חשב את נפח הגוף שנוצר על ידי סיבוב סביב הציר. כיצד לחשב את נפח גוף המהפכה? חישוב נפח גוף שנוצר מסיבוב של דמות שטוחה סביב ציר
תן לקו להיות מוגבל. דמות המישור ניתנת במערכת הקואורדינטות הקוטבית.
דוגמא: חשב היקף: x 2 +y 2 =R 2
חשב את אורך החלק הרביעי של המעגל הממוקם ברביע I (х≥0, y≥0):
אם משוואת העקומה ניתנת בצורת ה-param-th: 
, הפונקציות x(t), y(t) מוגדרות ורציפות יחד עם הנגזרות שלהן על הקטע [α,β]. נגזרת, ואז ביצוע החלפה בנוסחה: 
ובהתחשב בכך 
אנחנו מקבלים 
להוסיף מכפיל 
מתחת לסימן השורש וסוף סוף נקבל 
הערה: ניתנת עקומה מישורית, ניתן לשקול גם פונקציה הניתנת על ידי פרמטרים במרחב, ואז תתווסף הפונקציה z=z(t) והנוסחה 
דוגמה: חשב את אורך האסטרואיד שניתן במשוואה: x=a*cos 3 (t), y=a*sin 3 (t), a>0
חשב את אורך החלק הרביעי:
לפי הנוסחה 
אורך הקשת של עקומת מישור, נתון במערכת הקואורדינטות הקוטבית:
תן את משוואת העקומה במערכת הקואורדינטות הקוטבית: 
היא פונקציה רציפה, יחד עם הנגזרת שלה על המקטע [α,β].
נוסחאות למעבר מקואורדינטות קוטביות:
להיחשב כפרמטרי:
ϕ - פרמטר, לפי ה-f-le 
2
לדוגמה: חשב את אורך העקומה: 
>0
Z-tion: חשב חצי מההיקף:
נפח הגוף, מחושב משטח החתך של הגוף.
תן גוף התחום על ידי משטח סגור ואפשר לדעת את השטח של כל קטע של הגוף הזה במישור המאונך לציר השור. אזור זה יהיה תלוי במיקום מישור החיתוך.
כדי לקבוע את נפחו של גוף כזה, אנו מחלקים אותו לשכבות באמצעות מישורי גזרה המאונכים לציר השור וחוצים אותו בנקודות. בכל מרווח חלקי נפח גוף המהפכה: תנו לגוף להיווצר על ידי סיבוב סביב ציר השור של טרפז עקום התחום על ידי גרף הפונקציה y=f(x), ציר השור והקווים הישרים x=a, x=b. תן לפונקציה y=f(x) להיות מוגדרת ורציפה על הקטע ולא שלילית עליו, אז החתך של הגוף הזה במישור מאונך ל-Ox הוא מעגל עם רדיוס R=y(x)=f(x) ). שטח המעגל S (x) \u003d Py 2 (x) \u003d P 2. החלפת הנוסחה עם זאת, אם טרפז עקום מסתובב סביב ציר Oy, תחום על ידי גרף רציף על הפונקציה, אז הנפח של גוף מהפכה כזה: ניתן לחשב את אותו נפח באמצעות הנוסחה: על ידי שינוי המשתנה נקבל: אם הישר ניתן במשוואות פרמטריות: y (α)= c , y (β)= d . ביצוע השינוי y = y (t) נקבל: חשב גופי מהפכה סביב ציר ה-y של הפרבולה, 2) חשב את V של גוף הסיבוב סביב ציר OX של טרפז עקום התחום על ידי קו ישר y \u003d 0, קשת שטח פנים של גוף מהפכה תנו למשטח הנתון להיווצר על ידי סיבוב העקומה y=f(x) סביב ציר ה-x. יש צורך לקבוע את S של משטח זה ב. תן לפונקציה y \u003d f (x) להיות מוגדרת ורציפה, בעלת לא שלילי ולא שלילי בכל נקודות הקטע [a; c] הבה נצייר אקורדים שאת אורכם אנו מציינים בהתאמה (n-אקורדים) לפי משפט לגראנז': שטח הפנים של כל הקו השבור המוקף יהיה שווה ל הגדרה: הגבול של סכום זה, אם הוא סופי, כאשר הקישור הגדול ביותר של הפוליליין max , נקרא שטח משטח המהפכה הנחשב. ניתן להוכיח שגבול מאה מהסכום שווה לגבול הסכום המשולב עבור p-th נוסחה למשטח S של גוף מהפכה = S של המשטח שנוצר על ידי סיבוב קשת העקומה x=g(x) סביב ציר Oy ב מתמשך עם הנגזרת שלו אם העקומה ניתנת באופן פרמטרי על ידי ur-miאיקס=x(t) ,y=
ט(ט)
פונקציותאיקס’(ט),
y’(ט),
איקס(ט),
y(ט) מוגדרים על המרווח [א;
ב],
איקס(א)=
א,
איקס(ב)=
בואז לבצע את שינוי ההחלפהאיקס=
איקס(ט)
אם העקומה ניתנת פרמטרית, תוך שינוי בנוסחה, נקבל: אם משוואת העקומה ניתנת במערכת הקואורדינטות הקוטבית סמשטח הסיבוב סביב הציר יהיה שווה ל
מלבד מציאת השטח של דמות שטוחה באמצעות אינטגרל מוגדר (ראה 7.2.3.)היישום החשוב ביותר של הנושא הוא חישוב נפח גוף מהפכה. החומר פשוט, אבל הקורא חייב להיות מוכן: יש צורך להיות מסוגל לפתור אינטגרלים בלתי מוגדריםמורכבות בינונית וליישם את הנוסחה של ניוטון-לייבניץ ב אינטגרל מובהק, ננדרשים גם כישורי ניסוח גבוהים. באופן כללי, ישנם יישומים מעניינים רבים בחשבון אינטגרלי; באמצעות אינטגרל מוגדר, ניתן לחשב שטח של דמות, נפח גוף מהפכה, אורך קשת, שטח פנים של הגוף, ועוד הרבה יותר. דמיינו איזו דמות שטוחה במישור הקואורדינטות. מיוצג? ... כעת ניתן גם לסובב את הדמות הזו, ולסובב בשתי דרכים: - סביב ציר ה-x ;
- סביב ציר ה-y .
בואו נסתכל על שני המקרים. שיטת הסיבוב השנייה מעניינת במיוחד, היא גורמת לקשיים הגדולים ביותר, אך למעשה הפתרון כמעט זהה לסיבוב הנפוץ יותר סביב ציר ה-X. נתחיל עם סוג הסיבוב הפופולרי ביותר. חישוב נפח גוף שנוצר מסיבוב של דמות שטוחה סביב ציר שׁוֹר
דוגמה 1 חשב את נפח הגוף המתקבל על ידי סיבוב הדמות התחום בקווים סביב הציר. פִּתָרוֹן:כמו בבעיה של מציאת האזור, הפתרון מתחיל בציור של דמות שטוחה. כלומר במטוס XOYיש צורך לבנות דמות תחומה בקווים, מבלי לשכוח שהמשוואה מגדירה את הציר. הציור כאן די פשוט: הדמות השטוחה הרצויה מוצללת בכחול, היא זו שמסתובבת סביב הציר. כתוצאה מהסיבוב מתקבלת צלחת מעופפת כזו בצורת ביצה עם שתי פסגות חדות על הציר. שׁוֹר, סימטרי על הציר שׁוֹר. למעשה, לגוף יש שם מתמטי, עיין בספר העיון. כיצד לחשב את נפח גוף המהפכה? אם הגוף נוצר כתוצאה מסיבוב סביב צירשׁוֹר, הוא מחולק נפשית לשכבות מקבילות בעובי קטן dxשהם מאונכים לציר שׁוֹר. נפח הגוף כולו שווה כמובן לסכום הנפחים של שכבות יסוד כאלה. כל שכבה, כמו פרוסת לימון עגולה, היא גליל נמוך גבוה dxועם רדיוס בסיס ו(איקס). אז הנפח של שכבה אחת הוא המכפלה של שטח הבסיס π ו 2 לגובה הגליל ( dx), או π∙ ו 2 (איקס)∙dx. והשטח של כל גוף המהפכה הוא סכום הנפחים היסודיים, או האינטגרל המובהק המתאים. ניתן לחשב את נפח גוף המהפכה על ידי הנוסחה: איך להגדיר את גבולות האינטגרציה "a" ו-"be" קל לנחש מהציור שהושלם. פונקציה... מה זאת הפונקציה הזו? בואו נסתכל על הציור. הדמות השטוחה תחומה על ידי גרף הפרבולות מלמעלה. זו הפונקציה שמשתמעת בנוסחה. במשימות מעשיות, דמות שטוחה יכולה לפעמים להיות ממוקמת מתחת לציר שׁוֹר. זה לא משנה כלום - הפונקציה בנוסחה היא בריבוע: ו 2 (איקס), לכן, הנפח של גוף מהפכה הוא תמיד לא שלילי, וזה די הגיוני. חשב את נפח גוף המהפכה באמצעות נוסחה זו: כפי שכבר ציינו, האינטגרל כמעט תמיד מתברר כפשוט, העיקר להיזהר. תשובה: בתשובה יש צורך לציין את הממד - יחידות מעוקבות. כלומר, בגוף הסיבוב שלנו יש כ-3.35 "קוביות". למה בדיוק מעוקב יחידות? כי זה הניסוח האוניברסלי ביותר. יכול להיות שיש סנטימטר מעוקב, יכול להיות קוב, יכול להיות קילומטרים מעוקבים וכו', זה כמה גברים ירוקים קטנים הדמיון שלך יכול להכניס לתוך צלחת מעופפת. דוגמה 2 מצא את נפח הגוף שנוצר על ידי סיבוב סביב ציר שׁוֹרדמות תחום בקווים , , . זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור. דוגמה 3 חשב את נפח הגוף המתקבל על ידי סיבוב סביב ציר האבססיס של הדמות התחום בקווים , , ו . פִּתָרוֹן:הבה נתאר בשרטוט דמות שטוחה תחומה בקווים , , , , מבלי לשכוח שהמשוואה איקס= 0 מציין את הציר OY: הדמות הרצויה מוצללת בכחול. כאשר הוא מסתובב סביב הציר שׁוֹרמתברר בייגל זוויתי שטוח (מכונת כביסה עם שני משטחים חרוטיים). נפח גוף המהפכה מחושב כ הבדל בנפח הגוף. ראשית, בואו נסתכל על הדמות המוקפת באדום. כאשר הוא מסתובב סביב הציר שׁוֹרוכתוצאה מכך חרוט קטום. הבה נסמן את נפח החרוט הקטום הזה כ V 1 . קחו בחשבון את הדמות שמוקפת בירוק. אם נסובב את הדמות הזו סביב הציר שׁוֹר, אז אתה מקבל גם חרוט קטום, רק קצת יותר קטן. הבה נסמן את נפחו ב V 2 . ברור, ההבדל בנפח V = V 1 - V 2 הוא נפח ה"סופגנייה" שלנו. אנו משתמשים בנוסחה הסטנדרטית למציאת נפח גוף המהפכה: 1) הדמות המוקפת באדום תחומה מלמעלה בקו ישר, לכן: 2) הדמות המוקפת בירוק תחומה מלמעלה בקו ישר, לכן: 3) נפח גוף המהפכה הרצוי: תשובה: זה מוזר שבמקרה זה ניתן לבדוק את הפתרון באמצעות נוסחת בית הספר לחישוב נפח של חרוט קטום. ההחלטה עצמה נעשית לעתים קרובות יותר, משהו כמו זה: הגדרה 3.
גוף מהפכה הוא גוף המתקבל על ידי סיבוב של דמות שטוחה סביב ציר שאינו חוצה את הדמות ושוכב איתה באותו מישור. ציר הסיבוב יכול גם לחצות את הדמות אם הוא ציר הסימטריה של הדמות. משפט 2.
הוכחה.
לגוף כזה, הקטע עם האבשיסה אם הדמות מוגבלת על ידי הגרפים של שתי פונקציות רציפות דוגמה 3
חשב את נפח הטורוס המתקבל על ידי סיבוב מעגל התחום במעגל ר נפח רצוי (הגרף של האינטגרנד הוא חצי העיגול העליון, כך שהאינטגרל הכתוב למעלה הוא שטח חצי העיגול). דוגמה 4
קטע פרבולי עם בסיס ר משפט 3.
תן טרפז עקום תחום על ידי הגרף של פונקציה לא שלילית רציפה הגליל הנובע מסיבוב של מלבן כזה נחתך לאורך הגנרטריקס ונפרש. אנו מקבלים מקבילית "כמעט" עם מידות: כדי להשיג שוויון מדויק, עלינו לעבור לגבול בשעה הערה 1.
במשפטים 2 ו-3, התנאי דוגמה 5
מקטע פרבולי (בסיס הערה 2.
אם הגבול העקום של טרפז עקום ניתן על ידי המשוואות הפרמטריות דוגמה 6
הדמות תחומה על ידי הקשת הראשונה של הציקלואיד פִּתָרוֹן.
1) נוסחה כללית 2) נוסחה כללית אנו מעודדים את התלמידים לבצע את כל החישובים בעצמם. הערה 3.
תן מגזר עקמומי התחום על ידי קו רציף דוגמה 7
חלק מדמות התחום על ידי קרדיואיד משימות
לפתרון עצמאי. 1. קטע עגול שבסיסו 2. מצא את הנפח של פרבולואיד מהפכה שהבסיס שלו 3. איור תחום על ידי אסטרואיד 4. איור תחום בקווים שימוש באינטגרלים כדי למצוא נפחים של מוצקים של מהפכה התועלת המעשית של המתמטיקה נובעת מהעובדה שבלי ידע מתמטי ספציפי מקשה על הבנת העקרונות של המכשיר והשימוש בטכנולוגיה מודרנית. כל אדם בחייו צריך לבצע חישובים מורכבים למדי, להשתמש בציוד נפוץ, למצוא את הנוסחאות הדרושות בספרי עיון ולחבר אלגוריתמים פשוטים לפתרון בעיות. בחברה המודרנית, יותר ויותר התמחויות הדורשות רמת השכלה גבוהה קשורות ליישום ישיר של מתמטיקה. כך, עבור תלמיד בית ספר, מתמטיקה הופכת למקצוע משמעותי מבחינה מקצועית. התפקיד המוביל שייך למתמטיקה בגיבוש חשיבה אלגוריתמית, הוא מעלה את היכולת לפעול לפי אלגוריתם נתון ולעצב אלגוריתמים חדשים. בלימוד נושא השימוש באינטגרל לחישוב נפחי גופי המהפכה, אני מציע לתלמידים בכיתות בחירה לשקול את הנושא: "נפחי גופי מהפכה באמצעות אינטגרלים". להלן מספר קווים מנחים להתמודדות עם נושא זה: 1. השטח של דמות שטוחה. ממהלך האלגברה, אנו יודעים שבעיות בעלות אופי מעשי הובילו למושג של אינטגרל מוגדר. אחד מהם הוא חישוב השטח של דמות שטוחה התחום על ידי קו רציף y=f(x) (כאשר f(x)DIV_ADBLOCK243"> חשב את השטח של טרפז עקום באמצעות הנוסחה אם בסיס הטרפז נמצא על ציר ה-x או באמצעות הנוסחה https://pandia.ru/text/77/502/images/image004_49.jpg" width= "526" height="262 src="> https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">. כדי למצוא את נפח גוף הסיבוב שנוצר על ידי סיבוב של טרפז עקום סביב ציר השור, התחום על ידי קו שבור y=f(x), ציר השור, ישרים x=a ו-x=b, אנו מחשבים לפי הנוסחה https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y 3. נפח הגליל. https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">הקונוס מתקבל על ידי סיבוב משולש ישר זווית ABC(C=90) סביב ציר השור עליו שוכנת הרגל AC. פלח AB נמצא על הקו y=kx+c, שבו https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">. תן a=0, b=H (H הוא גובה החרוט), ואז Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">. 5. נפח של חרוט קטום. קונוס קטום ניתן להשיג על ידי סיבוב טרפז מלבני ABCD (CDOx) סביב ציר השור. מכיוון שהקו עובר בנקודה A (0; r). לפיכך, הקו הישר נראה כמו https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src="> תן a=0, b=H (H הוא גובה החרוט הקטום), ואז https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = 6. נפח הכדור. ניתן להשיג את הכדור על ידי סיבוב מעגל עם מרכז (0;0) סביב ציר ה-x. חצי העיגול הממוקם מעל ציר ה-x ניתן על ידי המשוואה I. כרכים של גופי מהפכה. עיין מקדים בפרק XII, p°p° 197, 198, לפי ספר הלימוד של G. M. Fikhtengol'ts* נתח בפירוט את הדוגמאות שניתנו בעמ' 198. 508. חשב את נפח הגוף שנוצר מסיבוב האליפסה סביב ציר ה-x. בדרך זו, 530. מצא את שטח המשטח שנוצר על ידי הסיבוב סביב הציר Ox של קשת הסינוסואיד y \u003d sin x מנקודה X \u003d 0 לנקודה X \u003d It. 531. חשב את שטח הפנים של חרוט עם גובה h ורדיוס r. 532. חשב את שטח הפנים שנוצר על ידי סיבוב של האסטרואיד x3 -) - y* - a3 סביב ציר ה-x. 533. חשב את שטח המשטח הנוצר מהיפוך לולאת העקומה 18 y-x(6-x)r סביב ציר ה-x. 534. מצא את פני השטח של הטורוס שנוצר על ידי סיבוב המעגל X2 - j - (y-3)2 = 4 סביב ציר ה-x. 535. חשב את שטח המשטח הנוצר מסיבוב המעגל X = עלות, y = אסינט סביב ציר השור. 536. חשב את שטח המשטח הנוצר על ידי סיבוב לולאת העקומה x = 9t2, y = St - 9t3 סביב הציר Ox. 537. מצא את שטח פני השטח שנוצר על ידי סיבוב הקשת של העקומה x = e * sint, y = el עלות סביב הציר Ox מ-t = 0 ל-t = -. 538. הראה שהמשטח שנוצר מסיבוב הקשת של הציקלואיד x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) סביב הציר Oy, שווה ל-16 u2 o2. 539. מצא את פני השטח המתקבלים על ידי סיבוב הקרדיואיד סביב הציר הקוטבי. 540. מצא את השטח של פני השטח שנוצר על ידי סיבוב של lemniscate משימות נוספות לפרק ד' שטחים של דמויות מישוריות 541. מצא את כל השטח של אזור תחום בעיקול 542. מצא את השטח של האזור התחום על ידי העקומה וציר הו. 543. מצא את החלק של השטח של האזור שנמצא ברביע הראשון ותוחם על ידי העקומה אני מתאם צירים. 544. מצא את השטח של השטח הכלול בתוכו לולאות: 545. מצא את השטח של האזור התחום בלולאה אחת של העקומה: 546. מצא את השטח של השטח הכלול בתוך הלולאה: 547. מצא את השטח של האזור התחום על ידי העקומה 548. מצא את השטח של האזור התחום על ידי העקומה 549. מצא את השטח של האזור התחום על ידי ציר Oxr ישר ומתעקם 
תן לכל הגוף להיות מוקף בין 2 מישורים מאונכים לציר ה-x, חותכים אותו בנקודות x=a, x=b (a 
. בואו לבחור
ולכל ערך i=1,…., אנו בונים גוף גלילי, שהגנרטיקס שלו מקביל ל-Ox, והמדריך הוא קו המתאר של חתך הגוף במישור x=C i, נפחו של גליל אלמנטרי כזה עם שטח בסיס S=C i וגובה ∆х i . V i =S(C i)∆x i . הנפח של כל הצילינדרים היסודיים האלה יהיה 
. הגבול של סכום זה, אם הוא קיים והוא סופי במקסימום ∆х 0, נקרא נפח הגוף הנתון.
. מכיוון ש-V n הוא הסכום האינטגרלי של פונקציה S(x) רציפה על קטע, אז הגבול המצוין קיים (t-ma של קיום) והוא מבוטא ב-def. בלתי נפרד.
- נפח הגוף, מחושב משטח החתך.
אנו מקבלים נוסחה לחישוב נפח גוף הסיבוב סביב ציר השור:
. אם הישר ניתן במשוואות פרמטריות:
.
(עם מרכז בנקודה(1;0), ורדיוס=1), עם .
.
.
, ציר 
וקטעי קו ישרים 
ו 
מסתובב סביב ציר 
. אז ניתן לחשב את נפח גוף המהפכה שנוצר על ידי הנוסחה
(2)
הוא מעגל ברדיוס 
, אומר 
והנוסחה (1) נותנת את התוצאה הרצויה.
ו 
, וקטעי קו 
ו 
, יתר על כך 
ו 
, ואז כאשר מסתובבים סביב ציר האבשיסה, אנו מקבלים גוף שנפחו
סביב ציר ה-x.
פִּתָרוֹן.
המעגל שצוין תחום מלמטה על ידי גרף הפונקציה 
, ומעל - 
. ההבדל בין הריבועים של הפונקציות הללו:
, וגובה 
, סובב סביב הבסיס. חשב את נפח הגוף שנוצר ("לימון" מאת Cavalieri).
פִּתָרוֹן.
מניחים את הפרבולה כפי שמוצג באיור. ואז המשוואה שלה 
, ו 
. בוא נמצא את הערך של הפרמטר 
:
. אז, עוצמת הקול הרצויה:
, ציר 
וקטעי קו ישרים 
ו 
, יתר על כך 
, מסתובב סביב ציר 
. אז ניתן למצוא את נפח גוף המהפכה שנוצר על ידי הנוסחה
(3)
רעיון הוכחה.
פיצול הקטע 
נקודות 
, לחלקים ולצייר קווים ישרים 
. כל הטרפז יתפרק לרצועות, שיכולות להיחשב כמלבנים עם בסיס 
וגובה 
.
,
ו 
. הנפח שלו 
. לכן, עבור נפח גוף המהפכה יהיה לנו שוויון משוער
. הסכום שנכתב למעלה הוא הסכום האינטגרלי של הפונקציה 
, לפיכך, בגבול אנו מקבלים את האינטגרל מנוסחה (3). המשפט הוכח.
ניתן להשמיט: נוסחה (2) בדרך כלל לא רגישה לסימן 
, ובנוסחה (3) זה מספיק 
הוחלף על ידי 
.
, גובה 
) סובב סביב הגובה. מצא את נפח הגוף שנוצר.
פִּתָרוֹן.
מסדרים את הפרבולה כפי שמוצג באיור. ולמרות שציר הסיבוב חוצה את הדמות, הוא - הציר - הוא ציר הסימטריה. לכן, יש להתייחס רק לחצי הימני של הקטע. משוואת פרבולה 
, ו 
, אומר 
. יש לנו עבור נפח:
,
,
ו 
,
אז ניתן להשתמש בנוסחאות (2) ו-(3) עם ההחלפה 
על 
ו 
על 
כאשר זה משתנה טמ 
לפני 
.
,
,
, וציר האבשיסה. מצא את נפח הגוף המתקבל על ידי סיבוב הדמות הזו סביב: 1) הציר 
; 2) סרנים 
.
במקרה שלנו:
לדמות שלנו:
וקרניים 
,
, מסתובב סביב ציר הקוטב. ניתן לחשב את נפח הגוף המתקבל על ידי הנוסחה.
, שוכב מחוץ למעגל 
, מסתובב סביב ציר הקוטב. מצא את נפח הגוף שנוצר.
פִּתָרוֹן.
שני הקווים, ומכאן הדמות שהם מגבילים, הם סימטריים על ציר הקוטב. לכן, יש צורך לשקול רק את החלק עבורו 
. העקומות מצטלבות ב 
ו
בְּ- 
. יתרה מכך, הנתון יכול להיחשב כהפרש של שני מגזרים, ומכאן שניתן לחשב את הנפח כהפרש של שני אינטגרלים. יש לנו:
, גובה 
, סובב סביב הבסיס. מצא את נפח גוף המהפכה.
, והגובה הוא 
.
,
מסתובב סביב ציר ה-x. מצא את נפח הגוף, המתקבל במקרה זה.
ו 
מסתובב סביב ציר ה-x. מצא את נפח גוף המהפכה.
הקטע AB נמצא על הישר y=kx+c, שבו 
, c=r.
.
https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.
סביב ציר הקוטב.
וציר הו.
וציר הו.
וציר הו.