11.1. מושגי יסוד

שקול את הקווים המוגדרים על ידי משוואות מהמעלה השנייה ביחס לקואורדינטות הנוכחיות

המקדמים של המשוואה הם מספרים ממשיים, אך לפחות אחד מהמספרים A, B או C אינו אפס. קווים כאלה נקראים קווים (עקומות) מהסדר השני. יקבע להלן שמשוואה (11.1) מגדירה מעגל, אליפסה, היפרבולה או פרבולה במישור. לפני שנמשיך לקביעה זו, הבה נלמד את המאפיינים של העקומות המנויות.

11.2. מעגל

העקומה הפשוטה ביותר מהסדר השני היא עיגול. נזכיר שמעגל ברדיוס R שמרכזו בנקודה הוא קבוצת כל הנקודות Μ של המישור המקיימות את התנאי. תן לנקודה במערכת קואורדינטות מלבנית יש קואורדינטות x 0, y 0 a - נקודה שרירותית של המעגל (ראה איור 48).

ואז מהתנאי נקבל את המשוואה

(11.2)

משוואה (11.2) מסופקת מהקואורדינטות של כל נקודה במעגל הנתון ואינה מסופקת מהקואורדינטות של כל נקודה שאינה שוכנת על המעגל.

משוואה (11.2) נקראת משוואה קנוניתמעגלים

בפרט, בהנחה ו , נקבל את המשוואה של מעגל שמרכזו במקור .

משוואת המעגל (11.2) לאחר טרנספורמציות פשוטות תקבל את הצורה . כאשר משווים את המשוואה הזו עם משוואה כללית(11.1) של עקומה מסדר שני, קל לראות שמתקיימים שני תנאים עבור משוואת המעגל:

1) המקדמים ב-x 2 ו-y 2 שווים זה לזה;

2) אין איבר המכיל את מכפלת ה-xy של הקואורדינטות הנוכחיות.

בואו ניקח בחשבון את הבעיה ההפוכה. שמים במשוואה (11.1) את הערכים ואת , נקבל

בואו נשנה את המשוואה הזו:

(11.4)

מכאן נובע שמשוואה (11.3) מגדירה מעגל בתנאי . המרכז שלו נמצא בנקודה , והרדיוס

.

אם , אז למשוואה (11.3) יש את הצורה

.

זה מרוצה על ידי הקואורדינטות של נקודה אחת . במקרה זה, הם אומרים: "המעגל הידרדר לנקודה" (יש לו רדיוס אפס).

אם , אז משוואה (11.4), ומכאן המשוואה המקבילה (11.3), לא תקבע שום קו, שכן הצד הימני של המשוואה (11.4) הוא שלילי, והצד השמאלי אינו שלילי (נניח: "מעגל דמיוני").

11.3. אֶלִיפְּסָה

משוואה קנונית של אליפסה

אֶלִיפְּסָה הוא קבוצת כל הנקודות של המישור, סכום המרחקים מכל אחת מהן לשתי נקודות נתונות של המישור הזה, הנקראות טריקים , הוא ערך קבוע הגדול מהמרחק בין המוקדים.

סמן את המוקדים ב F1ו F2, המרחק ביניהם ב-2 ג, וסכום המרחקים מנקודה שרירותית של האליפסה למוקדים - עד 2 א(ראה איור 49). בהגדרה 2 א > 2ג, כלומר א > ג.

כדי לגזור את המשוואה של אליפסה, נבחר מערכת קואורדינטות כך שהמוקדים F1ו F2שוכב על הציר, והמקור חופף לנקודת האמצע של הקטע F 1 F 2. אז למוקדים יהיו הקואורדינטות הבאות: ו.

תן להיות נקודה שרירותית של האליפסה. ואז, לפי ההגדרה של אליפסה, כלומר.

זוהי, למעשה, המשוואה של אליפסה.

אנו הופכים את המשוואה (11.5) לצורה פשוטה יותר באופן הבא:

כי א>עם, לאחר מכן . בוא נשים

(11.6)

ואז המשוואה האחרונה מקבלת את הצורה או

(11.7)

ניתן להוכיח שמשוואה (11.7) שווה ערך למשוואה המקורית. זה נקרא המשוואה הקנונית של האליפסה .

אליפסה היא עקומה מהסדר השני.

חקר צורת אליפסה לפי המשוואה שלה

בואו נקבע את צורת האליפסה באמצעות המשוואה הקנונית שלה.

1. משוואה (11.7) מכילה x ו-y רק בחזקות זוגיות, כך שאם נקודה שייכת לאליפסה, אז גם נקודות ,, שייכות לה. מכאן נובע שהאליפסה היא סימטרית ביחס לצירים ו, ​​כמו גם ביחס לנקודה , הנקראת מרכז האליפסה.

2. מצא את נקודות החיתוך של האליפסה עם צירי הקואורדינטות. לשים , אנו מוצאים שתי נקודות ו , שבהן הציר חוצה את האליפסה (ראה איור. 50). נכניס את המשוואה (11.7), נמצא את נקודות החיתוך של האליפסה עם הציר: ו. נקודות א 1 , A2 , B1, B2שקוראים לו קודקודי האליפסה. פלחים א 1 A2ו B1 B2, כמו גם אורכם 2 או-2 בנקראים בהתאמה צירים גדולים ומשנייםאֶלִיפְּסָה. מספרים או בנקראים גדולים וקטנים, בהתאמה. צירי סרןאֶלִיפְּסָה.

3. מהמשוואה (11.7) עולה שכל איבר בצד שמאל אינו עולה על אחד, כלומר. יש אי שוויון ו או ו . לכן, כל נקודות האליפסה נמצאות בתוך המלבן שנוצר על ידי הקווים הישרים.

4. במשוואה (11.7), סכום האיברים הלא שליליים ושווה לאחד. כתוצאה מכך, ככל שמונח אחד גדל, השני יקטן, כלומר אם הוא יגדל, אז הוא יורד ולהיפך.

ממה שנאמר, עולה שלאליפסה יש את הצורה המוצגת באיור. 50 (עקומה סגורה סגלגלה).

מידע נוסףעל האליפסה

צורת האליפסה תלויה ביחס. כאשר האליפסה הופכת למעגל, משוואת האליפסה (11.7) מקבלת את הצורה . כמאפיין של צורת אליפסה, היחס משמש לעתים קרובות יותר. היחס בין מחצית המרחק בין המוקדים לציר החצי-עיקרי של האליפסה נקרא האקסצנטריות של האליפסה ו-o6o מסומן באות ε ("אפסילון"):

עם 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

זה מראה שככל שהאקסצנטריות של האליפסה קטנה יותר, כך האליפסה תהיה פחות אולבלית; אם נשים ε = 0, אז האליפסה הופכת למעגל.

תן ל-M(x; y) להיות נקודה שרירותית של האליפסה עם מוקדים F 1 ו-F 2 (ראה איור 51). אורכי הקטעים F 1 M=r 1 ו- F 2 M = r 2 נקראים רדיוסי המוקד של הנקודה M. מובן מאליו,

יש נוסחאות

קווים ישרים נקראים

משפט 11.1.אם הוא המרחק מנקודה שרירותית של אליפסה למוקד כלשהו, ​​d הוא המרחק מאותה נקודה לכיוון המתאים למוקד זה, אז היחס הוא ערך קבוע השווה לאקסצנטריות של האליפסה:

מהשוויון (11.6) עולה כי . אם , אז משוואה (11.7) מגדירה אליפסה, שהציר העיקרי שלה נמצא על ציר Oy, והציר הקטני נמצא על ציר השור (ראה איור 52). המוקדים של אליפסה כזו נמצאים בנקודות ו, היכן .

11.4. הִיפֵּרבּוֹלָה

משוואה קנונית של היפרבולה

הַגזָמָה קבוצת כל הנקודות של המישור נקראת, מודול ההפרש של המרחקים מכל אחת מהן לשתי נקודות נתונות של המישור הזה, הנקרא טריקים , הוא ערך קבוע, הקטן מהמרחק בין המוקדים.

סמן את המוקדים ב F1ו F2המרחק ביניהם דרך 2 שניות, ומודול ההפרש במרחקים מכל נקודה של ההיפרבולה למוקדים דרך 2א. לפי הגדרה 2א < 2 שניות, כלומר א < ג.

כדי לגזור את משוואת ההיפרבולה, נבחר מערכת קואורדינטות כך שהמוקדים F1ו F2שוכב על הציר , והמקור חפף לנקודת האמצע של הקטע F 1 F 2(ראה איור 53). אז למוקדים יהיו קואורדינטות ו

תן להיות נקודה שרירותית של ההיפרבולה. ואז לפי ההגדרה של היפרבולה או , כלומר לאחר הפשטות, כפי שנעשה בעת גזירת משוואת האליפסה, אנו מקבלים משוואה קנונית של היפרבולה

(11.9)

(11.10)

היפרבולה היא קו מהסדר השני.

חקירת צורת ההיפרבולה לפי המשוואה שלה

הבה נקבע את צורת ההיפרבולה באמצעות המשוואה הקקונית שלה.

1. משוואה (11.9) מכילה x ו-y רק בחזקות זוגיות. לכן, ההיפרבולה היא סימטרית ביחס לצירים ו-, כמו גם ביחס לנקודה, הנקראת מרכז ההיפרבולה.

2. מצא את נקודות החיתוך של ההיפרבולה עם צירי הקואורדינטות. כשמכניסים משוואה (11.9), נמצא שתי נקודות חיתוך של ההיפרבולה עם הציר : ו. כשמכניסים (11.9), נקבל , מה שלא יכול להיות. לכן, ההיפרבולה אינה חותכת את ציר ה-y.

הנקודות והנקראות פסגות היפרבולות, והקטע

ציר אמיתי , קטע קו - חצי ציר אמיתי הַגזָמָה.

קטע הקו המחבר את הנקודות נקרא ציר דמיוני , מספר ב - ציר דמיוני . מלבן עם צלעות 2או 2בשקוראים לו המלבן הראשי של היפרבולה .

3. יוצא מהמשוואה (11.9) שהמינואנד אינו קטן מאחד, כלומר, זה או . המשמעות היא שנקודות ההיפרבולה ממוקמות מימין לקו (הענף הימני של ההיפרבולה) ומשמאל לקו (הענף השמאלי של ההיפרבולה).

4. מהמשוואה (11.9) של ההיפרבולה ניתן לראות שכשהיא גדלה אז היא גם עולה. זה נובע מהעובדה שההפרש שומר על ערך קבוע שווה לאחד.

ממה שנאמר עולה כי להיפרבולה יש את הצורה המוצגת באיור 54 (עקומה המורכבת משני ענפים לא מוגבלים).

אסימפטוטים של היפרבולה

הישר L נקרא אסימפטוטה של עקומה K ללא גבולות אם המרחק d מנקודה M של עקומה K לישר זה שואף לאפס כאשר הנקודה M נעה לאורך העקומה K ללא הגבלת זמן מהמקור. איור 55 ממחיש את הרעיון של אסימפטוטה: הקו L הוא אסימפטוטה לעקומה K.

הבה נראה שלהיפרבולה יש שתי אסימפטוטים:

(11.11)

מכיוון שהקווים (11.11) וההיפרבולה (11.9) הם סימטריים ביחס לצירי הקואורדינטות, די להתייחס רק לאותן נקודות של הקווים המצוינים שנמצאות ברביע הראשון.

קח על קו ישר נקודה N בעלת אותו אבשסיס x כמו נקודה על היפרבולה (ראה איור 56), ומצא את ההפרש ΜN בין הקורינטות של הישר והענף של ההיפרבולה:

כפי שניתן לראות, ככל ש-x גדל, המכנה של השבר גדל; מונה הוא ערך קבוע. לכן, אורך הקטע ΜN שואף לאפס. מכיוון ש-ΜN גדול מהמרחק d מהנקודה Μ לישר, אז d שואף יותר לאפס. לפיכך, הקווים הם אסימפטוטים של ההיפרבולה (11.9).

כאשר בונים היפרבולה (11.9), רצוי לבנות תחילה את המלבן הראשי של ההיפרבולה (ראה איור 57), לצייר קווים העוברים דרך הקודקודים המנוגדים של מלבן זה - האסימפטוטים של ההיפרבולה ולסמן את הקודקודים ו, ​​היפרבולה. .

משוואת היפרבולה שווה צלעות.

שהאסימפטוטות שלהם הן צירי הקואורדינטות

היפרבולה (11.9) נקראת שווה צלעות אם ציריה למחצה שווים (). המשוואה הקנונית שלו

(11.12)

לאסימפטוטות של היפרבולה שווה צלעות יש משוואות ולכן הן חצויות של זוויות הקואורדינטות.

שקול את המשוואה של ההיפרבולה הזו במערכת קואורדינטות חדשה (ראה איור 58), המתקבלת מהישנה על ידי סיבוב צירי הקואורדינטות בזווית. אנו משתמשים בנוסחאות לסיבוב של צירי הקואורדינטות:

אנו מחליפים את הערכים של x ו-y במשוואה (11.12):

למשוואה של היפרבולה שווה צלעות, שעבורה הצירים Ox ו-Oy הם אסימפטוטים, תהיה הצורה .

עוד על היפרבולה

תִמהוֹנִיוּת היפרבולה (11.9) היא היחס בין המרחק בין המוקדים לערך הציר האמיתי של ההיפרבולה, המסומן ב-ε:

שכן עבור היפרבולה, האקסצנטריות של ההיפרבולה גדולה מאחד:. אקסצנטריות מאפיינת את הצורה של היפרבולה. אכן, מהשוויון (11.10) עולה כי דהיינו. ו .

זה מראה שככל שהאקסצנטריות של ההיפרבולה קטנה יותר, כך היחס - בין הצירים למחצה שלה קטן יותר, מה שאומר שככל שהמלבן הראשי שלה מורחב יותר.

האקסצנטריות של היפרבולה שווה צלעות היא . בֶּאֱמֶת,

רדיוסי מוקד ו עבור הנקודות של הענף הימני של ההיפרבולה יש את הצורה ו, ועבור השמאלית - ו .

קווים ישרים נקראים כיוונים של היפרבולה. מכיוון שלהיפרבולה ε > 1, אז . זה אומר שהכיוון הימני ממוקם בין המרכז לקודקוד הימני של ההיפרבולה, הכיוון השמאלי נמצא בין המרכז לקודקוד השמאלי.

הכוונים של היפרבולה הם בעלי אותה תכונה כמו הכיוונים של אליפסה.

העקומה המוגדרת על ידי המשוואה היא גם היפרבולה, שהציר האמיתי 2b שלה ממוקם על ציר Oy, והציר הדמיוני 2 א- על ציר השור. באיור 59, הוא מוצג כקו מקווקו.

ברור שלהיפרבולות יש אסימפטוטות משותפות. היפרבולות כאלה נקראות מצומדות.

11.5. פָּרַבּוֹלָה

משוואת פרבולות קנונית

פרבולה היא קבוצת כל הנקודות במישור, שכל אחת מהן מרוחקת באותה מידה מנקודה נתונה, הנקראת מוקד, וקו נתון, הנקרא כיוון. המרחק מהמוקד F לכיוון נקרא פרמטר של הפרבולה ומסומן ב-p (p>0).

כדי לגזור את משוואת הפרבולות, נבחר את מערכת הקואורדינטות Oxy כך שציר Oxy יעבור דרך המוקד F בניצב לכיוון הכיוון מהכיוון ל-F, והמקור O ממוקם באמצע בין המוקד לכיוון. (ראה איור 60). במערכת הנבחרת, למוקד F יש קואורדינטות , ולמשוואת הכיוון יש את הצורה , או .

1. במשוואה (11.13), המשתנה y נכלל בדרגה זוגית, כלומר הפרבולה סימטרית על ציר השור; ציר ה-x הוא ציר הסימטריה של הפרבולה.

2. מכיוון ש- ρ > 0, נובע מ- (11.13) ש. לכן, הפרבולה ממוקמת מימין לציר ה-y.

3. כאשר יש לנו y \u003d 0. לכן, הפרבולה עוברת דרך המקור.

4. עם עלייה בלתי מוגבלת של x, גם המודול y גדל ללא הגבלת זמן. לפרבולה יש את הצורה (צורה) המוצגת באיור 61. הנקודה O (0; 0) נקראת קודקוד הפרבולה, הקטע FM \u003d r נקרא רדיוס המוקד של הנקודה M.

משוואות , , ( p>0) מגדירים גם פרבולות, הן מוצגות באיור 62

קל להראות שהגרף של טרינום ריבועי, שבו , B ו-C הם כל מספר ממשי, הוא פרבולה במובן של הגדרתה לעיל.

11.6. משוואה כללית של קווים מסדר שני

משוואות עקומות מסדר שני עם צירי סימטריה מקבילים לצירי הקואורדינטות

תחילה נמצא את משוואת אליפסה שמרכזה בנקודה שצירי הסימטריה שלה מקבילים לצירי הקואורדינטות Ox ו-Oy והצירים למחצה שווים בהתאמה ל. או ב. הבה נציב במרכז האליפסה O 1 את מקורה של מערכת הקואורדינטות החדשה, שציריה וחצי ציריה או ב(ראה איור 64):

ולבסוף, לפרבולות המוצגות באיור 65 יש משוואות מתאימות.

המשוואה

ניתן לכתוב את המשוואות של אליפסה, היפרבולה, פרבולה ומשוואת מעגל לאחר טרנספורמציות (פתוח סוגריים, הזזת כל איברי המשוואה לכיוון אחד, הבאת איברים דומים, הכנסת סימון חדש למקדמים) באמצעות משוואה אחת של הצורה

כאשר המקדמים A ו-C אינם שווים לאפס בו זמנית.

נשאלת השאלה: האם משוואה כלשהי מהצורה (11.14) קובעת את אחת העקומות (עיגול, אליפסה, היפרבולה, פרבולה) מהסדר השני? התשובה ניתנת על ידי המשפט הבא.

משפט 11.2. משוואה (11.14) תמיד מגדירה: או מעגל (עבור A = C), או אליפסה (עבור A C > 0), או היפרבולה (עבור A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

משוואה כללית מהסדר השני

שקול כעת את המשוואה הכללית של המעלה השנייה עם שני לא ידועים:

הוא שונה מהמשוואה (11.14) בנוכחות של איבר עם מכפלת הקואורדינטות (B¹ 0). אפשר, על ידי סיבוב צירי הקואורדינטות בזווית a, להפוך את המשוואה הזו כך שהאיבר עם מכפלת הקואורדינטות נעדר בה.

שימוש בנוסחאות לסיבוב צירים

בואו נבטא את הקואורדינטות הישנות במונחים של החדשות:

אנו בוחרים את הזווית a כך שהמקדם ב-x "y" ייעלם, כלומר כך שהשוויון

לפיכך, כאשר הצירים מסובבים בזווית a המקיימת תנאי (11.17), משוואה (11.15) מצטמצמת למשוואה (11.14).

סיכום: המשוואה הכללית מהסדר השני (11.15) מגדירה במישור (פרט למקרים של ניוון וריקבון) את העקומות הבאות: עיגול, אליפסה, היפרבולה, פרבולה.

הערה: אם A = C, אז המשוואה (11.17) מאבדת את משמעותה. במקרה זה cos2α = 0 (ראה (11.16)), ואז 2α = 90°, כלומר α = 45°. אז, ב-A = C, יש לסובב את מערכת הקואורדינטות ב-45 מעלות.

(MIF-2, מס' 3, 2005)

קווים מהסדר השני במטוס

עמ' 1. הגדרה של שורה מסדר שני

חשבו על מישור שבו מוגדרת מערכת קואורדינטות קרטזית מלבנית (XOY). אז כל נקודה M נקבעת באופן ייחודי על ידי הקואורדינטות שלה (x, y). בנוסף, כל זוג מספרים (x, y) מגדיר נקודה כלשהי במישור. קואורדינטות נקודות יכולות לעמוד בתנאים מסוימים, למשל משוואה כלשהי f(x, y)=0 ביחס לא ידועים (x, y). במקרה זה, המשוואה f(x, y)=0 אמורה להגדיר דמות כלשהי במישור. שקול דוגמאות.

דוגמה 1שקול את הפונקציה y= f( איקס). הקואורדינטות של נקודות הגרף של פונקציה זו עומדות במשוואה y– f( איקס) = 0.

דוגמה 2משוואה (*), איפה א, ב, גהם כמה מספרים שמגדירים קו ישר מסוים במישור. (משוואות הצורה (*) נקראות ליניארי).

דוגמה 3הגרף של היפרבולה מורכב מנקודות שהקואורדינטות שלהן עומדות במשוואה https://pandia.ru/text/80/134/images/image004_92.gif" width="161" height="25">.

הגדרה 1. משוואת הצורה (**), כאשר לפחות אחד מהמקדמים DIV_ADBLOCK53">

נשקול גיאומטרי ו תכונות גשמיותהקווים שהוזכרו לעיל. נתחיל עם אליפסה.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image008_54.gif" width="79" height="44 src="> (1).

משוואה (1) נקראת קנונימשוואת אליפסה.

ניתן לשפוט את צורת האליפסה מאיור 1.

תן . הנקודות נקראות טריקיםאֶלִיפְּסָה. מספר מאפיינים מעניינים קשורים לטריקים, עליהם נדון בהמשך.

הגדרה 4. הַגזָמָה נקראת דמות במישור, שהקואורדינטות של כל הנקודות שבהן מקיימות את המשוואה

(2).

משוואה (2) נקראת קנונימשוואה היפרבולית. ניתן לשפוט את צורת ההיפרבולה מאיור 2.

תן . הנקודות נקראות טריקיםהַגזָמָה. פָּרָמֶטֶר אשקוראים לו תָקֵף, והפרמטר ב- חצי ציר דמיוניהיפרבולה, בהתאמה. שׁוֹרהוא אמיתי, ו אויהוא הציר הדמיוני של ההיפרבולה.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image016_34.gif" width="61" height="41"> נקראים אסימפטוטים. בְּ ערכים גדוליםפָּרָמֶטֶר איקסנקודות האסימפטוטות מתקרבות לאין ערוך לענפי ההיפרבולה. באיור 2, האסימפטוטות מוצגות בקווים מקווקוים.

הגדרה 5. פרבולה היא דמות על מישור שהקואורדינטות של כל הנקודות שלה עומדות במשוואה

https://pandia.ru/text/80/134/images/image018_28.gif" width="47" height="45 src=">.

סעיף 3. מאפיינים של מוקדי LCS

עבור כל LVP בסעיף 2. נקודות מיוחדות היו טריקים. נקודות אלו ממלאות תפקיד גדול בהסבר המאפיינים החשובים של האליפסה, ההיפרבולה והפרבולה. אנו מנסחים את התכונות הללו בצורה של משפטים.

מִשׁפָּט. אחד. אליפסה היא קבוצה של נקודותM, כך שסכום המרחקים מנקודות אלו למוקדים הוא 2א:

https://pandia.ru/text/80/134/images/image020_26.gif" width="115" height="23 src="> (5).

על מנת לנסח תכונה דומה לפרבולה, אנו מגדירים מְנַהֶלֶת. זה ישר ד, נתון על ידי המשוואה https://pandia.ru/text/80/134/images/image022_23.gif" width="103" height="21 src="> (6).

פריט 4. מיקודים ומשיקים

https://pandia.ru/text/80/134/images/image024_24.gif" align="right" width="322" height="386 src=">.gif" width="52" height="24 src="> שייך ל-HDL המתאים. להלן משוואות המשיקים העוברות בנקודה זו:

- עבור אליפסה, (7)

- עבור היפרבולה, (8)

עבור פרבולה. (9)

אם נצייר קטעים משני המוקדים (הם נקראים רדיוסי מוקדנקודות), ואז מדהים תכונה(ראה איור 5 ו-6): רדיוסי המוקד יוצרים זוויות שוות כשהמשיק מצוייר באותה נקודה.

לנכס הזה יש פרשנות פיזית מעניינת. לדוגמה, אם ניקח בחשבון את קו המתאר של האליפסה כמראה, אז, קרני אור ממקור נקודתי הממוקם באחד המוקדים שלו, לאחר השתקפות מדפנות המתאר, יעברו בהכרח דרך המוקד השני.

גָדוֹל שימוש מעשיהשיג תכונה דומה עבור פרבולה. העובדה היא רדיוס המוקד של כל נקודה של הפרבולה יוצר זווית כשהמשיק נמשך לנקודה זו שווה לזווית שבין המשיק לציר הפרבולה.

מבחינה פיזית, זה מתפרש כך: קרני נקודה הממוקמת במוקד הפרבולה, לאחר השתקפות מקירותיה, מתפשטות במקביל לציר הסימטריה של הפרבולה. לכן למראות של פנסים וזרקורים יש צורה פרבולית. אגב, אם ייכנס אליו זרם של אור (גלי רדיו) במקביל לציר הפרבולה, אז לאחר השתקפות מהקירות, כל הקרניים שלו יעברו דרך המוקד. תחנות תקשורת חלל ומכ"מים פועלות על פי עיקרון זה.

עמ' 5. קצת יותר פיזיקה

HDLs מצאו יישום נרחב בפיזיקה ובאסטרונומיה. כך, נמצא שגוף קל יחסית אחד (לדוגמה, לוויין) נע בשדה הכבידה של גוף מסיבי יותר (כוכב לכת או כוכב) לאורך מסלול שהוא אחד מה-LCS. במקרה זה, גוף מסיבי יותר נמצא במוקד המסלול הזה.

מאפיינים אלה נחקרו לראשונה בפירוט יוהנס קפלר והם נקראו חוקי קפלר.

משימת בקרה מס' 1 לתלמידי כיתה י'

שאלות למבחן עצמי (5 נקודות למשימה)

M.10.1.1.הגדר HDL. תן כמה דוגמאות למשוואות שמגדירות את ה- LTL.

M.10.1.2.חשב את הקואורדינטות של המוקדים של א) אליפסה, ב) היפרבולה, אם א=13, ב=5.

M.10.1.3.חבר את המשוואה הקנונית של א) אליפסה, ב) היפרבולה, אם ידוע שישר זה עובר בנקודות עם קואורדינטות (5, 6) ו- (-8, 7).

M.10.1.4.בדוק שהישר שניתן במשוואה (9) באמת נחתך עם הפרבולה שניתנה במשוואה (3) רק בנקודה עם הקואורדינטות. ( סִימָן: תחילה חבר את משוואת המשיק למשוואת הפרבולה ולאחר מכן וודא שהמבחן של המשוואה הריבועית המתקבלת הוא אפס.)

M.10.1.5.כתוב את משוואת המשיק להיפרבולה עם חצי הציר האמיתי 8 ודמיוני - 4 בנקודה עם הקואורדינטה איקס=11 אם הקואורדינטה השנייה של הנקודה שלילית.

עבודה מעשית (10 נקודות)

M.10.1.6.תכנן כמה אליפסות השיטה הבאה: מהדקים דף נייר לדיקט ומדביקים כמה כפתורים בנייר (אך לא לגמרי). קח חתיכת חוט וקושר את הקצוות. זרוק את הלולאה שהתקבלה על שני הכפתורים (טריקים של האליפסה העתידית), משוך את החוט עם הקצה החד של העיפרון ומשרטט בזהירות קו, וודא שהחוט מתוח. על ידי שינוי גודל הלולאה, אתה יכול לבנות אליפסות קונפוקאליות מרובות. נסו להסביר בעזרת משפט 1 שהקווים המתקבלים הם באמת אליפסות והסבירו כיצד, בידיעת המרחק בין הכפתורים ואורך החוט, ניתן לחשב את הצירים למחצה של האליפסה.

תמליל

1 שורות פרק של הצו השני במטוס.1. אליפסה, היפרבולה, פרבולה הגדרה. אליפסה היא קבוצת כל הנקודות במישור שעבורן סכום המרחקים לשתי נקודות נתונות F 1 ו-F הוא ערך קבוע a, העולה על המרחק בין F 1 ל. M(, x) F 1 O F x הנקודות F 1 ו-F נקראות מוקדי האליפסה, והמרחק FF 1 ביניהן הוא אורך המוקד, המסומן ב-c. תן לנקודה M להיות שייכת לאליפסה. הקטעים F1 M ו-F M נקראים רדיוסי המוקד של הנקודה M. תנו F1F = c. בהגדרה, א > ג. חשבו על מערכת קואורדינטות קרטזית מלבנית Ox, שבה המוקדים F 1 ו-F ממוקמים על ציר ה-X באופן סימטרי ביחס למקור. במערכת קואורדינטות זו, האליפסה מתוארת באמצעות המשוואה הקנונית: x + = 1, a b 1

2. כאשר b= a c הפרמטרים a ו-b נקראים, בהתאמה, הצירים למחצה הראשיים והקטנים של האליפסה. האקסצנטריות של אליפסה היא המספר ε, שווה ליחס של מחצית ממרחק המוקד שלה c לציר החצי-עיקרי, כלומר. ε =. האקסצנטריות של האליפסה a מספקת את אי השוויון 0 ε< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 למשוואה הקנונית של היפרבולה יש את הצורה x a = b 1,. כאשר b= c a המספרים a ו-b נקראים בהתאמה הציר הממשי והדמיוני של ההיפרבולה. אין נקודות היפרבולה בתוך האזור המוגדר על ידי אי השוויון. x a b הגדרה. האסימפטוטים של היפרבולה הם ישרים b b הניתנים על ידי המשוואות = x, = x. a a ניתן למצוא את רדיוסי המוקד של הנקודה M(x,) של ההיפרבולה לפי הנוסחאות r 1 = ε x a, r = ε x+ a. האקסצנטריות של היפרבולה, כמו עבור אליפסה, נקבעת על ידי הנוסחה ε =. קל לבדוק שהאי-שוויון ε a >1 נכון עבור האקסצנטריות של ההיפרבולה. הַגדָרָה. פרבולה היא קבוצת כל הנקודות במישור שעבורן המרחק לנקודה נתונה F שווה למרחק לישר נתון d שאינו עובר דרך הנקודה F. הנקודה F נקראת מוקד הפרבולה, והשורה d נקראת הכיוון. המרחק מהמוקד לכיוון נקרא פרמטר הפרבולה ומסומן ב-p. d M (x,) F x 4 3

4 בואו נבחר את המקור O של מערכת הקואורדינטות הקרטזית באמצע הקטע FD, שהוא מאונך שירד מהנקודה F לישר d. במערכת קואורדינטות זו, למוקד F יש קואורדינטות F p p ;0, והכיוון d ניתן על ידי המשוואה x + = 0. המשוואה הקנונית של פרבולה היא: = px. הפרבולה סימטרית על ציר ה-OF, הנקראת ציר הפרבולה. נקודת החיתוך O של ציר זה עם הפרבולה נקראת קודקוד הפרבולה. רדיוס המוקד של הנקודה M (x,) כלומר. מרחק ה-p שלו למוקד נמצא על ידי הנוסחה r = x+. 10B.. משוואה כללית של קו מסדר שני קו מסדר שני הוא קבוצת נקודות במישור שהקואורדינטות שלהן x ואשר עומדות במשוואה a x + a x+ a + a x+ a + a =0, ​​11 1 כאשר a11 , a1, a, a10, a0, a00 כמה מספרים ממשיים, ו-a, a, a אינם שווים לאפס בו-זמנית. משוואה זו נקראת משוואת עקומה כללית מסדר שני וניתן לכתוב אותה גם בצורה וקטורית rr r r (Ax, x) + (b, x) + a = 0, כאשר 00 a11 a1 r r A =, a1 a b = (a10 ; a0) , x = (x;). T מכיוון ש-A = A, אז A היא מטריצה ​​ריבועית r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x+ a אליפסה, היפרבולה ופרבולה הן דוגמאות לעיקומות מסדר שני במישור. בנוסף לעקומות הנקובות, ישנם סוגים נוספים של עקומות מהסדר השני, המחוברים עם x בקווים ישרים. אז, למשל, משוואה = 0, כאשר a 0, b 0, a b 4

5 מגדיר זוג קווים מצטלבים במישור. מערכות הקואורדינטות שבהן משוואת העקומה לובשת את הצורה הפשוטה ביותר נקראות קנוניות. באמצעות הרכב התמורות: סיבוב הצירים בזווית α, העברה מקבילה של המקור לנקודה (x0; 0) והשתקפות על ציר האבססיס, משוואת העקומה מסדר שני מצטמצמת לאחד הקנוניים. משוואות, שהעיקריות שבהן פורטו לעיל. 11BEדוגמאות 1. חבר את המשוואה הקנונית של אליפסה שבמרכזה המקור והמוקדים הממוקמים על ציר האבססיס, אם ידוע שהאקסצנטריות שלה ε = והנקודה N(3;) נמצאת על האליפסה השלישית. x a b משוואת אליפסה: + = 1. יש לנו את זה =. a b a 3 9 מכאן שאנו מחשבים כי a = b. החלפת הקואורדינטות של הנקודה N(3;) במשוואה, נקבל + = 1 ואז b = 9 ו- a b 81 a = = 16,. לכן, המשוואה הקנונית של האליפסה היא 5 x + = 1. 16, 9. חבר את המשוואה הקנונית של היפרבולה כשהמרכז במקור והמוקדים נמצאים על ציר האבססיס, אם הנקודה M 1 (5; 3) של ההיפרבולה והאקסצנטריות ε = ניתנים. x המשוואה הקנונית של ההיפרבולה = 1. מהשוויון a b a + b = יש לנו b = a 5 9. מכאן = 1 ו- a =16. לכן, המשוואה הקנונית של האליפסה = a a a x 16 5

6 3. מצא נקודות על הפרבולה = 10x שרדיוס המוקד שלהן הוא 1.5. שימו לב שהפרבולה ממוקמת בחצי המישור הימני. אם M (x; שוכב על פרבולה, אז x 0. פרמטר p = 5. תן (;)) M x להיות הנקודה הרצויה, F הוא המוקד, () הכיוון של הפרבולה. ואז F,5; 0, ד: x=,5. מכיוון ש-FM = ρ(M,d), אז x +,5 = 1.5, 10 תשובה: () 1 10;10 x =, = 100, =± 10. אז קיבלנו שתי נקודות. M10; 10 M, () 4. בענף הימני של ההיפרבולה הניתנת במשוואה x = 1, מצא נקודה שהמרחק שלה מהמוקד הימני קטן פי 16 9 מהמרחק שלה מהמוקד השמאלי. עבור הענף הימני של ההיפרבולה, רדיוסי המוקד מוגדרים על ידי הנוסחאות r 1 = ε x a ו- r = ε x + a. לכן, נקבל את המשוואה ε x + a = (ε x a). עבור היפרבולה נתונה a = 4, 5 c = 5 ו- ε =. לכן, x = 9.6. מכאן יש לנו = ± x 16 = ± d תשובה: שתי נקודות M 1 (9.6; 0.6 119), (9.6; 0.6 119) M. 5. מצא את משוואת הישר, שלכל נקודה שבה היחס למרחק ל הנקודה F (3;0) למרחק לישר 1 x 8= 0 שווה ל- ε =. ציין את שם השורה ואת הפרמטרים שלה. Mx; הקו הרצוי, השוויון נכון: עבור נקודה שרירותית () FM (x 3) + 1 = =. ρ(Ml,) x 8 6

7 מכאן שיש לנו [(x 3) + ] = (x 8). פתיחת הסוגריים וארגון מחדש של המונחים, נקבל (x+) + = 50, כלומר. (x+) + = תשובה: הישר הרצוי הוא אליפסה שבמרכזה נקודה וחצי צירים a = 5 ו-b = מצא את משוואת ההיפרבולה קואורדינטות ישנות קואורדינטות O () x ; 0; ;, ;. C(;0) = 8 במערכת החדשה (x ;) והחדשות (zt ;) קשורות בשוויון המטריצה ​​1 1 x z 1 z+ t = 1 1 t = z t. לפיכך, המשוואה x = 8 z+ t z t = 8, zt = 4. תשובה: zt = 4. γ:4x 4x+ 8x+ 4+ 3= 0 לצורה קנונית. בקואורדינטות חדשות יש את הצורה שקול את הצורה הריבועית () q x, = 4x 4x+. למטריצה ​​q בצורת 4 יש ערכים עצמיים 5 ו-0 ולווקטורים האורתונורמליים המתאימים ו

8 z 1 1 x. t = 5 1 בוא נבטא קואורדינטות ישנות (x;) דרך חדשות (zt) ; : 1 1 z+ t x 1 z = 1 t =, 1 z t פירושו x = z+ t, = z+ t ) () ()() = 5z 4 5z+ 3= z 5 4 z 5 + 3= z 5 1 z 5 3 לפיכך, בקואורדינטות החדשות, העקומה γ ניתנת על ידי המשוואה 1 3 γ: z z =. הגדרה = z, x = t, נקבל γ: =, 1 ומכאן נמצא את המשוואה הקנונית של העקומה γ: = 0 בקואורדינטות קנוניות = 5 x 1 1 x שימו לב שהעקומה γ היא זוג קווים מקבילים. 1Bנספחים לבעיות כלכליות ופיננסיות 8. לכל אחד יש לאניה, בוריס ודמיטרי 150 רובל לקנות פירות. ידוע כי 1 ק"ג אגסים עולה 15 יחידות כספיות, ו-1 ק"ג תפוחים עולה 10 יחידות כספיות. במקביל, כל אחד מהשלושה

ל-9 יש פונקציית שירות שעבורה הוא רוצה למקסם את הרכישה שלו. אפשר לקנות X1 ק"ג אגסים ו-X ק"ג תפוחים. פונקציות השירות הללו הן כדלקמן: u = x + x עבור Anya, 1 A 1 x u B = +x עבור בוריס, ו-ud = x1 x עבור דמיטרי. זה נדרש למצוא תוכנית רכישה (x1, x) עבור אניה, בוריס ודמיטרי, במסגרתה הם מספקים את המקסימום של פונקציית השירות שלהם. x איור. 5 ניתן לפתור את הבעיה הנידונה בצורה גיאומטרית. כדי לפתור בעיה זו, יש להציג את הרעיון של קו רמה. x x 1 איור. 6 קו הרמה של פונקציה z = f(x,) הוא קבוצת כל הנקודות במישור שבהן הפונקציה שומרת על ערך קבוע השווה ל-h. x9

10 במקרה זה, הפתרון ישתמש גם ברעיונות הראשוניים לגבי השטחים הגיאומטריים במישור, הניתנים על ידי אי-שוויון ליניארי (ראה סעיף קטן 1.4). x x 1 איור. 7 קווי הרמה של הפונקציות ua, u B ו-u D הם קווים ישרים, אליפסות והיפרבולות עבור אניה, בוריס ודמיטרי, בהתאמה. לפי משמעות הבעיה, אנו מניחים ש-x1 0, x 0. מצד שני, אילוץ התקציב נכתב כאי-השוויון 15x1+ 10x 150. מחלקים את האי-שוויון האחרון ב-10, נקבל 3x1+ x 30, או +1. קל לראות ש-x1 x הוא שטח הפתרון של אי-השוויון הזה יחד עם תנאי אי-השליליות הוא משולש תחום בקווים x1 = 0, x = 0 ו-3x1+ x =

11 X * X * איור. 8 איור. 9 בהתבסס על הדמויות הגיאומטריות, כעת קל לקבוע ש-uamax = ua(0.15) = 15, ubmax = ub(0.15) = 5 ו-udmax = ud(Q). הקואורדינטות של נקודת Q של הכוח של ההיפרבולה המפלסית של הצלע של משולש התקציב כבר חייבות להיות מחושבות באופן אנליטי. לשם כך, שים לב שהנקודה Q עומדת בשלוש משוואות: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x " = =. x1 X * איור

12 בביטול h מהמשוואות, נקבל את הקואורדינטות של הנקודה Q= (x, x) = (5;7.5). תשובה 1: Q= (x1, x) = (5;7.5). 9. דגם לא ליניאריעלויות ורווחים של החברה. תנו לפירמה לייצר ציוד רב תכליתי משני סוגים A ו-B בכמות x ויחידות ייצור בהתאמה. במקביל, ההכנסה של החברה לשנה באה לידי ביטוי בפונקציית ההכנסה Rx (,) = 4x+, ועלויות הייצור מבוטאות בפונקציית העלות 1 1 Cx (,) = 7.5+ x + 4 שבה החברה מקבלת הרווח המקסימלי. קבע את תוכנית הייצור (x, ) ב-3

13 פונקציית הרווח מורכבת כהפרש בין פונקציית ההכנסה לפונקציית העלות: 1 1 Π (x,) = R(x,) C(x,) = 4x+ 7.5 x. 4 לאחר ביצוע הטרנספורמציות, אנו מביאים את הביטוי האחרון לצורה 1 1 Π (x,) = 9 (x 8) (1). 4 קווי הרמה עבור פונקציית הרווח נראים כך (x 8) (1) = h. 4 כל קו מפלס 0 h 9 הוא אליפסה שמרכזה במקור. קל לראות מהביטוי המתקבל שהמקסימום של פונקציית הרווח שווה ל-9 והוא מושג ב-x= 8, = 1. תשובה: x = 8, = 1. 13BEתרגילים ושאלות מבחן.1. כתוב את המשוואה הרגילה למעגל. מצא את הקואורדינטות של המרכז ורדיוס המעגל: א) x + + 8x 6=0; ב) x x = 0... כתבו את משוואת המעגל העובר בנקודות M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3; 0)..3. הגדר אליפסה וכתוב את המשוואה הקנונית שלה. כתוב את המשוואה הקנונית של אליפסה אם 1 האקסצנטריות שלה שווה ל-ε =, והציר החצי-עיקרי שווה לחיבור משוואה של אליפסה שהמוקדים שלה ממוקמים על ציר הסמטריות באופן סימטרי על המקור, בידיעה, בנוסף, כי המרחק בין המוקדים שלו c = 4 לבין האקסצנטריות ε = תן קביעת האקסצנטריות של אליפסה. מצא את האקסצנטריות של אליפסה אם הציר הראשי שלה גדול פי ארבעה מהציר המיני שלה. 33

14.6. הגדר היפרבולה וכתוב את המשוואה הקנונית שלה. ישר נמשך דרך הנקודה M (0; 0.5) והקודקוד הימני של ההיפרבולה הניתנת על ידי המשוואה x = 1. מצא את הקואורדינטות של נקודת החיתוך השנייה של הישר וההיפרבולה הגדר את האקסצנטריות של ההיפרבולה. כתוב את המשוואה הקנונית שלו אם a = 1, b = 5. מהי האקסצנטריות של ההיפרבולה הזו?.8. כתוב את המשוואות לאסימפטוטות של ההיפרבולה הניתנת על ידי המשוואה הקנונית שלה. כתוב את משוואת ההיפרבולה 3 אם האסימפטוטים שלה ניתנים על ידי המשוואות =± x וההיפרבולה 5 עוברת דרך הנקודה M (10; 3 3)..9. הגדר פרבולה וכתוב את המשוואה הקנונית שלה. כתוב את המשוואה הקנונית של פרבולה אם ציר ה-x הוא ציר הסימטריה שלה, הקודקוד שלה נמצא במקור ואורך האקורד של הפרבולה בניצב לציר השור הוא 8, והמרחק של מיתר זה מהקודקוד הוא על הפרבולה = 1x מצא את הנקודה שרדיוס המוקד שלה הוא משפט והביקוש לטוב כלשהו ניתנים על ידי הפונקציות p = 4q 1, p = +. מצא את נקודת שיווי המשקל בשוק. 1 q צור גרפים..1. אנדריי, קטיה וניקולאי הולכים לקנות תפוזים ובננות. קנה X1 ק"ג תפוזים ו-X ק"ג בננות. לכל אחד מהשלושה יש פונקציית עזר משלו, המראה עד כמה הוא מחשיב את הרכישה שלו. פונקציות השירות הללו הן כדלקמן: u = x + x עבור אנדריי, 1 4 A 4 1 u K = x + x עבור Katya, ו-un = x1 x עבור ניקולאי. א) שרטט את קווי הרמה של פונקציית השירות עבור ערכי הרמה h=1, 3. ב) עבור כל אחד, סדר לפי סדר העדפה לקנות r = (4.1), s = (3.8), t = (1.1 ). 34

מודול גיאומטריה אנליטית. גיאומטריה אנליטית במישור ובחלל הרצאה 7 תקציר קווים מהסדר השני במישור: אליפסה, היפרבולה, פרבולה. הגדרה, מאפיינים כלליים.

הרצאה N15. עקומות מהסדר השני. 1. עיגול... 1. אליפסה... 1 3. היפרבולה.... 4. פרבולה.... 4 1. עיגול

8 עקומות מסדר שני 81 מעגל קבוצת הנקודות של מישור שנמצא במרחק שווה מנקודה אחת, הנקראת מרכז, במרחק הנקרא רדיוס, נקראת מעגל. תנו למרכז המעגל להיות

הרצאה 13 נושא: עקומות מסדר שני עקומות מסדר שני במישור: אליפסה, היפרבולה, פרבולה. גזירת משוואות עקומות מסדר שני על סמך תכונותיהן הגיאומטריות. מחקר של צורת אליפסה,

הרצאה קווים מההיפרבולה מסדר שני כדוגמה, אנו מוצאים משוואות שמגדירות מעגל, פרבולה, אליפסה ומעגל מעגל הוא קבוצת נקודות במישור הנמצא במרחק שווה מנתון

עקומות מסדר שני מעגל אליפסה היפרבולה פרבולה תן מערכת קואורדינטות קרטזית מלבנית על המישור. עקומה מסדר שני היא קבוצה של נקודות שהקואורדינטות שלהן עומדות בסיפוק

קו ישר ומישור במרחב אלגברה לינארית (הרצאה 11) 24.11.2012 2 / 37 קו ישר ומישור במרחב המרחק בין שתי נקודות M 1 (x 1, y 1, z 1) ו-M 2 (x 2, y 2 , z2)

משרד החינוך והמדע הפדרציה הרוסיתאוניברסיטת מדינת ירוסלב פ.ג. דמידובה המחלקה לאלגברה ועקומות לוגיקה מתמטית מהסדר השני חלק א' הנחיות

3. היפרבולה ותכונותיה הגדרה 3.. היפרבולה היא עקומה המוגדרת במערכת קואורדינטות קרטזית מלבנית כלשהי על ידי המשוואה 0. (3.) ושוויון (3.) נקראת המשוואה הקנונית

תרגול 1 נושא: מתאר היפרבולה 1 הגדרה ומשוואה קנונית של היפרבולה מאפיינים גיאומטרייםהיפרבולות מיקום הדדי של היפרבולה וקו ישר העובר דרך האסימפטוטים המרכזיים שלה

תקציר ההרצאה 13 אליפסה, היפרבולה ופרבולה 0. תכנית הרצאה אליפסה, היפרבולה ופרבולה. 1. אליפסה. 1.1. הגדרה של אליפסה; 1.2. הגדרת מערכת הקואורדינטות הקנונית; 1.3. גזירת משוואה

ELIPSE MODULUS HYPERBOLAS PARABOLAS שיעור מעשי נושא: תכנית אליפסה הגדרה ומשוואה קנונית של אליפסה תכונות גיאומטריות של אליפסה אקסצנטריות תלות של צורת אליפסה באקסצנטריות

משימה שניה 1. קו ישר במישור. 1. שני קווים ניתנים על ידי משוואות וקטוריות (, rn) = D ו- r= r + a, כאשר (an,) 0. מצא את וקטור הרדיוס של נקודת החיתוך של הישרים. 0 ט. נתונה נקודה M 0 עם וקטור רדיוס

עקומות מהסדר השני. הגדרה: קו העקומה) מהסדר השני הוא קבוצת הנקודות (M) של המישור, שהקואורדינטות הקרטזיות X, Y) שלהן עומדות במשוואה האלגברית של המעלה השנייה:,

קווים אלגבריים במטוס.

אליפסה ותכונותיה הגדרה.. אליפסה היא עקומה מסדר שני המוגדרת במערכת קואורדינטות קרטזית מלבנית כלשהי על ידי המשוואה b, b 0. (.) שוויון (.) נקרא קנוני

0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 הרצאה 9 אליפסה, היפרבולה ופרבולה 1. הגדרת המשוואה הקנונית של אליפסה

אלמנטים של גיאומטריה אנליטית עיסוק של המישור במרחב תלת מימד כתוב את המשוואה הווקטורית של המישור והסביר את משמעות הכמויות הכלולות במשוואה זו

שיעור 12 אליפסה, היפרבולה ופרבולה. משוואות קנוניות. אליפסה היא המיקום של נקודות M במישור שעבורן סכום המרחקים משתי נקודות קבועות F 1 ו- F 2, הנקראות

אלגברה לינארית משוואות של עקומות מסדר שני הגדרה מעגל מעגל הוא המיקום של נקודות במרחק שווה מנקודה אחת, המכונה מרכז המעגל, במרחק r

האוניברסיטה הפדרלית של אוראל, המכון למתמטיקה ומדעי המחשב, המחלקה לאלגברה ומתמטיקה בדידה הערות מבוא בהרצאה זו, אנו לומדים את עקומת הסדר השלישי של פרבולה.

הרצאה 9.30 פרק גיאומטריה אנליטית במישור מערכות קואורדינטות במישור מערכות קואורדינטות מלבניות וקוטביות מערכת קואורדינטות במישור היא שיטה המאפשרת לקבוע

משרד החינוך והמדע של הפדרציה הרוסית אוניברסיטת ירוסלב. P. G. Demidova המחלקה לאלגברה ולוגיקה מתמטית S. I. Yablokova עקומות מהסדר השני Part Practicum

נושא אלמנטים של גיאומטריה אנליטית במישור ובחלל הרצאה.. קווים ישרים במישור תכנית. שיטת קואורדינטות במישור.. קו ישר בקואורדינטות קרטזיות.. מצב של מקבילות וניצב

נושא אלגברה לינארית וגיאומטריה אנליטית: עקומות מהסדר השני מרצה Rozhkova S.V. 01 15. עקומות מסדר שני עקומות מסדר שני מחולקות ל- 1) מנוון ו) לא מנוון מנוון

הרצאה 11 1. חתכים קוניים 1.1. הַגדָרָה. שקול קטע של חרוט עגול ישר על ידי מישור מאונך לגנרטריקס של חרוט זה. בְּ ערכים שוניםזווית α בקודקוד בצירי

הרצאה 9 1. חתכים קוניים 1.1. הַגדָרָה. שקול קטע של חרוט עגול ישר על ידי מישור מאונך לגנרטריקס של חרוט זה. עבור ערכים שונים של הזווית α בקודקוד בציר

האוניברסיטה הפדרלית של אוראל, המכון למתמטיקה ומדעי המחשב, המחלקה לאלגברה ומתמטיקה בדידה הערות מבוא בהרצאה זו, אנו לומדים עקומה נוספת מסדר שני, ההיפרבולה.

תרגול 14 נושא: פרבולה מתווה 1. הגדרה ומשוואה קנונית של פרבולה תכונות גיאומטריות של פרבולה. המיקום היחסי של פרבולה וקו ישר העובר במרכזה. רָאשִׁי

A N A L I T I C E S K I A G E O M E T R I I עקומות מסדר שני SHIMANCHUK דמיטרי ויקטורוביץ' [מוגן באימייל]הפקולטה למתמטיקה שימושית של תהליכים באוניברסיטת סנט פטרבורג

מטריצות 1 נתונות מטריצות ומצא: א) A + B; ב) 2ב; ג) ב ט; ד) א.ב ט; ה) B T A פתרון א) לפי הגדרת סכום המטריצות ב) לפי הגדרת המכפלה של מטריצה ​​לפי מספר ג) לפי הגדרת מטריצה ​​שעברה טרנספוזיציה

אפשרות 1 1 מצא את השיפוע k של הקו הישר העובר דרך הנקודות M 1 (18) ו-M (1); כתוב את המשוואה של ישר בצורה פרמטרית חבר את משוואות הצלעות והחציונים של משולש עם קודקודים A ()

מִבְחָן. נתון מטריצות A, B ו-D. מצא את AB 9D אם: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 הכפל את המטריצות A 3 ו-B 3. יהיה C בגודל 3 3, המורכב מאלמנטים

פרק 9 עקומות במטוס. עקומות מהסדר השני 9. מושגי יסוד אומרים שלעקומה Γ במערכת הקואורדינטות המלבנית אוקסי יש את המשוואה F (,) \u003d 0 אם הנקודה M (x, y) שייכת לעקומה בכך

נושא אלגברה לינארית וגיאומטריה אנליטית: עקומות מהסדר השני מרצה Pakhomova E.G. 01 15. עקומות מסדר שני עקומות מסדר שני מחולקות ל- 1) מנוון ו) לא מנוון מנוון

האוניברסיטה הפדרלית של אוראל, המכון למתמטיקה ומדעי המחשב, המחלקה לאלגברה ומתמטיקה בדידה

פרק 1 עקומות ומשטחים מסדר שני בכל הקטעים מלבד 1.9, מערכת הקואורדינטות היא מלבנית. 1.1. שרטוט משוואות של עקומות מסדר שני ועיקולים אחרים 1. p) הוכיחו שהקבוצה

אוניברסיטת מוסקבה אוניברסיטה טכניתעל שם נ.ע. מחלקת "מדעי היסוד" בפקולטה באומן " דוגמנות במתמטיקה» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

פרק 5. גיאומטריה אנליטית 5.. משוואת קו במישור משוואה בצורת F(x, y) 0 נקראת משוואת ישר אם משוואה זו מתקיימת בקואורדינטות של כל נקודה השוכנת במישור נתון

Balakovo Institute of Engineering and Technology - סניף של המוסד החינוכי האוטונומי של המדינה הפדרלית השכלה גבוהה"האוניברסיטה הלאומית למחקר גרעיני "MEPhI"

קווים מהסדר השני יו. ל. קלינובסקי המחלקה למתמטיקה גבוהה אוניברסיטת "דובנה" תוכנית 2 3 4 5 6 7 קווים מהסדר השני: מוקד נקודות שהקואורדינטות הקרטזיות שלהן עומדות במשוואה

44. הגדרת היפרבולה. היפרבולה היא קבוצה של כל הנקודות במישור שהקואורדינטות שלהן במערכת קואורדינטות מתאימה עומדות במשוואה 2 2 y2 = 1, (1) b2 כאשר, b > 0. משוואה זו היא

נושא אלגברה לינארית וגיאומטריה אנליטית: עקומות מהסדר השני (המשך) מרצה Pakhomova E.G. 01 4. הגדרה כלליתאליפסה, היפרבולה ופרבולה DEFINITION. ישיר a m נקראים ישיר-

1 הרצאה 1.4. עקומות ומשטחים מהסדר השני תקציר: המשוואות הקנוניות של עקומות נגזרות מההגדרות: אליפסה, היפרבולה ופרבולה. ניתנות משוואות פרמטריות של אליפסה והיפרבולה.

משרד החינוך והמדע של הפדרציה הרוסית תקציב המדינה הפדרלית מוסד חינוכיגבוה יותר חינוך מקצועי"האוניברסיטה התעשייתית הממלכתית של סיביר"

עבודה מעשית שרטוט משוואות קווים ועיקולים מסדר שני מטרת העבודה: לגבש את היכולת לשרטט משוואות קווים ועיקולים מסדר שני תוכן העבודה. מושגי יסוד. B C 0 וקטור

משימות לעבודה מחוץ לשיעורים שהוחמצו תוכן עניינים נושא: מטריצות, פעולות עליהם. חישוב דטרמיננטים.... 2 נושא: מטריצה ​​הפוכה. פתרון מערכות משוואות באמצעות מטריצה ​​הפוכה. נוסחאות

גיאומטריה אנליטית 5.. קו על המטוס דרכים שונותהקצאת קו ישר במישור. משוואה כללית של קו ישר במישור. מיקום הקו ביחס למערכת הקואורדינטות. חוש גיאומטרי

אפשרות 11 1 הנקודה M() היא הבסיס של האנך שירד מהנקודה N(1-1) לישר l כתוב את משוואת הישר l; מצא את המרחק מנקודה N לישר l חבר משוואות של ישרים עוברים

49. משטחים גליליים וקוניים 1. משטחים גליליים הגדרה. יש לתת קו l ולווקטור a שאינו אפס במרחב. פני השטח שנוצרו על ידי קווים ישרים העוברים דרך שונים

גיאומטריה אנליטית גיאומטריה אנליטית במישור. פתרון גיאומטריה אנליטית לבעיות גיאומטריות בעזרת אלגברה, שעבורה משתמשים בשיטת הקואורדינטות. תחת מערכת הקואורדינטות במטוס

אפשרות 1 משימה 1. תן הגדרה גיאומטרית של אליפסה. בעיה 2. בעזרת כדורי דנדלין, הוכיחו שהאליפסה נוצרת כחתך חרוטי. בעיה 3. הוכח שקבוצת הנקודות P, מתוכם

Sekaeva L.R., Tyuleneva O.N. גיאומטריה אנליטית במישור Kazan 008 0 Kazan State University המחלקה למתמטיקה כללית Sekaeva LR, Tyuleneva ON. גיאומטריה אנליטית במישור

משרד החינוך והמדע של הפדרציה הרוסית אוניברסיטת קאזאן לארכיטקטורה והנדסה אזרחית המחלקה למתמטיקה גבוהה אלמנטים של וקטור ואלגברה לינארית. גיאומטריה אנליטית.

גיאומטריה אנליטית במישור משוואת הישר היא המושג החשוב ביותר של גיאומטריה אנליטית. y М(x, y) 0 x הגדרה. משוואת קו (עקומה) במישור האוקסי היא משוואה אליה

דוגמה לבעיות בסיסיות במטוסים שיטת גאוס מערכות מוגדרות של משוואות לינאריות פתרו מערכת משוואות ליניאריות באמצעות שיטה גאוסית x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 פתרו מערכת משוואות לינאריות באמצעות שיטת גאוס 6

אפשרות 16 1 ישר נמשך דרך הנקודות M 1 (3 4) ו-M (6) מצא את נקודות החיתוך של הישר הזה עם צירי הקואורדינטות חבר את משוואות צלעות המשולש שעבורן הנקודות A (1 ) ב (3 1) ג (0 4) הם

בחינה 3 אפשרות 1 כתוב משוואת ישר, מאונך ועובר דרך נקודת החיתוך של הישרים ו.. כתוב את משוואת הישר העובר בנקודות ומצא את המרחק מהנקודה

אלמנטים של גיאומטריה אנליטית במישור. קו ישר 1. חשב את היקף משולש שקודקודיו הם נקודות A(6; 7), B(3; 3), C(1; 5). 2. מצא נקודה במרחק שווה מנקודות A(7;

גיאומטריה אנליטית מודול 1 מטריצה ​​אלגברה וקטור אלגברה טקסט 5 ( מחקר עצמאי) ביאור מערכת קואורדינטות קרטזית במישור ובחלל נוסחאות למרחק

משרד החינוך של הפדרציה הרוסית אוניברסיטת רוסטוב הפקולטה למכניקה ומתמטיקה המחלקה לגיאומטריה Kazak V.V. סדנה בנושא גיאומטריה אנליטית לתלמידי הראשון

גיאוטריה אנליטית משוואה כללית של מישור. OPD מישור הוא משטח בעל התכונה שאם שתי נקודות של ישר שייכות למישור, אז כל נקודות הישר שייכות לנתון.

הרצאה 5 אלמנטים של גיאומטריה אנליטית. 1 1. משוואות פני שטח ומשוואות קו במרחב. המשמעות הגיאומטרית של המשוואות בגיאומטריה אנליטית, כל משטח נחשב כאוסף

פרק 1 קווים ומטוסים n R. 1.1. רווחי נקודות בעבר נחשב המרחב האריתמטי של מחרוזות. במתמטיקה ניתן לפרש קבוצה מסודרת של קואורדינטות לא רק

משימת מבחן בגיאומטריה אנליטית. סמסטר 2. אפשרות 1 1. מצא את משוואות המשיקים למעגל (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, במקביל לישר 5x 12y + 1 = 0. 2. כתוב את משוואת המשיק

משרד החינוך והמדע של הפדרציה הרוסית מוסד חינוכי אוטונומי של המדינה הפדרלית להשכלה מקצועית גבוהה קאזאן (אזור וולגה) האוניברסיטה הפדרלית

הפרשי סדר גבוה. כרטיס לבחינה. מטריצות, מושגי יסוד והגדרות.. כתבו את משוואת המעגל אם הנקודות A (;) ו-B (-; 6) הן הקצוות של אחד הקטרים.. ניתנים קודקודים

האוניברסיטה הטכנית הממלכתית של מוסקבה על שם N.E. באומן הפקולטה למדעי היסוד המחלקה למידול מתמטי А.Н. קנאטניקוב,

משטחים מהסדר השני. משטח במרחב תלת מימדי מתואר על ידי משוואה בצורה F(x; y; z) = 0 או z = f(x; y). החיתוך של שני משטחים מגדיר קו במרחב, כלומר. קו במרחב

שקול את הקווים המוגדרים על ידי משוואת המעלה השנייה ביחס לקואורדינטות הנוכחיות

המקדמים של המשוואה הם מספרים ממשיים, אך לפחות אחד מהם מספרים A,Bאו C שונה מ-0. קווים כאלה נקראים קווים (עקומות) מהסדר השני. להלן נראה שמשוואה (1) מגדירה מעגל אליפסה, היפרבולה או פרבולה במישור.

מעגל

העקומה הפשוטה ביותר מהסדר השני היא עיגול. נזכיר שמעגל ברדיוס R שמרכזו בנקודה M 0 הוא קבוצה של נקודות M של המישור המקיים את התנאי MM 0 =R. תן לנקודה M 0 במערכת Oxy קואורדינטות x 0 ,y 0, ו-M(x, y) תהיה נקודה שרירותית של המעגל. אז גם

-משוואה קנונית של מעגל . בהנחה של x 0 \u003d y 0 \u003d 0 נקבל x 2 + y 2 \u003d R 2

הבה נראה שניתן לכתוב את משוואת המעגל כמשוואה כללית מהמעלה השנייה (1). לשם כך, נריבוע את הצד הימני של משוואת המעגל ונקבל:

כדי שמשוואה זו תתאים ל-(1), יש צורך ש:

1) מקדם B=0,

2). ואז נקבל: (2)

המשוואה האחרונה נקראת המשוואה הכללית של מעגל . מחלקים את שני הצדדים של המשוואה ב-A ≠ 0 ומוסיפים את האיברים המכילים x ו-y לריבוע המלא, נקבל:

(2)

בהשוואה של משוואה זו עם המשוואה הקנונית של מעגל, אנו מוצאים שמשוואה (2) היא באמת משוואת מעגל אם:

1)A=C, 2)B=0, 3)D 2 +E 2 -4AF>0.

כאשר תנאים אלו מתקיימים, מרכז המעגל ממוקם בנקודה O, והרדיוס שלו .

אֶלִיפְּסָה

y

איקס

F 2 (c, o)

F1 (-c,o)

בהגדרה, 2 > 2c, כלומר > ג. כדי לגזור את משוואת האליפסה, נניח שהמוקדים F 1 ו-F 2 נמצאים על ציר השור, ו- t. O חופף לנקודת האמצע של הקטע F 1 F 2, ואז F 1 (-c, 0), F 2 (c,0).

תנו ל-M(x,y) להיות נקודה שרירותית של האליפסה, אז לפי הגדרת האליפסה, MF 1 +MF 2 =2, כלומר.

זוהי משוואת האליפסה. אתה יכול לשנות את זה לצורה פשוטה יותר כמו זה:

בוא נסייר את זה:

בריבוע

מאז , אז 2 -c 2 > 0 שמנו 2 -c 2 \u003d b 2

אז המשוואה האחרונה תקבל את הצורה:

היא משוואת אליפסה בצורתה הקנונית.

צורת האליפסה תלויה ביחס: ב-b= האליפסה הופכת למעגל. המשוואה תקבל את הצורה. היחס משמש לעתים קרובות כמאפיין של אליפסה. ערך זה נקרא האקסצנטריות של האליפסה, יתר על כן, 0< <1 так как 0

חקר צורת אליפסה.

1) משוואת האליפסה מכילה את x ו-y, רק במידה שווה, כך שהאליפסה סימטרית לגבי הצירים Ox ו-Oy, וכן בערך t.O (0,0), שנקרא מרכז האליפסה.

2) מצא את נקודות החיתוך של האליפסה עם צירי הקואורדינטות. על ידי הגדרת y=0 נמצא את A 1 ( ,0) ו-A 2 (- ,0) שבהם האליפסה חותכת את Ox. בהצבת x=0, נמצא B 1 (0,b) ו-B 2 (0,-b). נקודות A 1, A 2, B 1, B 2 נקראות קודקודי האליפסה. הקטעים A 1 A 2 ו- B 1 B 2 , כמו גם אורכם 2 ו- 2b, נקראים הצירים הגדולים והמשניים של האליפסה, בהתאמה. המספרים ו-b הם, בהתאמה, הצירים למחצה מז'וריים ומשניים.

A 1 ( ,0)

A2(- ,0)

B 2 (0,ב)

לכן, כל נקודות האליפסה נמצאות בתוך המלבן שנוצר על ידי הקווים x=± ,y=±b. (איור 2.)

4) במשוואה של אליפסה, סכום האיברים הלא שליליים שווה לאחד. לכן, כשאיבר אחד גדל, השני יקטן, כלומר אם |x| גדל, ואז |y| - יורד ולהיפך. מכל האמור עולה שלאליפסה יש את הצורה המוצגת באיור 2. (עקומה סגורה סגלגלה).

בקואורדינטות קרטזיות, משוואת המעלה הראשונה מגדירה ישר כלשהו.

קווים המוגדרים בקואורדינטות קרטזיות על ידי משוואה מדרגה ראשונה נקראים קווים מסדר ראשון. לכן, כל שורה היא שורה מהסדר הראשון.

משוואה כללית של קו ישר(כמשוואה כללית מהמעלה הראשונה) נקבעת על ידי משוואה בצורה:

אה + וו + מ = 0.

שקול את המשוואות הלא שלמות של הישר.

1. מ= 0. למשוואה של ישר יש את הצורה: אה + וו = 0; הקו עובר דרך המוצא.

2. בְּ = 0 (אבל¹ 0). המשוואה נראית כך אה + מ= 0 או איקס =א, איפה א= הקו עובר דרך הנקודה אבל(א; 0), הוא מקביל לציר OU. מספר א אה(איור 1).

אורז. אחד

אם א= 0, אז הקו חופף לציר OU. למשוואת ציר ה-Y יש את הצורה: איקס = 0.

3. אבל = 0 (בְּ¹ 0). המשוואה נראית כך: וו + מ= 0 או בְּ- = ב, איפה ב= . הקו עובר דרך הנקודה בְּ(0; ב), הוא מקביל לציר אה. מספר בהוא הערך של הקטע שחותך את הקו הישר על הציר OU(איור 2).

אורז. 2

אם b = 0, אז הקו הישר חופף לציר האבשיסה Ox. למשוואת ציר ה-X Ox יש את הצורה: y \u003d 0.

משוואת ישר בקטעים על ציריםנקבע על ידי המשוואה:

איפה המספרים או בהם ערכי הקטעים המנותקים על ידי קו ישר בצירי הקואורדינטות (איור 3).

(איקס 0 ;בְּ- 0)מאונך לוקטור הנורמלי = {א; ב), נקבע על ידי הנוסחה:

אבל(איקס – איקס 0) + בְּ(בְּ- – בְּ- 0) = 0.

משוואת הישר העובר דרך נקודה נתונה M(איקס 0 ; בְּ- 0) מקביל לוקטור הכיוון = {ל; M), יש את הצורה:

משוואת הישר העובר דרך שתי נקודות נתונות M 1 (איקס 1 ; בְּ- 1) ו M 2 (איקס 2 ; בְּ- 2) נקבע על ידי המשוואה:

שיפוע הקו הישר kנקרא הטנגנס של זווית הנטייה של הקו הישר לציר אה, אשר נמדד מהכיוון החיובי של הציר לקו הישר נגד כיוון השעון, ק= tanα.

משוואת ישר עם שיפוע kנראה כמו:

y = kx + ב,

איפה ק= tanα, ב- ערך הקטע המנותק על ידי קו ישר על הציר OU(איור 4).

משוואת הישר העובר דרך נקודה נתונה M(איקס 0 ;בְּ- 0)בכיוון הזה(מִדרוֹן קידוע), נקבע על ידי הנוסחה:

y - y 0 = ק(איקס –איקס 0).

משוואת עיפרון קווים העוברים דרך נקודה נתונה M(איקס 0 ;בְּ- 0) (מדרון קלא ידוע), נקבע על ידי הנוסחה:

y - y 0 = ק(איקס –איקס 0).

משוואת עיפרון של קווים העוברים דרך נקודת החיתוך של קווים

אבל 1 איקס + בְּ 1 בְּ- + מ 1 = 0 ו אבל 2 איקס + בְּ 2 בְּ- + מ 2 = 0, נקבע על ידי הנוסחה:

α( אבל 1 איקס + בְּ 1 בְּ- + מ 1) + β( אבל 2 איקס + בְּ 2 בְּ- + מ 2) = 0.

פינה j, נספר נגד כיוון השעון מקו ישר y = k 1 איקס + ב 1 עד ישר y = k 2 איקס + ב 2 נקבע על ידי הנוסחה (איור 5):

עבור קווים שניתנו על ידי משוואות כלליות אבל 1 איקס + בְּ 1 בְּ- + מ 1 = 0 ו אבל 2 איקס + בְּ 2 בְּ- + מ 2 = 0, הזווית בין שני קווים ישרים נקבעת על ידי הנוסחה:

לתנאי המקבילות לשני קווים יש את הצורה: ק 1 = ק 2 או .

לתנאי הניצב של שני קווים יש את הצורה: או אבל 1 אבל 2 + בְּ 1 בְּ 2 = 0.

למשוואה הרגילה של ישר יש את הצורה:

איקס cos + y sinα- ע = 0,

איפה p-אורך האנך שירד מהמקור לישר, α הוא זווית הנטייה של האנך לכיוון החיובי של הציר אה(איור 6).

לתת את המשוואה הכללית של קו ישר אה + וו + מ= 0 לצורה רגילה, אתה צריך להכפיל את כל האיברים שלו ב גורם מנרמל μ= , נלקח עם הסימן ההפוך למונח החופשי מ.

מרחק מנקודה M(איקס 0 ;בְּ- 0)ישר אה + וו + מ= 0 נקבע על ידי הנוסחה:

משוואות חצאי זוויות בין ישרים A 1 איקס + בְּ 1 בְּ- + מ 1 = 0 ו אבל 2 איקס + בְּ 2 בְּ- + מ 2 = 0 יש את הצורה:

דוגמה 4. בהינתן קודקודים של משולש א ב ג: אבל (–5; –7), בְּ (7; 2), מ(–6; 8). מצא: 1) אורך צד א.ב; 2) משוואות צד א.בו ACומדרונותיהם; 3) פינה פנימית בְּ; 4) משוואה חציונית AE; 5) משוואה ואורך גובה CD; 6) משוואת חצויה AK; 7) משוואת ישר העובר דרך נקודה המקביל לצד א.ב; 8) קואורדינטות נקודות Mממוקם באופן סימטרי לנקודה אבלישר יחסית CD.

1. מרחק דבין שתי נקודות אבל(איקס 1 ; בְּ- 1) ו בְּ(איקס 2 ; בְּ- 2) נקבע על ידי הנוסחה:

מצא את אורך הצד א.בכמרחק בין שתי נקודות אבל(-7; -8) ו בְּ(8; –3):

2. משוואת ישר העובר בנקודות אבל(איקס 1 ; בְּ- 1) ו בְּ(איקס 2 ;y 2) יש את הצורה:

החלפת קואורדינטות נקודות אבלו בְּ, נקבל את משוואת הצד א.ב:

3(איקס+ 5) = 4(בְּ-+ 7); 3איקס– 4בְּ-– 13 = 0 (א.ב).

כדי למצוא את המדרון k ABישר ( א.ב) אנו פותרים את המשוואה המתקבלת ביחס ל בְּ-:

4y= 3איקס– 13;

היא המשוואה של ישר ( א.ב) עם מקדם זוויתי,

באופן דומה, החלפת הקואורדינטות של הנקודות בְּו מ, נקבל את משוואת הישר ( שמש):

6איקס– 42 = –13בְּ-+ 26; 6x + 13y– 68 = 0 (לִפנֵי הַסְפִירָה).

בוא נפתור את המשוואה של ישר ( שמש)יחסית בְּ-: .

3. המשיק של הזווית j בין שני ישרים שהשיפועים שלהם שווים ק 1 ו ק 2 נקבע על ידי הנוסחה:

פינה פנימית בְּנוצר על ידי קווים ישרים ( א.ב) ו ( שמש), וזו הזווית החדה שדרכה יש לסובב את הקו הישר שמשבכיוון החיובי (נגד כיוון השעון) עד שהוא חופף לקו ישר ( א.ב). לכן, אנו מחליפים לתוך הנוסחה ק 1 = , ק 2 = :

Ð בְּ= arctan = arctan 1.575 » 57.59°.

4. כדי למצוא את המשוואה החציונית ( AE), אנו קובעים תחילה את הקואורדינטות של הנקודה ה,שהיא נקודת האמצע של הצד שמש.לשם כך, אנו מיישמים את הנוסחאות לחלוקת קטע לשני חלקים שווים:

מכאן הנקודה היש קואורדינטות: ה(0,5; 5).

החלפת קואורדינטות הנקודות במשוואה של ישר העובר בשתי נקודות אבלו ה, נמצא את המשוואה החציונית ( AE):

24איקס – 11בְּ- + 43 = 0 (AE).

5. כי גובה CDמאונך לצד א.ב, ואז הקו הישר ( א.ב)מאונך לקו ( CD). כדי למצוא את שיפוע הגובה CD,אנו משתמשים בתנאי הניצב של שני קווים:

משוואת הישר העובר דרך נקודה נתונה M(איקס 0 ; בְּ- 0) בכיוון נתון (שיפוע קידוע), נראה כך:

y 0 = ק (x-x 0).

החלפת הקואורדינטות של הנקודה במשוואה האחרונה מ(–6; 8) ו- נקבל את משוואת הגובה CD:

בְּ- – 8 = (איקס -(–6)), 3בְּ- – 24 = – 4איקס– 24, 4איקס + 3בְּ- = 0 (CD).

מרחק מנקודה M(איקס 0 ; בְּ- 0) לישר Axe + By + C = 0 נקבע על ידי הנוסחה:

אורך גובה CDלמצוא כמרחק מהנקודה מ(–6; 8) לקו ישר ( א.ב): 3איקס – 4בְּ-– 13. החלפת הערכים הדרושים לנוסחה, נמצא את האורך CD:

6. משוואות חצויים של זוויות בין ישרים Axe + By + C= 0 ו
אבל 1 x+B 1 y + ג 1 = 0 נקבעים על ידי הנוסחה:

משוואת ביסקטור AKאנו מוצאים כאחת מהמשוואות של חצוי הזוויות בין הישרים ( א.ב) ו ( AC).

בוא נכתוב את משוואת הישר ( AC) כמשוואה של ישר העובר בשתי נקודות אבל(-5; -7) ו מ (–6; 8):

בואו נשנה את המשוואה האחרונה:

15(איקס+ 5) = – (בְּ-+ 7); 15x + y + 82 = 0 (כפי ש).

החלפת המקדמים מהמשוואות הכלליות של קווים ( א.ב) ו ( AC), נקבל את משוואות חצאי הזווית:

בואו נשנה את המשוואה האחרונה:

; (3איקס – 4בְּ-– 13) = ± 5 (15 x + y + 82);

3 איקס - 4 בְּ-– 13 = ± (75 איקס +5בְּ- + 410).

שקול שני מקרים:

1) 3 איקס - 4 בְּ- – 13 = 75איקס +5בְּ-+ 410.y l AB.

משולש א ב ג,גוֹבַה CD, חציון AE, חצויה AK, ישר לונקודה Mמובנה במערכת הקואורדינטות אוהו(איור 7).