מהו משטח מסדר ראשון. משטחים אלגבריים מהסדר הראשון. מה ההבדל בין חומר עזר זה לאנלוגים

§7. מישור כמשטח מהסדר הראשון. משוואה כללית של המטוס. משוואת מישור העובר דרך נקודה נתונה בניצב לוקטור נתון הבה נציג מערכת קואורדינטות קרטזית מלבנית Oxyz במרחב ונחשוב על משוואה מדרגה ראשונה (או משוואה לינארית) עבור x, y, z: (7.1) Axe  By  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . משפט 7.1. ניתן להגדיר כל מישור במערכת קואורדינטות קרטזית מלבנית שרירותית על ידי משוואה של הצורה (7.1). בדיוק כמו במקרה של ישר במישור, משפט הפוך למשפט 7.1 תקף. משפט 7.2. כל משוואה של הצורה (7.1) מגדירה מישור במרחב. ניתן לבצע את ההוכחה של משפטים 7.1 ו-7.2 בדומה להוכחה של משפטים 2.1, 2.2. ממשפטים 7.1 ו-7.2 עולה שהמישור ורק הוא משטח מסדר ראשון. משוואה (7.1) נקראת המשוואה הכללית של המישור. מקדמי  שלו A, B, C מתפרשים בצורה גיאומטרית כקואורדינטות של הווקטור n מאונך למישור המוגדר במשוואה זו. וקטור זה  n(A, B, C) נקרא הווקטור הנורמלי למישור הנתון. משוואה (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 עבור כל הערכים האפשריים של המקדמים A, B, C מגדירים את כל המישורים העוברים דרך הנקודה M 0 ( x0 , y0 ,z0) . זה נקרא משוואת חבורה של מטוסים. בְּחִירָה ערכים ספציפיים A, B, C in (7.2) פירושה בחירת המישור P מהחיבור העובר דרך הנקודה M 0 בניצב ל- לוקטור הנתון n(A, B, C) (איור 7.1). דוגמה 7.1. כתוב את משוואת המישור Р העובר בנקודה   А(1, 2, 0) במקביל לוקטורים a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) .    הווקטור הנורמלי n ל-P אורתוגונלי לוקטורים הנתונים a ו-b (איור 7.2),   אז עבור n אתה יכול לקחת את מכפלת הווקטור n שלהם: А    Р i j k 2 n  a   1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n   a    b 2i  3 j  4k. החלף את הקואורדינטות איור. 7.2. לדוגמה 7.1 P M0  נקודת M 0 ו-וקטור n במשוואה (7.2), נקבל איור. 7.1. למשוואת צרור המישור משוואת P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 או P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ 1 אם A שניים. , C של המשוואה (7.1) שווים לאפס, הוא מגדיר מישור מקביל לאחד ממישורי הקואורדינטות. לדוגמה, כאשר A  B  0, C  0 - מישור P1: Cz  D  0 או P1: z   D / C (איור 7.3). הוא מקביל למישור האוקסי מכיוון שהווקטור הרגיל שלו  n1(0, 0, C) מאונך למישור זה. עבור A  C  0 , B  0 או B  C  0 , משוואת A  0 (7.1) מגדירה את המישורים P2: לפי  D  0 ו-P3: Ax  D  0 מישורים Oyz ו-Oyz מקבילים לקואורדינטה , כך ש-   הוקטורים הנורמליים שלהם n2(0, B, 0) ו-n3(A, 0, 0) מאונכים אליהם (איור 7.3). אם רק אחד מהמקדמים A, B, C של המשוואה (7.1) שווה לאפס, אז הוא מגדיר מישור מקביל לאחד מצירי הקואורדינטות (או מכיל אותו, אם D  0). לפיכך, המישור P: Axe  By  D  0 מקביל לציר Oz, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x 7.4. מישור P: Axe  B y  D  0 , מקביל לציר עוץ איור. 7.3. מישורים מקבילים למישורי הקואורדינטות  מאחר והווקטור הרגיל שלו n(A, B, 0) מאונך לציר עוץ. שימו לב שהוא עובר דרך הקו L: Axe  By  D  0 , השוכב במישור האוקסי (איור 7.4). כאשר D  0 משוואה (7.1) מגדירה מישור העובר דרך המוצא. דוגמה 7.2. מצא את הערכים של הפרמטר  שבו המשוואה x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 מגדירה את המישור ל-P: a) של מטוסי הקואורדינטות; ב) מקביל לאחד מצירי הקואורדינטות; ג) עובר דרך מקור הקואורדינטות. הבה נכתוב את המשוואה הזו בטופס (7.3) עבור כל ערך של , משוואה (7.3) קובעת מישור מסוים, מכיוון שהמקדמים ב-x, y, z ב-(7.3) אינם נעלמים בו-זמנית. א) במשוואה   0 (7. 3) מגדיר את המישור P מקביל למישור Oxy , P: z  3 / 2 , ועם   2 הוא מגדיר את המישור P 2 המקביל למישור Oyz , P: x  5/ 2 . כי אין ערכים של  המישור P מוגדר במשוואה (7.3) מקביל למישור Oxz, מכיוון שהמקדמים ב-x, z ב-(7.3) אינם נעלמים בו-זמנית. ב) ב   1 משוואה (7.3) מגדירה את המישור P , מקביל לציר Oz , P: x  3y  2  0 . עבור ערכים אחרים של הפרמטר , הוא אינו מגדיר מישור המקביל רק לאחד מצירי הקואורדינטות. ג) עבור   3 משוואה (7.3) מגדירה את המישור P העובר דרך המקור, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ דוגמה 7.3. כתוב את משוואת המישור P העובר דרך: א) נקודה M (1,  3, 2) במקביל לציר המישור אוקסי; ב) ציר שור ונקודה M (2, - 1, 3) .   א) עבור הווקטור הנורמלי n עד Р כאן נוכל לקחת את הווקטור k (0, 0,1) - וקטור היחידה של ציר עוץ, מכיוון שהוא מאונך למישור האוקסי. נחליף את הקואורדינטות של הנקודה  M (1,  3, 2) והווקטור n במשוואה (7.2), נקבל את משוואת המישור P: z 3  0.   b) הווקטור הנורמלי n ל-P הוא אורתוגונלי לוקטורים i (1, 0, 0) ו-OM (2,  1, 3) ,  כך שניתן לקחת את המכפלה הווקטורית שלהם כ-n: 01   3 j  k . 2  1 3 

1.7.1. מָטוֹס.

שקול מישור שרירותי P בבסיס קרטזי ואת הווקטור הנורמלי (מאונך) אליו `n (A, B, C). קח במישור זה נקודה קבועה שרירותית M0(x0, y0, z0) ונקודה נוכחית M(x, y, z).

ברור ש?`n = 0 (1.53)

(ראה (1.20) עבור j = p /2). זוהי משוואת המישור בצורה וקטורית. במעבר לקואורדינטות, נקבל את המשוואה הכללית של המטוס

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ax + Vy + Cz + D = 0 (1.54).

(D = –Ах0 – Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).

ניתן להראות שבקואורדינטות קרטזיות כל מישור מוגדר על ידי משוואת מדרגה ראשונה ולהפך כל משוואה מדרגה ראשונה מגדירה מישור (כלומר מישור הוא משטח מסדר ראשון ומשטח מסדר ראשון הוא מישור).

שקול כמה מקרים מיוחדים של מיקומו של המטוס לפי המשוואה הכללית:

A \u003d 0 - מקביל לציר השור; B \u003d 0 - מקביל לציר Oy; C \u003d 0 - מקביל לציר עוץ. (מישורים כאלה הניצבים לאחד ממישורי הקואורדינטות נקראים השלכה); D = 0 - עובר דרך המוצא; A = B = 0 - מאונך לציר עוץ (מקביל למישור xOy); A = B = D = 0 - חופף למישור xOy (z = 0). כל שאר המקרים מנותחים באופן דומה.

אם D? 0, אם כן, מחלקים את שני החלקים של (1.54) ב-D, נוכל להביא את משוואת המישור לצורה: (1.55),

a \u003d - D / A, b \u003d - D / B, c \u003d - D / C. יחס (1.55) נקרא משוואת מישור בקטעים; a, b, c הם האבססיס, הסמיך והיישום של נקודות החיתוך של המישור עם הצירים Ox, Oy, Oz ו- |a|, |b|, |c| הם אורכי הקטעים המנותקים על ידי המישור בצירים המתאימים מהמקור.

הכפלת שני הצדדים של (1.54) בגורם המנרמל (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1.56)

כאשר cosa \u003d Am, cosb \u003d Bm, cosg \u003d Cm הם קוסינוס הכיוון של הנורמלי למישור, p הוא המרחק למישור מהמקור.

הבה נבחן את היחסים העיקריים המשמשים בחישובים. ניתן להגדיר בקלות את הזווית בין המישורים A1x + B1y + C1z + D1 = 0 ו-A2x + B2y + C2z + D2 = 0 בתור הזווית בין הנורמליות של מישורים אלה `n1 (A1, B1, C1) ו

`n2 (A2, B2, C2): (1.57)

מ- (1.57) קל לקבל את תנאי הניצב

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1.58)

ומקביליות (1.59) מטוסים והנורמליים שלהם.

מרחק מנקודה שרירותית M0(x0, y0, z0) למישור (1.54)

מוגדר על ידי הביטוי: (1.60)

המשוואה של מישור העובר דרך שלוש נקודות נתונות M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) נכתבת בצורה נוחה ביותר באמצעות תנאי ההשוואה (1.25) של הוקטורים כאשר M(x, y, z) היא הנקודה הנוכחית של המישור.

(1.61)

אנו מציגים את המשוואה עבור צרור מישורים (כלומר,

סטים של מטוסים העוברים בקו ישר אחד) - נוח להשתמש בו במספר בעיות.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1.62)

כאשר l Î R, ובסוגריים הן המשוואות של כל שני מישורים של האלומה.

שאלות בקרה.

1) איך בודקים שהנקודה הנתונה שוכנת על פני השטח שניתן על ידי המשוואה הנתונה?

2) מהי התכונה האופיינית שמבדילה בין משוואת מישור במערכת קואורדינטות קרטזית לבין משוואת משטחים אחרים?

3) איך המישור ביחס למערכת הקואורדינטות, אם המשוואה שלו אינה מכילה: א) איבר חופשי; ב) אחת הקואורדינטות; ג) שתי קואורדינטות; ד) אחת הקואורדינטות ומונח חופשי; ה) שתי קואורדינטות ומונח חופשי?

1) ניתנות נקודות М1(0,-1,3) ו-М2(1,3,5). כתוב את משוואת המישור העובר דרך הנקודה M1 ומאונך לווקטור בחר את התשובה הנכונה:

א) ; ב).

2) מצא את הזווית בין המישורים לבין . בחר את התשובה הנכונה:

א) 135o, ב) 45o

1.7.2. יָשָׁר. מטוסים שהנורמלים שלהם אינם קולינאריים או לחתוך, להגדיר באופן ייחודי את הקו כקו החיתוך שלהם, שנכתב כך:

דרך הקו הזה אפשר לצייר אינסוף מישורים (עיפרון של מישורים (1.62)), כולל אלו המקרינים אותו על מישורי הקואורדינטות. כדי לקבל את המשוואות שלהם, די לבצע טרנספורמציה (1.63), לסלק אחד לא ידוע מכל משוואה ולהקטין אותם, למשל, לצורה (1.63`).

בואו נגדיר את המשימה - לצייר קו ישר דרך הנקודה M0 (x0, y0, z0) במקביל לווקטור `S (l, m, n) (זה נקרא מדריך). קח נקודה שרירותית M(x, y, z) על הקו הרצוי. וקטורים ו חייב להיות קולינארי, ומכאן נקבל את המשוואות הקנוניות של הקו.

(1.64) או (1.64`)

כאשר cosa, cosb, cosg הם קוסינוס הכיוון של הווקטור `S. מ- (1.64) קל לקבל את המשוואה של ישר העובר דרך הנקודות הנתונות M1(x1, y1, z1) ו-M2(x2, y2, z2) (הוא מקביל )

או (1.64``)

(ערכי השברים ב-(1.64) שווים עבור כל נקודה של הישר וניתן לסמן ב-t, כאשר t R. זה מאפשר לך להזין את המשוואות הפרמטריות של הישר

כל ערך של הפרמטר t מתאים לקבוצת קואורדינטות x, y, z של נקודה על הישר או (אחרת) - ערכי הלא ידועים העונים על משוואות הישר).

משתמש כבר מאפיינים ידועיםוקטורים ופעולות עליהם והמשוואות הקנוניות של הקו הישר, קל להשיג את הנוסחאות הבאות:

זווית בין השורות: (1.65)

מצב מקביליות (1.66).

ניצב l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1.67) קווים.

זווית בין ישר למישור (מתקבל בקלות על ידי מציאת הזווית בין הישר לנורמלי למישור, שמצטבר ל-p/2 הנדרש)

(1.68)

מ-(1.66) נקבל את תנאי ההקבלה Al + Bm + Cn = 0 (1.69)

וניצב (1.70) של קו ומישור. ניתן לקבל בקלות את התנאי ההכרחי והמספיק לכך ששני קווים יהיו באותו מישור מתנאי ההתאמה (1.25).

(1.71)

שאלות בקרה.

1) מהן הדרכים לקבוע קו ישר במרחב?

1) כתוב את המשוואות של ישר העובר בנקודה A (4,3,0) ומקביל לווקטור ציין את התשובה הנכונה:

א) ; ב) .

2) כתבו את משוואות הישר העובר בנקודות A(2,-1,3) ו-B(2,3,3). ציין את התשובה הנכונה.

א) ; ב).

3) מצא את נקודת החיתוך של הישר עם המישור: , . ציין את התשובה הנכונה:

א) (6,4,5); ב) (6, -4.5).

1.7.3. משטחים מהסדר השני. אם משוואה ליניארית בבסיס קרטזי תלת מימדי מגדירה מישור באופן ייחודי, כל משוואה לא ליניארית, המכיל x, y, z מתאר משטח אחר. אם המשוואה נראית כך

Ax2 + Vy2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, ואז הוא מתאר משטח מסדר שני (משוואת משטח כללית מסדר שני). על ידי בחירה או שינוי קואורדינטות קרטזיות, ניתן לפשט את המשוואה ככל האפשר, ולהוביל לאחת מהצורות הבאות המתארות את המשטח המתאים.

1. משוואות קנוניות של צילינדרים מסדר שני, שהמחוללים שלהם מקבילים לציר עוץ, והעקומות המתאימות מסדר שני השוכנות במישור xOy משמשות כמדריכים:

(1.72), (1.73), y2 = 2px (1.74)

גלילים אליפטיים, היפרבוליים ופרבוליים, בהתאמה.

(נזכיר כי משטח גלילי נקרא משטח המתקבל על ידי הזזת קו ישר, הנקרא גנרטריקס, מקביל לעצמו. קו החיתוך של משטח זה עם מישור הניצב לגנרטריקס נקרא מנחה - הוא קובע את הצורה של פני השטח).

באנלוגיה, אפשר לרשום את המשוואות של אותם משטחים גליליים עם גנרטורים מקבילים לציר Oy ולציר Ox. ניתן להגדיר את המדריך כקו החיתוך של פני השטח של הגליל ומישור הקואורדינטות המתאים, כלומר. מערכת משוואות של הצורה:

2. משוואות של חרוט מסדר שני עם קודקוד במקור:

(1.75)

(הצירים של החרוט הם הצירים Oz, Oy ו-Ox, בהתאמה)

3. משוואה קנונית של האליפסואיד: (1.76);

מקרים מיוחדים הם אליפסואידים של מהפכה, למשל - המשטח המתקבל על ידי סיבוב האליפסה סביב ציר עוץ (מתי

а > с האליפסואיד דחוס, שכן x2 + y2+ z2 + = r2 היא המשוואה של כדור ברדיוס r שמרכזו במקור).

4. משוואה קנונית של היפרבולואיד בעל גיליון אחד

(הסימן "-" יכול לעמוד לפני כל אחד משלושת האיברים בצד שמאל - זה רק משנה את מיקום המשטח במרחב). מקרים מיוחדים הם היפרבולואידים בעלי גיליון אחד של מהפכה, למשל הוא המשטח המתקבל על ידי סיבוב ההיפרבולה סביב ציר עוז (הציר הדמיוני של ההיפרבולה).

5. משוואה קנונית של היפרבולואיד דו-שכבתי

(ניתן להציב את הסימן "-" לפני כל אחד משלושת האיברים בצד שמאל).

מקרים מיוחדים הם היפרבולואידים דו-שכבתיים של מהפכה, למשל, משטח המתקבל על ידי סיבוב היפרבולה סביב ציר עוז (הציר האמיתי של ההיפרבולה).

6. משוואה קנונית של פרבולואיד אליפטי

(p >0, q >0) (1.79)

7. משוואה קנונית של פרבולואיד היפרבולי

(p >0, q >0) (1.80)

(המשתנה z יכול לשנות מקום עם כל אחד מהמשתנים x ו-y - מיקום המשטח במרחב ישתנה).

שים לב שקל לקבל מושג על התכונות (הצורה) של משטחים אלה על ידי התחשבות בקטעים של משטחים אלה לפי מישורים המאונכים לצירי הקואורדינטות.

שאלות בקרה.

1) איזו קבוצת נקודות במרחב מגדירה את המשוואה?

2) מהן המשוואות הקנוניות של גלילים מסדר שני; קונוסים מהסדר השני; אליפסואיד; היפרבולואיד בעל גיליון אחד; היפרבולואיד דו-שכבתי; פרבולואיד אליפטי; פרבולואיד היפרבולי?

1) מצא את מרכז ורדיוס הכדור וציין את התשובה הנכונה:

א) C (1.5; -2.5; 2), ; ב) С(1.5;2.5;2), ;

2) קבע את סוג המשטח שניתן על ידי המשוואות: . ציין את התשובה הנכונה:

א) היפרבולואיד בעל גיליון אחד; פרבולואיד היפרבולי; פרבולואיד אליפטי; קוֹנוּס.

ב) היפרבולואיד דו-שכבתי; פרבולואיד היפרבולי; פרבולואיד אליפטי; קוֹנוּס.

הרצאה 2. המישור כמשטח מסדר ראשון. משוואות מטוסים ולימודן. קו במרחב, סידור הדדי של קווים במרחב, מישור וקו במרחב. קו במישור, משוואות של ישר במישור, מרחק מנקודה לישר במישור. עקומות מהסדר השני; גזירת משוואות קנוניות, לימוד משוואות ובניית עקומות. משטחים מהסדר השני, חקר משוואות קנוניות של משטחים. שיטת המדור. 1

אלמנטים של גיאומטריה אנליטית § 1. מישור. יש לנו OXYZ ומשטח כלשהו S F(x, y, z) = 0 z x (S) O y הגדרה 1: משוואה עם שלושה משתנים נקראת משוואה של משטח S במרחב אם המשוואה הזו מסופקת בקואורדינטות של כל אחד מהם. נקודה שוכבת על פני השטח ולא לפי הקואורדינטות אין נקודה שוכבת עליה. 2

דוגמא. המשוואה (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) מגדירה כדור שמרכזו בנקודה C(a, b, c) וברדיוס R. M M( x , y, z) היא נקודה משתנה M ϵ (S) |CM| = RC 3

הגדרה 2: משטח S נקרא משטח מסדר n אם, במערכת קואורדינטות קרטזית כלשהי, הוא ניתן על ידי משוואה אלגברית של המעלה ה-n' F(x, y, z) = 0 (1) בדוגמה ( S) - מעגל, משטח מסדר שני. אם S הוא משטח מסדר n, אז F(x, y, z) הוא פולינום מדרגה n ביחס ל-(x, y, z) קחו בחשבון את המשטח היחיד מסדר 1 - המישור. הבה נרכיב את משוואת המישור העובר דרך הנקודה M (x, y, z), עם הווקטור הנורמלי 4

תן ל-M(x, y, z) להיות נקודה שרירותית (נוכחית) של המישור. M M 0 О α או בצורת קואורדינטות: (2) משוואה (2) - משוואת המישור העובר דרך הנקודה M עם הווקטור הנורמלי הנתון. 5

D (*) (3) - משוואה מלאה של המישור משוואה לא שלמה של המישור. אם במשוואה (3) מספר מקדמים (אך לא A, B, C בו-זמנית) = 0, אז המשוואה נקראת לא שלמה ולמישור α יש סינגולריות במיקום. לדוגמה, אם D = 0, אז α עובר דרך המקור. 6

המרחק מהנקודה M 1 למישור α M 1 (x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 מוחל על הנקודה M 0 K 7

- מרחק מהנקודה M 1 למישור α משוואת המישור "בקטעים" בואו נעשה את משוואת המישור החותך קטעים שאינם אפס בצירי הקואורדינטות עם ערכי C(0, 0, c) a, ב, ג. ניקח את B(0, b, 0) כמשוואה עבור נקודה A עם A(a, 0, 0) 8

- משוואת המישור α "במקטעים" - משוואת המישור העובר דרך נקודה A, בניצב לוקטור הנורמלי 9

§ 2. משוואה כללית של קו ישר. קו ישר במרחב יכול להיות מוגדר על ידי חיתוך של 2 מישורים. (1) משוואה של ישר מערכת של הצורה (1) מגדירה קו ישר במרחב אם המקדמים A 1, B 1, C 1 הם בו-זמנית חסרי פרופורציה ל-A 2, B 2, C 2. 10

משוואות פרמטריות וקנוניות של ישר - נקודת קו שרירותית M M 0 משוואה פרמטרית t - פרמטר 11

חיסול לא נקבל: - משוואה קנוניתמערכת (3) קובעת את התנועה של נקודת חומר, ישרה ואחידה מהמיקום ההתחלתי M 0 (x 0, y 0, z 0) במהירות בכיוון הווקטור. 12

זווית בין קווים במרחב. תנאים של מקבילות וניצב. תנו שני קווים L 1, L 2 במרחב ניתנים על ידי המשוואות הקנוניות שלהם: אז הבעיה של קביעת הזווית בין הקווים הללו מצטמצמת לקביעת הזווית

וקטורי הכיוון שלהם: באמצעות ההגדרה של המכפלה הסקלרית והביטוי בקואורדינטות של המכפלה הסקלרית שצוינה ובאורכים של הוקטורים q 1 ו- q 2, נגלה: 15

מצב ההקבלה של הקווים l 1 ו-l 2 מתאים לקולינאריות של q 1 ו- q 2, מורכב ממידתיות הקואורדינטות של הוקטורים הללו, כלומר יש לו את הצורה: מצב הניצב נובע מהגדרת הסקלר. המוצר והשוויון שלו לאפס (ב-cos = 0) ויש לו את הצורה: l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

הזווית בין ישר למישור: תנאים להקבלה ולניצב של ישר ומישור קחו את המישור P, הנתון מהמשוואה הכללית: Ax + By + Cz + D = 0, ואת הישר L, הנתון על ידי הקנוני. משוואה: 17

מכיוון שהזווית בין הישר L למישור P משלימה לזווית שבין וקטור המכוון של הישר q = (l, m, n) לבין הווקטור הנורמלי של המישור n = (A, B, C), אז מהגדרת המכפלה הסקלרית q n = q n cos ושוויון cos = sin (= 90 -), נקבל: 18

מצב ההקבלה של הישר L והמישור P (הכולל את העובדה ש-L שייך ל-P) שווה ערך למצב הניצב של הוקטורים q ו-n והוא מבוטא = 0 של המכפלה הסקלרית של הוקטורים הללו: q n = 0: Al + Bm + Cn = 0. מצב הניצב של הישר L והמישור P שווה ערך למצב המקבילות של הוקטורים n ו-q ומתבטא במידתיות הקואורדינטות של הוקטורים הללו: 19

תנאים לשתייכות שני קווים לאותו מישור שני קווים במרחב L 1 ו-L 2 יכולים: 1) להצטלב; 2) להיות מקביל; 3) הכלאה. בשני המקרים הראשונים, הקווים L 1 ו- L 2 נמצאים באותו מישור. הבה נקבע את התנאי של השתייכות לאותו מישור של שני קווים ישרים הניתנים על ידי משוואות קנוניות: 20

ברור, כדי ששני הקווים המצוינים יהיו שייכים לאותו מישור, יש צורך ומספיק ששלושה וקטורים = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) ו- q 2 = (l 2, m 2, n 2), היו דו מישוריים, שעבורם, בתורו, יש צורך ומספיק שהמכפלה המעורבת של שלושת הוקטורים הללו = 0. 21

כתיבת התוצרים המעורבים של הוקטורים המצוינים בקואורדינטות, נקבל את התנאי ההכרחי והמספיק כדי ששני הקווים L 1 ו-L 2 יהיו שייכים לאותו מישור: 22

תנאי שישייך למישור שיהיה ישר ומישור Ax + Vy + Cz + D = 0. לתנאים אלה יש את הצורה: Ax1 + Vy1 + Cz 1 + D = 0 ו- Al + Bm + Cn = 0, שהראשונה שבהן פירושה שנקודה M 1 (x1, y1, z 1), שדרכה עובר הישר, שייכת למישור, והשנייה היא מצב ההקבלה של הישר והמישור. 23

עקומות מהסדר השני. § 1. הרעיון של משוואת ישר במישור. המשוואה f (x, y) = 0 נקראת משוואת הישר L במערכת הקואורדינטות הנבחרת אם היא מסופקת בקואורדינטות של כל נקודה השוכנת על הישר ולא בקואורדינטות של כל נקודה שאינה מונחת עליה. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="דוגמה: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

ישר L נקרא קו מסדר n אם, במערכת קואורדינטות קרטזית כלשהי, הוא ניתן על ידי משוואה אלגברית של המעלה ה-n ביחס ל-x ו-y. אנחנו מכירים את הישר היחיד מסדר 1 - ישר: Ax + By + D = 0 נשקול עקומות מסדר 2: אליפסה, היפרבולה, פרבולה. המשוואה הכללית של שורות מסדר 2 היא: Axe 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

אליפסה (E) הגדרה. אליפסה - קבוצת כל נקודות המישור, שסכום המרחקים שלהן לשתי נקודות קבועות של המישור F 1 ו-F 2, הנקראות מוקדים, הוא קבוע וגדול מהמרחק בין המוקדים. נסמן את הקבוע 2 a, המרחק בין המוקדים 2 ג. הבה נצייר את ציר ה-X דרך המוקדים, (a > c, a > 0, c > 0). ציר Y דרך נקודות האמצע של אורך המוקד. תן ל-M להיות נקודה שרירותית של האליפסה, כלומר M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), כאשר r 1, r 2 הם מוקדים של 27 רדיוסים של E.

נכתוב (1) בצורת קואורדינטות: (2) זוהי משוואת אליפסה במערכת הקואורדינטות שנבחרה. בפשט (2) נקבל: b 2 = a 2 - c 2 (3) היא המשוואה הקנונית של האליפסה. ניתן להראות ש-(2) ו-(3) שוות ערך: 28

לימוד צורת אליפסה לפי המשוואה הקנונית 1) אליפסה היא עקומה מסדר 2 2) סימטריה אליפסה. מכיוון ש-x ו-y נכללים ב-(3) רק בחזקות זוגיות, אז לאליפסה יש 2 צירים ומרכז סימטריה 1, אשר במערכת הקואורדינטות שנבחרה חופפים לצירי הקואורדינטות שנבחרו ולנקודה O. 29

3) מיקום האליפסה כלומר ה-E כולו ממוקם בתוך מלבן שצלעותיו x = ± a ו- y = ± b. 4) צומת עם צירים. A 1(-a; 0); A 2(a; 0); C OX: קודקודי האליפסה C OC: B 1(0; b); B2(0; -b); בשל הסימטריה של האליפסה, נשקול את התנהגותה (↓) רק ברבע הראשון. שְׁלוֹשִׁים

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt="פתרון (3) ביחס ל-y, נקבל: ברביע הראשון x > 0 וה- אליפסה הולכת ופוחתת."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

היפרבולה (G) הגדרה: Г היא קבוצת כל הנקודות של המישור, המודולוס של הפרש המרחקים שלהן ל-2 נקודות קבועות של המישור F 1 , F 2 הוא ערך קבוע ו

לפשט (1): (2) היא המשוואה הקנונית של G. (1) ו-(2) שוות ערך. חקירת היפרבולה לפי המשוואה הקנונית 1) קו Г מסדר 2 2) ל- Г יש שני צירים ומרכז סימטריה אחד, שבמקרה שלנו עולים בקנה אחד עם צירי הקואורדינטות והמקור. 3) מיקום ההיפרבולה. 34

ההיפרבולה ממוקמת מחוץ לרצועה בין הקווים x = a, x = -a. 4) נקודות חיתוך עם צירים. OX: OY: אין פתרונות A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – קודקודים אמיתיים של Г B 1(0; b); B 2(0; -b) - קודקודים דמיוניים Г 2 a - ציר אמיתי Г 2 b - ציר דמיוני Г 35

5) אסימפטוטים של היפרבולה. מתוקף הסימטריה של Γ, הבה נבחן את חלקו ברבעון הראשון. פתרון (2) ביחס ל-y, נקבל: המשוואה Г ברבע I x ≥ 0 הנקודה המקבילה Γ, כלומר, ברבע הראשון Γ נמצאת מתחת לקו זה. כל Г נמצא בתוך זווית אנכית עם צלעות 36

6) ניתן להראות שבחלק הראשון G מגדילה 7) התוכנית להקמת G

פרבולה (P) שקול את d (כיוון) ו-F (פוקוס) במישור. הַגדָרָה. P - קבוצת כל הנקודות של המישור במרחק שווה מהקו d ומהנקודה F (פוקוס) 39

d-directrix F-focus XOY point M P ואז |MF| = |MN| (1) משוואת P שנבחרה במערכת הקואורדינטות בפישוט (1) נקבל y 2 = 2 px (2) - המשוואה הקנונית P.

מחקר P לפי המשוואה הקנונית x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. צילינדרים. משטחים גליליים עם גנרטורים מקבילים לצירי הקואורדינטות דרך נקודת x של הישר L נשרטט קו ישר מקביל לציר OZ. המשטח שנוצר על ידי קווים אלו נקרא משטח גלילי או גליל (C). כל קו מקביל לציר OZ נקרא גנרטריקס. l - מנחה של המשטח הגלילי של מישור XOY. Z(x, y) = 0 (1) 42

תן ל-M(x, y, z) להיות נקודה שרירותית על פני השטח הגלילי. אנו משליכים אותו על L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0, כי כלומר, הקואורדינטות M מקיימות (1) ברור שאם M הוא C, אז הוא אינו מוקרן לנקודה M 0 ϵ L, ולכן, הקואורדינטות של M לא יעמדו במשוואה (1), המגדירה את C עם גנרטריקס מקביל לציר OZ במרחב. באופן דומה, אנו יכולים להראות כי: Ф(x, z) = 0 ברווח Ц || OY 43 (y, z) = 0 מגדיר ברווח Ц || שׁוֹר

הקרנה של קו מרחבי על מישור קואורדינטות ניתן לציין קו במרחב באופן פרמטרי ועל ידי חיתוך משטחים. ניתן לתת את אותו קו על ידי ∩ משטחים שונים. תנו לקו הרווח L להיות נתון על ידי ∩ של שני משטחים α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 משוואה L Ф 1(x, y , z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 בוא נמצא את ההשלכה של L על המישור XOY מתוך משוואה (1) לא נכלול את Z. נקבל את המשוואה: Z(x, y) = 0 – במרחב זו המשוואה Ц עם מחולל || או"ז ומדריך ל' 46

השלכה: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 משטחים מסדר שני אליפסואיד – למשוואה הקנונית של המשטח יש את הצורה: 1) אליפסואיד – משטח מסדר שני. 2) X,Y,Z נכנסים למשוואה רק בחזקות זוגיות => למשטח יש 3 מישורים ומרכז סימטריה 1, שבמערכת הקואורדינטות שנבחרה חופפים את מישורי הקואורדינטות והמקור. 47

3) מיקום האליפסואיד המשטח תחום בין || מישורים עם המשוואות x = a, x = -a. באופן דומה, כלומר, כל פני השטח מוקפים בתוך מקבילית מלבני. x = ± a, y = ± b, z = ± c. נחקור את פני השטח בשיטת חתכים - חציית פני השטח במישורי קואורדינטות || לְתַאֵם. בקטע נקבל קווים, שלפי צורתם נשפוט את צורת המשטח. 48

אנו חותכים את פני השטח עם מישור XOY. בקטע נקבל שורה. - אליפסה a ו-b - צירים למחצה בדומה למישור YOZ - אליפסה עם צירים למחצה b ו-c מישור || XOY אם h(0,c), אזי הצירים של האליפסה יורדים מ-a ו-b ל-0. 49

a = b = c - כדור פרבולואידים א) פרבולואיד היפרבולי הוא משטח עם משוואה קנונית: 1) משטח מסדר שני 2) מכיוון ש-x, y נכנסים למשוואה רק בחזקות זוגיות, למשטח יש מישורי סימטריה החופפים ל- נתון בחירה של קואורדינטות עם 50 מטוסים XOZ, YOZ.

3) אנו בוחנים את פני השטח בשיטת הסעיף אוכף pl. XOZ בחתך, פרבולה סימטרית לציר OZ, עולה. מ"ר YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt="pl. ||XOY עבור h > 0 היפרבולה, עם חצי ציר אמיתי לאורך OX, עבור h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

ב) היפרבולואיד דו-שכבתי 1) משטח מסדר שני 2) בעל 3 מישורים ומרכז סימטריה אחד 3) מיקום המשטח x 2 ≥ a 2 ; |x| ≥ a ; (a, b, c > 0) המשטח מורכב משני חלקים הממוקמים מחוץ לרצועה בין המישורים עם המשוואות x = a, x = -a 4) אנו לומדים בשיטת החתכים (באופן עצמאי!) 57

חרוט מסדר שני חרוט מסדר שני הוא משטח שהמשוואה הקנונית שלו היא בצורה: 1) משטח מסדר שני 2) יש 3 מישורים ומרכז סימטריה אחד 3) נלמד את שיטת החתכים pl. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt="sq. ||XOY |h| –>∞ מ-0 עד ∞ מ"ר זוג קווים YOZ , עובר דרך"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

בחלל, גיאומטריה אנליטית חוקרת משטחים, אשר בקואורדינטות קרטזיות מלבניות נקבעות על ידי משוואות אלגבריות של הראשון, השני וכו'. מעלות ביחס ל-X,Y,Z:

Axe+By+Cz+D=0 (1)

אx²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)

וכולי. סדר המשוואה נקרא סדר המשטח שהיא מגדירה. כבר ראינו שהמשוואה הזמנה ראשונה(ליניארי) (1) תמיד קובע מָטוֹסהוא המשטח היחיד מהסדר הראשון. יש כבר הרבה משטחים מהסדר השני. בואו ניקח בחשבון את החשוב שבהם.

§2. משטחים גליליים עם גנרטורים מקבילים לאחד מצירי הקואורדינטות.

תנו איזה ישר L יינתן במישור XOY, למשל, המשוואה שלו היא F(x,y)=0 (1) . ואז קבוצת הקווים המקבילים לציר oz (גנרטורים) ועוברים דרך נקודות על L יוצרים משטח S הנקרא משטח גלילי.

הבה נראה שמשוואה (1), שאינה מכילה את המשתנה z, היא המשוואה של משטח גלילי זה S. קח נקודה שרירותית M(x, y, z) השייכת ל-S. תן לגנרטיקס, שעובר דרך M, לחתוך L בנקודה N. לנקודה N יש קואורדינטות N(x,y,0), הן עומדות במשוואה (1), מכיוון ( )N שייך ל-L. אבל אז גם הקואורדינטות (x,y,z,) מספקות את (1), כי הוא אינו מכיל z. לפיכך, הקואורדינטות של כל נקודה של המשטח הגלילי S עומדות במשוואה (1). לפיכך, F(x,y)=0 היא המשוואה של משטח גלילי זה. העקומה L נקראת מדריך (עקומה)משטח גלילי. שימו לב שבמערכת המרחבית L צריך להיות נתון, למעשה, בשתי משוואות F(x,y)=0 , z=0, כקו חיתוך.

דוגמאות:

המדריכים במישור איך הם אליפסה, פרבולה, היפרבולה. ברור שהמשוואות F=(y,z)=0 ו-F(x,z)=0 מגדירות בהתאמה משטחים גליליים עם גנרטורים מקבילים לצירים OX ו-OY. המדריכים שלהם נמצאים במטוסי YOZ ו-XOZ, בהתאמה.

תגובה.משטח גלילי אינו בהכרח משטח מסדר שני. למשל, יש משטח גלילי מסדר 3, והמשוואה y=sin(x) מגדירה גליל סינוסואידאלי, שלא מיוחס לו סדר, זה בכלל לא משטח אלגברי.

§3. משוואת פני המהפכה.

כמה משטחים מסדר 2 הם משטחים של מהפכה. תנו איזו עקומה L F(y,z)=0(1) לשכב במישור ה-YOZ. הבה נגלה מה תהיה המשוואה של פני השטח S שנוצר על ידי סיבוב העקומה (1) סביב ציר העוז.

קח נקודה שרירותית M(x,y,z) על פני השטח S. זה יכול להיחשב מתקבל מ-(.) N השייך ל-L, ואז האפליקציות של הנקודות M ו-N שווים ל-(=z). הקואורדינטה של הנקודה N היא כאן רדיוס הסיבוב, לכן. אבל C (0,0, z) ולכן . אבל הנקודה N שוכנת על העקומה ולכן הקואורדינטות שלה מספקות אותה. אומר (2) . משוואה (2) מתקיימת בקואורדינטות של פני הסיבוב S. לפיכך (2) היא משוואת פני המהפכה. סימני "+" או "-" נלקחים בהתאם באיזה חלק של מישור ה-YOZ נמצאת העקומה (1), כאשר y>0 או .

אז הכלל הוא: כדי למצוא את משוואת המשטח שנוצר מסיבוב העקומה L סביב הציר OZ, עליך להחליף את המשתנה y במשוואת העקומה

משוואות של משטחי סיבוב סביב הציר OX ו-OY נוצרות באופן דומה.

משטח

המשטח המוגדר על ידי משוואה כלשהי במערכת קואורדינטות נתונה הוא מוקד הנקודות שהקואורדינטות שלהן עומדות במשוואה הנתונה F(x; y; z) = 0.

קו במרחב

אם המשוואות F(x; y; z) = 0 ו-Ф (x; y; z) = 0 מגדירות משטח כלשהו, אזי ניתן להגדיר את הישר L (x; y; z) = 0 כמוקד הנקודות המשותפות לשני המשטחים (קו החיתוך של משטחים)

מישור כמשטח מהסדר הראשון

יש לפחות שלוש הגדרות של מטוס:

1) מישור הוא משטח ש לְגַמרֵיכל קו המחבר כל שתי נקודות שלו.

2) מישור הוא קבוצה של נקודות במרחב במרחק שווה משתי נקודות נתונות.

ועכשיו על אחת הצורות של משוואת המישור.

ראשית, מאז ימי הלימודים זה ידוע; "כל שלוש נקודות שאינן חופפות ואינן שוכנות על קו ישר אחד מגדירות מישור, ורק אחד." לא במקרה כיסא עם שלוש רגליים יציב לחלוטין (כלומר, "לא מתנדנד") וכיסא עם שתיים או יותר משלוש רגליים אינו יציב ("סלעים"). שנית, הווקטור הנורמלי למישור מכוון אותו במרחב (ראה איור 31)

תנו למישור p הרצוי לעבור דרך הנקודה M 0 בניצב לווקטור, לאחר מכן

ראשית, הווקטור הוא התוצאה של מכפלת הצלב של הווקטור M 0 M 2 והווקטור M 0 M 1

שנית, הווקטור מאונך הן לווקטור M 0 M 2 והן לווקטור M 1 M 2. מאיפה, מאיפה תנאי אורתוגונליות וקטוריתנקבל שהמכפלה הסקלרית על הווקטור M 0 M 2 (או על הווקטור M 0 M 1) שווה לאפס. אם לנקודה M 2 יש קואורדינטות (x; y; z), אז המכפלה הסקלרית של הווקטור והווקטור M 0 M 2 חייבת להיות שווה לאפס. בהתחשב בעובדה שהווקטור M 0 M 2 מוגדר כ

אנחנו מקבלים את זה

משוואת מישור העובר דרך נקודה נתונה ומאונך לוקטור נתון

דוגמה 30 (השגת משוואת המישור)

מצא את משוואת המישור העובר דרך הנקודה M 0 (1; 1; 1) מאונך לווקטור

פִּתָרוֹן

במקרה שלנו

A=1, B=1 ו-C=1;

x 0 = 2, y 0 = 2, z 0 = 3,

לכן, למשוואת המישור יש את הצורה

או, סוף סוף,

תשובה

המישור הרצוי נקבע על ידי המשוואה

משוואה כללית של המטוס

באופן כללי, כל משוואה של הצורה

A x + B y + C z + D = 0

מגדיר מישור (כאשר A, B ו-C הם הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי למישור). צורה זו של משוואת המישור נקראת "המשוואה הכללית של המישור".

משוואות מישור לא שלמות

תן למישור להיות נתון על ידי המשוואה הכללית שלו

A x + B y + C z + D = 0, (*)

1) אם D = 0, אז (*) מגדיר מישור העובר דרך המוצא;

2) אם A \u003d 0, אז B y + C z + D \u003d 0 ויש לנו מישור, מקביל לציר השור(כי);

3) אם B \u003d 0, אז A x + C z + D \u003d 0 ויש לנו מישור, מקביל לציר Oy(כי);

4) אם C = 0, אז A x + B y + D = 0 ויש לנו מישור, במקביל לציר עוץ(כי);

5) A = 0; B \u003d 0, ואז C z + D \u003d 0 ויש לנו מישור מקביל למישור Oxy;

6) A = 0; C \u003d 0, ואז B y + D \u003d 0 ויש לנו מישור מקביל למישור Oxz;

7) B = 0; C = 0, ואז A x + D = 0 ויש לנו מישור מקביל למישור Oyz;

8) A \u003d 0, B \u003d 0, D \u003d 0, ואז C z \u003d 0 הוא מישור האוקסי;

9) A = 0, C = 0, D = 0, ואז B y = 0 הוא המישור Oxz;

10) B = 0, C = 0, D = 0, ואז A z = 0 הוא המישור Oyz.

בדיוק כמו שהיה קודם עם המשוואה הכללית של קו ישר במישור, ניתן לקבל צורות אחרות של משוואת המישור מהמשוואה הכללית. אחת הצורות הללו היא משוואת מישור בקטעים.

מהמשוואה הכללית של המישור

A x + B y + C z + D = 0

מסתבר שמשוואת המישור בקטעים