סוגי מודלים גיאומטריים ותכונותיהם. סוגי מודלים גיאומטריים, תכונותיהם, פרמטריזציה של מודלים. הסוגים העיקריים של מודלים גיאומטריים

דגם גיאומטרי-
רעיון של סימנים חיצוניים
חפץ אמיתי.
מחשב גיאומטרי
דגם - נוף
מודל מידע עם
משתמש במחשב
תרשימים.

מודל גיאומטרי מחולק ל:

o
o
o
עיצוב מסגרת - גיאומטרי
הדגם בנוי מסט מוגבל
פרימיטיבים גרפיים (מקטעים, קשתות,
עקומות חרוטיות).
משטחים - דוגמנות
סעפות מהסדר השני (ספירות,
צילינדרים, קונוסים וכו').
גופים נפחיים - האובייקט העיקרי
הסימולציה היא תלת מימדית
גוף עשיר.

סוגים ומאפיינים של דגמים

o
קווים יכולים לתאר מאפיינים גיאומטריים בודדים של אובייקטים, לייצג
תכונות אופייניות של חפצים. הם יכולים להיות מרחביים ודו מימדיים. עיקולים
קווים משמשים כחומר בניין ליצירת משטחים ומוצקים.
o
משטחים, כמו קווים, הם הפשטות מתמטיות שנותנות
רעיון של המאפיינים האישיים של חפצים, ומשמשים כחומר בניין
ליצור גופים.
o
קבוצה של משטחים שמתחברים לאורך הגבולות נקראת מעטפת. ל
דוגמנות, יש צורך לתאר את סט המשטחים המפרידים בין הנפח הפנימי
חפץ משאר החלל.
o
למידול גיאומטרי של עצמים התופסים נפח סופי, ב
מתמטיקה משתמשת בעצמים הנקראים גופים נוקשים או פשוט גופים. בְּ
דוגמנות של גופים, בנויים משטחים המפרידים בין החלק שהם תופסים
שטח משאר החלל.

מודלים דו מימדיים

רסטר
וֶקטוֹר
תלת ממד
פרקטל

דגם רסטר

יתרונות
פגמים
קלות הדיגיטציה (סריקה או מספר קבוע של
צילום עם אפשרי
פיקסלים ברסטר.
סריקה שלאחר מכן
הדפס (שקופית)).
האפשרות דלילה מאוד
התאמות תמונה
הַפרָעָה
קלות הליך ההמרה
חוסר מבנה פנימי
מודל פיקסלים לתמונה עם המבנה המתאים
להציג או להדפיס
חפצים מתוארים
זיכרון גדול וארוך
זמן עיבוד

דפוס וקטור

יתרונות
פגמים
כמות קטנה יחסית של שטח תפוס
זיכרון
הכללה במודל הווקטורי
סוגים מרובים של חפצים מקשים על זה
לימוד המבנה שלו
תמונה וקטורית יכולה להיות
בנוי בצורה שרירותית
רמת הפירוט
בניית מודל וקטורי
תמונה מייצגת
משימה קשה
אוטומציה
אובייקטים של מודל וקטור
תמונות בקלות
משתנים, הם
קנה המידה אינו כרוך
ללא עיוות תמונה, ללא אובדן
מידע ויזואלי
מודל תמונה וקטורית לא
נותן למשתמש את הכלים,
מתאים למסורתי
טכניקת ציור
במודל הווקטור, טקסט,
נראה כקטגוריה נפרדת
חפצים

תהליך האבולוציה
תוכניות וקטוריות
טבלאות הכי מהר
נכנסים ישר פנימה
כיוון כלפי מעלה
רֵיאָלִיזם
תמונות וקטוריות,
וחפצים חדשים
מודל וקטורי
(מילוי רשת, צללים,
מִדרוֹן
שקיפות) ב
במידה רבה
לְהַרְחִיב
וקטור אפשרויות ציוריות

מודלים לייצוג מידע על עצמים תלת מימדיים

מצולע
(רֶשֶׁת)
ווקסל
פוּנקצִיוֹנָלִי

מודלים מצולעים (רשת).

מודלים מצולעים (רשת).

יתרונות
פגמים
מתאים לא לתמונה, אלא לצורה
חפצים ונושא יותר
מידע עליהם מאשר כל דגם
גרפיקה דו מימדית
אלגוריתמים להדמיה וביצוע
פעולות טופולוגיות (לדוגמה,
בניית קטעים) מורכבים למדי
מאפשר לפתור אוטומטית בעת בניית מודלים מורכבים את המספר
המשימה של בניית אשליה של פרספקטיבה, הקצוות גדלים עם מדהים
צללים והדגשות בתנאי תאורה שונים במהירות, מה שלא רק עושה
דגם הרשת אינו קומפקטי מדי,
אבל גם דורש קולוסאלי
כוח מחשוב
הדגם מאפשר
לבנות במינימום עבודה
תמונה של הסצינה המדומה ב
כל זווית
קירוב פנים שטוחים
מוביל לטעות משמעותית
במיוחד כאשר מדגמים מורכבים
משטחים
להיות וקטור בטבע,
שומרת על רבים מהיתרונות של
תמונת דגם וקטור
דרישות מוגברות למשתמש,
מרמז שיש לו מפותח
דמיון מרחבי

דגם ווקסל

דגם ווקסל

דגם VOXEL
יתרונות
פגמים
הזדמנות לייצג
פנים האובייקט, לא רק
שכבה חיצונית
הרבה מידע,
נדרש להצגה
נתונים נפחיים
הליך מיפוי פשוט
סצנות תלת מימדיות
עלות זיכרון משמעותית
רזולוציה מגבילה
יכולת, דיוק דוגמנות
ביצוע פשוט של טופולוגי
פעולות (לדוגמה, להראות
קטע של גוף מרחבי,
מספיק ווקסלים לעשות
שָׁקוּף)
בעיות בהגדלה או
הפחתת תמונה; למשל, עם
הרזולוציה מחמירה
יכולת תמונה

מודלים פונקציונליים

יתרונות של מודלים פונקציונליים

הליך חישוב קל
קואורדינטות של כל נקודה;
נפח קטן
מידע עבור
תיאורים של צורות מורכבות;
הזדמנות לבנות
מבוסס משטח
נתונים סקלרים ללא
מקדים
שִׁיטַת מְשׁוּלָשׁ.
מגדל שוכוב - דוגמה לשימוש
היפרבולואיד של מהפכה

פרמטריזציה גיאומטרית נקראת
מידול פרמטרי, שבו
גיאומטריה של כל אובייקט פרמטרי
מחושב מחדש בהתאם לתפקיד
אובייקטי אב, הפרמטרים שלו ו
משתנים.

פרמטריזציה גיאומטרית

o
o
מומלץ לשנות אחד או יותר
פרמטרים ולראות איך זה יתנהג מתי
זה כל הדגם.
קונסטרוקטור, במקרה של פרמטרי
עיצוב, יוצר מודל מתמטי
אובייקטים עם פרמטרים, משנים אילו
שינויים בתצורת חלק,
תנועות הדדיות של חלקים במכלול וכו'.

פעולות גיאומטריות על דגמים

מעל גופים, כמו גם מעל גיאומטרים אחרים
אובייקטים, אתה יכול לבצע פעולות -
קבוצה של פעולות על אחד או יותר
גופים מקוריים, מה שמוביל ללידה
גוף חדש. אחת הפעולות העיקריות עבור
שני גופים הם פעולות בוליאניות.
o פעולות בוליאניות נקראות פעולות
איחוד, חיתוך וחיסור של גופים, כך
כיצד הם מבצעים את אותן פעולות על
נפחים פנימיים של גופים (על סטים
נקודות החלל הממוקמות בתוך הגופים).

פעולת האיגוד

o התוצאה של פעולת שילוב שני גופים היא הגוף,
המכיל את הנקודות השייכות לפנימיות
הנפח של הגוף הראשון וגם של הגוף השני.
o מהות הפעולה: אתה צריך למצוא את קווי ההצטלבות של הפנים של הגופים,
להסיר את החלק הזה של הגוף הראשון שנכנס לתוך השני
הגוף והחלק הזה של הגוף השני שנכנס לתוך הראשון
גוף, ומכל השאר לבנות גוף חדש.
שני גופים מקוריים
איחוד גופים

פעולת צומת

o התוצאה של פעולת ההצטלבות של שני גופים היא הגוף,
המכיל נקודות השייכות לנפח הפנימי
גם הגוף הראשון וגם השני.
o מהות הפעולה של צומת הגופים: אתה צריך למצוא קווים
צומת הגופים, מחק את החלק של הגוף הראשון שאינו
נכנס לתוך השני, והחלק הזה של הגוף השני, שהוא לא
נכנס לתוך הראשון, ומכל השאר לבנות אחד חדש
גוּף.
שני גופים מקוריים
מפגש של גופים

פעולת חיסור

o התוצאה של פעולת חיסור שני גופים היא גוף ש
מכיל נקודות ששייכות לנפח הפנימי של הראשון, אבל לא
השייך לנפח הפנימי של הגוף השני.
o המהות של פעולת חיסור הגופים: אתה צריך למצוא את קווי החיתוך של הגופים,
להסיר את החלק הזה של הגוף הראשון שנכנס לתוך השני, ואת החלק הזה
גוף שני, שלא נכנס לראשון, אלא מכל השאר
לבנות גוף חדש. תוצאת הניתוח תלויה באיזה גוף
מְחוּסָר.
שני גופים מקוריים
הבדל בגוף

מודלים גיאומטריים מסווגים לנושא, חישובי וקוגניטיבי. בין הדגמים הגיאומטריים ניתן להבחין במודלים שטוחים ותלת מימדים. מודלים של אובייקטים קשורים קשר הדוק לתצפית חזותית. המידע המתקבל ממודלים של אובייקטים כולל מידע על צורתו וגודלו של האובייקט, על מיקומו ביחס לאחרים. שרטוטים של מכונות, מכשירים טכניים וחלקיהם מבוצעים בהתאם למספר סמלים, כללים מיוחדים וקנה מידה מסוים. ציורים יכולים להיות הרכבה, השקפה כללית, הרכבה, טבלה, כללי, תצוגות חיצוניות, תפעוליות וכו'. שרטוטים נבדלים גם לפי תעשיות: בניית מכונות, ייצור מכשירים, בנייה, כרייה וגיאולוגיה, טופוגרפיה וכו'. ציורים של פני כדור הארץ נקראים מפות. רישומים נבדלים על ידי שיטת התמונות: ציור אורתוגונלי, אקסונומטריה, פרספקטיבה, הקרנות עם סימנים מספריים, הקרנות אפיניות, הקרנות סטריוגרפיות, קינפספקטיבה וכו'. מודלים של אובייקטים כוללים שרטוטים, מפות, צילומים, פריסות, תמונות טלוויזיה וכו'. מודלים של אובייקטים קשורים קשר הדוק לתצפית חזותית. בין הדגמים הגיאומטריים הנושאים ניתן להבחין במודלים שטוחים ונפחיים. דגמי חפצים שונים באופן משמעותי בדרך הביצוע: רישומים, רישומים, ציורים, צילומים, סרטים, צילומי רנטגן, פריסות, דגמים, פסלים וכו'. בהתאם לשלב התכנון, השרטוטים מחולקים לשרטוטי הצעה טכנית, טיוטה ועיצובים טכניים, שרטוטי עבודה. רישומים מובחנים גם למקורים, מקוריים והעתקים.

קונסטרוקציות גרפיות יכולות לשמש לקבלת פתרונות מספריים של בעיות שונות. מבחינה גרפית, ניתן לבצע פעולות אלגבריות (חיבור, חיסור, כפל, חלק), להבדיל, לשלב ולפתור משוואות. בעת חישוב ביטויים אלגבריים, מספרים מיוצגים על ידי מקטעים מכוונים. כדי למצוא את ההפרש או סכום המספרים, הקטעים התואמים להם משורטטים על קו ישר. הכפל והחילוק מתבצעים על ידי בניית מקטעים פרופורציונליים, המנותקים בצידי הזווית בקווים מקבילים ישרים. השילוב של פעולות כפל וחיבור מאפשר לחשב סכומי מוצרים וממוצע משוקלל. אקספוננציה גרפית מורכבת מחזרה רצופה של הכפל. הפתרון הגרפי של המשוואות הוא ערך האבססיס של נקודת החיתוך של העקומות. מבחינה גרפית, ניתן לחשב אינטגרל מוגדר, לבנות גרף של הנגזרת, כלומר. להבדיל ולשלב, ולפתור משוואות. יש להבחין בין מודלים גיאומטריים לחישובים גרפיים מנומוגרמות ומודלים גיאומטריים חישוביים (RGMs). חישובים גרפיים דורשים רצף של קונסטרוקציות בכל פעם. נומוגרמות ו-RGMs הן תמונות גיאומטריות של תלות פונקציונלית ואינן דורשות קונסטרוקציות חדשות כדי למצוא את הערכים המספריים. נומוגרמות ו-RGMs משמשות לחישובים ולמחקרים של תלות תפקודית. חישובים על RGM ונומוגרמות מוחלפים בקריאת תשובות באמצעות פעולות יסודיות המצוינות במקש הנומוגרמה. המרכיבים העיקריים של נומוגרמות הם סולמות ושדות בינאריים. נומוגרמות מחולקות לנומוגרמות יסודיות ומורכבות. נומוגרמות נבדלות גם על ידי הפעולה במפתח. ההבדל המהותי בין RGM לנומוגרמה הוא ששיטות גיאומטריות משמשות לבניית ה-RGM, ושיטות אנליטיות משמשות לבניית נומוגרמה. נומוגרפיה היא המעבר ממנוע אנליטי למנוע גיאומטרי.

מודלים קוגניטיביים כוללים גרפי פונקציות, דיאגרמות וגרפים. מודל גרפי של התלות של משתנים מסוימים באחרים נקרא גרף של פונקציות. ניתן לבנות גרפי פונקציה מחלק נתון שלו או מגרף של פונקציה אחרת באמצעות טרנספורמציות גיאומטריות. תמונה גרפית שמראה בבירור את היחס בין הכמויות היא דיאגרמה. תרשים עמודות, שהוא אוסף של מלבנים סמוכים הבנויים על אותו קו ישר ומייצג את ההתפלגות של ערכים כלשהם על פי תכונה כמותית, נקרא היסטוגרמה. מודלים גיאומטריים המתארים יחסים בין אלמנטים של קבוצה נקראים גרפים. גרפים הם מודלים של סדר ודרך פעולה. בדגמים אלה אין מרחקים, זוויות, החיבור של נקודות של קו ישר או עקומה הוא אדיש. בגרפים, רק קודקודים, קצוות וקשתות מובחנים. לראשונה, נעשה שימוש בגרפים במהלך פתרון חידות. נכון לעכשיו, גרפים משמשים ביעילות בתורת תכנון ובקרה, תורת תזמון, סוציולוגיה, ביולוגיה, בפתרון בעיות הסתברותיות וקומבינטוריות וכו'.

מודלים גיאומטריים תיאורטיים הם בעלי חשיבות מיוחדת. בגיאומטריה אנליטית, תמונות גיאומטריות נלמדות באמצעות אלגברה המבוססת על שיטת הקואורדינטות. בגיאומטריה השלכתית, נלמדות טרנספורמציות השלכתיות ותכונות בלתי ניתנות לשינוי של דמויות שאינן תלויות בהן. בְּ גיאומטריה תיאוריתנלמדות דמויות מרחביות ושיטות לפתרון בעיות מרחביות על ידי בניית תמונותיהן במישור. נכסים דמויות שטוחותנחשבים בפלנימטריה, והמאפיינים של דמויות מרחביות - בסטריאומטריה. בטריגונומטריה כדורית, נלמדים קשרים בין זוויות וצלעות של משולשים כדוריים. תורת הפוטוגרמטריה והסטריאו-ופוטוגרמטריה מאפשרת לקבוע את הצורות, הגדלים והמיקומים של עצמים מתוך תמונותיהם המצולמת בענייני צבא, חקר חלל, גיאודזיה וקרטוגרפיה. הטופולוגיה המודרנית חוקרת את המאפיינים הרציפים של דמויות וסידורן ההדדי. גיאומטריה פרקטלית (הוכנסה למדע ב-1975 על ידי ב. מנדלברוט), החוקרת את הדפוסים הכלליים של תהליכים ומבנים בטבע, הפכה לאחת התגליות הפוריות והיפות ביותר במתמטיקה הודות לטכנולוגיית המחשב המודרנית. הפרקטלים יהיו אפילו יותר פופולריים אם הם היו מבוססים על הישגים תיאוריה מודרניתגיאומטריה תיאורית.

את הבעיות של גיאומטריה תיאורית קלאסית ניתן לחלק באופן מותנה לבעיות מיקום, מטרי וקונסטרוקטיבי.

בדיסציפלינות טכניות משתמשים במודלים גיאומטריים סטטיים, המסייעים ביצירת רעיונות לגבי אובייקטים מסוימים, תכונות העיצוב שלהם, לגבי המרכיבים המרכיבים אותם, ומודלים גיאומטריים דינמיים או פונקציונליים המאפשרים הדגמת קינמטיקה, קשרים פונקציונליים או תהליכים טכניים וטכנולוגיים. לעתים קרובות מאוד, מודלים גיאומטריים מאפשרים להתחקות אחר מהלך של תופעות כאלה שאינן ניתנות לתצפית רגילה וניתן לייצוג על בסיס ידע קיים. תמונות מאפשרות לא רק להציג את המכשיר של מכונות, מכשירים וציוד מסוימים, אלא באותו זמן לאפיין את התכונות הטכנולוגיות והפרמטרים הפונקציונליים שלהם.

רישומים מספקים לא רק מידע גיאומטרי על צורת הפרטים של ההרכבה. לפיו מובן עקרון הפעולה של היחידה, תנועת חלקים זה ביחס לזה, שינוי תנועות, התרחשות כוחות, מתחים, המרת אנרגיה לעבודה מכנית וכו'. באוניברסיטה טכנית, שרטוטים ותרשימים מתקיימים בכל המקצועות הטכניים והמיוחדים הנלמדים ( מכניקה תיאורטית, חוזק חומרים, חומרים מבניים, אלקטרומכניקה, הידראוליקה, טכנולוגיה הנדסית, מכונות וכלים, תורת מכונות ומנגנונים, חלקי מכונות, מכונות וציוד וכו'). להעברת מידע מגוון משלימים את השרטוטים בסימנים וסמלים שונים, ולתיאורם המילולי נעשה שימוש במושגים חדשים שהיווצרותם מבוססת על מושגי היסוד של פיזיקה, כימיה ומתמטיקה.

מעניין במיוחד השימוש במודלים גיאומטריים כדי לשרטט אנלוגיות בין חוקים גיאומטריים לבין אובייקטים אמיתיים כדי לנתח את מהות התופעה ולהעריך את המשמעות התיאורטית והמעשית של חשיבה מתמטית ולנתח את מהות הפורמליזם המתמטי. יש לציין שהאמצעים המקובלים בדרך כלל להעברת הניסיון, הידע והתפיסה הנרכשים (דיבור, כתיבה, ציור וכו') הם מודל השלכה הומומורפי במכוון של המציאות. המושגים של סכמטיות הקרנה ופעולות תכנון קשורים לגיאומטריה תיאורית ויש להם הכללה בתורת המידול הגיאומטרי מודלים גיאומטריים הקרנה המתקבלים כתוצאה מפעולת ההקרנה יכולים להיות מושלמים, לא מושלמים (בדרגות שונות של אי שלמות) ומפורקים. מנקודת מבט גיאומטרית, לכל אובייקט יכולות להיות הקרנות רבות הנבדלות הן במיקום מרכז ההקרנה והתמונה, והן במידותיהן, כלומר. תופעות אמיתיות של טבע ויחסים חברתיים מאפשרות תיאורים שונים, הנבדלים זה מזה במידת המהימנות והשלמות. בָּסִיס מחקר מדעיומקור הכל תיאוריה מדעיתהוא התבוננות וניסוי, שמטרתו תמיד לחשוף סדירות כלשהי. כל הנסיבות הללו היוו את הבסיס לשימוש באנלוגיות ביניהן סוגים שוניםמודלים גיאומטריים הקרנה המתקבלים על ידי מידול הומומורפי, ומודלים הנובעים מהמחקר.

התוצאה של מידול גיאומטרי של אובייקט כלשהו היא מודל מתמטי של הגיאומטריה שלו. המודל המתמטי מאפשר להציג באופן גרפי את האובייקט המדומה, לקבל את המאפיינים הגיאומטריים שלו, ללמוד רבות מהתכונות הפיזיקליות של האובייקט על ידי הגדרת ניסויים מספריים, להכין ייצור ולבסוף, לייצר את האובייקט.

כדי לראות איך נראה חפץ צריך לדמות את זרימת קרני האור הנופלות וחוזרות משטחיו. במקרה זה, ניתן לתת לפנים של המודל את הצבע הדרוש, השקיפות, המרקם ומאפיינים פיזיים אחרים. ניתן להאיר את הדגם מכיוונים שונים באור בצבעים ובעוצמות שונות.

המודל הגיאומטרי מאפשר לקבוע את מאפייני מרכז המסה והאינרציה של האובייקט המעוצב, כדי למדוד את האורכים והזוויות של האלמנטים שלו. היא מאפשרת לחשב שרשראות מידות ולקבוע את יכולת האיסוף של האובייקט המעוצב. אם האובייקט הוא מנגנון, אז במודל אתה יכול לבדוק את הביצועים שלו ולחשב את המאפיינים הקינמטיים.

באמצעות מודל גיאומטרי, ניתן להקים ניסוי מספרי לקביעת מצב מתח-מתח, תדרים וצורות של תנודות טבעיות, יציבות אלמנטים מבניים, תכונות תרמיות, אופטיות ואחרות של האובייקט. כדי לעשות זאת, אתה צריך להוסיף מודל גיאומטרי תכונות גשמיות, לדמות את התנאים החיצוניים של פעולתו ובאמצעות חוקים פיזיקליים לבצע את החישוב המתאים.

מהמודל הגיאומטרי ניתן לחשב את מסלול כלי החיתוך לעיבוד האובייקט. בטכנולוגיית הייצור הנבחרת של החפץ, הדגם הגיאומטרי מאפשר לתכנן את כלי העבודה ולהתכונן לייצור, וכן לבדוק את עצם האפשרות לייצר את החפץ בצורה זו ואת איכות ייצור זה. בנוסף, אפשרית הדמיה גרפית של תהליך הייצור. אבל כדי לייצר חפץ אחר מאשר מידע גיאומטריצריך מידע על התהליך הטכנולוגי, ציוד ייצור ועוד הרבה הקשור לייצור.

רבות מהבעיות הללו יוצרות ענפים עצמאיים של המדע היישומי ואינן נחותות במורכבותן, וברוב המקרים אף עולות על בעיית יצירת המודל הגיאומטרי. המודל הגיאומטרי הוא נקודת המוצא לפעולות נוספות. בעת בניית מודל גיאומטרי, לא השתמשנו בחוקים פיסיקליים, וקטור הרדיוס של כל נקודה בממשק בין החלקים החיצוניים והפנימיים של האובייקט המודגם ידוע, לכן, בעת בניית מודל גיאומטרי, עלינו לחבר ולפתור אלגברי משוואות.

בעיות המשתמשות בחוקים פיזיקליים מובילות למשוואות דיפרנציאליות ואינטגרליות, שפתרונן קשה יותר מפתרון משוואות אלגבריות.

בפרק זה נתמקד בביצוע חישובים שאינם קשורים לתהליכים פיזיקליים. נשקול את החישוב של מאפיינים גיאומטריים גרידא של גופים וחתכים שטוחים שלהם: שטח פנים, נפח, מרכז מסה, מומנטים של אינרציה וכיוון של צירי האינרציה העיקריים. חישובים אלו אינם דורשים מידע נוסף. בנוסף, נשקול את הבעיות של אינטגרציה מספרית שיש לפתור בעת קביעת המאפיינים הגיאומטריים.

קביעת השטח, מרכז המסה ורגעי האינרציה של קטע מישור של גוף מובילה לחישוב אינטגרלים על פני שטח החתך. עבור קטעי מטוסים, יש לנו מידע על הגבולות שלהם. אנו מצמצמים את האינטגרלים על פני שטח קטע מישור לאינטגרלים עקומים, אשר בתורם מצטמצמים לאינטגרלים מוגדרים. קביעת שטח הפנים, הנפח, מרכז המסה, רגעי האינרציה של הגוף מובילה לחישוב אינטגרלי משטח ונפח. נסתמך על ייצוג הגוף בעזרת גבולות, כלומר על תיאור הגוף על ידי קבוצת משטחים המגבילים אותו ומידע טופולוגי על השכונה ההדדית של משטחים אלו. אנו מצמצמים את האינטגרלים על פני נפח הגוף לאינטגרלים משטחים על פני משטחי הפנים של הגוף, אשר בתורם מצטמצמים לאינטגרלים כפולים. במקרה הכללי, אזור האינטגרציה הוא אזור דו-ממדי מחובר. חישוב אינטגרלים כפולים שיטות מספריותניתן לבצע עבור אזורים מסוגים פשוטים - צורת ריבוע או משולש. לעניין זה, בסוף הפרק, דרכי חישוב אינטגרלים מוגדריםואינטגרלים כפולים על אזורים מרובעים ומשולשים. שיטות לפיצול אזורי ההגדרה של פרמטרים משטחים לקבוצה של תת-דומיינים משולשים נבחנות בפרק הבא.

בתחילת הפרק נבחן את הקטנת אינטגרלי שטח לאינטגרלים עקומים והפחתת אינטגרלי נפח לאינטגרלים משטחיים. זה יהיה הבסיס לחישוב המאפיינים הגיאומטריים של המודלים.

שלח את העבודה הטובה שלך במאגר הידע הוא פשוט. השתמש בטופס למטה

סטודנטים, סטודנטים לתארים מתקדמים, מדענים צעירים המשתמשים בבסיס הידע בלימודיהם ובעבודתם יהיו אסירי תודה לכם מאוד.

מתארח בכתובת http://www.allbest.ru/

מערכות מידול גיאומטריות

מערכות מידול גיאומטריות מאפשרות לעבוד עם צורות במרחב תלת מימדי. הם נוצרו על מנת להתגבר על הבעיות הכרוכות בשימוש במודלים פיזיים בתהליך העיצוב, כמו הקושי להשיג צורות מורכבות במידות מדויקות, כמו גם הקושי להוציא את המידע הדרוש ממודלים אמיתיים כדי לשחזר אותם בצורה מדויקת. .

מערכות אלו יוצרות סביבה דומה לזו שבה נוצרים מודלים פיזיים. במילים אחרות, במערכת מידול גיאומטרית, היזם משנה את צורת הדגם, מוסיף ומסיר חלקים ממנו תוך פירוט צורת הדגם הוויזואלי. המודל החזותי אולי נראה זהה לזה הפיזי, אבל הוא לא מוחשי. עם זאת, מודל חזותי תלת מימדי מאוחסן במחשב יחד עם התיאור המתמטי שלו, מה שמבטל את החיסרון העיקרי של מודל פיזיקלי - הצורך לבצע מדידות לצורך יצירת אב טיפוס או ייצור המוני. מערכות דוגמנות גיאומטריות מחולקות ל-wireframe, משטח, מוצק ולא בצורת.

מערכות Wireframing

במערכות מודלים של מסגרת תיל, צורה מיוצגת כמערכת של קווים ונקודות קצה המאפיינות אותה. קווים ונקודות משמשים לייצוג אובייקטים תלת מימדיים על המסך, ועיצוב מחדש נעשה על ידי שינוי המיקום והגודל של הקווים והנקודות. במילים אחרות, המודל החזותי הוא ציור של מסגרת תיל של הצורה, והתיאור המתמטי המתאים הוא קבוצה של משוואות עקומה, קואורדינטות נקודה ומידע קישוריות עקומה לנקודה. מידע קישוריות מתאר את השתייכותן של נקודות לעקומות ספציפיות, כמו גם את ההצטלבות של עקומות זו עם זו. מערכות דוגמנות Wireframe היו פופולריות בתקופה שבה GM רק החלה להופיע. הפופולריות שלהם נבעה מהעובדה שבמערכות wireframing, יצירת הטפסים התבצעה באמצעות סדרה של שלבים פשוטים, כך שהיה קל למדי למשתמשים ליצור טפסים בעצמם. עם זאת, מודל חזותי המורכב מקווים בלבד יכול להיות מעורפל. יתר על כן, התיאור המתמטי המתאים אינו מכיל מידע על המשטחים הפנימיים והחיצוניים של האובייקט המדגם. ללא מידע זה, לא ניתן לחשב את מסת העצם, לקבוע נתיבי תנועה או ליצור רשת לניתוח אלמנטים סופיים, למרות שהאובייקט נראה תלת מימדי. מכיוון שפעולות אלו הן חלק בלתי נפרד מתהליך התכנון, מערכות דוגמנות של מסגרת תיל הוחלפו בהדרגה על ידי מערכות מודל משטח ומוצק.

מערכות דוגמנות פני השטח

במערכות מידול משטח, התיאור המתמטי של המודל החזותי כולל לא רק מידע על קווים אופייניים ונקודות הקצה שלהם, אלא גם נתונים על משטחים. בעבודה עם המודל המוצג על המסך, משוואות פני השטח, משוואות העקומה וקואורדינטות הנקודות משתנות. התיאור המתמטי עשוי לכלול מידע על הקישוריות של משטחים - כיצד המשטחים מתחברים זה לזה ולאורך אילו עיקולים. ביישומים מסוימים, מידע זה יכול להיות שימושי מאוד.

קיימות שלוש שיטות סטנדרטיות ליצירת משטחים במערכות דוגמנות משטחים:

1) אינטרפולציה של נקודות קלט.

2) אינטרפולציה של נקודות עקומות.

3) תרגום או סיבוב של עקומה נתונה.

מערכות מידול משטח משמשות ליצירת מודלים עם משטחים מורכבים, מכיוון שהמודל החזותי מאפשר להעריך את האסתטיקה של הפרויקט, והתיאור המתמטי מאפשר לבנות תוכניות עם חישובים מדויקים של נתיבי תנועה.

מערכות דוגמנות מוצקות

מיועדים לעבודה עם האובייקטים המורכבים מהנפח הסגור, או מונוליט. במערכות דוגמנות מוצקות, בניגוד למערכות בניית מסגרת תיל ומשטח, אסור ליצור סט של משטחים או קווים אופייניים אם הם אינם יוצרים נפח סגור. התיאור המתמטי של האובייקט שנוצר במערכת המודלים המוצקים מכיל מידע שבאמצעותו המערכת יכולה לקבוע היכן ממוקמים הקו או הנקודה: בתוך הכרך, מחוצה לו או בגבולו. במקרה זה ניתן לקבל כל מידע על נפח הגוף, מה שאומר שניתן להשתמש באפליקציות שעובדות עם האובייקט ברמת הנפח, ולא על משטחים.

עם זאת, מערכות דוגמנות מוצקות דורשות יותר נתוני קלט בהשוואה לכמות הנתונים שנותנת תיאור מתמטי. אם המערכת תדרוש מהמשתמש להזין את כל הנתונים לתיאור מתמטי מלא, זה היה מסתבך מדי עבור המשתמשים והם היו נוטשים אותו. לכן, מפתחי מערכות כאלה מנסים להציג פונקציות פשוטות וטבעיות כך שמשתמשים יוכלו לעבוד עם צורות תלת מימדיות מבלי להיכנס לפרטי התיאור המתמטי.

ניתן לחלק את פונקציות הדוגמנות הנתמכות על ידי רוב מערכות הדוגמנות המוצקות לחמש קבוצות עיקריות:

1) פונקציות ליצירת פרימיטיבים, וכן פונקציות לחיבור, חיסור נפח - אופרטורים בוליאניים. תכונות אלו מאפשרות למעצב ליצור במהירות צורה קרובה לצורה הסופית של החלק.

2) פונקציות ליצירת גופים תלת מימדיים על ידי הזזת פני השטח. פונקציית הסוויפ מאפשרת ליצור גוף תלת מימדי על ידי תרגום או סיבוב של אזור שצוין במישור.

3) פונקציות בעיקר לשינוי צורה קיימת. דוגמאות אופייניות הן פונקציות פילה או מיזוג והרמה.

4) פונקציות המאפשרות לך לתפעל ישירות את המרכיבים של גופים נפחיים, כלומר לאורך קודקודים, קצוות ופנים.

5) פונקציות שהמעצב יכול להשתמש בהן כדי לדגמן מוצקבאמצעות טפסים חופשיים.

מעט מערכות סימולציה

מערכות מידול מוצקות מאפשרות למשתמש ליצור גופים בעלי נפח סגור, כלומר, במונחים מתמטיים, גופים שהם סעפת. במילים אחרות, מערכות כאלה אוסרות יצירת מבנים שאינם מגוונים. הפרות של תנאי הגיוון הן, למשל, המישוש של שני משטחים בנקודה אחת, המישוש של שני משטחים לאורך עקומה פתוחה או סגורה, שני כרכים סגורים עם פנים, קצה או קודקוד משותפים, וכן משטחים היוצרים מבנים. כמו חלות דבש.

האיסור על יצירת דגמים קטנים נחשב לאחד היתרונות של מערכות דוגמנות מוצקות, שכן הודות לכך ניתן היה לייצר כל דגם שנוצר במערכת כזו. אם המשתמש מעוניין לעבוד עם מערכת המידול הגיאומטרי לאורך תהליך הפיתוח, יתרון זה הופך לצד נוסף.

דגם מופשט עם תערובת ממדים נוח כי הוא אינו מגביל את המחשבה היצירתית של המעצב. דגם עם מימדים מעורבים יכול להכיל קצוות חופשיים, משטחי שכבות ונפחים. מודל מופשט שימושי גם בכך שהוא יכול לשמש בסיס לניתוח. בכל שלב בתהליך העיצוב ניתן ליישם כלים אנליטיים שונים. לדוגמה, בשיטת האלמנטים הסופיים, ישירות על הייצוג המקורי של המודל, המאפשרת לבצע אוטומציה מָשׁוֹבבין שלבי התכנון והניתוח, אשר מיושם כיום על ידי המעצב באופן עצמאי. מודלים מגוונים הם הכרחיים כשלב בפיתוח פרויקט מ תיאור מלאברמות נמוכות לגוף הנפח המוגמר. מערכות דוגמנות מגוונות מאפשרות לך להשתמש בדגמי wireframe, משטח, מוצק וחלת דבש בו-זמנית באותה סביבת דוגמנות, מה שמרחיב את מגוון הדגמים הזמינים.

תיאור משטחים

חָשׁוּב חלק בלתי נפרדמודלים גיאומטריים הוא התיאור של משטחים. אם המשטחים של החלק הם פנים שטוחים, אז המודל יכול לבוא לידי ביטוי די פשוט עם מידע מסוים על הפנים, הקצוות והקודקודים של החלק. במקרה זה, בדרך כלל משתמשים בשיטה של ​​גיאומטריה בונה. ייצוג באמצעות פרצופים שטוחים מתקיים גם במקרה של משטחים מורכבים יותר, אם משטחים אלו מקורבים על ידי קבוצות של חתכים שטוחים - רשתות מצולעות. אז ניתן לציין את מודל פני השטח באחת מהצורות הבאות:

1) הדגם הוא רשימה של פרצופים, כל פנים מיוצג על ידי רשימה מסודרת של קודקודים (מחזור קודקודים); צורה זו מאופיינת ביתירות משמעותית, שכן כל קודקוד חוזר על עצמו בכמה רשימות;

2) הדגם הוא רשימה של קצוות, לכל קצה יש קודקודים ופנים מתרחשים. עם זאת, קירוב על ידי רשתות מצולעות בגדלים של תאי רשת גדולים נותן עיוותי צורה ניכרים, ובגדלים קטנים של תאים זה מתברר כלא יעיל מבחינת עלויות חישוביות. לכן, תיאורים של משטחים לא מישוריים על ידי משוואות מעוקבות בצורה של Bezier או 5-splines פופולריים יותר.

נוח להכיר את הטפסים הללו על ידי הצגת היישום שלהם לתיאור אובייקטים גיאומטריים מהרמה הראשונה - עקומות מרחביות.

הערה. אובייקטים גיאומטריים ברמה אפסית, ראשונה ושנייה נקראים בהתאמה נקודות, עקומות, משטחים.

תתי המערכות של MGIGM משתמשות בעקומות מעוקבות מוגדרות פרמטרית

משטח דוגמנות מבני גיאומטרי

x(t) = axt3 + bxt2 + cxt + dx ;

y(t) = ay t3 + X על ידי t2 + cy t + dy ;

z(t) = a.t3 + b_t2 + cj + d_,

כאשר 1 > t > 0. עקומות כאלה מתארות את קטעי העקומה בקירוב, כלומר, העקומה המקורבת מחולקת לקטעים וכל קטע מקורב באמצעות משוואות (3.48).

השימוש בעקומות מעוקבות מספק (על ידי בחירה מתאימה של ארבעה מקדמים בכל אחת משלוש המשוואות) את מילוים של ארבעה תנאים להצמדת מקטעים. במקרה של עקומות בזייר, תנאים אלו הם מעבר עקומת המקטע דרך שתי נקודות קצה נתונות והשוויון בנקודות אלו של הוקטורים המשיקים של מקטעים סמוכים. במקרה של 5-שפלינים, מתקיימים התנאים להמשכיות של הווקטור והעקמומיות המשיקות (כלומר, הנגזרת הראשונה והשנייה) בשתי נקודות קצה, מה שמבטיח רמה גבוהה של חלקות העקומה, למרות שמעבר של העקומה המקורבת דרך הנקודות הנתונות אינה מובטחת כאן. השימוש בפולינומים גבוהים מהדרגה השלישית אינו מומלץ, שכן הסבירות לגליות גבוהה.

במקרה של צורת Bezier, המקדמים ב-(3.48) נקבעים, ראשית, על ידי החלפה ל-(3.48) את הערכים (=0k(=1) ואת הקואורדינטות של נקודות הקצה הנתונות Р, ו-Р4, בהתאמה. , ושנית, על ידי החלפת הנגזרות לתוך הביטויים

dx / dt \u003d עבור t2 + 2b + c, X X x "

dy/dt = Za, G2 + 2byt + s,

dz/dt = 3a.t2 + 2b.t + c.

אותם ערכים / \u003d 0 ו / \u003d 1 והקואורדינטות של הנקודות P2 ו-P3, המציינות את כיווני הווקטורים המשיקים (איור 3.27). כתוצאה מכך, עבור טופס Bezier אנו מקבלים

עקומת בזייר. (3.27)

עבור המטריצה ​​M יש צורה שונה והיא מוצגת בטבלה. 3.12, והווקטורים Gx, Gy, G מכילים את הקואורדינטות המתאימות של הנקודות P, 1; P, P, + 1, P, + 2.

הבה נראה כי בנקודות הצימוד לנגזרת הראשונה והשנייה של הביטוי המקורב, מתקיימים תנאי ההמשכיות, הנדרשים בהגדרה של B-spline. הבה נסמן את הקטע של ה-B-spline המקורב המתאים לקטע [Р, Р +1] של העקומה המקורית ב-. אז עבור הקטע הזה והקואורדינטה x בנקודת הצימוד Q / + , יש לנו t = 1 ו

עבור הקטע באותה נקודה Qi+| יש לנו t = 0 ו

כלומר, השוויון של הנגזרות בנקודת הצימוד בקטעים שכנים מאשר את המשכיות הווקטור המשיק והעקמומיות. באופן טבעי, ערך ה-x של קואורדינטת ה-x של נקודת Qi+1 של העקומה המקורבת על הקטע.

שווה לערך של x המחושב עבור אותה נקודה בחתך, אך ערכי הקואורדינטות של נקודות הצמתים x ו-x+] של העקומות המקורבות והמקורבות אינם תואמים.

באופן דומה, ניתן לקבל ביטויים לצורות בזייר ו-5-שפלינים כפי שהוחלו על משטחים, תוך התחשבות שבמקום (3.48) משתמשים בתלות מעוקבת בשני משתנים.

מתארח ב- Allbest.ru

מסמכים דומים

מודלים סטטיים ודינמיים. ניתוח מערכות סימולציה. מערכת דוגמנות "AnyLogic". הסוגים העיקריים של דוגמנות סימולציה. דגמים רציפים, דיסקרטיים והיברידיים. בניית מודל בנק אשראי וניתוחו.

עבודת גמר, נוספה 24/06/2015


בעיות של אופטימיזציה של מערכות מורכבות וגישות לפתרון שלהן. יישום תוכנה של ניתוח היעילות ההשוואתית של השיטה בהסתברויות משתנות ואלגוריתם גנטי עם ייצוג בינארי של פתרונות. שיטה לפתרון בעיית הרגרסיה הסימבולית.

עבודת גמר, נוספה 06/02/2011


תיאור העקרונות הבסיסיים ליצירת מודלים מתמטיים של תהליכים הידרולוגיים. תיאור תהליכי התבדלות, טרנספורמציה והתכנסות. מבוא למרכיבים הבסיסיים של מודל הידרולוגי. המהות של דוגמנות סימולציה.

מצגת, נוספה 16/10/2014


התזה העיקרית של פורמליזציה. מידול של תהליכים דינמיים וסימולציה של מערכות ביולוגיות, טכניות, חברתיות מורכבות. ניתוח מודלים של אובייקטים ובחירה של כולם מאפיינים ידועים. בחירת צורת הייצוג של המודל.

תקציר, נוסף 09/09/2010


האפקטיביות של חיזוי מאקרו כלכלי. ההיסטוריה של הופעת הדוגמנות הכלכלית באוקראינה. תכונות של מידול מערכות מורכבות, כיוונים וקשיי מידול הכלכלה. פיתוח ובעיות של הכלכלה המודרנית של אוקראינה.

תקציר, נוסף 01/10/2011


בעיות עיקריות של מודלים אקונומטריים. שימוש במשתני דמה ומגמות הרמוניות. שיטת הריבועים הקטנים ביותר ושונות מדגם. משמעות מקדם הקביעה. חישוב פונקציית האלסטיות. מאפייני המודל הליניארי.

עבודת בקרה, נוסף 11/06/2009


תיאורטי ו יסודות מתודולוגייםמודל התפתחות של חברות עם ניהול מכוון שכר דירה. יסודות כלכליים ומתמטיים למידול מערכות מורכבות דינמית. פונקציית השאלה: מושג, מהות, מאפיינים, השקפה אנליטית.

עבודת גמר, נוספה 02/04/2011


יצירת מודלים ושיטות משולבים כמו דרך מודרניתחיזוי. מודל מבוסס ARIMA לתיאור סדרות זמן נייחות ולא נייחות בפתרון בעיות אשכולות. דגמי AR אוטורגרסיביים ויישום קורלוגרמות.

מצגת, נוספה 05/01/2015


מתודולוגיה לקבלת אומדנים המשמשים בהליכים לתכנון החלטות הנהלה. שימוש יישומי במודל הרגרסיה ליניארית רב-משתנית. יצירת מטריצת שיתופיות של נתונים ודפוסי עיצוב פתרונות הנגזרים ממנה.

מאמר, נוסף 09/03/2016


ניתוח מערכות מורכבות. ביצוע מחקר כלכלי באמצעות טכנולוגיית מידול ממוחשב. בניית דיאגרמות בלוקים, מסלולי זרימת מסרים. פיתוח מודל תפעול תוואי אוטובוס. חישובי מודל רב משתנים.

דוגמנות גיאומטרית

גרפיקה וקטורית ורסטר.

ישנם שני סוגים של גרפיקה - וקטור ורסטר. ההבדל העיקרי הוא בעקרון אחסון התמונות. גרפיקה וקטוריתמתאר תמונה באמצעות נוסחאות מתמטיות. היתרון העיקרי של גרפיקה וקטורית הוא שכאשר משנים את קנה המידה של התמונה, היא לא מאבדת מאיכותה. יתרון נוסף נובע מכך - בעת שינוי גודל התמונה, גודל הקובץ אינו משתנה. גרפיקה רסטרהיא מטריצה ​​מלבנית המורכבת מנקודות רבות (פיקסלים) קטנות מאוד שאינן ניתנות לחלוקה.

ניתן להשוות תמונת רסטר לפסיפס ילדים, כאשר התמונה מורכבת מריבועים צבעוניים. המחשב זוכר את הצבעים של כל הריבועים בשורה בסדר מסוים. לכן, תמונות מפת סיביות דורשות יותר זיכרון לאחסון. קשה להתאים אותם ואפילו קשה יותר לערוך אותם. כדי להגדיל את התמונה יש להגדיל את גודל הריבועים, ואז מתברר שהתמונה היא "מדורגת". כדי להקטין תמונת רסטר, יש להמיר מספר נקודות שכנות לנקודה אחת או לזרוק נקודה נוספת. כתוצאה מכך, התמונה מעוותת, הפרטים הקטנים שלה הופכים בלתי קריאים. חסרונות אלה נטולי גרפיקה וקטורית. בעורכי וקטור, ציור מאוחסן כסט צורות גיאומטריות- קווי מתאר המוצגים בצורה של נוסחאות מתמטיות. כדי להגדיל אובייקט באופן פרופורציונלי, כל מה שאתה צריך לעשות הוא לשנות מספר אחד: גורם קנה המידה. אין עיוותים גם בהגדלה או הקטנה של התמונה. לכן, בעת יצירת ציור, אתה לא צריך לחשוב על הממדים הסופיים שלו - אתה תמיד יכול לשנות אותם.

טרנספורמציות גיאומטריות

גרפיקה וקטורית היא שימוש בפרימיטיבים גיאומטריים כגון נקודות, קווים, קווים ומצולעים כדי לייצג תמונות ב גרפיקה ממוחשבת. שקול, למשל, מעגל ברדיוס r. רשימת המידע הדרוש לתיאור מלא של המעגל היא כדלקמן:

רַדִיוּס ר;

קואורדינטות מרכז מעגל;

צבע ועובי קו המתאר (אפשר שקוף);

צבע מילוי (אפשר שקוף).

היתרונות של דרך זו של תיאור גרפיקה על פני גרפיקה רסטר:

כמות המידע המינימלית מועברת לגודל קובץ קטן בהרבה (הגודל אינו תלוי בגודל האובייקט).

בהתאם לכך, אתה יכול להגדיל לאין שיעור, למשל, את קשת המעגל, והיא תישאר חלקה. מצד שני, אם העקומה מיוצגת כקו שבור, הגדלה תראה שלא מדובר באמת בעקומה.

כאשר אובייקטים מוגדלים או מקטינים, עובי הקווים יכול להיות קבוע.

פרמטרי אובייקט מאוחסנים וניתנים לשינוי. המשמעות היא שתנועה, קנה מידה, סיבוב, מילוי וכו' לא יפגעו באיכות הציור. יתרה מכך, מקובל לציין גדלים ביחידות בלתי תלויות במכשיר ((אנגלית)), מה שמוביל לרסטריזציה הטובה ביותר במכשירי רסטר.

לגרפיקה וקטורית שני חסרונות בסיסיים.

לא כל אובייקט ניתן לצייר בקלות בצורה וקטורית. בנוסף, כמות הזיכרון והזמן לתצוגה תלויה במספר האובייקטים ובמורכבותם.

המרת גרפיקה וקטורית לרסטר היא די פשוטה. אבל, ככלל, אין דרך חזרה - מעקב רסטר בדרך כלל אינו מספק ציור וקטור באיכות גבוהה.

עורכי גרפיקה וקטורית מאפשרים לך בדרך כלל לסובב, להזיז, לשקף, למתוח, לשיפוע, לבצע טרנספורמציות נגישות בסיסיות על אובייקטים, לשנות סדר z ולשלב פרימיטיבים לאובייקטים מורכבים יותר.

טרנספורמציות מתוחכמות יותר כוללות פעולות בוליאניות על דמויות סגורות: איחוד, תוספת, צומת וכו'.

גרפיקה וקטורית אידיאלית עבור שרטוטים פשוטים או מורכבים שצריכים להיות עצמאיים במכשיר או שאינם זקוקים לפוטוריאליזם. לדוגמה, PostScript ו-PDF משתמשים במודל הגרפיקה הווקטורית.

קווים וקווים שבורים.

מצולעים.

עיגולים ואליפסות.

עקומות בזייר.

בזיגונים.

טקסט (בגופני מחשב כגון TrueType, כל אות מורכבת מעקומות בזייר).

רשימה זו אינה שלמה. יש סוגים שוניםעקומות (Catmull-Rom splines, NURBS וכו') המשמשות ביישומים שונים.

אפשר גם לחשוב על מפת סיביות כאובייקט פרימיטיבי שמתנהג כמו מלבן.

הסוגים העיקריים של מודלים גיאומטריים

מודלים גיאומטריים נותנים מושג חיצוני על האובייקט המקורי ומאופיינים באותם פרופורציות של ממדים גיאומטריים. מודלים אלו מחולקים לדו מימד ותלת מימד. סקיצות, דיאגרמות, שרטוטים, גרפיקה, ציורים הם דוגמאות למודלים גיאומטריים דו מימדיים, ומודלים של מבנים, מכוניות, מטוסים וכו'. הם מודלים גיאומטריים תלת מימדיים.

גרפיקה תלת מימדיתפועל עם אובייקטים במרחב תלת מימדי. בדרך כלל התוצאות הן תמונה שטוחה, השלכה. גרפיקה ממוחשבת תלת מימדית נמצאת בשימוש נרחב בסרטים ומשחקי מחשב.

בגרפיקה ממוחשבת תלת מימדית, כל האובייקטים מיוצגים בדרך כלל כאוסף של משטחים או חלקיקים. המשטח הקטן ביותר נקרא מצולע. בדרך כלל בוחרים משולשים כמצולע.

כל התמורות החזותיות בגרפיקה תלת מימדית נשלטות על ידי מטריצות (ראה גם: טרנספורמציה זיקהבאלגברה לינארית). שלושה סוגים של מטריצות משמשים בגרפיקה ממוחשבת:

מטריצת סיבוב

מטריצת משמרת

מטריצת קנה מידה

כל מצולע יכול להיות מיוצג כמערכת של קואורדינטות של הקודקודים שלו. אז, למשולש יהיו 3 קודקודים. הקואורדינטות של כל קודקוד הן וקטור (x, y, z). על ידי הכפלת וקטור במטריצה ​​המתאימה, נקבל וקטור חדש. לאחר שעשינו טרנספורמציה כזו עם כל קודקודי המצולע, נקבל מצולע חדש, ולאחר הפיכת כל המצולעים, נקבל אובייקט חדש מסובב/מוזז/משולם ביחס למקור.