נחשבת שיטה לפתרון משוואות דיפרנציאליות עם משתנים הניתנים להפרדה. ניתנת דוגמה לפתרון מפורט של משוואה דיפרנציאלית עם משתנים הניתנים להפרדה.

תוֹכֶן

הַגדָרָה

תן s (איקס), ש (איקס)- פונקציות של המשתנה x ;
ע (י),ר (י)- פונקציות של המשתנה y .

משוואה דיפרנציאלית עם משתנים הניתנים להפרדה היא משוואה של הצורה

שיטה לפתרון משוואה דיפרנציאלית עם משתנים הניתנים להפרדה

שקול את המשוואה:
(אני) .
אנו מבטאים את הנגזרת y במונחים של דיפרנציאלים.
;
.
הכפל ב-dx.
(ii)
מחלקים את המשוואה ב-s (x)r(y). ניתן לעשות זאת אם ס (x) r(y) ≠ 0. עבור ש (x) r(y) ≠ 0יש לנו
.
באינטגרציה, אנו מקבלים את האינטגרל הכללי בריבועים
(iii) .

מאחר שחילקנו ב-s (x)r(y), אז נקבל את האינטגרל של המשוואה עבור s (x) ≠ 0ו-r (y) ≠ 0. לאחר מכן, עליך לפתור את המשוואה
ר (y) = 0.
אם למשוואה הזו יש שורשים, אז הם גם פתרונות של משוואה (i). תן את המשוואה r (y) = 0. יש n שורשים a i, r (a i) = 0, אני = 1, 2, ... , נ. אז הקבועים y = a i הם פתרונות של משוואה (i). ייתכן שחלק מהפתרונות הללו כבר כלולים באינטגרל הכללי (iii).

שימו לב שאם המשוואה המקורית ניתנת בצורה (ii), אז יש לפתור גם את המשוואה
ס (x) = 0.
שורשיו b j , s (b j ) = 0, j = 1, 2, ... , מ. תן פתרונות x = b j .

דוגמה לפתרון משוואה דיפרנציאלית עם משתנים הניתנים להפרדה

פתור את המשוואה

אנו מבטאים את הנגזרת במונחים של דיפרנציאלים:


הכפל ב-dx וחלק ב-. עבור y ≠ 0 יש לנו:

בואו נשלב.

אנו מחשבים את האינטגרלים באמצעות הנוסחה.



בהחלפה, נקבל את האינטגרל הכללי של המשוואה
.

עכשיו שקול את המקרה, y = 0 .
ברור ש-y = 0 הוא פתרון למשוואה המקורית. זה לא כלול באינטגרל הכללי.
אז בואו נוסיף את זה לתוצאה הסופית.

; y= 0 .

הפניות:
נ.מ. Gunther, R.O. קוזמין, אוסף בעיות במתמטיקה גבוהה יותר, לאן, 2003.

נחשבת שיטה לפתרון משוואות דיפרנציאליות בהפחתה למשוואות עם משתנים הניתנים להפרדה. ניתנת דוגמה לפתרון מפורט של משוואה דיפרנציאלית המצטמצמת למשוואה עם משתנים הניתנים להפרדה.

תוֹכֶן

ניסוח הבעיה

שקול את המשוואה הדיפרנציאלית
(אני) ,
כאשר f היא פונקציה, a, b, c הם קבועים, b ≠ 0 .
משוואה זו מצטמצמת למשוואה עם משתנים הניתנים להפרדה.

שיטת פתרון

אנו מבצעים החלפה:
u = ax + by + c
כאן y היא פונקציה של x . לכן, u הוא גם פונקציה של x .
הבדיל ביחס ל-x
u′ = (ax + by + c)′ = a + by′
תחליף (אני)
u′ = a + by′ = a + b f(ax + by + c) = a + b f (u)
אוֹ:
(ii)
הפרד משתנים. הכפל ב-dx וחלק ב-a + b f (u). אם a + b f (u) ≠ 0, זה

על ידי שילוב, אנו מקבלים את האינטגרל הכללי של המשוואה המקורית (אני)בריבועים:
(iii) .

לבסוף, שקול את המקרה
(iv) a + b f (u) = 0.
נניח שלמשוואה זו יש n שורשים u = r i, a + b f (r i ) = 0, אני = 1, 2, ...n. מכיוון שהפונקציה u = r i קבועה, הנגזרת שלה ביחס ל-x שווה לאפס. לכן, u = r i הוא פתרון למשוואה (ii).
עם זאת, המשוואה (ii)אינו תואם את המשוואה המקורית (אני)ואולי, לא כל הפתרונות u = r i , המבוטאים במונחים של המשתנים x ו- y , עומדים במשוואה המקורית (אני).

לפיכך, הפתרון למשוואה המקורית הוא האינטגרל הכללי (iii)וכמה שורשים של המשוואה (iv).

דוגמה לפתרון משוואה דיפרנציאלית שמצטמצמת למשוואה עם משתנים הניתנים להפרדה

פתור את המשוואה
(1)

אנו מבצעים החלפה:
u = x - y
להבדיל ביחס ל-x ולבצע טרנספורמציות:
;

הכפל ב-dx וחלק ב-u 2 .

אם אתה ≠ 0, אז נקבל:

אנו משלבים:

אנו מיישמים את הנוסחה מטבלת האינטגרלים:

אנו מחשבים את האינטגרל

לאחר מכן
;
, או

החלטה משותפת:
.

עכשיו שקול את המקרה u = 0 , או u = x - y = 0 , או
y=x.
מאז y′ = (x)′ = 1, אז y = x הוא פתרון למשוואה המקורית (1) .

;
.

הפניות:
נ.מ. Gunther, R.O. קוזמין, אוסף בעיות במתמטיקה גבוהה יותר, לאן, 2003.

לעתים קרובות, עצם האזכור של משוואות דיפרנציאליות גורם לתלמידים להרגיש אי נוחות. למה זה קורה? לרוב, מכיוון שכאשר לומדים את היסודות של החומר, נוצר פער בידע, שבגללו המשך לימוד הדיפרורים הופך פשוט לעינויים. שום דבר לא ברור מה לעשות, איך להחליט מאיפה להתחיל?

עם זאת, ננסה להראות לכם שדיפוזים אינם קשים כפי שהם נראים.

מושגי יסוד של תורת משוואות דיפרנציאליות

מבית הספר, אנו מכירים את המשוואות הפשוטות ביותר שבהן עלינו למצוא את ה-x הלא ידוע. למעשה משוואות דיפרנציאליותרק מעט שונה מהם - במקום משתנה איקס הם צריכים למצוא פונקציה y(x) , מה שיהפוך את המשוואה לזהות.

משוואות דיפרנציאליותהם בעלי חשיבות מעשית רבה. זו לא מתמטיקה מופשטת שאין לה שום קשר לעולם הסובב אותנו. בעזרת משוואות דיפרנציאליות מתוארים תהליכים טבעיים אמיתיים רבים. למשל, תנודות מיתר, תנועת מתנד הרמוני, באמצעות משוואות דיפרנציאליות בבעיות המכניקה, מוצאים את המהירות והתאוצה של גוף. גַם DUנמצאים בשימוש נרחב בביולוגיה, כימיה, כלכלה ומדעים רבים אחרים.

משוואה דיפרנציאלית (DU) היא משוואה המכילה את הנגזרות של הפונקציה y(x), הפונקציה עצמה, משתנים בלתי תלויים ופרמטרים נוספים בשילובים שונים.

ישנם סוגים רבים של משוואות דיפרנציאליות: משוואות דיפרנציאליות רגילות, ליניאריות ולא לינאריות, הומוגניות ולא הומוגניות, משוואות דיפרנציאליות מהסדר הראשון והגבוה יותר, משוואות דיפרנציאליות חלקיות וכו'.

הפתרון למשוואה דיפרנציאלית הוא פונקציה שהופכת אותה לזהות. ישנם פתרונות כלליים ומיוחדים של שלט רחוק.

הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית הוא מכלול הפתרונות הכללי שהופכים את המשוואה לזהות. פתרון מסוים של משוואת דיפרנציאלית הוא פתרון המקיים תנאים נוספים שצוינו בתחילה.

הסדר של משוואת דיפרנציאלית נקבע לפי הסדר הגבוה ביותר של הנגזרות הנכללות בה.

משוואות דיפרנציאליות רגילות

משוואות דיפרנציאליות רגילותהן משוואות המכילות משתנה בלתי תלוי אחד.

שקול את המשוואה הדיפרנציאלית הרגילה הפשוטה ביותר מהסדר הראשון. זה נראה כמו:

ניתן לפתור את המשוואה הזו על ידי שילוב הצד הימני שלה.

דוגמאות למשוואות כאלה:

משוואות משתנים ניתנות להפרדה

IN השקפה כלליתסוג המשוואה הזה נראה כך:

הנה דוגמה:

כדי לפתור משוואה כזו, אתה צריך להפריד את המשתנים, להביא אותו לצורה:

לאחר מכן, נותר לשלב את שני החלקים ולקבל פתרון.

משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מהסדר הראשון

משוואות כאלה לובשות את הצורה:

כאן p(x) ו-q(x) הן כמה פונקציות של המשתנה הבלתי תלוי, ו-y=y(x) היא הפונקציה הרצויה. הנה דוגמה למשוואה כזו:

בפתרון משוואה כזו, לרוב הם משתמשים בשיטת הווריאציה של קבוע שרירותי או מייצגים את הפונקציה הרצויה כמכפלה של שתי פונקציות אחרות y(x)=u(x)v(x).

כדי לפתור משוואות כאלה, נדרשת הכנה מסוימת, וזה יהיה די קשה לקחת אותן "בגחמה".

דוגמה לפתרון DE עם משתנים הניתנים להפרדה

אז שקלנו את הסוגים הפשוטים ביותר של שלט רחוק. עכשיו בואו נסתכל על אחד מהם. תן לזה להיות משוואה עם משתנים הניתנים להפרדה.

ראשית, נכתוב מחדש את הנגזרת בצורה מוכרת יותר:

לאחר מכן נפריד בין המשתנים, כלומר, בחלק אחד של המשוואה נאסוף את כל ה"משחקים", ובשני - ה"xes":

כעת נותר לשלב את שני החלקים:

אנו משלבים ומקבלים את הפתרון הכללי של המשוואה הזו:

כמובן, פתרון משוואות דיפרנציאליות הוא סוג של אמנות. אתה צריך להיות מסוגל להבין לאיזה סוג משוואה שייכת, וגם ללמוד לראות אילו טרנספורמציות אתה צריך לעשות איתה כדי להביא אותה לצורה כזו או אחרת, שלא לדבר רק על היכולת להבדיל ולהשתלב. וצריך תרגול (כמו בכל דבר) כדי להצליח לפתור DE. ואם יש לך הרגע הזהאין זמן להתמודד עם איך נפתרות משוואות דיפרנציאליות או שבעיית קאוצ'י עלתה כמו עצם בגרון או שאינך יודע איך לעצב מצגת נכון, צור קשר עם המחברים שלנו. תוך זמן קצר נספק לכם פתרון מוכן ומפורט שאת פרטיו תוכלו להבין בכל זמן שנוח לכם. בינתיים, אנו מציעים לצפות בסרטון בנושא "כיצד לפתור משוואות דיפרנציאליות":

משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון. דוגמאות לפתרונות.
משוואות דיפרנציאליות עם משתנים הניתנים להפרדה

משוואות דיפרנציאליות (DE). שתי המילים האלה בדרך כלל מפחידות את הדיוט הממוצע. נראה שמשוואות דיפרנציאליות הן משהו שערורייתי וקשה לשלוט בו עבור תלמידים רבים. Uuuuuu... משוואות דיפרנציאליות, איך אני אשרוד את כל זה?!

דעה כזו וגישה כזו שגויה מיסודה, כי בעצם משוואות דיפרנציאליות הן פשוטות ואפילו מהנות. מה אתה צריך לדעת ולהיות מסוגל ללמוד לפתור משוואות דיפרנציאליות? כדי ללמוד בהצלחה דיפרורים, עליך להיות טוב בשילוב ובידול. ככל שהנושאים נלמדים טוב יותר נגזרת של פונקציה של משתנה אחדו אינטגרל בלתי מוגבל, כך יהיה קל יותר להבין משוואות דיפרנציאליות. אני אגיד יותר, אם יש לך כישורי אינטגרציה הגונים יותר או פחות, אז הנושא הוא שליטה מעשית! ככל שתוכלו לפתור יותר אינטגרלים מסוגים שונים, כך ייטב. למה? צריך להשתלב הרבה. ולהבדיל. גַם ממליץ בחוםללמוד למצוא.

ב-95% מהמקרים ב עבודת בקרהישנם 3 סוגים של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון: משוואות הניתנות להפרדה, שעליו נעסוק בשיעור זה; משוואות הומוגניותו משוואות לא הומוגניות ליניאריות. למתחילים ללמוד מפזרים, אני ממליץ לכם לקרוא את השיעורים ברצף זה, ולאחר לימוד שני המאמרים הראשונים, לא יזיק לגבש את כישוריכם בסדנה נוספת - משוואות שמצטמצמות להומוגניות.

ישנם סוגים נדירים אף יותר של משוואות דיפרנציאליות: משוואות בהפרשים הכוללים, משוואות ברנולי ועוד כמה. מבין שני הסוגים האחרונים, החשובים ביותר הם משוואות בהפרשים הכוללים, מכיוון שבנוסף ל-DE הזה, אני שוקל חומר חדש - אינטגרציה חלקית.

אם נשאר לך רק יום או יומיים, זה להכנה מהירה במיוחדיש קורס בליץבפורמט pdf.

אז, ציוני הדרך מוגדרים - בוא נלך:

נזכיר תחילה את המשוואות האלגבריות הרגילות. הם מכילים משתנים ומספרים. הדוגמה הפשוטה ביותר: . מה זה אומר לפתור משוואה רגילה? זה אומר למצוא קבוצה של מספריםשעונים על המשוואה הזו. קל לראות שלמשוואת הילדים יש שורש בודד: . בשביל הכיף, בוא נעשה בדיקה, נחליף את השורש שנמצא במשוואה שלנו:

- מתקבל השוויון הנכון, כלומר הפתרון נמצא נכון.

דיפוזים מסודרים כמעט באותו אופן!

משוואה דיפרנציאלית הזמנה ראשונהבכללי מכיל:
1) משתנה בלתי תלוי;
2) משתנה תלוי (פונקציה);
3) הנגזרת הראשונה של הפונקציה:.

במשוואות מסוימות מהסדר הראשון, ייתכן שאין "x" או (ו) "y", אבל זה לא חיוני - חָשׁוּבכך שב-DU היהנגזרת ראשונה, ו לא היה לינגזרות מסדרים גבוהים יותר - וכו'.

מה אומר?לפתור משוואת דיפרנציאלית פירושו למצוא סט של כל הפונקציותשעונים על המשוואה הזו. לקבוצה כזו של פונקציות יש לעתים קרובות את הצורה ( הוא קבוע שרירותי), שנקראת פתרון כללי של המשוואה הדיפרנציאלית.

דוגמה 1

לפתור משוואת דיפרנציאלית

תחמושת מלאה. איפה להתחיל פִּתָרוֹן?

קודם כל, אתה צריך לשכתב את הנגזרת בצורה קצת שונה. אנו זוכרים את הסימון המסורבל, שרבים מכם בטח חשבו שהוא מגוחך ומיותר. זה שולט במפזרים!

בשלב השני, בואו נראה אם ​​זה אפשרי פיצול משתנים?מה המשמעות של הפרדת משתנים? באופן כללי, בצד השמאליאנחנו צריכים לעזוב רק "משחקים", א בצד ימיןלְאַרגֵן רק X. הפרדת משתנים מתבצעת בעזרת מניפולציות "בית ספריות": סוגריים, העברת מונחים מחלק לחלק בשינוי סימן, העברת גורמים מחלק לחלק לפי כלל הפרופורציה וכו'.

דיפרנציאלים ומהווים מכפילים מלאים ומשתתפים פעילים בפעולות איבה. בדוגמה זו, המשתנים מופרדים בקלות על ידי היפוך גורמים לפי כלל הפרופורציה:

משתנים מופרדים. בצד שמאל - רק "משחק", בצד ימין - רק "X".

שלב הבא - אינטגרציה של משוואות דיפרנציאליות. זה פשוט, אנו תולים אינטגרלים על שני החלקים:

כמובן שיש לקחת אינטגרלים. במקרה זה, הם טבלה:

כזכור, קבוע מוקצה לכל נגזרת אנטי. יש כאן שני אינטגרלים, אבל מספיק לכתוב את הקבוע פעם אחת (כי קבוע + קבוע עדיין שווה לקבוע אחר). ברוב המקרים, הוא ממוקם בצד ימין.

באופן קפדני, לאחר לקיחת האינטגרלים, המשוואה הדיפרנציאלית נחשבת כפתורה. הדבר היחיד הוא שה"y" שלנו לא מתבטא דרך "x", כלומר הפתרון מוצג במרומזטופס. הפתרון המרומז של משוואת דיפרנציאלית נקרא אינטגרל כללי של המשוואה הדיפרנציאלית. כלומר, הוא האינטגרל הכללי.

תשובה בצורה זו היא די מקובלת, אבל האם יש אפשרות טובה יותר? בואו ננסה להשיג החלטה משותפת.

אנא, זכור את הטכניקה הראשונה, הוא נפוץ מאוד ומשמש לעתים קרובות במשימות מעשיות: אם לוגריתם מופיע בצד ימין לאחר האינטגרציה, אז במקרים רבים (אבל לא תמיד!) רצוי לכתוב את הקבוע גם מתחת ללוגריתם. וכתוב תמיד אם מתקבלים רק לוגריתמים (כמו בדוגמה הנבדקת).

זה, במקוםרשומות נכתבות בדרך כלל .

למה זה נחוץ? ועל מנת להקל על ביטוי "י". אנו משתמשים בתכונה של לוגריתמים . במקרה הזה:

כעת ניתן להסיר לוגריתמים ומודולים:

הפונקציה מוצגת במפורש. זה הפתרון הכללי.

תשובה: החלטה משותפת: .

די קל לבדוק את התשובות למשוואות דיפרנציאליות רבות. במקרה שלנו, זה נעשה די פשוט, אנחנו לוקחים את הפתרון שנמצא ומבדילים אותו:

ואז נחליף את הנגזרת במשוואה המקורית:

- מתקבל השוויון הנכון, כלומר הפתרון הכללי עונה על המשוואה שנדרשה לבדוק.

מתן קבוע משמעויות שונות, אתה יכול לקבל אינסוף הרבה החלטות פרטיותמשוואה דיפרנציאלית. ברור שכל אחת מהפונקציות , וכו'. עונה על המשוואה הדיפרנציאלית.

לפעמים קוראים לפתרון הכללי משפחת פונקציות. בדוגמה זו, הפתרון הכללי היא משפחה של פונקציות ליניאריות, או ליתר דיוק, משפחה של פרופורציות ישירות.

לאחר דיון מפורט בדוגמה הראשונה, ראוי לענות על כמה שאלות תמימות לגבי משוואות דיפרנציאליות:

1)בדוגמה זו, הצלחנו להפריד בין המשתנים. האם תמיד אפשר לעשות את זה?לא לא תמיד. ולעתים קרובות יותר לא ניתן להפריד את המשתנים. לדוגמה, ב משוואות הומוגניות מסדר ראשוןיש להחליף תחילה. בסוגים אחרים של משוואות, למשל, במשוואה לינארית לא הומוגנית מהסדר הראשון, צריך להשתמש בטריקים ובשיטות שונות כדי למצוא פתרון כללי. משוואות המשתנים הניתנים להפרדה שאנו רואים בשיעור הראשון הן הסוג הפשוט ביותר של משוואות דיפרנציאליות.

2) האם תמיד אפשר לשלב משוואת דיפרנציאלית?לא לא תמיד. קל מאוד להמציא משוואה "מהודרת" שאי אפשר לשלב, בנוסף יש אינטגרלים שאי אפשר לקחת. אבל DEs כאלה ניתן לפתור בערך באמצעות שיטות מיוחדות. ד'אלמברט וקוצ'י מבטיחים... ...איכס, lurkmore. כשקראתי הרבה עכשיו, כמעט הוספתי "מהעולם האחר".

3) בדוגמה זו, השגנו פתרון בצורה של אינטגרל כללי . האם תמיד אפשר למצוא פתרון כללי מהאינטגרל הכללי, כלומר לבטא "y" בצורה מפורשת?לא לא תמיד. לדוגמה: . ובכן, איך אני יכול לבטא "y" כאן?! במקרים כאלה, יש לכתוב את התשובה כאינטגרל כללי. בנוסף, לפעמים אפשר למצוא פתרון כללי, אבל הוא כתוב בצורה כל כך מסורבלת ומסורבלת שעדיף להשאיר את התשובה בצורת אינטגרל כללי

4) ...אולי מספיק לעת עתה. בדוגמה הראשונה, נפגשנו עוד אחד נקודה חשובה , אבל כדי לא לכסות את ה"בובות" במפולת של מידע חדש, אשאיר זאת עד לשיעור הבא.

בואו לא נמהר. עוד שלט רחוק פשוט ועוד פתרון טיפוסי:

דוגמה 2

מצא פתרון מסוים של המשוואה הדיפרנציאלית שעונה על התנאי ההתחלתי

פִּתָרוֹן: לפי המצב שהוא נדרש למצוא פתרון פרטי DE המקיים תנאי התחלתי נתון. סוג זה של תשאול נקרא גם בעיה קוצנית.

ראשית, אנו מוצאים פתרון כללי. אין משתנה "x" במשוואה, אבל זה לא צריך להיות מביך, העיקר שיש לו את הנגזרת הראשונה.

אנו משכתבים את הנגזרת בצורה הנדרשת:

ברור שניתן לחלק את המשתנים, בנים משמאל, בנות מימין:

אנו משלבים את המשוואה:

מתקבל האינטגרל הכללי. כאן ציירתי קבוע עם כוכב מבטא, העובדה היא שבקרוב הוא יהפוך לעוד קבוע.

כעת אנו מנסים להמיר את האינטגרל הכללי לפתרון כללי (הבעו "y" במפורש). אנו זוכרים את בית הספר הישן והטוב: . במקרה הזה:

הקבוע במחוון נראה איכשהו לא כשר, ולכן בדרך כלל מורידים אותו משמים לארץ. בפירוט, זה קורה ככה. בעזרת המאפיין של מעלות, נכתוב מחדש את הפונקציה באופן הבא:

אם הוא קבוע, אז הוא גם קבוע כלשהו, ​​קבע אותו מחדש באות:
- במקביל, אנו מסירים את המודול, ולאחר מכן הקבוע "ce" יוכל לקחת גם חיובי וגם ערכים שליליים

זכור את ה"הריסה" של קבוע הוא טכניקה שנייה, אשר משמש לעתים קרובות במהלך פתרון משוואות דיפרנציאליות. על עותק נקי, אתה יכול מיד ללכת מ ל, אבל תמיד היו מוכנים להסביר את המעבר הזה.

אז הפתרון הכללי הוא: משפחה כל כך נחמדה של פונקציות אקספוננציאליות.

בשלב הסופי, אתה צריך למצוא פתרון מסוים שעומד בתנאי ההתחלתי הנתון. זה גם פשוט.

מהי המשימה? צריך להרים כגוןהערך של הקבוע כדי לעמוד בתנאי.

אתה יכול לסדר את זה בדרכים שונות, אבל המובן ביותר, אולי, יהיה ככה. בפתרון הכללי, במקום "x", נחליף אפס, ובמקום "y", שניים:



זה,

גרסת עיצוב סטנדרטית:

כעת נחליף את הערך המצוי של הקבוע בפתרון הכללי:
- זה הפתרון המסוים שאנחנו צריכים.

תשובה: פתרון פרטי:

בוא נעשה בדיקה. אימות של פתרון מסוים כולל שני שלבים:

ראשית, יש לבדוק האם הפתרון המסוים שנמצא באמת עומד בתנאי ההתחלתי? במקום "x" נחליף אפס ונראה מה קורה:
- כן, אכן, הושג דווק, כלומר מתקיים התנאי ההתחלתי.

השלב השני כבר מוכר. ניקח את הפתרון המסוים שנוצר ונמצא את הנגזרת:

תחליף במשוואה המקורית:

- מתקבל השוויון הנכון.

מסקנה: הפתרון המסוים נמצא נכון.

בואו נעבור לדוגמאות משמעותיות יותר.

דוגמה 3

לפתור משוואת דיפרנציאלית

פִּתָרוֹן:נכתוב מחדש את הנגזרת בצורה שאנו צריכים:

הערכה האם ניתן להפריד משתנים? פחית. אנו מעבירים את המונח השני לצד ימין עם שינוי סימן:

ואנו הופכים את הגורמים לפי כלל הפרופורציה:

המשתנים מופרדים, בואו נשלב את שני החלקים:

אני חייב להזהיר אותך, יום הדין מגיע. אם לא למדת טוב אינטגרלים בלתי מוגדרים, פתרו כמה דוגמאות, אז אין לאן ללכת - אתה צריך לשלוט בהן עכשיו.

קל למצוא את האינטגרל של הצד השמאלי, עם האינטגרל של הקוטנגנט אנחנו עוסקים בטכניקה הסטנדרטית שחשבנו עליה בשיעור אינטגרציה של פונקציות טריגונומטריותשנה שעברה:

כתוצאה מכך, קיבלנו רק לוגריתמים, ולפי ההמלצה הטכנית הראשונה שלי, אנו מגדירים גם את הקבוע מתחת ללוגריתם.

כעת ננסה לפשט את האינטגרל הכללי. מכיוון שיש לנו רק לוגריתמים, בהחלט אפשרי (והכרחי) להיפטר מהם. על ידי שימוש ב מאפיינים ידועים"לארוז" בצורה מקסימלית את הלוגריתמים. אכתוב בפירוט רב:

האריזה הושלמה להיות מרופטת באופן ברברי:
, ומיד-מיד לתת אינטגרל משותףלמוח, בהקדם האפשרי:

באופן כללי, אין צורך לעשות זאת, אבל תמיד מועיל לרצות את הפרופסור ;-)

באופן עקרוני, ניתן לכתוב את יצירת המופת הזו כתשובה, אבל כאן עדיין ראוי לריבוע את שני החלקים ולהגדיר מחדש את הקבוע:

תשובה:אינטגרל כללי:

! הערה: לעתים קרובות ניתן לכתוב את האינטגרל הכללי ביותר מדרך אחת. לפיכך, אם התוצאה שלך לא עלתה בקנה אחד עם תשובה ידועה קודם לכן, אז זה לא אומר שפתרת את המשוואה בצורה לא נכונה.

האם ניתן לבטא "y"? פחית. בוא נביע את הפתרון הכללי:

כמובן שהתוצאה המתקבלת מתאימה לתשובה, אך שימו לב שהאינטגרל הכללי נראה קומפקטי יותר, והפתרון התברר כקצר יותר.

טיפ טכנולוגי שלישי:אם יש לבצע מספר לא מבוטל של פעולות כדי לקבל פתרון כללי, אז ברוב המקרים עדיף להימנע מפעולות אלו ולהשאיר את התשובה בצורה של אינטגרל כללי. כך גם לגבי פעולות "רעות" כאשר נדרש להביע פונקציה הפוכה, להעלות לעוצמה, להשתרש וכו'.העובדה היא שהפתרון הכללי ייראה יומרני ומסורבל - עם שורשים גדולים, שלטים ואשפה מתמטית אחרת.

איך לבדוק? אימות יכול להתבצע בשתי דרכים. שיטה ראשונה: קח את הפתרון הכללי , נמצא את הנגזרת ולהחליף אותם במשוואה המקורית. נסה זאת בעצמך!

הדרך השנייה היא להבדיל בין האינטגרל הכללי. זה די קל, העיקר להיות מסוגל למצוא נגזרת של פונקציה המוגדרת באופן מרומז:

חלקו כל איבר ב:

ועל:

המשוואה הדיפרנציאלית המקורית התקבלה בדיוק, מה שאומר שהאינטגרל הכללי נמצא נכון.

דוגמה 4

מצא פתרון מסוים של המשוואה הדיפרנציאלית שעונה על התנאי ההתחלתי. הפעל בדיקה.

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך.

אני מזכיר לך שהאלגוריתם מורכב משני שלבים:
1) מציאת פתרון כללי;
2) מציאת הפתרון הספציפי הנדרש.

הבדיקה מתבצעת גם בשני שלבים (ראה דוגמה בדוגמה מס' 2), אתה צריך:
1) לוודא שהפתרון המסוים שנמצא עומד בתנאי ההתחלתי;
2) בדוק שפתרון מסוים עומד בדרך כלל במשוואה הדיפרנציאלית.

פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

דוגמה 5

מצא פתרון מסוים של משוואת דיפרנציאלית , עמידה בתנאי ההתחלתי . הפעל בדיקה.

פִּתָרוֹן:ראשית, בואו נמצא פתרון כללי, משוואה זו כבר מכילה דיפרנציאלים מוכנים ו-, כלומר הפתרון מפושט. הפרדת משתנים:

אנו משלבים את המשוואה:

האינטגרל משמאל הוא טבלאי, האינטגרל מימין נלקח שיטת סיכום הפונקציה בסימן ההפרש:

הושג האינטגרל הכללי, האם ניתן לבטא בהצלחה את הפתרון הכללי? פחית. אנו תולים לוגריתמים משני הצדדים. מכיוון שהם חיוביים, סימני המודולו מיותרים:

(אני מקווה שכולם מבינים את השינוי, דברים כאלה כבר צריכים להיות ידועים)

אז הפתרון הכללי הוא:

הבה נמצא פתרון מסוים המתאים למצב ההתחלתי הנתון.
בפתרון הכללי, במקום "x", נחליף אפס, ובמקום "y", הלוגריתם של שניים:

עיצוב מוכר יותר:

אנו מחליפים את הערך המצוי של הקבוע בפתרון הכללי.

תשובה:פתרון פרטי:

בדוק: ראשית, בדוק אם התנאי הראשוני מתקיים:
- הכל טוב.

כעת נבדוק האם הפתרון המסוים שנמצא בכלל עונה על משוואת הדיפרנציאל. אנו מוצאים את הנגזרת:

בואו נסתכל על המשוואה המקורית: - הוא מוצג בהפרשים. יש שתי דרכים לבדוק. אפשר לבטא את ההפרש מהנגזרת שנמצאה:

אנו מחליפים את הפתרון המסוים שנמצא ואת ההפרש המתקבל במשוואה המקורית :

אנו משתמשים בזהות הלוגריתמית הבסיסית:

מתקבל השוויון הנכון, כלומר הפתרון המסוים נמצא נכון.

דרך הבדיקה השנייה היא שיקוף ומוכר יותר: מהמשוואה לבטא את הנגזרת, לשם כך אנו מחלקים את כל החלקים ב:

וב-DE שעבר טרנספורמציה אנו מחליפים את הפתרון המסוים שהושג ואת הנגזרת שנמצאה. כתוצאה מהפשטות, יש להשיג גם את השוויון הנכון.

דוגמה 6

מצא את האינטגרל הכללי של המשוואה, הציגו את התשובה כ-.

זוהי דוגמה לפתרון עצמי, פתרון מלא ומענה בסוף השיעור.

אילו קשיים מחכים בפתרון משוואות דיפרנציאליות עם משתנים הניתנים להפרדה?

1) לא תמיד ברור (במיוחד לקומקום) שניתן להפריד משתנים. שקול דוגמה מותנית: . כאן אתה צריך להוציא את הגורמים מסוגריים: ולהפריד את השורשים:. איך להמשיך הלאה ברור.

2) קשיים באינטגרציה עצמה. אינטגרלים מתעוררים לעתים קרובות לא הכי פשוטים, ואם יש פגמים במיומנויות למצוא אינטגרל בלתי מוגבל, אז זה יהיה קשה עם מפזרים רבים. בנוסף, המהדרים של אוספים ומדריכים פופולריים עם ההיגיון "מכיוון שהמשוואה הדיפרנציאלית פשוטה, אז לפחות האינטגרלים יהיו מסובכים יותר."

3) טרנספורמציות עם קבוע. כפי שכולם שמו לב, ניתן לטפל בקבוע במשוואות דיפרנציאליות בצורה די חופשית, וכמה טרנספורמציות לא תמיד ברורות למתחילים. בואו נסתכל על דוגמה היפותטית נוספת: . בה, רצוי להכפיל את כל האיברים ב-2: . הקבוע המתקבל הוא גם סוג של קבוע, אותו ניתן לסמן ב: . כן, ומכיוון שיש לנו אותם לוגריתמים, רצוי לשכתב את הקבוע כקבוע נוסף: .

הצרה היא שלעתים קרובות הם לא מתעסקים במדדים ומשתמשים באותה אות. כתוצאה מכך, רשומת ההחלטה לובשת את הטופס הבא:

מה לעזאזל?! הנה השגיאות! למהדרין, כן. אולם מבחינה מהותית אין טעויות, כי כתוצאה מהתמרה של קבוע משתנה מתקבל קבוע משתנה שווה ערך.

או דוגמה אחרת, נניח שבמהלך פתרון המשוואה מתקבל אינטגרל כללי. תשובה זו נראית מכוערת, לכן מומלץ לשנות את הסימן של כל מונח: . פורמלית, יש שוב שגיאה - בצד ימין, זה צריך להיות כתוב . אבל משתמע באופן לא רשמי ש"מינוס ce" הוא עדיין קבוע שלוקח באותה מידה את אותה מערכת ערכים, ולכן הוספת "מינוס" אינה הגיונית.

אנסה להימנע מגישה רשלנית, ועדיין לשים אינדקסים שונים לקבועים בעת המרתם. וזה מה שאני ממליץ לך לעשות.

דוגמה 7

פתור את המשוואה הדיפרנציאלית. הפעל בדיקה.

פִּתָרוֹן:משוואה זו מאפשרת הפרדה של משתנים. הפרדת משתנים:

אנו משלבים:

הקבוע כאן לא חייב להיות מוגדר תחת הלוגריתם, כי שום דבר טוב לא ייצא ממנו.

תשובה:אינטגרל כללי:

וכמובן, כאן אין צורך להביע "y" במפורש, כי זה יתברר כזבל (זכור את הטיפ הטכני השלישי).

בְּדִיקָה: הבדיל את התשובה (פונקציה מרומזת):

אנו נפטרים משברים, לשם כך נכפיל את שני האיברים ב:

התקבלה המשוואה הדיפרנציאלית המקורית, מה שאומר שהאינטגרל הכללי נמצא נכון.

דוגמה 8

מצא פתרון מסוים של DE.
,

אנגלית:ויקיפדיה הופכת את האתר לאבטח יותר. אתה משתמש בדפדפן אינטרנט ישן שלא יוכל להתחבר לוויקיפדיה בעתיד. אנא עדכן את המכשיר שלך או פנה למנהל ה-IT שלך.

中文: 维基 百科 正 在 使 网站 更加 安全 您 正 在 使用 旧 的 浏览器 ， 在 在 将来 无法 维基 百科。 更新 您 的 设备 或 联络 的 管理员。 提供 更 您 ， 的 的 的 的 的.英语 英语 英语 英语 英语 》

Espanol:ויקיפדיה está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia in el futuro. יצירת קשר עם מנהל מידע. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

פרנסיס:ויקיפדיה va bientôt augmenter la securité de son site. אם אתה מנצל את האקטואליה של נווט אינטרנט עתיק, זה לא יכול להיות מחבר בוויקיפדיה. Merci de mettre à jour votre appareil או de contacter votre administrateur informatique à cette fin. תוספי מידע נוספים פלוס טכניקות ואנגליה זמינות לצי-דיסוס.

日本語: אור詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい היפ 情報 は 以下 に 英語 で 提供 し て い ます。。。。。。。。

גֶרמָנִיָת:ויקיפדיה erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findt Du unten in englischer Sprache.

איטלקי:ויקיפדיה sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. פר חביב, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico באנגלית.

מגייר: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

שבדיה:ויקיפדיה gör sidan mer säker. אתה משתמש ב-en older webbläsare som inte kommer att kunna läsa ויקיפדיה בעתיד. עדכון יחידה או קשר עם מנהל ה-IT. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelsk längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

אנו מסירים את התמיכה בגרסאות פרוטוקול TLS לא מאובטחות, במיוחד TLSv1.0 ו-TLSv1.1, שעליהן מסתמכת תוכנת הדפדפן שלך כדי להתחבר לאתרים שלנו. זה נגרם בדרך כלל מדפדפנים מיושנים, או סמארטפונים ישנים יותר של אנדרואיד. או שזו יכולה להיות הפרעה מתוכנת "אבטחת אינטרנט" ארגונית או אישית, שלמעשה מורידה את אבטחת החיבור.

עליך לשדרג את דפדפן האינטרנט שלך או לתקן בעיה זו בדרך אחרת כדי לגשת לאתרים שלנו. הודעה זו תישאר עד 1 בינואר 2020. לאחר תאריך זה, הדפדפן שלך לא יוכל ליצור חיבור לשרתים שלנו.