מטריצה ​​הפוכה עבור נתון היא מטריצה ​​כזו, הכפלה של המקורית לפיה נותן מטריצת זהות: תנאי חובה ומספיק לנוכחות מטריצה ​​הפוכה הוא אי השוויון של הקובע של המקורית (ש בתורו מרמז שהמטריקס חייבת להיות מרובעת). אם הקובע של מטריצה ​​שווה לאפס, אז זה נקרא מנוון ולמטריקס כזה אין הפוך. במתמטיקה גבוהה יותר, מטריצות הפוכות חשובות ומשמשות לפתרון מספר בעיות. למשל, על מציאת המטריצה ​​ההפוכהבנוי שיטת מטריצהפתרונות של מערכות משוואות. אתר השירות שלנו מאפשר לחשב מטריצה ​​הפוך באינטרנטשתי שיטות: שיטת גאוס-ירדן ושימוש במטריצת התוספות האלגבריות. הראשון מרמז על מספר רב של טרנספורמציות יסודיות בתוך המטריצה, השני - חישוב התוספות הקובעות והאלגבריות לכל האלמנטים. כדי לחשב את הקובע של מטריצה ​​באינטרנט, אתה יכול להשתמש בשירות אחר שלנו - חישוב הקובע של מטריצה ​​באינטרנט

.

מצא את המטריצה ​​ההפוכה באתר

אתר אינטרנטמאפשר לך למצוא מטריצה ​​הפוכה באינטרנטמהיר ובחינם. באתר מתבצעים חישובים על ידי השירות שלנו ומוצגת תוצאה עם פתרון מפורט למציאת מטריצה ​​הפוכה. השרת תמיד נותן רק את התשובה המדויקת והנכונה. במשימות בהגדרה מטריצה ​​הפוכה באינטרנט, יש צורך כי הקובע מטריצותהיה שונה מאפס, אחרת אתר אינטרנטידווח על חוסר האפשרות למצוא את המטריצה ​​ההפוכה בשל העובדה שהדטרמיננטה של ​​המטריצה ​​המקורית שווה לאפס. מציאת משימה מטריצה ​​הפוכהנמצא בענפים רבים של המתמטיקה, בהיותו אחד המושגים הבסיסיים ביותר באלגברה וכלי מתמטי בבעיות יישומיות. עצמאי הגדרת מטריצה ​​הפוכהדורש מאמץ לא מבוטל, זמן רב, חישובים וזהירות רבה על מנת לא לבצע החלקה או טעות קטנה בחישובים. לכן השירות שלנו מציאת המטריצה ​​ההפוכה באינטרנטיקל מאוד על המשימה שלך ויהפוך לכלי הכרחי לפתרון בעיות מתמטיות. גם אם אתה למצוא מטריצה ​​הפוכהבעצמך, אנו ממליצים לבדוק את הפתרון שלך בשרת שלנו. הזן את המטריצה ​​המקורית שלך ב-Ccalculate Inverse Matrix Online ובדוק את התשובה שלך. המערכת שלנו אף פעם לא טועה ומוצאת מטריצה ​​הפוכהמימד נתון במצב באינטרנטבאופן מיידי! באתר אתר אינטרנטמותר להזין תווים באלמנטים מטריצות, במקרה הזה מטריצה ​​הפוכה באינטרנטיוצג בצורה סמלית כללית.

ל מטריצה ​​הפוכה יש אנלוגיה הולמת להדדיות של מספר. על כל מספר א, שאינו שווה לאפס, קיים מספר בכי העבודה או בשווה לאחד: אב= 1 . מספר בנקרא הגומלין של מספר ב. לדוגמה, עבור המספר 7, ההיפוך הוא המספר 1/7, שכן 7*1/7=1.

מטריצה ​​הפוכה , שנדרש למצוא עבור מטריצה ​​מרובעת נתונה א, מטריצה ​​כזו נקראת

המוצר שלפיו המטריצות אבצד ימין נמצאת מטריצת הזהות, כלומר,
. (1)

מטריצת זהות היא מטריצה ​​אלכסונית שבה כל הערכים האלכסוניים שווים לאחד.

מציאת המטריצה ​​ההפוכה- בעיה שנפתרת לרוב בשתי שיטות:

• שיטת התוספות האלגבריות, שבה נדרש למצוא דטרמיננטים ולהמיר מטריצות;
• שיטת האלימינציה של גאוס, הדורשת טרנספורמציות יסודיות של מטריצות (הוספת שורות, הכפלת שורות באותו מספר וכו').

למי שסקרן במיוחד, ישנן שיטות נוספות, למשל שיטת הטרנספורמציות ליניאריות. בשיעור זה ננתח את שלוש השיטות שהוזכרו ואת האלגוריתמים למציאת המטריצה ​​ההפוכה בשיטות אלו.

מִשׁפָּט.עבור כל מטריצה ​​ריבועית לא יחידה (לא יחיד, לא יחיד), אפשר למצוא מטריצה ​​הפוכה, ויותר מכך, רק אחת. עבור מטריצה ​​מרובעת מיוחדת (מנוונת, יחידה), המטריצה ​​ההפוכה אינה קיימת.

המטריצה ​​הריבועית נקראת לא מיוחד(אוֹ לא מנוון, לא יחיד) אם הקובע שלו אינו שווה לאפס, ו מיוחד(אוֹ דֵגֵנֵרָט, יָחִיד) אם הקובע שלו הוא אפס.

ניתן למצוא את המטריצה ​​ההפוכה רק עבור מטריצה ​​מרובעת. באופן טבעי, גם המטריצה ​​ההפוכה תהיה מרובעת ובאותו סדר כמו המטריצה ​​הנתונה. מטריצה ​​שעבורה ניתן למצוא מטריצה ​​הפוכה נקראת מטריצה ​​הפיכה.

מציאת המטריצה ​​ההפוכה על ידי חיסול גאוס של אלמונים

הצעד הראשון למציאת המטריצה ​​ההפוכה על ידי חיסול גאוס הוא להקצות למטריצה אמטריצת זהות מאותו סדר, המפרידה ביניהם עם פס אנכי. אנחנו מקבלים מטריצה ​​כפולה. תכפיל את שני החלקים של המטריצה ​​הזו ב-, ואז נקבל

,

אלגוריתם למציאת המטריצה ​​ההפוכה על ידי חיסול גאוס של אלמונים

1. אל המטריצה אלהקצות מטריצת זהות באותו סדר.

2. הפוך את המטריצה ​​הכפולה המתקבלת כך שמטריצת הזהות תתקבל בחלק השמאלי שלה, ואז המטריצה ​​ההפוכה תתקבל אוטומטית בחלק הימני במקום מטריצת הזהות. מַטרִיצָה אבצד שמאל מומר למטריצת הזהות על ידי טרנספורמציות יסודיות של המטריצה.

2. אם בתהליך של טרנספורמציה מטריצה אלתוך מטריצת הזהות בכל שורה או בכל עמודה יהיו רק אפסים, ואז הקובע של המטריצה ​​שווה לאפס, ולכן המטריצה איהיה מנוון, ואין לו מטריצה ​​הפוכה. במקרה זה, ממצא נוסף של המטריצה ​​ההפוכה נעצר.

דוגמה 2למטריצה

מצא את המטריצה ​​ההפוכה.

ונהפוך אותו כך שמטריצת הזהות תתקבל בצד שמאל. בואו נתחיל בשינוי.

מכפילים את השורה הראשונה של המטריצה ​​השמאלית והימנית ב- (-3) ומוסיפים אותה לשורה השנייה, ואז נכפיל את השורה הראשונה ב- (-4) ונוסיף אותה לשורה השלישית, ואז נקבל

.

כדי שאם אפשר, לא יהיו מספרים שברים במהלך טרנספורמציות עוקבות, ניצור תחילה יחידה בשורה השנייה בצד שמאל של המטריצה ​​הכפולה. כדי לעשות זאת, נכפיל את השורה השנייה ב-2 ונחסיר ממנה את השורה השלישית, ואז נקבל

.

בואו נוסיף את השורה הראשונה לשורה השנייה, ולאחר מכן נכפיל את השורה השנייה ב-(-9) ונוסיף אותה לשורה השלישית. ואז אנחנו מקבלים

.

לאחר מכן חלקו את השורה השלישית ב-8

.

הכפילו את השורה השלישית ב-2 והוסיפו אותה לשורה השנייה. מתברר:

.

החלפת המקומות של השורה השנייה והשלישית, ואז סוף סוף נקבל:

.

אנו רואים שמטריצת הזהות מתקבלת בצד שמאל, לכן המטריצה ​​ההפוכה מתקבלת בצד ימין. לכן:

.

אתה יכול לבדוק את נכונות החישובים על ידי הכפלת המטריצה ​​המקורית במטריצה ​​ההפוכה שנמצאה:

התוצאה צריכה להיות מטריצה ​​הפוכה.

מחשבון מקוון למציאת המטריצה ​​ההפוכה .

דוגמה 3למטריצה

מצא את המטריצה ​​ההפוכה.

פִּתָרוֹן. הידור מטריצה ​​כפולה

ואנחנו נשנה אותו.

נכפיל את השורה הראשונה ב-3, ואת השנייה ב-2, ונחסיר מהשנייה, ואז נכפיל את השורה הראשונה ב-5, ואת השלישית ב-2 ונחסיר מהשורה השלישית, ואז נקבל

.

נכפיל את השורה הראשונה ב-2 ונוסיף אותה לשניה, ואז נחסר את השנייה מהשורה השלישית, ואז נקבל

.

אנו רואים כי בשורה השלישית בצד שמאל, כל האלמנטים התבררו כשווים לאפס. לכן, המטריצה ​​מנוונת ואין לה מטריצה ​​הפוכה. אנחנו מפסיקים למצוא עוד את המריה ההפוכה.

אתה יכול לבדוק את הפתרון עם

שיטת גאוס-ירדן. כיצד למצוא את המטריצה ​​ההפוכה
באמצעות טרנספורמציות יסודיות?

פעם מתמטיקאי גרמני וילהלם ג'ורדן (אנחנו מתמללים לא נכון מגרמניתירדן בתור ירדן)ישב להחליט מערכת אחרתמשוואות. הוא אהב לעשות את זה ושיפר את כישוריו בזמנו הפנוי. אבל אז הגיע הרגע שבו הוא השתעמם מכל שיטות הפתרון ו שיטת גאוסלְרַבּוֹת...

נניח שניתנה לנו מערכת עם שלוש משוואות, שלושה לא ידועים, והמטריצה ​​המוגדלת שלה כתובה. במקרה הנפוץ ביותר מתקבלים שלבים סטנדרטיים וכך בכל יום.... אחד ואחד - כמו גשם חסר סיכוי של נובמבר.

לזמן מה הוא מפיג מלנכוליה דרך נוספתהבאת המטריצה ​​לצורה מדורגת: יתר על כן, היא שווה ערך לחלוטין ועלולה להיות לא נוחה רק בגלל תפיסה סובייקטיבית. אבל הכל במוקדם או במאוחר נהיה משעמם.... ואז חשבתי O rdan - למה בכלל להתעסק עם המהלך ההפוך של האלגוריתם של גאוס? האם לא קל יותר לקבל מיד את התשובה בעזרת טרנספורמציות אלמנטריות נוספות?

... כן, זה קורה רק מאהבה =)

כדי לשלוט בשיעור הזה, "בובות" יצטרכו ללכת בדרך של F O rdana ושאיבה טרנספורמציות יסודיות ברמה ממוצעת לפחות, לאחר שפתרו לפחות 15-20 משימות מתאימות. לכן, אם אתה מבין במעורפל על מה השיחה ו/או יש לך אי הבנה של משהו במהלך השיעור, אז אני ממליץ לך להכיר את הנושא בסדר הבא:

ובכן, זה בהחלט נפלא אם זה הסתדר הורדת הסדר של הקובע.

כפי שכולם הבינו, שיטת גאוס-ירדן היא שינוי שיטת גאוסועם יישום הרעיון המרכזי שכבר הושמע לעיל, ניפגש במסכים הבאים. בנוסף, בין הדוגמאות הבודדות של מאמר זה כללו את היישום החשוב ביותר - מציאת היפוך של מטריצה ​​באמצעות טרנספורמציות יסודיות.

בלי להכביר מילים:

דוגמה 1

פתרו את המערכת בשיטת גאוס-ירדן

פִּתָרוֹן: זו המשימה הראשונה של השיעור שיטת גאוס עבור בובות, שבו הפכנו את המטריצה ​​המורחבת של המערכת 5 פעמים והבאנו אותה לצורה מדורגת:

עכשיו במקום לַהֲפוֹךטרנספורמציות אלמנטריות נוספות נכנסות לתמונה. ראשית עלינו לקבל אפסים במקומות הבאים: ,
ואז עוד אפס כאן: .

המקרה האידיאלי מנקודת מבט של פשטות:

(6) לשורה השנייה נוספה שורה שלישית. שורה שלישית נוספה לשורה הראשונה.

(7) השורה השנייה נוספה לשורה הראשונה, כפולה ב-2.

אני לא יכול להתאפק ולהמחיש את המערכת הסופית:

תשובה:

אני מזהיר את הקוראים מפני מצב הרוח הקפריזי - זו הייתה דוגמה ההפגנה הפשוטה ביותר. לשיטת גאוס-ירדן יש טריקים ספציפיים משלה ולא החישובים הנוחים ביותר, אז נא להתכונן לעבודה רצינית.

אני לא רוצה להיראות קטגורי או בררן, אבל ברוב המוחלט של מקורות המידע שראיתי, בעיות טיפוסיות נחשבות בצורה גרועה ביותר - אתה צריך להיות בעל שבעה טווחים במצח ולהשקיע הרבה זמן / עצבים על נושא כבד. פתרון מגושם עם שברים. במהלך שנות התרגול, הצלחתי ללטש, לא אגיד את זה הכי טוב, אלא טכניקה רציונלית ודי קלה שעומדת לרשות כל מי שבבעלותו פעולות אריתמטיות:

דוגמה 2

פתרו מערכת של משוואות ליניאריות בשיטת גאוס-ירדן.

פִּתָרוֹן: החלק הראשון של המשימה ידוע היטב:

(1) השורה הראשונה נוספה לשורה השנייה, כפולה ב-1. לשורה השלישית נוספה השורה הראשונה כפול 3. השורה הראשונה כפולה ב-5 נוספה לשורה הרביעית.

(2) השורה השנייה חולקה ב-2, השורה השלישית חולקה ב-11, השורה הרביעית חולקה ב-3.

(3) השורה השנייה והשלישית פרופורציונלית, השורה השלישית נמחקה. השורה השנייה נוספה לשורה הרביעית, כפולה ב-7

(4) השורה השלישית חולקה ב-2.

ברור שלמערכת יש אינסוף פתרונות, והמשימה שלנו היא להביא את המטריצה ​​המוגדלת שלה לצורה .

איך להמשיך? קודם כל, יש לציין שאיבדנו טרנספורמציה אלמנטרית טעימה - תמורה של מיתרים. ליתר דיוק, אפשר לסדר אותם מחדש, אבל זה לא הגיוני (אנחנו פשוט נבצע פעולות מיותרות). ואז מומלץ לדבוק בדפוס הבא:

אנחנו מוצאים כפולה משותפת מינימאליתמספרים בעמודה השלישית (1, -1 ו-3), כלומר. - המספר הקטן ביותר שניתן לחלק ללא שארית ב-1, וב-1 וב-3. במקרה זה, זה, כמובן, "שלוש". עַכשָׁיו בעמודה השלישית אנחנו צריכים לקבל את אותם מספרי מודולו, ושיקולים אלה קובעים את הטרנספורמציה החמישית של המטריצה:

(5) הכפלו את השורה הראשונה ב-3, הכפילו את השורה השנייה ב-3. באופן כללי, ניתן להכפיל את השורה הראשונה ב-3, אבל זה יהיה פחות נוח לשלב הבא. אתה מתרגל לדברים טובים מהר:

(6) לשורה השנייה נוספה שורה שלישית. שורה שלישית נוספה לשורה הראשונה.

(7) יש שני ערכים שאינם אפס בעמודה השנייה (24 ו-6) ושוב אנחנו צריכים לקבל מספרים של אותו מודולו. במקרה זה, הכל יצא די טוב - הכפולה הקטנה ביותר היא 24, והכי יעיל להכפיל את השורה השנייה ב-4.

(8) השורה השנייה נוספה לשורה הראשונה.

(9) מגע סיום: השורה הראשונה מחולקת ב-3, השורה השנייה מחולקת ב-24 והשורה השלישית מחולקת ב-3. פעולה זו מתבצעת בבקשה האחרונה! ללא שברים מוקדמים!

כתוצאה מתמורות יסודיות, התקבלה מערכת מקורית שווה ערך:

אנו מבטאים באופן יסודי את המשתנים הבסיסיים במונחים של המשתנים החופשיים:

ולכתוב:

תשובה: החלטה משותפת:

בדוגמאות כאלה, השימוש באלגוריתם הנחשב מוצדק לרוב, שכן המהלך ההפוך שיטת גאוסבדרך כלל דורש חישובים גוזלים זמן ולא נעימים עם שברים.

וכמובן רצוי מאוד בדיקה המתבצעת לפי הסכימה הרגילה הנדונה בשיעור. מערכות ומערכות לא תואמות עם פתרון משותף.

לפתרון עצמאי:

דוגמה 3

מצא את הפתרון הבסיסי באמצעות טרנספורמציות יסודיות

ניסוח זה של הבעיה כולל שימוש בשיטת גאוס-ירדן, ובפתרון לדוגמה המטריצה ​​מצטמצמת לצורה הסטנדרטית עם משתנים בסיסיים. עם זאת, תמיד זכור זאת ניתן לבחור משתנים אחרים כמשתני בסיס. אז, למשל, אם יש מספרים מסורבלים בעמודה הראשונה, אז זה די מקובל להביא את המטריצה ​​לטופס (משתנים בסיסיים), או לטופס (משתנים בסיסיים), או אפילו לטופס עם משתנים בסיסיים. יש אפשרויות אחרות.

אבל בכל זאת, אלו מקרים קיצוניים - לא צריך לזעזע שוב את המורים עם הידע שלך, טכניקת הפתרון, ועוד יותר מכך, אסור למסור תוצאות ירדניות אקזוטיות כמו . עם זאת, יכול להיות קשה להימנע מבסיס לא-טיפוס כאשר למטריצה ​​המקורית, למשל, בעמודה הרביעית, יש שני אפסים מוכנים.

הערה : למונח "בסיס" יש משמעות אלגברית והמושג בסיס גיאומטריאין פה כלום!

אם זוג תלוי ליניארישורות, אז אתה צריך לנסות להביא אותו לצורה הרגילה עם משתנים בסיסיים. דוגמה לפתרון כזה נמצאת בדוגמה מס' 7 למאמר בנושא מערכות הומוגניות של משוואות ליניאריות, ויש נבחר בסיס אחר.

אנו ממשיכים לשפר את הכישורים שלנו במשימה היישומית הבאה:

איך למצוא את היפוך של מטריצה ​​בשיטת גאוס?

בדרך כלל התנאי מנוסח בצורה מקוצרת, אבל, בעצם, האלגוריתם של גאוס-ירדן פועל גם כאן. דרך קלה יותר למצוא מטריצה ​​הפוכהעבור מטריצה ​​מרובעת, שקלנו לפני זמן רב בשיעור המקביל, ובסוף הסתיו הקשה, תלמידים משובחים שולטים בדרך המופת לפתרון.

סיכוםהשלבים הבאים הם כדלקמן: תחילה כתוב את המטריצה ​​הריבועית במקביל למטריצת הזהות: . לאחר מכן, באמצעות טרנספורמציות יסודיות, יש צורך להשיג את מטריצת הזהות משמאל, בעוד (בלי להיכנס לפרטים תיאורטיים)המטריצה ​​ההפוכה מצוירת בצד ימין. באופן סכמטי, הפתרון נראה כך:

(ברור שהמטריקס ההפוכה חייבת להתקיים)

הדגמה 4

בואו נמצא את המטריצה ​​ההפוכה עבור המטריצה ​​באמצעות טרנספורמציות יסודיות. לשם כך, אנו כותבים את זה ברתמה אחת עם מטריצת זהות, ו"שני הסוסים" מיהרו:

(1) השורה הראשונה נוספה לשורה השנייה, כפולה ב-3.

(2) לשורה הראשונה נוספה שורה שנייה.

(3) השורה השנייה חולקה ב-2.

תשובה:

בדוק את התשובה עבור הדוגמה הראשונה של השיעור. איך למצוא את המטריצה ​​ההפוכה?

אבל זו הייתה עוד בעיה מפתה - למעשה, הפתרון הרבה יותר ארוך וקפדני. בדרך כלל, תוצג בפניך מטריצה ​​של שלוש על שלוש:

דוגמה 5

פִּתָרוֹן: אנו מצמידים את מטריצת הזהות ומתחילים לבצע טרנספורמציות, תוך הקפדה על האלגוריתם ה"נורמלי" שיטת גאוס:

(1) השורה הראשונה והשלישית הוחלפו. במבט ראשון, התמורה של שורות נראית לא חוקית, אבל למעשה אתה יכול לסדר אותן מחדש - אחרי הכל, לפי הסכום משמאל, אנחנו צריכים לקבל מטריצת זהות, ומצד ימין, "בכוח" אנחנו מקבלים בדיוק את מַטרִיצָה (לא משנה אם נסדר מחדש את הקווים במהלך הפתרון או לא). שימו לב שכאן, במקום תמורה, תוכלו לסדר "שישיות" בעמודה הראשונה (כפולה משותפת קטנה (LCM) של המספרים 3, 2 ו-1). פתרון LCM נוח במיוחד כאשר אין "יחידות" בעמודה הראשונה.

(2) לשורות ה-2 וה-3 נוספה השורה ה-1, כפולה ב-2 וב-3, בהתאמה.

(3) לשורה השלישית נוספה השורה השנייה, כפולה ב-1

החלק השני של הפתרון מתבצע על פי הסכימה שכבר ידועה מהפסקה הקודמת: תמורות שורות הופכות לחסרות משמעות, ואנו מוצאים את הכפולה הפחות משותפת של המספרים בעמודה השלישית (1, -5, 4): 20. ישנו אלגוריתם קפדני למציאת ה-LCM, אבל בדרך כלל מספיקה כאן בחירה. זה בסדר אם אתה לוקח מספר גדול יותר שמתחלק גם ב-1 וגם ב-5 וגם ב-4, למשל, המספר 40. ההבדל יהיה בחישובים מסורבלים יותר.

אם כבר מדברים על חישובים. כדי לפתור את הבעיה, זה בכלל לא בושה להתחמש במיקרו-מחשבון - המספרים המופיעים כאן הם ניכרים, ויהיה מאכזב מאוד לטעות בחישוב.

(4) נכפיל את השורה השלישית ב-5, את השורה השנייה ב-4, את השורה הראשונה ב"מינוס עשרים":

(5) לשורות ה-1 וה-2 נוספה שורה שלישית.

(6) השורה הראשונה והשלישית חולקו ב-5, השורה השנייה הוכפלה ב-1.

(7) הכפולה הפחות משותפת של מספרים שאינם אפס בעמודה השנייה (–20 ו-44) היא 220. נכפיל את השורה הראשונה ב-11, את השורה השנייה ב-5.

(8) לשורה הראשונה נוספה שורה שנייה.

(9) השורה הראשונה הוכפלה ב-1, השורה השנייה חולקה "לאחור" ב-5.

(10) עכשיו על האלכסון הראשי של המטריצה ​​השמאלית, כדאי להשיג הכפולה המשותפת הפחותה של המספרים באלכסון (44, 44 ו-4). די ברור שהמספר הזה הוא 44. נכפיל את השורה השלישית ב-11.

(11) חלקו כל שורה ב-44. פעולה זו מבוצעת אחרונה!

אז המטריצה ​​ההפוכה היא:

הכנסה והסרה של ה-th, באופן עקרוני, הן פעולות מיותרות, אך הדבר נדרש על פי פרוטוקול רישום המשימות.

תשובה:

האימות מתבצע על פי הסכימה הרגילה הנדונה בשיעור אודות מטריצה ​​הפוכה.

מתקדמים יכולים לקצר מעט את הפתרון, אבל אני חייב להזהיר אותך, למהר לכאן כרוך בסיכון מוגבר לטעות.

משימה דומה לפתרון עצמאי:

דוגמה 6

מצא את המטריצה ​​ההפוכה בשיטת גאוס-ירדן.

דוגמה למשימה בתחתית העמוד. וכדי ש"לא תעברו עם שירים", עיצבתי את הפתרון בסגנון שכבר הוזכר - אך ורק דרך LCM של עמודות ללא תמורה אחת של שורות וטרנספורמציות מלאכותיות נוספות. לדעתי, תוכנית זו היא, אם לא הכי, אז אחת האמינות ביותר.

לפעמים נוח פתרון "מודרניסטי" קצר יותר, שהוא כדלקמן: בשלב הראשון הכל כרגיל: .

בשלב השני, בטכניקה מסולסלת (דרך LCM של המספרים של העמודה השנייה), שני אפסים מאורגנים בבת אחת בעמודה השנייה: . קשה במיוחד להתנגד לפעולה זו אם המספרים של אותו מודולו מצוירים בעמודה השנייה, למשל, אותן "יחידות" בנאליות.

ולבסוף, בשלב השלישי, אנו מקבלים את האפסים הדרושים בעמודה השלישית באותו אופן: .

באשר למימד, ברוב המקרים יש צורך לפתור את מטריצת "שלוש על שלוש". עם זאת, מעת לעת יש גרסה קלה של הבעיה עם מטריצה ​​שתיים על שתיים וקשה ... - במיוחד לכל קוראי האתר:

דוגמה 7

מצא מטריצה ​​הפוכה באמצעות טרנספורמציות יסודיות

זו מטלה ממבחן אלגברה משלי ב-Fizmatov, ... אה, איפה הקורס הראשון שלי =) לפני חמש עשרה שנה (העלה באופן מפתיע עדיין לא הצהיב), סיימתי ב-8 שלבים, ועכשיו - רק 6! המטריצה, אגב, מאוד יצירתית - כבר בשלב הראשון נראים כמה פתרונות מפתים. הגרסה האחרונה שלי נמצאת בתחתית העמוד.

והטיפ האחרון - אחרי דוגמאות כאלה, התעמלות לעיניים וקצת מוזיקה טובה להרפיה מועילות מאוד =)

אני מאחל לך הצלחה!

פתרונות ותשובות:

דוגמה 3: פִּתָרוֹן: אנו כותבים את המטריצה ​​המורחבת של המערכת, ובאמצעות טרנספורמציות יסודיות, נקבל את הפתרון הבסיסי:


(1) השורה הראשונה והשנייה הוחלפו.
(2) השורה הראשונה נוספה לשורה השנייה, כפולה ב-2. השורה הראשונה נוספה לשורה השלישית, כפול 5.
(3) השורה השלישית מחולקת ב-3.
(4) השורה השנייה כפולה ב-2 נוספה לשורה השלישית.
(5) השורה השלישית חולקה ב-7.
(6) הכפולה הקטנה של המספרים בעמודה השלישית (-3, 5, 1) היא 15. השורה הראשונה הוכפלה ב-5, השורה השנייה הוכפלה ב-3, השורה השלישית הוכפלה ב-15.
(7) השורה השלישית נוספה לשורה הראשונה. השורה השלישית נוספה לשורה השנייה.
(8) השורה הראשונה חולקה ב-5, השורה השנייה חולקה ב-3, השורה השלישית חולקה ב-15.
(9) הכפולה הקטנה של מספרים שאינם אפס של העמודה השנייה (–2 ו-1) שווה ל: 2. השורה השנייה הוכפלה ב-2
(10) השורה השנייה נוספה לשורה הראשונה.
(11) השורה השנייה חולקה ב-2.
בואו נבטא את המשתנים הבסיסיים במונחים של משתנים חופשיים:

תשובה : החלטה משותפת:

דוגמה 6: פִּתָרוֹן: אנו מוצאים את המטריצה ​​ההפוכה באמצעות טרנספורמציות יסודיות:


(1) השורה הראשונה הוכפלה ב-15, השורה השנייה הוכפלה ב-3, השורה השלישית הוכפלה ב-5.
(2) השורה הראשונה נוספה לשורות ה-2 וה-3.
(3) השורה הראשונה חולקה ב-15, השורה השנייה חולקה ב-3, השורה השלישית חולקה ב-5.
(4) השורה השנייה הוכפלה ב-7, השורה השלישית הוכפלה ב-9.
(5) לשורה השלישית נוספה שורה שנייה.


(6) השורה השנייה חולקה ב-7.
(7) השורה הראשונה הוכפלה ב-27, השורה השנייה הוכפלה ב-6, השורה השלישית הוכפלה ב-4.
(8) בשורה הראשונה והשנייה נוספה שורה שלישית.
(9) השורה השלישית חולקה ב-4. השורה השנייה נוספה לשורה הראשונה, כפולה ב-1.
(10) השורה השנייה חולקה ב-2.
(11) כל שורה חולקה ב-27.
כתוצאה:
תשובה :

דוגמה 7: פִּתָרוֹן: מצא את המטריצה ​​ההפוכה בשיטת גאוס-ירדן:
(1) השורה ה-3 נוספה לשורות ה-1 וה-4.
(2) השורה הראשונה והרביעית הוחלפו.
(3) השורה הראשונה נוספה לשורה השנייה. לשורה השלישית הוסיפו את השורה הראשונה, כפול 2:


(4) השורה השנייה נוספה לשורה השלישית, כפולה ב-2. השורה ה-2 נוספה לקו ה-4.
(5) השורה הרביעית כפולה ב-1 נוספה לשורה הראשונה והשלישית.
(6) השורה השנייה הוכפלה ב-1, השורה השלישית חולקה ב-2.
תשובה :

בדרך כלל, פעולות הפוכות משמשות כדי לפשט ביטויים אלגבריים מורכבים. לדוגמה, אם הבעיה מכילה את פעולת החלוקה בשבר, ניתן להחליף אותה בפעולת הכפלה בהדדית, שהיא הפעולה ההפוכה. יתר על כן, לא ניתן לחלק מטריצות, אז אתה צריך להכפיל במטריצה ​​ההפוכה. חישוב היפוך של מטריצה ​​3x3 הוא די מייגע, אבל אתה צריך להיות מסוגל לעשות זאת באופן ידני. אתה יכול גם למצוא את ההדדיות עם מחשבון גרפי טוב.

שלבים

באמצעות המטריצה ​​המצורפת

העבר את המטריצה ​​המקורית.טרנספוזיציה היא החלפה של שורות בעמודות ביחס לאלכסון הראשי של המטריצה, כלומר, אתה צריך להחליף את האלמנטים (i, j) ו-(j, i). במקרה זה, האלמנטים של האלכסון הראשי (מתחיל בפינה השמאלית העליונה ומסתיימים בפינה הימנית התחתונה) אינם משתנים.

• כדי להחליף שורות לעמודות, כתוב את הרכיבים של השורה הראשונה בעמודה הראשונה, את האלמנטים של השורה השנייה בעמודה השנייה ואת האלמנטים של השורה השלישית בעמודה השלישית. סדר שינוי המיקום של האלמנטים מוצג באיור, שבו האלמנטים המתאימים מוקפים בעיגולים צבעוניים.

מצא את ההגדרה של כל מטריצה ​​2x2.כל רכיב של כל מטריצה, כולל זו שעברה טרנספוזיה, משויך למטריצה ​​מתאימה של 2x2. כדי למצוא מטריצה ​​2x2 המתאימה לאלמנט מסוים, חוצים את השורה והעמודה שבהן נמצא אלמנט זה, כלומר, עליך לחצות חמישה אלמנטים של המטריצה ​​המקורית של 3x3. ארבעה אלמנטים שהם רכיבים של המטריצה ​​2x2 המתאימה יישארו ללא חוצה.

• לדוגמה, כדי למצוא את המטריצה ​​2x2 עבור האלמנט שנמצא במפגש בין השורה השנייה והעמודה הראשונה, חוצים את חמשת האלמנטים שנמצאים בשורה השנייה ובעמודה הראשונה. ארבעת האלמנטים הנותרים הם אלמנטים של מטריצת 2x2 המתאימה.
• מצא את הקובע של כל מטריצה ​​2x2. לשם כך, יש להחסיר את מכפלת האלמנטים של האלכסון המשני ממכפלת האלמנטים של האלכסון הראשי (ראה איור).
• מידע מפורט על מטריצות 2x2 התואמות לרכיבים מסוימים של מטריצה ​​3x3 ניתן למצוא באינטרנט.

צור מטריצה ​​של גורמים משותפים.רשום את התוצאות שהושגו קודם לכן בצורה של מטריצה ​​חדשה של גורמים משותפים. לשם כך, כתוב את הקובע שנמצא של כל מטריצת 2x2 היכן שהרכיב המתאים של המטריצה ​​3x3 נמצא. לדוגמה, אם נחשבת מטריצה ​​2x2 עבור האלמנט (1,1), רשום את הקובע שלו במיקום (1,1). לאחר מכן שנה את הסימנים של האלמנטים המתאימים לפי דפוס מסוים, שמוצג באיור.

• ערכת שינוי סימן: הסימן של האלמנט הראשון של השורה הראשונה אינו משתנה; הסימן של האלמנט השני של השורה הראשונה הפוך; הסימן של האלמנט השלישי של השורה הראשונה אינו משתנה, וכך הלאה שורה אחר שורה. שימו לב שהסימנים "+" ו-"-", המוצגים בתרשים (ראה איור), אינם מציינים שהאלמנט המתאים יהיה חיובי או שלילי. במקרה זה, הסימן "+" מציין שהסימן של האלמנט אינו משתנה, והסימן "-" מציין שהסימן של האלמנט השתנה.
• מידע מפורט על מטריצות קופקטור ניתן למצוא באינטרנט.
• כך תמצאו את המטריצה ​​המשויכת למטריצה ​​המקורית. לפעמים זה נקרא המטריצה ​​המצומדת המורכבת. מטריצה ​​כזו מסומנת כ-adj(M).

חלקו כל רכיב של המטריצה ​​הצמודה בדטרמיננט.הקובע של המטריצה ​​M חושב כבר בהתחלה כדי לבדוק אם המטריצה ​​ההפוכה קיימת. כעת חלקו כל רכיב של המטריצה ​​הצמודה בקביעה זו. רשום את התוצאה של כל פעולת חלוקה שבה נמצא האלמנט המתאים. אז תמצא את המטריצה, היפוך של המקור.

• הקובע של המטריצה ​​המוצגת באיור הוא 1. לפיכך, כאן המטריצה ​​הקשורה היא המטריצה ​​ההפוכה (מכיוון שחלוקת כל מספר ב-1 לא משנה אותה).
• במקורות מסוימים, פעולת החלוקה מוחלפת בפעולת הכפל ב-1/det(M). במקרה זה, התוצאה הסופית לא משתנה.

רשום את המטריצה ​​ההפוכה.כתבו את האלמנטים הממוקמים בחצי הימני של המטריצה ​​הגדולה כמטריצה ​​נפרדת, שהיא מטריצה ​​הפוכה.

שימוש במחשבון

בחרו מחשבון שעובד עם מטריצות.מחשבונים פשוטים אינם יכולים למצוא את המטריצה ​​ההפוכה, אך ניתן לעשות זאת עם מחשבון גרפי טוב כגון Texas Instruments TI-83 או TI-86.

הזינו את המטריצה ​​המקורית לזיכרון המחשבון.כדי לעשות זאת, לחץ על כפתור מטריקס, אם זמין. עבור מחשבון Texas Instruments, ייתכן שיהיה עליך ללחוץ על הלחצנים השניים והמטריקס.

בחר בתפריט עריכה.עשה זאת באמצעות לחצני החצים או כפתור הפונקציה המתאים הממוקם בחלק העליון של המקלדת של המחשבון (מיקום הכפתור תלוי בדגם המחשבון).

הזן את ייעוד המטריצה.רוב מחשבוני הגרפים יכולים לעבוד עם 3-10 מטריצות, אותן ניתן לסמן אותיות א-י. ככלל, פשוט בחר [A] כדי לציין את המטריצה ​​המקורית. לאחר מכן לחץ על הלחצן Enter.

הזן את גודל המטריצה.מאמר זה מדבר על מטריצות 3x3. אבל מחשבונים גרפיים יכולים לעבוד עם מטריצות גדולות. הזן את מספר השורות, לחץ על כפתור Enter, ולאחר מכן הזן את מספר העמודות ולחץ על כפתור Enter שוב.

הזן כל רכיב של המטריצה.מטריצה ​​תוצג על מסך המחשבון. אם כבר הוזנה מטריצה ​​למחשבון בעבר, היא תופיע על המסך. הסמן ידגיש את האלמנט הראשון של המטריצה. הזן את הערך של האלמנט הראשון והקש Enter. הסמן יעבור אוטומטית לרכיב הבא של המטריצה.

המטריצה ​​$A^(-1)$ נקראת ההיפוך של המטריצה ​​הריבועית $A$ אם $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, כאשר $E $ היא מטריצת הזהות, שסדרה שווה לסדר המטריצה ​​$A$.

מטריצה ​​לא יחידה היא מטריצה ​​שהקביעה שלה לא שווה לאפס. בהתאם לכך, מטריצה ​​מנוונת היא כזו שהקביעה שלה שווה לאפס.

המטריצה ​​ההפוכה $A^(-1)$ קיימת אם ורק אם המטריצה ​​$A$ אינה יחידה. אם המטריצה ​​ההפוכה $A^(-1)$ קיימת, אזי היא ייחודית.

ישנן מספר דרכים למצוא את היפוך של מטריצה, ונסתכל על שתיים מהן. עמוד זה ידון בשיטת המטריצה ​​הצמודה, הנחשבת לסטנדרטית ברוב קורסי המתמטיקה הגבוהים. הדרך השנייה למצוא את המטריצה ​​ההפוכה (שיטת טרנספורמציות יסודיות), הכוללת שימוש בשיטת גאוס או שיטת גאוס-ירדן, נשקלת בחלק השני.

שיטת מטריצה ​​צמודה (איחוד).

תן את המטריצה ​​$A_(n\times n)$. על מנת למצוא את המטריצה ​​ההפוכה $A^(-1)$, נדרשים שלושה שלבים:

1. מצא את הקובע של המטריצה ​​$A$ וודא ש$\Delta A\neq 0$, כלומר. שהמטריקס A אינה מנוונת.
2. חבר משלימים אלגבריים $A_(ij)$ של כל רכיב של המטריצה ​​$A$ ורשום את המטריצה ​​$A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ מהמצאה משלים אלגבריים.
3. כתוב את המטריצה ​​ההפוכה תוך התחשבות בנוסחה $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

המטריצה ​​$(A^(*))^T$ מכונה לעתים קרובות המטריצה ​​המשותפת (הדדית, בעלת ברית) של $A$.

אם ההחלטה מתקבלת באופן ידני, אזי השיטה הראשונה טובה רק למטריצות של סדרים קטנים יחסית: שני (), שלישי (), רביעי (). כדי למצוא את המטריצה ​​ההפוכה עבור מטריצה ​​מסדר גבוה יותר, נעשה שימוש בשיטות אחרות. למשל, שיטת גאוס, עליה נדון בחלק השני.

דוגמה מס' 1

מצא מטריצה ​​הפוכה למטריצה ​​$A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(מערך) \right)$.

מכיוון שכל האלמנטים של העמודה הרביעית שווים לאפס, אז $\Delta A=0$ (כלומר המטריצה ​​$A$ מנוונת). מכיוון ש-$\Delta A=0$, אין מטריצה ​​הפוכה ל-$A$.

תשובה: מטריצה ​​$A^(-1)$ לא קיימת.

דוגמה מס' 2

מצא את המטריצה ​​הפוכה למטריצה ​​$A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$. הפעל בדיקה.

אנו משתמשים בשיטת המטריצה ​​הצמודה. ראשית, בואו נמצא את הקובע של המטריצה ​​הנתונה $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

מאז $\Delta A \neq 0$, אז המטריצה ​​ההפוכה קיימת, אז אנחנו ממשיכים בפתרון. מציאת משלים אלגבריים

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligned)

חבר מטריצה ​​של משלים אלגבריים: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

הפוך את המטריצה ​​שהתקבלה: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (המתקבל המטריצה ​​נקראת לעתים קרובות המטריצה ​​הצמודה או האיחוד למטריצה ​​$A$). באמצעות הנוסחה $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, יש לנו:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

אז המטריצה ​​ההפוכה נמצאת: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \right) $. כדי לבדוק את אמיתות התוצאה, מספיק לבדוק את אמיתות אחד מהשוויון: $A^(-1)\cdot A=E$ או $A\cdot A^(-1)=E$. בואו נבדוק את השוויון $A^(-1)\cdot A=E$. כדי לעבוד פחות עם שברים, נחליף את המטריצה ​​$A^(-1)$ לא בצורה $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ אבל בתור $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ end(array )\right)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( array)\right)\cdot\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(array) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) )\right) =E $$

תשובה: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

דוגמה מס' 3

מצא את היפוך של המטריצה ​​$A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$. הרץ בדיקה.

נתחיל בחישוב הקובע של המטריצה ​​$A$. אז, הקובע של המטריצה ​​$A$ הוא:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

מאז $\Delta A\neq 0$, אז המטריצה ​​ההפוכה קיימת, אז אנחנו ממשיכים בפתרון. אנו מוצאים את ההשלמות האלגבריות של כל אלמנט של המטריצה ​​הנתונה:

$$ \begin(aligned) & A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(array)(cc) 9 & 4\\ 3 & 2\end(array)\right| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 &4 \\ 0 & 2\end(array)\right|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 & 9\\ 0 & 3\end(array)\right|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 3 & 2\end(array)\right|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ 0 & 2\end(array)\right|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ 0 & 3\end(array)\right|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 9 & 4\end(array)\right|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ -4 & 4\end(array)\right|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ -4 & 9\end(array)\right|=37. \end(מיושר) $$

אנו מרכיבים מטריצה ​​של תוספות אלגבריות ומעבירים אותה:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) . $$

באמצעות הנוסחה $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, נקבל:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(מערך) \right) $$

אז $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. כדי לבדוק את אמיתות התוצאה, מספיק לבדוק את אמיתות אחד מהשוויון: $A^(-1)\cdot A=E$ או $A\cdot A^(-1)=E$. בואו נבדוק את השוויון $A\cdot A^(-1)=E$. כדי לעבוד פחות עם שברים, נחליף את המטריצה ​​$A^(-1)$ לא בצורה $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, אבל בתור $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(array)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(array) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(array) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end (מערך) \right) =\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(array) \right) =E $$

הבדיקה עברה בהצלחה, המטריצה ​​ההפוכה $A^(-1)$ נמצאה כהלכה.

תשובה: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

דוגמה מס' 4

מצא מטריצה ​​הפוך של $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(מערך) \right)$.

עבור מטריצה ​​מהסדר הרביעי, מציאת המטריצה ​​ההפוכה באמצעות תוספות אלגבריות היא מעט קשה. עם זאת, דוגמאות כאלה עבודת בקרהלִפְגוֹשׁ.

כדי למצוא את המטריצה ​​ההפוכה, ראשית עליך לחשב את הקובע של המטריצה ​​$A$. הדרך הטובה ביותר לעשות זאת במצב זה היא להרחיב את הקובע בשורה (עמודה). אנו בוחרים כל שורה או עמודה ומוצאים את ההשלמה האלגברית של כל רכיב בשורה או בעמודה שנבחרו.

לדוגמה, עבור השורה הראשונה נקבל:

$$ A_(11)=\left|\begin(array)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(array)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(array)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(array)\right|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(array)\right|=-112. $$

הקובע של המטריצה ​​$A$ מחושב על ידי הנוסחה הבאה:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14) )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(aligned) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(מיושר) $$

מטריצת משלים אלגברית: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 & -250 & -463 & -96\end(מערך)\right)$.

מטריצה ​​מצורפת: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(array)\right)$.

מטריצה ​​הפוכה:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(מערך) \right) $$

בדיקה, אם תרצה, יכולה להיעשות באותו אופן כמו בדוגמאות הקודמות.

תשובה: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(מערך) \right) $.

בחלק השני תיבחן דרך נוספת למציאת המטריצה ​​ההפוכה, הכוללת שימוש בטרנספורמציות של שיטת גאוס או שיטת גאוס-ירדן.