Prihvaćene oznake i simboli u nacrtnoj geometriji. Oznake i simbolika Kako označiti linije koje se sijeku

Genetski simbolizam

Simbolika - popis i objašnjenje konvencionalnih naziva i pojmova koji se koriste u bilo kojoj grani znanosti.

Temelje genetske simbolike postavio je Gregor Mendel, koji je koristio simboliku slova za označavanje znakova. Dominantne osobine označene su velikim slovima latinične abecede A, B, C itd., Recesivne - malim slovima - a, b, c itd. Doslovna simbolika koju je predložio Mendel zapravo je algebarski oblik izražavanja zakona nasljeđivanja svojstava.

Sljedeći simbolizam je usvojen za označavanje križanja.

Roditelji su označeni latiničnim slovom P (Roditelji - roditelji), zatim su njihovi genotipovi napisani jedan pored drugog. Ženski rod označen je simbolom ♂ (ogledalo Venere), muški - ♀ (štit i koplje Marsa). Znak "x" stavlja se između roditelja, što označava križanje. Genotip ženske jedinke napisan je na prvom mjestu, a muški - na drugom.

Prva generacija je označena kao F 1 (Filly - djeca), druga generacija - F 2 itd. Uz njih su oznake genotipova potomaka.

Rječnik osnovnih pojmova i pojmova

Aleli (alelni geni)- različiti oblici istog gena, koji nastaju mutacijama i nalaze se na istim točkama (lokusima) uparenih homolognih kromosoma.

Alternativni znakovi- Međusobno isključive, kontrastne značajke.

Gamete (od grčkog "gamete" "- supružnik) - zametna stanica biljnog ili životinjskog organizma koja nosi jedan gen iz alelnog para. Gamete uvijek nose gene u "čistom" obliku, jer nastaju mejotičkom staničnom diobom i sadrže jedan od para homolognih kromosoma.

Gen (od grčkog "genos" "- rođenje) - dio molekule DNA koji nosi informacije o primarnoj strukturi jednog određenog proteina.

Geni su alelni - upareni geni smješteni u identičnim regijama homolognih kromosoma.

Genotip - skup nasljednih sklonosti (gena) tijela.

Heterozigot (od grčkog "heteros" "- drugi i zigota) - zigota koja ima dva različita alela za određeni gen ( Aa, Bb).

Heterozigotnazivamo pojedincima koji su primili različite gene od svojih roditelja. Heterozigotna jedinka u potomstvu daje cijepanje za ovu osobinu.

Homozigot (od grčkog "homos" "- isti i zigota) - zigota koja ima iste alele određenog gena (oba dominantna ili oba recesivna).

homozigot nazivaju se jedinke koje su od roditeljskih jedinki primile iste nasljedne sklonosti (gene) za neke specifično obilježje. Homozigotna jedinka u potomstvu ne daje cijepanje.

homologni kromosomi(od grčkog "homos" "- identičan) - upareni kromosomi, identični po obliku, veličini, skupu gena. U diploidnoj stanici skup kromosoma uvijek je uparen: jedan kromosom je iz para majčinskog podrijetla, drugi je očevog.

Heterozigotnazivamo pojedincima koji su primili različite gene od svojih roditelja. Dakle, prema genotipu jedinke mogu biti homozigoti (AA ili aa) ili heterozigoti (Aa).

Dominantna osobina (gen) – prevladava, manifestira se - označeno je velikim slovima latinične abecede: A, B, C itd.

recesivna osobina (gen) – potisnuti znak - označava se odgovarajućim malim slovom latinične abecede: a, b c itd

Analiza križanja- križanje testnog organizma s drugim, koji je recesivni homozigot za ovu osobinu, što vam omogućuje utvrđivanje genotipa testa.

Križanje dihibrida- križanje oblika koji se međusobno razlikuju po dva para alternativnih svojstava.

Križanje monohibrida- oblici križanja koji se međusobno razlikuju po jednom paru alternativnih obilježja.

Čiste linije - organizmi koji su homozigoti za jednu ili više osobina i ne proizvode alternativnu osobinu u svom potomstvu.

Sušilo za kosu je znak.

Fenotip - ukupnost svih vanjskih znakova i svojstava organizma, dostupnih promatranju i analizi.

Algoritam za rješavanje genetskih problema

1. Pažljivo pročitajte razinu zadatka.
2. Ukratko zabilježite izjavu problema.
3. Zapišite genotipove i fenotipove križanih jedinki.
4. Odredi i zapiši vrste gameta koje tvore križane jedinke.
5. Odredite i zapišite genotipove i fenotipove potomaka dobivenih križanjem.
6. Analizirajte rezultate križanja. Da biste to učinili, odredite broj klasa potomaka po fenotipu i genotipu i zapišite ih kao brojčani omjer.
7. Zapiši odgovor na pitanje.

(Kod rješavanja zadataka na pojedine teme može se mijenjati redoslijed faza, a njihov sadržaj mijenjati.)

Zadaci oblikovanja

1. Uobičajeno je da se prvo zapiše genotip ženke, a zatim mužjaka (točan unos je ♀AABB x ♂aavb; nevažeći unos- ♂ aavv x ♀AABB).
2. Geni istog alelnog para uvijek su zapisani jedan pored drugog(točan unos je ♀AABB; netočan unos je ♀ABAB).
3. Kod upisa genotipa slova koja označavaju svojstva uvijek se pišu abecednim redom, bez obzira da li predstavljaju dominantno ili recesivno svojstvo (ispravan zapis - ♀aaBB;nevažeći unos -♀ Vvaa).
4. Ako je poznat samo fenotip jedinke, tada se prilikom snimanja njenog genotipa upisuju samo oni geni čija je prisutnost neosporna.Gen koji se ne može odrediti fenotipom označen je ikonom "_"(na primjer, ako su žuta boja (A) i gladak oblik (B) sjemena graška dominantne osobine, a zelena boja (a) i naborani oblik (c) recesivni, tada je genotip jedinke sa žutim naboranim sjemenkama je napisan na sljedeći način: A_vv ).
5. Ispod genotipa uvijek se piše fenotip.
6. Gamete se pišu zaokruživanjem.(ALI).
7. Kod jedinki se određuju i bilježe vrste gameta, a ne njihov broj.

Točka je apstraktni objekt koji nema mjerne karakteristike: nema visinu, nema dužinu, nema radijus. U okviru zadatka važno je samo njegovo mjesto

Točka se označava brojem ili velikim (velikim) latiničnim slovom. Nekoliko točkica - različiti brojevi ili različita slova tako da se mogu razlikovati

točka A, točka B, točka C

A B C

točka 1, točka 2, točka 3

1 2 3

Možete nacrtati tri točke "A" na komadu papira i pozvati dijete da povuče liniju kroz dvije točke "A". Ali kako razumjeti kroz koje? A A A

Pravac je skup točaka. Ona samo mjeri duljinu. Nema širine ni debljine.

Označava se malim (malim) latiničnim slovima

linija a, linija b, linija c

a b c

Linija bi mogla biti

1. zatvoreno ako su mu početak i kraj u istoj točki,
2. otvoren ako mu početak i kraj nisu povezani

zatvorene linije

otvorene linije

Izašli ste iz stana, kupili kruh u trgovini i vratili se natrag u stan. Koju ste liniju dobili? Tako je, zatvoreno. Vratili ste se na početnu točku. Izašli ste iz stana, kupili kruh u trgovini, ušli u ulaz i porazgovarali sa susjedom. Koju ste liniju dobili? Otvorena. Niste se vratili na početnu točku. Izašli ste iz stana, kupili kruh u trgovini. Koju ste liniju dobili? Otvorena. Niste se vratili na početnu točku.

1. samopresjecajući se
2. bez samosjecišta

linije koje se same sijeku

linije bez samosjecišta

1. ravno
2. izlomljena linija
3. iskrivljena

ravne linije

isprekidane linije

zakrivljene linije

Prava linija je linija koja ne krivuda, nema ni početka ni kraja, može se produžavati neograničeno u oba smjera

Čak i kada je vidljiv mali dio ravne crte, pretpostavlja se da se ona nastavlja neograničeno u oba smjera.

Označava se malim (malim) latiničnim slovom. Ili dva velika (velika) latinična slova - točke koje leže na ravnoj liniji

ravna crta a

a

pravac AB

B A

ravne linije mogu biti

1. sijeku ako imaju zajedničku točku. Dvije se linije mogu sjeći samo u jednoj točki.
   • okomite ako se sijeku pod pravim kutom (90°).
2. paralelni, ako se ne sijeku, nemaju zajedničku točku.

paralelne linije

linije koje se sijeku

okomite linije

Zraka je dio ravne crte koji ima početak ali nema kraj, može se neograničeno produžavati samo u jednom smjeru

Polazna točka za snop svjetlosti na slici je sunce.

Sunce

Točka dijeli liniju na dva dijela - dvije zrake A A

Greda je označena malim (malim) latiničnim slovom. Ili dva velika (velika) latinična slova, gdje je prvo točka iz koje zraka počinje, a drugo je točka koja leži na zraci

greda a

a

greda AB

B A

Zrake se poklapaju ako

1. nalaze na istoj ravnoj liniji
2. početi u jednoj točki
3. usmjeren na jednu stranu

zrake AB i AC se poklapaju

zrake CB i CA se podudaraju

C B A

Isječak je dio ravne linije koji je omeđen dvjema točkama, odnosno ima i početak i kraj, što znači da se njegova duljina može mjeriti. Duljina segmenta je udaljenost između njegove početne i krajnje točke.

Kroz jednu točku može se povući bilo koji broj linija, uključujući i ravne.

Kroz dvije točke - neograničen broj krivulja, ali samo jedna ravna linija

zakrivljene linije koje prolaze kroz dvije točke

B A

pravac AB

B A

Komad je “odsječen” od ravne linije i ostao je segment. Iz gornjeg primjera možete vidjeti da je njegova duljina najkraća udaljenost između dvije točke. ✂ B A ✂

Isječak se označava s dva velika (velika) latinična slova, pri čemu je prvo točka od koje odsječak počinje, a drugo je točka od koje isječak završava.

segment AB

B A

Zadatak: gdje je pravac, poluprava, dužina, krivulja?

Izlomljena linija je crta koja se sastoji od uzastopno povezanih odsječaka koji nisu pod kutom od 180°

Dugi segment je "razbijen" na nekoliko kratkih.

Karike polilinije (slično karikama lanca) su segmenti koji čine poliliniju. Susjedni linkovi su linkovi u kojima je kraj jednog linka početak drugog. Susjedne veze ne smiju ležati na istoj ravnoj liniji.

Vrhovi polilinije (slično vrhovima planina) su točke od kojih polilinija počinje, točke u kojima se spajaju segmenti koji tvore poliliniju, točka gdje polilinija završava.

Polilinija se označava ispisivanjem svih njezinih vrhova.

izlomljena crta ABCDE

vrh polilinije A, vrh polilinije B, vrh polilinije C, vrh polilinije D, vrh polilinije E

karika izlomljene linije AB, karika izlomljene linije BC, karika izlomljene linije CD, karika izlomljene linije DE

karika AB i karika BC su susjedne

veza BC i veza CD su susjedne

link CD i link DE su susjedni

A B C D E 64 62 127 52

Duljina polilinije je zbroj duljina njezinih karika: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Zadatak: koja je izlomljena linija duža, a koji ima više vrhova? U prvom redu sve su karike iste duljine, odnosno 13 cm. Drugi red ima sve karike iste duljine, odnosno 49 cm. Treća linija ima sve karike iste duljine, odnosno 41 cm.

Poligon je zatvorena polilinija

Stranice poligona (pomoći će vam da zapamtite izraze: "idi na sve četiri strane", "trči prema kući", "s koje ćeš strane stola sjesti?") poveznice su izlomljene linije. Susjedne stranice mnogokuta su susjedne karike izlomljene linije.

Vrhovi poligona su vrhovi polilinije. Susjedni vrhovi su krajnje točke jedne stranice poligona.

Mnogokut se označava navođenjem svih njegovih vrhova.

zatvorena polilinija bez samosjecišta, ABCDEF

poligon ABCDEF

vrh poligona A, vrh poligona B, vrh poligona C, vrh poligona D, vrh poligona E, vrh poligona F

vrh A i vrh B su susjedni

vrh B i vrh C su susjedni

vrh C i vrh D su susjedni

vrh D i vrh E su susjedni

vrh E i vrh F su susjedni

vrh F i vrh A su susjedni

stranica mnogokuta AB, stranica poligona BC, stranica poligona CD, stranica poligona DE, stranica poligona EF

stranica AB i stranica BC su susjedne

stranica BC i stranica CD su susjedne

strana CD i strana DE su susjedne

stranica DE i stranica EF su susjedne

stranica EF i stranica FA su susjedne

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Opseg mnogokuta je duljina polilinije: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Poligon s tri vrha naziva se trokut, s četiri - četverokut, s pet - peterokut i tako dalje.

Na predavanjima i vježbama usvojit će se sustav notacije i simbola (tablice 2,3) koji je izradio prof. N.F. Četveruhin. Sustav ovih oznaka trenutno se široko koristi na odsjecima deskriptivne geometrije i inženjerske grafike vodećih ruskih sveučilišta.

tablica 2

SIMBOLI GEOMETRIJSKIH OBJEKATA

Geometrijski lik (objekt)	Zapis i primjer
Točka	Veliko slovo latinice: ALI, NA, IZ, ... ili arapski broj: 1 , 2 , 3 , … (može biti rimski broj: ja, II, III, …). projekcijski centar S. Podrijetlo O(pismo). Točka u beskonačnosti: S¥, ALI ¥ , NA ¥ , ….
Linija - ravna ili zakrivljena	Malo slovo latinične abecede: a,b,c, …. Horizontalno h; frontalni f; profil prava linija ili krivulja (profil) R; os rotacije ja; smjer projekcije ili smjer pogleda u prostoru: s- na P 1, v- na P 2; koordinatne osi: x, g, z; osi projekcije x, g, z ili x 12, x24 itd. ( AB) je pravac definiran točkama ALI i NA; Ι ABΙ - duljina segmenta AB prirodna veličina segmenta AB. Zagrade se ne stavljaju ako tekst sadrži odgovarajuće riječi (npr. pravac AB).
Površina (uključujući ravninu)	G(gama), S(sigma), L(lambda), ....
Ravnina projekcije	Veliko slovo grčkog alfabeta: P(pi) uz dodatak indeksa. P 1– horizontalna ravnina projekcija; P 2– frontalna ravnina projekcija; P 3– profilna ravnina projekcija; P 4, P 5, … su dodatne projekcijske ravnine.
Kutak	Malo slovo grčkog alfabeta: a, b, g, ….
Projekcija objekta	A 1, b 1, S1– horizontalne projekcije točke ALI, linije b, površine S; A 2, b 2, S2– frontalne projekcije točke ALI, ravno b, površine S; itd.

Tablica 3

SIMBOLI ODNOSA I LOGIČKIH OPERACIJA

Znak	Značenje znaka	Primjer, objašnjenje
Ì ili É Î ili "	Uzajamno pripadanje (incident) objekata kao skupova, podskupova točka	tÌ G- crta t pripada površini G; površinski G prolazi kroz liniju t; GÉ t- isti (znak otvorenim dijelom uvijek je okrenut prema većem skupu). t "A- crta t prolazi kroz točku ALI; točka ALI pripada liniji t; ALIÎ t– isto (znak O je otvorenim dijelom okrenut prema skupu).
∩	križanje	a ∩ b– linije a i b presijecati; S (a ∩ b) - avion S postavljena linijama koje se sijeku a i b.
= ili	Rezultatska utakmica	ALI=a∩b- točka ALI dobivenih kao rezultat sjecišta linija a i b.ê ABê=ê EFê - segment AB jednak segmentu EF. A 2=U 2– frontalne projekcije točaka ALI i NA odgovarati.
ΙΙ	Paralelizam	(AB) ΙΙ (SD) – ravne linije AB i CD su paralelni.
^	Okomitost	AB^CD
®	Prikazan redoslijed operacija	ALI 1® ALI 2 - na horizontalnoj projekciji točke ALI gradeći frontu.

4. METODIČKE UPUTE ZA IZVOĐENJE GRAFIČKIH RADOVA

Grafički rad br.1

"Projekcija"

Vježba:

1. Na formatu A3, prema dvije zadane projekcije kuće, izgradite projekciju profila, povećavajući sliku 2 puta.

2. Odredite na crtežu, označite i zabilježite u tablici u donjem desnom kutu (veličina tablice - 100x100 mm), koji se nalazi iznad glavnog natpisa, položaj linija u prostoru (ravno opći položaj, tri ravne linije, tri izbočene linije, jedan par paralelnih linija, jedan par linija koje se sijeku, jedan par kosih linija).

3. Definirati prirodnoj veličini pravac općeg položaja i njezini kutovi nagiba prema ravninama projekcija.

4. Odredite koordinate bilo kojih pet označenih točaka. Podatke unesite u tablicu u gornjem desnom kutu formata (veličina tablice 40x60 mm).

5. Odaberite i izradite aksonometrijsku projekciju kuće na formatu A4, nacrtajte dijagram aksonometrijskih osi. Osjenčajte aksonometriju olovkama u boji.

Upute za izvođenje grafičkog rada br.1. Na listu A3 nacrtajte koordinatne osi u sredini lista. Prema vašoj verziji, izgradite dvije projekcije "Kuće", povećavajući sliku 2 puta. Frontalna projekcija baze "kuće" treba biti na osi OX. Pomoću linija projekcijske veze izgradite treću projekciju "kuće".

Zatim uzastopno odredite i označite velikim slovima latinične abecede na tri projekcije "kuće" ravne linije navedene u zadatku. Zabilježite rezultate u tablicu. Primjer popunjavanja tablice prikazan je na slici.

Za ravnu liniju koja se nalazi u općem položaju na ravnini P 1 i P 2 odredite i označite stvarnu veličinu pomoću metode pravokutni trokut te njezine nagibne kutove na horizontalnu i frontalnu projekcijsku ravninu (α i β).

Za bilo kojih pet naznačenih točaka odredite koordinate. Unesite vrijednosti u mm u tablicu. Primjer popunjavanja tablice prikazan je na slici.

Odaberite vrstu aksonometrijske projekcije na način da se ravnine (lica) ne projiciraju u crte na slici kuće. Na formatu A4 izgraditi odabranu aksonometrijsku projekciju, zadržavajući sekundarnu horizontalnu projekciju i aksonometrijske osi.

Olovkama u boji obojite aksonometrijsku projekciju "Kuće". U gornjem desnom kutu nacrtajte dijagram aksonometrijskih osi. Primjer grafičkog rada na slici 9.10.

Varijante zadataka za grafički rad br. 1 "Projekcija"

Grafički rad br.2

"Konstrukcija krnje prizme i krnjeg valjka"

Vježba:

Grafički rad se izvodi na dva A3 formata, a sastoji se od dva zadatka.

Zadatak broj 1. Konstruirajte tri projekcije izravne šesterokutne prizme (podatke za konstrukciju uzmite iz tablice prema vlastitoj verziji). Konstruirajte prirodnu veličinu konture presjeka metodom zamjene ravnina projekcije. Izgradite zamah. Odaberite i nacrtajte aksonometrijsku projekciju. Nemojte primjenjivati ​​dimenzije. Crtež treba naznačiti točke za konstrukciju i linije spoja projekcije.

Beskonačnost.J. Wallis (1655).

Prvi put se nalazi u raspravi engleskog matematičara Johna Valisa "O konusnim presjecima".

Baza prirodnih logaritama. L. Euler (1736).

Matematička konstanta, transcendentni broj. Ovaj se broj ponekad naziva ne-Perov u čast škotskog znanstvenik Napier, autor djela "Opis nevjerojatne tablice logaritama" (1614.). Po prvi put, konstanta je prešutno prisutna u dodatku prijevoda na Engleski jezik gore spomenuto Napierovo djelo, objavljeno 1618. Istu konstantu prvi je izračunao švicarski matematičar Jacob Bernoulli tijekom rješavanja problema granične vrijednosti prihoda od kamata.

2,71828182845904523...

Prva poznata upotreba ove konstante, gdje je bila označena slovom b, koji se nalazi u Leibnizovim pismima Huygensu, 1690.-1691. pismo e počeo koristiti Eulera 1727., a prva publikacija s ovim pismom bila je njegova Mehanika, ili znanost o gibanju, analitički iskazana, 1736. Odnosno, e uobičajeno nazvan Eulerov broj. Zašto je odabrano pismo? e, nije točno poznato. Možda je to zbog činjenice da riječ počinje s njim eksponencijalni("eksponencijalni", "eksponencijalni"). Druga je pretpostavka da su slova a, b, c i d već naširoko koristi u druge svrhe, i e bilo je prvo "slobodno" pismo.

Omjer opsega kruga i njegovog promjera. W. Jones (1706), L. Euler (1736).

Matematička konstanta, iracionalni broj. Broj "pi", stari naziv je Ludolfov broj. Kao i svaki iracionalni broj, π je predstavljen beskonačnim neperiodičnim decimalnim razlomkom:

π=3,141592653589793...

Prvi put je oznaku ovog broja grčkim slovom π upotrijebio britanski matematičar William Jones u knjizi Novi uvod u matematiku, a postala je općeprihvaćena nakon rada Leonarda Eulera. Ova oznaka dolazi od početnog slova grčkih riječi περιφερεια - krug, periferija i περιμετρος - opseg. Johann Heinrich Lambert dokazao je iracionalnost broja π 1761. godine, a Adrien Marie Legendre 1774. godine dokazao je iracionalnost broja π 2 . Legendre i Euler pretpostavili su da π može biti transcendentalan, tj. ne može zadovoljiti niti jednu algebarsku jednadžbu s cjelobrojnim koeficijentima, što je naposljetku 1882. dokazao Ferdinand von Lindemann.

imaginarna jedinica. L. Euler (1777., u tisku - 1794.).

Poznato je da jednadžba x 2 \u003d 1 ima dva korijena: 1 i -1 . Imaginarna jedinica je jedan od dva korijena jednadžbe x 2 \u003d -1, označava se latiničnim slovom ja, drugi korijen: -i. Ovu oznaku predložio je Leonhard Euler, koji je za to uzeo prvo slovo latinske riječi imaginarius(imaginaran). Također je proširio sve standardne funkcije na kompleksnu domenu, tj. skup brojeva koji se mogu prikazati u obliku a+ib, gdje a i b su realni brojevi. Pojam "kompleksni broj" u široku je upotrebu uveo njemački matematičar Carl Gauss 1831. godine, iako je taj pojam u istom značenju prije toga koristio francuski matematičar Lazar Carnot 1803. godine.

Jedinični vektori. W. Hamilton (1853).

Jedinični vektori često su povezani s koordinatnim osima koordinatnog sustava (osobito s osi Kartezijevog koordinatnog sustava). Jedinični vektor usmjeren duž osi x, označeno ja, jedinični vektor usmjeren duž osi Y, označeno j, a jedinični vektor usmjeren duž osi Z, označeno k. Vektori ja, j, k nazivaju se orti, imaju module identiteta. Pojam "ort" uveo je engleski matematičar i inženjer Oliver Heaviside (1892.), a oznaku ja, j, k irski matematičar William Hamilton.

Cijeli dio broja, antie. K. Gaussa (1808).

Cjelobrojni dio broja [x] broja x je najveći cijeli broj koji ne prelazi x. Dakle, =5, [-3,6]=-4. Funkcija [x] se također naziva "antier of x". Simbol funkcije cijelog broja uveo je Carl Gauss 1808. Neki matematičari radije koriste oznaku E(x) koju je 1798. predložio Legendre.

Kut paralelnosti. N.I. Lobačevski (1835).

Na ravnini Lobačevskog – kut između pravcabprolazeći kroz točkuOparalelno s ravnom linijoma, ne sadrži točkuO, a okomito odO na a. α je duljina ove okomice. Kako se točka uklanjaO iz ravnog akut paralelizma se smanjuje od 90° do 0°. Lobačevski je dao formulu za kut paralelnostiP( α )=2arctg e - α /q , gdje q je neka konstanta vezana uz zakrivljenost prostora Lobačevskog.

Nepoznate ili promjenjive količine. R. Descartes (1637).

U matematici, varijabla je veličina koju karakterizira skup vrijednosti koje može poprimiti. To može značiti i stvarnu fizičku veličinu, privremeno promatranu odvojeno od njezinog fizičkog konteksta, i neku apstraktnu količinu koja nema analoga u stvarnom svijetu. Pojam varijable nastao je u 17. stoljeću. u početku pod utjecajem zahtjeva prirodne znanosti, koja je u prvi plan stavila proučavanje kretanja, procesa, a ne samo stanja. Ovaj koncept zahtijevao je nove oblike za svoj izraz. Doslovna algebra i analitička geometrija Renéa Descartesa bile su takve nove forme. Po prvi put je pravokutni koordinatni sustav i oznake x, y uveo Rene Descartes u svom djelu "Rasprava o metodi" 1637. godine. Pierre Fermat također je pridonio razvoju koordinatne metode, ali je njegov rad prvi put objavljen nakon njegove smrti. Descartes i Fermat koristili su koordinatnu metodu samo u ravnini. Metodu koordinata za trodimenzionalni prostor prvi je primijenio Leonhard Euler već u 18. stoljeću.

Vektor. O.Koshi (1853).

Od samog početka, vektor se shvaća kao objekt koji ima veličinu, smjer i (po izboru) točku primjene. Počeci vektorskog računa pojavili su se zajedno s geometrijski model kompleksni brojevi Gaussa (1831). Napredne operacije na vektorima objavio je Hamilton kao dio svog kvaternionskog računa (imaginarne komponente kvaterniona tvore vektor). Hamilton je skovao termin vektor(od latinske riječi vektor, prijevoznik) i opisao neke operacije vektorske analize. Taj je formalizam koristio Maxwell u svojim radovima o elektromagnetizmu, skrećući tako pozornost znanstvenika na novi račun. Ubrzo su uslijedili Gibbsovi Elementi vektorske analize (1880-ih), a zatim je Heaviside (1903.) vektorskoj analizi dao njen moderni izgled. Sam vektorski znak uveo je francuski matematičar Augustin Louis Cauchy 1853. godine.

Zbrajanje, oduzimanje. J. Widman (1489).

Znakovi plus i minus očito su izmišljeni u njemačkoj matematičkoj školi "kosista" (to jest, algebraista). Koriste se u udžbeniku Jana (Johannesa) Widmanna Brzo i ugodno brojanje za sve trgovce, objavljenom 1489. godine. Prije toga zbrajanje se označavalo slovom str(od latinskog plus"više") ili latinska riječ et(veznik "i"), a oduzimanje - slovom m(od latinskog minus"manje, manje"). U Widmanu simbol plus zamjenjuje ne samo zbrajanje, već i uniju "i". Podrijetlo ovih simbola nije jasno, ali najvjerojatnije su se prije koristili u trgovini kao znakovi dobiti i gubitka. Oba simbola ubrzo su postala uobičajena u Europi - s izuzetkom Italije, koja je koristila stare oznake oko jednog stoljeća.

Množenje. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).

Znak množenja u obliku kosog križa uveo je 1631. godine Englez William Outred. Prije njega, najčešće korišteno slovo M, iako su predložene i druge oznake: simbol pravokutnika (francuski matematičar Erigon, 1634.), zvjezdica (švicarski matematičar Johann Rahn, 1659.). Kasnije je Gottfried Wilhelm Leibniz križ zamijenio točkom (kraj 17. stoljeća), da ga ne bi zamijenili sa slovom x; prije njega takvu su simboliku pronašli njemački astronom i matematičar Regiomontanus (XV. stoljeće) i engleski znanstvenik Thomas Harriot (1560. -1621.).

Podjela. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).

William Outred koristio je kosu crtu / kao znak dijeljenja. Podjela dvotočke počela je označavati Gottfrieda Leibniza. Prije njih, slovo se također često koristilo D. Polazeći od Fibonaccija koristi se i vodoravna crta razlomka, koju su koristili Heron, Diofant iu arapskim spisima. U Engleskoj i Sjedinjenim Državama postao je raširen simbol ÷ (obelus), koji je predložio Johann Rahn (vjerojatno uz sudjelovanje Johna Pella) 1659. godine. Pokušaj Američkog nacionalnog odbora za matematičke standarde ( Nacionalni odbor za matematičke zahtjeve) ukloniti obelus iz prakse (1923.) nije bio uvjerljiv.

postotak. M. de la Porte (1685).

Stoti dio cjeline, uzet kao jedinica. Sama riječ "postotak" dolazi od latinskog "pro centum", što znači "sto". Godine 1685. u Parizu je objavljena knjiga Manual of Commercial Arithmetic Mathieua de la Portea. Na jednom mjestu se radilo o postocima, što je tada značilo "cto" (skraćenica od cento). Međutim, slagač je taj "cto" zamijenio za razlomak i upisao "%". Dakle, zbog tipfelera, ovaj znak je ušao u upotrebu.

Stupnjevi. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).

Modernu oznaku eksponenta uveo je René Descartes u svom " geometrije"(1637.), međutim, samo za prirodne potencije s eksponentima većim od 2. Kasnije je Isaac Newton proširio ovaj oblik notacije na negativne i frakcijske eksponente (1676.), čije je tumačenje već bilo predloženo u to vrijeme: flamanski matematičar i inženjer Simon Stevin, engleski matematičar John Vallis i francuski matematičar Albert Girard.

aritmetički korijen n potencija realnog broja a≥0, - nenegativan broj n-ti stupanj koji je jednak a. Aritmetički korijen 2. stupnja naziva se kvadratni korijen i može se napisati bez navođenja stupnja: √. Aritmetički korijen 3. stupnja naziva se kubni korijen. Srednjovjekovni matematičari (na primjer, Cardano) označavali su kvadratni korijen simbolom R x (od lat. Radix, korijen). Modernu oznaku prvi je upotrijebio njemački matematičar Christoph Rudolf, iz Cossističke škole, 1525. godine. Ovaj simbol dolazi od stiliziranog prvog slova iste riječi korijen. Crta iznad radikalnog izraza isprva je izostala; kasnije ga je uveo Descartes (1637.) za drugu svrhu (umjesto zagrada), a ta se značajka ubrzo stopila sa znakom korijena. Kubni korijen u 16. stoljeću označavan je na sljedeći način: R x .u.cu (od lat. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) počeo je koristiti uobičajeni zapis za korijen proizvoljnog stupnja. Ovaj format uspostavljen je zahvaljujući Isaacu Newtonu i Gottfriedu Leibnizu.

Logaritam, decimalni logaritam, prirodni logaritam. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).

Pojam "logaritam" pripada škotskom matematičaru Johnu Napieru ( "Opis nevjerojatne tablice logaritama", 1614); nastao je kombinacijom grčkih riječi λογος (riječ, odnos) i αριθμος (broj). J. Napierov logaritam je pomoćni broj za mjerenje omjera dvaju brojeva. Modernu definiciju logaritma prvi je dao engleski matematičar William Gardiner (1742.). Po definiciji, logaritam broja b razumom a (a ≠ 1, a > 0) - eksponent m, na koju broj treba podići a(naziva se baza logaritma) dobiti b. Označeno log a b. Tako, m = log a b, ako a m = b.

Prve tablice decimalnih logaritama objavio je 1617. profesor matematike s Oxforda Henry Briggs. Stoga se u inozemstvu decimalni logaritmi često nazivaju brigovima. Pojam "prirodni logaritam" uveli su Pietro Mengoli (1659.) i Nicholas Mercator (1668.), iako je londonski učitelj matematike John Spidell sastavio tablicu prirodnih logaritama još 1619. godine.

Sve do kraja 19. stoljeća nije postojao općeprihvaćeni zapis za logaritam, bazu a naznačeno lijevo i iznad simbola log, zatim preko njega. Na kraju su matematičari došli do zaključka da je najprikladnije mjesto za bazu ispod crte, iza simbola log. Znak logaritma - rezultat redukcije riječi "logaritam" - pojavljuje se u različite vrste gotovo istodobno s pojavom prvih tablica logaritama, na primjer Dnevnik- I. Kepler (1624.) i G. Briggs (1631.), log- B. Cavalieri (1632). Oznaka ul jer je prirodni logaritam uveo njemački matematičar Alfred Pringsheim (1893).

Sinus, kosinus, tangens, kotangens. W. Outred (sredina 17. st.), I. Bernoulli (18. st.), L. Euler (1748., 1753.).

Stenografski zapis za sinus i kosinus uveo je William Outred sredinom 17. stoljeća. Kratice za tangens i kotangens: tg, ctg uveo Johann Bernoulli u 18. stoljeću, postale su raširene u Njemačkoj i Rusiji. U drugim zemljama koriste se nazivi ovih funkcija. tan, krevetić predložio Albert Girard još ranije, početkom 17. stoljeća. Leonard Euler (1748., 1753.) doveo je teoriju trigonometrijskih funkcija u njezin moderni oblik, a njemu dugujemo i konsolidaciju pravog simbolizma.Pojam "trigonometrijske funkcije" uveo je njemački matematičar i fizičar Georg Simon Klugel 1770. godine.

Sinusna linija indijskih matematičara izvorno se zvala "arha jiva"("polužica", odnosno polovica akorda), zatim rječ "archa" je odbačena i sinusna linija se počela nazivati ​​jednostavno "jiva". Arapski prevoditelji nisu preveli riječ "jiva" arapska riječ "vatar", označavajući tetivu i tetivu, i transkribirao arapskim slovima i počeo nazivati ​​sinusnom linijom "jiba". Budući da kratki samoglasnici nisu naznačeni na arapskom, a dugi "i" u riječi "jiba" označavao na isti način kao poluglas "y", Arapi su počeli izgovarati naziv sinusne linije "jibe", što doslovno znači "šupljina", "njedra". Kada su prevodili arapska djela na latinski, europski su prevoditelji prevodili tu riječ "jibe" latinska riječ sinus, imajući isto značenje.Pojam "tangenta" (od lat.tangente- dodirivanje) uveo je danski matematičar Thomas Fincke u svojoj Geometriji kruga (1583.).

Arksinus. K.Scherfer (1772), J.Lagrange (1772).

Inverzne trigonometrijske funkcije su matematičke funkcije koje su inverzne trigonometrijskim funkcijama. Naziv inverzne trigonometrijske funkcije formira se od naziva odgovarajuće trigonometrijske funkcije dodavanjem prefiksa "luk" (od lat. luk- luk).Inverzne trigonometrijske funkcije obično uključuju šest funkcija: arksinus (arcsin), arkkosinus (arccos), arktangens (arctg), arkotangens (arcctg), arksekant (arcsec) i arkkosekant (arccosec). Prvi put posebne simbole za inverzne trigonometrijske funkcije upotrijebio je Daniel Bernoulli (1729., 1736.).Način zapisivanja inverznih trigonometrijskih funkcija s prefiksom luk(od lat. arcus, luk) pojavio se kod austrijskog matematičara Karla Scherfera i dobio uporište zahvaljujući francuskom matematičaru, astronomu i mehaničaru Josephu Louisu Lagrangeu. Mislilo se da vam, na primjer, uobičajeni sinus omogućuje pronalaženje akorda koji ga spaja duž kružnog luka, a inverzna funkcija rješava suprotan problem. engleski i njemački matematičke škole do kraja 19. st. predložene su i druge oznake: sin -1 i 1/sin, ali nisu široko korišteni.

Hiperbolički sinus, hiperbolički kosinus. W. Riccati (1757).

Povjesničari su otkrili prvo pojavljivanje hiperboličkih funkcija u spisima engleskog matematičara Abrahama de Moivrea (1707., 1722.). Suvremenu definiciju i njihovu detaljnu studiju proveo je Talijan Vincenzo Riccati 1757. godine u djelu "Opusculorum", a predložio je i njihove oznake: sh,CH. Riccati je pošao od razmatranja jedne hiperbole. Samostalno otkriće i daljnje proučavanje svojstava hiperboličkih funkcija izvršio je njemački matematičar, fizičar i filozof Johann Lambert (1768.), koji je uspostavio široki paralelizam između formula obične i hiperboličke trigonometrije. N.I. Lobačevski je kasnije koristio ovaj paralelizam, pokušavajući dokazati dosljednost neeuklidske geometrije, u kojoj je obična trigonometrija zamijenjena hiperboličkom.

Kao što su trigonometrijski sinus i kosinus koordinate točke na koordinatnoj kružnici, hiperbolički sinus i kosinus su koordinate točke na hiperboli. Hiperboličke funkcije izražavaju se eksponentom i usko su povezane s trigonometrijskim funkcijama: sh(x)=0,5(e x-e-x) , ch(x)=0,5(e x +e -x). Po analogiji s trigonometrijskim funkcijama, hiperbolički tangens i kotangens definiraju se kao omjeri hiperboličkog sinusa i kosinusa, odnosno kosinusa i sinusa.

Diferencijal. G. Leibniz (1675, u tisku 1684).

Glavni, linearni dio inkrementa funkcije.Ako funkcija y=f(x) jedna varijabla x ima at x=x0derivat, i prirastΔy \u003d f (x 0 +? x)-f (x 0)funkcije f(x) može se predstaviti kaoΔy \u003d f "(x 0) Δx + R (Δx) , gdje član R beskrajno malen u usporedbi sΔx. Prvi člandy=f"(x 0 )Δxu ovom se proširenju naziva diferencijalom funkcije f(x) u točkix0. NA djela Gottfrieda Leibniza, Jacoba i Johanna Bernoullija riječ"diferencija"korišten u značenju "prirast", I. Bernoulli ga je označio kroz Δ. G. Leibniz (1675., objavljeno 1684.) koristio je oznaku za "beskonačno malu razliku"d- prvo slovo riječi"diferencijal", formiran od njega iz"diferencija".

Neodređeni integral. G. Leibniz (1675, u tisku 1686).

Riječ "integral" prvi je upotrijebio u tisku Jacob Bernoulli (1690.). Možda je izraz izveden iz latinskog cijeli broj- cijeli. Prema drugoj pretpostavci, osnova je bila latinska riječ integro- vratiti, vratiti. Znak ∫ koristi se za označavanje integrala u matematici i stilizirana je slika prvog slova latinske riječi suma- iznos. Prvi ga je upotrijebio njemački matematičar Gottfried Leibniz, utemeljitelj diferencijalnog i integralnog računa, krajem 17. stoljeća. Još jedan od utemeljitelja diferencijalnog i integralnog računa, Isaac Newton, u svojim radovima nije ponudio alternativnu simboliku integrala, iako je isprobavao razne mogućnosti: okomitu crtu iznad funkcije ili kvadratni simbol koji stoji ispred funkcije ili graniči s njim. Neodređeni integral za funkciju y=f(x) je skup svih antiderivacija dane funkcije.

Određeni integral. J. Fourier (1819-1822).

Određeni integral funkcije f(x) s donjom granicom a i gornja granica b može se definirati kao razlika F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , gdje F(x)- neka antiderivativna funkcija f(x) . Određeni integral a ∫ b f(x)dx brojčano jednaka površini figure omeđene osi x, ravne linije x=a i x=b i graf funkcije f(x). Dizajn određenog integrala u obliku koji nam je poznat predložio je francuski matematičar i fizičar Jean Baptiste Joseph Fourier godine početkom XIX stoljeća.

Izvedenica. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).

Derivacija - osnovni koncept diferencijalnog računa, karakterizira brzinu promjene funkcije f(x) kada se argument promijeni x . Definira se kao granica omjera prirasta funkcije i prirasta njezinog argumenta dok priraštaj argumenta teži nuli, ako takva granica postoji. Funkcija koja ima konačnu derivaciju u nekoj točki naziva se diferencijabilnom u toj točki. Proces izračuna derivacije naziva se diferencijacija. Obrnuti proces je integracija. U klasičnom diferencijalnom računu derivacija se najčešće definira kroz pojmove teorije limita, međutim povijesno se teorija limita pojavila kasnije od diferencijalnog računa.

Pojam "derivativa" uveo je Joseph Louis Lagrange 1797.; dy/dx— Gottfried Leibniz 1675. Način označavanja izvedenice s obzirom na vrijeme točkom iznad slova potječe od Newtona (1691).Ruski izraz "derivacija funkcije" prvi je upotrijebio ruski matematičarVasilij Ivanovič Viskovatov (1779.-1812.).

Privatna izvedenica. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).

Za funkcije mnogih varijabli definirane su parcijalne derivacije - derivacije u odnosu na jedan od argumenata, izračunate pod pretpostavkom da su ostali argumenti konstantni. Notacija ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ g uveo francuski matematičar Adrien Marie Legendre 1786.; fx",zx"- Joseph Louis Lagrange (1797., 1801.); ∂ 2z/ ∂ x2, ∂ 2z/ ∂ x ∂ g- parcijalne derivacije drugog reda - njemački matematičar Carl Gustav Jacob Jacobi (1837.).

Razlika, prirast. I. Bernoulli (kraj 17. st. - prva polovica 18. st.), L. Euler (1755.).

Oznaku inkrementa slovom Δ prvi je upotrijebio švicarski matematičar Johann Bernoulli. Simbol "delta" ušao je u uobičajenu praksu nakon rada Leonharda Eulera 1755. godine.

Iznos. L. Eulera (1755).

Zbroj je rezultat zbrajanja vrijednosti (brojeva, funkcija, vektora, matrica itd.). Za označavanje zbroja n brojeva a 1, a 2, ..., a n koristi se grčko slovo "sigma" Σ: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a ja . Znak Σ za sumu uveo je Leonhard Euler 1755. godine.

Raditi. K. Gaussa (1812).

Umnožak je rezultat množenja. Za označavanje umnoška n brojeva a 1, a 2, ..., a n koristi se grčko slovo "pi" Π: a 1 a 2 ... a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Na primjer, 1 3 5 ... 97 99 = ? 50 1 (2i-1). Oznaku Π za proizvod uveo je njemački matematičar Carl Gauss 1812. godine. U ruskoj matematičkoj literaturi pojam "rad" prvi je put susreo Leontije Filipovič Magnicki 1703. godine.

Faktorijel. K.Krump (1808).

Faktorijel broja n (označava se n!, izgovara se "en faktorijel") je proizvod svih prirodni brojevi do uključivo n: n! = 1 2 3 ... n. Na primjer, 5! = 1 2 3 4 5 = 120. Prema definiciji, 0! = 1. Faktorijel je definiran samo za nenegativne cijele brojeve. Faktorijel broja n jednak je broju permutacija od n elemenata. Na primjer, 3! = 6, zaista,

♣ ♦

♣ ♦

♣ ♦

♦ ♣

♦ ♣

♦ ♣

Svih šest i samo šest permutacija tri elementa.

Pojam "faktorijel" uveo je francuski matematičar i politička ličnost Louis François Antoine Arbogast (1800.), oznaka n! - francuski matematičar Christian Kramp (1808.).

Modul, apsolutna vrijednost. K. Weierstrassa (1841).

Modul, apsolutna vrijednost realnog broja x - nenegativan broj definiran na sljedeći način: |x| = x za x ≥ 0, i |x| = -x za x ≤ 0. Na primjer, |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Modul kompleksnog broja z = a + ib je realan broj jednak √(a 2 + b 2).

Vjeruje se da je termin "modul" predložio engleski matematičar i filozof, Newtonov učenik, Roger Cotes. Gottfried Leibniz također je koristio ovu funkciju, koju je nazvao "modul" i označio: mol x. Općeprihvaćenu oznaku apsolutne vrijednosti uveo je 1841. njemački matematičar Karl Weierstrass. Za kompleksne brojeve ovaj koncept uveli su francuski matematičari Augustin Cauchy i Jean Robert Argan početkom 19. stoljeća. Godine 1903. austrijski znanstvenik Konrad Lorenz upotrijebio je istu simboliku za duljinu vektora.

Norma. E. Schmidta (1908).

Norma je funkcional definiran na vektorskom prostoru i generalizira koncept duljine vektora ili modula broja. Znak "norma" (od latinske riječi "norma" - "pravilo", "uzorak") uveo je njemački matematičar Erhard Schmidt 1908. godine.

Ograničiti. S. Luillier (1786), W. Hamilton (1853), mnogi matematičari (do početka 20. st.)

Granica - jedan od temeljnih pojmova matematičke analize, koji znači da se neka promjenjiva vrijednost u procesu svoje promatrane promjene neograničeno približava određenoj konstantnoj vrijednosti. Koncept limita intuitivno je korišten još u drugoj polovici 17. stoljeća od strane Isaaca Newtona, kao i matematičara 18. stoljeća, poput Leonharda Eulera i Josepha Louisa Lagrangea. Prve rigorozne definicije limita niza dali su Bernard Bolzano 1816. i Augustin Cauchy 1821. Simbol lim (prva 3 slova iz latinske riječi limes - granica) pojavio se 1787. kod švicarskog matematičara Simona Antoinea Jean Lhuilliera, ali njegova upotreba još nije bila nalik modernoj. Izraz lim u nama poznatijem obliku prvi je upotrijebio irski matematičar William Hamilton 1853. godine.Weierstrass je uveo oznaku blisku modernoj, ali je umjesto uobičajene strelice koristio znak jednakosti. Strijela se pojavila početkom 20. stoljeća kod nekoliko matematičara odjednom - na primjer, kod engleskog matematičara Godfrieda Hardyja 1908. godine.

Zeta funkcija, d Riemannova zeta funkcija. B. Riemanna (1857).

Analitička funkcija kompleksne varijable s = σ + it, za σ > 1, određena apsolutno i uniformno konvergentnim Dirichletovim redom:

ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .

Za σ > 1 vrijedi prikaz u obliku Eulerovog produkta:

ζ(s) = Π str (1-p -s) -s ,

gdje se umnožak preuzima preko svih prostih brojeva p. Zeta funkcija igra veliku ulogu u teoriji brojeva.Kao funkciju realne varijable, zeta funkciju uveo je 1737. (objavljena 1744.) L. Euler, koji je naznačio njezino razlaganje na umnožak. Zatim je ovu funkciju razmatrao njemački matematičar L. Dirichlet i, posebno uspješno, ruski matematičar i mehaničar P.L. Chebyshev u proučavanju zakona raspodjele primarni brojevi. Međutim, najdublja svojstva zeta funkcije otkrivena su kasnije, nakon rada njemačkog matematičara Georga Friedricha Bernharda Riemanna (1859.), gdje je zeta funkcija razmatrana kao funkcija kompleksne varijable; također je uveo naziv "zeta funkcija" i oznaku ζ(s) 1857. godine.

Gama funkcija, Eulerova Γ-funkcija. A. Legendre (1814).

Gama funkcija je matematička funkcija koja proširuje pojam faktorijela na polje kompleksnih brojeva. Obično se označava s Γ(z). Z-funkciju je prvi uveo Leonhard Euler 1729. godine; definiran je formulom:

Γ(z) = limn→∞ n!n z /z(z+1)...(z+n).

Velik broj integrala, beskonačnih umnožaka i zbrojeva nizova izražava se kroz G-funkciju. Široko korišten u analitičkoj teoriji brojeva. Naziv "Gama funkcija" i oznaku Γ(z) predložio je francuski matematičar Adrien Marie Legendre 1814. godine.

Beta funkcija, B funkcija, Euler B funkcija. J. Bineta (1839).

Funkcija dviju varijabli p i q, definirana za p>0, q>0 jednakošću:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.

Beta funkcija se može izraziti preko Γ-funkcije: V(p, q) = Γ(p)G(q)/G(p+q).Baš kao što je gama funkcija za cijele brojeve generalizacija faktorijela, beta funkcija je, u određenom smislu, generalizacija binomnih koeficijenata.

Mnoga svojstva opisana su pomoću beta funkcije.elementarne čestice sudjelovanje u snažna interakcija. Ovu značajku uočio je talijanski teorijski fizičarGabriele Veneziano 1968. godine. Počelo je teorija struna.

Naziv "beta funkcija" i oznaku B(p, q) uveo je 1839. godine francuski matematičar, mehaničar i astronom Jacques Philippe Marie Binet.

Laplaceov operator, Laplasov. R. Murphy (1833).

Linearni diferencijalni operator Δ, koji funkcionira φ (x 1, x 2, ..., x n) od n varijabli x 1, x 2, ..., x n pridružuje funkciju:

Δφ \u003d ∂ 2 φ / ∂x 1 2 + ∂ 2 φ / ∂x 2 2 + ... + ∂ 2 φ / ∂x n 2.

Konkretno, za funkciju φ(x) jedne varijable, Laplaceov operator koincidira s operatorom 2. derivacije: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Jednadžba Δφ = 0 obično se naziva Laplaceova jednadžba; odatle potječu nazivi "Laplaceov operator" ili "Laplacian". Oznaku Δ uveo je engleski fizičar i matematičar Robert Murphy 1833. godine.

Hamiltonov operator, nabla operator, Hamiltonijan. O. Heaviside (1892).

Vektorski diferencijalni operator forme

∇ = ∂/∂x ja+ ∂/∂y j+ ∂/∂z k,

gdje ja, j, i k- koordinatni vektori. Preko operatora nabla se na prirodan način izražavaju osnovne operacije vektorske analize, kao i Laplaceov operator.

Godine 1853. irski matematičar William Rowan Hamilton predstavio je ovaj operator i za njega skovao simbol ∇ u obliku obrnutog grčkog slova Δ (delta). Kod Hamiltona je vrh simbola pokazivao ulijevo, kasnije, u radovima škotskog matematičara i fizičara Petera Guthriea Tatea, simbol je dobio moderan izgled. Hamilton je ovaj simbol nazvao riječju "atled" (riječ "delta" čitana unatrag). Kasnije su engleski znanstvenici, uključujući Olivera Heavisidea, počeli zvati ovaj simbol "nabla", prema nazivu slova ∇ u feničanskom alfabetu, gdje se pojavljuje. Podrijetlo slova povezuje se s glazbenim instrumentom kao što je harfa, ναβλα (nabla) na starogrčkom znači "harfa". Operator se zvao Hamiltonov operator ili operator nabla.

Funkcija. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).

Matematički koncept koji odražava odnos između elemenata skupova. Možemo reći da je funkcija "zakon", "pravilo" prema kojem je svaki element jednog skupa (koji se naziva domena definicije) pridružen nekom elementu drugog skupa (koji se naziva domena vrijednosti). Matematički koncept funkcije izražava intuitivnu ideju o tome kako jedna veličina u potpunosti određuje vrijednost druge veličine. Često izraz "funkcija" označava numeričku funkciju; odnosno funkcija koja stavlja neke brojeve u red s drugima. Dugo su vremena matematičari davali argumente bez zagrada, na primjer, ovako - φh. Ovu je oznaku prvi upotrijebio švicarski matematičar Johann Bernoulli 1718. godine.Zagrade su korištene samo ako je bilo mnogo argumenata ili ako je argument bio složen izraz. Odjeci tih vremena su česti i sada zapisisin x, lg xitd. Ali postupno je postalo korištenje zagrada, f(x). opće pravilo. A glavna zasluga u tome pripada Leonhardu Euleru.

Jednakost. R. Zapis (1557).

Znak jednakosti predložio je velški liječnik i matematičar Robert Record 1557. godine; obris lika bio je mnogo duži od sadašnjeg, jer je oponašao sliku dva paralelna segmenta. Autor je objasnio da na svijetu ne postoji ništa jednakije od dva paralelna segmenta iste duljine. Prije toga, u antičkoj i srednjovjekovnoj matematici, jednakost se označavala verbalno (npr. est egale). Rene Descartes u 17. stoljeću počeo je koristiti æ (od lat. aequalis), a on je koristio moderni znak jednakosti kako bi označio da bi koeficijent mogao biti negativan. François Viète je označavao oduzimanje znakom jednakosti. Simbol Zapisa nije se odmah proširio. Širenje simbola Zapisa ometala je činjenica da se od davnina isti simbol koristio za označavanje paralelizma linija; na kraju je odlučeno da simbol paralelizma bude okomit. U kontinentalnoj Europi znak "=" uveo je Gottfried Leibniz tek na prijelazu iz 17. u 18. stoljeće, odnosno više od 100 godina nakon smrti Roberta Recorda, koji ga je prvi upotrijebio za to.

Otprilike isto, otprilike isto. A. Günther (1882).

znak " ≈" uveo je njemački matematičar i fizičar Adam Wilhelm Sigmund Günther 1882. kao simbol za odnos "otprilike jednako".

Više manje. T. Harriota (1631).

Ova dva znaka u upotrebu je uveo engleski astronom, matematičar, etnograf i prevoditelj Thomas Harriot 1631. godine, prije toga su se koristile riječi "više" i "manje".

Usporedivost. K. Gaussa (1801).

Usporedba - omjer između dva cijela broja n i m, što znači da je razlika n-m tih brojeva podijeljena danim cijelim brojem a, koji se naziva modul usporedbe; piše se: n≡m(mod a) i glasi "brojevi n i m su usporedivi po modulu a". Na primjer, 3≡11(mod 4) budući da je 3-11 djeljivo s 4; brojevi 3 i 11 su sukladni po modulu 4. Usporedbe imaju mnoga svojstva slična onima jednakosti. Dakle, pojam u jednom dijelu usporedbe može se sa suprotnim predznakom prenijeti u drugi dio, a usporedbe s istim modulom se mogu zbrajati, oduzimati, množiti, oba dijela usporedbe mogu se množiti istim brojem itd. Na primjer,

3≡9+2(mod 4) i 3-2≡9(mod 4)

Ujedno i istinite usporedbe. A iz para pravih usporedbi 3≡11(mod 4) i 1≡5(mod 4) slijedi točnost sljedećeg:

3+1≡11+5(mod 4)

3-1≡11-5(mod 4)

3 1≡11 5(mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3 23≡11 23(mod 4)

U teoriji brojeva razmatraju se metode za rješavanje raznih usporedbi, t.j. metode za pronalaženje cijelih brojeva koji zadovoljavaju usporedbe ove ili one vrste. Modulo usporedbe prvi je upotrijebio njemački matematičar Carl Gauss u svojoj knjizi Arithmetical Investigations iz 1801. godine. Također je predložio simbolizam uspostavljen u matematici za usporedbu.

Identitet. B. Riemanna (1857).

Identitet - jednakost dva analitička izraza, važeća za sve dopuštene vrijednosti slova koja su u njemu uključena. Za sve vrijedi jednakost a+b = b+a brojčane vrijednosti a i b, i stoga je identitet. Za bilježenje istovjetnosti u nekim se slučajevima od 1857. godine koristi znak "≡" (čitaj "identično jednak"), čiji je autor u ovoj uporabi njemački matematičar Georg Friedrich Bernhard Riemann. Može se napisati a+b ≡ b+a.

Okomitost. P.Erigon (1634).

Okomitost - međusobni raspored dviju ravnina, ravnina ili pravca i ravnine, u kojem ti likovi čine pravi kut. Znak ⊥ za označavanje okomitosti uveo je 1634. francuski matematičar i astronom Pierre Erigon. Pojam okomitosti ima niz generalizacija, ali sve one, u pravilu, prate znak ⊥ .

Paralelizam. W. Outred (1677. posmrtno izdanje).

Paralelizam - odnos između nekih geometrijskih oblika; na primjer, ravne linije. Različito definiran ovisno o različitim geometrijama; na primjer, u geometriji Euklida i u geometriji Lobačevskog. Znak paralelizma poznat je od davnina, koristili su ga Heron i Papus iz Aleksandrije. U početku je simbol bio sličan sadašnjem znaku jednakosti (samo prošireniji), ali s dolaskom potonjeg, da bi se izbjegla zabuna, simbol je okrenut okomito ||. U ovom se obliku prvi put pojavio u posthumnom izdanju djela engleskog matematičara Williama Outreda 1677. godine.

Raskrižje, sindikat. J. Peano (1888).

Sjecište skupova je skup koji sadrži one i samo one elemente koji istovremeno pripadaju svim danim skupovima. Unija skupova je skup koji sadrži sve elemente izvornih skupova. Sjecište i unija nazivaju se još i operacije nad skupovima koje određenim skupovima pridružuju nove skupove prema gornjim pravilima. Označava se ∩ odnosno ∪. Na primjer, ako

A= (♠ ♣ ) i B= (♣ ♦ ),

Da

A∩B= {♣ }

A∪B= {♠ ♣ ♦ } .

Sadrži, sadrži. E. Schroeder (1890).

Ako su A i B dva skupa i nema elemenata u A koji ne pripadaju B, onda kažu da je A sadržan u B. Pišu A⊂B ili B⊃A (B sadrži A). Na primjer,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

Simboli "sadrži" i "sadrži" pojavili su se 1890. kod njemačkog matematičara i logičara Ernsta Schroedera.

Pripadnost. J. Peano (1895).

Ako je a element skupa A, tada pišemo a∈A i čitamo "a pripada A". Ako a nije element od A, napišite a∉A i pročitajte "a ne pripada A". U početku se odnosi "sadržano" i "pripada" ("element je") nisu razlikovali, no s vremenom su ti pojmovi zahtijevali razlikovanje. Oznaku članstva ∈ prvi je upotrijebio talijanski matematičar Giuseppe Peano 1895. godine. Simbol ∈ dolazi od prvog slova grčke riječi εστι - biti.

Univerzalni kvantifikator, egzistencijalni kvantifikator. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).

Kvantifikator je opći naziv za logičke operacije koje označavaju područje istinitosti predikata (matematičkog iskaza). Filozofi su dugo obraćali pozornost na logičke operacije koje ograničavaju opseg istinitosti predikata, ali ih nisu izdvajali kao zasebnu klasu operacija. Iako su kvantifikatorsko-logičke konstrukcije široko korištene kako u znanstvenom tako iu svakodnevnom govoru, njihova formalizacija dogodila se tek 1879. godine, u knjizi njemačkog logičara, matematičara i filozofa Friedricha Ludwiga Gottloba Fregea "Račun pojmova". Fregeova notacija izgledala je kao glomazna grafička konstrukcija i nije bila prihvaćena. Kasnije su predloženi mnogi uspješniji simboli, ali oznaka ∃ za egzistencijalni kvantifikator (čitaj "postoji", "postoji"), koju je predložio američki filozof, logičar i matematičar Charles Pierce 1885., i ∀ za univerzalni kvantifikator ( čitajte "bilo koji", "svaki", "svaki"), koji je oblikovao njemački matematičar i logičar Gerhard Karl Erich Gentzen 1935. po analogiji sa simbolom egzistencijalnog kvantifikatora (obrnuta prva slova engleskih riječi Existence (postojanje) i Any ( bilo koji)). Na primjer, unos

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

glasi kako slijedi: "za bilo koje ε>0 postoji δ>0 takvo da za svaki x koji nije jednak x 0 i zadovoljava nejednakost |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

Prazan set. N. Bourbaki (1939).

Skup koji ne sadrži nijedan element. Prazan postavljeni znak predstavljen je u knjigama Nicolasa Bourbakija 1939. Bourbaki je zajednički pseudonim grupe francuskih matematičara osnovane 1935. godine. Jedan od članova grupe Bourbaki bio je Andre Weil, autor simbola Ø.

Q.E.D. D. Knuth (1978).

U matematici se dokaz shvaća kao slijed zaključivanja temeljenog na određenim pravilima, koji pokazuje da je određena tvrdnja istinita. Od renesanse, kraj dokaza matematičari su označavali kao "Q.E.D.", od latinskog izraza "Quod Erat Demonstrandum" - "Ono što je bilo potrebno dokazati." Prilikom izrade računalnog sustava rasporeda ΤΕΧ 1978. godine, američki profesor informatike Donald Edwin Knuth upotrijebio je simbol: ispunjeni kvadrat, takozvani "Halmosov simbol", nazvan po američkom matematičaru mađarskog podrijetla Paulu Richardu Halmosu. Danas se završetak dokaza obično označava simbolom Halmos. Kao alternativa koriste se drugi znakovi: prazan kvadrat, pravokutni trokut, // (dvije kose crte), kao i ruska kratica "ch.t.d.".