תן לפונקציה להיות מוגדרת בדומיין

הַגדָרָה.ביטוי

שקוראים לו פוּנקצִיוֹנָלִיליד.

דוגמא.

עבור ערכים מסוימים, הסדרה עשויה להתכנס, עבור ערכים אחרים היא עשויה להתפצל.

דוגמא.

מצא את אזור ההתכנסות של הסדרה. סדרה זו מוגדרת עבור הערכים

אם אז, הסדרה מתפצלת, שכן הקריטריון הדרוש להתכנסות הסדרה אינו מתקיים; אם הסדרה מתפצלת; אם היא התקדמות גיאומטרית הולכת ופוחתת באופן אינסופי.

השוואה של סדרה זו עם הסדרה המתכנסת ב נותנת את אזור ההתכנסות של הסדרה הנחקרת.

עם ערכים מהסדרה הפונקציונלית, מתקבלת סדרה מספרית

אם עבור סדרת המספרים מתכנסת, אז הנקודה נקראת נקודת התכנסותשורה פונקציונלית.

קבוצת כל נקודות ההתכנסות של סדרה יוצרת את אזור ההתכנסות שלה. אזור ההתכנסות הוא בדרך כלל מרווח כלשהו של הציר.

אם בכל נקודה סדרת המספרים מתכנסת, אזי הסדרה הפונקציונלית נקראת מתכנסיםבאיזור .

סכום הסדרה הפונקציונלית הוא פונקציה כלשהי של המשתנה המוגדר באזור ההתכנסות של הסדרה

אילו מאפיינים יש לפונקציות אם המאפיינים ידועים כחבר בסדרה, כלומר.

המשכיות של פונקציות אינה מספיקה כדי להגיע למסקנה לגבי המשכיות.

ההתכנסות של סדרה של פונקציות רציפות לפונקציה רציפה מסופקת על ידי תנאי נוסף המבטא תכונה חשובה אחת של התכנסות של סדרה פונקציונלית.

הַגדָרָה. סדרה פונקציונלית נקראת מתכנסת בתחום אם יש מגבלה של סכומים חלקיים של סדרה זו, כלומר.

הַגדָרָה. סדרה פונקציונלית נקראת מתכנסת באופן אחיד באזור אם לחיוב כלשהו, ​​יש מספר כזה שהאי-שוויון מתקיים עבור כולם.

משמעות גיאומטרית של התכנסות אחידה

אם נקיף את גרף הפונקציה ברצועה, המוגדרת על ידי היחס אז הגרפים את כלתכונות שמתחילות בדי בחשיבות נהדרת , לַחֲלוּטִיןשוכב ב-"- רצועה" זו המקיפה את הגרף של פונקציית הגבול.

מאפיינים של סדרה מתכנסת באופן אחיד .

1. הסכום של סדרה מתכנסת באופן אחיד באזור כלשהו, ​​המורכבת מפונקציות רציפות, היא פונקציה רציפה באזור זה.

2. ניתן להבדיל סדרה כזו מונח אחר מונח

3. ניתן לשלב את הסדרה מונח אחר מונח

על מנת לקבוע אם סדרה פונקציונלית מתכנסת באופן אחיד, עלינו להשתמש במבחן ההתכנסות מספקת של Weierstrass.

הַגדָרָה. הסדרה הפונקציונלית נקראת שלטובאזור כלשהו של שינוי אם יש סדרה מספרית כל כך מתכנסת עם מונחים חיוביים שהאי-שוויון מתקיים בכל האזור הזה.

שלט Weierstrass(התכנסות אחידה של הסדרה הפונקציונלית).

טווח פונקציונלי מתכנס באופן אחידבתחום ההתכנסות אם הוא נשלט בתחום זה.

במילים אחרות, אם הפונקציות באזור כלשהו אינן עולות על המספרים החיוביים המתאימים בערך המוחלט ואם סדרת המספרים מתכנסת, אז הסדרה הפונקציונלית מתכנסת באופן אחיד באזור זה.

דוגמא. הוכח את ההתכנסות האחידה של הסדרה הפונקציונלית.

פִּתָרוֹן. . הבה נחליף את המונח הנפוץ של סדרה זו במונח הנפוץ של הסדרה המספרית, אך נעלה על כל איבר בסדרה בערך המוחלט. לשם כך, יש צורך לקבוע באיזה המונח המשותף של הסדרה יהיה מקסימלי.

הסדרה המספרית המתקבלת מתכנסת, מה שאומר שהסדרה הפונקציונלית מתכנסת באופן אחיד לפי מבחן Weierstrass.

דוגמא. מצא את סכום הסדרה.

כדי למצוא סכום של סדרה, אנו משתמשים בנוסחה הידועה לסכום של התקדמות גיאומטרית

הבחנה בין החלק השמאלי והימני של הנוסחה (1), נקבל ברציפות

בסכום לחישוב, אנו מייחדים את המונחים היחסיים לנגזרת הראשונה והשנייה:

בוא נחשב את הנגזרות:

סדרת כוח.

בין הסדרות הפונקציונליות יש סוג של עוצמה וסדרות טריגונומטריות.

הַגדָרָה. סדרה פונקציונלית של הטופס

נקרא כוח בכוחות. ביטויים הם מספרים קבועים.

אם הסדרה היא סדרת חזקה בחזקות של .

תחום התכנסות של סדרת כוח. משפט הבל.

מִשׁפָּט. אם סדרת חזקה מתכנסת בנקודה, אז היא מתכנסת, ויותר מכך, לחלוטין עבור כל ערך שהוא קטן יותר בערך המוחלט, כלומר, או במרווח.

הוכחה.

בשל ההתכנסות של הרד, המונח המשותף שלו חייב לשאוף לאפס, ולכן כל האיברים של סדרה זו מוגבלים באופן אחיד: יש מספר חיובי קבוע , כך שלכל אחד אי השוויון מתקיים ., אשר עבור כולם עם מרכז ב- נְקוּדָה

אזור התכנסות טווח פונקציונלינקראת סדרה שהאיברים שלה הם פונקציות / מוגדרות על קבוצה E כלשהי של הציר האמיתי. לדוגמה, המונחים של סדרה מוגדרים על מרווח, והמונחים של סדרה מוגדרים על קטע. סדרה פונקציונלית (1) אמורה להתכנס בנקודה Xo € E אם היא מתכנסת בכל נקודה x של ה- קבוצה D ⊂ E ומתפצלת בכל נקודה שאינה שייכת לקבוצה D, אז אומרים שהסדרה מתכנסת לקבוצה D, ו-D נקרא אזור ההתכנסות של הסדרה. סדרה (1) נקראת מתכנסת לחלוטין על קבוצה D אם הסדרה מתכנסת על קבוצה זו. במקרה של התכנסות של סדרה (1) על קבוצה D, הסכום S שלה יהיה פונקציה המוגדרת על D. האזור של ניתן למצוא התכנסות של כמה סדרות פונקציונליות באמצעות קריטריונים מספיקים ידועים, שנקבעו עבור סדרות עם איברים חיוביים, למשל, סימן Dapamber, סימן Cauchy. דוגמה 1. מצא את אזור ההתכנסות של הסדרה M מכיוון שהסדרה המספרית מתכנסת עבור p > 1 ומתפצלת עבור p > 1, אז, בהנחה של p - Igx, נקבל סדרה זו. אשר יתכנס עבור Igx > T, כלומר. אם x > 10, ומתפצלים כאשר Igx ^ 1, כלומר. בשעה 0< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х >0 הסדרה מתפצלת, שכן L =. הסטייה של הסדרה ב-x = 0 ברורה. דוגמה 3. מצא את אזור ההתכנסות של הסדרה המונחים של סדרה זו מוגדרים ומתמשכים על הסט. החלת השלט Kosh ו, אנו מוצאים עבור כל. לכן, הסדרה מתפצלת עבור כל הערכים של x. סמן ב-Sn(x) את הסכום החלקי ה-n של הסדרה הפונקציונלית (1). אם סדרה זו מתכנסת לקבוצה D והסכום שלה שווה ל-5(g), אז ניתן לייצג אותה כהיכן סכום הסדרה המתכנס לקבוצה D שנקראת שארית n'סדרה פונקציונלית (1). עבור כל הערכים של x € D, היחס מתקיים ולכן. כלומר, השארית Rn(x) של הסדרה המתכנסת שואפת לאפס כ-n oo, יהיה אשר יהיה x 6 D. התכנסות אחידה בין כל סדרות הפונקציות המתכנסות, לסדרה המתכנסת אחידה יש ​​תפקיד חשוב. תינתן סדרה פונקציונלית המתכנסת לקבוצה D, שסכומה שווה ל-S(x). קח את הסכום החלקי ה-n שלו. הגדרה. סדרה פונקציונלית FUNCTIONAL SERIES אזור התכנסות התכנסות אחידה קריטריון Weierstrass התכונה של סדרות פונקציונליות מתכנסות באופן אחיד נאמר שהיא מתכנסת באופן אחיד בקבוצה PS1) אם עבור מספר כלשהו ε > 0 קיים מספר λ > 0 כך שאי השוויון x מהקבוצה fI. תגובה. כאן המספר N זהה עבור כל x ∈ 10, כלומר. אינו תלוי ב-z, אלא תלוי בבחירת המספר e, ולכן נכתוב N = N(e). ההתכנסות האחידה של הסדרה הפונקציונלית £ /n(®) לפונקציה S(x) בקבוצה ft מסומנת לעתים קרובות באופן הבא: ההגדרה של ההתכנסות האחידה של הסדרה /n(x) בקבוצה ft יכולה להיות כתוב קצר יותר באמצעות סמלים לוגיים: שורה פונקציונלית. הבה ניקח את הקטע [a, 6] כ-set ft ונתווה את הגרפים של הפונקציות. אי השוויון |, שמתקיים עבור מספרים n > N ועבור כל a; G [a, b] ו-y = 5(g) + e (איור 1). דוגמה 1 מתכנסת באופן אחיד לקטע סדרה זו מתחלפת, עומדת בתנאים של מבחן לייבניץ עבור כל x € [-1,1] ולכן, מתכנסת לקטע (-1,1]. תן S(x) להיות הסכום שלו, ו-Sn (x) - שלו n-ה חלקי סְכוּם. יתרת הסדרה אינה חורגת בערך המוחלט מהערך המוחלט של האיבר הראשון שלה: ומאחר ניקח כל e. אז אי השוויון | יבוצע אם. מכאן אנו מוצאים כי n > \. אם ניקח מספר (כאן [a] מציין את המספר השלם הגדול ביותר שאינו עולה על a), אז אי השוויון | e יחזיק עבור כל המספרים n > N ולכל x € [-1,1). המשמעות היא שסדרה זו מתכנסת באופן אחיד לקטע [-1,1). I. לא כל סדרה פונקציונלית שמתכנסת לקבוצה D מתכנסת באופן אחיד לדוגמא 2. הבה נראה שהסדרה מתכנסת במרווח, אך לא באופן אחיד. 4 הבה נחשב את הסכום החלקי ה-n(*) של הסדרה. יש לנו מהיכן סדרה זו מתכנסת לקטע ולסכומו אם הערך המוחלט של ההפרש S (x) - 5„ (x) (שארית הסדרה) שווה ל. ניקח מספר e כזה. בוא נפתור את אי השוויון ביחס ל-n. יש לנו, מאיפה (כי וכאשר מחלקים באינקס, סימן אי השוויון הפוך). אי השוויון יחזיק מעמד. לכן, מספר כזה N(e) שאינו תלוי ב-x, כך שהאי-שוויון מתקיים עבור כל אחד) מיד עבור כל x מהקטע. , לא קיים. עם זאת, אם הקטע 0 מוחלף בקטע קטן יותר, שבו, אז על האחרון סדרה זו תתכנס באופן אחיד לפונקציה S0. אכן, עבור, ולכן עבור כל x בבת אחת §3. קריטריון ויירשטראס קריטריון מספיק להתכנסות אחידה של סדרה פונקציונלית ניתן על ידי משפט ויירשטראס. משפט 1 (מבחן ויירשטראס). תנו, עבור כל x מקבוצת Q, איברי הסדרה הפונקציונלית בערך מוחלט לא יעלו על האיברים התואמים של הסדרה המספרית המתכנסת П=1 עם איברים חיוביים, כלומר, עבור כל x ∈ Q. ואז הסדרה הפונקציונלית ( 1) על הסט П מתכנס באופן מוחלט ואחיד. ו-Tek, מאחר שלפי תנאי המשפט, תנאי הסדרה (1) מקיימים תנאי (3) בכל קבוצת Q, אז לפי קריטריון ההשוואה, הסדרה 2 \fn(x)\ מתכנסת עבור כל x ∈ H, וכתוצאה מכך, הסדרה (1) מתכנסת ל-P באופן מוחלט. הבה נוכיח את ההתכנסות האחידה של סדרות (1). תנו לסמן ב-Sn(x) וב-an את הסכומים החלקיים של הסדרה (1) ו-(2), בהתאמה. יש לנו קח כל מספר (קטן באופן שרירותי) e > 0. אז ההתכנסות של הסדרה המספרית (2) מרמזת על קיומו של מספר N = N(e) כך שכתוצאה מכך -e עבור כל המספרים n > N(e) ) ולכל x6n , כלומר. סדרה (1) מתכנסת באופן אחיד על הסט P. הערה. סדרת המספרים (2) נקראת לרוב עיקרית, או עיקרית, עבור הסדרה הפונקציונלית (1). דוגמה 1. חקור את הסדרה להתכנסות אחידה אי השוויון תופס לכולם. ולכולם. סדרת המספרים מתכנסת. מכוח מבחן Weierstrass, הסדרה הפונקציונלית הנחשבת מתכנסת באופן מוחלט ואחיד על כל הציר. דוגמה 2. חקור סדרה להתכנסות אחידה מונחי הסדרה מוגדרים ורציפים על הקטע [-2,2|. מכיוון שבקטע [-2,2) עבור כל n טבעי, אז לפיכך, אי השוויון מתקיים עבור. מכיוון שסדרת המספרים מתכנסת, אז לפי מבחן Weierstrass, הסדרה הפונקציונלית המקורית מתכנסת באופן מוחלט ואחיד על הקטע. תגובה. הסדרה הפונקציונלית (1) יכולה להתכנס באופן אחיד על הסט Piv במקרה שאין סדרה עיקרית מספרית (2), כלומר, קריטריון Weierstrass הוא רק קריטריון מספיק להתכנסות אחידה, אך אינו הכרחי. דוגמא. כפי שמוצג לעיל (דוגמה), הסדרה מתכנסת באופן אחיד לקטע 1-1,1]. עם זאת, אין סדרת מספרים מתכנסת עיקרית (2) עבורו. ואכן, עבור כל המספרים הטבעיים n ועבור כל x ∈ [-1,1) אי השוויון מתקיים, והשוויון מושג ב-. לכן, המונחים של סדרת המייג'ור הרצויה (2) חייבים בהכרח לעמוד בתנאי אבל הסדרה המספרית FUNCTIONAL SERIES אזור התכנסות התכנסות אחידה מבחן Weierstrass המאפיינים של סדרות פונקציונליות מתכנסות אחידה מתפצלות. זה אומר שגם הסדרה £ op תתפצל. מאפיינים של סדרת פונקציות מתכנסת אחידה לסדרות מתכנסות אחידות של פונקציות יש מספר תכונות חשובות. משפט 2. אם כל האיברים של סדרה המתכנסים באופן אחיד על הקטע [a, b] מוכפלים באותה פונקציה q(x) תחומה על [a, 6], אז הסדרה הפונקציונלית המתקבלת תתכנס באופן אחיד. תן לסדרה £ fn(x) להתכנס באופן אחיד לפונקציה S(x) במרווח [a, b\], ותנו לפונקציה g(x) להיות מוגבלת, כלומר, קיים קבוע C > 0 כך ש- By ההגדרה של ההתכנסות האחידה של הסדרה לכל מספר e > 0 יש מספר N כך שלכל n > N ועבור כל x ∈ [a, b] יתקיים אי השוויון כאשר 5n(ar) הוא סכום חלקי של הסדרה הנבדקת. לכן, יהיה לנו עבור כל אחד. הסדרה מתכנסת באופן אחיד על [a, b| למשפט פונקציה 3. תנו לכל האיברים fn(x) של סדרה פונקציונלית להיות רציפים והסדרה מתכנסת באופן אחיד על הקטע [a, b\. אז הסכום S(x) של הסדרה הוא רציף במרווח זה. M הבה ניקח על עצמו את המרווח [o, b] שתי נקודות שרירותיות zr + Axe. מכיוון שסדרה זו מתכנסת באופן אחיד על הקטע [a, b], אז לכל מספר e > 0 יש מספר N = N(e) כך שלכל n > N יתקיימו אי השוויון כאשר 5n(x) הם סכומים חלקיים של הסדרה fn (x). הסכומים החלקיים Sn(x) הם רציפים על המרווח [a, 6] כסכום של מספר סופי של פונקציות fn(x) שהן רציפות על [a, 6). לכן, עבור מספר קבוע no > N(e) ומספר נתון e, יש מספר 6 = 6(e) > 0 כך שאי השוויון Axe מקיים את התנאי | טופס: מאיפה. אם לוקחים בחשבון אי-שוויון (1) ו-(2), עבור מרווחים Ax המקיימים את התנאי |, נקבל פירוש הדבר שהסכום שש) הוא רציף בנקודה x. מכיוון ש-x היא נקודה שרירותית של הקטע [a, 6], יוצא ש-5(x) הוא רציף על |a, 6|. תגובה. סדרה פונקציונלית שהאיברים שלה רציפים על המרווח [a, 6), אך מתכנסת באופן לא אחיד אל (a, 6], עשויה להיות בעלת פונקציה בלתי רציפה כסכום. דוגמה 1. שקול סדרה פונקציונלית על המרווח |0,1 ). הבה נחשב את הסכום החלקי ה-n-ה שלו. לכן, הוא לא רציף על המקטע, למרות שאיברי הסדרה רציפים עליו. מכוח המשפט המוכח, סדרה זו אינה מתכנסת באופן אחיד למרווח . דוגמה 2. שקול סדרה כפי שמוצג לעיל, סדרה זו מתכנסת ב, הסדרה תתכנס באופן אחיד לפי קריטריון Weierstrass, שכן 1 והסדרה המספרית מתכנסים. לכן, עבור כל x > 1, הסכום של סדרה זו הוא רציף. תגובה. הפונקציה נקראת פונקציית Riemann on (לפונקציה זו יש תפקיד גדול בתורת המספרים). משפט 4 (על שילוב מונח אחר מונח של סדרה פונקציונלית). תנו לכל האיברים fn(x) של הסדרה להיות רציפים, ותנו לסדרה להתכנס באופן אחיד על הקטע [a, b] לפונקציה S(x). אז מתקיים השוויון הבא: עקב המשכיות הפונקציות fn(x) וההתכנסות האחידה של הסדרה הנתונה על המרווח [a, 6], הסכום שלה 5(x) הוא רציף ולכן, אינטגרלי ב- . קחו בחשבון את ההבדל מההתכנסות האחידה של הסדרה על [o, b] נובע שלכל e > 0 יש מספר N(e) > 0 כך שלכל המספרים n > N(e) ולכל x € [א, 6] אי השוויון יחזיק אם הסדרה fn(0 אינה מתכנסת באופן אחיד, אז, באופן כללי, לא ניתן לשלב אותה מונח אחר מונח, כלומר, משפט 5 (על בידול מונח אחר מונח של הסדרה הפונקציונלית) תן לכל האיברים של הסדרה המתכנסת 00 להיות נגזרות רציפות והסדרה המורכבת מנגזרות אלו מתכנסת באופן אחיד במרווח [a, b]. ואז, בכל נקודה, השוויון נכון, כלומר, הסדרה הנתונה יכולה להיות מובחן מונח אחר איבר. M ניקח כל שתי נקודות. אז, מכוח משפט 4, יש לנו הפונקציה o-(x) היא רציפה כסכום של סדרה מתכנסת באופן אחיד של פונקציות רציפות. לכן, על ידי הבדלת השוויון אנו לְהַשִׂיג

שורות פונקציונליות. סדרת כוח.
טווח ההתכנסות של הסדרה

צחוק ללא סיבה הוא סימן של ד'אלמבר

אז שעת השורות הפונקציונליות נפלה. כדי לשלוט בהצלחה בנושא, ובמיוחד בשיעור זה, עליך להיות בקי בסדרת המספרים הרגילה. אתה צריך להבין טוב מהי סדרה, להיות מסוגל ליישם את סימני ההשוואה כדי ללמוד את הסדרה להתכנסות. לכן, אם רק התחלת ללמוד את הנושא או שאתה קומקום תה במתמטיקה גבוהה יותר, נחוץעבדו על שלושה שיעורים ברצף: שורות לקומקומי תה,שלט של ד'אלמבר. סימנים של קאוצ'יו שורות מתחלפות. סימן לייבניץ. בהחלט שלושתם! אם יש לך ידע ומיומנויות בסיסיות בפתרון בעיות עם סדרות מספרים, אז זה יהיה די קל להתמודד עם סדרות פונקציונליות, מכיוון שאין הרבה חומר חדש.

בשיעור זה נשקול את הרעיון של סדרה פונקציונלית (מה זה בכלל), נתוודע לסדרות כוח שנמצאות ב-90% מהמשימות המעשיות, ונלמד כיצד לפתור בעיה טיפוסית נפוצה של מציאת ההתכנסות. רדיוס, מרווח התכנסות ואזור התכנסות של סדרת חזקות. יתר על כן, אני ממליץ לשקול את החומר על הרחבת פונקציות לסדרות כוח, ואמבולנס יסופק למתחילים. לאחר מנוחה קלה, נעבור לשלב הבא:

גם בקטע של סדרות פונקציונליות יש רבים שלהם יישומים לחישובים משוערים, וסדרת פורייה, אשר, ככלל, מוקצה להם פרק נפרד בספרות החינוכית, קצת נפרדים. יש לי רק מאמר אחד, אבל הוא ארוך והרבה הרבה דוגמאות נוספות!

אז, ציוני הדרך מוגדרים, בוא נלך:

הרעיון של סדרות פונקציונליות וסדרות כוח

אם מתקבל אינסוף בגבול, אז גם אלגוריתם הפתרון מסיים את עבודתו, ואנו נותנים את התשובה הסופית למשימה: "הסדרה מתכנסת ב" (או באחד מהם"). ראה מקרה מס' 3 של הפסקה הקודמת.

אם בגבול יתברר שלא אפס ולא אינסוף, אז יש לנו את המקרה הנפוץ ביותר בפרקטיקה מס' 1 - הסדרה מתכנסת למרווח מסוים.

במקרה זה, הגבול הוא . איך למצוא את מרווח ההתכנסות של סדרה? אנחנו עושים אי שוויון:

IN כל משימה מהסוג הזה בצד שמאל של אי השוויון צריך להיות תוצאת חישוב הגבלה, ובצד ימין של אי השוויון למהדרין יחידה. לא אסביר למה בדיוק אי השוויון הזה ולמה יש אחד בימין. ללבוש שיעורים אוריינטציה מעשית, וכבר טוב מאוד שצוות המורים לא תלה את עצמו בסיפורים שלי, כמה משפטים התבהרו.

טכניקת העבודה עם המודול ופתרון אי-שוויון כפול נבחנה בפירוט בשנה הראשונה במאמר היקף פונקציה, אך מטעמי נוחות, אנסה להגיב על כל הפעולות בפירוט רב ככל האפשר. אנו חושפים את אי השוויון עם המודולו כלל בית הספר . במקרה הזה:

בחצי הדרך מאחור.

בשלב השני, יש צורך לחקור את ההתכנסות של הסדרה בקצות המרווח שנמצא.

ראשית, ניקח את הקצה השמאלי של המרווח ונחליף אותו בסדרת העוצמה שלנו:

בְּ

התקבלה סדרה מספרית, וצריך לבחון אותה להתכנסות (משימה שכבר מוכרת משיעורים קודמים).

1) הסדרה מתחלפת בסימנים.
2) – תנאי הסדרה יורדים מודולו. יתר על כן, כל איבר הבא בסדרה קטן מהקודם במודולוס: , כך שהירידה היא מונוטונית.
מסקנה: הסדרה מתכנסת.

בעזרת סדרה המורכבת ממודולים, נגלה כיצד בדיוק:
– מתכנס (סדרת "רפרנס" ממשפחת הסדרות ההרמוניות המוכללות).

לפיכך, סדרת המספרים המתקבלת מתכנסת באופן מוחלט.

בְּ- - מתכנס.

! אני מזכיר שכל סדרה חיובית מתכנסת היא גם מתכנסת לחלוטין.

לפיכך, סדרת העוצמה מתכנסת, ובאופן מוחלט, בשני הקצוות של המרווח שנמצא.

תשובה:אזור התכנסות של סדרת העוצמה הנחקרת:

יש לה את הזכות לחיים ועיצוב נוסף של התשובה: הסדרה מתכנסת אם

לפעמים במצב הבעיה נדרש לציין את רדיוס ההתכנסות. ברור שבדוגמה הנחשבת .

דוגמה 2

מצא את אזור ההתכנסות של סדרת עוצמה

פִּתָרוֹן:אנו מוצאים את מרווח ההתכנסות של הסדרה על ידי שימוש בסימן ד'אלמבר (אבל לא לפי התכונה! - אין תכונה כזו לסדרות פונקציונליות):

הסדרה מתכנסת ב

שמאלהאנחנו צריכים לעזוב רק, אז נכפיל את שני הצדדים של אי השוויון ב-3:

– הסדרה מתחלפת בסימנים.
– – תנאי הסדרה יורדים מודולו. כל איבר הבא בסדרה קטן מהקודם בערך מוחלט: , כך שהירידה היא מונוטונית.

מסקנה: הסדרה מתכנסת.

אנו בוחנים את טיב ההתכנסות:

השווה סדרה זו לסדרה השונה.
אנו משתמשים בסימן הגבול להשוואה:

מתקבל מספר סופי שאינו אפס, כלומר, הסדרה מתפצלת יחד עם הסדרה.

לפיכך, הסדרה מתכנסת באופן מותנה.

2) מתי – מתפצל (כפי שהוכח).

תשובה:אזור ההתכנסות של סדרת הכוח הנלמדת: . עבור , הסדרה מתכנסת באופן מותנה.

בדוגמה הנחשבת, אזור ההתכנסות של סדרת החזקה הוא חצי מרווח, ובכל נקודות המרווח סדרת החזקה מתכנס לחלוטין, ובשלב, כפי שהתברר, באופן מותנה.

דוגמה 3

מצא את מרווח ההתכנסות של סדרת החזקות וחקור את ההתכנסות שלה בקצוות המרווח שנמצא

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך.

שקול כמה דוגמאות נדירות, אבל מתרחשות.

דוגמה 4

מצא את אזור ההתכנסות של הסדרה:

פִּתָרוֹן:באמצעות מבחן ד'אלמבר, אנו מוצאים את מרווח ההתכנסות של סדרה זו:

(1) חבר את היחס בין האיבר הבא בסדרה לקודם.

(2) היפטר מהשבר בן ארבע הקומות.

(3) קוביות, ועל פי כלל המבצעים עם סמכויות, מסוכמים תחת תואר אחד. במונה אנו מפרקים בחוכמה את התואר, כלומר. להרחיב בצורה כזו שבשלב הבא נפחית את השבר ב-. גורמים מתוארים בפירוט.

(4) מתחת לקובייה, נחלק את המונה במכנה מונח אחר איבר, מה שמציין ש. בשבריר, אנו מצמצמים את כל מה שניתן להפחית. מוציאים את המכפיל מסימן הגבול, ניתן להוציאו, שכן אין בו שום דבר שתלוי במשתנה ה"דינמי" "en". שים לב שסימן המודול אינו מצויר - מהסיבה שהוא לוקח ערכים לא שליליים עבור כל "x".

בגבול מתקבל אפס, מה שאומר שאנחנו יכולים לתת את התשובה הסופית:

תשובה:הסדרה מתכנסת ב

ובהתחלה נראה היה שהשורה הזו עם "מלית נוראית" תהיה קשה לפתרון. אפס או אינסוף בגבול זה כמעט מתנה, כי הפתרון מופחת בצורה ניכרת!

דוגמה 5

מצא את אזור ההתכנסות של סדרה

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. היזהר ;-) הפתרון המלא הוא התשובה בסוף השיעור.

שקול עוד כמה דוגמאות המכילות אלמנט של חידוש מבחינת השימוש בטכניקות.

דוגמה 6

מצא את מרווח ההתכנסות של הסדרה וחקור את ההתכנסות שלה בקצוות המרווח שנמצא

פִּתָרוֹן:המונח הנפוץ של סדרת ההספק כולל את הפקטור , המבטיח את החלופה. אלגוריתם הפתרון נשמר לחלוטין, אך בעת קומפילציה של הגבול, אנו מתעלמים (לא כותבים) מגורם זה, מכיוון שהמודול הורס את כל ה"מינוסים".

אנו מוצאים את מרווח ההתכנסות של הסדרה באמצעות מבחן ד'אלמבר:

אנו מרכיבים את אי השוויון הסטנדרטי:
הסדרה מתכנסת ב
שמאלהאנחנו צריכים לעזוב מודול בלבד, אז נכפיל את שני הצדדים של אי השוויון ב-5:

כעת אנו מרחיבים את המודול בצורה מוכרת:

באמצע האי-שוויון הכפול, צריך להשאיר רק את ה-"x", לצורך כך, הורידו 2 מכל חלק של האי-שוויון:

הוא מרווח ההתכנסות של סדרת העוצמה הנחקרת.

אנו חוקרים את ההתכנסות של הסדרה בקצות המרווח שנמצא:

1) החלף את הערך בסדרת הכוחות שלנו :

היזהר מאוד, המכפיל אינו מספק חלופה, עבור כל "en" טבעי. אנחנו מוציאים את המינוס המתקבל מהסדרה ושוכחים ממנו, מכיוון שהוא (כמו כל מכפיל קבוע) אינו משפיע על ההתכנסות או ההתרחקות של הסדרה המספרית בשום צורה.

שים לב שובשבמהלך החלפת הערך במונח המשותף של סדרת החזקה, הפחתנו את הפקטור . אם זה לא קרה, אז זה אומר שחישבתנו בצורה שגויה את הגבול, או שהרחבנו בצורה שגויה את המודול.

אז, זה נדרש לחקור את ההתכנסות של הסדרה המספרית. כאן הכי קל להשתמש בקריטריון השוואת הגבול ולהשוות סדרה זו עם סדרה הרמונית מתפצלת. אבל, למען האמת, נורא נמאס לי מהסימן האולטימטיבי להשוואה, אז אני אוסיף קצת גיוון לפתרון.

אז הסדרה מתכנסת ב

הכפל את שני הצדדים של אי השוויון ב-9:

אנו מחלצים את השורש משני החלקים, תוך כדי זכרון הבדיחה של בית הספר הישנה:


הרחבת המודול:

והוסיפו אחד לכל החלקים:

הוא מרווח ההתכנסות של סדרת העוצמה הנחקרת.

אנו חוקרים את ההתכנסות של סדרת העוצמה בקצות המרווח שנמצא:

1) אם , אז מתקבלת סדרת המספרים הבאה:

המכפיל נעלם ללא עקבות, כי לכל ערך טבעי של "en" .

טווח פונקציונלי נקרא ביטוי כתוב באופן רשמי

u1 (איקס) + u 2 (איקס) + u 3 (איקס) + ... + u n ( איקס) + ... , (1)

איפה u1 (איקס), u 2 (איקס), u 3 (איקס), ..., u n ( איקס), ... - רצף של פונקציות ממשתנה בלתי תלוי איקס.

סימון מקוצר של סדרה פונקציונלית עם סיגמא:.

דוגמאות לסדרות פונקציונליות הן :

(2)

(3)

מתן המשתנה הבלתי תלוי איקסערך כלשהו איקס0 והחלפתו בסדרה הפונקציונלית (1), נקבל סדרה מספרית

u1 (איקס 0 ) + u 2 (איקס 0 ) + u 3 (איקס 0 ) + ... + u n ( איקס 0 ) + ...

אם הסדרה המספרית המתקבלת מתכנסת, אזי הסדרה הפונקציונלית (1) אמורה להתכנס עבור איקס = איקס0 ; אם היא מתפצלת, שנאמר שהיא סדרה (1) מתפצלת ב איקס = איקס0 .

דוגמה 1. חקור את ההתכנסות של סדרה פונקציונלית(2) לערכים איקס= 1 ו איקס = - 1 .
פִּתָרוֹן. בְּ איקס= 1 נקבל סדרת מספרים

שמתכנס לפי מבחן לייבניץ. בְּ איקס= - 1 נקבל סדרת מספרים

,

שמתפצלת כמכפלה של סדרה הרמונית מתפצלת ב-1. לפיכך, סדרה (2) מתכנסת ב- איקס= 1 ומתפצל ב איקס = - 1 .

אם מבחן כזה להתכנסות של הסדרה הפונקציונלית (1) מתבצע ביחס לכל הערכים של המשתנה הבלתי תלוי מתחום ההגדרה של חבריו, אזי הנקודות של תחום זה יחולקו לשתי קבוצות: עם ערכים איקסבאחת מהן, הסדרה (1) מתכנסת, ובשנייה היא מתפצלת.

קבוצת הערכים של משתנה בלתי תלוי שעבורו מתכנסת הסדרה הפונקציונלית נקראת שלה אזור התכנסות .

דוגמה 2. מצא את אזור ההתכנסות של סדרה פונקציונלית

פִּתָרוֹן. איברי הסדרה מוגדרים על כל קו המספרים ויוצרים התקדמות גיאומטרית עם מכנה ש= חטא איקס. אז הסדרה מתכנסת אם

ומתפצל אם

(ערכים אינם אפשריים). אבל לערכים ולערכים אחרים איקס. לכן, הסדרה מתכנסת לכל הערכים איקס, מלבד . אזור ההתכנסות שלו הוא כל קו המספרים, למעט נקודות אלו.

דוגמה 3. מצא את אזור ההתכנסות של סדרה פונקציונלית

פִּתָרוֹן. מונחי הסדרה יוצרים התקדמות גיאומטרית עם מכנה ש=ln איקס. לכן, הסדרה מתכנסת אם , או , מאיפה . זהו אזור ההתכנסות של הסדרה הזו.

דוגמה 4. חקור את ההתכנסות של סדרה פונקציונלית

פִּתָרוֹן. בואו ניקח ערך שרירותי. עם ערך זה, אנו מקבלים סדרת מספרים

(*)

מצא את הגבול של המונח הנפוץ שלו

כתוצאה מכך, הסדרה (*) מתפצלת עבור בחירה שרירותית, כלומר. לכל ערך שהוא איקס. תחום ההתכנסות שלו הוא הסט הריק.

התכנסות אחידה של סדרה פונקציונלית ותכונותיה

בואו נעבור לקונספט התכנסות אחידה של הסדרה הפונקציונלית . לתת ס(איקס) הוא הסכום של סדרה זו, ו סn ( איקס) - סכום נהחברים הראשונים בסדרה הזו. טווח פונקציונלי u1 (איקס) + u 2 (איקס) + u 3 (איקס) + ... + u n ( איקס) + ... נקרא מתכנס באופן אחיד על המרווח [ א, ב] , אם עבור מספר קטן באופן שרירותי ε > 0 יש מספר כזה נ, זה לכולם נ ≥ נאי השוויון יסופק

|ס(איקס) − ס n ( איקס)| < ε

לכל אחד איקסמהקטע [ א, ב] .

ניתן להמחיש את המאפיין הנ"ל בצורה גיאומטרית כדלקמן.

שקול את הגרף של הפונקציה y = ס(איקס) . אנו בונים רצועה ברוחב 2 סביב העקומה הזו. ε נ, כלומר, אנו בונים עקומות y = ס(איקס) + ε נו y = ס(איקס) − ε נ(בתמונה למטה הם ירוקים).

ואז לכל ε נגרף פונקציות סn ( איקס) ישכב לגמרי בלהקה הנבדקת. אותה פס תכיל גרפים של כל הסכומים החלקיים הבאים.

כל סדרה פונקציונלית מתכנסת שאין לה את התכונה שתוארה לעיל היא מתכנסת לא אחידה.

שקול עוד תכונה אחת של סדרות פונקציונליות מתכנסות באופן אחיד:

סכום של סדרה של פונקציות רציפות שמתכנסות באופן אחיד במרווח כלשהו [ א, ב] , יש פונקציה שהיא רציפה בקטע הזה.

דוגמה 5קבע אם הסכום של סדרה פונקציונלית הוא רציף

פִּתָרוֹן. בוא נמצא את הסכום נהחברים הראשונים בסדרה זו:

אם איקס> 0, אם כן

,

אם איקס < 0 , то

אם איקס= 0, אם כן

ולכן .

המחקר שלנו הראה שהסכום של סדרה זו הוא פונקציה בלתי רציפה. הגרף שלה מוצג באיור שלהלן.

מבחן Weierstrass להתכנסות אחידה של סדרות פונקציונליות

הבה ניגש לקריטריון Weierstrass דרך המושג רוב סדרות פונקציונליות . טווח פונקציונלי

u1 (איקס) + u 2 (איקס) + u 3 (איקס) + ... + u n ( איקס) + ...

4.1. סדרת פונקציות: מושגי יסוד, אזור התכנסות

הגדרה 1. סדרה שהאיברים שלה הם פונקציות של אחד או
מספר משתנים בלתי תלויים המוגדרים בקבוצה כלשהי נקראים טווח פונקציונלי.

קחו בחשבון סדרה פונקציונלית שהאיברים שלה הם פונקציות של משתנה בלתי תלוי אחד איקס. הסכום של הראשון נאיברי סדרה הם סכום חלקי של הסדרה הפונקציונלית הנתונה. חבר נפוץ יש פונקציה מ איקסמוגדר באזור כלשהו. שקול סדרה פונקציונלית בשלב מסוים . אם סדרת המספרים המתאימה מתכנס, כלומר. יש מגבלה של סכומים חלקיים בסדרה זו
(איפה − סכום סדרת המספרים), ואז נקראת הנקודה נקודת התכנסותטווח פונקציונלי . אם שורת המספרים מתפצל, ואז נקראת הנקודה נקודת סטייהשורה פונקציונלית.

הגדרה 2. אזור התכנסותטווח פונקציונלי נקרא קבוצת כל הערכים הללו איקס, שעבורו מתכנסת הסדרה הפונקציונלית. אזור ההתכנסות, המורכב מכל נקודות ההתכנסות, מסומן . ציין זאת ר.

הסדרה הפונקציונלית מתכנסת באזור , אם בכלל היא מתכנסת כסדרת מספרים, בעוד שהסכום שלה יהיה פונקציה כלשהי . זה מה שנקרא פונקציה להגבילרצפים : .

כיצד למצוא את אזור ההתכנסות של סדרה פונקציונלית ? אתה יכול להשתמש בשלט הדומה לשלט של ד'אלמבר. בשביל מספר לְהַלחִין ושקול את הגבול קבוע איקס:
. לאחר מכן הוא פתרון לאי השוויון ופתרון המשוואה (אנחנו לוקחים רק את הפתרונות האלה של המשוואה, ב
שהסדרה המספרית המקבילה מתכנסת).

דוגמה 1. מצא את אזור ההתכנסות של הסדרה.

פִּתָרוֹן. לציין , . חבר וחשב את הגבול
, אז אזור ההתכנסות של הסדרה נקבע על ידי אי השוויון ומשוואה . הבה נחקור בנוסף את ההתכנסות של הסדרה המקורית בנקודות שהן שורשי המשוואה:

ואם , , אז נקבל סדרה שונה ;

ב) אם , , ואז השורה מתכנס באופן מותנה (על ידי

מבחן לייבניץ, דוגמה 1, הרצאה 3, סעיף. 3.1).

לפיכך, אזור ההתכנסות שורה נראית כך: .

4.2. סדרת כוח: מושגי יסוד, משפט הבל

שקול מקרה מיוחד של סדרה פונקציונלית, מה שנקרא סדרת כוח , איפה
.

הגדרה 3. כוח הבאנקרא סדרה פונקציונלית של הצורה,

איפה − מספרים קבועים, הנקראים מקדמי סדרה.

סדרת החזקות היא "פולינום אינסופי" המסודרת בחזקות גוברת . כל שורת מספרים הוא
מקרה מיוחד של סדרת כוח עבור .

שקול מקרה מיוחד של סדרת כוח עבור :
. גלה איזה סוג
אזור התכנסות של סדרה נתונה .

משפט 1 (משפט הבל). 1) אם סדרת הכוח מתכנס בנקודה מסוימת , אז זה מתכנס לחלוטין לכל איקס, שעבורו אי השוויון .

2) אם סדרת ההספק מתפצלת ב , אז זה מתפצל עבור כל איקס, לאיזה .

הוכחה. 1) לפי תנאי, סדרת ההספק מתכנסת בנקודה ,

כלומר סדרת המספרים מתכנסת

(1)

ולפי הקריטריון ההכרחי של התכנסות, המונח הנפוץ שלו נוטה ל-0, כלומר. . לכן, יש מספר שכל חברי הסדרה מוגבלים למספר זה:
.

שקול עכשיו כל איקס, לאיזה , ולחבר סדרה של ערכים מוחלטים: .
הבה נכתוב את הסדרה הזו בצורה אחרת: מאז , ואז (2).

מאי שוויון
אנחנו מקבלים , כלומר שׁוּרָה

מורכב מאיברים שגדולים מהאיברים המקבילים בסדרה (2). שׁוּרָה היא סדרה מתכנסת של התקדמות גיאומטרית עם מכנה , יתר על כך , כי . לכן, סדרה (2) מתכנסת עבור . אז סדרת הכוח מתכנס לחלוטין.

2) הניחו את השורה מתפצל ב , במילים אחרות,

שורת המספרים מתפצלת . בואו נוכיח את זה לכל איקס () הסדרה מתפצלת. ההוכחה היא בסתירה. תן לכמה

תוקן ( ) הסדרה מתכנסת, ואז היא מתכנסת לכולם (ראה את החלק הראשון של המשפט הזה), בפרט, עבור , הסותר את תנאי 2) של משפט 1. המשפט מוכח.

תוֹצָאָה. משפט הבל מאפשר לשפוט את מיקומה של נקודת ההתכנסות של סדרת חזקות. אם נקודה היא נקודת התכנסות של סדרת החזקה, ולאחר מכן המרווח מלא בנקודות התכנסות; אם נקודת הדיברגנציה היא נקודה , זה
אינסוף מרווחים מלא בנקודות סטייה (איור 1).

אורז. 1. מרווחי התכנסות והתפצלות של הסדרה

אפשר להראות שיש מספר כזה , זה לכולם
סדרת כוח מתכנס לחלוטין, ו - מתפצל. נניח שאם הסדרה מתכנסת רק בנקודה אחת 0, אז , ואם הסדרה מתכנסת לכולם , זה .

הגדרה 4. מרווח התכנסותסדרת כוח מרווח זה נקרא , זה לכולם הסדרה הזו מתכנסת לחלוטין, ולכולם איקסשוכב מחוץ למרווח זה, הסדרה מתפצלת. מספר רשקוראים לו רדיוס התכנסותסדרת כוח.

תגובה. בקצה המרווח שאלת ההתכנסות או ההתרחקות של סדרת חזקות נפתרת בנפרד עבור כל סדרה ספציפית.

הבה נראה את אחת השיטות לקביעת המרווח ורדיוס ההתכנסות של סדרת חזקה.

קחו בחשבון את סדרת הכוח ולסמן .

בואו נעשה סדרה של ערכים מוחלטים של חבריה:

ולהחיל עליו את המבחן של ד'אלמבר.

תן לזה להתקיים

.

לפי מבחן ד'אלמבר, הסדרה מתכנסת אם , ומתפצל אם . מכאן, הסדרה מתכנסת ב-, ולאחר מכן מרווח ההתכנסות: . ב-, הסדרה מתפצלת בגלל .
שימוש בסימון , נקבל נוסחה לקביעת רדיוס ההתכנסות של סדרת חזקה:

,

איפה הם המקדמים של סדרת ההספק.

אם יתברר שהגבול , אז אנחנו מניחים .

כדי לקבוע את מרווח ורדיוס ההתכנסות של סדרת חזקות, אפשר להשתמש גם בקריטריון Cauchy הרדיקלי, רדיוס ההתכנסות של הסדרה נקבע מתוך היחס .

הגדרה 5. סדרת כוח כלליתנקראת סדרה

. זה נקרא גם הבא בדרגות .
עבור סדרה כזו, למרווח ההתכנסות יש את הצורה: , איפה רדיוס התכנסות.

הבה נראה כיצד נמצא רדיוס ההתכנסות עבור סדרת חזקות מוכללת.

הָהֵן. , איפה .

אם , זה , ואזור ההתכנסות ר; אם , זה ואזור התכנסות .

דוגמה 2. מצא את אזור ההתכנסות של סדרה .

פִּתָרוֹן. לציין . בואו נעשה גבול

אנחנו פותרים את אי השוויון: , , ומכאן המרווח

להתכנסות יש את הצורה: , יתר על כך ר= 5. בנוסף, אנו לומדים את הקצוות של מרווח ההתכנסות:
א) , , אנחנו מקבלים את הסדרה , שמתפצל;
ב) , , אנחנו מקבלים את הסדרה , שמתכנס
באופן מותנה. לפיכך, אזור ההתכנסות הוא: , .

תשובה:אזור התכנסות .

דוגמה 3שׁוּרָה שונה עבור כולם , כי בְּ- , רדיוס התכנסות .

דוגמה 4הסדרה מתכנסת לכל R, רדיוס ההתכנסות .