מצא את פולינום האינטרפולציה של לגראנז'. נוסחת אינטרפולציה לגראנזית. קירוב של פונקציות הניתנות בטבלה

n הוא מספר הצמתים.

משימת האינטרפולציה היא למצוא פונקציה שלוקחת את אותם ערכים בנקודות.

ההנחה היא שאף אחד מהערכים אינו זהה. הנקודות נקראות צמתי אינטרפולציה. צמתי האינטרפולציה אינם חייבים להיות מרווחים באופן שווה על הקטע [ .

הפונקציה נקראת הפונקציה אינטרפולנט.

אם מחפשים את הערך על המרווח [ , ​​אז משימה זו נקראת בדרך כלל משימת האינטרפולציה, ואם מחוץ למרווח זה, אז זו משימת האקסטרפולציה.

לבעיה יש פתרונות רבים, כי דרך הנקודות הנתונות, i=0, 1,..., n, ניתן לצייר אינסוף עקומות, שכל אחת מהן תהיה גרף של פונקציה שעבורה מתקיימים כל התנאים (1.2).

בהתאם למטרת הקירוב, נעשה שימוש באינטרפולציה (קירוב נקודה) או בקירוב. קירוב הוא החלפה של פונקציה טבלאית בפונקציה שיש לה סטייה מוגבלת מהפונקציה בקטע הנבדק.

תנאי אינטרפולציה:

(1.2)

כאשר a הוא הווקטור של מקדמים לא ידועים.

בדרך כלל המין ידוע מראש. כדי לפתור את בעיית האינטרפולציה, יש צורך במקדם.

פתרון בעיית האינטרפולציה פירושו למצוא עבור נתון ו.

בְּ השקפה כלליתהמערכת מייצגת את המערכת משוואות לא ליניאריותולעתים קרובות אין לו פתרונות ל-n גדול.

השיטה הראשונה לפתרון בעיית האינטרפולציה היא שיטת לגראנז'.

הפונקציה הפשוטה והנפוצה ביותר היא הפולינום:

(1.3)

כאשר , , , …, הוא מקדם הפולינום,

m היא מידת הפולינום המתקרב.

אינטרפולציה מורכבת מהחלפה משוערת של פונקציה הניתנת בטבלה בפונקציה שלוקחת את אותם ערכים כמו הפונקציה.

ניתן לחלק את כל שיטות האינטרפולציה למקומיות ולגלובליות. במקרה של אינטרפולציה גלובלית, נמצא פולינום בודד על פני כל המרווח [ . שיטות אינטרפולציה גלובליות משמשות בדרך כלל לפונקציות המוגדרות על ידי מספר קטן של נקודות, מכיוון שעם עלייה במספר הנקודות, הסדר של הפולינום האינטרפולוני גדל, מה שמשפיע לרעה על החלקות של הפונקציה המתקבלת. לקירוב פולינום המשתמש בכל הצמתים של הטבלה בבת אחת (אינטרפולציה גלובלית) יש חיסרון משמעותי - אפשרות להופעת קיצוניות גדולות במרווחים בין הצמתים של הרשת. הָהֵן. לפולינום האינטרפולציה עשויים להיות תנודות שאינן אופייניות לנתונים המקוריים. בנוסף, ככל שדרגת הפולינום עולה, ישנה הצטברות מהירה של טעויות עיגול. כדי למנוע תופעות לא רצויות אלו, נעשה שימוש באינטרפולציה מקומית בפועל. . במקרה של אינטרפולציה מקומית, על כל מרווח נבנה פולינום נפרד. עבור אינטרפולציה מקומית, מספר הצמתים בחשיבות נהדרתאין.

הבה נשקול כמה סוגים של אינטרפולציה מקומית וגלובלית.

אינטרפולציה מקומית:

1. אינטרפולציה ליניארית חתיכה

2. אינטרפולציה על ידי ספליין

אינטרפולציה גלובלית:

1. פולינום לגראנז'

2. הפולינום של ניוטון

אינטרפולציה גלובלית

אינטרפולציה על ידי פולינום לגראנז'

עם אינטרפולציה גלובלית, פולינום בודד נבנה על פני כל המרווח. אחת מצורות כתיבת פולינום האינטרפולציה עבור אינטרפולציה גלובלית היא פולינום לגראנז':

פולינום אינטרפולציה של לגראנז' מהדרגה ה-n הוא שילוב ליניארי של פולינומי לגראנז' הבסיסיים:

כלומר, פולינום לגראנז':

(2.3)

הפולינום עומד בתנאי

תנאי זה אומר שהפולינום שווה לאפס עבור כל אחד מהם מלבד , כלומר, , , ... , הם השורשים של הפולינום הזה. לפיכך, מידת הפולינום שווה ל-n, ובשעה , כל האיברים בסכום נעלמים, מלבד האיבר עם המספר i=j השווה ל.

הוא לוקח את הערך 1 בנקודה ו-0 בצמתי האינטרפולציה האחרים. לכן, בשלב זה, הפולינום המקורי מקבל את הערך

(2.4)

ביטוי (2.1) ישים הן עבור צמתים מרווחים שווים והן עבור צמתים לא מרווחים שווה.

פולינום לגראנז' מכיל במפורש את ערכי הפונקציות בצמתי האינטרפולציה, כך שהוא שימושי כאשר ערכי הפונקציות משתנים, אך צמתי האינטרפולציה אינם משתנים. מספר הפעולות האריתמטיות הנדרשות לבניית פולינום לגראנז' הוא פרופורציונלי והוא הקטן ביותר עבור כל צורות הסימון. החסרונות של צורת סימון זו כוללים את העובדה שעם שינוי במספר הצמתים, החישוב כולו צריך להתבצע שוב.

2.2. פולינום ניוטון

תנו לפונקציה g(x) להינתן בצעד שרירותי ונקודות טבלת הערכים ימוספרו בסדר שרירותי.

הפולינום של ניוטון מסתמך במידה רבה על הרעיון של הבדלים מחולקים.

ההבדלים המחולקים בסדר אפס עולים בקנה אחד עם ערכי הפונקציה בצמתים. ההבדלים המחולקים מסדר אפס מוגדרים במונחים של ההבדלים המחולקים מסדר אפס:

ההבדלים המחולקים בסדר ק' מוגדרים במונחים של ההבדל המחולק לפי הסדר:

כדי לשפר את דיוק האינטרפולציה, ניתן להוסיף איברים חדשים לסכום, מה שמצריך חיבור של צמתים נוספים. יחד עם זאת, עבור הנוסחה של ניוטון, אין זה משנה באיזה סדר מחוברים צמתים חדשים, בעוד שלפולינום לגראנז', כאשר מוסיפים צמתים חדשים, יש לבצע את כל החישובים שוב.

נניח שיש צורך להגדיל את דרגת הפולינום באחד על ידי הוספת צומת אחד נוסף לטבלה. כדי לחשב, מספיק להוסיף למונח אחד בלבד

אינטרפולציה מקומית

3.1. אינטרפולציה ליניארית חלקית.

אחד הסוגים הנפוצים והפשוטים ביותר של אינטרפולציה מקומית הוא אינטרפולציה לינארית חלקית, שבה כל שתי נקודות ופונקציית טבלה מחוברות על ידי קטעי קו (כלומר, פולינום מהמעלה הראשונה מצויר)

	(3.3)
	(3.4)

אינטרפולציה ליניארית חלקית היא הפשוטה ביותר, ולכן משמשת לעתים קרובות למדי לחישוב ערכים בין צמתי אינטרפולציה. כדי לבנות קשר אינטרפולציה המשמש בחישובים מדעיים והנדסיים נוספים, בדרך כלל משתמשים בשיטות אינטרפולציה מורכבות יותר.

3.2. אינטרפולציה של ספליין

לפעמים זה נדרש להבטיח את המשכיות לא רק של פונקציית האינטרפולציה, אלא גם את המספר הנדרש של הנגזרות שלה; לשם כך, הם פונים לאינטרפולציה של ספליין.

Spline היא פונקציה שתחום ההגדרה שלה מחולק למספר סופי של מקטעים, שעל כל אחד מהם חופף השדרה לפולינום אלגברי. הדרגה המקסימלית של הפולינומים המשמשים נקראת מידת השדרה.

היתרונות של אינטרפולציית ספליין על פני שיטות אינטרפולציה קונבנציונליות הם בהתכנסות וביציבות של התהליך החישובי. בפועל משתמשים לרוב ב-splines מעוקבים - splines ממדרגה שלישית עם נגזרת ראשונה רציפה, לפחות. במקרה זה, הערך נקרא השיפוע של השפל בנקודה (צומת).

נחלק את המקטע ל-N מקטעים שווים [ , ], כאשר , i=0,1,...,N-1.

אם הצמתים , , מוגדרים לערכים שהספליין המעוקב מקבל, אז בקטע החלקי [ , ] הוא מקבל את הצורה:

(3.3)

אכן, קל לאמת זאת על ידי חישוב ובנקודות ,

ניתן להוכיח שאם פולינום מדרגה שלישית לוקח את הערכים, בנקודות, ויש לו נגזרות, בהתאמה, בנקודות אלו, אז הוא חופף לפולינום (3.3).

לפיכך, כדי להגדיר ספליין מעוקב על קטע, יש צורך להגדיר את הערכים, i=0,1…,N ב-N+1 בצומת.

שגיאת אינטרפולציה

בעת אינטרפולציה, פונקציות תמיד מקבלות שגיאה המורכבת משגיאת השיטה עצמה ושגיאות עיגול.

שגיאה בקירוב פונקציה על ידי פולינום אינטרפולציה תואר שניבנקודה x נקבע על ידי ההפרש.

הנה הנגזרת (n+1) של סדר הפונקציה בשלב מסוים, והפונקציה מוגדרת כ

לאחר מכן מגיעה אומדן לשגיאת האינטרפולציה.

(4.4)

הערך הספציפי של השגיאה בנקודה x תלוי כמובן בערך הפונקציה בנקודה זו. האופי האיכותי של התלות מוצג באיור 2.

ניתן לראות מהאיור ששגיאת האינטרפולציה היא גבוהה יותר, ככל שהנקודה x קרובה יותר לקצוות הקטע. מחוץ לקטע האינטרפולציה (כלומר.

כאשר מחולק) גדל במהירות, כך שהשגיאה גדלה באופן משמעותי.

איור 2

בשל ההתנהגות המתוארת של השגיאה, אינטרפולציה גלובלית במקרים מסוימים יכולה לתת תוצאה בלתי מספקת לחלוטין.

5. דוגמה לאינטרפולציה של פונקציות על ידי LAGRANGE ו-Newton Polynomials

כדי למצוא פולינום שלוקח את הערכים הרצויים בנקודות ספציפיות, ניתן להשתמש בחבילת Mathcad. כדוגמה, שקול את הבעיה של מציאת פולינום לגראנז' המספק את הנתונים הראשוניים הנתונים.

בואו נבנה את הפולינום של לגראנז' בחבילת Mathcad:

נתונים ראשוניים:

בתרגול חישובי, לעתים קרובות צריך להתמודד עם פונקציות המוגדרות על ידי טבלאות של הערכים שלהן עבור קבוצת ערכים סופית כלשהי. איקס : .

בתהליך פתרון הבעיה יש צורך להשתמש בערכים
עבור ערכי ביניים של הטיעון. במקרה זה, נבנית פונקציה Ф(x), שהיא פשוטה מספיק לחישובים, שבנקודות נתונות איקס 0 , איקס 1 ,...,איקס נ , נקראים צמתים אינטרפולציה, לוקחת ערכים, ובנקודות אחרות של הקטע (x 0 ,x n) השייכות לתחום ההגדרה
, מייצג בערך את הפונקציה
במידה מסוימת של דיוק.

בעת פתרון הבעיה במקרה זה, במקום הפונקציה
פעל עם הפונקציה Ф(x). המשימה של בניית פונקציה כזו Ф(x) נקראת בעיית האינטרפולציה. לרוב, פונקציית האינטרפולציה Ф(x) נמצאת בצורה של פולינום אלגברי.

1. פולינום אינטרפולציה

לכל פונקציה
מוגדר על [ א,ב], וכל קבוצה של צמתים איקס 0 , איקס 1 ,...,איקס נ (איקס אני
[א,ב], איקס אני איקס יעבורי י) בין פולינומים אלגבריים בעלי תואר n לכל היותר, קיים פולינום אינטרפולציה ייחודי Ф(x), אותו ניתן לכתוב בצורה:

, (3.1)

איפה
הוא פולינום ממדרגה n, בעל התכונה הבאה:

עבור פולינום אינטרפולציה, הפולינום
נראה כמו:

פולינום זה (3.1) פותר את בעיית האינטרפולציה והוא נקרא פולינום אינטרפולציה של לגראנז'.

כדוגמה, שקול פונקציה של הטופס
על המרווח
ניתן בצורה טבלה.

יש צורך לקבוע את ערך הפונקציה בנקודה x-2.5. אנו משתמשים בפולינום של לגראנז' לשם כך. בהתבסס על נוסחאות (3.1 ו-3.3), אנו כותבים את הפולינום הזה במפורש:

(3.4).

לאחר מכן, נחליף לנוסחה (3.4) את הערכים ההתחלתיים מהטבלה שלנו

התוצאה שהתקבלה תואמת את התיאוריה כלומר. .

1. נוסחת אינטרפולציה לגראנז'

ניתן לכתוב את פולינום האינטרפולציה של לגראנז' בצורה אחרת:

(3.5)

כתיבת פולינום בצורה (3.5) נוחה יותר לתכנות.

בעת פתרון בעיית האינטרפולציה, הערך ננקרא סדר הפולינום המשלב. במקרה זה, כפי שניתן לראות מהנוסחאות (3.1) ו-(3.5), מספר צמתי האינטרפולציה יהיה תמיד שווה ל- n+1ומשמעות איקס, עבורו נקבע הערך
, חייב להיות בתוך התחום של צמתי האינטרפולציה הָהֵן.

. (3.6)

במקרים מעשיים מסוימים, המספר הכולל הידוע של צמתי אינטרפולציה Mעשוי להיות גדול יותר מסדר הפולינום המשלב נ.

במקרה זה, לפני יישום הליך האינטרפולציה לפי הנוסחה (3.5), יש צורך לקבוע את אותם צמתי אינטרפולציה שעבורם תנאי (3.6) תקף. יש לזכור כי השגיאה הקטנה ביותר מושגת בעת מציאת הערך איקס במרכז אזור האינטרפולציה. כדי להבטיח זאת, ההליך הבא מוצע:

המטרה העיקרית של האינטרפולציה היא לחשב את הערכים של פונקציה בטבלה עבור ערכי ארגומנטים לא צמתים (ביניים), וזו הסיבה שהאינטרפולציה מכונה לעתים קרובות "אמנות קריאת טבלאות בין שורות".

מדגם הנתונים הניסיוניים הוא מערך נתונים המאפיין את תהליך שינוי האות הנמדד בזמן נתון (או ביחס למשתנה אחר). כדי לבצע ניתוח תיאורטי של האות הנמדד, יש צורך למצוא פונקציית קירוב שתחבר קבוצה בדיד של נתונים ניסיוניים עם פונקציה רציפה - פולינום אינטרפולציהנ - מעלות. אחת הדרכים לייצג פולינום אינטרפולציה נתון של n מעלות היא להשתמש בפולינום בצורת לגראנז'.

פולינום אינטרפולציה בצורתלגרנז'היא פונקציה מתמטית המאפשרת לכתוב פולינוםנ -תארים שיחברו את כל הנקודות הנתונות ממערכת של ערכים שהושגו אמפירית או בשיטה דגימה אקראיתבנקודות זמן שונות עם שלב זמן לא קבוע של מדידות.

1. נוסחת אינטרפולציה של לגרנז'

באופן כללי, פולינום האינטרפולציהבצורת לגראנז' כתוב כך:

איפה ˗ תואר פולינום;

˗ הערך של הערך של פונקציית האינטרפולציהבנקודה ;

˗ פולינומים בסיסיים (מכפיל Lagrange), אשר נקבעים על ידי הנוסחה:

לדוגמה, פולינום האינטרפולציהבצורת לגרנז' עובר דרך שלוש נקודות נתונות, ייכתב בצורה הבאה:

פולינום לגראנז' מכיל במפורש את ערכי הפונקציות בצמתי האינטרפולציה, כך שהוא שימושי כאשר ערכי הפונקציות משתנים אך צמתי האינטרפולציה נשארים ללא שינוי. מספר הפעולות האריתמטיות הנדרשות לבניית פולינום לגראנז' הוא פרופורציונלי לוהוא הקטן ביותר עבור כל צורות הסימון. החסרונות של צורת כתיבה זו כוללים את העובדה שכאשר בונים פולינום של תואר n + 1, מידע על הפולינום הקודם של מדרגה n אובד לחלוטין, כלומר. עם שינוי במספר הצמתים, יש לבצע את כל החישוב מחדש.

2. שגיאה של פולינום האינטרפולציה בצורת לגרנז'

שקול את הפונקציה f(x ), שהוא רציף וניתן להבדיל על הקטע הנחשב . פולינום אינטרפולציהל (x) בצורת לגרנז' לוקח בנקודותנקודות ההגדרה של הפונקציה. בנקודות אחרות, פולינום האינטרפולציה L(x) שונה מערך הפונקציה f(x) לפי הסכום חבר שיורי , שקובע את השגיאה המוחלטת של נוסחת האינטרפולציה של לגראנז':

אבל השגיאה המוחלטת של נוסחת האינטרפולציה של לגראנז' נקבעת באופן הבא:

איפה נ ˗ תואר פולינום

מִשְׁתַנֶה מייצג את הגבול העליון של ערך המודולוס (n+1) הנגזרת של הפונקציה f(x) במרווח נתון

שגיאת האינטרפולציה בשיטת Lagrange תלויה במאפייני הפונקציה f(x) וגם ממיקום צמתי האינטרפולציה והנקודה איקס. אם השגיאה לא מגיעה לדיוק הנדרש, אז אתה צריך לפצל את הקטע לחלקים ולבצע אינטרפולציה של כל חלק בנפרד - אינטרפולציה חלקית.

בחירת צמתי אינטרפולציה

בעזרת בחירה נכונה של צמתים, אפשר למזער את הערךבהערכת שגיאה, ובכך לשפר את דיוק האינטרפולציה. ניתן לפתור בעיה זו באמצעות הפולינום Chebyshev:

בתור צמתים, עליך לקחת את השורשים של הפולינום הזה, כלומר, את הנקודות:

3. טכניקה לחישוב פולינום בצורת לגראנז'

האלגוריתם לחישוב פולינום בצורת לגראנז' מאפשר לנו להפריד בין המשימות של קביעת המקדמים וחישוב ערכי הפולינום עבור ערכים שוניםטַעֲנָה:

1. דוגמה מנ -points, הכולל את ערכי הפונקציה ואת הערכים של ארגומנט הפונקציה.

2. פולינום של n מעלות מחושב בצורת לגראנז' באמצעות הנוסחה הבאה:

אלגוריתם לחישוב פולינום בצורהלגרנז' מוצג באיור 1.

טכניקה לחישוב פולינום בצורה לגרנז'

תנו לפונקציה להינתן על קטע ברצף כלשהו של צמתים עם הערכים שלו, איפה. הבעיה של אינטרפולציה אלגברית היא לבנות פולינום של תואר המקיים את תנאי האינטרפולציה:.

ידוע שיש פולינום ייחודי בדרגה שאינה גבוהה מ-, אשר לוקח את הערכים הנתונים בנקודות ההתחלתיות. ניתן לקבוע את המקדמים הפולינומיים ממערכת המשוואות:

הקובע של מערכת זו הוא הקובע Vandermonde, ומכאן שיש למערכת פתרון ייחודי.

דוגמא.בנה פולינום אינטרפולציה החופף לפונקציה בנקודות.

פִּתָרוֹן.תן , אז יש לנו

לכן ב.

פולינום לגראנז'

נחפש פולינום בצורה של שילוב ליניארי של קבוצות של מעלות :.

במקרה זה, אנו דורשים שכל פולינום בכל צמתי האינטרפולציה, למעט אחד, שבו הוא שווה ל-1. קל לבדוק שתנאים אלו מתקיימים על ידי פולינום בצורה

.

באמת, . מצבר הביטוי הוא 0. באנלוגיה אנו מקבלים:

,

החלפת נוסחאות אלה בפולינום המקורי, נקבל:

נוסחה זו נקראת פולינום אינטרפולציה של לגראנז'.

דוגמא.בנה את פולינום האינטרפולציה של לגראנז' החופף לפונקציה בנקודות

.

פִּתָרוֹן.בואו נעשה טבלה

החלפת ערכים אלה בנוסחת לגרנז', נקבל:

אם הפונקציה ניתנת להבדלה מתמשכת עד לסדר ה' כולל, אזי שאר האיבר של פולינום האינטרפולציה בצורת לגראנז' יש את הצורה

היכן היא נקודה פנימית של הקטע המינימלי המכילה צמתי אינטרפולציה ונקודה.

פולינום ניוטון עם הבדלים סופיים

שקול את המקרה של צמתי אינטרפולציה במרחק שווה, כלומר, נקרא צעד.

הבה נציג את המושג של הבדלים סופיים. אפשר לדעת את ערכי הפונקציה בצמתים. חבר את ההבדל בין ערכי הפונקציה:

הבדלים אלו נקראים הבדלים מסדר ראשון.

אנחנו יכולים לעשות הבדלים מסדר שני:

הבדלים של הסדר ה-k מורכבים באופן דומה:

אנו מבטאים את ההבדלים הסופיים ישירות במונחים של ערך הפונקציה:

לפיכך, עבור כל k, אנו יכולים לכתוב:

בואו נכתוב את הנוסחה הזו עבור ערכי ההבדל בצומת:

באמצעות הבדלים סופיים, ניתן לקבוע

הבה נמשיך לבניית פולינום האינטרפולציה של ניוטון. נחפש את הפולינום הזה בצורה

הגרף הפולינומי חייב לעבור דרך הצמתים הנתונים, כלומר . אנו משתמשים בתנאים הבאים כדי למצוא את המקדמים של הפולינום:

בוא נמצא את המקדמים מכאן:

לפיכך, עבור כל מקדם -ה, הנוסחה לובשת את הצורה

.

החלפת נוסחאות אלה בביטוי הפולינום של ניוטון, נקבל את צורתו הבאה:

ניתן לכתוב את הנוסחה המתקבלת בצורה אחרת. לשם כך, אנו מציגים משתנה .

במקרה הזה

בהתחשב ביחסים אלה, ניתן לכתוב את נוסחת הפולינום של ניוטון כ

הביטוי המתקבל יכול להעריך את הפונקציה הנתונה על כל הקטע של השינוי בארגומנט. עם זאת, כדאי יותר (מנקודת מבט של הגברת דיוק החישובים והקטנת מספר האיברים בנוסחה המתקבלת) להגביל את עצמנו למקרה, כלומר להשתמש בנוסחה זו לכולם. במקרים אחרים, במקום לקבל אם ב. במקרה זה, ניתן לכתוב את פולינום האינטרפולציה כ

הנוסחה המתקבלת נקראת פולינום האינטרפולציה הראשון של ניוטון לאינטרפולציה קדימה. נוסחת אינטרפולציה זו משמשת בדרך כלל לחישוב ערכי הפונקציה בנקודות של החצי השמאלי של הקטע הנחשב. זה מוסבר על ידי הדברים הבאים: ההבדלים מחושבים דרך ערכי הפונקציה, יתר על כן. בגלל זה, עבור ערכים גדולים של x, אנחנו לא יכולים לחשב סדרים גבוהים יותר.

עבור החצי הימני של הקטע הנדון, עדיף לחשב את ההבדלים מימין לשמאל. במקרה זה, כלומר, ניתן לקבל את פולינום האינטרפולציה של ניוטון בצורה:

הנוסחה המתקבלת נקראת פולינום אינטרפולציה לאחור השני.

דוגמא.באמצעות פולינום אינטרפולציה של ניוטון, מחשב , כאשר הפונקציה ניתנת על ידי הטבלה

פִּתָרוֹן.ערכו טבלה של הבדלים סופיים.

כדי לחשב, אנו מציגים בפולינום האינטרפולציה של ניוטון אז ו

דוגמא.הטבלה ניתנת. למצוא .

בעת החישוב, אנו שמים

.

בעת החישוב, אנו שמים

.

הבה נאמוד את השגיאות של הנוסחאות של ניוטון קדימה ואחורה:

נוסחאות בידול משוערות מבוססות על נוסחת האינטרפולציה הראשונה של ניוטון. לפולינום האינטרפולציה של ניוטון יש את הצורה

מכפלת הבינומים, נקבל

כי , לאחר מכן

באופן דומה, ניתן לחשב נגזרות של פונקציות מכל סדר.

במקרים מסוימים, נדרש למצוא נגזרות של פונקציות בנקודות הטבלה העיקריות. מכיוון שניתן להתייחס לערך הטבלאי כערך ההתחלתי, אז, בהנחה, יש לנו

עבור הנגזרת של פולינום ניוטון מהסדר הראשון, ניתן לחשב את השגיאה על ידי הנוסחה ,

איפה מספר ההבדלים הסופיים בפולינום של ניוטון.

דוגמא.מצא פונקציה שניתנה בטבלה.

פִּתָרוֹן.

בחישוב השגיאה נקבל:

.

באמת, .

לפיכך, התוצאות תואמות עד הספרה הרביעית.

נבנה פולינום אינטרפולציה בצורה

איפה הם פולינומים של תואר לכל היותר פ,בעל הנכס הבא:

ואכן, במקרה זה הפולינום (4.9) בכל צומת x j, j=0,1,…n, שווה לערך המתאים של הפונקציה y j, כלומר הוא אינטרפולציה.

הבה נבנה פולינומים כאלה. מכיוון שעבור x=x 0 ,x 1 ,...x i -1 ,x i +1 ,...x n , ניתן לחלק את הגורמים הבאים

כאשר c הוא קבוע. מהמצב אנחנו מקבלים את זה

פולינום אינטרפולציה (4.1) כתוב בצורה

נקרא פולינום אינטרפולציה של לגראנז'.

ערך משוער של פונקציה בנקודה איקס *, המחושב באמצעות פולינום לגראנז', תהיה שגיאה שיורית (4.8). אם ערכי הפונקציה y iבצמתי אינטרפולציה x iניתנים בערך באותה שגיאה מוחלטת, ואז במקום ערך מדויקיחושב ערך משוער, ו

איפה השגיאה המוחלטת החישובית של פולינום האינטרפולציה של לגראנז'. לבסוף, יש לנו את האומדן הבא של הטעות הכוללת של הערך המשוער .

בפרט, לפולינומים של לגראנז' מהמעלה הראשונה והשנייה תהיה הצורה

וכל השגיאות שלהם בנקודה x *

ישנן צורות אחרות של כתיבת פולינום אינטרפולציה זהה (4.1), לדוגמה, נוסחת האינטרפולציה המחולקת של ניוטון הנחשבת להלן והגרסאות שלה. עם חישובים מדויקים, הערכים Pn(x *), המתקבלת על ידי נוסחאות אינטרפולציה שונות הבנויות מאותם צמתים, חופפות. הנוכחות של שגיאה חישובית מובילה להבדל בערכים שהושגו בנוסחאות אלו. כתיבת פולינום בצורת לגראנז' מובילה, ככלל, לשגיאה חישובית קטנה יותר.

השימוש בנוסחאות להערכת השגיאות המתעוררות במהלך האינטרפולציה תלוי בהצהרת הבעיה. לדוגמה, אם מספר הצמתים ידוע, והפונקציה ניתנת עם מספר גדול מספיק של סימנים חוקיים, אז נוכל להגדיר את משימת החישוב f(x*)עם הדיוק הגבוה ביותר האפשרי. אם, להיפך, מספר הסימנים הנכונים קטן ומספר הצמתים גדול, אז נוכל להציב את הבעיה של חישוב f(x*)עם הדיוק שהערך הטבלאי של הפונקציה מאפשר, וכדי לפתור בעיה זו, ייתכן שיידרשו גם דחיסה וגם דחיסה של הטבלה.

§4.3. הבדלים מופרדים ותכונותיהם.

המושג הבדל מחולק הוא מושג כללי של נגזרת. תן בנקודות x 0 , x 1 , ... x n את ערכי הפונקציות f(x 0), f(x 1),...,f(x n). הבדלים מחולקים מסדר ראשון מוגדרים על ידי השוויון

הבדלים מחולקים מהסדר השני - שוויון,

וההבדלים המחולקים קהסדר נקבע על ידי הנוסחה הרקורסיבית הבאה:

ההבדלים המחולקים ממוקמים בדרך כלל בטבלה כך:

x i	f(x i)	הבדלים מחולקים
צו 1	צו שני	סדר ג'	צו IV
x 0	y 0
		ו
x 1	y 1		ו
		ו		ו
x 2	y2		ו		ו
		ו		ו
x 3	y 3		ו
		ו
x 4	y 4

שקול את המאפיינים הבאים של הבדלים מחולקים.

1. הבדלים מחולקים של כל הסדרים הם שילובים ליניאריים של ערכים f(x i), כלומר הנוסחה הבאה מתקיימת:

הבה נוכיח את תקפותה של נוסחה זו באמצעות אינדוקציה לפי סדר ההבדלים. להבדלים מהסדר הראשון

הנוסחה (4.12) תקפה. הבה נניח כעת שהוא תקף לכל הבדלי הסדר.

לאחר מכן, לפי (4.11) ו-(4.12), על הבדלי סדר k=n+1יש לנו

תנאים המכילים f(x0)ו f(x n +1), יש את הטופס הנדרש. שקול את המונחים המכילים f(x i), i=1, 2, …,n. ישנם שני מונחים כאלה - מהסכום הראשון והשני:

הָהֵן. הנוסחה (4.12) תקפה להפרש הסדר k=n+1, ההוכחה מלאה.

2. ההפרש המחולק הוא פונקציה סימטרית של הארגומנטים שלו x 0 , x 1 ,...x n (כלומר לא משתנה עם שום תמורה):

נכס זה נובע ישירות משוויון (4.12).

3. חיבור פשוט של ההפרש המחולק וונגזרת f(n)(x)נותן את המשפט הבא.

תנו לצמתים x 0 , x 1 ,...x n שייכים לקטע ותפקוד f(x)יש נגזרת רציפה של סדר פ. אז יש נקודה כזו xО, מה

תחילה נוכיח את תקפות היחס

לפי (4.12), הביטוי בסוגריים מרובעים הוא

ו.

מתוך השוואה (4.14) לביטוי (4.7) לשאר המונח R n (x)=f(x)-L n (x)נקבל (4.13), המשפט מוכח.

מסקנה פשוטה נובעת ממשפט זה. עבור פולינום פתואר ה'

f(x) = a 0 x n +a 1 x n -1 +...a n

נגזרת הזמנה פברור שיש

ויחס (4.13) נותן את הערך להפרש המחולק

אז, עבור כל פולינום של תואר פהבדלי סדר מחולקים פשווים לערך קבוע - המקדם בדרגה הגבוהה ביותר של הפולינום. הבדלים מופרדים מסדר גבוה יותר
(יותר פ) ברור שווים לאפס. עם זאת, מסקנה זו תקפה רק אם אין טעות חישובית להפרשים המחולקים.

§4.4. פולינום אינטרפולציה של ניוטון עם הבדלים מחולקים

אנו כותבים את פולינום האינטרפולציה של לגראנז' בצורה הבאה:

איפה L 0 (x) \u003d f (x 0) \u003d y 0, א L k (x)הוא פולינום אינטרפולציה של לגראנז' של מעלות ק, שנבנה על ידי צמתים x 0 , x 1 , …, x k. ואז יש פולינום של תואר ק, ששורשיו הם נקודות x 0 , x 1 , …, x k -1. לכן, ניתן לחלק אותו לגורמים

כאשר Ak הוא קבוע.

בהתאם ל (4.14) אנו מקבלים

בהשוואה בין (4.16) ו-(4.17) נקבל ש-(4.15) לובשת גם את הצורה

שנקרא פולינום האינטרפולציה של ניוטון עם הבדלים מחולקים.

סוג זה של רישום של פולינום האינטרפולציה ממחיש יותר (הוספה של צומת אחד תואמת את הופעתו של איבר אחד) ומאפשרת לך להתחקות טוב יותר אחר האנלוגיה של המבנים המתבצעים עם המבנים העיקריים של ניתוח מתמטי.

השגיאה השיורית של פולינום האינטרפולציה של ניוטון באה לידי ביטוי בנוסחה (4.8), אך בהתחשב ב- (4.13), ניתן לכתוב אותה גם בצורה אחרת

הָהֵן. ניתן להעריך את השגיאה השיורית לפי המודולוס של האיבר הראשון שהושלך בפולינום N n (x *).

טעות חישובית Nn(x*)נקבע לפי טעויות ההפרשים המחולקים. צמתי אינטרפולציה הקרובים ביותר לערך האינטרפולציה איקס *, תהיה השפעה גדולה יותר על פולינום האינטרפולציה, שוכב רחוק יותר - פחות. לכן, רצוי, במידת האפשר, עבור x0ו x 1לקחת לבוא איקס *צמתי אינטרפולציה ובצע תחילה אינטרפולציה ליניארית על צמתים אלו. ואז למשוך בהדרגה את הצמתים הבאים כך שהם יהיו כמה שיותר סימטריים ביחס ל איקס *, עד שמונח המודולו הבא קטן מהשגיאה המוחלטת של ההפרש המחולק הכלול בו.