מדריך למשוואות דיפרנציאליות רגילות. מדריך למשוואות דיפרנציאליות רגילות - E Kamke

לְכָל. איתו. - מהדורה רביעית, כומר. - מ.: מדע: צ'. ed. פיזיקה ומתמטיקה ליט., 1971. - 576s.

מההקדמה למהדורה הרביעית

המהדורה הראשונה של התרגום הרוסי של ספר זה הופיעה ב-1951. שני העשורים האחרונים היו תקופה של התפתחות מהירה של מתמטיקה חישובית וטכנולוגיית מחשבים. כלי מחשוב מודרניים מאפשרים במהירות ובדיוק רב לפתור בעיות שונות שבעבר נראו מסורבלות מדי. באופן מיוחד, שיטות מספריותנמצאים בשימוש נרחב בבעיות הקשורות למשוואות דיפרנציאליות רגילות. אף על פי כן, לאפשרות לרשום את הפתרון הכללי של משוואה או מערכת דיפרנציאלית כזו או אחרת בצורה סגורה יש במקרים רבים יתרונות משמעותיים. לכן, חומר העיון הנרחב, שנאסף בחלק השלישי של הספר מאת א' קמקה, - כ-1650 משוואות עם פתרונות - חוסך חשיבות רבהועכשיו.

בנוסף לאמור לעיל חומר עזר, ספרו של E. Kamke מכיל הצגה (אם כי ללא הוכחה) של מושגי היסוד והתוצאות החשובות ביותר הקשורות למשוואות דיפרנציאליות רגילות. הוא מכסה גם מספר נושאים כאלה שבדרך כלל אינם נכללים בספרי לימוד על משוואות דיפרנציאליות (לדוגמה, התיאוריה של בעיות ערכי גבול ובעיות ערכים עצמיים).

ספרו של E. Kamke מכיל הרבה עובדות ותוצאות שימושיות בעבודה היומיומית, התברר כי הוא בעל ערך והכרחי עבור מגוון רחב של מדענים ומומחים בתחומים יישומיים, עבור מהנדסים וסטודנטים. שלוש מהדורות קודמות של תרגום מדריך זה לרוסית התקבלו בברכה על ידי הקוראים ונמכרו לפני זמן רב.

תוכן העניינים
הקדמה למהדורה הרביעית 11
כמה כינויים 13
קיצורים מקובלים בסימנים ביבליוגרפיים 13
חלק ראשון
שיטות פתרון כלליות פרק I. משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון
§ 1. משוואות דיפרנציאליות שנפתרו ביחס ל-19
נגזר: בְּ" =f(x,y); מושגי יסוד
1.1. סימון ומשמעות גיאומטרית של הדיפרנציאל 19
משוואות
1.2. קיום וייחודיות של פתרון 20
§ 2. משוואות דיפרנציאליות שנפתרו ביחס ל-21
נגזר: בְּ" =f(x,y); שיטות פתרון
2.1. שיטת פוליליין 21
2.2. שיטת פיקארד-לינדלוף של קירובים עוקבים 23
2.3. יישום סדרת כוח 24
2.4. מקרה כללי יותר של הרחבת סדרה 25
2.5. הרחבה בסדרה בפרמטר 27
2.6. חיבור עם משוואות דיפרנציאליות חלקיות 27
2.7. משפטי הערכה 28
2.8. ההתנהגות של פתרונות עבור ערכים גדולים איקס 30
§ 3. משוואות דיפרנציאליות לא נפתרו ביחס ל-32
נגזר: F(y", y, x)=0
3.1. על פתרונות ושיטות של פתרון 32
3.2. אלמנטים ליניאריים רגילים ויחידים 33
§ 4. פתרון צורות מסוימות של משוואות דיפרנציאליות של 34 הראשונות
להזמין
4.1. משוואות דיפרנציאליות עם משתנים הניתנים להפרדה 35
4.2. y"=f(ax+by+c) 35
4.3. ליניארי משוואות דיפרנציאליות 35.
4.4. התנהגות אסימפטוטית של פתרונות
4.5. משוואת ברנולי y"+f(x)y+g(x)y a =0 38
4.6. משוואות דיפרנציאליות הומוגניות והפחתות שלהן 38
4.7. משוואות הומוגניות מוכללות 40
4.8. משוואת Riccati מיוחדת: y "+ ay 2 \u003d bx a 40
4.9. משוואה כללית Riccati: y"=f(x)y 2 +g(x)y+h(x) 41
4.10. משוואת הבל מהסוג הראשון 44
4.11. משוואת הבל מהסוג השני 47
4.12. משוואה בסה"כ דיפרנציאלים 49
4.13. גורם שילוב 49
4.14. F(y",y,x)=0, "אינטגרציה על ידי בידול" 50
4.15. (א) y=G(x, y"); (ב) x=G(y, y") 50 4.16. (א) G(y ",x)=0; (ב) G(y y)=Q 51
4L7. (א) y"=g(y); (6) x=g(y") 51
4.18. משוואות קליירוט 52
4.19. משוואת לגראנז'-ד'אלמברט 52
4.20. F(x, xy"-y, y")=0. טרנספורמציה אגדית 53 פרק ב'. מערכות שרירותיות של משוואות דיפרנציאליות,
מותר ביחס לנגזרים
§ 5. מושגי יסוד 54
5.1. סימון ומשמעות גיאומטרית של מערכת משוואות דיפרנציאליות
5.2. קיום וייחודו של פתרון 54
5.3. משפט הקיום של קרתאודורי 5 5
5.4. תלות הפתרון בתנאים ההתחלתיים ובפרמטרים 56
5.5. נושאי קיימות 57
§ 6. שיטות פתרון 59
6.1. שיטת פוליליין 59
6.2. שיטת פיקארד-לינדלוף של קירובים עוקבים 59
6.3. יישום של סדרת כוח 60
6.4. חיבור עם משוואות דיפרנציאליות חלקיות 61
6.5. הפחתת מערכת באמצעות קשר ידוע בין פתרונות
6.6. הפחתת מערכת על ידי בידול וביטול 62
6.7. משפטי הערכה 62
§ 7. מערכות אוטונומיות 63
7.1. הגדרה ומשמעות גיאומטרית של מערכת אוטונומית 64
7.2. על התנהגות עקומות אינטגרליות בשכונה של נקודה יחידה במקרה n = 2
7.3. קריטריונים לקביעת סוג הנקודה הסינגולרית 66
פרק ג'. מערכות של משוואות דיפרנציאליות לינאריות
§ 8. מערכות ליניאריות שרירותיות 70
8.1. הערות כלליות 70
8.2. משפטי קיום וייחודיות. שיטות פתרון 70
8.3. הפחתה של מערכת לא הומוגנית למערכת הומוגנית 71
8.4. משפטי הערכה 71
§ 9. מערכות ליניאריות הומוגניות 72
9.1. מאפייני הפתרון. מערכות החלטות יסוד 72
9.2. משפטי קיום ושיטות פתרון 74
9.3. צמצום המערכת למערכת עם מספר קטן יותר של משוואות 75
9.4. מערכת מצומדת של משוואות דיפרנציאליות 76
9.5. מערכות חיבור עצמי של משוואות דיפרנציאליות, 76
9.6. מערכות מצומדות של צורות דיפרנציאליות; זהות לגראנז', הנוסחה של גרין
9.7. פתרונות יסוד 78
§עשר. מערכות ליניאריות הומוגניות עם נקודות בודדות 79
10.1. מִיוּן נקודות בודדות 79
10.2. נקודות יחיד חלשות 80
10.3. נקודות ייחודיות מאוד 82 §11. התנהגות של פתרונות לערכים גדולים איקס 83
§12. מערכות ליניאריות תלויות בפרמטר 84
§13. מערכות ליניאריות עם מקדמים קבועים 86
13.1. מערכות הומוגניות 83
13.2. נגמרו המערכות השקפה כללית 87 פרק ד'. משוואות דיפרנציאליות שרירותיות סדר n'
§ 14. משוואות שנפתרו לגבי הנגזרת הגבוהה ביותר: 89
yin)=f(x,y,y...,y(n-))
§חֲמֵשׁ עֶשׂרֵה. משוואות שלא נפתרו ביחס לנגזרת הגבוהה ביותר: 90
F(x,y,y...,y(n))=0
15.1. משוואות בסה"כ דיפרנציאלים 90
15.2. משוואות הומוגניות מוכללות 90
15.3. משוואות שאינן מכילות במפורש x או בְּ- 91 פרק V. משוואות דיפרנציאליות לינאריות סדר n',
§16. משוואות דיפרנציאליות ליניאריות שרירותיות סדר n 92
16.1. הערות כלליות 92
16.2. משפטי קיום וייחודיות. שיטות פתרון 92
16.3. חיסול הנגזרת (n-1) סדר 94
16.4. הפחתת משוואת דיפרנציאלית לא הומוגנית להומוגנית
16.5. התנהגות של פתרונות לערכים גדולים איקס 94
§17. משוואות דיפרנציאליות ליניאריות הומוגניות סדר n 95
17.1. מאפיינים של פתרונות ומשפטי קיום 95
17.2. הקטנת הסדר של משוואה דיפרנציאלית 96
17.3. 0 אפס פתרונות 97
17.4. פתרונות יסוד 97
17.5. צורות דיפרנציאליות מצומדות, צמודות עצמיות ואנטי-עצמיות
17.6. זהות לגראנג'; הנוסחאות של דיריכלט וגרין 99
17.7. על פתרונות של משוואות מצומדות ומשוואות בהפרשים הכוללים
§שמונה עשרה. משוואות דיפרנציאליות לינאריות הומוגניות עם 101 יחיד
נקודות
18.1. סיווג נקודות יחיד 101
18.2. המקרה כאשר הנקודה x=E, רגיל או יחיד חלש 104
18.3. המקרה כאשר הנקודה x=inf היא רגילה או יחידה חלשה 108
18.4. המקרה כאשר הנקודה x=% מיוחד מאוד 107
18.5. המקרה שבו הנקודה x=inf היא יחידה חזקה 108
18.6. משוואות דיפרנציאליות עם מקדמי פולינום
18.7. משוואות דיפרנציאליות עם מקדמים מחזוריים
18.8. משוואות דיפרנציאליות עם מקדמים מחזוריים כפולים
18.9. מקרה של משתנה אמיתי 112
§19. פתרון משוואות דיפרנציאליות לינאריות באמצעות 113
אינטגרלים מוגדרים 19.1. עיקרון כללי 113
19.2. לפלאס טרנספורמציה 116
19.3 טרנספורמציה מיוחדת לפלס 119
19.4. מלין טרנספורם 120
19.5. טרנספורמציה אוילר 121
19.6. פתרון באמצעות אינטגרלים כפולים 123
§ 20. התנהגות פתרונות לערכים גדולים איקס 124
20.1. מקדמי פולינום 124
20.2. מקדמים כלליים יותר 125
20.3. סיכויים מתמשכים 125
20.4. משפטי תנודה 126
§21. משוואות דיפרנציאליות לינאריות סדר n-ה בהתאם ל-127
פָּרָמֶטֶר
§ 22. כמה סוגים מיוחדים של הפרשים ליניאריים 129
משוואות סדר נ'
22.1. משוואות דיפרנציאליות הומוגניות עם מקדמים קבועים
22.2. משוואות דיפרנציאליות לא הומוגניות עם קבועים 130
22.3. אוילר משוואות 132
22.4. משוואת לפלס 132
22.5. משוואות עם מקדמי פולינום 133
22.6. משוואת פוכהאמר 134
פֶּרֶק VI. משוואות דיפרנציאליות מסדר שני
§ 23. משוואות דיפרנציאליות לא-לינאריות מהסדר השני 139
23.1. שיטות לפתרון סוגים מסוימים של משוואות לא ליניאריות 139
23.2. כמה הערות נוספות 140
23.3. משפטי ערך גבול 141
23.4. משפט תנודה 142
§ 24. משוואות דיפרנציאליות ליניאריות שרירותיות של 142 השני
להזמין
24.1. הערות כלליות 142
24.2. כמה שיטות לפתרון 143
24.3. משפטי הערכה 144
§ 25. משוואות דיפרנציאליות לינאריות הומוגניות מסדר שני 145
25.1. הפחתת משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר שני
25.2. הערות נוספות על הפחתת משוואות לינאריות מסדר שני
25.3. הרחבת הפתרון לשבר המשך 149
25.4. הערות כלליות לגבי פתרון אפסים 150
25.5. אפסים של פתרונות במרווח סופי 151
25.6. ההתנהגות של פתרונות עבור x->inf 153
25.7. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר שני עם נקודות יחידות
25.8. פתרונות מקורבים. פתרונות אסימפטוטיים משתנה אמיתי
25.9. פתרונות אסימפטוטיים; משתנה מורכב 161 25.10. שיטת WBC 162 פרק VII. משוואות דיפרנציאליות לינאריות של השלישי והרביעי
הזמנות
§ 26. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מהסדר השלישי 163
§ 27. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מהסדר הרביעי 164 פרק VIII. שיטות מקורבות לשילוב דיפרנציאלי
משוואות
§ 28. אינטגרציה משוערת של משוואות דיפרנציאליות 165
הזמנה ראשונה
28.1. שיטת הקווים השבורים 165.
28.2. שיטת חצי שלב נוספת 166
28.3. שיטת רונגה-היין-קוטה 167
28.4. שילוב של אינטרפולציה וקרובים עוקבים 168
28.5. שיטת אדמס 170
28.6. תוספות לשיטת אדמס 172
§ 29. אינטגרציה משוערת של משוואות דיפרנציאליות 174
הזמנות גבוהות יותר
29.1. שיטות אינטגרציה משוערות למערכות של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון
29.2. שיטת הקו השבור עבור משוואות דיפרנציאליות מסדר שני 176
29.3. שיטת Runge-Kutta למשוואות דיפרנציאליות מסדר שני
29.4. אדמס - שיטת שטורמר למשוואה y"=f(x,y,y) 177
29.5. אדמס - שיטת שטורמר למשוואה y"=f(x,y) 178
29.6. שיטת בלס למשוואה y"=f(x,y,y) 179
חלק שני
בעיות ערך גבול ובעיות ערך עצמי פרק א. בעיות ערך גבול ובעיות ערך עצמי לליניארי
משוואות דיפרנציאליות סדר נ'
§ 1. תיאוריה כללית של בעיות ערכי גבול 182
1.1. סימון וראשי תיבות 182
1.2. תנאים לפתרון בעיית ערך גבול 184
1.3. בעיית ערך גבול מצומד 185
1.4. בעיות ערך גבול צמוד עצמי 187
1.5. הפונקציה של גרין 188
1.6. פתרון בעיית ערך גבול לא הומוגנית באמצעות פונקציית הירוק 190
1.7. פונקציה כללית של גרין 190
§ 2. בעיות ערך גבול ובעיות ערך עצמי למשוואה 193
£w(y) + xx)y = 1(x)
2.1. ערכים עצמיים ופונקציות עצמיות; קובע אופייני הו)
2.2. בעיית ערך עצמי נלווה והרזולונטי של גרין; מערכת ביואורתוגונלית מלאה
2.3. תנאי גבול מנורמלים; בעיות ערך עצמי רגיל 2.4. ערכים עצמיים לבעיות ערכים עצמיים רגילים ולא סדירים
2.5. הִתפָּרְקוּת פונקציה נתונהעל ידי פונקציות עצמיות של בעיות ערכים עצמיים רגילים ולא סדירים
2.6. בעיות ערכים עצמיים נורמליים 200
2.7. על משוואות אינטגרליות מסוג Fredholm Type 204
2.8. קשר בין בעיות ערכי גבול ומשוואות אינטגרליות מסוג פרדהולם
2.9. קשר בין בעיות ערכים עצמיים ומשוואות אינטגרליות מסוג פרדהולם
2.10. על משוואות אינטגרליות מסוג וולטרה 211
2.11. קשר בין בעיות ערך גבול לבין משוואות אינטגרליות מסוג וולטרה
2.12. קשר בין בעיות ערך עצמי ומשוואות אינטגרליות מסוג וולטרה
2.13. קשר בין בעיות ערכים עצמיים וחשבון הווריאציות
2.14. יישום להרחבת פונקציה עצמית 218
2.15. הערות נוספות 219
§ 3. שיטות משוערות לפתרון בעיות לגבי ערכים עצמיים ו-222-
בעיות ערכי גבולות
3.1. שיטת גלרקין-ריץ משוערת 222
3.2. שיטת גרמל משוערת 224
3.3. פתרון בעיית ערך גבול לא הומוגנית בשיטת Galerkin-Ritz
3.4. שיטת קירובים עוקבים 226
3.5. פתרון משוער של בעיות ערך גבול ובעיות ערך עצמי בשיטת ההבדלים הסופיים
3.6. שיטת הפרעה 230
3.7. הערכות ערך עצמי 233
3.8. סקירה כללית של דרכים לחישוב ערכים עצמיים ו-236 פונקציות עצמיות
§ 4. בעיות ערכים עצמיים צמודים עצמיים למשוואה 238
F(y)=W(y)
4.1. הצהרת בעיה 238
4.2. הערות מקדימות כלליות 239
4.3. בעיות ערך עצמי נורמלי 240
4.4. בעיות ערך עצמי מובהק חיובי 241
4.5. הרחבת פונקציה עצמית 244
§ 5. גבול ותנאים נוספים של טופס כללי יותר 247 פרק ב'. בעיות ערך גבול ובעיות ערך עצמי למערכות
משוואות דיפרנציאליות ליניאריות
§ 6. בעיות ערך גבול ובעיות ערך עצמי למערכות 249
משוואות דיפרנציאליות ליניאריות
6.1. סימון ותנאי פתירות 249
6.2. בעיית ערך גבול מצומד 250
6.3. המטריצה של גרין 252 6.4. בעיות ערך עצמי 252-
6.5. בעיות של ערכים עצמיים 253 פרק ג'. בעיות ערך גבול ובעיות ערך עצמי למשוואות
הזמנות נמוכות יותר
§ 7. בעיות ממדרגה ראשונה 256
7.1. בעיות ליניאריות 256
7.2. בעיות לא ליניאריות 257
§ 8. בעיות ערך גבול ליניארי מסדר שני 257
8.1. הערות כלליות 257
8.2. הפונקציה של גרין 258
8.3. אומדנים לפתרונות של בעיות ערך גבול מהסוג הראשון 259
8.4. תנאי גבול עבור |х|->inf 259
8.5. מציאת פתרונות תקופתיים 260
8.6. בעיית ערך גבול אחת קשורה לחקר זרימת נוזלים 260
§ 9. בעיות ערך עצמי ליניארי מסדר שני 261
9.1. הערות כלליות 261
9.2 בעיות ערך עצמי צמוד עצמי 263
9.3. y"=F(x,)Cjz, z"=-G(x,h)y ותנאי הגבול הם עצמיים צמודים 266
9.4. בעיות ערך עצמי ועקרון הווריאציות 269
9.5. על חישוב מעשי של ערכים עצמיים ופונקציות עצמיות
9.6. בעיות ערך עצמי, לא בהכרח התאמה עצמית 271
9.7. תנאים נוספים של טופס כללי יותר 273
9.8. בעיות ערך עצמי המכילות פרמטרים מרובים
9.9. משוואות דיפרנציאליות עם סינגולריות בנקודות גבול 276
9.10. בעיות ערך עצמי במרווח אינסופי 277
§עשר. בעיות ערך גבול לא ליניארי ובעיות ערך עצמי 278
הזמנה שנייה
10.1. בעיות ערך גבול עבור מרווח סופי 278
10.2. בעיות ערך גבול עבור מרווח חצי גבול 281
10.3. בעיות ערך עצמי 282
§אחד עשר. בעיות ערך גבול ובעיות ערך עצמי של השלישי
סדר שמיני
11.1. בעיות ערך עצמי ליניארי מהסדר השלישי 283
11.2. בעיות ערך עצמי ליניארי מהסדר הרביעי 284
11.3. בעיות לינאריות למערכת של שתי משוואות דיפרנציאליות מסדר שני
11.4. בעיות ערך גבול לא ליניארי מהסדר הרביעי 287
11.5. בעיות ערך עצמי מסדר גבוה 288
חלק שלישי
משוואות דיפרנציאליות נפרדות
הערות מקדימות 290 פרק א' משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון
1-367. משוואות דיפרנציאליות, מדרגה ראשונה ביחס ל U 294
368-517. משוואות דיפרנציאליות מדרגה שנייה ביחס ל-334 518-544. משוואות דיפרנציאליות מדרגה שלישית ביחס ל-354
545-576. משוואות דיפרנציאליות בצורה כללית יותר 358פרק II. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר שני
1-90. ay" + ... 363
91-145. (ax + yuy " + ... 385
146-221.x2 y" +... 396
222-250. (x 2 ± a 2) y "+ ... 410
251-303. (אה 2 + bx + c) y " + ... 419
304-341. (אה 3 +...)י" +... 435
342-396. (אה 4 +...)y" + ... 442
397-410. (אה" +...)י" +... 449
411-445. משוואות דיפרנציאליות אחרות 454
G לבה III. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר שלישי פרק IV. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר רביעי פרק V. משוואות דיפרנציאליות לינאריות חמישיות ומעלה
פקודות פרק ו'. משוואות דיפרנציאליות לא ליניאריות מסדר שני
1-72. ay"=F(x,y,y) 485
73-103./(x);y"=F(x,;y,;y") 497
104- 187. / (x) xy "CR (x,; y,; y") 503
188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y)) 514
226-249. משוואות דיפרנציאליות אחרות 520פרק VII. משוואות דיפרנציאליות לא לינאריות של השלישי ועוד
סדרים גבוהים פרק VIII. מערכות של משוואות דיפרנציאליות לינאריות
הערות מקדימות 530
1-18. מערכות של שתי משוואות דיפרנציאליות מהסדר הראשון עם 530
מקדמים קבועים 19-25.
מערכות של שתי משוואות דיפרנציאליות מהסדר הראשון עם 534
מקדמים משתנים
26-43. מערכות של שתי משוואות דיפרנציאליות בסדר מעל 535
ראשון
44-57. מערכות של יותר משתי משוואות דיפרנציאליות 538פרק IX. מערכות של משוואות דיפרנציאליות לא ליניאריות
1-17. מערכות של שתי משוואות דיפרנציאליות 541
18-29. מערכות של יותר משתי משוואות דיפרנציאליות 544
תוספות
על פתרון משוואות הומוגניות ליניאריות מסדר שני (I. Zbornik) 547
תוספות לספר ע' קמקה (ד' מיטרינוביץ') 556
דרך חדשה לסווג משוואות דיפרנציאליות לינאריות ו-568
בניית הפתרון הכללי שלהם באמצעות נוסחאות רקורסיביות
(א. זבורניק)
אינדקס 571

הקדמה למהדורה הרביעית
כמה ייעודים
קיצורים מקובלים בהתוויות ביבליוגרפיות
חלק ראשון
שיטות פתרון כלליות
§ 1. משוואות דיפרנציאליות שנפתרו ביחס לנגזרת: (נוסחה) מושגי יסוד
1.1. סימון ומשמעות גיאומטרית של המשוואה הדיפרנציאלית
1.2. קיום וייחודיות של פתרון
§ 2. משוואות דיפרנציאליות שנפתרו ביחס לנגזרת: (נוסחה); שיטות פתרון
2.1. שיטת פוליליין
2.2. שיטת פיקארד-לינדלוף של קירובים עוקבים
2.3. יישום של סדרות כוח
2.4. מקרה כללי יותר של הרחבת סדרה
2.5. הרחבת סדרת פרמטרים
2.6. קשר עם משוואות דיפרנציאליות חלקיות
2.7. הערכת משפטים
2.8. התנהגות של פתרונות לערכים גדולים (?)
§ 3. משוואות דיפרנציאליות שאינן נפתרות ביחס לנגזרת: (נוסחה)
3.1. על פתרונות ושיטות פתרון
3.2. אלמנטים קו רגילים ומיוחדים
§ 4. פתרון של סוגים מסוימים של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון
4.1. משוואות דיפרנציאליות עם משתנים הניתנים להפרדה
4.2. (נוּסחָה)
4.3. משוואות דיפרנציאליות לינאריות
4.4. התנהגות אסימפטוטית של פתרונות של משוואות דיפרנציאליות לינאריות
4.5. משוואת בדנולי (נוסחה)
4.6. משוואות דיפרנציאליות הומוגניות והפחתות שלהן
4.7. משוואות הומוגניות מוכללות
4.8. משוואת Riccati מיוחדת: (נוסחה)
4.9. משוואת Riccati כללית: (נוסחה)
4.10. משוואת הבל מהסוג הראשון
4.11. משוואת הבל מהסוג השני
4.12. משוואה בהפרשים הכוללים
4.13. גורם שילוב
4.14. (נוסחה), "אינטגרציה על ידי בידול"
4.15. (נוּסחָה)
4.16. (נוּסחָה)
4.17. (נוּסחָה)
4.18. המשוואות של קלייראוט
4.19. משוואת לגרנז' - ד'אלמבר
4.20. (נוּסחָה). טרנספורמציה אגדית
פרק ב. מערכות שרירותיות של משוואות דיפרנציאליות שנפתרו ביחס לנגזרות
§ 5. מושגי יסוד
5.1. סימון ומשמעות גיאומטרית של מערכת משוואות דיפרנציאליות
5.2. קיום וייחודיות של פתרון
5.3. משפט הקיום של קרתאודורי
5.4. תלות הפתרון בתנאים ההתחלתיים ובפרמטרים
5.5. בעיות קיימות
§ 6. שיטות פתרון
6.1. שיטת פוליליין
6.2. שיטת פיקארד-לינדלוף של קירובים עוקבים
6.3. יישום של סדרות כוח
6.4. קשר עם משוואות דיפרנציאליות חלקיות
6.5. הפחתת מערכת באמצעות קשר ידוע בין פתרונות
6.6. הפחתת מערכת על ידי בידול וביטול
6.7. הערכת משפטים
§ 7. מערכות אוטונומיות
7.1. הגדרה ומשמעות גיאומטרית של מערכת אוטונומית
7.2. על התנהגות עקומות אינטגרליות בשכונה של נקודה יחידה במקרה n = 2
7.3. קריטריונים לקביעת סוג הנקודה הסינגולרית
פרק ג'. מערכות של משוואות דיפרנציאליות לינאריות
§ 8. מערכות ליניאריות שרירותיות
8.1. הערות כלליות
8.2. משפטי קיום וייחודיות. שיטות פתרון
8.3. הפחתה של מערכת לא הומוגנית למערכת הומוגנית
8.4. הערכת משפטים
§ 9. מערכות ליניאריות הומוגניות
9.1. מאפייני הפתרון. מערכות פתרונות בסיסיות
9.2. משפטי קיום ושיטות פתרון
9.3. הפחתת מערכת למערכת עם פחות משוואות
9.4. מערכת מצומדת של משוואות דיפרנציאליות
9.5. מערכות חיבור עצמי של משוואות דיפרנציאליות
9.6. מערכות מצומדות של צורות דיפרנציאליות; זהות לגראנז', הנוסחה של גרין
9.7. פתרונות יסוד
§ 10. מערכות ליניאריות הומוגניות עם נקודות בודדות
10.1. סיווגי נקודות יחיד
10.2. נקודות בודדות חלשות
10.3. נקודות בודדות חזקות
§ 11. התנהגות של פתרונות לערכים גדולים של x
§ 12. מערכות ליניאריות בהתאם לפרמטר
§ 13. מערכות ליניאריות עם מקדמים קבועים
13.1. מערכות הומוגניות
13.2. מערכות כלליות יותר
פרק ד'. משוואות דיפרנציאליות שרירותיות מהסדר ה-n
§ 14. משוואות שנפתרו ביחס לנגזרת הגבוהה ביותר: (נוסחה)
§ 15. משוואות לא נפתרו ביחס לנגזרת הגבוהה ביותר: (נוסחה)
15.1. משוואות בהפרשים הכוללים
15.2. משוואות הומוגניות מוכללות
15.3. משוואות שאינן מכילות במפורש x או y
פרק V. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מהסדר ה-n
§ 16. משוואות דיפרנציאליות ליניאריות שרירותיות מהסדר ה-n
16.1. הערות כלליות
16.2. משפטי קיום וייחודיות. שיטות פתרון
16.3. (n-1)-חיסול נגזרת הסדר
16.4. הפחתת משוואת דיפרנציאלית לא הומוגנית להומוגנית
16.5. התנהגות של פתרונות עבור ערכים גדולים של x
§ 17. משוואות דיפרנציאליות לינאריות הומוגניות מהסדר ה-n
17.1. מאפיינים של פתרונות ומשפטי קיום
17.2. הקטנת הסדר של משוואת דיפרנציאלית
17.3. על אפסים של פתרונות
17.4. פתרונות יסוד
17.5. צורות דיפרנציאליות מצומדות, צמודות עצמיות ואנטי-עצמיות
17.6. זהות לגראנג'; הנוסחאות של דיריכלה וגרין
17.7. על פתרונות של משוואות צמודות ומשוואות בהפרשים הכוללים
§ 18. משוואות דיפרנציאליות לינאריות הומוגניות עם נקודות יחיד
18.1. סיווג נקודות יחיד
18.2. המקרה כאשר הנקודה (?) היא רגילה או יחידה חלשה
18.3. המקרה כאשר הנקודה (?) היא רגילה או יחידה חלשה
18.4. המקרה כאשר הנקודה (?) היא יחידה חזקה
18.5. המקרה כאשר הנקודה (?) היא יחידה חזקה
18.6. משוואות דיפרנציאליות עם מקדמי פולינום
18.7. משוואות דיפרנציאליות עם מקדמים מחזוריים
18.8. משוואות דיפרנציאליות עם מקדמים מחזוריים כפולים
18.9. מקרה משתנה אמיתי
§ 19. פתרון משוואות דיפרנציאליות לינאריות באמצעות אינטגרלים מוגדרים
19.1. עיקרון כללי
19.2. טרנספורמציה של לפלס
19.3. טרנספורמציה מיוחדת של לפלס
19.4. מלין טרנספורמציה
19.5. טרנספורמציה של אוילר
19.6. פתרון באמצעות אינטגרלים כפולים
§ 20. התנהגות של פתרונות לערכים גדולים של x
20.1. מקדמי פולינום
20.2. מקדמים כלליים יותר
20.3. סיכויים מתמשכים
20.4. משפטי תנודה
§ 21. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n, בהתאם לפרמטר
§ 22. כמה סוגים מיוחדים של משוואות דיפרנציאליות לינאריות מהסדר ה-n
22.1. משוואות דיפרנציאליות הומוגניות עם מקדמים קבועים
22.2. משוואות דיפרנציאליות לא הומוגניות עם מקדמים קבועים
22.3. משוואות אוילר
22.4. משוואת לפלס
22.5. משוואות עם מקדמי פולינום
22.6. משוואת פוצ'האמר
פרק ו'. משוואות דיפרנציאליות מסדר שני
§ 23. משוואות דיפרנציאליות לא-לינאריות מהסדר השני
23.1. שיטות לפתרון סוגים מסוימים של משוואות לא ליניאריות
23.2. כמה הערות נוספות
23.3. משפטי ערך גבול
23.4. משפט תנודה
§ 24. משוואות דיפרנציאליות ליניאריות שרירותיות מסדר שני
24.1. הערות כלליות
24.2. כמה שיטות פתרון
24.3. הערכת משפטים
§ 25. משוואות דיפרנציאליות לינאריות הומוגניות מסדר שני
25.1. הפחתת משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר שני
25.2. הערות נוספות על הפחתת משוואות לינאריות מסדר שני
25.3. הרחבת הפתרון לשבר המשך
25.4. הערות כלליות לגבי פתרון אפסים
25.5. אפסים של פתרונות במרווח סופי
25.6. התנהגות של פתרונות עבור (?)
25.7. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר שני עם נקודות יחידות
25.8. פתרונות מקורבים. פתרונות אסימפטוטיים; משתנה אמיתי
25.9. פתרונות אסימפטוטיים; משתנה מורכב
25.10. שיטת WBC
פרק ז'. משוואות דיפרנציאליות ליניאריות בסדר השלישי והרביעי
§ 26. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מהסדר השלישי
§ 27. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מהסדר הרביעי
פרק ח. שיטות מקורבות לשילוב משוואות דיפרנציאליות
§ 28. אינטגרציה משוערת של משוואות דיפרנציאליות מהסדר הראשון
28.1. שיטת פוליליין
28.2. שיטת חצי שלב נוספת
28.3. שיטת Runge-Hein-Kutta
28.4. שילוב של אינטרפולציה וקירובים עוקבים
28.5. שיטת אדמס
28.6. תוספות לשיטת אדמס
§ 29. אינטגרציה משוערת של משוואות דיפרנציאליות מסדר גבוה יותר
29.1. שיטות אינטגרציה משוערות למערכות של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון
29.2. שיטת הקו השבור עבור משוואות דיפרנציאליות מסדר שני
29.3. שיטת Runge*-Kutta עבור משוואות דיפרנציאליות בסדר זה
29.4. אדמס - שיטת סטורמר למשוואה (נוסחה)
29.5. אדמס - שיטת סטורמר למשוואה (נוסחה)
29.6. השיטה של בלס למשוואה (נוסחה)
חלק שני
בעיות ערך גבול וערך עצמי
פרק I. בעיות ערך גבול וערך עצמי עבור משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר n
§ 1. תיאוריה כללית של בעיות ערכי גבול
1.1. סימון ומקדימות
1.2. תנאים לפתרון בעיית ערך גבול
1.3. בעיית ערך גבול מצומד
1.4. בעיות ערך גבול צמוד עצמי
1.5. תפקידו של גרין
1.6. פתרון בעיית ערך גבול לא הומוגנית באמצעות הפונקציה של הירוק
1.7. הכליל את הפונקציה של גרין
§ 2. בעיות ערך גבול ובעיות ערך עצמי עבור משוואה (נוסחה)
2.1. ערכים עצמיים ופונקציות עצמיות; גורם אופייני (?)
2.2. בעיה נלווית בערכים עצמיים וברזולוציית Greya; מערכת ביואורתוגונלית מלאה
2.3. תנאי גבול מנורמלים; בעיות ערך עצמי רגיל
2.4. ערכים עצמיים לבעיות ערכים עצמיים רגילים ולא סדירים
2.5. הרחבה של פונקציה נתונה בתפקודים עצמיים של בעיות ערך עצמי רגיל ובלתי סדיר
2.6. בעיות ערכים עצמיים נורמליים בהתאמה עצמית
2.7. על משוואות אינטגרליות מסוג פרדהולם
2.8. קשר בין בעיות ערכי גבול ומשוואות אינטגרליות מסוג פרדהולם
2.9. קשר בין בעיות ערכים עצמיים ומשוואות אינטגרליות מסוג פרדהולם
2.10. על משוואות אינטגרליות מסוג וולטרה
2.11. קשר בין בעיות ערך גבול לבין משוואות אינטגרליות מסוג וולטרה
2.12. קשר בין בעיות ערך עצמי ומשוואות אינטגרליות מסוג וולטרה
2.13. קשר בין בעיות ערכים עצמיים וחשבון הווריאציות
2.14. יישום להתרחבות במונחים של פונקציות עצמיות
2.15. הערות נוספות
§ 3. שיטות מקורבות לפתרון בעיות ערכים עצמיים ובעיות ערכי גבול
3.1. שיטת גלרקין-ריץ משוערת
3.2. שיטת גרמל משוערת
3.3. פתרון בעיית ערך גבול לא הומוגנית בשיטת Galerkin-Ritz
3.4. שיטת קירובים עוקבים
3.5. פתרון משוער של בעיות ערך גבול ובעיות ערך עצמי בשיטת ההבדלים הסופיים
3.6. שיטת הפרעות
3.7. הערכות ערך עצמי
3.8. סקירה כללית של דרכים לחישוב ערכים עצמיים ופונקציות עצמיות
§ 4. בעיות של ערכים עצמיים של משוואה (נוסחה)
4.1. ניסוח הבעיה
4.2. מקדימות כלליות
4.3. בעיות ערך עצמי נורמלי
4.4. בעיות חיוביות של ערך עצמי מוגדר
4.5. פירוק במונחים של פונקציות עצמיות
§ 5. גבול ותנאים נוספים בצורה כללית יותר
פרק ב. בעיות ערך גבול ובעיות ערך עצמי למערכות של משוואות דיפרנציאליות לינאריות
§ 6. בעיות ערך גבול ובעיות ערך עצמי למערכות של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות
6.1. סימון ותנאי פתירות
6.2. בעיית ערך גבול מצומד
6.3. המטריצה של גרין
6.4. בעיות ערך עצמי
6.5. בעיות של ערכים עצמיים בהתאמה עצמית
פרק ג'. בעיות ערך גבול ובעיות ערך עצמי עבור משוואות מסדר נמוך
§ 7. בעיות מהסדר הראשון
7.1. בעיות ליניאריות
7.2. בעיות לא ליניאריות
§ 8. בעיות ערך גבול ליניארי מהסדר השני
8.1. הערות כלליות
8.2. תפקידו של גרין
8.3. אומדנים לפתרונות של בעיות ערך גבול מהסוג הראשון
8.4. תנאי גבול ב(?)
8.5. מציאת פתרונות תקופתיים
8.6. בעיית ערך גבול אחת קשורה לחקר זרימת נוזלים
§ 9. בעיות ערך עצמי ליניארי מסדר שני
9.1. הערות כלליות
9.2 בעיות של ערכים עצמיים בהתאמה עצמית
9.3. (נוסחה) ותנאי גבול מתאימים לעצמם
9.4. בעיות ערך עצמי ועקרון הווריאציה
9.5. על חישוב מעשי של ערכים עצמיים ופונקציות עצמיות
9.6. בעיות ערך עצמי, לא בהכרח התאמה עצמית
9.7. תנאים נוספים בצורה כללית יותר
9.8. בעיות ערך עצמי המכילות פרמטרים מרובים
9.9. משוואות דיפרנציאליות עם סינגולריות בנקודות גבול
9.10. בעיות ערך עצמי במרווח אינסופי
§ 10. בעיות ערך גבול לא ליניארי ובעיות ערך עצמי מסדר שני
10.1. בעיות ערך גבול עבור מרווח סופי
10.2. בעיות ערך גבול עבור מרווח חצי מוגבל
10.3. בעיות ערך עצמי
§ 11. בעיות ערך גבול ובעיות ערכים עצמיים מהסדר השלישי - השמיני
11.1. בעיות ערך עצמי ליניארי מהסדר השלישי
11.2. בעיות ערך עצמי ליניארי מהסדר הרביעי
11.3. בעיות לינאריות למערכת של שתי משוואות דיפרנציאליות מסדר שני
11.4. בעיות ערך גבול לא ליניארי מהסדר הרביעי
11.5. בעיות ערך עצמי מסדר גבוה יותר
חלק שלישי משוואות דיפרנציאליות נפרדות
הערות מקדימות
פרק I. משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון
1-367. משוואות דיפרנציאליות מדרגה ראשונה ביחס ל(?)
368-517. משוואות דיפרנציאליות מדרגה שנייה ביחס ל(?)
518-544. משוואות דיפרנציאליות מדרגה שלישית ביחס ל(?)
545-576. משוואות דיפרנציאליות בצורה כללית יותר
פרק ב. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר שני
1-90. (נוּסחָה)
91-145. (נוּסחָה)
146-221. (נוסחה)
222-250. (נוּסחָה)
251-303. (נוּסחָה)
304-341. (נוּסחָה)
342-396. (נוּסחָה)
397-410. (נוּסחָה)
411-445. משוואות דיפרנציאליות אחרות
פרק ג'. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מהסדר השלישי
פרק ד'. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מהסדר הרביעי
פרק V. משוואות דיפרנציאליות לינאריות של המסדרים החמישיים והגבוהים יותר
פרק ו'. משוואות דיפרנציאליות לא ליניאריות מסדר שני
1-72. (נוּסחָה)
73-103. (נוּסחָה)
104-187. (נוּסחָה)
188-225. (נוּסחָה)
226-249. משוואות דיפרנציאליות אחרות
פרק ז'. משוואות דיפרנציאליות לא ליניאריות בסדר שלישי ומעלה
פרק ח. מערכות של משוואות דיפרנציאליות לינאריות
הערות מקדימות
1-18. מערכות של שתי משוואות דיפרנציאליות מהסדר הראשון עם מקדמים קבועים
19-25. מערכות של שתי משוואות דיפרנציאליות מהסדר הראשון עם מקדמים משתנים
26-43. מערכות של שתי משוואות דיפרנציאליות בסדר גבוה מהראשונה
44-57. מערכות של יותר משתי משוואות דיפרנציאליות
פרק ט'. מערכות של משוואות דיפרנציאליות לא ליניאריות
1-17. מערכות של שתי משוואות דיפרנציאליות
18-29. מערכות של יותר משתי משוואות דיפרנציאליות
תוספות
על פתרון משוואות הומוגניות ליניאריות מהסדר השני (I. Zbornik)
תוספות לספר מאת א' קמקה (ד' מיטרינוביץ')
דרך חדשה לסווג משוואות דיפרנציאליות לינאריות ולבנות את הפתרון הכללי שלהן באמצעות נוסחאות רקורסיביות (I. Zbornik)
אינדקס נושאים

שֵׁם: מדריך למשוואות דיפרנציאליות רגילות.

"המדריך למשוואות דיפרנציאליות רגילות" מאת המתמטיקאי הגרמני המפורסם אריך קמקה (1890 - 1961) הוא מהדורה ייחודית מבחינת כיסוי החומר ותופסת מקום ראוי בספרות ההתייחסות המתמטית העולמית.
המהדורה הראשונה של התרגום הרוסי של ספר זה הופיעה ב-1951. שני העשורים האחרונים היו תקופה של התפתחות מהירה של מתמטיקה חישובית וטכנולוגיית מחשבים. כלי מחשוב מודרניים מאפשרים במהירות ובדיוק רב לפתור בעיות שונות שבעבר נראו מסורבלות מדי. בפרט, שיטות מספריות נמצאות בשימוש נרחב בבעיות הקשורות למשוואות דיפרנציאליות רגילות. אף על פי כן, לאפשרות לרשום את הפתרון הכללי של משוואה או מערכת דיפרנציאלית כזו או אחרת בצורה סגורה יש במקרים רבים יתרונות משמעותיים. לכן, חומר העיון הנרחב, שנאסף בחלקו השלישי של ספרו של א' קמקה, - כ-1650 משוואות עם פתרונות - נותר בעל חשיבות רבה גם כעת.

בנוסף לחומר העזר המצוין, ספרו של א' קמקה מכיל הצגה (אם כי ללא הוכחות) של מושגי היסוד והתוצאות החשובות ביותר הקשורות למשוואות דיפרנציאליות רגילות. הוא מכסה גם מספר נושאים כאלה שבדרך כלל אינם נכללים בספרי לימוד על משוואות דיפרנציאליות (לדוגמה, התיאוריה של בעיות ערכי גבול ובעיות ערכים עצמיים).
ספרו של E. Kamke מכיל הרבה עובדות ותוצאות שימושיות בעבודה היומיומית, התברר כי הוא בעל ערך והכרחי עבור מגוון רחב של מדענים ומומחים בתחומים יישומיים, עבור מהנדסים וסטודנטים. שלוש מהדורות קודמות של תרגום מדריך זה לרוסית התקבלו בברכה על ידי הקוראים ונמכרו לפני זמן רב.
התרגום לרוסית נבדק מחדש מול המהדורה הגרמנית השישית (1959); תיקנו אי דיוקים, שגיאות ושגיאות הקלדה. כל ההוספות, ההערות וההוספות שנעשו בטקסט על ידי העורך והמתרגם מוקפים בסוגריים מרובעים. בסוף הספר, תחת הכותרת "תוספות", יש תרגומים מקוצרים (בביצוע נ' ח' רוזוב) של כמה מאמרי כתב-עת המשלימים את חלק ההתייחסות שהסופר הזכיר במהדורה הגרמנית השישית.

חלק ראשון
שיטות פתרון כלליות
פרק א'
§ 1. משוואות דיפרנציאליות שנפתרו לגבי
נגזרת: y" \u003d f (x, y); מושגים בסיסיים
1.1. סימון ומשמעות גיאומטרית של הדיפרנציאל
משוואות
1.2. קיום וייחודיות של פתרון
§ 2. משוואות דיפרנציאליות שנפתרו לגבי
נגזרת: y" \u003d f (x, y); שיטות פתרון
2.1. שיטת פוליליין
2.2. שיטת פיקארד-לינדלוף של קירובים עוקבים
2.3. יישום של סדרות כוח
2.4. מקרה כללי יותר של הרחבת סדרה25
2.5. הרחבה בסדרה בפרמטר 27
2.6. חיבור עם משוואות דיפרנציאליות חלקיות27
2.7. משפטי הערכה 28
2.8. התנהגות של פתרונות לערכים גדולים x 30
§ 3. משוואות דיפרנציאליות לא נפתרו לגבי 32
נגזרת: F(y", y, x)=0
3.1. על פתרונות ושיטות של פתרון 32
3.2. אלמנטים ליניאריים רגילים ויחידים33
§ 4. פתרון צורות מסוימות של משוואות דיפרנציאליות של 34 הראשונות
להזמין
4.1. משוואות דיפרנציאליות עם משתנים הניתנים להפרדה 35
4.2. y"=f(ax+by+c) 35
4.3. משוואות דיפרנציאליות לינאריות 35.
4.4. התנהגות אסימפטוטית של פתרונות של משוואות דיפרנציאליות לינאריות
4.5. משוואת ברנולי y"+f(x)y+g(x)ya=0 38
4.6. משוואות דיפרנציאליות הומוגניות והפחתות שלהן38
4.7. משוואות הומוגניות מוכללות 40
4.8. משוואת Riccati מיוחדת: y "+ y2 \u003d bxa 40
4.9. משוואת Riccati כללית: y"=f(x)y2+g(x)y+h(x)41
4.10. משוואת הבל מהסוג הראשון44
4.11. משוואת הבל מהסוג השני47
4.12. משוואה בסה"כ דיפרנציאלים 49
4.13. גורם שילוב 49
4.14. F(y",y,x)=0, "אינטגרציה על ידי בידול" 50
4.15. (א) y=G(x, y"); (ב) x=G(y,y") 50
4.16. (א) G(y ",x)=0; (ב) G(y\y)=Q 51
4.17. (א) y"=g(y); (6) x=g(y") 51
4.18. משוואות קליירוט 52
4.19. משוואת לגראנז'-ד'אלמברט 52
4.20. F(x, xy"-y, y")=0. טרנספורמציה אגדית53
פרק ב. מערכות שרירותיות של משוואות דיפרנציאליות שנפתרו ביחס לנגזרות
§ 5. מושגי יסוד54
5.1. סימון ומשמעות גיאומטרית של מערכת משוואות דיפרנציאליות
5.2. קיום וייחודו של פתרון 54
5.3. משפט הקיום של קרתאודורי 5 5
5.4. תלות הפתרון בתנאים ופרמטרים ראשוניים56
5.5. נושאי קיימות57
§ 6. שיטות פתרון 59
6.1. שיטת פוליליין59
6.2. שיטת פיקארד-לינדלוף של קירובים עוקבים59
6.3. יישום של סדרת כוח 60
6.4. חיבור עם משוואות דיפרנציאליות חלקיות 61
6.5. הפחתת מערכת באמצעות קשר ידוע בין פתרונות
6.6. הפחתת מערכת על ידי בידול וביטול 62
6.7. משפטי הערכה 62
§ 7. מערכות אוטונומיות 63
7.1. הגדרה ומשמעות גיאומטרית של מערכת אוטונומית 64
7.2. על התנהגות עקומות אינטגרליות בשכונה של נקודה יחידה במקרה n = 2
7.3. קריטריונים לקביעת סוג הנקודה הסינגולרית 66
פרק ג'.
§ 8. מערכות ליניאריות שרירותיות70
8.1. הערות כלליות70
8.2. משפטי קיום וייחודיות. שיטות פתרון70
8.3. הפחתה של מערכת לא הומוגנית למערכת הומוגנית71
8.4. משפטי הערכה 71
§ 9. מערכות ליניאריות הומוגניות72
9.1. מאפייני הפתרון. מערכות החלטות יסוד 72
9.2. משפטי קיום ושיטות פתרון 74
9.3. הפחתת מערכת למערכת עם פחות משוואות75
9.4. מערכת מצומדת של משוואות דיפרנציאליות76
9.5. מערכות חיבור עצמי של משוואות דיפרנציאליות, 76
9.6. מערכות מצומדות של צורות דיפרנציאליות; זהות לגראנז', הנוסחה של גרין
9.7. פתרונות יסוד78
§עשר. מערכות ליניאריות הומוגניות עם נקודות בודדות 79
10.1. סיווג נקודות יחיד 79
10.2. נקודות יחיד חלשות80
10.3. נקודות ייחודיות מאוד 82
§אחד עשר. התנהגות של פתרונות לערכים גדולים של x 83
§12. מערכות ליניאריות בהתאם לפרמטר84
§13. מערכות ליניאריות עם מקדמים קבועים 86
13.1. מערכות הומוגניות 83
13.2. מערכות כלליות יותר 87
פרק ד'. משוואות דיפרנציאליות שרירותיות מהסדר ה-n
§ 14. משוואות שנפתרו לגבי הנגזרת הגבוהה ביותר: 89
yin)=f(x,y,y\...,y(n-\))
§חֲמֵשׁ עֶשׂרֵה. משוואות לא נפתרו ביחס לנגזרת הגבוהה ביותר:90
F(x,y,y\...,y(n))=0
15.1. משוואות בהפרשים הכוללים90
15.2. משוואות הומוגניות מוכללות 90
15.3. משוואות שאינן מכילות במפורש x או y 91
פרק ו' משוואות דיפרנציאליות לינאריות מהסדר ה-n,
§16. משוואות דיפרנציאליות ליניאריות שרירותיות מסדר n92
16.1. הערות כלליות92
16.2. משפטי קיום וייחודיות. שיטות פתרון92
16.3. ביטול נגזרת הסדר (n-1)94
16.4. הפחתת משוואת דיפרנציאלית לא הומוגנית להומוגנית
16.5. התנהגות של פתרונות לערכים גדולים של x94
§17. משוואות דיפרנציאליות ליניאריות הומוגניות מסדר n 95
17.1. מאפיינים של פתרונות ומשפטי קיום 95
17.2. הורדת הסדר של משוואה דיפרנציאלית96
17.3. 0 אפס פתרונות 97
17.4. פתרונות יסוד 97
17.5. צורות דיפרנציאליות מצומדות, צמודות עצמיות ואנטי-עצמיות
17.6. זהות לגראנג'; הנוסחאות של דיריכלט וגרין 99
17.7. על פתרונות של משוואות צמודות ומשוואות בהפרשים הכוללים
§שמונה עשרה. משוואות דיפרנציאליות ליניאריות הומוגניות עם יחיד 101
נקודות
18.1. סיווג נקודות יחיד 101
18.2. המקרה כאשר הנקודה x=E היא רגולרית או יחידה חלשה104
18.3. המקרה כאשר הנקודה x=inf היא רגולרית או יחידה חלשה108
18.4. המקרה כאשר הנקודה x = % היא יחידה חזקה 107
18.5. המקרה שבו הנקודה x=inf היא יחידה חזקה 108
18.6. משוואות דיפרנציאליות עם מקדמי פולינום
18.7. משוואות דיפרנציאליות עם מקדמים מחזוריים
18.8. משוואות דיפרנציאליות עם מקדמים מחזוריים כפולים
18.9. המקרה של משתנה אמיתי112
§19. פתרון משוואות דיפרנציאליות לינאריות באמצעות 113
אינטגרלים מוגדרים
19.1. עקרון כללי 113
19.2. לפלאס טרנספורמציה 116
19.3 טרנספורמציה מיוחדת לפלס 119
19.4. מלין טרנספורם 120
19.5. טרנספורמציה אוילר 121
19.6. פתרון באמצעות אינטגרלים כפולים 123
§ 20. התנהגות של פתרונות לערכים גדולים של x 124
20.1. מקדמי פולינום124
20.2. מקדמים כלליים יותר 125
20.3. סיכויים מתמשכים 125
20.4. משפטי תנודה126
§21. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n תלוי ב127
פָּרָמֶטֶר
§ 22. כמה סוגים מיוחדים של דיפרנציאלים ליניאריים129
משוואות מסדר n
22.1. משוואות דיפרנציאליות הומוגניות עם מקדמים קבועים
22.2. משוואות דיפרנציאליות לא הומוגניות עם קבועים130
22.3. אוילר משוואות 132
22.4. משוואת לפלס 132
22.5. משוואות עם מקדמי פולינום133
22.6. משוואת פוכהאמר134
פרק ו'. משוואות דיפרנציאליות מסדר שני
§ 23. משוואות דיפרנציאליות לא-לינאריות מהסדר השני 139
23.1. שיטות לפתרון סוגים מסוימים של משוואות לא ליניאריות 139
23.2. כמה הערות נוספות140
23.3. משפטי ערך גבול 141
23.4. משפט תנודה 142
§ 24. משוואות דיפרנציאליות ליניאריות שרירותיות של 142 השני
להזמין
24.1. הערות כלליות142
24.2. כמה שיטות לפתרון 143
24.3. משפטי הערכה 144
§ 25. משוואות דיפרנציאליות לינאריות הומוגניות מסדר שני 145
25.1. הפחתת משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר שני
25.2. הערות נוספות על הפחתת משוואות לינאריות מסדר שני
25.3. הרחבת הפתרון לשבר המשך 149
25.4. הערות כלליות לגבי פתרון אפסים150
25.5. אפסים של פתרונות במרווח סופי151
25.6. התנהגות פתרונות עבור x->inf 153
25.7. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר שני עם נקודות יחידות
25.8. פתרונות מקורבים. פתרונות אסימפטוטיים משתנה אמיתי
25.9. פתרונות אסימפטוטיים; משתנה מורכב161
25.10. שיטת WBC 162
פרק ז'. משוואות דיפרנציאליות לינאריות של השלישי והרביעי
הזמנות
§ 26. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מהסדר השלישי163
§ 27. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מהסדר הרביעי 164
פרק ח. שיטות מקורבות לשילוב דיפרנציאלי
משוואות
§ 28. אינטגרציה משוערת של משוואות דיפרנציאליות 165
הזמנה ראשונה
28.1. שיטת הקווים השבורים165.
28.2. שיטת חצי שלב נוספת 166
28.3. שיטת רונגה-היין-קוטה 167
28.4. שילוב של אינטרפולציה וקירובים עוקבים168
28.5. שיטת אדמס 170
28.6. תוספות לשיטת אדמס 172
§ 29. אינטגרציה משוערת של משוואות דיפרנציאליות 174
הזמנות גבוהות יותר
29.1. שיטות אינטגרציה משוערות למערכות של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון
29.2. שיטת הקו השבור עבור משוואות דיפרנציאליות מסדר שני 176
29.3. שיטת Runge-Kutta למשוואות דיפרנציאליות מסדר שני
29.4. אדמס - שיטת שטורמר למשוואה y "=f (x, y, y) 177
29.5. אדמס - שיטת שטורמר למשוואה y "=f (x, y) 178
29.6. השיטה של בלס למשוואה y"=f(x,y,y) 179

חלק שני
בעיות ערך גבול וערך עצמי
פרק א' בעיות ערך גבול ובעיות ערך עצמי לליניארי
משוואות דיפרנציאליות מסדר n
§ 1. תיאוריה כללית של בעיות ערכי גבול182
1.1. סימון וראשי תיבות 182
1.2. תנאים לפתרון בעיית ערך גבול184
1.3. בעיית ערך גבול מצומד 185
1.4. בעיות ערך גבול צמוד עצמי 187
1.5. הפונקציה של גרין 188
1.6. פתרון בעיית ערך גבול לא הומוגנית באמצעות פונקציית הירוק 190
1.7. פונקציה כללית של גרין 190
§ 2. בעיות ערך גבול ובעיות ערך עצמי למשוואה 193
£SHU(Y)+YX)Y = 1(X)
2.1. ערכים עצמיים ופונקציות עצמיות; דטרמיננט מאפיין A(X)
2.2. בעיית ערך עצמי נלווה והרזולונטי של גרין; מערכת ביואורתוגונלית מלאה
2.3. תנאי גבול מנורמלים; בעיות ערך עצמי רגיל
2.4. ערכים עצמיים לבעיות ערכים עצמיים רגילים ולא סדירים
2.5. הרחבה של פונקציה נתונה בתפקודים עצמיים של בעיות ערך עצמי רגיל ובלתי סדיר
2.6. בעיות ערכים עצמיים נורמליים 200
2.7. על משוואות אינטגרליות מסוג Fredholm Type 204
2.8. קשר בין בעיות ערכי גבול ומשוואות אינטגרליות מסוג פרדהולם
2.9. קשר בין בעיות ערכים עצמיים ומשוואות אינטגרליות מסוג פרדהולם
2.10. על משוואות אינטגרליות מסוג Volterra Type211
2.11. קשר בין בעיות ערך גבול לבין משוואות אינטגרליות מסוג וולטרה
2.12. קשר בין בעיות ערך עצמי ומשוואות אינטגרליות מסוג וולטרה
2.13. קשר בין בעיות ערכים עצמיים וחשבון הווריאציות
2.14. יישום להרחבה במונחים של פונקציות עצמיות218
2.15. הערות נוספות219
§ 3. שיטות משוערות לפתרון בעיות בערכים עצמיים u222-
בעיות ערכי גבולות
3.1. שיטת גלרקין-ריץ משוערת222
3.2. שיטת גרמל משוערת224
3.3. פתרון בעיית ערך גבול לא הומוגנית בשיטת Galerkin-Ritz
3.4. שיטת קירובים עוקבים 226
3.5. פתרון משוער של בעיות ערך גבול ובעיות ערך עצמי בשיטת ההבדלים הסופיים
3.6. שיטת הפרעה 230
3.7. הערכות ערך עצמי 233
3.8. סקירה כללית של דרכים לחישוב ערכים עצמיים ו-236 פונקציות עצמיות
§ 4. בעיות ערכים עצמיים צמודים עצמיים עבור משוואה238
F(y)=W(y)
4.1. הצהרת בעיה 238
4.2. הערות מקדימות כלליות 239
4.3. בעיות ערך עצמי נורמלי 240
4.4. בעיות ערך עצמי מובהק חיובי 241
4.5. הרחבת פונקציה עצמית 244
§ 5. גבול ותנאים נוספים של טופס כללי יותר 247
פרק ב. בעיות ערך גבול ובעיות ערך עצמי למערכות
משוואות דיפרנציאליות ליניאריות
§ 6. בעיות ערך גבול ובעיות ערך עצמי למערכות 249
משוואות דיפרנציאליות ליניאריות
6.1. סימון ותנאי פתירות 249
6.2. בעיית ערך גבול מצומד 250
6.3. מטריקס ירוק252
6.4. בעיות ערך עצמי 252-
6.5. בעיות ערך עצמי צמוד עצמי 253
פרק ג'. בעיות ערך גבול ובעיות ערך עצמי למשוואות
הזמנות נמוכות יותר
§ 7. בעיות מהסדר הראשון256
7.1. בעיות ליניאריות 256
7.2. בעיות לא ליניאריות 257
§ 8. בעיות ערך גבול ליניארי מהסדר השני257
8.1. הערות כלליות 257
8.2. הפונקציה של גרין 258
8.3. אומדנים לפתרונות של בעיות ערך גבול מהסוג הראשון259
8.4. תנאי גבול עבור |х|->inf259
8.5. מציאת פתרונות תקופתיים 260
8.6. בעיית ערך גבול אחת קשורה לחקר זרימת נוזלים 260
§ 9. בעיות ערך עצמי ליניארי מסדר שני 261
9.1. הערות כלליות 261
9.2 בעיות ערך עצמי צמוד עצמי 263
9.3. y"=F(x,)Cjz, z"=-G(x,h)y ותנאי הגבול הם עצמיים צמודים266
9.4. בעיות ערך עצמי ועקרון הווריאציות269
9.5. על חישוב מעשי של ערכים עצמיים ופונקציות עצמיות
9.6. בעיות ערך עצמי, לאו דווקא התאמה עצמית271
9.7. תנאים נוספים של טופס כללי יותר273
9.8. בעיות ערך עצמי המכילות פרמטרים מרובים
9.9. משוואות דיפרנציאליות עם סינגולריות בנקודות גבול 276
9.10. בעיות ערך עצמי במרווח אינסופי 277
§עשר. בעיות ערך גבול לא ליניארי ובעיות ערך עצמי 278
הזמנה שנייה
10.1. בעיות ערך גבול עבור מרווח סופי 278
10.2. בעיות ערך גבול עבור מרווח חצי גבול 281
10.3. בעיות ערך עצמי282
§אחד עשר. בעיות ערך גבול ובעיות ערך עצמי של השלישי
סדר שמיני
11.1. בעיות ערך עצמי ליניארי מהסדר השלישי283
11.2. בעיות ערך עצמי ליניארי מהסדר הרביעי 284
11.3. בעיות לינאריות למערכת של שתי משוואות דיפרנציאליות מסדר שני
11.4. בעיות ערך גבול לא ליניארי מהסדר הרביעי 287
11.5. בעיות ערך עצמי מסדר גבוה288

חלק שלישי
משוואות דיפרנציאליות נפרדות
הערות מקדימות 290
פרק א' משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון
1-367. דיפרנציאל, משוואות מהמעלה הראשונה ביחס ל-U 294
368-517. משוואות דיפרנציאליות מדרגה שנייה ביחס ל-334
518-544. משוואות דיפרנציאליות מדרגה שלישית ביחס ל-354
545-576. משוואות דיפרנציאליות של צורה כללית יותר358
פרק ב. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר שני
1-90. ay" + ...363
91-145. (ax + yuy " + ... 385
146-221.x2 y" + ... 396
222-250. (x2 ± a2) y "+ ... 410
251-303. (ax2 + bx + c) y" + ... 419
304-341. (ax3 +...)y" + ...435
342-396. (ax4 +...)y" + ...442
397-410. (אה "+ ...) y" + ... 449
411-445. משוואות דיפרנציאליות אחרות 454
פרק ג'. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מהסדר השלישי
פרק ד'. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מהסדר הרביעי
פרק ו' משוואות דיפרנציאליות לינאריות של החמישי ומעלה
הזמנות
פרק ו'. משוואות דיפרנציאליות לא ליניאריות מסדר שני
1-72. ay"=F(x,y,y)485
73-103./(x);y"=F(x,;y,;y") 497
104- 187. / (x) xy "CR (x,; y,; y") 503
188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y)) 514
226-249. משוואות דיפרנציאליות אחרות 520
פרק ז'. משוואות דיפרנציאליות לא לינאריות של השלישי ועוד
הזמנות גבוהות
פרק ח. מערכות של משוואות דיפרנציאליות לינאריות
הערות מקדימות 530
1-18. מערכות של שתי משוואות דיפרנציאליות מהסדר הראשון c530
מקדמים קבועים 19-25.
מערכות של שתי משוואות דיפרנציאליות מהסדר הראשון с534
מקדמים משתנים
26-43. מערכות של שתי משוואות דיפרנציאליות בסדר מעל 535
ראשון
44-57. מערכות של יותר משתי משוואות דיפרנציאליות538
פרק ט'. מערכות של משוואות דיפרנציאליות לא ליניאריות
1-17. מערכות של שתי משוואות דיפרנציאליות541
18-29. מערכות של יותר משתי משוואות דיפרנציאליות 544
תוספות
על פתרון משוואות הומוגניות ליניאריות מסדר שני (I. Zbornik) 547
תוספות לספר ע' קמקה (ד' מיטרינוביץ') 556
דרך חדשה לסווג משוואות דיפרנציאליות לינאריות ו-568
בניית הפתרון הכללי שלהם באמצעות נוסחאות רקורסיביות
(א. זבורניק)
אינדקס 571

איינס אי.ל. משוואות דיפרנציאליות רגילות. חרקוב: אונטי, 1939

Andronov A.A., Leontovich E.V., Gordon I.I., Mayer A.G. תיאוריה איכותית של מערכות דינמיות מהסדר השני. מוסקבה: נאוקה, 1966

אנוסוב D.V. (עורך) מערכות דינמיות חלקות (אוסף תרגומים, מתמטיקה במדע זר N4). מ.: מיר, 1977

ארנולד V.I., Kozlov V.V., Neishtadt A.I. היבטים מתמטיים של מכניקה קלאסית ושמימית. מ.: VINITI, 1985

ברבשין א.א. ליאפונוב מתפקד. מוסקבה: נאוקה, 1970

Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. שיטות אסימפטוטיות בתורת התנודות הלא-לינאריות (מהדורה שנייה). מוסקבה: נאוקה, 1974

Vazov V. הרחבות אסימפטוטיות של פתרונות של משוואות דיפרנציאליות רגילות. מ.: מיר, 1968

Weinberg M.M., Trenogin V.A. תורת הסתעפות של פתרונות של משוואות לא ליניאריות. מוסקבה: נאוקה, 1969

Golubev V.V. הרצאות על התיאוריה האנליטית של משוואות דיפרנציאליות. M.-L.: Gostekhteorizdat, 1950

Gursa E. קורס ניתוח מתמטי, כרך 2, חלק 2. משוואות דיפרנציאליות. M.-L.: GTTI, 1933

דמידוביץ' ב.פ. הרצאות על התיאוריה המתמטית של היציבות. מוסקבה: נאוקה, 1967

דוברובולסקי V.A. מאמרים על התפתחות התיאוריה האנליטית של משוואות דיפרנציאליות. קייב: בית ספר וישצ'ה, 1974

אגורוב ד' אינטגרציה של משוואות דיפרנציאליות (מהדורה שלישית). מ.: דפוס יעקבלב, 1913

ערוגין נ.פ. ספר קריאה לקורס כללי במשוואות דיפרנציאליות (מהדורה שלישית). מינסק: מדע וטכנולוגיה, 1979

ערוגין נ.פ. מערכות ליניאריות של משוואות דיפרנציאליות רגילות עם מקדמים מחזוריים ומעין-מחזוריים. מינסק: AN BSSR, 1963

ערוגין נ.פ. שיטת לאפו-דנילבסקי בתורת משוואות דיפרנציאליות לינאריות. ל.: אוניברסיטת לנינגרד, 1956

זייצב V.F. מבוא לניתוח קבוצות מודרני. חלק 1: קבוצות של טרנספורמציות במטוס ( הדרכהלקורס). סנט פטרסבורג: האוניברסיטה הפדגוגית הממלכתית של רוסיה im. א.י. הרזן, 1996

זייצב V.F. מבוא לניתוח קבוצות מודרני. חלק ב': משוואות מסדר ראשון וקבוצות הנקודות המותרות על ידן (ספר לימוד לקורס המיוחד). סנט פטרסבורג: האוניברסיטה הפדגוגית הממלכתית של רוסיה im. א.י. הרזן, 1996

איברגימוב נ.ח. ABC של ניתוח קבוצתי. מוסקבה: ידע, 1989

איברגימוב נ.ח. ניסיון בניתוח קבוצתי של משוואות דיפרנציאליות רגילות. מוסקבה: ידע, 1991

קמנקוב G.V. עבודות נבחרות. ת.1. יציבות תנועה. תנודות. אֲוִירוֹדִינָמִיקָה. מוסקבה: נאוקה, 1971

קמנקוב G.V. עבודות נבחרות. ת.2. יציבות ותנודות מערכות לא ליניאריות. מוסקבה: נאוקה, 1972

Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations (מהדורה רביעית). מוסקבה: נאוקה, 1971

קפלנסקי I. מבוא לאלגברה דיפרנציאלית. מ.: IL, 1959

קרטשב א.פ., רוז'דסטבנסקי ב.ל. משוואות דיפרנציאליות רגילות ויסודות חשבון הווריאציות (מהדורה שנייה). מוסקבה: נאוקה, 1979

Coddington EA, Levinson N. תורת משוואות דיפרנציאליות רגילות. מ.: IL, 1958

קוזלוב V.V. סימטריות, טופולוגיה ותהודה במכניקה המילטון. איזבסק: בית ההוצאה לאור של מדינת אודמורט. אוניברסיטה, 1995

Collatz L. Eigenvalue בעיות (עם יישומים טכניים). מוסקבה: נאוקה, 1968

Cole J. Perturbation methods במתמטיקה יישומית. מ.: מיר, 1972

קוילוביץ' ב.מ. מחקר על המשוואה הדיפרנציאלית ydy-ydx=Rdx. סנט פטרבורג: האקדמיה למדעים, 1894

קרסובסקי נ.נ. כמה בעיות של התיאוריה של יציבות התנועה. מוסקבה: פיזמטלית, 1959

Kruskal M. Invariants Adiabatic. תיאוריה אסימפטוטית של משוואות המילטון ומערכות אחרות של משוואות דיפרנציאליות, שכל הפתרונות שלהן מחזוריים בערך. מ.: IL, 1962

קורנסקי מ.ק. משוואות דיפרנציאליות. ספר 1. משוואות דיפרנציאליות רגילות. ל.: האקדמיה לתותחנים, 1933

לאפו-דנילבסקי י.א. יישום של פונקציות ממטריצות לתיאוריה של מערכות לינאריות של משוואות דיפרנציאליות רגילות. מ.: GITTL, 1957

לאפו-דנילבסקי י.א. תורת הפונקציות ממטריצות ומערכות של משוואות דיפרנציאליות לינאריות. L.-M., GITTL, 1934

LaSalle J., Lefschetz S. מחקר של יציבות בשיטת Lyapunov הישירה. מ.: מיר, 1964

לויתן ב.מ., ז'יקוב V.V. פונקציות כמעט מחזוריות ומשוואות דיפרנציאליות. מוסקבה: אוניברסיטת מוסקבה, 1978

לפשץ ש' תיאוריה גיאומטרית של משוואות דיפרנציאליות. מ.: IL, 1961

ליאפונוב א.מ. הבעיה הכללית של יציבות התנועה. M.-L.: GITTL, 1950

מלכין אי.ג. תורת יציבות התנועה. מוסקבה: נאוקה, 1966

Marchenko V.A. מפעילי Sturm-Liouville והיישומים שלהם. קייב: נאוק. מחשבה, 1977

Marchenko V.A. התיאוריה הספקטרלית של מפעילי Sturm-Liouville. קייב: נאוק. מחשבה, 1972

מטבייב נ.מ. שיטות לשילוב משוואות דיפרנציאליות רגילות (מהדורה שלישית). M.: בוגר בית - ספר, 1967

Mishchenko E.F., Rozov N.X. משוואות דיפרנציאליות עם פרמטר קטן ותנודות הרפיה. מוסקבה: נאוקה, 1975

Moiseev N.N. שיטות אסימפטוטיות של מכניקה לא ליניארית. מוסקבה: נאוקה, 1969

Mordukhai-Boltovskoy D. על אינטגרציה בצורה סופית של משוואות דיפרנציאליות לינאריות. ורשה, 1910

ניימרק מ.א. מפעילי דיפרנציאל ליניארי (מהדורה שנייה). מוסקבה: נאוקה, 1969

נמצקי V.V., Stepanov V.V. תיאוריה איכותית של משוואות דיפרנציאליות. מ.-ל.: OGIZ, 1947

Pliss V.A. בעיות לא מקומיות של תורת התנודות. מ'-ל': נאוקה, 1964

פונומארב K.K. קומפילציה של משוואות דיפרנציאליות. מנ.: ויש. בית ספר, 1973

Pontryagin L.S. משוואות דיפרנציאליות רגילות (מהדורה רביעית). מוסקבה: נאוקה, 1974

Poincaré A. על עקומות המוגדרות על ידי משוואות דיפרנציאליות. M.-L., GITTL, 1947

רסולוב מ.ל. שיטת אינטגרל קווי המתאר ויישומה לחקר בעיות עבור משוואות דיפרנציאליות. מוסקבה: נאוקה, 1964

Rumyantsev V.V., Oziraner A.S. יציבות וייצוב התנועה ביחס לחלק מהמשתנים. מוסקבה: נאוקה, 1987

Sansone J. משוואות דיפרנציאליות רגילות, כרך 1. מוסקבה: IL, 1953

Kamke E. A Handbook of First Order Partial Differential Equations: A Handbook. נערך על ידי N.X. רוזובה - מ.: "נאוקה", 1966. - 258 עמ'.
הורד(לינק ישיר) : kamke_es_srav_po_du.djvu הקודם 1 .. 4 > .. >> הבא

עם זאת, לאחרונה העניין במשוואות דיפרנציאליות בנגזרות חלקיות מהסדר הראשון גדל שוב מאוד. שני גורמים תרמו לכך. קודם כל, התברר שהפתרונות המוכללים כביכול של משוואות קווזילינאריות מסדר ראשון הם בעלי עניין יוצא דופן עבור יישומים (למשל, בתורת גלי הלם בדינמיקה של גז וכו'). בנוסף, התיאוריה של מערכות של משוואות דיפרנציאליות חלקיות צעדה רחוק קדימה. אף על פי כן, עד כה, אין מונוגרפיה ברוסית שתאסוף ותציג את כל העובדות שהצטברו בתורת משוואות דיפרנציאליות חלקיות מהסדר הראשון, למעט ספרו הידוע של נ.מ. גיון-

הקדמה למהדורה הרוסית

טרה, שהפכה מזמן נדירה ביבליוגרפית. ספר זה ממלא את החסר הזה במידה מסוימת.

שמו של פרופסור E. Kamke מאוניברסיטת טובינגן מוכר למתמטיקאים סובייטים. בבעלותו מספר רב של יצירות על משוואות דיפרנציאליות וכמה ענפים אחרים של מתמטיקה, כמו גם מספר ספרים בעלי אופי חינוכי. במיוחד, המונוגרפיה שלו "האינטגרל של לבגס-סטיילטס" תורגם לרוסית ויצא לאור ב-1959. שלוש מהדורות ברוסית בשנת 1951, 1961, 1965 הוצאו על ידי "המדריך למשוואות דיפרנציאליות רגילות", שהוא תרגום של הכרך הראשון של "Gewohnliche Differenlialglelchungen" של ספרו של E. Kamke "Differentialgleichungen (Losungsmethoden) und L6sungsmethoden".

"מדריך למשוואות דיפרנציאליות חלקיות מסדר ראשון" הוא תרגום של הכרך השני של אותו ספר. נאספו כ-500 משוואות עם פתרונות. בנוסף לחומר זה, מדריך זה מכיל הצגה תמציתית (ללא הוכחה) של מספר סוגיות תיאורטיות, כולל כאלו שאינן נכללות בקורסים הרגילים של משוואות דיפרנציאליות, כגון משפטי קיום, ייחודיות וכו'.

בהכנת המהדורה הרוסית שונתה הביבליוגרפיה הנרחבת הזמינה בספר. הפניות לספרי לימוד לועזיים ישנים ובלתי נגישים הוחלפו, במידת האפשר, בהפניות לספרות מקומית ומתורגמת. כל אי הדיוקים, השגיאות ושגיאות ההקלדה שצוינו תוקנו. כל התוספות, ההערות וההוספות שנעשו לספר במהלך העריכה מצורפות בסוגריים מרובעים.

ספר עיון זה, שנוצר בתחילת שנות הארבעים (ומאז נדפס שוב ושוב ב-GDR ללא כל שינוי), ללא ספק כבר אינו משקף במלואו את ההישגים הזמינים כעת בתורת משוואות דיפרנציאליות חלקיות מהסדר הראשון. לפיכך, התיאוריה של פתרונות מוכללים של משוואות קווזילינאריות, שפותחה בעבודותיהם הידועות של I. M. Gelfand, O. A. Oleinik ואחרים, לא מצאה כל השתקפות בספר. דוגמאות לתוצאות עדכניות שלא נכללו בספר וקשורות לכך. ניתן לתת לנושאים המטופלים ישירות במדריך. לא מכוסה במדריך ובתיאוריה של משוואות Pfaff. עם זאת, אנו חושבים שגם בצורה זו הספר ללא ספק יתגלה כמדריך שימושי לתיאוריה הקלאסית של משוואות דיפרנציאליות חלקיות מהסדר הראשון.

סיכום המשוואות המובא בספר, שאת פתרונותיהן ניתן לרשום בצורה הסופית, מעניין ושימושי מאוד, אך כמובן אינו ממצה. הוא חובר על ידי המחבר על בסיס יצירות שהופיעו לפני תחילת שנות הארבעים.

כמה הערות

x, y; היי xp; yi .... yn - משתנים בלתי תלויים, r- (x (, xn) a, b, c; A, B, C - קבועים, מקדמים קבועים, @, @ (x, y), @ (r) - פתוח אזור, אזור במישור (x, y), במרחב המשתנים xt,...,xn [בדרך כלל אזור ההמשכיות של מקדמים ופתרונות. - הערה מהדורה], g - subdomain @, F, f - תפקיד כללי,

fi - פונקציה שרירותית, r; r(x, y); z - ty(x....., xn) - פונקציה רצויה, פתרון,

Dg _ dg _ dg _ dg

p~~dx "q~~dy~" Pv~lx^" qv~~dy~^"

x, |A, k, n - מדדי סיכום,

\n)~n! (נ - לא)! "

/g„...zln\

det | zkv\ - הקובע של המטריצה I.....I.

\gsh - gpp I

קיצורים מקובלים בהוראות ביבליוגרפיות

Günther - N.M. Günter, אינטגרציה של משוואות דיפרנציאליות חלקיות מסדר ראשון, GTTI, 1934.

Kamke - E. Kamke, Handbook of Ordinary Differential Equations, Nauka, 1964.

קוראנט - ר' קוראנט, משוואות דיפרנציאליות חלקיות, מיר, 1964.

פטרובסקי - I. G. Petrovsky, הרצאות על תורת משוואות דיפרנציאליות רגילות, "נאוקה", 1964.

סטפנוב - V. V. Stepanov, קורס משוואות דיפרנציאליות, Fizmat-giz, 1959.

Kamke, DQlen-E. Kamke, Differentialgleichungen reeller Funktionen, לייפציג, 1944.

הקיצורים של שמות כתבי העת תואמים את המקובלים ולפיכך מושמטים בתרגום; ראה, לעומת זאת, K a m to e. - כ. עורך]

חלק ראשון

שיטות פתרון כלליות

[הספרות הבאה מוקדשת לנושאים הנידונים בחלק הראשון: