitet im Absolutwert nicht den Absolutwert seines ersten Terms: und da nehmen wir irgendein e. Dann ist die Ungleichung | wird ausgeführt, wenn. Von hier aus finden wir, dass n > \. Wenn wir eine Zahl nehmen (hier bezeichnet [a] die größte ganze Zahl, die a nicht überschreitet), dann ist die Ungleichung | e gilt für alle Zahlen n > N und für alle x € [-1,1). Das bedeutet, dass diese Reihe gleichmäßig auf der Strecke [-1,1) konvergiert. I. Nicht jede Funktionsreihe, die auf der Menge D konvergiert, konvergiert gleichmäßig auf Beispiel 2. Zeigen wir, dass die Reihe auf dem Intervall konvergiert, aber nicht gleichmäßig. 4 Berechnen wir die n-te Partialsumme £n(*) der Reihe. Wir haben Von wo Diese Reihe konvergiert auf dem Segment und seiner Summe, wenn der Absolutwert der Differenz S (x) - 5„ (x) (der Rest der Reihe) gleich ist. Nehmen wir eine solche Zahl e. Lösen wir die Ungleichung nach n. Wir haben, woher (weil und beim Teilen durch Inx das Ungleichheitszeichen umgekehrt wird). Die Ungleichung gilt für . Also eine solche Zahl N(e), die nicht von x abhängt, so dass die Ungleichung für jedes) sofort für alle x aus dem Segment gilt. , existiert nicht. Ersetzt man aber das Segment 0 durch ein kleineres Segment wo, so konvergiert diese Reihe auf letzterem gleichmäßig gegen die Funktion S0. Allerdings für und damit für alle x auf einmal §3. Das Weierstrass-Kriterium Ein hinreichendes Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionsreihe ist der Satz von Weierstraß. Satz 1 (Weierstraß-Test). Für alle x aus der Menge Q seien die Glieder der Funktionsreihe betragsmäßig nicht größer als die entsprechenden Glieder der konvergenten Zahlenreihe П=1 mit positiven Termen, d. h. für alle x € Q. Dann ist die Funktionsreihe ( 1) auf der Menge П konvergiert absolut und gleichmäßig . Und Tek, da gemäß der Bedingung des Satzes die Terme der Reihe (1) die Bedingung (3) auf der gesamten Menge Q erfüllen, dann konvergiert die Reihe 2 \fn(x)\ nach dem Vergleichskriterium für jedes x ∈ H, und folglich konvergiert die Reihe (1) absolut gegen P. Beweisen wir die gleichmäßige Konvergenz der Reihe (1). Seien mit Sn(x) und an die Partialsummen der Reihen (1) bzw. (2) bezeichnet. Es gilt: Nimm eine beliebige (beliebig kleine) Zahl e > 0. Dann impliziert die Konvergenz der Zahlenreihe (2) die Existenz einer Zahl N = N(e), sodass folglich -e für alle Zahlen n > N(e) gilt ) und für alle x6n , d.h. Reihe (1) konvergiert gleichmäßig auf der Menge P. Bemerkung. Die Zahlenreihe (2) wird oft als Majorisierung oder Majorant für die Funktionsreihe (1) bezeichnet. Beispiel 1. Untersuchen Sie die Reihe auf gleichmäßige Konvergenz. Die Ungleichung gilt für alle. und für alle. Die Zahlenreihe konvergiert. Aufgrund des Weierstraß-Tests konvergiert die betrachtete Funktionsreihe absolut und gleichmäßig auf der gesamten Achse. Beispiel 2. Untersuche eine Reihe auf gleichmäßige Konvergenz Die Terme der Reihe sind definiert und stetig auf dem Segment [-2,2|. Da auf dem Segment [-2,2) für jedes natürliche n, dann gilt also die Ungleichung für. Da die Zahlenreihe konvergiert, konvergiert also nach dem Weierstraß-Test die ursprüngliche Funktionsreihe absolut und gleichmäßig auf der Strecke. Kommentar. Die Funktionsreihe (1) kann gleichmäßig auf die Menge Piv konvergieren, falls es keine numerische Majorantenreihe (2) gibt, d. h. das Weierstraß-Kriterium ist nur ein hinreichendes Kriterium für gleichmäßige Konvergenz, aber nicht notwendig. Beispiel. Wie oben gezeigt (Beispiel), konvergiert die Reihe gleichmäßig auf der Strecke 1-1,1]. Dafür gibt es aber keine majorante konvergente Zahlenreihe (2). Tatsächlich gilt für alle natürlichen Zahlen n und für alle x ∈ [-1,1) die Ungleichung, und Gleichheit ist erreicht bei. Daher müssen die Terme der gewünschten Majorantenreihe (2) unbedingt die Bedingung erfüllen, aber die numerische Reihe FUNKTIONELLE REIHEN Konvergenzbereich Gleichmäßige Konvergenz Weierstraß-Test Die Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Funktionsreihen divergieren. Das bedeutet, dass auch die Reihe £ op divergiert. Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Funktionsreihen Gleichmäßig konvergente Funktionsreihen haben eine Reihe wichtiger Eigenschaften. Satz 2. Wenn alle Terme einer Reihe, die gleichmäßig auf das Intervall [a, b] konvergieren, mit derselben Funktion g(x) multipliziert werden, die auf [a, 6] beschränkt ist, dann konvergiert die resultierende Funktionsreihe gleichmäßig auf. Die Reihe £ fn(x) konvergiere gleichmäßig gegen die Funktion S(x) auf dem Intervall [a, b\], und die Funktion g(x) sei beschränkt, d. h. es gibt eine Konstante C > 0 mit By die Definition der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe für jede Zahl e > 0 gibt es eine Zahl N, so dass für alle n > N und für alle x ∈ [a, b] die Ungleichung gilt, wobei 5n(ar) eine Teilsumme ist der betrachteten Serie. Daher haben wir für jeden etwas dabei. die Reihe konvergiert gleichmäßig auf [a, b| zu einer Funktion Satz 3. Alle Terme fn(x) einer Funktionsreihe seien stetig und die Reihe konvergiere gleichmäßig auf der Strecke [a, b\. Dann ist die Summe S(x) der Reihe auf diesem Intervall stetig. M Nehmen wir auf dem Intervall [o, b] zwei beliebige Punkte zr + Ax an. Da diese Reihe gleichmäßig auf dem Intervall [a, b] konvergiert, gibt es für jede Zahl e > 0 eine Zahl N = N(e), sodass für alle n > N die Ungleichungen gelten, wobei 5n(x) Teilsummen von sind die Reihe fn (x). Diese Partialsummen Sn(x) sind auf dem Intervall [a, 6] stetig als Summe einer endlichen Anzahl von Funktionen fn(x), die auf [a, 6] stetig sind. Daher gibt es für eine feste Zahl no > N(e) und eine gegebene Zahl e eine Zahl 6 = 6(e) > 0, sodass die Ungleichung Ax gilt, die die Bedingung | erfüllt. x) kann wie folgt dargestellt werden: woher. Unter Berücksichtigung der Ungleichungen (1) und (2) erhalten wir für Inkremente Ax, die die Bedingung | erfüllen, Dies bedeutet, dass die Summe Sechs) im Punkt x stetig ist. Da x ein beliebiger Punkt der Strecke [a, 6] ist, folgt, dass 5(x) stetig auf |a, 6| ist. Kommentar. Eine Funktionsreihe, deren Glieder auf dem Intervall [a, 6] stetig sind, die aber auf (a, 6] ungleichmäßig konvergiert, kann als Summe eine unstetige Funktion haben. Beispiel 1. Betrachten Sie eine Funktionsreihe auf dem Intervall |0,1 ). Lassen Sie uns seine n-te Partialsumme berechnen. Daher ist sie auf dem Segment diskontinuierlich, obwohl die Mitglieder der Reihe darauf stetig sind. Aufgrund des bewiesenen Satzes ist diese Reihe auf dem Intervall nicht gleichmäßig konvergent. Beispiel 2. Betrachten Sie eine Reihe Wie oben gezeigt konvergiert diese Reihe bei, wird die Reihe gemäß dem Weierstraß-Kriterium gleichmäßig konvergieren, da 1 und die numerische Reihe konvergieren. Daher ist für jedes x > 1 die Summe dieser Reihe stetig. Kommentar. Die Funktion heißt Riemann-Funktion (diese Funktion spielt eine große Rolle in der Zahlentheorie). Satz 4 (über gliedweise Integration einer Funktionsreihe). Alle Terme fn(x) der Reihe seien stetig, und die Reihe konvergiere gleichmäßig auf der Strecke [a, b] gegen die Funktion S(x). Dann gilt die Gleichheit: Wegen der Stetigkeit der Funktionen fn(x) und der gleichmäßigen Konvergenz der gegebenen Reihe auf dem Intervall [a, 6] ist ihre Summe 5(x) stetig und damit integrierbar auf . Betrachten Sie den Unterschied. Aus der gleichmäßigen Konvergenz der Reihen auf [o, b] folgt, dass es für jedes e > 0 eine Zahl N(e) > 0 gibt, sodass für alle Zahlen n > N(e) und für alle x € gilt [a, 6] gilt die Ungleichung Wenn die Reihe fn(0 nicht gleichmäßig konvergent ist, dann kann sie im Allgemeinen nicht gliedweise integriert werden, d.h. Satz 5 (über gliedweise Differenzierung der Funktionsreihe) Wenn alle Terme der konvergenten Reihe 00 stetige Ableitungen haben und die aus diesen Ableitungen zusammengesetzte Reihe gleichmäßig auf dem Intervall [a, b] konvergiert, dann gilt an jedem Punkt die Gleichheit, d.h. die gegebene Reihe kann differenziert werden Term für Term. M Nehmen wir zwei beliebige Punkte, dann gilt aufgrund von Theorem 4: Die Funktion o-(x) ist als Summe einer gleichmäßig konvergenten Reihe stetiger Funktionen stetig

- vielleicht wird der Komplex nicht so kompliziert ;) Und der Titel dieses Artikels ist auch listig - die Serien, die heute besprochen werden, sind eher nicht komplex, sondern "seltene Erden". Dagegen sind aber auch Teilzeitstudierende nicht gefeit, weshalb diese scheinbare Zusatzlektion sehr ernst genommen werden sollte. Schließlich können Sie nach dem Durcharbeiten mit fast jedem "Biest" fertig werden!

Beginnen wir mit den Klassikern des Genres:

Beispiel 1

Beachten Sie zunächst, dass dies KEINE Potenzreihe ist (Ich erinnere Sie daran, dass es die Form hat). Und zweitens fällt hier sofort der Wert auf, der offensichtlich nicht in den Konvergenzbereich der Reihe gelangen kann. Und das ist schon ein kleiner Erfolg der Studie!

Aber dennoch, wie kann man große Erfolge erzielen? Ich beeile mich, Ihnen zu gefallen - solche Serien können auf die gleiche Weise gelöst werden wie Energie– unter Berufung auf das d'Alembertsche Zeichen oder das Cauchysche Radikalzeichen!

Lösung: Der Wert liegt nicht im Konvergenzbereich der Reihe. Dies ist eine wichtige Tatsache, und es muss beachtet werden!

Die Basis des Algorithmus funktioniert standardmäßig. Unter Verwendung des d'Alembert-Tests finden wir das Konvergenzintervall der Reihe:

Die Reihe konvergiert bei . Lassen Sie uns das Modul nach oben verschieben:

Lassen Sie uns sofort den "schlechten" Punkt überprüfen: Der Wert trat nicht in den Konvergenzbereich der Reihe ein.

Wir untersuchen die Konvergenz der Reihen an den „inneren“ Enden der Intervalle:
wenn, dann
wenn, dann

Beide Zahlenreihen divergieren, da sie nicht erfüllt ist notwendige Zeichen der Konvergenz.

Antworten: Konvergenzbereich:

Machen wir eine kleine Analyse. Lassen Sie uns einen Wert aus dem richtigen Intervall in die Funktionsreihe einsetzen, zum Beispiel:
- konvergiert auf d'Alemberts Zeichen.

Beim Ersetzen von Werten aus dem linken Intervall werden auch konvergente Reihen erhalten:
wenn, dann .

Und schließlich, wenn , dann die Serie - wirklich divergiert.

Ein paar einfache Beispiele zum Aufwärmen:

Beispiel 2

Finden Sie den Konvergenzbereich einer Funktionsreihe

Beispiel 3

Finden Sie den Konvergenzbereich einer Funktionsreihe

Seien Sie besonders gut mit "neu" Modul- er wird sich heute 100500 Mal treffen!

Kurze Lösungen und Antworten am Ende der Lektion.

Die verwendeten Algorithmen scheinen universell und ausfallsicher zu sein, sind es aber nicht – bei vielen Funktionsreihen „verrutschen“ sie oft oder führen sogar zu Fehlschlüssen (und ich werde auch solche Beispiele berücksichtigen).

Die Rauheit beginnt bereits auf der Ebene der Interpretation der Ergebnisse: Betrachten Sie beispielsweise die Reihe . Hier, in der Grenze, bekommen wir (überprüfen Sie es selbst), und theoretisch muss die Antwort gegeben werden, dass die Reihe an einem einzigen Punkt konvergiert. Allerdings wird der Punkt "überspielt", was dazu führt, dass unser "Patient" überall auseinander geht!

Und für die Reihe bringt die „offensichtliche“ Lösung „nach Cauchy“ gar nichts:
- für einen beliebigen Wert von "x".

Und es stellt sich die Frage, was tun? Wir verwenden die Methode, der der Hauptteil der Lektion gewidmet sein wird! Es kann wie folgt formuliert werden:

Direkte Analyse von Zahlenreihen für verschiedene Werte

Tatsächlich haben wir bereits in Beispiel 1 damit begonnen. Zunächst untersuchen wir ein bestimmtes „x“ und die entsprechende Zahlenreihe. Es bittet darum, den Wert zu nehmen:
- die resultierende Zahlenreihe divergiert.

Und das legt sofort den Gedanken nahe: Was ist, wenn das Gleiche an anderen Stellen passiert?
Lass uns das Prüfen ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz der Reihe zum willkürlich Werte:

Punkt oben betrachtet für alle anderen "x" Wir organisieren nach Standardempfang zweite wunderbare Grenze:

Fazit: Die Reihe divergiert auf dem gesamten Zahlenstrahl

Und diese Lösung ist die am besten funktionierende Option!

In der Praxis muss oft mit der Funktionsreihe verglichen werden verallgemeinerte harmonische Reihe :

Beispiel 4

Lösung: Zunächst einmal beschäftigen wir uns mit Definitionsbereich: In diesem Fall muss der Wurzelausdruck streng positiv sein, und außerdem müssen alle Mitglieder der Reihe beginnend mit dem 1. vorhanden sein. Daraus folgt:
. Mit diesen Werten erhält man bedingt konvergente Reihen:
usw.

Andere "x" sind nicht geeignet, also zum Beispiel wenn wir einen illegalen Fall bekommen, wo die ersten beiden Mitglieder der Serie nicht existieren.

Das ist alles gut, das ist alles klar, aber es gibt noch eine wichtige Frage: Wie kann man kompetent eine Entscheidung treffen? Ich schlage ein Schema vor, das als "Übertragen von Pfeilen" auf Zahlenreihen bezeichnet werden kann:

In Betracht ziehen willkürlich Bedeutung und untersuchen Sie die Konvergenz der Zahlenreihe . Routine Zeichen von Leibniz:

1) Diese Serie ist alternierend.

2) – Die Terme der Reihe nehmen modulo ab. Jeder nächste Term der Reihe hat einen geringeren absoluten Wert als der vorherige: , die Abnahme ist also monoton.

Fazit: Die Reihe konvergiert nach dem Leibniz-Test. Wie bereits erwähnt, ist die Konvergenz hier bedingt - aus dem Grund, dass die Reihe - weicht ab.

Hier ist es also - ordentlich und richtig! Denn hinter dem „Alpha“ haben wir geschickt alle gültigen Zahlenreihen versteckt.

Antworten: die Funktionsreihe existiert und konvergiert bedingt für .

Ein ähnliches Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 5

Untersuchen Sie die Konvergenz einer Funktionsreihe

Ein Beispiel für eine Abschlussaufgabe am Ende der Lektion.

Hier ist Ihre „Arbeitshypothese“! – die Funktionsreihe konvergiert auf dem Intervall!

2) Alles ist transparent mit einem symmetrischen Intervall, betrachten wir willkürlich Werte und wir erhalten: – absolut konvergente Zahlenreihe.

3) Und schließlich die "Mitte". Auch hier ist es zweckmäßig, zwei Intervalle zu unterscheiden.

Wir überlegen willkürlich Wert aus dem Intervall und erhalten eine Zahlenreihe:

! Nochmals, wenn es schwer ist , ersetzen Sie eine bestimmte Zahl, zum Beispiel . Allerdings ... du wolltest Schwierigkeiten =)

Für alle Werte von "en" , meint:
- also durch Zeichen des Vergleichs die Reihe konvergiert zusammen mit einer unendlich abnehmenden Progression.

Für alle Werte von "x" aus dem Intervall erhalten wir sind absolut konvergente Reihen.

Alle X's wurden erforscht, X's gibt es nicht mehr!

Antworten: Konvergenzbereich der Reihe:

Muss sagen, unerwartetes Ergebnis! Und es sollte auch hinzugefügt werden, dass die Verwendung von Zeichen von d'Alembert oder Cauchy hier definitiv irreführend ist!

Die direkte Auswertung ist der "höchste Kunstflug" der mathematischen Analyse, aber das erfordert natürlich Erfahrung und irgendwo sogar Intuition.

Oder findet vielleicht jemand einen einfacheren Weg? Schreiben! Übrigens gibt es Präzedenzfälle - mehrmals haben Leser rationalere Lösungen vorgeschlagen, und ich habe sie gerne veröffentlicht.

Viel Glück bei der Landung :)

Beispiel 11

Finden Sie den Konvergenzbereich einer Funktionsreihe

Meine Version der Lösung ist sehr nah.

Weitere Hardcore finden Sie unter Abschnitt VI (Zeilen) Sammlung von Kusnezow (Aufgaben 11-13). Im Internet gibt es fertige Lösungen, aber hier brauche ich Sie warnen- Viele von ihnen sind unvollständig, falsch und sogar fehlerhaft. Übrigens war dies einer der Gründe, warum dieser Artikel geboren wurde.

Lassen Sie uns die drei Lektionen zusammenfassen und unsere Tools systematisieren. So:

Um das/die Konvergenzintervall(e) einer Funktionsreihe zu finden, kann man verwenden:

1) d'Alembert-Zeichen oder Cauchy-Zeichen. Und wenn die Reihe nicht ist Energie– Wir zeigen erhöhte Vorsicht bei der Analyse des Ergebnisses, das durch direkte Substitution verschiedener Werte erhalten wird.

2) Gleichmäßiges Weierstraß-Konvergenzkriterium. Lass es uns nicht vergessen!

3) Vergleich mit typischen Zahlenreihen- Laufwerke im allgemeinen Fall.

Wonach Untersuchen Sie die Enden der gefundenen Intervalle (wenn benötigt) und wir erhalten den Konvergenzbereich der Reihe.

Jetzt steht Ihnen ein ziemlich ernstes Arsenal zur Verfügung, mit dem Sie fast jede thematische Aufgabe bewältigen können.

Wünsche dir Erfolg!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2: Lösung: Der Wert liegt nicht im Konvergenzbereich der Reihe.
Wir verwenden den d'Alembert-Test:


Die Reihe konvergiert bei:

Somit sind die Konvergenzintervalle der Funktionsreihe: .
Wir untersuchen die Konvergenz der Reihe an den Endpunkten:
wenn, dann ;
wenn, dann .
Beide Zahlenreihen divergieren, weil. das notwendige Konvergenzkriterium nicht erfüllt ist.

Antworten : Konvergenzbereich:

funktionale Reihen. Power-Reihe.
Konvergenzbereich der Reihe

Gelächter ohne Grund ist ein Zeichen von d'Alembert

Die Stunde der Funktionsstreitigkeiten hat also geschlagen. Um das Thema und insbesondere diese Lektion erfolgreich zu meistern, müssen Sie sich mit den üblichen Zahlenreihen auskennen. Sie sollten ein gutes Verständnis dafür haben, was eine Reihe ist, und in der Lage sein, die Zeichen des Vergleichs anzuwenden, um die Reihe auf Konvergenz zu untersuchen. Wenn Sie also gerade erst begonnen haben, sich mit dem Thema zu befassen, oder eine Teekanne in der höheren Mathematik sind, notwendig drei Lektionen nacheinander durcharbeiten: Reihen für Teekannen,Zeichen von d'Alembert. Zeichen von Cauchy und Abwechselnde Reihen. Leibniz-Zeichen. Auf jeden Fall alle drei! Wenn Sie über Grundkenntnisse und Fähigkeiten im Lösen von Problemen mit Zahlenreihen verfügen, wird es recht einfach sein, mit funktionalen Reihen umzugehen, da es nicht sehr viel neues Material gibt.

In dieser Lektion werden wir das Konzept einer Funktionsreihe betrachten (was es im Allgemeinen ist), uns mit Potenzreihen vertraut machen, die in 90 % der praktischen Aufgaben vorkommen, und lernen, wie man ein häufiges typisches Problem löst, nämlich den Radius von zu finden Konvergenz, das Konvergenzintervall und die Konvergenzregion Power-Reihe. Weiterhin empfehle ich, das Material weiter zu prüfen Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen, und ein Krankenwagen wird dem Anfänger zur Verfügung gestellt. Nach einer kleinen Pause geht es weiter zum nächsten Level:

Auch im Bereich der Funktionsserien gibt es deren zahlreiche Anwendungen für Näherungsrechnungen, und Fourierreihen, denen in der Regel in der pädagogischen Literatur ein eigenes Kapitel zugeordnet wird, gehen etwas auseinander. Ich habe nur einen Artikel, aber der ist lang und viele, viele weitere Beispiele!

Also, die Meilensteine ​​sind gesetzt, los geht's:

Das Konzept der Funktionsreihen und Potenzreihen

Wenn unendlich in der Grenze erreicht wird, dann beendet auch der Lösungsalgorithmus seine Arbeit, und wir geben die endgültige Antwort auf die Aufgabe: „Die Reihe konvergiert bei“ (oder bei beiden“). Siehe Fall Nr. 3 des vorherigen Absatzes.

Wenn es sich in der Grenze herausstellt, ist es nicht Null und nicht Unendlich, dann haben wir den in der Praxis häufigsten Fall Nr. 1 - die Reihe konvergiert in einem bestimmten Intervall.

In diesem Fall liegt die Grenze bei . Wie findet man das Konvergenzintervall einer Reihe? Wir machen eine Ungleichung:

BEI JEDE Aufgabe dieser Art auf der linken Seite sollte die Ungleichung stehen Ergebnis der Grenzberechnung, und auf der rechten Seite der Ungleichung streng Einheit. Ich werde nicht erklären, warum genau diese Ungleichheit und warum es rechts eine gibt. Unterricht trägt praktische Ausrichtung, und es ist schon sehr gut, dass sich die Lehrkräfte nicht an meinen Erzählungen erhängt haben, einige Theoreme wurden klarer.

Die Technik, mit dem Modul zu arbeiten und doppelte Ungleichungen zu lösen, wurde im ersten Jahr des Artikels ausführlich behandelt Funktionsumfang, aber der Einfachheit halber werde ich versuchen, alle Aktionen so detailliert wie möglich zu kommentieren. Wir zeigen die Ungleichung mit dem Modulo Schulregel . In diesem Fall:

Auf halbem Weg zurück.

In der zweiten Stufe ist es notwendig, die Konvergenz der Reihen an den Enden des gefundenen Intervalls zu untersuchen.

Zuerst nehmen wir das linke Ende des Intervalls und setzen es in unsere Potenzreihe ein:

Bei

Es ist eine Zahlenreihe eingegangen, die wir auf Konvergenz untersuchen müssen (eine Aufgabe, die wir bereits aus früheren Lektionen kennen).

1) Die Reihe ist vorzeichenwechselnd.
2) – Die Terme der Reihe nehmen modulo ab. Darüber hinaus ist jeder nächste Term der Reihe im Modul kleiner als der vorherige: , die Abnahme ist also monoton.
Fazit: Die Reihe konvergiert.

Anhand einer Reihe von Modulen finden wir heraus, wie genau:
– konvergiert („Referenz“-Reihe aus der Familie der verallgemeinerten harmonischen Reihen).

Die resultierende Zahlenreihe konvergiert also absolut.

bei - konvergiert.

! Ich erinnere mich dass jede konvergente positive Reihe auch absolut konvergent ist.

Somit konvergiert die Potenzreihe absolut an beiden Enden des gefundenen Intervalls.

Antworten: Konvergenzbereich der untersuchten Potenzreihen:

Es hat das Recht auf Leben und eine andere Gestaltung der Antwort: Die Reihe konvergiert wenn

Manchmal ist es im Zustand des Problems erforderlich, den Konvergenzradius anzugeben. Es ist offensichtlich, dass in dem betrachteten Beispiel .

Beispiel 2

Finden Sie den Konvergenzbereich einer Potenzreihe

Lösung: wir finden das Konvergenzintervall der Reihe mit Hilfe Zeichen von d'Alembert (aber nicht nach dem Attribut! - für Funktionsreihen gibt es kein solches Attribut):

Die Reihe konvergiert bei

Links wir müssen weg nur, also multiplizieren wir beide Seiten der Ungleichung mit 3:

– Die Reihe ist vorzeichenwechselnd.
– – Die Terme der Reihe nehmen modulo ab. Jeder nächste Term der Reihe ist im absoluten Wert kleiner als der vorherige: , die Abnahme ist also monoton.

Fazit: Die Reihe konvergiert.

Wir untersuchen es auf das Wesen der Konvergenz:

Vergleichen Sie diese Reihe mit der divergenten Reihe.
Wir verwenden das Grenzzeichen des Vergleichs:

Man erhält eine endliche Zahl ungleich Null, was bedeutet, dass die Reihe zusammen mit der Reihe divergiert.

Die Reihe konvergiert also bedingt.

2) Wann – divergiert (wie bewiesen).

Antworten: Der Konvergenzbereich der untersuchten Potenzreihen: . Für , konvergiert die Reihe bedingt.

Im betrachteten Beispiel ist der Konvergenzbereich der Potenzreihe ein halbes Intervall und an allen Punkten des Intervalls die Potenzreihe konvergiert absolut, und an dem Punkt , wie sich herausstellte, bedingt.

Beispiel 3

Finden Sie das Konvergenzintervall der Potenzreihe und untersuchen Sie seine Konvergenz an den Enden des gefundenen Intervalls

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel.

Betrachten Sie ein paar Beispiele, die selten sind, aber vorkommen.

Beispiel 4

Finden Sie den Konvergenzbereich der Reihe:

Lösung: Unter Verwendung des d'Alembert-Tests finden wir das Konvergenzintervall dieser Reihe:

(1) Bilden Sie das Verhältnis des nächsten Mitglieds der Reihe zum vorherigen.

(2) Werde die vierstöckige Fraktion los.

(3) Würfel und werden gemäß der Rechenregel mit Potenzen unter einem einzigen Grad zusammengefasst. Im Zähler zerlegen wir geschickt den Grad, d.h. so expandieren, dass wir im nächsten Schritt den Bruch um kürzen. Fakultäten werden detailliert beschrieben.

(4) Unter dem Würfel teilen wir den Zähler durch den Nenner Term für Term, was anzeigt, dass . In einem Bruchteil reduzieren wir alles, was reduziert werden kann. Der Multiplikator wird aus dem Grenzzeichen herausgenommen, er kann herausgenommen werden, da nichts drin ist, was von der "dynamischen" Variablen "en" abhängt. Bitte beachten Sie, dass das Modulzeichen nicht gezeichnet wird - aus dem Grund, dass es für jedes "x" nicht negative Werte annimmt.

Im Grenzwert wird Null erhalten, was bedeutet, dass wir die endgültige Antwort geben können:

Antworten: Die Reihe konvergiert bei

Und zunächst schien es, dass dieser Streit mit einer "schrecklichen Füllung" schwer zu lösen sein würde. Null oder Unendlich in der Grenze ist fast ein Geschenk, denn die Lösung wird merklich reduziert!

Beispiel 5

Finden Sie den Konvergenzbereich einer Reihe

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Seien Sie vorsichtig ;-) Die vollständige Lösung ist die Antwort am Ende der Lektion.

Betrachten Sie einige weitere Beispiele, die ein Element der Neuheit in Bezug auf die Verwendung von Techniken enthalten.

Beispiel 6

Finden Sie das Konvergenzintervall der Reihe und untersuchen Sie seine Konvergenz an den Enden des gefundenen Intervalls

Lösung: Der gemeinsame Begriff der Potenzreihe enthält den Faktor , der für die Alternierung sorgt. Der Lösungsalgorithmus bleibt vollständig erhalten, aber beim Kompilieren des Limits ignorieren wir diesen Faktor (schreiben ihn nicht), da das Modul alle „Minuspunkte“ zerstört.

Wir finden das Konvergenzintervall der Reihe mit dem d'Alembert-Test:

Wir bilden die Standardungleichung:
Die Reihe konvergiert bei
Links wir müssen weg nur Modul, also multiplizieren wir beide Seiten der Ungleichung mit 5:

Nun erweitern wir das Modul in bekannter Weise:

In der Mitte der doppelten Ungleichung müssen Sie nur das "x" lassen, subtrahieren Sie zu diesem Zweck 2 von jedem Teil der Ungleichung:

ist das Konvergenzintervall der untersuchten Potenzreihen.

Wir untersuchen die Konvergenz der Reihen an den Enden des gefundenen Intervalls:

1) Setzen Sie den Wert in unsere Potenzreihe ein :

Seien Sie äußerst vorsichtig, der Multiplikator bietet keine Abwechslung für jedes natürliche "en". Wir nehmen das resultierende Minus außerhalb der Reihe und vergessen es, da es (wie jeder Konstantenmultiplikator) die Konvergenz oder Divergenz der Zahlenreihe in keiner Weise beeinflusst.

Beachte nochmal dass wir beim Einsetzen des Wertes in den gemeinsamen Term der Potenzreihe den Faktor reduziert haben. Wenn dies nicht der Fall wäre, würde dies bedeuten, dass wir entweder das Limit falsch berechnet oder das Modul falsch erweitert haben.

Es ist also erforderlich, die Konvergenz der Zahlenreihe zu untersuchen. Hier ist es am einfachsten, das Grenzwertvergleichskriterium zu verwenden und diese Reihe mit einer divergenten harmonischen Reihe zu vergleichen. Aber um ehrlich zu sein, hatte ich das ultimative Zeichen des Vergleichs fürchterlich satt, also bringe ich etwas Abwechslung in die Lösung.

Die Reihe konvergiert also bei

Multiplizieren Sie beide Seiten der Ungleichung mit 9:

Wir ziehen die Wurzel aus beiden Teilen und erinnern uns dabei an den Witz der alten Schule:


Erweiterung des Moduls:

und füge eins zu allen Teilen hinzu:

ist das Konvergenzintervall der untersuchten Potenzreihen.

Wir untersuchen die Konvergenz der Potenzreihen an den Enden des gefundenen Intervalls:

1) Wenn , dann ergibt sich folgende Zahlenreihe:

Der Multiplikator verschwand spurlos, denn für jeden natürlichen Wert von „en“ .

Funktionsumfang wird als formal geschriebener Ausdruck bezeichnet

u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ... , (1)

wo u1 (x), u 2 (x), u 3 (x), ..., u n ( x), ... - Folge von Funktionen aus einer unabhängigen Variablen x.

Eine abgekürzte Schreibweise einer Funktionsreihe mit sigma:.

Beispiele für Funktionsreihen sind :

(2)

(3)

Geben Sie die unabhängige Variable an x irgendein Wert x0 und durch Einsetzen in die Funktionsreihe (1) erhalten wir eine Zahlenreihe

u1 (x 0 ) + u 2 (x 0 ) + u 3 (x 0 ) + ... + u n ( x 0 ) + ...

Wenn die erhaltene Zahlenreihe konvergiert, dann sagt man, dass die Funktionsreihe (1) für konvergiert x = x0 ; wenn es divergiert, was als Reihe (1) bezeichnet wird, divergiert bei x = x0 .

Beispiel 1. Untersuchen Sie die Konvergenz einer Funktionsreihe(2) für Werte x= 1 und x = - 1 .
Lösung. Bei x= 1 erhalten wir eine Zahlenreihe

die nach dem Leibniz-Test konvergiert. Bei x= - 1 erhalten wir eine Zahlenreihe

,

die als Produkt einer divergierenden harmonischen Reihe um – 1 divergiert. Somit konvergiert Reihe (2) bei x= 1 und divergiert bei x = - 1 .

Wenn ein solcher Test für die Konvergenz der Funktionsreihe (1) in Bezug auf alle Werte der unabhängigen Variablen aus dem Definitionsbereich ihrer Mitglieder durchgeführt wird, werden die Punkte dieses Bereichs in zwei Sätze unterteilt: mit Werten x In einem von ihnen genommen, konvergiert die Reihe (1) und in dem anderen divergiert sie.

Die Wertemenge einer unabhängigen Variablen, für die die Funktionsreihe konvergiert, wird als ihre bezeichnet Konvergenzregion .

Beispiel 2. Finden Sie den Konvergenzbereich einer Funktionsreihe

Lösung. Die Glieder der Reihe sind auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert und bilden eine geometrische Folge mit Nenner q= Sünde x. Also konvergiert die Reihe wenn

und divergiert, wenn

(Werte sind nicht möglich). Aber für Werte und für andere Werte x. Daher konvergiert die Reihe für alle Werte x, Neben . Der Bereich seiner Konvergenz ist der gesamte Zahlenstrahl mit Ausnahme dieser Punkte.

Beispiel 3. Finden Sie den Konvergenzbereich einer Funktionsreihe

Lösung. Die Terme der Reihe bilden eine geometrische Folge mit einem Nenner q=ln x. Daher konvergiert die Reihe, wenn , oder , woher . Dies ist der Konvergenzbereich dieser Reihe.

Beispiel 4. Untersuchen Sie die Konvergenz einer Funktionsreihe

Lösung. Nehmen wir einen beliebigen Wert. Mit diesem Wert erhalten wir eine Zahlenreihe

(*)

Finde die Grenze seines gemeinsamen Terms

Folglich divergiert die Reihe (*) für eine willkürlich gewählte, d.h. für jeden Wert x. Der Bereich seiner Konvergenz ist die leere Menge.

Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionsreihe und ihrer Eigenschaften

Kommen wir zum Konzept gleichmäßige Konvergenz der Funktionsreihe . Lassen s(x) ist die Summe dieser Reihe, und sn ( x) - Summe n die ersten Mitglieder dieser Reihe. Funktionsumfang u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ... heißt gleichmäßig konvergent auf dem Intervall [ a, b] , falls für eine beliebig kleine Zahl ε > 0 gibt es eine solche Zahl N, das für alle n ≥ N die Ungleichung wird befriedigt

|s(x) − s n ( x)| < ε

für jeden x aus dem Segment [ a, b] .

Die obige Eigenschaft kann wie folgt geometrisch veranschaulicht werden.

Betrachten Sie den Graphen der Funktion j = s(x) . Um diese Kurve konstruieren wir einen Streifen der Breite 2. ε n, das heißt, wir konstruieren Kurven j = s(x) + ε n und j = s(x) − ε n(Sie sind im Bild unten grün).

Dann für alle ε n Funktionsgraph sn ( x) wird vollständig in dem betrachteten Band liegen. Dasselbe Band enthält Graphen aller nachfolgenden Partialsummen.

Jede konvergente Funktionsreihe, die das oben beschriebene Merkmal nicht aufweist, ist ungleichmäßig konvergent.

Betrachten Sie eine weitere Eigenschaft gleichmäßig konvergenter Funktionsreihen:

die Summe einer Reihe stetiger Funktionen, die in einem Intervall [ a, b] , gibt es eine stetige Funktion auf diesem Segment.

Beispiel 5 Bestimmen Sie, ob die Summe einer Funktionsreihe stetig ist

Lösung. Lassen Sie uns die Summe finden n Die ersten Mitglieder dieser Reihe:

Wenn ein x> 0 dann

,

wenn x < 0 , то

wenn x= 0, dann

Und deswegen .

Unsere Studie hat gezeigt, dass die Summe dieser Reihe eine unstetige Funktion ist. Sein Diagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Weierstraß-Test auf gleichmäßige Konvergenz von Funktionsreihen

Nähern wir uns dem Weierstrass-Kriterium über den Begriff Mehrheiten von Funktionsreihen . Funktionsumfang

u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ...

4.1. Funktionsreihe: Grundbegriffe, Konvergenzbereich

Bestimmung 1. Eine Reihe, deren Mitglieder Funktionen von einem oder sind
Mehrere unabhängige Variablen, die auf einer Menge definiert sind, werden aufgerufen Funktionsumfang.

Stellen Sie sich eine Funktionsreihe vor, deren Mitglieder Funktionen einer unabhängigen Variablen sind X. Die Summe der ersten n Reihenmitglieder ist eine Teilsumme der gegebenen Funktionsreihe. Gemeinsames Mitglied Es gibt eine Funktion von X in einem bestimmten Bereich definiert. Betrachten Sie eine Funktionsreihe an einem Punkt . Wenn die entsprechende Nummernserie konvergiert, d.h. es gibt eine Grenze von Partialsummen dieser Reihe
(wo − die Summe der Zahlenreihe), dann wird der Punkt aufgerufen Konvergenzpunkt Funktionsumfang . Wenn der Zahlenstrahl divergiert, dann wird der Punkt aufgerufen Divergenzpunkt Funktionsreihe.

Bestimmung 2. Konvergenzgebiet Funktionsumfang heißt die Menge aller solcher Werte X, für die die Funktionsreihe konvergiert. Der Konvergenzbereich, bestehend aus allen Konvergenzpunkten, ist bezeichnet . Beachten Sie, dass R.

Die Funktionsreihe konvergiert im Bereich , falls überhaupt es konvergiert als Zahlenreihe, während seine Summe eine Funktion sein wird . Diese sog Begrenzungsfunktion Sequenzen : .

So finden Sie den Konvergenzbereich einer Funktionsreihe ? Sie können ein Zeichen ähnlich dem Zeichen von d'Alembert verwenden. Für eine Zahl komponieren und betrachte die Grenze als fest X:
. Dann ist eine Lösung für die Ungleichheit und Lösen der Gleichung (wir nehmen nur die Lösungen der Gleichung, in
die die entsprechenden Zahlenreihen konvergieren).

Beispiel 1. Finden Sie den Konvergenzbereich der Reihe.

Lösung. Bezeichnen , . Lassen Sie uns den Grenzwert zusammensetzen und berechnen, dann wird der Konvergenzbereich der Reihe durch die Ungleichung bestimmt und Gleichung . Untersuchen wir zusätzlich die Konvergenz der ursprünglichen Reihe an den Stellen, die die Wurzeln der Gleichung sind:

und wenn , , dann erhalten wir eine divergente Reihe ;

b) wenn , , dann die Reihe konvergiert bedingt (durch

Leibniz-Test, Beispiel 1, Vorlesung 3, sek. 3.1).

Also der Konvergenzbereich Reihe sieht so aus: .

4.2. Potenzreihen: Grundbegriffe, Satz von Abel

Betrachten Sie einen Sonderfall einer Funktionsreihe, die sogenannte Power-Reihe , wo
.

Bestimmung 3. Macht als nächstes heißt Funktionsreihe der Form ,

wo − Konstante Zahlen, genannt Reihenkoeffizienten.

Eine Potenzreihe ist ein "unendliches Polynom", das in steigenden Potenzen angeordnet ist . Beliebiger Zahlenstrahl ist
ein Spezialfall einer Potenzreihe für .

Betrachten Sie einen Spezialfall einer Potenzreihe für :
. Finden Sie heraus, welche Art
Konvergenzbereich einer gegebenen Reihe .

Satz 1 (Satz von Abel). 1) Wenn die Potenzreihe konvergiert an einem Punkt , dann konvergiert sie absolut für jeden X, für die die Ungleichung .

2) Wenn die Potenzreihe bei divergiert , dann divergiert es für alle X, wofür .

Nachweisen. 1) Aufgrund der Bedingung konvergiert die Potenzreihe an dem Punkt ,

d.h. die Zahlenreihe konvergiert

(1)

und nach dem notwendigen Konvergenzkriterium geht sein gemeinsamer Term gegen 0, d.h. . Daher gibt es eine Nummer dass alle Mitglieder der Serie auf diese Anzahl limitiert sind:
.

Betrachten Sie jetzt irgendwelche X, wofür , und bilden eine Reihe von Absolutwerten: .
Schreiben wir diese Reihe in einer anderen Form: seit , dann (2).

Von Ungleichheit
wir bekommen, d.h. die Zeile

besteht aus Mitgliedern, die größer sind als die entsprechenden Mitglieder der Reihe (2). Die Zeile ist eine konvergente Reihe einer geometrischen Folge mit einem Nenner , Außerdem , als . Daher konvergiert Reihe (2) für . Also die Potenzreihe konvergiert absolut.

2) Lassen Sie die Reihe weicht ab , mit anderen Worten,

Zahlengerade divergiert . Lassen Sie uns das für jeden beweisen X () divergiert die Reihe. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch. Lassen Sie für einige

Fest ( ) konvergiert die Reihe, dann konvergiert sie für alle (siehe den ersten Teil dieses Theorems), insbesondere für , was der Bedingung 2) von Theorem 1 widerspricht. Der Theorem ist bewiesen.

Folge. Der Satz von Abel ermöglicht es, die Lage des Konvergenzpunktes einer Potenzreihe zu beurteilen. Wenn Punkt ein Konvergenzpunkt der Potenzreihe ist, dann das Intervall gefüllt mit Konvergenzpunkten; wenn der Divergenzpunkt ein Punkt ist , dann
unendliche Intervalle gefüllt mit Divergenzpunkten (Abb. 1).

Reis. 1. Intervalle der Konvergenz und Divergenz der Reihe

Es kann gezeigt werden, dass es eine solche Zahl gibt , das für alle
Power-Reihe konvergiert absolut, und − weicht ab. Wir nehmen an, dass, wenn die Reihe nur in einem Punkt 0 konvergiert, dann , und wenn die Reihe für alle konvergiert , dann .

Bestimmung 4. Konvergenzintervall Power-Reihe dieses Intervall wird aufgerufen , das für alle diese Reihe konvergiert absolut und für alle X außerhalb dieses Intervalls liegend, divergiert die Reihe. Nummer R genannt Radius der Konvergenz Power-Reihe.

Kommentar. Am Ende des Intervalls die Frage der Konvergenz oder Divergenz einer Potenzreihe wird für jede spezifische Reihe separat gelöst.

Lassen Sie uns eine der Methoden zur Bestimmung des Intervalls und des Konvergenzradius einer Potenzreihe zeigen.

Betrachten Sie die Potenzreihe und bezeichnen .

Machen wir eine Reihe absoluter Werte seiner Mitglieder:

und wende den d'Alembert-Test darauf an.

Lass es existieren

.

Nach dem d'Alembert-Test konvergiert die Reihe, wenn , und divergiert, wenn . Von hier aus konvergiert die Reihe bei , dann das Konvergenzintervall: . Bei divergiert die Reihe, weil .
Verwendung der Notation erhalten wir eine Formel zur Bestimmung des Konvergenzradius einer Potenzreihe:

,

wo sind die Koeffizienten der Potenzreihe.

Wenn sich herausstellt, dass die Grenze , dann nehmen wir an .

Zur Bestimmung von Intervall und Konvergenzradius einer Potenzreihe kann man auch das radikale Cauchy-Kriterium verwenden, der Konvergenzradius der Reihe wird aus der Beziehung bestimmt .

Bestimmung 5. Verallgemeinerte Potenzreihe heißt Serie

. Es wird auch Next by Degrees genannt .
Für eine solche Reihe hat das Konvergenzintervall die Form: , wo − Konvergenzradius.

Lassen Sie uns zeigen, wie der Konvergenzradius für eine verallgemeinerte Potenzreihe gefunden wird.

diese. , wo .

Wenn ein , dann , und der Konvergenzbereich R; wenn , dann und Konvergenzgebiet .

Beispiel 2. Finden Sie den Konvergenzbereich einer Reihe .

Lösung. Bezeichnen . Machen wir eine Grenze

Wir lösen die Ungleichung: , , daher das Intervall

Konvergenz hat die Form: , Außerdem R= 5. Zusätzlich untersuchen wir die Enden des Konvergenzintervalls:
a) , , bekommen wir die Serie , die divergiert;
b) , , bekommen wir die Serie , die konvergiert
bedingt. Der Konvergenzbereich ist also: , .

Antworten: Region der Konvergenz .

Beispiel 3 Die Zeile für alle unterschiedlich , als bei , Konvergenzradius .

Beispiel 4 Die Reihe konvergiert für alle R, den Konvergenzradius .