תנאי ליפשיץ בהתכנסות של משוואה לא ליניארית. מערכות של משוואות לא ליניאריות. שיטת איטרציה פשוטה

תרגיל:

1) בעזרת שיטת האיטרציה, פתור את המערכת

2) בשיטת ניוטון פותרים את המערכת

משימה №1באמצעות שיטת האיטרציה, פתור את מערכת המשוואות הלא ליניאריות בדיוק של 0.001.

חלק תיאורטי.

שיטת איטרציה הזוהי דרך לפתור בעיות מתמטיות באופן מספרי. המהות שלו היא למצוא אלגוריתם חיפוש לקירוב ידוע (ערך משוער) של הערך הרצוי של הקירוב הבא, המדויק יותר. הוא משמש במקרה שבו רצף הקירוב לפי האלגוריתם שצוין מתכנס.

השיטה הזאתנקראת גם שיטת הקירוב הרציף, שיטת ההחלפות החוזרות ונשנות, שיטת האיטרציות הפשוטות וכו'.

שיטת ניוטון, האלגוריתם של ניוטון (הידוע גם כשיטת הטנגנס) הוא איטרטיבי שיטה מספריתמציאת השורש (אפס) של הפונקציה הנתונה. השיטה הוצעה לראשונה על ידי הפיזיקאי, המתמטיקאי והאסטרונום האנגלי אייזק ניוטון (1643-1727). החיפוש אחר פתרון מתבצע על ידי בניית קירובים עוקבים ומתבסס על עקרונות האיטרציה הפשוטה. לשיטה יש התכנסות ריבועית. שיפור של השיטה הוא שיטת האקורדים והטנג'ים. כמו כן, ניתן להשתמש בשיטה של ניוטון כדי לפתור בעיות אופטימיזציה שבהן נדרש לקבוע את האפס של הנגזרת או הגרדיאנט הראשונה במקרה של מרחב רב ממדי. נימוק

כדי לפתור את המשוואה באופן מספרי בשיטת האיטרציה הפשוטה, יש לצמצם אותה לצורה הבאה: , היכן נמצא מיפוי ההתכווצות.

להתכנסות הטובה ביותר של השיטה בנקודת הקירוב הבא, יש לעמוד בתנאי. הפתרון של משוואה זו נחפש בצורה , ואז:

בהנחה שנקודת הגישה היא "קרוב מספיק" לשורש, וכך פונקציה נתונההוא רציף, הנוסחה הסופית עבור היא:

עם זאת בחשבון, הפונקציה מוגדרת על ידי הביטוי:

פונקציה זו בסמוך לשורש מבצעת מיפוי התכווצות, והאלגוריתם למציאת פתרון מספרי למשוואה מצטמצם להליך חישוב איטרטיבי:

אפשרויות משימה

№1. 1)
2)

№2. 1)
2)

№3. 1)
2)

№4. 1)
2)

№5. 1)
2)

№6. 1)
2)

№7. 1)
2)

№8. 1)
2)

№9. 1)
2)

№10.1)
2)

№11.1)
2)

№12.1)
2)

№13.1)
2)

№14.1)
2)

№15.1)
2)

№16.1)
2)

№17.1)
2)

№18.1)
2)

№19.1)
2)

№20.1)
2)

№21. 1)
2)

№22. 1)
2)

№23. 1)
2)

№24. 1)
2)

№25. 1)
2)

№26. 1)
2)

№27. 1)
2)

№28. 1)
2)

№29. 1)
2)

№30. 1)
2)

השלמת משימה לדוגמה

№1. 1)
2)

דוגמה לפתרון מערכת משוואות לא ליניאריות על ידי איטרציה

בואו נכתוב מחדש המערכת הזאתכפי ש:

הפרדת השורשים נעשית בצורה גרפית (איור 1). מהגרף אנו רואים שלמערכת יש פתרון אחד סגור בשטח D: 0<איקס<0,3;-2,2<y<-1,8.

הבה נוודא ששיטת האיטרציה ישימה כדי לחדד את הפתרון של המערכת, עבורה נכתוב אותה בצורה הבאה:

מאז, יש לנו באזור D

+ = ;

+ =

לפיכך, מתקיימים תנאי ההתכנסות.

טבלה מספר 2

פ
	0,15	-2	-0,45	-0,4350	-0,4161	-0,1384
	0,1616	-2,035	-0,4384	-0,4245	-0,4477	-0,1492
	0,1508	-2.0245	-0,4492	-0,4342	-0,4382	-0,1461
	0.1539	-2,0342.	-0,4461	-0.4313	-0,4470	-0,1490
	0.1510	-2,0313	-0,4490	-0,4341	-0,4444	-0.1481
	0,1519	-2,0341	-0,4481	-0,4333	-0,4469	-0,1490
	0,1510	-2.0333	-0.449	-0,4341	-0.4462	-0,1487
	0.1513	-2.0341	-0,4487	-0,4340	-0,4469	-0.1490
	0.1510	-2,0340

אנו לוקחים כקירוב ראשוני x o=0,15, y 0 =-2.

(כרטיסייה מס' 2). ואז התשובה תהיה:

דוגמה לפתרון מערכת משוואות לא ליניאריות בשיטת ניוטון

הפרדת השורשים נעשית בצורה גרפית (איור 2). כדי לשרטט גרפי פונקציות, נערוך טבלה של ערכי פונקציה ו, נכלל במשוואה הראשונה והשנייה (טבלה I).

ניתן לקחת ערכים עבור x בהתבסס על התנאים הבאים: מהמשוואה הראשונה 1≤1.2x+0.4≤1, כלומר 1.16≤х≤0.5; מהמשוואה השנייה, כלומר. . בדרך זו, .

למערכת שני פתרונות. הבה נחדד אחד מהם, השייך לאזור D: 0.4<איקס<0,5;

0,76<y<0,73. За начальное приближение примем Имеем:

שולחן 3

איקס	-1,1	-1	-0,8	-0,6	-0,2	-0,4		0,2	0,4	0,5
x 2	1.21		0,64	0,36	0,04	0,16		0,04	0.16	0,25
0,8x 2	0,97	0,8	0,51	0,29	0,032	0,13		0,032	0,13	0,2
1 -0,8x 2	0,03	0,2	0,49	0,71	0,97	0,87		0,97	0.87	0,8
	0,02	0,13	0,33	0,47	0,65	0,58	0,67	0,65	0,58	0.53
	±0.14	±0.36	±0.57	±0.69	±0.81	±0.76	±0.82	±0.81	±0.76	±0.73
1.2x	-1,32	-1,2	-0.9b"	-0,72	-0,24	-0,48		0,24	0,48	0,6
0,4+1,2איקס	-0,92	-0,8	-0,56	-0,32	0,16	-0,08	0,4	0,64	0.88
2x-y	-1.17	-0,93	-0,59	-0,33	0,16	-0,08	0,41	0,69	2.06 1,08	1,57
	-1,03	-1,07	-1,01	-0,87	-0,56	-0,72	-0,41	-0,29	-1,26 -1,28	-0.57

אנו מחדד את השורשים בשיטת ניוטון:

איפה ; ;

;
;

כל החישובים נעשים לפי טבלה 3

שולחן 3			0,10	0,017	-0,0060	0,0247	-0,0027	-0,0256	0,0001	0,0004
		0,2701	0,0440	-0,0193	0,0794	-0,0080	-0,0764	-0,0003	0,0013
		2,6197	3,2199	2,9827	3,1673
		-0,0208	-2,25	0,1615	-2,199	0,1251	-2,1249	0,1452	-2,2017
		-1,1584	0,64	-1,523	0,8	-1,4502	0,7904	-1,4904	0,7861
		0,1198	-0,0282	-0,0131	0,059	-0,0007	-0,0523	-0,0002	0,0010
		0,9988	0,0208	0,9869	-0,1615	0,9921	-0,1251	-0,9894	-0,1452
	0,55	0,733	1,6963	1,7165
		0,128	0,8438	0,2	0,8059	0,1952	0,7525	0,1931	0,8079
		0,4	0,75	0,50	-0,733	0,4940	-0,7083	0,4913	-0,7339	0,4912	-0,7335	תשובה: איקס≈0,491 y≈ 0,734
נ

שאלות מבחן

1) הציגו על הגרף את המקרים האפשריים של פתרון מערכת של שתי משוואות לא ליניאריות.

2) נסח את הצהרת הבעיה של פתרון מערכת של משוואות n-לינאריות.

3) תן את הנוסחאות האיטרטיביות של שיטת האיטרציה הפשוטה במקרה של מערכת של שתי משוואות לא ליניאריות.

4) נסח משפט על ההתכנסות המקומית של שיטת ניוטון.

5) רשום את הקשיים המתעוררים בעת שימוש בשיטת ניוטון בפועל.

6) הסבירו כיצד ניתן לשנות את השיטה של ניוטון.

7) צייר בצורה של דיאגרמות בלוקים אלגוריתם לפתרון מערכות של שתי משוואות לא ליניאריות באמצעות איטרציה פשוטה ושיטות ניוטון.

מעבדה מס' 3

הקצאת שירות. המחשבון המקוון נועד למצוא את שורשי המשוואה שיטת איטרציה.

ההחלטה מתקבלת בפורמט וורד.

כללי הזנת פונקציה

דוגמאות
≡ x^2/(1+x)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)

אחת הדרכים היעילות ביותר לפתור משוואות באופן מספרי היא שיטת איטרציה. המהות של שיטה זו היא כדלקמן. תינתן את המשוואה f(x)=0.
הבה נחליף אותו במשוואה המקבילה
אנו בוחרים את הקירוב הראשוני של השורש x 0 ומחליפים אותו בצד הימני של המשוואה (1). ואז נקבל מספר כלשהו

x 1 \u003d φ (x 0). (2)

החלפה כעת בצד ימין של (2) במקום x 0 את המספר x 1 נקבל את המספר x 2 \u003d φ (x 1). אם תחזור על התהליך הזה, יהיה לנו רצף של מספרים

x n =φ(x n-1) (n=1,2..). (3)

אם הרצף הזה מתכנס, כלומר יש גבול, אז עוברים לגבול בשוויון (3) ובהנחה שהפונקציה φ(x) תהיה רציפה, נמצא

או ξ=φ(ξ).
לפיכך, הגבול ξ הוא שורש המשוואה (1) וניתן לחשב אותו מנוסחה (3) בכל דרגת דיוק.

אורז. 1א איור. 1ב

אורז. 2.

|φ′(x)|>1 - תהליך מתפצל

באיורים 1a, 1b, בקרבת השורש |φ′(x)|<1 и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай |φ′(x)|>1, אז תהליך האיטרציה יכול להיות שונה (ראה איור 2).

תנאים מספיקים להתכנסות שיטת האיטרציה

משפט 7.תן לפונקציה φ(x) להיות מוגדרת וניתנת להבדלה על הקטע, וכל ערכיה φ(x)∈ ותן |φ′(x)|≤q<1 при x∈. Тогда процесс итерации x n = φ(x n -1) сходится независимо от начального значения x 0 ∈ и предельное значение является единственным корнем уравнения x= φ(x) на отрезке .
הוכחה:שקול שני קירובים עוקבים x n = φ(x n -1) ו-x n +1 = φ(x n) ולקחת את ההפרש שלהם x n+1 -x n =φ(x n)-φ(x n-1). לפי משפט לגראנז', ניתן לייצג את צד ימין כ

φ′(x n)(x n -x n-1)

כאשר x n ∈
ואז אנחנו מקבלים

בהנחה ש-n=1,2,...

|x 2 -x 1 |≤q|x 1 -x 0 |
|x 3 -x 2 |≤q|x 2 -x 1 |≤q²|x 1 -x 0 |
|x n+1 -x n ≤q n |x 1 -x 0 | (ארבעה)

מ(4) עקב התנאי ש<1 видно, что последовательность {x n } сходится к некоторому числу ξ, то есть

, ולכן

(בשל המשכיות הפונקציה φ(x))
או ξ= φ(ξ) q.t.d.
עבור השגיאה של השורש ξ, ניתן לקבל את הנוסחה הבאה.
יש לנו x n =φ(x n-1).
עוד ξ-x n =ξ-φ(x n-1) = φ(ξ)-φ(x n-1) →
כעת φ(x n-1)=φ(x n)-φ′(c)(x n -x n-1) →
φ(ξ)-φ(x n)+φ′(c)(x n -x n-1)
כתוצאה מכך, אנחנו מקבלים

ξ-x n = φ′(c 1)(ξ-x n-1)+φ′(c)(x n -x n-1)
אוֹ
|ξ-x n |≤q|ξ-x n |+q|x n -x n-1 |

מכאן

, (5)

מהיכן ניתן לראות כי עבור q קרוב ל-1 ההפרש |ξ -x n | יכול להיות גדול מאוד למרות |x n -x n -1 |<ε, где ε-заданная величина. Для того, чтобы вычислить ξ с точностью ε необходимо обеспечить

. (6)

לאחר מכן החלפת (6) ב-(5), נקבל |ξ -x n |<ε.
אם q קטן מאוד, אז במקום (6) אפשר להשתמש

|x n -x n -1 |<ε

התכנסות של שיטת האיטרציהליניארי עם מקדם התכנסות α=q. אכן, יש לנו
ξ-x n =φ(ξ)-φ n-1 = φ′(c) (ξ-x n-1), ומכאן |ξ-x n |≤q·|ξ-x n-1 |.

תגובה.תן, בשכונה כלשהי של השורש ξ∈(a,b) של המשוואה x= φ(x), הנגזרת φ'(x) תשמור על סימן קבוע ואי השוויון |φ'(x)|≤q<1. Тогда, если φ’(x) положительна, то последовательные приближения x n = φ(x n -1) сходятся к корню монотонно.
אם φ'(x) שלילי, אז קירובים עוקבים מתנודדים סביב השורש.
שקול דרך לייצג את המשוואה f(x)=0 בצורה x= φ(x).
יש לציין את הפונקציה φ(x) כך ש-|φ'(x)| היה קטן בקרבת השורש.
תנו m 1 ו- M 1 להיות ידועים - הערכים הקטנים והגדולים ביותר של הנגזרת f'(x)
0הבה נחליף את המשוואה f(x)=0 במשוואה המקבילה לה
x = x - λf(x).
תן φ(x) = x- λf(x). הבה נבחר את הפרמטר λ בצורה כזו שבשכונה של השורש ξ, אי השוויון

0≤|φ′(x)|=|1-λ f′(x)|≤q≤1

לפיכך, בהתבסס על (7), אנו מקבלים

0≤|1-λM 1 |≤|1-λm 1 |≤q

לאחר מכן בחירה ב- λ = 1/M 1 , נקבל
q = 1-m 1 /M 1< 1.
אם λ \u003d 1 / f '(x), אז הנוסחה האיטרטיבית x n \u003d φ (x n -1) נכנסת לנוסחה של ניוטון

x n \u003d x n -1 - f (x n) / f '(x).

שיטת איטרציה באקסל

בתא B2 נכניס את תחילת המרווח a , בתא B3 נזין את סוף המרווח b . שורה 4 מוקצה מתחת לכותרת הטבלה. אנו מארגנים את תהליך האיטרציות בתאים A5:D5.

תהליך מציאת האפסים של פונקציה על ידי איטרציהמורכב מהשלבים הבאים:

קבל תבנית באמצעות שירות זה.
צמצם מרווחים בתאים B2, B3.
העתק שורות איטרציה עד לדיוק הנדרש (עמודה D).

הערה: עמודה A - מספר איטרציה, עמודה B - שורש משוואה X , עמודה C - ערך פונקציה F(X) , עמודה D - דיוק eps .

דוגמא. מצא את השורש של המשוואה e -x -x=0, x=∈, ε=0.001 (8)
פִּתָרוֹן.
אנו מייצגים את המשוואה (8) בצורה x=x-λ(e -x -x)
מצא את הערך המקסימלי של הנגזרת של הפונקציה f(x)= e - x -x.
max f′(x)=max(-(e -x +1)) ≈ -1.37. מַשְׁמָעוּת . לפיכך, אנו פותרים את המשוואה הבאה
x=x+0.73(e-x-x)
הערכים של קירובים עוקבים ניתנים בטבלה.

נ	x i	f(x i)
1	0.0	1.0
2	0.73	-0.2481
3	0.5489	0.0287
4	0.5698	-0.0042
5	0.5668	0.0006

למערכת המשוואות הלא ליניאריות יש את הצורה:

הנה משתנים לא ידועים, ומערכת (7) נקראת מערכת סדר נורמלי אם לפחות אחת מהפונקציות אינה ליניארית.

פתרון מערכות של משוואות לא ליניאריות הוא אחת הבעיות הקשות ביותר במתמטיקה חישובית. הקושי הוא לקבוע האם למערכת יש פתרון, ואם כן כמה. חידוד פתרונות בתחום נתון הוא משימה פשוטה יותר.

תן לפונקציות להיות מוגדרות באזורים. ואז האזור יהיה האזור שבו ניתן למצוא את הפתרון. השיטות הנפוצות ביותר לחידוד הפתרון הן שיטת האיטרציות הפשוטות ושיטת ניוטון.

שיטת איטרציות פשוטות לפתרון מערכות של משוואות לא ליניאריות

מהמערכת המקורית (7), באמצעות טרנספורמציות שוות, אנו עוברים למערכת של הצורה:

תהליך איטרטיבי המוגדר על ידי נוסחאות

אתה יכול להתחיל במתן הערכה ראשונית. תנאי מספיק להתכנסות של התהליך האיטרטיבי הוא אחד משני תנאים:

בוא נכתוב את התנאי הראשון:

בוא נכתוב את התנאי השני:

הבה נבחן את אחת הדרכים להביא את המערכת (7) לצורה (8) המאפשרת איטרציות מתכנסות.

תינתן מערכת מסדר שני של הטופס:

יש להביא אותו לטופס:

נכפיל את המשוואה הראשונה של המערכת בקבוע לא ידוע, השני - ב, ואז נוסיף אותם ונוסיף אותם לשני הצדדים של המשוואה. נקבל את המשוואה הראשונה של המערכת שעברה טרנספורמציה

אנו קובעים את הקבועים הלא ידועים מתנאי ההתכנסות המספיקים

הבה נכתוב את התנאים הללו ביתר פירוט:

בהנחה שהביטויים מתחת לסימן המודול שווים לאפס, נקבל מערכת של ארבע משוואות עם ארבעה לא ידועים לקביעת הקבועים:

עם בחירה כזו של פרמטרים, תנאי ההתכנסות יתקיימו אם הנגזרות החלקיות של הפונקציות וישתנו לא מהר מאוד בסביבה של הנקודה.

כדי לפתור את המערכת, עליך להגדיר את הקירוב הראשוני ולחשב את ערכי הנגזרות ובנקודה זו. החישוב מתבצע בכל שלב של איטרציות, בעוד,.

שיטת האיטרציות הפשוטות מתקנת את עצמה, אוניברסלית וקלה ליישום במחשב. אם למערכת יש הזמנה גדולה, אזי השימוש בשיטה זו, בעלת קצב התכנסות איטי, אינו מומלץ. במקרה זה משתמשים בשיטת ניוטון, שיש לה התכנסות מהירה יותר.

שיטת ניוטון לפתרון מערכות של משוואות לא ליניאריות

יידרש לפתור מערכת של משוואות לא ליניאריות של הצורה (7). נניח שהפתרון קיים באיזה תחום שבו כל הפונקציות הן רציפות ויש להן לפחות את הנגזרת הראשונה. שיטת ניוטון היא תהליך איטרטיבי, המתבצע על פי נוסחה מסוימת בצורה הבאה:

קשיים בשימוש בשיטת ניוטון:

האם יש מטריצה הפוכה?

זה יוצא מחוץ לאזור?

השיטה המתוקנת של ניוטון הופכת את המשימה הראשונה לקלה יותר. השינוי מורכב מהעובדה שהמטריקס מחושב לא בכל נקודה, אלא רק בהתחלה. לפיכך, לשיטת ניוטון ששונתה יש את הנוסחה הבאה:

אבל השיטה המתוקנת של ניוטון אינה נותנת תשובה לשאלה השנייה.

התהליך האיטרטיבי לפי נוסחאות (8) או (10) מסתיים אם מתקיים התנאי הבא

היתרון של שיטת ניוטון הוא ההתכנסות המהירה שלה לעומת שיטת האיטרציות הפשוטות.

פתרון משוואות לא ליניאריות

יידרש לפתור את המשוואה

איפה
היא פונקציה רציפה לא ליניארית.

שיטות לפתרון משוואות מחולקות לישירות ואיטרטיביות. שיטות ישירות הן שיטות המאפשרות לחשב פתרון באמצעות נוסחה (לדוגמה, מציאת השורשים של משוואה ריבועית). שיטות איטרטיביות הן שיטות שבהן מצוין קירוב ראשוני כלשהו ונבנה רצף מתכנס של קירובים לפתרון המדויק, כאשר כל קירוב עוקב מחושב באמצעות הקודמים.

ניתן לחלק את הפתרון המלא של הבעיה ל-3 שלבים:

הגדר את המספר, האופי והמיקום של שורשי המשוואה (1).

מצא ערכים משוערים של השורשים, כלומר. מציינים את הפערים בהם יימצאו השורשים (הפרדו את השורשים).

מצא את ערך השורשים בדיוק הנדרש (ציין את השורשים).

קיימות שיטות גרפיות ואנליטיות שונות לפתרון שתי הבעיות הראשונות.

השיטה הממחישה ביותר להפרדת שורשי המשוואה (1) היא קביעת הקואורדינטות של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה
עם ציר האבשיסה. אבססיס גרף נקודות חיתוך
עם סרן
הם שורשי המשוואה (1)

את מרווחי הבידוד של שורשי המשוואה (1) ניתן לקבל בצורה אנליטית, בהתבסס על משפטים על תכונות של פונקציות שהן רציפות על קטע.

אם, למשל, הפונקציה
רציף על הקטע
ו
, אז לפי משפט Bolzano-Cauchy, על המרווח
יש לפחות שורש אחד של משוואה (1) (מספר אי זוגי של שורשים).

אם הפונקציה
עונה על התנאים של משפט בולצאנו-קאוצ'י והוא מונוטוני על קטע זה, ואז על
יש רק שורש אחד של המשוואה (1). לפיכך, המשוואה (1) פועלת
השורש היחיד אם מתקיימים התנאים:

אם פונקציה ניתנת להבדלה מתמשכת במרווח נתון, אז נוכל להשתמש בתוצאה של משפט רול, לפיה תמיד יש לפחות נקודה נייחת אחת בין זוג שורשים. האלגוריתם לפתרון הבעיה במקרה זה יהיה כדלקמן:

כלי שימושי להפרדת שורשים הוא גם השימוש במשפט שטורם.

פתרון הבעיה השלישית מתבצע בשיטות איטרטיביות (מספריות) שונות: שיטת הדיכוטומיה, שיטת האיטרציה הפשוטה, שיטת ניוטון, שיטת האקורדים וכו'.

דוגמאבואו נפתור את המשוואה
שיטה איטרציה פשוטה. בואו נקבע
. בואו נבנה גרף של הפונקציה.

הגרף מראה ששורש המשוואה שלנו שייך לקטע
, כלומר
הוא קטע הבידוד של שורש המשוואה שלנו. הבה נבדוק זאת בצורה אנליטית, כלומר. מילוי תנאים (2):

נזכיר שהמשוואה המקורית (1) בשיטת האיטרציה הפשוטה עוברת טרנספורמציה לצורה
ואיטרציות מבוצעות לפי הנוסחה:

(3)

ביצוע חישובים לפי נוסחה (3) נקרא איטרציה אחת. האיטרציות מפסיקות כאשר התנאי מתקיים
, איפה היא השגיאה המוחלטת במציאת השורש, או
, איפה -שגיאה יחסית.

שיטת האיטרציה הפשוטה מתכנסת אם התנאי
ל
. בחירת פונקציה
בנוסחה (3) עבור איטרציות, ניתן להשפיע על ההתכנסות של השיטה. במקרה הפשוט ביותר
עם סימן פלוס או מינוס.

בפועל, זה מתבטא לעתים קרובות
ישירות מהמשוואה (1). אם תנאי ההתכנסות לא מתקיים, הוא מומר לצורה (3) ונבחר. אנו מייצגים את המשוואה שלנו בצורה
(אנו מבטאים x מהמשוואה). בואו נבדוק את תנאי ההתכנסות של השיטה:

ל
. שימו לב שתנאי ההתכנסות אינו מתקיים
, אז ניקח את קטע בידוד השורש
. אגב, נציין שכאשר מייצגים את המשוואה שלנו בצורה
, לא מתקיים תנאי ההתכנסות של השיטה:
על הקטע
. הגרף מראה זאת
גדל מהר יותר מהפונקציה
(|tg| זווית הנטייה של המשיק ל
על הקטע
)

בואו לבחור
. אנו מארגנים איטרציות לפי הנוסחה:

אנו מארגנים באופן פרוגרמטי את תהליך האיטרציות עם דיוק נתון:

> fv:=proc(f1,x0,eps)

> k:=0:

x:=x1+1:

בעוד abs(x1-x)> eps כן

x1:=f1(x):

print(evalf(x1,8)):

print(abs(x1-x)):

:printf("מספר איטרציות=%d ",k):

סוֹף:

באיטרציה 19, קיבלנו את שורש המשוואה שלנו

עם טעות מוחלטת

בואו נפתור את המשוואה שלנו שיטת ניוטון. איטרציות בשיטת ניוטון מתבצעות לפי הנוסחה:

ניתן להתייחס לשיטת ניוטון כשיטה של איטרציה פשוטה עם פונקציה, ואז ניתן לכתוב את תנאי ההתכנסות של שיטת ניוטון כך:

בייעוד שלנו
ותנאי ההתכנסות מתקיים במרווח
שניתן לראות בגרף:

נזכיר כי השיטה של ניוטון מתכנסת בקצב ריבועי ויש לבחור את הקירוב הראשוני קרוב מספיק לשורש. בוא נעשה את החישובים:
, קירוב ראשוני, . אנו מארגנים איטרציות לפי הנוסחה:

אנו מארגנים באופן פרוגרמטי את תהליך האיטרציות עם דיוק נתון. ב-4 איטרציות, נקבל את שורש המשוואה

עם
שקלנו שיטות לפתרון משוואות לא ליניאריות באמצעות משוואות מעוקבות כדוגמה; באופן טבעי, סוגים שונים של משוואות לא ליניאריות נפתרות בשיטות אלו. למשל, פתרון המשוואה

השיטה של ניוטון עם
, נמצא את שורש המשוואה ב-[-1.5;-1]:

תרגיל: פתרו משוואות לא ליניאריות בדיוק

חציית קטע (דיכוטומיה)

איטרציה פשוטה.

ניוטון (טנגנט)

secant - אקורד.

אפשרויות המשימה מחושבות באופן הבא: מספר הרשימה מחולק ב-5 (
), החלק השלם מתאים למספר המשוואה, השאר מתאים למספר השיטה.

משרד החינוך והמדע של אוקראינה

אוניברסיטת SUMY State

המחלקה לאינפורמטיקה

עבודת קורס

לפי הקורס:

שיטות מספריות

"שיטות איטרטיביות לפתרון מערכות של משוואות לא ליניאריות"

1. שיטות לפתרון מערכות של משוואות לא ליניאריות. מידע כללי

2.1 שיטה של איטרציות פשוטות

2.2 טרנספורמציה של Aitken

2.3 שיטת ניוטון

2.3.1 שינויים בשיטת ניוטון

2.3.2 שיטות קואזי-ניוטוניות

2.4 שיטות איטרטיביות אחרות לפתרון מערכות של משוואות לא ליניאריות

2.4.1 שיטת פיקארד

2.4.2 שיטת ירידה בשיפוע

2.4.3 שיטת הרפיה

3. יישום שיטות איטרטיביות באופן פרוגרמטי ושימוש בחבילה המתמטית מייפל

3.1 שיטת איטרציה פשוטה

3.2 שיטת ירידה בשיפוע

3.3 שיטת ניוטון

3.4 שינה את שיטת ניוטון

רשימת ספרות משומשת

1. שיטות לפתרון משוואות לא ליניאריות. מידע כללי.

תנו לנו מערכת משוואות, איפה

- כמה אופרטורים לא ליניאריים: (1.1)

זה יכול להיות מיוצג גם בצורה מטריצה:

(1.1)

הפתרון שלו נקרא ערך כזה

, לאיזה

בעיה נפוצה מאוד היא הבעיה החישובית של מציאת חלק מהפתרונות או כולם של מערכת (1.1) מ נמשוואות אלגבריות לא ליניאריות או טרנסצנדנטליות עם נלא ידוע.

סמן ב איקסוקטור עמודה ( איקס 1 , איקס 2 ,..., x n)טוכתוב את מערכת המשוואות בצורה של נוסחה (1.2): ו(איקס) = 0, איפה F=(ו 1 , ו 2 ,...,fn)ט.

מערכות משוואות כאלה יכולות להתעורר ישירות, למשל, בעת תכנון מערכות פיזיקליות, או בעקיפין. כך, למשל, כאשר פותרים את הבעיה של מזעור פונקציה מסוימת G(איקס) לעתים קרובות יש צורך לקבוע את הנקודות שבהן השיפוע של פונקציה זו שווה לאפס. בהנחה F=גראד g,אנחנו מקבלים מערכת לא ליניארית.

בניגוד למערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות, שניתן לפתור באמצעות שתיהן יָשָׁר(אוֹ מְדוּיָק) ו איטרטיבי(אוֹ לְהִתְקַרֵב) שיטות, ניתן להשיג את הפתרון של מערכות של משוואות לא ליניאריות רק בשיטות משוערות, איטרטיביות. הם מאפשרים להשיג רצף של קירובים

. אם התהליך האיטרטיבי מתכנס, אז ערך הגבול הוא הפתרון של מערכת המשוואות הנתונה.

להבנה מלאה של השיטות למציאת פתרון למערכת, יש צורך להסביר מושג כזה כמו "קצב ההתכנסות". אם לרצף x n, מתכנסים אל הגבול איקס *, הנוסחה נכונה

(קהוא מספר אמיתי חיובי), אם כן קנקרא קצב ההתכנסות של הרצף הנתון.

2. שיטות איטרטיביות לפתרון מערכות של משוואות לא ליניאריות

2.1 שיטה של איטרציות פשוטות

שיטת האיטרציות הפשוטות (קירובים עוקבים) היא אחת העיקריות במתמטיקה חישובית ומשמשת לפתרון מחלקה רחבה של משוואות. הבה נתאר וננמק שיטה זו עבור מערכות של משוואות לא ליניאריות של הצורה

f i (x 1 ,x 2 ,...x n) = 0, אני=1,2,..נ;

אנו מביאים את מערכת המשוואות לצורה מיוחדת:

(2.1)

או בצורה וקטורית

. (2.2)

יתרה מכך, המעבר למערכת זו צריך להיות רק בתנאי ש

הוא מיפוי התכווצות.

שימוש בקירוב ראשוני כלשהו X(0) = (x 1 (0) ,x 2 (0) ,...x n (0))

לבנות תהליך איטרטיבי X (k+1) =  (X (k)). החישובים נמשכים עד לעמידה בתנאי

. אז הפתרון של מערכת המשוואות הוא הנקודה הקבועה של המיפוי.

הבה נצדיק את השיטה בנורמה מסוימת

רווחים.

הבה נציג משפט על התכנסות, אשר מילוי תנאיו מוביל למציאת פתרון למערכת.

מִשׁפָּט (על התכנסות).תן

אחד). הפונקציה הוקטורית Ф(х) מוגדרת בדומיין

; המצב

3). אי שוויון הוגן

ואז בתהליך איטרטיבי:

, – פתרון מערכת המשוואות; ,

תגובה. אי השוויון של תנאי 2) הוא תנאי ליפשיץ לפונקציה הוקטורית Ф(х) בתחום סעם קבוע

(מצב דחיסה). זה מראה את זה והוא מפעיל הכיווץ בתחום ס, כלומר, משוואה (2.2) כפופה לעיקרון מיפוי התכווצות. הצהרות המשפט אומרות שלמשוואה (2.2) יש פתרון באזור ס, וקירובים עוקבים מתכנסים לפתרון זה בקצב של רצף גיאומטרי עם מכנה ש.

הוכחה. בגלל ה

, ואז עבור הקירוב, עקב הנחה 3), יש לנו . זה אומר ש . הבה נראה כי , k=2,3,... ועבור קירובים שכנים מתקיים אי השוויון (2.3)

נתווכח באינדוקציה. בְּ

האמירה נכונה, כי ו. הבה נניח שהקירובים שייכים ל-S ואי השוויון (2.3) מתקיים עבור . מאז , אז בשביל לקחת בחשבון תנאי 2) של המשפט יש לנו .

לפי ההשערה האינדוקטיבית